diseño de columnas cortas

DISEÑO DE COLUMNAS BIAXIALES ESTRUCTURAS ESTRUCTUR AS DE HORMIGÓN 2 ______ ________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ___

9.5

Diseño de columnas biaxiales

9.5.1 Introducción El procedimiento de diseño explicado en el numeral anterior se puede ampliar para cubrir el caso general de flexión en los dos ejes principales de una columna, figura 9.60.

My

Dy

X

Dx Figura 9.60 sección de columna sometida sometida a flexión biaxial Esta situación no es excepcional excepcional en el diseño y se presenta frecuentemente frecuentemente en todos los cálculos estructurales. La figura 9.61 muestra la planta de una edificación de hormigón armado y la presencia de columnas uniaxiales y biaxiales. 7.5 m

8.0 m

7.5 m

A 3.5 3.5

B 3.5 3.5

C 1

2

3

4

Figura 9.61 Planta de una edificación de varios pisos

119 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

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DISEÑO DE COLUMNAS BIAXIALES ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________

Las columnas A1, A4, B1, B4, C1 y C4 reciben flexión por los dos ejes principales mientras que las otras están sometidas a flexión uniaxial. El problema ahora es determinar la capacidad de carga axial de una columna biaxial utilizando las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad tal como se solucionaron las columnas a flexión simple. La figura 9.58.a muestra la capacidad resistente de una columna sometida a flexión simple según el eje Y con el eje neutro paralelo a este eje y la carga axial equivalente esta localizada a una excentricidad de “ e x “. La figura 9.62.b muestra la misma situación pero la flexión en el eje X, el eje neutro ahora es paralelo a este eje y la excentricidad de la carga axial es “ e y “. Se puede observar como el diagrama de interacción en ambos casos es ortogonal y su elaboración fue tema de la sección anterior. La figura 9.62.c muestra la columna sometida a flexión biaxial con una nueva característica y es que el eje neutro ya no es paralelo a ningún eje principal y forma un ángulo “ è “ con el eje X. X

X

P

è

ey

ey

Pn ex

ex

Y

Y

Pn

Pn

Pn

Mn

Mny Mnx

Mnx

ë

Mnx

a) Uniaxial en Y

b) Uniaxial en X

c) Biaxial

Figura 9.62 Posición del eje neutro y comportamiento de columnas El ángulo “ ë “ esta definido como la inclinación de la excentricidad resultante en columnas biaxiales y se determina de la figura 9.62.c. Este ángulo origina un plano que representa la resistencia de la columna a flexión y compresión.



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λ

  M ny  −1    = tan −1 e x  = tan   e M  nx    y 

( 9.24 )

Para cada valor de “ ë “ se tiene un diagrama de interacción de la columna o en forma similar para cada combinación de valores “ M nx, Mny y P n “ se obtiene una superficie resistente de la columna con una inclinación “ ë “. Para diferentes valo res de “ ë “ se obtienen una familia de curvas como se indica en la figura 9.63. Cualquier punto de coordenadas “ Mnx, Mny y P n “ que se encuentre dentro de la curva es una combinación segura mientras que si esta por fuera podría representar el agotamiento de la columna. Pn

M ny

M nx

Figura 9.63 Diagramas de interacción de columnas biaxiales según “ ë “. La construcción de un diagrama de interacción para una columna biaxial se puede enfocar como una extrapolación del diagrama uniaxial. En la figura 9.62 para un determinado valor de “ è “ se pueden realizar varios c álculos asumiendo diferentes profundidades del eje neutro como se muestra en la figura 9.64. Utilizando las ecuaciones de compatibilidad y equilibrio se obtiene la capacidad resistente de la columna es decir el juego de valores “ Mnx, Mny, Pn “ que representa un punto del diagrama correspondiente. Repitiendo los cálculos con diferentes valores de “ è “ y diferentes profundidades del eje neutro se obtienen los puntos suficientes para dibujar la superficie de interacción de una columnas biaxial. La zona a compresión del hormigón puede tomar la forma trapezoidal o triangular como se muestra en la figura 9.64 generando complicaciones de calculo que pueden ser incorporadas sin mucha complejidad en los algoritmos de trabajo, en general a diferencia del caso uniaxial en este cada barra de refuerzo tiene su propia deformación lo que amplia mas el numero de operaciones matemáticas. La principal dificultad es que el eje neutro no es perpenticular a la línea que une el centro de gravedad de la columna con el punto donde actúa la carga 121 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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“ Pn “. Solo en casos muy especiales y dependiendo de la relación “ Mny / Mnx “ se presenta esta situación. El resultado es que para diferentes valores de “ c “ y para cualquier ángulo “ è “ el valor de “ ë “ variara.

è

Figura 9.64 Posiciones del eje neutro y superficie a compresión En la practica se conocen los valores de momentos y cargas mayorados obtenidos del análisis estructural de la edificación; esto significa que se tiene el ángulo “ ë “, por tanto para determinar la cuantía del refuerzo solo se requiere conocer la curva de interacción y verificar la capacidad de la columna. Un método por computador facilita las tareas operativas sin embargo el uso de métodos rápidos alternativos es ideal cuando se requieren realizar revisiones de un diseño especifico de una columna. 9.5.2 Métodos para diseñar columnas biaxiales Se conocen varios procedimientos para realizar el diseño de una columna biaxial: a) Con el uso de enfoques aproximados de diseño, siendo este el mas adecuado para realizar cálculos manuales. b) Con el uso directo de las ecuaciones de compatibilidad. Este es el mejor pero su aplicación manual esta restringida por la gran cantidad de cálculos requeridos que solo se pueden realizar con la ayuda del computador; c) Utilizando los diagramas de interacción. Este método es rápido pero requiere conocer el diagrama de cada columna a diseñar y esto generalmente no esta disponible por la gran cantidad de variables que intervienen en el problema. d) Utilizando gráficos aproximados de diseño ( Weber, Park y Paulay). 9.5.2.1 Métodos aproximados de diseño De estos métodos se conocen tres alternativas de trabajo: a) los que utilizan el principio de superposición, b) los que convierten el problema en uno uniaxial equivalente y c) los que utilizan superficies aproximadas de interacción. §

Principio de superposición. Se han realizado varios intentos con resultados unas

veces desfavorables y otras excesivamente conservadores. A manera de ilustración se presentaran aquí como un ejemplo a no imitar ya que los 122 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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resultados son diseños inadecuados. Una primera forma de resolver el problema es diseñar la columna como si fueran dos uniaxiales y luego superponer el refuerzo obtenido. Otra es trazar una recta cualquiera por el punto donde esta aplicada la carga y generar con ello dos columnas uniaxiales que se resuelven como se explico en el capitulo anterior para sumar luego los refuerzos. Otra forma es que la carga axial “ Pu “ se reemplaza por dos cargas uniaxiales equivalentes localizadas en los ejes “ X, Y “ determinando el refuerzo para cada carga y luego sumándolo. Se requiere diseñar una columna rectangular sometida a las siguientes cargas mayoradas: Pu = 970 kN, Mux = 240 kN.m, Muy = 460 kN.m. Utilizar un hormigón de fć = 28 MPa y un acero de fy = 420 MPa. Ejemplo 9.13

Solución: Se determinan inicialmente las excentricidades en cada dirección:

e x

=

460 = 0.47m 970

e y

=

240 = 0.25m 970

Ya que e x > e y en mas de un 20% se recomienda usar columna rectangular en donde la dimensión según el eje X debe ser mayor. Después de varios ensayos se llega a unas dimensiones de Dx = 600 mm y Dy = 400 mm. Y

D = 400 mm

X

Dx = 600 mm

Figura 9.65 Sección de columna del ejemplo 9.13 Se asume un valor d´= 55 mm => ãy= ( 400 – 110) / 400 = 0.725

ã x = ( 600 – 110) / 600 = 0.82

Utilizando las figuras 9.58 y 9.59 con “ Pu / (Ag.fć ) = 0.14 “ y con “ Mux / (Ag.Dy.fć) = 0.09 “ y “ Muy / ( Ag.Dx.fć ) = 0.11 ” se obtiene: Para: R 28.420:60

è( 0.09, 0.14 ) => ñ = 0.011

=> ñ = 0.010 ( interpolación lineal ). Para: R 28.420:75

è( 0.09, 0.14 ) => ñ = 0.009

Para R 28.420:75

è( 0.11, 0.14 ) => ñ = 0.013

Para R 28.420:90

è( 0.11, 0.14 ) => ñ = 0.010

=> ñ = 0.012 ( interpolación lineal ).



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Área de acero en X => As = 0.012 x 600 x 400 = 2880 mm 2 ó 6 # 8 Área de acero en Y => As = 0.010 x 600 x 400 = 2400 mm 2 ó4 # 8 + 2 # 6 Ast= 6 # 8 + 2 # 6 = 3622 mm 2 ñ = 0.015 400 mm

600 mm

Figura 9.66 Sección y refuerzo de columna del ejemplo 9.13 Al revisar esta columna se encuentra que es insegura con una capacidad de carga axial muy inferior a la exigida por la cargas externas. b) utilizando el método de la recta que pasa por “ Pu “=> Y

Puy

A Pu = 970 kN ex= 0.47 ey= 0.25

á

400 mm

B

X

Pux

600 mm

Figura 9.67 Columna biaxial por superposición Dibujando a escala una recta AB que pasa por “ Pu = 970 kN “ => se obtienen por ejemplo el siguiente par de puntos: “ ex = 0.82 “ y “ e y = 0.59 “ para unas cargas axiales de: P uy = 240 / 0.59 = 407 kN y P ux = 460 / 0.82 = 561 kN. Y se diseña la columna como si fueran dos uniaxiales. Sea d´= 50 mm => ã = 0.75 y el grafico es: R28.420:75. Para Puy= 407 kN y e y = 0.59 => ñ = 0.013 Para Pux= 561 kN y e x = 0.82 => ñ = 0.018 124 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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El refuerzo de la columna es ñ = 0.018 + 0.013 = 0.031 ó Ast = 7440 mm 2 => Usar 6# 11 + 4 # 9 ( Ast = 8616 mm 2). Al revisar esta columna se encuentra que su capacidad es adecuada respecto a las exigencias pedidas por las cargas externas. §

Método de la excentricidad uniaxial equivalente . Este es el preferido por su

rapidez y facilidad en el manejo y porque los resultados se ajustan bien al compararlo con métodos mas elaborados. Consiste en convertir el problema biaxial en uno uniaxial hallando para ello una excentricidad ficticia “ e f “ equivalente y resolviendo con ello una columna uniaxial. La expresión que convierte el problema biaxial en uno uniaxial se aplica dependiendo de la relación entre excentricidades en la columna, ecuaciones 9.25 y 9.26. Cuando

Cuando

e y e x e y e x

Dy

≥ Dy

e f

= e y + β .e x .

( 9.25 )

< Dy

e f

= e x + β .e y . Dx

( 9.26 )

Dx

Dx

Dx

Dy

En donde “ â “ es un coeficiente que depende del nivel de carga axial que actúa en la columna y se obtiene de la tabla 9.6 por interpolación lineal. Tabla 9.6 Valores del coeficiente â en el diseño de columnas biaxiales Pu / (Ag.fć) â

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 0.6 0.7 0.8 0.9 0.9 0.8 0.7 0.6 0.6 0.6 0.5 0.5 0.4

Resolver el problema 9.13 utilizando el método de la excentricidad uniaxial equivalente. Ejemplo 9.14

Solución: Se asumirán las mismas dimensiones obtenidas en el

e y e x

= 0.25 = 0.53

Dy

0.47

Dx

P u A g × f ć

e f

=

. = 400 = 067 600

970000 = 0.144 400 × 600 × 28

= 0.47 + 0.744 × 0.25 ×

è

è

ejemplo anterior => e y e x

β

< Dy ⇒ Ecuación 9.26 Dx

= 0.744

600 = 0.75 => Mu f = 970 x 0.75 = 728 kN.m 400



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Ya que la excentricidad ficticia es en dirección “ X “ => la columna uniaxial equivalente tiene un “ h = 600 mm “ y “ b = 400 mm “ . Si d´= 75 mm ( para que ã = 0.75 ) se obtiene de R28.420:75 el siguiente refuerzo: Pu / ( Ag. fć ) = 0.144

Mu / ( Ag.h.fć) = 0.180 => ñ = 0.040

=> Ast = 9600 mm 2 ó 12 # 10 ( A st = 9828 mm 2). Y

# 3 @ 400 mm

12 # 10

400 mm

X

600 mm

Figura 9.68 Sección de columna del ejemplo 9.14 Diseñar una columna rectangular sometida a las siguientes acciones externas mayoradas: Pu = 1200 kN Mux = 180 kN.m y Muy = 75 kN.m. Utilizar un hormigón de fć = 28 MPa y fy = 420 MPa. Ejemplo 9.15

Solución: ex =

( 75 / 1200 ) = 0.0625 m e y = ( 180 / 1200 ) = 0.15 m. Se nota que e y > ex y la dirección que controla el diseño es la “ Y “. Una primera estimación de las dimensiones de la columna indica que Dy > Dx y que ( Dy . Dx ) 150000 mm 2. Sea Dy = 500 mm y Dx = 300 mm e y

è Dy / Dx = 500 / 300 = 1.67

= 0.15 = 2.4 > 1.67

è Controla la expresión 9.25 y la excentricidad ficticia esta 0.0625 en dirección del eje “ Y “. Pu / ( Ag.fć) = 0.29 => â = 0.89

e x

e f

= 0.15 + 0.89 × 0.0625 × 1.67 = 0.24 => Mu = 1200 x 0.24 = 288 kN.m

Si d´= 62.5 mm ( para que ã = 0.75 ) se obtiene de R28.420:75 Pu / ( Ag. fć ) = 0.29

Mu / ( Ag.h.fć) = 0.14 => ñ = 0.035



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Que equivale a un refuerzo de Ast = 0.035 x 300 x 500 = 5250 mm 2 ó 10 # 8 => Ast real = 10 x 510 = 5100 mm 2y ñ = 0.034 Al revisar este diseño con un método mas elaborado como los que se presentaran en los próximos numerales se encuentra que es adecuado y la columna cumple con los requisitos de confiabilidad exigidos por las normas. Figura 9.65.

10 # 8

500 mm

300 mm

Figura 9.69 Sección de columna del ejemplo 9.15 §

Método de la carga reciproca. Este es uno de los procedimientos aproximados

que utilizan una superficie de interacción para resolver el problema biaxial. Fue propuesto por el Prof. Boris Bresler en 1960 y sus resultados han sido revisados y verificados con procedimientos mas elaborados con resultados satisfactorios. El método se fundamenta en que la superficie de interacción de la columna biaxial se puede representar como una función de la carga axial “ Pn “ y las excentricidades “ e x“ y “ e y “ como se muestra en la figura 9.70. Pn Pn

Superficie S1

ey ex Figura 9.70 Grafico de interacción modificado para columna biaxial



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La superficie “ S1 “ puede a su vez transformarse en una superficie de falla equivalente “ S2 “ como se muestra en la figura 9.71 donde en lugar de dibujar “ Pn, e x, ey “ se presentan: “ 1 / Pn, e x, ey “. Cuando e x = e y = 0.0 se obtiene el valor inverso de la capacidad de la columna cargada concentricamente, es decir “ 1 / Pno “, punto C de la figura 9.71. Para un valor de “ ex = 0.0 “ y cualquier “ e y “ hay una cierta carga “ Pnxo “ correspondiente al momento “ Mnxo “ que produce la falla, el reciproco “ 1 / Pnxo “ se indica como el punto B de la figura 9.71. Finalmente cuando ey = 0.0 se obtiene el valor “ 1 / Pnyo “ punto A de la figura 9.67. 1 / Pn

Superficie S2 B

A

C

1 / Pnxo 1 / Pno

1 / Pnyo

ey

ex Figura 9.71 Superficie modificada de falla de columnas biaxiales. Bresler. Al unir los puntos “ A, B y C “ se genera un plano oblicuo S´2 que representa una aproximación a la superficie real de falla S2. Se puede notar como para cualquier punto de la superficie de falla S2 hay un punto correspondiente en el plano S´2 que esta en el interior de la superficie real de falla S2. Se concluye que la ordenada real “ 1 / Pn “ de cualquier punto sobre la superficie S2 se puede estimar en forma conservadora por la ordenada aproximada “ 1 / Pn “ que se obtiene del plano triangular oblicuo S´2. En otras palabras ( 1 / Pn ) aprox. es siempre mayor que ( 1 / Pn ) real, lo cual significa que ( Pn ) aprox. es menor que ( Pn ) exacto lo que es conveniente en un diseño. La ecuación para el método de la carga reciproca de Bresler, 9.27, se obtiene por análisis geométrico de la superficie S´2 y su uso es adecuado siempre y cuando Pn > 0.10 Pno. Cuando no se cumple esta condición se recomienda despreciar la carga axial y diseñar la columna como un elemento sometido a flexión biaxial.



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1 1 1 1 = + − . nxo φ. P nyo φ .P no φ . P n φ P

( 9.27 )

En donde: Ö.Pn = Capacidad de carga axial de una columna sometida a flexión biaxial Ö.Pnxo= Capacidad de carga axial para cualquier valor de ey Ö.Pnyo= Capacidad de carga axial para cualquier valor de ex Ö.Pno= Capacidad de carga axial para la columna concéntrica. Al diseñar una columna biaxial con este método se deben utilizar los gráficos de interacción de las columnas uniaxiales para obtener los valores correspondientes de “ Pnxo y Pnyo “ pero a diferencia del diseño uniaxial aquí no se debe restringir el valor de Ö.Pn que representaba la meseta del grafico de interacción. Se utiliza toda la curva correspondiente y que en la mayoría de los casos se dibuja punteada. En cualquier diseño estructural de columnas por lo general se conocen: las dimensiones iniciales de su sección ( Dx, Dy ) y las excentricidades ( ex, ey ) => lo primero que se hace es ensayar una cuantía de refuerzo y una distribución de barras ( método de la excentricidad equivalente) se va a los diagramas de interacción de columnas uniaxiales y se determina “ Pnxo “, “ Pnyo “ y “ Pno “. Finalmente con la ecuación 9.27 se determina “ Ö.Pn “ la cual debe ser mayor o igual al valor de “ Pu “ inicial. Diseñar una columna rectangular para soportar la siguiente combinación de cargas externas mayoradas: Pu = 1250 kN, Mux = 95 kN.m y Muy = 190 kN.m. Utilizar fć = 28 MPa y fy = 420 MPa. Ejemplo 9.16

Solución: ex =

190 / 1250 = 0.152 e y = 95 / 1250 = 0.076 => ex > e y y se cumple que la sección es rectangular con Dx > Dy. Una primera aproximación para las dimensiones de la sección es Dx = 500 mm y Dy = 300 mm. e y e x

= 0.076 = 0.50

Dy

0.152

Dx P u

A g × f ć e f

= =

= 0.152 + 0.90 × 0.076 ×

300 = 060 . 500

=>

e y e x

< Dy → Usar expresión 9.26 Dx

1250000 = 0.30 ⇒ β = 0.90 300 × 500 × 28 500 = 0.266 300

M uf

= 0 .266 × 1250 = 332 .5kN .m

Si se asume un d´= 62.5 mm => ã = 0.75 è El grafico de interacción es R28.420:75 Pu / ( Ag fć ) = 1250000 / ( 300 x 500 x 28 ) = 0.30 129 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


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Mu / ( Ag x h x fć ) = 332.5 x 10 6/ ( 300 x 500 x 500 x 28 ) = 0.16 Con estos valores se obtiene una cuantía de refuerzo de ñ = 0.045 que represent a una cantidad de acero de Ast = 0.045 x 500 x 300 = 6750 mm 2. Utilizando barras # 9 se obtienen 10 # 9 óA st = 10 x 645 = 6450 mm 2 => ñ = 0.043 Y

300 mm

10 # 9

X

500 mm Figura 9.72 Representación de la columna del ejemplo 9.16 Ahora se revisara el diseño utilizando el método de la carga reciproca: Según el eje Y => ã x= ( 500

–125 ) / 500 = 0.75 y e x / h = 0.152 / 0.500 = 0.304

Con “ ex / h = 0.304 “ y “ñ = 0.043 “ se entra a R28.420:75 y se obtiene: Ö.Pnxo / ( Ag.fć ) = 0.50

y

Ö.Pno / ( Ag. fć ) = 0.90

Ö.Pnxo = 0.50 x 500 x 300 x 28 = 2100 x 10 3 N Ö.Pno = 0.90 x 500 x 300 x 28 = 3780 x 10 3 N Según el eje X => ã x= ( 300

–125 ) / 300 = 0.58 y e y / h = 0.076 / 0.300 = 0.253

Con “ ey / h = 0.253 “ y “ñ = 0.043 “ se entra a R28.420:60 y se obtiene: Ö.Pnyo / ( Ag.fć ) = 0.48

y

Ö.Pno / ( Ag. fć ) = 0.90

Ö.Pnyo = 0.48 x 500 x 300 x 28 = 2016 x 10 3 N Ö.Pno = 0.90 x 500 x 300 x 28 = 3780 x 10 3 N 1 = 1 + 1 − 1 = 1 Se φ . P n 2100 2016 3780 1413 obtiene un Ö.Pn = 1413 kN > Pu = 1250 kN => la columna esta correctamente diseñada. Ahora sustituyendo en la ecuación 9.27 =>



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§

Método de la carga de contorno . Este es el segundo método grafico de diseño

que presenta Bresler para columnas biaxiales. En este procedimiento, a diferencia del anterior, la superficie de falla esta representada por una familia de curvas horizontales correspondientes a valores constantes de “ Pn “, figura 9.73. Pn

( Mnyo, Pnyo) ( Mnxo, Pnxo)

Curva n Mny

Curva i

Mnx

Figura 9.73 Representación de la familia de curvas del método de la carga de contorno La forma general para estas curvas puede aproximarse por un diagrama adimensional de interacción como se indica en la expresión 9.28 en donde los coeficientes que representan los exponentes de cada relación adimensional “ á 1 y á 2 “ dependen de las dimensiones de la columna, de la cantidad y distribución del refuerzo, de las características tensión-deformación de los materiales, de la magnitud del recubrimiento y del tamaño y distribución de los amarres o espirales. Cuando “ á 1 = á 2 = á “ la forma de la curva de contorno puede dibujarse y obtenerse así el valor “ á “ de acuerdo con las relaciones entre los momentos en cada eje. α2

α1  M nx   M ny    = 1 .0   +    M nxo   M nyo  

( 9.28 )

En donde: Mnx y Mny son los momentos resistentes en cada eje de la columna y Mnxo, Mnyo son los momentos uniaxiales para cada eje. Si ahora se consideran los coeficientes “ Ö “ de minoración de resistencia la ecuación 9.27 se puede nuevamente escribir en la forma mas conocida para el diseño. α

α φ. M ny   φ . M nx     = 1.0   +   . . φ M φ M  nxo   nyo  

( 9.29 )



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los cálculos realizados por Bresler indicaban un valor de “ á “ entre 1.15 y 1.55 para columnas de sección rectangular y cuadradas. Los valores cercanos al limite inferior del rango representaban los mas conservadores. Existen procedimientos mas complejos para determinar “ á “ en las referencias citadas al final del texto sin embargo la forma mas adecuada es utilizando la ecuación 9.30 y la figura 9.74. α

= log 0.5

( 9.30 )

log β

El valor de “ â “ se puede obtener de la figura 9.74. Para propósitos prácticos la curva de contorno también se puede aproximar a dos líneas rectas “ AB “ y “ BC “, figura 9.75 por lo que la ecuación 9.28 se puede reemplazar por dos ecuaciones equivalentes de acuerdo a la relación de los momentos en cada eje, ecuaciones 9.31 y 9.32. Mny / Mnyo

Mnx / Mnxo

Figura 9.74 Valores del coeficiente “ â “ en el método de la carga de contorno



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Mnx / Mnxo

M nx M nxo

+

  × 1 − β  = 1.0 M nyo  β  M ny

M ny M nyo

  + M nx × 1 − β  = 1.0 M nxo  β 

Mny / Mnyo

Figura 9.75 Modificación de la curva de contorno en columnas biaxiales §

Para el tramo AB se tiene ( Mny / Mnyo ) < ( Mnx / Mnxo ) =>

M nx M nxo §

+

M ny M nyo

1 − β   = 1.0  β 

.

( 9.31 )

Para el tramo BC cuando ( Mny / Mnyo ) > ( Mnx / Mnxo ) =>

  + M nx .1 − β  = 1.0 M nyo M nxo  β  M ny

( 9.32 )

Revisar el diseño de la columna del ejemplo 9.16 utilizando el método de la carga de contorno. Ejemplo 9.17

Solución:

Se tienen los siguientes datos: Dx = 500 mm, Dy = 300 mm, d´= 62.5 mm, fć = 28 MPa, fy = 420 MPa y Ast = 10 # 9 ( ñ = 0.043 ), Mux = 95 kN.m Ö.Mnx y Muy = 190 kN.m Ö.Mny.



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El problema consiste en hallar los valores de “ Mnxo , Mnyo y á “. Considerando el eje Y:

§

1250 × 103 = = 0 .30 A g . f ć 300 × 500 × 28

500 − 2 × 62.5 = 0.75 γ = 500

.n φ P

De la grafica R28.420:75 con “ Ö.Pn / ( Ag fć ) = 0.30 “ y “ ñ = 0.043 “ se obtiene: φ. M nyo A g . Dx. f ć

. nyo = 0.16 × 500 × 300 × 500 × 28 = 336 × 106 N .mm = 336 .kN .m = 0 .16 ⇒ φ M

Considerando el eje X:

§

γ

=

300 − 2 × 62.5 = 0.58 300

.n φ P A g . f ć

=

1250 × 103 = 0 .30 300 × 500 × 28

De la grafica R28.420:60 con “ Ö.Pn / ( Ag fć ) = 0.30 “ y “ ñ = 0.043 “ se obtiene: . nxo φ M A g . Dy. f ć

= 0.13 ⇒ φ M . nxo = 0.13 × 500 × 300 × 300 × 28 = 164 × 10 6 N .mm = 164 .kN .m

Las relaciones de los momentos uniaxiales y biaxiales son:

 φ. M nx  95    = 164 = 0.58 0 . φ M  nxo 

  φ . M ny   = 190 = 0. 565  φ . M nyo  336  

“ â “ se obtiene de la figura 9.70 => â = 0.56 => á = ( log 0.5 / log 0.56 ) = 1.19 a columna esta bien diseñada. (0.580 )1. 19 + (0 .565)1.19 = 1.03 ≅ 1.0 ⇒ L 9.5.2.2 Solución de columnas biaxiales por equilibrio y compatibilidad. Este es el método preferido cuando se dispone de una herramienta de calculo rápida como las calculadoras programables y los computadores. Su uso manual esta prácticamente cuestionado por la gran cantidad de operaciones que se requieren realizar. En la literatura técnica existen algoritmos que utilizan los métodos numéricos fáciles de programar y que permiten obtener resultados satisfactorios en pocos segundos. Este procedimiento tiene la ventaja de resolver cualquier forma de columna con una distribución del refuerzo especial y considerando sección hueca o sólida. La figura 9.76 ilustra la forma como se deben plantear las ecuaciones y como se debe resolver el problema. El programa DISH 2003 utiliza esta metodología. 134 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.


2003


ex Kx.b

ey Ky.b

X

Pn

Dy

c

Dx

Cs1 Cs2 T1 T2

Figura 9.76 Tensiones y deformaciones en columnas biaxiales 9.5.2.3 Solución por diagramas de interacción. representación grafica del método de las ecuaciones de solo esta disponible en diseños por computador. No interacción particulares para columnas a flexión biaxial columnas uniaxiales.

Este procedimiento es una compatibilidad y equilibrio y se disponen de gráficos de como los ilustrados en las

9.5.2.4 Solución por gráficos aproximados. Estos métodos fueron muy utilizados cuando la disponibilidad de los procedimientos aproximados de Bresler y el uso del computador estaban restringidos para la aplicación practica. Actualmente se hace referencia como información general y el lector podrá consultar en los libros de la referencia mas información al respecto.



2003

diseño de columnas cortas

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