Elektromanyetik Dalga Teorisi DERS-4 Kayıplı Ortamda Düzlem Dalgalar Düşük Kayıplı Dielektrikler İyi İletkenler Grup Hızı Güç ve Enerji Düzlem Dalgaların Düzlem Sınırlara Dik Gelişi
www.eemdersnotlari.com
Kayıplı Ortamda Düzlem Dalgalar Eğer bir ortam iletken ise (σ≠0), elektrik alanın varlığından dolayı 𝐽⃗=𝜎. 𝐸 akımı akacaktır. Bu durumda;
𝛻 × 𝐻 = 𝑗𝜔𝜔𝐸 + 𝜎𝐸 = 𝑗𝜔 𝜀 𝜀𝑐 =𝜀 − 𝑗
𝜎 𝜔
𝜀𝑐 =𝜀 ′ − j𝜀 ′′ 𝜎 ≫ 𝜔𝜔
𝜎 ≪ 𝜔𝜔
𝐹/𝑚
𝑡𝑡𝑡𝛿𝑐 =
𝜎 + 𝑗𝜔
𝐸=𝑗𝜔𝜀𝑐 𝐸
olur.
Kayıplı ortamın kompleks geçirgenliği
𝜀 ′′ 𝜀′
≅
𝜎 𝜔𝜔
İyi iletken İyi yalıtkan
∶ 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
Kayıplı Ortamda Düzlem Dalgalar Kayıplı ortamda dalga sayısı;
𝛻 2 𝐸 + 𝑘𝑐 2 . 𝐸=0
𝑘𝑐 = 𝜔 𝜇. 𝜀𝑐
𝛾=𝛼 + 𝑗𝑗 = 𝑗𝑗 𝜇𝜇 1 +
𝛾 = 𝑗𝑘𝑐 =j 𝜔 𝜇. 𝜀𝑐
𝜎 𝑗𝑗𝑗
𝛾=𝛼 + 𝑗𝑗 = 𝑗𝑗 𝜇𝜀 ′ 1 − 𝑗
1 2
1 𝜀 ′′ 2
𝜀′
Düşük Kayıplı Dielektrikler Düşük kayıplı bir dielektrik, iyi ancak mükemmel olmayan bir yalıtkandır 𝜎 ve 𝜀 ′′ ≪ 𝜀 ′ veya ≪1 olacak şekilde sıfır olmayan bir eşdeğer öz 𝜔𝜔 iletkenliği vardır. Bu koşul altında 𝛾 terimine binom açılımını uygularsak;
𝛾=𝛼 + 𝑗𝑗 = 𝑗𝑗 𝜇𝜀 ′ 1 − 𝛼≅
𝜔𝜔 ′′ 2
𝜇 𝜀′
𝑁𝑁/𝑚
𝛽 = 𝜔 𝜇𝜀 ′ 1
1 𝜀 ′′ + 8 𝜀′
𝜀 ′′ 𝑗 ′ 2𝜀
1 𝜀 ′′ − 8 𝜀′
2
Zayıflama sabiti 2
𝑟𝑟𝑟/𝑚
Faz sabiti
Düşük Kayıplı Dielektrikler Düşük kayıplı bir dielektriğin öz empedansı kompleks bir niceliktir.
η𝑐 =
ν𝑝 , faz hızı
𝜔 𝛽
𝜇 𝜀𝑐
=
𝜇 𝜀 ′ −𝑗𝜀 ′′
η𝑐 ≅
= 𝜇 𝜀′
oranından elde edilir
ν𝑝 =
𝜔 𝛽
≅
1
𝜇𝜀 ′
𝜀′
𝜀′′ 1−𝑗 ′ 𝜀
1+ 1
𝜇
=
𝜇 𝜀′
𝜀 ′′ 𝑗 ′ 2𝜀
1 𝜀 ′′ − 8 𝜀′
1
1
− 𝜀 ′′ 2 −𝑗 ′ 𝜀
Ω
2
𝑚/𝑠
İyi İletkenler 𝜀 ′ ≪ 𝜀 ′′ veya 1≪
𝜎 𝜔𝜔
olan ortamlardır.
𝛾=𝛼 + 𝑗𝑗 = 𝑗𝑗 𝜇𝜀 𝛾= 𝛼 + 𝑗𝑗 ≅(1+j) η𝑐 =
𝜇 𝜀𝑐
≅
𝜇
𝑗𝑗 𝜀− 𝜔
𝜎 𝑗𝜔𝜔
==
𝑗
1+𝑗 𝜔𝜇𝜎 2
𝛼=𝛽=
𝜋𝑓𝑓𝑓
İyi iletkenin öz empedansı
=
𝜇
𝑗𝑗 − 𝜔
=
𝑗𝜇 𝜎 𝜔
=
η𝑐 =(1 +
𝑗𝜔𝜔 𝜎
𝛼 𝑗) 𝜎
𝜔𝜇𝜎 𝜋𝑓𝑓𝑓
= (1 + 𝑗)
𝜋𝜋𝜋 𝜎
İyi İletkenler İyi iletkende faz hızı
ν𝑝 =
𝜔 𝛽
≅
İyi iletkende dalga boyu
2𝜋𝜋
𝜋𝑓𝑓𝑓
=
4𝜋𝜋 𝜇𝜇
=
2𝜔 𝜇𝜇
𝑚/𝑠
2𝜋 ν𝑝 𝜋 λ= = =2 𝑚 𝑓 𝛽 𝑓𝜇𝜇
Deri Kalınlığı: İlerleyen dalganın genliğinin 𝑒 −1 veya 0,368 çarpanı ile azaldığı δ mesafesine iletkenin deri kalınlığı veya nüfuz derinliği adı verilir. 1 𝛼
δ= =
İyi iletken için 𝛼 = 𝛽 olduğu için
1 δ= 𝛽
=
1
𝜋𝑓𝜇𝜇
λ 2𝜋
[𝑚]
[𝑚]
yazılabilir.
Faz ve Grup Hızı Bilgi taşıyan bir sinyalin normal olarak bir yüksek taşıyıcı frekans etrafında küçük bir frekans yayılması vardır. Böyle bir sinyal bir frekans grubundan oluşur ve bir dalga paketi oluşturur. Grup hızı, dalga paketi zarfının yayılma hızıdır. Genlikleri, hızları ve yayılım yönleri aynı fakat frekansları farklı iki sinüs dalgasını toplayalım:
A(t ) = A sin(ω1t ) + A sin(ω2t ) = ω1 − ω2 ω1 + ω2 2 A cos t sin t . 2 2 Sinüslü terimin frekansı faz, kosinüslü terimin frekansı ise grup hızını belirler.
Güç ve Enerji Anlık Poynting vektörü:
𝑃 =𝐸×𝐻
𝐸 𝑟⃗. 𝑡 = 𝑅𝑅 𝐸 𝑟⃗ . 𝑒 𝑗𝜔𝜔 =
1 𝐸. 𝑒 𝑗𝜔𝜔 + (𝐸. 𝑒 𝑗𝜔𝜔 )∗ 2
1 2
1 2
𝐻 𝑟⃗. 𝑡 = 𝑅𝑅 𝐻 𝑟⃗
𝑃 = 𝐸 × 𝐻=
𝑃=
𝑃=
. 𝑒 𝑗𝜔𝜔
1 = 𝐻. 𝑒 𝑗𝜔𝜔 + (𝐻. 𝑒 𝑗𝜔𝜔 )∗ 2
𝐸. 𝑒 𝑗𝜔𝜔 + 𝐸 ∗ . 𝑒 −𝑗𝜔𝜔 ×
𝐻. 𝑒 𝑗𝜔𝜔 + 𝐻 ∗ . 𝑒 −𝑗𝜔𝜔
1 1 1 𝐸 × 𝐻 ∗ + 𝐸 ∗ × 𝐻 + 𝐸 × 𝐻. 𝑒 2𝑗𝜔𝜔 + 𝐸 ∗ × 𝐻 ∗ . 𝑒 −2𝑗𝜔𝜔 2 2 2 1 𝑅𝑅 𝐸 × 𝐻 ∗ + 𝑅𝑅 𝐸 × 𝐻. 𝑒 2𝑗𝜔𝜔 2
𝐸 ve 𝐻 zamanın fonksiyonu değillerdir. Poynting vektörünün zaman ortalaması (ortalama güç yoğunluğu)
𝑃𝑎𝑎 =
1 . 𝑅𝑅 𝐸 × 𝐻 ∗ 2
Güç ve Enerji ∇ × E = − jωµH − M i
* * * H .(∇ × E ) = − jωµH .H − H .M i
∇ × H = jωεE + σE + J i
* * * E (∇ × H ) = − jωεEE + σEE + EJ i
* * * * * * * E.(∇ × H ) − H .(∇ × E ) = H .M i + E.J i + σE .E − jωεE .E + jωµH .H Aşağıdaki vektör özdeşliğini kullanıp denklemi düzenlersek;
* * * ∇( E × H ) = H (∇ × E ) − E (∇ × H )
1 * 1 * 1 * 1 2 − ∇( E × H ) = H .M i + E.J i + σ E 2 2 2 2 2 1 2 1 + j 2ω µ . H − ε E 4 4
Harmonik alanlar için enerjinin korunumu denkleminin diferansiyel formu
1 * 1 * 1 * 1 2 2 1 2 1 − ∇( E × H ) = H .M i + E.J i + σ E + j 2ω µ . H − ε E 2 2 4 2 2 4 Denklemin iki yanının hacim integralini alırsak;
1 * 1 * − ∫ ∇( E × H )dv = − ∫ ( E × H )dS 2 2 v S 2 1 * 1 * 1 = ∫ ( H .M i + E.J i )dv + ∫ σ E dv 2v 2 2v 2 1 2 1 + j 2ω ∫ µ . H − ε E dv 4 4 v veya
2 1 * 1 * 1 * 1 − ∫ ( H .M i + E.J i )dv = − ∫ ( E × H )dS + ∫ σ E dv 2v 2 2 2v S 2 1 2 1 + j 2ω ∫ µ . H − ε E dv 4 4 v
−
1 2
* * 2 1 1 1 * 1 H M E J dv E H dS E dv j H σ ω µ ( . . ) ( ) 2 . + = − × + + i i ∫v ∫S 2 ∫v 4 2 2 ∫v
Ps : Uygulanan güç (kaynak gücü)
Pe : Çıkan güç Pd : Harcanan (kompleks) reel güç (Watt)
Ps= Pe + Pd +j2ω(𝑾𝑚 - 𝑾𝑒 )
2
−
2 1 ε E dv 4
𝑾𝑚 𝑾𝑒 Manyetik Elektrik enerjinin enerjinin zaman zaman ortalamas ortalamas ı [J] ı [J]
Düzlem Dalgaların Düzlem Sınırlara Dik Gelişi x
Yansıyan Dalga
Gelen Dalga
𝑬𝒓
𝚤̂𝒌𝒌
x
𝑬𝒊
𝑯𝒊
1. ortam (𝜀1 , 𝜇1)
𝑯𝒓
z
𝑬𝒕
𝑯𝒕
𝚤̂𝒌𝒌
z=0
İletilen Dalga
𝚤̂𝒌𝒌 2. ortam (𝜀2 , 𝜇2)
Düzlem Dalgaların Düzlem Sınırlara Dik Gelişi Z=0’daki ortam süreksizliğinden dolayı gelen dalga kısmen 1. ortama geri yansıyacak ve kısmen de 2. ortama iletilecektir. Gelen dalganın elektrik ve manyetik alan şiddeti fazörleri
Ei ( z ) = Ei 0 .e − jβ1z ıˆx E H i ( z ) = i 0 .e − jβ1z ıˆy
η1
Yansıyan dalganın elektrik ve manyetik alan şiddeti fazörleri
Er ( z ) = Er 0 .e jβ1z ıˆx − Er 0 jβ1z H r ( z) = .e ıˆy
η1
İletilen dalganın elektrik ve manyetik alan şiddeti fazörleri
Et ( z ) = Et 0 .e − jβ 2 z ıˆx E H t ( z ) = t 0 .e − jβ 2 z ıˆy
η2
Düzlem Dalgaların Düzlem Sınırlara Dik Gelişi Bilinmeyen Er0 ve Et0 büyüklüklerini belirlemek için iki denkleme ihtiyaç vardır. Bu denklemler, elektrik ve manyetik alanın sağlaması gereken sınır koşullarından elde edilir. z=0 dielektrik arayüzünde elektrik ve manyetik alan şiddetlerinin teğet bileşenleri (x-bileşenleri) sürekli olmalıdır.
Ei (0) + Er (0) = Et (0) H i (0) + H r (0) = H t (0)
Ei 0 + Er 0 = Et 0 1
η1
( Ei 0 − Er 0 ) =
Eto
η2
Ei 0 + Er 0 = Et 0 veya
H i 0 + H r 0 = H t 0 veya
1
η1
( Ei 0 − Er 0 ) =
η 2 − η1 Er 0 = Ei 0 η 2 + η1 2η 2 Et 0 = Ei 0 η 2 + η1 Er 0 η 2 − η1 = Ei 0 η 2 + η1
Yansıma Katsayısı
Γ=
İletim Katsayısı
Et 0 2η 2 τ= = Ei 0 η 2 + η1
1+ Γ = τ
Eto
η2
Düzlem Dalgaların Düzlem Sınırlara Dik Gelişi 1. ortamdaki (𝐸1 veya 𝐻1 ) toplam alanı, gelen ve yansıyan alanların toplamıdır.
− jβ1 z 2 jβ1 z E1 ( z ) = Ei 0 .e (1 + Γ.e )ıˆx
E1 ( z ) , maksimum ve minimum değerlerine sırasıyla (1 + Γ.e 2 jβ1z ) çarpanının
maksimum ve minimum olduğu yerlerde ulaşacaktır. Ortamda bir duran dalga vardır. Bir duran dalganın elektrik alan şiddetinin genliğinin maksimum değerinin minimum değerine oranına Duran Dalga Oranı denir, s veya SWR ile gösterilir
s=
E max E min
=
1+ Γ 1− Γ
(birimsiz )
s −1 Γ= (birimsiz ) s +1
Γ değerleri -1 ile +1, s’nin değeri
ise 1 ile sonsuz arasında değişir.
Düzlem Dalgaların Düzlem Sınırlara Dik Gelişi
İkinci ortamda (𝐸𝑡 , 𝐻𝑡 ) , +z yönünde yayılan iletilen dalgadır.
Et ( z ) = τ .Ei 0 .e − jβ 2 z ıˆx τ .Ei 0 − jβ 2 z H t ( z) = .e ıˆy
η2
İyi İletken Üzerine Dik Gelişi Gelen alan vektör fazörlerini düşünelim;
Ei ( z ) = Ei 0 .e − jβ1z ıˆx Ei 0 − jβ1z H i ( z) = .e ıˆy
η1
Bu dalga, z=0’da mükemmel iletken düzlem sınırına çarpmaktadır.İyi bir iletkenin öz empedansı;
η 2 − η1 − η1 = = −1 η 2 + η1 η1 2η 2 =0 τ= η 2 + η1 Γ=
η2 =
jωµ
σ
σ = ∞ yazarsak η 2 = 0 olur
Sonuç olarak, 𝐸𝑟𝑟 = Γ. 𝐸𝑖𝑖 = −𝐸𝑖𝑖 , 𝐸𝑡0 = τ. 𝐸𝑖𝑖 = 0 bulunur. Gelen dalga fazı ters çevrilerek tümüyle geri yansır.
İyi İletken Üzerine Dik Gelişi Gelen alan vektör fazörleri
− jβ1 z Ei ( z ) = Ei 0 .e ıˆx Ei 0 − jβ1z H i ( z) = .e ıˆy
η1
Yasıyan alan vektör fazörleri
+ jβ1 z Er ( z ) = − Ei 0 .e ıˆx Ei 0 + jβ1z H r ( z) = .e ıˆy
η1
İyi İletken Üzerine Dik Gelişi E1 ( z ) = Ei ( z ) + Er ( z ) = Ei 0 .( e − jβ1z − e + jβ1z )ıˆx = − Ei 0 .2. j. sin β1 z.ıˆx Ei 0 − jβ1z Ei 0 + jβ1 z H1 ( z ) = H i ( z ) + H r ( z ) = .( e )ıˆy = .2. cos β1 z.ıˆy +e
η1
η1
𝐸1 𝑧 ve 𝐻1 𝑧 ’nin zamanda birbirine dik (𝐸1 , 𝐻1 ’den –j çarpanından dolayı 900 geridedir) olduğunu gösterir. Her iki denklem de duran dalgaları gösterir.
Düzlem Dalgaların Düzlem Sınırlara Eğik Gelişi x Yansıyan Dalga Kırılan Dalga
𝜃𝑟
𝜃𝑖
y
𝜃𝑡
z
Gelen Dalga
1. ortam 𝜺𝟏 , 𝝁𝟏
z=0
2. ortam 𝜺𝟐 , 𝝁𝟐
Düzlem Dalgaların Düzlem Sınırlara Eğik Gelişi
Snell yansıma yasası: Yansıma açısı, geliş açısına eşittir. 𝜃𝑖 = 𝜃𝑟 Snell Kırılma Yasası:
sin θ t ν p 2 β1 n1 = = = sin θi ν p1 β 2 n2
µ1 = µ2 için Snell kıırılm yasası; sin θ t n1 η2 ε ε r1 = = = 1 = ( µ1 = µ2 ) sin θi n2 η1 ε2 ε r2
Tam Yansıma 𝜀1 > 𝜀2 durumunu inceleyelim. Bu durumda 𝜃𝑡 > 𝜃𝑖 olur.
𝜋
𝜃𝑡 açısı 𝜃𝑖 ile arttığından, 𝜃𝑡 = 2 olduğunda kırılan dalganın arayüzü yaladığı ilginç durum oluşur. 𝜃𝑖 nin daha fazla artışı kırılan dalga olmamasına neden olur ve gelen dalganın tamamen yansıdığı söylenir. 𝜋
𝜃𝑡 nin olduğu tam yansımanın 2 eşiğine karşılık gelen 𝜃𝑐 geliş açısına kritik açı denir.
Tam Yansıma
sin θ t ε = 1 sin θi ε2
1 ε = 1 sin θ c ε2
Kritik açı : θ c = sin
−1
sin θ c =
ε2 ε1
ε2 −1 n2 = sin ( µ1 = µ2 ) ε1 n1
Dik Kutuplama x
Yansıyan Dalga
𝚤̂𝒌𝒌
𝑯𝒓
𝑬𝒓
𝜃𝑟
Gelen Dalga
𝚤̂𝒌𝒌
𝑬𝒊
İletilen dalga
𝑯𝒊
𝜃𝑖
1. ortam 𝜺𝟏 , 𝝁𝟏
𝑬𝒕 y
z=0
𝚤̂𝒌𝒌 𝜃𝑡
z
𝑯𝒕
2. ortam 𝜺𝟐 , 𝝁𝟐
Dik Kutuplama
Gelen dalganın elektrik ve manyetik alan şiddeti fazörleri
− jβ1 ( x . sin θi + z . cosθi ) Ei ( x, z ) = Ei 0 .e ıˆy Ei 0 H i ( x, z ) = .( − cos θi .ıˆx + sin θi .ıˆz ).e − jβ1 ( x . sin θi + z . cosθi )
η1
Dik Kutuplama
Yansıyan dalganın elektrik ve manyetik alan şiddeti fazörleri
− jβ1 ( x . sin θ r − z . cosθ r ) Er ( x, z ) = Er 0 .e ıˆy Er 0 − jβ1 ( x . sin θ r − z . cosθ r ) H r ( x, z ) = .( − cos θ r .ıˆx + sin θ r .ıˆz ).e
η1
Dik Kutuplama
İletilen dalganın elektrik ve manyetik alan şiddeti fazörleri
− jβ 2 ( x . sin θ t + z . cosθ t ) Et ( x, z ) = Et 0 .e ıˆy Et 0 − jβ 2 ( x . sin θ t + z . cosθ t ) .( − cos θt .ıˆx + sin θ t .ıˆz ).e H t ( x, z ) =
η1
Dik Kutuplama Ei ( x, z ) = Ei 0 .e − jβ1 ( x . sin θi + z . cosθi )ıˆy E H i ( x, z ) = i 0 .( − cos θi .ıˆx + sin θi .ıˆz ).e − jβ1 ( x . sin θi + z . cosθi )
η1
Er ( x, z ) = Er 0 .e − jβ1 ( x . sin θ r − z . cosθ r )ıˆy E H r ( x, z ) = r 0 .( − cos θ r .ıˆx + sin θ r .ıˆz ).e − jβ1 ( x . sin θ r − z . cosθ r )
η1
Et ( x, z ) = Et 0 .e − jβ 2 ( x . sin θt + z . cosθt )ıˆy E H t ( x, z ) = t 0 .( − cos θt .ıˆx + sin θ t .ıˆz ).e − jβ 2 ( x . sin θt + z . cosθt )
Yanda verilen denklemlerde dört bilinmeyen nicelik vardır. Bunlar; 𝐸𝑟𝑟 , 𝐸𝑡0 ,𝜃𝑟 ve 𝜃𝑡
Bunların belirlenmesi 𝐸 ve 𝐻 nin teğet bileşenlerinin z=0 sınırındaki süreklilik koşullarının sağlanması ile olur.
η1
Eiy ( x,0) + Ery ( x,0) = Ety ( x,0) Ei 0 .e − jβ1 . x . sin θi + Er 0 .e − jβ1 . x . sin θi = Et 0 .e − jβ 2 . x . sin θt Benzer şekilde H ix ( x,0) + H rx ( x,0) = H tx ( x,0) 1
η1
.( − Ei 0 cos θi .e − jβ1x . sin θi + Er 0 cos θ r .e − jβ1x . sin θ r ) =
Et 0
η2
. cos θ t .e − jβ 2 x . sin θt
Dik Kutuplama Ei 0 .e − jβ1 . x . sin θi + Er 0 .e − jβ1 . x . sin θ r = Et 0 .e − jβ 2 . x . sin θt 1
η1
.( − Ei 0 cos θi .e
− jβ1 x . sin θi
+ Er 0 cos θ r .e
− jβ1 x . sin θ r
)=
Et 0
η2
. cos θ t .e − jβ 2 x . sin θt
Yukarıdaki eşitliklerin her x için sağlanması gerektiğinden, x’in fonksiyonu olan üç üstel faktörün hepsi eşit olmalıdır.
β1. x. sin θi = β1. x. sin θ r = β 2 . x. sin θt 𝑠𝑠𝑠𝜃𝑡 𝑠𝑠𝑠𝜃𝑖
bulunur ki, bu da snell yansıma (𝜃𝑖 = 𝜃𝑟 ) ve Snell kırılma yasasını (
Ei 0 − Er 0 = Et 0 1
η1
Ei 0 − Er 0 ). cos θi =
Et 0
η2
. cos θ t
= 𝛽 1 /𝛽 2 =𝑛1 /𝑛2 ) verir.
Er 0 η2 . cos θi − η1. cos θ t Γ⊥ = = Ei 0 η2 . cos θi + η1. cos θ t
Et 0 2.η2 . cos θi τ⊥ = = Ei 0 η2 . cos θi + η1. cos θ t
Paralel Kutuplama x
Yansıyan Dalga
𝚤̂𝒌𝒌
𝑬𝒓
x
𝑯𝒓
𝜃𝑟
Gelen Dalga
𝑬𝒊
İletilen dalga
𝚤̂𝒌𝒌
𝑯𝒊
𝜃𝑖
1. ortam 𝜺𝟏 , 𝝁𝟏
𝑬𝒕 y
z=0
𝚤̂𝒌𝒌 𝜃𝑡
𝑯𝒕 z
2. ortam 𝜺𝟐 , 𝝁𝟐
Paralel Kutuplama
Gelen dalganın elektrik ve manyetik alan şiddeti fazörleri
Ei ( x, z ) = Ei 0 .(cos θi .ıˆx − sin θi .ıˆz ).e − jβ1 ( x . sin θi + z . cosθi ) Ei 0 − jβ1 ( x . sin θi + z . cosθi ) .e .ıˆy H i ( x, z ) =
η1
Paralel Kutuplama
Yansıyan dalganın elektrik ve manyetik alan şiddeti fazörleri
Er ( x, z ) = Er 0 .(cos θ r .ıˆx + sin θ r .ıˆz ).e − jβ1 ( x . sin θ r − z . cosθ r ) Er 0 − jβ1 ( x . sin θ r − z . cosθ r ) .e .ıˆy H r ( x, z ) = −
η1
Paralel Kutuplama
İletilen dalganın elektrik ve manyetik alan şiddeti fazörleri
− jβ 2 ( x . sin θ t + z . cosθ t ) Et ( x, z ) = Et 0 .(cos θ t .ıˆx − sin θ t .ıˆz ).e ıˆy Et 0 − jβ 2 ( x . sin θt + z . cosθt ) .e .ıˆy H t ( x, z ) =
η2
Paralel Kutuplama 𝐸 ve 𝐻 nin teğet bileşenlerinin z=0’daki süreklilik koşulları yine Snell yansıma ve kırılma yasalarını ve ek olarak aşağıdaki iki denklemi verir. ( Ei 0 + Er 0 ). cos θi = Et 0 . cos θ t 1
η1
( Ei 0 − Er 0 ) =
Et 0
η2
Bunlardan 𝐸𝑟𝑟 ve 𝐸𝑡𝑡 , 𝐸𝑖0 cinsinden çözülerek, paralel kutuplama için yansıma ve iletim katsayıları aşağıdaki gibi bulunur.
Er 0 η2 . cos θ t − η1. cos θi ΓII = = Ei 0 η2 . cos θ t + η1. cos θi
Et 0 2.η2 . cos θi τ II = = Ei 0 η2 . cos θ t + η1. cos θi
