Ejercicios
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TTEST Procedure Variable Weight Mineral N Mean Std Dev No nitrogen 10 0.3990 0.07! Nitrogen 10 0."#"0 0.1!#7 Variance$ E(ual *ne(ual
D% 1! 11.7
t Value .# .#
Std Err 0.030 0.0"91
Pr &'t' 0.017) 0.09
Te$t the E(ualit+ o, Variance$ Variable Nu- D% Den D% % Value Pr & % Weight 9 9 #."! 0.009!
Figura 10.18: Impresión del SAS para la prueba t de dos muestras.
Ejercicios 10.19 En un informe de inestigación! "ic#ard $. %eindruc#! de la Escuela de &edicina de la '()*! afirma +ue los ratones con una ida promedio de 3, meses meses iir-n iir-n #asta alrededor alrededor de 0 meses meses si 0/ de las caloras en su dieta se reemplaan con itaminas 2 protenas. $a2 alguna raón para creer +ue μ 4 0! si 6 ratones +ue son sometidos a esa dieta tienen una ida promedio de 38 meses! con una desiación est-n dar de 5.8 meses 'tilice un alor P en su conclusión.
'na muestra aleatoria de 6 bolsas de 10.2 10.20 0 palomitas palomitas con +ueso c#edar pesan! en promedio! promedio! 5.,3 ona onas! s! con con una una des desia iaci ción ón estest-nd ndar ar de 0., 0., ona onas. s. 7ruebe 7ruebe la #ipó #ipó tesis de +ue μ 8 5.5 onas contra la #ipótesis alternatia de +ue μ 4 5.5 onas! al niel de significancia de 0.05. 10. 10.21 'na empre empresa sa de mater materia iall el9ct el9ctric rico o fabric fabricaa bombillas +ue tienen tienen una duración +ue se distribu2e distribu2e de forma aproimadamente normal con una media de 800 #oras 2 una desiación est-ndar de 0 #oras. 7ruebe la #ipótesis de +ue μ 8 800 #oras contra la alternatia de +ue μ ; 800 #oras! si una muestra aleatoria de 30 bombillas tiene una duración promedio de <88 #oras. 'tilice un alor P en su respuesta. r espuesta. 10.22 En la reista Hypertension de la *merican $eart *ssociation , inestigadores reportan +ue los indi iduos +ue practican la meditación trascendental =&>? bajan bajan su presión presión sangunea sangunea de forma significatia. @i una muestra aleatoria de ,,5 #ombres +ue practican la &> meditan 8.5 #oras a la semana! con una desiación est-ndar de ,.,5 #oras! esto sugiere +ue! en promedio! los #ombres +ue utilian la &> meditan m-s de 8 #oras por semana (ite un alor P en su conclusión. 10.23 7ruebe la #ipótesis de +ue el contenido prome dio de los enases de un lubricante especfico es de 10 litros! si los contenidos de una muestra aleatoria de
10 enases son: 10.,! A.
Ejercicios
35<
2 suponga +ue la distribución del contenido es normal.
metros 2 una desiación est-ndar de 3A00 Cilómetros 'tilice un alor P en su conclusión.
10.24 )a estatura promedio de mujeres en el grupo de primer aBo de cierta uniersidad #a sido! #istórica mente! de 16,.5 centmetros! con una desiación est-n dar de 6.A centmetros. Eiste alguna raón para creer +ue #a #abido un cambio en la estatura promedio! si una muestra aleatoria de 50 mujeres del grupo actual de primer aBo tiene una estatura promedio de 165., cent metros 'tilice un alor P en su conclusión. @uponga +ue la desiación est-ndar permanece constante.
10.26 De acuerdo con un estudio sobre un r9gimen alimenticio! la ingesta eleada de sodio se relaciona con lceras! c-ncer estomacal 2 migraBas. El re+uerimiento #umano de sal es de tan sólo ,,0 miligramos diarios! el cual se rebasa en la ma2ora de las porciones indii duales de cereales listos para comerse. @i una muestra aleatoria de ,0 porciones similares de cierto cereal tiene un contenido medio de , miligramos de sodio 2 una desiación est-ndar de ,.5 miligramos! esto sugiere! a un niel de significancia de 0.05! +ue el contenido promedio de sodio para porciones indiiduales de ese cereal es ma2or +ue ,,0 miligramos @uponga +ue la distribución de contenidos de sodio es normal.
10.25 @e afirma +ue los automóiles recorren en promedio m-s de ,0!000 Cilómetros por aBo. 7ara pro bar tal afirmación se pide a una muestra de 100 propie tarios de automóiles seleccionada de manera aleatoria +ue lleen un registro de los Cilómetros +ue recorren. Estara usted de acuerdo con esta afirmación! si la muestra aleatoria indicara un promedio de ,3!500 Ciló
10.27 'n estudio de la 'niersidad de (olorado en oulder reela +ue correr aumenta el porcentaje de la tasa metabólica basal =>&? en mujeres ancianas. )a >& promedio de 30 ancianas corredoras fue 3.0/
m-s alta +ue la >& promedio de 30 ancianas nidades 2 en otras instituciones en Estados 'nidos. sedenta rias! en tanto +ue las desiaciones est-ndar @uponga +ue una muestra de ,00 profesores asociados reportadas fueron de 10.5 2 10.,/! respectiamente. de instituciones de inestigación tiene un sueldo pro Eiste un aumento significatio en la >& de las medio de G<0!<50 anuales con una desiación est-ndar corredoras res pecto a las sedentarias @uponga +ue de G6000. @uponga tambi9n +ue una muestra de ,00 las poblaciones se distribu2en de forma profesores asociados de otros tipos de instituciones tie aproimadamente normal con a rianas iguales. nen un sueldo promedio de G65!,00 con una 'tilice un alor P en sus conclusiones. desiación est-ndar de G5000. 7ruebe la #ipótesis de De acuerdo con Chemical Engineering, una +ue el sueldo medio de profesores asociados de 10.28 pro piedad importante de la fibra es su absorbencia de instituciones de in estigación es G,000 m-s alto +ue agua. @e encontró +ue el porcentaje promedio de el de los profesores de otras instituciones. 'tilice un absorción de ,5 pedaos de fibra de algodón niel de significancia de 0.01. seleccionados al aar es ,0! con una desiación 10.33 @e lleó a cabo un estudio para saber si el au est-ndar de 1.5. 'na muestra aleatoria de ,5 pedaos mento en la concentración de sustrato tiene un efecto de acetato reeló un porcentaje promedio de 1, con apreciable sobre la elocidad de una reacción +umica. una desiación est-ndar de 1.,5. (on una concentración de sustrato de 1.5 moles por Eiste eidencia sólida de +ue el porcentaje promedio litro! la reacción se realió 15 eces! con una eloci de absorción de la población es significatiamente ma dad promedio de <.5 micromoles por 30 minutos 2 una 2or para la fibra de algodón +ue para el acetato desiación est-ndar de 1.5. (on una concentración de @uponga +ue el porcentaje de absorbencia se distribu2e sustrato de ,.0 moles por litro! se realiaron 1, reac de forma casi normal 2 +ue las arianas de la ciones +ue produjeron una elocidad promedio de 8.8 población en el por centaje de absorbencia para las micromoles por 30 minutos 2 una desiación est-ndar dos fibras son iguales. 'tilice un niel de significancia muestral de 1.,. $a2 alguna raón para creer +ue este de 0.05. incremento en la concentración de sustrato ocasiona un 10.29 )a eperiencia indica +ue el tiempo +ue re aumento en la elocidad media de la reacción de m-s +uieren los estudiantes de ltimo aBo de preparatoria de 0.5 micromoles por 30 minutos 'tilice un niel de para contestar una prueba estandariada es una significancia de 0.01 2 suponga +ue las poblaciones se ariable aleatoria normal con una media de 35 distribu2en de forma aproimadamente normal con a minutos. @i a una muestra aleatoria de ,0 estudiantes rianas iguales. de ltimo aBo de preparatoria le toma un promedio de 10.34 @e realió un estudio para determinar si los te 33.1 minutos con testar esa prueba con una mas de un curso de fsica se comprenden mejor cuando desiación est-ndar de .3 minutos! pruebe la #ipótesis de +ue! a un niel de signi ficancia de 0.05! μ 8 35 minutos! contra la alternatia de +ue μ 4 35 minutos. 10.30 'na muestra aleatoria de tamaBo 8 ,5! to 1 n mada de una población normal con una desiación es t-ndar σ 1 8 5.,! tiene una media x H 1 8 81. 'na segunda muestra aleatoria de tamaBo , 8 36! +ue se toma de n
una población normal diferente con una desiación es t-ndar σ , 8 3.! tiene una media x H , 8 <6. 7ruebe la #ipótesis de +ue μ 8 μ contra la alternatia μ ; μ . 1
,
(ite un alor P en su conclusión.
1
,
10.31 'n fabricante afirma +ue la resistencia prome dio a la tensión del #ilo A ecede a la resistencia a la tensión promedio del #ilo B en al menos 1, Cilogra mos. 7ara probar esta afirmación se pusieron a prueba 50 pedaos de cada tipo de #ilo en condiciones simi lares. El #ilo tipo A tuo una resistencia promedio a la tensión de 86.< Cilogramos con una desiación est-n dar de 6.,8 Cilogramos mientras +ue el #ilo tipo B tuo una resistencia promedio a la tensión de <<.8
9ste inclu2e pr-cticas de laboratorio. @e seleccionaron estudiantes al aar para +ue participaran en un curso de tres semestres con una #ora de clase sin pr-cticas de laboratorio o en un curso de cuatro semestres con una #ora de clase con pr-cticas de laboratorio. En la sección con pr-cticas de laboratorio 11 estudiantes ob tuieron una calificación promedio de 85 con una des
iación est-ndar de .< mientras +ue en la sección sin Cilogra mos con una desiación est-ndar de 5.61 Cilogramos. 7ruebe la afirmación del fabricante usando un niel de significancia de 0.05. 10.32 El Amstat News =diciembre de ,00? lista los sueldos medios de profesores asociados de estadstica en instituciones de inestigación! en escuelas de #uma
pr-cticas de laboratorio 1< estudiantes obtuieron una calificación promedio de
7ara indagar si un nueo suero frena el desa
rrollo de la leucemia se seleccionan A ratones! todos en una etapa aanada de la enfermedad. (inco rato nes reciben el tratamiento 2 cuatro no. )os tiempos de superiencia! en aBos! a partir del momento en +ue comiena el eperimento son los siguientes: (on tratamiento ,.1 @in tratamiento 1.A
5.3 0.5
1. ,.8
.6 3.1
0.A
* un niel de significancia de 0.05! se puede decir 7ruebe la #ipótesis de +ue la duración promedio de las +ue el suero es efica @uponga +ue las dos pelculas producidas por la empresa , ecede al tiempo poblaciones se distribu2en de forma normal con promedio de duración de las +ue produce la empresa 1 arianas iguales. en 10 minutos! contra la alternatia unilateral de +ue la 10.36 )os ingenieros de una armadora de automói diferencia es de menos de 10 minutos. 'tilice un niel les de gran tamaBo est-n tratando de decidir si compra de significancia de 0.1 2 suponga +ue las r-n neum-ticos de la marca A o de la marca B para sus distribuciones de la duración son aproimadamente modelos nueos. (on el fin de a2udarlos a tomar una normales con a rianas iguales. decisión se realia un eperimento en el +ue se usan 1, 10.40 En un estudio realiado en Jirginia >ec# se neum-ticos de cada marca. )os neum-ticos se utilian compararon los nieles de -cido ascórbico en plasma #asta +ue se desgastan. )os resultados son los en mujeres embaraadas fumadoras con los de muje siguientes: res no fumadoras. 7ara el estudio se seleccionaron 3, mujeres +ue estuieran en los ltimos 3 meses de em &arca A: &arca B:
x H 8 3
8 3A!800 Cilómetros! H 1
x
s, 8 5A00 Cilómetros.
7ruebe la #ipótesis de +ue no #a2 diferencia en el desgaste promedio de las , marcas de neum-ticos. @uponga +ue las poblaciones se distribu2en de forma aproimadamente normal con arianas iguales. 'se un alor P . 10.37 En el ejercicio A., de la p-gina ,A5 pruebe la #ipótesis de +ue el a#orro de combustible de los camio nes compactos JolCsKagen! en promedio! ecede al de los camiones compactos >o2ota e+uipados de forma similar! +ue utilian Cilómetros por litro. 'tilice un niel de significancia de 0.10. 10.38 'n inestigador de la '()* afirma +ue el promedio de ida de los ratones se puede prolongar #asta por 8 meses cuando se reduc 1en las caloras en su dieta aproimadamente 0/ desde el momento en +ue se destetan. )as dietas restringidas se enri+uecen a nieles normales con itaminas 2 protenas. @uponga +ue a una muestra aleatoria de 10 ratones +ue tienen una ida promedio de 3,.1 meses con una desiación est-ndar de 3., meses se les alimenta con una dieta nor mal! mientras +ue a una muestra aleatoria de 15 rato nes +ue tienen un promedio de ida de 3<.6 meses con una desiación est-ndar de ,.8 meses se les alimenta con la dieta restringida. * un niel de significancia de 0.05 pruebe la #ipótesis de +ue el promedio de ida de los ratones con esta dieta restringida aumenta 8 me ses! contra la alternatia de +ue el aumento es menor de 8 meses. @uponga +ue las distribuciones de la es perana de ida con las dietas regular 2 restringida son aproimadamente normales con arianas iguales. 10.39 )os siguientes datos representan los tiempos de duración de pelculas producidas por , empresas cinematogr-ficas:
barao! +ue no tuieran padecimientos importantes 2 +ue sus edades fluctuaran entre los 15 2 los 3, aBos. Empresa Tiempo (minutos) 1 10, 86 A8 10A A, , 81 165 A< 13 A, 8< 11
*ntes de tomar muestras de ,0 ml de sangre se pidió a las participantes +ue fueran en a2unas! +ue no tomaran sus suplementos itamnicos 2 +ue eitaran alimentos con alto contenido de -cido ascórbico. * partir de las muestras de sangre se determinaron los siguientes a lores de -cido ascórbico en el plasma de cada mujer! en miligramos por 100 mililitros: Valores e !cio asc"r#ico en plasma $o %umaoras &umaoras 0.A< 1.16 0.8 0.<, 0.86 0.<1 1.00 0.85 0.A8 0.81 0.58 0.68 0.6, 0.5< 1.18 1.3, 0.6 1.36 1., 0.A8 0.<8 0.AA 1.0A 1.6 0.A0 0.A, 0.< 0.<8 0.88 1.,
0.A
1.18
Eiste suficiente eidencia para concluir +ue #a2 una diferencia entre los nieles de -cido ascórbico en plasma de mujeres fumadoras 2 no fumadoras @uponga +ue los dos conjuntos de datos proienen de poblaciones normales con arianas diferentes. 'tilice un alor P . El Departamento de Loologa de Jirginia 10.41 >ec# lleó a cabo un estudio para determinar si eiste una diferencia significatia en la densidad de organismos en dos estaciones diferentes ubicadas en (edar "un! una corriente secundaria +ue se localia en la cuenca del ro "oanoCe. El drenaje de una planta de trata miento de aguas negras 2 el sobreflujo del estan+ue de sedimentación de la Federal &ogul (orporation entran al flujo cerca del nacimiento del ro. )os siguientes da tos proporcionan las medidas de densidad! en nmero de organismos por metro cuadrado! en las dos estacio nes colectoras:
$'mero e oranismos por metro cuarao Estaci"n 1
13!<00 10!<30 11!00 860 ,,00 ,50 15!00
Estaci"n 2
11!A10 8130 ,6!850 1
6<0 68A0 <<,0 <030 <330
1330 33,0 1,30 ,130 ,1A0
* un niel de significancia de 0.05! podemos concluir +ue las densidades promedio en las dos estaciones son iguales @uponga +ue las obseraciones proienen de poblaciones normales con arianas diferentes. 10.42 (inco muestras de una sustancia ferrosa se usa ron para determinar si eiste una diferencia entre un an- lisis +umico de laboratorio 2 un an-lisis de fluorescencia de ra2os M del contenido de #ierro. (ada muestra se di
an-lisis. * continuación se presentan los datos codifica dos +ue muestran los an-lisis de contenido de #ierro: +n!lisis "a2os M Oumico
1 ,.0 ,.,
*uestra 2 3 4 5 ,.0 ,.3 ,.1 ,. 1.A ,.5 ,.3 ,.
@uponga +ue las poblaciones son normales 2 pruebe! al niel de significancia de 0.05! si los dos m9todos de an-lisis dan! en promedio! el mismo resultado.
11 < 153 1, 66 ,1A 13 10A 13 1 5< 16 15 85 100 'n aumento en la diferencia media absoluta de tiempo cuando la tarea se ejecuta en condiciones de fatiga 2ara la afirmación de +ue el ejercicio! en condiciones de fatiga! altera el mecanismo +ue determina el des empeBo. @uponga +ue las poblaciones se distribu2en normalmente 2 pruebe tal afirmación. 10.44 En un estudio realiado por el Departamento de Nutrición $umana 2 *limentos del Jirginia >ec# se registraron los siguientes datos sobre los residuos de -cido sórbico en jamón! en partes por millón! inmedia tamente despu9s de sumergirlo en una solución de sor bato 2 despu9s de 60 das de almacenamiento: )esiuos e !cio s"r#ico en jam"n
1 , 3
5 6
<
,, ,<0 00 5A0 660 100 680
116 A6 ,3A 3,A 3< 5A< 68A 5<6
8
@i se supone +ue las poblaciones se distribu2en nor malmente! #a2 suficiente eidencia! a un niel de significancia de 0.05! para decir +ue la duración del al macenamiento influ2e en las concentraciones residua les de -cido sórbico
10.43 De acuerdo con informes publicados! el ejerci cio en condiciones de fatiga altera los mecanismos +ue determinan el desempeBo. @e realió un eperimento con 15 estudiantes uniersitarios #ombres! entrenados para 10.45 El administrador de una empresa de tais estrealiar un moimiento #oriontal continuo del brao! tratando de decidir si el uso de neum-ticos radiales en de derec#a a i+uierda! desde un microinterruptor #asta lugar de neum-ticos regulares cinturados mejora el una barrera! golpeando sobre la barrera en coincidencia rendimiento de combustible. @e e+uipan 1, autos con con la llegada de una manecilla del reloj a la posición neum-ticos radiales 2 se conducen en un recorrido de prueba preestablecido. @in cambiar a los conductores! de las los mismos autos se e+uipan con neum-ticos regulares 6 en punto. @e registró el alor absoluto de la cinturados 2 se conducen nueamente en el recorrido diferencia entre el tiempo! en milisegundos! +ue toma de prueba. @e registraron los siguientes datos sobre el golpear so bre la barrera 2 el tiempo para +ue la consumo de gasolina! en Cilómetros por litro: manecilla alcance la posición de las 6 en punto =500 /il"metros por litro mseg?. (ada parti cipante ejecutó la tarea cinco eces en condiciones sin fatiga 2 con fatiga! 2 se registraron +utom"il lantas raiales lantas cinturaas las siguientes sumas de las diferencias absolutas para 1 ., .1 , .< .A las cinco ejecuciones:
-ujeto 1 , 3 5
,i%erencias a#solutas e tiempo -in %atia on %atia 6 158 8A A, < 65 18 A8 8 33
58 A 10 11
1, 11<
A1 5A ,15 ,,6 ,,3 A1 A, 1<< 13 116
153
3 5 6 < 8 A 10 11 1,
6.6 <.0 6.< .5 5.< 6.0 <. .A 6.1 5.,
6., 6.A 6.8 . 5.< 5.8 6.A .< 6.0 .A
7odemos concluir +ue los autos e+uipados con neu perro 2 se midió la resistencia. * continuación se pre m-ticos radiales a#orran m-s combustible +ue a+uellos sentan los datos resultantes. e+uipados con neum-ticos cinturados @uponga +ue las poblaciones se distribu2en normalmente. 'tilice un erro istur esistencia alor P en su conclusión. 1 (aliente 51,0 1 Fro 8,00 10.46 En el ejercicio de repaso A.A1 de la p-gina 313 , (aliente 10!000 utilice la distribución t para probar la #ipótesis de +ue , Fro 8600 la dieta reduce el peso de un indiiduo en .5 Cilogra 3 (aliente 10!000 3 Fro A,00 mos! en promedio! contra la #ipótesis alternatia de (aliente 10!000 +ue la diferencia media en peso es menor +ue .5 Fro 6,00 Cilogra mos. 'tilice un alor P . 5 (aliente 10!000 5 Fro 10!000 10.47 Ou9 tan grande debera ser la muestra del 6 (aliente ec# 2 analia dos en el (entro de (onsulta de Estadstica en $oCie )and. )os sujetos fueron 0.A5! cuando la diferencia erdadera entre los tipos epuestos a c-maras de respiración! una de las cuales de #ilo A 2 B es 8 Cilogramos contena una alta concentración de (R. @e realiaron 10.51 Ou9 tan grande debera ser la muestra del arias mediciones de frecuencia respiratoria a cada ejercicio 10.,, para +ue la potencia de la prueba sea sujeto en cada c-mara. )os sujetos fueron epuestos a las c-maras de respiración en una secuencia aleatoria. de 0.8 cuando el tiempo promedio erdadero dedicado )os siguientes datos representan la frecuencia a la meditación ecede al alor #ipot9tico en 1., σ respiratoria en nmero de respiraciones por minuto. 'tilice α 8 0.05. "ealice una prueba unilateral de la #ipótesis de +ue la 10.52 @e considera una prueba t a un niel α 8 0.05 frecuencia respiratoria media es igual en los dos ambientes. 'tilice α 8 0.05. @uponga +ue la para probar frecuencia respiratoria es aproimadamente normal. H 0: μ 8 1! -ujeto on -in H 1: μ ; 1. 1 30 30 Ou9 tamaBo de muestra se necesita para +ue la pro , 5 0 babilidad de no rec#aar de manera errónea H 0 sea 0.1 3 ,6 ,5 cuando la media de la población erdadera difiere de ,5 ,3 1 5 3 30 en 0.5 * partir de una muestra preliminar estimamos 6 51 A +ue σ es 1.,5. < 6 1 8 3, 35 10.53 En el Departamento de &edicina Jeterinaria A 30 ,8 del Jirginia >ec# se lleó a cabo un estudio para de terminar si la PresistenciaQ de una #erida de incisión +uirrgica es afectada por la temperatura del bistur. En el eperimento se utiliaron 8 perros. @e #icieron incisiones PcalientesQ 2 PfrasQ en el abdomen de cada
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a un niel de significancia α! calculamos o
P 8 , P = " V x cuando p 8 p0 ?
si x # np 0
P 8 , P = " W x cuando p 8 p0 ?
si x $ np 0
