DISTRIBUSI NORMAL DAN DISTRIBUSI POISSON
Disusun Oleh : B KELOMPOK I MATEMATIKA III 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Triwiyati N Erna Dwi K Heri Cahyono Heri Kiswanto Hifa Ari Norani Ika Setianingsih Rudi Hartono Yudha Sofyan M
(08411.276) (08411.123) (08411.145) (08411.146) (08411.147) (08411.156) (08411.248) (08411.293)
DOSEN PENGAMPU : Ika Krisdiana, S.Si.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP PGRI MADIUN 2009
Kata Pengantar
Assalamu’alaikum Wr. Wb. Puji syukur Alhamdulillah kami panjatka kehaditat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat, hidayah dan inayah-Nya kepada kami, sehingga makalah yang berjudul “Distribusi Poisson dan Distribusi Normal” dapat diselesaikan dengan baik. Adapun tujuan dan maksud dari penulisan makalah ini adalah sebagai tugas mata kuliah statistika dasar semester III pada program studi pendidikan matematika di IKIP PGRI Madiun. Kami mengucapkan terima kasih kepada ibu Ika Krisdiana, S.Si. selaku dosen mata kuliah statistika dasar yang telah memberi kami kesempatan sehingga kami dapat menyelesaikan pembuatan makalah ini dengan baik. Ucapan terima kasih juga kami sampaikan kepada semua pihak yang telah membantu pembuatan makalah ini. Kami menyadari bahwa masih banyak kekurangan dan kelemahan dalam pembuatan makalah ini, karena itu kami sebagai penulis senantiasa mengharapkan kritik dan saran dari pembaca. Wassalamu’alaikum Wr. Wb. Madiun, 14 Desember 2009
Penyusun
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ............................................ .................................................................. ............................................ .................................... .............. DAFTAR ISI ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. ............................. ...... BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ............................................ .................................................................. ............................................ ............................. ....... 1.2 Rumusan Masalah ........................................... .................................................................. ............................................. ........................ .. 1.3 Tujuan Penulisan ............................................ ................................................................... ............................................. ........................ .. BAB II PEMBAHASAN DISTRIBUSI NORMAL DAN D ISTRIBUSI POISSON A. Distribusi Poisson ........................................... .................................................................. ............................................. ........................ .. B. Distribusi peluang untuk variabel kontinu ..................................................... ..................................................... C. Latihan soal .......................................... ................................................................ ............................................ .................................... .............. BAB III PENUTUP Kesimpulan .......................................... ................................................................ ............................................ .................................... .............. LAMPIRAN DAFTAR PUSTAKA
BAB I PENDAHULUAN
1.1 LATAR BELAKANG
Setiap peneliti yang mencoba memahami fenomena yang dipelajari secara kuantitatif, sering menggunakan Statistik. Banyak
peneliti datang
kepada penulis menanyakan masalah evaluasi kualitas analisis statistik yang mereka laksanakan. Memang tidak mungkin dapat dilakukan evaluasi terhadap kualitas analisis statistik, tanpa pemahaman dasar – dasar – dasar teori peluang yang memadai. Dari kalangan mahasiswa yang datang kepada penulis, umumnya mereka menanyakan masalah penggunaan teori peluang dalam kehidupan sehari-hari. Dapat memahami, mereka perlu memperluas wawasannya.
1.2 RUMUSAN MASALAH
Masalah yang dirumuskan dalam makalah ini, sebagai berikut : 1. Apakah definisi Distribusi Poisson. 2. Bagaimana menentukan peluang suatu kejadian yang berdistribusi Poisson. 3. Bagaimana menentukan peluang suatu kejadian yang berdistribusi Binom dengan pendekatan Distribusi Poisson. 4. Apakah definisi Distribusi Normal. 5. Bagaimana menentukan peluang suatu kejadian yang berdistribusi Binom dengan pendekata distribusi Normal.
1.3 TUJUAN PENULISAN
Tujuan penulisan makalah ini adalah sebagai berikut : 1. Menentukan peluang suatu kejadian yang berdistribusi Poisson. 2. Menentukan peluang suatu kejadian yang berdistribusi Binom dengan pendekatan Distribusi Poisson.
3. Menentukan peluang suatu kejadian yang berdistribusi Normal. 4. Menentukan peluang suatu kejadian yang berdistribusi Binom dengan pedekatan distribusi Normal.
BAB II PEMBAHASAN DISTRIBUSI POISSON DAN DISTRIBUSI NORMAL A. Distribusi Poisson
Dalam kehidupan sehari-hari variabel yang mengikuti distribusi poisson adalah variabel yang menggambarkan peristiwa-peristiwa yang jarang terjadi. Variabel acak diskrit x dikatakan mempunyai distribusi poisson, jika fungsi peluangnya berbentuk :
P( x) x) = P (X = x = x)) = x = 0 1, 2, . . . . n e = Sebuah bilangan konstan jika dihitung hingga 4 desimal e = 2,7183. Nilai
dapat dilihat pada lampiran.
Ternyata distribusi poisson ini mempunyai parameter : µ =
=
Distribusi poisson sering digunakan untuk menentukan peluang sebuah peristiwa yang dalam dala m area kesempatan tertentu diharapkan terjadinya sangat jarang. Contoh : 1. Misalkan dari 50 siswa SD kelas 1, rata-rata ada 2 orang yang dapat berenang. Sebuah sampel berukuran 100 siswa sudah diambil. Jika x adalah banyak siswa SD kelas 1 yang dapat berenang. Berapa peluang siswa SD kelas 1 yang tidak dapat berenang?
Jawab: x = 0
=2x2=4
P (0) = P (X = 0)
= = =
= 0,0183 Jadi, peluang siswa SD kelas 1 tidak dapat berenang adalah 0,0813. 2. Misalkan rata-rata ada 1,4 orang buta huruf untuk setiap 100 orang. Sebuah sampel berukuran 200 telah diambil. Jika x = banyak buta huruf per 20 orang. Berapakah peluang tidak terdapat buta huruf ? Jawab: x = 0
= 1,2 x 2 = 2,8
P (0) = P (X = 0) = = = 0,0608 Jadi, peluang tidak terdapat buta huruf adalah 0,0608. Distribusi poisson dapat dianggap sebangai pendekatan kepada distribusi binom. Apabila pada distribusi binom N cukup besar, sedangkan P = peluang terjadinya peristiwa A sangat dekat kepada 0. Sedemikian sehingga
= N. x. x. p p tetap. Maka distribusi binom dapat idekati oleh distribusi poisson.
Untuk penggunaannya sering dilakukan pendekatan ini. jika N ≥ 50 dan Np 5.
Contoh: Peluang seorang siswa SMP akan mendapat reaksi buruk setelah mengikuti latihan berenang besarnya 0,0005 dari 4000 siswa yang mengikuti latihan berenang. Berapakah peluang siswa yyangb mendapat reaksi buruk : a. Tidak ada b. Ada 1 orang c. Paling banyak 2 orang Jawab : N = 4000 P = 0,0005
= N . P = 4000 4000 . 0,0005 =2
a. Tidak ada, x = 0 P (0) = P (X = 0)
= = = 0,1353
b. Ada 1 orang, x =1 P (1) = P (X = 1)
= = = 0,1353 . 2 = 0,2706
c. Paling banyak 2 orang, x = 0,1,2 P (0,1,2) = P (0) + P (1) + P (2)
P (2) = P (X = 2) =
= = = 0,2706 P (0,1,2) = 0,1353 + 0,2706 + 0,2706 = 0,6765
B. Distribusi Peluang Untuk Variabel Kontinu
1. Distribusi normal Definisi : Apabila x merupakan variabel yang mengikuti distribusi peluang (fungsi dentitas):
f (x) = ;
- < x < - < µ <
>0 Maka dikatakn x mengikuti distribusi normal dengan rata-rata : x dan simpangan baku :
Sifat-sifat distribusi normal: a. Kurvanya berbentuk kurva yang simetrik sekitar . Luas daerah = 1
µ
x
b. Luas daerah di bawah kurva menunjukkan peluang. Luas daerah grafik = i. Menghitung peluang untuk distribusi distribusi normal secara matematis harus menggunakan perhitungan integral.
Misal : ?
x2
x1
x
µ
P (x1 < x < x2) = ….?
dt P (x1 < x < x2) = .
Perhitungan integral diatas merupakan perhitungan yang sukar diselesaikan. Untuk menghitung luas dibawah kurva normal tidak langsung membuat perhitungan integral tetapi menggunakan tabel distribusi normal baku. 2. Distribusi normal baku Dalil : Apabila terhadap variabel x yang mengikuti distribusi normal dengan rata-rata : µ dan simpangan baku : , kita melakukan transformasi variabel z= Maka
akan
mengikuti distribusi normal dengan rata-rata µ = 0 dan
simpangan baku :
= 1 dan bentuk fungsi dentitas distribusi normal baku
adalah
f (x) =
;-~
Jadi distribusi normal baku adalah distribusi distribusi normal yang rataratanya : µ= 0 dan simpangan baku = 1.
N = 0,1
0
Z
Peluang untuk distribusi normal baku dapat dilihat dari tabel normal baku. Bilangan-bilangan yang ada pada badan tabel memperlihatkan luas daerah dibawah kurva dari 0 ke z. Kurva distribusi normal baku bentuknya simetri. Jadi luas daerah dari 0 ke z sama dengan luas daerah dari 0 ke z. Contoh penggunaan tabel normal baku. Mencari luas daerah (peluang). 1. Berapa luas dareah antara z = 0 dan z = 1,51
P (0 < z < 1,51)
0
1,51
Z
Dari tabel normal baku dibawah kolom z pada kolom kiri cari 1,5 dan kolom atas angka 1. Dari 1,5 maju ke kanan dan dari 1 menurun, sehingga diperoleh angka 4345. Maka luas daerah yang dicari adalah 0,4345. 2. Berapa luas daerah antara z = 0 sampai dengan z = -2,27
-2,27
0
Z
P (- 2,27 < z < 0) = ….? Luas daerah dari z = 0 sampai z = -2,27 adalah 0,4884 3. Berapa luas daerah antara z = 1,82 dan z = 3,24
-1,82
0
3,24
Z
P1 (-1,82 < z < 0) P2 (0 < z < 3,24) P = P 1 + P2 ? = (-1,82 < z < 3,24) P1 = 0,4656 P2 = 0,4994 P = P 1 + P2 = 0,4656 + 0,4994 = 0,9650 4. Berapa luas daerah antara z = 2,45 dan z = 3,47
Z 0
2,45
3,47
P1 (0 < z < 3,47) P2 (0 < z < 2,45) P = P 1 - P2 ? = (2,45 < z < 3,47) Jadi luas daerah antara z = 2,45 dan z = 3,47 adalah 0,4997 – 0,4929 – 0,4929 = 0,0068. Antara distribusi Binom dan Distribusi Normal terdapat hubungan tertentu. Jika untuk fenomena yang berdistribusi Binom berlaku :
a. N cukup besar b. π = P(A) = peluang peristiwa peluang peristiwa A terjadi, tidak terlalu dekat kepada nol maka distribusi Binom dapat didekati oleh distribusi Normal dengan ratarata µ = N.π dan simpangan baku σ =
untuk pembakuan, agar daftar distribusi Normal baku dapat dipakai, maka digunakan transformasi: Z=
Dengan X = variabel acak diskrit yang menyataka terjadinya A. karena disini telah mengubah variabel acak diskrit dari distribusi Binom menjadi variabel acak kontinu dalam distribusi normal, maka nilai-nilai X perlu mendaptkan penyesuian. Yang dipakai ialah dengan jalan menambah atau mengurangi dengan 0,5. Pendekatan distribusi Binom oleh distribusi normal sangat berfaidah, antara lain untuk mempermudah perhitungan.
C. Latihan Soal
1. Misal dari sekumpulan orang, 1% nya berkacamata. Secara random ditunjuk 500 orang. a. Tentukan probabilitasnya bahwa dari 500 orang itu yang berkacamata 2 orang. b. Berapa orangkah yang diharapkan berkacamata dari 500 orang tersebut? c. Carilah Varians banyaknya orang yang berkacamata dari 500 orang tersebut? 2. Pada setiap 100 lembar kertas produksi suatu pabrik diperkirakan terdapat 1 lembar yang rusak. Tentukan probabilits mendapatkan selembar kertas rusak dari 20 lembar kertas yang diambil secara acak dari hasil produksi tersebut.
3. Andaikan 2% dari uang di Bank adalah palsu. Tentukan probabilitas terdapat 3 lembar uang palsu dari 100 lembar uang yang diambil secara acak. 4. Misal X variabel random yang berdistribusi noral dengan
5.
dan
. Hitunglah nilai Z untuk dan , kemudian hitunglah ). Diberikan suatu distribusi normal dengan dan . Tentukanlah: a. Luas daerah di bawah 214 b. Luas daerah di atas 174
BAB III PENUTUP KESIMPULAN
1. Distribusi Poisson merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3, dst. Distribusi Poisson adalah nilai nilai bagi suatu variabel random X (X diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang tejadi dalam suatu interval waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu. 2. Distribusi Poisson mengkalkulasi distribusi probabilitas dengan kemungkinan sukses p sangat kecil dan jumlah eksperimen n sangat besar. 3. Rumus distribusi Poisson suatu peristiwa
P( x) x) = P (X = x = x)) = Keterangan: P( x) x)
= nilai probailitas distribusi Poisson
= rata-rata hitung dan jumlah nilai sukses, dimana = bilangan konstan = 2,71828 = jumlah nilai sukses = probabilitas sukses suatu kejadian
DAFTAR PUSTAKA
Dra. Kustini, M.Pd dan Dra. Etty Tejo Dwi Cahyowati, M.Pd. 1994. Statistika Matematika I . Jakarta: Universitas Terbuka Depdikbud Prof. Dr. Sudjana, M.A., M.Sc. 1975. Metoda Statistika. Statistika. Bandung: Tarsito http://www.wahana-statistika.com/index.php/Ilmu-Probabilita/distribusi peluang.html
LAMPIRAN KUNCI JAWABAN LATIHAN SOAL
1.
n = 500
a.
b.
Banyaknya orang yang diharapkan berkacamata = 5 orang
c. Var
Varians banyaknya orang yang berkacamata = 5 orang 2. Pada peristiwa tersebut dan
Karena n besar dan p kecil maka terjadi distribusi Poisson dengan
3. Karena dan Sehingga
maka
Var Jadi dari 100 lembar uang yang diambil, banyaknya uang palsu yang diharapkan ada 2 lembar, sedangkan variannya ada 2 lembar.
4. Z1 = Z2 =
=3
=1
-3
5. a.
0
1
0
b.
1,4
= 0
-0,40
1,2
