DERIVADAS PARCIALES
LIC. DANILO LEIVA
UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIA FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA Alameda Roosevelt Roosevelt 3031 Tel. 2209-2894
MATEMÁTICA II FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES DEFINICIÓN: DEFINICIÓN: Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado (x,y) de D le corresponde un numero real f(x,y), entonces se dice que f es función de “x” e “y” . El conjunto D es el d o m i n i o de de f y el correspondiente conjunto de valores de f(x,y) es el rango de de f. De igual manera se pueden dar definiciones similares para funciones de tres, cuatro o n variables, donde los dominios consisten de tríos (x1, x2, x3), tétradas (x1, x2, x3, x4) y n-uplas ordenadas, (x1, x2, x3,..., xn), respectivamente. En todos los casos el rango es un conjunto de números reales. Nosotros estudiaremos funciones de dos y tres variables. Para la función dada por z = f(x,y), llamamos variables independientes a “x” e “y”, siendo “z” la
variable dependiente. Para la función de tres variables w = f(x,y,z), las variables independientes son “x”, “y” y “z”, y la dependiente es “w”.
Las funciones de varias variables pueden combinarse de igual manera que las de una sola variable independiente. Para el caso tenemos que: i)
f g x, y f x, y g x, y
Suma o diferencia
ii)
f . g x, y f x, y . g x, y
Producto
iii)
f x, y f , donde : g x, y 0 x, y g x, y g
Cociente
La función compuesta dada por (g h)(x,y) se define solamente si h es una función de x e y, y g es una función de una única variable. Entonces: f g x, y f g x, y iv) Composición GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES La gráfica de una función de dos variables f es el conjunto de puntos (x,y,z) para los que z f x, y y x, y está en el dominio de f. Esta gráfica puede interpretarse geométricamente como una superficie en el espacio. EJERCICIO 1: 1: Evaluar la función en el punto que se indica: 1. f x, y
x y
a) (3,2) (3,2) b) (30,5) (30,5) c) (t2 – 4, t+2)
2. f x, y 4 x 2 4 y 2 a) (0,0) (0,0) b) (2,3) (2,3) c) (x,0)
3. f x, y xe y a) (2,-1) (2,-1) b) (3,2) (3,2) c) (t,t)
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4. f x, y ln x y a) (e,0) (e,0) b) (5,6) (5,6) c) (e,e)
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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES DEFINICION: Sea f una función de dos variables definida, con la posible excepción de (x 0,y0), en un disco centrado en (x 0,y0), y sea L un número real. Entonces:
lim
f x, y L
x , y x0 , y0
Si para cada
0 existe un 0 tal que f x, y L
2 2 siempre que 0 x x0 y y0
CONTINUIDAD PARA UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES DEFINICION: Una función f de dos variables es continua en un punto x0 , y 0 de una región abierta R si f x0 , y 0 está definido y es igual al límite de f x, y cuando x, y (x,y) tiende a (x 0,y0). Es decir, si:
lim
x , y x0 , y0
f x, y f x0 , y0
La función f es continua en la región abierta R si es continua en todos los puntos de R. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS DE DOS VARIABLES Si “k” es un número real y “f” y “g” son continuas en (x 0,y0), entonces las siguientes funciones son continuas en x0 , y 0 .
1. Múltiplo escalar:
kf
2. Suma y diferencia:
f g
3. Producto:
fg f
4. Cociente:
g
, si g x0 , y0 0
Las propiedades anteriores aseguran la continuidad de todas las funciones polinómicas y racionales en cualquier punto de sus dominios. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA Si “h” es continua en x0 , y 0 y “g” es continua en h x0 , y 0 , entonces la función compuesta
dada por g h x, y g h x, y
es continua en x0 , y 0 . Es decir,
g h x, y g h x lim x y x y ,
0
, y0
0, 0
Nótese que “h” es una función de dos variables y “g” es una función de una variable.
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CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE TRES VARIABLES DEFINICIÓN: Una función f de tres variables es continua en un punto x0 , y0 , z 0 de una región abierta R si f x0 , y0 , z 0 está definido y es igual al límite de f x, y, z cuando x, y, z tiende a x0 , y0 , z 0 . Es decir, si:
lim
x , y , z x0 , y0 , z 0
f x, y, z f x0 , y0 , z 0
La función f es continua en la región abierta R si es continua en todos los puntos de R. EJERCICIO 2: i)
Calcular el limite que se indica: 1.
x 3 y lim x y 2
,
4.
ii)
2.
2 ,1
lim
x y
x , y 2,0 x
y
5 x 3 xy y 1 lim x y
3.
ysen xy
6.
,
5.
0, 0
lim
lim x y z , ,
xe yz
2, 0,1
lim
x y z
x , y , z 1, 2,5
x , y ,2 4
En los ejercicios 7-12, calcular los limites: a)
lim x
f x x, y f x, y
0
x
7. f x, y x 2 4 y 10.
f x, y 2 xy
b)
lim y 0
f x, y y f x, y
y
8. f x, y x 2 y 2
9. f x, y 2 x xy 3
11. f x, y 3 x 2 y 2
2 12. f x, y x y
DERIVADAS PARCIALES La introducción de las derivadas parciales tardó varios años en seguir a los trabajos de Newton y Leibniz. Entre 1730 y1760, Leonhard Euler y Jean Le Rond d’Alembert publicaron
separadamente varios artículos de dinámica, en los cuales establecieron gran parte de la teoría de las derivadas parciales. Estos artículos usaban funciones de dos o mas variables para estudiar problemas que trataban del equilibrio, el movimiento de fluidos y las cuerdas vibrantes. En clase vamos a estudiar la teoría básica de las derivadas parciales de funciones de dos, tres y más variables.
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DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES DEFINICIÓN: Si z = f(x,y), entonces las derivadas parciales primeras de f con respecto a “x” y a “y” son f x y f y definidas mediante: f x x, y lim
f x x, y f x, y
x
x0
f y x, y lim
f x, y y f x, y
y 0
y
siempre y cuando exista el límite. Esta definición indica que si z f x, y , entonces para calcular f x consideramos que “y” es constante y derivamos con respecto a “x”. De forma similar, para obtener f y , consideramos que x es constante y derivamos con respecto a “y”. NOTACIÓN PARA LAS DERIVADAS PARCIALES PRIMERAS: Si z f x, y , las derivadas parciales f x y f y se denotan: f x
f x, y x
z x
f x x, y z x
f y
f x, y
y
z y
f y x, y z y
Las derivadas parciales primeras evaluadas en el punto a, b se denotan: z x a ,b
z
f x a, b
y a ,b
f y a, b
DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE TRES O MAS VARIABLES El concepto de derivada parcial puede extenderse de manera natural a funciones de tres o más variables. Así, si w = f(x,y,z), entonces hay tres derivadas parciales, las cuales se obtienen considerando cada vez dos de las variables constantes. Es decir, para definir la derivada parcial de “w” con respecto a “x”, consideramos que “y” y “z” son constantes y escribimos: w f x x, y, z f x x, y, z lim x x x0 Para definir la derivada parcial de “w” con respecto a “y”, consideramos que “x” y “z” son
constantes y escribimos: w y
f y x, y, z lim y0
f x, y y, z
y
Para definir la derivada parcial de “w” con respecto a “z”, consideramos que “x” y “y” son
constantes y escribimos: w z
f z x, y, z lim z 0
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f x, y, z z
z
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En general, si w f x x1 , x2 , x3 ,..., xn , donde: k 1 ,2,3,..., n ; para hallar las derivadas parciales con respecto a una de las variables, consideramos las otras como constantes y derivamos con respecto a la variable dada. k
DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR Lo mismo que sucede con las derivadas ordinarias, es posible hallar derivadas parciales de una función de varias variables de órdenes segundo, tercero y superiores, supuesto que tales derivadas existen. Las derivadas de orden superior se denotan por su orden de derivación. Para el caso, hay cuatro formas diferentes de hallar una derivada parcial segunda de z f x, y : i)
Derivar dos veces respecto a “x”: f
2 x f f xx 2 x
ii)
x
Derivar dos veces respecto a “y”:
f 2 y f f yy 2
y
iii)
Derivar primer o con respecto a “x” y a continuación con respecto a “y”: f 2 x f f y
iv)
y
xy
y x
Derivar primero con respecto a “y” y a continuación con respecto a “x”:
f y
x
2
f
x y
f yx
Los casos tercero y cuarto se conocen como derivadas parciales cruzadas. Se debe observar que hay dos tipos de notación para las derivadas parciales cruzadas, según que convenio se utilice para indicar el orden de derivación. Así, la parcial f 2 x f Orden de derecha a izquierda y
y x
indica que la primera derivación es con respecto a “x”, pero f y x f yx Orden de izquierda a derecha indica derivación con respecto a “y” en primer lugar.
IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES CRUZADAS Si f es una función de “x” e “y” tal que f , f x , f y , f xy , f yx son continuas en la región abierta R,
entonces para cada x, y en R, f xy x, y f yx x, y
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Lo anterior se aplica a funciones de tres o más variables siempre y cuando f y todas sus derivadas parciales primeras y segundas sean continuas. Por ejemplo, si w f x, y, z y f , y todas sus derivadas parciales primeras y segundas son continuas en una región abierta R, entonces en cada punto de R el orden en la derivación de las derivadas parciales segundas es irrelevante. Esto es: f xy x, y, z f yx x, y, z f xz x, y, z f zx x, y, z f yz x, y, z f zy x, y, z
Si además, las derivadas parciales tercera de f son continuas, entonces el orden en que se derivan las derivadas parciales terceras cruzadas tampoco es importante. Así, f xzz f zxz f zzx , como se verificara en los ejemplos en clase. EJERCICIO 3: i)
En los ejercicios 1-20, hallar las derivadas parciales primeras con respecto a “x” e “y”. 1) f x, y 2 x 3 y 5 4) f x, y 7) z x e 2
x y
3) f x, y xy
5) f x, y x y
6) f x, y x 2 3 xy y 2
8) z xe
2 y
x
9) z ln x 2 y 2
y
x y 11) z ln x y
12) z
14) g x, y ln x 2 y 2
15) f x, y x 2 y 2
17) z sen2 x y
18) z sen3 x cos 3 y
19) f x, y e y senxy
20) z cos x 2 y 2
10) z ln xy 13) h x, y 16) f x, y
ii)
2) f x, y x 2 3 y 2 7
1 x y 2
e
2
xy x 2 y 2
x 2 2 y
4 y
2
x
En los ejercicios 21-24, evaluar f x y f y en el punto indicado. y 21) f x, y arx tan ; x
23) f x, y
xy x y
; 2, 2
2, 2
22) f x, y arcsen xy ; 24) f x, y
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4 xy
x 2 y 2
;
1,0 1,0
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iii)
iv)
v)
En los ejercicios 25-30, hallar las derivadas parciales primeras con respecto a x, y z. 26) w
27) F x, y, z ln x 2 y 2 z 2
28) G x, y, z
29) H x, y, z sen x 2 y 3 z
30) f x, y, z 3 x 2 y 5 xyz 10 yz 2
x y z 1 1 x y z 2
2
2
En los ejercicios 31-38, hallar las segundas derivadas parciales: f xx , f yy , f xy f yx : 31) z x 2 2 xy 3 y 2
32) z x 4 3 x 2 y 2 y 4
33) z e x tan y
34) z 2e xy
y 35) z arctan x
36) z sen x 2 y
37) z x 2 y 2
38) z
2
xy x y
En los ejercicios 39-44, probar que: f xy f yx : 39) z x 3 3 x 2 y
40) z ln x y
41) z x sec y
42) z 9 x 2 y 2
x e
y 2
44) z xe y ye x
En los ejercicios 45-48, probar que las derivadas parciales mixtas f xyy , f yxy f yyx son iguales. 45) f x, y, z xyz 46) f x, y, z x 2 3 xy 4 yz z 3 47) f x, y, z
vii)
xy
25) w x 2 y 2 z 2
43) z vi)
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senyz x
e
48) f x, y, z
x y z
En los ejercicios 49-52, probar que la función satisface la ecuación de Laplace: z xx z yy 0
e
e y senx
49) z 5 xy
50) z
51) z e x seny
y 52) z tan 1 x
1 2
y
viii)
En los ejercicios 53-54, probar que la función satisface la ecuación de ondas: z tt C 2 z xx 53) z sen x Ct 54) z sen Ct sen x
ix)
En los ejercicios 55-56, probar que la función satisface la ecuación del calor : z t C 2 z xx x 55) z e t cos C
x 56) z e t sen C
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DIFERENCIAL TOTAL DEFINICIÓN: Si z f x, y y x, y son incrementos de “x” y de “y”, entonces las diferenciales de las variables independientes “x” e “y” son dx x dy y y la diferencial total de la variable dependiente “z” es dz z x dx z y dy dz
z x
dx
z y
dy
Esta definición puede extenderse a funciones de tres o más variables. Por ejemplo, si w f x, y, z , u , entonces dx x, dy y, dz z , du u , y la diferencial total de “w” es dw w x dx w y dy w z dz wu du EJERCICIO 4: En los ejercicios 1-10, calcular la diferencial total: 1) z 3 x y 2
3) z
3
2) z
1
x y 2
x 2
y
4) z e x seny
2
e
x 2 y 2
e x
5) z x cos y y cos x
6) z
7) w 2 yz 3 senx x y 9) w z 2 y
8) w e x cos y z
1 2
2
y2
10) w x 2 yz 2 senyz
REGLA DE LA CADENA Sea w f x, y , donde f es una función diferenciable de “x” “y”. Si x g t y ht , siendo “g” y “h” funciones derivables de t, entonces w es una función derivable de t, y dw dx dy w x w y dt dt dt
Entonces w es una función, en última instancia, de una sola variable t, y en lugar de hablar de la derivada parcial de la función con respecto a t, hablamos de una derivada ordinaria, llamada Derivada Total. Otra forma de denotarla es: df
f x
dx
f y
dy
dx
w y
dy
w z
dt dt dt Si w f x, y, z x pt , y qt , z r t , entonces dw dt
w x
dt
dt
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dz dt
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Las “cadena” mencionada puede representarse en forma de diagrama, como lo muestra la
siguiente figura:
w w x
w y
x
y
dx
dy
dt
dt
t
t
Regla de la Cadena para una variable independiente
REGLA DE LA CADENA DE DOS VARIABLES INDEPENDIENTES Sea w f x, y , donde f es una función diferenciable de x y de y. Si x g s, t y h s, t de forma tal que las parciales primeras x s , xt , y s yt existan todas, entonces w s wt existen y vienen dadas por w s w x x s w y y s wt w x xt w y yt Las “cadenas” mencionadas pueden representarse en forma de diagrama, como lo muestra la
siguiente figura:
w w x
w y
x xt
y x s
t
y t
s
y s
t
s Regla de la Cadena para dos Variables Independientes
La regla de la Cadena se puede extender a un número cualquiera de variables. Por ejemplo, si w es una función diferenciable de n variables x 1, x2, ..., xn, donde cada x es una función diferenciable de las m variables t 1, t2, ..., t m, entonces w = f(x1, x2, ..., xn) tenemos
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W xn W W x1 W x 2 t 1 x1 t 1 x 2 t 1 x t n 1 W xn W W x1 W x 2 t 2 x1 t 2 x 2 t 2 x t n 2
W xn W W x1 W x2 t m x1 t m x 2 t m x t n m
DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLÍCITAS Estudiaremos dos métodos: MÉTODO 1: Se siguen los siguientes pasos: i) Asumir cual es la variable dependiente y cuales las variables independientes. ii) Derivar en la forma conocida y al derivar la variable dependiente (por ejemplo, w) anotar su derivada parcial (w x, wy, wz) según el caso. iii) Despejar la derivada parcial buscada. APLICACIÓN DE LA DIFERENCIAL TOTAL EN LA DERIVACIÓN IMPLÍCITA MÉTODO 2: Consideremos una función implícita de dos variables (1 independiente y 1 dependiente) tal como: f x, y 0 (1) y g x donde: el Diferencial Total de la función (1) viene dado por: df f x dx f y dy 0 f y dy f x dx dy dx
f x f y
Extendiendo el proceso anterior a una función de tres variables (2 independientes y 1 dependiente) tal como: f x, y, z 0 (2) z g x, y donde: (3) para la función explícita (3) tenemos que el diferencial total viene dado por:
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dz z x dx z y dy 0
(4)
y para la función implícita (2), tenemos que el diferencial total viene dado por: df f x dx f y dy f z dz 0
despejando para dz, se tiene: f z dz f x dx f y dy
f f x dx y dy f z f z
dz
(5)
luego, si comparamos las ecuaciones (4) y (5), tenemos que: z x
f x
z y
f z
f y f z
EJERCICIO 5: i)
En los ejercicios 1-6, hallar la derivada total
dt
1) w x 2 y 2
2) w x 2 y 2
x e t y e t
x sent y e t
4) w ln
y x
5) w = x2 + y2 + z2
x = cos t y = sen t ii)
dw
usando la regla de la cadena 3) w x sexy x e t y t
6) w = xy cos z
x = et cos t y = et sent z = et
x=t y = t2 z = arccos t
En los ejercicios 7-10, calcular ws y wt usando la regla de la Cadena apropiada, y evaluar cada derivada parcial en los valores de s y t que se especifican 7) w = x2 + y2 x = s + t, y = s – t Punto: s = 2, t = – 1 9) w = x2 – y2 x = s cost y = s sent Punto: s = 3, t = ¼
8) w = y3 – 3x2 y x = es , y = et Punto: s = 0, t = 1 10) w = sen(2x + 3y) x = s + t, y = s – t Punto: s = 0, t = ½
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iii)
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En los ejercicios 11-14, hallar dw/dt, a) por la regla de la cadena apropiada, y b) convirtiendo w en función de t antes de derivar 11) w = xy x = 2 sent,
y = cost
13) w = xy + xz + yz x = t – 1, y = t2 – 1, z = t iv)
v)
12) w = cos(x – y) x = t 2,
y=1
14) w = xyz x = t2, y = 2t, z = e – t
En los ejercicios 15-18, hallar wr y w, a) por la regla de la cadena adecuada, y b) convirtiendo w en una función de r y antes de derivar 15) w = x2 – 2xy + y2 x = r + , y = r –
16) w = 4 – 2x2 – 2y2 x = r cos, y = r sen
17) w = arctan(y/x) x = r cos ,
18) w = (xy) / z x = r + ,
y = r sen
y = r – ,
z = 2
En los ejercicios 19-22, hallar por derivada implícita las primeras derivadas parciales de “z”
vi)
19) x2 + y2 + z2 = 25
20) xz + yz + xy = 0
21) tan(x + y) + tan(y + z) = 1
22) z = ex sen(y + z)
En los ejercicios 23-24, hallar por derivación implícita todas las primeras y segundas derivadas parciales de z 23) x2 + 2yz + z2 = 1
vii)
24) x + sen(y + z) = 0
En los ejercicios 25-26, hallar las primeras derivadas parciales de w aplicando derivación implícita 25) xyz + xzw – yzw + w2 = 5
26) x2 + y2 + z2 + 6xw – 8w2 = 5
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RESPUESTAS EJERCICIO 1: 1) a) 3/2, b) 6, c) t – 2 3) a) 2/e, b) 3e2 c) tet EJERCICIO 2: 1) 5
3) 1
7) a) 2x, b) –4
9) a) 2 + y, b) x – 3
EJERCICIO 3: 1) f x = 2, f y = –3 __ __ 5) zx = y , zy = x /(2 y )
5) 2 11) a) –2xy2, b) –2x2y
3) f x = y. f y = x 7) zx = 2xe2y, zy = 2x2e2y
9) zx = 2x/(x2 + y2), zy = 2y/(x2 + y2) 13) hx = –2xe – u , hy = –2ye – u
11) zx = –2y/(x2 – y2), zy = 2x/(x2 – y2) ______ _______ 2 2 15) f x = x / x + y , f y = y / x2 + y2
17) zx =2cos(2x – y), zy = –cos(2x – y)
19) zx = yey cosxy, zy = ey (x cosxy + senxy)
21) zx = ¼, zy = ¼ __________ 25) wx = x / x2 + y2 + z2 ,
23) zx = –¼, zy = ¼ _________ __________ 2 2 2 wy = y / x + y + z , wz = z / x2 + y2 + z2
27) Fx = x / ( x2 + y2 + z2 ),
Fy = y / ( x 2 + y2 + z2 ),
Fz = z / ( x 2 + y2 + z2)
29) Hx = cos(x + 2y + 3z),
Hy = 2cos(x + 2y + 3z),
Hz = 3cos(x + 2y + 3z)
31) zxx = 2,
zyy = 6,
zxy = zyx = – 2
33) zxx = extany,
zyy = 2ex sec2y tany,
zxy = zyx = ex sec2y
35) zxx = 2xy / (x2 + y2) 2
zyy = – 2xy / (x2 + y2) 2
zxy = zyx = (y2 – x2) / (x2 + y2) 2
37) zxx = y2 / (x2 + y2) 3/2
zyy = x2 / (x2 + y2) 3/2
zxy = zyx = – xy / (x2 + y2) 3/2
39) zxy = zyx = 6x
41) zxy = zyx = secy tany
43) zxy = zyx = – 2e – u
45) f xyy = f yxy = f yyx = 0
47) f xyy = f yxy = f yyx = z2 e – x senyz
49) zxx + zyy = 0 + 0 = 0
51) zxx + zyy = e x seny – e x seny = 0
53) ztt = –c2 sen(x – ct) = c2 zxx
55) ztt = – e – t cos(x/c) = c2 zxx
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EJERCICIO 4: 1) dz = 6xy3 dx + 9x2y2 dy 3) dz = 2(x dx + y dy) / (x 2 + y2) 5) dz = (cosy + y senx)dx – (x seny + cosx) dx 7) dw = 2z3 y cosx dx + 2z3 senx dy + 6z 2 y senx dz 9) dw = dx / (z – 2y) + (z + 2x) dy / (z – 2y) 2 – (x + y) dz / (z – 2y) 2
EJERCICIO 5: 1) dw/dt = 2(e 2t – e – 2t) 7) ws = 4s, 8, wt = 4t, – 4
3) dw/dt = et sec( – t)[1 – tan( – t)]
5) dw/dt = 4e2t
9) ws = 2s cos2t, 0, wt = –2s2 sen2t, –18
11) dw/dt = 2 cos2t
13) dw/dt = 3(2t 2 – 1)
15) wr = 0, w = 4(x – y)
17) wr = 0, w = 1
19) zx = –x/z, zy = –y/z
21) zx = – sec2(x + y) /sec2(y + z), zy = –1 – sec2(x + y) /sec2(y + z)
23) zx= –x/(y+z), zy= –z/(y+z), zxx= –[(y+z) 2 + x2]/(y+z) 3, zyy= z(2y+z)/(y + z) 3, zxy= zyx= xy/(x+y) 3 25) wz = (yw – xy – xw)/(xz –yz+2w), wy = ( –xz + zw)/(xz –yz+2w), wx = ( –yz – zw)/(xz –yz+2w)
BIBLIOGRAFÍA Thomas, George B., Cálc ul o Vari as Variables, Undécima Edición, Pearson, 2006. Smith, Robert T., Minton, Roland B., Cálc u lo , Tomo 2, McGraw-Hill, 2000 Larson, Roland E., Hostetler, Robert P., Edwards, Bruce H., Cálc u lo y G eo m et ría A n al íti c a , Volumen 2, McGraw-Hill, 1995. Leithold, Louis, El Cálc u lo , séptima edición, Oxford University Press1998
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