FISIKA MATEMATIKA
INTEGRAL RANGKAP
DISUSUN OLEH:
1. NOVITA WIDIYASTUTI 1101135015
2. NOVITA YUSNIAWATI 110113506
3. TITAH ESTUNING AYU 1101135
4. WULAN SARI RAHAYU 1101135
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU
PENGETAHUA ALAM
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF.DR.HAMKA
2013
A. INTEGRAL RNGKAP 2
1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegi Panjang
Konsep integral tentu untuk fungsi satu peubah dapat kita perluas untuk
fungsi banyak peubah. Integral untuk fungsi banyak peubah dinamakan
integral lipat atau integral rangkap. Pada integral lipat satu, fungsi yang
dipakai dibatasi, yaitu fungsi tersebut dibatasi pada selang tertutup di
R1. Untuk integral lipat dua dari fungsi dua peubah , pembatasannya adalah
fungsi tersebut terdefinisi pada suatu daerah tertutup di R2. Berikut akan
kita bahas tentang integral lipat dua juga integral lipat tiga.
Gambar 1.1
Tetapkan R berupa suatu persegi panjang dengan sisi-sisi sejajar sumbu-
sumbu koordinat, yakni misal : R : {(x,y) : }. Bentuk suatu
partisi dengan cara membuat garis-garis sejajar sumbu x dan y. Ini membagi
R menjadi beberapa persegi panjang kecil yang jumlahnya n buah, yang
ditunjukkan dengan k = 1,2,...n. Tetapkan dan adalah panjang
sisi-sisi dan = . adalah luas. Pada ambil
sebuah titik misal dan bentuk penjumlahan Riemann .
Definisi :
Integral lipat dua
Andai suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi
panjang tertutup R, jika :
ada . maka f dapat diintegralkan pada R, lebih lanjut ,
yang disebut integral lipat dua dan pada R diberikan oleh
=
Sifat-sifat Integral Lipat Dua :
1. Jika f(x,y) dan g(x,y) masing-masing kontinu dalam daerah R
maka:
2.
3. Sifat pembanding berlaku jika f(x,y) g(x,y) untuk
semua (x,y) di R, maka :
Perhitungan Integral Lipat dua
Jika f(x,y) =1 pada R, maka integral lipat dua merupakan luas R, maka
integral lipat dua merupakan luas R.
=
= k.A(R)
Contoh Soal
1. Andai f sebuah fungsi tangga yakni :
f(x,y) =
hitung dengan R = {
jawab :
misal persegi panjang R1, R2, R3
R1 = {
R2 = {
R3 = {, lalu gunakan sifat penjumlahan di integral lipat dua,
sehingga :
+ +
= 1.A(R1) + 2. A(R2) + 3.A(R3)
= 1.3 + 2.3 + 3.3
= 18
2. Hampiri dengan ,
R = {. Kerjakan dengan menghitung penjumlahan Riemann!
Jawab :
Penjumlahan Riemann yang diperoleh dengan membagi atas 8 bujur sangkar yang
sama dengan tiap-tiap pusat bujur sangkar sebagi titik. Titik-titik contoh
yang diperlukan dan nilai-nilai yang berpadanan dari fungsi itu adalah :
"= (1,1), f= "= (3,1), f= "
"= (1,3), f = "= (3,3), f= "
"= (1,5), f= "= (3,5), f= "
"= (1,7), f= "= (3,7), f= "
Jadi karena = 4, = = 2.2 = 4
=
=
= 138
Integral Lipat
Jika pada R sehingga dapat kita tafsirkan integral lipat dua sebagai
volume dari benda pejal dibawah permukaan gambar 1
V = , R = {.
Gambar 1.2
Iris :
Iris benda pejal itu menjadi kepingan-kepingan sejajar terhadap bidang xz
(gb. 2a)
Irisan bidang y = k, kepingan volume yang berpadanan A(y)
Volume dari kepingan secara aproksimasi diberikan oleh A(y)
, diintegralkan ,
V = , untuk y tetap kita hitung A(y) dengan integral tunggal biasa :
A(y) = , sehingga : V = …….. (2)
Dari (1) dan (2) :
= begitu juga =
Permasalahan :
Hitung :
Jawab :
a.
Perhitungan Volume
Contoh soal :
Hitung volume V dari benda pejal diatas yang dibatasi oleh z = 4 – x2 –y
dan dibawah persegi panjang R = {
Jawab :
Jawab :
V =
= =
= =
= satuan volume
1.. Hitung :
a.
b.
" "
2. Integral Lipat Dua Atas Daearah Bukan Persegi Panjang
Gambar 2.1
Himpunan S terrtutup dan terbatas di bidang (Gb.1) keliling S oleh
suatu persegi panjang R dan sisinya sejajar sumbu-sumbu koordinat (Gb.2).
andai f(x,y) terdefinisi pada S dan didefinisikan f(x,y)=0 pada bagian R
diluar S (Gb.3), f dapat diintegralkan pada S jika dapat diintegralkan pada
R.
=
Perhitungan Integral Lipat Dua Atas Himpunan-himpunan Umum
Suatu himpunan S adalah y sederhana (gb.4) jika terdapat fungsi-fungsi
kontinu dan pada [a,b] sedemikian sehingga :
Gb.2.2 Gb. 2.3
Sebuah himpunan y sederhana sebuah himpunan x
sederhana
Bukan himpunan x sederhana
Atau y sederhana
Suatu himpunan S adalah y sederhana (gb.4) jika terdapat fungsi-fungsi
kontinu dan pada [a,b] sedemikian sehingga : . Sedangkan
suatu himpunan S adalah x sederhana (gb.5) jika terdapat fungsi-fungsi
kontinu dan pada [c,d] sedemikian sehingga : . Jika kita
ingin menghintung integral lipat dua dari suatu fungsi f(x,y) atau suatu
himpunan S yang y sederhana. Kita lingkungi S di dalam suatu persegi
panjang R (gb.6) dan membuat f(x,y)=0 di luar S, maka :
= =
= , secara ringkas
=
Dalam integral sebelah dalam, x dipertahankan tetap. Pengintegralan itu
adalah sepanjang garis tebal dari gambar 6. pengintegralan menghasilkan
luas A(x) dari gambar tersebut, akhirnya A(x) diintegralkan mulai dari a
sampai b. Jika himpunan S adalah x sederhana, maka
=
Kerjakan soal berikut!
1. Hitung :
a.
Jawab :
a.
3. Integral Lipat Dua Dalam Koordinat Kutub
Jika z = f(x,y) menentukan suatu permukaan atas R dan andaikan f adalah
kontinu dan tak negatif, maka volume V dari benda pejal dibawah permukaan
ini dan diatas R adalah
V = ...... (1)
Dalam koordinat kutub, suatu persegi panjang kutub R berbentuk :
R = {
Dengan dan . Persamaan permukaan diatas dapat ditulis sebagai
z = f(x,y) =
Sehingga :
V = ........ (2)
Dari (1) dan (2) :
=
Jika pada integral lipat dua diatas daerah bidang yang telah kita
pelajari yang lalu kita mengenal istilah himpunan x sederhana dan himpunan
y sederhana, pada pengintegralan kutub ini, kita mengenal istilah istilah
himpunan r sederhana dan himpunan sederhana. Himpunan r sederhana
berbentuk dan disebut sederhana jika berbentuk :
1. Penerapan Integral 2
Penerapan integral dua selain untuk mencari volume benda pejal,
penerapan lain yaitu mencari massa, pusat massa dan momen inersia.
a. Massa
Andai suatu lamina mencakup daerah s di bidang xy dan jika kerapatan
(massa/ satuan luas) di (x,y) dinyatakan oleh . Partisikan s
dalam persegi panjang kecil Ambil titik (pada . Massa
secara hampiran dan massa total lamina secara hampiran
Massa (m) diperoleh dengan mengambil limit rumus diatas untuk norma
partisi mendekati nol, sehingga :
Limit jumlah tersebut membentuk integral rangkap 2:
b. Pusat Massa
Jika adalah kumpulan titik massa yang masing-masing
ditempatkan di (,(,.......,( pada bidang maka momen
total terhadap sumbu y dan sumbu x. ,. Koordinat (dari
pusat massa:
Koordinat (dari pusat massa.
dan
Pusat massa diatas jika lamina tersebut tak homogen (kerapatan tak
sama), tapi jika kerapatannya sama (homogen), maka pusat massa
menjadi:
dan
c. Momen Inersia
Definisi:
Momen inersia dari suatu partikel adalah hasil kali massa dan kuadrat
jarak terpendek dari partikel terhadap sumbu. Jika m adalah massa dan
r adalah jarak, sehingga :
Suatu lamina tak homogen dengan kerapatan yang mencakup suatu
daerah s dari bidang xy, lalu dipartisi seperti pada gambar 1, hampiri
momen inersia tiap keping , ambil limit dan dbawa ke rumus
diatas, sehingga momen inersia terhadap sumbu x, y dan z adalah ,
, dan
Latihan.
Sebuah lamina dengan kerpatan dibatas sumbu x, garis x =8 , kurva
. Tentukan :
a. Massa
b. Pusat massa
c. Momen inersia terhadap sumbu x, y dan z
Jawab :
a.
=
=
=
=
B. INTEGRAL RANGKAP 3
1. Integral Rangkap Tiga Pada Koordinat Kartesius
Perhatikan suatu fungsi f tiga peubah yang didefinisikan atas suatu
daerah berbentuk balok B dengan sisi-sisi sejajar sumbu-sumbu koordinat.
Bentuk suatu partisi P dari B dengan meletakkn bidang-bidang melalui B
sejajar bidang koordinat, jadi memotong B ke dalam balok-balok bagian,
yaitu: . Pada , ambil satu titik contoh dan dengan
penjumlahan Riemann diperoleh:
Dengan = adalah volum . Jika P adalah panjang diagonal
terpanjang dari setiap balok bagian, maka kita definisikan integral lipat
tiga sebagai berikut:
Jika limitnya ada, seperti halnya pada integral lipat dua. Pengertian
integral lipat tiga mempunyai urutan pengintegralan serupa seperti pada
integral lipat dua. Sehingga integral lipat di fungsi f(x,y,z) atas daerah
B ditulis sebagai berikut:
, misalnya kita tuliskan , yang mempunyai arti:
a. Pengintegralan pertama dilakukan terhadap x dengan menganggap y dan z
sebagai konstanta
b. Pengintegralan pertama dilakukan terhadap y dengan menganggap z
sebagai konstanta
c. Terakhir, hasil dari b, diintegrasikan terhadap z.
Begitu juga jika pengintegralannya ditulis dalam bentuk yang lain ururtan
pengintegralannya menyesuaikan.
Sebagaimana pada integral lipat dua, jika f adalah fungsi pada daerah
tertutup maka untuk menghitung integral tentu digunakan integral berulang
dua kali, demikian pula untuk menghitung integral lipat tiga, digunakan
tiga kali, asalkan f kontinu. Sehingga bila B balok persegi panjang yang
dibatasi. }
Bila }, maka untuk menghitung integral lipat tiga atas benda B adalah:
}
Merupakan bentuk perhitungan integral lipat tiga.
2. Perhitungan dan Penerapan Integral Rangkap 3
Andai f(x,y,z) terdefinisi pada S dan f(x,y,z) bernilai nol, bila diluar S.
Andai S himpunan z sederhana dan adalah proyeksi permukaan benda S
pada bidang xy, untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:
Bila f kontinu dan terintegral pada benda pejal S, maka diperoleh:
Dimana adalah proyeksi permukaan benda S pada bidang xy.
Selanjutnya jika Sxy daerah pada bidang xy yang berbentuk y sederhana,
seperti pada gambar 3.4 . yang dibatai oleh: , sehingga dengan
integral berulang diperoleh:
=
Dari rumus di atas perlu diperhatikan bahwa batasan integrasi harus sesuai
dengan urutan-urutan pengintegralannya.
1. Hitung
Jawab :
2. Hitung
Jawab :
-----------------------
b
a
d
c
x
z
y
4
8
(4,8)
(0,8,8)
(4,8,6)
(4,0,2)
(0,0,4)
x
y
z
b
a
a
b
R
LA(y)
x
y
z
y
Gb. 1.3
Gb. 1
Gb. 2b
1
2
(1,2)
(0,0,4)
(1,0,3)
(1,2,1)
(0,2,2)
x
y
z
Gb.1
Gb.2
Gb.3
S
S
f(x,y)=0
z = f(x,y)
S
y=(x)
y= (x)
x
y
b
a
S
c
d
x=
x=
x
y
0
0
S
S
0
y
x
y= (x)
y=(x)
S
R
x
a
b
Gb.2.4
a
b
A(x)
z=f(x,y)
Gb.2.5
y= (x)
y=(x)
x
z
y
R
z=f(x,y)=F(r,)
x
y
z
r=a
r=b
R
Rk
Rk
R
k
Partisi R dalam persegi panjang kutub yang lebih kecil R1, R2
, …. Rn. dengan menggunakan suatu kisi kutub pada gambar diatas luas A(Rk)
dapat ditulis :
dengan adalah radius rata-rata Rk. Jadi V
Gb.2.6
Gb.2.7
Gb.2.8
$%&'7DEFJ\]^ijnŠ Ž?¡ª«¯ÀÉÊöëâÙâÍë¼ë³§œŽ ~ ~vŽ ~ hŽ ~ h ~]hbAÉhbAÉmH
sH
jh2
eUmHnHu
hCìmH
sH
hç-mH
sH
hbAÉmH
sH
jhbAÉUmHnHuhbAÉhCìmH
sH
hbAÉhÉOE5?mH
sH
hbAÉ5?mH
sH
jhbAÉ5?>*UmHnHuhbAÉhbAÉ5?CJ0aJ0hCì5?CJ(aJ(hbAÉ5?CJ(aJ(hCì5?>
*mH!s EMBED CorelDRAW.Graphic.12
S
S
r=
r=
Gb.2.9
Himpunan r sederhana
=
r=a
=
r=b
Gb.2.10
Himpunan sederhana
LATIHAN SOAL 1
LATIHAN 3
y
x
z
y
z
x
x
B
Bk
z
y
b
d
c
a
e
f
Gb. 3.1
Gb. 3.2
Sxy
x
y
z
Sxy
y
x
Gb. 3.3
Gb. 3.4
Sxy
LATIHAN 4
