INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CINTALAPA
ENSAYO: “1.4 GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL”.
DOCENTE: ING. CARLOS ELMER CRUZ SALAZAR.
MATERIA: FUNDAMENTOS DE MECÁNICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS.
ALUMNA: REYNA GPE. CARRILLO ESCOBAR.
GRADO: 4º SEMESTRE.
GRUPO: “K”.
CARRERA: ING. CIVIL.
CINTALAPA DE FIGUEROA, CHIS.; A 17 DE FEBRERO DEL 2015.
1.4 GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL La Mecánica de medios continuos es la ciencia que estudia los cuerpos sólidos en movimiento o no (dinámicos y estáticos) en el cual forma un conjunto de partículas donde no existen espacios vacíos. Y este movimiento de partículas en un plano en 2° o 3° dimensión, es analizado atraves de la gradiente, divergencia y rotacional; estos conceptos se irán analizando más adelante. Comenzaremos por definir la gradiente, que es un vector que indica en que dirección aumenta, el mayor grado, los valores del campo. Es decir, que si nos encontráramos en un punto del espacio donde el campo tiene un valor cualquiera x, el gradiente en ese punto nos diría la dirección en la cual vamos a encontrar valores más altos. Pero señalando la dirección hacia donde más aumenta y teniendo solo en cuenta los valores que rodean al punto dado. En otras palabras, nos da la dirección en el plano por el que hay que viajar para obtener la pendiente máxima o más grande. Esta se aplica a campos escalares como la distribución de temperaturas en un cuerpo. La gradiente se representa con un triángulo invertido
C Sea f: U ❑ ∂f ∂x
,
∂f ∂y
R
,
3
un campo escalar y sean
∂f ∂z
Derivadas parciales de f
Entonces la gradiente de f es: grad (f)= (
∂f ∂x
,
∂f ∂y
,
∂f ∂z )
El gradiente convierte un campo escalar en un campo vectorial.
Ahora continuamos con la divergencia, la cual se aplica a campos vectoriales, lo contrario de la gradiente. Y este es un vector que indica en qué dirección las líneas del campo se encuentran más separadas entre sí, es decir, la dirección donde disminuye la densidad de líneas de campo por unidad de volumen. El que indica esta disminución, se le denomina Modulo de la divergencia. *Divergencia elevada: Indica en que zona se está abriendo como los rayos de luz emergen de una fuente puntual. *Divergencia nula: Indica que en esa zona los rayos son paralelos como las velocidades de un fluido sin turbulencia dentro de un tubo, aunque el tubo sea curvo y todo el flujo este rotando uniformemente.
C Sea f: U ❑ f 2,
f3
R3 , f= ( f 1 ,
R3
) un campo vectorial.
Entonces, la divergencia de f es div (f) =
∂ ∂x
f1
+
∂ ∂y
f2
+
∂ ∂z
f3
La divergente convierte el campo vectorial en un campo escalar. La misma cantidad de partículas que salen (+) partículas que entran (-).
y
en el
plano son las mismas
y
x SALEN =+
x ENTRAN = -
= Y por último, la rotacional que es un vector que indica que tanto están curveadas las líneas de campo o de fuerza en los alrededores de un punto. Se aplica a campos vectoriales. En esta se incluye:
-Rotacional nulo: Un rotacional igual a cero en un punto dado significa que en esa región las líneas de campo son rectas. -Rotacional no nulo: Indica que en los alrededores del punto, las líneas de campos son arcos, es decir, es una región donde el campo se está curveando.
La dirección del vector rotacional es perpendicular al plano de curvatura, y su intensidad indica el grado de curvatura que sufre el campo. C Sea f: U ❑
R3 -
R3 , f: ( f 1 ,
f 2,
f3
,
∂f2 ∂x
) un campo vectorial.
Entonces, el rotacional de f es ∂f1 rot (f) = ( ∂ y -
∂f2 ∂z
,
∂f1 ∂z
-
∂f3 ∂x
-
∂f1 ∂y
)
Como ejemplo, podemos tomar a un campo vectorial de velocidad de un fluido, el cual se explica de la siguiente manera: El fluido es un rio, en donde se encuentra una rama que rota a medida que aumenta el agua, debido a que la parte de arriba de la rama se desplaza a mayor velocidad que la parte de abajo.
*Si hay un poco de rotacional: la rama gira. *Si el rotacional es negativo: gira a una dirección contraria.
-Magnitud del campo vectorial mientras nos movemos en forma perpendicular del movimiento, mediante: *El producto cruz nos dice como multiplicar dos vectores para obtener una dirección perpendicular a esos dos. *El producto punto nos dice que tan separados están el uno del otro.
NOTA.-El rotacional mide el efecto del campo vectorial o puede adivinar que tanto se risa el campo vectorial alrededor de un punto.
Conociendo la definición de gradiente, divergente y rotacional, así como en qué tipo de campo se aplica cada una, podemos comprender cuál es la dirección correcta en qué se desplaza una partícula en el espacio.
