EJERCICIOS DE ESTADISTICA 2
SERGIO BEJARANO BERNAL
PROFESOR: JOSE NELSON RODRIGUEZ
UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA ESTADISTICA II CAJICÁ 2015
98. Una oficina de investigaciones sobre salud considera que el 20% de las personas adultas de una región, padecen cierta enfermedad parasitaria. ¿Cuántas personas tendrán que selección Solución: P 0,20
n
n?
E 7%
Z 2,57
2,57 2 0,2 0,8 2,57 2 20 80 215,67 216 Personas adultas 0,07 2 72
100. Se selecciona una muestra aleatoria simple de familias de clase media baja en un barrio de la ciudad, con el fin de estimar el ingreso promedio mensual. El error de estar en rango y 5000, con un riesgo de 0,0 45. ¿ De qué tamaño debe ser seleccionada la muestra, si la desviación normal ha sido calculada, si la desviación normal ha sido calculada en $28000? Solución: E 5.000
riesgo de 0,045 1 0,045 0,955 95,5% Z 2
28.000
n ?
n
2 2 28.000 5.000 2
2
125,44 126 Familias de clase media de un barrio
102. Determine el tamaño máximo de una muestra para estimar una proporción, Con una confianza del 99%, sin que el error en la estimación exceda el 2%, para una población de 10000. Solución: Z 2,57
n0
n
E 2%
N 10.000
P 0,50 (Dado que no se conoce P)
2,57 2 0,5 0,5 2,57 2 50 50 4.128,06 0,02 2 22
n0 4.128,06 2.921,89 2.922 Elementos n0 4.128,06 1 1 10.000 N
104. Un investigador del instituto descentralizado que tienen 1500 empleados, desea hacer una estimación del tiempo promedio que gastan los funcionarios, entre el instituto y la casa. El investigador decía un intervalo de confianza del 99% y una Estimación comprendida entre diez minutos y la media verdadera. Una pequeña muestra preliminar dio una varianza de tres horas y quince minutos. ¿Qué tamaño de tener la muestra que necesita el investigador? Solución: N 1.500
Z 2,57
E 10
Minutos
2 60 2 3,25 11.700
minutos2 n
1.500 2,57 11 .700 510,24 511 Empleados 1.500 1 10 2 2,57 2 11.700 2
106. Una trabajadora social que presta sus servicios en una junta de acción comunal, desea hacer un estudio para determinar Las actitudes de la comunidad frente a los programas que desea emprender. Se debe calcular el tamaño de la muestra, para hacer una estimación de la proporción de ciudadanos que están de acuerdo con los programas. Investigaciones realizadas anteriormente en zonas similares, demuestran que el 72 % de las personas entrevistadas contestaron afirmativamente. Además, se desea que el valor que la estimación este a 0,12 del valor verdadero, con un 95% de confianza. Solución: n?
n
P 0,72
E 0,12
Z 1,96
1,96 2 0,72 0,28 1,96 2 72 28 53,78 54 Ciudadanos 0,12 2 12 2
108. Un especialista en publicidad desea calcular el tamaño de la muestra de hogares en un barrio de la ciudad, para determinar en qué proporción, por lo menos, uno de sus miembros ve el programa musical. Se desea que la estimación este a 0,04 que la proporción verdadera, con un 90% de confianza. En una encuesta preliminar a 30 hogares, el 30% de los entrevistados indicó que alguien veía regularmente dicho programa. Solución: n?
E 0,04
P 0,90 Z 1,64
P 0,30
n
1,64 2 0,3 0,7 1,64 2 30 70 353,01 354 Hogares 0,04 2 42
110. Un analista de departamento quiere estimar el número promedio de las obras de entretenimiento anual para los supervisores de una división compañía, con un factor de error ± 3 horas Y un 95% de confiabilidad. Toma información de otras divisiones para calcular la desviación típica de horas de capacitación anual en s=20 horas. ¿Cuál es el tamaño mínimo requerido, si la compañía tiene 200 supervisores? Solución: E 3 horas
n
Z 1,96
s 20 horas
N 200
1,96 2 200 20 92,36 93 Supervisores 200 1 32 1,962 202 2
n 93 supervisores
112. Un contador desea hacer un estudio sobre los profesores universitarios en la ciudad de México; para saber la cantidad de dinero por mes que cada profesor dedicada a la alimentación de la familia. Realiza un inventario del número de profesores vinculados a las diferentes universidades y obtiene un listado de 2000. El contador dice que el promedio de gastos semanales en alimentación que a él interesa, debe encontrarse en alrededor de $ 30000, ya que la mayoría son casados, entre 30 y 50 años de edad y el nivel de sueldos es aceptable. Se tiene una desviación estándar de $ 2980, error del 3% y una confianza del 99%. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra? Solución: N 2.000
n
E 30.000 0,03 900
2.980
2.000 2,57 2.980 69,92 70 2.000 1 9002 2,572 2.980 2 2
n 70 profesores universitarios
2
Z 2,57
124. Entre los estudiantes de cierta universidad privada, se desea una muestra aleatoria para estimar la proporción de lectores de obras literarias. El error debe conservarse en un 5% con un riesgo de 0,0 45. ¿Cuál es el tamaño de la muestra requerida? Solución: E 0,05
n
Riesgo 0,045 Z 2
2 2 0,50 0,50 0,05 2
400
P 0,50 ( no se conoce)
n?
n 400 estudiantes
126. En una zona donde hay 4000 viviendas, el porcentaje de propietarios va a ser estimado con una muestra no mayor al 2% y el porcentaje de propietarios de autos no mayor al 1%. Con confianza del 90%. Se piensa que el verdadero porcentaje de propietarios de vivienda puede estar entre el 45% y el 65% y el porcentaje de propietarios de 2 autos entre el 5% y el 10%, ¿Qué tan grande debe ser una muestra para satisfacer las dos finalidades? Solución: N 4.000
a)
E 0,02
n
b)
P 45% o 65% se toma el más cercano a 0,5 en este caso P 0,45
4000 1,64 2 0,45 0,55 4000 0,02 2 1,64 2 0,45 0,55
E 0,01
n
Z 1,64
1.176 viviendas
P 5% o 10% se toma el más cercano a 0,50 en este caso P 0,10
4000 1,64 2 0,10 0,90 4000 0,01 2 1,64 2 0,10 0,90
1.509 viviendas
Se toma n = 1.509 viviendas por ser el mayor valor obtenido para n. 128. Una biblioteca pública quiere calcular el porcentaje de libros de que dispone con fechas de publicación de 2005 o anteriores. ¿De qué tamaño debe tomar la muestra aleatoria para que se tenga un 90% de seguridad de quedar dentro del 5% de la proporción real de la muestra?, se sabe que la biblioteca tiene 5000 títulos.
Solución: n?
n
Z 1,64
E 0,05
N 5.000
5.000 1,64 2 0,50 0,50 5.000 0,05 2 1,64 2 0,50 0,50
P 0,50 no se conoce
256 títulos
130. ¿Qué tamaño de muestra se requiere para una población de 5000 unidades, si se desea un error del 8% y un intervalo de confianza del 95%? Solución: n ?
n
Z 1,96
E 0,08
N 5.000
5000 1,96 2 0,50 0,50 5000 0,08 2 1,96 2 0,50 0,50
P 0,50
146 unidades
132. La secretaria de tránsito y transporte, requiere estimar la proporción de conductores con experiencia de un año o menos que pueden clasificarse como conductores descuidados. ¿De qué tamaño debería ser la muestra a fin de que los resultados estén dentro de un 2%, con una confianza del 95%? Se espera aproximadamente observar que ¼ del total de conductores sean descuidados. Solución: n?
n
E 0,02
1,96 2 0,25 0,75 0,02 2
Z 1,96
P
1 0,25 4
1.801 Conductores con experiencia de un año o menos
134. La producción, en un día, de tarjetas perforadas es de 3.000. Se quiere estimar el porcentaje de tarjetas que tienen, al menos, dos errores mediante una muestra aleatoria simple: a) ¿Qué tamaño de muestra es necesario si se acepta
un error del 3%?; b) Si alguien que conoce el trabajo, considera que el porcentaje podría encontrarse entre el 72 y 80%, ¿cuál sería el tamaño? Deberá ser utilizada una confianza del 95%. Solución: a) n ? n
Z 1,96
N 3.000
3.000 1,96 2 0,50 0,50 3.000 0,03 2 1,96 2 0,50 0,50
b) n ? n
E 0,03
E 0,03
Z 1,96
788 tarjetas perforadas
N 3.000
3.000 1,96 2 0,72 0,28 3.000 0,03 2 1,96 2 0,72 0,28
P 0,50 no se conoce P
P 0,72 el más cercano a 0,5
669 tarjetas perforadas
136. Un fabricante de automóviles, produce una gran cantidad de vehículos antes de recibir pedidos. Le agradaría poder calcular la proporción de automóviles que debe pintar de verde pampa en su producción por adelantado. Este fabricante ofrece una opción entre 7 colores. a) ¿Qué tamaño de muestra necesitaría? Si desea hacer una estimación dentro de un margen del 1% y un nivel de confianza del 98% para una producción de 5000 vehículos; b) Defínase la población de interés para el fabricante. Solución: a) n ?
n
E 0,01
Z 2,33
N 5.000
50.000 2,33 2 1 / 7 6 / 7 50.000 0,01 2 2,33 2 1 / 7 6 / 7
P1 7
2.854 Vehículos
b) Los 5.000 vehículos que se van a producir. e) Falso. Deben tener igual posibilidad de selección. 138. La asociación de egresados de la universidad está trabajando para formular una propuesta relativa a la consecución de una sede de la universidad. Se tiene 5.600 egresados registrados, de los cuales se toma una muestra preliminar del 1%, con la cual se obtiene que 28 de ellos piensan que la idea debería ser llevada
a cabo. ¿Cuál deberá ser el tamaño de la muestra a fin de que la asociación pueda estimar la proporción de egresados que están a favor de la propuesta, dentro de un 3%, con una confianza del 95%? Solución: n?
n
E 0,03 3%
Z 1,96
P 28 0,5 56
N 5.600
5.600 1,96 2 0,50 0,50 5.600 0,03 2 1,96 2 0,50 0,50
n p 56
897 Egresados
140. Se tiene la siguiente población de 15 valores:
Determine el tamaño de la muestra, si se desea un error de ±2 y una confianza del 90%. Solución: n ?
2
Z 1,64
N 15
2 6,67
valores2
2 X i2 N X 2 640 15 6 6,67 N 15
X n
E 2
Xi 90 6 N 15
1,64 2 15 6,67 15 2 2 1,64 2 6,67
4 unidades o valores
142. Un estimativo del total de artículos alterados de un inventario de depósito de cierto almacén, bajo condiciones desfavorables es obtenido dentro de un erro de ±0,03, con un 97,5% de nivel de confianza. El inventario total se debe hacer sobre un total de 20.000 artículos. Para ello se realizó una encuesta preliminar de 100 artículos de los cuales 85 no están alterados. ¿Cuál será el valor de n?
Solución: n?
n
E 0,03
Z 2,24
P 85 0,85 100
N 20.000
20.000 2,24 2 0,85 0,15 20.000 0,03 2 2,24 2 0,85 0,15
687 artículos
144. Una entidad social dedicada de la protección del niño realizó una muestra al azar de 225 mujeres, de una población de 6000, con el fin de determinar sus actitudes ante ciertos problemas sociales. Una de las preguntas que tienen relación directa con el objetivo de la encuesta decía: ¿cree usted que las Madres de los niños Con una edad inferior a los siete años deben trabajar fuera del hogar? 90 contestaron negativamente. Si se desea que esta muestra tenga una confianza del 95%, ¿Cuál debe hacer el error en la muestra? Solución: n 225
E?
Z 1,96
0,4 0,6
E 1,96
225
N 6.000
P 0,4 90 225
6.000 225 0,0628 6.000
E 6,28%
146. Una firma constructora de apartamentos, desea estimar el promedio de resistencia de las varillas de acero utilizadas en la construcción. ¿Qué tamaño se requiere para garantizar un riesgo de sólo 0,05 de sobrepasar un error de 5 kg o más en la estimación? La desviación típica de la resistencia de ese tipo de varillas se estima en 25 kg. Y se tiene en el momento de realizar estudio un total de 5000 varillas. Solución: E 5
Z 1,96
N 5.000
P 1 0,05 0,95
kgs2 n
5.000 1,96 2 25 2 5.000 5 2 1,96 2 25 2
95 Varillas de acero
Riesgo 0,05
2 252
148. Suponga que una compañía desea estimar la proporción de cuentas que incluye gastos específicos por trabajo Y el Valor promedio por cuenta. Además se ha fijado una confianza del 95% y un error del 6%. ¿Qué tamaño de muestra se debe fijar, si una encuesta preliminar de 30 cuentas dio como resultado 12 tarjetas que incluyen gastos específicos, por un Valor de $ 5.400.000 y una desviación estándar de $ 20000. Solución: a) n ?
E 0,06
Z 1,96
n p 30
P 12 0,4 30
1,96 2 0,6 0,4 1 2 274 cuentas 2 30 0,06
n
5.400.000 180.000 30
b) x
1,96 2 20.000 2 10.800 2
n
E 0,06 180.000 10.800
Z 1,96
1 2 15 cuentas 30
Se debe tomar como n = 274 cuentas por ser el mayor resultado. 150. Un investigador asegura que el salario promedio de los obreros, en cierto sector industrial, es de $ 750000 Y sus edades oscilan entre los 18 y los 40 años, además sus gastos en alimentación debe encontrarse entre los 40 y 60%. Se desea estimar el salario promedio, (suponiendo para ello una desviación típica de $ 40000) y el porcentaje de los gastos en alimentos. Considere un error del 2% para el promedio y 8% para la proporción, además una confianza del 95% un total de 10000 obreros, para calcular el tamaño de la muestra. Solución: a) n?
E 0,02 750.000 15.000
Z 1,96
N 10.000
2 $40.000 2
n
10.000 3,8416 40.000 28 2 2 10.000 15.000 3,8416 40.000 2
obreros
Z 1,962 3,8416
10.000 1,96 0,4 0,6 143 obreros b) n 2 10.000 0,08 1,96 2 0,4 0,6 2
152. Se estimara el número medio de días de viaje al año de los vendedores foráneos empleados por una empresa. Se utiliza el grado de confianza del 90%. La medida de un estudio piloto realizado a 25 vendedores fue de 5,2 meses Y la proporción de viajeros con más de 100 días fue del 62%. La empresa emplear un total de 620 vendedores que recorren todo el país. Dicha encuesta permitió conocer o estimar la desviación estándar de 14 días. ¿Cuántos vendedores foráneos deberán considerarse sí se establece un error del 1,5% para el promedio de viajes y del 12% para la proporción con más de 100 días de viaje? Solución: a)
x 5,2 30 156 días
Z 1,64
n p 25
s 14 días
E 0,015 156 2,34
N 620
n
620 1,64 14 84 Vendedores 2 2 2 620 2,34 1,64 14 2
b) n ? n
E 0,12
2
Z 1,64
N 620
P 0,62
620 1,64 0,62 0,38 42 Vendedores 2 2 620 0,12 1,64 0,62 0,38
Se toma
2
n = 84 vendedores por ser el mayor valor de n.
n p 25
