Universidad Nacional Mayor de San Marcos acultad de Ciencias Administrativas Esc#ela Acad)mico Pro*esional de Administraci+n de Negocios Internacionales “Año de la Consolidación del Mar de Grau”
GUÍA 1 Curso: Estadística Aplicada a los Negocios II
Profesor: Alumno:
Lic. Emma Perez Palacios Niel Andrew Cortez Gala
Código: 14!4""
Ciclo: Aula y turno:
C#arto $% & 'a(ana
Ciudad Universitaria, Setiembre del 2016
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
scuela E scuela
Universitaria de Negocios Internacionales
Estadística Aplicada a los NN. NN. II, I I Guía de Ejercicios – I Distribución normal 1.
Calcu Calcule le las las sigui siguient entes es prob probabi abililida dades des:: a) Si la la variable variable X tiene distri distribución bución normal con media media 40 y desviación desviación estándar estándar 8 calcule: calcule: i) ! "X# 4$) 2
2
X 1 N ( μ= 40, σ =8
)
p ( x x < 45 )
(
p x x <
45− 40 8
)
p ( x x < 6.25 ) ≅ 0.63 =0.73565 ii) ! "X % &8) 2
2
X 1 N ( μ= 40, σ =8
)
p ( x x > 38 ) 1− p ( x < 38 )
(
1− p x <
38− 40 8
)
1− p ( x <−0.25 ) 1−0.40129 =0.59871
iii) ! "&0 # X # $0) 2
2
X 1 N ( μ= 40, σ =8
)
p ( 30 < x < 50 ) p ( x x < 50 ) − p ( x < 30 )
(
p x x <
50 −40 8
) (
− p x <
30− 40 8
)
p ( x x < 1.25 ) − p ( x <−1.25 ) 0.89435 − 0.10565 =0.7887
iv) ! "X # $$ ' X %(8) "probabilidad condicional es la probabilidad de X # $$ si se sabe ue es %(8) 2
2
2
X 1 N ( μ= 40, σ =8
)
p ( x < 55 / x > 28 ) p ( 28 ≤ x ≤ 55 ) p ( x ≤ 55 )− p ( x ≤ 28 )
(
p x <
55 −40 8
) (
28− 40
− p x <
8
)
p ( x < 1.875 ) − p ( x <−1.5 ) 0.96995 − 0.06681 =0.90314
b)
Si una variable X tiene distribución normal con µ * 1$0 y σ * 1+ ,allar el valor de - en: i) ! "X #-) * 0.( 2
2
)
2
2
)
X 1 N ( μ=150, σ = 16 p ( x < k ) =0.92 k −150 16
=1.41
k =172.56 ii) ! "X % -) * 0.0($ X 1 N ( μ=150, σ = 16 p ( x > k ) =0.025 1− p ( x > k )= 0.025
p ( x < k ) =0.975 k −150 16
=1.96
k =181.36 iii) ! "1&0 # X # -) * 0.48 2
μ=150, σ = 16 X 1 N ¿
2
p ( 130 < x < k )=0.48 p ( x < k ) − p ( x < 130 )=0.48 3
k −150 16
k −130 16
−
130− 150 16
=−0.05
=−0.05
k =129.20 iv) ! "-# X #1/$) * 0.+0 2
μ=150, σ = 16 X 1 N ¿
2
p ( k < x < 175 )=0.60 p ( x < 175 ) − p ( x < k )=0.60 175 −150 16
−
k − 150 16
=0.25
175 −k 16
= 0.25
k =171.00 (.
l tiempo necesario para terminar un eamen parcial en un determinado curso se distribuye normalmente con tiempo medio de 80 minutos y una desviación estándar de 10 minutos. a) 2Cuál es la probabilidad de ue un alumno termine el eamen en más de +0 minutos pero en menos de /$ minutos3 2
2
X 1 N ( μ=80, σ =10
)
p ( 60 < x < 75 ) p ( x < 75 ) − p ( x < 60 )
(
p x <
75 −80 10
) (
− − p x < 60 80 10
)
p ( x <−0.5 )− p ( x <−2 ) 0.30854 −0.02275 = 0.28579
b)
Suponga ue en el grupo ,ay +0 alumnos y ue el tiempo del eamen es de 0 minutos. 2Cuántos alumnos se espera ue no puedan terminar el eamen en el tiempo indicado3 2
2
X 1 N ( μ=80, σ =10 p ( x > 90 ) 1− p ( x < 90 )
4
)
(
1− p x <
90 −80 10
)
1− p ( x < 1 ) 1−0.84134 =0.15866 60 × 0.15866 = 9.5196 ≅ 9
5 de alumnos: &.
Se cree ue las ventas de un determinado detergente tienen una distribución normal con una media de 10000 bolsas y una desviación estándar de 1$00 bolsas por semana. a)
2Cuál es la probabilidad de vender más de 1(000 bolsas en una semana3 2
X 1 N ( μ=10000, σ =1500
2
)
p ( x > 12000 ) 1− p ( x < 12000 )
(
1− p x <
12000 − 10000 1500
)
1− p ( x < 1.33 ) 1−0.90824 =0.09176
b)
!ara tener una probabilidad del /.$6 de ue la empresa cuente con su7icientes eistencias para cubrir la demanda semanal 2cuántas bolsas debe producir3 2
X 1 N ( μ=10000, σ =1500
2
)
p ( x ≥ k )=0.975 1− p ( x ≤ k ) =0.975
p ( x ≤ k )=0.025 k −10000 1500
=−1.96
k =¿ !060 c)
2Cuál es la probabilidad de ue la venta semanal de bolsas di7iera de una venta promedio en más de 1000 bolsas3 2
X 1 N ( μ=10000, σ =1500 p ( x > 11000 ) 1− p ( x < 11000 )
(
1− p x <
11000 − 10000 1500
1− p ( x < 0.66 ) 1− 0.74537 =0.25463 5
)
2
)
d)
Si en la siguiente semana se asegura vender más de 11000 bolsas 2cuál es la probabilidad de ue en esa semana se venda menos de 1($00 bolsas3 2
X 1 N ( μ=10000, σ =1500
2
)
p ( 11000 < x < 12500 ) p ( x < 12500 ) − p ( x < 11000 )
(
p x <
12500 −10000 1500
) (
− p x <
11000 −10000 1500
)
p ( x < 1.67 )− p ( x < 0.6 ) 0.95154 −0.74537 =0.20617
4.
n una empresa ue 7abrica artculos de plástico los ingresos mensuales en miles de soles se distribuyen normalmente. Sabiendo ue el 1(6 de ellos son superiores a +0$.$ y el /+6 están entre &&.$ y +0$.$ calcular: a) l ingreso promedio mensual y su desviación estándar 2
X 1 N ( μ= ? , σ =? ) p ( 393.5 < x < 605.5 )=0.76
i.)
p ( x < 605.5 ) − p ( x < 393.5 ) =0.76
(
p x <
605.5− μ
σ
605.5 − μ
σ
−
393.5 − μ
σ
605.5 −393.5
σ σ =
) (
σ
=0.71
=0.71
212 0.71
σ =298.5915493 p ( x > 605.5 ) =0.12
ii.)
1− p ( x < 605.5 ) =0.12
(
1− p x <
(
p x <
605.5− μ
605.5− μ
605.5 − μ
σ
6
σ
σ
)=
=1.17
)
− − p x < 393.5 μ =0.76
)=
0.12
0.88
605.5 − μ 298.59
=1.17
μ=256.1478873
b)
9a probabilidad de ue los ingresos sean mayores ue $00 2
X 1 N ( μ=256.15, σ = 298.59
2
)
p ( x > 500 ) 1− p ( x < 500 )
(
1− p x <
500−256.15 298.59
)
1− p ( x < 0.82 ) 1−0.79389 =0.20611
$.
l gerente de anca !ersonal de un banco estimó ue los depósitos desde ue asumió la dirección están normalmente distribuidos con una media de 10000 dólares y una desviación estándar de 1$00 dólares. l gerente estudia la posibilidad de una tasa de inter;s pre7erencial a sus clientes incentivando al a,orro ue consiste en lo siguiente:
Límite de a,orro mínimo2
X 1 N ( μ=10000, σ =1500
2
)
2
)
p ( x ≤ k )=0.20
(
p x <
k −10000 1500
k −10000 1500
)=
0.20
=−0.84
k =8740.00
Límite de a,orro m/imo2
X 1 N ( μ=10000, σ =1500 p ( x ≤ k )=0.75
(
p x <
k −10000 1500
k −10000 1500 7
)=
= 0.67
0.75
k =11005.00
b) +.
>ctor ?a@ tiene un depósito de 1(8$0 dólares. 2!odrá lograr >ctor una tasa de inter;s superior al $63.
n una compaAa distribuidora de productos umicos se observa ue el nBmero de caas de cierto medicamento ue se distribuye mensualmente a un establecimiento es una variable aleatoria X normal con una media ($/ caas y una desviación estándar de (0 caas. a) 2Cuál es la probabilidad de ue en un establecimiento la compaAa distribuya más de (80 caas de este tipo de medicamento3 2
2
X 1 N ( μ=257, σ =20
)
p ( x > 280 ) 1− p ( x < 280 )
(
1− p x <
280−257 20
)
1− p ( x < 1.15 ) 1− 0.87493 =0.12507
b)
Calcule e interprete en t;rminos del enunciado el valor - tal ue : !"X ≤ -) * 0.0 2
2
X 1 N ( μ=257, σ =20
)
p ( x ≤ k )=0.90 k −257 20
=1.28
k =282.60 c)
Cada caa de este producto distribuido a un establecimiento cuesta $ nuevos soles. Si la cartera de clientes de la compaAa distribuidora cuenta con +4 establecimientos comerciales c.1) Dbtener la media y la desviación estándar del monto total de dinero obtenido mensualmente por la compaAa distribuidora. μ=257 × 5 × 64 =82240
σ =20 × 5 × 64 =6400 c.() 2Cuál es la probabilidad de ue dic,o monto supere los 80000 nuevos soles3 2
X 1 N ( μ=82240, σ =6400 p ( x > 80000 ) 1− p ( x < 80000 )
8
2
)
(
1− p x <
80000 − 82240 6400
)
1− p ( x <−0.35 ) 1− 0.36317 =0.63683
c.&) Calcule el monto total máimo ue obtendra la compaAa distribuidora tal ue esto ocurra con probabilidad de $6. 2
X 1 N ( μ=82240, σ =6400
2
)
p ( x ≤ k )=0.95
(
p x <
k −82240 6400
k −82240 6400
)=
0.95
= 1.64
k =92736.00 /.
l tiempo de conservación en buen estado X en meses de un producto ue es envasado eperimentalmente es una variable aleatoria con distribución normal "( 1) a) 2Cuál es la probabilidad de ue uno de tales productos envasados permane@ca en buen estado más de 4 meses3 2
X 1 N ( μ=2, σ =1
2
)
p ( x > 4 ) 1− p ( x < 4 )
(
1− p x <
4 −2 1
)
1− p ( x < 2 ) 1−0.97725 =0.02275
b) 8.
Si el costo de producción de uno de estos productos es C * ( E "&0 F X) 2Cuál es el valor esperado del costo3
Gn pro7esional tiene dos tipos de ingresos mensuales en soles ue se pueden considerar como variables independientes distribuidas en 7orma normal como sigue: X1 → "µ = &$00 =
a)
σ = /00)
= 4$0
2!odrá darse el caso ue el total de sus ingresos de un mes superen los /000 soles3. Husti7iue. μ (¿¿ 1 + μ2=6100, σ 21 +σ 22=692500 ) X 1 + X 2 ¿ p ( x > 7000 )
9
X ( → "µ = (+00 = σ
1− p ( x < 7000 )
(
7000 −6100
1− p x <
√ 692500
)
1− p ( x < 1.082 ) 1− 0.85993 =0.14007
b)
2Iu; ingreso total máimo podrá obtener en un mes de modo ue esto ocurra con probabilidad 0.+3. μ (¿¿ 1 + μ2=6100, σ 21 +σ 22=692500 ) X 1 + X 2 ¿ p ( x ≤ k )=0.96
(
p x <
k −6100
√ 692500
k −6100
√ 692500
)=
0.96
=1.75
k =7556.29 .
l precio ue se 7ia para cierto tipo de valor tiene distribución normal con media J * K$0.00 y desviación σ * K$.00. 9os compradores desean pagar una cantidad ue tambi;n tiene distribución normal con media J * K4$.00 y σ * K(.$0. 2Cuál es la probabilidad de ue tenga lugar una transacción3. μ
(¿¿ X =50, σ X 2 =52) X ¿ μ
(¿¿ Y = 45, σ 2Y =2.52 ) Y ¿ μ (¿¿ X − μY =5, σ X 2 + σ 2Y =31.25 ) X −Y ¿ p ( X < Y ) p ( X −Y < 0 )
(
p x <
0− 5
√ 31.25
)
p ( x <−0.89 )= 0.18673 10. Ll inspeccionar la calidad de un producto se ,a determinado dos tareas claves las cuales se 10
reali@an una despu;s de la otra. l tiempo ue se emplea para la primera tarea es una variable normal con µ * 10 minutos y σ * 1.$ minutos. !ara la segunda tarea se emplea un tiempo normal con µ * 1$ minutos y σ * ( minutos a) 2Cuál es la probabilidad ue en la inspección se emplee más de M ,ora3 μ (¿¿ 1 + μ2=25, σ 21 +σ 22=6.25 ) X 1 + X 2 ¿ p ( x > 30 ) 1− p ( x < 30 )
(
1− p x <
30−25
√ 6.25
)
1− p ( x < 2 ) 1− 0.97725 =0.02275
b)
2n u; tiempo máimo se concluirá la inspección con una probabilidad de 0.$3 μ (¿¿ 1 + μ2=25, σ 21 +σ 22=6.25 ) X 1 + X 2 ¿ p ( x ≤ k )=0.995
(
k −25
p x <
√ 6.25
k −25
√ 6.25
)=
0.995
= 2.58
k =31.45 11. Gna empresa agroindustrial tiene dos plantaciones de piAas en el valle de C,anc,amayo. !or di7erentes motivos en la presente temporada las piAas cosec,adas de ambas plantaciones presentan di7erencias. 9as de una plantación "@ona baa) son más grandes y su peso sigue aproimadamente una distribución normal con µ * 1+$0 gr. y σ * 100 gr. 9os pesos de la otra plantación "@ona alta) tambi;n siguen una distribución normal con µ * 14$0 gr. y σ * 1$0 gr. a)
Si se toma al a@ar una piAa de la @ona alta 2cuál es la probabilidad de ue su peso se encuentre entre 1400 y 1$00 gramos3 2
2
X 2 N ( μ=1450, σ = 150
)
p ( 1400 < x < 1500 ) p ( x < 1500 ) − p ( x < 1400 )
(
p x <
11
1500 −1450 150
) (
− p x <
1400 − 1450 150
)
p ( x < 0.33 )− p ( x <−0.33 ) 0.62930 − 0.37070 =0.2586
b)
Si se toma al a@ar cuatro piAas de la @ona baa y se las pesa untas 2cuál es la probabilidad de ue el peso total sea mayor a +/$0 gr.3. 2
X 1 N ( μ=1650, σ =100
2
) μ=1650 × 4 =6600
σ =100 × 4 = 400 p ( x > 6750 ) 1− p ( x < 6750 )
(
1− p x <
6750 −6600 400
)
1− p ( x < 0.375 ) 1− 0.64803 =0.35197
c)
Si se toma al a@ar una piAa de cada plantación y se las pesa untas= 2cuál es la probabilidad de ue el peso sea mayor a &&00 gr.3
μ (¿¿ 1 + μ2=3100, σ 21 + σ 22=32500 ) X 1 + X 2 ¿ p ( x > 3300 ) 1− p ( x < 3300 )
(
1− p x <
3300−3100
√ 32500
)
1− p ( x < 1.109 ) 1− 0.86650 =0.13350
12. Sea Y = X 1 X2 X3! donde X 1
N"4! 3#$% X2
N"6! 4#$ y X 3
alea'orias nor(ales e inde)endien'es a$ *allar la dis'ri&+ci,n de )ro&a&ilidad de la varia&le alea'oria Y Y = X 1+ X 2 + X 3 μ
¿
(¿ Y = μ ¿ ¿ 1 + μ2 + μ3 , σ 2Y =σ 21+ σ 22 +σ 23 ) ¿ ¿ Y N ¿ 12
N"8! 5#$ son varia&les
μ
(¿¿ Y =18, σ 2Y =50 ) Y = N ¿ b)
-vale /"Y 20$ μ (¿ ¿ Y =18, σ Y = √ 50 ) Y N ¿ p ( x < 20 )
(
p x <
20 −18
√ 50
)
p ( x < 0.283 )=0.61026 c)
Si = 2X 1 3X2 3X3! allar la )ro&a&ilidad de +e sea s+)erior a 15
R= 2 X 1 −3 X 2+ 3 X 3 μ R= 2 μ
(¿¿ 1−3 μ2 + 3 μ3 , σ R2 =2 σ 21−3 σ 22+3 σ 23) R N ¿ μ (¿¿ R=14, σ R2 =√ 45 ) R = N ¿ μ (¿¿ R=14, σ R2 =√ 45 ) R = N ¿ p ( x > 15 ) 1− p ( x < 15 )
(
1− p x <
15−14
√ 45
)
1− p ( x < 0.149 ) 1−0.55962 =0.44038
V. DI!"I#$%I&NE' (i-cuadrado , t de tudent, de is*er 1&. Si X es una v.a. con distribución C,iN cuadrado con 1/ grados de libertad. Calcular: a) !"X # /.$) 2
X X (17 )
13
p ( x < 7.59 ) =0.0249269 b)
!"X % (/.$) 2
X X (17 ) p ( x > 27.59 ) 1− p ( x < 27.59 ) 1−0.95 = 0.05
c)
!"+.408 ≤ X ≤ (/.$) 2
X X (17 ) p ( 6.408< x < 27.59 ) p ( x < 27.59 ) − p ( x < 6.408 ) 0.95− 0.01=0.94
d)
l valor de c tal ue !"X % c) * 0.01 2
X X (17 ) p ( x > c ) =0.01 1− p ( x < c )=0.01
p ( x < c ) =0.99 c = 33.4 2
14. Si X O
χ " 24$
,allar los valores de a y b tal ue !"a#X#b) * 0.88 si se tiene ue !"X%b) * 0.0( 2
X X (24 ) p ( x > b ) =0.02 1− p ( x < b )= 0.02
p ( x < b ) =0.98 b =40.2704 p ( a < x < b )= 0.88 p ( x < b ) − p ( x < a )=0.88 0.98− p ( x < a ) =0.88
p ( x < a ) =0.10
14
a =15.7 1$. Si X es una variable ue tiene distribución t de Student con una varian@a $'4. Calcule:
0arianzaV ( T ) ⇒
n n−2
=
5 4
4 n=5 n −10
n =10 a)
!"N1.81( ≤ X ≤ (.((8) X T ( 10) p (−1.812 < x < 2.228 ) p ( x < 2.228 ) − p ( x <−1.812 ) 0.975 − 0.05= 0.925
b)
l valor de c tal ue : !"Nc # X # c) * 0.+ X T ( 10) x <¿ c ∨¿
¿
p ¿ 1− p ( x < c )=
1 −0.96 2
1− p ( x < c )=0.02
p ( x < c ) =0.98 c =2.35931 1+. 9as variables aleatorias G y > se distribuyen como una C,iiNcuadrado con m grados de libertad y una t de Student con n grados de libertad respectivamente. X ( 0,1) V 2 2 U X (m ) X ( n) Calcular: a)
n
9os valores de PaP para los ue !"G%a)*00$ cuando PmP toma los valores y ($
2
U X (m )
15
√
p ( U > a )= 0.05 1− p ( U < a )=0.05
p ( U < a )= 0.95
2
U X (9 ) p ( U < a )= 0.95 a =16.9
2
U X (25) p ( U < a )= 0.95 a =37.7
b)
!"G#((.&/) con m * 1&
2
U X (13) p ( U < 22.37 )= 0.95
c)
9os valores de b para ue !">%b)*00$ con n * (0 y n * 40
V T (n ) p ( V > b )= 0.05 1− p ( V < b ) = 0.05
p ( V < b )= 0.95
16
V T (20) p ( V < b )= 0.95 b =1.725
V T (20) p ( V < b )= 0.95 b =1.684
1/. Si X es una v.a. ue tiene distribución Q con m y n grados de libertad.
b)
p ( x < 14.66 ) =0.99 !"X % /.&+) si m * $ y n * &. F ( 5,3) p ( x > 7.36 ) 1− p ( x < 7.36 ) 1−0.934457 =0.065563
c)
!"X # &.$4) si m * + y n * . F ( 6,9) p ( x < 3.54 )=0.956059
d)
9os valores de a y b tales ue !"a # X # b) * 0.0 y !"X # b) * 0.$ si m * 8 y n* + F ( 8,6) p ( x < b ) =0.95 b =4.15 p ( a < x < b )= 0.90 p ( x < b ) − p ( x < a )=0.90 0.95− p ( x < a ) =0.90
p ( x < a ) =0.05 17
a =0.279 18. 9as variables X R son independientes con las siguientes distribuciones: X → N"µ = 50! σ= 8$
Y
→ ' "15$
1Tesponder lo siguiente: / "X − 50$
a)
2
)
⇒
A =
(
8
)
(
2
=
( X −50 )2 64
2
p X ( 1) > c
(
2
(
2
p X (1) < c 64
= X 2(1)
)=0.05
1− p X ( 1) < c
c 64
)=0.05
)=
0.95
=3.84
c =245.76
b) Calcular :
/" Y >1.60$
Y t (15)
p (|Y |> 1.60 ) 1− p (|Y |< 1.60 ) 1− p (−1.60 < Y < 1.60 ) 1−[ p ( Y < 1.60 ) − p ( Y <−1.60 ) ] 1−[ 0.934777 −0.0652225 ] 1−0.8695545 =0.1304455
18
> c = 0.05
X − μ X −50 = = N ( 0,1) 8 σ
( A )2= A2 X 2(1) X −50
2
2
→ χ "10$
c)
X −µ 2 " σ $ / > & = 0.08 510
1
2
X X (1 ) , W X ( 10) ⇒ A =
W
F ( 1,10)
10
A F (1,10 ) p ( A > b )= 0.08 1− p ( A < b )=0.08
p ( A < b )= 0.92 b =3.79509 d)
= 0.10
2
W X (10) p ( k < W ) =0.10 1− p ( W < k )=0.05
p ( U < a )= 0.95 1. Sean X1 X ( X& y X 4 variables aleatorias independientes cada una con distribución normal est+ndar calcular las siguientes probabilidades:
a)
!U +.$ #R # 1(.8V si se sabe ue 2
2
2
R
= X12 + X22 + X32 + X24
2
Y = X 1+ X 2 + X 3 + X 4 2
Y = X ( 4 ) p ( 6.5< Y < 12.8 ) p ( Y < 12.8 )− p ( Y < 6.5 ) 0.987704 −0.835210 = 0.152494
b)
!U # 1(.4$ V si se tiene ue
S
= " X1 + X 2 + X3 $ 2
(0. 9as variables X R son independientes con distribuciones respectivas:
19
X
a)
(
→ χ"10)
R → t" (0)
(
S → χ"1$)
.
X X (10 ) p ( X > k ) =0.015 1− p ( X < k )=0.015
p ( X < k ) =0.985 k =22.0206 p ( c < X < k ) =0.94 p ( X < k ) − p ( X < c )= 0.94 0.985− p ( X < c ) =0.94
p ( X < c )=0.045 c = 3.82248
b)
!" R < (.04)
Y t (20)
p (−2.04 < Y < 2.04 ) p ( Y < 2.04 )− p ( Y <−2.04 ) 0.972611 −0.0273891 =0.9452219
c)
l valor de , de modo ue: !", # X E # &4.&81+) * 0.+$
S 1$ ! > (.8$ X10 d) W 2
2
X X (10 ) , W X ( 15) ⇒
15
X 10
F ( 15,10 ) p ( x > 2.85 ) 1− p ( x < 2.85 )
20
F (15,10)
1−0.95 = 0.05
. Supongamos ue la variable aleatoria tiene una distribución W de Student con m grados
de libertad se de7ine la siguiente variable aleatoria / 0 . ?etermine la distribución de la variable aleatoria /
X t ( m) 2
X (m ) 2
Y = X =(
N ( 0,1 )
(√ ) 2
X ( m) m
21
2
)=
[ N ( 0,1 ) ]2 2
X m
=
1 2
X (m ) m
= F ( 1, m ) 
