ESFUERZOS COMBINADOS
GABRIEL SALDAÑA AL ALV VAREZ
INTRODUCCION
El desarrollo de este trabajo está basado en temas de interés para el est es tdi dio o de la res esis iste ten! n!ia ia de ma mate teri rial ale es" toma tomand ndo o !o !omo mo base base los los es#er$os % las de#orma!iones para s análisis" estos son bási!os para el entendimiento de los temas a tratar& En esta in'esti(a!i)n se abordan los si(ientes temas* es#er$o a+ial" es# es #er er$o $o de de,e de,e+i +i)n )n"" es es# #er er$o $o de !o !ort rte" e" tors torsi) i)n n % !o !omb mbin ina! a!i) i)n n de es#er$os& -ara na mejor apli!a!i)n se presentan problemas reales" donde se 'en in'ol!rados los temas antes men!ionados" de manera .e en el dise/o de estr!tras % elementos sometidos a m0ltiples !ar(as se deben tener en !enta na serie de !ál!los % elementos" para el análisis de los mismos&
INTRODUCCION
El desarrollo de este trabajo está basado en temas de interés para el est es tdi dio o de la res esis iste ten! n!ia ia de ma mate teri rial ale es" toma tomand ndo o !o !omo mo base base los los es#er$os % las de#orma!iones para s análisis" estos son bási!os para el entendimiento de los temas a tratar& En esta in'esti(a!i)n se abordan los si(ientes temas* es#er$o a+ial" es# es #er er$o $o de de,e de,e+i +i)n )n"" es es# #er er$o $o de !o !ort rte" e" tors torsi) i)n n % !o !omb mbin ina! a!i) i)n n de es#er$os& -ara na mejor apli!a!i)n se presentan problemas reales" donde se 'en in'ol!rados los temas antes men!ionados" de manera .e en el dise/o de estr!tras % elementos sometidos a m0ltiples !ar(as se deben tener en !enta na serie de !ál!los % elementos" para el análisis de los mismos&
I.
ESFUERZO AX AXIAL
1os es#er$os normales a+iales por lo (eneral o!rren en elementos !omo !ables" barras o !olmnas sometidos a #er$as a+iales 2.e a!t0an a lo lar(o de s propio eje3" las !ales peden ser de tensi)n o de !ompresi)n& Además de tener resisten!ia" los materiales deben tener ri(ide$" es de!ir tener !apa!idad de oponerse a las de#orma!iones 2d3 pesto .e na estr!tra demasiado de#ormable pede lle(ar a 'er !omprometida s #n!iona4idad % ob'iamente s estéti!a& En el !aso de #er$as a+ia4es 2de tensi)n o !ompresi)n3" se prod!irán en el elemento alar(amientos o a!ortamientos" respe!ti'amente" !omo se mestra en la 5(ra 4&
Figura 1: De#orma!i)n debida a es#er$os de tensi)n % de !ompresi)n"
respe!ti'amente& respe!ti'am ente& 2SA1AZAR" 67743&
Una #o Una #orrma de !o !omp mpar arar ar la de de#o #orrma ma!i !i)n )n en entr tre e do doss el elem emen ento tos" s" es e+pre e+ presar sarla la !om !omo o na de# de#or orma! ma!i)n i)n por por!en !enta tal" l" o en otr otras as pal palabra abras" s" !al!lar la de#orma!i)n .e s#rirá na lon(itd nitaria del material" la !al se denomina de#orma!i)n nitaria e& 1a de#orma!i)n nitaria se !al!lará !omo ε = = δ /Lo /Lo
Donde* ε * de#orma!i)n nitaria"
δ *
de#orma!i)n total&
1o* lon(itd ini!ial del elemento de#ormado& 1a mejor manera de entender el !omportamiento me!áni!o de n material es someterlo a na determinada a!!i)n 2na #er$a3 % medir s respesta 2la de#orma!i)n .e se prod$!a3& De este pro!edimiento se ded!en las !ara!ter8sti!as a!!i)n 9 respesta del material& Debido a .e la #er$a % la de#orma!i)n absoltas no de5nen ade!adamente para e#e!tos !omparati'os las !ara!ter8sti!as de n material" es ne!esario estable!er la rela!i)n entre el es#er$o 2s3 % la de#orma!i)n nitaria 2e3& 1a 5(ra 6 mestra na rela!i)n dire!ta entre el es#er$o apli!ado % la de#orma!i)n prod!ida* a ma%or es#er$o" ma%or de#orma!i)n&
Figura 2: Rela!i)n
dire!ta entre el es#er$o apli!ado % la de#orma!i)n prod!ida 21e% de :oo;e3&
1a e!a!i)n de la re!ta" en la 5(ra 6" está dada por* σ = m ε
Donde* m = tan
α = E
1a pendiente de la re!ta" se !ono!e !omo el m)dlo de elasti!idad" % en los ensa%os !on #er$as tensoras" se !ono!e !omo M)dlo de
=omas
= E
II.
ESFUERZO DE DEFLEXION
Se entiende por de,e+i)n a.ella de#orma!i)n .e s#re n elemento por el e#e!to de las ,e+iones internas& -ara determinar la de,e+i)n se apli!an las le%es .e rela!ionan las #er$as % despla$amientos tili$ando dos tipos de métodos de !ál!lo* los (eométri!os % los de ener(8a& An.e en 'i(as % mar!os las de#orma!iones se presentan prin!ipalmente por ,e+i)n" las de#orma!iones por es#er$os a+iales en !olmnas de mar!os % las de#orma!iones por !ortante" sobre todo en elementos altos o pro#ndos no dejan de ser importantes& En !er!=as % armadras las de,e+iones se presentan por la !ombina!i)n de las de#orma!iones por !ar(a a+ial en !ada no de los elementos .e la !omponen&
II.1
Teoría de la Flexi! e! Vi"a#
Se #ndamenta en los !on!eptos de e.ilibrio" !ompatibilidad % le%es !onstitti'as& E.ilibrio* Compatibilidad*
∆1 θ1
= ∆2
= θ2
θ=0
1e%es !onstitti'as*
En pntos de !onta!to En niones r8(idas En empotramientos Donde ?* ri(ide$ lineal ?* ri(ide$ a ,e+i)n
1a teor8a =a!e !iertas sposi!iones a!er!a de !)mo se de#orma na 'i(a en s interior& Sposi!iones 'alidas para 'i(as de po!a altra*
II.$
C%l&'lo de De(exio!e#)
Método de la doble integración: Este método !onsiste en en!ontrar la
e!a!i)n de la !r'a elásti!a inte(rando dos 'e!es la e!a!i)n de ,e+i)n& En !ada inte(ra!i)n se re.iere introd!ir na !onstante. #rontera.
Estas !onstantes se resel'en por las !ondi!iones de
1a primera inte(ra!i)n nos dará el án(lo de de,e+i)n % la se(nda nos dará la de,e+i)n OJO: existes mucho métodos pero los más conocidos para hallar defexiones en vigas es Método de área de momento, Método de Vigas conjugadas, Método de la uperposición, etc,
III.
ESFUERZO DE CORTE
El es#er$o !ortante" de !orte" de !i$alla o de !ortadra es el es#er$o interno o resltante de las tensiones paralelas a la se!!i)n trans'ersal de n prisma me!áni!o !omo por ejemplo na 'i(a o n pilar& Se desi(na 'ariadamente !omo >" @ o & Este tipo de soli!ita!i)n #ormado por tensiones paralelas está dire!tamente aso!iado a la tensi)n !ortante& -ara na pie$a prismáti!a se rela!iona !on la tensi)n !ortante mediante la rela!i)n*
-ara na 'i(a re!ta para la .e sea 'álida la teor8a de ElerBernolli se tiene la si(iente rela!i)n entre las !omponentes del es#er$o !ortante % el momento ,e!tor&
No deben !on#ndirse la no!i)n de es#er$o !ortante de la de tensi)n !ortante& 1as !omponentes del es#er$o !ortante pede obtenerse !omo las resltantes de las tensiones !ortantes& Dada la #er$a resltante de
las tensiones sobre na se!!i)n trans'ersal de na pie$a prismáti!a" el es#er$o !ortante es la !omponente de di!=a #er$a .e es paralela a na se!!i)n trans'ersal de la pie$a prismáti!a*
Donde*
es n 'e!tor nitario a la se!!i)n trans'ersal& es el !ampo 'e!torial de tensiones& Ob'iamente dado .e*
IV.
TORSION
1a torsi)n se !ara!teri$a (eométri!amente por.e !al.ier !r'a paralela al eje de la pie$a deja de estar !ontenida en el plano #ormado ini!ialmente por las dos !r'as& En l(ar de eso na !r'a paralela al eje se reter!e alrededor de él& El estdio (eneral de la torsi)n es !ompli!ado por.e bajo ese tipo de soli!ita!i)n la se!!i)n trans'ersal de na pie$a en (eneral se !ara!teri$a por dos #en)menos*
•
•
Apare!en tensiones tan(en!iales paralelas a la se!!i)n trans'ersal& Cando las tensiones anteriores no están distribidas ade!adamente" !osa .e s!ede siempre a menos .e la se!!i)n ten(a simetr8a !ir!lar" apare!en alabeos se!!ionales .e =a!en .e las se!!iones trans'ersales de#ormadas no sean planas&
IV.1
F'!da*e!+o Teori&o
Es na preba me!áni!a .e se lle'a a !abo por la a!!i)n de dos !ar(as trans'ersales 2!on la misma dire!!i)n pero de sentido !ontrario3" separadas na distan!ia 5nita sobre el diámetro de na probeta" de tal manera .e pro'o.en n enros!amiento de las se!!iones !onti(as& Este ensa%o es pre#erentemente sado para determinar propiedades en la $ona elásti!a& Cando na #er$a e+terna a!t0a tan(en!ialmente a na se!!i)n !ales.iera de n !erpo" se di!e .e a!t0a na !ar(a !ortante @" !omo se mestra a !ontina!i)n" ori(inando n es#er$o !ortante&
El es#er$o de !orte es a.el .e a!t0a paralelamente a n plano" % se di#eren!ia de los es#er$os de tra!!i)n % !ompresi)n .e a!t0an normalmente a n plano& El es#er$o !ortante tiene !omo e+presi)n matemáti!a* τ =
V A
Donde* • • •
2;( !m63
τ
Es#er$o !ortanteG 2;( !m63& V Car(a !ortante 2?(3 ! Hrea de la se!!i)n !onsiderada 2!m63
IV.$
,o*e!+o de Tor#i!
Cando las #er$as son paralelas % opestas pero no se en!entran en el plano del eje lon(itdinal del !erpo 2barra !il8ndri!a3" se prod!e n par .e ori(ina torsi)n alrededor de n eje lon(itdinal 2@er 5(& 3&
Considérese na barra empotrada en no de ss e+tremos % n par apli!ado en s e+tremo libre" !omo en la 5(" & 1a distan!ia " por la #er$a # dará !omo resltado el par torsor o momento torsional& M = XP
Donde* • • •
2!m 9 ;(3
Mt Momento torsionalG 2?( 9 !m3 " Distan!ia normal entre la #er$a #G 2!m3& # Fer$a .e prod!e el par* 2?(3&
>omando el dia(rama de !erpo libre de na se!!i)n trans'ersal de la barra" a n lon(itd 1" se obtiene n momento torsional resistente .e se opondrá al momento e+terno" 5(ra J&
-or lo tanto* Mt $ Mtr
Donde* Mtr Momento torsional resistente* 2!m 9 ;(3 Como* Mt Fer$a por distan!ia" enton!es*
∫
M t = ρ ⋅ dp
243
Donde*
ρ
Distan!ia normal a la di#eren!ial de la rea!!i)n # 2 dp desde el !entro de la barra3 2!m3 • dp Di#eren!ias de la Rea!!i)n # 2;(3& •
Además* τ = dp dA
Donde* dp = τ ⋅ dA
263
Sstit%endo el 'alor de dp de la e!a!i)n 263 en la e!a!i)n 243" se tiene*
∫
M t = τ ⋅ dA
2K3
Mltipli!ando % di'idiendo al se(ndo término de la e!a!i)n 2K3 por* ρρ ∫ ρ dA
M t = τ M t =
τ ρ 2 dA ∫ ρ
23
∫ ρ dA 2
-ero !omo es na e+presi)n matemáti!a del Momento -olar de Iner!ia %p" sstit%endo en la e!a!i)n 23 se tendrá .e* M t =
τ ⋅ Ip ρ
G 2!m 9 ;(3
2J3
Donde* •
Mt Momento >orsional 2!m 9 ;(3& %p Momento -olar de Iner!ia 2!m3&
•
•
r & r Radio de la barra en el ensa%o 2!m3&
•
Distan!ia del !entro de la barra a la d# 2!m3 en el ensa%o
De la e+presi)n 2J3 pede .edar de la si(iente #orma*
o
τ =
IV.-
M t Ip
G
?( !m6
2L3
A!"'lo de Tor#i!
1a barra !il8ndri!a e+perimentará na de#orma!i)n por el momento torsor al tratar de enros!arse" esta de#orma!i)n se !ono!e !omo el án(lo de torsi)n % !om0nmente se e+presa en radianes& Considerando la barra !il8ndri!a de la 5(ra L&
Cando se le apli!a el par" el pnto de la lon(itd a" s#re n despla$amiento al pnto &" por lo tanto* φ
φ
>an G por ser m% pe.e/o el án(lo dentro de la $ona elásti!a& φ =
Donde*
bc ac
23
ab = l
23
-ero se tiene también .e* >an
θ = θ
G por ser m% pe.e/o el án(lo dentro de la $ona elásti!a& θ =
bc
ρ
Donde&
bc = θ ⋅ ρ
23
Sstit%endo las e!a!iones 23 % 23 en 23 se tiene* φ =
θ ⋅ ρ l
2sin dimensiones" !m % !m3
2473
Donde* φ •
De#orma!i)n nitaria 2adimensional3&
θ
• •
An(lo de torsi)n medido en la lon(itd l" 2Rad&3 l 1on(itd de la barra !il8ndri!a 2!m3&
Sstit%endo el 'alor de en la e!a!i)n τ =
θ ⋅ ρ l
τ = φ ⋅ G
" se tiene*
G
2;( % !m63 θ
Donde el án(lo de torsi)n " debe de estar en radianes" % se !al!la !ono!iendo el n0mero de re'ol!iones PnQ" .e s#re la probeta drante el ensa%o" empleando la si(iente e!a!i)n* θ = 2π ( No. ⋅ V .)
2Rad&3
>omando en !enta .e 47 7&74J radianes& Donde* &o' V' Re'ol!iones 2'eltas o #ra!!i)n .e da la probeta =asta la
rptra3
/./ Rela&i! e!+re lo# ,d'lo# de Ri"ide0 Ela#+i&idad
1a rela!i)n .e e+iste entre el M)dlo de Ri(ide$ P (Q % el de Elasti!idad P)Q es el si(iente* G=
E 2(1 + µ )
Donde* • •
) M)dlo de elasti!idadG * Rela!i)n de -oissonG
2;( % !m63& 2Adimensional3
En los a!eros o metales =omo(éneos e Isotr)pi!os 2.e poseen las mismas propiedades en !al.ier dire!!i)n3" el M)dlo de Ri(ide$ P(Q es apro+imadamente n 7 del M)dlo de Elasti!idad P)Q&
IV.2
Ca#o# 3i4ere#+%+i&o# e! +or#i!.
15 CASO) Spon(amos n eje !il8ndri!o empotrado en los dos e+tremos sometido a los momentos torsores de la 5(ra&
Spon(amos .e =emos !al!lado >4 % >6& A=ora 'amos a !al!lar el (iro % la tma+ en C& El (iro de C será lo .e (ire la se!!i)n C respe!to del empotramiento dere!=o o i$.ierdo %a .e los empotramientos no (iran& >ra$ando por C na 'erti!al" % !omo los momentos torsores son mas #á!iles a la i$.ierda .e a ala dere!=a en el dia(rama de momentos torsores !al!lamos el (iro de C respe!to del empotramiento i$.ierdo&
$5CASO Spon(amos n eje !il8ndri!o empotrado en los 6 e+tremos sometido a los momentos torsores de la 5(ra&
Flexi! a&o*4a6ada &o! +or#i!. El e#e!to .e prod!e la !ar(a - es e.i'alente a n par % a na #er$a a!tando en O
1os pntos más peli(rosos de la se!!i)n de empotramiento son el a % el b&
1os dia(ramas se representan asi*
E#+'dio del 4'!+o a.
E#+'dio del 4'!+o .
-or estar el pnto b en la 1N*
El pnto a sele ser más peli(roso .e el b" %a .e tma+ del pnto a es sperior a la del pnto b&
V.
CO,BINACION DE ESFUERZOS
1a 'i(a simplemente apo%ada de la 5(ra soporta na !ar(a !on!entrada & Spon(amos .e la 'i(a está nida a los apo%os en el !entro de (ra'edad de las se!!iones e+tremas& En el pnto A" el es#er$o normal de #le+i)n es M%I& Es na tensi)n diri(ida perpendi!larmente al plano de la se!!i)n re!ta % la #er$a .e a!t0a sobre el elemento di#eren!ial de área es dA& Si la misma 'i(a apo%ada en la misma #orma se somete solamente a la a!!i)n de na #er$a a+ial - los es#er$os a+iales se distrib%en ni#ormemente sobre !al.ier se!!i)n trans'ersal& S 'alor es -A % también es na tensi)n perpendi!lar a la se!!i)n re!ta& 1a #er$a .e a!t0a en el mismo elemento A es dA& Si ambas !ar(as a!t0an simltáneamente en la 'i(a el es#er$o resltante en A se obtiene !omo sperposi!i)n de los dos e#e!tos aislados& En e#e!to" la #er$a resltante .e a!t0a sobre el elemento di#eren!ial A es el 'e!tor sma de las dos #er$as !oa+iales& Di'idiendo esta #er$a entre el área dA se ded!e el es#er$o resltante
σ =σ a + σ f
diri(ido perpendi!larmente a la se!!i)n re!ta& Análo(amente" en n pnto B de la misma se!!i)n" también a distan!ia % de la l8nea netra" pero por en!ima de ella" es es#er$o resltante es la di#eren!ia entre los es#er$os a+ial % por ,e+i)n& Si a los es#er$os de tensi)n se les da si(no positi'o % a los de !ompresi)n si(no ne(ati'o el es#er$o resltante en n pnto !al.iera de la 'i(a 'iene dado por*
Te!#io!e# &o*i!ada# e! e#+ado *%# "e!eral En !al.ier sita!i)n en .e n !erpo real se tili$a !omo nas estr!tras" se trasmitirán #er$as atre'es de del !erpo de a!erdo !on los prin!ipios de transmisi)n de #er$as anali$ados en estáti!a& En la me!áni!a de los !erpos de#ormables estamos interesados en la distrib!i)n de las #er$as internas aso!iada !on la transmisi)n de na #er$a !on el 5n de determinar si la resisten!ia del !erpo es s5!iente para soportar esas distrib!iones de #er$a interna& -ara e'alar la resisten!ia de na estr!tra" es ne!esario !onsiderar el es#er$o de na manera más (eneral .e simplemente !omo na presi)n normal& El es#er$o se de5ne en n pnto sobre na sper5!ieG pede estar lo!ali$ado sobre la sper5!ie e+terior o #rontera de n !erpo de#ormable&
Tra!#7or*a&io!e# de e#7'er0o# Se !onsidera dos se!!iones planas di#erentes .e !onten(an a n mismo pnto % para las !ales las normales sean n % Tn se 'erá .e los dos !onjntos de es#er$as serán en (eneral di#erentes esta di#eren!ia !onstit%e la idea sb%a!ente de lo .e se llama trans#orma!i)n de es#er$os& El análisis del estado tensional en n pnto se !omien$a !on la determina!i)n de las tensiones en las !aras del elemento es!o(ido alrededor del pnto&
E8e# 4ri!&i4ale# e#7'er0o# 4ri!&i4ale# 1as estr!tras reales están !ompestas de materiales reales& Cal.ier material real #alla al someterse a n es#er$o s5!ientemente (rande& M!=as teor8as de #alla se basan en e'iden!ia e+perimental .e indi!a .e los materiales #allan !ando el es#er$o normal o !ortante má+imos dentro de n !erpo para !ompararlos !on los 'alores !r8ti!os aso!iado !on la teor8a de #allas" los es#er$os normales má+imo % m8nimo se le llaman es#er$os prin!ipales& 1a ma%or parte de los elementos estr!trales % elementos de má.inas están en !ondi!iones de !ar(a más !omplejas .e elementos bajo !ar(a a+ial o !one+iones de !ar(a tras'ersal& Consideremos n !erpo sometido a 'arias !ar(as p4" p6 et!& En el !al se =ará n se!!ionamiento .e pon(a de mani5esto las distrib!iones de las #er$as internas .e son estáti!amente e.i'alentes a la #er$a % al momento resltante&
Cír&'lo de ,o3r 1a Cir!n#eren!ia
de
Mo=r es
en in(enier8a % (eo#8si!a para representar
na
té!ni!a
(rá5!amente n
sada tensor
simétri!o 2de 6+6 o de K+K3 % !al!lar !on ella momento de la iner!ia" de#orma!iones % tensiones" adaptando los mismos a las !ara!ter8sti!as de na !ir!n#eren!ia 2radio" !entro" et!3& >ambién es posible el !ál!lo del es#er$o !ortante má+imo absolto % la de#orma!i)n má+ima absolta&
Cir&'!7ere!&ia de ,o3r 4ara e#7'er0o# Ca#o idi*e!#io!al
Cir&'!7ere!&ia de ,o3r 4ara e#7'er0o#. En dos dimensiones" la Cir!n#eren!ia de Mo=r permite determinar la tensi)n má+ima % m8nima" a partir de dos medi!iones de la tensi)n normal % tan(en!ial sobre dos án(los .e #orman 7*
Usando ejes re!tan(lares" donde el eje =ori$ontal representa la tensi)n normal % el eje 'erti!al representa la tensi)n !ortante o
tan(en!ial para !ada no de los planos anteriores& 1os 'alores de la !ir!n#eren!ia .edan representados de la si(iente manera* Centro del !8r!lo de Mo=r*
Radio de la !ir!n#eren!ia de Mo=r*
1as tensiones má+imas % m8nimas 'ienen dados en términos de esas ma(nitdes simplemente por* Estos 'alores se peden obtener también !al!lando los 'alores propios del tensor tensi)n .e en este !aso 'iene dado por*
El !aso del estado tensional de n pnto - de n s)lido tridimensional es más !ompli!ado %a .e matemáti!amente se representa por na matri$ de K+K para la .e e+isten K 'alores propios" no ne!esariamente di#erentes&
En el !aso (eneral" las tensiones normal 23 % tan(en!ial 2V3" medidas sobre !al.ier plano .e pase por el pnto -" representadas en el dia(rama 2"V3 !aen siempre dentro de na re(i)n delimitada por K !8r!los& •
E+!entri!idad
Distan!ia entre la l8nea real de a!!i)n de las !ar(a de !ompresi)n o de tra!!i)n % la l8nea de a!!i)n .e prod!ir8a n es#er$o ni#orme en la se!!i)n trans'ersal de la probeta& 1a e+!entri!idad pede tener l(ar en di#erentes tipos de elementos me!áni!os" !omo son las poleas" las redas dentadas % en el posi!ionamiento relati'o entre dos pie$as !on!éntri!as" !aso del rotor % el estátor de n motor&
-ara na se!!i)n re!tan(lar de an!=o b % altra = !on - apli!ada a na e+!entri!idad e 2sobre la altra =3 se tiene* e=
h 6
,9+odo de A!%li#i# Si bien =a% m!=as maneras de anali$ar na estr!tra sometida a más de n tipo de !ar(a" por lo (eneral el pro!edimiento in!l%e los si(ientes pasos*
Se eli(e n pnto en la estr!tra para determinar los es#er$os % las de#orma!iones 2por lo (eneral se es!o(e n pnto en na se!!i)n trans'ersal" donde los es#er$os son (randesG por ejemplo" na se!!i)n trans'ersal" donde el momento ,e+ionante tiene s 'alor má+imo3& -ara !ada !ar(a sobre la estr!tra se determinan las resltantes de es#er$os en la se!!i)n trans'ersal .e !onten(a el pnto sele!!ionado 2las posibles resltantes de los es#er$os son na #er$a a+ial" n momento de torsi)n" n momento ,e+ionante % na #er$a !ortante3& Se !al!lan los es#er$os normal % !ortante en el pnto sele!!ionado debido a !ada na de las resltantes de es#er$os& Además si la estr!tra es n re!ipiente a presi)n" determinar los es#er$os debido a la presi)n interna 2los es#er$os se en!entran !on las #)rmlas para es#er$os %a obtenidas& 1os es#er$os indi'idales se !ombinan para obtener los es#er$os resltantes en el pnto sele!!ionadoG en otras palabras" se obtienen los es#er$os +" % % +% .e a!t0an sobre el elemento de es#er$o en el pnto& 1os es#er$os prin!ipales % los es#er$os !ortantes má+imos en el pnto sele!!ionado se determinan sando las e!a!iones de trans#orma!i)n de es#er$os o el !8r!lo de Mo=r& Si es ne!esario" se en!entran los es#er$os .e a!t0an sobre otros planos in!linados& 1as de#orma!iones en el pnto se =allan !on a%da de la le% de :oo;e para el es#er$o plano& Se es!o(en pntos adi!ionales % se repite el pro!eso =asta tener s5!iente in#orma!i)n sobre los es#er$os % las de#orma!iones .e satis#a(a los prop)sitos del análisis& Selección de los Puntos Críticos
Si el objeti'o del análisis es determinar los es#er$os má+imos en !al.ier parte de la estr!tra" enton!es a% .e es!o(er los pntos !r8ti!os en se!!iones trans'ersales donde la resltante de es#er$os al!an!e los 'alores má+imos&
VI.
E:ERCICIOS DE A;LICACI
Ejercicio 1:
1a prensa oprime las sper5!ies lisas en C % D" !ando se aprieta la ter!a& Si la #er$a de tensi)n del tornillo es de 7?N" determine los es#er$os prin!ipales en los pntos A % B" e indi.e los resltados en elementos bi!ados en !ada no de esos pntos& El área trans'ersal en A % B se indi!a en la 5(ra +esarrollo:
WXM 7 −40 KN ( 300 mm ) + D Y (500 mm )=0
DY =24 KN
W
⅀ F Y =0
DC1& de la prensa
Cy + Dy − 40 KN =0 Cy =40 KN −24 KN Cy =16 KN I =
I =
1 12 1 12
3
bh
( 30 mm ) ( 50 mm )3 =0.3125 × 10−6 m 4
Cal&'la!do 4ri*er *o*e!+o de %rea ,
,
,
,
Q A =Y A A =0 QB =Y B A =
(
0.025 2 6
−
QB = 9.375 × 10 m
)
m ( 0.025 m ) ( 0.03 m )
3
=a&ie!do &or+e e! la #e&&i! +ra!#>er#al del 4'!+o A B + ⅀ F Y =0 16 KN −40 KN + V = 0
V =24 KN
W
⅀ M =0
M −16 KN ( 400 mm ) + 40 KN ( 100 mm )=0 M =2.4 KN . m
Cal&'la!do e#7'er0o# 4ri!&i4ale# 4ara A σ 1= 0
σ 2= σ A =
− Mc −( 2.4 KN . m ) ( 0.025 m ) = −6 4 I
0.3125 × 10
m
σ 2=−192 Mpa
Cal&'la!do lo# e#7'er0o# 4ri!&i4ale# 4ara B σ B=
τ B=
Mc −( 2.4 KN . m ) ( 0 m) = =0 6 4 I 0.3125 × 10 m
−
−
VQ B
( 24 × 10 N ) ( 9.375 × 10− m ) = ( 0.3125 × 10− m ) ( 0.03 m ) 3
6
6
Ib
3
4
τ B=24.0 Mpa σ X =0 σ Y =0 τ XY =−24.0 Mpa
σ 1,2 =
σ 1,2 =
σ x + σ y 2 0+ 0 2
±
σ 1,2 =± √ ( 0 )
2
±
√(
σ x − σ y 2
)
2
√ ( ) + (− 0− 0 2
(
+ −
+
τ xy
2
2
24.0 Mpa )
24.0 Mpa )
2
2
σ 1= 24.0 Mpa σ 2=−24.0 Mpa
Cal&'la!do la orie!+a&i! del ele*e!+o tan 2 θ p=
tan 2 θ p=
−24 Mpa (0− 0)/ 2
τ xy
( σ x −σ y )/ 2
−
2 Ѳ P= tan
1
2 Ѳ P=± 90 ! Ѳ P
=± 45 !
Ejercicio 2:
Cal!lar los es#er$os má+imos % lo!ali$ar el eje netro en la 'i(a en 'oladi$o de 40 mm × 100 mm " indi!ada en la Fi(ra
olución:
El es#er$o má+imo o!rrirá en el e+tremo empotrado" pes en ese l(ar el momento ,e+ionante es má+imo& 1a !ar(a de ,e+i)n de la Fi(& K&6!" prod!e es#er$os de tensi)n en las 5bras speriores % es#er$os de !ompresi)n en las 5bras in#eriores& 1a !ar(a a+ial de la Fi(& K&6b prod!e es#er$os de tensi)n en todas las 5bras& As8" ( 3360 ) ( 360 × 10 ) ( 50 × 10 P Mc +11520 ¿ ± ± = + 3 A I ( 40 × 10−3 ) ( 100 × 10−3 ) 1 −3 −3 ( 40 × 10 )( 100 × 10 ) −3
σ
Sup
12
W 6& M-a W4&M-a W64&76 M-a 2tensi)n3G σ
inf.
¿±
P Mc ± =¿ 2.88-18.4 A I
−3
)
= -15.26 MPa (compresión)
1a !ombina!i)n de es#er$os se indi!a (rá5!amente en la Fi(& E1 eje netr)n en el plano de es#er$os nlos" % pede lo!ali$arse mediante la e!a!i)n" o mediante simple (eometr8a& >enemos* σ =±
P My ± A I
( 3360 ) ( 360 × 10 3 ) y −
0 = + 2.88 -
1 12
0 = (2.88
3
( 40 × 10 ) ( 100 × 10 ) −
6
× 10
3
¿−( 362.88 × 106 ) y
y = 0.00!4 m = .!4 mm
Ejercicio 3:
3
−
Un tan.e lleno de o+i(eno esta =e!=o de a!ero !romomolibdeno !on n espesor de pared de 7&6Jpl(&" na presi)n en s interior de 677psi % n diámetro e+terior de 6&JKpl(&& Determinar el es#er$o lon(itdinal % de !ostilla 2!ir!n#eren!ial3 para el !ilindro mostrado en la 5(ra&
Solucion:
Da+o# -677psi Espesor7&6pl( Radio e+terior4&pl( Radio interior4&pl( Yas* o+i(eno 2763 E!&o!+ra!do e#7'er0o e! la 4ar+e &ilí!dri&a.
F+ 7"
[
2 σ 1 ( "#y )
]
p ( 2 $#y )= 0
−
pr
* 4
Formla
t
Sstit%endo datos en la #ormla& (2400 psi )(14.4! pu "#) (0.28 pul )
4
46"677 lbpl(6 σ 1=124 , 200 P%I =124 . 2 K%I
E!&o!+ra!do e#7'er0o e! la dire&&i! &ir&'!7ere!&ial
σ 2 ( 2 &$" )− p ( &$
F%7"
2
)=0
pr
Formla*
6
2t
Sstit%endo datos en la #ormla&
(2400 psi)(14.4! pu "#)
6
(2)(0.28 pul )
L6"477 lbpl( 6
σ 2= 62,100 P%I =62.1 K%I
Si bien es más di#8!il #abri!ar re!ipientes a presi)n es#éri!os" se(0n los !ál!los .eda demostrado .e la parte semies#éri!a opone la mitad del es#er$o .e la parte !il8ndri!a" esto se debe a .e la parte semies#éri!a tiene la !apa!idad de resistir el doble de la presi)n interna&
