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Líneas de corriente Julio Vega Ott Mecánica de fluidos 26 de mayo de 2019
1.
Grafi Grafica ca cam campo po de vel veloci ocida dad d y línea líneass de cor corri rien ente te
Los valores que se tomaron para la velocidad U 0 y b del campo de velocidad de la ecuación 1 fueron 78 y 68 respectivamente. = ( u, v) = (U 0 + bx) V i − by j
(1)
Del campo de velocidades de la ecuación 1 se pueden sacar análisis como saber si el flujo es incomprensible o compresible, rotacional o irrotacional, la deformación lineal y la deformación por esfuerzo contante. flujo Incompresible Si el flujo es incompresible se debe cumplir que la divergencia del vector velocidad sea igual a cero. (ver ecuación 2) 2 ) = 0 (2) ∇ · V Aplicando la divergencia al campo de velocidad 1 se obtiene lo siguiente: ∇·
= ∂u + ∂v + ∂w = b − b = 0 V ∂x ∂y ∂z
(3)
Dada la ecuación 3 se puede afirmar que el flujo es incompresible. flujo irrotacional Si el flujo es irrotacional se debe cumplir que el rotor del campo de velocidad sea igual a cero. (Ver ecuación 4) = 0 (4) ∇ × V Aplicando el rotor al campo de velocidad 1 se obtiene lo siguiente: ∇ × V
=(
∂v ∂x
−
∂u )k = 0 ∂y
(5)
(Dado que el flujo es bidimensional solo se utilizo la componente en x y y). Dado al valor obtenido se puede afirmar que el flujo es irrotacional, es importante saber que al ser irrotacional el flujo lo que se esperaria en la grafica (ver grafica 1a) es que no abra ningún cambio respecto a la rotación del cuadrado que hay inicialmente . 1
Deformación Particularmente en este caso se tendrán dos tipos de deformaciones que son en x y y , en este caso no hay deformación por esfuerzo cortante ademas la deformación volumetrica es igual a cero por lo que en la grafica representaría que no hay un cambio en el volumen, ya que estamos en coordenadas x y y en este caso no se le afectara el area al cuadrado, el área del cuadrado se mantendrá constante en todo momento sin importar la deformación lineal que este tenga. ∂u = b ∂x ∂v yy ˙ = = −b ∂y
˙ = xx
1 DV V Dt
= xx ˙ + yy ˙ + zz ˙ = b − b = 0
(6) (7) (8)
Se puede obtener de los cálculos realizados que el cuadrado tendera a estirarse en el eje x y en el eje y tendera a reducirse. Grafica y código En el siguiente ítem se puede ver una representación de cómo es el campo de velocidad y las líneas de corriente ademas de una representación de las deformaciones que tendrá el cuadrado. (OJO, el cuadrado no esta necesariamente a escala, como se dijo anteriormente es una representación de la deformación que tendrá con todas las condiciones anteriormente mencionadas en un flujo incompresible, irrotacional y con deformación en x y y) (ver figura 1). 1 ). Se tiene que las lineas de corrientes estan dadas por: y =
A U 0 + bx
2
(9)
(a) Grafica
(b) Codigo
Figura 1: MatLab 3
Como se pudo ver el código de la figura 1b es un poco engorroso tener que repetir los términos además de que quita tiempo, es por eso que se aplico un ciclo for con las mismas condiciones del código de la figura 1b obteniendo de esta manera los mismos resultados en menos tiempo.(Ver figura 2 figura 2b) b)
