Universidade Federal do Rio Grande – FURG FURG Instituto de Matemática, Estatística e Física
FURG
Av. Itália km 8 Bairro Carreiros Rio Grande-RS CEP: 96.203-900 Fone (53)3293.5411 e-mail:
[email protected] Sítio: www.imef.furg.br
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
ANOTAÇÕES DE AULA
Profª. Dra. Cristiana Andrade Poffal Nome do(a) do(a) aluno(a): Matrícula:
Rio Grande, agosto de 2017.
Equações Diferenciais
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Andrade Poffal
1 INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS As equações diferenciais são o suporte matemático para muitas áreas da Ciência e da Engenharia. E ngenharia.
1.1 Definições Nesta seção serão apresentados conceitos básicos sobre o assunto a ssunto que será desenvolvido no decorrer do bimestre.
1.1.1 Equação Diferencial É uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes. As equações diferenciais são classificadas classificadas de acordo com o tipo, a ordem e a linearidade.
1.1.2 Classificação pelo Tipo Se uma equação contém somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes com relação a uma única variável independente, ela é chamada de equação diferencial ordinária (EDO). Uma equação que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial parcial (EDP).
Exemplo 1: Classifique a seguintes equações diferenciais pelo tipo, escreva EDO para as equações diferenciais ordinárias ou EDP para as equações diferenciais parciais. a)
dy dt
u v b) y x
4y 1
c) x y dx 5 ydy 0
2 u 2u u d) 2 2 t x t
1.1.3 Classificação pela Ordem A ordem da derivada de maior ordem em uma equação diferencial é, por definição, a ordem da d 2 y
3
dy equação diferencial. Por exemplo, 2 3 6 y sen x é uma equação diferencial ordinária de segunda dt dt
4u 2u 0 é uma equação diferencial parcial de quarta ordem. ordem. A equação b x 4 t 2 2
1.1.4 Classificação como Linear ou Não-Linear Uma equação diferencial é chamada de linear li near quando pode ser escrita na forma: a n x
d n y dx
n
an1 x
d n 1 y dx
n1
... a1 x
dy dx
a0 x y g x .
As equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades: a) A variável dependente y e todas as suas derivadas são do primeiro grau; a potência de cada termo envolvendo y é 1. b) Cada coeficiente depende depende apenas da variável independente independente x. Uma equação que não é linear é chamada de não-linear.
2
Equações Diferenciais
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Andrade Poffal
Exemplo 2: Marque com um X as equações diferenciais lineares: a) xdy ydx 0
b) y ' '2 y ' y 0
d) yy' '2 y ' y x
e)
d 3 y dx
3
c) x
3
d 3 y dx
3
x
2
d 2 y dx
2
2 x
dy dx
6 y senx
y2 0
1.1.5 Solução para uma Equação Diferencial Qualquer função definida em algum intervalo I, que quando substituída na equação diferencial, reduz a equação a uma identidade, é chamada de solução para a equação no intervalo.
Exemplo 3: Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial: a) EDO:
dy dx
x y xy
1/ 2
FUNÇÃO: y
x
4
b) EDO: y' '2 y' y 0
16
FUNÇÃO: y xe x
1.1.6 Soluções Explícitas e Implícitas Uma solução para uma EDO que pode ser escrita na forma y=f ( x x) é chamada de solução explícita. Por exemplo, y
x
4
16
é uma solução explícita de
dy dx
xy 1 / 2 0 . Dizemos que uma relação G( x,y)=0 é uma
solução implícita de uma EDO em um intervalo I, se ela define uma ou mais soluções explícitas em I.
Exemplo 4: Mostre que para 2< x<2, a relação x 2 y 2 4 0 é uma solução implícita para a equação diferencial
dy dx
x
. y
1.1.7 Número de Soluções Uma equação diferencial geralmente possui um número infinito de soluções.
Exemplo 5: Para qualquer valor de c, mostre que y Observação: As funções y=e x, y=e-x, y=c1 e x, y=c2 segunda ordem y ' ' y 0 .
c x
e-x
1 é uma solução de x
dy dx
y 1.
e y=c1 e x+c2 e-x são todas soluções da EDO linear de
1.1.8 Solução Particular Uma solução para uma equação diferencial que não depende de parâmetros arbitrários é chamada de solução particular. Por exemplo, pode-se verificar que y=c e x é uma família a um parâmetro de soluções para a equação de primeira ordem
dy dx
y . Para c=0, 2 e 5, obtemos as soluções particulares y=0, y=2 e x e y=5 e x,
respectivamente. Às vezes, uma equação diferencial possui uma solução que não pode ser obtida com a especificação dos parâmetros em uma família de soluções. Tal solução é chamada chamada de solução singular.
3
Equações Diferenciais
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Poffal
1.1.9 Campo de Direções Campos de direções são ferramentas no estudo de equações diferenciais da forma
dy dx
f x, y onde
é uma função dada de duas variáveis x e y . Um campo de direções útil para equações dessa forma pode ser construído calculando-se f em cada ponto de uma malha retangular de pontos do plano xy . Então, em cada ponto da malha, desenha-se um pequeno segmento de reta cujo coeficiente angular é o valor da função f naquele ponto. Dessa forma, cada segmento de reta é tangente ao gráfico de uma solução contendo aquele ponto. Um campo de direções razoavelmente fino fornece uma boa idéia do comportamento global das soluções de uma equação diferencial. Para obter o campo de direções não é necessário resolver a equação diferencial, basta calcular a função f dada muitas vezes. Os gráficos abaixo mostram o campo de direções correspondente f
à
dy dx
x 2 .
Exercícios 1. Classifique as equações diferenciais lineares e não-lineares. Escreva também a ordem de cada equação: a) x 1 y' '3 xy'6 y sen x
b) 1 y dx xdy 0 2
c) senx y' ' 'cos x y' 2
d)
d 2 r 2
dt
k 2
r
2. Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial: a) 2 y' y 0, y e x / 2
b) y '4 y 32, y 8
d) y' xy' y, y x 1
e) y ' y 1, y x ln x, x 0
3
c)
dy dx
2 y e 3 x , y e 3 x 10e 2 x
1
x
3. Encontre o valor de m para que y=xm seja uma solução para a equação diferencial x 2 y' ' y 0 .
Lista I Introdução às Equações Diferenciais
1. Coloque V ou F, conforme a função dada seja ou não solução da equação diferencial ordinária indicada: a) ( ) y 2e x xe x é solução de y' '2 y' y 0 . b) ( ) y ln x é solução de xy' ' y' 0 para x 0 . c) ( ) y C 1 sen2 x C 2 cos2 x é solução de y' '4 y 0 . 2. Determine as constantes C1 e C2 para que a função y x C 1e 2 x C 2 e x 2 atenda às condições y0 1, y' 0 1. 3. Encontre o valor de m para que y=emx seja uma solução para a equação diferencial y ' '5 y '6 y 0 .
4
Equações Diferenciais
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Poffal
2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 2.1 Problema de Valor Inicial Estamos interessados na resolução da equação diferencial de primeira ordem:
dy dx
f x, y sujeita à
condição inicial y x0 y0 , em que x0 é um número no intervalo I e y 0 é um número real arbitrário. O problema: Resolva:
dy dx
f x, y sujeito a y x0 y0 é chamado de problema de valor inicial. Em termos
geométricos, procura-se uma solução para a equação diferencial, definida em algum intervalo I tal que o gráfico da solução passe por um ponto x0 , y 0 determinado inicialmente.
2.2 Variáveis Separáveis Uma equação diferencial da forma
dy dx
g x h y
é chamada separável ou tem variáveis separáveis.
2.2.1 Método de solução h y dy g x dx
h y dy c g x dx c h y dy g x dx c c h ydy g x dx c 1
2
2
1
onde c é uma constante arbitrária.
Exemplo 1: Resolva: a)
dy dx
1 e 2 x
b) 1 x dy ydx 0
Exemplo 2: Resolva o problema de valor inicial:
dy dx
c) xe y senxdx ydy 0
x
, y(4)=3. y
Observação: Não há necessidade de tentar resolver y como função de x em uma expressão que representa uma família de soluções. Exercícios 1. Resolva cada equação diferencial dada por separação de variáveis: a)
dy dx
sen5 x
e) y ln x i) 2
dy dx
y 1 dy x dx
1 y
2 x y
b)
dy dx
2
f) e x
x 1
dy dx
2
2 x
j) x x
dy dx
c) xy’=4y
d)
g) 2y( x+1)d y= xd x
h)
y y
5
dy dx dQ dt
y 1 x
k Q 70
Equações Diferenciais
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Poffal
2. Resolva os seguintes problemas de valor inicial: a) 1 e y senxdx 1 cos xdy , y(0)=0
b) ydy 4 x y 2 1dx , y(0)=1
Respostas
1. a) y x e)
c) y’+2y=1, y(0)=-5/2
x 3 3
cos5 x
ln x
5 x 3 9
b) y x
C
y
2
2
x 1 3 3
C
f) y x 2 xe x 2e x C
2 y ln y C
d) y x Cx 1
c) y x Cx 4
g) y 2 x ln x 1 C
j) y k 1 x 1
2
h) Qt 70 Ae kt
i) y 2 x 2 x C
2. a) 1 cos x 1 e y 4
b) y 2 1 2 x 2 2
2
1
c) x 2
3 e
2 x
2.3 Equações Homogêneas 2.3.1 Definição de função homogênea Uma função f satisfaz f (tx, ty)= t n f ( x, y ) para algum número real n, então dizemos que f é uma função homogênea de grau n.
Exemplo 3: Verifique se as seguintes funções homogêneas: a) f x, y x 2 3 xy 5 y 2
b) f x, y x 3 y 3 1
c) f x, y 3 x 2 y 2
2.3.2 Equação Diferencial Homogênea Uma equação diferencial da forma M x, y dx N x, y dy 0 é chamada homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do mesmo grau.
2.3.3
Método de solução
Uma equação diferencial homogênea M x, y dx N x, y dy 0 pode ser resolvida por meio de uma substituição algébrica. Especificamente, a substituição y=ux ou x=vy em que u e v são novas variáveis independentes transformará a equação em equação diferencial de primeira ordem separável.
Exemplo 4: Resolva:
a) x 2 y 2 dx x 2 xy dy 0
Exemplo 5: Resolva o problema de valor inicial x
dy dx
y xe y / x , y(1)=1.
6
b) 2 xy y dx xdy 0
Equações Diferenciais
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Poffal
Exercícios 1. Determine se a função dada é homogênea: a) f x, y x 2 xy 3
2
y
x c) f x, y sen x y
4
b) f x, y x y 4 x 3 y
x
2. Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada: a) x y dx xdy 0
b) y yx dx x dy 0 2
2
c)
dy dx
y x
x
2
y
2
1
dy
d)
dx
y x x y
ln
3. Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada: dy
y 3 x 3 , y(1)=2
d) x 2 2 y 2 dx xydy , y(1)=1
b) xydx x 2 dy y x 2 y 2 dy , y(0)=1
e) y 3 dx 2 x 3 dy 2 x 2 ydx , y(1)=
a) xy 2
dx
2
c) y 2 3 yx dx 4 x 2 xy dy , y(1)=1
Respostas 1. Todas as funções são homogêneas. 2. a) y x ln x Cx b) y ln x x Cy
c)
y arctg ln x C x x y
d) ln
y x
1 Ax
3. 1
2 x 2 2 y y 1 y 1 3 3 a) y 3 x ln x b) 2 1 ln y 1 c) ln x 4 ln 1 d) ln x ln 1 ln 2 x x 3 2 2 x y
8
e) ln x
x
2
y
2
1 2
2.4 Equações Exatas 2.4.1 Definição Uma equação diferencial M x, y dx N x, y dy 0 é uma equação diferencial exata em uma região R do plano xy se ela corresponde à diferencial total de alguma função f ( x,y). Uma equação diferencial da forma M x, y dx N x, y dy 0 é chamada de exata se a expressão do lado esquerdo for uma diferencial exata.
2.4.2 Critério para uma Diferencial Exata Sejam M x, y e N x, y funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região retangular R definida por a< x
Supondo
z f x, y ,
então
dz
M N . y x
7
Equações Diferenciais
2.4.3
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Poffal
Método de Solução Dada a equação M x, y dx N x, y dy 0 :
(1)
M N . (2) y x f M x, y . Encontre f integrando M x, y com relação a x, considerando y 2) Suponha que x constante: f x, y M x, y dx g y (4) 1) Mostre que
onde g y é uma constante de integração. 3) Derive a expressão de f x, y com relação a y e supondo
f N x, y : y
f M x, y dx g ' y N x, y y y Assim, g ' y N x, y M x, ydx . y
(5) (6)
4) Integre a expressão g ' y com relação a y e substitua o resultado g ( y) em (4).
Observação: Também poderíamos começar o procedimento acima com a suposição de que
f N x, y . y
Depois, integrando N x, y com relação a y e derivando o resultado, encontramos:
f x, y N x, y dy hx h' x M x, y
Exemplo 6: Resolva: a) 2 xydx x 2 1 dy 0
N x, y dy . x
b) e 2 y y cos xy dx 2 xe 2 y x cos xy 2 y dy 0
Exemplo 7: Resolva o problema de valor inicial: cos x sen x xy 2 dx y 1 x 2 dy 0 , y(0)=2. Exercícios 1. Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva-a: a) 2 x 1dx 3 y 7dy 0
b) 5 x 4 y dx 4 x 8 y 3 dy 0
y c) 1 ln x dx 1 ln x dy x
x 2 2 x d) dx 2 dy 0 y y
2. Resolva os problemas de valor inicial dados abaixo: c) e x y dx 2 x ye y dy 0, y0 1
a) x y dx 2 xy x 2 1dy 0, y1 1 b) 4 y 2 x 5dx 6 y 4 x 1dy 0, y 1 2 2
3 y 2 x 2 dy x d) 5 dx 2 y 4 0, y1 1 y
8
Equações Diferenciais
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Poffal
3.
Encontre o valor de k para 2 xy ye x dx 2 x 2 y ke x 1 dy 0 .
que
a
equação
diferencial
dada
seja
exata
2
Respostas 1. a) x x 2
3 y 2 2
7 y c
b) 4 xy
2. a) x 3 3 x 2 y 3 xy 2 3 y 4 b)
d)
x 2 y 4
6 y 2
5 x 2 2
c) x ln x y ln x y c
2 y c 4
4 xy x 2 5 x 3 y 2 y 8
50
c)
d)
x 2 y
c
e xy 2 y ye e 3 x
y
y
3. k 1
2.5 Equações Lineares 2.5.1 Definição A forma geral de uma equação diferencial de ordem n é: an x
d n y dx n
1
a n1 x
d n y dx n
1
2
an2 x
d n y dx n
2
... a1 x
dy dx
a0 x y g x,
onde todos os coeficientes são funções de x somente e que todas as suas derivadas são elevadas à primeira potência. Uma equação diferencial da forma a1 x
dy dx
a 0 x y g x é uma equação linear.
Dividindo pelo coeficiente a1 x , obtemos uma forma mais útil de uma equação linear de primeira ordem: dy dx
P x y f x .
(1)
2.5.2 Fator de Integração Usando diferenciais, podemos escrever a equação (1) como: dy P x y f xdx 0
(2)
Equações diferenciais lineares têm a propriedade através da qual podemos sempre encontrar uma função ( x) em que: (3) x dy xP x y f xdx 0 é uma equação diferencial exata. x xP x y f x Esta equação é exata se (4) x y d dx
Então,
d
P x .
P x dx
ln P x dx
(5)
9
Equações Diferenciais
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Poffal
x e
P x dx
(6)
A função x definida em (6) é um fator de integração para a equação linear. Escrevemos (3) na forma: e P x dx dy e P x dx P x ydx e P x dx f x dx
e podemos escrevê-la como: d e
P x dx
y e
P x dx
f x dx .
Integrando: e
P x dx
y e
P x dx
f x dx C ou y e
P x dx
e
P x dx
f x dx Ce
P x dx
.
(7)
Exemplo 8: Resolva as seguintes equações diferenciais: a) x
dy dx
4 y x 6 e x
dy
b)
dx
c) x 2 9
3y 0
Exemplo 9: Resolva o problema de valor inicial
dy dx
dy dx
xy 0
2 xy x, y 0 3 .
Exercícios 1) Encontre a solução geral para cada equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida. a)
b)
dy dx dy dx
dy
5 y
c) cos x
y e 3 x
d) xy'2 y e x ln x
dx
ysenx 1
e) x
dy dx
3 x 1 y e 3 x
2) Resolva os seguintes problemas de valor inicial: a) y' 2 y xe 3 x e 2 x , y0 2 c) sen x
b) x 1
dy dx
y ln x, y 1 10
cos x y 0, y 1 dx 2
dy
Respostas 1. a) y x Ce
d) y x
e x x
e x x
2
b) y x 1
ln x 2
2. a) y x xe e 3 x
3 x
3 x
e
5x
x
1 4
4
Ce x
C x
2
c) y( x) sen( x) C cos( x) e) y x e 3 x
2
2
e
2 x
3e 2 x b) y x
x ln x x 21 x 1
10
C x
e
3 x
c) y( x) cos ec( x)
Equações Diferenciais
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Poffal
Lista II Equações Diferenciais de Primeira Ordem
1. As seguintes equações diferenciais são apresentadas na forma normal e na forma diferencial. Classifique-as em linear ou não linear (L ou NL), a variáveis separáveis ou não (VS ou NVS), exatas ou não (E ou NE) ou homogêneas ou não (H ou NH): a) y ' xy
xydx dy 0
b) y ' xy
1
xdx
y
c) y '
dy 0
xy
2
x y y 2
d) y'
xy
2
x y y 2
xy 2 dx x 2 y y 3 dy 0
3
3
xy 2 dx x 2 y y 3 dy 0
2. Resolva as seguintes equações diferenciais: a) xy'4 y x 5
d) xy' y 2 x e x
g) y' e x y
b) x 2 y'3 y 1
e) y'7 y sen2 x
h) xdx y 2 dy 0
2 xydy 0 f) x 2 y 2 dx
i) y ln xdx 2 ydy 0
c)
1 e yy' e x
x
3. Verifique se as equações diferenciais dadas abaixo são exatas . Resolva-as: a) 3 x 2 ydx x 3 dy 0
2 x y dx 2 y xdy 0
b)
4. Encontre o valor de k para que a equação y 3 kxy 4 2 x dx 3 xy 2 20 x 2 y 3 dy 0 seja exata. 5. Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais ordinárias sujeitas à condição dada: a) x 2 y' y xy
y 1 1
1 dy y y sen x x xy cos 2 b) 2 y 1 dx
y0 1
Respostas 1. a) VS, NE, NH, L 2. a) y
x
e) y
7
h)
y
3
3
9
53 x
Cx
1
4
b) y Ce 3
sen2 x
2
2
3. a) Exata 4.
5
b) VS, E, NH, Lc) NVS, NE, H, NL
2 53
cos2 x Ce
7x
d) NVS, E, H, NL
3
x
c) y 2 2 ln 1 e x C d) y x f)
y
2
x
2
A x
1
2
y Cx
3
b) Exata, x 2 yx y 2 C
k 10
5. a) y
e
1 1 x
x
b) y 2 x cos x arctg y
11
x
g) y ln C e x
1
i) y x ln x x C
C
x
e
4
C x
Equações Diferenciais
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Poffal
3 APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM Os modelos matemáticos para fenômenos como crescimento populacional, decrescimento radiativo, reações químicas, resfriamento de corpos, velocidade de um corpo em queda, corrente em um circuito em série são freqüentemente descritos por equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.
3.1 Problemas de Crescimento e Decrescimento Seja N (t ) a quantidade de substância ou população sujeita a um processo de crescimento ou decrescimento. Se admitirmos de substância presente, logo,
dN
dt dN dt
, taxa de variação da quantidade de substância é proporcional à quantidade
kN ou
dN dt
kN 0 , onde k é a constante de proporcionalidade.
Exemplo 1: Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após uma hora, observamos 1.000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, 3.000 núcleos. Determine: a) uma expressão para o número de núcleos presentes na cultura no tempo arbitrário t ; b) o número de núcleos inicialmente existentes na cultura; c) o número de núcleos existentes na cultura após 6 horas.
3.2 Problemas de Variação de Temperatura A lei de variação de temperatura de Newton afirma que a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Seja T a temperatura do corpo e T m a temperatura do meio ambiente. Então a variação de temperatura do corpo é variação de temperatura pode ser formulada como:
dT dt
dT dt
, e a lei de Newton relativa à
k T T m , onde k é uma constante positiva de
proporcionalidade.
Exemplo 2: Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 100ºF em um ambiente com temperatura constante de 0ºF. Se, após 20 minutos a temperatura da barra é de 50ºF, determine: a) uma expressão para a temperatura da barra em função do tempo; b) o tempo necessário para a barra chegar à temperatura de 25ºF; c) a temperatura da barra após 10 minutos.
12
Equações Diferenciais
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Poffal
3.3 Circuitos Elétricos Uma força eletromotriz produz uma voltagem E (t) volts e uma corrente I em ampères em um tempo t. O circuito também contém um resistor com uma resistência R ohms e um indutor com indutância L henries. Pela lei de Ohm, a queda de voltagem no resistor é RI e pelas leis de Kirchoff: L
dI dt
RI E .
A equação básica que rege a quantidade de corrente I (em ampères) em um circuito simples do tipo RL consistindo de uma resistência R (em ohms), um indutor L (em Henries) e uma força eletromotriz E (dada em volts) é: dI dt
R L
I
E L
.
Para um circuito RC consistindo de um resistência, um capacitor C (em farads), uma força eletromotriz, e sem indutância, a equação que rege a quantidade de carga elétrica q (em coulombs) no capacitor é: dq dt
A relação entre q e I é: I
dq dt
1 RC
q
E R
.
.
Observação: Dispositivo Indutor
Grandeza Indutância (L)
Queda de Voltagem L
di
Resistor
Resistência (R)
dt Ri
Capacitor
Capacitância (C)
q C
Exemplo 3: Um circuito RL tem fem de 5 volts, resistência de 50ohms e indutância de 1 henry. A corrente inicial é zero. Determine uma expressão para a corrente no circuito no instante t . Exemplo 4: Um circuito RC tem fem (em volts) dada por 400 cos(2t ), resistência de 100ohms e capacitância de 10-2 farad. Inicialmente não existe carga no capacitor. Determine uma expressão para a corrente no circuito no instante t .
13
Equações Diferenciais
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Poffal
Exercícios 1. Um corpo à temperatura de 50ºF é colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente é de 100ºF. Se, após 5 minutos a temperatura do corpo é de 60ºF, determine: a) uma expressão para a temperatura da barra em função do tempo; b) o tempo necessário para a temperatura do corpo chegar a 75ºF; c) a temperatura da barra após 20 minutos. 2. Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida em um quarto à temperatura constante de 30ºF. Se, após 10 minutos, a temperatura do corpo é de 0ºF e após 20 minutos é de 15ºF, determine: a) a temperatura inicial; b) uma expressão para a temperatura da barra em função do tempo. 3. Sabe-se que a população de determinado estado cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes. Se, após 2 anos a população é o dobro da inicial, e após três anos é de 20.000 habitantes, determine: a) população inicial; b) uma expressão para o número de habitantes em função do tempo. 4. Um circuito RC tem fem de 5 volts, resistência de 10 ohms, capacitância de 10 -2 farad e inicialmente uma carga de 5 coulombs no capacitor. Determine: a) uma expressão para a corrente no circuito no instante t ; b) a corrente estacionária. 5. Um circuito RL sem fonte de fem tem corrente inicial I0. Determine uma expressão para a corrente no circuito no instante t . 6. Um circuito RL tem fem de 4 sen(t ) volts, resistência de 100 ohms e indutância de 4 henries. A corrente inicial é zero. Determine uma expressão para a corrente no circuito no instante t . 7. Em uma certa reação química um composto C decompõe-se a uma taxa proporcional à quantidade de C que permanece. Sabe-se por experiências que 8g de C diminuem para 4g em duas horas. Determine: a) uma expressão para a quantidade de C que permanece na reação em função do tempo; b) em que instante restará apenas 1g.
Respostas 1. a) T (t ) 100 50e 0,045t 2. a) 30°F 3. a) 6.999 4. a) I (t ) 6. I (t )
1
99 2
e 626
e
10t
25t
b) t 15,4 min c) 79,7°F b) T (t ) 30 60e 0,069t b) T (t ) 6.999 e 0,35t 99 b) lim e 10t 0 t 2
25sen(t ) cos(t )
R
5. I (t ) I 0 e
t L
7. a) C (t ) 8e 0,347t
14
b) 6 horas
Equações Diferenciais
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Poffal
Lista III Aplicações de Equações Diferenciais de Primeira Ordem
1. Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante. Se a população duplicou em 5 anos, quando ela triplicará? Quando ela quadruplicará? 2. Inicialmente, havia 100 miligramas de uma substância radiativa presente. Após 6 horas, a massa diminui 3%. Se a taxa de decrescimento é proporcional à quantidade de substância presente em qualquer tempo, encontre a quantidade remanescente após 24 horas. 3. Quando a capitalização é feita de maneira contínua, a quantidade de dinheiro S aumenta a uma taxa proporcional à quantidade presente em qualquer tempo: dS/dt=rS, em que r é a taxa anual de juros. a) Encontre a quantidade de dinheiro acumulado no final de 5 anos, quando R$ 5.000,00 são depositados em uma poupança com taxa anual de juros de 5,75% e capitalização contínua. b) Em quantos a quantia inicial depositada duplicará? 4. Um termômetro é retirado de dentro de uma sala e colocado do lado de fora em que a temperatura é de 5°C. Após 1 minuto, o termômetro marcava 20°C; após 5 minutos, 10°C. Qual a temperatura inicial que o termômetro estava marcando? 5. Uma força eletromotriz (fem) de 30 volts é aplicada a um circuito em série LR no qual a indutância é de 0,5 henry e a resistência, 50 ohms. Se i(0)=0, determine a corrente i(t ). 6. Quando o esquecimento é levado em conta, a taxa de memorização de uma pessoa dada por: dA dt
k 1 M A k 2 A,
em que k 1>0, k 2>0, A(t ) é a quantidade de material memorizada no instante t , M é a quantidade total a ser memorizada e M A é a quantidade restante a ser memorizada. Encontre A(t ), supondo que A(0)=0. Calcule o valor limite de A quando t . 7. Um marca-passo, como mostrado na figura, consiste em uma bateria, um capacitor e o coração como resistor. Quando a chave S está em P, o capacitor é carregado; quando S está em Q, o capacitor é descarregado, enviando um impulso elétrico ao coração. Durante esse tempo, a voltagem E aplicada ao coração é dada por: dE dt
1
E , t 1 t t 2 RC
em que R e C são constantes. Determine E (t ) se E (t 1) = E 0.
Respostas 1. Para triplicar: 7,9 anos; para quadruplicar: 10 anos. 2. 88,5 4. 24,75ºC 5. I (t )
6
1 e 10
100t
k M 6. At 1 e k 2 k 1 t 1 k 1 k 2
15
3. a) R$6.665,45 lim A(t )
t
k 1 M k 1 k 2
b) 12 anos t 1 t
7. I (t ) E 0 e RC
Equações Diferenciais
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Poffal
4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 4.1 Problema de Valor Inicial O problema descrito pela equação diferencial ordinária an x
d n y dx
n
a n1 x
d n 1 y dx
n 1
an2 x
d n 2 y dx
n2
... a1 x
dy dx
a0 x y g x,
sujeita às condições y x0 y0 , y' x0 y' 0 , ..., y n1 x0 y0n1 em que y 0 , y ' 0 , ..., y0n1 são constantes arbitrárias, é chamado de problema de valor inicial. Os valores y x0 y0 , y ' x0 y '0 , ..., y n1 x0 y0n1 são chamados de condições iniciais. Nosso objetivo é encontrar uma solução em algum intervalo I contendo x 0 . Por exemplo, para a equação linear de segunda ordem, uma solução para o problema de valor inicial: d 2 y dy a 2 x 2 a1 x a0 x y g x dx dx y x0 y0 y' x0 y '0 é uma função que satisfaça à equação diferencial em I cujo gráfico passa pelo ponto x0 , y 0 com inclinação y '0 .
4.1.1 Existência de Solução Única Sejam a n x, a n1 x, an2 x,..., a1 x, a0 x, g x funções contínuas em um intervalo I com an x 0 para todo x neste intervalo. Se x x0 é algum ponto deste intervalo, então existe uma única solução y x para o problema de valor inicial neste intervalo.
Exemplo 1: Verifique se y x 3e 2 x e 2 x 3x é uma solução para o problema de valor inicial y' '4 y 12 x . y0 4 y' 0 1
4.2 Problema de Valor de Contorno O problema que consiste em resolver uma equação diferencial de ordem 2 ou maior na qual a variável dependente y ou suas derivadas são especificadas em pontos diferentes é chamado de problema de contorno.
16
Equações Diferenciais
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Poffal
d 2 y dy a0 x y g x a x a x 1 2 dx 2 dx Por exemplo, o problema y a y0 é um problema de contorno. y b y1 A solução para o problema dado é uma função que satisfaça à equação diferencial em algum intervalo I contendo a e b e cujo gráfico passa pelos pontos a, y 0 e b, y1 .
Exemplo 2: Verifique que a função y 3 x 2 6 x 3 satisfaz a equação diferencial e as condições de x 2 y ' '2 xy'2 y 6 contorno: y1 0 no intervalo (0,). y2 3 4.3 Soluções para Equações Lineares 4.3.1
Equações Homogêneas Uma equação diferencial de n-ésima ordem da forma: an x
d n y dx n
a n1 x
d n 1 y dx n
1
a n2 x
d n 2 y dx n
2
... a1 x
dy dx
a0 x y g x
é dita não-homogênea. Se g x 0 , então a equação diferencial é dita homogênea.
Exemplo 3: Classifique as equações diferenciais em homogêneas e não-homogêneas: a) 2 x 2 y' ' '5 xy' ' y x 2 1
4.3.2
b) y ' '2 y '5 y 0
Princípio da Superposição
Sejam y1, y2,..., yk soluções para a equação diferencial ordinária linear de n-ésima ordem homogênea em um intervalo I. Então a combinação linear: y c1 y1 x c2 y 2 x ... ck y k x
em que os valores ci, i=1, 2, ..., k são constantes arbitrárias, é também uma solução no intervalo.
17
Equações Diferenciais
4.3.3
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Poffal
Corolários
Um múltiplo y c1 y1 x de uma solução y1 x para uma equação diferencial linear homogênea é também uma solução. Uma equação diferencial linear homogênea sempre possui a solução trivial y=0.
Exemplo 4: Dada a equação diferencial x 3 y' ' '2 xy'4 y 0 , sabendo que y x 2 e y x 2 ln x são soluções da equação no intervalo (0,), sua combinação linear também é solução da equação? 4.3.4
Solução Geral
Sejam y1, y2,..., yn n soluções linearmente independentes para a equação diferencial linear homogênea de n-ésima ordem em um intervalo I. A solução geral para a equação no intervalo é definida por: y c1 y1 x c 2 y 2 x ... cn y n x ,
em que os valores ci, i=1, 2, ..., n são constantes arbitrárias.
4.4 Equações Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes Procuramos determinar se existem soluções exponenciais em (, ) para equação de ordem maior que 1 como: (1) an y n an1 y n1 an2 y n2 ... a2 y' 'a1 y'a0 y 0 em que os ai, i =0, 1, 2, ..., n são constantes. O fato surpreendente é que todas as soluções para (1) são funções exponenciais ou construídas a partir de funções exponenciais.
4.4.1 Equação de Segunda Ordem Considere o caso especial da equação diferencial de segunda ordem: ay' 'by'cy 0 .
(2) Se tentamos uma solução da forma y e mx , então y' me mx e y' ' m 2 e mx , substituindo na equação (2): am 2 e e
mx
mx
am
bmemx ce mx 0 2
bm c 0
.
Como e mx nunca se anula para valores reais de x, então a única maneira de fazer essa função exponencial satisfazer a equação diferencial é escolher m de tal forma que ele seja raiz da equação quadrática am2 bm c 0 . Esta equação é chamada de equação auxiliar ou característica da equação diferencial linear (2). Consideramos três casos: as raízes da equação auxiliar são reais distintas, reais iguais ou complexas conjugadas.
Caso 1: Raízes reais distintas Supomos que m1 e m2 são raízes reais distintas, então a solução geral de (2) será: y c1e
m1 x
c2 e m x .
18
2
Equações Diferenciais
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Poffal
Caso 2: Raízes reais iguais Quando m1 = m2, obtemos somente uma solução exponencial y e m x . A solução geral de (2) será: m x m x y c1e c2 xe . 1
1
1
Caso 3: Raízes complexas conjugadas Se m1 e m2 são raízes complexas, então podemos escrever que m1 i e m2 i em que ,>0 são reais e i2=1. Assim, na solução: y c1e
m1 x
c2em x 2
i x c2e i x . y c1e
Na prática é preferível trabalhar com funções reais em vez de exponenciais complexas. Para este fim, usamos a fórmula de Euler: i x e cos x isen x . Pelo princípio de superposição, a solução geral é: y e x c1 cos x c 2 sen x .
Exemplo 6: Resolva as seguintes equações diferenciais: a) 2 y ' '5 y '3 y 0
b) y ' '10 y '25 y 0
c) y ' ' y ' y 0
Exemplo 7: Resolva o problema de valor inicial y ' '4 y '13 y 0 , y0 1, y' 0 2 . 4.4.2 Equações Diferenciais Ordinárias de Ordem Superior No caso geral para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem: an y n an1 y n1 an2 y n2 ... a2 y' 'a1 y'a0 y 0
(3)
em que os ai, i=0, 1, ..., n são constantes reais, devemos resolver uma equação polinomial de grau n: an m n an1m n1 ... a2 m 2 a1m a0 0 .
(4)
Se todas as raízes de (4) são reais distintas, então a solução geral para (3) é: y c1e
m1 x
c2 e m x ... cn e m x . 2
n
Quando m1 é uma raiz de multiplicidade k de uma equação auxiliar de grau n (isto é, quando k raízes são iguais a m1), pode ser mostrado que as soluções linearmente independentes são: e m x , xe m x , x 2 e m x , ..., m x k x 1e . 1
1
1
1
Observação: Quando os coeficientes da equação auxiliar são reais, as raízes complexas sempre aparecem em pares conjugados. Exemplo 8: Resolva:
a) y ' ' '3 y ' '4 y 0
b) 3 y ' ' '5 y ' '10 y '4 y 0
19
c) y iv 2 y' ' y 0
Equações Diferenciais
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Poffal
Exercícios 1. Encontre a solução geral para cada equação diferencial dada: c) y ' '9 y 0
a) 4 y ' ' y ' 0
e) 2 y ' '2 y ' y 0
b) y ' '36 y 0 d) 8 y ' '2 y ' y 0
f) y ' ' ' y 0
g) y ' ' '3 y ' '3 y ' y 0
h) 16
d 4 y dx 4
24
d 2 y dx 2
9y 0
2. Resolva a equação diferencial sujeita às condições iniciais indicadas: a) y ' '16 y 0 y0 2 , y' 0 2 b) y ' '8 y '17 y 0 y0 4 , y' 0 1 c) y ' ' '12 y ' '36 y ' 0 y0 0 , y' 0 1 , y' ' 0 7 d)
d 4 y dx
4
y0
y0 y' 0 y' ' 0 0 , y' ' ' 0 1
Respostas 1. a) y x c1e d) y x c1e y x e
12 x
1 x 4
14 x
c2e
c cos( 1
b) y x c1e 6 x c 2 e 6 x
c2 12
x
3 x) 2
e) y x e
12 x
c) y x c1 cos(3 x) c 2 sen(3x)
c1 cos( 2 ) c2 sen( 2 ) x
x
f)
c2 sen( 23 x) c3 e x
g) y x c1e x c 2 xe x c3 x 2 e x 2. a) y x 2 cos( 4 x) 12 sen(4 x)
h) y x c1 cos( 23 x) c2 sen( 23 x) c3 x cos( 23 x) c4 xsen(
3 2
x)
c) y x 365 365 e 6 x 16 xe6 x
b) y x e 4 x 4 cos( x) 17sen( x)
d) y x 14 e x 14 e x 12 sen x
4.5 Equações não-homogêneas Qualquer função y p, independente de parâmetros, que satisfaça: an x
d n y dx
n
1
a n1 x
d n y dx
n 1
2
an2 x
d n y dx
n2
... a1 x
dy dx
a0 x y g x,
é chamada de solução particular para a equação. Sejam y1, y2,..., yn n soluções linearmente independentes para a equação diferencial linear homogênea de n-ésima ordem em um intervalo I e seja y p qualquer solução não homogênea no mesmo intervalo, então: y c1 y1 x c2 y 2 x ... ck yk x y p x
é também uma solução para a equação não-homogênea no intervalo para quaisquer constantes c1, c2,..., ck . A combinação linear y c c1 y1 x c2 y 2 x ... cn y n x é chamada de função complementar para a equação diferencial linear não-homogênea. Assim, a solução geral da equação diferencial linear não-homogênea é: y x função complement ar solução particular .
20
Equações Diferenciais
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Poffal
Exemplo 5: Verifique que y 4 x 2 é uma solução particular para y' '3 y'4 y 16 x 2 24 x 8 . 4.5.1
Método dos Coeficientes a Determinar
Para encontrarmos a solução geral para uma equação diferencial linear não-homogênea temos que executar dois passos: 1) Encontrar a solução da equação homogênea que é a função complementar yc . 2) Encontrar qualquer solução particular y p da equação não-homogênea. A solução geral para a equação não-homogênea em um intervalo é, então: y= yc + y p. O método dos coeficientes a determinar se limita a equações diferenciais lineares não-homogêneas: - que tem coeficientes constantes; - em que g ( x) é uma constante k , uma função polinomial, uma função exponencial eax , sen( x), cos( x), ou somas e produtos destas funções.
Observação: Este método não se aplica a funções como
1 x
, ln( x), tg ( x), arcsen( x) .
O conjunto de funções que consiste em constantes, polinômios, exponenciais eax, senos, co-senos, tem a notável propriedade: as derivadas de suas somas e produtos são ainda somas e produtos de polinômios, exponenciais eax, senos, co-senos. Na solução da equação ay ' 'by 'cy g ( x) a combinação linear das derivadas da solução particular '' ' ay p by p cy p g ( x) tem de ser identicamente igual a g ( x ) , parece razoável supor então que y p tenha a mesma forma que g ( x) . Caso I: Nenhuma função da suposta solução particular é uma solução da equação homogênea associada. Na Tabela 1, apresentam-se alguns exemplos específicos de g ( x) com a forma correspondente da solução particular desde que nenhuma função da suposta solução particular y p faça parte de yc. Tabela 1: Forma de y p de acordo com uma função dada g ( x)
1 (qualquer constante) 5 x+7 3x2 2 x3 x+1 sen(4 x) cos(4 x) e5x (9 x 2) e5x x2 e5x e3x sen(4 x) 5x2 sen(4 x) xe3x cos(4 x)
Forma de y p A Ax+B Ax2+Bx+C Ax3+B x2+Cx+D A cos(4 x)+ B sen(4 x) A cos(4 x)+ B sen(4 x) A e5x ( Ax+B) e5x ( Ax2+Bx+C ) e5x A e3x cos(4 x)+ B e3x sen(4 x) ( Ax2+Bx+C )cos(4 x)+ ( Dx2+Ex+F )sen(4 x) ( Ax+B) e3x cos(4 x)+ (Cx+D) e3x sen(4 x)+
Exemplo 9: Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método dos coeficientes indeterminados: 2 a) y ' '4 y '2 y 2 x 3x 6
b) y ' ' y ' y 2sen(3x)
21
c) y' '2 y'3 y 4 x 5 6 xe 2 x
Equações Diferenciais
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Poffal
Caso II: Uma função na solução particular escolhida é também uma solução da equação homogênea associada. Exemplo 10: Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias: x a) y ' '2 y ' y e
b) y ' '6 y'9 y 6 x 2 2 12e 3 x
Exercícios 1. Resolva cada equação diferencial dada utilizando o método dos coeficientes a determinar: a) y ' '3 y '2 y 6 d) y' '16 y 2e 4 x
b) y ' ' y 2 xsen( x) e) y ' '2 y' 2 x 5 e 2 x
c) y' '2 y' y e x cos(2 x) f) y' ' y 8sen 2 x
2. Resolva as equações diferenciais dadas sujeitas às condições iniciais indicadas: a) y ' '4 y 2 b) 5 y' ' y ' 6 x c)
d 2 x 2
dt
1 8 2 y0 0
2 8 y' 0 10
x0 0
x' 0 0
y
w 2 x F 0 sen( wt )
y'
0 2
d) y ' ' y cos( x) sen(2 x)
y
e) y' '2 y '3 y 2 cos 2 ( x)
y 0
0 2
y'
1
y ' 0 0
3
Respostas 1. a) y x c1e x c 2 e 2 x 3
b)
1 1 y x c1 cos( x) c2 sen( x) xsen( x) x 2 cos(x) 2 2 1 1 c) y x c1e x c2 xe x e x cos(2 x) d) y x c1e 4 x c2 e 4 x xe 4 x 4 4 1 1 4 e) y x c1 c2 e 2 x 3 x x 2 xe 2 x f) y x c1 cos( x) c2 sen( x) 4 cos(2 x) 2 2 3
2. a) y x c) xt
2sen(2 x) F 0 2w 2
1
b)
2
sen( wt )
F 0 2w 1
3
1
7 65
cos(2 x)
15 x
3 x 2 30 x 200
d) y x cos( x)
t cos( wt )
e) y x c1e 3 x c2 e x
y x 200 e
6
4 65
sen(2 x)
22
1 1 sen( x) xsen( x) sen(2 x) 4 2 3
Equações Diferenciais
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Poffal
4.5.2 Variação de Parâmetros A fim de resolver a equação de segunda ordem da forma y' ' P( x) y'Q( x) y f ( x)
(1)
pode-se utilizar o método da variação dos parâmetros. Procura-se a solução particular da forma (2)
y p u1 x y1 x u 2 x y 2 x
onde y1 x e y 2 x são as soluções da equação homogênea y' ' P( x) y'Q( x) y 0 .
Usa-se a regra do produto para diferenciar
y p :
(3)
y ' p u'1 x y1 x u1 x y'1 x u ' 2 x y 2 x u 2 x y' 2 x
y' ' p u' '1 x y1 x u'1 x y'1 x u'1 x y'1 x u1 x y' '1 x u' ' 2 x y 2 x u' 2 x y' 2 x
u' 2 x y' 2 x u 2 x y' ' 2 x
(4)
Substituindo (2) e suas derivadas (3) e (4) em (1): y p ' ' P( x) y p 'Q( x) y p f ( x) zero
zero
u1 y1 ' ' Py1 'Qy1 u 2 y 2 ' ' Py2 'Qy2 y1u1 ' 'u1 ' y1 ' y 2 u 2 ' ' y 2 ' u 2 ' P y1u1 ' y 2 u 2 ' y1 ' u1 ' y 2 ' u 2 ' f ( x)
d dx
d dx
y1u1 '
d dx
y2 u 2 ' P y1u1 ' y2 u 2 ' y1 ' u1 ' y2 ' u 2 ' f ( x)
y1u1 ' y2u 2 ' P y1u1 ' y 2u 2 ' y1 ' u1 ' y2 ' u 2 ' f ( x)
(5)
Como nosso objetivo é determinar as funções u1 x e u 2 x , precisamos de duas equações
relacionando-as de modo que tenhamos um sistema com duas equações para as duas incógnitas. Consideramos y1u1 ' y 2 u 2 ' 0 , pois dessa forma (5) se reduz a y1 ' u1 ' y 2 ' u 2 ' f ( x) . Assim, tem-se o sistema para as funções u1 ' e u 2 ' y1u1 ' y 2 u 2 ' 0 y1 ' u1 ' y 2 ' u 2 ' f ( x)
que pode ser resolvido pela regra de Cramer e as soluções são u1 ' W
y1
y 2
y1 ' y 2 '
W 1
0
y 2
f x y 2 '
W 2
y1
0
y1 '
f ( x)
W 1 W
e u 2 '
W 2 W
onde
.
As funções u1 x e u 2 x são calculadas por integração dos resultados de O determinante W é chamado de Wronskiano de y1 e y 2 .
23
u1 ' e u 2 ' .
Equações Diferenciais
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Poffal
Exemplo 11: Usando o método de variação de parâmetros, resolva as equações diferenciais: a) y ' '4 y '4 y x 1e 2 x
b) y ' '2 y ' e x sen x
Exercícios 1. Usando o método de variação de parâmetros, resolva as equações diferenciais: a) 4 y' '36 y cos ec3 x
b) y' ' y sec x
d) y ' '9 y 9 xe 3 x
c) y ' ' y senh2 x
2. Usando o método de variação de parâmetros, resolva as equações diferenciais sujeitas às condições dadas: a) 2 y' ' y' y x 1
y0 1
y ' 0 0
b) y' '2 y'8 y 2e2 x e x
y0 1
y ' 0 0
Respostas 1. a) y x c1 cos(3 x) c2 sen(3 x)
sen(3 x) 36
ln sen(3 x)
x
cos(3x)
12
2. a) y x e 3
x
8
x
e 2 x 2 b) y x 3
16 45
e 4 x
1 2
6
1
d) y x c1e 3 x c2 e 3 x xe 3 x
b) y x c1 cos( x) c2 sen( x) cos( x) ln cos( x) xsen( x) 1
1
4
e 2 x
18 90
e x
1
c) y x c1e x c2 e x e 2 x e 2 x
5 90
e 2 x
30 90
6 3 x 2 e 3 x 4
xe 2 x
Lista IV Equações Diferenciais de Ordem Superior
1. Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias: a) y ' '3 y'2 y 0
b) 8 y ' '4 y ' y 0
2. Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias: a) y ' ' y'2 y 4 x
b) y ' ' 9 x 2 2 x 1 d) y' '4 y sen 2 2 x
2
c) y' ' ' y' ' y' y x 2
3. Usando o método de variação de parâmetros, encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias: b) y' ' y 4 cos x sen x
a) y ' '3 y '2 y e x 2e 2 x sen x
4. Resolva as equações diferenciais dadas sujeitas às condições iniciais indicadas: a) y ' '5 y ' x 2
y0 0
b) y ' ' y 8 cos2 x 4sen x
y
1 2
y' 0 2
0 2
y'
24
Equações Diferenciais
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Poffal
Respostas x4
c1 cos( 4 ) c2 sen( 4 )
1. a) y x c1e x c 2 e 2 x
b) y x e
2. a) y x c1e x c 2 e 2 x 2 x 2 2 x 3
b) y x c1 c2 x 34 x 4 13 x 3 12 x 2
c) y x c1e x c2 e x c3 xe x x 2 2 x 4 3. a) y x c1e 2 x c2 e x 2 xe2 x 2e 2 x xe x
x
x
1
1
8
24
d) y x c1 cos(2 x) c2 sen(2 x) 3 10
cos( x)
1 10
cos(4 x)
sen( x)
1
b) y x c1 cos( x) c2 sen( x) 2 cos( x) x cos( x) 2 xsen( x) 2
a) y x
41 125
41 125
e
5x
1 10
x 2
9 25
x
b) y x cos( x)
25
11 3
sen( x)
8 3
cos(2 x) 2 x cos(x)
Equações Diferenciais
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Poffal
5 APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM 5.1 Circuitos em L-R-C Se i(t ) denota a corrente elétrica em um circuito L-R-C,
pela segunda lei de Kirchoff, a soma dessas voltagens é igual a voltagem E (t ) do circuito, isto é, L
di dt
Ri
1 C
q E t .
Mas a carga no capacitor está relacionada à corrente i(t ) por i t
L
d 2 q dt 2
R
dq dt
1 C
dq dt
, então:
q E t .
Exemplo 1: Encontre a carga q(t ) no capacitor em um circuito L-R-C quando L=0,25 henry, R=10ohms, C =0,001 farad, E (t )=0, q(0)=q0 coulombs e i(0)=0. Exemplo 2: Encontre a carga q(t ) no capacitor em um circuito L-R-C quando L=0,5 henry, R=10ohms, C =0,01 farad, E (t )=150 volts, q(0)=1 coulomb e i(0)=0 ampère. Qual é a carga no capacitor após um longo período de tempo?
26
Equações Diferenciais
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Poffal
5.2 Vibrações Amortecidas e Forçadas
Considere um corpo de massa m, preso a uma mola sob a ação das seguintes forças: - força de atrito: F a cv , oposta ao movimento, se c>0, onde v representa a velocidade; - força restauradora: F r kx , exercida pela mola, sendo k uma constante positiva; - força externa: F t . 2
De acordo com a segunda lei de Newton, podemos escrever: m 2
d x 2
dt
c dx m dt
externas, isto é,
k m
x
F t
d x 2
dt
c
dx dt
kx F t , ou ainda,
, que é a equação do movimento para vibrações forçadas . Quando não houver forças
m quando F =0, as
vibrações serão amortecidas.
No caso amortecido, a equação assume a forma:
d 2 x 2
dt
c dx m dt
k m
x 0.
Exemplo 3: Uma mola de constante elástica igual a 4N/m tem uma de suas extremidades fixa em uma massa de 0,25kg é atada a outra extremidade. O sistema está sobre uma mesa que oferece uma força de atrito igual a 3/2 da velocidade instantânea. Inicialmente a massa é colocada 1/3m à esquerda da posição de equilíbrio e então é solta a partir do repouso. Encontre a equação de movimento se o movimento se dá ao longo de uma reta horizontal. 5.3 Mola Vibrante
Por conveniência, escolhemos o sentido para baixo como positivo. Desprezando a massa da mola e admitindo que a resistência do ar é, em cada instante, proporcional à velocidade do corpo, teremos três forças a considerar: - resistência do ar: F a av , a>0; - força devido à massa: F t dirigida para baixo; - força restauradora da mola: F r ky , k >0 ( Lei de Hooke linear) A força restauradora atua de modo a levar o sistema ao repouso e, estando a massa abaixo da posição de equilíbrio, então y é positivo e F r é negativa. A força devido à resistência do ar atua em direção oposta ao movimento, gerando um amortecimento do sistema. Da Segunda Lei de Newton, temos:
27
Equações Diferenciais
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Poffal
m
d 2 y dt 2
a
dy
a dy
dt
ky F t ,
ou ainda, d 2 y 2
dt
m dt
k m
y
F t m
.
Obs: Quando F (t ) =0, o movimento é dito amortecido, caso contrário é dito forçado. Exemplo 4: Uma massa de 0,25kg é atada a uma mola com constante de elasticidade igual a 4N/cm. Supondo que uma força de amortecimento igual ao dobro da velocidade instantânea que atua no sistema, determine a equação do movimento se o peso parte da posição de equilíbrio como velocidade de 3cm/s para cima. Exercícios 1. Uma massa de 1kg é atada a uma mola com constante de elasticidade igual a 16N/m. Supondo que o sistema é imerso em um líquido que oferece uma força de amortecimento igual a 10 vezes a velocidade instantânea que atua no sistema, determine a equação do movimento se a) o peso parte do repouso de um ponto a 1m abaixo da posição de equilíbrio; b) o peso parte de um ponto a 1m abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade de 12m/s para cima. 2. Uma massa de 1kg é atada a uma mola com constante de elasticidade igual a 16N/m. Uma força externa igual a f t 8sen4t age no sistema a partir de t 0 . Encontre a equação do movimento se o meio oferece uma força de amortecimento numericamente igual a 8 vezes a velocidade instantânea que atua no sistema, sabendo que a massa parte do repouso na posição de equilíbrio.
5.4 Movimento Harmônico Simples Suponha, como na figura, uma massa m1 atada a uma mola flexível suspensa por um suporte rígido. Quando m1 é substituída por uma massa diferente m2, o alongamento da mola será obviamente diferente.
Pela lei de Hooke, a mola exerce uma força restauradora F oposta à direção do alongamento e proporcional à distensão s. Simplesmente enunciada F ks , onde k é uma constante de proporcionalidade. Embora massas com pesos diferentes distendam a mola com alongamentos diferentes, a mola é caracterizada pelo número k . Por exemplo, se uma massa de 10kg provoca uma distensão de 2cm em uma mola, então: F ks 98 2k k 49 N / cm
Após uma massa ser atada a uma mola, ela provoca uma distensão s na mola e atinge sua posição de equilíbrio na qual o peso W é igual à força restauradora ks, onde W mg em que a massa é medida em
28
Equações Diferenciais
Prof.ª Dra. Cristiana Andrade Poffal
quilogramas e g=9,8m/s2. A condição de equilíbrio é mg ks . Se a massa estiver deslocada por uma quantidade y de sua posição de equilíbrio e for solta, a força resultante nesse caso de dinâmica é dada pela segunda lei de Newton F ma , em que a é a aceleração
2
d y dt 2
. Supondo que não haja forças de retardamento
agindo sobre o sistema e supondo que a massa vibre sem influência de outras forças externas movimento livre podemos igualar a força F à força resultante do peso e da força restauradora: 2
m
d y 2
dt m
d 2 y 2
k s y mg ky
dt
O sinal de subtração na expressão anterior indica que a força restauradora da mola age em direção oposta ao movimento. Assim, m
d 2 y 2
dt
ky 0 , ou ainda, dividindo por m:
2
d y 2
dt
movimento harmônico simples e chamamos de 2
k m
k m
y0.
Esta equação descreve o
.
Para este tipo de problema há duas condições iniciais: y 0 e y ' 0 representando o deslocamento inicial e a velocidade inicial, respectivamente. Por exemplo, se 0, 0 , então a massa parte de um ponto abaixo da posição de equilíbrio com velocidade inicial dirigida para cima. k k t Bsen m t . m 1
A solução geral para o problema é: yt A cos O período de vibrações livres é T que o gráfico de y(t ) se repete a cada
2 3
2
e a frequência é f
T
. Se o período é T
unidades; e a frequência é f
3 2
ciclos de gráfico em cada 2 unidades, ou ainda, que a massa está sujeita a
2 3
significa
o que quer dizer que há três 3 2
vibrações completas por
unidade de tempo.
Exemplo 5: Uma massa de 2kg distende uma mola em 6cm. No instante t =0, a massa é solta de um ponto a 8cm abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade direcionada para cima de 25cm/s. Determine a função y(t ) que descreve o movimento livre subsequente.
5.5 Sistemas de Equações Diferenciais O método mais simples para a solução de sistemas de equações diferenciais com coeficientes constantes envolve a eliminação das variáveis dependentes pela combinação adequada de pares de equações. O objetivo do método consiste em eliminar sucessivamente as variáveis dependentes até permanecer apenas uma equação contendo apenas uma variável dependente. A equação resultante será normalmente uma equação linear de ordem superior e que pode ser resolvida pelos métodos estudados anteriormente. Após a solução ter sido encontrada, as outras variáveis dependentes podem ser determinadas, usando as equações diferenciais originais ou aqueles que surgiram do processo de eliminação. x' 4 x 3 y que satisfaz às condições iniciais x0 2 e y' 6 x 7 y
Exemplo 6: Determine a solução para o sistema y 0 1 .
29
