BILANGAN KOMPLEX
Sejarah bilangan. Yang mula-mula dikenalkan adalah sistim bilangan asli : 1, 2, 3, 4, . . . Kemudian dikembangkan dengan sistim bilangan negatip : - 1, - 2, - 3, - 4, . . . Pengenalan bilangan nol melengkapi sistim menjadi sistim bilangan bulat. Jika ada bilangan bulat, maka sebagai penyeimbangnya, dikenalkan bilangan pecahan. Sistimnya disebut sistim bilangan rasional. Contoh : 1/2, - 1/5, 1/7, dst. Sebagai penyeimbangnya, ada sistim bilangan irasional. Misal √2, -√7, √11, dst Semua sistim di atas dirangkum dalam sistim bilangan riil. Sebagai penyeimbang dari sistim bilangan riil, dikenalkan sistim bilangan khayal (imaginair). Contoh, √-1, √-3, √- 1/2, dst.
Untuk menyederhanakan penulisan, √-1 ditulis sebagai " i ".
1/7
BILANGAN KOMPLEX
2/7
DERET
FOURIER
3/7
Fungsi Periodik : Suatu fungsi f(t) dikatakan periodik dengan periode T apabila untuk setiap t berlaku f(t + T) = f(t) Contoh, sin t = sin (t + 2 π) = sin (t + 4π) = sin (t + 2nπ)
n = ± 1, ± 2, ± 3, dst
Periode utama adalah bilangan T terkecil. Untuk fungsi sinus dan coinus, periode utamanya adalah 2 Untuk fungsi tangen dan cotangen, periode utamanya adalah π. Fungsi periodik lebih sering digambarkan dalam bentuk kurva, misalnya : o
o
t kurva 1
T1
t
o
kurva 2
T2
t
kurva 3
T
Periode T bisa diukur mulai dari mana saja asal posisi ujung awal dan akhirnya sama nilainya. Contoh, T1 diukur mulai pangkal garis kurva, sedangkan T 2 diukur mulai tengah-tengah garis kurva. Periode ada yang bernilai positip saja, atau negatip saja, contoh kurva 3. Kurva kanan dan kiri beda. Ada juga yang periodenya positip dan negatip, contoh pada fungsi sinus cosinus. Contoh lain grafik atau kurva fungsi periodik adalah gambaran denyut jantung pada alat cardiograf, atau gambaran yang ditunjukkan pada alat osciloscope. Deret Fourier : Jika f(x) didefinisikan pada selang [- L, L], dan di luar selang itu oleh f(x + 2L) = f(x), atau dengan kata lain f(x) adalah periodik dengan periode 2L, maka f(x) dapat dinyatakan dalam nπx nπx ao ∞ deret Fourier sbb : a n cos F(x) = + + b n sin L L 2 n=1 L nπx dimana 1 an= f(x) cos dx L a n disebut koefisien cos L -L bn=
1
L
L -L
f(x) sin
karena cos 0 = 1, maka
nπx L ao=
b n disebut koefisien sin
dx 1
n = 1, 2, 3, . . . L
L -L
f(x) dx
Tetapi, periode tidak hanya antara L dan - L saja, juga bisa antara 0 dan 2L, atau antara c dan c + 2L , tergantung wilayah definisi f(x). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil. f(x) disebut fungsi genap jika f(- x) = f(x), contoh, cos ( Ф) = cos (- Ф) Maka, fungsi genap biasa disebut sebagai fungsi cos. f(x) disebut fungsi ganjil jika f(- x) = - f(x), contoh, sin (- Ф) = - sin ( Ф) Maka, fungsi ganjil biasa disebut sebagai fungsi sin.
DERET
FOURIER
4/7
Fungsi genap (fungsi cos) hanya memiliki koefisien cos. Maka, nilai koefisien b F(x) =
ao 2
∞
+
n=1
a n cos
nπx
dimana
L
an= ao=
L o L
2 L o
F(x) =
n=1
b n sin
nπx
dimana
L
bn=
L
2 L o
n
dx
n = 1, 2, 3, . .
f(x) dx
Fungsi ganjil (fungsi sin) hanya memiliki koefisien sin. Maka, nilai koefsien a ∞
=0
f(x) n π x cos L
L
2
n
=0
f(x) sin
nπx L
dx
n = 1, 2, 3, . . Domain (wilayah definisi) fungsi [0 , L] disebut setengah area, karena luasnya setengah dari [- L , L] f(x) Bentuk fungsi genap (cos) adalah :
kiri
kanan
jika x berjalan ke kanan, nilai f(x) -nya
o
x
akan sama dengan jika x berjalan ke kiri.
Contoh bentuk kurva fungsi genap : Dikatakan f(x) o
x
se-"cermin" terhadap sumbu y
Bentuk fungsi ganjil (sin) adalah :
f(x) kiri
kanan
jika x berjalan ke kanan, nilai f(x) -nya
o
x
akan berlawanan dengan jika x berjalan ke kiri.
Contoh bentuk kurva fungsi ganjil :
kiri
kanan
kurva sebelah kiri berbentuk V,
o
x
sebelah kanan berbentuk V terbalik Dikatakan f(x) se-"cermin" terbalik terhadap sumbu y
Tetapi kebanyakan fungsi (kurva) bukan genap dan bukan ganjil.
DERET
FOURIER
5/7
Contoh-contoh : Tentukan peride 2L dari fungsi-fungsi berikut : 1 f(x) =
2
0
0≤x<2
1
2≤x<4
0
4≤x<6
f(x) =
2 -2
Jawab : Periode 2L = batas atas - batas bawah 2L = 6 - 0 = 6
0
Maka L = 3
Jawab : Periode 2L = batas atas - batas bawah
-5
2L = 5 - (- 5) = 10
Maka L = 5
Periode selalu bernilai positip 3
f(x) =
x
0
setengah area Karena ada keterangan setengah area, maka L = batas atas - batas bawah L=2-0=2
4
Gambarkan kurvanya f(x) =
x
0
2
setengah area
f(x)
fungsi genap : -2
o
2
fungsi ganjil
2
x
2
x
f(x)
-2 o -2
Penjelasan :
Jika disebutkan domain fungsi hanya untuk setengah area, maka harus disebutkan fungsinya fungsi genap atau fungsi ganjil. Atau, kalau disebutkan fungsinya adalah fungsi genap atau fungsi ganjil, maka domain fungsinya hanya untuk setengah area. 5
2
Berapakah periode fungsi berikut ? -2
Jawab : Jarak antara titik terendah ke titik terendah berikutnya
-4
adalah : 2 L = 6 - (- 2) = 8 6
f(x) =
x
0
4-x
2
4 o -2
Nyatakan fungsi soal No. 5 dalam bentuk persamaan. Jawab :
f(x)
fungsi ganjil
2
x
6
DERET
Contoh-contoh perhitungan : 1
f(x) =
x ( 10 - x)
0 < x < 10
F(x) =
A
= =
=
B
L 1
o 10
5
o
5
o 10 10 o
5
2
= =
10
1
nπ
2
nπ
sin
=
0
-
=
0
-
an= A
+
ao=
1
2L
L
o
dx =
L nπx
10x cos
dx
5 nπx
10x cos
nπx 5
2
x cos
n π x 10 o
5
5x
nπ nπ 100
cos
n π
2
+
B
=
0
2
nπx
a n cos
n=1
f(x) dx =
-
1
10
+
L
5 1
o 10
5
o
nπx
b n sin
L
x
10
1
nπ o
n π x 10 o
5 0 -
1 5
=
-
100 2
n π 10 o
dx =
5
A
+
B
u dv = uv - v du
=
nπx 5
nπx
sin
5
u
2
du
=
v
=
dx = dv
dx =
0
=
0
+
10 5 nπ nπ
u=x
dx
5 +
nπx
u dv = d (uv) - v du
nπ
nπx
2
x cos
5
dx =
d (uv) = u dv + v du
5
-
nπx
2
(10x - x ) cos
cos
o
5
2
2
dx
n π x 10
sin
∞
+
dx
5
x cos
o
5
nπx
f(x) cos
10
1
-x
5x
ao
L=5
2 L = 10 2L
Periode = 10
2
f(x) = 10x - x
1
6/7
Nyatakan dalam deret Fourier :
Jawab :
an=
FOURIER
nπx
2x sin
5
2
n π
2
o
2
dx
cos
nπx 5
=
5 nπ
o
5
5 nπ
nπx
=
sin
nπx 5
dx
- 100 2
n π
2
2
(10x - x ) dx =
1 5
5x
2
-
x 3
3
10 o
dx
5
2
2
5
n π x 10
100 n π
nπx
sin
du = 2x dx
dv = cos v
10
10
+
cos
dx
= 33
1 3
DERET
bn=
P
= =
1
2L
L 1
o 10
5
o
5
nπ 10
nπ 0
= =
5
nπx
cos
nπx
2
o 2
-1
-5x
5
nπ
100
-
nπ 100
nπ
bn= P
F(x) =
33,3
2
dx =
5
cos
10
2
5x
nπ nπ
-
0
-
+
Q
=
+
n π x 10 5
∞
n=1
sin
o nπx 5
2 5
f(x) = f(x) = f(x) =
5
o
2
(10x - x ) sin 2
x sin
nπx
3 3
nπ - 100
u
=
dv = sin - 100
+
nπ
0
=
u +
=
dv = sin
nπ
100 2
n π
2
dx =
5
P
x nπx
dx
5
+
Q
u dv = uv - v du du
=
v
=
dx
-5 nπ
cos
nπx 5
- 100 nπ u dv = uv - v du
u dv = d (uv) - v du x
2
du
nπx 5
dx
v
= 2 x dx
=
-5 nπ
cos
nπx
dx =
o
+
nπx
dx =
5
-
5
10
sin
nπx
nπ o 5 100 n π x 10 cos = - 0 nπ 5 o
5
Latihan, nyatakan dalam deret Fourier : 1
1
o 10
7/7
u dv = d (uv) - v du
n π x 10
50
-
5
dx
5
x cos
10
+
0
5
-
1
dx
n π x 10
cos
nπ o
=
nπx
x sin
10
=
5
x sin
10
-1
dx
5
10 -5x 5
Q
nπx
o
5
dx =
L
10x sin
10
10
nπx
f(x) sin
FOURIER
100
nπ
cos
=
dx -
0
=
100
nπ
0
nπx 5
Tentukan sendiri Periodenya serta genap ganjilnya fungsi x
0< x < 4
8-x
4< x < 8
x-2
0
6-x
4
-x
-4≤ x ≤ 0
x
0≤ x ≤ 4
2-x
0
x-6
4
cos x
0
6
f(x) = sin x
0
dalam deret cos
π < x < 2π
7
f(x) = cos x
0
dalam deret sin
0
3 4
f(x) = f(x) =
5
