elementos finitos

Curso ur so:: Engen Engen aria ri a Civ Civilil Disciplina Disciplin a : Métodos Métodos Numéricos Numéricos;;

Prof: Marcos Vinicios inici os

INTROD ÇÃ O A O MÉTODO DOS EL MENTOS FINITOS

Aula_01

Curso ur so:: Engen Engen aria ri a Civ Civilil Disciplina Disciplin a : Métodos Métodos Numéricos Numéricos;;

n r o uç u ç o: e n ç o o

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em en o s

Prof: Marcos Vinicios inici os

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É um método numérico que fornece uma solução aproximada de aproximada de modelos modelos matemáticos que descrevem o comportamento o comportamento físico em físico em m m ios contínuos, contínuos, comuns na engenharia. Meio contínuo  estruturas reais ob eto da an lise. Ex: viga, laje, solo, parafuso, placa, um fluido ( gás ou líquido no interior de dutos), etc; de solicitações externas por meio de um mode lo físico. Ex: - defo deformaç rmação ão e tens tensões ões de uma estrutur estrutur sujeita a um carregamento; - er e empera uras no mo or e um u om ve ; - Escoamento de líquidos em dutos; - Campo elétrico de um capacitor; - Campo eletromagnético em um motor e létrico; Modelo Matemático

 e

ua ões diferenciais ou e ua ões inte rais com suas res ectivas

condições de contorno, que descrevem o com ortamento do modelo físico.

Curso: Engen aria Civil Disciplina : Métodos Numéricos;

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Prof: Marcos Vinicios

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Meio contínuo: Viga bi-apoiada  prev r a deflexão desta sob o efeito de uma carga; Sistema Real Modelo real

física do Meio contínuo, ou seja, elaboração d o Modelo Físico de problema analisado; Modelo simplificado: Modelo Físico - seç o cons an e; Modelo discretizado - material homogêneo; - apoios ideais; Modelo Matemático: A resistência dos Materiais fornece a teoria simples de viga, sendo a deflexão de uma vi a bi-a oiada defin ida or: Modelo Matemático

E I d 4 v = w x) dx 4

v = deflexão da linha elástica;



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Em geral, os problemas de engenha ia são descritos por modelos matemáticos complexos (equações algébricas, diferen iais, integrais e suas combinações, etc), semelhantes ao exemplo anterior da viga bi-a oiada. Raramente essas equações podem se resolvidas de uma forma fechada, ou seja, fornecer uma solução exata; Para contornar esta dificuldade são utilizados métodos numéricos a fim de se obter soluções aproximadas para estes problemas; Entre os inúmeros métodos numéricos p dem ser destacados: - Método das diferenças finitas; - Método dos Elementos Finitos M F ; - Método dos elementos de Contorno;



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Em muitas áreas da engenharia e da ciência aplicada o MEF é um dos métodos numéricos mais utilizados, uma vez que: - É uma ferramenta poderosa pa a resolver equações diferenciais-parciais e equaç es n regra - erenc a s mu o comum n os pro emas e engen ar a; - Permite facilmente a sua impl mentação em programas computacionais - O crescente desenvolvimento dos quipamentos e sistemas computacionais, contribui ara sua divul a ão e o ulariza o e ue ode ser observado nos inúmeros softwares mundialmente conhecidos;

Assim um software(programa) de elem ntos Finitos pode ser definido como: Uma ferramenta numérico-compu acional capaz de fornecer uma solução


n ro uç o:

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s ca o

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Consiste em estabelecer uma solução proximada para o problema (meio-contínuo), ou seja, uma solução que satisfaça o Modelo eal ; Modelo Real ou Meio Contínuo:

- Este modelo é formado por infinitos pontos; de possíveis deslocamentos, também cham dos de graus de liberdade de deslocamento (GLD), (DOF - Degrees Of Freedom, em inglês); - Da mesma forma, cada ponto possui um n mero n n o e par me ros var ve s , a serem determinadas. Ex: deslocamentos no ais; “ ” de uma estrutura real (meio-contínuo) em mu itos casos torna-se impossível ;

P

Meio contínuo Infinitos pontos

Domínio: todos os pontos no seu interior menos o seu contorno

Modelo real: Estrutura ou meio contínuo


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A solução aproximada de um Modelo R al é obtida por meio de um método Numérico (MEF) aplicado ao Modelo discretizado do m io-contínuo; Entre os métodos a roximados mais u ilizados na en enharia destaca-se o MEF o qual busca a solução aproximada do Mode o discretizado, a partir dos pontos de seu domínio; P Modelo Discretizado ou Simplicado:

- Este modelo é formado or finitos ontos - Cada ponto do modelo possui um Número fi ito de possíveis deslocamentos (número finito de GLD); - Da mesma forma, cada ponto possui um Número finito de parâmetros (variáveis), a serem determinadas .Ex: deslocamentos no ais; - Por estes aspectos a resolução aproximad e uma es ru ura rea me o-con nuo po e s r determinada;

Modelo Discretizado: meio contínuo


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Neste Modelo discretizado ou simplificado : - Os elementos finitos são conectados entre i através das interfaces e dos Nós ou pontos nodais; - Ao conjunto de elementos finitos e pontos no ais, dá-se, usualmente o nome de malha de elementos fin itos. - Diversos tipos de elementos finitos já foram d esenvolvidos.

P interface

(por exemplo, triangular, quadrilateral, cúbico, tc) em função do tipo e da dimensão do problema fruto a an se: ro ema un mens ona bidimensional ou tridimensional.

Modelo Discretizado: meio contínuo


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Uma vez, elaborado o Modelo discretiz do ou simplificado: - Escreve-se um Sistema de equações que d screve o comportamento de cada elemento e sua interação com o vizinho. Este sistema de quações no nível local (elemento), pode ser escr o e orma compac a, ou se a, em no aç o ma r c a : { f } = [ k ] e . {u}

onde: vetor de forças nodais local (elem nto); u  vetor deslocamento nodais local elemento); k e  matriz de ri idez do elemento f 

- O sistema de equações no nível local (elem ento) de todos os elementos são combinados , , este sistema é capaz de descrever o comport mento sobre todo o domínio(estrutura). Este Sistema escrito na forma compacta é definido or: = . onde: F  vetor de forças nodais global (m delo=estrutura); U  vetor de deslocamento nodais gl bal (modelo=estrutura); K  matriz de rigidez do modelo (estr tura);


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1- elementos unidimensionais: elementos de molas, elementos de treliça e de viga planos e elementos de treliça e de viga espaci is; Elemento de mola

Elemento de treliça e de vig a planos

Elemento de treliça e de viga espaciais

Linear: 2 Nós

Linear: 2 Nós

Quadrático: 3 Nós

Quadrático: 3 Nós

co:

s

X realizar a análise dos deslocamentos planos e das rotações no plano

Cúbico: 4 Nós

Z

X realizar a análise dos deslocamentos no espaço e das rotações no espaço

: pesar os e emen os e re ça e e v ga apresen arem a mesma represen aç o gráfica, os mesmos fornecem diferentes an álises: Elemento de treliça  analisa apena deslocamentos lineares; Elementos de viga analisa desloca entos lineares e rotações;


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1- elementos unidimensionais: elemento de treliça, exemplos de aplicação. O elemento unidimensional se con ecta ao elemento adjacente apenas pelo nó que posuem em comum.


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2- elementos bidimensionais: element s triangulares e quadrilaterais que podem ser utilizados em problemas de estado plano de tensão (Membrana ou chapa  2D), como também em problemas tridimensionais (Placa cascas  3D). Membrana ou chapa

2D

Placa casca

Y

3D

Linear

Linear

Quadrático

Quadrático

Cúbico

Cúbico X

Y X

OBS: Apesar dos elementos de Membrana e Placa apresentarem a mesma representação gráfica, os mesmos fornecem diferentes an álises: Elementos de Placa e casca analisa deslocamentos lineares e rotações;


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2- elementos bidimensionais: elementos triangulares e quadrilaterais, exemplos de aplicação, apenas em 2D. O elemento bidimensional se cone ta ao elemento adjacente não apenas pelos nós ue osuem em comum mas também el s interfaces comuns entre eles. Distribuição de temperatura Distribuição de temperatura

Elementos quadrilaterais Malha mais grosseira (34 elementos) e mais refinada (502 elementos)


n ro uç o:

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n os

3- elementos tridimensionais ou sólid s: elementos tetraédricos e hexaédricos Elementos tridimen sionais ou Sólidos

Linear

Qua rático

Cúbico

de estruturas tridimensionais, os mesmo xigem um suporte computacional maior para realizar as análises;


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pos e

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n os

3- elementos tridimensionais ou sól idos: elementos tetraédricos e hexaédricos. Exemplos de aplicação. O elemento tridimensional se conecta o elemento adjacente não apenas pelos nós ue osuem em comum mas também elas in terfaces comuns entre eles.


n ro uç o:

apas a an


se v a

A análise de um problema de engenha ia por meio do Método dos elementos finitos utilizando um software comercial é composta asicamente por três etapas: I - Fase

de pré-processamento: - r aç o a ma a um gr e n s e e emen os que represen a o mo e o; - Definir as condições de contorno: . pontos com carga (concentradas e ou distribuída . pontos com apoio (impedem os deslocamentos destes ponto) - Definir as propriedades do element s; - Monta em Assemble da matriz de ri idez dos elementos.

O modelo pode ser gerado por meio ou pode ser importado de um programa de CAD. O resu ltado f inal deste passo é um arquivo de dados, onde indica-se ao ro rama o ue fazer e com ue ferramentas trabalhar


n ro uç o:

apas a an


se v a

A análise de um problema de engenha ia por meio do Método dos elementos finitos utilizando um software comercial é composta asicamente por três etapas: II - Fase de resolução

(análise prop iamente dita): - eso uç o e um con un o e equaç es neares ou n o neares s mu aneamen e para obter os resultados nodais, desej dos, tais como: deslocamentos ou de temperatura em diferentes nós em u problema de transferência de calor.

O processo da análise esta contido numa espécie de “ c aixa reta” onde o usuário comum, em geral, não tem aceso.

A análise realizada nesta “ caixa preta” ser o foco da disciplina, ou seja, apresentar a formulação bem como processo de resolução do problema contidos nesta “ caixa preta” dos softwares;


n ro uç o:

apas a an


se v a

A análise de um problema de engenhari por meio do Método dos elementos utilizando um software comercial é composta basicamen e por três etapas: III -Fase

de pós-processamento (interpretação dos resultados): - na sar os a os gera os na s mu ç o. es a ase, voc po e es ar n eressa o nos valores de DESLOCAMENTOS, DEFORMAÇÕES, TENSÕES, FLUXO DE CALOR, etc. O ós- rocessad or e a as i nf orma ões do arquivo de resultados e às apresenta em forma gráfica ou tabulada. Os gráficos f eito pelo programa são colorid os com a finalidade de localizar os valores de Máximos e mínimos b em co mo a distribuição (campos): -Esforços; - Tensões; -Deformações Temperatura, ect.


n ro uç o: n


se es ru ura v a

A análise estrutural é a principal aplicaç ão prática do MEF dentro das engenharias; O MEF determina a configuração defo mada do modelo discretizado por meio dos deslocamento dos nós resente no modelo strutura analisada Assim, neste método (MEF), os Parâmetros=Váriáveis=incógnitas que descrevem o Os deslocamentos nodais são chama os também de Variáveis de Estado , pois governam e escrevem o es a o e equ r o o mo e o es ru ura ana sa a ; Os deslocamentos nodais calculados ia MEF permitem gerar vários resultados desejados ( deslocamentos, deformações, ten ões, etc) em uma análise estrutura: 1- MEF calcula  Deslocamentos ( L ); 2 - Com os deslocamentos MEF calcula Deformações ( = L L ); = 4 - Com as tensões MEF calcula  Forç s ( = F/A F = A);


n ro uç o: rec s o o


P1

P2

P3

A precisão do método depende:

- Quantidade de nós e elementos, e do t manho; (grau de refinamento da malha)

Modelo Real

- Do tipo de elementos presentes na mal a; - Da correta defini ão do modelo discreti ado de modo a representar a geometria bem como as condições de contorno da estrutura a alizada; con ç es apo os res r ç es e es ocamen o; de Contorno cargas  concentradas, dis ribuídas;

R E F I N A M E N T O

Modelo discr etizado 1

D A M A L A

Modelo discretizado 2

O refinamento da malhae permite escreve me or a geome r a a es ru ura a a sa a A correta definição das condiçõ s de con orno em como o re namen o a malha aumentam a precisão o

P1

P2

Modelo discr etizado 3

P3



n ro uç o: rec s o o A precisão do método depende:

- O tipo de elemento presente na malha; (Este é um ponto crucial ) A escolha do tipo de elemento afeta diret mente a análise de uma estrutura via MEF, vist que . ter como base dois aspectos fundamenta is:

o e o ea

1- Quais as informações desejadas na Modelo discretizado: análise da estrutura em questão: -Elemento de chapa, Ex: um laje onde deseja-se conhecer apenas os os deslocamentos lineares e as rotaçõ es; Fornece deslocamentosLineares; software é capaz de fornecer como resultado de uma análises estes

s ru ura – a e

Modelo discretizado: -Elemento de Placa, Fornece as rotações e deslocamentos Lineares;

- O software realizou uma análise correta

- O software realizou uma análise correta

O erro foi criado pelo

O Projetista discretizou a es ru ura e orma Corretamente;

discretizou a estrutura



n ro uç o: Modelos Discretizados utiliz dos na análise via MEF: As estruturas reais meio contínuo em Análise Estrutural odem ser a ru adas em dois grandes grupos de modelos, os quais são analisadas por meio do MEF. Nestes modelos a estrutura é discreti ada por elementos unidimensionais onde a interação ocorre somente nas juntas ou nós, ou seja, os deslocamentos os esforços são . - Modelos discretizados contínuos: Nestes modelos a estrutura é discretiza as por elementos bi e tridimensionais onde a interação não ocorre apenas sobre o nós, mas também nas interfaces comuns. Esta condição exige a utilização de uma formulaçã mais complexas.



n ro uç o: Modelos Discretizados utiliz dos na análise via MEF: - Modelos discretizados reticulados:

- Modelos discretizados contínuos: Modelo de uma Barragem de concreto

peça automotiva



n ro uç o: Modelos Discretizados utiliz dos na análise via MEF

As estruturas reais, tais como as viga , treliças, pórticos – cujas conexões são rígidas ou articuladas, apresentam menor d ificuldade na montagem nas equações que governam seu comportamento. , os esforços ( axiais, cortantes, momentos fletores e torçores ) são transmitidos para o elemento vizinho pelos nós. - Assim as equações de equilíbrio e as condições de compatibilidade de deslocamentos dos nós são suficientes pa ra conceber matematicamento o modelo de c c u o; Nó A

X Y Nó 2

E3 E1

E2

x = 5 mm y = 4 mm

E1 Nó 1

Nó 2 do elem ento E1 Deslocament o x = 5 mm Deslocament o y = 4 mm

Nó 1

Nó 2 Nó 1 do elemento E3 Deslocamento x = 5 mm Desloc amento y = 4 mm

Caso algum deslocamento do nó do elemento loc alizado no ponto A (Nó A) não seja igual a X e y, xiste compatibilidade de desloc mento dos ó



n ro uç o: Modelos Discretizados utiliz dos na análise via MEF:

Nas estruturas contínuas como as cha pas e os sólidos e etc, cuja subdivisão em elementos discretos “ conectados continua ente (pontos nodais + interface)” produz maior dificuldade na montagem das equações que governam o seu comportamento. , , equações de equilíbrio e condiçoes de compatibilidade de deslocamentos são estabelecidas não apenas em termos dos ontos nodais, mas também em termos dos , suficiente precisão; E1

E2

E1

u1

da interface do elemento E1

1

u2

E2

da interface do elemento E2

1

u1-u2=

0

Existe compatibilidade de deslocamentos na interface dos elementos



n ro uç o: Formulação dos diferentes ti os de elementos Finitos A formula ão  f = [ k ] . u , ou se a, o sistema de e ua ões ue descreve o comportamento de cada elemento finito de um problema é obtida por três métodos: a) Método direto; c) Método dos resíduos ponderados;

Estes dois últimos são denominados Métodos indiretos

Método direto  só pode ser utili ado para obter a formulação de elementos unidimensionais ( elemento de mola, de treliça , viga);

Este método fornece noção física clar do MEF, sendo este o preferido nos estágios iniciais de aprendizado do MEF; Métodos indiretos  são utilizados para obter a formulação de elementos bi e tridimensionais (bimensionais  chapa, placa; tridimencionais  tetraédrico, cúbico);

Estes métodos são mais comple os exigindo portanto um maior grau de conhecimento do MEF, sendo apresentado no estágios mais avançados de aprendizado do


e er nc as

ogr

cas:

Avelino Alves Filho, rof. Dr. Editora: Érica, 5ª edi ão, 2007 Bibliografias complementares:

Nam-Ho Kim ; Bhavani V. Sank r Editora: LTC 2011 Um Primeiro Curso em Element s Finitos Jacob Fish ; Ted Belytschko ora: ,


elementos finitos

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