Bab
6
Dimensi Tiga
Materi Pembelajaran: Pembelajaran:
Unsur-unsur Ruang Tempat Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang Proyeksi Titik dan dan Garis pada Bidang Bidang Jarak Sudut
Tujuan Pembelajaran: Pembelajaran: Siswa diharapkan diharapkan mampu: Menentukan kedudukan titik, titik, garis, dan idang idang da!am ruang dimensi tiga" Menentukan #arak dari titik ke garis dan dari titik ke idang da!am ruang dimensi tiga" Menentukan esar sudut sudut antara garis dan idang dan antara dua idang da!am ruang dimensi tiga"
Matematika 1: Dimensi Tiga__________________________ Tiga__________________________27
Bab 6 Dimensi Tiga
Akhirnya kita sudah sampai ke bagian terakhir proses belajar matematika kita kita.. Masi Masih h puny punya a sema semang ngat at un untu tuk k bela belaja jarr kan? kan? Bagu Bagus, s, kamu kamu masi masih h bersemangat besar, seperti semangat ’45. Pada bab terakhir ini kita akan mempelajari Dimensi iga. Dimensi tiga adalah bagian ke!il dari geometri, ilmu yang mun!ul sebagai akibat adanya interaksi antara manusia dengan alam. alam. Pada Pada jaman jaman purba, purba, beraba berabad"a d"abad bad sebelu sebelum m masehi masehi manusi manusia a telah telah meny menyad adar arii adan adanya ya berm berma! a!am am"m "ma! a!am am bent bentuk uk di alam alam.. Bent Bentuk uk pant pantai ai berbed berbeda a denga dengan n gunung gunung,, bentuk bentuk pohon pohon kelapa kelapa berbe berbeda da dengan dengan pohon pohon ketela, bentuk bulan berbeda dengan bentuk bintang, dan lain sebagainya. #esada sadara ran n manu manusi sia a tent tentan ang g $eno $enome mena na alam alam yang yang mun! mun!ul ul deng dengan an keanekaragaman bentuk inilah yang menjadi bibit"bibit penting kemun!ulan geometri. Maka tidak salah jika geometri dikatakan sebagai !abang ilmu matematika yang paling tua. %alah satu !ontoh penerapan prinsip"prinsip geometri yang dilakukan orang" orang jaman dulu seperti yang ditunjukkan orang"orang Mesir kuno saat membu membuat at sudut sudut siku"s siku"siku iku.. &ntuk &ntuk membua membuatt sudut sudut siku"s siku"siku iku orang" orang"ora orang ng mesi mesirr ku kuno no meng mengam ambi bill seut seutas as tali tali lalu lalu memb membua uatt '( sump sumpul ul pada pada tali tali ters terseb ebut ut.. Deng Dengan an mele meleta takk kkan an simp simpul ul ke ke"5 "5 pada pada sebu sebuah ah kayu kayu yang yang dita ditan! n!ap apka kan n di tana tanah, h, maka maka akan akan terb terben entu tuk k sebu sebuah ah sudu sudutt siku siku"s "sik iku. u. ernyata rnyata,, apa yang yang dilaku dilakukan kan oleh oleh orang" orang"ora orang ng mesir mesir kuno kuno itu sejala sejalan n dengan teorema pytagoras dengan panjang ), 4, 5, seperti yang di*akili oleh simpul"si simpul"simpul mpul tersebut. tersebut. Metode ini dipakai dipakai oleh orang"orang orang"orang mesir mesir kuno untuk menandai titik sudut siku"siku pada ladang mereka setiap tahun setelah banjir tahunan dari sungai +il.
Matematika 1: Dimensi Tiga__________________________ Tiga__________________________28
ara yang sama ternyata juga dilakukan para tukang bangunan untuk membuat sudut bangunannya membentuk sudut siku"siku. aranya mirip dengan apa yang dilakukan oleh orang"orang mesir kuno. Ambil seutas tali '(- !m. Beri tanda pada panjang ke )- !m, 4- !m, dan otomatis sisanya pasti 5- !m. Dengan meletakkan panjang ke 5- !m pada patok kayu yang akan diteliti, maka akan kelihatan apakah sudut yang dibuat siku"siku atau tidak. %emakin jelas bah*a geometri sangat dekat dengan kehidupan kita sehari" hari. #amu pasti tidak asing dengan benda"benda berbentuk balok, kubus, limas, dan lain sebagainya. Benda"benda tersebut adalah benda"benda dimensi tiga. #alau kamu amati lebih detail lagi, rumah tempat tinggalmu pasti terdiri dari bentuk"bentuk benda dimensi tiga tersebut. oba kamu sebutkan, bagian mana dari rumahmu yang berbentuk balok? #ubus? imas? %upaya proses belajar kita menjadi lebih mudah, !obalah #amu !ari satu benda di sekitarmu yang berbentuk balok, kubus, limas, prisma segi tiga/ %etelah kamu menemukan barang"barang tersebut, ja*ablah beberapa pertanyaan berikut ini0 '. Ada berapa sisinya? Bagimanakah bentuk sisinya? (. Ada berapa rusuknya? Bagaimanakah panjang masing"masing rusuknya? ). Ada berapa titik sudutnya? Berapa besar sudutnya? 4. Berapakah luas permukaannya? 5. Berapakah 1olumenya? 2. Apakah ada si$at"si$at istime*a yang ada pada barang"barang tersebut yang membedakan dengan barang"barang yang lainnya? oba ja*ab semua pertanyaan tersebut dan buatlah rangkuman ja*aban dalam bentuk table dengan $ormat berikut ini/ +3.
B+&# B+DA
' ( ) 4
Balok #ubus imas Prisma %egitiga
&MA6 %7%7
&MA6 8&%&#
&MA6 77# %&D&
&A% P8M&#AA+
93&M
%7:A"%7:A 7%7M;A
6.1. Unsur-unsur Ruang %emua benda yang kita jumpai dalam kehidupan sehari"hari dapat kita golongkan dalam benda"benda berdimensi tiga. Mengapa benda"benda tersebut dinamakan benda"benda berdimensi tiga? Benar, karena benda" benda tersebut memiliki tiga dimensi ukuran, yaitu0 panjang, lebar, tinggi. Matematika 1: Dimensi Tiga__________________________29
#alau suatu benda hanya memiliki dua dimensi ukuran, maka benda tersebut disebut benda berdimensi dua. Bidang berdimensi dua karena bidang memiliki dua ukuran, yaitu panjang dan lebar. Meski bidang memiliki dua ukuran, panjang dan lebar, bidang tidak memiliki luas. #ita pun juga tidak dapat menggambarkan bidang.
%ekadar untuk menambah in$ormasi saja, melalui tiga titik yang berbeda dapat dibuat sebuah bidang. Bingung? oba ambil tiga kelereng atau kalau tidak ada kelereng benda ke!il lain yang dapat dianggap me*akili tiga buah titik. etakkan tiga benda itu sembarang. #ita pasti dapat membuat bidang yang melalui ketiga titik tersebut. Bagimana jika salah satu atau salah dua dari titik"titik itu kita pindahkan? etap saja dapat dibuat sebuah bidang yang melalui ketiga titik tersebut. #alau sebagian atau seluruh titik kita angkat bagaimana? etap saja dapat dibuat sebuah bidang yang melaui ketiga titik tersebut. #amu tahu tripod? Berapa kaki tripod? Benar, ada tiga buah. ernyata ketika orang dulu men!iptakan tripod, inspirasinya diambil dari prinsip dalam geometri yang baru saja kita pelajari, melalui tiga titik yang berbeda dapat dibuat sebuah bidang. api, mengapa kaki tripod mesti tiga ya? ripod dibuat untuk landasan kamera dalam mengambil gambar. entu saja saat mengambil gambar dibutuhkan kestabilan. #arena kaki tripod tiga buah, dijamin tripod akan stabil atau tidak bergoyang. iga kaki yang terdapat pada tripod semuanya akan terletak pada bidang yang menjadi tumpuan tripod. &ntuk lebih jelasnya perhatikan $oto tripod berikut ini.
Matematika 1: Dimensi Tiga__________________________30
#ita sudah membahas bidang berdimensi dua. #alau suatu benda hanya memiliki satu ukuran panjang, maka benda tersebut disebut benda berdimensi satu. =aris adalah benda berdimensi satu, karena garis hanya memiliki satu ukuran panjang. %ama seperti pada bidang, kita tidak dapat menggambarkan sebuah garis.
%alah satu prinsip penting yang berkaitan dengan garis adalah >Melalui dua buah titik yang tidak berimpit dapat dibuat tepat sebuah garis. 3leh karena itu jangan bingung/ Beberapa buku sering menyebutkan garis AB atau garis P@, atau yang lainnya. Penyebutan garis dengan menggunakan garis AB atau garis P@ sejalan dengan prrinsip penting tadi, >melalui dua buah titik yang tidakberimpit dapat dibuat tepat sebuah garis. ika suatu garis dinyatakan dengan garis AB, maka !ontohnya seperti berikut ini
A
B
#ita tidak dapat menghitung panjang suatu garis karena garis tidak memiliki ujung. #amu tentu pernah mendengar istilah ruas garis dan sinar garis. Apa yang dimaksud dengan ruas garis dan sinar garis? Apa bedanya dengan garis? ika pada suatu garis diletakkan sebuah titik, misalnya titik A, maka garis tersebut terbagi menjadi dua bagian. +ah, masing"masing bagian tersebut disebut dengan sinar garis. itik A yang diletakkan pada garis tersebut disebut titik pangkal sinar garis. Dengan demikian sinar garis hanya memiliki sebuah titik pangkal dan tidak memiliki ujung, sehingga sinar garis tidak dapat diukur panjangnya.
A
B
ika pada suatu garis diletakkan dua buah titik, mislnta titik A dan B, maka garis tersebut akan terbagi menjadi tiga bagian, yaitu0 sinar garis yang berpangkal di A, sinar garis yang berpangkal di B, dan ruas garis AB. Dengan demikian ruas garis AB adalah bagian garis yag mempunyai batas di A dan B. #edua batas itu disebut ujung, atau pangkal dan ujung. #arena ruas garis mempunyai dua ujung, maka panjangnya dapat diukurtertentu.
Matematika 1: Dimensi Tiga__________________________31
A
B
itik adalah unsur ruang yang tidak memiliki bentuk dan tidak memiliki ukuran apapun. 3leh sebab itu titik disebut benda berdimensi nol. #arena titik adalah ide yang abstrak, kita tidak dapat menggambarkan titik.
A
6.2. Tempat Kedudukan #amu telah mempelajari unsur"unsur ruang0 titik, garis, dan bidang. ika kamu amat"amati, benda"benda disekitar kita tersusun dari unsur"unsur ruang tersebut dengan kedudukan tertentu. empat kedudukan tersebut akan dijelaskan lebih lanjut pada bagian di ba*ah ini.
6.2.1. Tempat Kedudukan Titik dengan Garis %ebuah titik dapat terletak pada garis atau di luar garis. Pada gambar berikut ini, titik A terletak pada garis h dan titik B di luar garis h.
B
• A
garis h
ika titik A terletak pada garis h, maka dapat dikatakan juga bah*a garis h melalui titik A atau titik A dilalui oleh garis h. ontoh Pada kubus ABD.:=6, AB adalah salah satu rusuk kubus. itik 6, =, di luar rusuk AB, dan titik A, dan B, terletak di rusuk AB.
Matematika 1: Dimensi Tiga__________________________32
6.2.2. Tempat kedudukan titik dengan bidang %ebuah titik dapat terletak pada bidang atau di luar bidang. Pada gambar berikut ini, titik A terletak pada bidang 9 dan titik B di luar bidang 9. B
A 9
ika titik A terletak pada bidang 9, maka dapat dikatakan juga bah*a bidang 9 melalui titik A atau titik A dilalui oleh bidang 9. ontoh Pada kubus ABD.:=6, ABD adalah salah satu sisi kubus. itik 6, =, di luar bidang ABD, dan titik B, , D terletak di bidang ABD.
6.2.3. Tempat kedudukan garis dengan garis empat kedudukan antara dua garis memiliki tiga kemungkinan, yaitu0 1. Dua Garis Berpotongan Dua buah garis g dan garis h berpotongan jika C' kedua garis tersebut terletak pada sebuah bidang, C( kedua garis tersebut memiliki sebuah titik persekutuan. itik persekutuan disebut juga dengan titik potong.
g h 9
2. Dua Garis Sejajar Dua buah garis g dan garis h sejajar jika C' kedua garis tersebut terletak pada sebuah bidang, C( kedua garis tersebut tidak memiliki sebuah titik persekutuan.
g h 9
Matematika 1: Dimensi Tiga__________________________33
3. Bersilangan Dua buah garis g dan garis h bersilangan jika C' kedua garis tersebut tidak terletak pada sebuah bidang, C( kedua garis tersebut tidak memiliki sebuah titik persekutuan.
g
h
ontoh Pada kubus ABD.:=60 = berpotongan dengan 6: D6 sejajar dengan = AB bersilangan dengan :=
6.2.. Tempat kedudukan garis dengan bidang empat kedudukan antara garis dengan bidang memiliki tiga kemungkinan, yaitu0 1. Garis terletak pada bidang =aris terletak pada bidang jika antara garis dan bidang tersebut terdapat sekurang"kurangnya dua titik persekutuan. Pada !ontoh berikut ini, garis h terletak pada bidang 9. ika garis h terletak pada bidang 9, maka dapat dikatakan juga bah*a garis h dilalui oleh bidang 9 atau bidang 9 melalui garis h.
h
9
Matematika 1: Dimensi Tiga__________________________34
2. Garis Berpotongan dengan bidang =aris memotong bidang jika antara garis dan bidang tersebut terdapat satu titik persekutuan. itik persekutuan tersebut disebut titik potong atau titik tembus. Pada !ontoh berikut ini, garis g memotong bidang & di titik A. itik A pada !ontoh disebut titik potong atau titik tembus. g
A & itik potong atau titik tembus
3. Garis Sejajar bidang =aris sejajar bidang jika antara garis dan bidang tidak mempunyai titik persekutuan. Pada !ontoh berikut ini, garis l sejajar bidang 9. l
9
ontoh Pada kubus ABD.:=60 BD terletak pada bidang ABD D6 memotong bidang A:=6 di titik 6. := sejajar bidan$ AD6
6.2.!. Tempat kedudukan bidang-dengan bidang empat kedudukan kemungkinan, yaitu0
antara
bidang
dengan
bidang
memiliki
dua
Bidang Berpotongan bidang Dua bidang berpotongan jika terdapat garis persekutuan antara kedua bidang tersebut. =aris persekutuan tersebut disebut juga garis potong antara kedua bidang. Pada gambar berikut bidang & berpotongan dengan bidang 9.
Matematika 1: Dimensi Tiga__________________________35
9
garis persekutuan
&
ika bidang & berpotongan dengan bidang 9, maka garis potong antara bidang & dengan bidang 9 ditulis garis C&,9. Dengan demikian garis C&,9 adalah tempat kedudukan semua titik persekutuan bidang & dengan bidang 9. Dua Bidang Sejajar Dua bidang sejajar jika antara kedua bidang tersebut tidak memiliki garis persekutuan. Pada gambar berikut ini, bidang & sejajar dengan bidang 9.
9
&
ontoh Pada kubus ABD.:=60 Bidang ABD berpotongan dengan bidang D6= di garis D Bidang B=: sejajar dengan bidang AD6.
"ati#an 1 '. Diketahui kubus ABD.:=6. %ebutkan0 a iga titik yang tdak terletak pada garis : b iga titik yang tidak terletak pada bidang BD6: ! iga garis yang sejajar bidang A= d iga garis yang memotong bidang BD6: dan sebutkan titik potongnya. Matematika 1: Dimensi Tiga__________________________36
e iga bidang yang berpotongan dengan bidang B=: dan sebutkan garis potongnya. $ iga bidang yang sejajar bidang AB: (. Diketahui kubus ABD.:=6. 7silah titik"titik di ba*ah ini dengan kata SEJAJAR; BERP!"GA"# atau BERS$%A"GA" . a =aris AB EEEEEEEEEEEEE garis B b =aris AD EEEEEEEEEEEEE garis 6 ! =aris AD EEEEEEEEEEEEE garis : d =aris B EEEEEEEEEEEEE garis =6 e =aris : EEEEEEEEEEEEE garis = $ =aris A EEEEEEEEEEEEE garis BD g =aris :6 EEEEEEEEEEEEE garis A h =aris A= EEEEEEEEEEEEE garis BD i =aris D: EEEEEEEEEEEEE garis = j =aris B= EEEEEEEEEEEEE garis D6
6.3. $r%&eksi Titik dan Garis pada Bidang Pernahkah kamu melihat seorang tukang bangunan membuat sebuah garis yang tegak lurus dengan bidang di ba*ahnya? ernyata sangat sederhana. ukang tersebut mengambil tali sipat Ckamu tahukan tali sipat?, lalu menggantungkan tali sipat pada titik di atas bidang yang akan dibuat garis tegak lurus dengan bidang. itik pada bidang yang bersenggungan dengan tali sipat itulah yang jika dihubungkan dengan titik di atasnya akan menghasilkan garis yang tegak lurus dengan bidang. e*at penggunaan tali sipat kita bisa mengetahui suatu garis yang tegak lurus dengan bidang. Permasalahannya, apakah yang dimaksud dengan garis tegak lurus bidang? Mengapa tukang bangunan yakin bah*a dengan menggunakan tali sipat dapat diperoleh garis yang tegak lurus dengan bidang? &ntuk menja*ab permasalahan tersebut, perhatikan pengertian berikut ini. Garis g tegak lurus bidang & bila dan 'an(a bila garis g tegak lurus dengan se)ua garis (ang terdapat pada bidang &. Pengertian ini masih sangat umum dan dengan akal kita yang terbatas rasa"rasanya kok kita tidak mungkin membuat garis tegak lurus bidang. Bukankah garis yang terdapat pada bidang ada banyak tak berhingga. elas kita tidak mungkin menda$tar semua garis yang terdapat pada suatu bidang. +ah, supaya pengertian garis tegak lurus bidang menjadi lebih operasional, maka diturunkan si$at"si$at sebagai berikut0 '. garis g tegak lurus bidang 9 bila dan hanya bila garis g tegak lurus dengan dua garis berpotongan yang terletak di bidang 9. (. garis g tegak lurus bidang 9 bila dan hanya bila garis g tegak lurus dengandua garis sejajar yang terletak pada bidang 9.
Matematika 1: Dimensi Tiga__________________________37
). garis g tegak lurus bidang 9 bila dan hanya bila garis g tegak lurus dengan sebuah garis yang terletak pada bidang 9 dan garis tersebut tidak melalui titik tembus garis g dengan bidang 9. &ntuk lebih memperjelas pengertian"pengertian di atas, perhatikan !ontoh berikut ini. Perhatikan kubus ABD.:=6. =aris = tegaklurus bidang ABD sebab0 '. =aris = tegak lurus dengan garis B dan D dan kita tahu bah*a garis B dan D berpotongan di titik dan kedua garis tersebut semuanya terletak di bidang ABD. (. =aris = tegak lurus garis B dan AD dan kita tahu bah*a garis B dan AD dua garis yang sejajar dan kedua garis tersebut semuanya terletak di bidang ABD. ). =aris = tegak lurus garis AD dan kita tahu bah*a garis AD tidak melalui titik tembus garis = dengan bidang ABD dan garis AD terletak di bidang ABD. #embali ke penggunaan tali sipat untuk membuat garis yang tegak lurus dengan bidang, tukang bangunan tersebut sebenarnya telah mempraktikkan pengetahuan tentang proyeksi titik ke bidang. #ok bisa ya? &ntuk lebih jelasnya perhatikan beberapa de$inisi berikut ini. De$inisi0 ika dari titik ditarik garis ’ C’ pada garis g sedemikian sehingga ’ tegak lurus dengan garis g, maka ’ disebut proyeksi titik pada garis g. Perhatikan gambar berikut ini/
’
g
Pada gambar di atas0 disebut titik yang diproyeksikan ’ disebut proyeksi ’ disebut garis pembuat proyeksi Cproyektor =aris g disebut garis proyeksi.
De$inisi0 ika dari titik ditarik garis ’ C’ pada bidang 9 sedemikian sehingga ’ tegak lurus dengan bidang 9, maka ’ disebut proyeksi titik pada bidang 9. Perhatikan gambar berikut ini/
Matematika 1: Dimensi Tiga__________________________38
’
9
Pada gambar di atas0 disebut titik yang diproyeksikan ’ disebut proyeksi ’ disebut garis pembuat proyeksi Cproyektor Bidang 9 disebut bidang proyeksi.
#arena ’ tegak lurus dengan bidang 9, maka proyeksi ini disebut proyeksi ortogonal. Pada pembahasan di atas diandaikan titik di luar bidang 9. Bagaimana proyeksi titik pada bidang 9 jika titik terletak pada bidang 9? entu saja ja*abnya sederhana, proyeksi titik yang terletak pada bidang 9 tidak lain ya titik itu sendiri. Bagaimana jika suatu garis diproyeksikan pada suatu bidang? Andaikan kita mempunyai garis AB dan bidang &. Andaikan garis AB sejajar dengan bidang &. Proyeksi garis AB pada bidang & diperoleh dengan !ara menentukan dua buah titik sembarang pada garis AB dan memproyeksikan kedua titik tersebut pada bidang &. Misalkan kita memilih titik P dan @ pada garis AB serta P’ dan @’ berturut"turut adalah proyeksi titik P dan @ pada bidang &. Proyeksi garis AB pada bidang & adalah garis yang diperoleh dengan menghubungkan titik P’ dan @’. #arena P’ dan @’ terletak pada bidang &, maka garis P’@’ pasti terletak pada bidang &. Apakah garis AB juga sejajar dengan garis P’@’? oba kamu diskusikan pertanyaan ini dengan teman sebangkumu/ @
g
P
P’
@’
&
ika garis AB memotong bidang & dan garis AB tegak lurus dengan bidang &, maka proyeksi garis AB pada bidang 9 akan berupa titik. Matematika 1: Dimensi Tiga__________________________39
g
&
ika garis AB memotong bidang & di titik A dan garis AB tidak tegak lurus dengan bidang &, maka proyeksi garis AB pada bidang & diperoleh dengan menentukan sembarang titik pada garis AB, misalkan titik P lalu memproyeksikan titik P tersebut ke bidang &. ika P’ adalah proyeksi titik P pada bidang &, maka proyeksi garis AB pada bidang & adalah garis yang diperoleh dengan menghubungkan titik P’ dan A. Dengan demikian proyeksi garis AB pada bidang & adalah garis P’A. g P
A P’ &
"ati#an 2 '. Diketahui kubus ABD.:=6. entukanlah proyeksi0 itik A pada garis B itik B pada garis :6 itik pada garis BD itik A pada bidang B=: itik B pada bidang A= itik pada bidang AB6 =aris AB pada bidang D6=
Matematika 1: Dimensi Tiga__________________________40
=aris BD pada bidang AD6 =aris = pada bidang A:6 (. Diketahui balok ABD.:=6. entukanlah proyeksi0 itik A pada garis B itik B pada garis :6 itik pada garis BD itik A pada bidang B=: itik B pada bidang A= itik pada bidang AB6 =aris AB pada bidang D6= =aris BD pada bidang AD6 =aris = pada bidang A:6
). Diketahui limas segi empat beraturan P.8%&. entukanlah proyeksi0 itik P pada garis 8% itik P pada garis %& itik P pada bidang 8%& =aris P8 pada bidang 8%& =aris P8 pada bidang P%
4. ika proyeksi dua garis g dan h pada suatu bidang adalah sejajar, maka dapat terjadi bah*a garis g dan h tidak sejajar. unjukkan kebenaran pernyataan tersebut dengan menggunakan garis"garis yang terdapat pada kubus ABD.:=6/
6.. 'arak Dalam kehidupan sehari"hari kita sering membi!arakan jarak. ika kita bepergian dari suatu tempat ke tempat lain, dikatakan kita teleh menempuh jarak tertentu. Atau, jika ada balapan, entah :"' atau Motogp, dikatakan para pembalab tersebut harus menempuh jarak tertentu sampai mereka dapat dikatakan $inish. Apakah yang dimaksud dengan jarak? Benarkah konsep yang sering kita pakai untuk menentukan panjang lintasan yang kita tempuh pada *aktu bepergian atau panjang lintasan yang ditempuh para pembalap dengan istilah jarak? &ntuk dapat menja*ab pertanyaan tersebut, perhatikan de$inisi berikut ini0 De$inisi0 arak dua buah bangun adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan kedua bangun tersebut. Menga!u pada de$inisi di atas, jarak adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan dua buah bangun. #arena jarak dide$inisikan sebagai ruas Matematika 1: Dimensi Tiga__________________________41
garis, tentunya jarak berupa lintasan yang lurus, tidak berkelak"kelok. +ah, setelah kamu mengerti de$inisi jarak, mestinya kamu sudah dapat menja*ab pertanyaan di atas. %ebagai selingan saja, dari pelajaran $isika kamu tahu bah*a ke!epatan !ahaya dalam ruang hampa kira"kira )--.--- kmdetik. Dengan demikian jarak yang ditempuh !ahaya selama satu tahun lebih kurang '-.---.---.---.--- km. arak sebesar inilah yang disebut dengan >satu tahun !ahaya, yang kemudian sering dipakai orang untuk menyebutkan jarak antara dua benda yang memang sangat berjauhan seperti jarak matahari dengan planet pluto, atau jarak bumi dengan planet merkurius. 7ngat, kita dapat menggunakan istilah jarak pada >satu tahun !ahaya karena lintasan yang dibuat oleh !ahaya pastilah berupa lintasan yang lurus. 3ya, masih ada satuan jarak yang lain, yaitu satuan jarak astronomis C%A. %atuan arak Astronomis yaitu jarak antara bumi dengan matahari sebesar 5-- detik !ahaya. 7ni berarti kalau kita menyoroti matahari dari tempat kita berpijak dengan menggunakan sinar laser, maka sinar laser baru sampai ke matahari 5-- detik kemudian. uar biasa jauhnya ya.. 7tu baru jarak dari bumi ke matahari. Berapakah jarak dari planet Pluto dengan Matahari? Pasti berlipat"lipat kali dari jarak bumi ke matahari. Memang tata surya sungguh mengagumkan. Maha Besar Allah dengan segala !iptaan"+ya.. ukup ya, selingannya. +ah, kita sudah membahas unsur"unsur ruang yang terdiri dari titik, garis dan bidang. #ita juga sudah membahas tempat kedudukan dari satu unsur ruang ke unsur ruang yang lain. ika satu unsur ruang tidak terletak pada unsur ruang yang lain, pasti ada jarak antara kedua unsur ruang tersebut. Bagaimana men!ari jarak tersebut? &ntuk lebih jelasnya perhatikan beberapa pengertian berikut ini/
6..1. 'arak titik dengan titik arak titik A dengan titik B adalah panjang ruas garis AB. 5arak titik A dengan titik B A
B
ontoh0 Pada kubus ABD.:=6 dengan panjang rusuk 4 !m, jarak antara titik dengan titik B adalah 4 ( !m
Matematika 1: Dimensi Tiga__________________________42
6..2. 'arak titik dengan garis (titik di )uar garis* arak titik A dengan garis g Ctitik A di luar garis g adalah panjang ruas garis AA’ dengan A’ proyeksi titik A pada garis g. A
A’
g
ontoh0 Pada kubus ABD.:=6 dengan panjang rusuk 4 !m, jarak antara titik dengan garis BD adalah 2 ( !m
6..3. 'arak titik dengan bidang (titik di )uar bidang* arak titik A dengan bidang 9 Ctitik A di luar bidang 9 adalah panjang ruas garis AA’ dengan A’ proyeksi titik A pada bidang 9. A
A’ 9
ontoh0 Pada kubus ABD.:=6 dengan panjang rusuk 4 !m, jarak antara titik dengan bidang BD6: adalah ( ( !m
6... 'arak dua garis se+a+ar arak garis g dengan garis h Cgaris g sejajar garis h adalah panjang ruas garis AA’ dengan A adalah sembarang titik pada garis g dan titik A’ adalah proyeksi titik A pada garis h.
Matematika 1: Dimensi Tiga__________________________43
A
g
h
A’
ontoh0 Pada kubus ABD.:=6 dengan panjang rusuk 4 !m, jarak antara garis 6: dengan gari BD adalah 4 !m
6..!. 'arak garis dan bidang &ang se+a+ar arak garis g dengan bidang 9 Cgaris g sejajar bidang 9 adalah panjang ruas garis AA’ dengan A adalah sembarang titik pada garis g dan titik A’ adalah proyeksi titik A pada bidang 9. A
g
A’ 9
ontoh0 Pada kubus ABD.:=6 dengan panjang rusuk 4 !m, jarak antara garis : dengan bidang AD6 adalah 4 !m
6..6. 'arak bidang dan bidang &ang se+a+ar arak bidang & dengan bidang 9 Cbidang & sejajar bidang 9 adalah panjang ruas garis AA’ dengan A adalah sembarang titik pada bidang & dan titik A’ adalah proyeksi titik A pada bidang 9. A &
9
A’
ontoh0 Matematika 1: Dimensi Tiga__________________________44
Pada kubus ABD.:=6 dengan panjang rusuk 4 !m, jarak antara bidang AD6 dengan bidang B=: adalah 4 !m
"ati#an 3 '. Diketahui kubus ABD.:=6 dengan panjang rusuk '- !m. 6itunglah jarak antara0 a itik A dengan titik B b itik A dengan titik = ! itik dengan garis AD d itik dengan garis : e itik = dengan garis BD $ itik 6 dengan bidang A= g itik A dengan bidang BD h =aris BD dengan garis :6 i =aris D6 dengan bidang A= j Bidang Abd dengan bidang :=6 k Bidang BD dengan bidang :6 (. Diketahui balok ABD.:=6 dengan panjang '- !m, lebar F !m, dan tinggi 2 !m. 6itunglah jarak antara0 a itik A dengan titik B b itik A dengan titik = ! itik dengan garis AD d itik dengan garis : e itik = dengan garis BD $ itik 6 dengan bidang A= g itik A dengan bidang BD h =aris BD dengan garis :6 i =aris D6 dengan bidang A= j Bidang ABD dengan bidang :=6 k Bidang BD dengan bidang :6 ). Diketahui bidang empat beraturan .AB dengan panjang rusuk p !m. 6itunglah jarak antara0 a itik dengan garis AB b itik dengan bidang AB 4. Diketahui kubus ABD.:=6 dengan panjang rusuk a !m. itik P dan @ berturut"turut terletak di pertengahan BD dan 6:. 6itunglah jarak0 a itik A dengan titik @ b =aris P dengan garis @ ! itik P dengan bidang :6
Matematika 1: Dimensi Tiga__________________________45
5. Diketahui kubus ABD.:=6 dengan panjang rusuk p !m. Buktikan bah*a jarak titik A ke bidang BD adalah
' p ) !m. )
2. Diketahui kubus ABD.:=6 dengan panjang rusuk p !m. Buktikan bah*a jarak titik A ke bidang :6 adalah
( )
p ) !m.
6.!. ,udut #onsep tentang sudut banyak digunakan dalam kehidupan sehari"hari. idak usah jauh"jauh. oba perhatikan rumah tempat kamu tinggal. Di sana banyak bagian ruamh yang membentuk sudut. Ada sudut antara kayu yang satu dengan kayu yang lain. %udut antara kayu dengan dinding tembok, atau sudut antara tembok dengan tembok. %eorang arsitek akan dengan sangat mudah mengukur besar sudut pada bagian"bagian rumah. etapi kamu tidak perlu kuatir. #amu tidak perlu menjadi seorang arsitek dulu supaya dapat mengukur besar sudut antar bagian"bagian rumahmu. idak per!aya? oba kamu pelajari bagian ini/
6.!.1. ,udut antara dua garis bersi)angan #amu sudah tahu pengertian dua garis bersilangan. Dari dua garis bersilangan ternyata dapat dihitung besar sudutnya. Bagaimanakah !aranya menghitung besar sudut dua buah garis yang bersilangan? De$inisi berikut ini akan memberikan gambaran tentang !ara menghitung besar sudut dua garis bersilangan. De$inisi0 %udut antara dua garis bersilangan g dan h adalah sudut lan!ip yang diperoleh jika dari sebarang titik ditarik garis g ' yang sejajar g dan garis h' yang sejajar h. %udut antara dua garis g dan h yang bersilangan Catau berpotongan dinotasikan dengan ∠ Cg,h g
h h’
9 Cg,hD
Perhatikan gambar di atas. &ntuk menentukan sudut dua garis bersilangan, kita dapat menggunakan ide bah*a besar sudut tidak berubah oleh Matematika 1: Dimensi Tiga__________________________46
penggeseran. Besar ∠ Cg,h G ∠ Cg', h' G α dengan g' adalah garis melalui sebarang titik dan sejajar garis g serta h ' garis melalui titik yang sejajar garis h. ika titik terletak pada garis g atau garis h, maka ∠ Cg,h G ∠ Cg', h G ∠ Cg, h' G α. ontoh, perhatikan kubus ABD.:=6. B dengan D= adalah dua garis bersilangan. Berapakah besar sudut garis B dengan D=? &ntuk dapat menja*ab pertanyaan tersebut, kita dapat menggunakan ide semula, besar sudut tidak berubah oleh penggeseran. ∠ CB,D= dapat dihitung besarnya dengan menggeser B ke :=. Dengan demikian ∠ CB,D= G ∠ C:=,D= G 45°. Apakah ada garis lain yang dapat dipakai untuk menggantikan B dan D=? Berikan alasan atas ja*aban yang kamu berikan/
6.!.2. ,udut antara garis dengan bidang De$inisi0 ika garis g tidak tegak lurus dengan bidang 9, maka sudut antara garis g dengan bidang 9 adalah sudut lan!ip yang dibentuk oleh garis g dengan proyeksi garis g pada bidang 9. %udut antara garis g yang berpotongan dengan bidang 9 dinotasikan dengan ∠ Cg, bidang 9. Perhatikan gambar berikut ini/ g A
B 9
A’ Cg,bidang 1D
=aris g memotong bidang 9 di titik P. Misalkan titik @ adalah sembarang titik pada garis g dan @’ adalah proyeksi titik @ di bidang 9. ika kita menghubungkan titik P ke titik @’, maka akan diperoleh garis P@’. entu saja garis P@’ terletak di bidang 9. &ntuk memudahkan sebut saja garis P@’ dengan garis h. +ah, besar sudut antara garis g dengan bidang 9 sama dengan besar sudut antara garis g dengan garis h. Dalam bentuk notasi ∠Cg, bidang 9 G ∠Cg, h G θ° dengan - < θ < H-. Matematika 1: Dimensi Tiga__________________________47
ontoh0 Diketahui kubus ABD.:=6 dengan panjang rusuk 4 !m. 6itunglah !os ∠A=, bidang ABD.
a*ab0 !os ∠A=, bidang ABD G !os ∠CA=, A. Mengapa? Panjang A= G 4 ) !m dan panjang A G 4 !os ∠CA=, AD
=
4 ( 4 )
=
( )
=
' )
(
!m. Dengan demikian
2
6.!.3. ,udut antara dua bidang Perhatikan susunan dinding rumah tempat tinggalmu/ Pasti ada dua dinding yang berpotongan membentuk garis. ika dua dinding saling berpotongan, maka antara kedua dinding tersebut memiliki sudut dengan besar tertentu. Bagaimana !ara menghitung besar sudut antara dua bidang yang saling berpotongan? De$inisi berikut ini akan membantumu dalam menghitung besar sudut dua bidang yang berpotongan. De$inisi0 %udut antara dua bidang yang berpotongan adalah sudut yang terbentuk oleh dua garis pada masing"masing bidang tadi di mana setiap garis itu tegak lurus pada garis potong kedua bidang tersebut di satu titik.
P
g
&
@
9 Cbidang &, bidang 9D
Perhatikan gambar di atas/ erdapat dua buah bidang yaitu bidang & dan bidang 9 yang berpotongan pada garis g. %udut antara bidang & dengan Matematika 1: Dimensi Tiga__________________________48
bidang 9 yang dinotasikan dengan ∠ Cbidang &, bidang 9 dapat dihitung dengan menggunakan langkah"langkah0
'. entukan sebarang titik pada garis g, misal kita tentukan titik . itik ini disebut juga titik tumpuan. (. Pada bidang & buat garis melalui titik yang tegak lurus garis g, misal kita buat garis P. ). Pada bidang 9 buat garis melalui titik yang tegak lurus garis g, misal kita buat garis @. 4. Besar ∠ Cbidang &, bidang 9 G ∠ CP, @ ontoh0 Diketahui kubus ABD.:=6 dengan panjang rusuk 4 !m. 6itunglah besar sudut antara bidang AB: dengan bidang A=/ a*ab0 Bidang AB: dan bidang A= berpotongan pada garis A. &ntuk meudahkan perhitungan, kita pilih titik tumpuan A. Mengapa? =aris pada bidang AB: yang melalui A dan tegak lurus A adalah AB dan garis pada bidang A= yang melalui A dan tegak lurus A adalah A. Dengan demikian ∠ Cbidang AB:, bidang A= G ∠ CAB, A. Berapa besarnya? Benar, 45 °. adi ∠ Cbidang AB:, bidang A= G ∠ CAB, AG 45°.
"ati#an '. Diketahui kubus ABD.:=6. entukan besar sudut antara0 a AB dan = b A dan BD ! B= dan AD d AD dan := e A dan B= $ B= dan D6 g := dan A6 h B dan A= i BD dan (. Diketahui kubus ABD.:=6 dengan panjang rusuk 4 !m. itik P adalah titik tengah AB. 6itunglah0 a Panjang 6P b os ∠ CAD, 6P ! an ∠ C:, =P
Matematika 1: Dimensi Tiga__________________________49
). Diketahui balok ABD.:=6 dengan panjang F !m, lebar 2 !m, dan tinggi '- !m. 6itunglah !os ∠ CA6, B=/ 4. Diketahui kubus ABD.:=6. 6itunglah sin ∠ C=, bidang :6/ 5. Diketahui balok ABD.:=6 dengan panjang '- !m, lebar 2 !m, dan tinggi F !m. 6itunglah !os ∠ CA=, bidang ABD/ 2. Diketahui bidang empat beraturan .AB dengan panjang rusuk 2 !m. 6itunglah tan ∠ CA, bidang AB/ I. Diketahui kubus ABD.:=6. 6itunglah a os ∠ Cbidang AB:, bidang AB=6 b an ∠ Cbidang BD6:, bidang :6 ! %in ∠ C bidang BD, bidang ABD d os ∠ Cbidang BD6:, bidang BD= F. Diketahui bidang empat beraturan dengan panjang rusuk 4 !m. 6itunglah a %in ∠ Cbidang B, bidang AB b os ∠ Cbidang A, bidang B H. Diketahui limas segi empat beraturan .ABD dengan panjang A G ') !m dan AD G '- !m.6itunglah besar sudut antara bidang AD dengan bidang ABD/ '-.Diketahui limas segi empat beraturan .ABD. itik ’ adalah proyeksi titik pun!ak pada bidang alas ABD. Diketahui pula panjang AB G '( !m dan ’ G 2 ) !m. 6itunglah besar sudut antara0 a Bidang A dan bidang ABD b Bidang A dan BD ! Bidang AD dan bidang B.
Matematika 1: Dimensi Tiga__________________________50
