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Cálculo de Transitórios Eletromagnéticos em Sistemas de Energia Antônio E.A. Araújo Washington L.A. Neves ERRATA

Belo Horizonte | Editora UFMG 2005.

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À nossas esposas Ângela (Antônio Araújo) e Catarina (Washington Neves) e aos nossos filhos Thiago e Henrique (Antônio Emílio) e Débora, Eduardo e Guilherme (Washington Neves)

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CAPÍTULO 1 COMPONENTES DE CIRCUITOS

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Figura 1.7: Diagrama fasorial para tensão e corrente no resistor real

Como tensão e corrente estão defasados de 90o , de forma similar ao capacitor, a energia é simplesmente trocada com a fonte. De uma maneira geral, acoplamentos magnéticos entre circuitos podem ser representados por indutâncias mútuas e acoplamentos elétricos, por capacitâncias mútuas. É necessário, também, utilizar fontes de tensão e de corrente para representar o fornecimento de energia. Uma fonte de tensão ideal é um dispositivo que pode suprir qualquer corrente sem afetar a tensão nos terminais. Na prática, isso é apenas uma aproximação, porém tais idealizações são importantes para o entendimento de sistemas reais. 1.2.2. Componentes Reais a Parâmetros Concentrados Em muitas situações, é mais adequado avaliar com precisão o comportamento de componentes reais pela utilização de elementos ideais. A seguir, cada componente real será avaliado em separado, levando-se em conta seus aspectos construtivos [1]. Resistores – Um resistor real geralmente não tem a característica ideal de um elemento dissipativo. Considere-se o exemplo em que um resistor real de fio enrolado é alimentado por uma fonte senoidal de freqüência variável e em que ocorre uma varredura na freqüência angular de 0 a ω rad/s. É possível que, em baixas freqüências, o resistor apresente efeitos indutivos devido ao campo magnético produzido pela corrente e que, em altas freqüências, o resistor apresente efeitos capacitivos devido ao campo elétrico produzido pela diferença de potencial entre seus terminais — diagramas fasoriais da figura 1.7. Assim, resistores reais dissipam e, também, armazenam energia e a corrente que os percorre pode estar atrasada ou adiantada em relação à tensão em seus terminais, dependendo da freqüência do sinal aplicado. Capacitores – Capacitores reais apresentam perdas quando submetidos a uma diferença de potencial. Para a diferença de potencial senoidal, a corrente no capacitor real está adiantada da tensão por um ângulo um pouco menor que 90o (figura 1.8), ou seja, a corrente apresenta uma parte real além da corrente de carga do capacitor (parte imaginária). A parte real da corrente deve-se à condução no dielétrico, perdas devido ao movimento de dipolos elétricos e íons e perdas causadas por microdescargas internas (descargas parciais). Para incluir-se o efeito das perdas no dielétrico quando submetido a campos alternados introduz-se a permissividade relativa complexa ε∗r . A relação entre os fasores de tensão e de corrente pode ser expressa de forma similar à da equação 1.2: I = ωC0 ε∗r V .

(1.4)

Como o ângulo entre I e V é menor que 90o é conveniente escrever 0

00

ε∗r = εr − εr ,

(1.5)

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CAPÍTULO 1 COMPONENTES DE CIRCUITOS

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Sob que circunstâncias esse modelo é aceitável para representar a linha? Considere-se, inicialmente, o estudo de sinais à freqüência industrial (60 Hz). O comprimento de onda para um sinal de 60 Hz é λ = 3 · 108 /60 = 5 · 106 m, que é muito maior que o tamanho físico da linha de transmissão. Nesse caso, a representação a parâmetros concentrados é perfeitamente adequada. Veja-se agora, se para descargas atmosféricas com frente de onda da ordem de τ = 1µs, essa representação continua sendo adequada. Observe-se que, nessas condições o modelo precisa ser adequado para freqüências da ordem de 1/τ = 1 MHz. O comprimento de onda do sinal de descarga atmosférica com essa frente de onda é de λ = 3 · 108 /106 = 300 m. Esse comprimento é muito menor que a linha de transmissão e um modelo a parâmetros concentrados não é conveniente para se estudar o efeito de propagação de ondas de descargas atmosféricas em linhas de transmissão. Nesse caso tanto a corrente quanto a tensão variam ao longo da linha e com o tempo. Somente um conjunto de equações diferenciais parciais pode dar conta da complexidade do fenômeno do comportamento de um componente a parâmetros distribuídos. Outro exemplo prático é o da bobina de um transformador que, em baixas freqüências, pode ser adequadamente representada por uma indutância. Contudo, quando surtos rápidos são aplicados, essa bobina tem comportamento semelhante ao de uma linha de transmissão e a representação a parâmetros distribuídos torna-se muito importante para se levarem em conta os efeitos de propagação de ondas na bobina. Pode-se ver então que, a modelagem de componentes elétricos precisa ser feita com cuidado. A escolha de um modelo para qualquer componente elétrico envolve, entre outras coisas: saber se é importante a variação dos parâmetros com a freqüência das tensões e correntes; se o componente pode ser considerado a parâmetros concentrados ou não; se efeitos de não linearidades devem ser modelados ou não etc. A correta modelagem de componentes e fenômenos é uma área ativa desde os primórdios da Engenharia Elétrica e continuará sendo uma área de interesse sempre que novos componentes forem construídos e novos fenômenos descobertos.

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CAPÍTULO 2 DISTÚRBIOS EM SISTEMAS DE ENERGIA

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(a) Descargas piloto sem as de retorno

(b) Descargas piloto com as de retorno

Figura 2.5: Tipos de descarga atmosférica

de tensões e as tensões induzidas em circuitos acoplados magneticamente; • carga elétrica que é transferida pela corrente (Q = i · dt) é uma medida da energia transmitida pelo raio a superfícies metálicas, causando eventuais fusões; • impulso quadrático de corrente ( i 2 · dt) determina os efeitos mecânicos, pois é proporcional à força. Valores Estatísticos Associados à Descarga Os valores estatísticos desses quatro parâmetros são dados nas figuras 2.8(a) a 2.8(d). O limite superior de 100 kA/µs na figura 2.8(b) não é um limite físico, mas o dos equipamentos de medição.

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CÁLCULO DE TRANSITÓRIOS ELETROMAGNÉTICOS

a presença e o valor dos resistores de pré-inserção e o ângulo de fase dos fasores tensão e corrente no instante da manobra. As fontes influenciam as sobretensões de manobra mais fortemente por intermédio da sua potência de curto-cicuito e do seu tipo. Tabela 2.1: Parâmetros que influenciam as sobretensões de manobra [2] pParâmetros da linha Resistência, indutância e capacitância de seqüência positiva e zero Dependência da freqüência dos parâmetros da linha Comprimento da linha Grau de compensação paralela Grau de compensação série Terminação da linha — aberta ou com transformador Presença e quantidade de cargas residuais sem resistor de pré-inserção Presença e quantidade de cargas residuais com resistor de pré-inserção Efeito corona Saturação de reatores Amortecimento dos reatores

◦ ◦ • • ◦ • • ◦

p

◦

p

Parâmetros do disjuntor Máxima distância dos contatos Característica do dielétrico Presença de resistores de pré-inserção Valor do resistor de pré-inserção Tempo de inserção do resistor de pré-inserção Ângulo da tensão no instante de fechamento

◦

p

• • ◦ •

Parâmetros da fonte Tensão nominal Freqüência nominal Potência total de curto-circuito Fatores de amortecimento de trafos e geradores Tipo de fonte (indutiva ou complexa) Linhas paralelas à linha chaveada Razão entre a impedância de seqüência zero e a de seqüência positiva Influência no fator de sobretensão total: forte • ;

média ◦;

p p •

p

•

p p

fraca p .

2.2.3. Sobretensões Temporárias As sobretensões temporárias ocorrem entre fase e terra ou entre fases, são oscilatórias, de duração relativamente longa e fracamente amortecidas ou não-amortecidas. Dessa forma, mesmo que as amplitudes dessas sobretensões sejam inferiores às de outros tipos de sobretensões, elas podem ser determinantes no projeto tanto do isolamento interno como também do isolamento externo dos equipamentos. As sobretensões temporárias são geralmente causadas por: 1. manobras — por exemplo, rejeição de carga; 2. faltas — por exemplo, curto-circuito monofásico; 3. fenômenos não-lineares — por exemplo, ferrorressonância; e 4. efeito Ferranti.

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CAPÍTULO 2 DISTÚRBIOS EM SISTEMAS DE ENERGIA

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Carga PL =

V2 ZL

Potência de Curto-Circuito Pcc =

Vf2 Zcc

Elevação de Tensão Zcc PL Vf =1+ =1+ V ZL Pcc Figura 2.25: Sobretensão na rejeição de carga

E podem ser caracterizadas por: • amplitude — regra geral, inferior a 1.5 pu; • freqüência de oscilação; e • duração total — superior a dezenas de milissegundos. Rejeição de Carga Considere-se, de início, a rejeição de carga gerando uma sobretensão de 60 Hz. Para isso considere o problema modelado na figura 2.25. De um lado, tem-se a carga com componente indutiva a ser desligada, e, de outro, o equivalente ao sistema de potência sendo modelado com uma fonte de tensão ideal em série, com a impedância de curto-circuito, que é, praticamente, só indutiva. Nesse caso, a tensão da fonte ideal é maior que a tensão da carga. O desligamento da carga, ou a rejeição de carga, resulta na interrupção da corrente e, portanto, no desaparecimento da queda de tensão na impedância de curto-circuito. A tensão da fonte (Vf ) aparece, agora, no contato à esquerda do disjuntor, onde antes existia uma tensão V (= VL ). A figura 2.25 ilustra o problema e a forma de calcular a sobretensão de manobra, por rejeição de carga, em função da relação entre a potência da carga, PL , e a potência de curto-circuito, PCC , do sistema. Para ilustrar o cálculo, tomem-se dois casos particulares: • potências com razão dos módulos das potências é 0.3, e mesmo ângulo de fase — carga indutiva pura. A sobretensão por rejeição de carga é 1.3 (Vf /V = 1.3); • a mesma razão dos módulos das potências (0.3), mas com uma carga puramente resistiva. A sobretensão, agora, é de apenas 5%. Vê-se, assim, que o tipo de carga e a relação entre sua potência e a potência de curto-circuito do sistema que a alimenta são fatores decisivos para a determinação da sobretensão por rejeição de carga. A compensação paralela tem, portanto, forte influência nesse fenômeno, uma vez que ela afeta a potência de curto-circuito do sistema. As linhas e os transformadores em paralelo reduzem, também, a amplitude da sobretensão. No entanto, no caso de linhas muito longas, a melhor solução para

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determinadas das equações. De fato, das equações 2.6 " # Z0 2 1 + a2 Z Z1 + a Z1 F F 2 F F 2 Vb = Va0 + a · Va1 + a · Va2 = a Vf onte · 1 − Z0 2 1+ Z Z1 + Z1 " VcF

=

VaF0

+a·

VaF1

2

+a ·

VaF2

= aVf onte · 1 −

Z2 0 1 + aZ + a2 Z Z1 1

1+

Z2 Z1

+

e

(2.13)

# .

Z0 Z1

(2.14)

Gráficos podem ser feitos para a tensão nas fases b e c separadamente. Se Z1 = Z2 , R1 = R2 = 0 , α = X0 /X1 e β = R0 /X1 , então:

· VbF = a2 Vf onte ·

(1 + α) − a2 − a · (α − β) − β 2 + α − β

¸

e ·

VcF

= aVf onte

(1 + α) − a − a2 · (α − β) − β · 2 + α − β

¸ .

Se uma análise semelhante for desenvolvida para uma falta fase/fase/terra, podese calcular a tensão na fase sã — fase a — para terra: VaF = V0F + V1F + V2F = 3V1F = 3Vf onte

1 1+

Z1 Z2

+

Z1 Z0

.

(2.15)

Se as equações 2.13, 2.14 e 2.15 são, agora, tomadas em conjunto, então, podese calcular, em função de X0 /X1 e R0 /X1 , com Z1 = Z2 , a máxima tensão fase/terra, no local da falta — seja ela fase/terra ou fase/fase/terra —, para sistemas com neutro aterrado (R1 = R2 = 0). É o que se mostra na figura 2.29. Por exemplo, com R1 = R2 = 0, R0 /X1 = 1 e X0 /X1 = 1.5, a tensão máxima que aparece entre uma das fases sãs e a terra é igual a 75% da tensão da linha, para a pior situação de faltas a terra. O efeito da resistência de falta é levado em consideração por essas curvas. A resistência de falta reduz a corrente de curto-circuito durante a falta, mas pode provocar tensões mais elevadas nas fases sãs, para certos valores de X0 /X1 e R0 /X1 . Pode-se notar que as tensões nas fases sãs dependem das impedâncias de seqüência da rede e, conseqüentemente, do aterramento do sistema — observe-se que as impedâncias de seqüência zero dependem do aterramento. Duas expressões são comumente utilizadas na prática de aterramento de sistemas: • coeficiente de aterramento - Definido como a relação, em termos percentuais, entre a máxima tensão entre fase e terra em uma fase sã — durante uma falta para a terra em uma ou mais fases — e a tensão fase/fase do sistema; • fator de aterramento - Definido como a relação entre o maior valor da tensão nas fases sãs — durante uma falta para a terra afetando uma ou mais fases — e a tensão fase neutro do sistema em operação nominal. Quanto ao aterramento, as normas internacionais classificam os sistemas em três classes gerais:

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2.3.2. Energização de Banco de Capacitores A energização de um banco de capacitores provoca distúrbios transitórios oscilatórios, resultando em sobretensões que podem alcançar valores de pico fase/terra na ordem de 2 pu. Há duas situações distintas correspondentes a manobras de energização: • energização de um banco isolado; e • energização de um banco com outros em paralelo, conhecida como energização back-to-back. Banco Isolado No circuito da figura 2.38, v (t), R e L representam o equivalente de Thévenin de curto-circuito do sistema e C, o banco de capacitores a ser energizado.

R

v(t)

L

i(t)

C

Figura 2.38: Energização de um banco de capacitores isolado

Admitindo-se que R é desprezível com relação à reatância do sistema, que a condição inicial de corrente é nula, que o disjuntor se fecha no instante em que a tensão da fonte (v (t) = Vmax cos ωt) é máxima e que nos instantes que se seguem consideramos v (t) constante — v (t) = Vmax —, a corrente que passa pelo circuito da figura 2.38 é i (t) =

Vmax sen ω0 t , Zs

em que V éaq tensão no disjuntor no instante do fechamento,

ZS = CL é a impedância de surto do sistema e ω0 = √1LC é a freqüência angular característica de energização transitória. Assim, o valor máximo da corrente de energização do capacitor C é Imax =

Vmax , Zs

com uma freqüência natural de oscilação f0 =

1 √ . 2π LC

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Tabela 3.2: Fontes de corrente e resistores equivalentes Regra de Integração

IL (t − ∆t)

IC (t − ∆t)

RL

RC

Trapezoidal

1 RL vkm (t−∆t)+ikm (t−∆t)

− R1 vkm (t−∆t)−ikm (t−∆t)

2L ∆t

∆t 2C

ikm (t − ∆t)

− R1 vkm (t − ∆t)

L ∆t

∆t C

− R1 vkm (t−2∆t)−4ikm (t−∆t)

3L ∆t

∆t 3C

Euler Regressivo

Simpson

1 RL

C

C

[4vkm (t−∆t)+vkm (t−2∆t)]

C

−ikm (t−2∆t)

+ikm (t−2∆t)

3.3.2. Métodos de Euler e Simpson Os circuitos discretos equivalentes foram, anteriormente, obtidos a partir da aplicação da regra do trapézio — equação 3.2 — às equações que regem o comportamento do indutor e do capacitor. De maneira análoga, pode-se mostrar que a utilização dos métodos de Euler Regressivo e Simpson — equações 3.1 e 3.3 — conduzem a circuitos discretos equivalentes contendo também uma resistência em paralelo com uma fonte de corrente dependente de instantes de tempo anteriores. As expressões algébricas para a resistência e a fonte de corrente obtidas pela utilização dos métodos de Euler Regressivo e Simpson são apresentadas na tabela 3.2. Deve-se enfatizar que o método de Euler Progressivo não pode ser utilizado em programas do tipo EMTP. Considere-se a aplicação desse método para encontrar o circuito discreto equivalente para a capacitância. Assim, a equação 3.5, t t ikm (t)dt = C dvkm (t) , t−∆t

t−∆t

resulta em ikm (t − ∆t) =

C C vkm (t) − vkm (t − ∆t) . ∆t ∆t

Note-se que, para se calcular a corrente ikm (t) — substituindo (t) por (t + ∆t) nessa equação — precisa-se conhecer vkm (t + ∆t), ou seja, a tensão num passo de tempo no futuro. 3.3.3. Exemplo de Aplicação Nas simulações de circuitos elétricos, utiliza-se a representação de elementos de circuito na sua forma equivalente discreta. Considere-se um degrau de tensão de amplitude V aplicado ao circuito RL, mostrado na figura 3.5(a). Admita-se que a condição inicial de corrente no indutor é nula. Tem-se, então, a seguinte equação, que representa a solução analítica: iL (t) =

R V (1 − e − L t ) . R

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3.5. Equações Nodais e Algoritmo de Solução O algoritmo apresentado na Seção 3.3.3 pode ser aplicado a um sistema linear qualquer, em que todos os elementos de circuitos são substituídos por seus circuitos discretos equivalentes, como mostrado nas figuras 3.3 e 3.4. Assim, de forma análoga a que se verifica na equação 3.7, as equações nodais são facilmente escritas para um sistema linear de qualquer porte e, como resultado, tem-se um sistema de equações algébricas que descreve o estado do sistema em estudo, em qualquer tempo t: [G] · [v (t)] = [i (t)] − [Ih (t − ∆t)] ,

(3.12)

em que [G] é a matriz n × n de condutância nodal; [v (t)] é vetor de tensões nodais ⇒ incógnitas; [i (t)] são fontes de correntes conhecidas; e [Ih (t − ∆t)] são fontes “históricas” que dependem das condições iniciais do sistema. Note-se que [G] é real, simétrica e permanece constante enquanto não houver mudança no passo de tempo ∆t. Normalmente, programas do tipo EMTP utilizam passo de tempo fixo. A formação da matriz condutância é bastante simples e segue as mesmas regras da formação da matriz admitância nodal em análise de regime permanente. A equação 3.12 pode ser escrita nesta forma: [G] · [v (t)] = [I] .

(3.13)

No sistema em estudo, geralmente existem alguns nós com tensões conhecidas — fontes de excitação — e outros com tensões desconhecidas, que são as incógnitas a serem determinadas. O sistema de equações representado na equação 3.13 deve ser particionado em um subsistema A, de nós cujas tensões são desconhecidas, e em um subsistema B de nós com tensões conhecidas: · ¸ · ¸ · ¸ [GAA ] [GAB ] [vA (t)] [IA ] · = . [GBA ] [GBB ] [vB (t)] [IB ] O vetor de tensões desconhecidas [vA (t)] é encontrado resolvendo-se esta equação: [GAA ] · [vA (t)] = [IA ] − [GAB ] · [vB (t)] .

(3.14)

A matriz [GAA ] é constante se ∆t não mudar. O segundo membro da equação 3.14 precisa ser recalculado em cada passo de tempo. Para se reduzir o esforço computacional, o cálculo do vetor [vA (t)] normalmente é feito de acordo com os seguintes passos: • constroem-se as matrizes [GAA ] e [GAB ] — [GAA ] é triangularizada5 antes de se iniciar o ciclo de tempo; • fornecem-se as condições iniciais do sistema e, a partir delas, calculam-se todas as incógnitas e todas as fontes de corrente fictícias; 5

Processo em que, por meio de operações elementares sobre as linhas da matriz — multiplicação da linha por um número real ou complexo e/ou substituição de uma linha pela soma de outras duas —, consegue-se uma matriz modificada, em que todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos. Esse processo é chamado de Eliminação de Gauss.

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essa matriz é numericamente modificada7 antes do loop de tempo do programa de cálculo de transitórios e é, então, usada a cada ∆t para cálculo das tensões dos nós. Para manter a integridade dos coeficientes de [G], Lin e Marti sugeriram que o passo da Integração Euler Regressivo fosse metade do passo da Integração Trapezoidal. As duas formulações seriam: ikm (t) =

∆ttr ap ∆ttr ap vkm (t) + vkm (t − ∆ttr ap ) + ikm (t − ∆ttr ap ) — Trap. 2L 2L

ikm (t) =

∆ttr ap /2 vkm (t) + ikm (t − ∆teuler ) L

e

=

∆ttr ap vkm (t) + ikm (t − ∆teuler ) — Euler Regressivo . 2L

Resta definir, agora, quando e por quanto tempo se deve substituir a Integração Trapezoidal pela de Euler Regressivo, para se amortecer as oscilações numéricas. O “quando” é fácil de se definir: todo instante em que houver qualquer tipo de chaveamento no sistema. O tempo de substituição deve ser o menor possível, por causa da menor precisão da Integração de Euler Regressivo. Como ∆teuler = ∆ttr ap /2, deve-se ter, pelo menos, duas integrações de Euler para se poder percorrer um passo de tempo da Integração Trapezoidal. Assim, o tempo de substituição é de 2∆teuler = ∆ttr ap . Tabela 4.5: Circuito RL série — Procedimento CDA Tempo (∆ttr ap ) 0 1 2 3 . . .

Tempo (∆teuler ) 0 1 2 . . .

i(t)

i(t − ∆t)

0 1 1 1 1 . . .

0 0 1 1 . . .

v (t − ∆t) (fig. 4.4) 0 0 3 -1 . . .

vtr ap (t) (fig. 4.5) 0 3 -1 3 . . .

veuler (t)

vCDA (t)

0 2 1 1 . . .

0 3 1 1 1 . . .

Figura 4.9: Tensão nos terminais de um circuito RL série — Procedimento CDA 7

Faz-se a decomposição LU da matriz.

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CAPÍTULO 5 ELEMENTOS NÃO-LINEARES

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vkm 0

v km

curva f

solução

(i km)

vkm = v km Rth . ikm 0

ikm Figura 5.8: Solução simultânea de duas equações

A solução simultânea das duas equações acima é obtida, normalmente, utilizandose o método de Newton-Raphson, descrito em uma seção posterior. A solução gráfica, através da interseção de duas curvas, é mostrada na figura 5.8. Como exemplo de aplicação do método da compensação, considere-se o circuito da figura 5.9. O resistor não-linear é substituído por uma fonte de corrente ikm . Utilizase o equivalente de Norton para a fonte de tensão e o resistor R1 , obtendo-se o circuito da figura 5.10. O problema resume-se em resolver o sistema de equações nodais na forma matricial, em cada passo de tempo: v 1 1 0 − ikm vk R1 + R2 R 1 · = . (5.16) 1 0 vm ikm R3 3

Para indutores não-lineares, esta equação tem de ser modificada. A característica não-linear, nesse caso, é, geralmente, apresentada na forma: λ = f (ikm ) .

(5.13)

Programas tipo EMTP utilizam a regra Trapezoidal e convertem o fluxo λ(t) numa função linear da tensão v (t): λ(t) =

∆t [vkm (t) + vkm (t − ∆t)] + λ(t − ∆t) 2

ou λ(t) =

∆t vkm (t) + hist(t − ∆t) , 2

(5.14)

em que hist(t − ∆t) =

∆t vkm (t − ∆t) + λ(t − ∆t) . 2

Considerando-se as equações 5.13 e 5.14, tem-se: ∆t vkm (t) + hist(t − ∆t) = f (ikm ) 2 ou vkm (t) =

2 2 f (ikm ) − hist(t − ∆t) = g(ikm ) . ∆t ∆t

(5.15)

No caso do indutor não-linear, a equação 5.15 substitui a equação 5.12.

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CAPÍTULO 6 LINHA DE TRANSMISSÃO: TEORIA BÁSICA

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Campo elértico

Campo magnético

Figura 6.3: Campo eletromagnético de uma linha monofásica ideal: condutor imagem

Figura 6.4: Aplicação da Lei de Indução de Faraday

algumas hipóteses simplificadoras forem feitas. A primeira delas consiste na consideração de que a distância entre os condutores é pequena em relação ao comprimento da onda propagante. A segunda é mais complexa e diz respeito a dois fatos: o primeiro, a corrente nos condutores não é constante ao longo da linha; o segundo, a impossibilidade de se determinarem regiões, no espaço que envolve a linha, em que existe somente campo magnético ou somente campo elétrico. Não se pode, assim, falar de resistência, indutância e capacitância concentradas em pontos determinados. Para se usar as equações de circuito nessas condições, o artifício é considerar a linha como um elemento com parâmetros distribuídos — resistência, indutância e capacitância por unidade de comprimento. A seguir, utiliza-se o procedimento desenvolvido por Simonyi [30]. A figura 6.4 mostra um elemento diferencial — comprimento dx — de uma linha monofásica, representada por dois fios, e as tensões e correntes nos seus terminais. Sejam c a capacitância por unidade de comprimento em F/m; a indutância por unidade de comprimento em H/m; r a resistência por unidade de comprimento (Ω/m);

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e g a condutância por unidade de comprimento (/m).2 O comprimento do elemento deve ser pequeno, pois é preciso supor-se ora a corrente, ora a tensão, constante ao longo dele. Aplicando-se a Lei da Indução de Faraday ao caminho pontilhado da figura 6.4, tem-se ∂ E · dl = − B · dS. (6.1) ∂t S L Sejam v (x, t) a tensão entre A e D e v (x, t) + ∂v ∂x dx a tensão entre B e C. A integral de linha do campo elétrico ao longo da superfície do condutor é igual à queda resistiva2 e, portanto, a equação 6.1 pode ser assim escrita:3

r ∂v r E · dl = i · dx + v (x, t) + dx + i · dx − v (x, t) 2 ∂x 2 L ∂Φ ∂ B · dS = − . = − ∂t S ∂t

(6.2) (6.3)

O fluxo magnético que corta a área ABCD é proporcional à corrente: Φ = · dx · i .

(6.4)

Essa equação é aproximada, pois o cálculo do campo magnético é feito supondose uma corrente constante ao longo do comprimento dx da linha. Essa aproximação só é válida se a distância entre os dois condutores da linha — ou entre o condutor e a terra, numa linha monofásica — for pequena em relação ao comprimento da onda viajante.4 Nesse caso, somente correntes percorrendo as partes do condutor mais próximas contribuem para a criação desse campo vetorial no ponto sob exame. Considerando-se, portanto, as equações 6.2, 6.3 e 6.4, pode-se escrever: −

∂i ∂v = r i (x, t) + . ∂x ∂t

(6.5)

Essa equação tem um significado muito claro: a variação da tensão ao longo da linha deve-se à queda de tensão em sua resistência e em sua indutância. Para se examinar a variação da corrente ao longo da linha, considere-se a figura 6.5. A equação de continuidade, que expressa a conservação da carga, para o volume limitado pela linha pontilhada da figura, deve ser, agora, utilizada. A corrente ∂i dx. que entra pela esquerda é i (x, t), enquanto a que sai pela direita é i (x, t) + ∂x Parte da diferença entre essas duas correntes deve-se à corrente que sai pelo lado do cilindro em direção ao outro condutor. Essa corrente é proporcional à tensão e é igual a v (x, t) · g · dx. A outra parte da diferença deve-se às cargas que se acumularão na, ou desaparecerão da, seção dx do condutor. A taxa de variação da carga em dx é ∂ ∂v ∂q = [c · dx · v (x, t)] = c · dx · . ∂t ∂t ∂t 2

3 4

(6.6)

Na verdade, se o condutor real acima do solo tem uma resistência r Ω/m, quando o plano for substituído pelo condutor imagem, os dois condutores — real e imagem — terão de passar a exibir uma resistência r /2, a fim de se manterem as mesmas perdas ôhmicas. (Ver a equação 6.2.) A queda de tensão é positiva e a elevação, negativa. O conceito de onda viajante será desenvolvido mais à frente. Supõe-se aqui alguma familiaridade do leitor com os conceitos básicos do eletromagnetismo.

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Figura 6.5: Equação de continuidade da corrente

A equação de continuidade fornece, então,

∂v ∂i i (x, t) + dx + v (x, t) · g · dx − i (x, t) = −c · dx · . ∂x ∂t

(6.7)

Portanto, −

∂i ∂v = gv (x, t) + c . ∂x ∂t

(6.8)

Essa equação significa que a variação espacial da corrente ao longo da linha devese à fuga de cargas para o outro condutor e, também, ao seu acúmulo na superfície deste. Escrevendo-se as duas equações obtidas para a tensão e corrente, tem-se −

∂i ∂v = r i (x, t) + ∂x ∂t

e (6.9)

∂v ∂i = gv (x, t) + c . − ∂x ∂t Essas são as equações que governam o fenômeno de propagação de ondas eletromagnéticas nas linhas monofásicas. Resolvendo-as, determina-se a variação da tensão e corrente tanto no tempo quanto ao longo da linha. O restante deste capítulo trata dessa solução.

6.3. Uso da Transformada de Laplace A Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática muito útil na solução de equações diferenciais. Normalmente, ela é usada no caso de equações diferenciais ordinárias, mas nada impede seu uso no caso das equações 6.9, que são diferenciais parciais. Para isso, faz-se ∞ ∞ d ∂v −st v (x, t) · e −st dt e · e dt = ∂x dx 0 0 ∞ ∂v −st · e dt = sV (x, s) − v (x, 0) , ∂t 0

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em que as letras maiúsculas indicam as Transformadas das funções (em minúsculas). As derivadas parciais em x foram substituídas por derivadas totais, pois nessas equações s é apenas um parâmetro. As relações dadas são igualmente válidas para a corrente. Para condições iniciais nulas, tanto para a tensão quanto para a corrente, pode-se escrever −

dV = (r + s ) · I(x, s) dx

(6.10)

dI = (g + sc) · V (x, s) . dx

(6.11)

e −

Derivando-se a equação 6.10 em relação a x e substituindo-se a derivada da corrente em relação a x pela equação 6.11 e fazendo-se o mesmo para a equação da corrente, substituindo a derivada da tensão, tem-se d 2V d 2I = (r + s )(g + sc) · V (x, s); = (r + s )(g + sc) · I(x, s). 2 dx dx 2

(6.12)

A solução de qualquer dessas equações é, agora, trivial. No entanto, mesmo obedecendo a equações diferenciais parciais idênticas, a tensão e a corrente estão relacionadas pelas equações 6.10 e 6.11, que são as relações físicas fundamentais. Assim, se γ = (r + s )(g + sc) e resolvendo a equação da tensão,5 tem-se V (x, s) = A(s) e −γx + B(s)e γx .

(6.13)

Com a solução da tensão, usa-se a equação 6.10 para o cálculo da corrente, obtendo-se A(s) −γx B(s) γx I(x, s) = − (6.14) e e , Zc (s) Zc (s) r + s em que Zc (s) = . g + sc As constantes A(s) e B(s) — na verdade, constantes em relação a x — são determinadas a partir das condições de contorno no início e no final da linha. As funções γ(s) e Zc (s) são chamadas, respectivamente, de constante de propagação e de impedância característica da linha. Note-se que ambas são funções da variável s, que é complexa. Em alguns casos particulares de linhas, Zc (s) transforma-se em uma constante real pura — casos de linhas sem distorção e sem perdas. √ No caso de uma linha sem perdas r = g = 0 e, portanto, γ = s c e Zc = c , pode-se escrever, sx sx V (x, s) = A(s) e − ν + B(s) e ν , I(x, s) = √ em que ν = 1/ c. 5

A(s) − sx B(s) sx e ν − eν , Zc Zc

(6.15)

Com base na teoria das equações diferenciais, sabe-se que a equação d 2 y /dx 2 = γ 2 y tem como soluções e γx e e −γx . A solução geral se constitui na combinação linear dessas exponenciais.

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Ou seja, V0 (s) = H(s) · A1 (s) , I0 (s) =

2Zc A1 (s) A1 (s) · = K(s) · , Z(s) + Zc Zc Zc

Vr (x, s) = A2 (s) · e

sx ν

= G(s) · A1 (s) · e

sx ν

e Ir (x, s) = −

A2 (s) sx A1 (s) sx e ν = −G(s) · ·e ν . Zc Zc

Os coeficientes G(s) e H(s) são chamados, respectivamente, de coeficientes de reflexão e de refração da tensão. Analogamente, os coeficientes −G(s) e K(s) são chamados, respectivamente, de coeficientes de reflexão e de refração da corrente. Neste quadro, indicam-se mais claramente esses coeficientes:

Coeficiente de reflexão Z(s)−Zc Z(s)+Zc c − Z(s)−Z Z(s)+Zc

Tensão Corrente

Coeficiente de refração 2·Z(s) Z(s)+Zc 2·Zc Z(s)+Zc

6.5.2. Terminação Resistiva A análise da terminação resistiva de uma linha de transmissão mostra um fenômeno que só ocorre em circuitos de parâmetros distribuídos e tem um papel importante no entendimento dos transitórios eletromagnéticos em geral. O quadro dado pode ser modificado para o caso em pauta, ou seja, Z(s) = R:

Coeficiente de reflexão Tensão Corrente

R−Zc R+Zc c − R−Z R+Zc

Coeficiente de refração 2·R R+Zc 2·Zc R+Zc

Note-se que, para o caso de linha sem perdas, Zc é um número real, o que implica fatores de reflexão e refração reais. Não há, portanto, deformação da onda incidente quando ela se reflete e se refrata nessa terminação. Dois casos extremos são os da terminação aberta (R → ∞) e do curto-circuito (R = 0). No caso do circuito aberto, por manipulações algébricas simples, chega-se a este quadro:

Tensão Corrente

Coeficiente de reflexão 1 −1

Coeficiente de refração 2 0

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3t

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a

-1

t

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aV

V

1

2

-a V

5t

2

-aV

4

a2 V

3 5 6

7t

7 8 9

Figura 6.15: Diagrama de reflexões para o cálculo da tensão no ponto central da linha

Figura 6.16: Gráfico da tensão no ponto central da linha para R

= 0 ⇒ a = −1

completo da tensão, tanto no tempo quanto no espaço. A obtenção da variação de tensão em um determinado ponto é feita por intermédio de uma linha vertical que passa por esse ponto. Somam-se todas as tensões que incidirem nessa linha, nos respectivos tempos de incidência. Por exemplo, se o ponto for o meio da linha, a figura 6.15 mostra o diagrama de reflexões, incluindo-se a reta vertical e os pontos de interseção. Entre zero e τ /2 segundos, não há tensão no meio da linha. Exatamente em τ /2, chega uma onda de valor V , em forma de degrau. Essa situação não se modifica até 1, 5τ segundos, quando, então, chega uma outra onda ao ponto central da linha com o valor de a · V , também em forma de degrau, que será adicionada à anterior. Seguindo-se essa computação, pode-se construir o gráfico da figura 6.16, para o caso particular de um curto-circuito no final da linha (R = 0 ⇒ a = −1).

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Figura 6.18: Gráfico da tensão no final da linha aberta da figura 6.17

Figura 6.19: Gráfico da corrente que sai da fonte da figura 6.17

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Figura 6.21: Resistor de pré-inserção: cálculo da tensão no final da linha para R

= Zc /10

Figura 6.22: Resistor de pré-inserção: cálculo da tensão no final da linha para R

= Zc

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Figura 6.24: Escoamento de cargas residuais: diagrama de reflexões. Tensão no terminal em aberto

transformador — modelado por um circuito aberto. Vê-se, ainda, uma onda viajante — causada por uma descarga atmosférica na linha que alimenta a subestação — aproximando-se do arranjo. O objetivo é analisar a tensão sobre o transformador, quando a subestação é atingida pela sobretensão que faz o pára-raios ideal atuar. Suponha-se que o nível de proteção20 oferecido pelo pára-raios é V0 e que a forma da onda incidente na subestação (Vi ) é a mostrada na figura 6.27.21 Suponha-se, ainda, que o tempo de propagação entre o pára-raios e o transformador é de 1µs. O conceito de fonte de cancelamento, exposto no Apêndice C, é novamente utilizado. A atuação do pára-raios ideal pode ser resumida da seguinte forma: antes da atuação, como um circuito aberto e, depois dela, como uma fonte ideal de tensão de V0 volts (figura 6.28). A tensão no transformador é calculada em duas etapas. Primeiro, supondo-se a não-atuação do pára-raios, calcula-se a tensão nos terminais deste. Enquanto essa tensão é superior a V0 — determinada desconsiderando a existência do pára-raios — o pára-raios a mantém nesse valor. Na primeira parte do cálculo, determina-se o instante de tempo t0 em que a tensão atinge V0 . Na segunda parte, insere-se no ponto de localização do pára-raios uma fonte de tensão de cancelamento (vc ) que, somada à tensão calculada sem o pára-raios, resulta numa tensão V0 , enquanto o pára-raios estiver atuando. É o que mostra a figura 6.29. Calculando-se22 agora o transitório devido a vc e somando-o com a tensão sem o pára-raios, tem-se a tensão sobre o transformador, como mostrado na figura 6.30. Note-se que a tensão sobre o transformador (Vp ) pode ser bastante diferente do nível 20 21

22

Nível de proteção de um pára-raios é a maior tensão que ele suporta sem atuar. Qualquer tensão maior que seu nível de proteção fará com que o pára-raios atue e proteja o equipamento a ele ligado. Note-se que essa forma de onda é altamente idealizada, pois a descarga atmosférica é um fenômeno estatístico, que apresenta as mais diversas formas de onda e valores de pico. Assim, é bastante improvável que uma onda tenha um valor de pico que esteja relacionado com o nível de proteção de um pára-raios, como nesse caso. Os detalhes desse cálculo são deixados ao leitor.

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ikm(t) k

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m

vk(t)

mk

(t)

vm(t) x x=d

x=0 Figura 8.1: Linha finita de comprimento d

em que:3 z(ω) = r + jω ; e y (ω) = g + jωc. Suas soluções são, como anteriormente, V (x, ω) = A1 (ω)e −γ(ω)x + A2 (ω)e γ(ω)x e

(8.1) I(x, ω) = Yc (ω)[A1 (ω)e

em que: −1

$%

−γ(ω)x

− A2 (ω)e

γω)x

],

' &−1 y (ω) · z(ω) · y (ω) é a admitância característica da linha;

Yc (ω) = Z c (ω) = γ(ω) = z(ω) · y (ω) = α(ω) + jβ(ω) é a constante de propagação;4 α(ω) é o fator de atenuação; e β(ω) é a constante de fase. Somando-se e subtraindo-se a primeira e a segunda das equações 8.1 obtêm-se as equações: V (x, ω) + Zc (ω) · I(x, ω) = 2A1 (ω)e −γ(ω)x e (8.2) V (x, ω) − Zc (ω) · I(x, ω) = 2A2 (ω)e γ(ω)x . Considere-se a seguinte convenção de notação (conforme a figura 8.1): em x = 0, V (0, ω) = Vk (ω) e I(0, ω) = Ikm (ω) e em x = d,

V (d, ω) = Vm (ω) e I(d, ω) = −Imk (ω) .

Modificando-se as equações 8.2, tem-se: $ Vk (ω) + Zc (ω) · Ikm (ω) = 2A1 (ω) em x = 0 Vk (ω) − Zc (ω) · Ikm (ω) = 2A2 (ω) e $ Vm (ω) − Zc (ω) · Imk (ω) = 2A1 (ω)e −γ(ω)d em x = d Vm (ω) + Zc (ω) · Imk (ω) = 2A2 (ω)e γ(ω)d . 3 4

Quando se referem aos parâmetros de linhas monofásicas, letras minúsculas significam grandezas escalares por unidade de comprimento. O Capítulo 9 trata de linhas polifásicas com parâmetros variáveis com a freqüência. Nesse caso, haverá necessidade de se definir duas constantes de propagação; uma para corrente [γi (ω) = y (ω) · z(ω)] e outra para tensão [γv (ω) = z(ω) · y (ω)]. Para linhas monofásicas γi = γv = γ.

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CAPÍTULO 8 CÁLCULO DE TRANSITÓRIOS NO DOMÍNIO DO TEMPO: MODELAGEM DE LINHAS

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8.2.2. Linhas com Perdas As perdas nas linhas são devidas às perdas no condutor e, também, na terra.6 Essas perdas são também dependentes da freqüência. Isso significa que, na equação 8.3, tanto Zc quanto γ são funções da freqüência. Isso interpõe uma grande dificuldade à conversão dessas equações para o domínio do tempo, pois essa conversão envolveria a realização de convoluções. Se se consideram apenas as perdas no condutor — supostas constantes com a freqüência — e na condutância shunt, desprezando as perdas que se devem à terra, r e g são diferentes de zero. Nesse caso, e −γ(ω)·d

= e −α(ω)·d · e −jβ(ω)·d = A(ω) ,

α(ω)

=

Q

=

1 (r g − ω 2 c) + Q 2

1 2 (ω c − r g) + Q 2 g + jωc e Yc (ω) = . r + jω

β(ω) =

1 2 (r + ω 2 2 )(g 2 + ω 2 c 2 ) 2

Explicitando-se as correntes nas equações 8.3, no domínio do tempo, pode-se escrever:7 ikm (t)

= yc (t) ∗ vk (t) − a(t) ∗ [yc (t) ∗ vm (t) + imk (t)]

imk (t)

= yc (t) ∗ vm (t) − a(t) ∗ [yc (t) ∗ vk (t) + ikm (t)] ,

em que yc (t) é a transformada inversa de Yc (ω) e a(t) é a transformada inversa de A(ω) = e γ(ω)·d . Esse assunto é de fundamental importância para o correto modelamento de linhas reais e será objeto de estudo no próximo capítulo. Uma modelagem simples para a inclusão das perdas causadas pela resistência do condutor será desenvolvida ainda neste capítulo.

8.3. O Sistema de Equações As equações da linha recém-desenvolvidas e as desenvolvidas no Capítulo 3 vão ser, agora, reunidas para o cálculo da equação nodal do nó 1 da figura 8.3. Para esse nó, vale a equação: i12 (t) + i13 (t) + i14 (t) + i15 (t) = i1 (t) . Com as equações dos elementos incidentes no nó, obtém-se esta equação nodal para o nó 1 do circuito: (

∆t ∆t 2C 1 2C 1 1 + + + ) v1 (t) − v3 (t) − v4 (t) − v5 (t) = Z0 2L ∆t R 2L ∆t R i1 (t) + I12 (t − τ ) − I13 (t − ∆t) + I14 (t − ∆t) ,

6 7

Ver Apêndice E. ∗ indica convolução.

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t v k (t)

vm(t)

t

Figura 8.7: Circuito equivalente de uma linha com perdas

Figura 8.8: Modelagem aprimorada das perdas no condutor de uma linha

Essas equações são as de um circuito equivalente de uma linha com perdas, análogas às já obtidas para a linha sem perdas. Comparando-se esse circuito (ver figura 8.7) com o da figura 8.2, observa-se que os dois circuitos têm os mesmos elementos, diferindo apenas nos valores — no que se refere às admitâncias Yc e Ye — e na forma de cálculo — no que se refere aos termos históricos. A modelagem das perdas pode melhorar, se as resistências ao longo da linha forem posicionadas como mostrado na figura 8.8. O leitor pode deduzir que, para esse caso, se verificam estas equações: imk (t) = Ye vm (t)−Im (t − τ ) e ikm (t) = Ye vk (t) − Ik (t − τ ) , em que 1+h [Ye vm (t − τ ) + h · imk (t − τ )] + 2 1−h + [Ye vk (t − τ ) + h · ikm (t − τ )] , 2 1+h Im (t − τ ) = [Ye vk (t − τ ) + h · ikm (t − τ )] + 2 1−h + [Ye vm (t − τ ) + h · imk (t − τ )] , 2 Ik (t − τ ) =

e Ye =

1 Zc +

R 4

,

h=

Zc − Zc +

R 4 R 4

.

Para essas equações, vale o mesmo circuito equivalente da figura 8.7.

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CAPÍTULO 9 LINHAS DE TRANSMISSÃO COM PARÂMETROS VARIÁVEIS NA FREQÜÊNCIA

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Em programas de transitórios eletromagnéticos as variáveis são calculadas a cada passo de tempo ∆t. Essa equação pode ser expressa como ∆t −p∆t y (t) = y (t − ∆t) e +k · e −p(t−u) · x(u)du 0

ou, ainda, como y (t) = y (t − ∆t) e −p∆t + k ·

∆t

e −pu · x(t − u)du .

0

A integral dessa equação é uma integral de convolução que pode ser resolvida numericamente, substituindo-se x(t − u) por uma função linear em u do tipo x(t − u) = x(t) −

x(t) − x(t − ∆t) · u, ∆t

que permite obter uma expressão para y (t) na forma y (t) = a · y (t − ∆t) + b · x(t) + c · x(t − ∆t) , em que

a = e −p∆t , , k k + b= − 2 1 − e −p∆t p p ∆t

e c =−

, k −p∆t k + + 2 ·e 1 − e −p∆t . p p ∆t

Tempos de Propagação Modais No domínio modal, cada modo µ do fator de propagação é dado por Aµmod (ω) = e −γ

µ (ω)

·d

,

em que γ µ (ω) = αµ (ω) + j · β µ (ω) e d o comprimento da linha de transmissão. Portanto µ µ Aµmod (ω) = e −α (ω)·d · e −jβ (ω)·d . Ou seja, cada modo µ do fator de propagação modal possui módulo {e −α (jω)·d } e fase {β µ (jω) · d} na freqüência ω. O termo αµ (ω) é comumente referenciado como o fator de atenuação e o termo β µ (ω), como sendo o fator de distorção. Assim, cada modo do fator de propagação pode ser escrito na forma µ

µ Aµmod (ω) ∼ = R mod (ω) · e −j·ω·τ , µ

em que: Rµmod (ω) = função de fase mínima (Apêndice F) e τ µ = tempo de propagação modal (ou de trânsito) da componente de freqüência mais veloz do modo µ. Assim sendo, em uma linha de transmissão polifásica com n fases, há n tempos de propagação modais. No caso de linhas aéreas, os tempos de propagação modais das ondas mais velozes podem ser distintos, mas próximos em valor absoluto [51]. No caso de cabos subterrâneos, esses tempos de propagação modais podem ser significativamente diferentes em valor absoluto [51, 52].

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Figura A.1: Circuito RLC série em regime senoidal

No caso da figura A.1, isso quer dizer que se a tensão aplicada é senoidal, a corrente também o será, o mesmo acontecendo se a tensão for cossenoidal. Existe uma função que concentra em si a propriedade do seno e do cosseno: a função exponencial complexa e jωt . Diz-se então que se, ao invés de v (t) = V cos(ωt + φ), fizermos v (t) = V e j(ωt+φ) , ter-se-á uma corrente i (t) = Ie j(ωt+θ) .

Figura A.2: Circuito RLC fasorial

Substituindo esses valores na equação íntegro-diferencial: 1 Ie j(ωt+θ) = V e j(ωt+φ) jωC 1 (R + jωL + )Ie jθ e jωt = V e jφ e jωt . jωC

RIe j(ωt+θ) + jωLIe j(ωt+θ) +

Se agora I¯ = Ie jθ e V¯ = V e jφ , respectivamente o fasor corrente e o fasor tensão, pode-se escrever: I¯ =

V¯ R + jωL +

1 jωC

=

V¯ 1 V¯ , com Z = ¯ e j(φ−θ) = R + ωL + . Z ωC I

Essa seria a equação de um circuito de corrente contínua alimentado por uma tensão V¯ , com uma “resistência” Z (agora chamada de impedância),1 percorrido por uma corrente I¯ (ver figura A.2). Essas três grandezas são agora números complexos, mas se relacionam de forma análoga ao do regime contínuo. Pode-se assim redesenhar o circuito na forma fasorial como na figura A.2, em que jωL é a reatância indutiva e 1/jωC é a reatância capacitiva do circuito.

1

Note que Z não é fasor, pois a ele não está associado nenhuma grandeza com variação senoidal.

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Figura B.1: Linha finita de comprimento d

Explicitando-se A(s) e B(s), tem-se1 1 1 A(s) = ·[Vm (s)+Zc (s) · Im (s)]e γd e B(s) = ·[Vm (s)−Zc (s) · Im (s)]e −γd . 2 2 Pode-se, agora, escrever V (x, s) e I(x, s) em função de Vm (s) e Im (s), substituindose A(s) e B(s) nessas expressões. Assim, 1 1 V (x, s) = [Vm (s)+Zc (s) · Im (s)]e γ(d−x) + [Vm (s)−Zc (s) · Im (s)]e −γ(d−x) 2 2 e γ(d−x) + e −γ(d−x) e γ(d−x) − e −γ(d−x) = Vm (s)[ ] + Zc (s) · Im (s)[ ] 2 2 V (x, s) = Vm (s) cosh[γ(d − x)] + Zc (s) · Im (s) · senh[γ(d − x)]. Da mesma forma, I(x, s) =

Vm (s) · senh[γ(d − x)] + Im (s) · cosh[γ(d − x)]. Zc (s)

As equações para a tensão e a corrente desenvolvidas, nesse caso, valem para qualquer x e estão em função das tensões e correntes no final da linha — extremidade m na figura B.1.2 Em particular, a tensão e a corrente no início da linha — extremidade k — podem ser colocadas em função de Vm (s) e Im (s): Vk (s) = Vk (s) = Vm (s) cosh(γd) + Zc (s) · Im (s) senh(γd) Ik (s) = Ik (s) =

Vm (s) · senh(γd) + Im (s) · cosh(γd). Zc (s)

Essas equações, apesar de apresentarem-se de uma forma diferente, contêm as mesmas informações e são, por isso, completamente equivalentes às equações 6.13 e 6.14. 1

2

Da mesma forma, pode-se fazer 1 A(s) = [Vk (s) + Zc (s)Ik (s)] 2

e B(s) =

1 [Vk (s) − Zc (s)Ik (s)] . 2

Pode-se escrever, igualmente, V (x, s) = Vk (s) cosh(γx)−Zc (s)Ik (s) senh(γx); I(x, s) = Ik (s) cosh(γx)−

Vk (s) senh(γx) . Zc (s)

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Figura C.1: Fontes de cancelamento para consideração de condições iniciais em problemas de cálculo de transitórios

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APÊNDICE D PROPRIEDADES DAS MATRIZES DAS LINHAS AÉREAS MULTIFILARES

221

Nesse caso, d 2 V mod 1 = λ11 V mod 1 dx 2 .. . d 2 V mod i = λii V mod i dx 2 .. . d 2 V mod n = λnn V mod n dx 2 e V mod k−i = e −γi x V mod i−a + e γi x V mod i−b

γi =

com

λii .

em que: V mod k é o k-ésimo elemento do vetor [V mod ], λkk é o k-ésimo elemento da diagonal da matriz [λ] e V mod k−a , V mod k−b e V mod k−i são o k-ésimo elemento dos vetores [V mod a ], [V mod b ] e [V mod x ] respectivamente. Esse procedimento reduz o problema ao cálculo de n equações de onda para linhas monofásicas, cada uma delas com suas constantes de integração (V mod i−a e V mod i−b ). Retomando-se, então, a forma matricial, a equação das tensões modais para um ponto x da linha é:4 [V mod x ] = [e −γx ] [V mod a ] + [e γx ] [V mod b ] , em que

   [e −γx ] =  

e −γ 1 x e −γ 2 x



0 ..

  . 

.

0

e −γ n x

Como [Vx ] = [Tv ]V mod x , então, [Vx ] = [Tv ][e −γx ] [Tv ]−1 [Va ] + [Tv ][e γx ] [Tv ]−1 [Vb ] e [Vx ] = [e −Γ x ] [Va ] + [e Γ x ] [Vb ] , em que

[e ∓Γ x ] = [Tv ][e ∓γx ] [Tv ]−1 .

(D.2) (D.3)

Note-se que: [e ∓γx ] são matrizes diagonais; [e ∓Γ x ] são matrizes quadradas definidas em termos de um produto triplo; e [Γ 2 ] = [Tv ][γ 2 ][Tv ]−1 = [Tv ][λ][Tv ]−1 = [P ], a ser demonstrado na próxima seção. 4

Nessa formulação, surge o conceito de exponencial de matriz, que será abordado mais detalhadamente a seguir.

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i “book-ae” — 2006/1/31 — 10:07 — page 248 — #248

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Figura E.10: Método de Carson

os termos de correção são calculados em função de dois parâmetros √ e a = 4π · 5 × 10−4 · D · f /ρ , φ = φik em que D = 2hi para indutância própria; D = Dik para indutância mútua; ρ = resistividade do solo em Ω×m; e f é a freqüência das tensões e correntes consideradas. No caso da terra ideal, ∆R e ∆X tendem a zero quando a → ∞. As integrais infinitas e, portanto, ∆R e ∆X assumem expressões mais simples dependendo do fato de a ≤ 5 ou de a > 5. Se a ≤ 5, as integrais transformam-se em uma soma de quatro séries infinitas: ∆R

π − b1 · a cos φ 8 +b2 [(c2 − ln a)a2 cos 2φ + φ · a2 sen 2φ]

= 4ω × 10−4 {

+b3 · a3 cos 3φ − d4 · a4 cos 4φ − b5 · a5 cos 5φ +b6 [(c6 − ln a)a6 cos 6φ + φ · a6 sen 6φ] +b7 · a7 cos 7φ − d8 · a8 cos 8φ − . . .} Ω/km 19 ∆X

1 = 4ω × 10−4 { (0, 6159314 − ln a) + b1 · a cos φ 2 −d2 · a2 cos 2φ + b3 · a3 cos 3φ −b4 [(c4 − ln a)a4 cos 4φ + φ · a4 sen 4φ] +b5 · a5 cos 5φ − d6 · a6 cos 6φ + b7 · a7 cos 7φ −b8 [(c8 − ln a)a8 cos 8φ + φ · a8 sen 8φ] + . . .} Ω/km . 19

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Errata

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