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ALAIN PECKER
:resseS de récole nationale des
onts et chaussées
Toute reproduction, même partielle, de cet ouvrage est interdite, Une copie ou reproduction par quelque procédé que ce soit, photographie, microfilm, bande magnétique, disque ou autre, constitue une contrefaçon passible des peines prévues par la loi du 1 t mars 1957 sur la protection des droits d'auteur,
©
1984
ISBN 2-85978-072-6
resses de r~ooll' natj(mal~ ri,,"
onts et chaussées
28, rue des Saints,Pères, 75007 Patis
Département Edition de l'Association Amicale des Ingénieurs Anciens Elèves de l'Ecole Nationale des Ponts et Chaussées.
SOMMAIRE Notations......................................................................................
11
Chapitre 1: Caractérisation du mouvement sismique.. ........... ...........
13
1. 2. 3. 4.
Introduction............................................................................ Rappel de tectonique des plaques............................................. Définitions............................................................................. Paramètres caractéristiques du mouvement sismique .......... ......... 4.1. Grandeurs maximales: accélération, vitesse, déplacement.. .... 4.2. Durée.............. ..................... ............. .......... ........... ....... 4.3. Spectre de réponse.......................................................... 5. Paramètres affectant le mouvement sismique.............................. 5.1. Facteurs liés à la source .............. ............ ......... ............ .... 5.2. Facteurs liés au trajet parcouru... ............ ......... ............ ...... 5.3. Facteurs liés aux conditions locales...... .......... ......... ........... 5.4. Lois d'atténuation............... .............. ........... ........... .......... 6. Evaluation du risque sismique d'une région................................. 6.1. Détermination de provinces sismotectoniques ...... ............ ..... 6.2. Séismicité historique.............. ............ ........... ............ ........ 6.3. Définition du mouvement sur le site... ........... ........... ........... 7. Conclusions ......... _ ....................................... .......................... Bibliographie..............................................................................
13 15 18 19 21 21 22 24 25 30 31 33 36 37 38 39 40 41
Chapitre Il: Comportement des sols sous chargement cyclique........
43
1. Introduction ................... .................... ........... ......... ........... ...... 2. Description du comportement des sols ........... ......... ........... ........ 2.1. Loi de comportement........................................................ 2.2. Description expérimentale.................................................. 3. ObselVations expérimentales.................................................... 3.1. Chargement monotone...................................................... 3.2. Chargement cyclique........................................................ 4. Notions d'amortissement........... .............. ........... ...................... 4.1. Définitions des paramètres caractérisant l'amortissement. .......
43 43 45 45 46 46 48 52 52 5
4.2. Matériaux à amortissement dépendant de la vitesse de déformation..................................................................... 4.3. Matériau à amortissement indépendant de la vitesse de déformation..................................................................... 5. Modèles de comportement....................................................... 5.1. Modèle élastique.............................................................. 5.2. Modèle viscoélastique linéaire ........... ........... .......... ............ 5.3. Modèles non linéaires........ ............. ........... ............ ........... 6. Conclusions ........................ :.................................................. Bibliographie .................................... ........... .......... .......... ...........
55 57 57 57 60 66 81 82
Chapitre III : Liquéfaction des sables..............................................
85
1. Introduction............................................................................ 2. Variations de volume d'un sable sous chargement cyclique ........... 2.1. Rappels sur les variations de volume en chargement monotone............................................................................... 2.2. Variations de volume sous chargement cyclique .... ............... 3. Observations de cas de liquéfaction in situ................................. 4. Paramètres affectant la résistance au cisaillement cyclique non dralnee ............. .................... ...... .......... .......... ......... .............. 4.1. Influence de l'état de contrainte actuel........ ......... ............... 4.2. Influence de l'histoire des contraintes et déformations............ 4.3. Influence de l'incrément de contrainte appliqué ..................... 4.4. Influence de la saturation .................................................. 5. Modèles de comportement pour l'étude de la liquéfaction.............. 5.1. Modèle du chemin de contraintes effectives ......................... 5.2. Modèle de MARTIN FINN SEED ........................................ 6. Evaluation du risque de liquéfaction d'un site .............................. 6.1. Approche en contraintes totales ......................................... 6.2. Evaluation du risque de liquéfaction en contraintes effectives 7. Stabilisation de sites liquéfiables ............................................... 7.1. Accroissement de la densité.............................................. 7.2. Amélioration du drainage ................................................... 7.3. Amélioration par augmentation de la contrainte dans le sol ..... 7.4. MOdification des caractéristiques du sol ............................... Bibliographie..............................................................................
85 86
92 97 98 102 102 103 104 104 107 108 117 121 123 123 123 123 124
Chapitre IV: Mesure des caractéristiques dynamiques des sols........
127
1. Introduction ............................................................................ 2. Essais en place....................................................................... 2.1 Généralités......................... ........... .......... ......... ............... 2.2. Essais réalisés à partir de la surface ................................... 2.3. Essais réalisés dans des forages .......................................
127 128 128 130 131
6
86 88 92
JI;
3. Essais de laboratoire .................................................... : .......... 3.1. Généralités..................................................................... 3.2. Essais de vibration libre .................................................... 3.3. Essais de résonance ........................................................ 3.4. Essais de vibration forcée................................................. 4. Comparaisons entre mesures au laboratoire et mesures en place Bibliographie ...................................... ............. .......... ............ .....
138 138 138 139 143 150 154
Chapitre V: Réponse sismique d'une couche de sol........ ............ ....
157
1. Introduction ............................................................................ 2. Propagation d'ondes dans un milieu élastique, isotrope. Rappels .... 2.1. Equation de propagation................................................... 2.2. Onde monochromatique plane............................................ 2.3. Réflexion et réfraction des ondes planes à un interface...... ... 2.4. Onde sphérique dans un milieu infini .................................. 3. Propagation d'ondes planes en milieu élastique semi-infini ............ 3.1. Ondes SH dans un milieu semHnfini........... ........... ......... .... 3.2. Ondes SH dans une couche d'épaisseur limitée surmontant un semi-espace ............................................................... 3.3. Ondes SH dans un milieu stratifié surmontant un semi-espace 3.4. Ondes de surface dans un milieu semi-infini homogène.. ....... 3.5. Ondes de surface dans un milieu stratifié ........ ......... ........... 4. Problèmes spécifiques au génie parasismique............................. 5. Choix des caractéristiques de l'onde sismique............................. 5.1. Nature de l'onde et angle d'incidence .................................. 5.2. Définition du pOint de contrôle ............................................ 6. Réponse sismique d'un profil viscoélastique à une onde de volume 6.1. Modélisation du sol en milieu continu.................................. 6.2. Modélisation discrétisée du profil de sol............................... 6.3. Validité du modèle viscoélastique linéaire équivalent.............. 7. Réponse non linéaire à une onde sismique de volume ................. 7.1. Prise en compte des conditions aux limites .......................... 7.2. Modélisation du sol en milieu continu .................................. 7.3. Modélisation discrétisée du profil de sol.......... .......... ........... 7.4. Validité des calculs non linéaires ........................................ 8. Réponse sismique d'un profil viscoélastique à une onde sismique de surface............................................................................. Bibliographie.................................. .......... .......... ........... .......... ...
157 158 158 159 161 161 163 164 165 169 170 173 174 175 175 176 177 177 182 187 189 190 191 193 196 197 201
Chapitre VI : Vibration des massifs de fondation.............................. 203 1. Introduction............................................................................ 203 2. Définition de l'impédance d'une fondation ......... .......... .......... ...... 204 2.1. Impédance d'un oscillateur simple à un degré de liberté......... 205 2.2. Forme générale de l'impédance d'une fondation..... .......... .... 206 7
2.3. Analogie entre le demi-espace et l'oscillateur simple. HS1EH (1962) ............................................................................ 3. Application des fonctions d'impédance à l'étude des vibrations de massifs de fondation............................................................... 4. Détermination des fonctions d'impédance ....... ............ ................ 4.1. Solutions continues .......................................................... 4.2. Solutions discrètes.............. .............. ........... .......... .......... 4.3. Avantages et limitations des méthodes... ........... ......... ......... 5. Exemples de fonction d'impédance ............................................ 5.1. Impédance d'une fondation circulaire à la surface d'un semi-espace.................................................................... 5.2. Impédance d'une fondation circulaire en surface d'une couche d'épaisseur limitée ........................................................... 5.3. Impédance d'une fondation de forme quelconque ....... ........... 5.4. Impédance d'une fondation enterrée ....... ......... ............ ....... 6. Conclusions........................................................................... Bibliographie..................................... ............ ........ ......... ............
208 209 211 212 213 213 214 214 218 220 221 222 223
(Chapitre VII: Interaction sol-structure............................................. 225 1. Introduction............................................................................ 225 2. Formulation d'un problème d'interaction sol-structure ........ ............ 226 ... 3. Méthodes de prise en compte de l'interaction sol-structure... ......... 229 3.1. Méthodes globales........................................................... 229 3.2. Méthodes de sous-structures...... ........... ........... ............ ..... 231 3.3. Méthode hybride.............. ............. ............ .......... ............. 238 3.4. Comparaison des différentes méthodes............................... 239 4. Mise en œuvre des calculs d'interaction sol-structure..... .............. 239 4.1. Modèle de comportement du sol..... ........... .......... .............. 241 4.2. Nature et direction de propagation de l'onde incidente ........... 241 4.3. Modélisation géométrique du milieu ....... ........... ........... ....... 242 4.4. Schéma d'intégration numérique.... ........... ........... ............... 246 5. Exemple de calcul d'interaction sol-structure ........... ......... ........... 249 Bibliographie .................. ........ .............. ............ .......... ............ .... 251 Annexe: Echelle d'intensité macrosismique MSK................................. 253
Index ............................................................................................ 261
B
AVANT-PROPOS
La prise en compte du risque sismique dans la conception d'un nOl'l1bre grandissant
d'ouvrages
~rtanta
comme les centrales nucléaires, les grands barrages, les
réservoirs CIe gaz naturel liquéfie, a contribué au développement rapide d'une science récente: le Génie Parasism1.que, Sous ce vocable se trouvent regroupées les disciplines diverses que sont la séismologie, la dynamique des sols, la dynamique des structures et des équipements, l'instrumentation sismique .... Cet essor rapide ae trouve concretisé par un nombre important de publications annuelles, de conférences, cours et également par la mise à jour, en France, des
nouvelles règles parasismiques destinées
à
remplacer les règles PS.69. Si la
dynamique des structures et la séismologie ont très tot retenu l'attention des chercheurs et ingénieurs, ce n'est que depuis une quinzaine d'année que la dynamique des sols est apparue comme une composante fondamentale du Génie Parasismique. Ce livre a pour objectif de présenter l'état actuel de la pratique en dynaIlLique des sols, tout en introduisant les développements les plus récents. ces développements ayant trait a la modélisation du comportement des sols et aux calculs dynamiques de couches de sol, en relation ou non avec les ouvrages~~f appelés a prendre une part grandissante dans la pratique courante, Ce li~$< .1I{é ' écrit a partir des notes constituant la base du cours enseigné a l' Ecole,-~t.îonale des Ponts et Chaus!,!ées depuis 5 ans, dans le cadre d'un séminaire dl,! f?EA Génie
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Mécanique puis du cours de Mécanique des Sols.
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~,é~j.~i';- 'i~;' ..
Après un chapitre d'introduction qui n'a d' autre prétention que de notions élémentaires de séismologie nécessaires a la caractérisation' du mouvement sismique.ton aborde le problème de la modélisation du comportemè"t!'<~~·:'8Q1,_ sous Chargement cycli~, L'étude du comportement est envisagé tant du I»~~C vue expériJnental queldu point de vue de la modélisation théorique, CE! modélisation est abordée sous l'aspect unidililensionnel- le plus utilisé dans la pratique - puis généralisée aux sollicitations tridimensionnelles dans le cadre de la théorie de l'élastoplasticit.e avec écrouiSSag~ Pour se conformer a la pratique cou""ante, le problème de~!!:9.1!éfaction des sables a été traité séparetMnent bien que ce phénomène concerne un aspect du comportement du sol sous chargement cyclique, celUi du comportement a rupture. Cette étude de la liquéfaction est abordé à partir d'une approche en contraintes totales, ayant fait l'objet d'études extensives, mais également sous l'aspect pluS fondamental représenté par une approche en contraintes effectives. LeS trois derniers chapitres ont pour objet l'application au dimensionnement d'ouvrages des notions acquises précédemment. On s'attache plus particulèrement a l ' évaluation de la réponse sismique d'une couche de sol en mettant en évidence ce qui distingue l'éValuation de cette rêponfle des problèmes de propagation d'ondes en élastodynamique. En pa.rticulier, {l'influence dits non linéarUés du comportement des sols est traitée en détail. ;Les chapitres re-latif;~U;- vibrations de massifs de
9
fondation et aux problèmes d'interaction sol-structure permettent de définir les notions fondamentales pour l'étude du comportement des ouvrages en relation avec leur sol de fondation, Les notions d'impédance et de méthodes de Bous-structures y sont introduites en parallèle avec les méthodes globales par éléments finis, L'aspect calCUl des structures proprement dit, qui relève d'un cours de dynamique des structures, n'est pas abordé.
Les idées exprimées dans ce livre reflètent l'expérience acquise dans le domaine depuis une dizaine d'années, d'abord a de MECASOL, puis a GEODYNAMIQUE et STRUC'l'URE, Elles sont BOuvent le fruit de nombreux échanges avec mes collègues de travail sans lesquels cette synthèse n'aurait pas été possible, Je tiens. à ce t:1t:re, à leur exprimer ma gratitude. Je tiens également a remercier très chaleureusement MM. P.Y. BARD. M.P, LUONG, J.F, OIES. J .P, WALTER qui ont accepté la lourde tache de relire un ou plusieurs chapitres. Leurs remarques et suggestions m'ont été très précieuses et ont contribué à clarifier l' exposé et a corriger certaines imprécisions, Les erreurs qui pourraient s~i.ster ne sont cependant 1Jnputables qu'a moi-même. Que M. B. HALPHEN qui m'a donné l'occasion d'enseigner ce cours dans le ca4re dU DEA Génie Mécanique et M. F. SCHLOSSER qui lui a accordé une place il'IIportante dans le cours de Mécanique des SOls a l'ENPC soient remerciés de leur confiance. Enfin. ces remerciements seraient incomplets sans ceux. les plus sinCères. a4ressés a M. J. SALENçoN qui, en tant que professeur a l'ENPÇ et. a l'époque. responsable du DEA Génie Mécanique, m'a donné pour la première fois l'occasion d'enseigner ce cours de Dynamique des SOls. Sa contribution a l'ouvrage. au travers des nombreuses discussions amicales au cours desquelles il a eu me faire bénéficier de son expérience et de ses nombreux encouragements. est de toute pr~re importance. La. dactylographie a été réalisée par MInes G. GROSSIER et C. WUILLEUMIER,
et les
dessins par M. A. PROT, Qu'ils soient remerciés pour la patience et le soin qu'ils y ont apportés,
Alain PECIŒR
10
NOTATIONS
- Les tenseurs et vecteurs sont représentés par une lettre grasse soulignée d'un
trait 1 G.
~,
X.
~
- La dérivation par rapport au tempe est représentée par un (ou plusieurs) points
sur la grandeur considerée :
vitesses , ~, u aocélerat1ons a, 9 - on utilise la convention de sommation sur les indices muets.
Le produit contracté de deux tenseurs est représenté par • ou 1 qu'il s'agit d'un produit s~lement ou doublement contracté 1
G e représente le tenseur de composantes a l e représente. le scalaire aij~ji'
suivant
G1k~j'
Le tenseur gradient d'une fonction scalaire f par rapport à un tenseur du
2nd ordre est noté
- La
"••
1 11
a pour composantes
trace d'un tenseur èu second ordre est noté
"
trace(~)
et est égal au scalaire
GU.
En notations matricielle, les vecteurs colonnes sont notés entre { } et les matrices d'ordre nxn entre [ ], Lorsqu'il n 'y a pas d'ambiguité, le symbole ( J est omis pour alléger les notations.
-
-
La transposée d'une matrice est notée [ lX et l'inverse ( ]-1.
.
- div -
- opérateur Laplacien
- opérateur divergence
~ ~
opérateur gradient
(
•• + ,• + , • ex az 'y , +, +, ex az 'y , ,, , ex
'y
az
)
Principaux symboles t u,v,W Il,y cr,y u V. Vp E
G
•
(Cl (Xl (M]
• y
,• "v p
•
module ~'Young module de cisaillement tenseur ~es contraintes ~éviator1ques temps composantes dU vecteur déplacement X vitesses accélérations pression interstitielle (chapitre III) vitesse ~e propagation des o~es de cisaillement vitesse de propagation des ondes de compression
,.. matrice d'amortissement - matrice de raideur - matrice ~e masse
-----
amortissement matériel du .01 sous chargement harmonique déforma.tion de cisaillement tenseur des déformations coefficient de Lamé coefficient de Lamé ( - G) coefficient de Poisson masse volumique pulsation
Dans certains chapitres, ou pa.ragraphes, les symboles ci-dessus peuvent avoir une signification différente. Elle est dans ce cas clairement explicitée.
12
Chapitre 1 CARACTÉRISATION DU MOUVEMENT SISMIQUE
1. :rN'l'RIJllU:'lON
ç,\'r'Les tremblements de terre/tont partie des cataclysmes naturels qui ont toujours exercé une grande fascik~t1on sur 1 'human1té. rIs sont responsables de la -destruction de villes entières, la cause de_l~~n de millions d'hOlMl\es et ont BOuvent des conSéquences économiques dés'"â"s~e~es pour les pays touchés. D'un point de vue historique, le tremblement. de terre le plus meurtrier de l 'histoire a
• vraisemblablement pris place en Chine en 1556 et aurait provoqué la mort de 830 000 personnes. Il ne s'agit malheureusement pas (l'une exception conwe l'indique le tableau l où on a relevé quelques-uns des séismes les plus meurtriers de l'histoire. Il faut également noter que le nOtnbre de morts ne mesure pas toute la gravité d'un Séisme dont les conséquences économiques peuvent être lourdes, LeS dégats du tremblement de terre de Skopje (Yougoslavie, 1963) ont été évalués à 3 milliards de francs 1 ceux de Managua (Nicaragua, 1972) à 5 milliards de francs et ceux du séisme de San Fernando (Californie, 1971) à 3,5 milliards de francs, DeS 50 000 tremblements de terre annuels perceptibles sans l'aide d'aucun instrument, 100 seulement provoquent des dégàts plus ou moins importants, Notre connail.sance actuelle des phénomènes est telle que, s'il n'est pas possible 'Oè'-prédire l'instant où un séisme se produira en un lieu dOnné, il est possible ~identifier les zones à haut risque sismique et d'y construire en conséquence. Il est admiS par exemple, que dans un avenir plus ou moins proche, un séisme important se produira dans la région de San Francisco, le long de la faille de san Andreas, Cela n'entrave nullement le développement de cette région ni ne ret.;ent la majorité des Américains de souhaiter y vivre. Pour etre en mesure de construire en zone sismique, il est nécessaire d' identifier ces zones et donc de comprendre le mécanisme générateur des séismes, puis de caractériser un séisme par un certain nombre de grandeurs directement utilisables par l'ingénieur. L'objet de ce chapitre est de fournir ces éléments.
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14
Tableau r Quelques
Date
1290 15!>b 1737 1755 1811 1866 390'
).908 ).920 1923 1935 1939 3%0
196::1 1964 1964 1970 1971 1972 1976 1976 1976 1976 1977 1980 1980
g~ands
séismes de l'histoire
Lieu
Nombre de morta (estimé )
Chih Li (Chine) Chen Si (Chine) Calcutta (lnde) Lisbonne (Portuga1) New Madrid (Mj~nouri) Pérou (Equateur) san Francisco (USA) Mennine (Italie) xanau (Chine) TOkyo (Japon) Quetta (Pakistan) Erzincan (Turquie) Agadir (Maroc) Skopje (Yougoslavie) Niigata (Japon) Anchorage (Alaska) Pérou Los Angeles (USA) Managua (Nicaragua) Guatemala Gernona (Italie) Caldiran (Turquie) Tang Chan (Chine) Bucarest (Roumanie) El Asnam (Algérie) Irpina (Italie)
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(d'après GRlBBIN. 1978 , BOLT, 1978)
L'observation de la carte du monde donnant la localisation des séismes ressentis (soit par l'homme, soit par les accélérographes sensibles) montre que ceux~ci sont en majeure partie concentrés le long de lignes relativement bien définies. La figure 1 donne a tit~e d'exemple la localisation des épicent~es recensés pendant l'année 1973 (UNESCQ - RéS~ annuel d'informations sur les catastrophes naturelles). D'une année al' autre, l.es épicentres des Séismes E!!stent localisés le long des mêmes lignes, indiquant ue ceux-ci ne sont pas dMl1buéS erratique""" ment a la surface de la terre mais sont liés a la structure du globe. Il est actuellement admis que la tectonique' des plaques permet de rendre compte correctement de ce phénomène.
15
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selon celte théorie [LE PICHON et al, 1973J, la surface de la planètE'!, la lithosphère, est. constituée d'une mosaïque de six grandes plaques rigides (f'igure 2) 1 les plaques Eurasie, Amérique, pacifique, Afrique, Nasca et Antartique, Enta:! 5,es grandes plaques, il existe un certain nombre de plaques de dimensions plus'~u'ites telles que la plaque Coco (entre l'Amérique centrale et les Galapagos), la plaque des Caraïbes, la plaque Inde-Australie, etC' .. ,La lithosphère, épaisse d'environ 70 kilomètres, repose sur une couche visqueuse, l'asthénosphère, Ces deux couches font partie du manteau terl:estre et sont constituées de roches ultrabasiques, La lithosphère est rigide alors que l'asthénosphère est visqueuse en rai~on des conditions de température et de pression auxquelles elle est soumise de par sa situation profonde, ,
'
Les plaques se meuvent a la surface de l'asthénosphère vraisemblablement sous l'influence de courants de convection, Il existe donc des ~ones de divergence (dorsale ou rift), des 20nes de convergence (auquel cas l'une des plaques disparait sous l'autre dans une zone de subèluction) et des ~ones de coulissement le long des failles, A la surface de certaines plaques se trouvent des continents plus l.égers qui flottel)t sur les roches ultrabasiques et dérivent en suivant le mouvetnent des plaques Lorsque deux plaques portant des contimmt:s entrent en collision, les masses continentales ne disparaissent pas 1 seule leur répartition se moèIifie donnant naissance a des chaines de montagnes] C'est le cas par exemple des cha!.nes de l'Atlas N6~ Africain (MarOC, Algérie, Tunisie) nées de la collision des plaques Eurasienne et Africaine. Ainsi, comme l'a postulé WEGENER en 1910, les continents dérivent depuis environ 225 millions d'années, 4ate a laquelle ils étaient tous assemblés en un continent unique, la Pangée. Certains modèles ont été proposés permettant de reconstruire le mouvement des plaques depuis cette époque [BIJU-DUVAL et al. 19??J.
L
Les mouvements relatifs des pl.aques engend.rent dans les zones de contact des contraintes, Lorsque celles-ci se sont accrues au point de dépasser la limite de résistance des roches de la croQte terrestre, l'énergie élastique en.nagasinée est libérée brutalement donnant naissance a un tremblement de terre. Cette rupture brutale résulte de la fragilité des roches constituant la lithosphère. L'asthénosphère, v1 IlqlleUlle, ne peut casser et libérer brutalement de l'énergie, De meme, dans la lithosphère toutes les roches ne présentent pas la même fragilité, C'est ainsi que la séismicité moèIérée du Maghreb, par rapport a la Méditerranée Orientale, s'expliquerait par une plus grande déformabilité des roches dans cette zone [AMBRASEYS, 1991J. Dans les zones oà deux plaques s'écartent (dorsales), le matériau chaud et visqueux monté de l'asthénosphère se met en place et se solidifie par refroidissement, sa rupture provoquera des séismes superficiels dont le foyer est a une profondeL.r inférieure a 70 kilomètres. Dans les zones de convergence, une partie de la lithosphère disparait par fusion en plongeant dans l'asthénosphère (figure 3), DanS ces zones de suJ::xluction, également appelées zones de Benioff, du nom du sismologue les ayant mises en évidence, les séismes peuvent être profonds (profoRdeur focale supérieure a 250 kilomètres), intermédiaires (profondeur focale comprise entre ?O et 250 kilomètres) ou superficiels, Si les deux plaques entrant en collision portent des masses continentales, les séismes sont superficiels cal: il n 'y a pas de plaque plongeante (cas de l'Afrique du Nord). Enfin, dans les zones de coulissage, les séismes sont très superficiels (profondeur focale inférieure a. 10 kilomètres), C'est le cas par exemple de la faille de San Andreas en Californie.
17
/ _ ' " " " " VOl.CANIaUE
f..!gure 3 _
Plaque IlthOlJphirique
La. période de r4currence des séismes dépend du mouvement relatif d"liI plaques et de la capacité du matériau à emmagasiner de l'énergie avant de se r~. Depuis 80
millions d'années, l'Afrique et l'Europe se sont rapprochées a une v1tesBe moyenne c!J'un centimètre par an. ce rapprochement a abouti a 1a fermeture presque totale du vaste Océan (La Tethys) qui s'étendait antérieurement entre les deux continents [BlJU-DUVAL et al. 1977]. En Californie, le long de la faille de san I\ru1reas, le mouvement relatif moyen est de 6 centimètres par an. ,
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la. tecLonique des plaques. dont un ape~u très simplifié, et même simpliste, a été
donné
cl~eBBus.
permet de rendre compte de la majeure partie des séismes se
produisant dans le monde. Il ne faut cependant p.llS perdre de vue qu'il existe également des séismes se produisant au milieu des grandes plaques (Chîne par exemple) .
.3. DEP"INITIONS
La. sîsmologie a Jessentiellement étudié, jusqu'a ces dernières années, la :'propagation des o~des élastiques et les propriétés des milieux traversés par ces
ondes. En conséquence, notre connaissance du mécanisme des séismes est moins bien développée que notre connaissance de la structure interne de la terre. Le processus générateur des séismes peut stre décrit de la façon suivante 1 - un Champ de contraintes, non hydrostatique, est généré dans une zone le long d'une faille. Cette zone est appelée le foyer. Au voisinage du foyer le déviateur de contraintes atteint des valeurs de l'ordre de 10 MPa.
18
- une rupture se produit le long (le~a faille et l'énergie élastique emmiigitninOe par le travail du champ de contra ntes est brutalement réduite d'une quantité égale a la somme de l'énergie dis pée par radiation d'ondes élastiques et de l'énergie transformée en chaleur ou en énergie potentielle. - le retour progreSsif a l'équilibre se fait par libération des déformations résiduelles lors de secousses suivant le sé:!.sme. Ces secpua"ses sont appelées répliques. LOrs de la rupture, les deux bords de la fa:!.lle peuvent être affectés de mouvements divers. On distingue classiquement (figure 4) 1 - des failles coulissantes qui correspondent a des :eones de cisaillement. C'est le cas de la faille de san Andreas en CaU.fornie J - des failles normales qui correspondent li des zones d'extension- des failles inverses qui correspondent li des zones de compression. d'El ABnam en 1980 a résulté dU mouvement d'une faille inver8e.
Faille coulissante
Le
séisme
Faille
Faille
figure 4_ Mouvement des failles
Une partie de l'énergie libérée par le séisme se propage sous formes d'ondes élastiques. Au voisinage de la source, le foyer, les ondes créées correspondent li des ondes de volume , ~des de compr~ss:!.on ou ondes de cisailleme;Dt. En se propageant vers la surfacedu sol, ces ondes :rencontrent -déS"hétérogénéités, des surfaces de discontinuité ou la surface libre. En heurtant ces surfaces, les ondes sont partiellement réfléchies et réfractées et donnent naissance li d'autres types d'ondes comme les on_des de Rayleigh ou les ondes de LOve. Chaque type d'onde se propage li sa vitesse propre (Célérité), fonction des caractéristiques du milieu. A tiLre d'exemple, la vitesse de propagation d'une onde de cisaillement, dont l'importance est primordiale en génie parasismique, est
19
, , E
•
1
•c
•E
•• -1 -••• -, -3 Q
,
,
10
,
,
\0
"
20
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20
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Temps.'.
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1
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E
• •• •
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oc
•
Temps."
JO
'''f.
••
•._''''~ • < -01. Q
, Bgura 5 _
20
\0
25
Temps s
Séisme d'Olympia.Washinglon 1949. Composante S86W
JO
supérieure à 1008111/s dans du rocher, de l'ordre de quelques centaines de rn/s dans des alluvions et inférieure à 100 rn/s dans des dépOts d'argiles IIlOl1es ou de vases, Dans un sol sous nappe, la vitesse de propagation de l'onde de compression est supérieure à 1500 rn/s, valeur correspondant à la vitesse de propagation de l'onde dans l'eau, Lorsque les ondes et l'énergie qu'elles transportent atteignent un site à la surface de la terre, elles engendrent des vibrations dans trois directions (deux horizontales et une verticale). Les enregistrements des accélérations de ces mouvements en fonction du tempe s'effectuent à l'aide d'accélérographes, Ils constituent des accélérogrammes. par intégration d'un accélérogranme ou peut obtenir les diagra/fllŒ!s de vitesse et de déplacement en fonction du temps (f:i,.gure 5 ). Le processus d'intégration d'un
accélérogramme est une opération délieJate. L'existence d'un set.lil de décl.enchement des appareil.s enregistreurs fait perdre l'information initiale, Il faut donc procéder a diverses corrections, fonction des caractéristiques de ces appareils pour obtenir des déplacements résiduels raisonnables [TRIf'UNAC - LEE, 1973]. L'utilisation des données brutes conduit généralement a une dérive de la courbe de déplacement en fonction du temps, Notons cependant que les accélérographes modernes a mémoire permettent d'appréhender le début du signal, Sur la figure 5, on n'a représenté que les 30 premières secondes de l'aooélérogramme d'Olympia (1949), Ceci expli.que les valeurs non nulles trouvées pour la vitesse et le déplacement en fin de séisme, En' réalité l'accélérogramme ayant été corrigé, ces valeurs sont nulles.
4.L Gxandeurs _ximales 1 accélération, vitesse, déplac:e.ent
un accélérogramme (fiqure 5), on peut distinguer une phase i.nitiale pendant laquelle les accélérati.ons sont faibles (0 a 4 s pour l'accélérograJ\'lllEl de la figure 5), une phase a fort ni.veau d'accélération (5 à 12 s), une phase modérée (12 à 23 s) et une phase très faible de retour progressif au repos () 23 s).
DanS
A partir de diagrammes tels que ceux de la figure 5, il est possible de connaitre
la valeur maximale, a, de l'accélération (généralement exprimée en nombre de 9), v, de la vitesse (Cl1Vs) et, d, du déplacement (cm). CSs valeurs ne varient pas totalement indépendamment les unes des autres. En particulier pour les séismes réels, le rapport ad/Vz est compris entre 5 et 15 environ [NEWHARK-ROSENBLtlE'l'H, 1971]. ces valeurs maximales, souvent prises en compte pour caractériser la violence d 'un séisme, ne sont pas, a elles seules, caractéristiques de celui-ci.. D'autres paramètres ont été introduits à cette fin,
4,2, Durée La durée d'un séisme est délicate à défi.nir directement à partir de l'accéléra-
gramme. Certains si.smologues ont proposé de la définir a partir du diagramme (l'Husid qui est un moyen commode de quantifier la variation du niveau d'excitati.Qn dans le temps. Par définition, si a (t) est l' accélérati.on fonction du temps, T la durée totale du séisme, la variation de l'intégrale;
21
t
h(t) ..
lJ
Ia(tl/dt] /
o
[J
T
0)
[a(t)/ dt] 0
constitue le d1agrêlJmle d'Husid. L'intégrale au dénominateur de l'équation (1) est une mesure de l' énergie contenue dans l' accélérogramme. Le diagramme Cl 'Hueid
correspondant a l'accélérogramme de la figure 5 est donné sur la figure 6. on peul: alors définir la durée significative du séisme comme le temps requis pour
passer du niveau 5 , au niveau 95 \, soit 20 secondes dans le cas présent.
'9 ,
dl1f6e T
, "-• • •
==
20 aec
1
.'
'-',
, !!gure 6
15
"
"
25 Tempa .•.
Diagramme d'Hu.id _ Séisme d'Olympia 11949)
"
spectre de réponse en accélération, vitesse ou déplacement permet de faire intervenir la notion de CQnl:enu en fréquence du mouvement. Son but est de caractériser un BéiBll1& d'après la réponee d'une structure simple. Par définition, un spectre de réponse en accélération eet la courbe donnant l'accélération ~~'OScillateurs simples a un degré de liberté et de fréqUence propre __ le. un tel oscillateur est représenté sur la figure 7. Il est: caractérisé par une Il\aSse M. une ra.:1f:1eur K et un amor,tisseur C. Si le sO«le le supportant est soumis a un accélérogruane y( t). le mou~ment relatif x de là masse M par rapport au socle est régie par' : Le
..
H (x + y) + C X + K x - 0
En introduisant les variables:
22
(
,
)
- pulsation propre
Pl
c
- pourcentage d'amortissement critique
,"
l'équation (2) prend la forme classique
,
x + 2 .l.J :k + w x
--
y( t)
,S)
A pourcentage d'amortissement critique donné, la résolution de cette équation différentielle, pour diverseS valeurs de la fréquence propre f .. w/2rr, permet de connai tre l'accélération maximale subie par la masse H, En répétant cette opération pour différentes valeurs de 13, on obtient les spectres de réponse de la figure B correspondant a l'accélérogramme de la figure 5 et a des pourcentages d'amortissement critique de 0 %, 5 % et 10 %,
K
_~~::~~~:~~:~~~:~____• 1-
X (repère lié .. rassise)
.. y(repère
fixa)
_Figure 7 _ Oscillateur simple è un degré de liberté
L'utilisation d'un tel spectre est immédiate, Considérons a titre d'exemple un batiment réacteur de centrale nucléaire monté sur appuis en ~stomère, ces appuis ont pour propriété de privilégier un mode de déformation correspondant a la translation horizontale du batiment. La structure peut donc être assimilée a un oscillateur simple à un degré de liberté, Avec les caractéristiques usuelles de ce type d'ouvrage, la fréquence propre de vibration est de 0,8 Hertz environ et le pourcentage d'amortissement critique de 5 1;, Un tel batiment soumis a un séisme représenté par l' accélérogranwne de la figure 5, dont les spectres de réponse sont donnés sur la figure B, subirait une accélération maximale de 0, 10 9 (point A de la figure B), La force hor1zontale s'exerçant sur lui vaudra1t 0,10 fois son poids. Cette not1on de spectre de réponse peut être étendue au cas des vitesses ou des déplacements, Elle constitue la base de l'analyse modale des structures [CLOOGHPENZIEN, 1'175].
D'autres notions, comme le spectre de Fourier CI 'un accélérogramme, ont également étê introduites essentiellement par les sismologues. ces notions donnent des
23
renseignements intéressants sur la nature Clu mouvement ma1S ne sont pas, actuellement, directement utilisables pour la conception des ouvrages. On pourra se reporter pour une discussion plus complète ~ HOOSNER (1971),
10
{3, Pourcentage d'amortissement critique
, •,
,
.
~
l•
JA
1
g ;
W'
.,• ~
~
Il 1,-1r
0/1-(7
~
0%
.% (3",10%
l'/.. Vv
o.1
'/1 0.0 1
Ops
O.'
•
.
Frequence Hz
"
figure 8 _ Spectre de reponse _ Seisme d' Olvmpia (1949)
Le mouvement sismique en un point est affecté par Cles facteurs liés a la BOurce, au
traJet ~rcouru entre le foyer et le site et par Cles facteurs liés ~ Cles conditions locales propres au si t.(· [lllHISS, 19781. Pour étre en mesure d'évaluer la nature
24
du mouvement sismique sur un s1te, il est. nécessalre de connaitre l'influence de ces facteurs et de les quantifier. Ceci est réalisé à l'aide de relations dites lois d'atténuation, exprimant un des paramètres caractéristiques du mouvement sismique (accélération maximale, accélération spectrale .,,) en fonction de l'ensemble des paramètres caractéristiques,
S.1. Facteurs 11és a 1a source Ces facteurs sont fonction des dimensions de la ",-one de rupture, des valeurs des contraintes le long de la surface de rupture, du mécanisme de la rupture et de sa propagation le long de 1a faille. D'un point de vue fom1amental, ils sont caractérisés par deux paralllètres principaux ~ le moment sismique Mo et la chute de contrainte lJ.T. L'utilisation de ces deux paramètres est encore limitée aux sismologues, LeS ingénieurs prét:èrent caractériser un séisme so!t par sa magnitude, soit par son intensité a l'épicentre, Une certaine col)f'us!on ~ne dans l'utilisation de ces deux derniers paramètres
~.!.!._.'I'~_~!~,"._~l !~
Il existe de nombreuses évidences indiquant que, sauf peut-être pour les séismes profondS, un séisme est engendré par un mécanisme de cisailletnent pur duquel les déformations par dilatance ou contractance sont absentes. Le mécanisme a la source peut étre alors représenté par un ensemble de forces constituant un double couple dont le paramètre caractéristique est Mo. le moment sislllique [BRUNE. 19761, Considérons une dalle mince ( figure 9) correspondant au plan de la faille. Le couple da aux contraintes de cisaillement est ,
H.
".
Th dA
('
,
En désignant par G le module de cisaillement du milieu (identique au paramètre de Lamé jJ. de la mécanique des milieux continus) et par u le déplacement relatif des deux faces de la faille, il vient pour un milieu élastique :
-
sf
G u dA
=
GuA
p,
s
où U est le déplacement relatif moyen des deux bords de la faille et A l'aire de la surface de rupture. Mo est généralement exprimé en dyne-crn.
25
/
- - --------- --/' dA
~7'-
figure 9 ~ Schématisation d'un plan de faille (Brune 1916)
-------------
5.~.2.
Chute de contrainte
un séisme surv.1.ent: lorsque les forces qui maintiennent: l'élément de volume constitué par la da.lle sont brusquement relachées (figure 9). L' énergie libérée
provient de
l'éne~le
élastique emmagasinée E:
E -
"2
(8)
alj et Eij représentent respectivement les tenseurs de contraintes et de déformations. Au centre c1u plan de faille, le champ de contraintes eat senSiblement un champ de cisaillement simple caractérisé par des déformations de cisaillement Y:l et Y:t avant et: après séisme. Pour un volume élémenbüre (Iv la
variation d'énergie élastique est :
d(àE) ."
-2"
•
, Y,
•
- Y ) G du
•
,g)
ou
d{M) ..
[ Y, + Y. 2
Jey.!- -
Y.z} G dv
(10 )
En introduisant la variation de contrainte de cisaillement AT (ou chute de contrainte) pendant le séisme et la contrainte de cisa:i.llement moyenne T pendant le séisme. l'équation (10) s'écrit:
26
d(è-E)'"
TAT
dv
G
(11 )
La chute de contl."ainte est: directement proportionnelle a J.'énergie libérée. Elle
peut atteindre plusieurs dizaines de Mégapascals.
La
chute de contrainte du
séisme de San Francisco (1906) a, par exemple, été estimée a 13,3 MPa. La
relation (11) met aUSsi en évidence le fait que l' énerqle libérée dépend, par
l'intermédiaire de T, de l'état de contrainte régnant sur le plan de la faille avant le séisme. En se reportant a la figure 9 et en tenant COIIIPte de l' équation 7
on peut écrire
(11)
sous la forme 1
A E
II;
U TA"
(12 )
seule une part;le lIEr de cette énergie est diSSipée par radiation. Le complément est <11ssipé en chaleur Bur la surface de rupture. cette dissipation en chaleur est égale au travai14e la force de frottement. APPelant" le coefficient: d'effica-
cité aismique, on peut écrire
1
( 1.3 )
La connaissance du paramètre chute de contrainte permet de définir un modèle pour
la génération des séismes. ce modèle représente un séisme comme résultant de l'application instantanée, le lOng de toute la surface de rupture, d'une impulsion de contra1nte égale a. la Chute de contra.inte {BRUNE, 1970]. A l'aide de ce modèle il est possible de calculer la vitesse pa.rticulaire au voisinage de la faille. On montre qu'elle est éga.le
a
MV U
•
G
•
( 14)
ot! Vs est la vitesse de propagation des ondes de cisaillement. L'accélération est donnée par ,
2 AT f
pV
•
(15 )
où p est la masse volumique du milieu et f la fréquence,
27
D'autres modèles plus complexes ont été proposés. Ils prennent en compte une propagation de la rupture danS un milieu dont le critère de rupture est suppoDé connu. Ces modèles sont infiniment plus complexes et font intervenir des paramètres mal connus .pour une discussion de ces modèles,on pourra se reporter a. BRUNB (19761.
IUagnitude est calculée COIrlTlE! le logarithme de l 'ampli Lude des ondes sismiques d'une certaine fréquence enregistrées sur un sismographe. Ainsi, la magnitude locale est égale au logarithme de l'amplitude maximale enregistrée sur un Sismographe de type Wood-Anderson, ayant une période propre de 0,8 seconde et un pourcentage d'amortissement critique de BO 'ii, situé A 100 kilomètres de l'épicentre, Des tables ont été construites empiriquement permettant la détetl1lination de la magnitude a. des distances autres que 100 kilomètres, De façon générale la magnitude est calculée par la formule : La
m
~
A
log - + T
f(~,h)
+ 5
(16 )
00. A et '1' représentent l'amplitude et la période de l'onde (lues sur l'enregistrement), f le facteur de correction fonction de la distance épicentrale 6. et de la profondeur focale h et 5 un [acteur de site. Pour un séisme donné, il n 'y a pas une magnitude unique. On distingue la magnitude des ondes (le vol.umes m, la rnagnitu(le des ondes (le surface Ms, la magnitude locale Kr. définie par Richter, De plus, la magnitude peut varier (l'une station a l'autre suivant la position géographique de celle-ci. Cela est (lQ a des schémas de radiation non uniformes autour de l'épicentre (paragraphe 5.2,). Suivant le type d'ondes considtir6es, la magnitude représente une mesure de l'énergie libérée dans une certaine bande de fréquences. La magnitude des ondes de surface correspond a des périodes de l'ordre de 20 secondes, Celle des ondes de volume a des périodes comprises entre 1 seconde et 5 secondes. Il convient donc de se montrer prUdent dans l'utilisation des magnitudes d'autant qu'il. n'y a pas uniformité (l'utilisation entre les différents auteurs. OU point de vue de l'ingénieur, les magnitudes III ou ML sont plus significatives car elles correspondent a la plage des fréquences de vibration propre des ouvrageS usuels. Plusieurs relations empiriques ont été proposées pour relier l'énergie libérée lors d'un séisme (énergie U.bérée sous forme radiative Br) a la magnitude. Par exemple :
11,4 + 1,5 ML
(17 )
où Er est exprimé en ergs. La magnitude peut être reliée au moment sismique par la relation (13).
28
log
~T
+ log Mo - log G
=
11,4 + 1,5
~
(l8 )
l'our les séismes importants, Lomnitz (1974) a proposé la relation (19)
analogue, de par sa forme,
a l'équati?n (lB).
La magnitude s'exprime en chiffre arabe. Elle peut prendre des valeurs négatives
'-<@t il n'y a théoriquement pas de borne supérieure a sa valeur. Une augmentation d'un degré de la magnitude correspond a une énergie libérée trente fois plus éleVée, Les séismes destructeurs ont en général des magnitudes supérieures a 6, 5. La plus forte magnitude attribuée a un séisme correspond au séisme de Lisbonne (1755 ) dont la magnitude a été évaluée a 8,5. Les séismes de magnitude inférieure a 3 - 3,5 ne sont pas ressentis par l'homme. En France, on enregistre, en provenance de la France et des pays 11.m1trophes, environ 1500 séismes par an dont les magnitudes se répartissent comme su1t
4 3
< <
"L "L "L
> <
, ,
1 a quelques unités 10 a 15 séisl\les
'
4
une centaine de séismes
Les autres ont des magnitudes conprises entre 1,5 (limite de détection du réseau du Laboratoire de Détection Géophysique) et 3,
5,1,4, Xntensité La violence
d'un séisme a la surface du sol est souvent décrite sur une échelle non instrumentale, appelée échelle d'intensité, Le degré d'intensité attribué a un séisme est fonction des dégats su»iH pax les constructions et des efrets ressentis par les personnes, LeS échelles d'intensité sont nombreuses, Mercalli - Cancani - Sieberg (MeS) ; Marcalli Modifiée, Medvedev - Sponheuer - Karn:l..k (M5X), , , Elles sont grado.lées en chiffres romains variant de l a XII, On a donné dl titre d'exemple en annexe, l'échelle d'intensité MSK qui est la plus utilisée dans les pays européens. Sur le continent américain, l'échelle Marcalli Modifiée lui est souvent préférée. En pratique ces deux échelles conduisent au même degré d'intensité, ce qui n'est pas le cas par exemple pour l'échelle MCS qui conduit a des degrés d'intensité plus élevés d'une unité pour les intensités Comprises entre V et X. Des écarts du même ordre de grandeur existent également avec d'autres échelles (échelle japonaise, par exemple), Il convient donc. comme pour la magnitude, de préciser l'échelle d'intensité a laquelle on se réfère. D'autre part l'intensité d'un séisme diminuant avec sa distance à l'épicentre, la seule g~andeur caractéristique est son intensité la à l'épicentre. Même cette valeur peut ne pas être représentative des caractéristiques du séisme à sa source. Elle intèqre l'effet d'autres paramètres comme celui des conditions l.ocales du site (paraq~aphe 5,3,). L'attribution d'un degré d'intensité comporte une part subjective importante qui peut conduire, suivant les auteurs et les régions, à des écarts significatifs (un degré ou plus). Certains organismes attribuent à un séisme l'inlensité correspondant aux donunages les plus importants su»is dans la localité, D'autres ont pour habitude de moyenner les dégats observés. Par ailleurs, il est certain que,
29
dans les zones faiblement sismiques, on a tendance" surévaluer l'effet d'un séisme alors qu'une certaine aCCQutumance, dans les réqions fortement sismiques, cond:uit a dévaluer les effets d'un séisme. En conclusion, l'intensité n'est pas un paramètre fiable a utiliser en génie parasismique. Malheureusement jusqu'a une époque rêcente, deuxième moitié du XXème sièCle, les données instrwnentales sur les séismes sont quasiment inexistantes et les séismes anciens ne sont connus que par les destructions qu'ils ont causées, L'importance de la séismicité historique dans l'évaluation du potentiel sismique d'une réqion (paragraphe 6) 1J!Iposs donc de prendre en considération ce paramètre, malqré les fortes l~tations qui lui sont afférentes. Il existe des relations empiriques entre la magnitud.e M d'un séisme, sa profondeur focale h et son intensité a l'épicentre Io' Elles sont de la forme (KARNIK. ESTEVA - ROSENBLOETH) 1
M -
a Io + b log h + C
(20)
Une relation de ce typa il. été développée par 1e Département de SQreté Nucléaire du
COImI1ssax:iat " l'Energie Atomi.que Français, Elle relie la magnitude des ondes de volume m " l'intensité MSK par 1
m -
0,55 l + 2,20 log R - 1,14
(21)
ota R. expr1Jnée en kilomètres, est la dbltance focale.
5.2. Pact:aw:a lieB au trajet
parcouru
une partie de l'énergie libérée a la source se propaqe par radiation d'onc:les sismiquelil, Lore de leur trajet entre le foyer et le site ala surface de la terre, cee ondes rencontrent des hétérogénéitée, des surfaces de discontinuité, des barrières naturelles. ces obstacles ont pour effet de réfléchir et réfracter les ondes, de les polariser et de les convertir en d'autres types d'ondes: conversion d'ondes de volume en ondes de Rayleigh et en ondes de LOve dans les milieux stratifiés. Par ai11eurs, une partie de l'énergie transportée par ces ondes est absorbée dans les milieux qu'elles traversent du fait de l'amortissement propre, ou amortissement matériel, lié a l'hystérésis des matériaux. Tous ces phénomènes affectent la. nature du mouvement si.Bmique. L'éloi.gnement de la source affecte 1.8 mouvement en diminuant son amplitude (diminution des accélérations, vitesses, déplacements avec la distance) et en modifiant son contenu spectral : les hautes f:réquences sont filtrées et la fréquence fondamentale du mouvement abaissée. On a également noté précédemment que les magnitudes attrÏbuées par divers orq",ninmes .\ un même séisme varient suivant la distribution géographique des stations .\ la surface de la te:rre. cela :reflète bien l'influence de la nature des terrains traversés. prise en compte de ces phénomènes est extrêmement complexe et impose en particulier de connaitre la structure interne de la terre entre le foyer et le site. Celle-ci n'est généralement qu'approximativement connue et On rend compte La
30
de l'influence du trajet parcouru à l'aide d'un seul paramètre, la dl.stance de la source au site. Suivant lea au'leurs cette distance peut être la distance hypocentrale, la distance épicentrale ou la plus courte distance de la faille au site. La. distance hypocentrale (ou focale) est souvent mal connue, La, dist.ance épicentrale est mieux connue mais son utilisation ne peut se concevoir que dans une ~ne donnée, oü les profondeurs focales restent pratiquement équivalentes d'un séisme à l'autre. L'utilisation de U plus courte distance de la faille au site part de la considération simpliste que, le séisme résultant de la propagation d'une rupture le long d'un plan donné (le plan de faille), le mouvement sismique en un point sera plus forteme':lt influencé par la plus courte distance à la ~ne de libération de l' énerqie que par la distance au point 00 s'est initiée la rupture.
5.3.
,,-acteurs 'U.és
aux conditions loca.1ea
Les conditions géologiques locales, les conditionè topographiques, les interactions sol-structure modifient la nature du mouvement sismique, On s'est généralement attaché à mettre en évidence l'effet de la géologie locale (nature et caractéristiques des terrains), cependant des études analytique~nt permis, ces dernières années, de montrer l'influence des autres paramètres Les phénomènes d'interaction sol-structure peuvent altérer la nature dU mouv nt enregistré dans un batiment par rapport au mouvement réel du sol a. l'extérieur de ce bati.rnent,~s radiers de dimensions importantes peuvent, par exemple, filtrer les hautes fr4quences) L'influence de l' interact1.on sol-structure sera étudiée plus en détail chapit~ VII. L'influence de la topographie a été par exemple mise en éVidence par BOORE (1973) qui a montré que l'accélération maximale particulièrement élevée (1,25 g), enregistrée au barrage de Pa.1coma pendant le séisme de san Fernando, résultait de la configuration du site du barrage (vallée encaissée) et de la position de l' appareil enreqistreur a ... sotrmet 13 'un des appuis, sans cette amplification topographique •. l'accélération n'aurait été que de 0,73 g. BARD et BOUCHON (1980) ont étudié analyti.quement U réponse d'un bassin sédimentaire. Leurs résultats font apparaitre, pour certaines fréquences, une amplifi.cation notable et une augmentation de la durée du mouvement en surface du bassin. Cela est principalement dO a la formation d'ondes de surface locales (Rayleigh ""'")
.
L'infl...ence de la géologie locale est généralement mise en évidence à l'aide d· ...ne classification sommaire de la nat... re des sites , sols rocheux, raides, intermédiaires 0 ... très mous, La modification du mouvement sismique, lorsque l'on passe d'un type de sol a un autre, peut etre examinée à l'aide des paramètres caractéristiques de ce mouvement 1 accélération ou vitesse maximale, spectre de réponse, '" Toutes les études statistiques réalisées sur des enregistrements réels (5EED et al, 1976 1 TRIPUNAC et BRADY, 1975 1 JO'lNERet BOOM, 1981] montrent que l'accélération maximale en surface du sol est le paramètre le moins affecté par la nature et les caractéristiques des couches sous-jacentes. LeS sols mous font exception à la règle, en présentant une atténuation moins rapide de l'accélération maximale avec la distance. De plus, aux forts niveaux d' acCélérat1.on, leur capacité de résistance moins élevée limite les accélérations maximales qu'ils sont capables de transmettre en surface, La vitesse ou le déplacement ..utimal sont des paramètres beaucoup plus sensibles a la nature du sol. Plus la rigidité du sol est faihle, plus grands sont. les déplacements et les vitesses. Le sol se comporte comme un gros appui néoprène qui écrête les efforts, et. donc les accélérations, en compensation d'une augmentation des déplacements.
31
10
,
///
1
.,
.' ./ 0.1
(,.,
.
1
,
10
Fréquence Hz
50
100
Ejgure 10 _ Spectres de réponse moyens (Saud et 91,1976 a 1
la' rocher (b) sols raides (c) sols pulverulents profonds Id) sols mous
L'influence de la nature du Bol est également mise en éVidence de façon très nette en examinant les spectres de réponse a la surface du sol. SEED, lJGA5 et LYSMER (1976) ont réalisé une étude statistique des spectres de réponse en accélération d'enregistrements de séismes en surface de différents types de Bol, répartis en
quatre catégories. Leurs résultats sont présentés sur la figure
~o
en normant
l'accélération maximale du sol (accélération à période nulle) à une même valeur. La. fréquence prédominante du mouvement, correspondant au pic du spectre àe réponse, diminue lorsque la raideur du Bol diminue. Autrement dit, plus le sol est mou plus il filtre les hautes fréquences contenues dans le mouvement incident. Une structure raide sera donc plus vulnérable sur rocher que sur sol mou et vice versa. Par ai.lleurs, la plage de fréquences 00 l'accélération spectrale reste élevée est plus étendue pour les sols a faible raideur. Des l;ésultats analogues ont été obtenus par FACCIOLI (1918) poUl; des sols très mous (vitesse de propagation de l'onde de cisaillement de l'ordre de 100 In/s sur une dizaine de mètres d'épaisseur), MOHRAZ (1976) pour des sols rocheux, HAYASHI (197.1) pour des sols analogues a ceux de l'étude de SEED et al,
32
Remarque : les études de SEED et al ou de MQHRAZ ont été basées sur des études statistiques ne faisant pas intervenir la magnitude. Autrement dit, la forme du Spectre est indépendante de la magnitude et de la distance a. la source. 11 semblerait qu' en réalité, la forme du spectre de réponse déperme également de ces paramètres. LeS spectres de l'ACCIOLI ont été développés sur cette base tout comme ceux du CM en France. Ces derniers ne font cependant pas intervenir la nature du sol. En conclusion, les conditions locales d'un site (topographie, géologie) ont une influence fondamentale sur la nature ,du mouvement a la surface du sol, Cette influence n'a pas toujours reçu, dans les études et dans les règlements, l'attention qu'elle mériterait bien que, au cours de ces dernières années, on iUlsiste a un revirement notable de cette tendance.
5,4. Lois d'atténuation BaSées sur l'analyse statistique des enregietrements de séismee, elles pennettant de déterminer un des paxamètres caractéristiques du mouvement sismique (accélération maximale, vitesse maximale, accélération spectrale •• ,) en fonction des paramètres influant sur la nature de ce mouvement (magnitude ou intensité, distance, conditions locales). Les lois d'atténuation donnant l'acCélération maximale sont de loin les plus nombreuses, En 1978, IDRISS en dénombrait 32, contre 15 donnant la vitesse maximale et seulement 10 le déplacement, La plupart dee relations prennent la forme :
log Y
~
A + f(M) + g(R) + h(G)
(22)
00. Y '" paramètrE! recherché (accélération. vitesse .,.) f,g,h ~ tonctione (le la magnitude (M), de la distance (R) et des conditions locales CG) A ~ constante. Quelques relations (DONOVAN - BORNSTEIN, 1978) ne sépaxent pas les variables M et R et font intervenir une fonction t( M, R), La forme choisie pour l'équation (22) implique que la distril:>ution du paramètre y
est 1oqnormale et qu'il y a possibilité de séparer les variables M, Ret G. Ces hypotheses ne sont pas totalement testées et résultent de postulats plus que de vérificatione expérimentales. Les fonctions f, g et h prennent généralement, quels que soient les auteurs, des formes analogues. On peut retenir:
f(M)
~
B M + S'HZ
où B et a' sont deS constantes sauf pour DONOVAN fonction de R, B' est le plus souvent nulle,
(23 )
BORNS1~IN
qui prennent B
33
g(R) - E Ln{R + C)
où E et C sont des const.ant.es. Une va.leur de C non nulle conduit. plus lente du paramètre y au voisinage de la source.
h(G)
m
K
(24 )
i\
une atténuation
(25)
oQ K est une constante. SOuvent la fonction h est ignorée, ou différentes relations du type (22) sont données pour différentes conditions de site.
Les paramètres M, R et G, intervenant dans les relations (23) i\ (25), ont des significations différentes suivant les auteurs et il convient de prêter attention i\ la définition utilisée pour l'obtention de la loi d'atténuation. La ma.gnitude peut être la magnitude des ondes de surface Ms, la magnitude locale ML' la magnitude des Ondes de volume m. La distance correspond soit a la distance focale, soit a la distance épicentrale ou a la plus courte distance a la faille. Enfin, la classification géologique èI. 'un site ne fait pas l'unanimité. S'il n'y a généralement pas d'ambiguité pour un site rocheux, la définition d'un site intermédiaire ou d'un site mou peut varier notablement d'une loi d'atténuation à l'autre. En toute rigueur, une loi d'atténuation ne doit pas etre utilisée avec des paramètres ayant une signification différente de celle des paramètres ayant servi à la déterminer. même, la plupart des enregistrements disponibles de par le monde correspondent a des événements enregistrés i\ des distances a la source SUpérieures a une vingtaine de kilomètres, Les données ayant servi à établir les lois d'atténuation (éqUation 22) étant identiques pour tous les auteurs (i\ une date donnée), toutes ces lois conduisent i\ des résultats comparabl.es dês que la distance à la source devient suffisante, Seuls quelques dizaines d'enregistrements ont été recueill.is a des distances a la source inférieures a dix kilomètres. Dans ces conditions, la prédiction dU paramètre y devient imprécise au voisinage de la source et l.es différentes lois d'atténuation conduisent a des résultats pouvant varier dans le rapport de l a 3, Compte tenu du faibl.e nombre de données disponibles, les extrapolations faites par les différents auteurs sont ; De
soit basées sur le jugement de l.'auteur 1 soit obtenues d'après la fonctionnelle statistique (équation 22) ajustée sur des événements loint.ains. Dans ce cas les résultats sont obtenus après extrapolation hors du domai.ne des points eltPérimentaux ayant servi a établir la fonctionnell.e, ce qui est fortement contestable 1 - soit obtenues a partir des rares données disponil:lles. Leur valeur statistique est alors douteuse ; - soi.t enffn obtenues a partir de lois d'atténuation théoriques calées sur des événements lointains. Ces lois d'atténuation sont par exemple établies a partir d'une simulation du mécanisme au foyer, cette approche a été suivie par JOYNER et BOORE (19S1) par exemple. En conclusion, les lois d'atténuation sont nombreuses et l'ingénieur se doit de rechercher, parmi toutes les lois d' at ténuation disponibles, la mieux adaptée à
34
son problème. Pour une hibliographie complète sur les lois d'atténuation, on pourra se reporter a IDRISS (1978). On ne Citera, a titre d'exemple, et sans préconiser l'emploi de ces lois de préférence a d'aut~s, que celle donnée par SEIID et al (1976) sous forme graphique et celle proposée par JO'tNER et BCX)IŒ (1991) sous forme analytique.
1.0
, •,
----- --------1---- --------.~-------- ---
•• •,•• • •
~
c
.2
•
•-=• <•
MAGNITUDE DU SEISME:;:, 6.5 SOLS MEUBLES PROFONDS
10
1000
100 Distance
de le feille
• km
Figure 11. LOi d'attenuation de l'acceleration ( Seed et .!!. 1976 b)
11 donne la variation, a la surface de sols meubles profonds (~75111), de l'accélération maximale avec la distance (plus courte distance a la faille) pour des séismes de magnitude locale voisine de 6,5. Des graphiques analogues ont été proposés, par les mêmes auteurs, pour des sites rocheux ou des sols raides de profondeur réduite « 30 ml. On constate, ce qui avait été noté précédenment, une disperaion tmportante et l'absence de données a proximi~é de la source. La. {iqure
35
JOYNER et BOORE (1981) ont proposé, pour des séismes superficiels (propon~eur focale variant entre 5 et 10 kilomètres) les expressions suivantes pour l'accélération maximale A (eKPrimée en g) et. la vitesse maxilllaie V (cm/s) 1
[ [
log A - -1,02 + r
-
(0
,
log V -
,
r
-
(d
+
7.3
Z
+
-0,67
+
)
Z
4.0 )
0,249 H -
log r - 0,00255 r (26-a)
1/Z
0,489 M -
log r - 0,00256 r + 0,17 S ( 26-b)
1/Z
oà d (km) est la plus courte ~lstance a la projection de la surface de rupture, M la magnitUde du moment sismique (définie par une équation analogue a l'équation 19) et 5 prend la valeur 0 sur le rocher et l sur des sols non rocheux. La loi d'atténuation de l'accélération ne ~épend pas de ce paramètre, LeS deux lois d'atténuation proposées sont ~ifficilement comparables directement car la définition ~e la magnitu~e n'est pas rigoureusement identique. On constate cependant, qu'en première approximation, elles conduisent a des résultats comparables, En FranCe, les lois d 'atténuation ~éveloppées par le CEA corrèlent le spectre ~'aCCélération a la magnitude et a la distance focale. On obtient ainsi ~irectement le spectre de réponse [OEVILLERS, MOHAMMADIOUN, 1981]. L'accélération spectrale S'écrit 1
A{f) ~ C 100N Rn
(27 )
oà a, n et C sont des coefficients variables avec la fréquence, La nature du site n'est pas prise en considération 1 par contre, la forme du
spectre de réponse obtenu dépend de la magnitude et de la distance, par opposition ~ des formes standards de spectres analogues a celles de la figure 10. Des corrélations de ce type ont également été proposées par FACCI0Ll (1978) pour des sols mous.
6. EVALt:W1'ION DU RISQUE SISMIQUE
o'mœ:
RElGIœ
Il existe deux grandes catégories d'approche pour l'évaluation du mouvement sismique dans une région, La première, probabil~ste, consiste a examiner les séismes en terme de processus stochastique. Il est alors possible de défini r un modèle statistique reprodUisant, par exemple, une succession de séismes iropo:rtants, Un des modèles les plus utilisés, utile lorsque la seule information disponible consiste en un catalogue de séismes importants dans une région, est
36
basé sur les deux hypothèses suivantes
~
- le nombre de séismes en une année est une variable aléatoire avec une distribution de Poisson, de moyenne ~, - la magnitude N du séisme est une variable aléatoire avec pour fonction de distribution cumulative 1
F(N) .. l -
-f'<
•
(28 )
un tel modèle permet le calcul de périodes de retour. et du nombre de séismes excédant une valeur donnée de la magnitude pendant une année. Des modèles plus élaborés peuvent ètre construits. On se reportera pour une discussion approfondie de ces modèles a NEWMARX - ROSENBLtJETH (1971) et LOMNITZ (1974). Ces théor1es probabilistes constituent la base des études de risque sismique [CORNELL, 1968] en tennes de probabilité. L'autre approche, déterministe. vise a définir le potentiel sism1que d'une région en termes de valeur maximale d'un des paramètres caractéristiques dU mouvement. Pour aboutir a cette détermination. deux méthodes sont disponibles 1 l'une analytique consiste a faire intervenir le mécanisme a la source (diJnens1ons de la source, chute de contrainte, ••. ) à l'aide d'un modèle du type de celui décrit au paragraphe 5.1.2., la nature géologique du matériau dans 1equel se développent et se propagent les ondes, les accidents géologiques et topographiques qu'elles rencontrent. Cette approche, extrêmement complexe du fait du nombre élevé de paramètres a prendre en compte, fait l'objet de développements importants [BOORE. 1973], Elle n'a été utilisée qu'en de très rares occasions en relation avec des projets réels 1 elle a cependant permis d'éValuer des sens de variation ou d- estimer des valeurs max1llla.les des paramètres caractéristiques du mouvement sismique, Il n'est pas douteux que cette méthode so:!.t appelée a cannaitre des développements importants. Devant la complexité de cette méthode et la méconnaissance du mécanisme réel dl'! la rupture, une approche purement emp:!.rique a été déVeloppée. Elle est actuellement la plus couramment utilisée et est suiv1e en particulier en France par EDF et le CEA dans l'évaluation du risque sismique des centrales nucléaires. Elle peut se résumer de la façon suivante 1 à partir de l'examen des sétSJnes survenus dans le passé dans une région de structure géologique homogène, on détermine le séisme le plua iJnportant connu et on admet qu' un séisme analogue peut se produire <'!I. n'iJnporte quel moment en un point quelconque de cette région. A l'aide de lois d'atténuation, correctement chois1es, on détermine les caractéristiques (aCCélération, d'~rée, contenu spectral, ... ) de ce séisme maximal sur le site. Les étapes de cette démarche sont les suivantes~
6.1. Déteraination de provinces siSlllOtectoniquea
One province sismotectonique est une zone caractérisée a la fois par une atructure tectonique homogène et par une répartition sensiblement homogène de la séismicité historique. Cette détermination n'est pas chose aisée car elle suppose connue la structure tectonique a la profondeur des foyers, soit a des profondeurs supérieures a 5 0\10 kilomètres. Pour parvenir a cette détermination,
37
.\ l'analyse géologique et tectonique classique, on adjoint l'étude des linéaments et de la néotectonique de la région. Les linéaments sont obtenus Il partir de photos satellite J ils permettent la mise en évidence d'accidents structuraux • importants que l'on suppose liés a la géologie profonde. Par exemple"! les photographies obtenues .\ partir du satellite LANDSAT ont permis l'établissement d'une carte des linéaments du Bassin Méditerranéen [BLJU - DUVAL et al, 1976J. La néotectonique comporte
l'étude des déformations récentes de la croOte terrestre, par déformations récentes, on entend les déformations datant du quaternaire (2 millions d'années) .. Dans certaines régions (Californie, par exemple), il est possible d'obtenir des informations plus récentes, datant de l'Holocène, période récente (la 000 ans) du quaternaire [ALLEN, 1976]. L'ensemble de ces dOnnées, allié aux données de séismicité historique (paragraphe 6.2,), permet de définir des provinces sismotectoniques, En France, ce travail a été réalisé par le BRGM en collaborat:Lon avec le CEl'!. et EDF et a donné lieu à l'établissement d'une carte sismotectonique de la France.
6.2. Sé:Lsa:Lclté b1.Btor:Lque LeS données relat:Lves a 14 séismicité historique d'une région sont généralement cUfficiles a obtenir. Antérieurement aux années 1960, les données instrumentales sont prat:Lquement inexistantes, En conséquence, ces données sont souvent peu fiables, particulièrement en ce qui concerne les localisations d' épicentres , L'at~r1bution de degrés d'intensité peut aUSSi ètre parfois sujette a caution (paragraphe 6.1.4.). Enfin, la transcription de documents d'historiens peut parfois donner l:Leu a des erreurs capitales. C'est ainsi qu'un séisme 11nportant ayant causé la mort de 45 000 personnes en 854 après Jésus-christ a été attribué par erreur a la ville de Tunis en lieu et place de Tinis (Egypte) Il la suite d'une faut:e de transcription des documents arabes [AMBRASEYS, 1992]. De telles erreurs modifient totalement l'analyse de la séismicité d'une région, Une analyse critique de 14 séismicité (l'une région nécessite donc la collaboration d'historiens, sismologues et ingénieurs. ce travail de compilation a été réalisé par certains auteurs en ce qui concerne soit les séismes les plus importants, soit des régions déterminées du globe, soit enfin des périodes de temps restreintes [GU'l'ENBERG - RICHTER 1954, KARNIK l.97l., ROTHE l. 969}. certains organismes (UNESCO, International seismological Center de Newbury - GB) tiennent également des catalogues de séismes couvrant des périodes de temps déterminées, Les renseignements contenus dans ces différentes SOUZ'{!E!S sont souvent redondants, parfois complémentaires surtout en ce qui concerne la description de l'événement (magnitude, profondeur focale",), quelquefois contradictoires, Il convient donc d'utiliser ces données avec le plus grand soin. cette analyse de séismicité historique permet, en conjonction avec l'étude tectonique et géologique, de définir des provinces sisll\Otectoniques. E11e permet également d'attribuer a chaque province un séisme maximum historiquement vraisemblable (SMHV). Ce séisme ne correspond pas obligatoirement au séisme de projet. AinSi, pour les centrales nucléaires françaises, EDF et le CEA déterminent le SMHV d'intensité à l'épicentre Io' Le séisme maximum de sareté (5MS), devant servir au d1mensionnement des ouvrages, est défini par une intensité égale a celle du SMHV augmentée d'une unité 1 a un SMHV d'intensité VIII MSK est assocl.é un 5MB d'intensité IX MSK.
38
6,], Définition du IllDl..lveaent our
~e
site
Le séisme maximal de projet, retenu dans chaque province sismotectonique contenant le site ou contiguê a la province du site, est déplacé, en plan, à l'intérieur de sa province jusqu'au point le pluS proche du site. En particulier, le Séisme maximal de la province 00 est situé le site est déplacé jusqu'à la verticale de ce site en conservant sa profondeur focale. Si le séisme maximal peut être rattaché a un accident tectonique bien identifié, il est déplacé le long de cet accident.
A l'aide de lois d'atténuation appropriées (paragraphe 5. t}), on évalue l'effet sur le site de chaque séisme maximal. Le mouvement: sismique sur le site est caractérisé par une accélération maximale, une durée, un contenu spectral, •.. dérivéS de ces lois d'atténuation. Souvent, l'influence des paramètres affectant le mouvement sismique est reflétée par la seule valeur de l'accélération maximale. Le spectre de réponse du mouvement est donné a l'aide d'un spectre enveloppe lissé, calé au niveau d'accélération maximale proposé. un tel spectre est sensé étre valable pour toutes les natures de sol et quelles que soient les caractéristiques du séisme • c' eet le cas du spectre de l'American Nuclear R&gulato~ Con.n1ssion (NRC), Cette approche est généralement très conservative, sauf dans certaines configurations très particulières. On peut également, dans le choix du spectre de réponse, tenir cOlllpte de la nature des sols (figure 10) sans tsnir compte des caractéristiques du séisme ou vice versa (lois d'atténuation du CEA). Les lois d'atténuation donnant des spectres de réponse fonction des caractéristiques du sol, et de celles du séisme restent l:i1n1tées [FACCIOLl 1.978, par exemple]. La caractérisation du mouvement sismique par un spectre de réponse suffit souvent
pour mener a bien les calculs de d1mensionnernent des ouvrages (cas de l'ana1.yse modale). Cependant, les ca1.culs d'interaction sol-structure élaborés, prenant en COiupt:e les non-linéarités dU sol ou de la structure, les analyses de liquéfaction, nécessitent une définition temporelle du mouvement. L'obtention d'accélérogrammês caractéristiques du mouvement peut se faire soit en générant artificiellement des accélérogr&rnes ayant pour spectre de réponse celui défini précédemment, soit en recherchant pa~ les enregistrements de séismes réels disponibles les séismec dont les caractéristiques (magnitude, distance à la source, nature des sols) sont proches de celles du séisme de projet. rI est alors possible, par de légères affinités sur les valeurs des accélérations et sur l'échelle des temps, d'ajuster les caractéristiques de ces enregistrements a celles requises. Si cette approche est retenue, il est nécessaire de choisir plusieurs enregistrements pour échapper à des particularités (trous ou pics a certaines fréquences importantes) d'un enregistrement donné. cela présente l'inconvénient de multiplier le nombre de calculs mais offre l'avantage de travailler avec des mouvements de sols souvent plus réalistes que ceux obtenus artificiellement. cela est particulièrement sensible pour les études de liquéfaction. Les enregistrements réels de séismes peuvent être obtenus dans des sismothèque.ll rassemblant ces données 1 CEA en France, California rnstitute of Technology aux EtatS-Unis, National Research Center for Disaster Prevention au Japon, ... La démarche décrite ci-dessus pour la définition du mouvement sismique sur le site est généralement suivie pour la ~sante horizontale dU mouvement. Le mouvement vertical est généralement moins dommageable pour les structures dimensionnées sous chargement statique pour supporter leur propre poids (accélération de l g). LeS études statistiques ont montré que la valeur maximale de l' accélérat ion verticale est en moyenne égale a 0,5 a 0,7 fois la valeur maximale
39
de l'accélération horizontale. Il existe cependant des exceptions qui s'expliquent généralement par des particularités géologiques ou tectoniques 1 ainsi, le séisme d'El ASnam, provoqué par le mouvement d'une faille inverDe jouant verticalement, a donné naissance a des accélérations verticales plus importantes que les accélérations horizontales. En règle générale, lorsque le niveau d'accélération horizontale a été déterminé pour un site, le niveau d'accélération verticale est pria égal aux deux tiers de cette valeur. Le spectre de réponDe associé est plus riche en hautes fréquences que celui associé a la composante horizontale.
7, CONCLUSIONS
L'évaluation des caractéristiques dU mouvement sismique sur un site est ~a première, et actuellement la moins bien cernée, des étapes conduisant au dimensionnement parasiBmique des ouvrages. Elle fait intervenir en étroit~ relation de nombreuses disciplines 1 géologie, histoire, sismologie, géotecl1nique, statistique, ... ,8' il est facile de caractériser le mouvement en un poiht, a l'aide d'un certain nombre de paramètres utilisables par les ingénieurs, il est beaucoup plus difficile de rendre ~e de la façon dont ces paramètres sont affectés par le mécanisme du Séisme et la géologie environnante. Actuellement, cela est réalisé de façon empirique par un traitement statistique de données de base. Dans un avenir plus ou moins proche, un traitement plus fondamental du problème a partir du mécan1ame a la source permettra vraisemblablement d'aborder la question de l'évaluation des caractéristiques du mouvement sismique d'une rég10n de façon plus rationnelle, cette approche devrait permettre (le pallier le manque de données en particulier au voisinage des failles.
40
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42
Challitre 1
ceMP."TEMENT .ES selS SOUS CHARGEMENT CYCLI.UE
L'étude du mouvement sismique a nus en évidence l'1lI1portance de la nature des
couches géologiques de surface sur les caractéristiques de ce mouvement. Un exemple Cie cette influence est donnée sur la figure 1. qui représente les spectres CIe réponses en vitesse et en accélération calculés Il partir des accélérogramnes enregistrés dans la vallée de caracas (Vénézuela) lors clu séisme de 1967 [SEED et al, 1972]. LeS deux stations (l'enregistrement peuvent etre consMérées comme Bufflsannent proches l'une de l'autre (distance nettement inférieure a la è11stance hypocentrale) pour que les autres paramètres influant sur la nature du
mouvement sismique (paramètres liés a la source et au trajet) puissent être considérés comme semblables. La. différence de nature des mouvements entre l'affleurement rocheux et le centre de la vallée trac1uit l'influence des caractéristiques géotechniques des sols de fondation. L'étude du comportement des sols sous chargement cyclique, qui constitue l'objet du présent chapitre, appara1t donc comme une étape essentielle du génie parasismique.
une description complète du comportement du sol est obtenue si, partant d'un êtat d'équilibre caractérisé par un champ de contrainte a et un champ c:le c:léformation E, i l est possihle de déterminer le nouvel l'!T.at c:le déformation obtenu après application c:I'un incrément de contrainte da. cette description est obtenue a l'aide de la loi de comportement du 1'101.
43
. 42
42
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" '" Rocher
Figure 1
44
Spectre
de réponse
à
CARABALlEDA ,1S67}
La loi de comportement est une relation liant le tenseur de
le tenseur de déformation ~ et leurs incréments ~ et d~, En toute généralité, le temps intervient également cormne paramètre dans la relation p~cédente( Cependant pour les sols on verra, qu'en règle générale, le temps n'intervient: pas dans l'expression de la loi de comportement, La formulation de la loi de comportement est obtenue dans le cadre d'une théorie donnée; élasticité, visco-élasti<;:ité, élasto-plasticit:é " , Elle constitue le but ultime de la description du comportement du sol. Cependant, en raison de la complexi.té de descript1Qn de ce comportement, dont un aperçu sommaire sera donné au paragraphe 3, une approcheplus expérimentale et plus pragmat~que est souvent employée en mécanique des sols, Cette approche est un substitut au modèle théorique que constitue la loi de comportement, contrainte~,
Sa détermination se fait, dans le cadre d'une thé
2 , 2. Description elCPér:1JDent:ale La deuxième approche, plus pragmatique, relève d'une démarche courante en mécanique des sols. Elle consiste à anticiper le mode de chargement auquel va être soumis en place un élément de sol lors de la sollicitation sismique, Ce mode de chargement est reproduit au laboratoire de façon aussi fidèle que possible, compte tenu des moyens expérimentaux qu'il est possible de Concevoir. Le comportement du sol sous ce type de chargement est alors caractériSé par une courbe effort - déformation qui est directement utilisée pour rendre cQlllPte du comportement du sol en place. Ainsi, en se référant à la figure 2, pour évaluflr les tassements d'une couche de sol sous un remblai de grandes dilnensions, on utiliserait la oourbe expérimentale B obtenue en imposant une déformation latérale nulle à l'éprouvette,
A l'échelle de temps des sollicitations sismiques, la plupart des sols ont au cours de la sollicitation cyclique un comportement non drainé. La perméabilité du sol n'est pas suffisante (par rapport à la vitesse d'application des charges) pour permettre un-drainage de celUi-ci. En conséquence, dans ce type d'approche, les contraintes cycliques imposées et les résultats sont exprimés en termes de contraintes totales, cette approche constitue un pis-aller, classique en mécanique des sols 1 en effet, comme on l'a indlqué, le comportement du sol est régi par les contraintes effectives et la compréhension de son comportement non drainé réside dans la loi de comportement, cette loi de comportement déter1Jline la
45
tendance ~ la variation de volume du sol qui se traduit, en comportement non drainé ou partiellement drainé, par une variation de pression interstltielle donc de contrainte effective .
•
b -,• •
0
.,
-,,•• "
0 U
~~,,_....--~~'----:o;~,r= cate
Déformation axiale
Figure 2
~
Courbe effort _déformation Chargement quasi statique monotone
La limitation de
cette deuxième approche en contraintes totales apparait clairement dès que les conditions de drainage deviennent complexes. Par ailleurs elle reste nécessairement d'application limitée aux chemins de contraintes testés dans les essais. ceux-ci requièrent souvent des s1ll1plifications importantes par rapport aux trajets de chargement réels. dépit de ces restrictions importantos, qu'il convient de toujours garder ~ l'esprit, la suit.e du chapitre sera en grande partie basée sur cette deuxième approche qui rest.e la plus utilisée dans la pratique courante. On généralisera cependant ces résultats pour donner des formulations générales de lois de comportement,
En
3, OBSERVATIONS ElCPERIMEN'l'AL
Avant d'aborder l'étude du comportement des sols sous chargement cyclique. il parait nécessaire de faire un rappel sur le comportement des sols sous chargement quaSi-statique monotone. La figure 2 présente de façon schématisée des courbes
effort--déformation ohtenues a l'appareil triaxial pour trois chemins de traintes différents 1 compression isotrope (courbe Al essai a déformation latérale nulle (courbe a) essai triaxial classique a contrainte radiale (ou pression de finement) constante (courbe C)
con~
con~
L'examen de ces résultats expérimentaux montre que : a) il existe un domaine de fa1bles déformations pour lequel la relation entre la contrainte appliquée et la déformation associée est linéairetsi a l'intérieur de ce domaine de déformation on effectue une déCharge (diminution de la contrainte appliquée), le trajet suivi dans le plan (r:J, E) est identique au trajet suivi lors de la charge. En particul:1.er si l'effort revient a zéro, la déformation résiduCllle de l'échantillon est nulle. Le sol a un comportement élastique linéaire.] hl au-deia. d'un certain seuil de contrainte et quelque soit le chemin de contrainte suivi, la relation effort - déformation n'est plus une droite. Le comportement du sol cesse d'être linéaire. Notons cependant que la non linéarité n'exclurait pas a priori l'hypothèse 0. 'un comportement élastique qui se traduirait par un trajet de déchouge identique a celUi de la charge. certains matériaux présentent en effet des comportements élastiques non linéaires . ... cl si à partir d'une contrainte suffisa.nmant élevée (point A sur la courbe C) on effectue une décharge de l'échantillon, le trajet suivi lors de la décharge n'est pluS identique au trajet suivi lors de la chargeJfEn particulier, lorsque le déviateur appliqué redevient nul, il y a apparifion d'une déformation résiduelle. C'est l'existence dA cette déformation résiduelle qui traduit le fait que, lors du trajet QA, le comportement du sol n'est plus élastique même non linéairel Lors de la décharge, la courbe effort - déformation est très approximativement une droite. Lors de la recharge et jusqu'au niveau de contrainte r:JA associé au point A, le trajet suivi est identique à celui sUiv~ors de la décharge. Le comportemen"l: du sol est de nouveau élastique linéair cependant, alors que précédemment le domaine d'élasticité s'étendait jusqlt'a. contrainte r:Jp, le chargement antérieur a eu pour effet d'étendre ce domaine d'élasticité. En recharge les déformations restent élastiques jusqu'en A. on dit qu'il y a eu écrouissage du matériau. En A l'a déformation est donc la somme d'une déformation élastique A'Al.' récupérable lors d'une décharge, et d'une déformation irréver-si1?le OA'appelée déformation plastique. Le comportement du sol est dit élastoplastique, Dans la. réalité, lIIême en décharge, le comportement du sol n'est pas élastique linéaire 1 des déformations irréversil:>les apparaissent même pour des décharges partielles. C'est l'effet Bauschingar. o.) pour certains trajets de chargement (courbe C) la déformation devient très
importante pour una valeur finie de la contrainte appliquée. état de rupture,
Le
sol atteint un
Les COnstatations qui viennent d'etre mises en évidence sous chargement un1l'1irectionnel se généralisent a des chargements plus complexes. Sous Chargement quasi-statique monotone le comportement du sol est donc caractérisé par un domaine d'élasticité (domaine a. l'intérieur duquel les déformations restent
47
élastiques), variable au cours du chargement, et au-delà duquel apparaissent des déformations pl.astiques irréversibles. Pour certains chemins de contrainte le sol peut attein~re un état de rupture.
3.2. Chai:S
wnto cyclique
1 lest d'usage dans les calculs de réponse dynamique d' un profil de sol ou dans les problèmes d'interaction sol - structure de considérer que le mouvement sismique a pour origine une onde de cisaillement se propageant verticalement. Dans ces conditions. un élément ~e sol pris à une profondeur h dans le profil est soumis au cycle de chargement représenté à la figure 3. };;nu...,
a'
~o
a' o •
o
Koa
t Figure 3
Séquence de chargement idéalisée
Initialement, dans le cas d'un profil de sol horizontal, l'élément est en êqUilibre sous les contra1.ntes verticale effective et horizontale effective ah • égale a Itoa Ka est le coefficient de poussée des terres au repos J il est voisin de 0,5 pour les sols normalement: consolidés eto peut être supérieur a 1,0 ~ans les sols fortement surconsolidés~ Le passage de l'onde de cisaillement se traCluit par l'application sur les faces horizontales de l'élément de sol, et donc sur les faces verticales pour maintenir les conditions d'équilibre, d'une contrainte de cisaillement r( t); Sous l'effet de cette contrainte l'échantillon subit une déformation de cisaillement simple qui. pour un matériau a comportement élastique, se traduirait par une variation de volume nulle. La déformation de cisaillement, également appelée distorsion, est définie par (figur.e 3) ,-.
av
v'
Au
Ah
<"
comme indiqué pr.écé~emment;Xon mesure les caractéristiques du matériau en essayant de reproduire au laboratoire, de la façon la plus fidèle possible, ce mode de sollicitation qui est uniaxial. L'enregistrement d'une courbe effortdéformation r - f(y) est reproduit à la figure 4 pour un cycle de contraintes fermé. Un cycle fermé n'est pas nécessairement centré autour de l'origine ( figure 5) mais par simplification on le supposera centré a l'origine. Les expériences montrent d'ailleurs que les observations faites pour ce cas restrictif sont généralisables a tout cycle de contrainte fermé [BARDIN - DRNEVICH, 1972a).
48
Figure
4
Courbe
effort . D'formation
cyclique.
-•,
,. ~
~ o
U
D'formation Figure 5
:
Chargement cyclique fermh non centré à l'origine
49
La figuJ:e '" montre que, pour un cycle fenllé, le CQ.[IpOrtement du sol esl caJ:actéJ:isé paJ: une boucle appelée boucle à'hyatéJ:êsis', dont la SUJ:face et l'inclinaison dépendent de l'amplitude de la déformation au cours du cycle, Plus cette dernière est granéle, plus l'aire de la boucle est importante et pluS celleci est inclinée Bur l'horizontale, Pal:" ailleurs, on constate expérimentalement que la forme de la bau':le d'hystérésis n'est pas affectée par la vitesse d'application de la sollicitation.
LeS extrémités des boucles, correspondant à des cycles d 'arnplituéles différentes, sont situées sur la courbe de pl:"emie:r; chargement passant par l'origine. Il est coffimode et classique de définir cette boucle a l'aide de éleux paramètres: - le module sécant Gs qui est la pente de la dJ:01te joignant les extrémités de la boucle (ou l'0J:i91ne Il une extremité dans le cas él'un cycle centré à l'origine) 1 - le coefficient d'amortissement {3, sur lequel on reviendra au paragraphe suivant, qui est. une mesure de l'aire de la boucle, Il caractérise l'énergie dissipée par le matériau lors d'un cycle, La dépendance de ces deux paramètres sur la déformation cyclique est alors mise en
évidence sur la figure 6. La valeur maximale Gmax du module est la pente de la tangente ~ l'origine a la courbe de premier chargement,
...
c
,
-• ••• -•
~ ~
•
c
~
E
Gmax
•
E
~
Dilltorsion
Figure 6
Variations
2f
de G et
Distorsion
p avec
go
la déformatiOn
Dès que le chargement cyclique n'est plus fermé, le comportement devient plus complexe a décrire;.\Un ex"emEle,en est donné sur la figure 7, Jusqu'en b, le trajet suivi est identique a celui de la figure'" (courbe de premier chargement puis courbe de décharge). Au point b, tel que rrb • rra_ le signe élu chargement est de nouveau inversé Ile trajet suivi est donné par la courbe bc puis éventuellement pnr ca si le chargement: est: de nouveau inversé en c, Si au contraire le chargement: est: poursuivi au-delà de c, le trajet sera J:eprésenté , par da puis, audelà, suivra de nouveau la courbe de premier chargement, ,/
50
a.
a" ------------
•
,
•
Chargement
cyclique quelconque
ASsociées a ees déformations de c1sail.l.ement, des déformations volumiques prennent place (f1qure 8). ces déformations volumiques, irréversibles. provoquent un durcissement du matériau. Aina1, méIne pour des cycles fermés tous identiques, la boucle (l'hystérésis obtenue lors du 4ème cycle de chargement est
différente de celle obtenue lors du pramier cycle. cette dernière est moins incl.inée sur l'horl~ontale et a une aire moins importante. pour un no1 peu perméable et saturé, on a noté que 1es déformations se produisent a volume oonstant, 1'eau lntersti.tiell.e n' ayant pas le temps de s'évacuer du squelettft. La tendance a la variation de volUIIIEI existe cependant et se traduit par une auqmentat10n (le la preSSion 1nterstiU.e11e donc par une d1.rni.nution des contraintes effectives. Le comportement du snl, gouverné par ces dernières, est ~onc affecté,
•
cycle. SlIIIble de Fontainebleau
•
l
"
• = 0,717 Dr = 55,6 "
•
~
:E
• 2
o~~~::~~··~~~ o Figure 8
,
.
, 2 4V/Vo~"DtSformations volumiques sous compressions Isotropes cycliques (LUONG)
51
Pour les problèmes sismiques qui ne mettent en jeu qu'un nombre de cycles limité, et exception faite de ceux impliquant des phénomènes de rupture ou de grandes déformations, les variations volumiques restent limitées et sont généralement ma.xiJl'lales lors du premier cycle de chargement, Pour la description expérimenta le du comportement, évoquée précédermnent, on s'affranchit de ce paramètre en mesurant les caractéristiques du sol obtenues après quelques cycles. Cet empirisme n'est, une fois encore, qU'un substitut a la loi de comportement qui se doit de tenir compte de ces phénomènes, On reviendra plus en détails sur ces problèmes de variation volumique sous chargement cyclique en abordant le problème de la rupture par liquéfaction des sables,
L'apparition d'une boucle d'hystér6sis au cours d'un cycle fermé de ch~'gement met en évidence une dissipation d'énergie dans le matériau, Le terme amortissement matériel est utilisé pour décrire le phénomène physique de conversion d'énergie cinétique et d'énergie potentielle (énergie de déformation) en chaleur. L'amortissement est une grandeur fondamentale dans l'étude des phénomènes vibratoires en particulier au voisinage de la résonance, C'est lui qui permet a un système physique, mis en vibration a une fréquence égale a sa fréquence de résonance, de maintenir une amplitude de déplacement limitée. Panni les matériaux présentant de J.' amortissement, on peut distinguer ceux pour J.esquels 1 - l'énergie diSSipée dépenèl de la vitesse de déformation, C'est en particulier le cas des matériaux visco-éla/lltiques lin(!aires. Certains matériaux comme les polymères exhibent ce type de comportement a amortissement visqueux. ce n'est pas le cas des sols pour lesquels J.'expérience montre que l'énergie ~_.~issipée est essentie11ement indépendante de la vitesse de déformation,
- l'énergie dissipée ne dépend pas de la vitesse de déformation. L'amortissement est quelquefois dit hystérétique. Ces matériaux eont-. oar...ctérisés par des non-linéarités importantes a fort niveau de déformation. L'amort1ssement est attribué a des déformations plastiques au niveau des cristaux ou des grains constituant la structure. La plupart de.a métaux et des sols appartiennent a cette catégorie .
•• 1. Définit10ns des paramêtres caractérisant l'aJllDrlisse.ent
Deux grandeurs peuvent être utilisées pour caractériser l'amortissement d'un matériau : .... l'énergie dissipée par cycle dans l'élément J le rapport de cette énergie a une énergie élastique de référence.
+
L'énergie dissipée par cycle peut s'exprimer soit ê. l'aide de l'énergie totale Do (N-mtcycle) diss1pée par le .apecimen dans un cycle de sollicitation, soit a l'aide de l'énergie spécifique 0 (N-m/m 3/cycle) dissipée par unité de volume en un point du matériau. Do est la grandeur directement mesurable dans l'expérience
52
mais 0 est la grandeur fondamentale du point de vue du comportement. On a la relation évidente entre ces deux grandeurs 1
DO -
fffv
,,
D(x,y,Z) dx dy dz
Pour un échantillon dans lequel le çhamp
~e
)
contraintes est uniforme ,
(3)
Do - D.V
oà V est le volume de l'échantillon .
• 0". indique
la
....U .. nc.
li 2.10 7cvcl•• •
,•
.~ ~
o
t •
Amplitude
Figure 9
de
la
contraint.
cyclique
!MPal
Energie spécifique dissipée en fonction de la contrainte cyclique et du nombre de cycles N lUne courbe marqué. 3 correspond A 103 cycles 1
L'expérience montre que pour beaucoup de matériaux. il n'existe pas de relation simple entre l'énergie spécifique dissipée D et la valeur de la contrail~te cyclique Cfd' cependant. pour des seuils de contrainte n'excédant pas 70 " de la limite de résistance sous chargement cyclique du matériau Cf e • on a une relation de la fonne 1
53
( 4)
La. figure 9 [GOODMAN, ~976] met en évidence une telle relation avec une valeur de n comprise entre 2.0 et 3.0.
(' DanS la pratique, on préfere exprimer l'amortissement matériel a. l'aide (l'une grandeur ad1mensionnelle obtenue en normant l'énergie dissipée par une énet'91e
) i
élastique de référence. Cependant, en raison de la complexité des mécanismes , gouvernant l' amortissement matériel, l'utilisation d'un pourcentage CI' amortissement ne produit: pas tous les avantages qu'on pourrait: attendre d'une grandeur adimensionnelle [GOODMAN, 1976]· Une des raisons de l'utilisation de telles grandeurs réside dans leur appréhension directe par certains essais. C'est en parlicu11er 1e cas du décrément l.ogarithm.1que 6.
par définition, le décrément logarithnUque (1 est. le logarithme du rapport de deux amplitudes consécutives d'un échantillon oscillant librement (figure 10).
•
-
Ln
(5)
= = +
N
N
/-. ~.,,_·Ittt-t+-tcl-tt-lt-I+-tft++tl'l"t-t+ti'-Tf-l:+'rf-",rf-A'rI-"V a. V V YYemp. E
<
Figure 10
Amortissement des vibrations libres
D'autres coefficients permettent de définir de façon adimensionnelle l'amortissement matériel [!.J'ZAN. ].968]. Parmi ceUX-Ci on distingue : - le coefficient de perte, noté", qui est par définition égal au rapport de l'énergie dissipée 0 au cours d'un cycle a 2fT fois l'énergie élastique ellmla9asi née
54
D
'G)
11 .. 211W
En se reportant a la figure 4,
w eut
w-
l'aire du triangle en grisé:
,
"
"
y• •
G
,
1
T
, •G
(7'
d'OO :
"- •
D G T
,
m
-•
D G
,"
, y.
la capacité d'amortissement spécifique X. l'énergie dissipée a l'énergie élastique emmagasinée
égale au rapport de
,.,
D
X - W
le dephasage ~ qui représente l'angle formé par les vecteurs représentant la contrainte (ia. force) et la déformation (le déplacement) l.ors d' un
mouvement sinuso:L<3al, le facteur de qualité Q qui mesure l'atténuation de l'amplitude d'Ondes se propageant dans un milieu du fait de l'absorption d'énergie par - amortissement matériel. cette atténuation est a distinguer de celle résultant de
la dispersion oie long du front d'onde, appelée amortissement géométrique. On reviendra sur cette notion au chapitre V. TOUs les paramètres définis précédemment sont: liés par les relations:
8 ..
,
...x '" tg
'"
l
'" ... Q
( 10)
4.2. Hatéri.aux a amortissement dépendant de la vitesse de déformation
Les matériaux de ce type ont une loi de comportement décrite par une fonctionnelle faisant intervenir le tenseur des contraintes G, le tenseur des déformations t! et leurs dérivées par rapport au temps!! et~. cette fonctionnelle peut ne pas être linéaire mais, en pratique, la plupart des modèles sont basés sur la théorie de la visco-élasticité linéaire qui a fait l'objet de développements très complets [MANDEL, 1966 ; SALENÇQN, 1983]. Sous SOllicitation hamlOnique, on rend cocnpte du
55
comportement du matériau en introduisant "es modules complexes "e la Eonne (voir paragraphe 5.2.) 1
{11 )
00. G1 et Gz dépen"ent de
toi,
pulsation de la force excitatrice.
L'expression ci-dessus, écrite pour le module de cisaillement, est également valable pour le module d'Young, le module de compressibilité volumétrique .. , correspondant a d'autres sollicitations, Elle traduit le fait que sous sollicitation harmonique, la contrainte peut être déCOlllpOsée en une COIIlpOsante en phase avec la défonaation (G 1(toI)) et une autre Cléphasée de 90° (Gz(w», Pour cette sollicitation la boucle d'hystérésis formée est elliptique. On montre aisément que pour un cycle d'amplitude max~le Ym l'énergie spécifique dissipée vaut:
( l.2)
Gz dépendant de la pulsation toI,donc de la vitesse de déformation, l'énergie spécifique dissipée est fonction de cette vitesse de déformation, En rapprochant cette équation de la relation (4), on constate que pour les matériaux a amortissement dépendant <:1e la vitesse <:1e déformation, n - 2. Le déphasage fi est donné par 1
(13 )
DU point <:1e vue rhéologique, un matériau visco-élastique linéaire peut être représenté par un ressort et un amortisseur placés en série (modèle de Maxwell) ou en parallèle (modèle de Kelvin-Voigt). Dans ce cas Gz ( toi) est égal a C.W 00. C est la caractéristique de l'amortisseur et, G..(toI) à G, la caractéristique du ressOrt, une façon ~e de caractériser l'amortissement d'un tel modèle est d'introduire la notion "e pourcentage d'amortissement critique, souvent utilisée en dynamique des structures. Par définition le pourcentage d'amortissement crit:ique vaut (cf. chapitre I, eq(4»
".
cp , G.
( 14)
00. P est la pulsation propre du modèle, D'après l'équation (12) et les relations (10), en se plaçant à la résonance,
56
c'est-à-dire dana une situation oCi la fréquence d'excitation W/211 est égale a la fréquence propre du modèle p/2rr, on a la relation:
(15 )
La dépendance du pourcentage d'amortissement critique sur la vitesse de déforma-
tion n'apparait plus explicitement, ~lle est en fait implicite dans la valeur de relation (15) est la relation fondamentale qui sert de base au développement de modèles visco-élastiques linéaires équivalents caractérisé par un pourcentage d'amortissement critique ~ directement relié au coefficient de perte n du matériau. La nature de l'amortissement, visqueux ou autre, n'est plus précisée, Il est représenté par un amortissement linéaire visqueux équivalent, On verra que cette approche est très utilisée pour rendre compte de façon simple du comportement des sols sous chargement cyclique. D. La
4.3,
Mal;ériau a aJQOrtiss "ent 1.nOépendant de la vitesse de déformat1on
LeS matériaux de ce type ont une loi de comportement dans laquelle Le temps n'intervient pas, Sous chargement cyclique les boucles d'hystérésiS préaentent des extrémités pointues et, si l'effort appliqué redevient nul, il subsiste dans le matériau une déformation permanente,
L'énergie dissipée au cours d'un cycle prend la forme donnée par la rel.ation (4) avec une valeur de n comprise entre 2 et 3 [GOODMAN, 1976J. Elle peut également s'exprimer A l'aide du coefficient de perte défini par la relation (6). D'un po1.nt de vue rhéologique le matériau peut etre repréaenté par un assemblage de ressorts et de frotteurs (frottement de COulomb) placés soit en série, soit en parallèle,
5.1. Modèle éLastique Il ressort des constatations expérimentales du paragraphe 3 que le sol ne peut ètre représenté par un modèle élastique, tout au moins sur une plage de déformations étendue, L'étude du comportement du sol a l'intérieur de son domaine d'élasticité est cependant importante car il existe une gamme de problèmes pour lesquels ce modèle est valable 1 c'est le cas des vibrationS des massifs de machines bien conditionnnés, des sollicitations sismiques de faible amplitude CORm~ celles engendr~es lors des essais g~ophysiques ." Dans le cas d'une sollicitation unidirectionnelle, la relation contrainte déformation se réduit a une relation de proportionnalité dont la constante est un module de déformation. Pour la sollicitation de cisaillement Simple (figure 3), cette relation s'écrit:
57
(lG)
où G est le module
~e
cisaillement.
Pour,jes sollicitations multidirectionnelles la loi de comportement s'écrit sous forme tensorielle l
-.• •
A
(17 )
a
A est un tenseur ~u 4ème ordre qui dans le cas d'anisotropie le plus général comporte 36 composantes distinctes, Dans le cas ~u matériau isotrope, seules 2 composantes suffisent a le définir. Il est commode en dynamique des sols de retenir le module ~e cisaillement G et, soit le coefficient de Poisson v, soit le module de compressibilité volumétrique K, 51 le matériau est linéaire élastique, leo modules G et K, ou le coefficient ~e Poisson, sont constants. Il y a identité entre le module sécant et le module tangent et la relation (:16) peut s'écrire sous forme incrémentale. En fait, l'expérience montre que les modules tangents ~e clsaill.ement et vol.urnique dépendent ~e la contrainte moyenne ~ 0"1i/3 (HARDIN - DRNEVICH, :1972, SEEDIDIUSS, :1970]. On montre a:1ors (I,DRE'l', 1980] qu 'lI n'est pl.us possible d'exprimer l.a 101 de comportement (éq. l.7) sous fonne incrémentale en faisant dépenèlre les modul.es G et II: ~e l'état ~e contrainte actuel.. cette formul.ation impliquerait une d1ss~tlon ~'énergie et une déformation résiduell.e non nulle sur certains trajets de contrainte fermés. Un tel. comportement est dit hypo-élastique (BUEc:IŒL-DRESCHER, 1975]. En imposant a la déformation élastique de dériver d'un potentiel et en supposant le coefficient de Poisson constant, LORET (1980) a proposé une loi de comportement élast1que non 11néaire sous la forme incrémentale
am
•
~"'A
•
(18 )
Des études paramétriques importantes (HARDIN - DRNl:.."VI:CH, 1972 , SEED - IDRISS, 19701 ont permis de mettre en évidence les paramètres principaux affectant la va1eur du module de cisaillement G ,jes sols, Ces paramètres sont 1 - la compacité du sol., généralement tra,juite al.' aide ~e l' indice des vides e du matériau , - l'état de contrainte actuel auquel est soumis le matériau; - l'histoire des contraintes antérieures subies par le sol. Cette histoire est habituellement reflétée par un seul paramètre 1 le rapport de surconsolidation OCR, égal au rapport de la plus grande contrainte verticale supportée par 1e sol ~ans son histoire géologique a la contrainte ve~~cale actuelle. Basée sur les travaux de Hertz relatifs aux déformations de sphères él,astiques en
contact, la relation donnant le module ,je cisaillement G, noté déso~is ~ pour rappeler qu'il n'est applicable qU'aux faibles défonnations, proposée par la plupart des auteurs pour les Bols pulvérulents, est de la forme 1
58
( 19)
oû X,n sont des constantes dépendant du matériau 1 n est généralement voisin de 0,5 et K de 600 J Pa est la pression atmosphérique et (Tm la contrainte moyenne effective. La
fonction F (e) proposée par Hl\RD"IN (1978) a la forme;
l.jF(e) ~ 0.3
+ 0.7
eZ
,O.4
(20)
Pour les argiles, la formulation proposée diffère suivant les auteurs. HARDIN et BLàCK (1968) ont proposé d'après des essais sur échantillons remaniés:
l
n
Gmax '" K Pa (OCR)k F(e) (::
(21)
les fonctions et: paramètres F(e), X, n, Pa ont les mêmes définit10ns et valeurs que dans l'équation (19). Le coefficient k, en exposant du rapport de surconsolidation, dépend de l'indice de plasticité du sol, LeS valeurs proposées sont rassemblées dans le tableau 1.
,.
k
0 '0
0
0.18 0.30 0.41 0.48 0.50
40
'0 '0
,100
Tableau l
Valeurs de k (HARDIN - BLACK, 1968)
et IDRISS proposent une relation basée sur des essais sur échantillons intacts et: des mesures géophysiques en place ~
S~:n
Gmax
~
K
Cu
(22 )
où Cu est la cohésion non drainée de l'argile; K varie de 1000 a 3000. La valeur de la cohésion Cu reflète l 'his'loi re des contraintes du sol jusqu'a son é'lat actuel
59
caractérisé par O"n, ainsi que Bon état de compacité. Les équations (21) et (22) dépendent donc bien des mêmes paramètres, seule la valeur de l'exposant n diffère, En effet Cu est sensiblement proportionnelle a O"n, (n ~ 1), alors quP. la valeur proposée dans la relation (21) est n = 0,5. Une valeur n proche de 1 a également été mesurée pour un Bol normalement consolidé [PECKJ::R - DUPAS, 198U. Il faut noter que toutes les relations proposées ne font dépendre le module de cisaillement que du premier invariant du tenseuJ;" des contraintes. Comme cela a été indiqué précédemment cette fonnulation n'est pas, en théorie de l'élasticité, compatible avec un coefficient de Poisson constant.
5.2. Modèle viscoélastique linéaire La fonnulation générale de la loi de comportement d'un matériau viscoélastique
linéaire isotrope s'écrit [SALENÇON, 19B01:
• - ft, -
MT,t) [trace
~(T)l
l + 2
~(T,t) ~(T)
l dT
to
ott 2~(to,t) et ,,(to,t) + 2 ).l(to,t) représentent les fonctions de relaxation du Jnatériau en cisaillement simple et en extension simple. Dans le cas du matériau non vieillissant, ces fonctions sont invariantes par translation et: par suite!
(24a )
( 24b)
Pour une sollicitation harmonique !!!( t) met sous la forme =
•
=
!!!oe iwt , la loi de comportement (23) se
°
a = " (trace E ) 1
w
t
2 ).l E
0
(25)
ott ,,* et ).l* sont des nombres complexes fonctions de w, L'équation (25) est analogue à la relation (11) utilisée précédemment.
------------- - - - t
J
t
t
to
60
f(T) dT = f(t o >
+
J t
f(T) d7 o
Dans le cas du modèle de Kelvin-Voigt, dont la représentation rhéologique dans le cas unidimensionnel est donnée sur la figure 11. les paramètres).* et jl.* ont pour expression:
où). et).l. = G (respectivement tivement de viscosité).
~ },. + i
w },.'
(26a)
jl.*=jl.+iW).l.'
( 2Gb)
).*
À'
,).1.') sont les constantes d'élasticité (respec-
G
Figure 11
Modèle de KELVIN-VOIGT
LeS modèles viscoélas~iques faisant appara1tre une boucle d'hystérèsis sous chargement harmonique, il est tentant de représenter. pour ces sollicitations, le comportement réel du sol a l'aide d'un tel modèle, Pour cela on a recours à une procédure de linéarisation qui consiste à remplacer le modèle non linéaire par un modèle linéaire équivalent ayant des propriétés dissipatives plus ou moi ns équivalentes à celles du matériau réel. Ce type de linéarisation a été introdui.t par JACOH!>I!;N (1930). De toute évidence, l'équivalence est fonction des caractéristiques du matériau et de la sollicitation, Dans la suite on se consacrera au cas de la sollicitation harmonique, base de la solution de beaucoup de problèmes dynamiques, Dans la mesure où l'énergie dissipée au cours d'un cycle dépend dans le modèle viscoélastique de la fréquence de la sollicitation (équation 12). ce qui n'est pas le cas pour le matériau réel, il est nécessaire de choisir les paramètres du modèle fonction de la fréquence de façon à ce que les parties imaginaires de},. et ).1. soient indépendantes de cette fréquence de sollicitation, Dans le cas du chargement cyclique unidimensionnel de la figure 4, pour le modèle de KelvinVoigt on doit alors avoir (éq, 26b); W).I.'
-
constante
(27 )
61
Le module de cisaillement complexe IL" '" G" s'écrit· •
IL' G" - G [ 1 + i W G ]
soit d'après
(8)
et
(28)
(12)
•
G
- G [ 1 + i fi )
(29)
Posant 2jl .. fi la relation (29) prend la forme 1
P ]
G" _ G ( 1 + 2 i
(l0)
Rappelons que fi représente le coefficient de perte du matériau et que pour les sols il est indépendant de la fréquence de la sollicitation. En rapprochant l'équation (30) de la relation (15) on constate que G" représente la raideur complexe à résonance d'un oscillateur simple de raideur G et de pourcentage d'amortissement critique 13, Il Y a donc égalité entre l'énergie dissipée dans le matér1au de raideur G et de coefficient de perte fi et celle dissipée a résonance dans l' osc11lateur simple de caractérist1quss G et (3 - n/2. Cette remarque est part1culi.èrement utile pour la mesure de n, Par extension, et bien que cela soit générateur d'une certaine confusion, le coeff1cient Jl de l'équation (30) est COI'IIIIUnément appelé pourcentage d'amortissement critique du sol. En chois1ssant pour module G du modèle linéaire équivalent le module sécant du matériau G s ' on obtient une forme possible de linéarisation du système. cette linéarisation a été proposée par ROSENBLUETH et HERRERA (1964) et utilisée pour les sols par SCHNABEL et al (1972). LYSMER (1975) a prop::!sé une :::ormulation différente du module de cisaillement
complexe
1
G .~c
•
-
G
s
(
, - , •• + , i • j , - ••
.-
sin
,• • , ~
1 - G c
ie
(31)
(32 )
On montre aisément que si G, Jl et p (module, pourcentage d'amortissement critique et pulsation propre) sont les caractéristiques de l'oscillateur, celui-ci a même réponse en teZl!les d'amplification que le modèle défini par le module complexe de l'équati~n (3I). L'équivalence est obtenue par minimisation de la différence entre les réponses du modèle linéaire équivalent: et du modèle nOn linéaire.
62
L'énergie dissipée par le modele;
l
D
modele
l
~
•
,
2 /3
,
(33 )
est légèrement différente de celle dissipée par le matériau ,
Dmatériau - 4 " W /3
(34 )
Pour les valeurs usuelles de /3 « 20 \;) l'écart entre les deux valeurs est d'au plus 6 %. Pour les faibles valeurs de /3 les relations (30) et (3l) deviennent équivalentes, D'autres méthodes de linéarisation sont possibles [HADJIAN, 1992] 1 les deux modèles présentés ci-dessus sont les deux modèles linéaires équivalents let! plus utilisés pour les sols, LeS résultats développés ci-dessus dans le cas de sollicitations unidirectjonnelles se généralisent irornédiatement aux cas de sollicitations harmoniques quelconques. La loi de comportement s'écrit sous une fonne analogue a. la loi de Hooke généralisée:
(35 )
où le tenseur A * eot formé à l'aide des modules de cisaillement et volumétrique COITIPlexes. La loi de comportement donnée par l'équation (35) conduit aux mêmes solutions formelles que la loi de l'élasticité linéaire, d'ot! son attrait incontestable. En résumé, le comportement non linéaire du sol a été approché par un modèle viscoélastique linéaire équivalent, L'équivalence est fonction des caractéristiques du matériau mais également de la sollicitation. Dans le cas présent elle a été développée pour des sollicitations harmoniques. Les modèles ue ce type sont employés de façon extensive dans la pratique courante. utilisés en conjonction avec un processus itératif permettant de choisir des valeurs du module G et de l'amortissement /3 compatibles avec le niveau moyen de déformation induite (cf. chapitre V), ils fournissent des valeurs des accélérations et contraintes qui se comparent favorablement a. celles obtenues a l'aide de modèles plus sophistiqUés [MARTIN 1975, PECKER et al, 1994] ou a celles observées [VALERA et al. 1977). Ces modèles ont par ai1leurs le mérite de la simplicité 1 ils ne nécessitent que la mesure de trois paramètres (un de plus que le modèle élastjq\H~) , module de cisaillement G, module volumétrique K et coefficient de perte TI (égal a 2/3). Le sol étant non linéaire, ces paramètres dépendent bien entendu de l'état de contrainte ou de déformation (figure 6). La principale
63
limitation de ces modèles est leur incapacité a fournir des valeucs correcter. oes déformations ou déplacements. En part1cul.1.er les déformations rémanentes calculées par ce modèle sont nécessairement nulles. Si une représentation plus fidèle du comportement du sol est nécessaire, plus particulièrement pour évaluer les déformations cycliques ou réman~ntes, le recours aux modèles non linéaires est obligatoire.
En se fondant sur des résultats expérimentaux, divers auteurs ont proposé des courbes donnant la variation dU module G (module sécant) et du pourcentage d'amortissement critique f3 pour le cas de sollicitations unidirectionnelles. Ces valeurs peuvent ètre utilisées dans des modèles viscoélastiques linéaires équivalents tels que ceux donnés par les équations (30) ou (31). SEED - IDRISS (1910) ont présenté des courbes expérimentales moyennes uti1isablea pour des sables ou des argiles. BARDIN - DRNEVICH (1912b) ont proposé les relations suivantes l
G G
~
,
- , + Yh
. [ , - -" "~X G
G
Y-
avec
~ [ l
Yy
~x
+ a e
1- ,
(36 )
Yh + Yh
b (Y/Yy) ]
(37)
(3B)
1
- Gmax ~ module Y Yy
- Ilmax,
maximal correspondant au comportement élastique. Son expression est donnée par les équations (19) et (21) , - déformation de cisaillement , ~ déformation de référence égale a r maxlGrnax où r max désigne la contrainte de cisaillement maximale a rupture de l'échantillon (figure 12) J a, b, sont des paramètres expérimentaux dont les valeurs proposées par HARDIN - DRNEVICH sont rassemblées dans le tableau II.
On peut montrer que lorsque b = 0 et pour des niveaux pas trop élevés de la contrainte cyclique, l'équation (37) permet d'exprimer l'énergie spécifique dissipée sous la forme de l'équation (4) avec n - 3 et une constante J dépendant. de "max et T max .
64
Module
a
b
- 0.5
0,16
i3m/1X
(~)
Sable
propre
,.c
Amo:r:tis~
Bernent
Module
0.6 N
-
_J../6
-
_1./1.Z
1 -
1
0.2 log N
N
33-1.5l.ogN
0.16
Sable satllré
Arnortissernent
! 0.54 N
_:L/6
_1./1.
- 0.9
Module
1 + 0.25 log N
Amortissement
l.+O.2f '1'
'"
Argile
saturée
28-L51ogN
0.65 - 0.65 N
0.2 f
e
-"-~Pa
c'
+ 2.25
m
+O.31ogN
31+l..5f
f
[ Pa 1'1' c'
( 3
+
0.03 f
)
m
.1...-------'--------------'---------1 ~
cr~ =
81
- 1.5 log N
Pa -
------
'1'
fréquence - Hertz
N -
nombre de cy<~les
contrainte moyenne effective
p
pression atmosphérique
a
~
Tab1eau :II • Valeurs caractéristiques des paramètres a, h,
l3max
rm81l
:
••
U
Distortion if Figure 12
Définition des paramètres du modèle de HARDIN-DRNEVICH
5.3. )k)dèles non linéaireS L'objet
ls. On se limitera aux ~èles lee plus couramment utilisés en se restreignant d'abo~ au cas, très utile dans la pratique, de sollicitat10ns unidirectionnelles. Pour les solliCitations quelconques on n'envisagera que le cas des modèles construits dans le cadre CIe la théorie de l' élastoplasticité. Après un rappel de principes généraux inclus dans la formulation de tels mo
5.3 .1. Modèl.e8 unidirectionnels --------------Les cas de chargements unidirectionnels se présentent dans beaucoup d' applications pratiques du génie parasismique (réponse d'une couche de sol horizontale &. une onde SH, liquéfaction, .. ), Il n'est donc pas inutile de dissocier la modélisation du comportement du sol pour ce type de sollicitations de celui plus général de sollicitations multiaxiales. Bien souvent les modèles proposés se restreignent à ce cas [JENNINGS, 19641 FINN et al. 1975 1 MARTIN, 1975 ... 1.
if'
La formulation de la plupart des l'IIOdales unidirectionnels est purement empiri-
que. On suppose généralement que le comportement du sol peut être décrit précisément à l'aide de fonctions mathématiques et de données expérimentales habituellement obtenues à partir d'essais monotones. ::erlaines règles sont alors postulées pour décrire le comportement du sol lors des cycles. Parmi celles-ci, les plus largement utilisées sont les lois de HASING (1936) qui postulent que 1 - la non linéarité du sol est d'origine plastiquel - les courbes de décharge et recharge sont obtenues à partir de la courbe de premier chargement par translation de l'origine au point d'inversion du signe du chargement et dilatation par un facteur 2 des échelles horizontale et verticale.
66
De ces deux lois découle le fait que, sous chargement cyclique hanmonique, l'amortissement matériel du sol est indépendant de la vitesse de chargement, ce qui est en accord avec les observations expérimentales.
formulation mathématique de la courbe effort-.déformation s'écrit alors, suivant que la déformation est exprimée en fonction de la contrainte ou vice versa:
); La
(39)
ou
( y - yc ) [
T -
1 -
J
[
J...IY""-:n:-"y--,I
11
(40 )
les indices c désignent les valeurs de la contrainte et de la déformation atteintes lors du précédent changement de direction du cha:rqement. Gmax représente le module de cisaillement 1 ft et J sont des fonctionnelles ~thématiques a adapter aux résultats expérjmentaux et n est un coefficient qui vaut 1 pour le chargement initial et 2 pour les décharges et recharges successives. Les courbes de premier chargement permettant de déterminer les fonctionnelles ft et J sont alors donnée!!! par •
(41 )
y -
ou
r ~ y
Gmax [1- J
(1
YI)]
(42 )
Parmi les fonctionnelles couranm&nt utilisées on ne citet'a que le modèle hyperbolique de KONDER - ~KO qui assimile la courbe de premier chargement a une hypeJ:bole ;
;--,:Y/~Y~y~ + YlY y
J( y) ~ 1
yyeat une déformation de référence, et le modèle de est donne par:
00.
H(r) • a
, [ Ey
jR-'
(43 )
RAHBERG - OS(;oQO
ota H( r)
(44 )
67
ry étant une contrainte de référence et a, R des paramètres expérimentaux, Notons que les équations (36) a (38) du modèle de HARDIN - DRNEVICH peuvent définir également une fonctionnelle J(y), proche de celle donnée par l'équation (43),
Les résultats expér1mentaux cUspon1bles montrent que, de façon générale, les lois de MASING, associées a une fonctionnelle J(y)ou B(r) appropriée (modèle de RAMBERG-OSGOOD par exemple), permettent de représenter de façon très fidèle le comportement du sol sous chargement hannonique [PEClŒR-DUPAS, 1981 pa,r exemple], On peut cependant noter, bien que cela n'ait pas de conséquences pratiques ilI1portantes, que les loie de MASlNG tendent a surévaluer l'amortissement matériel a forte déformation, contre dee difficultée surgissent dane l'application de tels modèles a des chargements cycliques quelconques tels que celui de la figure 7 [PYKE, 1979], POur pallier ces difficultés, il est néceesaire d'adjoindre aux lois de MASING d'autres lois dont la nature physique n'apparait pas clairement,
Pal::
(1967), a partir de modèles rhéologiques constituée d'assemblages de ressorts et de frott:.eurs (figure 13), a proposé un modèle qui permet de rendre compte de sollicitations cycliques complexes analogues a cellee de la figure 7, Deux formulations ont été propoeées exprimant la contrainte en fonction de la déformation ou vice versa. ce type de modèle reste d'utilisation simple et eon implantation dans un programme de ca1cul numérique est relativement aisée (JOYNER--CHEN, 1975], La courbe de premier chargement est donnée, pour l'une des formulatione, pnr 1 IW1Uf
J T
•
(r-r ) 4« r
•)
(45 )
o
Dans cette relation a eet une constant:.e arbitraire, La signification physique de 4>( r*) est obtenue en considérant un assemblage (figure 13) comportant:. un grand nombre d'éléments dont les contraintes ultimes rj ont pour cUstribution 4«r*), Le nombre d'éléments ayant une contrainte ultillle comprise entre r* et r*+d:r* est alors 4«r* )dr*, La fonction de distribution 4«r*) peut théoriquement dépendre du nombre de cycles, de la contrainte max1lna.le ou de tout autre variable permettant de rendre compte de l'effet de durcissement (ou de radoucissement) lié aux 'déformations volumiques (paragraphe 2,2),
G1
G
A'
v
- --+
t
Àn
Figure 13
68
Modèle
plastique
(Iwan 1967)
Le comportement du sol lors d'un cycle quelconque est complètement décrit en
identifiant, et en gardant en mémoire pour chaque inversion de la dl.rection de sollicitation, la fraction d'éléments "bloqués" et la fraction d'éléments "en rupture" dans un sens ou dans l'autre; il suffit alors d'examiner lors du trajet suivant ce qu'il advient séparément à chacun de ces groupes, Par exemple pour le trajet bc de la figure 1, la formulation devient ( 1 Yc 1 < 1 Ya 1 ) ,
y=
T
G
a
+
4>(T
G
{Ta-T )//! b
+
J (Tb+T")
•)
dT
4>(T
•)
dT
•
4>(T
•)
dT
•
•
(46 )
(T-T )//! b
1
lWAN a montré que pour un cycle fermé, le modèle obéit aux lois de MASING. Tout en gardant une signification physique silllple, il permet la. description de sollicitations plus complexes sans nêcessiter l'adjonction de lois supplémentaires. Sa généralisation aux sollicitations multiaxiales peut être faite dans le cadre de la théorie de l'élastoplasticité avec écrouissage cinématique [IWAN, 1961]. La fonction de distribution 4>(T) peut être déterminée a
partir des données e](périrnentales, courbe de premieJ: chargement ou énergie dissipée lors d'un cycle fermé d'amplitude Tm ;
a
4>(T) '"
Gd\•
(41 )
dT
00
a
4>(T ) m
G
4T
(48 )
m
Ai nsi en reprenant la formulation de RP.MBERG-QSGOOD pour l'introduire dans le modèle de lWAN, on aurait:
69
$(T) _
R (R-l) Ty T [ T
lR-'
( 49)
y
La description sommaire d'un modèle élastoplastique donnée ci -dessous ne se veut
pas très générale. Pour une etude plus oomplète de ces modèles, on pourra se
reporter à SALENÇON (1974) et SALEN9QN-HALPHEN (1980). DanS ce type de modèles, la déformation totale Subie par un élément de matière est
décomposée en la'somme d'une déformation élastique plast:l.que el':
~
'et d'une déformation
( 50)
La déterminat.1on de la déformat.1on élutique a été traitée précédemment (para-
graphe 5.1) et on ne s'attachera dans ce paragraphe qu'a 1;:1. détermination de la déformation plastique, On a vu, lors de la description des observations
expérimentales, que cette déformation n'apparaissait qu'au-de1a d'un certain seuil. Les deux problèmes a résoudre pour préciser la valeur de la déformation
plastique sont donc 1 1 ii
1
à quel moment y a-t-il,apparition de déformations plastiques? C'est la détermination du critère ou fonction de charge. quelle est l'amplitude et la direction de cette déformation? C'est la détermination de la reglo d'écoulement,
A ces deux problèmes s'ajoute celui de l'évolution du critère au cours de l'histoire du chargement, On a vu en effet qu'1l y avait, au cours du chargement, ltII:XIification du domaine d'élasticité du matériau du fait de l'écrouissage, La description complète du modèle nécessite la connaiasance de cette 101 d'écrouis-
sage,
La. fonction de charge, ou critère, est une fonction de l'état des contraintes, Il
est ~e, et utile, de la représenter comme une surface limitant un domaine convexe dans l'espace des contraintes, Si le point représentatif de l'état des contraintes est situé à l'intérieur du domaine limité par la surface f(~)(O (point A de la figure 14), les déformations sont élastiques, LOrsque le point atteint la surface, lea déformatione plastiquee apparaiesent, oans le cas d'un matériau écrouissable, la fonction de charge dépend non seulement de l'état des contraintes!!. mais également de l'hietoire antérieure des chargements, On rend compte de cette dépendance à l'aide d'un certain nombre de variables "cachées", appelées paramètres d'écrouisssage, qui peuvent être soit des grandeurs scalaires q, soit des grandeurs tensorielles 0, Le critère s'écrit alors SOus la forme générale:
70
f(~,a,q)
.. O
(51 )
L'état d'écrouissage du matériau n'évolue que lorsqu'il ya évolution de la déformation plastique, c'est-a-dire uniquement lorsque le point représentatif de l'état des contraintes atteint la fonction de charge. Dans le cas 00 les paramètres d'écrouissage sont caractérisés par une grandeur scalaire, le dOllliline d'élasticité se transforme par homotétie de centre 0 (figure l5a). On dit qu' 11 y a écrouissage isotrope [TAYLOR--QUINlŒY, 19313. Dans le cas où. ils sont caractérisés par un paramètre tensoriel, les frontières successives du d~ine d'élasticité se déduisent de la frontière initiale par translation dans l'espace des contraintes (figure 15b). on dit qu'il y a écrouissage cinématique [PRAGER, 1955]. Il est également possible d'avoir a la fois écrouissage isotrope et écrouissage cinématique 1 i l Y a alors écrouissage combiné. L'écrouissage cinématique présente un effet Bauschinger que ne présente pas l'écrouissage isotrope.
f1Q1= 0
Figure 14
Fonction de charge
Les fonctions de Charge les plus couraJ\'lll\ent employées sont celles de TRESCA ou VON MISES.
Pour le critère de Tresca, le domaine d'élasticité du matériau, supposé isotrope, est limité dans l'espace des contraintes par un prisme hexagonal régulier d'lIxe (1,1.1). DanS sa forme la plus simple, ce criLèra s'écrit:
(52 )
où.
~i
(1-1,3) sont les contraintes principales. En faisant dépendre 00 d'un
71
paramètre scalaire q on obtient un écrouissage isotrope. L' écrouissage combiné s'obtient en écrivant la fonction de charge sous la forme :
f
(53 )
critère de Tresca défini ci-dessus est indépendant de la partie sphérique du tenseur des contraintes J il ne dépend que de la partie déviator1que.
Le
,/
.,' , , , ' -,
..
1 1
1
1
1 1
,
--' '
,
,
\
\
,-
-
"
laI
Ibl
______ Surfaca actuelle Figure 15
_ _ _ _ _ Surface initiale
Surfaces de charge laI Ecroulaasge isotropa 1bJ Ecrouiaasge cin'matique
critère de Von Mises, également indépendant de la partie sphérique du tenneur des contraintes, correspond a un domaine d'élasticité cyl.indrique dans l'espace des contraintes. Pour 1e matériau isotrope, l'axe du cyl.indre est la trisect.rice (1,1,1). Appelant Sij l.es composantes de la partie déviatorique du tenseur des contraintes, la fonction de charge s'écrit dans le cas le plus général de l'écrouissage combiné 1
Le
f
(~)
.[
1 (
2
'/' ) (
- k( q)
(54)
Les fonctions de charge définies par les critères de Tresca ou de Von Mises sont "ouvertes" dans la direction des pressions isotropes (aL ~Z;.q3)' LeS déformations sous compression isotrope sont purement élastiques, ce qui est en contradiction avec l'expérience. Il est donc nécessaire de limiter, dans la direction des cOtnpressions isotropes, la fonction de charge. Cette limitation de la fonction de charge a donné naissance aux "cap-models" du type Cam--Clay ou autres. on pourra se reporter a HAROIN (:1979) pour une description de différentes
72
fonctions de charge de ce type. Un exemple en sera donné au paragraphe 5.4. Il existe d'autres types de critère, tels que celui de Drucker-Prager ou les critères de type courbe intrinsèque (Mohr--coulomb), souvent utilisés pour les sols. Ces critères correspondent en fait à des critères de rupture et non ft ('les critères de limite d'élasticité susceptibles d'intervenir dans la formulation d'un comportement élastoplastique avec écrouissage. On pourra se reporter à SALENÇON-HALPHEN (1980) pour une présentation de ces critères. 5.3.2.2. Loi d'écoulement
Elle donne la direction et l'amplitude de la déformation plastique~. pour que cette déformation soit non nulle, il faut que le point représentatif de l'état des contraintes soit sur la fonction de charge f, et que l'incrément de contrainte soit dirigé vers l'extérieur du domaine limité par f, c'est-à-dire que,
f(~,~,q)"O
,. " •â
(55)
>
0
formulation précédente suppose que la surface f est régulière. Dans le cas d'une surface de charge présentant des points singulie:r;s (critère de Tresca), 11 est possible de donner une présentation plus générale des résultats de ce paragraphe permettant d' inclure les points singuliers [SAJ..ENÇON-HALPHEN,1980].
Nota 1 La
Dans le cas d'un matériau obéissant au principe du travail maximal [HILL, 1950], on peut montrer que la vitesse de déformation plastique est nécessairement de la forme ,
-, .."
(56)
oû À est un scalaire positif ou nul qui n'est défini que dans le cas oû les relations (55) sont vérifiées. La vitesse de déformation plastique est donc Coaxiale a la normale extérieure a la fonction de charge. Il faut noter que, dans la relation (56), ~ ne représente pas la dérivée par rapport au temps, qui n'inte~ient pad dans la loi de comportement, mais désigne un incrément de déformation que l'on aurait pu noter d~. Il en résulte que k est nécessairement de la fonne 1
l H(~,a,q)
",.
; Cs
( 57)
où H est un scalaire positif appelé module d' t.crouissage. La loi d 'écoulement est dans ce cas dite associée.
73
Dans le cas le plus général oà le matériau n'obéit pas au principe du travail maximal, on généralise les résultats précédents en écrivant la déformation plastique sous la fOTma 1
1
.f
(!'
ft
CI, q) (
oC1
.
)
(0', CI, q)
P
(S9 )
00 P est un tenseur du second o~re donnant la direction de la déformation plastique. On peut interpréter l'équation précédente en considérant que la déformation plastique est, non plus normale ;la la fonction de charge, mais à une surface, appelée potentiel plaatique, dont la normale extérieure est donnée par le tenseur P. La loi d'écoulement est dite non associée. En c:ombinant et inversant les relations (17), (50) et (58), on montre que la loi de COlllporlement, dans l'hypothèse des petites déformations, s'écrit pour le matériau élastoplastique 1
•
Ô' .. C
(59)
oà C est donné par 1
e
, p ) ( .f
(!
-
E
••
E
fi
• •• , , .f
E
) ( 60)
P
E est le tenseur d'élasticité, inverse du tenseur A de
l'équation (17) .•
une définition complète de la loi de comportement .nécessite la connaissance de la loi d'évolution des paramètres d'écrouissage lors de l'apparition des déformations plastiques. Les paramètres d'écrouissage peuvent dépendre d'une grltn<'leur scalaire ou d' une grandeur tensorielle. La déformation plastique!!l peut tenir lieu de paramètre d'écrouissage scalaire ainsi que les grandeurs suivantes =
"'. J'[ ,
2 d'P
.p d'Pl
dt
(6la)
0
.1'-
74
I:
• ~dt
( 6Th)
dl
La
(61C)
première expression constitue une mesure invariante de la déformation de
cisaillement plastique totale dans laquelle !!:P est la vitesse de déformat1on déviatorique , !!:P .. ~ - (1/3) (! : ! ).!. La deuxième expression est le travail
plastique dépensé au cours de la sollicitation et la troisième représente la déformation volumique plastique. Le loi d'écrouissage peut, compte tenu du fait que la vitesse d'écrouissage n'est
non nulle qu'A la charge, s'exprimer BOUS la forme 1
a"
4. -
b (~, a, q)
À
À
<1>
(~,
( 62a)
( 62b)
a, q)
En particulier, la 101 d'écrouissage cinématique de prager s'écrit
a" - ,
"••
1
(63)
et celle de Ziegler a"
À
(~
(64)
!.en expressions (63) et (64) constituent deux formes possibles de loi d'écrouissage. On se reportera à PREVOST (1976) et MROZ-ZAR!{A (1979) pour d'autres expressions de loi d'écrouissage, Les équations (51), (56) OU (58) et (62) permettent de déterminer la valeur de la déformation plastique, La valeur de À est obtenue à l'aide de l'équation de compatibilité =
df(~,
....._--_
~)
-
,. "
• +
"'a -
" "q" a+
(65)
'q
-
----- -
5,3.3. On exemple de modèle élastoplastique pour BOll~c~tat~ons - - ~ - - ,:-:. ::-- -: ..'""'-"-_ ..... _'"" _.~ :- - - - - - - - ~ ~ - - -
cycl~ques
on a noté que le modèle de IWAN, présenté pour les sollicitations unidirectionnelles, peut etre généralisé dans le cadre de la théorie de l'élastoplasticité
75
aux sollicitations multiaxiales. Le modèle proposé par PREV05T (1979, 1990) constitue une généralisation de ce modèle. Il s'agit d'un modèle élastoplastique, avec éCrouissage anisotrope, écrit en contraintes effectives. LeS paramètres nécessaires a la caractérisation du modèle peuvent étre obtenus a partir d'essais de laboratoire standards (compression et extension triaxiale, cisaillement cyclique). Testé pour des sollicitations différentes de celles ayant servi à l'obtenir, il conduit à des prévisions en bon accord avec les résultats expériJnentaux. On peut donc considérer que ce modèle répond a tous les criètres d'un "bon modèle", énumérés au paragraphe 2. La fonction de charge est dérivée du critère de Von Mjllcs (éq.54) et s'écrit
, (!
f{~:> .. 2
•
a) + c (p'-
al
~)
•• - k
(66 )
ot! ! représente la partie dévia torique du tenseur des contraintes .!! 1 P' représente la contrainte moyenne effective - trace {.!!)/3 1 ~ et ~ sont les ooo~nnées du centre de la surface de charge dans le plan déViatorique des contraintes et le long de l'axe hydrostatique } k est la tai.lle de la surface de charqe. une valeur de C nulle conduit au critère de Von Mises 1 une valeur non nulle permet de 11.Jll1ter la surface de charge dans la direct.ion des compressions isotropes. La position initiale et la taille de la surface de charge reflètent l'histoi.re des sollicitations antérieures du matériau. Si les axes coïncident avec les axes principaux d'anisotropie du matériau a1j - 0 pour i;o!j. Si l'anisotropie du matériau présente une symétri.e de révolution autour d'un axe (cas de la plupart des dépOts géologiques), au.- aH-«U/2 _ -<1/3. Si a "" 0 le matériau est isotrope, Dans le cas d'une ani.sotropie de révoluti.on, la trace de la surface de charge dans le plan (U1'UZ-U) est une elli.pse. La loi d'écoulement est du type
non associée. Le vecteur des vitesses de déformation plastique est normal a la projection de la surface de charge sur le plan déviatorique. En reprenant les notations de l'équati.on (58) et en décomposant ~ et g ~ af/a.!! en leurs composantes sphéri.ques et déviatoriques:
Q .. g' + Q"
1
(67 )
P '" p' + P" 1
(69 )
On a: P' -
Q'
P" "" Q" -+ A
76
(69)
( 70)
avec
,
J'
A
g' ; g"'
.1
8
Q' , g"
0 (7.1 )
~
.1
0
Q' ;
P' '"
0
J; est le troioième invariant du tenseur deo contraintes déviatoriques ~ et a est une caractéristique du matériau; lorsque a ""' 0, la loi d'écoulement est associée, Pour permettre l'ajustement de la loi d'écrouissage aux données expérimentales, le concept de surfaces de charge multiples est utilisé. Dans cette théorie (MROZ, 19671, un champ de modules plastiques est défini dans l'espace des contraintes par un ensemble de surfaces de charges fi incluses les unes dans les autres: )c:(:I.) c )c:(Z) .•• c )c:(P), un module plastique H'i constant est attaché il chacune des surfaces de charge 1
H' ., h' 1 1
trace
+ (
3
Q
9
o )'/"
B'
(72 )
i
00. h' i est le module de cisaillement plastique (Q"o:( 1/3 )trace est le module plastique volumétrique (g' - 0),
9-
0) et h' i + B' i
A l'intérieur de la surface f:l. le comportement du sol est élastique, La surface extérieure fp représente la surface limite, également appelée surface de consolidation ou surface volumétrique, Sur cette surface, et sur elle seule, le module plastique H'p peut etre négatif. Loroque H'p est positif le matériau est stable 1 si l'incrément de contrainte ~ est: diriyé vers l'extérieur de fp. la surface de charge augmente de taille. Si Hp est négatif, l'incrément de contrainte est dirigé vera l'intérieur de fp et les déformations plastiqlles provoquent une contraction de fp' L'état critique est défini par les po:i.nts oa Hp - 0 [SOIOFIELD-WRO'l'H, 19781. Ils séparent les régions de la surface de consolidation 00. le comportement du sol est contractant (Hp>O) de celui oa il est dilatant. Lors de l'écoulement plastique, les surfaces de charge changent de taille et de position en étant entraînées par le point représentatif de l'état de contrainte. Lorsque ce point atteint la surface fi toutes les surfaces intérieures (f,1, ' , •. fi_:l.) ont été translatées et sont tangentes entre elles et a fi au point H (figure 16). Si un incrément de contrainte est appliqué tel que gl~ > O. l'incrément de déformation plastique est donné par l'équation (58) 00. H - H' i est le module plastique (éq. 72) attaché à la surface fi' Si au contraire l'incrément de contrai.nte est tel que 21~ < o. le point M quitte fi et se déplace a l'intérieur de f:l.l le comportement est élastique jusqu'a ce que le point M rencontre de nouveau la surface f 1 •
77
Figure 16
Modèle Il surfaces charge mUltiples
de
14 translation des surfaces f;l ... fi vers la surface fi+;l doit avoir lieu suivant une direction l! pour que les surfaces de charg'es ne se chevauchent pas au point de con....aat. La direction l! doit être telle que le point de contact R sur fi+!. ait la méJM nonoale que le point M sur fi (figure 16). La traduction mathématique de cette concUtion de non chevauchement au cours du (1éplacement de fi [PREVOST, 1978] conduit a une relation de compatibilité entre les évolutions des paramètres d'écrouissage (!!,t3) de la surface fi et de la surface fi+-!.' Sur la surface fi a laquelle est attachée le point M représentatif de l'état de contraintes actuel, la loi (1'écroulssage peut être Choisie quelconque. Dans le modèle (1e Prevost cette loi a pour expression:
.( Œ
~(i) ~
p' _
i) _
2
(73 )
kCi) iCi) Q,,(i) (74) g(i)
1
g(i)
où l!' est la projection de l! sur le sous espace déviatorique. La valeur de "est obtenue a partir de l'équation de compatibjltté (paragraphe 5.3.2.3). Les tailles k( i let positions de la défonoation volumique
(
) des surfaces de charge fi sont fonction
ee (éq 61):
,P ) v
78
(75 )
00. Y ~ k( i). rf i).,IJ( i )et 1( est la pente de la droite critique dans le plan ( E~. p' ). Les modules élastiques et plastiques dépendent de la contrainte moyenne effective p' 1
(76 )
00. x
~
B, G, H'i .
une définition complète du modèle nécessite donc la détermination : des paramètres d'élasticité, L'élasticité étant suppoaée iaotrope, ces derniers se réduisent aux modules de cisai.llement G et de cOlllPréSSibilitê volumétrique B 1 des poSitions et tailles initiales des surfaces de charge ainsi que dea modules de déformation plastique attachés a cea surfaces 1 de la modification des tailles dea surfaces de charge lorsque la déformation plastique évolue (éq. 75).
• • o
" lOI
figure 17
Essai
lOI
de compression
triaxiale monotone
Pour aal.al.r le mécaniame du modèle. examinons le caa d'un chargement CYClique obtenu par compression-extenaion axiale d'une éprouvette cylindrique, Si le matériau présente une anisotropie initiale a symétrie de révolution autour de l'axe y, lea aurfaces de charge ont pour projection. sur le plan deviatorique, des cercles centrés sur l'axe Dy (figure l.7a), Pour sifnpll.fier la présentation, on considerera une aurface de charge de Von Mises (e---o dans l'équation 66) ; le cas
79
CoIO nécessite simplement quelques calculs algébriques aupplémentaires (cf. Pravoat, 19BO). Lors du chargement, le point représentatif de l'état de contrainte se c:léplace sur l'axe Gy' La courbe effort-déformation (figure 17b) eat linéariaée par llIOrc:eaux et la position et taille initiales de la aurface de charge f m sont Obtenues à partir dea points M et M' correapondant à des modulea de déformation (pente c:lu segment) Hm égaux. Le module de déformation plaatique attaché a la surface fm eat alors donné par 1
Hm
Hm l
l
l
H' + 2 G
( 77)
m
00. G est le module de cisaillement élastique représenté par la pente a l'origine o.,
N
• ' .0-
.... - ••
.'
o
•
\
• M'o
,., Figure 18
1>,
Essai de chargement cyclique au trlaxia!
Pour un chargement cyclique, le point représentatif de l'état de contraintes translate les surfaces de charge vers le bas (flgure lB), Les variations de contrainte le long des segments NAl et OA, Al. Bl et AB... résultent des variations de taille k( m)( EV) des surfaces de charge. pour un écrouiasage purement cinématique on aurait NAl20 2k(1.), AIBt _ 2k(2.) , .. Dans ce dernier c:as, le modèle de prevost est équivalent, pour les chargements unidirectionnels, au modèle de IWAN constitué d'un notribre fini d'éléments rhéologiques raaselOhlant un reaaort et un frotteur J l'activation de la surface de charge fi correspond à la miae en rupture de l'élément i.
80
6. CONCLUSIONS
,
l5'
il est certain que les moc.èles tels que celui présenté ci--(l.essus représentent , un proqrOs fondamental ~ànà l'appréhension du comportement des 1101s sous chargement CYCliq ue leur mise en oeuvre pour les applications pratiques reste extrêmement limitée', Pour ces dernières, le mo<'!èle viscoélastique linc'!i'lire équivalent, voire l l'IIOdèle de I ....an pour ,les applications unidimensiOnnelles, sont les plus couranment employés. La description du comportement non linéaire hystérétique du BOl a l'aide du l'IIOdêle viacoélastique linéaire équivalent relève essentiellement de l'approche expérllnentale évoquée au paragraphe 2. La (!escrip-tion a. l'aide d'un modèle élastoplaatique fait par contre intervenir la notion de loi de comportement.
1
',C Il ne faut pas perdre de vue que des modèles permettant de décrire le comportement des Bob pe~Vênt e~re-,c:o"n_str~i~s e:n d~hor!J du. ,cadre de la théorie de l'élastoplasticité C'est le cas du l'IIOdèle endochronique de BAZANT--KRlZEK (1976) ou du modèle ene étique de NEMMAT-NAtiSER-SHOKOOH (1977),."\ces modèles ne presentent cependant pas les mêmeS interprétations physiques silnples que les modèles élastOPlastique4<~·~.a~~1.!~~S" le modèle ~!I, f):êyos_t ,n! ,??ns,~itu_~ __J?êo:S le ~aul IJIC)(!èle de compo±nt de BOl construit dane le caclre de la t.héorie de l'éla&toplaBtici (HARDIN, 1978 t SANOLER-DlKAGGIO, 1976 1 DAFALIAS et al, 19801. Son origi ité et sa grande souplesse résident dans l'utilisation de surfaces de charge multiples par opposition aux modèles a deux surfaces 1 noyau élastique et surface de consolidation.
81
S:CSL:COGRAPHIE
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84
Chapitre III LIQUÉFACTION DES SABLES
1.. IN'I'1«llXX!'I'lOll
façon générale, on dénomme liquéfaction le processus de transformation èI'une substance solide ou gazeuse. en un liquide. Pour un sol pulvérulent saturé. la transformation de 1'état sol.i.de a 1.' état liquide se fait par augmentation de la pression interstttiell.e. Cette augmentation de la pression interstitielle peut résulter soit d'un chargement quasi stetigue monotone, soit d'un chargement De
Elle a pour conséquences une diminution des contraintes effectives ••n'le Bol et donc une diminution de sa résistance au cisaillement qui, a l'état ult1tne. peut devenir nu11e. La. liquéfaction est donc liée a la conjonction simultanée des trois paramètree suivants: présence d 'un matériau pulvérulent, présence d'une nappe et existence d'une l!Iollicitation. Bien entendu, la si.Jllple réunion de ces trois paramètres ne conduit pas nécessairement a l ' état de liquéfaction. L'Objet de ce chapitre est de définir les cas 00 celle-ci est susceptible de se proèluire. On se restreindra pour cela au cas des chargements cycliques induits par un séisme. Le cas des chartlements quasi~statiques rnonoto~ nes a été étudié par CASAGRANOE (1936), 1iquéfaction concerne un aspect particulier du comportement d'un sable, son comportement a rupture, En toute théorie, l'étude de la 1iquéfaction ne devrait donc pas être dissociée de l'étude du comportement des sols sous chargement CYClique! qui a fait l'objet du chapitre III Cependant. en raison de la COII'Iplexité de ce comportement, des approches expéri1nentales et des modélisations spéci fiques ont été développées pour êtudier ce phénomène, Cette démarche est classique en Mécanique des Sols, en partiCulier pour l'étude des fondations ou il est d'usage d'évaluer séparément la capacité portante (comportement à rupture) et les tassements (comportement avant rupture). La
LeS exelflPles de liquéfaction sont nombreux et leurs conSéquences responsables de dégats importants. SEED dans la Terzaghi Lecture de 1967 rapporte les écrits d'un
85
historien grec de 373 avant Jésus-Christ décrivant un phénomène de liquéfact.ion, Plus récemment, les catastrophes de Nigata (Japon, 1964) et de Valdez (Alaska, 1964) oà un village entier a été enseveli a 1a suite de la rupture par liquéfaction d'une colline, ont particulièrement sensibilisé les mécaniciens des sols et ont été à l'origine de l'étude systématique de ce phénomène, L'état d' avancemont des connaissances a fait l'objet de synthèses récentes [SEED, 1976 ; 'iOSHIMI et al, 1977 1 FINN, 19B1). t~ _ _
'U
~
:'f*
,
Fi,ure l, cratère da a une liquéfaction
L'observation d'un s:1te ayant subi une liquéfaction révèle la présence de cratères de sable a sa surface (figure 1), Le site est généralement inondé par suite de l'écoulement ascendant, consécutif a la 1iquéfaction, provoquant une remontée de la nappe phréatique, Au niveau des ouvrages, la liquéfaction peut provoquer le basculement ou l.a flottaison d'immeubles, la rupture de barrages (remblai hydraulique), la rupture de cul.ées de pont " .
LOrs d'un essai triaxial axisymétrique conventionnel. (<1.1. > <1z ~ <1~ ) en compression monotone drainée, l'échantillon de sable présente initialement une diminution de volume, Lorsque le déviateur q ~ <1J.-q~ croit, l.a vitesse de déformat.ion volumique tend vers 0, Dans le cas d'un sable lache, cet état n'est atteint qu' asymptotiquement, Pour un sable plus dense, la vitesse de défor...ation s'annule et change de signe, le matériau devient dilatant (figure 2), La dilatance . résulte du ~ncheyètre!!1!à!)t des gra:1ns J e11e est CI' autant plus prononcée que le sable est initialement dense et que la pression de confinement est faible. ( pp-
comportement est similaire lors d' un chargement triaxial en extension ( a l " O"z > O"~) avec, initialement, une phase contractante suivie d'une phase dilatante.
Le
as
...,.---e.,
_
e,
----->
w
Figure 2 Variation de volume sous chargement monotone
En conditi..on non drainée, sur un sable saturé, le volume de l'échantillon TOl'lte
constant. On constate ainsi en début de chargement une augmentation de pression interstitielle puis, pour les sables oenses, la vitesse de génération des pressions interstitielles décro:l.t lorsque le déviateur de contrainte croit et s'annule pour devenir négative. CeG phases de générations positive et négative des pressions interstitielles correspondent aux phases de contractance et de dilatance du matériau en cisaillement drainé, niveau de contrainte oà Il' inverse le taux de génération des pressions interstitielles lors Cl' un chargement non drainé correspond au seuil de contrainte où la vitesse de génération de la déformation volumîque est nulle lors d'un essai drai.né. ce niveau de contrainte définit un seuil dans le comportement d'un sol granulaire que LUONG (1978) et HABIB - LUONG (1978) ont dénommé état caractéristique.
Le
cet état caractéristique est associé a
l
un taux de variation de volume nul iv = 0 un seuil de changement de comportement J le processus d'enchevêtrement des grains est remplacé par un processus de désencheVétrement 1 des déformations du sol faibles et éloignées de la rupture 1 une indépendance vis-a-vis de la porosité initiale. L'état caractéristique sépare deux types de comportement rhéologique du sable: contractant dans le domaine subcaractéristique, l~ité dans le plan (p,q) par
87
deux droites LC, et dilatant dans le domaine surcaractéristique jusqu'A la lilnite de rupture définie par les droites LR ( figure 3). Dans le cas de sables laches, les droites caractéristiques sont confondues avec les droites de rupture. L'état caractéristique se confond avec l'état critique [SCHOFIELO - WROTH, 1968).
surcaract6r isti que dilatant
LR
Ô
Il
•
~----r---------~P'
01+203 3
Domaine su bcaract6ristlque contractant
Le Figure 3
Critère caractéristique délimitant le domaine contractant d'un matériau granulaire (Luong 1
2.2. variations de vol.\8e BOIllI cha:1:CjeDlQnt: CfCl..1.que
Le concept d'état caractéristique défini précédetrment: permet: également: de rendre compte du comportement: BOUS chargement cyc1ique [LUONG, 1978; HAaIB-LOONG, 1978;
SIDANER, 1981). La. position de la valeur moyenne du déviateur de contrainte par rapport au seuil
caractéristique gouverne les variations de volume, AinSi la figure 4 [LUONG, 1978) ~ntre que 1e comportement contractant est obtenu loraque le déviateur moye!l_ est inférieur au seuil caractéristique 1 le comportelf\ent dilatant !le manifeste dès que le déviateur moyen devient supérieur au seuil caractéristique. Enfin, l'effet contractant est plus significatif pour un chargement en e:x:tenaion (q
un chargement cyclique prolongé dans le domaine subcaractéristique conduit a une densification progressive du matériau avec stabilisation, au bout d'un grand nombre de cycles, de la déformation axiale. Au contraire, les mêmes essais effectués dans le domaine surcaractéristique conduisent a la rupture du sol par dilatance progressive.
B8
Sable de Fontainebl.au
L;;,::::---,tM
N 30 1
0,<
Densification
o o Etat contractant et dilatant sous chargement cyclique (Luang)
,
:.:lE , •
qjp = 1,32 0,8
Sable d. Fontainebl•• u td
= 15,7 KN/mJ
• =
--
~
0,72
Or= 82%
o
.'
,
,,
= Figure 5
Variation
de volume sous chargement cyclique
(Luang 1
89
Pour les essais alternés autour de la position .la déviateur nul (q-O) il y a apparition de déformations volumiques irréversibles, avec une distorsion limitée dès que les seuils caractéristiques Bont alternativement franchis a chaque cycle, Le franchissement dU seuil caractéristique est révélé par l'apparition d'une boucle de dilatance (figure 5) suivie d'une contractance rapide du matériau a la décharge. La figure 5 met en évidence l'influence déterminante du chargement en extension triaxiale car le seuil caractéristique y est plus rapidement atteint,
q "
Stabili.ation
Mobilité cycllqua
L;q;;o;;;;;;;;;;;~d'un
.able IAche
c Figure 6
Comportement du sable en condition non drainée
Le corollaire de ces variations de volume pour un chargement cyclique non drainé est une variation de la pression interstitielle. Les es~ais cycliques a faible amplitude de charge, dans le domaine subcaractérlstique, inèluisent un développement contirnl des pressions interstitielles, la contrainte effective du matériau décroit et tend vers une stabilisation autour de la ligne caractéristique; c'est l'état de mobilité cyclique (figure 6, LUONG 1978), Les cisai11ements cycliques non drilin~s dans le domaine surcaractéristique conduisent .la un comportement inverse 1 la stabilisation vers l'état caractéristique S'effectue par diminution de la pression interstitielle, ce qui correspond au comportement dilatant du matériau dans les essais drainés 1 il Y CI stabilisation (figure 6).
ces essais cycliques,non alternés autour du èléviateur nul, ne conduisent pas a la liquéfaction du matériau, c'est-à-dire a un.état où la contrainte effective èlevient nulle. Il peut cependant y avojr accumulation de déformations de distor:::ion importantes. La "rupture" doit alors être définie en termes de déformation,
90
, ~
, •
~
LR
1
"
f 1
','
, TeT
r
'2 ~f
1
','
, Figure 7
'/ ,
','
Trajet de contrainte
~
p_MPa_
effective en condition non drainll!ie
La11quéfact1on est obtenue 10rs (les cisaillements non drainés ,alternés de part et d' autre du déviateuT nul. Chaque cycle (le chargement réduit la contrainte moyenne p' pax suite (le l' augmentation de presaion interstitielle J ce processus
S'accélère lorsque la contrainte effective franchit le seuil caractéristique. APrès quelques cycles, ].a contrainte moyenne tend Il s'annuler avec 18 déviateur de contrainte lors d'une déeharge ( figure 6 ). Il Y a alors liquéfaction. Pour un sable lache il y li. ruine de l'échantillon, les déformations devenant très grandes. Pour un sal:)le dense l.a liquéfaction s'accompagne de défonM.t1ons
limitées par suite (le la dilatance du matériau 1 dans le plan (p,q)le point figuratif de l'état de contrainte remonte dans le domaine surcaractéristique (figure 7). La répdtition de cycles identiques peut conduire a de grandes déformations de distorsion, même pour un sable dense. Notons, pour conclure sur les aspects expérilllentaux, que la droite caractéri.stique de WONG co'incide avec la droite de changement de phase définie par ISHlHARA et al (1975). selon ces auteurs, cette droite différentie deux types de comportement a la décharge 1 la décharge a partir d' un état de contrainte audessus de la droite s'accompagne d'une génération importante de pression interstitielle, susceptible d'entrainer la liquéfaction. Ce phénomène correspond a la densification rapide du matériau qu 'on obaerve en condition drainée dès que le trajet de chargement a provoqué le désenchevétrement dans le domaine surcaractéristique.
91
3. OBSERVATIONS DE CAS DE LIQUEf"AC'l'ION IN SITU
Un recensement complet de sites const~tués de sols pulvérulents sous nappe, ayant subi au moins un séisme, a été effectué par SEED ( 1976, 1983), Pour chaque site, la nature du sol, sa densité, la profondeur de la nappe, les caractéristiques de la sollicitation sismique ainsi que son comportement lors du séisme (apparition ou non de liquéfaction) ont été rassemblés, De tels renseignements pennettent d'obtenir certaines appréciations qualitatives quant ~ la nature des sols les plus liquéfiables, On verra qu'ils ont également permis d'évaluer la résisT.i!nce au cisaillement cyclique (R.C.C, ) des sables à l'aide de corrélations expérjmentales. Le
tableau 1 présente ces éléments
(SE~1O,
1976). Son examen montre que,
pour une sollicitation donnée (magnitude, durée, accélérat.ion maxiInale) la densit.é du sol en place est plus élevée pour un sit.e ne s'ét.ant pas liquéfié que pour un site liquéfié (séismes du Chili 1960, Tokachioki 1968, Fukui 1948) 1 à caractéristiques sismiques équivalentes et à densités relatives voisines, la nat.ure du sol influe sur sa résistance à la liquéfaction. LeS sables et graViers du site d'Unuma (séisme de Mino owari) ne se sont pas liquéfiés contrairement aux Sables du site d' Ogase Pond pendant le même séisme J à caractéristiques de sol équivalentes (nature, densité) le risque de liquéfact.ion est d' aut.ant plus grand que l'accélération produite par le séisme est élevée (séisme (le Mino OWari sur le site d' Ogase pon(l et séisme du Chili SUT le site de Puerto Montt) et que sa magnitude est importante (séisme de Tokachioki sur le site de Hakodate et séisme de Nigata, 1964, sur le site (le Nigata). Rappelons que, pour ce dernier exemple, la différence entre les magnitudes (7.5 et 7.8) corresponcl a une énergie libérée environ trois fois plus importante. Dans l'ensemble des observations rassembléea dans le tableau, il est possible de trouver quelques rares contre-exemples aux constatations faitea ci--dessus. On peut cependant conclure de façon générale que le risque (le liquéfaction est d'autant plus grand, ou que la R,C,C. est d'autant plus faible, que la sollicitation sismique est forte et que la ~cité et la perméabilité du sol sont faibles, Les observations du tableau sont cependant trop peu nombreuses pour espérer identifier è. l'aide des seules observations in situ des cas de liquéfaction, tous les paramètres affectant la R.C.C. d'un Bol.
4. PARNIE'l'RES Ai"PECl'AH'l' LA. RESIS'l'ANCE AD CISAILLEMENT CYCLIQUE NON DRADII'Z
L'étude de ces paramètres ne peut se faire que dans des conditions expérimentales bien controlées que seuls les essais au laboratoire permettent d'obtenir. A cet: effet divers types d'apparei.llage (voir chapitre IV) sont utilisés; l'appareil triaxial cyclique, l'appareil de cisaillement: simple ou de cisaillement: en torsion, la table vibrante. En place, la vitesse d'application des sollicitations sismiques étant généralement grande vis-a-vis de la vitesse poSSible de dissipation des pressions interstitiell(!s (fonction de la perméabilité du sol et des conditions de
92
\-j_J
~
drainage), les essais de liquéfact.ion au laboratoire sont réalisés en condition non drainée. Ils permettent d'évaluer la R.C.C. non drainée du sol. Lors df! la réalisation d'un essai de liquéfaction, pour un effort cyclique d'aJllP1itlide constante donnée, la pression int.erstitiel1e croit avec le nombre de cycle de sollicitation Jusqu'a atteindre, éventuellement, une valeur l'IIa.)tlmale égale a la preSsion de confinement 1 cet. état caractérise la liquéfacti.on. La déformation, tout en augmentant avec le notOhre de cycles, reste faible au début de l'essai pour devenir importante au voisinage de la liquéfaction (figure 8). Nota = les essais sont généralement effectués pat:: application d'un effort cyclique d'amplitude constante, Il es't cependant possible de réaliser des essais pour lesquels l'effort cyclique vat::le de façon quelconque [ISHlHARA - YASUDA, 1972).
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Figure 8
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Enregistrement d'un essai
triaxial cyclique
On a vu précédemment (chapitre II) que, de façon générale, la loi de comportement d'un sol dépend 1 de l'état de Contraintes actuel 1 de l'histoire des contraintes et déformations subies depuis sa formation 1 de l'incrément de contrainte appliqué, La R.C.C, d'un sable doit donc dépendre des mêmes paramètres, auxquels il faut
ajouter l'influence de la saturation, Pour évaluer cette résistance, on a recours a l'approche pragmatique (chapitre Il) consistant à reproduire au laboratoire, de la façon la plus fidèle possible, les conditions de SOllicitation en place. Rappelons que ces conditions sont caractt"lri !lC'!CS, de façon schématique, par l'application sur une facette horizontale d'une contrainte de cisaillement cyclique variant entre deux valeurs eX+.rt'Jmes TJ. et TZ (TJ. - -Tz). ces conditions sont sensiblement satisfaites dans les essais énumérés ci-dessus avec, pour l'essai triaxial, la nécessité de réaliser un état de consolidati.on iSotrope pour obteni.r, sur le plan Il 45° de l'éprouvette, un état de contrainte proche de celui produit en place sur un plan horizontal (cisaillement alterné aueour d'une position nulle). Pour les limitations et imperfections des différente types d'essais on se reportera au chapitre IV,
93
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site
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Niigata Niigata
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1891
Mino OWari Mioo owari
1891
owari santa-Barbara M100
1891 1891 1925
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1.933 1940
El Cp.ntro Tohnankai Tohnankai Fukui "'ukui Fukui Fukui San FrancisCQ Chili Chill Chili
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1940 1944 1.944 194B 1948 194B 194B 1957 1960 1960 1960
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Niigata Niigata Niigata
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Niigata
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Sable
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Absence Lig. Uquéfaction Liquéfaction Liquéfaction Liquéfaction Liquéfaction Liquéfaction Absence Liq. Liquéfaction Liquéfaction Liquéfaction Liquéfaction Liquéfaction Absence Liq.
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Nature du sol
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Niigata Niigata Niigata Niigata Snaw River Snow River Quartz Creek scott Glacier valdez Hachinohe Hachinohe Hachinohe Hakodate caraballeda Sf .Juvenile Hall Jensen Plant Van Norman ReS.
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Graviers sableux 1
Tab1eau 1 1 Conditions de site et caractéristiques des séismes pour les cas recencés de liquéfaction
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CONTRAINTE NORMALE DE CONSOLIDATION SUR LE PLAN DE RUPTURE kN/m 2
Figure 10 Influence d'un cisaillement statique initiale sur la R CC
96
... ,l, Influence de l ' état de oontraJ.nte actuel (
En déformation plane, qui est l'hypothèse couranwnent admise pour traiter les j problèmes de propagation d'ondes (voir chapitre V), l'état de contrainte d'un élément de sol est défini par les trois composantes u x ' ai: et Uxz du tenseur des contraintes effecti_ves.
1-
Si la composante axz est nulle, la contrainte principale mineure "-x est reliée a la contrainte principale majeure a par le coefficient de poussée des terres au repos ICa
z
0-'X -
K"_ r:1'Z ·V
Des mesures de R,C,C. non drainée effectuées" l'appareil de cisaillement sinlple ou de cisa.11lement par torsion, solt a différentes valeurs de O-z pour une valeur de Ka donnée, soit à différentes valeurs de Ka montrent que celle-ci est 1 pratiquement proportionnelle a la valeur de o-i: bien qu'en toute rigueur le rapport: de proport:ionalité décroit légèrement lorsque ai: augmente de façon importante 1 fortement influencée par u valeur de ICa, Elle croit lorsque Ka augmente, Il est alors possible de présenter les résultats des essais sous la forme de u figure 9 donnant la relation entre la contrainte de cisaillement cyclique et le nombre de cycles provoquant la rupture par l.1quéfaction, En normant la contrainte de cisa.111ement cyclique TC par la contrainte moyenne effective r:1 o-ii on obtiendrait prat.1quement une courbe unique si tous les autres facteurs affectant la R,C.C. étaient identiques, ce n'est pas le cas en particulier pour les essais à l'appareil de cisaillement simple 00. différentes valeurs de Ko ne peuvent être produites, puisqu'il n'existe pas de controle de la contrainte o-x' qu'a l'aide de chemins de contraintes différents qui affectent la R.C.C. Aussi, les résultats d'essais sont-ils BOuvent présentés en normant TC non par o-m mais par ai qui représente la contrainte nonnale effective au plan sur lequel s'exerce 'Tc' Différentes courbes 80nt alors obtenues pour différentes valeurs de Ka (.fiyure
m.
')
.
Dans nombre d'applications pratiques, le cisaillement statique initial Uxz sur le pian sur lequel 8' exerce la contrainte de cisaillement cyclique est non nul. C'est le cas pour un élément de sol pris dans le corps d'un barrage, dans une pente ou sous un ouvrage. nans ces conditions, le cisaillement cyclique résultant de u sollicitation sismique se produit autour d' une valeur non nulle du cisaillement. Il convient alors de distinguer le cas 00 ce cisaillement cyclique provoque une inversion de la direction du cisaillement (I TC 1 > 1 O-xz 1 ) de celui ou le cisaillement résultant ('Tc + C'xz) s'exerce toujours dans la même direction, Seule la première configuration peut éventuellemnt conduire a une liquéfaction. Ce résultat a déjà été noté au paragraphe 2,2 ou il a été indiqué que les essais cycliques dans le domaine subcaractéristique, sans alternance du déviateur, conduisent a une stabilisation le lony de la ligne caractéristique. L'inverf'ion de la direction du cisaillement permet seul~ d'atteindre les seuils caractéristiques. La R.e.C. non drainée mesurée par le rapport TelUÉ est in[luencée par la valeur
du cisaillement statique initial. Par rapport a la situation sans cisaillement
97
initial. cette résistance peut étre augmentée ou diminuée suivant l'état ne compacité initial du sol et la valeur du cisaillement statique. Pour les sols denses, elle est en général augmentée comme le montre la figure 10 donnant des résultats d'essais triaxiaux réalisés sur alluvions sablo--graveleuses compactées. Il faut noter que si la R,C.C. est exprimée a l'aide du rapport (~zx + T )/{1Z' l'application n'un cisaillement statique conduit toujours a une C __ augmentation de résistance [FINN, 1991].
4,2. :Influence (le l'bistoire des contraintes et défoUlliltiona nature du sable constitut-.if, le mode de formation du dépOt et l'histoire des sollicitations subies jusqu'a l'état de contrainte actuel confèrent au sol une structure caractérisée par une compacité et un certain arrangement des grains. Tous ces facteurs ont une influence sur la R.C.C. non drainée du sol.
La
Du point de vue de la résistance a la liquéfaction, il n'est pas possible de différencier les sables en fonction de leur granulométrie. LeS premières études (LEE-PI'l"l'ON, 1969] qui faisaient apparaitre une forte dépendance de la R.C.C. sur le d~o du matériau semblent étre entachées d'erreurs expérimentales iJnportantes. Tout juste est-il possible de définir un fuseau des matériaux liquéfiables 1 un tel fuseau est. donné sur la figure Il [THOMPSON-EMERY, 1976]. Par ailleurs, il est vraisemblable que la coroposition minéralogique et la forme des grains a une influence sur la R.C.C. Aucune conclusion définitive ne peut cependant étre actuellement tirée quant a l'influence de ces facteurs .
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1 MAJORITE DES SABLES LIQUEFIABLES SUR LA BASE D'ESSAIS LABORATOIRE
Figure 11
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ENVELOPPE DE 19 GRANULOMETRIES DE SABLE UQUEFIES PENDANT DES SEISME AU .JAPON IKISHIDAJ
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Cp5\1 ~ Q02 .0.01 5.. 2.. ," SEISME D'ALASKA (1964)-
Fuseau granulomètrique des sols liquéfiables
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4.2.1. Inf1uenoe de la densité du sab1e
-
- - - -
densité constitue le paramètre dont l'influence sur la R.C.C. a été 1apremière reconnue. Tant les observations in situ que les essais de laboratoire (figure 12) ont montré que la R.C .C. d'un sable est pratiquement proportionnelle à sa densité relative, tout au moins jusqu'à des densités relatives de 70 à BO " Au-delà de ces valeurs, la R.C.C. croit plus vite que la densité relative. La
Les essais de laboratoire, tels que ceux de la figure 12, montrent qu'il esl possible d'atteindre une comUtlon de liquéfaction (u - am) même sur des sables très denses. Ce résultat a 10ngtemps été l'objet d'une controverse car, en place, 1es dommages conSécutifs a une liquéfaction n'ont été observés que sur des sab1eS 1àdhes. En fait pour les sables denses, C'est-à-dire pour 1eS sables dont l'état caractéristique n'est pas confondu avec l'état de rupture, la comUt10n de liquéfaction n'est atteinte que temporairement.' Sous 1'effèt des sollicitations app1iquées (cyc1iques ou permanentes) le point représentatif de l'etat de ;contrainte "remonte" dans 16 domaine surcaractéristique (para'i_l:~e 2,2), et; le ,! comportement di1atant du sol lui permet de recouvrer une certaine :tésistance au cisai11ement, par suite de la diminution de la pression interstitielle. Il en résulte que les déformations accompagnant la 1iquéfaction restent limitées,
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Influence de la densité relative sur la RCC
99
Par opposition, pour un sable lache, il n'existe pas de domaine surcaractéristique J le comportement du sol est toujours contractant et l'application d'une charge (poids d'un ouvrage par exemple) sur un sable liquéfié entraine des déformations pratiquement illumitées. Longtemps le terme liquéfaction a été réservé à ce seul phénomène et certains auteurs ont employé le tenne mobilité cyclique pour définir le comportement des sables denses (CASTRO, l.969 J CASAGRANDE, l.976]. Dans la pratique, la liquéfaction des sables denses ne présente pas un caractère fondamental dans la mesure oCi cet état est temporaire. Seules l.es déformations qui en résultent, et qui seront supportées par les ouvrages, doivent retenir l.'attention. Aussi est-il préférable de définir des courbes de R,C.C, en se référant non pl.us à l.'état c:le l.iquéfaction (u - am) mais a une certaine valeur de la déformation, choisie arbitrairement ou en relation avec les déformations ~",susceptibl.es d'ètre aupportées par l.es ouvrages, Le terme réaiatance à la liquéfaction est aouvent employé abuSp,vement pour définir cette résistance. Si cette confusion est justifiée pour Qes sablea l.adhes, il est préférabl.e de , . conserver l.a c:lénOlnination réaistance ,.U , ,cisaill.ement cycl.ique, plus générale et moins génératrice c:le confusion.
4.2.2. rnfluence de 1a structure du .BOl -------...,------------
.,;.-.c .
On désigne par structure la forme des grains et l'arrangement de ceux-ci. Cette structure résulte du mode de formation du c:lépOt et de l'histoire des contraintes et déformations subies depuis cette formation. rI est 11nportant de réaliser que, les grains n'étant ni sphériques ni tous identiques, l.a densité du sol n'est pa!! caractéristique de sa structure J a une c:lensité donnée, il est possibl.e d'associer plusieurs arrangements des grains. La. figura 13 présente des courbes de R,C.C. mesurées sur das éprouvettes d'un même
sable, préparéea a la même densité mais par des méthodes de mise en place différentea [HULILIS et al., l.975] , L'accroissement de R.C,C, peut atteindre l.00" suivant la méthode de préparation. Cette variation résulte des différences de structure des asseltlbl.ages formés. La structure la moins stable correspond A un assemblage o~ l'angle moyen, LOrmé par les plane de contact entre grains et la direction de la sol.licitation, est égal a 45 0 (SEED et al, l.975]. La R,C,C, n'est pas seule modifiée par la structure du sol J tout le comportement jusqu'A la rupture est affecté comme l.' attestent les différences entre les courbes de génération de pressions interstitielles obtenues pour diverses méthodes de préparation des éprouvettes (LAnD, l.976]. Cette influence de la structure formée par l'aElsembl.age des grains est responsable des différences de R.C.C. mesurées sur dea édhantill.ons ayant subi des chemins de contrainte ou de déformation différents ~ surconsol.idation, sollicitations cycliques antérieures, age du dépôt ... surconsolidation du sol. a pour effet d'accroitre sa R.C.C. Cet accroissement ne peut étre expliqué par la seule augmentation de contrainte moyenne, résultant d'une augmentation de K" (FINN, 19911. et une part provient de la différence de structure,
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même, les sollicitations cycliques de faible amplitude augmentent la con'1 trainte moyenne mais tendent également a produire. des assemblages de grains plus stables donc plus résistants. La figure 14 donne un exemple de variation de De
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Nombre de cvcles
Figure 14
Influence des prévibratiDr1$ sur la RCC
101
B.C.C., mesurée sur deux échantillons dont l'un a été prévLbré puis remis en éqùl1ibre, par dissipation rias pressiona interstitiell.es., SÇlus l.·et.at de contraintes -effectivea initial. Cette variation est importante et mérite d'ê'tre prise en compte dans l'éval.uation de la susceptibilité d'un sol. a la lÜ:luéfaction. C'est le cas, par exemple, des plateformes en mer ou les chargement.s cycliques engendrés par une houle importante sont précédés de sollicitations de plus faible amplitude, dues a Cles houles moins fortes. Si les pressions interstitielles développées par les houles faibles ont le temps de se dissiper avant l'arrivée d'une houle plus importante, la résistance du sol est accrue. Enfin, l'expérience montre que l'age du dépot peut avoir une influence notoire sur sa R,C,C, Plus le dépOt est ancien, plus sa résistance est élevée. Cela provient partiellement d'une augmentation de densité, les dépots du tertiaire étant nettement plus denses que ceux du Pléistocène ou de l'Holocène [TOHNO, 1.975], mais également d'une différence de nature (les contacts entre grains, Dans les dèpots anciens, les particules les plus fines sont "squeezées" et les contacts entre les grains les plus grossiers plus nonIDreux et plus stables.
4.3. Inf1uence de l'1ncrélDent de contra:1nte appliqué Les essais de laboratoire sont réalisés pour des sollicitations unidirectionnelles. En place, les sollicitations sismiques engendrent des vibrations tr1directionnelles. DeS essais sur table vibrante ont montré que les vibrations verticales ne modifient que peu la R.C.C. Cela s'explique par le fait que ces vibrations n'induisent que des cisaillements peu importants et donc ne provo-quent pas de variations de volume significatives, Il en est de meme en place oCl les vibrations verticales résultent de la propagation d'ondes de compression (cf. dhap1tre V) qui, dans des couches (le sol subhorizontales, génèrent essentiellement des déformations de compression-extension, par contre les vibrations horizontales engendrent des défonnations de cisaillement dans deux directions. L'étude sur table vibrante de l'influence d'une vibration horizontale bidirectionnelle fait apparaitre une (liminution de la R.C.C. du sable. Cette diminution reste cependant lintitée 1 il est admis que la R.C.C. sous lIollicitat10n bidirectionnelle est égale a 90" environ de la R.C.C. mesurée sous sollicitation unidirectionnelle [SEEO et al, 1975].
4.4. Influence de la saturat10n L'augmentation de pression interstitielle créée par le cisaillement résulte de la tendance a la variation de volume du sol. DanS un échantillon parfaitement saturé et en condition non drainée, la variation de volwne totale est nulle et, l'eau interstitielle étant nettement moins compressible que le squelette, la tendance a la variation de volume est entièrement contrebalancée par l'augmentation de pression de l'eau. Dans un échantillon partiellellU'!nt saturé la variation de volume est possible par compression de l'air occlu. Il en résulte une augmentation plus faible de la pression interstitielle et donc, en condition non drainée, une R.C.C. plus élevée (figure 15),
102
Cette influence de la saturation peut être une cause importante d'erreurs expérimentales si l'on ne s'assure pas au laboratoire, par l'utilisation d'une contrepression élevée, de la parfaite saturation du sol. Dans le même ordre d'idées, les dispositifs expérimentaw( ne permettant pas de maintenir constant le volume de l'échantillon peuvent conduirg a. des mesures de R.C.C. erronées. A cet égard, l'appareil triaxial est nettement plus fiable que l'appareil de cisaillement simple pour lequel il n'existe, a. notre connaissance, qu'un specimen opérant a volume rigoureusement constant [FINN-VAlD, 19'17].
0.'
0'
O~------~------~------~------~ 1 3 10 30 100 Nombre de cycle. ,1..1
Figure 15
Influence du degré de saturation sur la RCC
LeS études expérimentales, dont les résultats ont été présentés au paragraphe précédent, ont trait a la R.C.C. non drainée du sol, C'est une approche du phénomène de liquéfaction par les contraintes totales dans laquelle on ne s'intéresse qu'a la résistance a rupture du Sol. D'un point de vue plus fondamental, la R,C,C. non drainée est gouvernée par le comportement du sol, donc par les contraintes effectives. Divers types de modèles de cOlTlportement ~>nt été développés récelmll!nt de façon spécifique pour l'étude de la liquéfaction. Ces modèles permettent de suivre l'évolution des pressions interstitielles au cours du Chargement, On peut distinguer l
103
des modèles empiriques comme le modèle énergétique [NEMMA.T-NASSl':R~ 51101
5.1. Modè1e du chemin de contrai.ntes effectives
ISllIliARA (1980), HABIB--LUONG (1978) ont proposé des modèles basés sur une définition dans le plan p-q du chemin de contraintes effectives suivi durant le cisaillement cycl:ique non drainé. Ces deux modèles :incorporent la notion d' éT.at caractérist:ique décri te précédemment. Dans le modèle de HABIB-LUONG, le trajet de contraintes effectives est un arc de cercle de rayon P, tangent au trajet de contraintes totales. En décharge, ce trajet eat présenté par un segment de droite. La_raque la contrainte effective atteint le seuil caractéristique, elle augmente en suivant la droite caractéristique J la décharge s'effectue également suivant une droite (figure 16), modèle de ISHI~ d:iffère par la forme du chemin de contraintes effectives (parabole) dans le domaine subcaractéristique et par la définition d'un trajet dans le domaine surcaractéristique entre la "droite de transformation de phase" et la droite de rupture, Le
5 . 2, Modèle de MARTIN FINN SEED
Dans sa forme la plus si1l1pl~, le modèle fait l'hypothèse que l'eau interstitielle est nettement moins compressible que le squelette solide. Dans ces CQ.nditions, la variation de volume totale est négligeable lors d'un chargement cyclique non (lrainé. En conséquence, les (lé formations volwnétriques, élastique ll.E a , et plastique ll.Evd' qui prennent place sont égales et de signes opposés. cette hypothèse fondamentale est également incluse dans la théorie de l'état critique [SCHOFIELD--WRO'I'H, 196B], volwnétrique est compensée par une décharge élastique du squelette due .!I. la réduction des contraintes effectives accompagnant l'augmentation de pression interstitielle. L'incrément (le pression interstitielle ll.u, pendant l'intervalle de temps At, est alors donné par :
La défo~tion
(2)
104
KA=XA 0 =E.... A' 0' 00'
q
,
qB Ka= OB' . ...!IL OC' qc
B,/
qc
, ,
/
,/
·
1 l'
,
1/ 0
(
A • LI
0
cl rayon_/.ff
P
,/
1
/
trajet de contraint.
/
r....traj.t d. contraint. total.
~ff.cti~
/ B'
p';p A' D' FiQure 16 Modale dB comportement IHabib_ Luong 1
C'
_ LI
Or= 60% a' = 200 kN/m'l.
~'''I-
Sable Ottawa
z
•
•• ••• • Q
X
~
°, Figure 17
,
• NOM aRE
ID DE CYCLES
'0
BO
'00
Comparaison entre modèle théorique et mesures (Finn,1981)
105
••
.u
--
.'
E
p,
r
(4)
6.u~EAe
BOit 1
r
Vd
En incorporant la compress1bilité du fluide intersti 1:1e1 l'équation précédente devil'nt :
.u -
E
r
, + n
E
/
r
K
(S)
w
.v~
n
-
porosité du sol module de compressibilité volumétrique dU fluide module de décharge du sol, adapté au chemin de contraintes effectives.
En faisant l'hypothèse que les forces de contact intergranulaires induites pax le
Chargement cyclique sont les mêmes en conditions drainée et non drainée, les glissements aux points de contact, responsables de la variation volumétrique àoSvd seront identiques. cette variation peut donc être mesurée dans des essais cycliques drainés. DeS vérifications expérimentales de cette hypothèse sont données par FINN (1981) et YOUD (1972) en opérant sur des échantillons secs ou saturés (en condition drainée).
ta variation de volume ll.Evd est pratiquement indépendante de la contrainte verticale effective 0" [SEED-SrLVER, 1972], fonction de l'amplitude de la déformation de cisaillement y et de la déformation volumétrique totale accumulée. En l'absence d'attrition des grains, la relation suivante, proposée par Ml'oRTrN et al, donne la variat'l.on de volwne obtenue pour Un cycle complet d'amplitUde de déformation y=
fi
EVd
C,
(y -
• vd
'
• y
(')
dans laquelle les Ci sont des constantes expérimentales. Parallèlement, la relation suivante, donnant le module de décharge Er pour un trajet oerlométrique (déformation latérale nulle), est proposée par les auteurs =
106
-
(0' )~-m
v
(' )
"",(0'
vo
)n-m
00. m, n, k z sont des constantes du matériau et a'v (0 'vo) la contrainte verticale effective actuelle (inH.iale). . déf1nition complète du modèle néceElsite donc la dét.el':J\\lnatlon de sept paramètres.
~
Comme
pour tout modèle de comportement. 11 est néceasail:e de l'évaluer pour des
trajets de eollicitationa autres que ceux ayant servi al' établir. Les constantes de définition étant obtenues a partir d'essai a amplitude de déformation constante, le modèle a pe~s (l'éValuer l'augmentation de pression interstitielle obtenue dans un essai cyclique non drainé a amplLtude de contrainte constante. ce dernier type de chargement induit des amplitudes de déformation
v4l:1ables avec les cyçles. Une très bonne concordance entre pression interstitielle Obsel:'Vée dans des essais, ou calculêe dans le mo<3èle, est obtenue (figure 17, FINN, 1981),
Notons cependant pour conclure que le modèle n'a été développé et vérifié qu'a partir d'essais à la boite de cisaillement simple, En cela, il ne constitue pas une loi de comportement au sens le plull général du terme et ne doit étre utilisé que pour des conditions de sollicitation proches de celle de cet appareil. Ces conditions sont sensiblement réalisées en place pour des couches de sol 8ubhori~ontalell et une propagation verticale d'ondes de cisaillement.
6, EVJU.UM'IOH DO RISQUE DE LI.Q!lI?AC"l'IOH D'tIN 5l'l'E
On peut distinguer deux méthodes d'approche pour l'évaluation du risque de liquéfaction d'un site, La première, dite en contraintes totales, consiste a cOmParér ta résistance au cisaillement cyclique du sable aux sollicitations appliquées, La seconde, en contraintes effectives, détermine l'éVolution des pressions interstitielles au cours de la sollicitation, en tenant compte des conditions de drainage éventuel, La détermination du risque de liquéfaction est généralement limitée au cas du
champ libre, c'est--a-
.107
6.1. Approche en contraintes
tota~es
Elle nécessite la détermination de la contrainte de cisaillement développée par la sollicitation sismique, Ta' et de la R.C.C. du sable TI.' La comparaison des deux permet la définition du coefficient de sécurité viS-à-vis du risque de liquéfaction 1
T, T
(
,
)
a
Cette détermination se fait usue~lement a l'aide des méthodes déve~oppêes au chapitre V dans le cas d'un problème unidimensionnel, ou au chapitre VlI dans le cas de problèmes bidimensionnels. Le calcul nécessite la connaissance du mouvement, sous forme d'accélérogramme, en un point du profil de sol. Il est nécessaire de prendre en compte, même de façon approchée, les propriétés non linéaires et dissipatives du sol. On obtient ainsi par ces calculs, a toute profondeur, la variation de la contrainte de cisaillement T(t) en fonction du temps. La détermination au laboratoire de la résistance au cisaillement cyclique non drainée est réalisée sous sollicitation cyclique d'amplitude constante. Il est donc nécessaire de convertir le diagramme temporel calculé T(t) en un diagramme "équivalent" de Neq cycles, d'amplitudes constantes Teq' L'éqUivalence des deux diagrammes se fait par comptage du nombre de cycles Ni a un niveau de contrainte Ti en notant que, Na cycles au niveau de contrainte Teq ont même effet, dU point de vue liquéfaction, que Ni cycles à Ti (figure 18). En conséquence, Ni cycles a Ti sont équivalllnt.s à (Na/Ni). Ni cycles a T eq • Par sommation sur tous les niveaux de contraintes de l'acCéléroqramme, on définit le nombre de cycles équivalents d'amplitUde Teq par 1
N
eq - Na
(' ) i
La valeur numérique de Neq est liée au choix de la contrainte de référence T eq'
Généralement on retient une fraction R de la valeur maximale de T(t):
.. RMilXJT(t)J
(10 )
i
La valeur communément admiSe pour Rest 2/3. ANNAKI -LEE (1976) ont montr:é que le
choix de la valeur de R dans le domaine 0.55-0.85 n' influait pas sur les résultats de l'étude. La définition du nombre de cycles équivalents par l'équation (9) est analogue a celle du concept de dommage cumulé. Une étude comparative montre que les deux approches donnent essentiellflment les memes résultats [VALERA-OONOVAN, 1976J. DeS vérifications expér:imentalea ont par ailleurs montré que le concept du
lOB
noml.>re de cycles équivalents pouvait ètre valablement transposé a l'étude de la liquéfaction sous chargement sismique irrégulier [ANNAKI-LEE, 19761. Lorsque l'on procède a la détermination de la contrainte de cisaillement cyclique Teq et du nombre (le cycles équivalents Neq par un calcul de réponse dynamique, il est ~rtant (l'effectuer plusieurs calculs a partir d'accélérogrammes différents (4 a 5 environ) pour obtenir une détermination fiable de ces paramètres. Par:' expér:'hmce, il est nettement pr:'éférable de réaliser les calculs a partir d'accélérogrammes rêflls, enregistrés sur des sites de nature comparable et pour des conditions sismiques équivalentes, que d'utiliser des accélérogrammes synthétiques.
~
1.-:
••; g
••
·0
=
•
;
N
N·>
Nombre de cycle •
Figure 18
Détermination du nombre de cycles équivalents
Pour des études pr41iminaires, il est possible d'utiliser une méthode simplifiée pour la détermination de la contrainte T eq [5EEo-IDRISS, 1971]. Cet.te méthode consiste a appliquer l'équation fondamentale de la dynamique a une colonne de section unité et de hauteur h (figure 19). Si la colonne de sol était parfaitement rigide, la contrainte de cisaillement rnaxilllale serait, dans l' hypothèse d'ondes de cisaillement a propagation verticale (a ~ 0 sur les faces verticales) ;
( 11)
avec;
accélération de la pesanteur poidS spécifique total du sol y "'max - accélération maximale de surface g-
En réalité, le sol possède une certaine flexibilité : T sera inférieure ~ la valeur calculée par l'équation (11). 5EED et IDRISS ont proposé une modl.fication
109
.. u=o
Cl
max
.
,
U=O
T max
Figure 19 Détermination approchée de Tmax
•
Q'
•• 'd
!4
•
,.
, •
" ,.
"
/
/
1/
/1
/
1
Figure 20 Variation du coefficient avec la profondeur (Seed -Idriss 1971)
110
/
Id
de l'équation (11) par l'introduction d'un coefficient multiplicateur rd' ce coefficient, égal à 1 en surface, décr01t en profondeur. A partir de calculs de réponse dynamique de Bol sur des sites sjlbleux de densités différentes, soumis a divers séiames, ils ont proposé la variation de rd donnée a la figure 20. La contrainte de cisaillement cyclique (Teq ) équivalente est alors l
,
(12 )
Teq - 3
L'équation (12) permet de calculer rapidement la valeur de Teq' mais elle ne doit être utilisée que pour des sites sableux, homogènes, correspondant aux conditions d'établissement de la courbe de la figure 20.' Par expérience, pour des sites très hétérogènes (couches alternées d'argile et sable par exemple), la rigidité globale du système est fortement mod.ifiée, et les valeurs de Teq sont nettement différentes de celles données par l'équation (12). simplifiée ci-dessus ne permet pas le calcul du nombre de cycles équivalents. DeS études statistiques, portant sur un grand nombre d'accélérogramnes réels, ont montré que le nombre de cycles équivalents pouvait être relié a la magnitude M du séisme [SEED et al, 1975]. Les valeurs moyennes proposées, associées a une valeur R - 2/3, sont données dans le tableau Ir .
La
méth~e
. Magnitude
5,5 a 6 6.'
, ,'.' Tableau II
1
Nombre de cycles équivalents
, , " "'0
correspondance entre magnitude et nombre de cycles équivalents.
cette détermination peut s'envisager à partir des essais de laboratoire ou d'essais en place. 6.1.2.1. Essais de laboratoire L'examen des divers paramètres affectant la R.C.C. non drainée d'un sable a montre quO il fallait, dans toute la mesure du possible, disposer d'échantillons intacts. rI est en effet impossible de connaitre et de reproduire au laboratoire
111
tous ces pi'.rarnètres. La détermination de la R.C.C. se trouve ainsi confrontée au problème du prélèvement d'échantillons de sable, qui constitue une des opérations les plus délic~tee de l'échantillonnage des sols. Les sables laches ont tendance a se compacter 10nl du prélèvement et les sables compacts a se dilater. cos modifications de compacité peuvent fausser l'évaluation de la R.C.C. du sol en place. De plus, l'étude de l'influence du remaniement sur la R.C.C. montre que l'effet de certains facteurs est plus ou moins détruit lors du prélèVement 1 influence d'une prévibra.tion par exemple [MORI et al, 19781, Il est cependant possible, moyennant de grandes précautioOlil, d'obtenir des échantillons intacts de bonne qualité, spécialement dans les dépOts moyennement denses contenant quelques fines, on peut également en grande partie élirndner l'influence du prélèvement en appliquant a l'échantillon de laboratoire l'histoin! des contraintes supportées en place, lorsque celle-ci est connue [DUPAS et al, 1979],
'0 F--,r---,r-----r,----.,----r,----, C,
... -
-
.'
-
-
0
,
KO=O,4
Figure 21
,
,
,
Ko=0,75
,
•
,,
3 Degré de aurconaolidation
KO=\O 1
OCR•
,
Coefficient correcteur à appliquer aux résultats des essais triaxiaux cycliques
Les essais de laboratoire donnent, pour un nombre de cycles N donné, la valeur ds la R.C.C. non drainée. cette résistance peut être définie par la condition de liquéfaction U/0'5"'1.0 soit, conventionnellement, par la résistance mobilisée a une certaine valeur de la déformation. On a vu que cette dernière définition est préférable pour les sables denses pour lesquels la liquéfaction n'est que de très courte durée.
112
Si la R,C,C, est obtenue a partir d'essaiS triaxiaux cyCliques, réalisés sous conSOlidation isotrope (Ko-l), il est nécessaire de corriger les résultats bruts des essais pour tenir compte des conditions in situ de consolidation anisotrope et de sollicitation tridirectionnelle. Le facteur correcteur Cr a été déteLminé de façon théorique et expérimentale [S!ŒD et al, 19'1&]. sa variat10n est donnée sur la f1gure 21. Le choix du nombre de cycles a été défini au paragraphe précédent et: des valeurs approchées, fonctions de la magnitude de la so11icitation, sont données dans 1e ta);)leau fI. FinaLement la R.C.C. au cisaillement CYClique en place s'écrit:
a'o
00
(13)
a'o • contrainte verticale effective en place
résistance à N cycles mesurée au tri~ial, (1 d étant le déViateur cyclique, (1; la pression de confine-
_nt. cette résistance est à comparer a la contrainte induite par la sOllic1tat1on, donnée par l'éqUation (12). Notons que si la résistance est obtenue a partir d'essais de cisaillement simple ou de c1s&11l.elllent par torsion, sous des conditions de consolidation représentant les cOndit1ons in situ, aucune correction n'est à appliquer autre que celle due au caractère tridimensionnel de la sollicitation.
Les difficultés de prélèVement d 'éc:hantillons de sable ont conduit a recherCher un mode de détermination de la résistance au cisaillement cyclique basé sur des essais in situ. Pour obtenir des corrélations expérimentales, il est apparu que l'eSSai le plus couramment utiliSé sur des sites ayant subi des séismes, est l'essa! SPT, POur ces sites, on a représenté (figure 22 d'après SEED, 1976) la valeur du ~re NJ. de coups SPT en fonction de la contrainte de cisaillement Ta appliquée par le séisme et calculée par l'équation (12) a la profondeur critique, La valeur brute N du nombre de coups 5P'l' est convertie en Nl. pour é1iJnl.ner l'influence de la profondeur l
( 14)
l~
variation de CN est donnée sur la figure 23.
113
'.' ,--,----,--.,--,----,--"r--",--,
.
o
'.'
•
• •
•
•
0
o
•
•
•
•• •
o o
•
o
o Liq .... factlon .... dto liq .... factlon
Acc:é,...tion ..tim'_
, ,
10
20
o
•
•
o 30
Nombre de coups· normalisé
N,
"
Figure 22 Détermination da la résistance au cisaillement cyclique à partir de "essai SPT (Seed 1976)
Une étude en laboratoire, conduite par le Corps of Engineers [MARCUSONBIEGANOUSKI, 19761, a pe:r:m1.s d'identifier les paramètres influant sur la valeur du nombre N de coups SFrh N est influencé par la structure du maté:r:iau, son degré
de surconsolidation, s~ densité relative et la contrainte verticale effective qu'il supporte. ces paramètres intervenant également sur la résistance au
cisaillement cyclique des sables, on peut penser qu'il existe une corrélation entre cette résistance TQ et le nombre N de coups 51"1'. 'Cependant, même au laboratoire dans des conditons bien contrOlées, les résultats des essais SPT sont dispersés. LeS auteurs concluent que l'essai sP'r est très sensible a de faibles variations de la densité et du degré de surconsolidation. En pratique, cette sensibilité masquera l'effet réel des paramètres.
114
Sur le <.Uagramme de la figure 22, il est cependant posaible de séparer les sites ne s'étant pas liquéfiés de ceux o~ la liquéfaction s'est produite. La courbe de séparation, qui dépend de la magnitude H du séisme, représente la résistance au cisaillement cyclique du SOI,
•
La résistance au cisaillement cyclique, obtenue par la corrélation expérimen-
tale de la figure ~2, étant proportionnelle à N, on ne peut valablement baser l'étude du risque de liquéfaction d'un site uniquement aur les essais SPT. Ceuxci ne peuvent fournir qu'une première approximation du coefficient de sécurité vis-à-vis de la liquéfaction, De plus, la corrélation de la figure 22 ne peut servir &. évaluer la résistance au cisaillement cyclique d'un site 0':' les sols présentent des caractéristiques (granulométrie, surconsolidation , .. ) différentes de celles des sites ayant servi a l'établir. DanS une étude plus récente [SEED et al. 1983], une tentative a été faite pour tenir compte de la granulométrie, et en particulier du pourcentage de fines du matériau, Il n'en reste pas moins que l'essai SPT est trop sommaire pour con<:1uire a des corrélations très fiables, A ce point de vue d'autres essais en place, tels que le pénétromètre, permettent une plus grande reproduct1l::lilité des résultats donc une meilleure fiabilité, On peut penser qu'ils pourront avantageusement remplacer le HP'l', par ailleurs peu utiliSé en Europe, A cet égard le pénétromètre statique semble particulièrement attractif avec la poss1l::lilité, pour le pièzooone, de I!IClml~r la variation de pression interstitielle au cours du fonçage J ce paramètre peut se révéler d'un intérêt essentiel pour identifier les couches de sables laches et éventuellement éValuer leur R.C,C,
.. '
,z•
•••
..
.8 •
'P
" •
N
•,
b
; ti •• ••
-
••
100
/
~ u
C 150
:;
/
•> ~ 200
•
:
• o
u250
Figure 23
V
f>"
1/ Coefficient de normalisation de l'essai S PT
115
Notons enfin que les évaluations de R,C,C, à. partir d'essais en place (SP'l' ou autres) sont nécessairement entachées d'erreurs puisque, pour la grande majorité des sites, les mesures in situ ont été effectuées postérieurement à. la date du séisme dont l'effet a été observé. Cormne on a vu précéde!mlent que les vibrations mod.ifient la R.C.C" en affectant la structure (lu sol, les valeurs (le N mesurées •sont représentatives de la structure du sol après séisme et non avant. En déduire la R,C.C. du sol pendant le séisme constitue donc une approximation grosniore.
--
6.1.3 •. coeff.icient de sécurité
- - - -
- -
- -
- - - - -
définition, le coefficient de sécurité vis-à-viS du risque de liquéfaction est défini comme le rapport de la R.C.C. non drainée Ti' déterminée a partir d'essais de laboratoire (équation 13 ) ou a partir d'essais en place ( figure 22), a la contrainte de cisaillement induite par la sollicitation sismique évaluée par un calcUl de réponse dynamique ou de façon simplifiée (équation 12), par
F5 •
-
T
( 1.5)
La val.eur minima1.e du coefficient de sécurité acceptab1.e pour un site ne peut
être fiXée apriori. Sa détermination doit nécessairement intégrer, même de façon empirique ou qualitative, les paramètres suivants 1 - le degré de connaissance de la géOlogie et des caractéristiques du SOl qui dépend du nombre et de la qualité des reCOnnaissances - la nature des matériaux: rencontrés qui influe sur la fiabilité de la reconnaissance. un sable lache uniforme étant par exemple plus difficile a pnlever. et sur les conséquences d'une liqUéfaction, la liquéfaction des sables denses ne s'accompagnant que de faibles déformations - les conséquences d'une rupture sous les ouvrages 1 la liquéfaction d'une couche de sable compact peu épaisse peut n' avoir aucune influence sur la bonne tenue d'un ouvrage capable d'absorber quelques tassements différentiels - le degré de sophist.ication de l'étude. Usuellement, les valeurs du coefficient de sécurité requises dans une étude de liquéfaction varient de 1,3 a l,S. Il peut cependant, dans certains cas, être nécessaire d'envisager des valeurs plus élevées. En règle générale, les valeurs les plus élevées doivent correspondre a des sables de faible oampac~té et les valeurs les pluS faibles a des sables de forte compac.ité, Le cho.ix du coefficient de sécurité est une question de jugement faisant appel a l'expérience et a l'art de l'ingénieur. Il est parfois possible, a l'aide d'essais de laboratOire et de calculS simples de préciser la valeur du coeff.icient de sécurité minimal en se basant sur les déformations consécutives a la dissipation des pressions interstitielles engendrées par la Sollicitation sismique (DUPAS et al, 1979].
116
6.2. Evaluation du risque de liquéfaction en
contrain~es
eftectives
L'approche en contraintes totales déCrite précédeJlQOOnt, bien que très utile dans la pratique, peut se révéler parfois insuffisante en particulier lorsqu'il est nécessaire d'évaluer, en tenant compte des conditions de drainage, l'évolution de pressions interstitielles avant et après la sollicitation. Il faut alors avoir recours a une approche en contraintes effectives prenant en coropte le caractère biphasique du matériau et l'interaction entre le squelette SOlide et l'eau interstitielle, Une telle approche a été développée par BIOT (1956] pour le cas d'un squele~te a comportement élastique, Elle a été étendue, -dans le Cadre de la. théorie "es mélanges, au cas d'un squelette a loi de comportement élastoplastique (PREVOST, 19801. solution a de tels problèmes, prenant en compte le couplage entre l'eau et le squelette, il'I1poae, qu'a tout instant, soient satisfaites les. relations suivantes: 10i de COnservation de la masse pour chaque phase ]oi de conservation de la quantité de mouvement pour chaque phase lois de comportement "U squelette et dU fluide.
La
A ces re1ations, il faut adjoindre une relation traduiaant l'échange dea quantités de mouvements entre les deux phases. La mise en oeuvre de telles solutions, aurtout pour les problèmeS dynamiques,
n'eat pratiquement pas employée, On Substitue généralement a cette approche dea SOlutions, dites sem:i-coupléea, 00. lea équationa généralea de la mécanique ne aont satisfaites qu'a certains instants, en principe a la fin de chaque cycle de chargement. Les loia de comportement stmpliées, utilisées pour l'obtention de ces solutions, relient les contraintea, déformations et preasions interstitielles au nOO'lbre de cycles. Elles sont du type de celles décritea au paragraphe 5,2. En siltp11fiant plus avant le problème, on aboutit a dea solutions, ditea déCoupléea, 00. le champ de contraintea est calculé sana t€lntr compte dea variationS de preaaion interstitielle 1 les pressions intersti.tielles sont évaluées a partir de ce champ de contraintes, en prenant en compte des lois de générati.on obtenuea de façon expéri.mentale. On peut éventuellement itérer aur un tel schéma en recalCulant un champ de contraintes prenant en compte la modification de rigidité du sol due itI. l'augmentation de preSSion interstitielle, ces Solutions ont l'avantage de la silllplicité et ne nécessitent pas la CQnnaisaance détaillée de la loi de comportement du sol.
Par les méthodes exposées au chapitre V, il est possible d'évaluer en un point quelconque de la couche de SOI, l'histogramme de la contrainte de cisaillement cyclique T(t) s'exerçant sur un plan horizontal. cette évaluation est faite en admettant que la raideur du sol n'est pas affectée par l'augmentation éventuelle de pression interstitielle. Seules sont prises en compte lea modifications de raideur dues aux déformations. champ des pressions interstitielles est calculé indépendamment. Il est régi par une équation différentielle du type :
Le
117
[ "'" -'"0] "
"" -
(16 )
00; IJ. désigne le Laplacien, Y"" le poids volumique de l'eau, k la perméabilité du sol et l'inverse du module de compressibilité volumique.
mv
Dans l'équation (16). Bug/at représente le taux d'accroissement de la pression
interstitielle en l'absence de tou~ drainage. DanS les approches mettant en oeuvre des solutions découplées de ce type, ce taux de génération de la pression interstitielle est déterminé a partir de données expérimentales en laboratoire (figure 24). Plusieurs formulations ont été proposées pour l'expression de
"Uq/Bt. SMITS et al [1979] on1:. proposé une loi de la
.
~oa
a·
m
fo~
'"
(17 )
Pat'
am contrainte de consolidation N 1 nombre de cycles /3
paramètre expériJDental dépendant du niveau de la 0::0n1:.1:a1n1:.e de cisai1 lament cyclique, de la densité du sol. .... une expreesion de la forme 1
(18 )
est communément. admise. Au début et à la tin de l'essai, on constate une variation rapide de la pression interstitielle qui, se10n ces auteurs, résulte d'erreurs inhérentes aux essais de laboratoire 1 cette var1ation n'est pas pr1se en compte élans la relation (J.7). En normant la valeur de la press10n interstitielle par la contrainte de consolidat1on am et le nombre de cycles N par la valeur N R du nombre de cycles Il la liquéfaction, 5EED et al [1976J ont proposé la relation suivante =
.
'u
--"
-
a·
m
a
1
ot " ", '"
=s(
", "-" a·
m
où a est une
constan~e
( 19) cr
) .[ sine
Za_l.
, "_2a·m ) 1
expérimentale. L'avantage de cette formulation esl de
ltIiem< rnprésenter au début et a la fin de l'essai la variation de pression
118
interstitielle mesurée au laboratoire, Elle prend en compte les mêmes paramètres que l'équation (17) ; l'influence des facteurs affectant la R,C,C, du matériau est traduite par la valeur de NI_ LeS relations (18) et (19) font intervenir, soit explicitement, soit par le biais de NI (en adoptant le concept du nombre de cycles équivalents), la valeur de la contrainte de Cisaillement cyclique T(t), celle-ci est déterminée par un calCUL de réponse dynaJn.ique préalable, La solution de l'équation (16) peut alors être obtenue par une méthode de différences finies ou d'éléments finis, Après arrét de la sollicitation sismique, aUg/8t.- 0 et l'équation (16) se ramène Il une éqUation de COnsolidation classique.
,. .!...eYClique
0,_
V
(1
••
Etreinte eonsolldation; 160 kN/m 2 Densité relative: 86 %
/
/
V
o"
V o,
V
V
?
o
,
Figure 24
,
NOMBRE
DE CYC LES
Développement de la pression interstitielle dans un essai de liquéfaction
Un exemple de mise en oeuvre d'une solution découplée est donnée sur la figure 25a qui présente la variation, en fonction du temps, de la pression interstitielle, calCulée Il diverses profondeurs, pour le site de Niigata soumis à une sollicitation sismique analogue à celle du séisme de 1964 [SEED et al, 1975], Ces calculs montrent que les évidences de liquéfaction au voisinage de la surface auraient dO se manifester plusieurs minutes après 1e début de la sollicitation (courbe à 1 m de profondeux:), ce qui est en bon accord avec les observations faites sur le site, Par ai11eurs, le même calcul réalisé en admettant une perméabilité beaucoup plus élevée pour le sol, analogue Il celle qu'aux:aient un sable grossier ou des graviers, montx:e que la condition de liquéfaction n'est jamais atteinte sur t.oute
119
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Toute profondeur de 1 III 15 m
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Figure 25
Influence de la perméabilité sur le risque de liquéfaction (a) sable
120
(b) sable grossier
l'épaisseur de la couche (figure 25b). Il est ainsi (XIssible de retrouver par le calcul les conclusions tirées des observations expérimentales (paraqraphe 3) qui avaient mis en évidence la diminution du risque de liquéfaction avec une augmentation de la perméabilité du sol. Une telle conclusion ne peut bien entendu être obtenue il partir d'une analyse en contraintes totales.
une approche plus fondamentale ~u problème de l'évaluation des pressions interstitielles peut etre obtenue il l'aide des ltIO<'3èles de comportement décrits au paraqraphe 5. En se basant sur le modele de MARl'IN et al [1975], FINN et al, [1976] ont r4s01u ce problème pour le cas unidimensionnel. (onde de cisail.l.ement a propagation verticale dans un sol stratifié horizontal.ement). Leur relation contrainte-déformation satisfait aux lois de MASING (chapitre II. paragraphe 5.3.1). adaptées poUr tenir compte du durcissement du matériau dO aux variations de VOl.wne , ces dernières sont évaluées il l'aide de la relation (6). La miss en oeuvre de la méthode nécessite la résolution Simultanés, pas a pas dans le temps, des équations suivantes , équation de propagation de l'onde dans le milieu (chapitre V) équation de diffusion des pressions interstitielles (éq. 16). A ces équations sont associéS la loi contrainte-déformation et le modèle de génération des preSSions interstitielles (éq. 5 a 1 ). L'équation (6) du modèle a été développée pour un cycle complet de chargement, pour le calcul. la variation ds volume il. été répartie par les auteurS. en accord avec les données expérimentales, sur les phases de décharqe du cycle, A la fin de chaque cycle, les contraintes effectives sont réévaluées et les modules de déformation r4ajuntés pour tenir compte de cette variation (cf éq. 19, chapitre II). cette méthode a été appliquée pour éValuer la réponse d'une COuche de sol (70 m de sable) à une sollicitation sismique de 0,065 9 il sa base. Les accélérations de surface sont comparées sur la figure 26 pour les cas avec ou sans qénération de pression interstitielle. un changement net dans la nature des accélérations apparût au bout de 8 il 9 secondes qui correspond il l' instant auquel se produit la liquéfaction a 4,50 m de profondaur (figure 27). Après liquéfaction, les contraintes de cisaillement transmises par cette couche aux couches susjacentes deviennent très faibles.
Si l'étude du risque de liquéfaction d'un site conduit soit il des coefficients de sécurité jugés trop faibles, soit a des pressions interstitielles trop élevées, il est nécessaire d'accroitre la résistance au cisaillement cyclique du sol, L'étude des paramètres influant sur cette r4sistance montre que l'on peut agil: sur la structure du matél:iau. sa densité, la contrainte TOClyenne effective qu 'il supporte, les conditions de drainage ...•
121
ACCROISSEMENT DE U
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10 TEMPS_S_
1:1
Influence des pressions interstitielles sur la réponse
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10 TEMPS _._
Figure 27
à 4.50m de profondeur
122
15
7.1. l'oCCroieaement de la deneité Cane le cas d'un remblai, il est possible de spécifier des degrés de eompactage élevés pour obtenir une résistance au cisaillement cyclique élevée. Dans le cas d'un sol en place, il faut envisager un compactage a partir de la surface. On peut utiliser le compactage a l'explosif, un compactage dynamique (chute d 'une masse en surface), un compactage par vibroflotation ou plue simplement par vibration d'un profilé métallique. ces méthodes de compactage à partir de la surface ne permettent pas en général de réaliser des densités relatives supérieures à 80 % 1 elles sont par ailleurs, a l'exception de l'explosif, limitées aux couches superficiellee (profondeur < 15 environ).
m
7.2. Amélioration du drainage Si le sol est euffisamment perméable, l'augmentation de pression interstitielle peut etre compensée par une dissipation rapide. Par substitution partielle ou totale, 11 est possible de remplacer un sable peu perméable par un sol très perméable. On peut également faciliter le drainage par mise en place de drains de graviers [SEED - BOOKER, 1976] dont l'action est comparable a celle des drains de sable mis en place pour accélér~;, l.J:c;x;Ils"OÙd:atlon des couches argileuses. ce ey·stème, très séduisant tîléOriquement, peut se révéler peu économique par suite des mailles serrées auxquelles on aboutit généralement 1 il présente par ailleurs un risque die colllla.tage dans le temps par suite de l'écoulement de la nappe " phréatique. CP}\~~,
,
-
'~~
?
Notons que la Vibroflo..!='~~i~n avec substitution de graviers influe densité du sol et ses conditiOns de drainage,
a.
la fois sur la
7.3. Amélioration par allgmomta.tion de la contrainte dane le sol R.C.C. étant sensiblement proportionnelle a la contrainte moyenne effective dans le sol, la mise en place d'une surCharge de remblai augmente cette résistance. La contrainte effective peut également être augmentée par rabattement de la nappe, DanS toute la zone rabattue, le problème de liquéfaction est supprimé, et pour la zone sous nappe, la contrainte effective, donc la R.C,C., est augmentée. La
7. 4.
M041f~ation
des caractérist.iqu_ du sol
Il est possible, par adjonction de prol3uits chimiques, de créer des liaiso:>ns entre grains et donc de modifier sa R.C.C. Cette modification peut se faire en place par injectiOn. celle-ci, délicate a réaliser, devra souvent ètre faite avec des silicates. On peut également additionner, après excavation, au sol un faible pourcentage de ciment (de l'ordre de S " en poids sec). Le matériau ainsi obtenu, soigneusement remis en place par compactage, n'eet plus liquéfiable tant que le niveau des SOllicitations cycliques ne rompt pas les liaisons ainsi créées [DUPAS - PECKER, 1979].
123
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126
Chapitre IV MESURE DES CARACTÉRISTIQUES DYNAMIQUES DES SOLS
problème des mesures des caractéristiques (les sols constitue l'un <1es aspects fondamentaux de la Mécanique des sols. en général~ et de la Dynamique des Sols en particulier. Les mode les les plus élaborés, les calculs les plus compliqués ne sont: (l'aucune utilité si les paramètres a entrer dans ces modèles, ou ces calculs, sont incorrects ou mal connus. ACtuellement, les aspects théoriques de la Dynamique des Sols sont souvent privilégiés par rapport aux aspects expérimenLe
taux, ce qui crée une certaine disproportion entre notre faculté a batir des rnodèles sophistiqués et nos possibilités de mesurer les paramètres adaptés à ces moèIèles. Tout comme en Mécanique des Sols classique, des méthodes d'essai au laboratoire sur échantillons intacts et des méthodes d'essai en place ont été développées parallèlement. En aucun cas, ces deux méthodes d'approche ne s'excluent, elles sont souvent fortement complémentaires et l'une ne va pas sans l'autre. LeS mérites et limites de chacune des méthodes sont connus et doivent être BXalIIinés avec rigueur pour Cerner le domaine de validité de chacune d'elles. Dans l'étude du comportement du sol sous chargement cyclique on a distingué le comportement du sol avant rupture de celUi a rupture. TOUS les essais ne permettent pas de solliciter le sol jusqu'a rupture. En l'état actuel des connaissances, seuls certains essais de laboratoire permettent d'iooposer de grandes déformations aux échantillons. Les essais en place, et certains essais de laboratoire. sont limités aux mesures des caractéristiques de déformâbilité. La présentation ci-dessous est essentiellement orientée vers
la mesure des paramètres nécessaires a la définition du modèle viscoélastique linl'l1l1 re équivalent le plus utilisé dans la pratique courante. seul l'essai triaxial cyclique est suffisamment versatile pour permettre la detennination de paramètres plus complexes intervenant dans la définition d'une 101 de comportement.
127
2. ESSAIS !!JI PLACE
2.1. Généralités ACtuellement, tous les essais in situ sont basés sur: la mesur:e d'une vitesse de pr:opagation d'ondes dans le sol [BALLARO-MAC LEAN, 1975J, Dans un milieu élastique, les vitesses de pr:opagation des ondes de volume sont r:eliées aux paramètres de la loi de comportement du milieu, Si G (module de cisaillement) et ),. délilignent les coefficients de Lamé d!-l matér:iau, p sa masse volwnique, on a les :relations ~
(' )
'- +
(2)
2G
ot! Vs et Vp sont les vitesses de propagation des ondes de cisaillement et des ondes de compression, Rappelons que dans les sols Vs varie de 100 rn/s à 900 III/s et que Vp est au moins égale à 1500 rn/s si le sol est sous nappe. De préférence au paramètre de LaIné '-, il est souvent plus utile, pour passer aux
applications pratiques, d'exprimer les valeurs de Vs et Vp en fonction du module de cisaillement G et d'un autre paramètre qui peut etre, soit le coefficient de Pojsson v, soit le module de compressibilité volumétrique K, soit le module confiné H (déformation radiale nulle), LeS relations suivantes S'appliquent alors 1
(3)
, K -
P ( V -
( ')
M- ,
(5)
P
Pour effectuer les mesures, on crée par un moyen mécanique une perturbation en un point intérieur du milieu, cette perturbation donne naissance à des ondes de volume dont on mesure le temps de propagation jusqU'à un autre point du milieu pour lequel la distance a la source est connue. Pratiquement, les énergies mises en jeu dans ces essais sont suffisamment faibles pour que les déformations induites restent petites et, qU'en conséquence, le sol reste dans un domaine quasiment élastique, Les relations (1) à (5), dérivées de la théorie de l'élasticité, sont alors applicables, et les paramètres de défonoation obtenus correspondent aux valeurs à trèS petite déformation (déformation de cisaillement infl'lrir.ur à 10-"'), En théorie, la variation de l'amplitude des ondes entre le
128
point d'émission et le point de réception permet de connaitre l'amortissement de celles-ci. cet amortissement se compose de deux termes l'amortissement matériel du sol, qui est petit cotnpte tenu des faibles déformations induites, et l'amortissement géométrique résultant de la radiation des ondes autour de la source. ce dernier, fonction de la géométrie du milieu (stratigraphie, discontinuités, ... ), et de la distance a la source, est prépondérant et peut théoriquement être calculé. En pratique, du fait des nombreuses hétérogénéités du milieu, la précision d'un tel calcul est médiocre et ne permet pas d'appréhender la valeur de l'amortissement matériel beaucoup plus faible. ACtuellement, aucun type d'essais en place ne permet de mesurer avec précision l'amortissement propre du sol. Ces essais sont donc l~tés a la mesure des modules de déformation.
Impulsion émettrica vers la bas
Arrivéa de ronde P
---.,., , ,
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,-,\ ..'" . ...' 1 ,"",'.
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Arrivée de ('onde 5
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Impulsion émettrice vers le haut /
Figure 1
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j .. "'. \~ 1
..
Polarisation de l'onde de cisaillement par inversion de la direction de sollicitation
Les relations (1) et. (2) montrent l'intérêt qu'il y a à isoler les ondes de cisa1l1ement. La connaiasance de la seule masse volumique du sol permet alors de calculer le module de cisaillement. DanS un t;rain d'ondes, la dét;ermination de l'instant; d'arrivée de l'onde de cisaillement est délicate car cette onde arrive après l'onde de compression. Il est donc nécessaire de développer des méthodes d'essai générant des onde<'l de cisaillement, de préférence aux onCles de compression, pour faciliter leur iClentification. En cela, les essais géophysiques orientés vers la détermination Cles caractéristiques dynamiques des sols se distinguent des prospections géophysiques classiques. Ces dernières sont basées sur les mesures de vitesse de propagation des ondes de compression. La Clist;inction essentielle entre les deux types de mesure provient en grande partie du mode de génération des ondes. La prospection géophysique claSSique nécessite la mise en oeuvre d'une aource d'énergie puissante permettant aux ondes de couvrir une distance appréciable. A cette fin, l'utilisation de l'explosif est très développée. En dynamique des sols, on utilise da.,préférence des moyens mécaniques permettant de mieux contrOler la nature des ondes émises, La faible énergie mise en jeu ne constitue pas une limitation sérieuse car les mesures se font habituellement a l'échelle de la dizaine de mètres. De plus, l'utilisation des enregistreurs a memoire permet éventuellement de sommer les résultats d'iInpulsions successives [BERl'AANO et al, 1982 J. Enfin, certains dispositifs mécaniques permettent d'inverser le sens de la direction de la sollicitation. Cet.te inversion crée une polarisation différente de l'onde de cisaillement dont la détection sur l'appareil enregistreur est grandement facilitée. La polarité de l'onde de compression n'est par contre pas affectée (figure 1). Il est possible de regrouper les essais geophysiques en place en deux catégories
129
les essais réalisés a partir de la surface du sol, tels que les essais de sismique réfraction ou de vibration entretenue de massifs de fondation. Ces essais présentent l'avanlage essentiel d'etre d'une grande facilité de mise en oeuvre et d'un coQt peu élevé. Ils ne répondent cependant qu'iJtlparfaitement au problème posé et ne sont utilises, tout au moins pour les ouvrages importants, qU'en phase de reconnaissance préliminaire. les essais réalisés dans des forages, ou entre forages, tels que les essais down-hole, up-hole ou cross-ho le. ces essais sont délicats a réaliser, d' un COQt plus élevé du fait de la nécessité qe réaliser des forages mais fourniss('nt: des informations plus riches.
2,2, Eseaia réal.1Bés
a. part:ir
de la surface
cette tnéthooe est bien adaptée aux reconnaissances préliminaires de site. La théorie et les mét~es d'exploration sont connues st ont été décrites en détails [RICHARl'-HALL-w:>OoS, 1970]. Pour un système tricouche, constitué de deux couches de SOI surmontant le rocher. le schéma de réfr",ction est donné sur la figure 2. La pente des è1roi tes, obtenues en reportant le temps de P
E ,
~
~
Figure 2
130
Réfraction sismique
L'inconvénient de la méthode réside dans le fait que l'onde émise se propage au voisinage des interfaces de couches. Elle ne permet donC pas d'obtenir une valeur moyenne de la vitesse pour la couche considérée. De plus, la présence d'une couche molle (a vitesse de propagation moins élevée) emprisonnée entre deux couches dures ne peut etre détectée. Il en va de même pour une couche de faible épaisseur présentant un contraste de caractéristiques important avec les couches voisines. une des difficultés de la méthode réside dans la nécessité de donner naissance a des ondes de cisaillement. cela est généralement obtenu en frappant horizontalement, a l'aide d'une masse, un mllssif posé en surface dU sol et chargé verticalement. Avec cette technique, une onde de cisaillement horiil:Ontale (5H), pratiquement pure, se propage perpendiculairement a la source, L'amplitude du déplacement relatif, a une certaine distance de la source, est fonction de cette distance et des dimensions de la source [WOODS, 1979],
2.2.2. V:1brat1on entretenue d'un _ s i f •
a la surface du sol donne naissance a une onde de Rayleigh stationnaire. A l' aide d'un géophone déplaCé a la surface du sol, il est possible de déterminer la longueur d'onde "R correspondant a une fréquence d'excitation f connue. La vitesse de propagation de l'onde de Rayleigh v R s'en déduit , La mise en vibration harmonique d'un massif posé
c' ) cette vitesse est arbitrairement attribuée, dans le cas d'un milieu homogène, 6. une profondeur égale a une demi-longueur d'onde [WOODS, 1978]. En modifiant .la fréquence d'excitation, il est pas§.1ble d'en déduire un profil de vitesses de propagation d'ondes de Rayleigh. Si le coefficient de Poisson est connu, la vitesse de l'onde de cisaillement S'en déduit. Dans le cas contraire, elle peut, avec une précision suffisante, être confondue avec la précédente (voir Chapitre V).
Cette méthod.e n'est actuellement pratiquement plus utilisée. Elle ne permet pas les reconnaissances a grande profondeur, a moins d'employer des vibreurs trèS lourds, Elle est particulièrement bien adaptée aux reconnaissances des couches superficielles,
2.3. Essais réal.isés dans des forages
Pour permettre la réalisation de mesures correctes dans des forages, ceux-ci doivent satisfaire a certaines contraintes, Ils doivent etre tubés, généralement en PVC, et l'espace annulaire entre le tubage et le forage doit être correctement cimenté pour assurer un bon couplage sol-tubage. Le diamètre des forages doit étre suffisant pour permettre la. descente des instrwnents de mesure qui requièrent généralement des diamètres de tubage de l'ordre de 80 mm à 100 mm. Le calCUl de la vitesse de propagation étant basée sur la mesure d'un temps de parcours, il est fondamental de connaitre la distance parcourue exacte et donc de réalieer des mesures d'inclinomêtrie du (ou des) forages. Même les forages de borme qualité peuvent présenter des déviations de l'ordre de 1 'fi.
131
Enfin, il est absolument nécessaire de réaliser au moins un des forages de la prospection géophysique en carottage continu pour disposer d'une coupe géologique détaillée a l'emplacement de la mesure.
2 • 3 • l.. Essai Dawn-BOl.e
mesure de vitesse de propagation d'onde est faite le long d'un forage, L'émission du signal a lieu a la surface du SOl et la réception se fait a l'aide de capteurs placés dans le forage (fig-ure 3).
La
Il est possible, avec des sources d'énergie adaptées (frappe horizontale d'un massif posé en surface, par exemple l, de donner naissance a une forle proportion d'ondes de cisaillement. La figure 4 donne un exemple d'essai down- hole. En portant en fonction de la profondeur les temps d'arrivée des ondes priJnaires et des ondes secondaires, 'On obtient des segments de droite dont les pentes sont égales aux vitesses de propagation. Pour détenniner la vitesse de propagation, on peut également proceder par différence des temps de parcours entre deux capteurs adjacents,
sourçe~
Enreg
Enregiatr eu.
./ ,
Capteur - -
Coulis de
Tubage PVC Paroi du
-'
\capteur...-
fOl'age
Tubaga PVC Coulia de açellement
Figure 3
Essai downhole
Figure 5 Essai cross-hole
Les valeurs obtenues dans un essai down-hole correspondent aux caractéristiques du terrain au voisinage du forage, pour une direction verticale de propagation des ondes. cette direction de propagation correspond à celle couramnent retenue en génie parasismique. Les variations en plan des caractéristiques ne peuvent être obtenues. Théoriquement, avec un espacement suffisamment resserré des récepteurs, il est possible de détecter des couches de plus faibles caractéristiques, même si celles-ci sont incluses entre deux couches plus résistantes. C'est un des avantages majeurs de la méthode.
132
fç ....~f.
Figure 4
Enregistrement
d'un essai downhole
(Doc .... ment CPGF)
133
L'essai est en tout point analogue a l ' essai down-hole a la différence près que l'émission est provoquée en fond de forage et la réception se fait sur des capteurs placés dans le forage, au-dessus du point d'émission, Par rapport a l'essai down-hole, l'exécution est plus délicate car, sauf a uti.liser des dispositifs de frappe spéciaux [BERTRAND et al, 1992], l'émission préférentielle d'Ondes de cisaillement est difficile,
-----------
2 • 31 • 31. ESB&i Czoss-Bole
La mesure de vitesse de propagation de
l'onde se fait entre deux forages parallèles distants de quelques mètres, L '1lIlpulsion est donnée dans le forage d'émission et est reçue dans le forage d' écoute a la même profondeur ( figure 5), Cette IIléthode permet d'obtenir, en fonction de la profondeur, la valeur moyenne en plan des vitesses de propaqation des ondes, En disposant les forages d' écoute suivant plusieurs directions uimUthales (généralement deux perpendiculaires), on peut mesurer l'anisotropie en plan des propriétés phyIiIiques des sols. cœ:.binées a des essa:1.s du type down-hole, ces mêsures permettent ég<ùement d'obtenir l'anisotropie entre les directions horizontale et verticale. cette anisotropie, du fait du mode de constitution des dépots sédimentaires, est généralement plus importante que l'anisotropie en plan, Dans les sites rocheux, fortement tectonisés, l'aniSotropie horizontale peut etre plus ~rtante,
1;
1\.
~i
/
~ Coulis de scellement _
Figure 6
.1
~
~
Capteurs
pvc
Essai cross-hola: masures différentielles entra forages
façon classique, le forage d'écoute est réaliSé et équi.pé a l'avance, Le forage d'émission est réalisé au fur et a mesure des essais, A une profondeUr choisie pour une mesure, le forage est interrompu. L'émission d'ondes est réalisée par frappe sur le train de tiges relié a un carottier, enfoncé dans le sol en fond de forage, Cette méthodologie permet de donner naissance a des ondes de cisaillement (5H) en quantité suffisante pour etre décelées sur le capteur de réception. Une autre ,néthode d'émission d'ondes a été développée en France Il l'aide d'un synt.mne De
134
de frappe sur une sonde plaquée aux parois du forage d'émission [BERTRAND et al, 1982), On de ses avantages majeurs est de permettre de dissocier les opérations de forages ( le forage d'émission est également réalisé al' avance) des opérations de mesure, D'un point de vue technologique, il est possible d'inverser le sens de la frappe, de SOImIEIr les résul.tats de plusieurs chocs successifs, le point d'émission restant fixe, et éventuellement de renouveler une mesure défectueuse, ou douteuse, tant que les forages sont conservés, L'essai cross-hole est très séduisant dU fait de sa silllplicité relative et de la qualité des informations qu'il permet d'obtenir. Il doit être cependant employé avec discernement car les sources d'erre~rs y sont multiples. On citera 1 une mauvaise détection du temps d'arrivée de l'onde de cisaillement si le s1gnal n'est pas très riche en ondes de cisaillement, une mauvaise initialisation du temps zéro si le dispositif de mesure ne comporte pas un capteur au fond du forage d'émission a l'endroit. ou l'onde pénètre dans le terrain. Une méthode courant.e pour s'affranchir de cette dernière cause d'erreur consiste a procéder a des mesures différent.ielles ent.re forages d' écout.e régulièrement espacés, de préférence aux mesures réalisées entre forage d'émission et forage d'écoute (figure 6). On augmente en contrepartie le nOl'llbre de forages nécessaire a la réalisation de l'essai. Cette technique permet également de mieux cerner les problèmes de réfraction d'ondes, Sur des couches plus résistantes, qui constituent une sérieuse cause d'erreur d'interprétation de l'essai rSTOKOE-HOAR, 1978].
Sondage récepteur
Sondage émetteur
D
Trajet direct
A
• B
.ini=~
2
~
Trajet réfrecté
Figure 7 Essai
cro8s~hol.:
réfraction d'ondes
ConsidéronS, a titre d'exemple, la configurat.ion géométrique de la figure 7 ou une couche a vitesse de propagat.ion d'onde plus éleVée est située a faible profondeur sous le point de mesure, Il est possible que l'onde réfractée, suivant le trajet ABCO, parvienne au point de réception avant l'onde directe (trajet AD), L'interprétation des mesures étant faite sur la base d'un trajet direct de l'onde, les caractéristiques obtenues ne SOnt représentatives d'aucun des deux milieux, on montre que la réfraction par la couche inférieure se produit dès que,
x
" >
p,
135
••
','
.,
•
• 1bl
"i"~---<------",C-----------',"~----------~--CC""----~ u v 15 x/H 20 Figure 8
Abaque de réfraction la) Pas d. r6fraC11on
lb) Domaine d. réfraction
z
d
Figure 9
136
Influence d'une variation continue des caractéristiques de sol sur le résultat de "essai Cross-hole
ot! les définitions des différents tennes sont données sur la figure 7. La fl.gure a, établie a partir de la relation (7), permet de connaitre, suivant le dornainp. du plan oCl est situé le point représentatif de la mesure, la nature de l'onde captée la première sur le récepteur. façon plus générale, dans un sol, les propriétés mécaniques et en particulier le module de cisai1lement croissent avec la profondeur. cette variation est p1us importante au voisinage de la surface qu'en profondeur, 11 en résulte que le trajet de 1'onde n'est plus recti1igne. On a établi (figure 9), pour un milieu dont le modu1e de cisaillement croit avec la profondeur suivant la loi zzt3 (t3constante), le rapport existant entre la vitesse réelle a la profondeur H et la vitesse calculée en supposant un trajet rectiligne entre l'émetteur et le récepteur. Pour le cas ( j " 1, l'onde de cisaillement suit un trajet circulaire centré sur l'axe Z ~ O. De
On constate. que pour une configuration c1assique d'essai (espacement de l'ordre de 10 In), l'erreur sur la vitesse est inférieure a 5 \C, et celle sur le modu1e inférieure a 10 \, dès que la profondeur d.e mesure est supérieure a 3 In (p .. 1./3) ou 4,50 m {(j - 1/2), Ces valeurs de (j correspond.ant aux sols courants, on peut conclure qu'à moins de réduire l'espacement entre forages, les mesur~s de caractéristiques dynamiques au moyen d'essais cross-hole eont entachées d'erreurs significatives au voisinage de la surface. A ces erreurs s'ajoutent celles relatives a la nature de l'onde émise car. au voisinage de la surface, les ondes de surface deviennent prépondérantes, Pour illustrer l'influence sur les mesures de ces problèmes de réfraction, la figure 10 donne les résultats obtenus par des essais cross-hole réalisés au marne emplacement et a d.es espacements entre forages de 3 m et la m, Les vitesses 0 'onOes de Cisaillement varient dans le rapport 1 a 2,5, Dans ce cas, 1'écart s'explique par la variation rapide des caractéristiques en tete d.e couche et par 1aprésence de bancs de grès durs, de faibles épaisseurs, dans les marnss. Il, faut noter que les essais de laboratoire sur échantillons intacts ont confirmé les valeurs obtenues a partir des mesures entre les forages les plus rapprochés.
,
, ,-"".''---f-_+_-f_--!'t'''--____v. ml_
,
IMaNS
, "-
Fotages distants de
,
ALLUVIONS
_ 'm
ASLO_GRAVELEUSES
5
MARNES
_ •• 10m
" ,
15
Figure 10
15
Essai cross-hole
influence de la réfraction des ondes
137
3. ESSAIS DE LABORA'l'OIRE
3.1.
Généra~1téB
certains aspects du comportement dynamique des so~s sont plus faci~es à étudier dans un ~aboratoi.re dans des conditions d'essais bien contrôlés. par ailleurs, une compréhension aussi complète que possible du comportement des sols sous chargement cyc~ique nécessite la réalisation d'un granél nombre d' etudes paramétriques. ces études ne sont actuel~ement réalisables qU'au ~aboratoire. Initialement, les appareils de ~aboratoire ont été développés élans le but de simuler de la façon la p~us prOChe possible le chenun de contrainte suivi, en place, par un élément de sol. Il apparait que cette simu~ation est extrémement délicate, sinon impossible, et que mieux vaut réaliser é1es essais de laboratoire dans des conditions bien controlées (contrO~e du vo~wne de l'échantillon, unifonnité du champ de contraintes appliquées) que de vouloir reproèlu1 re le chemin de contraintes exact. Quel que soit ~e type d'essai réa~isé, ~e mode opératoire est pratiquement toujours :identique. L'échantillon intact est consoliélé sous un état de contraintes (isotrope ou anisotrope) connu. Au sta.t:te de ~ 'essai, cet état de contraintes n'est pas nécessairement identique a celui supporté par ~'échantillon en place, Pax contre, pour l'interprétation de ~'essai et la transposition aux va~eurs en place, il est nécessaire de situer cet état é1e contraintes par rapport aux états de contraintes caxactéristiques du matériau (contraintes en place, contraintes de préconlilo~idation, ".-). Après achèVement de la consolidation, les circuits de drainage sont clos et la so~licitation cyc~ique est appliquée à drainage fermé, 51 ~'échantillon est saturé son vo~ume reste Constant durant toute la sol~icita tion, pour ~es échantillons non saturés, le volwne varie au cours de l'essai, et sa mesure est pratiquement impossib~e, Le mode de réalisation é1e ~'essai (consolidation puis application de la so~~icitation à drainage fermé) est proche des conditions réelles de chargement du sol en place, En effet, à l'éche~~e des fréquences de sollicitation (0,5 Hz à 5 Hz) la plupart des sols peuvent etre considérés comme sollicités en condition non drainée. façon générale, on peut regrouper les essais de laboratoire en trois catégories [SEED-IDIUS5, 1970] : ~es essais de vibration libre, les essais de résonance, ~es essais permettant la mesure directe des courbes d 'hystérésis. Ces derniers essais sont réa~isés a des fréquences nettement plus faib~es (de ~. ordre du Hertz) que les essais de résonance, ce sont ~es seuls qui permettent de solliciter le sol jusqu'à rupture. De
Les mesures directes de vitesse de propagation d'onde sur éprouvettes sont peu utilisées dans ~es Sols. TOUS ~es appareils de laboratoire existant actuellement ne pennettent d'appliquer que des so~licitations cyc~iques unidirectionnelles. L'é~aboration d'appareils permettant l'app~ication de sollicitations plus complexes est encore au stade du développement [GRIFFIN-HOUSTON, ~979].
3.2. EsBaiB de v1bration I1bre principe de l'essai consiste a imprimer a l'échantillon une déformation initiale et a le laisser revenir, en vibration llbre, tI. sa position d'équ1~ibre.
Le
138
Suivant le type de déformation initiale llnposâe, la vihration peut être soit longitudinale, soit de cisaillemnt, soit de torsion, Les mesures de la fréquence propre de vihration, et de l'amortissement de cette vibration. permettent de calculer un module de àéformation et un décrément logarithmique lié a l'amortissement matériel du sol, Cette méthode permet théoriquement les mesures des caractéristiques pour une plage étendue de déformations allant de 10- 5 a 10- Z (SEED-IDRISS, 1970], Dans la pratique, elle est peu employée,
3.3. Eeeais de résonance Le principe de l' eseai consiste a mettre en vibration forcée une éprouvette de sol
et a ajuster la fréquence d'excitation pour obtenir la résonance de l'éprouvette. La vibration appliquée peut étre soit longitudinale, soit transversale, soit de torsion. LeS vibrations transversales sont généralement appliquées a l'aide de tables vibranteS. Les vibrations longitudinales et de torsion a l'aide d' appareils dits àe colonne résonnante, On s'attachera plus particulièrement a la description de cet essai qui a été étudié en détails pa%" DRNEVICH (1977) et dont une schématisation simplifiée est donnée sur la figure Il.
Il BOBINE EXCITATRIC
,-
A CCELEROMETRE
D"
-V
ECHANTILLO
•
r Figure 11
V:;; ~ W.
é
EL LU LE THIAXIALE
~
Schéma de l'appareil de colonne résonnente
La sollicitation est appliquée par l'intermédiaire de bobinages électriques placés dans un champ d'ailniults permanents. La fréquence du courant électrique
alternatif est ajustée de façon a obtenir la résonance (1er mode) de l'échanttlIon àe sol. L'arrêt brutal de la sollicitation permet un retour a l'équilibre, en vihrations libres, et donc une mesure de l'amortissement àu sol, La connaissance de la fréquence de résonance de l'éprouvette et àu mode asSO~é (en général le premier) permet de calculer le module àe déformation du so14 Prenons a tit.re d'exemple une vibration en torsion de l'éprouvette, L'équation àifférentielle régissant son mouvement est 1
139
. .
,,, -v, ,,,
(. )
• OK
at
01"19 est l'angle de rotation d'une section de l'éprouvette située a la distance x de la base et Vs la vitesse de propagation de l'onde de ciaaillement. La solution générale de l'équation (8) s'écrit,
.-
(
Boit
= V
c, co.
.-
+ c,
•
sin
= V
) (
•
c, co.
(
(9a)
Dl.COS
~
.in
(9b)
) F(wt)
V.
00. Ci et Di (i - 1.,2) sont des constantes d'intégration dépendant des conditions
aux limites et des conditions initiales, Avec la configuration de la figure 11 (déplacement nul a la base et cisaillement nul en tete), les conditions aux limites s'écrivent.
( l.Oa)
T{x-I) -
où G est le
~ule
,.
-(x"'!) OK
G
0
(lOb)
de cisaillement, Ip le moment d'inertie géométrique d'une
section autour de 1'axe vertical de 1'éprouvette et T le couple appliqué. Les
fréquences propres de vibration sont alors données par (éq. 9 et 10) :
co.
w.
(n)
- 0
V.
Boit
w n
~
2 rr f
n.
~
(
2n
1
rr V. ) 2 ~
(12 )
premier mode de vibration correspond à une résurLance en quart d'onde de fréquence fi_ Le module de cisaillement G vaut
Le
G -
140
P
v
, •-
p (
4
(13 )
déformation y (r,x) de l'éprouvette, associée à ce premier mode de vibration, s'obtient par :
La
y-r
..
,. -
= 2R
COS(
) f"{
"".' "
(14 ) )
oil 90 est l'amplitude de la rotation en tete de l'éprouvette, Cette déformation est fonction de la distance a l'axe dé l'éprouvette et de la position de la section considérée. cette non-homogénéité de la déformation dans l'éprouvette rend délicate l'interprétation de l'essai. Dans la réalité, la téte de 1 'éprouvette n'est pas libre au sens de la oondition (lOb). LeS bobines servant a l'excitation, ainsi que des appareils de roesure, lui sont liés. L'équation (lOb) est alors remplacée par la oondition de continuité des efforts et des déplacements a l'interface éprouvette-masse additionnelle. Désignant par Jo le moment d'inertie de la masse m et tenant compte des oondit.ions de continuité, l'équation fondamentale de la dynamique appliquée à cette masse s'écrit 1
- J
(15 )
o
Soit en substituant l'équation (9b) et en tenant compte de la condition (lOa)
...-
•• , y
•
1
(16 )
y.
oil J p désigne le moment d'inertie de l'éprouvette autour de l'axe vertical. L'équation (16) donne les fréquences propres de vibration. En choisissant- une valeur faible pour JplJ o , il est possible d'obtenir une déformation pratiquement inrlf'lpnndante de la section oonsidérée. La déformation ne dépend plus que de la distance a l'axe de rotation, Désignant par p ~ w.i/Vs la première racine de l'équation (16), et par 90 la rotation en tête de l'éprouvette, la défonnat.ion est donnée par 1
y - r
p
"
sin p
p y
cos(
) F(
•
•,
)
(17 )
Si Jo/J p est grand, p est petit et
141
Jo
•
•
lIo(t)
110 (t)
,
~
Jp
Jp
,
Jo/Jp=1l
Figure 12
Essai
de
Jo/Jp::; 100
,
colonne résonnante :
1 er mode de déformation de "échantillon
y-r
.,•
p F( -
v.
•
t
)
(lB)
On retient alors généralement pour valeur de y la valeur moyenne sur une section, ce qu~ revient. ~ choisir r - d/3 oü d est le diamètre de l'éprouvette. On a représenté, à titre d'exemple (figure 12). la rotation angul.a1re associée au premier ~e de vibration pour Jo/Jp _ 0 correspondant il une vibration en quart d'onde, et pour Jo/Jp - 100 correspondant: il un appareil de type commercial. DeS appareils de colonne résonnante avec d'autres conditions aux limites, telles que raideur finie a l.a base de l'échantillon, ont été développés [I«lODS. 19781. Dans l.a pratique celui décrit ci-dessus est: le plus utilisé [DRNEVICH, 1977]. L'easai de colonne résonnante présente la même souplesae d'utilisation qu'un essai triaxial 1 contrOle du drainage, mesure de la pression interstitielle, possibilité d'appliquer une large ga:mne de contraintes statiques. Il permet de mesurer les caractéristiques des sols pour des amplitudes de défonnation comprises entre 10-e et 5.10- 4 environ pour les essais en torsion, et pou~ des amplitudes plus faibles en compression. Il existe des appareils expérimentaux, pour lesquels les éprouvettes sont des cylindres creux, qui permettent d'atteindre des déformations plus importantes de l'ordre de 10- 2 [ANDERSON, 1974J. Ces appareils présentent en outre l'avantage de créer dans l'éprouvette un champ de déformation uniforme (au prix d'une complication extréme de mise en place des échantillons 1 ), pour les sollicitations d'amplitude inférieure a 10- 4 • les sols restent dans un domaine élastique et l'essai est alo~s non destructif, Il est ainsi possible de réaliser SUI; la meme éprouvette plusieurs essais en chan'1eant les conditions aJl1biantes (contraintes. température. ",), C'est un des avantages
142
de l'essai de colonne résonnante qui permet, en outre, d'obtenir le module maximal qui peut être, élans certaines conditions, directement compa.ré a celui éléèluit éles mesures géophysiques en place. pour la Oétermination Oe ce module maximal, seule la connaissance de la fréquence de vibration et Oe la configuration géométrique de l'appareiLlage est requise. Aucune mesure Oe Oéformation n'est théoriquement nécessaire, bien que celle-ci soit effectuée. La précision éle la mesure est donc accrue par rapport a un essai où le module est Obtflnu par mesure de la force appliquée et de la déformation résultante. Un exemple de résultats d'essais Oe ,colonne résonnante est donné sur la figure 13 sous forme de variation du moèIule oe cisaillement et Ou pourcentage d'amortissement critique avec la déformation [PEQŒR-DUPAS. 1981]. Pour cet essai, réalisé sur un échantillon de vase, les caractéristiques ont pu etre mesurées pour des valeurs de la déformation éle cisaillement comprises entre 2.10-8 et 3.10-~. Pour des déformations inférieures a 10- 4 le comportement du sol mste élastique. Pour conclure, on peut enfin noter que l'essai de colonne résonnante est fiable et reproductible. SKOGLUND et al (1976) ont montré la bonne concordance des résultats obtenus dans Elix laboratoires différents, disposant de matériels distincts, lors d'essais réaliséS sur 1e même matér:iau et dans les mêmes conditions expérimentales.
~•
rtll\-
• • 4
J,.-,
,,~
,.-4
di.tortion II'
Figure 13
,~
di.tortion 1:1'
Résultat d'un essai de colonne résonnante
3.4. Essais de
vibrat~on
forcée
Les essais éle vibration forcée furent principalement développés pour reproduire, au laboratoire de la façon la plus fidèle possible, les conditions de contraintes subies en place par un é1ément de sol. DanS la pratique, aucun essai ne permet cette simulation exacte. Les types d'essai sont au nombre de quatre, essai triaxial cyclique, essai de cisaillement simple, essai de cisaillement en
143
torsion, essai de table vibrante. Dans ces essais, un effort (ou une dé.Lormation) cyclique connu est appliqué à l'échantillon de sol et la déformation (ou l'effort) résultant est mesurée. La boucle d'hystérésis du matériau est ainsi entièrement connue et il est possible d'en déduire les paramètres utiles à la définition de la loi de comportement adoptée : par exemple, le module de cisaillement sécant et le pourcentage d'amortissement critique pour le modt'!le viscoélastique linéaire.
AMPLITUDE
",-
.
DE LA DEFORMATION DE CISAILLEMENT
"-
Colonne résonnante
"
-4
"
-J
10-2
- Triaxia 1 cyclique
Cisaillement simple
Cisaillement en torsion ( échantillons creux)
Table vibrante
Vibration d. machines
Mouvements sismiques importants
Explosions nucléaires
Figure 14 Domaines d'application des essais de laboratoire
D'une façon générale, les essai.s de vibration forcée permettent la mesure des caractéristiques dans une plage de déformation allant de 5.10- 5 à 10- z environ. rl n'est pas possible d'appréhender des valeurs de déformation plus faibles qui correspondent a Cles déplacements inférieurs à la dizaine de microns pour les échantillons classiques de laboratoire. seuls des dispositifs spéciaux comme l'essai de vibration en torsion sur échantillons cylindriques creux permettent des mesures à plus petite déformation. LeS essais de viliration forcée sont donc complémentaires des essais de colonne résonnante en permettant la mesure des caractéristiques pour des valeurs de déformation plus élevées. La figure 14 (WOODS, 1978], résume les domaines d'application de chaque type d'essai.
L'essai triaxial cyclique a été pour la première fois utilisé par SEED et LEE (1966: et est. actuellement l'appareil de laboratoire le plus développé, en
144
particulier pour l'évaluation des caractéristiques de résistance des sols sous chargement cyc:aque (chapitre III), Dans sa Conception de base, l'appareil est peu différent du triaxial statique 1 certaines adaptations sont cependant nécessaires pour accroltre la précision des mesur~s, en particulier a faible déformation, On peut citer à titre d'exemple, - une plus grande rigWité des colonnes supports de la cellule - la nécessité impérieuse de disposer d'un capteur de force à l'intérieur de la cellule pour s'affranchir des frottements du piston a l'entrée dans la cellule, ,., ces adaptations posent souvent des problèmes technologiques difficiles a résoudre mais, en compensation l'appareil triaxial cyclique possède toute la versatilité et la plupart des avantages que l'on est en droit d'attendre d'un appareil de laboratoire 1 bonne définition des contra:intes, possibilité de saturation des éprouvettes, possibilité de consolidation isotrope ou anisotrope, mesure des pressions interstitielles, Pour ce type d'essai, l'éct\antillon est habituellement consolidé isotropiquement. Il est ensuite soumis, a drainage fermé, a un accroissement de la contrainte axiale d'une quantité ad2 et a une diminution simultanée et égale de la pression de cellule. La contrainte normaJ.e sur le plan a 45 0 dans l'échantillon est constante et la contrainte de cisaillement varie entre + <1('1!2 et - <1d2 (figure 15), L'état de contrainte sur ce plan est similaire à celui développé en place sur une facette horizontale. L'asservissement de la pression de cellule étant une opération délicate, l'essai est souvent réalisé en maintenant cette pression constante. Si l'éct\antillon est saturé, et si l'essai est réalisé à drainage fermé (volume constant), cette technique conduit a des résultats semblables a ceux obtenus par asservissement de la pression de cellule [SEED - LEE, 1966]. Les essais triaxiaux sont réalisés en asservissant la sollicitation cyclique sur une grandeur ct\oisie (force, déformation, contrainte), L'essai est alors dit à force controlée, aéformation controlée ou contrainte controlée, La solli01tation est généralement imposée par l' interméaia..1re de presses hyarauliques, Des systèmes pneumatiques ou hydra-pneumatiques sont parfoiS utilisés.
CONSOLIOATION
SOLLICITATION
CYCLIQUE
T
---------Figure 15
Principe da l'essai triaxial cyclique
145
Pour les mesures des caractéristiques de déformation, les essais sont conduits.!t ~déformation contrôlée. Le module d'Young est obtenu comme le rapport de la contrainte axiale a la déformation
G -
y
~
E
---2 (l+v)
(19 )
(1+v)
(20)
Dans 1a pratique, l'échanti11on est saturé et le coefficient de Poisson peut étre pris égal a 0,5. Le pourcentage d'amortissement critique est obtenu à partir du déphasage $ entre la contrainte et la déformation, Il vaut 1
l'lin
•
(21)
2
Un résultat typique d'un essai triaxial cyclique sur une vase est donné (figure 16) sous la forme de variation du module sécant G et dU pourcentage d' amortissement critique avec la déformation [PECKER - DUPAS, 1981J. On a également représenté, pour le même essai, une boucle d'hystérésis correspondant a une défonnation maximale de 7.l0-~.
, 1:: (MPal
,;,:
---- "r I~
~ ~,
-
. ,,4
disto'tion
Figure 16
146
Résultat d'un essai triaxial cyclique
L'essai triaxial cyclique est également utilisé pour évaluer la résistance au cisaillement cyclique des sables. Dans ce cas, l'essai est réalisé a force, ou de préférence, a contrainte controlée, L'essai est poursuivi jusqu'a rupture de l'échantillon par liquéfaction 1 pendant l'essai la contrainte, la déformation et la pression interstitielle sont enregistrées en continu. Un exemple de résultat d'un essai de liquéfaction a été présenté au chapitre I I I (figure e). Dans la pratique courante l'essai triaxial cyclique est l'essai de loin le plus employé, Cormne tous les essais de laboratoire, il présente des imperfections dont les principales sont 1 La rotation de 90° des contraintes principales au cours de l'essai = la pression de cellule devient successivement contrainte prinCipale mineure puis contrainte principale majeure,
l'apparition de phénomènes de concentration de contraintes au voisinage des tete et base de l'échantillon pour les efforts cycliques ilnportants. ces concentrations de COntraintes donnent naissance a des surpressions interstitielles qui ne sont pas entièrement représentatives du comportement du sol [PECKER -DUPAS, 1981], la différence de comportement de l'éprouvette, aux déformations éleVées, en phase de compression et en phase d'extension (apparition d'une striction de l'éprouvette) donnent naissance a. des boucles d'hystérésis non symétriques. ce phénomène de striction est fortement atténué sil' essai est réalisé en contrainte controlée et non en force contrOlée. Noton.s enfin,
pour conclure, que l'essai triaxial cyclique est fiable et 1 les mesures de résistance au cisaillement cyclique réalisées, sur le même matériau et dans les mêmeS conditions expérimentales, dans huit laboratoires différents disposant de matériels distincts ont donné des résultats semblables [SILVER et al, 1976]. rep~uctible
cet essai est longtemps apparu comme l'essai reproduisant le plus fidèlement les conditions de sollicitation d'un élément de sol en place, soumis a la propagation verticale d'une onde de cisaillement. LeS premiers essais de ce type, sous chargement cyclique, ont été rapportés par PEACOCK - SEED (1968) et SILVER - SI!:ED (1971), :11 existe principalement deux configurations d'appareillage. Celui de cambridge est constitué par une boite cubique a parois rigides articulées (figure 17a) et celui du Norwegian Geotechnical Institute (NClI) par une membrane cylindrique en caoutchouc renforcée par des anneaux circulaires rigiCles (figure 17b). Indépendamment des problèmes de préparation et CIe mise en place de l'échantillon de sol, liés a la forme de l'éprouvette (boi.te de Cambridge), les conditions aux limites de l'échantillon sont complexes et rendent l'interprétation de l'essai délicate. En particulier, l'absence de contrainte de cisaillement complémentaire sur les faces verticales de l'échantillon impose, pour satisfaire a la condition CI 'équilibre général, que les résultantes des efforts normaux sur les faces supérieure et inférieure forment un couple contrebalançant celui créé par les efforts de cisaillement sur les mêmes faces [HVORSr.ev - KAUf'MANN, 1952]. En conséquence, la répartition des contraintes normales et des contraintes de
147
cisaillement. n'est pas uniforme. Aux déformations élevées, le glissement dOl la tete de l'échantillon devient inévitable. L'influence de ce glissement a ete étudié par PREVQST - ElOEG (1976) qui ont montré que, plus celui-ci est important, moins la répartition des contraintes (normale et de cisaillel1lflnt) est uniforme. cette hétérogénéité du champ des contraintes dans l'échantillon ne semble cependant pas avoir de conséquences notables sur les résultats obtenus, comme le montrent !'les essais comparatifs réalisés a. la table vibrante de grandes dimensions pour laquelle les effets de bord sont négligeables [FINN et al, 1971].
COUPES
Je' _
E:
Paroi rigide _ Membrane renforcBe
, _ _ _ _ _ _ _--, VUES
EN
f.1
Figure 17
PLAN
Articulati~
fbl Appareil
de cisaillement simple
(a) Cambridge
(b) Norvegian Geotechnical Instituts
L'utilisation de l'appareil de cisaillement simple reste donc justifié. Il présente cependant une moins grande versatilité que l'appareil triaxial (controle du volume dificile, impossibilité de modifier la contrainte latérale, etc, , . ), La plus grande complexité de l'appareillage limite son utilisation a. des fins de recherches.:Il peut être utJ.J.isé soit p?ur la mesure des caractéristiques de déformation (fllexfule -Cie cIsaiUeme-nt), soit pour la dét.ermination de la résistance au cisaillement CYCliquel. Dans ce dernier cas il présente, par rapport a. l'essai triaxial cyclique, l'avantage de simuler la '-'ondition de déformation plane.
3.4.3. Essai de ci.sa.111ellE!nt en torsion
Pour obtenir des champs de contraintes plus uniformes dans l'échantillon et pour permettre le contrOle de la contrainte latérale de confinement, ElARDIN - DRNEVICH
148
(1972) ont proposé de réaliser des essais en torsion sur cylindre creux (figure 18). De toute évidence, un tel appareillage ne peut être utilieé pour des échantillons intacts de sol pulvérulent et pose des difficultés de mise en place importantes pour les sols cohérente. Il n'est donc pas utilisé dans la pratique courante. En permettant de réaliser sur le même échantillon des essais de colonne résonnante et des essais de vibration forcée, ce type d'appareillage Présente l'avantage d'autoriser la mesure des carac,~ér.!~ti.9....u~lLd~~gues_~ur tO:ute _la plage des déformat-t:ons-"Intéressantes -;-îI-peut être également employé pour la mesure de la résistance au cisaillement -cyclique.
Uv
Contraint de confineme
CTh
Contrainta ilxiale
Œr
Contrainte de cisaillemant
-- - - -
---(--(
I-+-CTh
- - - - - -;)L--" CTh Etat de contrainte. en A
Figure 18
Essai de cisaillement cyclique en torsion
a. --------------
3. 4.4. ESsai
la tabl.e vibr.mte
ces essais ont été développés pour S'affranchir des difficultés associées aux essais de cisail.lement simple sur échantillons de faibles dimensions, En utilisant des tables de grandes dimensions, les effets de concentration de contraintes et les non-uniformités locales du champ de contraintes sont négl igeables, si les mesures sont effectuées loin des frontières, Bien que les tables vibrantes aient surtout été utiliSées pour étudier les phénomènes de liquéfaction, elles peuvent également servir a la détermination du module de cisaillement des sols. Pour des raisons évidentes, ces essais ne sont pas utilisés dans la pratique courante,
149
L'examen préCédent dea méthodea d' esaai dont on diapose pour mesurer, tant au laboratoire qu'en place, les caractéristiques de déformation des sols montre que ces deux types de meaure, loin de s'exclure, sont complémentaires. La combinaison des deux mesures pennat de connaitre le module de cisaillement et l'aJfIQrtissement matériel du sol sur toute la plage des déformations utiles. Pour S'assurer de la qualité des meaures, il eat même p::Isaible d'obtenir, pour le module de cisaillement maximal, des valeurs correapondant aux mêmeS déformations, La comparaison entre mesure en place et meaure au laooratoire n'est cependant paa directe. On a vu en effet (chapitre II) que le module de cisaillement maxilDal dépend de l'indice des vides du sol, de l' histoire dea contraintea qu'il a subi, et de l'état actuel (le ces contraintes. Pour que la comparaison soit valable il faut donc, au laboratoire, disposer d'échantillons intacts de très bonne qualité ayant préservés la structure du matériau (qui est fonction de l'indice des vides et de l'histoire des contraintes) et connaitre les contraintes régnant dans le sol. La méconnaissance de l'état de contraintes régnant (lana le sol, en particuliel: des contraintea hOl:lzontales, rend vaine toute tentative de comparaison. Actuellement ces contraintea sont génél:alement estimées sur la base d'un coefficient de poussée des terres au repos, évalué (l'après le rapport de surconsolidation des sols, A cet égaro les méthodes d'investigation récentes, comme le pressiomètre autoforeur [BAGUELIN et al, 1978] (loivent permettre de mieux cerner ces valeurs. Les comparaisons nombreuses, publiées dans la littérature, entre valeurs du mo
avec les notations suivantes
150
1
0'
0,' [
"
Pa
ro
(27.)
K
, , ,• ,."
•
~
•
000
v
v
•
•
0
.'
,
O.' U'm MPa
.•' •
/
•
rf.•
0
" Figura 19
'y V
/
"
"
"
~, kN/m3
laboratoire ou. échantillon intact: Détermination du module do çisaill~ment maximal Essai de
" " ••
.,. "
Figure 20
Comparaison entre essai cross-hole et mesures
de
laboratoire
151
p.
pression atmosphé-.:ique rapport de surconsolidation du Bol déduit d'essais oedomé-
"
OCR
.'•
triques contrainte moyenne effective (égale dans le caa présent
•
a la contrainte verticale effective, Ka
•
K(Ya)
~
1)
coefficient fonction d.u poids volumique apparent sec Yd
[Jn exemple de variation de "max avec la contrainte de consolidation est donnée sur la figure 1911. pour YèI "'19.5 kN/m 3 et la variation de K(Yd) pour tous 1es essais réalisés est (1onnée sur la figure 19b. La variation du module de cisai.llement avec la profondeur. calculé al' aide de l' équation ( 22 ). eat compa:rée (f1qure 20) avec celle dédu1:te d'essais géophysiques du type cross-hole. On constate que l'accord
entre les deux types de mesure est très satisfaisant.
Type d'essai
Essais en place
caractéristiques mesurées
Module de cisaille~nt
Coefficient de Pois.on
Domaine de déformation
Domai.ne élastique
Module de déformation Amortissement rnatérie~ cisaillement Résistance cyclique Paramètres d. la loi. de comportement
""
Domaine élastique et plastique en combinant différents d'essais
,,,,,.
,.
Représentativité de mesure l'échelle du masR'if
Bonne pour l'essai CroSS-Hale
Possibilité d'extension des résultats d'autres états d. contraintes
Non
•
•
Causes d'erreur possibles
Tableau l
Essais de laboratoire
Réfractions parasites Identification délicate du temps d'arrivée de l'onde .s
ponot ion de la representa.tivité de l'échanti.l10n
Oui
Remaniement de l'échantillon
Comparaison entre easaia en place et essais de laboratoire
En conclusion, même Si parfois les comparaisons entre mesures au lalxa-a.tolre et mesures en place ne sont pas encourageantes, il faut se garder de privilégier un ty~ de mesure par rapport à l'autre. L'essai de laboratoire ne conduira à des résultats corrects que si l'échantillon prélevé est de bonne quall.té et
152
représentatif du sol en place. L'essai en place est plus représentatif de ce qui se passe a l'échelle du massif mais ne permet d'appréhender que les caractéristiques élastiques du matér~au. par ailleurs, ses résultats ne peuvent etre étendus a des états de contraintes différents de ceux régnant dans le sol au moment de la mesure, c'est-a-dire le Plus souvent à des états différents de ceux régnant avant construction des ouvrages. Enfin, l'essai en place n'est pas non pllJS exempt de calJses d'erreur qui sont parfois difficiles à déceler, On a résumé (tableau 1) les avantages et limites de chaque type de mesure. Seule la conjonction des deux types de mesures permet de s'entourer des garanties nécessaires quant a la détermination des caractéristiques des sqls sous chargement CYClique.
153
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155
Chapitre V RÉPONSE SISMIQUE D'UNE COUCHE DE SOL
L'évaluation de la réponse d'une couche de sol a une sollicitation sismique constitue l'un des problèmes fondamentaux du génie parasism1que. Il s'agit de déterminer les caractéristiques du mouvement sismique au voisinage de 1a Burface du sol. cette évaluation est indispensable poUr tous 1e$ problèmes ayant: trait au cocnportement du sol de fondation 1 tassements, rupture par liquéfaction ... Elle constitue également, en général, l.a première étape indispensable a la résolution des problèmes d'interaction Bol-structure. cette étape est pluS ou moins apparente suivant la méthode de solution adoptée (solution complète, SQUgstructures, iI1lpédances ... Cf. chapitt:e VII) 1 elle peut etre totalement inutile pour les fondations superficielles traitées par la méthode des impédances, dans la mesure oa la 1iI011icitatl.on sismique est définie directement à la surface du sol. DanS ce dernier cas, la sollicitation se doit d'etre compatible avec les caractéristiques des sols 1iI0us-jacents. Mathématiquement le problème a résoudre est celui de la propagation d' ondes ~ims un milieu continu. Il devient rapidement d'une grande complexité sll'on désire tenir compte de la source, des hétérogénéités du sol, de son comportement non linéaire ... Aussi, après un bref rappel sur les propagations d'ondes dans les milieux élastiques, homogènes, isotropes, on se limitera essentiellement au cas très utile dans la pratique de propagation d'ondes planes (ondes de cisaillement sa et ondes de surface) dans un profil de sol stratifié hori-zontalement. PoUT un trai-tement complet des propagations d'ondes en mili-eu élastique, on pourra se reporter a EWING et al (1957).
157
2. PROPAGATIOliI D'OfIDES DANS UN MILIEU ELASTIQUE. ISOTROPE. RAPPELS
2.1.. Equation de propagation Désignant par ale tenseur des contrair,tes, p la masse volurrlque du 1I\11ieu et X le vecteur déplacement de composantes (u, v, w). l'équation indéfinie de l'équiljhre S'écrit ,
,•
~
diva
..
p
(1)
,t'
Dans le cas d'un matériau isotrope, la 101 de comportement ne fait intervenir que deux paramètres, En choisissant les coefficients de Lamé. "et G, cette loi a pour expression ,
a
..
"(trace~)
~ ~
2 G e
(2)
Portant (2) dans (1 l. l'équation aux dérivées partielles ayant pour inconnue le déplacement X s'écrit 1
•
,~
(" +
G) grad (div ~)
+Gl!.~-P
---0
,t
•
(3)
oû l!. désigne le LaPlacien, LeI. solution générale de cette équation peut être obtenue (théorème de poisson) en
décomposant le déplacement
X en
la somme
1
d'un mouvement irrotationnel X.. dérivant d'un potentiel scalaire '"
(')
d'un mouvement rotationnel
Xz" avec
158
div n
Xz
dérivant d'un potentiel vecteur
rot n
'"
0
(' )
n
Posant
-
v
p
+
'6 )
2 G
P
(7)
l'équation du mouvement peut alors être dêcoup,lée en deux équations aux dérivées partielles satisfaites par ~ et n
"
. .-
1
V
, , , ,
0
(0)
,t
P
,
"
n
1
v
,
' n
s
OC
,
•
,
0
')
2.2, 0I'Ide 1DCIIlOClu:'cIItique plane
Pour une onde monochromatique stationnaire, de pulsation w, générale des équations (S) et (9) est donné~ par 1
[ Vip. CVp t -
4>-Aexp
n
avec
-
~
• x x
i.
s exp [ • x v CVs t - x s
" •"
•
1
et
'.B
• 0
une solution
- '..JI - ,~~) J
P.O)
- '..JI -
(U)
Rp;p;) ]
i
,
•
-1
Dans le cas 00 elles sont toutes réelles, les COIllPOsantes du vecteur 1 représentent les cosinus directeurs de la direction de propagation des ondes, A un instant donné ta, 4> est constant sur tout plan normal a !' d'équation Vpt o - ix'x - Ry.Y - R~.p; - constante, et varie sinuaoidalement le long de la direction !. En tout point de l'espace, 4> est périodique, de période 2ff/W, ces ondes sont des ondes de volume, longitudinales ou transversales, dont les vitesses de propagation sont respectivement Vp et vs' Les ondes longitudinales, ou ondes P, sont des ondes de dl.latation alors que les ondes transversales, ou
159
ondes s, sont des ondes de cisaillement correspondant à un mouvement sans variation de volume puisque div 21;2 - div rot f! - o. ces ondes de volume sont les seules à exister dans un milieu infini. Les solutions (10) et (11) restent valables si l'une des trois composantes de! est imaginaire. L'interprétation physique de ! est alors différente. SUppoSons par exemple Rx et Ry réels et Rz imaginaire pur 1 les solutions représentent alors des ondes se propageant dans le plan (x,y) dont l'amplitude decroit (ou croit suivant le signe de tz) exp:mentiellement suivant Oz. Ces ondes sont appelées ondes de surface généralisées; les ondes de Love généralisées correspondent au cas où. seules des déformations de cisaillement se produisent; les ondE!s de RaYleigh généralisées correspondent au cas où. les défOrmations de cisaillement sont accompagnéeS de déformations volumiques. L'existence d'ondes de surface généralisées dépend des conditions aux limites du problème = surface libre, surface de discontinuité des caractéristiques mécaniques du milieu .•• Elles ne peuvent exister dans un milieu inTi ni homogène. A partir des solutions (10) et (11) et des relations (4) et (5) on obtient les ccm~santes du déplacement. Posant
,.
v
(
(12 )
p
et fs l'expression correspondante en remplaG'ant v p par Vs' ces composantes ont pour expreSSion 1 ondes longitudinales
-
i. A V p
'p •
-
(13 )
ondes transversales
+~ Vs
fS
B • •
( 14)
• désignant le produit vectoriel des deux vecteurs. LeS expressions Ci-dessus montrent que, pour les ondes longitUdinales, le déplacement a lieu dans le sens de la direction de propagation ; pour les ondes transversales, le mouvement prend place dans un plan perpendiculaire a la direction de propagation. Mis à part le cas particulier où 2x - Ry ~ 0 et i z - ±l, C'est-à-dire où la direction de propagation coïncide avec l'axe Oz, il est toujour~ possible de décomposer le mouvement engendré par les ondes de cisaillement en un mouvement dans un plan horizontal et en Un mouvement dans un plan vertical 1 les ondes correspondant au mouvement horizontal sont dites SH et celles correspondant au mouvement dans un plan vertical sont dites sv. Définissant
160
B
i.
+ v
•
on obtient
~ "x
'sv +
,, ,. - + v. x
z
~
"
y
B
y
x
(1S)
"x +
1
(16 )
AsH et
Asv représentent les amplitudes du mouvement des ondes SR et SV.
2.3. Réflexion et réfraction des ondes planes a une interface Lorsqu'une onde heurte une surface de cUscontlnuitc\ dos caractéristiques mécaniques séparant deux milieux, il se produit des phénomènes de réflexion ou de réfraction semblabl.es à ceux rencontrés en opt1que. De plus, il se produit des
changements de mode. une onde lncic:lente donnant en général naissance a des ondes longitudinales et à des ondes de cisaillament, éventuellement a des ondes de surface. Les lois de réflexion. ou lois de SNELL, permettent de déterminer les angles des directions de propagation des ondes réfléchies et réfractées (figure
,)
v
Pz sin a
v sin 13
P,
sin a'
-
v
.,
sin /3'
-
c
(H)
00. C est la vitesse apparente de propagation suivant la direction de la surface de séparation 1 Vp~' Vs~ (resp, Vpz. Vsz) les vitesses de pro~9ation des ondes longitudinales et transversales du milieu l (resp, milieu 2) et a, (3, 0;', Il' les' angles des directions de pro~gation avec la surface de séparation des milieux. Les conditions de continuité, de la. contrainte et du déplacement, fournissent les équations nécessaires a la détermination des amplitudes des ondes, réfléchies et réfractées, en fonction de l'amplitude de l'onde incidente,
2, 4. Onde spherique dans un lllilleu mfini
précédemment nous avons donné une solution a l'équation de propagation sous la fonne d'une onde plane, A grande distance d'une source ponctuelle, la courbure du front d'onde est suffisaJ\'lll\ent faible poUl: assimilel: l'onde à une onde plane. Par contre, au voisinage immédiat d'une source, le front d'onde ne peut plus être considéré comme plan, C'est le cas par exemple au voisinage du foyer d'un séisme ou encore pour les mesures géophysiques en place, type cross hole (cf, chapjtre IV),
Dans le cas d'une source ponctuelle, la solution peut être obtenue en transformant les équations (8) et ('3) en coordonnées sphériques, soit par exemple pour le potentiel scalaire ~ (le même traitement s'appliquant au potentiel vecteur n)
161
MILIEU 2
MILIEU 1
Figure 1
Réflexion et
.
,,, + Posan\:
"
,
l'équation (18) s'écrit
2 a. rOr
réfraction Il une interface
,
a •
1 -, , at V
•-
, ,
a • , ar
1
v
_ 0
(18 )
P
r.
(19)
,
a •
, , P
- 0
(20 )
al
Pouz:: une onde monochromatique, en spécifiant qu'aucune énergie ne peut proveniZ:: de l'infini, une s01ution générale de (19) (20) est Obtenue sous la forme ,
.Le
A
r
(t-
rfVp )
(21)
déplacement, radial, est donné par
u -
,. "
(22 )
IR. fron\: d'onde, lieu des poin\:s ou 4> '" conB\:an\:e, es\: consti\:ué par une sphère
162
centrée &. la sourc:e. En se propageant, le front d'onde se déforme et l' ampl i tude du dépla.c:ement u décroit. L'expansion du front d 'oOOe introduit un amortiseement du mouvement 1 cet amortissement est appelé amortissement géométrique. Il est intéressant d.e noter que la solution (21) peut également être interprétée, en y développant en series de Fourier le terme exp(-ikr). (k .. W/Vp )' comme la superposition d'ondes planes, On montre que [BREKHOVSKIKH, 1960) :
.avec
rr
!kA 2 rr
• • 1=oin
fo k
x
.. sin
• fo'" ~
[ik
exp
cos a,
k
y
(Vpt .. sin
~
k x -ky>' - kzz) x
J
... cos
~
sin B,
k
z
da
d~
(23)
L'intégrale représente une onde plane se propageant dans la d.irection de cos:î nus directeurs (k,c. ky. k z )·
problème de la propagation d'onCles sismiques depuis une source est un problème essentiellement tr1dlltiensionnel, En cons1dérant la source comme constituee d'une ligne (faille) et en se plaçant &. une eerta1ne r:Sistance de celle-ci, le problème r:Sevient bidimensionnel 1 toutes les ondes se propagent parallèlement a un plan (XOz) et le mouvenlSnt est indepenr:Sant de la coordonnée y. La solution générale pour une oOOe stationnaire plane s'écrit alors ('y" 0) 1 Le
u u u
x Y
z
-, -,
p
f
f
'SB p
p
f
p
•x
of- ASV f
• •z ( 24)
•
•z
-
ASV f
• •x
.x
Si et tz sont réels, inférieurs &. 1, ils représentent les cosinus directeurs ( lx" sin Q, tz" COS Q) de la direction de propagation. Les expressions de fp et (s sont Obtenues &. partir de l'équation (12) avec o.
.y -
Les équations (24) montrent que, dans le cas d'ondes planes, le déplacement suivant Oy est découplé des déplacements suivant Olt et oz. Il ne résulte que de la propagation d'ondes sa alors que les déplacements suivant ex: et Oz sont fonctions des ondes P et SV, Les deux problèmes peuvent étre étudiés séparément. Si la direction (!le propagation est verticale, parallêle a l'axe Oz (Mx = 1), le problème devient unidimensionnel ; chacune des composantes du mo~vement est decouplée des autres :
163
"x
-
"• "Y
Les expressions de fp et fa sont Ry - 0, i
z ...
A~;V f s (25 )
A~H f s A
obte~ues
P
f
P
a partir de l'équation (:12) avec lx" O.
1.
L'étude de la propagation d'ondes SB va nous permettre de définir les paramètres intervenant (jans la réponse ci' un profil de sol à une onde sismique. On envisagera éqalement le cas d'ondes de Rayl.e1gh généralisées (Iy .. 0, réel. I!z 1llIagina.ire) •
'x
3.1. ondes SB dans un 1llÎl.1.eu B8IIi-1nf1n1 Le èléplacement horizontal d'une onde SB 1nc1<1ente est donne par l'équation (24)
-
t - x s i n a+zcosal]
"'SB exp [
(26)
dans le Cas 00 la propagation se fait Clans le sens des z négatifs en formant un
angle a avec l'axe oz. En heurtant la surface libre (z" 0), l'onde SB incidente donne naissance a une onde SB réfractée formant un angle 0: avec la direction Oz (loi CIe Snell) et se propageant dans le sens des li: positifs. Le déplacement Ilyr associé a cette onde est 1
-
A' exp 5H
[
i.
(
- x s i n a - z cos a)
l
La condition de nullité de la contrainte a la surface libre cry :< -
,.'"
---Y.
(27 )
0 s'écrit,
(28 )
(0) '" 0
L'amplitUde de l'onde incidente est égale a l'amplitude de l'onde réfléChie. En tou!: point du milieu le déplacement est la somme des déplacements dus à l'onde incidente et à l'onde réfléchie, soit en combinant les équations (26) à (29) ,
"y 164
= 2 ASH
cos [
'.".'-i~y:ôs'-ea
1 exp [ v,. s
(
v
s
t - x s i na )]
(29)
3.2. Ondes SB dana une couche d·épa.is8E!ul" 11lll1tée 9unlOlltant un Be/Il1--espace
Considérons le cas relativement fréquent dans la pratique d'une couche homag('lne d'épaisseur h surmontant un semi-espace représentant le rocher sous-jacent (figure 2),
"
Figure 2
h
Réflexion et réfraction d'une onde SH dans une couche d'épaisseur limitée surmontant un semi~espace
Désignant par l'in
exp (i p z ) + A' exp (-i p z ) n n
n n
n
avec
J
f (x, t) n
w cos a __-;;~-"n
p
i V
w
.n
(
V t on
n -
La condition de surface libre conduit (paragraphe 3.1.) à
A~ =
(30)
n .. 1,2
V on
n
n .. 1,2
1,2
,
Al
Les con
165
(31 )
.. a
La
relation (31) conduit à
Y",
(0)
(32 )
1
soit: (34)
qui n'est autre que la loi de Snell, et à
(35)
La
relation (32) s'écrit 1
soit:
En
- e
-ip h J.
(36 )
)
-
(37)
posant:
q
(38)
les relations (35) et (37) permettent de déterminer les amplitudes Az et fonction de A..
l [ AZ~2Al {l+q)el.. P ..h +(l-q)
166
A~
(39 )
en
(
~)
rapport q de l'équation (38) est appelé le rapport d'adJnittance entre la couche de sol et le semi-espace J son inverse est le rappoct d' inlpédance.
Le
La
101
"e Snell (équation 34) montre que si les caractéristiques mécaniques des
deux milieux et l'angle Oz de l'onde incidente sont tele que:
(41 )
al. est imaginaire. L'onde plane SR ne donne plus naissance à une plane SR
réfractée mais à une onde de surface se propageant dans la direction ox avec une
vitesse
Vszlsina~.
Il S'agit dans ce cas (l'une onde de Love généralisée.
Fonction de transrert On appelle fonction de transfert la fonction reliant l'amplitude du déplacement à 1a surface de la couche de sol (point A de la figure 3) a l'amplitude du déplacement à l'interface (point B). SOit '1'1 , z cette fonction. Il est également possible de définir une fonction de transfert: entre les amplitudes des déplacements des pointe A et S' situé sur un affleurement hypothétique du demi--espace. soit T1,& cette fonction, D'après les relations (30), (39) et (40) :
TJ. ..:(w)
,
• Tl
-
2 A.
,
.,.{w)
2 A,
soit:
• IT
l , z(w) 1
-[
2 A.
,
A,+ A'
-
(42 )
cos Plh
,
-
cos P:a.h + i q sin p,h
,
cos Plh + q
,
, sin Plh
(43 )
_1/.,.
1
(44 )
fonction T (w) ne dépend pas des propriétés du semi-espace sous-jacent. Elle correspond a. l'hypothèse d'une assise infiniment rigide ot! le déplacement: est imposé (table vibrante). Cette fonction devient infinie pour les valeurs:
La
"
(2n
"
1)1T 2
h coe (ll
( 45 )
167
qui sont les pulsations propres du système. La fonction T"'(W) ne devient jamais infinie. Les pulsations pour lesquelles T"'(W) est maximale sont données par l'équat.ion (45). Les maxima ont tous meme valeur:
•
T (loi)
,
(46 )
q
Cette seconde définition de la fonction d'amplification correspond au cas d'un demi-espace élastique. Elle conduit a des valeurs d'amplification plus faibles que T(w).
•
A
SOL
B fI;$..)}$}~Jk.Ji
ESPACE
SE MI
ESPACE
AFFLEUREMENT
Figure 3
Définition du point de contrôle
L'effet du demi-espace est d'absorber l'énergie transportée par l'onde réfléchie Al. ce phénomène est appelé amortissement radiatjf. cet amortissement est essentiellement différent de l'amortissement matériel rencontré dans l'étude du comportement des solS 1 ce dernier est lié au comportement du matériau par opposition au premier qui résulte de la propagation d'ondes a l'infini. Il est important de noter que l'amortissement radiatif existe marne dans un matériau élastique linéaire qui ne présente pas d'amortissement matériel, LOrsque le contraste entre les caractéristiques du demi-espace et des couches SUBjacentes augmente (q - 0), l'onde réfléchie provenant de la couche de sol est moins absorbée dans le demi-espace J a la limite elle est totalement réfléchie sur cette frontière et l'énergie qu'elle transporte est prisonnière dans la couche de sol ~ c'est le cas par exemple d'une table vibrante. Ceci contribue a augmenter la réponse dans la couche de sol. Un exemple de fonctions de transfert T(w), T"'(W) est donné sur la fl.gure 4 dans le cas d.'une couche de sol élastique de 20 m d'épaisseur (Vs - 200 rn/s, p - 2000 kg/m 3 ) surmontant un semi-espace (Vs"" 1500 mis, p = 2400 kg/m 3 ). L'angle d'incidence est priS nul.
168
,,
• ,
•
,, , ,, ,,
_, ,w
,,,
,
-1 '
,
,, ,
,
,,
,
,,
7
• • •
,
VII=2GO m/s f = 2 000 Kglm3 2Dm
,
,,, ,
2
,
\ , , Figure 4
2
, • • •
• • ,. " " "
7
M
FREQUENCE _Hz_
Fonction de transfert _ Milieu dlastique
3.3. onae sa <3ans un mU.eu st:.ratifié sUrœ:Jntant un semi-espaoe LeS propriétés mécaniques des sols cJ:01ssant généralement avec la profondeur, le cas d'un profil de sol. stratifié horizontalement et surmontant un demi-espace
élastique (rocher) représente une schématisation plus générale et très importante dans la pratique. Ce cas est une généralisation du cas précédent. Les conditions de continuité du déplacement et de la contrainte à chaque interface permettent d'écrire les relations de récurrence reliant les amplitudes des ondes incidente et réfléchie dans la couche m -+- 1 aux memes amplitudes dans la couche m. On obtient immédiatement les équations analogues des relations (38) a (40) 1
G
m
cos a
m
(47 )
cos am+J.
,
, A m (1
+
~)
, + , - A'
m
(1 -
'\0)
e
-ip h mm
(48 )
169
A'
","
(1 -
~)
e
ip h
rn rn
+
lA' (1 , m
+
~)
•
-ip h mm
(49 )
Par récurrence, en tenant compte de la condition de surface libre (Pool - Al). on peut: exprimer les amplitudes des ondes incidente et réfléchie de la couche RI en fonction de celles de la couche de surface 1
A'., e (10) m rn
A,
•
A'-f(w)A
mm·
(50) (51)
Si l' amplitude de l'onde incidente ASH dans le demi--eepace (m'" N) est connue, les
relations précédentes permettent de calculer les amplitudes des ondes incidente
et réfléchie dans chaque couche en tenant compte de 1
(52)
A. -
LeS déplacements, contraintes, déformations sont: alors connus en tout point: du
milieu 1 pour l'onde monochromatique statiOnnaire, 11s sont: fonction de la pulsation
III.
Fonction de transfert Par généralisation de la définition du paragraphe 3.2., on appelle fonction de transfert le rapport des ampl.itudes des dép1acements au toit de deux couches m et n. D'aprèS les relations (30) et (50)-(51), la fonction de transfert entre les couches n et m vaut:
+ fm(l») en(l») + fn(l») em(l»)
T
",m
(1)>) ....
(53)
Dans le cas d'un sol multicouche, l'expression analytique est extremement compliquée mais se prête facilement a un traitement numérique sur ordinateur.
3 ••• Ondes de surface dans un IIli.U.eu seai.-1nfini }v:!nngène On a noté précédemment que d' autres types d'ondes que les ondes de volwne pouvaient se propager dans un milieu d'extension limitée (ou dans un milieu hétérogène). ces ondes, dites ondes de surface, correspondent au cas oC! l'une des composantes du vecteur ~ devient imaginaire. Dans le cas d'un milieu sem1-1nEini homogène, il est possible de trouver, pour une onde plane, une solution a
170
l'équation de propagation des ondes, sati.sfaisant la condition a la limite de surface libre. si est imaginaire. Dans ces conditions, Il(" l et les potentiels 4> et n prennent la forme :
'z
e
o
~
-~
exp
(54 )
~(Vt-l()]
8 e -bz exp [ i
(55)
Pour satisfaire aux équations (8) et (9), les paramètres a et b doivent vérifier les relations:
a• -
•• v•
(56)
•• • V.
(57 )
p
oC k
~
w / v est le nombre d'onde et V la vitesse de propagation de l'onde.
Les déplacements sont donnés par
,s + v
w
-[
..
- '", '", 'z
,.
- '"
'",
ax
-
,... e -oz
e
V
iw 8 s
I·,b -
- -1
1
a A
V
e
-
..
-bz
j.-bZ exp[ iw B.z. V
(vt-l()]
,. V
(vt-X)]
,. -bz (vt-X)] j exp[ • V
(59)
(59)
(60 )
La condition de surface libre impose l'annulation des contraintes sur le plan
z - O. Il en résulte immédiatement (O"yz - 0) que le déplacement v suivant l'axe y est Laentiquement nul 1 v ~ o. L'annulation des contraintes O"7.Z et a zx fournit d'après la loi de comportement (éq.2), les relations:
171
u(O)="
""
'u
"
,
u
".
,
G)a -
+("+2G)
+
(0)
'u
B -
,
]-2ikaA+
B -
0
0
(61)
(62)
Posant XZ ~ VZ/v~. a Z ~ G 1 (À+2G). l'élimination de A et Bz entre les deux relations précédentes conduit a 1 '~quation ,
x
6
-
8 x
4
Z
+ (24 - 16 a ) x
Z
Z
+ 16 (a - 1)
~
0
(63 )
dOnnant la vitesse· de propagation V de l'onde" Elle dépend du coefficient de Poisson v du milieu [az~( 1-2V )/( 2-2v)] et est légèrement inférieure a la vitesse de propagation de l'onde de cisaillement:
v -
0.955
v.
pour
v "" 0.5
v- 0.919
v.
pour
v - 0.25
En outre, la vitesse V ne dépend pas de la pulsation w cUapersH.
1
le système est dit non
Tenant compte des relations (59) et (60) a (62) les déplacements prennent la forme
u
w
-
,
k
.
,
•
+
, a k
• k
b
b
, + b
,
e
•-= 1 exp [i(wt - kx']
-bl'l
a k
e -=
(64)
(65)
présence du terme i dans l'expression du déplacement horizontal IOOntre que cette composante est déphasée de 90° par rapport au déplacement vertical. LeS trajectoires des points matériels sont des ellipses. On notera également que l'amplitude du déplacement décro:it rapidement avec )3 profondeur et que cette décroissance est d"autant plus rapide que la longueur d'onde est courte.
La
La figure 5 donne dans le cas v _ 0.25. la variation avec la profondeur des
amplitudes des déplacements horizontal et vertical. Les ondes de surface étudiées ci-dessus font intervenir des déformations de cisaillement et des déformations volumiques; ce sont des ondes de Rayleigh du nom de Lord Rayleigh qui, le premier, les mit en évidence.
172
AMPLITUDE/AMPLITUDE SURFACE
o o'fC-------j°~::.~::~o::~~::~'~:=:_--:';f------~' 1 Déplacement horlzontal ..... _
0,'
•0
,• •
0
Z
0
•0
••
.Z
0
........ Depl.c.m.nt " •• dca' _w_
Q. 1
,,•• 0 Z
9
NI'"<
,~
COEFFICIENT POISSON V::1/4
2
Figure 5
Déplacements dus aux en milieu élastique
ondes de Rayleigh
3.5. Ol'lOes de surface dans un milieu IiIUat.if1é Les équations (64 )-( 65) se généralisent pour un milieu stratifié [THOMSON, 1950 1 HASKELL, 1953]. Pour les ondes de Rayleigh généralisées les expressions des
déplacements deviennent 1 œ u
0
"
Jo.
ei(wt - kjXl
RJ
f.( z)
R.
9 { z) •
J
œ
w-
"
j_1.
J
i(wt -
j
k.x)
J
(66)
(67)
On montre également que, dans un milieu stratifié, des ondes ne faisant intervenir que des déformations de cisaillement peuvent exister; ce sont des
ondes de Love généralisées dont le déplacement a pour expression ,
œ Lj
h ( ) i( wt j z e
k .x)
)
(68 )
Dans les expressions précédentes, Lj et. Rj sont les amplitudes des déplacements; kj '" W / Vj représente le norobre d'onde et fj' 9j' hj sont des ·Jecteurs propres. Les
173
valeurs de Jcj' déterminées par dépasse le cadre Vj dépend de la
fj' gj et hj' en nombre infini. peuvent et1::e théoriquement les méthodes développées par THOMSON et HASJŒLL dont l'exposé de ce chapitre. Notons que dans ce cas. la vitesse de propagation pulsation W l le système est dit dispersif .
... PROBŒMES SPEClPIgtJES lW GENIE PARASISMIQOE
L'évaluation de la réponse d'un profil de sol a une excitation sismique pose des problèmes spécifiques liés a la fois a la nature du mouvement incident et a la nature du milieu dans lequel il se propage. Ces problèmes distinguent ce phénomène de la propagation d'ondes monochromatiques en milieu purement élastique. Dans la pratique actuelle, il n'est pas d'usage d'intégrer la source (foyer, faille oà se déclenche le séisme) dans le modèle de calcul et. la réponse du profil de sol doit être évaluée a partir de la connaissance du mouvement sismique en un point du site. En ce point, généralement situé a la surface du sol ou a un affleurement rocheux, le mouvement a été soit enregistré dans le cas de calculs a posteriori, soit estimé (séisme de projet) dans la majeure partie des cas. ce problème est mathématiquement mal posé et des solutions uniques ne peuvent étre obtenues qu'en 1lI1posant des conc:3.itions restrictives concernant la géométrie du site et la nature du champ incident. En pratique. les solutions sont relatives a des profils de sol stratifiés horizontalement. La nature du champ incident concerne aussi bien le .type d'ondes (Sa, SV, P, surface. , . ) que leur direction c1e propaqation, par ailleurs. le COIIIportement du sol sous sollicitation cyclique est fortement non linéaire et présente un caractère dissipatif qui n'existe pas dans un milieu élastique. ces caractéristiques se c10ivent etre prises en compte pour obtenir des solutions raisonnables. La complexité de ces problèmes est telle que. même dans le cas de propagation unidirectionnelle. seules des solutions numériques peuvent etre obtenues. La
mise en oeuvre de solutions numêl:"iques nécessite la résolution des étapes suivantes 1 chou de la nature et de la dil:"ection de propagation de l'onde incidente choix de la modélisation du milieu. Cette modélisation comprend une modélisation d'ordre géométrique (milieu continu ou discrétisé) et le chou de la loi de comportement du sol (viscoélastique linéaire équivalent. non linéaire) détermination des conditions aux
liroitc~
choix d'une méthode d'intégration 1 intégration dans le dOll'lil'ine fréquence ou intégration pas a pas dans le temps,
174
5. CHOIX DES Cl\RIIC'l'EIUSTIQUES DE L'ONDI!: SISMIQUE
5,1. Nature de l'OnèIe et angle d'incidence Un dépOt géologique naturel présente des caract.éristiques mécaniques qui croissent généralement avec la profondeur. De plus, a une certaine prOfondeur existe une roche de caractéristiques nett.ernent plus élevées que celles des sols susjacents. L'onde sismique se propageant dans la roche va, en heurtant la surface de discontinuité entre les deux mi!ic'!Ilx, etre réfractée. LeS lois de SNELL montrent que le rapport d' admitt.ance étant. très faible, l'onde se propagera dans les couches de sol suivant un trajet subvertical. En progressant vers la surface, la diminution des caractéristiques provoque une réfraction continue et le trajet de l'onde devient quasiment vertical. On a vu alors que le mouvement vertical était engendré par la propagation d'ondes P et les mouvements horizontaux par la propagation d'ondes S, les mouvements étant découpléS, Basée sur ces considérations phySiques, l'hypothèse couramment admise en génie parasiamique est de supposer que le mouvement horizontal résulte uniquement de la. propagation verticale d'une onde de cisaillement et le mouvement vertical de la propagation d'une onde de compresaion, Si le profil de sol est stratifié horizontalement, le problème devient unidimensionnel suivant la direction OZ , l'équation différentielle régissant lea déplacementa horizontaux u devienl 1
p
oz
• ,
, u
(69)
"
et celle régissant les déplacements verticaux w 8a
zz
oz
-
,
p
!2!. ,+
p 9
(70)
at
oa g est l'accélération de la pesanteur. Dans le cas d'un milieu élastique linéaire pour lequel la s1,lperposition est valable, il n'est pas nécessaire de faire intervenir le terme P9 1 o-zz représente alors le supplément de contrainte créé au passage de l'onde, Il n'en va pas de même dans un milieu non linéaire. Si ces simplifications sont valables dans la grande majorité des cas, il existe cependant des configurations géométriques telles que, même dana les couches supérieures, les ondes de volume auront une incidence non verticale. Le mouvement horizontal résulte alors de la propagation d'ondes S et d'ondes P (éq,24). Certaines configurations conduisent également a la formation d'ondes de surface généralisées. Ainsi en un point quelconque, le mouvement hori.zontal résulte de la - combinaison de tous ces types d'ondes sans qu'il soit possible de distinguer la proportion de chacune d'entre elles, L'état des connaissances actuelles est suffisamment avancé pour permettre la résolution du problème de propagation d'ondes dans un milieu viscoélastique a condition de spécifier la nature de l'onde (surface, volume) et sa direction de propagation [LYSH~R, 1978J. Dans la suite du chapitre on s'attachera essentiellement au cas de la propagation
175
verli(J.. le d"ondes de cisaillement pour lequel des solutions peuvent êtra obtenues avec une loi
5.2. Définition du point de oontrole
L'un des problèmes les plus controversés dans la résolution des problèmes d'interaction sol-structure réside dans le choix du point ot! doit être spécifié le mouvement de référence correspond:ant au Séisme de projet. Généralement ce séisme de projet est défini par un spectre de réponse d'oscillateur. ce spectre a ____ A-'" été obtenu a partir d'enregistrements réels recueillis de préférence (chapitre :I) su:r: des sols de nature compax:able. Le spectre "enveloppe" de ces spectres réels est ensuite lissé pour éliminer des particularités liées soit aux séismes soit aux sites, ce qui confere au séisme de projet un contenu en fréquence très étendu. COmme les en:r:egistrements de séismes sont obtenus a la su.rface du sol, il n'est pas logique de spécifier le séisme de projet, dérivé de ces en:r:egistrements, ailleu:r:s qu'a une surface libre. D'autre pari, l'ensemble des fréquences possibles contenues dans le st.imno de projet ne peut mathématiquement exister qu'a une surface libre. L'examen de l'équation (29) montre en effet que, pour une onde monoch:romatique de fréqUence f .. ~ 1 2tr, 11 existe des profondeurs zi' définies pax: 1
z"(2i-1) 1
Vs 4f
1 .. 1, •••
(71 )
ot! l'amplitude du mouvement est nulle. Autrement dit, la fréquence f ne peut exister dans le mouvement résultant aux profondeurs zi' Ceci explique les vallées observées dans les spectres de réponse de mouvement, calculés ou enregistrés en profond.eur 1 ces vallées corz:"espondent aux fréquences donnéeS par l'équation (71). Le séisme de projet, de pari la façon dont 11 a été obtenu, a un contenu en fréquence très étendu. Le spécifier a une profondeur donnée, par ~le le n1veau de fondation de l'ouvrage, revient a imposer, a cette profondeur, une fréquence qui ne peut exister et conduit donc a des mouvements irréalistes, Les constatations faites précédemment dans le cas d'un milieu élastique restent valables pour un mi1ieu dissipatif, a la Qifférence près qu'a la profondeur zi l'amplitude QU mouvement n'est plus nulle mais foriement atténuée. :Il existe donc deux raisons pour ne spécifier un séisme de projet qu'a une surface libre, cette surface libre peut ètre soit la surface du sol, soit un affleurement fictif de l'assise rocheuse (point B' de la figure 3), Rappe10ns enfin que le moUVell\ênt, qu'il soit défini en A ou B', doit etre compatib1e avec 1es ca:r:actéristiques des sols sous-jacents 1 mouvement de sol pour le point A, mouvement de rocher pour le point B'. Dans la suite du chapitre, on retiendra, sauf mention contraire, une définition du séisme de projet a 1'affleurernent B'.
176
6, JŒPONSE SISMIQUE D'œ! PJIOPIL VISCOELASTIgtIE A UNE OIIDE DE WLUME
On a vu (chapitre II) qu'.il était possible de rendre compte de façon approchée des caractéristiques fondamentales du comportement du sol sous sollicitation (!}'Clique à l'aide du modèle viscoélastique linéaire équivalent. Dans le cas unidimensionnel envisagé, la loi de comportement sous sollicitation harmonique de cisaillement s'écrit :
(72 )
où G* est un module de cisaillement complexe faisant intervenir le module de cisaillement réel et le pourcentage d'amortissement critique équivalent (éq.:U du chapitre II). f'ormellement, cette loi est identique a celle de l'élasticité linéaire. Des solutions à la réponse sismique du profil de Sol peuvent alors être obtenues en considérant le sol soit comtne un milieu continu, soit comme un milieu discrétisé.
6.1. Modélisation du .aol. en
.nlieu continu
Le profil de sol est défini par N couches horizontales d'épaisseur hi masse
volumique Pi et module de cisaillement complexe élasti!fue.
Gi
surmontant un demi-espaoe
La loi de comportement ayant la même écriture formelle que celle de l'élasticité
linéaire, les solutions obtenues pour une onde monochromatique (paragraphe 3,3. ) restent applicables en remplaçant Gm par ~ et en faisant CJm - a (hypothèse de propagation verticale). Pour une onde dont l'amplitude A est connue en B', l'amplitude de l'onde incidente en B, à la 1>ase du profil de sol vaut Aga ... A/2 et les équations (50) à (52) permettent de déterminer les amplitudes des ondes incidentes et réfléchies dans chaque couche. L'introduction de l'amortissement matériel a pour effet d'éliminer les résonances qui apparaissaient dans une couche de sol si le semi-espace était infiniment rigide 1 la fonction de transfert IT(w)J ne présente plus de valeurs infinies, D'autre part les amplitudes des fonctions de transfert IT(w)1 et IT*(w)1 sont inférieures à celles des mêmes fonctions lorsque l'amortissement est nul, et les amplitudes des pics vont en décroissant lorsque la fréquence augmente, La figure 6 donne l'analogue des fonctions de transfert de la figure 4 avec un pourcentage d'amortissement critique ~ ~ 10 , uniforme sur toute l'épaisseur de la couche, réponse à une sollicitation transitoire, comme celle définie par le séisme de projet, est alors obtenue à partir de la réponse à une onde monochromatique stationnaire par résolution du problème dans le domaine fréquenciel. Pour cela, on décompose l'onde incidente en ondes harmoniques à l'aide d'une transformée de Fourier, La transfOrmée de Fourier F(w) du séisme y(t) vérifie, La
y (t)
, ,
rr
Re
S:
F(w)
e
iwt
dw
(73)
177
,, Amor11 ...m.n1
• • ,
v.
11=
= ZOO mis
ft .. 2000 K9I m 3
10%
20m
u
•
"
"" fl_ln ..... 'l
" """ "" """
• •
,
"" "" "" "" ""
il' '...-1 ....""1
,, ",, "
,
""
,
" ""
2
,
,o , Figure 6
00. Re La
"
~és1911e
2
,,,
..• ..-.. .. .;Y :--..
, • , • ,
8
9
10
11
FREQUENCE _Hz_
" " "
Fonction de transfert - Milieu viscoêlastique
•
la partie réell.e.
fonction F(w) complexe est donnée par
..,
F(IIl) ..
J y(
-
t)
e
-1wl:
(7'})
dt
Physiquement (1/2 TT) 1 F( 101) 1dw représente l'amplitude du mouvement attaché a la fréquence f .. w /2TT, Le module du produit de la fonction de transfert Tj ,N-f...c w) par la transformée de FOurier F( w) donne alors l'amplitude du mouvement attaché à la fréquence f dans la couche j. F( Ill) Tj .N+l représente la transformée de Fourier de l'accélération a la surface de la couche j 1 l'accélération, fonction du
temps, est obtenue par une transformée de Fourier inverse :
, ,
Numériquement, la transformée de
178
..,
rr Re
f
-
~'ourier
F(w)
iwt
•
do
(75)
est obtenue sous la fonne d'une série de
Fourier tronquée, Implicitement ceci revient à rendre la fonction y( t ) périooique, On obtient cependant une bonne approximation de la réponse si l' acclHérogranme est prolongé par une zone de zéros ("blancs") suffisante pour que, compte tenu de l'aJIlOrt:issement du système. les vibrations libres puissent s'amortir. L'expérience PlOntre qu'une durée de blancs de 4 à 5 secondes est généralement suffisante, Le PlOuvement de référence se décompose alors sous la furme 1
illl t
y(t) ;••
Y, e
•
(76)
",
-
2 rr --, T
00 Ys 8st l'amplitude de l'harmonique IIIS (Ys est l'homologue de F(III», T la durée totale (blancs compris) de l'accélér09'ramme et M le nombra de valeurs données pour représenter l'accélér09'ramme. La solution du problème est alors obtenue
BQUS la forme
1
Re
,.0
("17 )
00 Us est donnée par ,
u(j) ..
•
(78)
cette solution ne représente que la partie entretenue de la réponse. En analyse sismique, compte tenu de l'amortissement matériel, la phase transitoire s'amortit rapidement et Qst négligée. Avec le Cléveloppement des algorithmes de transformée de Fourier rapide [COOLEY'l'UI
179
{e'
,
'"
•••
'd' 0.03
• ,
{o'
:t.~~~====:;:;::==~ V o o
""
5
10
15 FREQUENCE Ha
!I
10
15 FREQUENCE Ha
{b'
"00
"'.o (a'
".
Figure 7
180
(a) lb) Ic) Idl (e)
Accélérogramme de projet Spectre de Fourier de la) Fonction de transfert Spectre de Fourier de le) Accélérogramme à la surface
La solution ("17) permet de connaitre en tout point du profil l'accélération, la vitesse et le déplacement par intégration ("'ivision par Ws et W~), la déforma-
tion de cisaillement et, Al' aide de la loi de comportement, la contrainte de cisaillement Cl XZ ' LeS équations (30) et (50 )-( 51) donnent immédiatement, poUl" la déformation de cisaillement au toit de la couche m 1
Y • m
HI'
Cm, e Y,
I: '"m ,_0
,
iw t (79)
a~c
Cm, Y -
,
La
Y,
[
e(w)-f(w) m s m s eN(w s )
contrainte de cisaillement s'en déduit par
-
G
•
1
(eo)
1
(el)
méthode décrite ci-dessus permet de prendre en compte le caractère dissipatif du sol mais pas ses non-linéarités, ces dernières peuvent etre approchéeS en ajustant les caractéristiques G et 13 de chaque couche au niveau de déformatton moyen de la couche au cours de la sollicitation, ce niveau de déformation moyen est défini arbitrairement COlm'lB égal ~ une fraction de la déformation maximale engendrée dans la couche pendant 1a sollicitation J généralement on retient une fraction comprise entre 50 % et 70 %, Dans la pratique cette valeur n'influe pas de façon senSible sur les résultats, Le calcul procède alors de la façon suivante La
estimation, pour cha~le couche du profil, des caractéristiques G et (3 et formation des modules comple~s G'" résolution du problème de propagation comme indiqué précédemment évaluation dans chaque couche de la déformation maximale Ymax et de la déformation moyenne Ym - a Ymax a. partir des courbes G(y) et (3(y) (figure 6, chapitre II), détermination dans chaque Couche des valeurs associées Ym' Si ces valeurs sont différentes de celles estimées, le calcul est repris avec ces nouvelles valeurs et ce jusqu'a. ce que la convergence soit obtenue dans chaque couche, L'expérience montre que généralemenL cette convergence est obtenue en moins de cinq itérations. A la dernière itération les propriétés des Sols sont dites compatibles avec la déformation induite 1 les non linéarités du sol ont été approchées en résolvant "'e façon itérative une suite de problèmes linéaires. Il ne S'agit cependant pas d'une véritable solution non linéaire ~ les modules G'" restent constants au cours de la sollicitation. La. validité et les limites de cette approche seront discutées aux paragraphes 6,3. et 7.3. C'est actuellement la méthode la plus utilisée pour les calculs de réponse d'un profil de sol A une excitation sismique. Elle a été mise en oeuvre dans le code de calcul SHAKE développé par SCHNASEL et al (1972).
181
Toute la présentation qui précède a été axée sur la propagation de l'onde de cisaillement. La méthode est exactement la même pour l'onde de compression en remplaçant la vitesse de propagation Vs par la vitesse de propagation de l'onde de compression Vp (ou G par le module confiné À + 2G). L'homologue du déplacement horizontal est le déplacement vertical w et celui de la contrainte de cisaillement a xz ' la contrainte de compression 0zz. On ne procède cependant pas à des itérations pour obtenir des propriétés compatibles avec la déformation induite 1 on retient la valeur de G résultant du calcul de propagation de l'onde de cisaillement. la valeur de À étant peu affectée par les déformations.
6.2. Modél.isation d.1scrétisée du
profi~
de
so~
Dans le cas unid1mensionne~ considéré l'utilisation d'un modèle discret pour représenter le prof:i~ de sol n'est pas indispensable dans la mesure 00. une solution continue peut être obtenue. De tels modèles représentent cependant le seul recours possible dès que la géométrie n'est plus régulière, ou dès que l'on veut résoudre des problèmes d'interaction sol-structure. Leur étude dans un cas s~le, oà de plus la solution exacte est connue. permet d'en comprendre le mécanisme et de juger de ~eur précision, Le lOOdèle discret le plus simple consiste a concentJ;:er les masses aux 11Jnites de couche et a les relier entre elles par des ressorts (figure 8), ce modèle a été originellement proposé par IDRl,s:+-,sto:I!:D (H68).
h,
hl
l l
m, ~t; Gt
k, m,
mj ~j
,Gj
kj rnJ+1
/?7?/??7?77/J Figure 8
182
Modèle
à
masses
concentrées
m, - 12 (pjh j .'i k. h, ]
-
+
P j +.1 h j+.1)
L'équation
d'équilib~e
de la masse j s'écrit
(82)
Boit pour l'ensemble des n masses, sous forme
[M]
(u)
+
matrici~11e
(J) k
(KJ ru)
(83 )
n
La matrice de masse (M] est une matrice diagonale dont les éléments valent 1
,
j = 2 , ... n
(84)
La matrice de raideur [K] est tridiagonale. Ses éléments valent 1
k
,-<+ (85)
k
avec
j,j+J.
... -k
j
k, _
Le vecteur {J} est un vecteur colonne dont tous les éléments sont nuls sauf le dernier, égal à. l, et u);J est le déplacement impoSé à. la base de la colonne de sol.
Dans le modèle viscoélastique linéaire, la matrice [K] tient compte de l'amortissement du matériau si elle est formée avec les modules complexes G~. Notons que dans la fonnulation de l'équation (83 l, ru) représente le vecteur des déplacements absolus. O'autres discrétisations que cel.le par masses concentrées sont possibles pour représenter le profil de sol. La méthode des éléments finis conduit a une équation différentielle du mouvement analogue a celle donnée par l'équation (83). En prenant comme fonction d'interpolation du déplacement a l'intérieur CI 'un élément une fonction linéaire :
163
-
u
la
conBidé~at1on
, _ [
z - z
~z-o-Z.2'
h,
,
(8&)
de l'énergie élastique de l'élément
,,
,
1 {Ul T
(u
j+1.
-
(87)
et de son énergie cinétique 1
,,
J:
[Ù) T [ml
•
j
(U)
-l
jH
~ .
.z
Pj
z,
dz
-
,
6 Pjh j
[ (Ûj+J.- Û j )
z Uj+l. Uj 1
(SS)
pezmet de calculer les matrices de rigidité et de masse élémentaires. ces
matrices ont pour expression
-
'l' ['/6
(89)
L'assemblage des matrices élémentaires fournit les matrices [Kl et [H] du système. La matrice de raideur est identique a celle du modèle à masses concentrées. par contre la matrice masse n'est plus (Uagonale mais tridiagonale,
tout comme la matrice de raideur. Quelle que soi.t la méth0<3e de discrétisation retenue, la méthode de résolution de l'équation matricielle (83) est analogue à la méthode employée pour le milieu continu. Le mouvement de référence est décomposé en séries de Fourier tronquées et l'équation (83) est réaolue pour chaque harmonique {ul s exp(iwst), soit,
,
[(K] -
w
"
lU)
"
-
{J} k
( ,)
n
u"
(90 )
pour chaque fréquence ws • cette équation repréaente un système d'équations algébriques linéaires dont la solution peut être obtenue par une élimination de Gauss par exemple :
184
( 91)
matrice {H(w)} constitue la matrice de transfert, analogue de la fonction de transfert de la solution continue. Cette matrice doit êtrê évaluée pour chaque pulsation Ws de la déComposition en séries de Fourier, La réponse du profil de sol est alors donnée par 1
La
lu)
Re
.•" E
• _0
lU)
•
e
( 92)
Tout comme pour la solution continue, les non-linéarités peuvent être prises en compte de façon approchée par itérations successives sur les propriétés du soL ~ 1 la SOlution ci-dessus est relative au cas ou le lIIOuvement est: spécifié a. la œse de la colonne de sol, c'est-à-dire ou le rocher est considéré comme infiniment rigide. La solution pour un sem1-espace élastique peut être obtenue de la même façon en adjoignant au modèle une "frontière aJ:>sorbante" analogue à celle décrite au paragraphe 7.1.
Précision des modèles discrets L'utilisation de modèles discrets pour représenter le profil de sol pose la question de la finesse de la discrétisation. Plus celle-ci est grande, meilleure est la préCision 1 par contre le temps de réSolution croit également. Divers auteurs [LYSMER et al, 1975 1 ROESSET, 1977) ont proposé des règles permettant de fixer la dimension maximale des éléments. Si !max est la fréquence max:1male que l'on désire représenter avec le moèItlle, la longueur d'onde associée à fJQaX est 1
À
-
( 93)
déplacement à l'intérieur d'un élément: du modèle variant: linéairement, le déplacement associé à cette longueur d'onde sera correctement approché si au lIIOins 3 à 4 points de discrétisation sont: :retenus pour une demi-longueur d'onde (figure 9), Le
cette condition conduit à une taille d'éléments;
h
--------(6 à a) fmax
(94)
Pour juger de la validité de la formule (94), comparons le:; pulsations propres
185
i-~D,6f:!lac.m8nt
réel
:..-JMPlacemrtot _Rpraché
,
Figura 9
Choix de la dimension des éléments
théoriques èI'une couche de sol (équation 45), d'épaisseur H, a celles données par un lIIOdèle a masses concentrées et par un l!lOd.èle éléments finis comportant: chacun
16 éléments. S1 W1t; est: la pulsation fondamentale théorique
- -, .•
1
.v
(95 )
l'application de la formule (94) montre que la fréquence maximale transmise par le lIlOdèle est ,
"
6 à. 8
soit:
-
(8
a
.
v
H
10) wJ.t
(96 )
(97 )
Le tableau r compare les valeurs théoriques de Wit/Wlt aux valeurs obtenues par
les deux modèles (ROESSET, 1977).
186
1
1 2
, • •7 , , 10 "" 5
"13
"
15
va.le .... r théorique
Modèle masses concentrèes
"i t1"
" 1"
,
"
1
'1
0.9995 2.9895 4.9505 6.8hll 8.7146 10.47],2 12.1212 13.6986 15.0943 16.]9]4 17.4672 18.4]]6 19.2]08 19.8020 20.2020
1
5
,
7 U
13 15
17
" "" "
21
27
Modèle éléments finis
" 1" 1
'1
1.0004 l.0109 5.0505 7.1394 9.2949 11.5390 13.8891 16.8595 18.957] 21.6749 24.4790 27.2955 29.9924 ]2.]698 ]4.1671
Tableau 1 - comparaison des pulsations propres norma1isées.
Son examen montre que l'erreur entre la valeur théorique et 1.a va1.eur ca1.culée est 1nférieure à 5 ' jusqu'à la 6ème fréquence (WitlWl.t _ 1.1). L'erreur cro1t ensuite rapidement pour dépasSèr 10' dès la 9ème fréquence. Pour les hautes fréqUences, 1'erreur devient p1.us ilnportante avec le modèle a masses concentrées qu'avec 1.e modè1.e é1.éments finis. par ailleurs. on note que 1.es pulsations propres calcu1.ées par le modèle a masses concentrées sont systématiquement infér1eures aux valeurs exactes, a1.ors que ce1.1es du modèle éléments finis leur sont supérieures. cette constatation très générale a conduit certains auteurs [LY5HER et al. 1975 1 klillSEL, 1974] à propooer de choisir, comme matrice masse du lIlOdè1.e, une combinaison 1.inéaire des matrices masses du modèle à masses concentrées (Ml c et du modèle éléments fln1s (MlF
[M]
-
La valeur de a est prise éga1.e
(99 )
a
0.4-0.5.
6.l. vaJ.idité du JIIOdèl.e viScoélastique linéaire équi.val.ent Les 1imital:ions de ces modèles ont déja été discutées au chapitre II. Rappelons que leur principale l:im1tation rés1de dans leur incapacité a ca1.culer dea déplacements permanents. D' autre part, on a indiqué leur tendance &. fi1.trer les hautes fréquences. Il faut cependant noter qu'en règle générale. pour des niveaux de sollicitation pas trop élevés, ces modèles conduisent a des résultats parfaitement valables. Les non-linéarités sont prises en compte de façon satisfaisante par le processus itératif et le caractère dissipatif correctement représenté Il. l'aide du module coroplexe.
187
2
,
t-~ ,
,
•
• "cl
•"
l/i/
'f ,_ . '"
1'1 HI
0,5
~
,
" "- ..:~ 1\.
~~(.I
,
i11r 1
•• 2
o
~
••
•" S
,
•
Jî
Caractéristiques du mouvement
I/V , Lll/
",
04
Magnitude
,
Distance hypocentral. Acçéléretion maximale
FREQUENCE -H,,-
Figure 10
..,,(bl
•
, , ,
',---,
A l'affleuremant
7,_ 35km 0,2 9
,b
"
Comparaison entre spectre li 5 % d'amortissement critique calcul~ (a) et enregistré (b) il la surface du sol
figure 10 [PECKER et al, 1984J compare le spectre de réponse a. la surface du sol, obtenu par ca1cul. de réponse sismique, a celui résultant d'enregistrements réels obtenus, lors de séismes. sur des sola comparables. La couche de sol est constituée par 20 m de vase surmontant un rocher. Le calcul a été conduit comme indiqué au paragraphe 6.1. (modélisation continue) en partant d' une accélération à l'affleurement de 0.20 g. L'accélérogramme a l'affleurement, la fonction de transfert de la couche obtenue après itération sur les propriétés de sol, et l' accélérogramme a la surface sont donnés sur la figure 7, Les variations avec la profondeur du module élastique (module de cisaillement maximal) et du module compatible avec la déformation moyenne induite sont données sur la figure Il, La prise en compte des non-linéarités conduit a une réduction importante du module, de l' orèlre de 1 a 3 , dont il faut tenir compte dans la détermination de la fonction de transfert, L'examen de la figure 10 montre que, si tous les caractères fondamentaux du problème (nature et point de définition de l'onde sismique, caractère non linéaire et dissipatif du sol, .. ) sont pris en compte, même de fa'1on approeh6e, il est possible, par un caleul de réponse sismique, de reproduire de fa'1on satisfaisante les traits principaux de la réponse d'une couche de sol, Il est certain par exemple que, compte tenu du contraste de rigidité important entre le sol et le rocher, l'hypothèse de propagation verticale d'onde de cisaillement est très proche, dans ce cas, de la réalité physique. La
'88
Il ne faut cependant pas perdre de vue que, pour les niveaux de sollicitat.ion élevés, l'approche d'une solution non linéaire par une succession de solutions linéaires ne peut plus être valable (paragraphe 7.4. ). Il faut alors recourir aux solutions non linéaires. Il en va de même si les déplacements 'permanents constituent un élément essentiel.
,,
.
MODULES
DE
"
CISAILLEMENT
G
l~ ,,
"
MN/m2
" " "
,
•
,
1
,,,, ,
e
,
1
•
1
~MOdul8
,,,, ,1 ,, ,,, ,L ___
imsl
,
•,
,,
I~
,
i... ~uIela +pati • d a 1
,
--_. ---- ---- ---- -
2
Figure 11
Variation du module avec la profondeur
7. REPUllSE NON LI:NEIURE A UNE ONDE SISMIQUE DE VOLUME
Une loi de comportement non linéaire se caractérise par une variation Il chaque instant des caracteristiques du sol = module de cisaillement dans le cas unidimensionnel. Rappelons que le caractère dissipatif du sol est inclus dans la 10i de comportement et qu'il n'est plus nécessaire de préciser un pourcentage d'amortissement critique. La solution Il l'équation de propagation ne peut plus étre obtenue par une analyse de Fourier, qui suppose 1es caractéristiques invariables dans le temps. Il faut avoir recours Il un schéma d'intégration pas Il pas dans le temps.
189
SOL
SOL
• 'f.!
ESP.
E.!.aure 12
une des
: :
'f.!
y
•
pVsV
ESP.
•
pVs
Condition limite A la bas. du profil da sol
d~ff1cultés
princ1Pales pour l'obtention de solutions non linéaires
réside dans la nécessité de spécifier le mouvement de référence a un affleurement et non a la base du profil de sol. cette difficulté n'a été surmontée que récemment [JOYNER-cHEN. 1975]. \ COns1dllrons (figure 12a) une couche de sol, dont la 101 de comportement est non I1nêaire, surmontant un dem.1-espace élastique, cherchons la condition lÛllite en contrainte qu'il faut appliquer a la base de isolée, pour que sa réponse solt identique a celle de la le dem.1espace. SOit y( t) le mouvement a l' affleurement: du demi--espace ( figure l2b) et VR 1& vitesse CIe propagation de l'onde de cisaillement, à. propagation verticale,
Le
mouvement: a une profondeur z dans le demi-espace est alors
donné par 1
-
z V R
J+
y
[t + Vz R ) )
(99 )
Lorsque le dêlll1-espace est surmonté par la colonne de 801, le mouvement résulte de la somme du mouvement da a l'onde incidente, identique à celle existant dans le demi.--espace sans colonne de sol, et du mouvement da a une onde réfléchie u(z,t)
dépendant des caractéristiques de
u (z,t)
a
-
, l
la
y
colonne de sol. Son expression est 1
[t + Vz
R
) + "
[t -
Désignant par uo(t) le mouvement a l'interface sol-rocher, uo{t) l'équation (100) peut être écrite 1
'90
(100)
~
ua(O,t),
-
(lOI)
A l'interface la contrainte de cisaillement est alors donnée par 1
'Ua T
-
G
(O;t)
-
(102 )
cette contraints est la aomme de èleux termes 1 une contrainte extérieure, connue. appliquée a la base de la colonne de Bol, de valeur PRVRy{t), et une contrainte proportionnelle a 1a vitesse (inconnue) à la base de la colonne. cette dernière contrainte est cell.e que développe un amortisseur de caractéristique PaVR • on a donc une analogie parfaite entre la colonne de sol reposant sur un deml-espace élastique et l.a même calonne montée sur un amortisseur, soumise à sa base à une contrainte Pp.VRY{t) 00. y(t) est la vitesse de l'onde sismique à l'affleurement
du demi-espace (figure 120). L'amortisseur, qui modélise de façon exacte la p:r;4sence du dem.1-espace sous-jacent, est appelé una "frontière absorbante" par allusion a son rOle d'absorption de l'onde réfléchie dans le demi-espace. ce type de frontières a été introduit originellement par LYSMER- KUHLEHEYER (1969). Le modèle analogique utilisé, Simulant également exactement l'état de contrainte a la frontière du modèle, constitue ce qu'on appelle une "frontière consistante". On reviendra plus en détails sur ces types de frontières dans le chapitre VII.
7.2. Modélisat10n du sol en .J..l.1.eu continU
STREETER-WYI,IE et RlCHARl' (1973) ont obtenu, par une méthode de résolution basée sur la méthode des caractéristiques, une solution pour la propagation d'ondes de volume dans un mi.lieu n,Jn linéaire traité connne milieu continu. Les deux équations différentielles régissant le phénomène de propagation sont l'équation de propagation (69) et la loi de comportement écrite sous fonne incrémentale 1
d'T
..
G{y) dy
(103 )
En prenant comme variables indépendantes la contrainte de cisaillement vitesse particulaire V ~ ü ce système est: équivalent: à :
'" Oz
.. '"
'V Pat
G~
"
-
G ea\: If> module de cisaillement tangen\:,
'T
et la
0
( 104) 0
fonc\:ion de la déforma\:ion,
de
191
des déformations ... Il peut etre obtenu a partir de tout modèle non linéaire en particulier les modèles élaatoplastiques présentés au chapitre II (modèle de IWAN ou modèle de PREVOST). l'~istoire
Le système d'équations différentielles
est un système hyperbolique du premier ordre dont la résolution peut se faire le long des lignes caractéristiques, D'un point donné dans le plan (z. t) sont issues deux lignes caractéristiques c+ et C-. de pente ± vs _ ± (G/p)l/~ le long desquelles existent des relations linéaires entre T et V 1
c'
C
[
dz dC T
• -
T'
s
P Vs V
[ dz dC
V
(lO~)
-
constante
•
constante
(10Sa)
-V s
P Vs V
( 10Sb)
Le calcul procède alors de la façon suivante (figure 13) dans le plan (z.t). TEMPS
A. ·
· A R
S B
~ ~
·
p ..
· ·
Z=H
Figure 13
192
Intègration le long des lignes caractéristiques
A l'instant t, en tous les points du maillage (A,B",), les valeurs de T et V sont connues, Du point B est issue la caractéristique C- qui, au temps t + ll.t., intersecte, au point P, la caractéristique C+, issue de A. Le long de C+et C- les relations (105) sont valables. On en déduit,
T
-
p
V
P
, , , ,
(TA
+
(VA
+
TB)
VB )
+
+
,
-, 2
v
(V B
VA)
(106 )
(TB P Vs
TA)
(107 )
p
•
,
On procède a.1nsi sur toute la verticale avant de passer au pas de temps suivant. A la surface, la condition 11rn1te est T (0, t) "- 0 J à la base du profil T (K, t) est donnée par l'équation (102), Cette méthode est particulièrement bîen adaptée aux cas des matériaux a loi de comportement linéaire pour lesquels la pente des droites caractéristiques (Vs) est constante. Le maillage vertical étant fixé une fois pour toute, le pas CIe temps en découle, Pour un matériau non linéaire, Vs et donc la pente des caractéristiques, décro.1.t avec une augmentation de la déforrœt.tion, LeS caractéristiques aboutissant en P ne sont: plus issues CIe A et B mais de points intermédiaires R et S (figure 13), Il faut, par interpolation entre les valeurs en A et B, déterminer les valeurs de T et V en R et S pour calculer celles en P. L'interpolation eat susceptible d'introduire dans la SOlution un amortissement numérique (MARTIN, 1975], Cependant dans la plupart des cas pratiques, cet amortissement ne .compromet pas sérieusement la valeur des résultats.
7.:3. ModélJ.sation d1.scrétisee du prof.11 de sol L'équation différentielle du mouvement (éq 83) peut stre plus Commodément réécrite en prenant pour inconnues les déplacements relatifs {X} par rapport à l'assise rocheuse 1
{X}
..
(lOB)
{U}
avec {I} vecteur unité, L'équation (B3) devient alors
[M]
{X}
+ [Kl
{X}
-[Ml{Il~
(109 )
Les matrices [Ml et [X] Bont formées comme précédemment, La non-linéarité du comportement se traduit par une matrice (X], réelle, mais variable dans le temps,
193
niflérents schémas d'intégration numérique ont été proposés pour résoudre l'équation différentielle (109) pas à pas dans le temps, Le Plus connu est l'algorithme àe NEWMARK (1959). Il est basé sur le développement de Taylor au 2ème ordre àes inconnues û et u:
-
Ut+ll. t
, (lI.t) • [ [i - "1
Ut + ll.t u,
-
U
t:+ll.t
u,
' " Ut+ll.t 1
(llO)
1
(111 )
u, ' b' [ (1 - y) Ut + y Ut+lI.t
LeS paramètres {J et: y sont à choisir de façon a optimiser la solution donnée par l'intégration numérique, En retenant {J e 1/6, y = 1/2, on impose l'hypothèse
usuelle d'une variation linéaire de l'accélération pendant l'intervalle de temps ll.t, Les équations (110)-(111) peuvent alors être réécrites en prenant comme variables les variations AU et ll.u àe la vitesse et àe l'accélération au cours dU pas de temps l
A U
-
6
Au -
(ll.t) •
-
Aü
en sul:lstituant les équations mouvement, il vient
, At
bu -
6
, Ut
[k(t )1 .. [K(t)l +
{lI.p} ..
-
(M]
A' 2
(112 )-( 113) dans
[k(t)] {ll.X} ..
I l ) ll. u
b
+
(M]
-
ot Ü,
, u,
(112 )
Ut
(113 )
l'équation
incrémentale du
'bpl 6
(ll.t) •
(114 )
(115 )
[Ml
{ : t {X} t
'
,
{X\
)
(:lIn)
Le systeme matriCiel (114) peut etre résolu par toute solution numérique aàéquate (élimination de Gauss par exemple). Connal-sea.nt (lI.X], l'équation (113) permet àe calculer {ll.X} • LeS conditions initiales pour le pas àe temps suivant sont ainsi àéterminées, pour éviter l'accumulation d'erreurs, {L'.X} n'est pas calCUlé a partir àe l'équation (112), mais évalué directement à part~r de l'équation àu mouvement,
194
',.,------------------------, ACCElERATlOr.l
ENREGISTREE
LA
SURFACE . ST' ,
". ' t - - -... -0.25
.
- ' .. .L_ _~---_--____:~----------I
" •,
,
"
.,--~-------------------------, ACCELERATION
CALCULEE
... lA· SURFACE
G,25
Z
••...
•U
'+---~ -D.25
U
<
-•• .L--~---,,--____:~--_c--____:----i o 7,5 15 •. . ,ACCELEROGRAMME ----------,-------------, AL' AFFLEUREMENT
- 0)5
,
,.
•
Figure 14 Comparaison
et
enregistrée
,. TEMPS_I _
entre accélérations
02'
"
calculée
â la surface_
195
{âX}
~
-
{I}
à
~
[Ml
-,
(K] {lIX}
(117 )
LeS équations d'équilibre sont ainsi satisfa1t:es exactement a chaque incrément de temps, Les équations (:n5) et (116) permettent de recalculer (R:(t)J et (àp) pour l' incrément suivant, La stabilité du processus d'intégration impoSe que le pas de temps Ll.t soit inférieur a environ la moitié de la période de v1l::>ration du système (Ll.t < 0,55 'I"), Cet algorithme est couramment utilisé, avec celui de WILSON (vojr CI,OIl(1I1PENZIEN,1975J, dans la solution OEls problèmes dynamiqUes non linéaires, Corome tout algorithme il présente des imperfections 1 introduction d'amortissement numérique, allongement de la période de vibration du système, MARl'IN (1975) a suggéré l'utilisation de l'algorithme de "l'inertie cub:l.que" d'Argyris pour lequel ces effets sont minimisés, Dans cette méthode la variation des forces d'inertie au cours du pas de temps est représentée par un polynome du 3ème degré.
7.4. YaJ.1dité des calcula non llnéairea
On a noté (paragraphe 6.3.) que les calCUls avec un modèle viscoélastique linéaire équivalent conduisaient, dans la plupart des cas, a des résultats parfaitement acceptables du point de vue de l'ingénieur. DanS l'exemple cité précédemment des calculs non 11néa:l.res effectués par intégration des équations le long des caractéristiques ont co~uit a des résultats en bon accord avec ceux du calcul linéaire équivalent [PECKER et al, 1984]. cependant, pour des niveaux d'accélération très éleVés sollicitant fortement le sol, les résultats obtenus par les deux méthodes divergent. MOHAHMADIOUN-PECKER (1984) ont étudié a l'aide de calculs non linéairea la réponse de la vallée d'El centro au séisme d'Imperial valley de 1979. Le sol est constitué de plusieurs centaines de mètres de dépOts alluviaux d'argile et argile sableuoe. Le mouvement pris en compte a l'affleurement est le mouvement vraisemblable qui se serait développé sur un afLleurement rocheux situé a environ 5 km de la faille d'Imperial. Son accélérogramme est donné sur li!l figure l.4a, Le mouvement calculé a la surface du profil de sol (figure 14b) est comparé a celui enregistré lors du séisme de 1979 a une station située a 3,9 km de la faille (figure 140). Au vu des incertitudes concernant la nature exacte du mouvement et les caractéristiques des sols, surtout en profondeur, on peut considérer que l'accord entre le mouvement calculé et le mouvement enregistré est excellent. Une des caractéristiques importantes du mouvement a la surface (enregistré ou calculé) est l'apparition au bout de 7 secondes de mouvements a basse fréquence. ce phénomène a été attribué aux non-linéarités du sol et est confirmé par l'observation du diagramme de déplacements a la surface (figure 15) qui met en évidence un déplacement résiduel de 0,50 m, Ces non-linéarités ont permis également d'expliquar, qu'en surface de dépots de sol, l'accélération maximale observée ne dépasse pas une certaine limite (de l'ordre de 0,5 g) J cette valeur est gouvC!rn6e par la résistance a rupture du sol, ce dernier ne pouvant transmettre d'efforts supérieurs a sa résistance ultime. Lorsque le comportement du sol est gouVeI:né par des non-linéarités aussi prononcées, le modêle viscoélastique linéaiI:e équivalent ne peut apporter de solution satisfaisante. La figuL'e 16, extraite de la même étude, compare les
196
résultats de calculs linéaire et non l~néaire pour une valeur faible (0,1 g) et une valeur élevée (1,0 g) de l'accélération A l'affleurement, La comparaison n'est favorable que pour le niveau d'accélération le plus faible, Meme dans ce cas, on note le filtrage déja indiqué des hautes fréquences par le modèle viscoélastique linéaire équivalent, Pour le niveau d'accélération le plus élevé, seule la périooe fom3amentale du mouvement et, dans une moindre mesure l' accélération maximale, sont correctement évaluées par ce modèle,
, ',.' Si •
MOtJofLE
NON
l.INEAIRl
O.' 0
~ • o,s ~ • 1
ACe. AfflEUREMENT
!!l _1~ o
Figure 15
• 0,5 fil
TEMPS
, Deplacement
" horizontal
12,5
à
la
·S·
"
surface
8. REPONSE SISMIQilJE D'tI!f PROFIL VISCXIE"LAS'l'I:QOE A CNE OHIJE SISMIQUE DE StJRPACE
On ne donnera ci-aprèS que les grands traits d'une méthode qui a été développée par WAAS (1972). On se 11m1tera, de plus, au CaB <'.les on<'.les <'.le Rayleigh. Le cas des ondes de Love a été traité par LY5MER-WAA5 (1972) de façon analogue. Comme pour la propagation d'ondes de volume, la solution est obtenue par intégration dans le domaine fréquenciel, après décomposition du mouvement de référence en séries de Fourier, par sommation des solutions relatives A chaque hannonique. La modélisation du profil de sol esi. réalisée
a
l'aide d'éléments finis dans la direction verticale et d'éléments infinis dans la direction horizontale (figure 17). Le vect~ur déplacement. regroupant les déplacements verticaux et horizontaux de tous les noeUdS, a pour expression;
(V} =
lu) ei(wt-l<:.x)
(ua)
5i n est le nombre de points de discrétisation, lu} a pour dimension 2n. La base du modèle est constitué par une frontière rigide maia l'atténuation des onden de Rayleigh avec la profondeur étant rapide (par. 3.4), il eat posaible de choiair ce~te frontière suffisamment profonde pour simuler un demi-espace.
197
.',---------------------------------------, MODELE
NON
LINE".""
't-----~ Ace. AffLEUREMENT
l,
•
1,1"
D MODELE
LINEAIRE
IQUIVALENT
oz
, •, Z
o ~
1
V
-~ ACC .... FFlEUREMfNT
•
1,1 \1
/\ " VV V
-0,4
••
D
...
"
,
D.' ,---____---:--,,-______________ --, "
-
•U
MODELE
NOH
LINEAIRE
U
•
-D,Z ACC. AFFt.EUIIEMENT
•
0.1' Il
-0,4 .L---~---~--____,,___--_r---~---__1 D
D.',_______---:____________---, MODELE
LINEAIRE
EQUIVALENT
D'
D+-____________ -D, ACC. AfFLEURIHYIENT
-O~"-
f'c:;v
V
."
Il
______-.______-._______,------___,--------r-----____I
D
Figure 16
198
" 0."
~~-~'m~
2f>
5
7}
Comparaison entre modèle et modèle non linéaire
10
12:5
15
linéaire équivalent
Pour un système de N couches, on peut alors montrer que la solution des équations d'équilibre se ramène a la résolution d'un problème de valeurs propres, les nombres d'onde k, et de vecteurs propres. les déplacements {u} ,
[
(A] kl-
-+ i
[B] k
+
(C] -
l/
(M]
]
{u} .. 0
(1:19)
Les matrices (A], (B), (C], [H] sont des matrices d'ordre 2n, (M] est la matrice masse 1 [A], (B]. [Cl sont formées a partir des modules de cisaillement G. modules confinés" ... 2G, et pourcentage d'amortissement critique (J, Les tenues de ces matrices sont complexes. Les vecteurs propres {u} représentent l'équivalent des fonctions fj{:r;) et gj( z) des équations (66 )-( 67), L'équation aux valeurs propres (119) a 2n solutions et est en complète analogie avec les équations (66 )-( 67) j la solution général.e s'écrit pour une harmonique donnOe 1
'n {u}."
1:
(120)
J-' 00 {V}j représente un vecteur propre normalisé.
HORIZONTAL
/
VERTICAL
./
•
x
Point '~ee contro
/:,
;1
Ux-+ 1
y{t)
U.
APPROXIMATION
•
~, ~,
,//u/////////
/ V ...
fixe""""
,
(~,.
\, ,
/ /, / / / / // / /",
Figure 17 Modèlisation du profil de sol Ondes de Rayleigh
Pour un système amorti, tous les nombres d'onde sont imaginaires avec une partie imaginaire négative, La solution (120) représente une onde de Rayleigh qui Be propage dans l.a direction x ) 0, avec un coefficient d'atténuation exp (2TT lm( ltj) / Re( kj )] par longueur d'onde " '" 2rr / Re( kj ), Cette solution comporte 2n inconnues Rj qui doivent être déterminées a partir de l'amplitude du mouvement de référence AR au point de contrOle x-O. Z '" 0, Le problème est indéterminé car mathématiquement mal posé. Pour obtenir une solution complète,
199
il serait nécessaire de connaitre le champ incident en tout point de la verticale x-O. Pour obtenir une solution, il est nécessaire de faire une hypothèse. Généralement on admet que seul le mode fondamental se propage à quelque distance du point ~e contrOle. Le déplacement vaut alors 1
ru} = ~
(121)
on l'indice f représente le mode fondamental. Cette méthode a été mise en oeuvre pour évaluer la réponse d'une centrale nucléaire a un champ incident constitué par une onde ~e Rayleigh généralisée [GOMEZ-MASSO et al, 1982]. LeS résultats montrent que les ondes de Rayleigh ~e fr~uence supérieure a 2 Hz s'atténuent très rapidement en s'éloignant ~u point ~e controle , ceci est en accord avec les observations sismologiques qui ne mettent pas en évi~ence ~'ondes de Rayleigh à des fréquences élevées, Cette méthode, très attractive, ne présente cependant, dans la majeure partie des cas, qu'un intérêt académique. In~épendamment des hypothèses nécessaires à l'ohtention ~'une solution (mode retenu 1 fon~amental ou autre, distance du point de controle :x: .. 0 au point d'observation), il serait nécessaire de connaitre, dans le Champ incident, la proportion d'ondes de surface et d'ondes de volume. Cette proportion est inconnue et seules des approches empiriqueS sont possibles [GOMEZ-JomSSO et al, 1982]. Bien enten~u, le résultat d'ensemble de la réponse du site est fortement fonction ~e ce paramètre.
200
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Army Englneer WES.
202
Vicksburg,
~972.
Chapitre VI VIBRATION DES MASSIFS DE FONDATION
1. 11f1'lCODOC'I'XOli
Bien avant l'étude de l.a réponse (l'ouvrages a. ~es sollicitations sisllÙ.ques. les 1ngênieurEl se sont intéressés aux viln:'at1ons de Il\ilSs1fs de fondation engendrées par les machines quO ils supportent. Tout naturellement, en abordant les phénomènes d'interaction sol-structure, a-i;. on cherché a exploiter les résultats
importants obtenus dans le domaine des vibrations, cela a donné naissance a la métho
203
coefficient de Poisson v. Dans les problèmes d'interaction sol-structure, la méthode éles sous-structures est une méthode éle superposition qui exige la linéarité élu comportement de l'ensemble sol-fondation; le modèle viscoélastique linéaire équivalent est bien adapté a condition de choisir un module de cisaillement G et un pourcentage d'amortissement critique f3 compatibles avec le niveau de déformation moyen induit BOUS l'ouvrage (cf ,chapitre V).Le choix de ce niveau de déformation moyen sera étudié au chapitre VII. Le comportement du sol est alors défini par son module éle cisaillement G" (défini a partir du mo.r!lJle sécant G et du pourcentage d'amortissement critique (3) et son coefficient de Poisson v, Dans la suite du chapitre, on ne distinguera pas Gmax de G" et on retiendra la seule notation G. Notons enfin que, contrairement a l'étude de la réponse sismique d'un profil de sol, l'étude des vibrations de machines est un problème de source mathématiquement bien posé (LYSMER, 1979], Des solutions exactes peuvent etre obtenuc1!l l'Ii'l.ns qu'aucune hypothèse concernant la nature des ondes émises ne soit nécessaire,
2. DEFIRI'l"ION DE L'IMPEDANCE D'UNE FœmM'I0lI
COnsidérons une fondation de forme quelconque reposant a la surface d'un milieu semi-infini et soumise à une soll.icitation harmonique Po exp{ iwt) (figure 1.). Outre la sollicitation appliquée, les forces s'exerçant sur la fondation sont les forces d'inertie et les forces de réaction du sol Ret), Il en résulte, en régime stationnaire, un déplacement Zo exp{iwt) de la fondation. ASsocions a la fondation réelle une fondation fictive de mêmes caractéristiques géométriques mais de masse nulle. Soit Z( t ) son déplacement lorsqu'elle est soumise à la force appliquée pet). Par définition, on appelle impédance de la fondation le quotient de la force appliquée au déplacement de la fondation sans masse J
P(t) Z( t)
•
t')
,
Il est évident, les forces 0 'inertie de la fondation étant nulles, que l' impédance est égale au quotient de la réaction R(t) exercée par le sol sur la fondation au déplacement de celle-ci :
K'
R(t) Z( t)
,,
)
Dans le cas d'une fondation partiellement enterrée, la réaction Ret) se compose des efforts développés sous la base de la fondation et des efforts développés le long des faces latérales en contact avec le sol. A partir de l'équation (1) on peut définir une impédance de la fondation pour les modes de translation (horizontale ou verticale), de balancement, de torsion. Notons que l'application d'une force horizontale donnant naissance a la fois a un
204
déplacement horizontal et fi une rotation, il existe également une Lmpédance couplée rotat.ion--àéplacement horizontal 1 r.p.lle-ci se définit comme le rapport de la force (ou du moment) appliquée fi la rotation (ou au déplacement horizontal) r:ésultant.
Semi_espace
p ,
Figure 1
G
, V
Réponse d'une fondation à une sollicitation harmonique
2.1. Impédanoe d'un oscHl.ateur simpl.e fi un degré de liberté
considération d'un oscillateur sLmple à un degré de liberté est utile pour la compréhension de la forme générale prise par les fonctions CI' 1.rnpédance. L' équation d'équilibre dynamique d'un tel oscillateur, de caractéristiques m,c,k, soumis à une sollicitation harmonique S'écrit 1
La
(3)
La solution genérale a pour expression
p e
~
Z( t )
(k-row
•)
1.t ( 4)
+
•
1.WC
En rapprochant cette équation de l'équation (1), l'illIpédance dynamique s'écrit alors =
K =
(
k
-
m w• ) +
1. C W
( ')
205
Elle se compose d'une partie réelle K:dw) et d'une partie imaginaire Kz(w), dépemiant toutes deux de la pulsation de la sollicitation, Le déplacement est la somme d'une partie en phase avec la sollicitation, qui traduit les caractéristiques de raideur et d'inertie du systême, et d'une partie déphasée de 90° qui traduit leS caractéristiques d'amortissement, faisant intervenir la pulsation propre Wn ~(k/m)~/7. et le pou=entage d'amortissement critique ~ ~ C/2/(km)~/z, l'équation (5) peut se réécrire 1
En
x- k
[ ,
-
[
=n
i
2 " w
On
1
'"
qui montre que l'impédance peut s'exprimer sous la forme du pl:'Oduit de la raideur statique k par un nombre complexe k~+lwc~ qui regroupe les caractéristiques dynamiques du système , on le dénomme ilnpédance dynamique, Lorsque la pulsation tend vers 0, l'impédance tend vers la raideur statique k, Les variations de kl. et cl. sont données sur la figure 2 en fonction de loi/loin'
u•
•."'t--...
•• 'p
•2
~
•, "t---------------\---~
,
0
Figura 2
Impédance
dynamique de l'oscillateur
" simple
2.2. Faune générale de 1'impédance d'une fondation
Les considérations précédentes, relatives à l'oscillateur simple a un degré de liberté, suggèrent que de façon générale le déplacement d'une fondation sournia a une sollicitation harmonique peut être décomposé suivant une composante en phase avec la sollicitation et une composante déphasée de 90° :
206
) e
iwt
•
Il en résulte que l'impédance s'écrira soua la forme
K .. k~
avec:
+
i
"
k, - "",".--''--,
,,
(0)
k. -
+ '.'
'.
,""7---"""
,•
, 9)
+ '.'
Il est souvent intéressant de formuler l'expression de l'~dance en faisant ressortir, comme pour l'oscillateur simple, la partie statique k 1
+ i k 1
K .. k (
•
( 10)
Pour la prdaentation des résultats donnant les variations des fonctions (l' impédance avec la frequence, il est ut.11e d'introduire une fréquence ad1ll'lensionnelle ao définie par ,
.- • o
(11 )
v
on ro désigne une dimension caractéristique de la fondation (rayon pour la foru:lation circulaire, demi largeur pour la semelle filante .. ,) et Vs une valeur caraclér.1stique de la vitesse de propagation des ondes de cisaillement dans le dem..1 espace (vitesse de propagation du milieu dans le cas. d'un milieu homogène). par analogie avec l'équation (6), l'impédance peut alors s'écrire 1
(1.2 )
et c1. sont des paramètres adilllensionnels variant avec la fréquence ad1lnensionnel.le ao.
k~
Lorsque le sol de fondation présente un amortissement matériel, l'impédance est souvent écrite, de façon a isoler l'influence de cet amortissement, sous la f(':lnne suivante 1
K
=
,
k ( k·
,
C·
)(1+2it]1
(13 )
207
Cette formulation est intéressante pour un demi espace homogène, ou pour un milieu dont les propriétés varient lentement avec la profondeur 1 les valeura de kl et Cl sont alors pratiquement indépendantes de la valeur de Il. Il suffit de les calculer pour (j - 0 (milieu élaatique). Dans un demi espace présentant au contraire des variations rapides ou discontinues de caractéristiques, les valeurs de kl et ct dépendent eensiblement de la valeur de (j et la formulation (13) perd de Bon intérêt.
2.3. Analog.1e entre le deMl.1 espace â
l.'osc.1l.lateur si.lllpie. RSlE8 (1962)
COnsidérons le cas (l'une fondation rigide. de rayon ro. posée a. la surface d'un demi espace élastique, homogène, isotrope. D'aprèe l'équation (10), son ~an ce. pour une sollicitation verticale, s'écrit ,
(14)
x La réaction du sol sous la fondation a pour expreesion
4 G
ro
v (
R{t) - K Z{t) ..
k ... -1- i
k z ) Z{ t)
(15 )
Notant que pour une sollicitation harmonique •
Z(t)
~
i w Z(t)
(16 )
l'équation (14) peut se transformer en • 4 G r
.. G ro R( t) ..
vk ... Z(t)+
"n
,,-C:cCv
k
...
..
z( t )
(:l7 )
et l'équation d'équilibre dynamique de la fondation de masse m s'écrit alors 1
m z
+
k.
Z+
~
PC t)
(18)
Cette équation est l' équation d'un oscillateur simple à un degré de liberté. Le mouvement de la fondation est celUi d'une masse m (masse de)a fondation) posée sur un ressort et un amortisseur de caractéristiques 1
208
c _
K -
(19 )
Ce ressort et cet amortisseur représentent le demi espace sous-jacent. Ces caractéristiques, qui dépendent de la fréqufJnce, incluent: les effets de Jl\aBse, raideur et éventuellement amortissement matéri.el du demi espace. L'équation (17) met en évidence le fait que, mente dans un demi espace élastique (G réel). il existe un terme d'amortissement C résultant de la propagation d'ondes depuis la fondat ion vers l' infini 1 il s'agit Cl' un amortissement radiatif qui dépen
indépendant de la fréqUence, si le matériau constitutif du demi espace il. des propriétés dissipativesJ dans ce cas G est comp1exe. La. partie réelle (le l' 1.mpéCIance représente les effets CI 'inertie et de raideur 1 la Oépendance sur la fréquence résulte du terme d'inertie (voir par analogie l. 'éqUation 5) tandis que la partie l.iée a la raideur est indépendante de la fréquence.
Pour un massif de fondation rigide présentant ...;:..... x plans de symétrie verticaux, les degrés de lil:lerté associés à la translation verticale et à la torsion autour d'un axe vertical sont 4écouplés 1 par contre l.es degréS de liberté associés au balancement autour d'un axe horizontal et à la translation horizontale sont couplés, Les équations d'équilil:lre d'un tel massif sont, en prenant les axes au centre de gravité du massif (figure 3) :
m Z + R (t) - Q (t)
(20a)
m x + R (t) _ Q (t)
( 2Ob)
,x
(20c)
z
x
z
x
(2Od )
00
m
-" masse du masRtf 'z, 'x ~ moments d'inertie autour d'un axe vertical, hori~ontal z,x - déplacements vertical, horizontal du centre de gravité 9,< _ rotations autour d· ... n axe vertical, horizontal passant par le centre de gravité R( t) ~ réaction du sol au centre de gravité géométriq ... e de la surface de contact -" sollicitations (force, moment) agissant au centre de gravité Q,M
209
c.G -_.~
,
, , ,
,
_._.~.
élévation
vue
Figure 3
Définition des composantes du d6placement
en plan
Pitt Cléfinition de 1'impédance les réactions (R) sont reliées aux déplacements
(v lb du centre de gravité de la surface de contact par
(R). -
no
=
(21 )
{V}b
•
ob [K] désigne la matrice d'impédance, formée de termes complexes 1
xz
0
0
0
0
X x
X. .
0
0
Xx>
X.
0
0
0
0
K
[K) =
En prenant comme inconnues les déplacements
(22 )
•
(vI du centre de gravité 1
Iv) ... {V}b ...
(23)
on a la relation {R} ." (KJ. J {v}
ob [KJ.l est une matrice dérivée de la matrice d'impédance,
210
( 24)
K
,
0
0
K
[K J ...
•
0
K
0
0
Les équations du mouvement (20)
[M]
.. ..
0
,c , K. . K
K
X
K.
0
X
(25)
0
C
0
s'éc~lvent
+
[v}
0
[K
•]
Ke
alors sous forme matricielle 1
{v} = {QI
(26 )
avec:
[M)
-
m
0
0
0
0
m
0
0
0
0
1
0
0
0
(27 )
0
x
1
z
et: K
,
0 K
0
•
[K ]
-
0
K
K. .
x
xx x c
x..
0
0
K
•
-
x
0
,c
0
•
2 Kx. X c
0
0
K
x
x
z
c
0
(28 )
Ke
Pour une sollicitation harmonique (Qo}exp(iwt), la solution stationnaire est
solution de l'équation
1
Wil. [Ml
1 (v)
-
(Q )
o
(29 )
ta solution de l'équation (29) est: aisée à obtenir, d'autant: que deux degrés de liberté seulement: sont couplés. La seule difficulté réside dans' la détenn.1nat1on
de la matrice d'impédance [K] (équation 22).
+.
DEI'ERKIN7.'l'Iœ/ DES l'Ol'IC'l'XONS D':J:MPEDMICE
La solution au problème d'une force haunonique appliquée ilIa surface d'un semi-
espace élastique a ete obtenue par LAMB (1904). Par intégration de cette solution élémentaire sur une surface circulaire, Rl-:ISSNER{1936), QUINLAN (1953) et SUNG
211
(1953) ont obtenu des solutions pour
le cas de répartition de contraintes uniforme, parabolique ou e11iptique, Ces solutions ne représentent pas l' impédance d'une fondation rigide. En effet, sous une fondation la répartition de contrainte n'est ni uniforme, ni parabolique, ni elliptique 1 de plus elle varie avec la fréquence, Le problème a résoudre est en fait un problème aux conditions aux limites mixtes: contrainte nulle a la surface du sol en dehors de l'emprisn de la fondation, déplacement plan sous la surface d'appui de la fondation, Ce n'est qu'avec les travaux de LYSMER (1965) que les premières solutions (numériqueS) ont été obtenues pour l'impédance verticale d'une fondation rigide a la surface d'un semi-espace élastique. Actuellement, différentes procédures sont employées pour la détermination des impédances de fondation de forme quelconque soumises a une so11icitation hi!-r:monique ( force ou moment). Une procédure donnée est plus ou moins bien adaptée a la solution d'un problème, et i l n'existe pas de méthode universelle pennettant de déterminer l'impédance d'une fondation, quels que soient 1a forme de cette dernière, son enfoncement dans le sol, la stratigraphie du sol de fondation, la fréquence d'excitation, .. Il est donc important de connaitre les limitations et avantages principaux de chacune d'entre elles pour choisir la mieux adaptée au problème polJé, En reprenant la classification de GAZETAS (1983) on peut distinguer
1
les solutions obtenues a partir d'une formulation continue du problème conduisant a des solutions analytiques ou semi-analyt1.ques les solutions obtenues a partir d'une formulation discrétisée du problème 1 méthode des éléments finis et plus rarement des diffé rences finies, Les caractéristiques principales de ces diverses solutions sont examinéeS ciaprès sans toutefois entrer dans le détail de leur formulation mathématique .
•• 1. SOluti.ons continues
Ces solutions sont obtenues a partir des solutions analytiques des équations de l 'élastodynamique dans chaque couche de sol. suivant la façon dont est traitée la condition aux limites à l'interface sol-fondation, on peut distinguer les solutions entièrement analytiques et les solutions serni-analytiques. Les solutions analytiques ne peuvent être obtenues qU'en simplifiant la condition de contact 1 les contraintes de cisaillement sont supposées nul.les a. l'interface pour les mouvements de translation verticale, ou de balancement autour d'un axe horizontal 1 les contraintes normales sont supposées nulleS pour les mouvements de translation horizontal.e, L'application de transformations intégrales (Fourier ou Hankel) conduit, pour chaqu~ mode de vibration, à un ensemble d'équations intégrales duales rêductible a une équation de Fredholm donl l'évaluation est Obtenue numériquement, Des solutions de ce type ont été Obtenues pour des fondations circulaires et filantes sur sol stratifié, viscoélastique, et pour des fondations rectangulaires sur un demi-e"pace, Les solutions semi-analytiques sont obtenues par discrétisation de la surface de contact, Le déplacement, résultant de l'application d'une sollicitation harmo--
212
nique en un des points de la discrétisation, est calculé en tous les autres points de la surface de contact. On obtient ainsi une matrice de coefficients d' influence dynamiques 1 la solution du problème est obtenue en imposant aux déplacements de tous les points de la surface de contact de se trouver dans un plan. Plusieurs techniques nwnériques sont poss1lHes pour l'obtention de la matrice des coeFFicients d'influence 1 utilisation de la solution de LalIlh, transformation de Fourier, méthode des équations intégrales ... Des solutions de ce type ont été obtenues pour des fondations de forme quelconque, posées a la surface de sols viscoélastiques stratifiés horizontalement, et pour quelques cas de fondations enfoncées dans un semi-espace homogène .
.... 2. Solutions discrètes
La plupart de ces SOlutions sont obtenues par la méthode des éléments finis. La
principale difficulté, pour la mise en oeuvre de solutions nwnériques par éléments finis, réside dans la simulation des conditions aux limites du modèle. Pour éViter les réflections d'ondes heurtant les bords du modèle, il est nécessaire d'adjoindre à ces limites des frontières absorbantes simulant de façon exacte la présence, au-delà de la frontière, d'un milieu d'extension infinie, L'existence de ce mi1ieu permet la dissipation d'énergie vers l'inFini. un exemple de frontière absorbante a été donné au chapitre V. ACtue11ement, des frontières absorbantes n'ont été développées que pour les problèmeS plans ou axisymétriques, Pour les problèmeS tridimensionnels, la seule alternative consiste a éloigner suffisamment les frontières du modè1e pour permettre l'absorption d'énergie par amortissement matériel, ou a adjoindre aux limites des frontières "visqueuses" (amortisseurs de type Lysrner-Kuh1emeyer) ne représentant le milieu infini que de façon approchée. Dans le cadre de ces restrictions géométriques, des solutions par éléments finis peuvent etre obtenues quelques soient les hétérogénéités du Sol et les enfoncements de la fondation.
4,3. Avantages et lilllitations des méthodes
De la présentation ci-descus, il ressort que les méthodes semi-analytiques (ou analytiques) sont bien adaptées aux CaB de fondation de forme quelconque reposant a la surface de semi-espaces (élastiques ou viscoélastiques), homogènes, ou dont 1es propriétés ne varient pas de façon trop brutale avec la profondeur, Leur principal avantage, et non le moindre, est de prendre correctement en compte l'aspect tridimensionnel du problème, Dée que la stratification devient trop importante, ou pour les fondations enterrées, ces méthodes deviennent moins eff1caces. Il en va de même pour le traitement des fréquences élevées nécessitant, dans J.es méthodes semi-analytiques, un grand nombre de points de discrétisation de la. surface de contact.' La méthode des éléments finis est bien adaptée au tra.itement de problèmes plans ou
axisymétiques. Aucune limitation n'existe concernant les hétérogénéités du sol ou l'enfoncement de la fondation. Les problèmes tridimensionnels sont par contre mal appréhendés et la méthode peut devenir prohibitive poUl: le traitement des fréquences élevées conduisant à des dimensions de maille faibles (voir chapitre V, paragraphe 6.2). Notons enfin que les méthodes ont souvent été opposées. Dans la pratique leur application correcte conduit a des résultats équivalents [HADJIAN et al, 1974).
213
S. EXEMPLES DE POIIC'l'l:ON
D'~
Une compilation très complète des fonctions d'i.nIp4dance publiées dans la littérature a été présentée par GAZETA.S (1983). Nous ne retiendrons ici, a titre d'illustration, que les cas d'utilisation les plus courants correspondant a une fondation circUlaire reposant, soit sur un semi-espace homogène, soit sur un bicouche constitué d'une couche de sol surmontant une assise rigide. On examinera l'influence de la forme géométr1que de la fondat1on et de son enfoncement dans le sol, Les résultats sont présentés BOUS la forme de l'équation (12) en omettant 1'indi.ce .1..
5.1. :I!IIpêdanOe CI' une fondat1on c1zcuJ.a1ze a ].a surfaoe d' un sem:L-eseœ; Du point de
vue CIe la fonnulation mathématique, ce cas correspond a la configuration la plus simple, Les valeurs de l'impédance correspondant aux quatre degrés CIe liberté, y comprie le terme de couplage mouvement horizont-.al balancement, ont été publiées par VELETSOS-WEI (1971), LUCQ-WES'l'MANN (1971) et VELETSOS-VERBIC (1974). LeS valeurs de k et c, correspondant a chaque l1ICXIe de vibration, eont donnéee sur la figure 4 pour 0 .. ao" B et {pO. L'expression de la raideur statique est également indiquée sur la figure, Pour des valeurs non nulles de l'amortissement matériel (J, l'équation (13) est applicable avec une très bonne approximation, LeS termes de couplage klC'St, cx4> n'ont pas été représentés car ils sont très faibles et peuvent étre raisonnablement négligés 1 la matrice d'impédance (22) est alors diagonale, Mi,s a part les parties réelles k z et ~ de l'impédance en translation verticale et. en balancement, les aut.res coefficients sont pratiquement indépendants du coefficient de Poisson, De même les coefficients c z • c x ' kx ne varient. que faiblement avec la fréquence et on peut, avec une bonne approximation, les considérer constants. Il en est de même pour ka' ce et c~ dès que ao ~ 2. La partie
imaginaire de l'impédance correspondant aux l1ICXIes de translation. Cz et est nettement plus élevée que celle correspondant aux modes de rotation, En d'autres termes, l'amortissement radiatif issu de ces modes est plus important que celuiiBSU des lIlOdeB de rotation. Ce dernier est: d'ailleurs pratiquement nul pour les lIlOdes de rotation aux faibles valeurs de ao(fondation de dimension réduite ou fréquence d' excitation basse), Dans ce cas, le seul amortissement est apporté par l'amortissement matériel) il est donc important d'en tenir compte. Par COntre il peut être négligé devant l'amortissement radiatif pour les modes de translation,
ex:
Les résultats de la figure 4 permettent de déterminer, a toute fréquence, le mouvement d'une fondation rigide circulaire reposant a la surface d'un sffmiespace, Il est cependant possible, dans le cas du semi-espace, de simplifier plus avant la détermination de ce mouvement en définissant ..les coefficients d' impê- dance indépendants de la fréquence. ces coefficients sont Choisis de façon a ce que la réponse du massif de fondation soit aussi proche que possible de la réponse exacte. Ainsi, la réponse étant gouvernée aux faibles fréquences par la raideur statique, la partie réelle de l'impédance est choisie égale a k "" 1. Au voisinage de la résonance, la réponse étant contrOlée par l'amortissement du systèiM, la partie imaginaire de l'11lIpéd.ance est choisie de façon a reproduire le mouvement a son voisinage, En suivant cette approche, L'iSMER (1965), HALL (1967) ont proponé
214
k.1 ~
.-
CoefftcMotlt de poisaon
~., _._._. :;:
,r
p
C.
_.
.,,0- r-' ./
............ -.-.--
q
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-
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K:r.'" 4GR
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0
k.
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L
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•
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1
,
1
,
1
1
j
-
,
c,
kt q.
.- .
.--=' ~~::~~::~:::-~.
,o
,
k.
o Figure 4
Co
80
8
0
,
·0 •
Impédance d'une fondation circulaire sur un semi-espace
215
les valeurs d' impédance données dans le tableau lIces valeurs sont indépendantes de la fréquence, Les valeurs des raideurs statiques sont données sur la figure 4. Les valeurs donnéeS dans le tableau l conduisent a une très bonne approx1.mation de la réponse sur la plage de fréqUences définie par 0 .. a o .. 4 (exception faite peutetre du balancement). La figure 5 compare, a titre d'exemple, l'amplification (rapport du déplacement dynamique au déplacement statique) d ',une fondation circulaire, sollicitée verticalement, évaluée de façon exacte et avec les coefficients d'impédance indépendants de la fréquence.
a-a• .;",•
-Impédanea _riable
(,.-ll
____ lmpolidBnea eon.tan1a
-,
....
I",!~,,I,,, '" fr:+l
G..... ~
•
,. • 0
Figure
5
Réponse d'une fondation circulaire ri$lide • une force verticale {Lyamer _ Richart,19661
Pour mieux approcher la réponse du II'\assif de fondation a l'aide de coefficients d'impédance indépendants de la fréquence, certains auteurs ont proposé d' ajouter une masse fictive a la fondation (~-ROSENBLUETH, 1971J. Cette masse ne représente pas une masse de sol "attachée" à la fondation mais constitue un artifice mathématique permettant de mieux rendre compte de la réponse de la fondation. Notons enfin que, dans cette approche où les coefficients d'impédance sont pris indépendants de la fréquence, le sol de fondation est simplement modélisé a l'aide de ressorts et d' amortisseurs (un couple pour chaque degré de liberté) de caractéristiques constantes. L'analogie de HSIEH prend alors la forme la plus simple possible. La réponse s'évalue â. l'aide de l'équation (29) où la matrice (K~J est constante.
216
Coefficients de l'impédance équivalente MOd.
d. vibration
partie réelle k,
Partie imaginaire
c,
-
--vertical
I
0.95
Horizontal
I
0.576
Balancement
I
0.30 ( I v) l
,
I
,x
+
P r.
8
V
-
•
r. Torsion
I
n
2 l I
+ p
z
,
r. _.
Tableau I •
du semi-espace 1 coefficients 1nd:épendants de la fréquence Impé~ance
domaine de validité
Raideur statique
Mod. de v1J::>rat1on
4 G
I
r. v
8 G
r.
Vertical
Horizontal
1
v
8 G
r.•
,
Torsion
-" ,-
(
I
G
+
r.
1.28
- 1
H > 2
H
r. , o., -1I 1
2
Balancement
I
H >
H
V
r.
)
[1+0.1.7
H
1
r.•
ro
<
H >
H
r.
r.
< ...
ro
1..25 ro
Tableau II • Raideur statique d'une fondation circulaire sur un mono-couche
217
,.......
5.2. rmpédance (l'une fondation circul.aire en surface (l'une couche d'épilisseu.r
Lea 13101131 de fondation ont rarement das propriétés constantes sur das profondeurs suffisamment iltIportantes pour pouvoir être assimilés a des serni-espaces hO\1Klgènes, Un cas d'hétérogénéité typique est Créé par la présence, a faible profondeur, d'une couche de sol nettement plus raide que la couche de surface, La réponse d'un massif de fondation sur ce Sol stralifié peut être fortement différente de celle du merne massif sur un sol homogène. DanS le cas 00 la couche sous-jacente peut etre considérée comme infiniment rigide, l'impédance dynamique de la fondation circulaire a été évalUée par KAUSEL (1974), KAUSEL-ROESSET (1975), KAUSEL-USHI,J'IMA (1979), La raideur statique (tableau rr) et les variations avec la fœquence des parties réelle et imaginaire de l'impédance (fiqure 6 ) sont toutes deux affectées par la présenCe d'une COuche rigide a une profondeur H, La raideur en translation verticale, et dans une moindre t'IIesure celle en translation hori:,r:ontale, sont fortement modifiées par la présenCe d'une assise X'OCheuse, par contre les raideurs en balanCement et en torsion sont peu, ou pas, affectées.
Les coefficients de l'1lnpédance dynamique dépendent fortement dU rapport B/ro, Leurs variations avec la fréquence présentent des p~cs et vallées prononCés, alora que, dans le cas du semi-espace, les variations sont plus régulières. Les pics et vallées correSpondent au]!: fréquences propres de vibration de la COuche (voir chapitre V) , les ondes émises par la vibration du massif sont réfléchies a la ~e de la couche et renvoient l'énergie vers la fondation, provoquant une augmentation de l'amplitude de vibration a certaines fréquences, Lorsque l'amortissement matériel du sol croit, les pics et vallées deviennent moins prononCés. un autre Phénomène iltIportant, mis en évidence sur la figure 6, est l'absence d'amortissement racuatif aux faibles fréquences (partie imaginaire de l'impédance dynamique nulle), A ces fréquences, le seul amortisselflênt est apporté par l'amortissement matériel, Cela résulte du fait qu'a ces fréquences aucune onCle de surface, dont la direction de propagation est horizontale, n'est Créée dans la couche de sol 1 toute l'énergie est transportée par les onCles de volutne qui sont réfléchies en atteignant l'assise rocheuse, L'énergie n'est donc transportée horilG()utalement vers l'infini qu'après de multiples réflections, ce phénomène est nettement plus marqué pour les modes de translation, donnant principalement naissânce a des ondes (de compression ou de cisaillell'lênt) a propagation verticale, que pour les modes de rotation, LeS résultats précédents mettent clairement en évidence le risque de sousévaluation de la réponse d'un massif, encouru en assimilant son sol de fondation a un semi-aspace homogène, La seule modification de la raideur statique de la fondation ne permet pas de prendre correctement en co!:".pte la présence de l'assise rigide, Si a la base de la couche de sol existe, non plus une assise rigide, mais un nemiespace, la raideur statique de la fondation diminue, les pics et vallées des impédances dynaJ1'\iques sont moins marqués et l'amortissement radiatif est accru en raison de l'absorption partielle des ondes de volume dans le semi- espace,
218
li
H/ro
•
C.
,
.....'
, ........ .... ...............
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(
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J o
Figure 6
, .0
o!-"'·"L-!,--__-!-__-:! o
2
·0
"
6
Impédance d'une fondation circulaire rigide sur un monocouche (11=5 % )
219
Les résultats de ce paragraphe montrent l'importance de la prise en compte de la stratification ~u sol ~ans l'évaluation de l' impé~ance d'une fondation. Cntte stratification a d'autant plus d'influence que le contraste de raideur, exprl.rné par le rapport VS1 / Vsz des vitesses de propagation des ondes de cisaillement des deux couches, est plus marqué et que le rayon de la fondation est important vis-avis de l'épaisseur de la couche. La figure 7 permet ~e juger de la nécessité de prendre en compte la stratification [LUCO, 1974) 1 lorsque le cas considéré correspond a un point ~e la zone hachurée, il est nécessaire d'en tenir compte dans l'évaluation ~es fonctions d'impédance.
'.0 v,
D
CJ Pas
O.'
d'influence
IZZZIlnfluence notable
o
D/_
o
Figure 7
Importance de la stratification sur la réponse d'une fondation
5.3. l''I'''''?:'noe a'une fOndation de forme quelconque Quelques résultats existent relatifS a des fondations de forme rectangulaire ou a ~es semelles fîlantes. COs résultats montrent que le concept de fondation circulaire équivalente con~uît a une valeur approchée de l' impé~ance dynamique tout-a-fait acceptable dans la pratique. Ce concept pourra être étendu, en l'absence de résultats spécifiques, a des fondations de forme quelconque régulière. Pour les modes de translation, la fondation équivalente est définie COmmP. la fondation circulaire ayant même aire que la fondation réelle 1 pour les modes de rotation, la fondation équivalente a le même moment d'inertie autour de l'axe de rotation considéré. Ainsi, pour une fondation rectangulaire de coté zr. (suivant Ox) et 2B (suivant Oy), le rayon de la fondation Circulaire équivalente est:
- mode de translation;
- modp. de balancement autour de Ox:
220
B
1'f<
r 0-
[ 4
r
[ ", rr 1
0
-
rr
L
B
3
L
~/"
- mode de
autour de Oy:
ha~ancement
- mode de torsion:
"'r'
r0-
[ ,"
r 0-
['" , "
16 L
, ,
L (B +L )
(
L'impédance dynamique de la fondation peut alors étre éva~uée a partir des résu~tats donnés pour la fondation circu~aire dans la même configuration.
5 .4. Tmp6ot!ance d'une fondation enterrée Peu de mass.1fs de fondation, et encore moins d'ouvrages importants, sont directement fondés a la surface du sol. La plupart sont plus ou moins partiellement enfoncés dans le sol de fondation, Le développement des méthodes numériques par éléments finis a permis d'obtenir l'impédance dynamique de telles fondations, circulaires ou filantes. Des méthodes analytiques approchées ont été appliquées au cas des fondations rectangulaires.
Raideur statique
Mode
de vibration 4 G ro
Vertical
1
[1
"
ro + 1.28
[H 8 G
Horizontal
ro
--,- "
( l
+
0.5
Balancement
ro
---3 (l-v)
0.85 -
0.28
1[
fi
1
+
0.67
·t'oraion
,
16
G
" '[
ro
ro
ro
ro
1
], OIRDI" 1[
0
1
+
1.25
1[
1 + 0.5
1 + 2.67
0
ro
ro
fi
1
0
0
ro [1+0.17
0
0
ro
,
8 G
(
1 [H O.,
H
0
1
[ 1
+ 0.7
" 1
1
----~-~--'---~--
--
Tableau III • RaideUr statique d'une fondation cylindrique enterrée dans une couche de Bol surmontant une assise rigide
221
La plupart de ces solutions supposent que la
et le sol au contact restent parfaitement liés pendant la vibration. En pratique, il peut y avoir glissement si les contraintes de cisaillement sur les faces latérales sont trop élevées, ou décollement si des contraintes de traction se développent a l'interface. De tels phéllOlllènes sont plus ou moins prépondérants suivant le mode de vibration ou la nature du sol de fondation. YOSHIMI et al ( l.977) ont indiqué que les sols argil.eux ou sil.teux sont l.es pl.us sensibl.es a ces phénomènes. Ceux-ci peuvent d' aill.eurs expliquer les écarts souvent importants notée entre les mouvements calcul.és et observés pour les massifs enterrés. fond~tion
par rapport a la fondation superficiel.l.e, l'enfoncement se traduit par une augptntation de la raideur statique, en part.iculier pour les modes de rotation, pax: un ACcroissement de l'amortissement radiatif et par une augmentation sensible du couplage balancement - translation horizontale. La vari.ation avec la fréqUence de l'impédance dynamique est en général différente de celle de la fondatl.on superficielle, cependant, en prem.1ère approximation, ELSABEE-MOHAAY (1977) ont proposé de retenir la même variation, que la fondation soit enterrée ou non, et ont suggéré les valeurs de raideur statique données dans le tableau III.
L'état. actuel des connaissance en matière de vibration de massifs de fondation est suffisilllmBnt développé pour permettre d'évaluer de façon rigoureuse leurs l'IIC:lUVe.nents vibratoires, De nombreux résultats concernant les impédances dynamiques de fondations superficielles, ou enterréeS, de formes diverses, ont été publiés et. peuvent être utilisés pour la plupart des applications pratiques. Pour les applicat.ions plus complexes des méthodes numériques ou analytiques ont été développées, La méthode des impédances dynamiques est suffisamment s1lllple pour être préférée
a tout.e autre méthode plus ancienne, mathématique,
souvont sans fondement physique ou
cependant, il ne faut pas oublier que la validité des résultats obtenus pour l'évaluation du mouvement d'une fondation dépend, essentiellement, de la bonne CQnnaissance et de la prise en compte correcte des caractéristiques du problème 1 stratigraphie et caracteristiques mécaniques des sols, schématisation de la fondation ". Une méconnai.ssance, ou une connaissance imparfaite, de ces paramètres est souvent responsable des écarte mentionnés entre mouvements calculés et mouvements observés,
222
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224
Chapitre VII INTERACTION SOL-STRUCTURE
On entend généralement, impropl:ement,!par .interaction Bol-structure l'étude du comportement d'une structure soumise a une sollicitation Sismiquel Littéralement.fl' .interaction Bol-structure traduit la mocUfication du mouvement du sol
(ou de la structure) lors d'un séisme du fait de la présenCE!! de l'autre composant {structure ou sall/cette interaction eat bien entendu plus ou moins importante suivant la nature du SOli les caractéristiques de l'ouvrage et son mode de fondation. Pour certains ouvrages, fondés superficiellement, elle peut etre pratiquement négligeable. Pax contre, la nécessité d'étudier la réponse sismique
(l'un ouvrage, en ne le considérant pas isolément mais comme partie intégrante d'un ensemble comprenant le sol et les structures avoisinantes, rend les analyses (l'interaction sol-structure impérieuses pour une part grandissante d'ouvrages importants 1 barrages, centrales nucléaires, r4servoirs de gaz naturel liquéfié (GNL) ."
De nombreux aspects nécessitent une étude approfondie pour résoudre complètement un probl.ème d'interaction sol-structure, Ce sont 1 la définition de l'aléa sismique et du mouvement résultant, l'étude du comportement du sol sous chargement cycl.ique, l'évaluation de la r4ponse du sol en champ libre, et celle des structures sous chargement dynamique. Mis a part ce dernier aspect, les autres ont fait l.'objet des chapitres;pr4cédents. L'analyse dynamique das structures ne sera pas abordé; on pourra Be reporter utilement a CLOUGH-PeNZ!EN [l975J,
L'abondance de la littérature concernant l'interaction sol-structure traduit a la fois la complexité du phénomène et l'intérêt qu 'y ont porté nombre de cherchf!llrs. Deux synthèses générales ont entrepris .me classification des méthodes d'étude de l'interaction sol-structure [LYSMER, 1978 ; IDRISS-}(ENNEDY, 1980J, ces publications mettent en évidence le fait que l'étude des phenomènes
225
d'interaction est essentiellement limitée au cas des probl~mes linéaires. L'approche de problèmes purement non linéaires reste l'except.ion.
une analyse complète d'interaction
~oit
prendre en compte:
la variation des caractéristiques du sol avec la profondeur le comportement non linéaire du sol le caractère tridimensionnel du problème le schéma complexe de propagation des ondes qui engendrent le mouvement l'interaction avec les structures avoisinantes. En l'état actuel des connaissances, des simplifications doivent ètre effectuées pour penœttre le traitement du problème 1 elles concernent la schématisation du sol de fondation, la nature des ondes 1ncidentelil (ondelil planelil, de cilila.i.llement, de compression, ondes de Rayleigh) •••• Avant d'e~1ner les différentes méthodes de prise en compte de l'interaction sol-structure, il est utile de formuler de façon générale le problème. cette formulation est orientée vers un traitement par éléments finis du phénomène d'interaction. En effet, la complexité du problème est telle que le recours aux méthodes numériques est pratiquement inévitable. On essaiera cependant dans la suite du chapitre d'indiquer les étapes suscept1l>les d'un traitement analytique ou celles permettant le recours a des solutions existantes. Les équations du mouvement sont obtenues par référence a la figure la qui schématise un ensemble sol-structure .
•
~
Nœuds eharg's
," "f+Ui
0 Nœuds fix'_
, -a-?
0-
,
Q,
. "'
.."' .
~
Q,
Q, ~
Problème d'Interaction
Figure 1
226
+
=
Response en champ libre
+
Inter~etion
sol-strueture
Théorème de superposition pour l'interaction sol-structure
Désignant par [Ml, [Cl, [Kl les matrices de masse, amortissement et raideur du système, l'équation du mouvement s'écrit,
(Ml lu) ... [Cl (û) ...
[K]
lu}
~
{Qf}
(')
comme la source du mouvement (foyer du séisme) n'est généralement pas incluse dans le modèle, le vecteur de charge {Qf} n'a de valeurs non nulles que sur la frontière extérieure du modèle, En l'absence de structure, l'équation du mouvement du champ libre est analogue de par sa forme a l'équation (1) 1 les indices f désignant les matrices masse, amortissement et raideur relative au seul champ libre, cette équation s'écrit;
-
(2)
on l'a noté au chapitre V, l ~équation (2) ne peut être résolue qu'en faisant certaines hypothèses sur la nature et la direction de propagation du champ .incident. Corm\e
posant ,
P) ,
l'équation (3) définit le déplacement d'interaction CUi) qui satisfait l'équation ,
-
( ')
.~c
Le vecteur de charge {Qi} est déterminé a partir des déplacements en champ libre,
Pour les systèmes linéaires, on a alors le théorème de superposition illustré sur la figure 1 [LYSMER, 1978J , le problème d'interaction est décomposé en lit Gomme d'un p'roblème de réponse du sol en champ libre (équation 2) et d' un probll':me source (équation 4) où les forces appliquées (Qi) n'ont de composantes non nulles qu'aux noeuds communs a la structure et au sol. ce dernier problème est, par essence, analogue à un problème de vibration de machine, Le déplacement total pour le problème d'interaction est alors donné par l'équation (3). L'équation (5) met clairement en évidence le fait qu'il Y a interaction dès qu'il Y a différence de masse ou de raideur entre le sol et la structure. SupprimonS pour
227
simplifi~r le terme d'amortissement dans cette équation et restreignons le problème à celui d'une structure posée à la surface du sol et soumise à la propagation verticale d'ondes de volume (cisaillement. ou compression), Dana ces condit.ions, en champ libre, tous les points de la surface du sol sont an1l1'lés d'un même lUouvement. Si la fondation de l'ouvrage est infiniment rigide, le dernier terme de l'équation (5) s'annule J le vecteur de charge {Qi) se réduit à •
[ (Ml
-
[H
f
J
(G)
Les forces {Qi} appliquées à la base de la structure engendrent un mouvement du support, équivalent a un champ de forces d'inertie dans la structure (voir équation de l'oscillateur simple au chapitre r), par suite, l'interaction ne résulte que des forces d'inertie développées dans cette structure. On lui donne le nom d'Interaction Inertielle, A l'opposé, considérons une structure enterrée dont la masse est nulle hors du sol et égale (en valeur et répartition) a. celle du sol pour la partie en terre. Les forces {Qi} ont alors pour expression 1
(7)
Elles ne résult.ent que de la différence de raideur pour la partie en terre, entre le sol et la etructuœ. Même sans différence de masse, il y a interaction J on lui donne le nom d'Interaction cinématique. Elle résulte de la raideur de la fondation qui l'empêche de suivœ les mouvements ilnposés par le sol. On a vu précédenment qu'elle était rigoureusement nulls pour certains cas 1 ell.e peut ètœ faible dans d'autres cas ( fondations sur pieux souples) ou très ilnportante (structure raide fortement contœventée enfoncée dans le sol), Dans le cas le plus général, l'interaction résulte d'une interaction inertielle et d'une interaction cinématique. La figure 1 et les raisonnements précédents illustrent 1es deux grandes méthodes d'approche de l'interaction sol-structure, La figure 1a correspond aux méthodes globa1es dont la solution est Obtenue par résolution directe de l'équation (i) '.
Elles ne font intervenir aucune notion de superposition et sont donc théoriquement adaptées aux problèmes non linéaires, Alternativement, les méthodes de sous-structures s'appuient sur la décomposition de la figure lll-lc, ou sur des déCOlllpOsitions analogues. pour résoudre le problème par étapes. Ces méthodes ne sont bien entendu applicables qu'aux problèmes linéaires, justifiables de superposition.
228
On peut distinguer 1es méthodes g1oba1es, 1es méthodes de sous-structures, et 1es méthodes hybrides. Chacune ~'elles correspond à une schématisation du modèle sol-structure.
3.1 Méthodes glaba1es
LeS méthodes globales sont celles conduisant a une détermination simultanée dU mouvement dans 1e sol et dans la structure. Le problème a résoudra est celui défini par l'équation (1), La. mise en oeuvre pratique de telles solutions est illustrée sur la figure 2. Elles nécessitent la déconvolution en champ libre du mouvement de contrOle défini à la surface ~u solI rappelons en effet (voir chapitre V) que ce dernier do:l.t étre impérativement défini à une surface libre. Le mouvement calculé a la base du modèle est ~sé a la base du système sol-structure.
acc. du ...té.unCB
MODELE CHAMP LIBRE
Figure 2
00<
libre
lS 1'f-=,,;
.pectre ace. ba •• d. st.uctu ••
MODELE SOL-STRUCTURE
Représentation schématique d'un calcul interaction sol·structure. méthode globale
229
En théorie, les méthodes globales peuvent être étendues aux cas tridimensionnels et sont susceptibles d'appréhender les comportements non linéaires dus a la loi de comportement d'un des matériaux (sol le plus souvent) ou aux interfaces solstructure (décollement ou glissement d'ouvrages sur leur fondation), En pratique, le coot de résolution de problèmeS tridimensionnels est nettement prohibitif et on doit se restreindre aux problèmes bidimensionnels. Certains artifices, sur lesquels nous reviendrons au paragraphe 4, permettent de simuler de façon approxilnative l'effet tridimensionnel de radiation des ondes. Il faut cependant garder a l'esprit que, si les méthodes globales sont généralement cooteuses du point de vue ordinateur, elles requièrent souvent moins de temps humain que d'autres méthodes approchèes exigeant une grande réflexion. Ce temps de réflexion représente également un coot non négligeable [WIGHT, 1977J.
+ Un des avantages principaux des méthodes globales est leur capacité a prendre en compte les hétérogénéités résultant soit des variations de faciès, soit des variations des caractéristiques de sol provenant de non linéarités plus prononcées dans certaines zones (angle des racU.ers .... ). Par ailleurs, l'expérience montre qu'elles sont généralement mieux adaptées et plus faciles de mise en oeuvre pour l'étude d'ouvrages enterres. Un des prograJmnes de calcul les plus utilisés dans la pratique pour résoudre les problèmes d'interaction SOl-structure par une méthode globale est le programme FLUSH [LYSMER et al, 1975]. Ce programme incorpore une loi de comportement du type v1scoélastique linéaire équivalent pour le sol, avec résolution dans le doma.:ine fréquence. Un processus :itératif permet, en outre, d'ajuster les caractéristiques du sol avec le niveau moyen de déformation ioouit par la sollicitation. Par ailleurs, ce progranane dispose de frontières absorbantes permettant
Cell méthodes peuvent, dans certains cas, constituer la seule étape de l'analyse sism.1que de la structure. Si. cette dernière est suffisamment finement modélisée, l'analyse donne les histogrammes de variations des efforts dans les éléments structuraux importants. En fait, la structure est souvent modélisée de façon relativement grossière (schématisation bid1lllensionnelle) de façon a ne représenter que ses premiers modes de vibration. L'analyse dynamique fournit alors, au niveau de la fondation' de la structure, un accélérogramme, éventuellement moyenné sur tous les points du radier si celui-ci n'est pas rigide~ permettant d'effectuer une analyse dynamique de la structure seule, plus finement modéli.sée. Cette méthode se rapproche des méthodes de sous-structures détaillées au paragraphe suivant. Une autre alternative consiste a utiliser le champ des pseudo-accélérations, obtenu a certains instants, et a procéder a un calcul statique équivalent de la structure. La difficulté de cette approche réside dans le choix des instants significatifs.
230
3.2 Méthodes de sous-structures
Cette catégorie de méthodes fait appel au principe de superposition. L'idée "e base est d'analyser le problème d • interaction sol-structure en plusieurs étapes successives J chacune "e ces étapes est réputée plus facile a résoudre, du point de vue de la modélisation ou du traitement, que le problème global. Cette méthode est particulièrement puissante quand une partie du système - la fondation par exemple - a une géométrie simple alors que la structure requiert une analyse tridimensionnelle. Elle peut également présenter des avantages pour identifier la part relative de chaque composant (interaction cinématique ou inertielle) contribuant au phénomène global d'interaction. Les différentes méthodes de soua-structure se différencient par la décomposition en Bous-modèles du modèle global 1 on distingue les méthodes dites de frontière et leB méthodeB de volume.
3 .2.1 MéthocSes de fnmtière
ces méthodes ont été dévelOPPées pax CHOE'RA-GUTIERREZ [1973], GU'l'IERREZ [1976], KAUSEL et al [1978]. Le modèle global sol-structure est divisé en deux sous-modèles représentant la structure et le sol (figure 3) , la compatibilité des efforts et déplacements est
écrite le long de la frontière séparant les deux sous-structures. Avec les notations de la figure 3, les différentes équations d'équilibre s'écrivent 1
- structure
1
m, [ c
'"
1 [:: 1 ~ [ :b 1
(0)
- sol 1
-
(9)
Dans les équations précédentes [ml, [k] ont les significations usuelles des matrices de masse et de raideur et lU} représente le vecteur des déplacements absolus, (E'Our alléger la présentation, les termes d'amortissement ont été négligés J cela ne constitue pas une limitation d'autant que, comme on le verra (par la suite, les solutions numériques sont obtenues, pour les méthodes de BOUSstructures, par intégration dans le domaine des fréquences: l'amortissement matériel est alors incorporé au système en formant les matrices de raideur à partir des modules complexes (voir chapitre II).
231
~
/'
~
/'
. /'
~
Us
Ub
.
"r;; PI::::
ft\
1"
Ua
V
Figure 3
Méthode des sous- structures: Méthode de frontière
L'analogue de l'équation (9) s'écrit en l'absence de structure 1
•
k
:::1 [:: )-[: )
af
(10 )
Elle régit le lllOuvement e-n "champ libre", la structure n'existant plus mais l' excavati.on étant présente. En cela, la définition du champ libre est différente de celle donnée par l'équation (2).
Par soustraction des équations (9) et (10), et en désignant par fUi} ao rU} - {u,..}
les déplacements d'interaction, on Obtient:
i
mf [
o
'fa k
af
k ..
H::)-[
(11 )
a
Jusqu'a. ce stade, la formulation des équations a été faite dans le doma.ine temps. L'obtention de solutions par la méthode des sous-structures dans le domaine temps
232
est possj.ble mais extrêmElmElnt complexe et inefficace du point de vue numérique. Elle nécessite la résolution d'équations intégro- différentielles. Le domaine fréquence conduit a. une formulation plus simple. L'équation (11) s'écrit alors en désignant avec le symbole - les transformées de Fourier 1
[- .... ~
[Ml
+
[K)
)
(l2)
{-Pl
cette équation peut ètre condensée, pour Chaque fréquence, aux f degrés de liberté situés sur la frontière de séparation 1
( 13)
La. matrice [Sfl est la matrice d'impédance du sol 1 cette définition généralise
celle introduite au chapitre VI 0"0 le terme matrice d'impédance avait été introduit pour les seules fondations rigides. ~nant compte de la condition de sol-structure
c~tibilité
-
{Ufl et de la relation
-
des déplacements
a.
l'interface
-
{U } b
( 14)
, -i
{Ufl
-
-
{U } f
-' ) {U f
(15 )
la substitution de l'équation (13) dans l'équation (8) conduit à 1
ms [- w'
[ o
kSS
-[
( 16)
cette équation définit 1e mouvement de la structure, en termes de déplacements absolus, lorsque celle-ci est solUtlise aux forCes, résultant du mouvement du champ libre, imposées le long de la frontière, interface avec le sol. 3.2.1.1 Suppons que l~ fondation soit infiniment rigide ; les composantes du vecteur déplacement {Ub) peuvent s'exprimer en termes d'un mouvement de corpe rigide de la fondation, défini par rapport a un point quelconque de celle-ci (par exemple, le centre de gravité géométrique de sa hase) :
233
-
(17 )
-
00 [Tl est la matrice de transformation et {Uol est: le vecteur des déplaceme~t8 et rotations de corps rigide (6 compo~antes). De merne, les forces nodales (Pb) sont: reliées aux forces et moments (Po) appliqués à la fondation par 1
(1B)
Avec ces définitions, l'equation (16) prend la forme ,
••
o [Ml
+ [
TT S
f
ü; )
• (19)
L'examen de l'équation précédente montre que la matrice K - TT Sf T est: la matrice d'impédance d'une fondation rigide (voir Chapitre VI) contenant les raideurs complexes de Bol, dépendantes de la fréquence 1 TT S f Uf est le vecteur contenant les résultantes des forces fictives Sf Uf. Le système étant constitue par la structure reliée aux impédances complexes du sol, l'équation (19) montre
-.
que la réponse du système peut etre obtenue en appliquant:, a son support, un mouvement défini par 1
K
-,
-
(20)
On aboutit ainsi au théorème de superposition de KAUSEL et al (1978 J illustré sur la figure 4 et valable pour les fondations rigides. La réponse de la structure est obtenue en résolvant trois étapes successives
- détermination du mouvement d'une fondation rigide sans masse soumise a la même sollicitation sismique que la structure (figure 4a). cette détermination conduit a l'expression TT Û (éq, 20).
f
détermination de l'impédance complexe K ~ TT St T de la fondation rigide, calcul de la réponse de la structure reliée aux ressorts d'impédance, déterminés à l'étape précédente, et soumise a la base (1') ces ressorts au mouvement calculé a la première étape, C'est la solution de l'équation (19), La première étape constitue la résolution du problème de diffraction, par la
fondation, du champ incident (mouvement du champ lihre) ; la deuxième correspond à la détermination des impédances et la dernière est Un problème de calcul de
structures classique.
234
LeS impédanceS de sol étant dépendantes de la fréquence, cette résQlution est réalisée dans le domaine fréquence COlmle développé précédenment. La solution tolale est simplement obtenue par recomposition en séries de Fourier des solutions élémentaires relatives a chaque fréquence.
~
INTERACTION
IMPEDANCE
CINEMATIQUE
DU SOL
1("/knk··1 k•• ~H
;:::
I~"
•
•
,
f::1~
~
•
Y,
SOLUTION TOTALE
•
lo
•
•
Figura 4 Théorllma de superposition de Kausel
L'intérêt de cette décomposition apparait clairement s'il est poss:1ble de simPlifier une des trois étapes du calcul. Le problème de (Ut traction existe toujours sauf pour une structUX'E! fondée en
surface et soumise a la propagation verticale d'ondes de volume 1 dans C:E! cas, la résolution de l'étape 1 est identique à celle de la réponse d'un profil de sol en champ libre puisque l'interaction cinématique est nulle. Dans le cas plus général de structures enterrées, KAtJSEL et al (1978) ont proposé une méthode approchée permettant d'évaluer l'interaction cinématique sans avoir recours au calcul complet. La solution a la deuxième étape peut etre évitée, pour certaines configuratiol"s, en utilisant les résultats de fonctions d'impédances publiés dans la littérature. La troisième étape est, en tout état de cauBe, indispensable) elle est cependant plus simPle et plus familière aux ingén.ieurs car elle procède de l'analyse dynamique class.ique des structures.
-3,2.1.2 - - -
- - - -f1ex~le -- -
Frontière
DanS le cas général, la fondation n'est pas infiniment rigide 1 le problème a résoudre est celui plus complexe défini par 1 • équation (16). La structure, reliée aux impédances de sol, est soumise a un système de SollicitationS multiples a chacune de seS liaisons avec le sol. Dans le principe, la résolution des trois mêmes étapes que précédemment est nécessaire :
235
diffraction du champ lïbre impMance réponse de la structure mais chacune est plus COI'IIplexe que dans le CaB d'une fondation rigide. En particulier, on ne peut plus avoir recours ~ des solutions publiees pour la détermination des impédances,
3,2.2 Méthode de VOlUMe ------------
méthode de vo1ume permet CI'éviter la résolution Clu problème CIe diffraction, L'interaction entre le sol et la structure est prise en oompte, non seu1ement à l' interface so1-structure, mais à tous 1es noeuds de 1a structure sous la surface du so1 [LYSMER et al, 1981], comme cela apparait par la division en sousstructures Cléfinie sur la figure 1.
La
f
A'
U S.,.t6me global
Figure 5
•
Fondation
b
" Structure moln. .01 e.csvé
Méthode de sous-structure: méthode de volume
Les équations du problème peuvent alors être formulées comme pour 1es llléthodes de sous-structures envisagées préCédemment, Tenant cOltlPte au fait que ces méthodes ne sont pratiquement utilisables que pour une intégration dans 1e domaine fréquence et pour alléger les notations, on aésignera par {A] la matrice : [A]
_
[K] -
WZ [M]
(21)
La matrice de raiaeur [K] est formée
~ partir des modules COI'IIplexes, En se référant a la figure 5, leI'! équations a'équilibre des diverses sous-structures sont :
- sol :
[ 236
a fg
..., a gg
(22 )
{Qf} représente le vecteur des forces d'interaction, - structure ( moins sol excavé)
[
•ss
a
aiS
a .. n
U
si a
ff
s
11 f 1
0
•
U
1-Qf 1
(23 )
En choississant les limites extérieures du modèle suffisamment éloignées de la structure, le mouvement du champ libre est défini par :
a
[
a
• fg gg
"b9
1 [ ::) .
[~b)
(24)
Par soustraction des équations (24) et (22), et par condensation aux f degrés de liberté, on obtient de façon analogue a l'équation (13) 1
(25)'
L'équation du mouvement de la structure s'obtient par substitution dans l'équation (23) 1
'ss
(26 )
[ ais
La solution du problème d'interaction a été réduite aux 3 étapes suivantes:
- déterminat~on de la réponse en champ libre, Aucun problème de diffraction n'existe'" ce stade 1 si les couches de sol sont horizontales, le problème peut alors être résolu, pour n'importe quel type d'ondes, a l'aide des méthodes exposées au chapitre V., - détermination de la matrice d'impédance [X f J. cette dernière contient plus de termes (9n2. si n est le nombre de noeuds communs à la structure et au sol) que celle des méthodes de frontièrcl:l ; cependant, dans le cas de couChes horizontales, on peut avantageusement utiliser la propriété d'a:x:isymétrie du problème, alliée à des frontières absorbantes [KAUSEL, 1974J, pour obtenir une détermination économi,que de la matrice de flexibilité (xfr.l, La tache principale est l'inversion de cette matrice .
•
237
- détermination de la réponse dynamique de la structure. Il s'agit d'un problème classique. cette méthoèle a été incorporée dans un prograJmlE! de calcul SASSI (LYSMER et al, 1981] qui permet de traiter le problème d'interaction sol-structure 1 le caractère tr1d1mens10nnsl du problème peut ètre priS sn compte, à un coat raisonnable, si la strat1graphie reste relat1vement régu11ère autour de la structure.
3 • ::1
Methode hybride
EXCeption faite du cas 00 il existe une solution analytique, ou une solution déjà publiée pour une configuration proche de celle étudiée, la résolution du problème 'd'impédance constitue une étape longue et coQteuse dans la méthode des sousstructures, La solut1on au problème d' ilnpédance nécesB1te la résolution, pour un grand nombre de fréquences, de l'équation (13).
"
\
\ .....
V v
,
' . P
:),
Coefficient. d'Imp6dance
flgure 6
Mllthod8 Hybride
Pour s'affranchir de cette étape, GUPTA et al [1.980] ont développé une méthode "hybride" qui, dans son principe, consiste A séparer le sol en un champ libre et un champ lOintain ( figure 6). Le champ lointain est modélisé a l'aide d'une matrice d'impédance, En d' autre.. termes, le concept de sous-structureS est étendu de façon a inclure le champ proche dans le modèle de structure, Le problème consiste alors à définir les coefficients de la matrice d'impédance du champ lointajn.
238
GUPTA et al ont résolu ce problème a l'ai~e ~'une méthode ~'identification permettant de S'assurer que le lrlOdèle hybride redonne les impédances, connues, d'un ~isque circulaire en surface ~'un semi-espace. La difficulté ~e la méthode réside dans l'obtention, le long de la frontière sép.u:ant le champ proche ~u champ lointain, de la solution du problème de ~iffraction du champ incident. GUPTA et al ont négligé cet aBpect en admettant un mouvement uniforme, égal a. celui du champ libre en surface, tout le 10n9 de la frontière. De toute évi~ence, cette hypothèse constitue une approximation très grossière (voir chapitre V) qui ~imite considérablement l'intérêt de la méthode.
3.4
OWiparai80n deB différentes Éthoc:'Ies
Un des arguments majeurs avancés pour l'utilisation des méthodes de sousstructures, de préférence aux méthodes globales, est leur facilité d'emploi alliée a. un coOt moindre. Cela est certainement vrai pour des ouvrages fon~és en surface, soumis a la propagation verticale d 'ondes ~e volume J dans ce cas, on a vu que l'interaction cinématique est nulle, supprilllant l'étape de résolution du problème de diffraction, et que des solutions analytiques, ou pub11ées, existent pour le problème d'1mpédance. Si par ailleurs le mouvement de référence est défini, comme il est de coutume, a la surface du sol, la seule étape mote l'analyse dynamique de la structure. Par ailleurs, les méthodes de sousstructures présentent l' avantage ~e permettre certaines modificationS sans qu'il soit nécessaire de reprendre toute l'analyse 1 une modification des caractéristiques de la structure ne requiert qu'une nouvelle analyse
La
4. MISE EN OEUVRE DES CALCULS D' DI'l'ERACTION 5OL-S'l'RUC'l'URE
On s'attachera essentiellement a mettre en évidence les aspects particuljers ayant trait a la modélisation du sol. comme on l'a in~iqué préCédemment, on
239
~
SOUS - STRUCTURE
METHODE GLOBALE
HYBRIDE
FRONTIERE
VOLUME
ouvrage superficiel ouvrage enterré
RESPON5E
AUCUN
DU SITE EN
MOUVEMENT DEFINI
CHAMP LIBRE
t O~DE PROBLEME DE DIFFRACTION
PROBLEME D'IMPEDANCE
t
SI
A LA SURFACE
AUCUN
1
t
t
t
AUCUN
1
t
1
AUCUN .
"-
~Sf(wl AUCUN
• NœUD EXCITE
• MOUVEMENT IMPOSE
1
-;
SOLUTION
REPONSE DYNAMIQUE
1
tH
LI
J
./
+
METHODE D'IDENTIFICATION
ANALYTIQUE
, •••••••
~
A
,
Figure 7 Comparaison des méthodes d'int"raction sol-structure
•
......
f-] ~
pourra, pour les problèmes spécifiques a la structure, se reporter a un cours de dynamique des structures [CI.OUGH-PENZlt:N, 19751. certains des aspects de modélisation dU sol ont été abordés au chapitre V. Les principes restent les mêmes pour les calculs d'interaction sol-structure, On se restreindra cependant aux calculs par éléments finis qui restent les seuls praticables, que ce soit dans la mise en oeuvre des méthodes globales ou des méthodes de sous-structures nécessitant la résolution du problème de diffraction (ou d'impédance pour les méthodes de volume).
prise en compte d'une loi de comportement non linéaire, de type élastoplastique, reste exceptionne11e. On citera, à titre d'exemple, 1e calcul de murs de soutènement [AUBRY-cHOtIVET, 1981J,
La
Dans la pratique, on II, recours au modèle viscoélastique l1néaire équivalent, Ce modè1e a l'avantage de permettre la prise en compte, par un schéma itératif, des non-11néari téS du comportement. 11 est particulièrement bien adapté aux méthodes globales 1 à chaque itération, les propriétés du sol (modules et amortissement) sont ajustées, dans chaque élément, a la déformation moyenne en cours de so1licitation de l'élément. DanS les méthodes de sous-structures, qui ne sont applicables qu'aux systèmes linéaires, on tient compte des non-1inéarités du sol en retenant les caractéristiques compat1l::l1es avec le niveau de déformat10n moyen de chaque élément en ';hamp 1ihre (étape COrrespondant a la 1ère ligne de la figure 7, ou équation 2). ces propriétés sont conservées pour la détermination des déplacements d'interaction, solution des étapes suivantes (figure lC, éqUation 4). Cela revient a admettre que 1es déformat1ons les plus importantes sont engendrées par le mouvement du champ lihre et que celles dues aux déplacements d'interaction sont faibles ({ui} « (Uf) et par suite (u) '" {uf»)' Cette hypothèse est généralement justifiée dans la pratique 1 elle met en évidence l'importance de l'étude de la réponse du sol en champ libre dans l'analyse d'interaction.
4.2
Nature et. direction de propagation de l'onde incidente
L'hypothèse couran.nent admise est celle précédemment éVoquée tout au long de cet ouvrage 1 les ondes sont planes et le mouvement horizontal du Champ incident est créé par la propagation verticale d'ondes de cisaillement SH 1 le mouvement vertical est créé par la propagation verticale d'ondes de compression p, ces hypothèses he préjugent en rien du mouvement résultant obtenu après réflexion sur l'ouvrage. on constate d'ailleurs que les ondes générées après interaction avec la structure consistent essentiellement en ondes de Rayleigh. D'autres hypothèses relatives a la nature dU Champ incident sont cependant possibles et peuvent etre prises en compte, La décomposition des déplacements en déplacements dU champ libre et déplacements d'interaction (paragraphe 2) montre que, une fois les déplacements du champ libre évalués, la nature du champ incident n'intezvient plus de façon explicite dans la fonnulation du problème d'interaction (éq. 4 et 5). La meme constatation peut être faite a partir de la méthode de volume pour les méthodes de sous-structures. ces méthodes sont donc bien adaptées
241
a la prise en compte de champs incidents divers, a condition que le mouvement du champ libre puisse etre déterminé. On a vu au chapitre V que cela était possible, moyennant certaines hypothèses restrictives, pour un champ incident constitué d'ondes de volume li. direction de propagation non verticale, d'ondes de surface généralisées (Rayleigh, Love). La décomposition du paragraphe 2 ad' ailleurs été utilisée pour évaluer la réponse d'un ouvrage enterré, de grandes dimensions, a. un champ incident compoSé d'ondes de Ray1eigh [GOMEZ MASSO et". i11, 1982].
4.3
MOdé1isation géométrique du mi1ieu
La formulation en éléments finis est classique 1 on a cependant vu dans le cas unid1lnensionnel (chapitre V) qu'il convenait "e respecter certaines conditions
pour obtenir des solutions correctes. Ces con"itions ont trait à la fonnation "e la matrice "e masse (M], aux dimensions "es éléments du maillage 1 dans le can de schématisation 1::Ii"imensionnelle, voir tridimensionnelle, l'extension du modèle a également une ilIIportance vit.i11e.
4.3.1 FOrmation de la matrice masse
cette matrice peut être soit a masses concentrées, la masse de l'élément étant simplement CQncentrée a ses noeuCls, soit. a masse répartie. Dans ce dernier cas, les forces d'inertie de l'élément sont en tout point compatibles avec le champ de déplacements à l'intérieur de l'élément, alors que dans le premier cas les forces d'inertie en rotation sont surestimées. La première formulation conduit a une matrice diagonale, la seconde à une matrice tridiagonale. On a. vu, dans le cas unidimensionnel, qu'une formulation à masses concentrées sous-estime les fréquences propres du syst.ème alors que la formulation à masoe répartie surestime ces fréquences. ces constatations restent valables dans les cas 1::Ii ou tridimensionnels et conduisent a retenir une matrice masse constitllOe pour moitié de masses concentrées et pour rooitié de masse répartie [LYSMER et al, 1974, 1975].
4.3.2 Dimension des éléments La transmission correcte des hautes fréquences ilIIpose une dimension maximale aux
éléments, au plus égale à une certaine fracti.on de la longueur d'onde correspondante. On retient généra1ement une valeur CQmpri.se entre 1/9 et 1/5 de la 10ngueur d'onde 1
h
-
,
•
,,
v
f
"
( 27 )
00 fmax représente la fréquence la plus élevée a. transmettre et Vs la vitesse de propagation des ondes de cisaillement. ce critère est généralement appliqué Il. la dimension verticale des mailles car, compte tenu de l'hypothèse généralement retenue <'le propagation verticale des ondes, le èhamp de déplacements varie plus rapi.dement dans la direction verticale que dans la.. direction hori~ontale, en particulier Il. une certaine distance de la structure.
242
Il s'agit d'un des problèmes les plus critiques dans la réaolution, par la méthode des élémenta finis, d'un problème dynamique mettant en jeu des phénomènea de propagation. En effet, en l'absence de précautions spéciales, les limites latérales et inférieure du mo(Ièle constituent dea aurfaces l1l:>res qui réfléChissent totalement les fronts d'ondes les heurtant 1 l'énergie transportée par ces ondes est renvoyée vers la IJtructure au lieu d' ètre transportée à l'infini dans le sol. La seule dissipation d'énergie ayant lieu par amortissement matériel, il convient alors d'étendre suffisalJmeI\t le modèle pour que les ondes réfléchies aux limites n'atteignent pas la structure durant le laps de temps oÙ l'on évalue sa réponse. cette procédure rem~ vite le coot dea calculs proh1l:>iti.f. 'Pour s'affranchir de ces réflexions, des dispositifs spéciaux, appelés frontières absorbantes ou consistantes, ont été développés, Placées aux l.i.m.ites du TIlO('Jêle. ces frontières sont censées représenter les conditions exactes de COntrainte existant à cette limite, du fait de la présence de sol li. l'extérieur du modèle. un exemple de frontière consistante à été donné dans le cas unidjmensionnel au chapitre v 1 cette frontière était simplement constituée par un amortisseur, façon générale, on peut classer les frontières latérales du modèle en fronti.ères élélnentaires, locales ou consistantes.
De
--
-- -
---
4.3.3.1 Frontières élémentaires
- - -
- - - - -
Elles sont constituées par une surface le long de laquelle soit le déplacement soit la contrainte sont nuls. La première alternative correspond à une condition aux limites de type Dirichlet (0) 1 la seconde li. une condition aux limites de type Neumann (N). une combinaison de ces deux conditions peul ètre obtenue en maintenant nul le déplacement dans une direction et en le laissant l1l:>re dans l'autre. on retient généralement une condition analogue li. celle existant en champ libre 1 déplacement horizontal libre et vertical nul pour un mouvement sismique incident horizontal, On a vu que ce type de frontière réfléchit totalement les ondes et ne peut donc être mis en oeuvre qu'avec des maillages de grande extension. Pour améliorer les résultats produits par ces frontières, SMITH [1.974) a proposé de résoudre deux fois le problème, la première avec les conditi.onS (On' Nt) et la seconde avec les conditions (Dt. Rn) oÙ les indices n et t se réfèrent aux directions nonnale et tangentielle à la frontière. L'addition t'les deux solutions permet d'éliminer la première réflexion mais pas les réflexions suivantes 1 l'amélioration reste donc li.mitée.
-4.3.3.2 - - -
-Frontière - - - - -locale --
terme local signifie que ce type de frontière ne met en jeu qu'un volume de sol limité, situé au voisinage immédiat du point considéré. La première tentative destinée à sill'luler l'absorption d'énergie par radiation a l'aide de frontières locales est due à LYSHER-KUHLEMEYER [1969). Physiquement, cette frontière absorbante peut être interprétée comme représentant des amortisseurs, connectés li. la frontière t'lu modèle, et dont les caractéristiques sont fonctions des propriétéS mécaniques du sol à leur voisinage. L'avantage primordial de ce type de frontière résit'le dans leur facilité d' implantation dans des codes de calr.ul nwnérique travaillant aussi bien dans le domaine fréquentiel que dans le domaine temps. Ces frontières constituent des absorbeurs parfaits d'ondes planes les atteignant avec une incidence normale. ceci a été constaté sur un exemple au Le
243
chapitre v, Pour dea angles d'l.ncidence inclinés, l'absorption est imparfait.e. D'autres types de frontièrea locales, qui ne constituent également que des absorbeurs imparfaits, ont été proposés (ANG--NEWMARK, 1971], L'exposé de leur principe dépasse le cadre de cet ouvrage. 4.3,3.3 Frontière consistante Ces frontières absorbent parfaitE~ment tous les types d'ondes, quel que soit leur angle d'incidence. Leur mise en oeuvr~ requiert, par opposition aux frontières locales, une formulation couplant tous les points de la frontière, c'est-a--dire non locale, ces frontières peuvent ètre interprétées co~ue résultant de la condensation de tous les degrés de liberté situés aU-delà des frontières du modèle, sur les degrés de liberté des points situés a. la frontière. Notons enfin que la formulation de ces frontières fait intervenir des termes dépendant de la fréquence 1 elles ne peuvent donc être utilisées que pour des solutions obtenues dans le domaine fréquence, Par contre, Constituant des absorbeurs parfaits, elles peuvent être placées a prox~té immédiate de la zone étudiée, ce qui permet de réduire notablement les dimensions du maillage. Ces frontiêres ont été initialement développées par LYSMER-WAAS (1972] et WAAS [1972) dans le cas d'ondes planes, Elles ont été étendues au cas de problèmes à symétrie àe révolution par KAUSEL (1974J et KAUSEL et al [1975J.
Pour illustrer l'efficacité des différents types de frontière décrits ci-dessus, KAUSEL et TASSOt1lAS (1991J ont évalué leur fonctionnement dans le cas d'une onde plane pour lequel des solutions elq>licites peuvent être obtenues. L'onde considérée se propage dans un monocouche et est engendrée par une force harmonique agissant, en surface, dans une direction perpendiculaire au plan de propagation. La figure 9 reproduit leurs résultats en présentant, en fonction de la fréquence d'excitation normée à la fréquence propre Vs/4H de la couche de sol, les amplitudes des ondes incidentes et réfléchies correspondantes au mode fondamental. Ces amplitudes ont été normées à l'amplitude de la solution exacte, On constate que, en dessous de la fréquence fondamentale de la couche, toutes les frontières fonctionnent correctement. Ce résultat u'est pas surprenant dans la mesure oü l'on a noté au chapitre VI que pour ces fréquences l'amortissement radiatif est pratiquement nul 1 il n 'y a pas propagation des ondes a l' infini, Audelà de cette fréquence, les résultats se détériorent en passant des frontières consistantes aux frontières locales et élémentaires. Le résultat obtenu pour les frontières consistantes est parfait. 4.3,3.5 Frontière inférieure du modèle Il n'existe pas de frontières consistantes représentant l'effet du semi-espace sousjacent au modèle, aussi, la frontière inférieure du modèle est-elle supposée rigide. En la choisissClJlt suffisamment profonde (une largeur de structure environ), les phénomènes de réflexion sur cette frontière deviennent négligeables, En effet, le champ d . ondes réfléchies par la structure est essentiellement constitué d'ondes de surface dont l'atténuation avec la profondeur est rapide, On peut d'ailleurs bénéficier de cetle propriété pour avoir une frontj~r~ inf.érieure mobile, avec un maillage variable, située à 'autant plus profondément que les fréquences étudiées sont faibles. En effet, les faibles fréquences s'atté-
244
2
,_ Frontièr.
fi".
/3 = 0,05
2-Frontl ••• lib ••
L/H.. 5
,
3-Frontiè•• Smilh 4.Lyame._ Kuhleme_
2
5-Lyame._ Wa ••
,
, , •
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o
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,
2
FREQUENCe ADIMENSIONNELLE
,
4f H/V.
1.Frontll... f .... 2.F.ontièr. lib ••
3.Frontlère Smith
4.Lya ... er_Kuhlemeyer
5.Lvame._ Waas
, q.
(b'
o
o
,
l'
FREQUENCE
Figure 8
,
2 ADIMENSIONNElLE
et H/V.
Amplitude normalisée du mode fondamental lai Onde incidente IblOnde réfléchie
245
nuent plus lentement mais requièrent des maillages plus grossiers pout" assurer une transmission correcte de l'onde (paragraphe 4.2.2).
--
-4.3.4 Effet - - -
-tridimensionnel - - - - - - -
En raison du COQt des calculs tridimensionnels par éléments finis. une méthode approchée permettant de prendre en compte l'effet tridimensionnel dans le sol a été proposée par HW7.NG et al [1975], Cette méthode consiste a attacher a chaque noeud du mail,lage de sol une frontière absorbante locale, du type LYSMERXUHLEMEYER (amortisseur). Cea amortisseurs, dont les caractéristiques dépendent: des propriétéS du sol en champ libre, développent des forces de frottements proportionnelles a la différence des vitesses, en ce point, entre le champ libre et le modèle, ces frontières. dites visqueuses, s1lllulent la propagation des ondes de cisail.lement dans la direction perpendicul.a.1re au plan du modèle. De cette façon, l'effet radiatif tridimensionnel des ondes est représenté de façon approchée. Ceci est particulièrement important pour l'étude de l'interaction entre bat1Jnents oa, en l'absence de telles frontières, les ondes peuvent rester piégées dans le modèle par réflexions successives sur lea structures, les réponses de cea dernières sont alors amplifiées Bans que cela corresponde à une réalité physique.
4.4 SChéma d'1ntégn.tion numérique Comme on l'a vu au chapitre V. il est possible de choisir un schéma d'intégration
dans le domaine temps, dans le domaine fréquence ou, s'agissant d'analyse de structures, de procéder à une analyse modale.
Cette méthode ne sera pas développée en détails, On pourra se reporter a CLOUGHPENZrEN {1975]. Le principe de la méthode consiste à décomposer le mouvement du système suivant ses modes propres de v1bration. Pour les systèmes non amortis, on bénéficie de la propriété d'orthogonalité des modes propres qui permet d'obtenir le découplage des équations du mouvement associées à chaque degré de liberté. LeS équations se réduisent donc à un ensemble d'équations régissant le mouvement d'oscillateurs s1lllples à un degré de liberté. L'amortissement est introduit sous forme d'un pourcentage d'amortissement critique. La grosse difficulté de la méthode est l'1lIIpossibilité de relier ce pourcentage d'amortissement critique à l'amortissement matériel en un point quelconque du système. De plus, l'amortissement matériel peut ètre très différent entre la structure et le sol et la valeur a introduire, pour un mode donné, doit tenit" compte d'une certaine pondération entre l'énergie de déformation du sol et celle de la structure dans ce
mode. Cette dernière difficulté n'est pas contournée en analysant séparément le sol et la structure par la méthode des sous~structures. En effet, lea impédances de aol dépendent de la fréquence et, réciproquement, les fréquences propres de vibration de la structure sont fonction de la valeur de l'1lIIpédance, On ne peut donc procéder que par itération.
246
En conclusion, l'analyse modale est mal adaptée d'interaction sol~structure.
a
l'étude des prohlèmes
C'est la seule méthode permettant de prendre en compte des non-lim~arités soit de comportement Boit de conditions aux limites (décollement, glissement ... ). Elle n'est cependant pas bien adaptée a l'étude de l'interaction sol-structure. On a vu en effet que les impédances de sol, intervenant dans une méthode de résolution par sous-structure, ou les frontières absorbantes, intervenant dans une méthode de résolution globale ou dans la résolution du problème de diffraction des méthodes de sous-structures. ont des caractéristiques dépendantes de la fréquence. LeS frontières absorbantes, de type locale, peuvent cependant permettre d'ohtenir des solutions acceptables, quoiqu'approchées, par les méthodes globales. Les algorithmes d'intégration possibles sont nombreux j certains ont été expoSéS au chapitre V. On citera plus particulièrement l'algorithme de Newmark (NEWMARK, 1959], le a-Wilson (BATRE-WILSON, 1973] ou l'algorithme de l'inertie cubique (ARGYRIS et al, 1973]. Indépendamment des problèmes de précision et de convergence, liés au choix du pas de temps, une difficulté des méthodes d'intégration directe réside dans la formation de la matrice d'amortissement. cette difficulté n'existe pas si le comportement du matériau, en l'occurence If'!! l'loI, est modéliSé à l'aide d'une loi de CQlllPOrtement appropriée (type élastoplastique) : l'amortissement est alors inclus dans la formulation. Par contre, si l'on désire faire dépendre la rigidité du sol du niveau de déformation, tout en introduisant des propriétés dissipatives, il convient d'exprimer la matrice d'amortissement de chaque élément comme une combinaison linéaire des matrices de masse et de raideur de l'élément [IDRISS et al, 1973) ,
(C]
...
a
(M]
+
{3 [K]
(28)
on obtient ainsi un amortissement de Rayleigh qui présente une dépendance sur la fréquence 1 cette dépendance est en contradiction avec les données expérimêntales pour les sols (chapitre II). On peut cependant choisir judicieusement les paramètres a et (3 de façon a atténuer cette dépendance sur la plage des fréquences intéressantes.
Il ressort des discussions précédentes que cette méthode est la mieux adaptée a l'étude de l'interaction sol-structure, que ce soit par les méthodes globales ou par les méthodes de sous-structure. Le principe de la méthode a été détaillé au chapitre V. Elle n'eat applicable qu'aux systèmes linéaires mais l'utilisation d'un modèle de sol viscoélastique linéaire équivalent, associé a un schéma itératif, pennet de prendre en compte, de façon approchée mais satisfaisante, les propriétés non linéaires et dissipatives du sol, L'amortissement matériel est en particulier pris en compte en formant les matrices de rigidité a partir des modules complmœs ; il est. dans ce cas indépendant de la fréquence.
247
compte tenu du nombre de degrés de liberté (> 1000) incorporé dans 1es ana1yses d'interaction sol-structure, il est impossib1e de résoudre le problème pour chaque fréquence de la décomposition en séries de Fourier de la sollicitation, les temps de calcul deviendraient prohibitifs, Dans la pratique, le problème est résolu pour quelques fréquences (20 a 30) judicieusement choisies et les réSultats sont interpolés, pour les autres fœquences, avant recomposition des solutions élémentaires. Le schéma d'interpolation tient compte des caractéristiques des fonctions de transfert de l'oscillateur simple a l ou 2 degrés de liberté (LYSMER et al, 1975 1 LYSMER et al, 1981], En particulier, l'inverse de la fonction de transfert de l'oscillateur simple a 1 degré de 1iberté est une fonction linéaire de la fréquence, compte tenu de ces remarques, les méthodes d'intégration dans le domaine fréquence Bont particulièrement bien adaptées et compétitives du point de vue numérique pour la œsolution des problèmes d'interaction sol-structure •
•1-
I~ ,
Frontière conslstanta
•
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•
•
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300
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,. Figure 9
Maillage d'éléments finis IHumbolt Bay'
248
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1 1 1 1 1
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FREQUENCE -HiI-
"
E!9ure 10 Comparaison des spectres de réponse il 5 % il la base
de "ouvrage
5. EXEMPLE DE CALCUL D' nr:l'ERi'.CTIotf SOI.-S'l'RDC'l.
La présentation, au paragraphe 4, des différentes méthodes de prise en compte de
l'interaction sol-structure montre que, d'un point de vue théorique, elles doivent toutes conduire a des résultats identiques, Jusqu'a, une date récente, la
méthode des sous-structures dans sa foeme la plus simple (fondation superficielle, impédance constante avec la fréquence) a reçu le plus d'attention. Avec l'apparition des méthodes globales par éléments finis, une contreverse a pris naissance tendant a discréditer la méthode simplifiée des sous- structures. S' 'lI eat exact que les deux approches ne conduisaient pas toujour:s à des résultats sell'lblables, il faut plutot en rechercher la cause dans une application inadaptée, ou marne erronée, plutot que dans une déficience théorique de l'une ou l'aulre
249
méthode. Il est actuellement universellement admis que, correctement appliquées avec la rigueur nécessairé, les deux métho<1.es conduisent aux memes résultats. La fonnulation mathématique des méthodes de sous-structures a grandement contribué a cette clarification. Il n'en reste pas moins que chaque métho<1.e a ses liJnitations, qu'il faut connaitre et comprendre, pour choisir la mieux adaptée au problème à traiter et la mettre en oeuvre correctement. PIUS fondamentale est la question de savoir si les calculs théoriques sont aptes a représenter la réalité physique Cles phénomènes, contribuant en cela à valider ces méthodes (avec les simplifications qu'elles comportent). A notre connaissance, un seul exemple en a été donné avec la comparaison de mouvements enregistrés, 10l:s CI 'un séisme réel, et CIe mouvements calculés Clans la centrale nucléaire CI'Humbolt Bay aux Etats Unis (VALERA et al, 1977 1 LYSMER et al, 1981). cette centrale a subi en 1977 un séisme important au cours duquel les accélérations en champ libre et en quelques points CIe l'ouvrage ont été enregistrés. A partir CIe l'accélérogramme en champ libre, des calculs d'interaction solstructure ont été conduits par une méthode d'éléments finis globale (LYSMER et al. 1975) sur un modèle bid1mensionnel et avec des caractéristiques définies au sta.c!e de 1 'étude d'exécution, c'est-à-dire avant le séisme. Il ne s'agit Clonc pas de calculs a posteriori, Le maillage ayant servi au calCUl est donné sur la fi9Ure 9. Des calculs analogues ont été réalisés sur un modèle tridimensionnel par la méthode du volume flexible [LYSMER et al, 19811, La figure 10 compare les spectres CIe réponse calculés Clans la structure au niveau <1e la surface du sol, par les CIeux approches, à celui effectivement enregistré, Sur la llléme figure, le spectre CIe réponse Clu mouvement en Champ ljhre (enregistré) est également inCliqué. Il ressort CIe l'examen de cette figure que l - l'interaction sol-structure est importante pour cet ouvrage. LeS accélérations spectrales sont fortement atténuées Clans l'ouvrage pour les fréquences supérieures au Hertz. - la méthode globale (biCl1mensionnelle) et la méthode des sous-structures (tridimensionnelle) conCluisent ~ Cles résultats tout à fait comparables, - la réponse de l'ouvrage est évaluée, par l'une ou l'autre méthode, avec une précision tout ~ fait acceptable CI'un point CIe vue pratique. Sur la base de ces résultats, on est forK'lé à penser que les méthodes d'évaluation de l'interaction sol-structure conduisent à des prédictions tout à fait valables et Clonc CI'une grande utilité pratique pour les ingénieurs. D'autres exemples analogues seraient cependant nécessaires pour confirmer cette affirmation. Il ne faut, par ailleurs, pas perdre de vue que ces méthodes ne valent que par la rigueur et le soin apportés à leur mise en oeuvre et encore plus par la valeur et la représentativité des caractéristiques introduites dans les modèles,
250
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252
ANNEXE
ECHELLE MN:ROSISMlQOE D' IN'l"ENSI'l'E MSK 1964
1.1. Classification des construct1ons (constructions non antiBismiques)
Type A
:
Maisons en argile, pisé, brique crue ; maisons rurales constructions en pierre tout-venant.
J
Type B
Constructions en brique ordinaire ou en blocs de béton 1 construc_ tions mixtes maçonnerie-boiS , constructions en pierre taillée.
Type C
Constructions armées , Constructions de qualité en bois.
1.2. Définition des texmes de quant1.tés
quelques beaucoup, nombreux la plupart
L3. Degrés d·end .......... g
S ,. environ
'0 ,
'"
Ent des constructions
1er degré - Dommages légers: fissuration des platres; chute ae petits débris de platre. 2e
d@!gré - DOmmages modérés : fissuration des mUl:s ) chute d'assez gros débris de platre , chute de tuiles , fissuration de cheminées ou Chute de parties de cheminées.
3e
degré - Sérieux dommages: lézardes larges et profonaes aans les murs) chute de cheminées.
4e
degl:é - Destruction 1 bl:èches dans les murs ) effonarements partiels éventuels) destruction de la solidarité entre parties différentes d'une construction , destruction de remplissages ou de cloisons intéri~ul:es .
Se
degré - Dommage total 1 effonarement total de la construction.
1.4. Effets considérés dans l'échelle
a) Effets sur les personnes et leur environnement. h) Effets SUI: les structures de toute nat.ure. C) EfLeLs sur les sites naturels.
255
2. DEGRES DE L'E'OŒLLE D'INTENSITE
1. SEO:lUSSE NON PERCZl'TIBLE
al L'intensité de la vLbt:'ation se situe en dessous du seuil de pêt:'ception hUll\aine, la secousse est détectée et enregistrée seulement pat:' les séismographes,
II. SECOUSSE A PEINE PERCEl"1'IBlE
al La secousse est :ressentie seulement par quelques individus au repos dans leut:' habitation, plus particulièrement dans les étages supérieurs des batiments,
a) La secousse est ressentie par quelques perSonnes à l'intérieur des constructions et n'est :ressentie à l'extérieur qu'en cas de circonstances favorables, La VLbrat10n :ressemble à celle causée par le passage d'un camion léger, Des observateurs attentifs notent un léger balancement des objets suspendus, balancement plus accentué dans les étages supérieut:'s.
a) Le sé1sme est ressenti a l'intérieur des constructions par de nombreuses personnes et par quelques personnes à l'extérieur. DeS dormeurs isolés sont réveilléS mais personne n'est effrayé. La vLbration est comparable à celle due au passage d'un camion lourdement chargé. Les fenêtres, les {Xlrtes et les assiettes tremblent. Les planchet:'s et les murs font entendre des craquemente. Le mobil1er commence à être secoué. LeS 11qu1dee contenus dans des récipients ouverts S'agitent légèrement. Les objets suspendus se balancent légèrement. ~
V. REVEIL DES OOIlMEUltS
a) Le séisme est t:'eesenti a l'intérieur par tout le monde et a l'extérieur par de nombreuseS personnes. De nombrelllC dormeurs s· éveillent, quelques-uns sortent en courant. Les an1maUX sont nerveux. Les constructions sont agitées d'un tremblement général. Les objets suspendus sont animés d'un large balancement. Les tableaux cognent sur les murs ou sont projetés hors de leur emplacement. En certains cas, les pendules a balancier s'arrêtent, Les objets peu stables peuvent être renversés ou déplal:és. LeS {Xlrtes ou fenêtres ouvertes bat-.t-.ent avec violence. Les liquides contenus dans des réciPients bien rempliS se répandent en petite quantité. La vibration est ressentie comme celle due a un objet lourd dégringolant dans le bàti.ment. bl
De
légers dommages du 1er degré sont {Xlss1bles dans les bat1.ments de type A.
cl Modification en certains cas du débit des sources.
256
VI. FRAYEUR
a) Le séisme est ressenti par la plupart des personnes aussi bien à l'intérieur qu'a l'extérieur des batiments. De nombreuses personnes sont effrayées et se précipitent va~'s l'extérieur. Quelques personnes perdent l'équilibre, LeS animaux domestiques s'échappent de leur stalle. cans quelques cas, les assiettes et les verres peuvent se briser, les livres tomber. Le mobilier lourd peut se déplacer et dans les clochers les petites cloches peuvent tinter spontanément. b) Dommages du ler degré dans quelques constructions de type B et dans de nombreuses constructions de type A: Dans quelques batiments de type A, dOntnages du 2e degré. Cl En certains cas, des crevasses de l'ordre du centimètre peuvent se produire dans les sols détrempés J des glissements de terrain peuvent se produire en montagne; on peut observer des changements dans le débit des sources et le niveau des puits,
VII. OClllnGES AUX COftS'l'RLC'l'IotfS
a) La plupart des personnes sont effrayées et se précipitent au-dehors. Beaucoup ont de la difficulté a rester debout, La vibration est ressentie par des personnes conduisant des voitures automobiles. De grosses cloches se mettent à sonner. b) Dans de nombreuxbatiments de type C, dommages du 1er degré 1 dans de nombreux batiJnents de type B. dommages du 2e degré. De nombreux batiJnents de type A sont endommagés au 3e degré et; quelques-uns au 4e degré, Dans quelques cas, glissements des routes le long des pentes raides 1 fissures en travers des routes 1 joints de canalisations endommagés ; fissures dans les murs de pierres. c) DeS vagues se fonnent sur l'eau et celle-ci est troublée par la boue mise en mouvement, Les niveaux d'eau dans les puits et le débit des sources changent. Dans quelques cas, des sources taries se remettent à couler et des sources existantes se tarissent. DanS des ca9 isolés, des talus de sable ou de gravier s'éboulent partiellement.
VIII. DES'l'RUC"l'ION DE BATDŒNTS
a) Frayeur et panique 1 mémé les personnes conduisant des voitures automobiles sont effrayées, Dans quelques cas, des branches d'arbres cassent, Le mobilier. meme lourd, se déplace ou se renverse, Les lampes suspendues sont endommagées en partie. b) De nombreux batirnents de type C subissent des donmages du 2e degré et quelquesuns du 3e degré. De nombreux batiments de type B sont endorrmagés au 3e degré et que lques-uns au 'le degré. De nombreux hatiments de type A sont endommagés au 4e degré et quelques-uns au 5e degré. Ruptures occasionnel·les de joints de canalisations, Les monuments et les statues se déplacent ou tournent sur el~X mêmes. Les stèles funéraires se renversent, LeS murs de pierres s'effondrent, c) Petits glissements de terral.ns dans les ravins et dans les routes en talus sur de tortes pentes 1 les crevasses dans le sol atteignent plusieurs centimètres de largeur, L'eau des lacs devient trouble. De nouvelles retenues d'eau se créent
257
dans les vallées. DeS puits asséchés se remplissent et des puits existants se tarissent. Dans de nombreux cas, changement dana le débit et le niveau de l'eau.
a) Panique générale J dégats considérables au mobilier. LeS animaux affolés courent dans toutes les directions et poussent des cris. b) De nombreux batiments du type c sub.issent des dommages du 3e degré, quelquesuns du 4e degré. De norobreux bê.t:iments de type B subissent des dOltlllilges du 4e degré et quelques-uns du se degré. De nombreuxbat:iments de type A sont endommagés au se degré. LeS monuments et les colonnes tombent. Dommages considérables aux réservoirs au sol J rupture partielle des canalisations souterraines, Dans quelques cas, des rails de chemin de fer sont pliés, des routes endommagées, c) Des projections d'eau, de sable et de boue sur les plages sont souvent observées. Les crevasses dans le sol atteignent 10 cm; elles dépassent 10 cm sur les pentes et les berges des rivières. En outre, un grand nombre de petites crevasses s'observent dans le sol, chutes de rocher; nombreux glissements de terrain, grandes vagues sur l'eau; des puits asséchés peuvent retrouver leur débit et des puits existants peuvent S'assécher.
b) De nombreux batiments de type C subissent des dommages du 4e degré et quelquesuns du se degré, De nombreux bat:iments de type B subissent des dommages du Se del3ré, la plupart des ba.t:iments de type A subissent des destructions du se degré 1 doromages dangereux aux barrages et aux digues , dommages sévères aux ponts. LeS lignes de chemin de fer sont légèrement tordues. LeS canalisations souterraines sont tordues ou rompues. Le pavage des rues et l'asphalte forment de grandes ondulations. c) Les crevasses du sol présentent des largeurs de plusieurs centimètres et peuvent atteindre 1 m. Il se produit de larges crevasses parallèlement aux cours d'eau. LeS terres meubles s'éboulent le long des pentes raides. De considérables glissements de terrain peuvent se produire dans les berges des rivières et le long des rivages escarpés) Dilns les zones littorales, déplacements de sable et de boue; changement des niveaux d'eau dans les puits J l'eau des canaux, des lacs, des rivières est projetée sur la terre. De nouveaux lacs se créent.
XI.~
b) DofmIages Sévères même aux batirnents bien construits, aux ponts, aux barrages et aux lignes de chemin de fer; les grandes routes deviennent inutilisables) les canalisations souterraines sont détruites. c) Le terrain est considérablement déformé aussi bien par des mouvements dans les directions horizontales et verticales que par de larges crevasses J nombreux glissements de terrain et chutes de rocher. La détermination de l'intensité de la secousse nécessite des investigations spéciales'
25B
• XII. CfUUfGf:IoŒNT IlE PAYSAGE
b 1 Pratiquement toutes les structures au-dessus et au-deSSOUB du sol sont gravement endommagées ou détruites. cl La topographie est bouleversée. D'énormes crevasses accompagnées d' importants déplacements horizontaux et verticaux sont observés, Des chutes de rochers et des affaissements de berges de rivière s'observent sur de vastes étendues. Des vallées sont barrées et transformées en lacs J des cascades apparaissent et des rivières sont déviées. La détermination de l'intensité nécessite des investigations spéciales.
259
INDEX
Accélérog~
21, 39
Amortissement crJtique 23,54,56,57,62,246 géolnetrique 129 matériel. 129,.174, 181, 20"/. 209, 213, 231 radiatif 168, 209 Analyse modale 246 Angle ~'incidence 168, 17~. 175, 188, 241 Atténuation 33, 39
caractéristiques (méthode des) 191 coefficient perte 54 sécurité 116 COIrportement lois (de) 43, 44, 74, 1.41 élastique 47, 57, 158 élastoplat1que 47,68,70,241,
..,
v1scoélast1que 52, 55. 60, 61, 64, 177, 187, 203, 230, 2U, 247 COncUtions 11mites 164, 165, 171, 174. 176, 190, 212 contra1nte (chute de) 26 critère Trenca 71 Von M1sès 72 cycle 48, 52, 56, 106 éqU1va1enta 108, 111
Décrément logar1thmique 54 Densité relative 99. 123 Déphasage 55, 56 Dilatance 86. 88, 99 D1scrétisation 182, 212 D1ssipation (pressions interstitielles) 92, 102, 123
Ecoulement (loi d') 73 Ecrouissage cinématique 71 isotrope 71 Elêmnnts finis 183, 186. 213, 241, 242, 249 Energie dissipée 50, 52, 56, 5"/, 63 sismique 26, 28
Essais cisaillement simple 147 cisaillement en torston 13',
14' cross-hole 134 dawn-hole l32 up-hole 134 laboratoire 138, 150, 152 en place 128, 150, 152 résonance 139 table vibrante 149 triaxial cyclique 144 vibration forcée 143 vibration libre 138
Etal caractéristique 87 critique 79, 88
Facteur qualité 55 Fa111e 19 Fonct1on de charge 70, 77 Fondation c1rculaire 213, 214, 218 enterrée 213, 221, 239 rectangula1re 213, 220 superficielle 213, 214, 239 Fourier (transformation) l"n, 179, 185, 213, 248 Frontières absorbantes 191, 213, 230, 243, 247
consistantes 191. 243, 244
Husi~
(~lagramme)
22
Hystérésis 50, 57
rmpédance 204, 205, 206, 209, 211, 214, 217, 218, 220, 221, 234, 237, 246 Intensité 29, 38, 255 Interaction so1-structure 31, 157, 225 cinématique 228, 2"ll, 235 inertielle 228, 231, 235 Intégration numérique fréquentielle 174, 177, 184, 197, 211, 231, 233, 236, 244, 247 temporelle 174, 189, 191, 194, 232, 247
