INGENIERIA DE CONTROL CONTROL CLASICO
Eddy Orlando Mier Cornejo
REGULADORES PID •
•
El controlador PID (Proporcional, Integral y Derivativo) es un controlador realimentado cuyo propósito es hacer que el error en estado estacionario, entre la señal de referencia y la señal de salida de la planta, planta, sea cero ce ro de manera asintótica en el tiempo, lo que se logra mediante el uso de la acción integral. integral. Además el controlador controlador tiene la capacidad de anticipar el futuro a través de la acción derivativa que tiene un efecto predictivo sobre la salida del proceso. Su uso extensivo en la industria es tal que el 95% de los lazos de control que existen en las aplicaciones aplicaciones industriales son del tipo PID, de los cuales la mayoría son controladores PI, lo que muestra la preferencia del usuario en el uso de leyes de control muy simples.
INTRODUCCION •
•
Proceso: Operación que sucede en forma progresiva y continua que conduce a un propósito determinado. En forma más simple es cualquier operación que se va a controlar. Planta: Parte de un equipo, conjunto de partes de un equipo que funcionan juntas cuyo propósito es ejecutar ejecutar una operación particular part icular.. También También se reconoce a una planta como cualquier objeto físico que se va a controlar.
Introducción Sistema: Combinación de componentes que actúan juntos y realizan realizan un objetivo objetivo determinado. Perturbación: Una señal que tiende a afectar negativamente negativamente el valor de salida de un sistema. Si la perturbación se genera dentro dentro del sistema se denomina interna, en tanto tanto que una perturbación externa se produce fuera del sistema y es una entrada. Control retroalimentado: Es una operación que en presencia de perturbaciones tiende a reducir la diferencia diferencia entre la salida de un sistema y alguna entrada de referencia.
El control ON/OFF
CONTROL PROPORCIONAL??
MODULACION POR ANCHO DE PULSO
CONTROL PROPORCIONAL 1
CONTROL PROPORCIONAL 2
CONTROL PROPORCIONAL DERIVATIVO PD
CONTROL PROPORCIONAL DERIVATIVO PD
CONTROL PROPORCIONAL INTEGRAL PI
CONTROL PROPORCIONAL INTEGRAL PI
CONTROL PROPORCIONAL INTEGRAL PI
CONTROL PID
CONTROL PROPORCIONAL INTEGRAL DERIVATIVO PID
SINTONIZACION PID
SINTONIZACION PID
Modelo x(t ) r
u(t )
d (t )
m Regulador
y(t )
Medidor
x(t
)
y
r (t )
u(t )
e(t )
d (t ) e
K (t )
-
u (t )
K P e(t )
(t )
- s
K P r (t )
y(t )
Análisis estático
y
x
y
r
K P 1 K P
d
1 1 K P
Análisis dinamico Kp=1/2
Kp=1/2
0.6
0.6
0.4 0.4 0.2 0
0.2 0
2
Respuesta y(t)
4
6
8
0
2
6
8
6
8
Respuesta u(t) Kp=1
Kp=1
1
1
0.5
0.5
0
0 0
2
4
6
8
0
2
Kp=2 400
0
200
-100
0
0
2
4
4
Kp=2
100
-200
4
6
Tiempo
8
-200
0
2
4
6
Tiempo
8
ANALISIS •
•
•
•
Teniendo en cuenta estas restricciones, ¿debería ajustarse ? K P 0,9 Ello sería poco razonable por dos motivos distintos, aunque relacionados: - Poco amortiguamiento. La respuesta transitoria sufre muchas oscilaciones, aunque convergen al régimen estático. - Poca robustez. Es importante recordar que el análisis parte de un modelo del sistema real. Pequeñas imprecisiones en el modelado (actuador o medidor no ideales, constantes de la planta variables o imperfectamente estimadas, etc.) pueden conducir a un sistema inestable, aunque el modelo sea estable. Una regla poco refinada, pero frecuentemente empleada en la práctica por su sencillez, establece un valor de inferior a la mitad del que produce inestabilidad; puede tomarse en este ejemplo. K P
1 / 2
Diseño: otras leyes de control •
•
Regulador integral
u (t )
1 I
t
r (t )
y (t ) d t
0
En nuestro ejemplo, el control proporcional no conduce a un compromiso adecuado: con , el efecto de las perturbaciones en régimen estático es todavía 2/3 del efecto original
•
Reguladores PI
•
Reguladores PID
Precisión en Régimen Permanente •
Con realimentación:
Seguimiento de la referencia
Rechazo a perturbaciones
Insensibilidad ante variaciones de la planta
•
w _ r
C(s)
y
m
P(s)
_ H(s)
Precisión
Poco error
e(t ) ym (t ) y(t )
Precisión en régimen permanente
e()
Precisión en Régimen Permanente. Formulación M(s)
y(t ) w r
y F(s), Fw(s) _
ym
Y (s) F(s)R(s ) Fw (s )W (s )
e(t ) ym (t ) y (t )
E (s ) Ym (s ) Y (s )
e
El principio de superposición permite estudiar por separado los errores de: Seguimiento (Servomecanismo) Perturbación (Regulador ) w(t ) 0 E s ( s) Ym (s) Y ( s) M( s) R( s) F( s) R( s) (1 F( s)) R( s) r(t ) 0 E w (s) Ym ( s) Y (s) 0 Y ( s) Fw ( s)W ( s)
Precisión en Régimen Permanente. Formulación
Régimen Permanente (sistema estable)
•
E e() lim s 0
•
s E( s )
A partir de las FdeT de Lazo Cerrado
E s
lim s Es (s) lim s 0
s 0
1 s
i
(1 F(s ))
Ew
1
lim s Ew (s) lim i Fw (s) s 0
s 0
s
Estructura Básica de los Sistemas de Control w _ r
C(s)
y
m
P(s)
_ H(s)
Error de Seguimiento para Configuración Típica y
r
G(s) G( s)
F ( s)
K h s
h
G0 ( s), G0 (0)
G( s ) 1 G( s )
E s lim
s 0
s E s ( s) lim
s 0
1
s i
(1 F ( s )) lim
s 0
1 s i 1 G( s ) 1
0 1 K h 1 s h s h i E s lim 1 slim i h h 0 s K s 0 s s K G (s ) h 0 h 1 K h
si
hi
si
hi0
si
hi0
si
hi
1
Error de Seguimiento para Configuración Típica r
y (h = 0) r y (h = 1)
y (h 1) y (h 2) y (h = 0)
Errores de Perturbación para Configuración Típica w _ y Ga(s)
Gp(s)
_
Fw (s)
E w
G p (s) 1 G p (s)Ga (s)
lim s0
Ga (s)
G p (s)
1 s
i
( Fw (s)) lim
K h s
h
K p s
p
s0
G p (s) i s 1 G p (s)Ga (s ) 1
Ga 0 (s ),
Ga 0 (0) 1
G p 0 (s),
G p 0 (0 ) 1
Errores de Perturbación para Configuración Típica E s lim s 0
K p s h s i s h s p Kh K p
w
1
lim s 0
0 1 h i K h K p s K h p p s Kh K p 1 K p K h
si
hi
si
hi
si
hi p0
si
hi
y (h = 0) y (h 1) w
y (h 2) y (h = 1)
y (h = 0)
EJEMPLO r (V)
REGULADOR
MOTOR + VÁLVULA
q e (m 3 /s)
y (cm) q s (m 3 /s)
MODELO q s (m 3/s)
k
_ 1 + 0,01 s _
y (cm)
1
12
r (V)
0,06 s
q e (m 3/s)
0,5
Modelo (para estudiar errores) w _ 1 r (cm)
0,5
12
1
1 + 0,01 s
0,06 s
_
w2
y (cm)
Analisis G(s) 0,5
Es estable: F( s)
Error de seguimiento
Y ( s) R(s)
12 1 0,01 s
G( s) 1 G( s)
1 1 0,06s 100
0,01s 2
100 s(1 0,01s ) 10 4
s 100 ( s 50)2 7502
Analisis ESCALON r
RAMPA LINEAL
1 0.5 0 0 1
0.1
0.2
10.5 w
0 0 1
0.1
0.2
2 0 w
RAMPA PARABOLICA
0.1
0.02
0.05
0.01
0 0
0.1
0.2
0 0
0.1
0.01
0
0
-0.1
0 0.2
0.1
0.2
0
-0.01 0 0.02
0.1
0.2
0.1
0.2
0.1
0.2
0.1
0.2
0.1
0.2
0
-1
0 1
) . l a e r p0.5 ( 1 0 w
0
0.1
0.2
-3
0x 10 5
0.1
0.2
0 0.1
0.2
) ) s 1 ( H ( 0.5 r
0 0
-0.2
-5 0 0.1
0 0.1
0.2
0.05 0.1
0.2
0 0
-0.02 -3 0x 10 2
-2 0 0.02 0.01
0.1
0.2
0 0
Analisis
Error de perturbación (consumo)
Analisis
Robustez y Sensibilidad El modelo no es la realidad ...
Desprecio de efectos secundarios
Los sistemas no son lineales
Los parámetros pueden variar con el tiempo
Un diseño es robusto si el comportamiento (del lazo cerrado) es poco sensible a variaciones de las características de lazo abierto. Una técnica: La sensibilidad de Bode
S F( s( s))
dF(s) F( s) dF(s) ( s) d(s) d(s) F(s) ( s)
Estabilidad •
Estabilidad, raíces de
G(s) _
Métodos
Obtención directa de las raíces
Criterio de Routh-Hurwitz
Lugar de las raíces
Criterio de Nyquist
Criterio del Reverso
Estabilidad: Criterio de las Raíces Poner
1 G(s)
A(s) D(s)
Si no hay cancelaciones en los lazos cerrados correspondientes, El sistema es estable si todas las raíces de tienen la parte real estrictamente negativa. K 3 2 G(s) A ( s ) T T s ( T T ) s s s (1 T1s) (1 T2 s ) 1 2 1 2
•
K
Obtención de raíces complicada, pero puede obtenerse la condición de 3 2 2 2 oscilación ... T T s (T T )s s K T T (s )( s x) 1 2
T1 T2
T1T2 x 2 T1T 2 u 1 K T1T2 u2 x
•
1
2
x
1 2
K u u
T1 T 2 T1T 2 1 T1T 2
Este método sirve para comprobar, no para diseñar
u
Crit. de Routh-Hurwitz A( s) a0 s
•
n
a1 s n1 a2 s n2
an 1s an
a1 a0 0 a 3 a5 Formar la matriz n x n R a 7 a9 Rellenando con 0 cuando sea necesario
•
•
a0
0
0
0
a2
a1
a0
0
a4
a3
a2
a1
a6
a5
a4
a3
a8
a7
a6
a5
Todas las raíces de tienen la parte real estrictamente negativa los n primeros menores principales de la matriz tienen determinante > 0
•
Un determinante es nulo coincide (a veces) con la condición de oscilación.
•
Condición necesaria
•
Caso
n 1 A( s) a0 s a1
a0
0
ai
0, R
a1
i 0,1,2,
a1
0
,n
Crit. de Routh-Hurwitz
Crit. de Routh-Hurwitz
1.- Obtención de las raíces de 1 + G(s) = 0
Un sistema realimentado es estable si todas las raíces del denominador de su función de transferencia (1 + G(s), polinomio característico) tienen su parte real estrictamente negativa, es decir, están situadas en el semiplano estrictamente negativo. Por tanto, se trata de resolver la ecuación: 1 + G(s) = 0 (ecuación característica) y de analizar la situación de sus raíces. Este método no da idea de como se comporta el sistema en función de un parámetro. No es un buen método para análisis de estabilidad.
3.- Criterio del reverso
Un sistema realimentado es estable si al recorrer el gráfico de Nyquist del lazo abierto G(s) en el sentido de las pulsaciones o frecuencias crecientes, el punto (-1,0) se deja a la izquierda . Un sistema realimentado es estable si al recorrer el gráfico de Black del lazo abierto G(s) en el sentido de las pulsaciones o frecuencias crecientes, el punto (0 dB, 180º) se deja a la derecha.
2
Im(G(jw)) Nyquist
1
0 -3 -2 -1 w=OO 1 -1 -2
estable
w=0 2
3
Re(G(jw))
2
Im(G(jw))
1
0 -3 -2 -1 w=OO 1 -1 -2
inestable
w=0 2
3 Re(G(jw))
Black
|G(jw)| (dB) 20
10 G(jw) w=0 0 -180º -90º 0º 90º -10
|G(jw)| (dB) 20
180º
G(jw)
10 0
w=0 -180º -90º 0º 90º -10
-20
180º
-20 w=OO
w=OO estable
inestable
En la mayoría de los casos prácticos se puede aplicar el criterio del reverso. Sin embargo, no siempre es correcto. Si hay integraciones o raíces de G(s) en el semiplano positivo puede fallar.
K
Ejemplo:
K, T ,T positivos 1 2
G(s) = s.(1 + T s)(1 + T s) 1
2 w=-0
Im(G(jw))
Im(G(jw))
w=-0 1
1
w=+OO
w=+OO
Re(G(jw))
w=-OO 1
-1
Re(G(jw))
w=-OO 1
-1
-1
-1
w=+0 K
u
P=0
R= 0
N=P+R=0 Estable
w=+0
K>K
u
Inestable
P=0
R=2
N=P+R=2
4.- Criterio de Nyquist
El criterio del reverso es una simplificación del criterio de Nyquist.
Se basa en el principio del argumento del cálculo complejo. Reglas de aplicación :
1.- Anotar P = nº polos de G(s) en semiplano estrictamente positivo 2.- Dibujar el diagrama de Nyquist de G(jw) desde w = -O a w = +O Para ello se dibuja el diagrama de Nyquist desde w = 0 a w = +O y se añade su simétrico respecto al eje real. O O 3.- Siendo h el nº de integraciones de G(s), se completa el gráfico con h semicírculos de O gran módulo en sentido horario, desde w = -0 a w = +0 4.- Anotar R = nº de rodeos horarios al punto (-1,0) de la curva cerrada obtenida. A los rodeos antihorarios se les da signo negativo. 5.- Nº de raíces de 1 + G(s) en semiplano positivo: N = P + R
