Exercices en traitement de signal
ELT 2
ENSIL
TD et exercices
1- Application du théorème de l’échantillonnage : a) On échantillonne une sinusoïde de fréquence 200 Hz, à la fréquence f e =500Hz. Quel est le signal que l’on obtient lors de la reconstruction supposée parfaite du signal ? (filtre de reconstruction idéal) b) Même question, même sinusoïde mais à la fréquence d’échantillonnage f e= 250Hz ?
2- Considérer le système présenté ci-dessous. Répondre aux questions suivantes en justifiant votre réponse. u(n) x(n)
y(n)
h(n)=(1/4)n u(n+10)
a) Le système, est-il linéaire ? b) Le système, est-il invariant dans le temps ? c) Le système est-il causal ? 3- L'entrée et la sortie d'un système LIT est donnée ci-dessous. 2 1
2 1
y(n)
x(n)
1 -2 -1
-1 0 1 2
0
1
2
-1 -2
a) Quelle est la réponse du système à l'entrée ci-dessous ? 4 3
x1(n)
3
2
2 1
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
b) Quelle est la réponse impulsionnelle du système ? 4- La réponse d'un système LIT à un échelon u(n) est la suivante : n
n
1 1 y(n) u (n) u(n) u (n) 3 4 a) Déterminer l'équation de différence b) Donner la réponse impulsionnelle du système c) Le système, est-il stable ?
1
Exercices en traitement de signal
ELT 2
ENSIL
5- Quand l'entrée d'un système LIT donné est x(n)=5u(n), la sortie es t égale à :
1 n 3 n y (n) 2 3 u (n) 4 2 a) donner la fonction de transfert du système H(z) et indiquer le diagramme des pôles et des zéros et définissez la ROC b) Donner la réponse impulsionnelle du système c) Donner l'équation de différence
(1 0.2 z 1 )(1 9 z 2 )
6- Pour un système LIT, on a
1 0.81 z 2
a) Le système, est-il stable ? b) Trouver une expression pour un système H 1(z) à phase minimale et un système passe tout pour que H(z)=H 1(z)H ap(z) 7- Soit h(n) la réponse impulsionnelle d'un filtre idéal passe bas. La bande passante de ce filtre est de -/4 à /4. Pour les systèmes ci-dessous, tracer la réponse fréquentielle résultante. x(n)
(-1)n
y(n)
+ -
(-1)n
x(n)
h(n)
y(n)
h(n)
(a)
(b)
x(n)
y(n)
x(n)
h(2n)
h(n/2) 0
(c)
si n pair si n im air
y(n)
(d)
x(n) 2
h(2n)
2
y(n)
(e)
8- Le signal analogique xc(t) est périodique avec T=1 msec. La série de Fourier de x c(t) est la suivante : xc (t )
9
a e
j ( 2 kt .103 )
k
k 9
xc(t) est échantillonné à la fréquence 6 kHz (T e=1/6 msec). - x(n) est-il périodique? Si oui, quelle est la période ? - Avons-nous respecté le critère de Shannon? - Si x(n) est développé en série de Fourier, quels so nt les coefficients de série en fonction de ak ?
2
Exercices en traitement de signal
ELT 2
ENSIL
9- Soit x(n)=a u(n). On construit x(n) à partir de x(n) par la relation x(n) n
x(n rN ) r
-
j
Donner la transformée de Fourier de x(n) : X(e ) Donner la série de Fourier discrète de X (k ) Quelle est la relation entre X (k ) et X(e j ) ?
10- Calculer la TFD de chacune des séquences ci-dessous, sachant qu'elles sont bornées dans le temps dans l'intervalle [0, N-1] - x(n)= (n) - x(n)= (n-n0 )
-
a n x(n) 0
0 n N 1 ailleurs
11- Considérons la séquence x(n) ci-dessous, X(z) est sa transformée de Z. On échantillon (z) sur les points z
X1 (k ) X ( z )
e
j
z e
2
j
4
k
2 4
k=0, 1, 2 et 3 et la séquence obtenue est appelée
k 0,1, 2,3
k
Dessiner la séquence x1(n) qui est la TFD inverse de X 1(k). x(n)
n
12- x1(n) et x2(n) sont deux séquences définies sur 8 points. Leurs TFD sont X 1(k) et X2(k). Quelle est la relation entre X1(k) et X2(k) ?
x1(n)
x2(n) b a
c d
b
d e
e n
0 1 2 3 4 5 6 7 8
c
a
0 1 2 3 4 5 6 7 8
n
13- Pour les deux séquences données ci-dessous, calculer la convolution circulaire sur 8 points 8
uniquement pour n=2 (c'est-à-dire que x3 (n) x1 (n)* x2 ( n) , x3(2)= ?
3
Exercices en traitement de signal
ELT 2
x1(n)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 n
ENSIL
x2(n)
n 0 1 2 3 4 5 6
14- Un programme écrit en C est disponible qui prend en argument une séquence de taille N et sort la TFD de celle-ci. Comment on utilise la même fonction pour calculer la TFD inverse d'une séquence de taille N? 15- Obtenir en étapes la structure d'une TFR de taille 4. 16- A partir de la structure en parallèle ci-dessous, donner la structure en cascade, direct I, directe II et transposée.
17- Pour le système ci-dessous a- Calculer le H(z) b- Ecrire les équations de différence pour x(n) et y(n) c- Dessiner la structure transposée et refaire a et b pour cette nouvelle structure.
18- Tracer la réponse impulsionnelle du système ci-dessous :
Combien de multiplications et addition sont nécessaires pour calculer chaque échantillon en sortie? 19- Nous voulons implanter un oscillateur pour générer sinus et cosinus comme schématise la figure ci-dessous :
4
Exercices en traitement de signal
ELT 2
ENSIL
cos( 0n)
osc -90
Sin( 0n)
On remarque que c'est un système dont h(n) e j 0nu(n) et que les sorties sont les partie réelles et imaginaires de la sortie de ce système. On cherche un système avec les coefficients et les opérations réels. Donner un diagramme de flot réalisant ce système.
20- La sortie d'un générateur de signal sinusoïdal est connectée à un convertisseur A/N suivi par un bloc TFD de taille N qui calcule X(k) k=0, 1, …, N-1. Discutez de manière qualitative de la forme des X(k) (dites ce que vous attendiez de X(k)). xa(t)=cos(2 f 0t) GBF
x(n) CAN
TFD N points
X(k)
f e > 2f 0
5
Exercices en traitement de signal
ELT 2
ENSIL
Corrigée 7-
(c)
6
Exercices en traitement de signal
ELT 2
ENSIL
7
Exercices en traitement de signal
ELT 2
ENSIL
8-
8
Exercices en traitement de signal
ELT 2
ENSIL
9 x(n) a n u( n)
X (e ) j
x(n)e
j n
n
1 1 az 1
X (k )
| z e j
N 1
x(n)e
X ( z ) | z e
1 1 ae j j
2 N
nk
a rN (ae r 0
N 1
a
n0 N 1
j
n rN
u (n rN )e
j
2 N
nk
n 0 r
j
2 N
k
i 0
X (k ) X (e j ) | 2 k / N
r 0
N
a rN
a
r
1 a
)n
N 1
rN
1 ae
j
2 N
k
1 a 1 ae
2 N
k
a r 0
j
2 N
nk
i 0 rN
1 a
1 ae
a r0
N
j
a u (n rN )e n
N
j
2 N
1 k
1 a
N
N 1 rN
a e
i 0
1 1 ae
n
j 2 k / N
1 1 ae j 2 k / N
10-
11-
9
j
2 N
nk
Exercices en traitement de signal
ELT 2
ENSIL
12-
13-
14-
10
Exercices en traitement de signal
ELT 2
ENSIL
15-
16-
17-
11
Exercices en traitement de signal
ELT 2
ENSIL
18-
19-
12
Exercices en traitement de signal
ELT 2
ENSIL
13
