Deret Fourier
Deret fourier adalah suatu deret yang banyak digunakan dalam bidang rekayasa. Deret ini pertama sekali ditemukan oleh seorang ilmuwan Perancis Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830). Deret yang selanjutnya dikenal sebagai Deret Fourier ini merupakan deret dalam bentuk sinusoidal (sinus dan cosinus) yang digunakan untuk merepresentasikan fungsi-fungsi periodik secara umum. Selain itu, deret ini sering dijadikan sebagai alat bantu dalam menyelesaikan persamaan diferensial, baik persamaan diferensial biasa maupun persamaan diferensial parsial. Teori dasar dari deret Fourier cukup rumit. Meskipun demikian, aplikasinya sangat sederhana. Deret Fourier ini lebih umum dibandingkan dengan deret Taylor. Hal ini disebabkan karena dalam banyak permasalahan praktis yang terkait dengan fungsi periodik tak kontinu dapat diselesaikan dengan menggunakan deret ini dan tidak ditemukan pada Deret Taylor.
a. Fungsi Fungsi Periodik dan Definisi Deret Fourier Suatu fungsi f (x) , dengan daerah asal tersebut terdefinisi di
dikatakan periodik jika fungsi
, kecuali di sejumlah titik dan terdapat suatu bilangan positif p
sedemikian rupa sehingga
untuk semua
(1) . Dalam hal ini
periodik dengan periode
dinamakan periode dari f (x) . Grafik suatu fungsi
disajikan dalam Gambar 1.
Keluarga fungsi periodik yang cukup dikenal adalah fungsi sinus dan cosinus. Fungsi yang bernilai konstan selalu periodik, karena memenuhi (1) untuk setiap bilangan positif
. Beberapa contoh fungsi yang tidak periodik adalah
dan masih banyak lagi yang lain.
Beberapa contoh lainnya digambarkan pada grafik dibawah ini.
Gambar 1.
1
Beberapa contoh dari deret fourier :
1. Fungsi
mempunyai periode
sama dengan
2. Periode fungsi 3. Periode
karena karena
. Tetapi
atau
adalah periode terkecil atau periode
dimana n bilangan bulat positif, adalah
.
adalah .
4. Suatu konstanta mempunyai periode suatu bilangan positif. Selanjutnya, karena
adalah fungsi periodik, berdasarkan (1) kita peroleh
bahwa
Akibatnya dapat disimpulkan bahwa untuk suatu
(2)
Dengan demikian,
adalah adalah periode dari
dan
adalah dua fungsi
periodik dengan periode , dapat ditunjukkan bahwa
dengan a dan b konstanta juga periodik dengan periode . Apabila suatu fungsi periodik memiliki periode terkecil
Sebagai contoh fungsi sebesar
dan dan
, sedangkan fungsi
, maka
dinamakan periode fundamental dari
.
adalah fungsi periodic dengan periode fundamental adalah dan
juga fungsi periodik dengan periode
fundamental .
2
Perhatikan deret berikut ini
Misalkan
didefinisikan pada interval (-L, L) dan di luar interval ini ditentukan
oleh
, yaitu dianggap bahwa
ekspansi fourier yang sehubungan dengan
Dengan
mempunyai periode 2L. Deret fourier atau tadi didefinisikan sebagai (3)
adalah konstanta bernilai real. Deret ini dikenal juga
sebagai deret trigonometri, sedangkan a n dan bn dinamakan sebagai koefisien dari deret. Dengan menggunakan notasi sigma, deret (3) dapat pula dituliskan dalam bentuk
(5)
Dengan harga-harga koefisien Fourier a n dan b n ditentukan oleh
(6)
Kalau f(x) mempunyai periode 2L, koefisien-koefisien a n dan b n dapat pula ditentukan dari
(7)
dengan c sebagai se bagai sembarang bilangan nyata: dalam da lam kejadian khusus di mana m ana c = -L, (7) menjadi (6). Perhatikan bahwa suku konstan (5) sama dengan
adalah harga rata-rata dari Kalau
didalam satu periode.
,
yang
, deret (5) dan koefisien-koefisien (6) atau (7) menjadi sangat
sederhana. Fungsi tersebut dalam hal ini mempunyai periode 2 .
Perlu ditekankan disini bahwa deret pada persamaan (5) hanyalah deret untuk . Belum diketahui apakah deret tersebut konvergen ke
atau tidak. Masalah
3
konvergensi ini diselidiki oleh Dirichlet, yang kemudian mengembangkan kondisi-kondisi agar deret Fourier tersebut konvergen, seperti akan dibahas berikut ini. b.
Kondisi Kondisi Dirichlet
Teorema 1 : Andaikan bahwa (i)
dapat ditentukan dan mempunyai harga tunggal (single-value) kecuali
mungkin pada sejumlah titik-titik trehingga pada interval (-L, L)
(ii)
periodik dengan 2L
(iii)
dan
adalah fungsi-fungsi kontinu pada setiap segmennya pada
interval (-L, L)
Maka deret (5) dengan koefisien (6) dan (7) akan konvergen ke :
(a)
(b)
jika x adalah suatu titik kekontinuannya
bilamana x adalah suatu titik kekontinuannya
Pada teorema ini kanan dari
dan
dan
berturut ² turut adalah limit kiri dan limit
dan menyatakan
seringkali dituliskan
dan
dan
disini
. Ini
untuk menyatakan bahwa
dari arah nilai-nilai positif.
Berdasarkan hasil ini dapat ditulis
(8)
pada setiap titik kontinuitas
. meskipun demikian, kalau
maka ruas kiri diganti dengan ke harga rata-rata dari
adalah titik non-kontinuitas,
sehingga deret tersebut konvergen
dan
Kondisi (i), (ii), dan (iii) pada
.
adalah syarat cukup akan tetapi tak diperlukan,
yaitu kalau kondisi-kondisi tersebut terpenuhi maka konvergensinya dapat digaransi.
4
Akan tetapi kalau kondisi-kondisi tersebut tak terpenuhi, deretnya bias konvergen, tapi bias juga tidak. Kondisi-kondisi di atas biasanya terpenuhi pada masalah-masalah yang timbul di dalam lapangan ilmu dan teknologi. Dewasa ini tak diketahui kondisi yang diperlukan dan kondisi kecukupan (necessary and sufficient condition ) untuk konvergensi dari deret Fourier. Adalah
sangat menarik bahwa kontinuitas dari Fourier.
saja tidak menjamin konvergensi deret
c. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Sebuah fungsi demikian
Sebuah fungsi demikian
disebut sebagai fungsi fungsi ganjil kalau
. Dengan
adalah fungsi-fungsi ganjil.
disebut sebagai fungsi genap kalau
. Dengan
adalah fungsi-fungsi genap.
Pada deret fourier untuk fungsi ganjil, hanya suku-suku yang mengandung sinus saja yang akan muncul. Pada deret fourier pada fungsi genap, hanya suku-suku yang mengandung cosinus saja yang akan muncul (akan tetapi kemungkinan juga akan terdapat suku konstan, yang dalam hal ini dianggap sebagai suku cosinus).
d. Deret Sinus atau Cosinus Setengah Setengah Jangkauan (Half -Range) Deret sinus atau cosinus setengah jangkauan adalah suatu deret yang hanya mempunyai suku-suku yang mengandung sinus atau cosinus saja. Apabila diinginkan suatu deret setengah jangkauan yang sesuai dengan fungsi yang diberikan, fungsi yang dimaksud biasanya dapat ditentukan pada interval
[yaitu setengah dari interval
dan karenanya disebut setengah jangkauan] dan kemudian fungsi tersebut adalah
fungsi ganjil atau fungsi genap, sehingga pada separo interval yang lain, yaitu fungsi tersebut dapat dengan jelas ditentukan. Dalam hal yang demikian didapat
,
5
e.
Identitas
(9)
Parseval
Identitas Parseval menyebutkan bahwa
kalau
dan
(10)
adalah koefisien-koefisien Fourier yang sesuai dengan
memenuhi kondisi Dirichlet.
f. Konvergensi Uniform Andaikan terdapat sebuah deret tak hingga
dan kalau
Didefinisikan juml ah ah
parsia l ke R dari suatu deret sebagai ju ml ah ah R suku yang perta m a dari deret tersebut, yaitu
(11)
Berdasarkan definisi, suatu deret tak terhingga dikatakan konvergen ke
pada suatu interva l jika diberikan se m barang barang bil angan angan positif ,
aka m aka
pada setiap
dal am interval tersebut terdapat suatu bi l angan angan positif , sehingga
Bil angan angan
pada waktu
secara um um tergantung tidak hanya pada
dinam akan akan sebagai juml ah ah dari deret tersebut. Sal ah ah satu kasus yang penting akan terjadi bi l am ana ana tetapi tak tergantung pada harga
(12)
tetapi juga pada .
tergantung pada
akan
di interval tersebut. Pada kasus yang de m ikian ikian
dikatakan bahwa deret tersebut konvergen secara seraga m ke Dua
di
.
buah sifat yang sangat penting tentang deret deret yang konfergen secara
seraga m ini disim pu pul kan kan pada dua buah teore m a berikut.
6
Teorema 2 : Apabila masing ² masing suku dari deret tak terhingga kontinu pada interval
dan deret tersebut konvergen secara seragam ke jumlah
interval ini maka : 1.
pada
juga kontinu pada interval tersebut
2. Deret tersebut dapat diintegralkan suku demi suku, yaitu (13)
Teorema 3 : Apabila masing-masing suku dari deret tak terhingga mempunyai turunan dan deret dari turunan konvergen secara seragam, maka deret tersebut dapat dideferensialkan suku demi suku, yaitu
(14)
Ada beberapa cara untuk membuktikan konvergensi seragam dari suatu deret. Cara yang paling mudah adalah dengan menemukan jumlah
secara analitis (in a
closed form) dan kemudian menggunakan definisi secara langsung. Yang kedua dan yang paling ampuh adalah dengan menggunakan suatu teorema yang disebut Weierstrass M test. Teorema 4 : (Weierstrass M test) : Apabila terdapat satu himpunan konstan
sehingga untuk semua harga
apabila
konvergen, maka
pada interval
,
, dan
akan konvergen secara mutlak
(absolutely convergent), yaitu bahwa kondisi ini
konvergen.
Contoh : Deret
konvergen secara seragam pada interval
kenyataannya pada setiap interval]. Karena satu himpunan konstan ditemukan sehingga
dan
[atau, dapat
konvergen
7
g. Pengintegralan dan Pendiferensialan Deret Fourier Pengintegralan dan pendiferensialan deret Fourier dapat dibenarkan dengan menggunakan Teorema 2 dan 3, yang juga berlaku untuk dere secara umum. Meskipun demikian haruslah ditekankan bahwa teorema-teorema tersebut memberikan kondisi kecukupan akan tetapitidak diperlukan. Teorema berikut tentang pengintegralan sangatlah berguna.
Teorema 5 : Deret Fourier untuk
dapat diintegralkan suku demi suku dari a ke x,
dan deret yang dihasilkan akan konvergen secara seragam ke
kalau
maupun
kontinu setiap segmennya pada interval
ada dalam interval ini.
,
dan baik
h. Notasi Komplek Deret Fourier Dengan menggunakan identitas Euler
dengan
sebagai unit imajiner sehingga
(15)
, deret Fourier untuk
dalam bentuk kompleks, sebagai
dengan
dapat ditulis
(16) (17)
Dalam menulis persamaan (16), dianggap bahwa kondisi Dirichlet terpenuhi dan
lebih jauh lagi
diganti dengan
kontinu pada . Jika
tak kontinu pada , ruas kiri dari (16) harus
.
8
i. Deret Fourier Ganda
Ide tentang ekspansi deret Fourier untuk suatu fungsi dengan variabel tunggal dapat diperluas pada suatu kasus dimana fungsinya mempunyai dua variebel dan , yaitu . Sebagai contoh dapat diekspansikan menjadi deret sinus Fourier
ganda.
dengan
(18) (19)
Hasil yang didapatkan untuk deret cosinus atau untuk deret yang mempunyai keduanya yaitu sinus dan cosinus. Ide ini dapat pula digeneralisasikan untuk deret Fourier tripel, dan sebagainya.
j. Pemakaian Fourier Series Ada banyak sekali pemakaian deret Fourier untuk menyelesaikan masalah ² masalah nilai batas. Sebagai contoh : 1. Aliran panas 2. Persamaan Laplace 3. Sistem Getaran
9
