Experimentaci´ on F´ısica I
Revisi´ on y modificaci´ on
˜a lara diego pen ˜iga escobar orlando zun
universidad del valle facultad de ciencias naturales y exactas departamento de f´ısica
´INDICE GENERAL
Pr´ ologo a la edici´ on revisada
ii
Pr´ ologo a la primera edici´ on
iii
1. La calidad del dato en f´ısica experimental y su interpretaci´ on en la toma de decisiones 1-1 2. M´ etodos de an´ alisis gr´ afico
2-1
3. M´ etodo de m´ınimos cuadrados
3-1
4. Medici´ on de tiempos
4-1
5. Determinaci´ on de la constante π
5-1
6. Medici´ on de la gravedad
6-1
7. Carril de aire y fotodetector
7-1
8. Determinaci´ on experimental de una trayectoria
8-1
9. Colisiones
9-1
10.Coeficiente de fricci´ on
10-1
11.Fuerzas concurrentes
11-1
12.Comportamiento de la energ´ıa mec´ anica
12-1
13.Energ´ıas potencial gravitacional y cin´ etica (Sal´ on 1014 B)
13-1
14.P´ endulo bal´ıstico
14-1
15.Momentos de fuerzas (Sal´ on 1014 A)
15-1
16.Movimiento rotacional (Sal´ on 1014A)
16-1
17.Movimiento de rotaci´ on y traslaci´ on
17-1
A. Manejo cron´ ometro programable (Aslab 1)
A-1
i
Pr´ologo a la edici´on revisada
´ n f´ısica I ha sido sometido a una revisi´on exhaustiva corrigi´endose los errores experimentacio tipogr´aficos y ortogr´aficos, los cuales han sido se˜ nalados por varios estudiantes y profesores que han seguido la gu´ıa. En esta edici´on revisada, se ha aumentado el n´ umero de laboratorios para dar mayor flexibilidad al profesor de escoger y desarrollar el curso. Igualmente se ha tratado de hacerla lo m´as clara posible, sin embargo, se recomienda a los estudiantes seguir la revisi´on del material y enviar sus comentarios a la direcci´on electr´onica
[email protected]. El objetivo sigue siendo el mismo de la primera edici´on. Diego Pe˜ na Lara Orlando Zu˜ niga Escobar
iii
Pr´ologo a la primera edici´on
Esta versi´on de las guias son las de 2 001 adaptadas para la reforma de 2 003. Estas gu´ıas de pr´ acticas ´ n f´ısica i para estudiantes fueron dise˜ nadas para ser utilizadas en la asignatura experimentacio de los programas de estudio de la Facultades de Ciencias (Matem´aticas y Qu´ımica) e Ingenier´ıa. Las pr´acticas tiene en com´ un el que est´an basados en diferentes conceptos y principios de mec´ anica, y tienen por objetivo global mejorar la comprensi´on de estos conceptos y facilitar al estudiante el desarrollo de habilidades experimentales, tanto manipulativas como de interpretaci´on y an´ alisis de datos. Las gu´ıas son resultado de muchos a˜ nos de experiencia que tiene el Departamento de F´ısica en la docencia para los estudiantes de los cursos b´asicos de f´ısica de toda la Universidad. El acelerado avance de las ciencias y la tecnolog´ıa, y la consiguiente necesidad de adecuar nuestros procesos docentes, han motivado a los profesores del Departamento a efectuar la modernizaci´on. As´ı pues, en la elaboraci´ on de estas gu´ıas no s´olo est´a plasmado el esfuerzo de los pioneros del Departamento de F´ısica, sino tambi´en de todos aquellos colegas que han tenido a su cargo esta asignatura durante los u ´ ltimos a˜ nos. Los editores de este material les agradecen por sus invaluables aportes. As´ı mismo agradecen a los asistentes de docencia, t´ecnicos de laboratorio y estudiantes por sus observaciones y sugerencias, que han tenido en cuenta hasta donde ha sido posible. La metodolog´ıa a seguir en el laboratorio es la siguiente: 1. Se conforman grupos de pr´acticas estudiantes. La duraci´on de la pr´actica es de tres horas (a menos que su profesor indique otra cosa), al final de la cual el grupo de pr´actica entrega un informe en donde se registran los datos experimentales, gr´ aficas y los c´alculos solicitados. ´ n general a los 2. Las primeras sesiones ser´an exclusivos para estudiar el texto introduccio ´ laboratorios de fısica y para realizar los talleres sobre medidas y errores. 3. Cada sesi´on de laboratorio trabaja con un m´aximo de 10 grupos de pr´actica, esto es, se realizan en cada sesi´on 10 pr´acticas. No todas las pr´acticas son id´enticas, esto significa que hay una programaci´on para cada grupo. 4. Cada uno de los estudiantes debe traer preparados los temas sobre los cuales trata el experimento. 5. Su profesor puede indicar modificaciones al procedimiento experimental o de an´alisis de datos, agregar o suprimir preguntas para responder en el informe, etc. 6. Es obligatoria la asistencia a todas las sesiones.
iv
CAP´ITULO
1
La calidad del dato en f´ısica experimental y su interpretaci´on en la toma de decisiones
1.1 Objetivos 1.1.1 Objetivo general ✔ Potenciar en el estudiante la actitud ante la toma y calidad de datos experimentales como un instrumento esencial para el entendimiento de la F´ısica Experimental.
1.1.2 Objetivos espec´ıficos ✓ Familiarizar al estudiante en la importancia de la calidad en la toma de datos experimentales. ✓ Presentar criterios orientadores sobre el an´alisis de los datos experimentales. ✓ Ofrecer elementos que ayuden a la toma de decisiones sobre fen´omenos observados, equipos utilizados y an´alisis de datos procesados.
1.2 Introducci´ on La F´ısica Experimental requiere una visi´on complementaria de por lo menos tres ejes tem´ aticos: ➛ Manejo conceptual de t´erminos f´ısicos. ➛ Manejo adecuado de equipos o instrumentos. ➛ An´alisis de datos y toma de decisiones. El eje Conceptos f´ısicos contiene tanto los conceptos f´ısicos como los modelos propuestos para explicar un fen´omeno, p. ej., para la ca´ıda libre debe ser claro los conceptos de posici´on, velocidad, aceleraci´on y el modelo propuesto es aqu´el donde s´olo act´ ua el peso (constante) y la fricci´ on se desprecia. El eje Manejo de equipos contiene el uso adecuado de los instrumentos de medici´on (conocer su manejo y su precisi´ on) y los m´etodos de medici´on (cu´antas veces se mide y con que criterio, sensibilidad del instrumento). El eje An´ alisis de datos contiene algunos conceptos de la estad´ıstica descriptiva y probabilidad para tener el criterio de reportar y justificar los resultados de las mediciones. El fundamento esencial en la interpretaci´on de un fen´omeno observado es la importancia en la toma y la calidad de los datos experimentales. 1-1
1-2 Conceptos f´ısicos
An´alisis de datos Manejo de equipos Figura 1.1: Visi´ on complementaria de la F´ısica Experimental.
En ciencias e ingenier´ıa, el concepto de error tiene un significado completamente diferente al de su uso habitual (equivalente a equivocaci´ on). error est´a asociado al concepto de incertidumbre en la determinaci´on del resultado de una medici´on. Lo que se espera en toda medici´on es conocer las cotas (o l´ımites probabil´ısticos) de estas incertidumbres. Gr´aficamente, se busca establecer un intervalo x − ∆x ≤ x ≤ x + ∆x como el de la fig. 1.2, donde con cierta probabilidad, se pueda decir d´ onde se encuentra el mejor valor de la magnitud x. Este mejor valor x es el m´as representativo de nuestra medici´on y al semiancho ∆x lo denominamos la incertidumbre o error absoluto de la medici´ on. [ x − ∆x
| x
] x + ∆x
x
Figura 1.2: Intervalo asociado al resultado de una medici´ on. En lugar de dar un u ´nico n´ umero, se define un intervalo.
1.3 Medici´ on ´ n es el proceso por el cual cuantificamos una propiedad o atributo del mundo sensible, La medicio esto es, intentamos, aunque nunca con ´exito total, representar dicha propiedad mediante un n´ umero real, acompa˜ nado de la especificaci´ on de la unidad de medida. Las mediciones de magnitudes como longitud, ´area, volumen, tiempo y masa han sido realizadas por el hombre desde tiempos remotos. ´ n directa se compara una magnitud f´ısica1 con una unidad patr´ En una medicio on, o unidad, ´ n indirecta se obtiene como resultado de algunos c´alculos realizados en cambio para una medicio con magnitudes medidas directamente. En la tabla 1.1 se ilustra las magnitudes f´ısicas fundamentales con su unidad y su s´ımbolo, seg´ un el SI y reglamentado por la Norma T´ecnica Colombiana Oficial Obligatoria 1 000, NTC. (Resoluci´on No 005 de 95-04-03 del Consejo Nacional de Normas y Calidades). En todo proceso de medici´on se introducen errores debido a las limitaciones dadas por los instrumentos usados,al m´etodo de medici´ on y al observador (u observadores) que realizan la medici´ on. Por ejemplo, cuando se usa un term´ometro para medir una temperatura, parte del calor del objeto fluye al term´ometro (o viceversa), de modo que el resultado de la medici´on es un valor modificado del original debido a la inevitable interacci´on que se debe realizar. Es claro que esta interacci´on podr´ a o no ser significativa: Si al medir la temperatura de un metro c´ ubico de agua, la cantidad de calor transferida al term´ometro puede no ser significativa, pero si lo ser´a si el volumen en cuesti´on es de una peque˜ na fracci´ on del mililitro. Los instrumentos tienen una precisi´on finita, por lo que, para un dado instrumento, siempre hay una ´n variaci´on m´ınima de la magnitud que puede detectar. Esta m´ınima cantidad se denomina apreciacio nominal del instrumento. Por ejemplo, con una regla graduada en mil´ımetros, no podemos detectar variaciones menores que una fracci´ on del mil´ımetro. 1 Atributo de un cuerpo, sustancia o fen´ omeno, que puede determinarse cuantitativamente, es decir, es un atributo susceptible de ser medido.
1-3
Magnitud longitud masa tiempo temperatura corriente el´ ectrica intensidad luminosa cantidad de substancia
Unidad metro kilogramo segundo kelvin
S´ımbolo m kg s K
amp`ere
A
candela
cd
mol
mol
Tabla 1.1: Unidades fundamentales del SI.
A su vez, las magnitudes a medir no est´an definidas con infinita precisi´on. Imaginemos que se quiere medir el largo de una mesa. Es posible que al usar instrumentos cada vez m´as precisos empecemos a notar las irregularidades t´ıpicas del corte de los bordes o, al ir aun m´as all´a, finalmente detectemos la naturaleza at´omica o molecular del material que la constituye. Es claro que en ese punto la longitud dejar´a de estar bien definida. En la pr´actica, es posible que mucho antes de estos casos l´ımites, la falta de paralelismo en sus bordes haga que el concepto de la ((longitud de la mesa)) comience a hacerse cada vez menos definida, y a esta limitaci´on intr´ınseca se denomina incertidumbre intr´ınseca o falta de definici´on de la magnitud en cuesti´on. Adem´as de la precisi´on en los instrumentos, se tiene la exactitud de los mismos, as´ı p. ej., un tornillo microm´etrico (con una apreciaci´on nominal de 10 µm) es m´as preciso que una regla graduada en mil´ımetros (con una apreciaci´on nominal de 1 mm) o un cron´ometro es m´as preciso que un reloj com´ un, etc. La exactitud de un instrumento se asocia a la calidad de calibraci´on del mismo, as´ı p. ej., si un cron´ometro (con una apreciaci´on nominal de 1 s) se adelanta un minuto cada hora, mientras que un reloj com´ un no lo hace, se dice el cron´ometro es todav´ıa m´as preciso que el reloj com´ un, pero menos exacto. En general los instrumentos vienen calibrados dentro de ciertos limites. Es deseable que la calibraci´on de un instrumento sea tan buena como la apreciaci´on del mismo. La fig. 1.3 ilustra de modo esquem´atico estos dos conceptos. (b)
precisi´ on
(a)
exactitud
(c)
(d)
Figura 1.3: Ilustraci´ on esquem´ atica de los conceptos de precisi´ on y exactitud, la dispersi´ on de los puntos da una idea de la precisi´ on, mientras la diana est´ a asociado a la exactitud. (a) Preciso pero no exacto. (b) Exacto y preciso. (c) Ni exacto ni preciso. (d). Exacto pero no preciso.
1.4 Cifras significativas Al medir con una regla com´ un (graduada en mil´ımetros), podemos decir, p. ej., que la longitud L de una barra es de 64, 2 ± 0, 1 cm, en otras palabras, se est´a diciendo que estamos seguros de los dos primeros d´ıgitos: el 6 y el 4, pero puede haber un error en el u ´ltimo, el 2, ya que ´este podr´ıa ser 1 o 3. Se Dice que la medici´on tiene tres (3) cifras significativas. El n´ umero de cifras significativas
1-4
de una medida es igual n´ umero de d´ıgitos seguros m´as el d´ıgito dudoso contenidos en el resultado de la medici´on que est´an a la izquierda del primer d´ıgito afectado por el error, incluyendo este d´ıgito. El primer d´ıgito, o sea el que est´a m´as a la izquierda, es el m´as significativo (6 en nuestro caso) y el u ´ ltimo (m´as a la derecha) el menos significativo (el 2), ya que es en ´el que tenemos ((menos seguridad)). N´otese que carece de sentido incluir en nuestro resultado de L m´as cifras que aquellas en donde no se tiene seguridad, es decir, no podemos reportar una medida de L = 64, 213 ± 0, 1 cm con una regla com´ un, ya que tenemos una incertidumbre de 1 mil´ımetro (0, 1 cm). Si el valor de L proviene de un promedio y el error es del orden del mil´ımetro, se debe redondear el d´ıgito donde primero cae el error. ¡Escribir m´as cifras adicionales de las cuales no tenemos seguridad, no tiene sentido! Es usual expresar las incertidumbres con una sola cifra significativa, y solo en casos excepcionales y cuando existe fundamento para ello, se pueden usar m´as. Tambi´en es usual considerar que la incertidumbre en un resultado de medici´ on afecta a la u ´ ltima cifra (en una unidad) si es que no se la indica expl´ıcitamente. ¿Qu´e pasar´a cuando se hace un cambio de unidades?, es decir, si en el ejemplo anterior se desea expresar L en µm, el resultado ser´ıa (de acuerdo a nuestra intuici´on): L = 642 000 ± 1 000 µm ¿es correcto? ¡No!, ¿Cu´antas cifras significativas tenemos en este resultado? Seis. ¿Cu´antas cifras significativas debemos tener realmente? Claramente tres, igual que antes, ya que la u ´ ltima cifra significativa sigue siendo 2. Sin embargo, si no indicamos expl´ıcitamente la incertidumbre de L, es dif´ıcil saber cu´ antas cifras significativas tenemos. Desde el punto de vista de la f´ısica experimental, 642 mm 6= 642 000 µm porque el primer resultado tiene s´olo 3 cifras significativas mientras el segundo tiene 6, es decir, se aumenta la precisi´on por un simple cambio de unidad, sin ning´ un costo, en contradicci´on a la cotizaci´ on entre una regla com´ un ($1 000) y un micr´ometro de precisi´on 0,01 mm ($200 000). La notaci´on cient´ıfica (en potencia de 10) nos indica la manera correcta de escribir un dato experimental, de esta forma L = 64, 2 × 104 µm o 642 × 103 µm, dependiendo de la incertidumbre reportada. El n´ umero de cifras significativas lo dan los d´ıgitos que multiplican la potencia de 10. La posici´ on de la coma decimal no influye en el resultado.
1.5 Clasificaci´ on de los errores 1. Errores introducidos por el instrumento ✧ La falta de habilidad de un observador para medir con un instrumento adecuado introduce ´ n. As´ı, es posible que un observador un error que se denomina error de apreciacio entrenado pueda apreciar hasta fracciones de mil´ımetro mientras que otro observador, con el mismo instrumento, s´ olo pueda apreciar solo mil´ımetros, como se aprecia en la fig. 1.4. Este error se representa por σapr . 0
mil´ımetros 10 20 30
Figura 1.4: Medici´ on de una longitud.
✧ La m´ınima cantidad que puede medirse con un dado instrumento se asocia al error de exactitud, como se ilustra en la fig 1.5 y se representa por σexa . ´ n. Es la interacci´on entre el m´etodo de medici´on con el objeto a medir. 2. error de interaccio Su determinaci´on depende de la medici´on que se realiza y su valor se estima de un an´ alisis cuidadoso del m´etodo usado. Se representa por σint
1-5
volts 3
6
0
Figura 1.5: Medici´ on en un volt´ımetro.
3. Falta de definici´on en el objeto a medir. Las magnitudes a medir no est´an definidas con infinita ´ n del objeto precisi´on. Con σdef se designa el error asociado con la falta de definicio a medir. En un experimento dado, en general, todas estas fuentes de errores est´an presentes, de modo que resulta u ´ til definir el error nominal de una medici´on σnom , como: 2 2 2 2 2 σnom = σapr + σexa + σint + σdef
(1.1)
Sumar los cuadrados de los errores es un resultado de la estad´ıstica, donde se ha asumido que todas las distintas fuentes de error son independientes una de otras.
1.6 Tipos de errores de medici´ on ´tico se debe a causas identificables y, en principio, puede eliminarse. Los errores El error sistema de este tipo dan resultados de medici´on que son consistentemente mayores o consistentemente menores que el resultado de medici´on de un valor convencionalmente verdadero. El error sistem´atico puede ser: ➛ Instrumental. Un instrumento mal calibrado como un term´ometro que marca 102◦C cuando es inmerso en agua en ebullici´on y 2◦ C cuando se sumerge en una mezcla de agua-hielo a presi´ on atmosf´erica. Tal term´ometro dar´a medidas que son consistentemente mayores. ➛ Observable. El paralaje en la lectura de una escala m´etrica. ➛ Ambiental. Una fuente el´ectrica con baja carga, debida a la humedad del aire, dar´a medidas de corriente consistentemente menores. ➛ Te´ orico. Debido a las simplificaciones del modelo o a las aproximaciones en las ecuaciones que describen un sistema f´ısico, p. ej., si una fuerza disipativa est´a presente en el experimento pero ´esta no se incluye en la teor´ıa, entonces los resultados te´oricos y experimentales no concordaran. Los errores aleatorios son fluctuaciones negativas y positivas que causan que alrededor de la mitad de las medidas sean mayores y la otra mitad sean menores a un valor convencionalmente verdadero. Las fuentes de los errores aleatorios no siempre pueden ser identificadas. Algunas posibles fuentes de errores aleatorios son: ➛ Observable. Errores de juzgamiento cuando se lee la resoluci´on de un instrumento de medici´ on cuyas marcas sucesivas son relativamente muy peque˜ nas. Los errores aleatorios, al contrario de los errores sistem´aticos, pueden ser cuantificados por medio de un an´alisis estad´ıstico, por tanto, los efectos de los errores aleatorios sobre las cantidades o leyes f´ısicas bajo investigaci´on pueden ser determinados. Se designa por σest . La distinci´on entre errores aleatorios y sistem´aticos se puede ilustrar con el siguiente ejemplo. Sup´ongase que la magnitud por medir (puede ser una cantidad f´ısica) se repite nueve veces bajo las mismas condiciones. Si hay s´olo errores aleatorios, los nueve resultados de medici´on estar´an distribuidos alrededor del valor convencionalmente verdadero; algunos muy alejados y otros muy cercanos, como se muestra en la fig. 1.6a. Si adem´as de los errores aleatorios hay errores sistem´aticos, entonces los nueve resultados de medici´on se distribuir´an, no alrededor del valor convencionalmente verdadero, sino alrededor de un valor alejado de ´este, como se ilustra en la fig. 1.6b.
1-6 (a) Valor convencionalmente aceptado
(b) Figura 1.6: a) Error aleatorio. b) Error sistem´ atico.
El error espurio se asocia a la equivocaci´on a la hora de pasar en limpio los datos para realizar las respectivas operaciones matem´aticas, hacer mal las conversiones de unidades, usar unidades diferentes, etc. A este tipo de error no se aplica la teor´ıa estad´ıstica de errores y el modo de evitarlo consiste en una evaluaci´on cuidadosa de los procedimientos realizados en la medici´on. Un ejemplo de este tipo de error es el que se cometi´o en el Mars Climate Explorer a fines de 1 999, al pasar de pulgadas a cent´ımetros se cometi´o un error que costo el fracaso de dicha misi´on a Marte. ¡Es imprescindible en ciencia e ingenier´ıa especificar los errores de medici´on! Al medir una magnitud X, el error final, combinado o efectivo de X, ∆X, es: q 2 2 ∆X = σnom + σest q 2 + σ2 + σ2 + σ2 + σ2 σapr = exa est int def
(1.2)
1.7 C´ omo expresar un resultado Un resultado num´erico se expresa por medio de: ➛ error absoluto. Es el valor del error combinado (1.2), tiene las mismas dimensiones que la magnitud medida y es conveniente expresarla con las mismas unidades de ´esta. Si X es la magnitud en estudio, X (valor medio) es el mejor valor obtenido y ∆X su incertidumbre, el resultado se expresa como: X = X ± ∆X
(1.3)
Por ejemplo, se midi´o un objeto y se encontr´o que su longitud promedia fue de ℓ = 92 cm con una regla cuya incertidumbre absoluta fue de ∆ℓ = 0, 1 cm, porque se apreciaba con claridad cada mil´ımetro. Por tanto, la ((verdadera)) longitud L est´a en el rango 92, 0 − 0, 1 ≤ L ≤ 92, 0 + 0, 1 cm, es decir la longitud L se debe reportar como: L = =
ℓ ± ∆ℓ 92, 0 ± 0, 1 cm
➛ error relativo. Es la relaci´on del error absoluto y el mejor valor de la magnitud. ǫr =
∆ℓ ℓ
(1.4)
Para el ejemplo anterior, el error relativo es 0,001. ➛ error relativo porcentual. Es el error relativo multiplicada por 100. ǫ % = 100ǫr
(1.5)
por tanto ǫ % = 0, 1 % La precisi´on de una medida depende de su error relativo. Se dice que dos medidas son hechas con la misma precisi´on cuando los errores relativos de cada una de ellas son iguales. Evidentemente, se puede deducir el error absoluto, si se conoce el error relativo porcentual. En el ejemplo anterior, tenemos: 0, 1 ∆ℓ ≈ ℓ 100
1-7
1.8 Propagaci´ on de incertidumbres El convenio para simbolizar una magnitud f´ısica es utilizar letras may´ uscula del alfabeto latino: A, P, X, etc., y por sus respectivas incertidumbres la letra delta may´ uscula del alfabeto griego (∆) acompa˜ nada de la respectiva letra min´ uscula: ∆a, ∆p, ∆x, etc.
1.8.1 Expresiones para determinar la propagaci´ on de incertidumbres Se describe un m´etodo sencillo e intuitivo para determinar la incertidumbre ∆w del resultado de medici´on o estimaci´on w de una magnitud f´ısica W que puede depender de otras variables (magnitudes f´ısicas) X1 , X2 , . . . , Xn , etc. La incertidumbre ∆w se halla a trav´es de una combinaci´on lineal de las incertidumbres ∆xi asociadas a las estimaciones (o mediciones xi ) de las magnitudes Xi . Los c´alculos que se presentan en esta secci´on no hacen ning´ un tipo de consideraci´ on sobre la funci´ on distribuci´ on de probabilidad asociada a los intervalos de incertidumbre ni a los niveles de confianza de los resultados. Por tanto, las expresiones obtenidas pueden considerarse como una primera aproximaci´on a la incertidumbre de medici´on. ✏ suma. Sea la magnitud f´ısica W =X +Y con sus respectivos resultados de medici´on w = x+y
(1.6)
Si las incertidumbres de los resultados de medici´on de X y Y son, respectivamente x ± ∆x
y ± ∆y
entonces wm´ax w + ∆w
= =
xm´ax + ym´ax (x + ∆x) + (y + ∆y)
=
(x + y) + (∆x + ∆y)
(1.7)
Comparando las ecs. (1.6) y (1.7) se obtiene la incertidumbre del resultado de medici´ on de una magnitud f´ısica cuando interviene una suma: ∆w = ∆x + ∆y El mismo resultado se obtiene calculando wm´ın . ✏ resta. Sea la magnitud f´ısica W =X −Y con sus respectivos resultados de medici´on w = x−y
(1.8)
Si las incertidumbres de los resultados de medici´on de X y Y son, respectivamente x ± ∆x
y ± ∆y
entonces wm´ax w + ∆w
= = =
xm´ax − ym´ın (x + ∆x) − (y − ∆y) (x − y) + (∆x + ∆y)
(1.9)
1-8
Comparando las ecs. (1.8) y (1.9) se obtiene la incertidumbre del resultado de medici´ on de una magnitud f´ısica cuando interviene una resta: ∆w = ∆x + ∆y El mismo resultado se obtiene calculando wm´ın . Se concluye que, cuando una magnitud W se define como la suma o la resta de otras dos magnitudes X y Y , la incertidumbre del resultado de medici´on w de la magnitud W , puede calcularse, en ambos casos como: |∆w| = |∆x| + |∆y|
(1.10)
Ejemplo 1.1 Sea X = 123, 6 m (∆x = 0, 1 m) y Y = 4, 89 (∆y = 0, 01), ¿cu´al ser´ıa el resultado X + Y ? Para este caso, el d´ıgito 9 se suma a un n´ umero desconocido y por lo tanto dar´ a un d´ıgito desconocido, se concluye que el resultado debe reportarse con d´ecimas, es decir: 123, 6 m + 4, 89 m = 128, 5 m donde se ha aplicado la regla no convencional de redondeo de cifras. regla 1. La precisi´on de una suma o una resta es igual a la del n´ umero menos preciso de los que se suman o restan. ✏ producto. Sea la magnitud f´ısica W =XY con sus respectivos resultados de medici´on w = xy
(1.11)
Si las incertidumbres de los resultados de medici´on de X y Y son, respectivamente x ± ∆x
y ± ∆y
entonces wm´ax w + ∆w
= xm´ax ym´ax = (x + ∆x) (y + ∆y) = xy + x∆y + y∆x + ∆x∆y
(1.12)
Comparando las ecs. (1.11) y (1.12) se tiene que ∆w = x∆y + y∆x + ∆x∆y En la mayor´ıa de los casos, las incertidumbres suelen ser peque˜ nas comparadas con los resultados, por tanto, para estos casos, el u ´ ltimo t´ermino del lado derecho de la ec. (1.12) se puede despreciar ∆w = x∆y + y∆x De (1.4) la incertidumbre relativa del resultado de medici´ on de una magnitud f´ısica cuando interviene un producto es: ∆w ∆x ∆y = + w x y
1-9 ´ n. Sea la magnitud f´ısica ✏ divisio W =
X Y
w=
x y
con sus respectivos resultados de medici´on (1.13)
Si las incertidumbres de los resultados de medici´on de X y Y son, respectivamente x ± ∆x
y ± ∆y
entonces wm´ax
=
w + ∆w
=
xm´ax ym´ın x + ∆x y − ∆y
(1.14)
por tanto, ∆w
= = ≈
x + ∆x −w y − ∆y x + ∆x x − y − ∆y y y∆x + x∆y y2
donde se ha hecho la aproximaci´on y (y − ∆y) ≈ y 2 , suponiendo que ∆y ≪ y.
Comparando las ecs. (1.13) y (1.14) obtenemos la incertidumbre del resultado de medici´ on de una magnitud f´ısica cuando interviene una divisi´on: ∆w ∆x ∆y = + w x y
Se concluye que, cuando una magnitud W se define como el producto o la divisi´on de otras dos magnitudes X y Y , la incertidumbre del resultado de medici´on w de la magnitud W , puede calcularse, en ambos casos como: ∆w ∆x ∆y = + (1.15) w x y
Ejemplo 1.2 Sea X = 354, 62 m (∆x = 0,01 m) y Y = 79, 81 m (∆y = 0,01 m), ¿cu´ al ser´ıa el resultado XY ? En este caso es conveniente escribir los factores en potencia de 10, as´ı: 354,62 m → 3, 5462 × 102 m y 79,81 m → 7, 981 × 10 m, por tanto XY = (3, 5462)(7, 981) × 103 m2
En el n´ umero de menor precisi´on, un error de una unidad en el u ´ ltimo d´ıgito, dar´ıa un error de: (7, 981)(0, 01) = 0, 07 . . . lo que nos indica que el resultado tendr´a un error en sus cent´esimas. En resumen, el resultado tendr´a el mismo n´ umero de decimales que el n´ umero de menor precisi´ on: (3,5462)(7, 981) × 103 m2 = 28, 30 × 103 m2
1-10
regla 2. La cantidad de cifras significativas en un producto o cociente es igual a la cantidad m´as peque˜ na de cifras significativas en cualquiera de los n´ umeros que se multiplican o se dividen. ✏ producto de potencias. Sea la magnitud W = X2 de la regla del producto se infiere que ∆w ∆x =2 w x Generalizando este resultado se tiene que cuando una magnitud W se define como la potencia de otra magnitud X, la incertidumbre relativa del resultado de medici´on w de la magnitud W , puede calcularse como: ∆w ∆x =n w x Por u ´ ltimo, consideremos la magnitud f´ısica W = Xm Y n Zp Se concluye que, de la regla para la potencia y de la regla del producto (o la divisi´on, en caso que el exponente sea negativo), cuando una magnitud W se define como el producto de potencias de otra magnitudes X m Y n Z p , la incertidumbre del resultado de medici´on w de la magnitud W , puede calcularse como: ∆w ∆x ∆y ∆z = m + n + p (1.16) w x y z Una forma sencilla de obtener la ec. (1.16) es recordar las propiedades del logaritmo natural: ln[xm y n z p ] = m ln[x] + n ln[y] + p ln[z] y su derivada total d(ln[W ]) = por tanto,
dW , W
dx dy dz |d ln[x y z ]| = m + n + p x y z m n p
ahora se ((transforma)) el operador d → ∆, por tanto se obtiene la ec. (1.16) Ejemplo 1.3 Reportar el volumen de una esfera si su di´ametro es de D = 4, 23 ± 0, 01 cm. Sabemos que el volumen V de una esfera es 3 4 3 4 D = 39, 629 603 25 cm3 . V = πr = π 3 3 2 El error ser´ıa:
∆V ∆D 0, 01 =3 =3 = 7, 092 198 58 × 10−3 , V D 4, 23
por tanto, ∆V = 0, 281 061 016 cm3 correspondiente a los resultado obtenidos en una calculadora cient´ıfica convencional. Recordando la regla 2 de la p´ag. 1-10 el volumen que debe reportarse es: V = 39, 6 ± 0, 3 cm3
1-11
1.9 Fundamentos del an´ alisis de datos experimentales Cuando se obtiene una serie de datos experimentales, se debe tener presente: ➛ La Informaci´on incluye Datos. ➛ Los Datos no necesariamente incluyen Informaci´on. Definamos algunos conceptos b´asicos del an´alisis estad´ıstico.
1.9.1 La media Es el resultado obtenido de la suma de todos los datos individuales dividido entre el n´ umero total de datos. Si x1 , x2 , . . . , xN son los datos individuales y N el n´ umero total de datos, la media, denotada por el s´ımbolo µ (para N > 30) o x (N ≤ 30), se define como: µox=
N 1 X xi N i=1
(1.17)
Ejemplo 1.4 Las medidas (ordenadas ascendentemente) del periodo (en segundos) de un p´endulo simple son: 1, 98 2, 02 2, 07 2, 09 2, 16 as´ı T =
1, 98 + 2, 02 + 2, 07 + 2, 09 + 2, 16 = 2, 06 s 5
1.9.2 Principales caracter´ısticas de la media 1. El c´alculo de la media se basa en todos los valores de un conjunto de datos. Por tanto, es fuertemente afectada por los valores extremos, p. ej., si se tiene: 1,95; 1,95; 1,95, 1,95 y 5,95 ⇒
x = 2, 75.
El valor 5,95 ha elevado la media en 0,8. 2. Tiene dos propiedades matem´ aticas: P a) (xi − µ) = 0. P b) (xi − a) es m´ınima cuando a = µ.
1.9.3 Varianza (σx2 o s2x ) y desviaci´ on est´ andar (σx o sx ) ´ n. El grado al cual los datos tienden a esparcirse alrededor de un valor medio se denomina dispersio Las definiciones m´as comunes de cuantificar la dispersi´on es la varianza, que se denota con el s´ımbolo ´ n esta ´ndar, que se denota con el s´ımbolo σx : σx2 , y la desviacio σx2 =
N 1 X (xi − x)2 , N i=1
σx =
p σx2
(1.18)
´n donde N > 30 es el n´ umero de datos. De igual forma, la varianza muestral, s2x , y la desviacio ´ estandar muestral, sx : N
s2x =
X 1 (xi − x)2 , (N − 1) i=1
sx =
p s2x
con N ≤ 30. De acuerdo al ejemplo 1.4, tenemos: s2x = 4, 73 × 10−3 s2 ;
sx = 0, 068 s,
con N = 5.
(1.19)
1-12
1.9.4 Principales caracter´ısticas de la desviaci´ on est´ andar Para una distribuci´on normal (ver §1, fig. 1.8) se tiene: 1. Una desviaci´on est´andar alrededor de la media corresponde al 68,27 % del total de los datos, es decir, hay una confiabilidad que de 100 datos tomados 68 est´an incluidos en el intervalo µ − σx ≤ x ≤ µ + σx . 2. Dos σx alrededor de la media corresponden al 95,45 % del total de los datos y est´ an incluidos en el intervalo µ − 2σx ≤ x ≤ µ + 2σx . 3. Tres σx alrededor de la media corresponden al 99,73 % del total de los datos y est´ an incluidos en el intervalo µ − 3σx ≤ x ≤ µ + 3σx .
1.10 C´ omo descartar datos dudosos Muchas veces se mide valores que aparentemente no est´an dentro de un intervalo de confiabilidad, p. ej., el periodo del ejemplo 1.4 oscila entre 1,98 s y 2,16 s. ¿Qu´e pasa si se obtiene un valor de 0,45 s? ¿Qu´e decisi´on se toma y bajo qu´e criterio?: ¿Se ignora?, ¿se descarta? La respuesta es utilizar los intervalos definidos por la desviaci´on est´andar. Para el 95,45 % del total de los datos, ´estos est´ an on incluidos en el intervalo (x − 2σx , x + 2σx ). Por tanto, se calcula x y σx y se aplica la condici´ x ± 2σx . As´ı, para los datos: 0, 45 1, 98 2, 02 2, 07 2, 09 2, 16 se tiene: x = 1, 80;
σx = 0, 66
⇒
x ± 2σx ∈ [0, 48; 3, 12]
los datos deben oscilar entre 0,48 s y 3,12 s, es decir, se puede descartar el valor 0,45 s con una confiabilidad del 95,45 %. Los datos que no se encuentran dentro del intervalo x ± 2σx , se pueden descartar con una confianza del 95,45 %.
1.11 Coeficiente de variaci´ on (CV) ´ n es otra medida de la dispersi´on y es independiente de la unidad El coeficiente de variacio de medida. Resulta u ´ til en la comparaci´on entre conjuntos de datos. Se da por medio de la desviaci´ on est´andar expresada como un porcentaje de la media y est´a dado por: CV =
sx × 100 x
(1.20)
Ejemplo 1.5 Los siguientes son los datos de la gravedad g en m/s2 por dos m´etodos (mA y mB ): mA : mB :
8, 94 9, 70 10, 30 10, 52 11, 17 9, 26 9, 36 19, 44 19, 55 19, 68
⇒ ⇒
g A = 10, 13; g B = 19, 46;
sgA = 0, 85; sgB = 0, 16;
CV = 8,39 %. CV = 1, 69 %.
La interpretaci´on del CV es como sigue: El mA es m´as variable que el mB , sin embargo, es m´ as confiable la media gB que gA .
1.12 Curva de error gaussiana Cuando se repite varias veces una medici´on, disponi´endose de instrumentos de gran precisi´ on, se obtienen datos distribuidos aleatoriamente sobre intervalos mayores que la incertidumbre absoluta que afecta cada una de las mediciones efectuadas. Se explica esta observaci´on como presencia de fluctuaciones en el proceso de medici´on, p. ej., al medir el periodo de un p´endulo, cada vez que se
1-13
T (s) 9.26 9.27 9.28 9.29 9.30 9.31 9.32 9.33 9.34 9.35 9.36 9.37 9.38 9.39 9.40
f (veces) 1 1 3 7 10 16 23 30 22 17 10 6 4 1 1
Tabla 1.2: Frecuencia o n´ umero de veces f para cada periodo T medido.
4
6
10
17
22
1
1
3
7
10
16
frecuencia
23
30
repite el experimento se obtiene un resultado distinto a pesar de mantener invariables las condiciones bajo las cuales se realiza el experimento, como puede verse en la tabla 1.2 donde se reporta las medidas del periodo con su respectivo n´ umero de veces que se repite cada medida o frecuencia. ´ n frecuencial y muestra la gr´ La fig. 1.7 se denomina histograma o distribucio afica de la tabla 1.2 y est´a construida por una serie de barras verticales, de anchura igual a la incertidumbre de cada medida individual y de altura igual a la frecuencia relativa de magnitud ni /n, siendo ni la frecuencia (n´ umero de veces en que se obtuvo en cada intervalo) y n el n´ umero total de medidas.
T (s) Figura 1.7: Histograma correspondiente a la tabla 1.2.
A medida que el n´ umero de observaciones se incrementa, se va aproximando a la famosa curva de la fig 1.8 conocida como campana de gauss o curva de error gaussiana. La variable x tiene una distribuci´on normal o gaussiana si y s´olo s´ı la funci´on llamada densidad de probabilidad (definida como el l´ımite del contorno o envolvente del histograma, cuando el n´ umero de observaciones tiende a infinito y la anchura de cada barra tiende a cero), corresponde a la funci´ on: (x − µ)2 1 yn [x] = √ exp − (1.21) 2σx2 σx 2π Tres par´ametros importantes de una distribuci´on son: la media µ, que da una idea de la localizaci´ on del valor medio de los valores en la muestra, la desviaci´on est´andar, σx , y la varianza, σx2 , que dan una idea de la dispersi´on de los datos alrededor de la media. Cuando m´as concentrada est´e la distribuci´ on alrededor de µ menor ser´a σx y viceversa.
1-14 yn [x]
µ − 3σ µ − 2σ
µ−σ
µ
µ+σ
µ + 2σ µ + 3σ
x
Figura 1.8: Curva de error gaussiana o distribuci´ on normal.
Aunque la densidad de probabilidad se extiende desde −∞ hasta +∞, se aproxima asint´ oticamente al valor cero, por lo cual tiene un valor apreciable s´olo dentro de un intervalo de anchura igual a unas pocas veces la desviaci´on est´andar σ. La probabilidad de medir x en cierto intervalo es proporcional al ´area correspondiente a ese intervalo.
1.13 Prueba t student Se ha mostrado hasta ahora c´omo puede estimarse un par´ametro (µ, σ) a partir de datos, sin embargo, muchos problemas, ya sea en ciencia o ingenier´ıa, requieren que se tome una decisi´ on entre dos o m´as m´etodos para calcular una magnitud f´ısica o c´omo tomar una decisi´on entre aceptar o ´ tesis, es rechazar una proposici´on sobre alg´ un par´ametro. Esta proposici´on recibe el nombre de hipo decir una proposici´on o supuesto sobre los par´ametros de una o m´as poblaciones. La prueba t student se utiliza para: 1. Calcular los errores de muestreo y porcentual. 2. Construir el intervalo de confianza de una serie de datos. 3. Diferenciar entre las medias de dos poblaciones. 4. .Determinar las diferencias entre dos medias muestrales. Esta prueba se basa en la distribuci´on t, que surge cuando la desviaci´on t´ıpica de una poblaci´ on se desconoce y debe ser estimada a partir de los datos de una muestra. La base para la construcci´ on de la distribuci´on t se basa en las hip´otesis del teorema central del l´ımite: ➛ Dada una variable aleatoria cualquiera, si extraemos muestras de tama˜ no n, y calculamos los promedios muestrales, entonces dichos promedios tienen distribuci´on aproximadamente normal. ➛ La media de los promedios muestrales es la misma que la de la variable original. √ ➛ La desviaci´on t´ıpica de los promedios disminuye en un factor n (error est´andar). Las aproximaciones anteriores se hacen exactas cuando n → ∞. Estad´ısticamente se toma una muestra cuando n ≤ 30 datos, para n > 30 se va a aparecer de manera natural a la distribuci´on normal.
1.13.1 Caracter´ıstica de la distribuci´ on t student ✧ Es una distribuci´on continua. ✧ Es de forma de campana y sim´etrica
1-15 ✧ Es menor en la media y m´as alta en los extremos que una distribuci´on normal. ✧ Hay una distribuci´on t para cada tama˜ no de la muestra, por lo que ((hay una distribuci´ on para cada uno de los grados de libertad ν)). ✧ Los grados de libertad se definen como el n´ umero n de observaciones independientes en la muestra (tama˜ no de la muestra) menos 1.
1.13.2 Especificaciones de la distribuci´ on t student Sea x1 , . . . , xn variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, con media µ y varianza σx2 . Sea x1 + · · · + xn xn = n la media muestral y (1.19) la varianza muestral. Entonces, se puede demostrar con base en el teorema de l´ımite central que la prueba estad´ıstica basada en la diferencia entre la media x de la muestra y la media µ hipot´etica es x−µ √ z= σx / n se distribuye seg´ un una normal de media 0 y varianza 1. William Sealey Gosset estudi´o una expresi´ on relacionada, x−µ √ t= (1.22) sx / n y mostr´o que tiene la siguiente distribuci´on: yt [t] =
(1 +
Y0 t2 (ν+1)/2 ν )
(1.23)
donde Y0 esa una constante que depende de n, tal que el ´area total bajo la curva es 1, y ν es el n´ umero de grados de libertad. La distribuci´on s´olo depende de ν, la independencia de µ y σ es lo que hace a la distribuci´on t tan importante en la teor´ıa y en la pr´actica. La distribuci´on (1.23) se denomina ´ n t student y para grandes valores de n (aproximadamente n > 30) la curva (1.23) se distribucio aproxima a la curva normal 1 1 2 yn [t] = √ exp − t 2 2π
α 2
Regi´on de aceptaci´on
−tp
µ
α 2
tp
Figura 1.9: Distribuci´ on normal (linea punteada) y distribuci´ on t student (l´ınea continua). La regi´ on comprendida entre los valores cr´ıticos, −tp y tp , se conoce como regi´ on de aceptaci´ on.
Al igual que la distribuci´on (1.21), la distribuci´on (1.23) tiene una tabla de valores para ν y tp , como se indica en la siguiente tabla:
1-16
ν
t0,70
t0,80
t0,90
t0,95
t0,975
t0,995
Confianza a dos colas
40 %
60 %
80 %
90 %
95 %
99 %
0,727 0,617 0,584 0,569 0,559 0,553 0,549 0,546 0,543 0,542
1,376 1,061 0,978 0,941 0,920 0,906 0,896 0,889 0,883 0,879
3,080 1,886 1,638 1,533 1,476 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372
6,310 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812
12,710 14,303 13,182 12,776 12,571 12,447 12,365 12,306 12,262 12,228
63,657 69,925 65,841 64,604 64,032 63,707 63,499 63,355 63,250 63, 169
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tabla 1.3: Valores de la distribuci´ on t.
1.13.3 Intervalo de confianza y nivel de significancia Con la distribuci´on normal se puede definir intervalos de confianza del 68 %, 95 % y 99 %. De igual manera se puede estimar, con espec´ıficos l´ımites de confianza, la media µ. Por ejemplo, si −t0,975 y t0,975 son los valores de t para el cual 2,5 % del ´area yace en cada una de las ((colas)) (nivel de significancia 5 %, α = 0,05) de la distribuci´on, entonces un intervalo de confianza al 95 % para tp;ν (p = 1 − α/2 = 1 − 0,25) es: x − µ√ n < t0,975;ν −t0,975;ν < sx por tanto, µ se estima que est´a en el intervalo: sx sx x − t0,975;ν √ < µ < x + t0,975;ν √ n n con 95 % de confiabilidad (probabilidad 0,95). En general se puede representar el intervalo de confianza (ic) como sx IC = x ± tp;ν √ (1.24) n
1.13.4 Uso de la tabla de distribuci´ on t ✧ Es m´as compacta y muestra las ´areas y valores de t para unos cuantos porcentajes exclusivamente (10 %, 5 %, 1 %, etc.). ✧ No se centra en la probabilidad de que el par´ametro de la poblaci´on que esta siendo estimado caiga dentro del intervalo de confianza. Por el contrario, mide la probabilidad de que ese par´ametro no caiga dentro del intervalo de confianza. ✧ Se debe especificar los grados de libertad con que estamos trabajando. Ejemplo 1.6 Se desea obtener un intervalo de confianza al 99 % para el tiempo medio requerido para realizar un trabajo. Una muestra aleatoria de 11 mediciones produce una media de 13 min y una desviaci´on est´andar de 5,6 min. En este caso: n = 11
⇒
x = 13 min
ν = 11 − 1 = 10 sx = 5, 6 min
1-17
Como el IC = 99 %, el α = 1 % debe repartirse entre las dos colas de la distribuci´on t de la fig. 1.9, por tanto el valor de p = 1 − α/2 = 1 − 0, 05 = 0,995 correspondiente a tp;ν debe ser buscado en la tabla 1.3, con ν = 10 p = 1 − 0, 005 = 0, 995
⇒
t0,995;10 = 3, 169
sx 5, 6 IC = x ± tp;ν √ = 13 ± 3, 169 √ n 11 IC ∈ [7, 65; 18, 35] min
El tiempo medio requerido para realizar el trabajo ser´a entre 7,65 min y 18,35 min con una certeza del 99 %.
1.13.5 Error de muestreo y error porcentual Estad´ısticamente, el error de muestreo ǫ es: tp s x ǫ= √ n
(1.25)
Muchas veces es m´as pr´actico trabajar con un error porcentual, definido como: ǫ% =
ǫ 100 % µ
(1.26)
1.13.6 Comparaci´ on de dos m´ etodos para decidir cu´ al seleccionar Otra utilidad de la distribuci´on t es decidir entre dos m´etodos cu´al es el m´as confiable. Para ello es necesario primero hacer una prueba de que la serie de resultados tomados por ambos m´etodos es diferente; la prueba consiste en calcular un valor de t mediante: t= donde s12 =
s
x1 − x2 q s12 n11 +
(1.27)
1 n2
s2x1 (n1 − 1) + s2x2 (n2 − 1) n1 + n2 − 2
el valor de s12 es una desviaci´on est´andar combinada que se obtiene con las dos series de datos. El valor de t obtenido a partir de (1.27) debe compararse con el valor de tp de la tabla 1.3 para (n1 + n2 − 2) grados de libertad ν: Si el valor de t calculado es mayor que el valor de tp tabulado, las dos series de resultados son significativamente diferentes para el nivel de confianza considerado. Ejemplo 1.7 De acuerdo con el ejemplo 1.5, se tiene los siguientes datos de g (en m/s2 ) medidas por los m´etodos mA y mB mA : mB :
8, 94 9, 70 10, 30 10, 52 11, 17 9, 26 9, 36 19, 44 19, 55 19, 68
⇒ ⇒
nA = 5 g A = 10, 13 s2A = 0, 72 nB = 5 g B = 19, 46 s2B = 0, 03
Para una confiabilidad del 90 %, el nivel de significancia es α = 0, 10 y t1− α2 ;ν = t0,95;4 = 2, 132. El error de muestreo para cada m´etodo, de acuerdo con (1.25) es, respectivamente: ǫA
=
ǫB
=
(2, 132)(0, 8461) √ = 0, 81 5 (2, 132)(0, 1635) √ = 0, 16 5
1-18
El error porcentual (1.26), para los dos m´etodos es, respectivamente: ǫ %A
=
ǫ %B
=
0, 81 100 % = 8, 00 % 10, 13 0, 16 100 % = 1, 69 % 9, 46
Esto quiere decir que el mA presenta mayor error que mB . Se debe descartar datos dudosos antes de proceder a la comparaci´on de los dos m´etodos. El intervalo de confianza de cada m´etodo permite descartar datos dudosos, como se espec´ıfica a continuaci´on: ICA = 10, 13 ± 0, 81 ⇒ IC ∈ [9, 32; 10, 94] del m´etodo mA se descarta los valores 8,94 y 11,17 con un 90 % de confianza. ICB = 9, 46 ± 0, 16
⇒
IC ∈ [9, 30; 9, 62]
del m´etodo mB se descarta los valores 8,26 y 9,68 con un 90 % de confianza. Los datos confiables son utilizados para representar los resultados finales de cada m´etodo de medici´on de la aceleraci´on de la gravedad: mAb :
9, 70 10, 30 10, 52
⇒
nAb = 3 g Ab = 10, 17 s2Ab = 0, 18
con 90 % de confianza, t0,95;2 = 2, 920 ǫAb = 0, 71 mB :
9, 36 19, 44 19, 55
⇒
ǫ %Ab = 6, 98 % nBb = 3
gBb = 19, 45 s2Bb = 0, 01
con 90 % de confianza, t0,95;2 = 2, 920 ǫBb = 0, 17
ǫ % = 1, 80 %
El m´etodo mA presenta mayor error que el MB . Para la comparaci´on de los dos m´etodos, y decidir cu´al seleccionar, se utiliza los datos depurados en la ec. (1.27). r 0, 18(3 − 1) + 0, 01(3 − 1) s12 = = 0,31 3+3−2 10, 17 − 9, 45 q t = = 2, 84 0,31 13 + 13
Para una confiabilidad del 90 %, la tabla 1.3 da el valor de 2,132. Como tcalcu > ttabul , entonces los dos m´etodos son significativamente diferentes o se dice que hay una significancia entre los dos m´etodos con un 90 % de confiabilidad. Se concluye que el m´etodo mB es m´as confiable. Si hubiese resultado iguales, ser´ıa indiferente estad´ısticamente escoger uno u otro m´etodo para medir la aceleraci´on de la gravedad.
1.13.7 C´ omo decidir si en una serie de datos se haya un valor esperado Para tal fin se construye un intervalo de confianza con una confianza predeterminada. Para el ejemplo anterior se tiene: ICAb = 10, 17 ± 0, 71 ICBb = 9, 45 ± 0, 16
⇒ ⇒
∈ ∈
[9, 46; 10, 88] [9, 29; 9, 61]
ICAb
9
10
10,88
9,46
1-19
11
9
9,62
ICBb
9,28
9,78 10
11
Figura 1.10: Intervalos de confianza para los m´etodos mA y mB . El valor aceptado es g = 9, 78 m/s2 . El valor aceptado es g = 9, 78 m/s2 y est´ a en el ICAb .
Es decir, mA tiene un mayor IC que el mB , por tanto mA tiene un rango de variabilidad mayor que mB . Hay mayor probabilidad de cometer errores sistem´aticos con mA que con mB y esto se refleja en el error de muestreo. El valor aceptado de g en la Universidad del Valle es de 9,78 m/s2 . Este valor se encuentra incluido en el primer intervalo de confianza pero no se encuentra incluido en el segundo intervalo de confianza (ver fig. 1.10). Por tanto, el valor de g, determinado por mA , se encuentra dentro de la serie de datos tomados con una confianza del 90 %, pero no queda incluido por mB ; esto no quiere decir que mB es ((malo)) sino que en la utilizaci´on de mB puede haber mayor propagaci´on de las incertidumbres de medici´on. En el m´etodo mA se encuentra el valor esperado o ((te´orico)) de la gravedad, pero hay mayor probabilidad de cometer errores sistem´aticos que en el m´etodo mB .
CAP´ITULO
2 M´etodos de an´alisis gr´afico
2.1 Importancia de las gr´ aficas La presentaci´on de los resultados experimentales se debe considerar como parte esencial de los experimentos. Es u ´ til que los datos obtenidos se presenten en un gr´afico, donde quede resumida la informaci´on para su apreciaci´on y an´alisis. En la mayor´ıa de los casos un gr´afico es m´as u ´ til que una tabla de valores, especialmente cuando: ➛ Se mide una variable y en funci´on de otra x y se quiere interpretar la relaci´on funcional entre ellas, p. ej., la medici´on del per´ıodo de un p´endulo en funci´on de su longitud; medici´ on de la altura en funci´on del tiempo transcurrido en una ca´ıda libre; etc. ➛ Se estudia si dos variables mantienen una correlaci´on (causal o no) y c´omo es el grado de interdependencia, p. ej., el estudio de la relaci´on entre el peso y la altura de personas; etc. Se trata que la informaci´on que se quiere representar sea clara y expl´ıcita para que la representaci´ on gr´afica ((hable por s´ı sola)). Lo importante es que un gr´afico debe servir para un posterior tratamiento de los datos, que lleve a inferir las leyes subyacentes en ellos y ahondar as´ı en las posibles implicaciones y generalizaciones de los resultados obtenidos en los experimentos.
2.2 Elecci´ on de variables Al estudiar cualquier sistema lo que se trata de obtener son las respuestas del sistema ante ciertas perturbaciones que se le puede aplicarle de manera controlada. La fig. 2.1 representa esquem´ aticamente un sistema bajo estudio.
xi
sistema
yi
Figura 2.1: Representaci´ on esquem´ atica de un sistema al que se estudia las respuestas yi cuando se var´ıa el conjunto xi .
Las variables xi se les denomina variables de entrada o variables independientes porque se las puede controlar y variar. Ante los cambios de xi , el sistema revela sus caracter´ısticas o comportamientos a trav´es de los cambios que sufren las variables yi , por tal raz´on se les denomina variables de salida o variables dependientes. Por simplicidad, el cient´ıfico estudia la respuesta de una variable de salida ante la variaci´on de una de las variables de entrada. 2-1
2-2
2.3 Normas para graficar Se acostumbra tomar el eje de las abscisas para representar la variable de entrada o variable ((f´ acil)) de medir o variable independiente y el eje de las ordenadas para la variable de salida o variable dependiente. Igualmente se usa peque˜ nas cruces, cuyas longitudes de las barras horizontal y vertical, son proporcional a la incertidumbre de las respectivas variables, de acuerdo a las escalas elegidas para cada eje. La incertidumbre en una variable pueden ser muy peque˜ na comparada con su factor de escala y su l´ınea de incertidumbre tendr´ıan una anchura comparable al grosor de la l´ınea que representa el intervalo de la otra variable. El arte de hacer gr´aficas para dilucidar los resultados se ha facilitado con el desarrollo de programas especializados como Excel, Origin, entre otros. Estas programas incorporan los principios de dise˜ no gr´afico para obtener gr´aficas de alta calidad. Es altamente conveniente que el estudiante utilice estas aplicaciones. Sin embargo, en principio se debe realizar los gr´aficos a mano, por tal motivo tenga en cuenta: ✧ Utilizar papel milimetrado de modo que la precisi´on de trazado sea del mismo orden que la precisi´on de los datos a graficar. ✧ Indicar, en cada eje, la magnitud que va a representarse con su s´ımbolo y su unidad de medida. ✧ Escoger las escalas de modo que la gr´afica ocupe la mayor parte del espacio disponible. ✧ Facilitar la localizaci´on de las divisiones en los ejes, es decir evitar factores de escala que no permitan una lectura directa de la misma, p. ej., no tomar 7 unidades de una magnitud y representarlas por 1 cm. ✧ Colocar sobre los ejes un n´ umero moderado de ((marcas de escala)), e. d., rayitas hacia afuera del ´area de datos o regi´on de la gr´afica comprendida en el rect´angulo delimitado por los ejes. ✧ Colocar r´otulos de divisi´on de escala debajo de algunas marcas de escala, sin sobrecargar la gr´afica. ✧ No es necesario que el origen sea el punto (0, 0). No obstante, puede ser necesario incluir el origen en la gr´afica si se quiere determinar gr´aficamente el intercepto con alguno de los ejes. ✧ Se˜ nalar los puntos experimentales con peque˜ nos c´ırculos rellenos. ✧ Si se van a graficar varias series de datos sobre la misma hoja, use diversos s´ımbolos adem´ as del c´ırculo para destacar y distinguir los puntos correspondientes a cada curva, p. ej., cuadrados, rombos, tri´angulos, entre otros. Debe evitarse el empaquetar demasiada informaci´on en el mismo gr´afico, haci´endolo ilegible. ✧ Si gr´afica una variable continua es imprescindible indicar su incertidumbre mediante barras de longitud proporcional al mismo, a menos que ´esta no sea significativa. ✧ No aprovechar los espacios vac´ıos en el ´area de datos para realizar c´alculos aritm´eticos de pendientes, etc. ✧ Usar ((l´ıneas de referencia)) cuando haya un valor importante que interese se˜ nalar a todo lo largo o ancho de la gr´afica, sin interferir con los datos. ✧ Poner una leyenda de la gr´afica que explique la relaci´on entre las variables. Un ejemplo con las consideraciones es:
2-3
0.90
0.60
x
1/2
(m
1/2
)
0.75
0.45
0.30
0.1
0.2
t
0.3
0.4
(s)
Figura 2.2: Relaci´ on entre la ra´ız cuadrada de la distancia x1/2 (m1/2 ) como funci´ on del tiempo t (s). La l´ınea a trazo es el ajuste lineal.
2.4 Relaci´ on lineal Una relaci´on entre las variables x e y del tipo: y[x] = a + bx
(2.1)
´ n lineal. Las caracter´ısticas de esta recta son: el intercepto a = 0 o corte se conoce como relacio con el eje vertical y la pendiente b o cambio de raz´on ∆y/∆x. La fig. 2.2 es un ejemplo t´ıpico. La recta es la forma geom´etrica m´as simple en dos dimensiones. Al mismo tiempo, una relaci´ on lineal entre dos variables cualesquiera es m´as f´acil de ser identificada a simple vista. No es una exageraci´ on afirmar que es el u ´ nico caso en que esta discriminaci´on puede hacerse a simple vista. Entre una recta y una curva, nuestro ojo siempre notar´a la diferencia, pero no discriminar´a a la funci´on que define la curva. La fig. 2.3 representa dos series de datos. Trate de inferir cualitativamente cu´al serie se aproxima a una relaci´on lineal entre x e y. Utilice una regla com´ un o ponga el papel hasta el nivel de los ojos (si desea, cierre un ojo como cuando se hace punter´ıa) y observe si los puntos se ven alineados. Este tipo de toma de decisi´on no debe desde˜ narse al momento de analizar datos experimentales. La decisi´ on de aceptar o no una relaci´on lineal entre las variables debe ser tomada por el experimentador, ya sea se espere o no una vinculaci´on lineal entre las variables en juego. Una vez que se decida que los datos ((caen sobre una recta)), se puede estimar sus par´ametros (pendiente e intercepto) de la mejor recta que pase por la mayor´ıa de los datos, o usar m´etodos para aproximar los datos a una relaci´ on lineal como se ver´a m´as adelante.
2.5 Relaci´ on potencial Sea la relaci´on entre x e y del tipo y[x] = axc
(2.2)
´ n potencial es muy estudiada porque sirve como aproxidonde a y c son constantes. Esta relacio maci´on del comportamiento en una gran variedad de casos, p.e.j. ,en biolog´ıa, la ec. 2.2 se le denomina ((ecuaci´on alom´etrica)). La constante c se denomina exponente de escala y define la escala de variaci´on de y seg´ un var´ıa x. Esto es, si x se multiplica por un factor f , y cambiar´a consecuentemente f c veces. El significado f´ısico de la constante a es el de representar el valor que toma y cuando X vale la unidad. La dimensi´on de a es tal que da homogeneidad dimensional a la ecuaci´on. p. ej., parece ser que el peso de los dinosaurios p estaba bien correlacionado con la longitud l medida desde la cabeza hasta la cola, seg´ un p = p0 l 3
2-4
0.90
y (ua)
0.75
0.60
0.45
0.30 0.15
x (ua)
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
Figura 2.3: Representaci´ on de dos series de datos. ¿Cu´ al aproxima mejor una relaci´ on y ∼ x?
Esta ecuaci´on se lee de la siguiente forma: p0 representa el peso de un dinosaurio de ((largo unidad)), por tanto, si la unidad elegida para la longitud es el metro y para el peso es el newton, p0 representa cu´antos N pesaba un animal de largo igual a 1 m. La unidad de p0 ser´a tal que se igualen las unidades de los dos miembros de la ecuaci´on. En este caso, p0 tendr´a la unidad N/m3 , sin embargo, p0 no es la densidad de los animales, a pesar de su unidad, puesto que l3 no es el volumen. Note que el valor de p0 cambiar´a si se eligen otras unidades de medici´on. P. ej., si el peso se midiera en dinas y la longitud en cm, p0 adoptar´ıa un nuevo valor. Un an´alisis cualitativo del gr´afico de la ec. (2.2) se puede observar una curva ((c´oncava hacia arriba)) si c > 0, mientras que si c < 0, la curva se ver´a ((c´oncava hacia abajo)). Lo que quiere decir es que una variaci´on de la variable x a un dado ritmo, hace que la variable y cambie a un ritmo distinto: m´ as r´apido si c > 0, m´as lento si c < 0.
2.6 T´ ecnicas de linealizaci´ on Cuando se tiene una relaci´on lineal entre las variables de entrada y salida, se facilita el an´ alisis entre estas variables, por tal raz´on si se hace el cambio de variables x∗ = xc
y∗ = y
en la ec. (2.2), toda vez que se conozca el exponente c, se tiene y ∗ = x∗ que es una relaci´on lineal entre las variables transformadas. Se dice que se ha linealizado la representaci´on gr´afica. La t´ecnica consiste en tratar de ((convertirla)) una curva no lineal en una lineal mediante un cambio apropiado de variables. Ejemplo 2.1 Se mide el per´ıodo T de un p´endulo simple para distintas longitudes L. Para el caso de peque˜ nas amplitudes de oscilaci´on, las variables est´an relacionadas s L T = 2π g donde g es la aceleraci´on de la gravedad. La relaci´on es del tipo T = aLc con
2π a= √ g
y
c=
1 2
2-5 Si se acepta que el exponente c = 1/2, un gr´afico T versus Lc dar´a una recta que pasa por el origen de coordenadas (dado que un p´endulo de longitud nula debe tener un per´ıodo de oscilaci´ on nulo) y de cuya pendiente a se puede obtener el valor de g. Ejemplo 2.2 Se mide el tiempo para diferentes alturas durante la ca´ıda libre y se encontr´o el siguiente comportamiento: √ t[x] = 0, 45 x donde x se mide metros y t en segundos. Al hacer el cambio de variable √ u= x se tiene la siguiente relaci´on entre la variable de salida t y la nueva variable u t = 0, 452u La gr´afica de esta ((nueva)) funci´on en el√plano t − u es una l´ınea recta que pasa por el origen (ya que parti´o del reposo) y de pendiente 0,45 m/s. En el caso m´as general, donde no se conoce ni a a ni a c, ¿c´omo se procede a linealizar? Para facilitar la tarea de encontrar el exponente de escala c y la constante a, es conveniente tomar el logaritmo a ambos miembros de (2.2): log[y] = log[axc ] = log[a] + log[xc ] = log[a] + c log[x] Una representaci´on de log[y] en funci´on de log[x] da una recta que tiene pendiente c e intercepto log[a]. Este tipo de representaci´on gr´afica es extremadamente u ´ til cuando se analizan ecuaciones algebraicas, se estudian correlaciones, leyes de crecimiento, etc. En la pr´actica no es necesario tomar los logaritmos de los datos, sino representarlos en escalas logar´ıtmicas, para lo cual ya existen papeles especialmente dise˜ nados para realizar estos gr´aficos. As´ı mismo casi todos los buenos paquetes de graficaci´ on usando computadora, brindan la posibilidad de representar los datos en escalas lineales (las normales ) o logar´ıtmicas.
2.7 Elecci´ on de las escalas ¿C´omo se realiza un gr´afico de log[y] en funci´on de log[x]? Una forma ser´ıa tomar el logaritmo y hacer una nueva tabla de log[x] y log[x] para despu´es graficar, sin embargo este procedimiento es muy tedioso, ya que podemos tener tablas de 100 o hasta miles de datos. Otra forma, y la m´as utilizada, es representar directamente los pares de valores (x, y) en un gr´afico donde sus dos ejes contengan escalas logar´ıtmicas. ´fico log-log. La Un gr´afico doble-logar´ıtmico como el de la fig. 2.4 tambi´en es llamado gra posici´ on de las grillas m´as gruesas identifica un valor igual a una potencia de 10. Por lo tanto, en cada eje, el espacio entre esas grillas representa una d´ecada de variaci´on de las variables, es decir, entre 10n y 10n+1 , cualquiera que sea n. Las ocho grillas intermedias indexan los valores k10n , con k = 2, 3, . . . , 9. Esto hace muy simple la construcci´on de ejes en escalas logar´ıtmicas. Esto requiere marcar intervalos fijos a distancias 1, 10, 100, 1000,. . . (100 , 101 , 102 , . . . , 103 , . . . ). Si los datos a representar no cubren un rango tan amplio de valores, los intervalos pueden realizarse a distancias de 1, 2, 4, 8, 16, 32,. . . (20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , . . . ). Observando la fig. 2.4 se puede advertir que las escalas logar´ıtmicas son ((m´as democr´ aticas)) que las lineales, puesto que dejan ocupar el mismo espacio en el gr´afico a los intervalos entre d´ecadas entre valores ((peque˜ nos)) que el espacio ocupado por los intervalos entre d´ecadas entre valores ((grandes));
2-6
3
10
m+2
1 m+1
y (ua)
10
10
m
2 10
m-1
10
m-2
10
n-2
10
n-1
10
x
n
(ua)
10
n+1
10
n+2
Figura 2.4: Ejemplo de un gr´ afico con escalas logar´ıtmicas.
se puede ver, p. ej., que el lugar reservado para los valores entre 10−5 y 10−4 es id´entico al reservado para el intervalo 108 y 109 . Si la relaci´on (2.2) se representada en un gr´afico log-log se debe tener una recta de pendiente c e intercepto log[a] , e. d., se puede inferir que y ∼ xc . Para calcular directamente del gr´afico el valor de c, se debe contar cu´antas √d´ecadas var´ıa y cuando x var´ıa una. De la fig. 2.4, la l´ınea 1 tiene pendiente c = 0, 5, por tanto y√∼ x. Para la l´ınea 2, c = 1, por lo tanto, y ∼ x y, por u ´ ltimo, para la l´ınea 3, c = −1,5, e. d., y ∼ x−3 . Esta representaci´on usualmente se hac´ıa usando un papel especial (papel logar´ıtmico), que, dicho sea de paso, aun se consigue en las librer´ıas o en laboratorio de investigaci´on de cierta antig¨ uedad que conservan algunas muestras. Con las ventajas que ofrecen hoy en d´ıa los programas de computadora (Origin, Excel, etc.), este tipo de representaci´on puede realizarse de manera inmediata para sacar mayor provecho al an´alisis de los datos experimentales.
2.8 Planeaci´ on experimental Usando las herramientas b´asicas de estad´ıstica vistas, se debe estar en capacidad de tomar decisiones propias sobre la manera de conducir un experimento y analizar sus datos. Los pasos del experimento son los siguientes: ✍ Identificar el sistema. Tener claridad de cual es el tema que se tratar´a en el experimento. ✍ Elegir las variables apropiadas. Cuales son las magnitudes a medir. ✍ Identificar la teor´ıa correspondiente. Tener los conceptos te´oricos que se aplicar´an. ✍ Elegir el alcance de las variables. Escoger los intervalos en que se har´an las mediciones. ✍ Determinar la precisi´on de las magnitudes a medir. Identificar la precisi´on de los instrumentos que se usan para medir las magnitudes y reportar de forma rigurosa los resultados finales. ✍ Reportar los datos. Elaborar tablas de datos cuyas columnas est´an rotuladas con las magnitudes de entrada que deben controlarse y las magnitudes de salida que deben medirse. Es conveniente incluir tambi´en columnas para todas las cantidades por calcular, en el an´alisis de los datos.
CAP´ITULO
3 M´etodo de m´ınimos cuadrados
En un experimento t´ıpico que envuelve la medici´on de varios valores de dos variables f´ısicas es investigar la funcionalidad entre las dos variables. En t´erminos generales, sea la variable de entrada x y la variable de salida y, por simplicidad, las dos est´an relacionadas linealmente y que la incertidumbre en la medici´on de x es mucho menor que la respectiva incertidumbre en y, e. d.: y[x] = a + bx
(3.1)
donde la pendiente b y el intercepto a son par´ametros que deben determinarse mediante un criterio. La fig. 3.1 muestra la situaci´on a estudiar. y
pendiente b
y[x]
yi − y[xi ]
yi a
x xi Figura 3.1: Gr´ afico de datos asociados a un modelo lineal. La cantidad yi − y[xi ] representa la desviaci´ on de cada observaci´ on de yi respecto del valor predicho por el modelo yi [xi ].
Cuando se hace una serie de medidas del tip descrito, se puede preguntar: 1. ¿C´omo elegir ((la mejor recta)) que ajuste una serie de datos experimentales? 2. ¿Con qu´e exactitud se determinan el intercepto a y la pendiente b? El m´etodo anal´ıtico de encontrar la mejor l´ınea recta que ajuste una serie de datos experimentales ´ n lineal o m´ se denomina regresio etodo de m´ınimos cuadrados y la exactitud de determinar a y b es a trav´es de m´etodos estad´ısticos. La regresi´on lineal consiste en suponer que la incertidumbre en una de las mediciones de las variables es despreciable frente a la otra. Esta suposici´on es razonable ya que las incertidumbres en 3-1
3-2
una de las variables a menudo son mayores que en la otra y, por tanto, se pueden ignorar.Tambi´en se asume que las incertidumbres en una de las variables son todas del mismo orden, lo cual es razonable en muchos experimentos,pero no necesariamente cierta. Sea la variable x la que tiene incertidumbre despreciable y las mediciones de cada yi est´an gobernadas por la distribuci´on (1.21), con el mismo par´ametro σy para todas las mediciones. Si se conoce las constantes a y b,para cualquier valor dado de xi (que se ha asumido no tiene incertidumbre), se puede calcular el valor verdadero de la correspondiente ti , (valor verdadero de yi ) = a + bxi La desviaci´on entre el i-´esimo valor experimental yi [xi ] y la respectiva ordenada a + bxi en la supuesta recta de ajuste es: δyi = yi − (a + bxi ), con i = 1, 2, . . . , n (3.2) Entre todas las posibles rectas de intercepto a y pendiente b que ajusta a la serie de datos experiemtnales, se escoge aquella para la cual tiene lugar el siguiente criterio: La suma de los cuadrados de las desviaciones δyi debe ser m´ınima, es decir, n X
(δyi )2 = m´ın
i=1
Teniendo en cuenta la relaci´on (3.2): n X i=1
(yi − a − bxi )2 = m´ın
La condici´on de existencia del m´ınimo de esta expresi´on exige que sus derivadas parciales con respecto a los par´ametros a y b se anulen, es decir: ! ! n n ∂ X ∂ X 2 2 (yi − a − bxi ) =0 ; (yi − a − bxi ) =0 ∂a i=1 ∂b i=1 Al realizar la operaci´on indicada, se obtiene n X i=1
(yi − a − bxi ) = 0
;
n X i=1
(yi − a − bxi )xi = 0
Estas dos ecuaciones pueden ser reescritas como ecuaciones simultaneas lineales para a y b: X X X X X an + b xi = yi ; a xi + b x2i = xi yi donde se ha omitido los l´ımites i = 1 a n en los signos de la sumatoria escritura de las ecuaciones. La soluci´on de este sistema es: P 2P P P xi yi − xi (xi yi ) a= P P 2 n x2i − ( xi ) b=
n
P P xi yi − xi yi P 2 P 2 n xi − ( xi )
P
, por comodidad en la
(3.3)
P
De esta manera se encuentra el intercepto y la pendiente de la recta que minimiza la suma Del an´alisis estad´ıstico, la incertidumbre en y es: rP (yi − a − bxi )2 sy = n
(3.4) P
(δyi )2 .
3-3
pero este estimativo no es correcto porque los n´ umeros a y b son los valores verdaderos desconocidos. En la pr´actica, estos n´ umeros deben reemplazarse por los mejores estimativos dados por (3.3) y 3.4, esto conduce a una reducci´on en sy al reemplazar n → n − 2: rP (yi − a − bxi )2 sy = (3.5) n−2 La raz´on es que se ha hecho n medidas pero se deben calcular dos cantidades a y b. Teniendo sy , las incertidumbres de a y b se obtienen de s P 2 xi sa = sy P 2 P 2 n xi − ( xi ) sb = sy
s
n n
P
x2i
(3.6)
(3.7)
P 2 − ( xi )
De esta forma, el m´etodo de m´ınimos cuadrados permite calcular de manera inequ´ıvoca las incertidumbres del intercepto a y de la pendiente b con base en los datos medidos y no en las apreciaciones basadas en las incertidumbres de los valores medios de los datos. ¿Qu´e tan v´alido es aproximar un conjunto de datos mediante una dependencia lineal de la forma como se ha planteado? La respuesta a esta pregunta se obtiene mediante el c´alculo del llamado ´ n lineal, el cual se define de la siguiente manera: coeficiente de correlacio P P P n xi yi − xi yi q r = q (3.8) P P 2 P P 2 n x2i − ( xi ) n yi2 − ( yi )
Esta magnitud, en cierta medida caracteriza el grado de dependencia lineal de la variable y con respecto a la variable x. Si r = 1, significa que la correlaci´on entre x e y es perfecta. Al contrario, si r = 0, entre x e y no hay correlaci´on. Una correlaci´on imperfecta significa que 0 < r < 1. Ejemplo 3.1 Se quiere investigar la dependencia de la resistencia R de un material con respecto a la temperatura T . Los resultados se muestran en la tabla 3.1 y la gr´afica en la fig. 3.2: T (◦ C) R (Ω)
10 12,3
20 12,9
30 13,6
40 13,8
50 14,5
60 15,1
70 15,2
80 15,9
Tabla 3.1: Datos de la temperatura T (◦ C) y la resistencia R Ω.
Como suele suceder en muchos problemas, las variables no llamadas x e y, pero debe tenerse cuidado enla identificaci´on de cada una. Para el presente caso, se tiene el reemplazo: xi ↔ Ti
yi ↔ Ri
Un vistazo a la distribuci´on de estos datos permite afirmar que ´estos se pueden ajustar mediante una recta. El objetivo es determinar dicha recta mediante etodo P de m´ınimos P P el m´ P P cuadrados. De acuerdo con las ecs. (3.3) y (3.4), se necesita conocer Ti , Ri , Ti2 , Ri2 y Ti Ri : Con base en estos valores, se puede determinar los valores de la pendiente b y el intercepto a: P 2P P P Ti Ri − Ti Ti Ri (20 400)(113, 3) − (360)(5 308) a= = = 11,91 Ω P 2 P 2 8(20 400) − (360)2 n Ti − ( Ti ) P P P n Ti Ri − Ti Ri 8(5 308) − (360)(113, 3) b= = 4, 98 × 10−2 Ω/◦ C P 2 P 2 = 8(20 400) − (360)2 n Ti − ( Ti )
3-4
16
Resistencia
R(
)
15
14
13
12
0
15
30
45
Temperatura
60
T (°C)
75
Figura 3.2: Gr´ afica de los datos de la tabla 3.1.
Ti Ri Ti2 Ri2 Ti Ri ◦ 2 ( C) (Ω) ( C ) (Ω2 ) (◦ C Ω) 10 12,3 100 151.29 123 20 12,9 400 166,41 258 30 13,6 900 184,96 408 40 13,8 1 600 190,44 552 50 14,5 2 500 210,25 725 60 15,1 3 600 228,01 906 70 15,2 4 900 231,04 1 064 80 15,9 6 400 252,81 1 272 P P P 2 P 2 P Ti Ri Ti Ri Ti Ri 60 13,3 20 400 1 615,21 5 308 ◦
Tabla 3.2: Datos para calcular las ecs. (3.3) y (3.4).
De los anteriores resultados, se puede determinar las magnitudes δRi = Ri − (a + bTi ) y ´ Estos datos se encuentran en la tabla 3.3. Con base en estos valores, se puede determinar sy (3): rP r (δyi )2 0, 15 sy = = = 0, 16 Ω n−2 8−2
P
(δRi )2 .
y as´ı se puede determinar las desviaciones est´andar de la pendiente y el intercepto: s s P 2 xi 20 400 sa = sy = 0, 13 Ω P 2 P 2 = 0, 16 8(20 400) − (360)2 n xi − ( nxi ) sb = sy
s
n
n
P
x2i
P 2 = 0, 16 − ( xi )
s
8 = 2, 47 × 10−3 Ω/◦ C 8(20 400) − (360)2
Por tanto, la recta R = a + bT que ajusta los datos de la fig. 3.2 de acuerdo con el criterio de m´ınimos cuadrados tiene la forma: R[T ] = (11,9 ± 0, 1) + (5, 0 ± 0, 3) × 10−2 T
3-5
Ti ( C) 10 20 30 40 50 60 70 80 ◦
Ri (Ω) 12,3 12,9 13,6 13,8 14,5 15,1 15,2 15,9
a + bTi (Ω) 12,4 12,9 13,4 13,9 14,4 14,9 15,4 15,9
δRi (Ω) 0.1 0 0,2 0,1 0,1 0,2 0,2 0
(δRi )2 (Ω2 ) 0,01 0 0,04 0,01 0,01 0,04 0,04 0 P ( δRi )2 0,15
Tabla 3.3: Datos para calcular la magnitud sy dada por (3).
15
Resistencia
R(
)
16
14
13
12
0
15
30
45
Temperatura
60
T (°C)
75
Figura 3.3: Regresi´ on lineal usando el m´etodo de m´ınimos cuadrados de la fig 3.2.
y se presenta en la fig. 3.3. Finalmente, para el coeficiente de correlaci´on se tiene: P P P n xi yi − xi yi q r = q P P 2 P P 2 n x2i − ( xi ) n yi2 − ( yi ) 8(5 308) − (360)(113, 3) p = p 8(20 400) − (3602 ) 8(1 615, 2) − (113, 32) = 0, 9934
lo cual indica que la resistencia del material considerado est´a bien correlacionada con la temperatura.
CAP´ITULO
4 Medici´on de tiempos
4.1 Objetivos 4.1.1 Objetivo general ✔ Determinar el tiempo de reacci´on de personas y el tiempo m´ınimo entre poner en marcha y detener un cronometro.
4.1.2 Objetivos espec´ıficos ✓ Calcular la media, desviaci´on est´andar, CV, IC y error porcentual. ✓ Construir un histograma.
4.2 Equipamiento ☞ Regla.
☞ Cron´ometro.
4.3 Montaje experimental El sistema son los estudiantes del grupo de laboratorio (como m´aximo 4), de los cuales uno sostiene la regla y toma tiempo y los otros son a quienes se le medir´a el tiempo de reacci´on. Todos deben tomar el tiempo de reacci´on a sus compa˜ neros.
4.4 Consideraci´ on te´ orica Cuando una persona debe realizar alguna acci´on en respuesta a un dado est´ımulo (visual, auditivo, t´actil), transcurre un tiempo entre la recepci´on del est´ımulo y la ejecuci´on de la acci´on. Este intervalo ´ n de una persona. Esto sucede, p. ej., cuando una de tiempo se conoce como tiempo de reaccio persona que conduce un veh´ıculo tiene que frenarlo luego de visualizar un obst´aculo en el camino o cuando un atleta en la l´ınea de partida debe decidir que empieza la carrera despu´es de que escucha la se˜ nal de largada dada por el juez de la competencia. Estas demoras en la reacci´on est´an reguladas por dos efectos. El primero es el tiempo de tr´ansito del est´ımulo en los ´organos sensible correspondientes (ojo, o´ıdo, etc.). El segundo tiene que ver con el tiempo que pasa entre los impulsos nerviosos y el movimiento de los m´ usculos.
4-1
4-2
4.4.1 Observaci´ on En mediciones de tiempos usando un instrumento activado manualmente, p. ej. cuando se emplea un cron´ometro (anal´ogico o digital), el operador introduce una incertidumbre en la definici´ on de los intervalos que est´a asociada a su tiempo de reacci´on. Esta incertidumbre debe considerarse en el momento de estimar la incertidumbre total de la medici´on de tiempos.
4.5 Procedimiento 4.5.1 Primera parte ① Cada estudiante medir´a su tiempo m´ınimo entre poner en marcha y detener el cron´ ometro.
4.5.2 Segunda parte ❶ Un estudiante S1 sujeta la regla de 100 cm de longitud entre sus dedos y con la otra tiene el cronometro. Otro estudiante S2 al que le desea medir el tiempo de reacci´on debe colocar su mano unos 10 cm m´as abajo de S1 y en la posici´on de un punto bien definido de la regla, con los dedos ´ındice y pulgar abiertos alrededor de la regla. Por ejemplo, los dedos podr´ıan estar en la marca de las decenas de cent´ımetros, cuidando de no tocar la regla. S2 deber´a asir la regla apenas vea que S1 la suelta. Desde luego, no debe haber ning´ un aviso previo, S2 s´olo debe tratar de asir la regla con los dedos cuando se d´e cuenta que la misma ha sido soltada por S1 .
4.6 An´ alisis 4.6.1 Primera parte ✑ Los intervalo de tiempo medidos en ① ser´an consignados en la tabla 4.1. ✑ Repitan el anterior ´ıtem los otros estudiante y completen las tablas 4.2–4.4. ✑ Con la tabla 4. calculen la media (1.17), desviaci´on est´andar (1.19), CV (1.20), IC (1.24) y error porcentual (1.26), con una probabilidad del 90 % (t0,90 ) utilizando la tabla 1.3. ✑ Repitan los mismos c´alculos para las tablas 4.2–4.4. ✑ Con las tablas 4.1–4.4, organicen todos los datos en forma ascendente sin omitir los datos que se repitan. ✑ Construyan un histograma de los distintos tiempos registrados.
4.6.2 Segunda parte ✒ Midan en cada prueba la distancia que la regla cay´o desde la marca de referencia. ✒ Suponiendo que la regla cae con un movimiento uniformemente acelerado y que g ≈ 9, 8 m/s2 , calculen el tiempo de reacci´on y completen la tabla 4.5. ✒ Repitan el anterior ´ıtem con los estudiante S1 y S3 completando las tablas 4.6–4.8. ✒ Con la tabla 4.5, calculen la media (1.17), desviaci´on est´ andar (1.19), CV (1.20), IC (1.24) y error porcentual (1.26), con una probabilidad del 90 % (t0,90 ) utilizando la tabla 1.3. ✒ Repitan los mismos c´alculos para las tablas 4.6–4.8. ✒ Con las tablas 4.5–4.8, organicen todos los datos en forma ascendente sin omitir los datos que se repitan. ✒ Construyan un histograma de los distintos tiempos de reacci´on.
4-3 ✒ ¿Cu´al es el valor medio de este tiempo para cada uno de los estudiantes. ✒ El tiempo de reacci´on obtenido es en respuesta a un est´ımulo visual. Dise˜ ne un experimento con el que pueda medir el tiempo de reacci´on ante un est´ımulo auditivo. ✒ Compare los tiempos de reacci´on en respuesta a los distintos est´ımulos. De los gr´aficos y preguntas, tanto de la primera como la segunda parte, hagan sus conclusiones.
4.7 Datos No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
∆t (
)
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tabla 4.1:
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t( )
∆t ( )
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tabla 4.2:
d(
)
Tabla 4.3:
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tabla 4.5:
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t( )
d(
∆t ( )
t(
)
Tabla 4.7:
D. A. Wardle, Phys. Teach. 36: 442 (1 998). R. Nijhawan, Nature 370: 256 (1 995).
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t(
)
∆t ( )
Tabla 4.4:
d( )
Tabla 4.6:
)
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
d( )
Tabla 4.8:
CAP´ITULO
5 Determinaci´on de la constante π
5.1 Objetivos 5.1.1 Objetivo general ✔ Determinar por medidas indirectas el valor de π con sus respectivas incertidumbres.
5.1.2 Objetivos espec´ıficos ✓ Reportar informaci´on a trav´es de la presentaci´on en tablas y gr´aficas. ✓ Aplicar el m´etodo de m´ınimos cuadrados a los datos experimentales. ✓ Adquirir destreza de medir y tener en cuenta el error en la medida. ✓ Estudiar el movimiento de un cuerpo viajando a velocidad constante en una trayectoria circular.
5.2 Equipamiento 5.2.1 Primera parte ☞ Cinco (5) c´ırculos de di´ametro diferente.
☞ Calibrador.
☞ Metro de modister´ıa.
5.2.2 Segunda parte ☛ Aparato de fuerza centr´ıpeta completo (Cenco).
☛ Cron´ometro. ☛ Calibrador
☛ Pesas: 1 kg, 500 g y 100 g. ☛ Varillas universal.
☛ Portapesas.
5.3 Montaje experimental 5.3.1 Primera parte El sistema son cinco c´ırculos de di´ametros diferentes a los cuales se le medir´a el per´ımetro y el di´ametro. 5-1
5-2
5.3.2 Segunda parte El sistema est´a conformado por un aparato de fuerza centr´ıpeta y un rotor el´ectrico de velocidad variable, como se ilustra en la fig. 5.1.
Figura 5.1: Aparato de fuerza centr´ıpeta.
El aparato de fuerza centr´ıpeta consiste de un marco met´alico n, dentro del cual est´a monta una masa cil´ındrica mr , sujeta a un resorte helicoidal h. La tensi´on del resorte se var´ıa enroscando un tambor t desde un origen que es le´ıdo en una escala e como se aprecia en la fig. 5.2. Dos varillas de gu´ıa y un fiel l hacen que el movimiento del cuerpo cil´ındrico sea a lo largo del eje del resorte, perpendicular al eje del rotor. En reposo, mr se encuentra apoyada sobre un tope, pero al rotar ´esta se aleja, estirando h. 20
15
10
5
0
20
e
15
10
5
0
enroscar
=⇒
t (a)
(b)
Figura 5.2: Configuraci´ on para variar la tensi´ on del resorte.
La frecuencia de rotaci´on se determina contando el n´ umero de revoluciones dadas por el aparato en un intervalo de tiempo dado. Este conteo se hace con un contador de revoluciones amarrado al marco del rotor por medio de un resorte acerado, que mantiene desengranado el pi˜ n´on del contador; presionando con el dedo el extremo del resorte, el pi˜ n´on se engrana con uno id´entico que se mueve con el eje de rotaci´on. La velocidad se controla variando el punto de contacto entre el disco de fricci´on y el disco de manejo. Moviendo la cabeza grafilada de un tornillo se arrastra el disco de fricci´on hacia el centro o hacia la periferia, a lo largo del radio del disco de manejo. 5.3.2.1 Observaciones Al medir el radio de giro, trate que l apunt´e a j en el mismo punto que cuando mr est´ a rotando, como se ilustra en la siguiente figura: Al montar el marco met´alico, aseg´ urense que ´este quede firmemente atornillado, para que no salga disparado por las altas velocidades angulares que se manejan y produzca un accidente.
5-3 r h
mr j
l Figura 5.3: Diagrama cuando mr est´ a rotando. El fiel l apunta al indicador j.
Al usar el contador de vueltas, tomen cuidado de no rozar su brazo con la polea del rotor el´ectrico ni de tocar el rotor por la alta temperatura que presenta al estar funcionando.
5.4 Consideraci´ on te´ orica 5.4.1 Primera parte Una relaci´on importante que se determin´o fue entre el per´ımetro p de una circunferencia con su di´ametro. Esta relaci´on es directamente proporcional, p ∝ d. La constante de proporcionalidad es un un n´ umero irracional de muchas cifras decimales que hasta ahora no se repiten y se denomina π, cuyo valor estimado es: π = 3, 141 592 654 . . .
5.4.2 Segunda parte Si un cuerpo de masa ma no interact´ ua, su estado natural ser´a de seguir parado, si lo estaba, o de continuar movi´endose con la velocidad que ten´ıa y con un movimiento rectil´ıneo. Cuando ma interact´ ua con otro mb , p. ej. a trav´es de un hilo, y describe un movimiento circular alrededor de mb , pero accidentalmente se rompe el hilo, ma sale disparado en l´ınea recta. Se dice que el hilo era quien hac´ıa una fuerza (una interacci´on) sobre ma con tal de hacerlo girar. Esta fuerza, responsable del hecho que un cuerpo gire, y por tanto, responsable de cambiar la direcci´on de la velocidad de ma , se conoce como fuerza centr´ıpeta. Para simplificar el estudio de la acci´on rec´ıproca entre entre ma y mb , se reemplaza el hilo por un resorte, ya que ´este tiene un comportamiento descrito por la conocida ley de hooke: ((La fuerza que devuelve un resorte a su posici´on de equilibrio es proporcional al valor de la distancia que se desplaza de esa posici´on)). La constante de proporcionalidad de un resorte helicoidal depende de las condiciones geom´etricas del material del que se construya. Con base en lo anterior, ma sentir´a una fuerza hacia fuera del c´ırculo (note que el fiel empieza a levantarse), debida al resorte, cuando empieza a rotar y debe ser, por la segunda ley de Newton, igual a la fuerza centr´ıpeta. Para poder calcular la constante del resorte, ´este debe interactuar con otra masa mc , esto se logra desmontando el marco met´alico y someti´endolo a diferentes pesos y registrando las diferentes elongaciones.
5.5 Procedimiento 5.5.1 Primera parte ① Mid´an el per´ımetro p y el di´ametro d de cada uno de los 5 c´ırculos.
5.5.2 Segunda parte ❶ Ajusten el resorte a la m´ınima tensi´on (xi = 0 en la escala e de la fig. 5.2a), mediante t.
5-4 ❷ Desenrosquen el marco met´alico y cu´elguenlo en la varilla de soporte, como se ilustra en la fig. 5.4.
h mr q mi
Figura 5.4: Arreglo para calcular la constante del resorte κ.
❸ Sujeten por la cuerda que est´ a unida a mr , el portapesas q y con algunas masas necesarias mi (fig. 5.4) observen que l se˜ nale la cabeza de j (fig. 5.3). Si es necesario pueden cambiar la tensi´on un poco. ❹ Monten el marco en el eje del rotor (debe estar vertical) asegur´andolo firmemente. ❺ Pongan el disco de fricci´on cerca del centro del disco de manejo y enciendan el motor. Observando el ´ındice de velocidad, aumenten la velocidad angular ω (desplazando el disco de fricci´ on hacia la periferia del disco de manejo) hasta que l se˜ nale la cabeza de i como se ilustra en la fig. 5.3. Regulen ω hasta adquirir suficiente destreza para ´esta sea la m´ınima que mantenga horizontal l, e. d., la fuerza centr´ıfuga sobre mr ser´a debida solamente a la tensi´on del resorte. Bajo esta condici´on, la tensi´on en el resorte, para la posici´on en que se encuentra el tambor, iguala al peso colgante. ❻ Registren la lectura inicial Li del contador y posteriormente engrane el contador. Luego de 1 min desengranen el contador y utilicen el freno para detener el contador. Obtengan esta u ´ ltima lectura Lf rest´andole dos vueltas que son las que se alcanzan a dar antes del freno. Repitan esta medida de frecuencia dos veces. Es conveniente que la lectura del cron´ometro la haga una segunda persona. ❼ Aumenten la tensi´on del resorte enroscando el tambor hasta alcanzar las posiciones x = 5 mm (fig. 5.2) y repitan desde el item ❷. ❽ Repitan el anterior ´ıtem para x = 10, 15 y 20 mm.
5.6 An´ alisis 5.6.1 Primera parte ✑ Registren las mediciones de p y d, en la tabla 5.1. ✑ Determinen las incertidumbres de p y d, completando la tabla 5.2. ✑ Hagan una gr´afica, en papel milimetrado, de p como una funci´on de d. ✑ Usando el m´etodo de m´ınimos cuadrados, tracen la mejor recta de ajuste. ✑ Determinen la pendiente. ¿Que informaci´on puede obtener de ella? ✑ Calculen la incertidumbre de la pendiente.
5-5 ✑ Con un paquete de graficaci´on (Origin, Excel, Graph, entre otros), hagan la gr´afica de p vs d, usen la herramienta de regresi´on lineal y obtengan a, b y r. ✑ Comparen los valores anteriores con los obtenidos manualmente. ✑ Reporten el valor de π con su incertidumbre.
5.6.2 Segunda parte ✒ Reporten los valores de mp (portapesas), mr (su valor est´a estampado en el cilindro) y r (radio de giro) en la tabla 5.3. ✒ Para cada valor de xi y su respectiva masa de equilibrio, M i = mi + q + mr , llenen la tabla 5.4. ✒ De la tabla 5.4, hagan un gr´afico de M i en funci´on de las elongaciones xi del resorte. ✒ ¿Qu´e representa f´ısicamente su gr´afico?, es decir, ¿qu´e forma tiene su gr´afico?, s´ı es lineal, ¿cu´ ales son los valores del intercepto y de la pendiente?, ¿cu´al es el significado f´ısico de la pendiente? ✒ Para cada tensi´on del resorte registren los valores de Li y Lf en las tablas 5.5–5.8. ✒ Con las tablas anteriores calculen f = ∆L/60, la frecuencia en Hz, completando la tabla 5.9. ✒ Calculen la velocidad angular ω = 2πf y completen la tabla 5.10 con Ω = mr rω 2i ✒ Hagan un gr´afico de Ω como funci´on de Mi . ✒ ¿Qu´e representa f´ısicamente su gr´afico? √ √ ✒ Calculen las cantidades Mi g y 2f mr r, tomando g = 9,78 m/s2 , completando la tabla 5.12 ✒ Hagan un gr´afico a partir de los datos de la tabla 5.11. ✒ ¿Qu´e representa f´ısicamente su gr´afico? ✒ Con el resultado obtenido de comp´arenlo con el anterior resultado, aplicando la f´ormula (1.27) y decida que m´etodo escoge para calcular el valor de π. ✒ Discuta por qu´e escogi´o ese m´etodo. ✒ Reporten sus resultados con la respectiva incertidumbre. De los gr´aficos y preguntas, tanto de la primera como la segunda parte, hagan sus conclusiones.
5.7 Datos p( )
d( )
p/d
∆p ( )
∆r ( )
∆π
Tabla 5.2:
mp ( ) Tabla 5.1:
mr ( ) Tabla 5.3:
r( )
5-6
xi (mm) 0 10 15 20
Mi (
Li ( )
)
∆L ( )
ola xi = 0 ∆L =
Tabla 5.4:
Li ( )
Lf ( )
Lf (
Tabla 5.5:
)
∆L ( )
Li ( )
Lf ( )
∆L ( )
ola xi = 15 ∆L =
Tabla 5.6:
Tabla 5.7:
Li ( )
Lf (
)
∆L ( )
ola xi = 20 ∆L = Tabla 5.8:
Ω(
)
ola
xi = 10 ∆L =
Mi ( )
Tabla 5.10:
xi (mm) 0 10 15 20
f ( )
Tabla 5.9:
√ 2f mr r (
)
√ Mi g ( )
Tabla 5.11:
CAP´ITULO
6 Medici´on de la gravedad
6.1 Objetivos 6.1.1 Objetivo general ✔ Determinar indirectamente el valor de la gravedad con su incertidumbre.
6.1.2 Objetivos espec´ıficos ✓ Linealizar un comportamiento entre las variables de entrada y de salida. ✓ Construir un histograma. ✓ Comparar dos m´etodos para decidir cu´al seleccionar.
6.2 Equipamiento 6.2.1 Primera parte ☞ Equipo de ca´ıda libre.
☞ Chisp´ometro.
☞ Cintas termosensible.
6.2.2 Segunda parte ☛ Regla de madera.
☛ Proyectil.
☛ Transportador. ☛ Hilo.
☛ Cron´ometro.
6.3 Montaje experimental 6.3.1 Primera parte El sistema consta de un soporte vertical en cuyo extremo superior, por medio de conexiones, se sujeta una masa la cual tiene una peque˜ na varilla de hierro.
6-1
6-2
6.3.2 Segunda parte Un p´endulo simple es un sistema (fig. 6.1) que consta de un hilo sujeto por uno de sus extremos a un punto fijo (punto de oscilaci´on) y en su extremo opuesto est´a unido a una masa m de cualquier forma (proyectil).
30◦
Figura 6.1: Vista frontal de un p´endulo simple.
6.4 Consideraci´ on te´ orica 6.4.1 Primera parte El estado natural de un cuerpo m es, para Galileo, tanto el reposo como el movimiento en linea recta con velocidad contante. Bajo este esquema no hay necesidad de una divinidad que ((empuje)) al mundo, ´el mismo puede hacerlo por su propia inercia. Galileo usando un razonamiento, que aun hoy nos maravilla por su contundencia y brillantez, sosten´ıa que el tiempo de ca´ıda de todos los cuerpos desde una dada altura h (siempre que el rozamiento con el aire se desprecie) es el mismo y la ca´ıda de los cuerpos se realiza con la misma aceleraci´on contante para todos los cuerpos, pesados o livianos.
6.4.2 Segunda parte Un cuerpo cuyo movimiento se repite parcial o totalmente alrededor de una posici´on ((fija)) (sobre ´ n u oscilacio ´ n. Este la cual pasa un eje perpendicular) se denomina movimiento de vibracio movimiento se caracteriza por que en un determinado tiempo, el cuerpo repite la misma trayectoria. El intervalo de tiempo T necesario para a realizaci´on de una oscilaci´on completa se denomina periodo.
6.5 Procedimiento 6.5.1 Primera parte Para esta pr´actica se les entregar´an las cintas, sin embargo, se har´a una demostraci´on general del funcionamiento del equipo para ca´ıda libre. En la fig. 6.2 se tiene una muestra de una cinta, donde los puntos son las marcas dejadas por el chisp´ometro. Este aparato registra cada 1/60 s, por tal raz´on, se puede hablar de una ((separaci´ on puntual temporal)). Como se tiene muchos puntos, es necesario tomar un subconjunto igual de ellos y as´ı formar una nueva unidad de tiempo denominada tic, as´ı, p. ej., en la fig. 6.2 el tic es de 3 puntos, o equivalentemente 3 veces 1/60 s, en otras palabras, se tiene otra manera de medir tiempo. Las alturas hi se han tomado desde el primer punto hasta el respectivo tic. T´engase en cuenta el hecho f´ısico que la velocidad que se determina para cada intervalo espacial de la cinta, es una velocidad media para este intervalo. ¿Cu´al es la elecci´on del tiempo que se le asigna a
6-3
h1 h2 h3 Figura 6.2: Cinta representativa para el experimento de ca´ıda libre.
esta velocidad? Al final del n-intervalo espacial, la masa con la varilla de hierro ha ca´ıdo una distancia hn . El tiempo que empleo en recorrer esta distancia, desde el el primer punto es: tn = tn−1 + ∆tn
(6.1)
donde ∆tn = tn − tn−1 es el intervalo de tiempo registrado por el chisp´ometro que corresponde al tiempo de paso del n-´esimo intervalo espacial. Esto se ilustra esquem´aticamente en la fig. 6.3. Por tanto, se puede hacer un gr´afico hn [tn ] en funci´on de tn y obtener el valor de la aceleraci´ on g. ∆t1
∆t2
∆t3
∆h1
∆h2
∆h3
v1 =
∆h1 ∆t1
h0 = 0 t0 = 0
v2 = h1 = h0 + ∆h1 t1 = ∆t1 tc1 =
∆t1 2
∆h2 ∆t2
v3 =
∆h3 ∆t3
h2 = h2 + ∆h2 t2 = t1 + ∆t2 tc2 = tc1 +
∆t2 2
Figura 6.3: Esquema de correcci´ on de los tiempos asignados a cada intervalo.
Si se aplica el anterior argumento para el gr´afico de vn [tn ] en funci´on del tiempo, se tiene un peque˜ no error porque vn es la velocidad media en el n-´esimo intervalo y, por consiguiente, se debe asociar a un valor de tiempo intermedio tcn , definido como: tcn = tn−1 +
∆tn 2
(6.2)
y no al tiempo tn , que est´a asociado al intervalo en que finaliza el n-´esimo recorrido espacial. En resumen, los gr´aficos de xn [tn ] y vn [tcn ] son equivalentes y, en cierto modo, el segundo es la derivada del primero. En la fig. 6.4 se observa tambi´en que g ′ > g, donde g ′ es la pendiente del gr´afico vn como funci´on de tn y g se obtiene del gr´afico vnc como funci´on de tcn .
6.5.2 Segunda parte 6.5.2.1 Medici´ on de tiempos ❶ Construyan un p´endulo simple. ❷ Con la regla de madera, midan una longitud adecuada de su p´endulo (mayor de un metro) y mant´engala constante. ❸ Midan un ´angulo menor de 15◦ con el transportador y ponga a oscilar su p´endulo (siempre al mismo ´angulo). ❹ Con un reloj com´ un tomen el tiempo que dura una oscilaci´on. ❺ Tomen un T errado, p. ej., puede ser que tomen el proyectil antes o despu´es de terminar la oscilaci´on. ❻ Tomen dos veces el tiempo para 5, 10, 15, 20 y 30 oscilaciones.
6-4
▼
v (m/s)
▼ ▼
g vn
▼ ▼
▼ ▼
▼
g′ > g t (s) tcn
tn
Figura 6.4: Ilustraci´ on de la variaci´ on de la pendiente de la funci´ on v[t] en funci´ on del tiempo t. La l´ınea continua representa la variaci´ on de vnc con respecto a tcn o g y la l´ınea a trazo es vn con respecto a tn o g ′ > g.
6.5.2.2 Relaci´ on con el ´ angulo ❶ Con un ´angulo mayor de 20◦ y el cron´ometro midan T dos veces, aumentando cada vez de 5◦ a 10◦ . 6.5.2.3 Relaci´ on con la masa ❶ Cambien la masa del proyectil por otra. ❷ Registren un periodo. ❸ Cambien por otra masa diferente y repitan el anterior ´ıtem. 6.5.2.4 Relaci´ on con la longitud ❶ Disminuyan en 10 cm la longitud inicial. ❷ Registren un periodo. ❸ Contin´ uen disminuyendo la longitud cada 10 cm, hasta obtener una longitud final de 10 cm a 15 cm.
6.6 An´ alisis 6.6.1 Primera parte ✑ Organicen de 8 a 10 subconjuntos iguales de puntos por cada cinta, e. d., de 8 a 10 tic. ✑ Midan las alturas hn , como se ilustra en la fig. 6.2 y completen las tablas 6.1 a 6.4. ✑ Por cada tabla, hagan la gr´afica de hn (cm) como funci´on de tn (tics), dado por (6.1). ¿Qu´e forma tiene? ✑ Usando las ecs. (6.1) y (6.2) hagan un gr´afico de hn /tn y hn /tcn . ¿Qu´e forma tiene? ✑ De cada gr´afica, calculen su intercepto y pendiente. ¿Qu´e informaci´on obtienen? ✑ Con los valores obtenidos calculen: g (1.17), sx (1.19), CV (1.20) y error de muestreo (1.25), con una probabilidad del 90 % (t0,90 , seg´ un tabla 1.3).
6-5 ✑ Discutan sus resultados, al usar (6.1) y (6.2). ✑ Reporten el valor de g con su respectivo IC (1.24). ✑ ¿Se encuentra su valor esperado en su IC? Caso que no se encuentre con el 90 % de probabilidad, ¿con qu´e probabilidad se encuentra su valor esperado en su IC? ✑ Haga un gr´afico de su IC tal como en se ilustra en la fig. 1.10.
6.6.2 Segunda parte ✒ Completen la tabla 6.1 para T medido con el reloj com´ un. ✒ Calculen T , desviaci´on est´andar, CV, IC y error porcentual con una probabilidad del 90 % (t0,90 ) utilizando la tabla 1.3. ✒ Completen las tablas 6.2–6.9 para T medido con el cron´ometro. ✒ Calculen T s´olo para cualesquier de las tablas 6.2–6.9. ✒ Completen la tabla 6.10 para el tiempo medido para las diferentes oscilaciones (de 5 a 30). ✒ Calculen T para las diferentes oscilaciones. ✒ Discutan sus resultados obtenidos de las tablas 6.1, 6.2 y 6.10. ¿Es posible, con las t´ecnicas utilizadas, determinar el periodo con un error menor que el 1 %? ✒ Con las tablas 6.6–6.9, organicen todos los datos en forma ascendente sin omitir los datos que se repitan. ✒ Realicen un histograma que muestre la frecuencia de ocurrencia de cada medici´on. ✒ Analicen la forma de su histograma con el mostrado en la fig. 1.7. ¿Qu´e puede decir acerca del car´acter de la distribuci´on de los resultados obtenidos en sus mediciones? ¿Est´an los valores distribuidos normalmente? ✒ ¿Cu´antos datos caen dentro del intervalo T ± sx ? ✒ Hagan una prueba de datos dudosos y desc´artelos con una confiabilidad del 95,45 %. ¿Qu´e porcentaje de los datos caen fuera del intervalo T ± 2sx ? ✒ Para las diferentes amplitudes mayores de 20◦ , registren T en la tabla 6.11. ✒ Determinen T para las diferentes amplitudes. ✒ Detecta alguna diferencia del per´ıodo para las distintas amplitudes? ✒ Al cambiar la masa, completen las tabla 6.12 y 6.13. ✒ Determinen T para las tablas 6.12 y 6.13. ✒ Hagan un gr´afico de T en funci´on de la masa m. ✒ ¿Qu´e dependencia encuentran entre T y m. ✒ ¿Encuentra alguna ventaja en tener un p´endulo con una masa m´as grande? ¿Qu´e pasa si la masa se hace nula? ✒ Si tratan de usar el p´endulo que acaban de estudiar como reloj; discutan y analicen para este reloj: su alcance (o rango m´aximo de tiempo que puede medir), exactitud y precisi´on. ✒ Reporten el valor de la gravedad con su IC (1.24) y haga un gr´afico de su IC tal como en se ilustra en la fig. 1.10. ¿Qu´e pueden concluir?
6-6 ✒ ¿Se encuentra su valor esperado en su IC? Caso que no se encuentre con el 90 % de probabilidad, ¿con qu´e probabilidad se encuentr´a? ✒ Para la variaci´on de la longitud, completen las tablas 6.14–6.19. ✒ Hagan un gr´afico de T en funci´on de la longitud, usando tanto escalas lineales como logar´ıtmicas. ✒ De acuerdo con la gr´afica en escalas lineales, ¿qu´e dependencia hay entre T y la longitud l del p´endulo. ✒ Traten de linealizar la gr´afica anterior. ✒ Encuentren el valor de la pendiente y el intercepto. ¿Qu´e informaci´on pueden obtener de ellos? ✒ Del gr´afico de escalas logar´ıtmicas, ¿cu´al es el valor de la pendiente y el intercepto? ✒ Comparen los resultados obtenidos de los dos gr´aficos anteriores. ✒ Reporten sus resultados con la respectiva dispersi´on. ✒ Con los datos de g obtenidos de la primera y segunda parte comp´arenlos (secci´on §1) aplicando la f´ormula (1.27) y decida que m´etodo escoge para calcular la gravedad en un determinado lugar. ✒ Discutan por qu´e escogi´o ese m´etodo. De los gr´aficos y preguntas, tanto de la primera como la segunda parte, hagan sus conclusiones.
6.7 Datos hn (
)
tn ( )
tcn ( )
hn ( )
Tabla 6.1:
hn (
)
tn ( )
Tabla 6.3:
tn ( )
tcn (
)
tcn (
)
Tabla 6.2:
tcn ( )
hn ( )
tn ( )
Tabla 6.4:
6-7
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t( )
Tabla 6.5:
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t( )
Tabla 6.10:
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t( )
Tabla 6.15:
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t( )
Tabla 6.20:
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t( )
Tabla 6.6:
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t( )
Tabla 6.11:
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t( )
Tabla 6.16:
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t( )
Tabla 6.21:
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t(
)
Tabla 6.7:
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t(
t(
t(
)
Tabla 6.8:
)
Tabla 6.12:
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
)
Tabla 6.17:
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t(
t(
t(
)
Tabla 6.9:
)
Tabla 6.13:
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
)
Tabla 6.18:
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t(
)
Tabla 6.14:
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t(
)
Tabla 6.19:
CAP´ITULO
7 Carril de aire y fotodetector
7.1 Objetivos 7.1.1 Objetivo general ✔ Usar un fotodector para la adquisici´on de datos e interpretarlos.
7.1.2 Objetivos espec´ıficos ✓ Hacer gr´aficas para visualizar el comportamiento de la aceleraci´on resultante de un sistema. ✓ Utilizar el ajuste de m´ınimos cuadrados para juzgar la linealidad de la relaci´on de los datos y determinar el valor del intercepto y de la pendiente, con sus respectivas desviaciones. ✓ Estudiar el comportamiento de la aceleraci´on del sistema sometido a la fuerza gravitatoria y compararlo con las expectativas te´oricas. ✓ Hacer consideraciones acerca del modelo te´orico desarrollado y decidir acerca del efecto de los elementos despreciados.
7.2 Equipamiento ☞ Carril recto de aluminio, con una polea liviana y de baja fricci´on, en uno de sus extremos.
☞ Cuerda liviana y resistente (3 m).
☞ Carrito de aluminio con once orificios y once postes met´alicos cil´ındricos.
☞ Fotodetector (Pasco Scientific).
☞ Pesas de 10 g y una pesa de 5 g.
☞ Un portapesas liviano.
☞ Cron´ometro programable (Aslab 1 o Science First).
☞ Calibrador.
☞ Compresor de aire y manguera flexible.
☞ Balanza.
7.3 Montaje experimental El sistema consta de un carril de aire a, un fotodetector f, un cron´ometro programable l, montado sobre una mesa como se ilustra en la fig. 7.1. El carrito M, se acaballa al carril y uno de sus extremos se une una cuerda liviana c, a una masa m por medio de una polea p. 7-1
7-2
Figura 7.1: Esquema ilustrativo del montaje experimental y sus principales elementos.
7.3.1 Chequeo inicial y minimizaci´ on de errores sistem´ aticos ✍ El compresor de aire (no indicado en la fig. 7.1) debe estar enchufado a una toma de 110 V. Su salida de aire debe estar conectada a un extremo del carril mediante una manguera flexible. ✍ Cerci´orese que la superficie superior del carril no presente irregularidades de ninguna ´ındole y est´e totalmente limpia. Si requiere limpieza, solicite un trapo limpio y alcohol. ✍ Encienda el compresor y verifique que no haya los peque˜ nos orificios de la superficie superior del carril no se encuentren obstruido. ✍ El herraje, que sostiene la polea en el extremo del carril, debe estar bien ajustado y la polea debe rotar con facilidad (muy poca fricci´on). ✍ El carrito debe estar limpio, en especial por su parte inferior, por donde se acaballa al carril. Los bordes y esquinas del carrito no deben presentar deformaciones o asperezas. En caso de haber alguna, informe al instructor para solucionar la irregularidad. ´ n: Procure no deslizar el carrito sobre el carril sin estar encendido el compresor para precaucio no tupir los orificios y no deteriorar las superficies. ✍ Con el compresor funcionando, ubique el carrito en varios lugares a lo largo del carril y compruebe que ´este est´e nivelado. De no estarlo, niv´elelo mediante el tornillo de ajuste que se encuentra en la parte inferior del carril. ✍ Un extremo de la cuerda debe estar atado al borde ((delantero)) del carrito y el otro extremo al gancho del portapesas. La longitud de la cuerda debe permitir que el portapesas caiga desde una altura cercana a la polea cuando el carrito est´a pr´oximo al extremo opuesto. ✍ Inmovilice el carrito al carril por medio de la cuerda que est´a unida en el borde ((trasero)) del carrito, mientras se establece el ((colch´on de aire)). ✍ En la parte superior del carrito hay 11 perforaciones, pr´acticamente equidistantes, en las que porta 11 peque˜ nos ((postes)). Verifique que los postes est´en insertados en los orificios, firmes y paralelos entre s´ı. ✍ El cron´ometro digital programable debe estar alimentado por una peque˜ na fuente de voltaje dc que debe conectarse al tomacorriente. ✍ El fotodetector funciona en conjunto con un cron´ometro programable (ver ap´endices A y B para el funcionamiento de los cron´ometros aslab y science first, respectivamente), al cual debe estar conectado.
7-3
7.3.2 Funcionamiento del cron´ ometro programable y del fotodetector ☎ La fig. 7.2 ilustra esquem´aticamente las partes frontal y lateral de un fotodetector, el cual consta de un soporte r´ıgido y en su parte superior est´a montado un fotoemisor e, y frente a ´el, a unos cuantos cent´ımetros de separaci´on, hay un fotorreceptor r. ☎ e emite un estrecho haz continuo de luz infrarroja enfocado a r. Si un objeto opaco cualquiera se interpone en la trayectoria e interrumpe el haz de luz, a´ un cuando sea por unos pocos microsegundos, r sufre un cambio de estado que genera una se˜ nal de control y ´esta es percibida por el cron´ometro digital.
e
Lateral
r
Frontal
Figura 7.2: Esquema del fotodetector.
☎ El fotodetector debe estar dispuesto como se sugiere en la fig. 7.1, de tal forma que los postes lo atraviesen y corten el haz de luz, mientras pasa el carrito en su trayecto de un extremo al otro del carril. ☎ El borde delantero del primer poste inicia el conteo de tiempo en el cron´ometro. El borde delantero del segundo poste hace que el cron´ometro registre el tiempo transcurrido hasta ese momento, con una precisi´on del orden de las diezmil´esimas de segundo. As´ı mismo ocurrir´ a con los dem´as postes; es decir, para cada poste se registra el intervalo de tiempo transcurrido desde que se inici´o el cron´ometro hasta que pasa el poste respectivo. El cron´ometro tiene 10 memorias en las que registra los 10 intervalos de tiempo correspondientes al paso de los 11 postes.
7.4 Consideraci´ on te´ orica El sistema consta de 4 cuerpos: el carrito de masa M , la masa colgante m, la cuerda liviana y la polea liviana de baja fricci´on. Una posible aproximaci´on te´orica al problema del movimiento de dicho sistema comienza con las siguientes consideraciones: ❍ La cuerda se asume inextensible y liviana, e. d., se despreciar su masa. Con esto, su u ´ nico papel es el de unir las masa M y m, haciendo que se muevan en una direcci´on. ❍ La polea por ser liviana se puede despreciar su momento de inercia y por ser de baja fricci´ on no presenta dificultad para rotar. ❍ Como el carrito se desplaza sobre un ((colch´on de aire)), la fricci´on se reduce a niveles despreciables y el carril solo sostiene el carrito, ejerciendo una fuerza normal N. Con estas simplificaciones se puede modelar el sistema considerando s´olo el carrito M y el objeto colgante m, por tanto, act´ uan s´olo tres fuerzas externas sobre el sistema, cuyas magnitudes son: los pesos M g, mg y N . A lo largo del eje del movimiento, mg no se equilibra y, por tanto, acelera al sistema.
7-4
Los diagramas de fuerza, para cada cuerpo, se ilustran en la fig. 7.3; la tensi´on T indica la presencia de la cuerda. N´otese que T sobre M se ha tomado de igual magnitud que T sobre m, la raz´ on se debe a que se ha despreciado tanto las inercias de la cuerda y de la polea como el rozamiento en el eje de la polea. mvto N
T
mvto
M
m
T
mg
Mg (a)
(b)
Figura 7.3: Diagrama de fuerzas para: (a) masa M , (b) masa m.
La din´amica del sistema se analiza mediante las leyes de Newton: Las aceleraciones de M y m se consideran iguales porque la cuerda que los une se ha considerado inextensible. El carrito M se mueve horizontalmente, por tanto: N − Mg T
= 0 = Ma
(7.1) (7.2)
El carrito m se mueve verticalmente, por tanto: mg − T = ma
(7.3)
Al sustituir (7.2) en (7.3) se obtiene que: a=
m g m+M
(7.4)
siendo que la gravedad es constante en el espacio donde opera el sistema, mientras las masas m y M no var´ıen, la aceleraci´on del sistema permanece constante. La ec. (7.4) sugiere una variaci´ on de la aceleraci´on al variar la masa colgante m, lo que se puede estudiar experimentalmente.
7.4.1 Acerca de la medici´ on de la aceleraci´ on Te´oricamente hemos concluido que el movimiento del carrito M es uniformemente acelerado a lo largo de su trayectoria recta, sobre el carril de aire; por lo tanto, sus ecuaciones cinem´aticas, estando en el origen (x0 = 0) y en reposo (v0 = 0), son: a
=
a0
(7.5)
v
=
a0 t 1 a0 t 2
(7.6)
x =
(7.7)
A partir de estas ecuaciones se intenta obtener una expresi´ on que ayude a la interpretaci´ on y al an´alisis te´orico. Con el sistema indicado en la fig. 7.1, suponga que el carrito se suelta, partiendo del reposo. Al haber recorrido una distancia D, el borde delantero del primer poste corta el haz de luz del fotodetector. La fig. 7.4 muestra dicha distancia. Sea d la distancia entre los frentes delanteros de dos postes, t1 el tiempo transcurrido desde que se inici´o el movimiento hasta cuando el primer poste
7-5
Figura 7.4: Esquema que ilustra las distancias.
corte el haz de luz, durante el cual el carrito recorri´o una distancia D y sea t2 el tiempo transcurrido hasta cuando el otro poste corte el haz, durante el cual recorri´o una distancia D + d. De la ec. (7.7) podemos escribir que: 1 D = a0 t21 (7.8) 2 y 1 D + d = a0 t22 (7.9) 2 Ahora bien, lo que el cron´ometro mide es el intervalo de tiempo transcurrido entre el paso del primer poste y el paso del otro poste. Esto es, el cron´ometro registra la diferencia ∆t12 = t2 − t1 . Despejando t1 y t2 de (7.8) y (7.9) se calcula ∆t12 , obteniendo: r √ 2 √ ∆t12 ≡ t2 − t1 = ( D + d − D) (7.10) a0 Esta expresi´on puede ser de utilidad para la interpretaci´ on de los datos del experimento y, a su vez, sugiere una manera para medir la aceleraci´on del sistema.
7.5 Procedimiento ① Pesen M (carrito), m (portapesas) y m1 , m2 , . . . , m5 (discos que utilizar´an). ② Midan las distancias d1 , d2 , d3 , . . . , d10 , e. d., entre el frente delantero del primer poste y el frente delantero de los postes que utilizar´a. ③ Definan la posici´on del fotodetector para seleccionar la distancia D entre el frente del primer poste y el fotodetector. Tengan en cuenta que el carro debe estar acelerado mientras los postes atraviesan el fotodetector. ④ Siguiendo el procedimiento indicado en el ap´endice A o B, preparen el cron´ometro para tomar medidas. Usen como primera masa colgante a m1 y ubique el carrito en la posici´ on inicial, manteni´endolo quieto, Esperen hasta que se establezca el colch´on de aire que separar el carro de la superficie del carril. Suelten el carrito y una vez atraviese completamente el fotodetector det´engalo. Apaguen el compresor y procedan a revisar los tiempos registrados en las memorias del cron´ometro. Tomen s´olo los seis primeros datos. ⑤ Modifiquen la masa del portapesas y repita el procedimiento para las cinco masas diferentes.
7.6 An´ alisis ✑ Registren los valores de mi , M y m en la tabla 7.1. ✑ Completen la tabla 7.2 con los diferentes di y sus correspondientes ∆ti para las masas mi .
7-6 ✑ Calculen Ωi =
√
D + di −
√
D y llenen la tabla 7.3.
✑ Grafiquen, en una misma hoja milimetrada, ∆ti en funci´on de Ωi , para cada conjunto de valores obtenidos con una determinada masa colgante. Usen s´ımbolos diferentes para cada conjunto de datos. ✑ Usando m´ınimos cuadrados, obtengan a, b y r. ✑ Calculen los valores de las aceleraciones ai , para cada masa colgante, llenando la tabla 7.4. ✑ Comparen sus resultados con la ec. (7.10). ✑ Calculen Θi = mi /(mi + M ) completando la tabla 7.4. ✑ Grafiquen ai en funci´on de Θi y comparen su resultado con la ec. (7.4). ✑ Reporten el valor de g con su incertidumbre. De las preguntas y gr´aficos anteriores, hagan sus conclusiones.
7.7 Datos m1 ( )
m2 ( )
m3 (
)
m4 ( )
m5 ( )
M (
Tabla 7.1:
di ( ∆t ( m1 ∆t ( m2 ∆t ( m3 ∆t ( m4 ∆t ( m5 Ωi (
) )
m2
m2
m2
m2
m2
di ( ) ∆t ( ) m1 ∆t ( ) m2 ∆t ( ) m3 ∆t ( ) m4 ∆t (v) m5
) ) ) )
Tabla 7.3:
)
m2
m2
m2
m2
Continuaci´ on Tabla 7.2:
Tabla 7.2:
∆t (
m( )
Continuaci´ on Tabla 7.1:
)
Ωi ( )
)
mi ( )
ai ( )
Tabla 7.4:
Θi (
)
m2
CAP´ITULO
8 Determinaci´on experimental de una trayectoria
8.1 Objetivos 8.1.1 Objetivo general ✔ Obtener la ecuaci´on experimental de la trayectoria del movimiento de un bal´ın lanzado, muchas veces, desde una misma cierta altura por una pista curvada.
8.1.2 Objetivos espec´ıficos ✓ Utilizar el m´etodo de linealizaci´on para determinar la ecuaci´on de la trayectoria. ✓ Medir indirectamente la velocidad de salida del proyectil y el ´angulo de salida de la pista. ✓ Determinar los par´ametros que cuantifican la dispersi´on en los datos correspondientes al eje Y . ✓ Utilizar el m´etodo de m´ınimos cuadrados para juzgar la linealidad de la relaci´on de los datos y determinar los valores de la pendiente y del intercepto.
8.2 Equipamiento ☞ Soporte vertical (en forma de L) con ajuste.
☞ Un calibrador.
☞ Pista de aluminio curvada fija a la mesa.
☞ Flex´ometro.
☞ Cintas de papeles carb´on blanco.
☞ Un bal´ın.
☞ Cinta de enmascarar.
☞ Plomada.
8.3 Montaje experimental El sistema consta de una pista de aluminio curvada p, sobre el cual rueda un bal´ın b (proyectil) y un soporte vertical V como se ilustra en la fig. 8.1:
8.3.1 Chequeo inicial y minimizaci´ on de errores sistem´ aticos ✍ La pista de aluminio debe estar fija a la mesa; verifique que las prensas y la nuez est´en ajustadas y que la pista no presente deformaciones o tropiezos.
8-1
8-2
Figura 8.1: Esquema ilustrativo del montaje experimental y sus principales elementos.
✍ Utilice la plomada para comprobar que el soporte en forma de L presenta una superficie vertical al piso; de no estarlo, mueva los tornillos de la base del soporte hasta conseguir la verticalidad requerida.
8.4 Consideraci´ on te´ orica El movimiento del bal´ın despu´es de abandonar la pista tiene una din´amica sencilla. Despreciando el rozamiento con el aire, el movimiento est´a gobernado por el peso del bal´ın, dando como resultado una aceleraci´on constante, igual a la gravedad local. Un cuerpo lanzado con una velocidad v0 formando un ´angulo θ0 con respecto a la horizontal, en presencia de un campo gravitatorio uniforme g, describe una trayectoria en el plano formado por los vectores v0 y g. Escogiendo los ejes de tal forma que la aceleraci´on est´e en la direcci´on del eje Y , las ecuaciones del movimiento de la coordenada x ser´an las de un movimiento uniforme (no acelerado): ax = 0
(8.1)
vx = v0 cos[θ0 ] x = x0 + v0 cos[θ0 ]t
(8.2) (8.3)
Las ecuaciones de movimiento de la coordenada y ser´an las de un movimiento uniformemente acelerado (ca´ıda libre): ay = g ≡ const. vy = v0 sen[θ0 ]
1 y = y0 + v0 sen[θ0 ]t + gt2 2
(8.4) (8.5) (8.6)
Para analizar la trayectoria del bal´ın, es posible ubicar un origen de las coordenadas en el punto donde su centro de masa abandona la pista; es decir, x0 = 0 e y0 = 0. Las ecs. (8.3) y (8.6) permiten calcular las coordenadas de la part´ıcula en un tiempo cualquiera, a partir de una posici´on inicial dada, es decir: g y = tan[θ0 ]x + x2 (8.7) 2v0 cos2 [θ0 ] La ec. (8.7), sugiere una trayectoria parab´olica para el bal´ın, de la forma: y = Ax + Bx2
(8.8)
La ec. (8.8) se puede linealizar para obtener los valores de los coeficientes A y B e interpretarlos de acuerdo con (8.7).
8-3
8.5 Procedimiento ① Marquen en el piso las posiciones del soporte x0 = 0 y xm´ax que utilizar´an. ② Fijen entre x0 y xm´ax , unas diez (10) posiciones equidistantes en las que ir´an ubicando el soporte de manera secuencial a medida que avanza el experimento. ③ Coloquen la tira de papel blanco sobre la superficie vertical del soporte y c´ ubrala con la tira de papel carb´on; fije ambas tiras al soporte. ④ Ubiquen el soporte en la posici´on x0 y obtengan el registro de la posici´on y0 . ⑤ Mueva el soporte hasta la posici´on siguiente (x1 ) y registre la coordenada y1 , para tres lanzamientos. ⑥ Repitan el procedimiento anterior para cada una de las siguientes posiciones xi marcadas pero, como podr´a observar, a medida que aumenta xi hay una mayor dispersi´on en los registros de yi correspondientes y, por lo tanto, cada vez deber´a incrementar el n´ umero de lanzamientos con el objeto de medir la dispersi´on.
8.6 An´ alisis ✑ Definan como origen (y0 = 0) el primer punto (el registro m´as alto) y mida para cada valor de xi el conjunto de valores de yi correspondiente. Completen las dos primeras columnas de la tabla 8.1. ✑ Determinen para cada coordenada xi , los correspondientes valores yi . Calculen la media (1.17), sx (1.19), CV (1.20), completando las columnas 3–5. ✑ Calculen, para cada conjunto, la distancia entre el m´ınimo valor (yi,m´ın ) y el m´aximo (yi,m´ax ) de yi , e. d., ∆yi = yi,m´ax − yi,m´ın . As´ı, para cada coordenada xi se tiene una coordenada yi dada por: ∆yi yi = y i ± (8.9) 2 ✑ Comparen, por cada intervalo, el CV con la ec. (8.9). Discuta sus resultados. ✑ Hagan un gr´afico de yi en funci´on de xi con sus respectiva barras de error. ¿Qu´e tipo de gr´ afica obtuvieron? ✑ Calculen los cocientes zi = yi /xi , completando la u ´ ltima columna. ✑ Hagan un gr´afico de zi en funci´on de xi . ¿Qu´e gr´afica obtuvieron? ✑ De la gr´afica anterior obtenga los valores del intercepto, la pendiente con sus correspondientes incertidumbres. ✑ Calcule la velocidad de salida del bal´ın v0 y el ´angulo de salida θ0 . ✑ Compare sus resultados con la ec. (8.7). ✑ Reporte sus datos con la respectiva dispersi´on. De las preguntas y gr´aficos anteriores, hagan sus conclusiones.
8-4
8.7 Datos No 1
xi ( )
yi ( )
yi (
)
sx (
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tabla 8.1:
)
CV
∆yi ( )
yi /xi
CAP´ITULO
9 Colisiones
9.1 Objetivos 9.1.1 Objetivo general ✔ Comprobar el principio de conservaci´on de la cantidad de movimiento para el caso de dos cuerpos que colisionan el´astica e inel´asticamente en una dimensi´on.
9.1.2 Objetivos espec´ıficos ✓ Medir indirectamente las velocidades antes y despu´es para las colisiones el´astica e inel´ astica. ✓ Hacer consideraciones acerca del modelo te´orico desarrollado y decidir acerca del efecto de los elementos despreciados.
9.2 Equipamiento ☞ Carrito peque˜ no (masa m2 ).
☞ Carril de aire.
☞ Carrito grande (masa m1 ).
☞ Plastilina.
☞ Un chisp´ometro.
☞ Balanza.
9.3 Montaje experimental El sistema consta de un carril de aire a, dos carritos, m1 y m2 , acaballados al carril y ´este sobre una mesa firme como se ilustra en las figs. 9.1 y 9.2. Los registros de tiempo requeridos son tomados haciendo uso del chisp´ometro g. La fig. 9.1 ilustra el estudio de una colisi´on el´astica y la fig. 9.2 la inel´astica. Ambas situaciones se hacen sobre una dimensi´on y bajo la considerando que no hay fricci´ on entre los cuerpos que se mueven (carritos) y la superficie por la cual se deslizan (carril de aire).
9.3.1 Chequeo inicial y minimizaci´ on de errores sistem´ aticos ✍ Para aproximarnos a las condiciones de sistema aislado, es importante que el carril de aire se encuentre muy bien nivelado. Cerci´orese de cumplir esta condici´on colocando el carrito en diferentes partes del carril y, con el aire actuando, su´eltelo para observar su comportamiento. Es posible que detecte desniveles locales (valles o crestas), pero si el carro, por s´ı solo, no logra 9-1
9-2
Figura 9.1: Esquema experimental de un choque el´ astico.
Figura 9.2: Esquema experimental de un choque inel´ astico.
velocidades apreciables podr´a determinar si el carril, en promedio, est´a nivelado. De no estarlo, proceda a nivelarlo mediante el ajuste de los tornillos del soporte. ✍ El chisp´ometro es un cron´ometro de chispas. El tiempo transcurrido entre chispa y chispa es de 1/60 de segundo; no obstante, usted puede tomar como unidad de tiempo el espacio entre una, dos, cinco, etc. marcas dejadas por ´el.
9.4 Consideraci´ on te´ orica La cantidad de movimiento lineal o momentum p, se define como la masa del cuerpo m en movimiento veces su velocidad v, as´ı: p = mv (9.1) Consideremos un sistema de dos part´ıculas donde el momentum total antes del choque es: pt = p1 + p2 = m1 v1 + m2 v2
(9.2)
Para un sistema aislado, el momentum total del sistema despu´es del choque es (ver fig. 9.2): p′t = p′1 + p′2 = m1 v1′ + m2 v2′
(9.3)
9.4.1 Colisi´ on el´ astica Experimentalmente se puede encontrar que pt = p′t , lo cual significa que El momentum total de un sistema compuesto de dos part´ıculas entre las que s´olo hay la interacci´on mutua permanece constante. Para el caso del sistema aislado de dos part´ıculas tendremos que: p1 + p2 = p′1 + p′2
(9.4)
9-3
9.4.2 Colisi´ on inel´ astica En este caso la energ´ıa cin´etica de las part´ıculas o cuerpos interactuantes no permanece constante y por lo tanto puede transformarse en otras formas de energ´ıa. En el caso de una colisi´ on 1-D perfectamente inel´astica, el principio de conservaci´on del momentum implica que: m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )v′
(9.5)
donde, v1 y v2 son las velocidades de los carritos antes de la colisi´on. Despu´es del choque, los dos carritos se mueven como uno solo de masa (m1 + m2 ) con velocidad v′ . En el dise˜ no experimental mostrado en la fig. 9.2, adoptaremos la situaci´on en la cual v2 = 0, de modo que la ec. (9.5) permite obtener la relaci´on v1 =
m1 + m2 ′ v m1
(9.6)
la cual predice la forma como se relacionan las velocidades antes y despu´es del choque.
9.5 Procedimiento 9.5.1 Choque el´ astico ① Pesen los carritos por separado. ② Una vez que el carril est´e nivelado impulse el carrito de masa m1 con una velocidad suficientemente alta de tal manera que las marcas dejadas en el papel termosensible por el chisp´ ometro, correspondientes a los dos carritos, puedan ser perfectamente diferenciables. Deben tener cuidado que al impulsar el carrito no vaya a recibir una descarga el´ectrica. ③ Doble los alambres de los carritos de tal manera que las chispas de uno de ellos deje sus huellas en la parte superior de la cinta termosensible y las huellas de las chispas del otro se registren en la parte inferior de la cinta. ④ La posici´on del carrito m2 antes del choque debe ser escogida de tal manera, que haya un buen espacio para ser recorrido por el carrito m1 antes del choque y que quede espacio adecuado para el registro del movimiento de ambos carritos despu´es del choque. ⑤ Cuando est´e seguro de que todo funciona adecuadamente, coloque la cinta termosensible y empiece a registrar las huellas de camino de los carros. ⑥ El chisp´ometro debe estar conectado desde que se impulsa el carrito m1 , antes del choque, hasta el momento en que justo el carro m2 llegue al otro extremo del carril de aire. ⑦ Repitan la toma de datos una o dos veces.
9.5.2 Choque inel´ astico ❶ Pesen los carritos juntos (uno de ellos tiene platillina). ❷ Acaballen los carritos al carril. ❸ Cerci´orese que los carritos queden unidos despu´es de la colisi´on. ❹ Procedan a montar la cinta para ejecutar el experimento. ❺ Repitan la toma de datos una o dos veces.
9-4
9.6 An´ alisis 9.6.1 Choque el´ astico ✑ Regitren los valores de m1 y m2 en la tabla 9.1. ✑ Con las cinta registradas de puntos escojan de 8 a 10 intervalos, llenando las tablas 9.2 y 9.3. ✑ En papel milimetrado representen gr´aficamente la distancia recorrida por ambos carros en funci´on de la unidad del tiempo antes y despu´es del choque. ¿Qu´e representa la pendiente de cada una de estas curvas? ✑ Calculen la cantidad de movimiento del sistema de los dos carritos antes y despu´es del choque. ✑ Calculen su respectivo error. ¿Hay conservaci´on de la cantidad de movimiento en los dos casos? Explique.
9.6.2 Choque inel´ astico ✒ Regitren los valores de m1 + m2 en la tabla 9.1. Comparen con los valores de m1 y m2 por separado. ✒ Repitan el mismo procedimiento seguido para la colisi´on el´astica, completando las tablas 9.4 y 9.5. De las preguntas y gr´aficos anteriores, hagan sus conclusiones.
9.7 Datos m1 ( )
m2 (
)
m1 + m2 (
)
Tabla 9.1:
xi (
)
ti (
Tabla 9.2:
)
xi ( )
ti ( )
Tabla 9.3:
xi ( )
ti (
Tabla 9.4:
)
xi ( )
ti ( )
Tabla 9.5:
CAP´ITULO
10 Coeficiente de fricci´on
10.1 Objetivos 10.1.-1 Objetivo general ✔ Medir el coeficiente de fricci´on entre dos bloques de madera.
10.1.0 Objetivos espec´ıficos ✓ Comparar los coeficientes de fricci´on est´atico y din´amico. ✓ Hacer consideraciones acerca del modelo te´orico desarrollado y decidir acerca del efecto de los elementos despreciados.
10.2 Equipamiento ☞ Plano inclinado de madera con polea.
☞ Portapesas.
☞ Taco de madera.
☞ Dulceabrigo.
☞ Transportador.
☞ Nivel.
☞ Juego de pesas.
10.3 Montaje experimental El sistema consta de un plano inclinado q, de uno a dos bloques de masas m1 y m2 , como se ilustra en la fig. 10.1.
10.3.-1 Chequeo inicial y minimizaci´ on de errores sistem´ aticos ✍ Limpien bien las superficies del plano inclinado como el taco de madera m1 con el dulceabrigo. ✍ Cerciorense que el plano inclinado est´a nivelado, para ello use el nivel.
10-1
10-2
fe
N
N
q
m1
fd m1 g
T m1
m2
m1 g
θ
T
q
m2 g
θ (a)
(b) Figura 10.1: a) Montaje para µe . b) Montaje para µd .
10.4 Consideraci´ on te´ orica 10.4.-1 Coeficiente de fricci´ on est´ atico Del diagrama de fuerzas de la fig. 10.1a se tiene que: m1 g sen[θ] − fe = 0
N − m1 g cos[θ] = 0
(10.1) (10.2)
y por lo tanto el coeficiente de fricci´on est´atico queda: µe = tan[θ]
(10.3)
siendo θ el ´angulo m´ınimo para que el bloque se ponga en movimiento con respecto al plano.
10.4.0 Coeficiente de fricci´ on din´ amico Del diagrama de fuerzas de la fig. 10.1b, cuando m1 se mueve hacia arriba del plano inclinado con velocidad constante, se tiene que m2 g − m1 g sen[θ] − fd = 0
(10.4)
siendo m2 la masa m´ınima necesaria para que el cuerpo se mueva hacia arriba con velocidad constante. Cuando el m2 se mueve hacia abajo del plano con velocidad constante, se tiene que m1 g sen[θ] − m′2 g − fd = 0
(10.5)
siendo m′2 la masa necesaria para que el cuerpo se mueva hacia abajo con velocidad constante. De las ecs. (10.4) y (10.5) se obtiene que el coeficiente de fricci´on din´amico µd queda: µd =
m2 − m′2 2m1 cos[θ]
(10.6)
Igualando fd en las ecs. (10.4) y (10.5), se obtiene la siguiente relaci´on: m1 sen[θ] =
m2 + m′2 2
(10.7)
Combinando las ecs. (10.6), (10.7) y si θ = 45◦ , queda que µd =
m2 − m′2 m2 + m′2
(10.8)
10-3
10.5 Procedimiento 10.5.-1 Coeficiente de fricci´ on est´ atico ① Hagan el montaje de la fig. 10.1a, seleccionando el plano bajo un ´angulo θ peque˜ no y colocando, en cualquier punto del plano, el taco de madera. ② Hagan variar el ´angulo hasta conseguir que el cuerpo inicie el movimiento. En estas condiciones hallen el valor del ´angulo. ③ Repitan el procedimiento anterior 5 veces. Encuentren el promedio del ´angulo. ④ Pesen y anoten el cuerpo m1 . ⑤ Coloquen pesas (Mi ) sobre m1 y repitan los dos primeros pasos anteriores.
10.5.0 Coeficiente de fricci´ on din´ amico ❶ Realicen el montaje de la fig. 10.1b, la inclinaci´on debe ser de 45◦ . ❷ Coloquen una masa m2 (para cada masa proporcione una peque˜ na sacudida) hasta que el bloque se mueva con velocidad constante hacia arriba, anote este valor. ❸ Pesen el cuerpo m2 . ❹ Coloquen una masa m′2 hasta que el bloque se mueva hacia abajo con velocidad constante. ❺ Pesen el cuerpo m′2 .
10.6 An´ alisis 10.6.-1 Coeficiente de fricci´ on est´ atico ✑ Completen la tabla 10.1 para el coeficiente de fricci´on est´ atico. ✑ Con los datos de la tabla 10.1 encuentren el ´angulo θ y µe con su respectiva incertidumbre. ✑ ¿Por qu´e el coeficiente de fricci´on est´atico no permanece constante cuando se realizan varias mediciones con el mismo cuerpo? ✑ ¿Qu´e efecto tiene el ´area de la superficie y el peso del cuerpo en el coeficiente de fricci´ on est´ atico? ✑ Reporten sus datos con la respectiva dispersi´on.
10.6.0 Coeficiente de fricci´ on din´ amico ✒ Repitan los tres primeros pasos anteriores, llenando la tabla 10.2. ✒ ¿Qu´e efecto tendr´a la polea en la precisi´on del coeficiente de fricci´on din´amico? ✒ Comprueben la relaci´on (10.7). Expliquen sus resultados. ✒ Reporten sus datos con la respectiva dispersi´on. De las preguntas y gr´aficos anteriores, hagan sus conclusiones.
10-4
10.7 Datos m1
M1 ( )
M2 ( )
M3 ( )
M4 ( )
Tabla 10.1:
m1 (
)
m2 ( )
Tabla 10.2:
m′2 (v)
θ( )
CAP´ITULO
11 Fuerzas concurrentes
11.1 Objetivos 11.1.-1 Objetivo general ✔ Estudiar el comportamiento de cada una de las fuerzas que intervienen tanto perpendiculares, no perpendiculares, aproximadamente colineales como antiparalelas.
11.1.0 Objetivos espec´ıficos ✓ Encontrar las direcciones y magnitudes de cada una de las fuerzas tanto perpendiculares, no perpendiculares, aproximadamente colineales como antiparalelas. ✓ Hacer consideraciones acerca del modelo te´orico desarrollado y decidir acerca del efecto de los elementos despreciados.
11.2 Equipamiento ☞ Anillo con tres hilos ligados.
☞ Nivel.
☞ Prensas con sus poleas.
☞ Juegos de pesas.
☞ Mesa de fuerzas.
☞ Portapesas.
11.3 Montaje experimental El sistema consta de una mesa de fuerzas, cuerdas y portapesas como se ilustra en la fig. 11.1.Esta mesa de fuerza sirve para el estudio de dos o m´as fuerzas concurrentes que pueden ser perpendiculares, no perpendiculares, aproximadamente colineales y antiparalelas, aplicadas sobre un punto (un anillo) mediante cuerdas de masa despreciable. Cada cuerda pasa sobre una polea que se fija en cualquier punto de la periferia circular de la mesa por medio de una prensa. En los extremos de las cuerdas se ata un portapesas al que se le adicionan pesos. La mesa circular de fuerzas posee un punto central O y en el borde una escala angular en grados que permite medir la direcci´on de las fuerzas con respecto al sistema de referencia previamente escogido. Para realizar el an´alisis de fuerzas asumiremos que los ejes cartesianos est´an centrados en el punto O.
11-1
11-2
Figura 11.1: Mesa de fuerza.
11.3.-1 Chequeo inicial y minimizaci´ on de errores sistem´ aticos ✍ Cerci´orense que mesa de fuerza est´e equilibrada, para ello use un nivel. ✍ Es conveniente que la magnitud FA (portapesas + masas) sea aproximadamente de 150 g y la de FB de 250 g. ✍ Para minimizar la fricci´on golpear suavemente la mesa de madera, recuerden hay muchos puntos de rozamiento que pueden darle errores. ✍ Cuando logren un equilibrio para hallar una fuerza dada (FE , θE ) es conveniente determinar los valores extremos, tanto en los ´angulos como en las magnitudes de las fuerzas, para los cuales la argolla muestra alg´ un desplazamiento con respecto al centro apreciable. Midiendo estos valores extremos se calcula la incertidumbre tanto para la fuerza como para el ´angulo as´ı: Fm´ax − Fm´ın 2 θm´ax − θm´ın ∆θ = 2
∆F =
11.4 Consideraci´ on te´ orica Sean Fm fuerzas orientadas en un plano horizontal y descritas seg´ un sus componentes como: Fm = Fm cos[θ]ˆ ı + Fm sen[θ]ˆ m = A, B, . . .
(11.1)
Sea FE la fuerza equilibrante del sistema y FR la fuerza resultante de la superposici´on de las fuerzas FA y FB . Para calcular la magnitud de la fuerza resultante se obtiene primero sus componentes tanto en la direcci´on X como en Y , como se ilustra en la fig 11.2a y b, e.d.: FRx = FA cos[θA ] + FB cos[θB ]
(11.2)
FRy = FA sen[θA ] + FB sen[θB ]
(11.3)
11-3 Y
Y FR
FR
FA
FB θR θE
FA
θR
X
θA θE
θB
FE
FB
X
FE
(b)
(a)
Figura 11.2: Diagrama de fuerzas: (a) FA y FB perpendiculares. (b) FA y FB no perpendiculares.
Por el teorema de Pit´agoras se obtiene: FR = y el ´angulo de FR es:
q 2 + F2 FRx Ry −1
θR = tan
FRy FRx
(11.4)
(11.5)
Un sistema estar´a en equilibrio cuando la sumatoria de las fuerzas sea igual a cero. En nuestro caso el anillo debe ser conc´entrico con el eje de la mesa y no debe permitirse su desplazamiento. FA + FB + FE = 0 o
FR + FE = 0
(11.6)
11.5 Procedimiento 11.5.-1 Procedimiento para fuerzas perpendiculares ① Con el anillo centrado en el eje de la mesa, coloque en ´angulo recto dos hilos que pasen por las poleas con los portapesas en sus extremos, como se muestra en la fig. 11.2a. Las fuerzas que se utilizaran se llamam FA y FB (portapesa + masa). ② Determinen la fuerza equilibrante FE , es decir, calculen experimentalmente el ´angulo θE , tensionando la cuerda con la mano, produciendo peque˜ nos desplazamientos del anillo. Simult´ aneamente a este desplazamiento vaya cambiando lentamente la direcci´on de la cuerda. ③ Tomen como ´angulo, aquel con el que le movimiento del anillo es tal que su centro pasa repetidas veces por el eje de la mesa. Efect´ uen este procedimiento varias veces girando en ambas direcciones y promedien. ④ Pongan la polea en la posici´on angular promediada encontrada θE . En el extremo de la cuerda coloque el portapesas y agregue masas hasta lograr el equilibrio. ⑤ Pesen simult´aneamente el portapesas con las masas que logro el equilibrio.
11.5.0 Procedimiento para fuerzas no perpendiculares ❶ Las fuerzas FA y FB deben formar un ´angulo cualquiera menor a 180◦ y diferente de 90◦ . ❷ Empleen el procedimiento anterior para calcular el ´angulo θE y la magnitud FE .
11-4
11.5.1 Procedimiento para fuerzas aproximadamente colineales ➀ Las fuerzas FA y FB deben estar en la misma direcci´on, pero con una diferencia entre ellas de 10◦ (esto garantiza que sean lo m´as paralelas posible). ➁ Calculen la fuerza equilibrante usando el procedimiento anterior.
11.5.2 Procedimiento para fuerzas aproximadamente antiparalelas ➊ Las fuerzas FA y FB deben estar en direcci´on opuesta, pero con una diferencia entre ellas de 10◦ como se ilustra en la fig. 11.2b. ➋ Calculen la fuerza equilibrante usando el procedimiento anterior.
11.6 An´ alisis ✑ Calculen experimentalmente la magnitud FR y la direcci´on θR , para las fuerzas perpendiculares, no perpendiculares, aproximadamente colineales, aproximadamente antiparalelas completando las tablas 11.1–11.4, respectivamente. ✑ Calculen anal´ıticamente la magnitud FR y la direcci´on θR , para las fuerzas perpendiculares, no perpendiculares, aproximadamente colineales, aproximadamente antiparalelas completando las tablas 11.1–11.4, respectivamente. ✑ Comparen las magnitudes de FR y FE al igual que los ´angulos θR y θE . ✑ Reporten sus datos con la respectiva dispersi´on. De las preguntas y gr´aficos anteriores, hagan sus conclusiones.
11.7 Datos θE (
)
FE ( )
θR ( )
FR ( )
∆θ (
)
∆F ( )
∆θ (
)
∆F ( )
∆θ (
)
∆F ( )
∆θ (
)
∆F ( )
Tabla 11.1:
θE (
)
FE ( )
θR ( )
FR ( )
Tabla 11.2:
θE (
)
FE ( )
θR ( )
FR ( )
Tabla 11.3:
θE (
)
FE ( )
θR ( )
FR ( )
Tabla 11.4:
CAP´ITULO
12 Comportamiento de la energ´ıa mec´anica
12.1 Objetivos 12.1.1 Objetivo general ✔ Analizar los cambios de la energ´ıa mec´anica total del sistema, compuesta de tres tipos de energ´ıa: potencial el´astica, potencial gravitatoria y cin´etica.
12.1.2 Objetivos espec´ıficos ✓ Determinar el valor de la constante el´astica de un resorte helicoidal bajo la acci´on de una fuerza gravitacional. ✓ Determinar la velocidad media que se mueve bajo la acci´on de una fuerza el´astica, en presencia del campo gravitacional.
12.2 Equipamiento ☞ Portapesas especial, con gancho inferior y borde chaflanado.
☞ Juego de pesas.
☞ Tiras de papel termosensible de 1 m de largo.
☞ Chisp´ometro.
☞ Soporte con resorte helicoidal.
☞ Flex´ometro. ☞ Balanza.
☞ Cinta de enmascarar.
12.3 Montaje experimental El sistema consiste de un resorte helicoidal, κ; unido en su extremo superior al tr´ıpode y en su inferior se cuelga un portapesas, p, al cual se le puede colocar masas adicionales, constituyendo la masa total del sistema, M . La base del portapesas es un disco con su borde chaflanado para precisar el lugar por donde salta la chispa y mejorar los registros. Al soporte de aluminio, S, en forma de L, en su superficie vertical frontal se adhiere una cinta termosensible, como se ilustra en la fig. 12.1.
12-1
12-2
κ
−
+
S M p
A Figura 12.1: Esquema ilustrativo para el estudio de las energ´ıas.
12.3.1 Chequeo inicial y minimizaci´ on de errores sistem´ aticos ✍ El chisp´ometro provee un alto voltaje, peri´odico, suficiente para hacer pasar carga el´ectrica (((saltar chispa))), a trav´es del aire, en distancias cortas. Se utiliza para registrar el movimiento del sistema sobre un papel termosensible, el cual cambia de color al ser calentado localmente por el paso de carga. En el extremo inferior del soporte vertical hay un tornillo largo A, que sirve para anclar el portapesas. ✍ Conecten el chisp´ometro al tomacorriente de 110 V ac. El terminal positivo debe conectarse a la parte superior del resorte y el terminal al soporte vertical como se ilustra en la fig. 12.1. Cerci´oresen que la frecuencia de la chispa sea 60 Hz. ✍ Un peque˜ no bot´on con forma de palanca, en la cara frontal del cron´ometro, activa la chispa mientras se mantenga movida hacia abajo. Prueben que haya chispa entre la superficie frontal del soporte y el disco del portapesas.
12.4 Consideraci´ on te´ orica 12.4.1 Acerca del resorte lineal Un resorte lineal es aquel que ejerce una fuerza, Fr , proporcional a la distancia que se deforma, ya sea que se estire o se comprima. El sentido de dicha fuerza es, siempre, contrario al sentido de la deformaci´on sufrida. Designando por x la distancia que se estira o comprime el resorte, a partir de su longitud natural, Fr puede expresarse como: Fr = −κx (12.1) siendo κ la constante de proporcionalidad cuya magnitud depender´a de las caracter´ısticas del resorte. Para que un resorte, anclado por su extremo superior, pueda soportar un objeto atado en el extremo inferior, necesita estar estirado una cierta distancia. En el equilibrio (fig. 12.2), Fr = Fg ≡ mg
(12.2)
12-3
Fr
mg Figura 12.2: Resorte en equilibrio.
La cantidad de trabajo efectuado sobre el resorte por la fuerza Fr cuando desplaza el extremo del resorte desde x0 hasta una distancia xf cualquiera es; Z Z xf Z xf w = Fr · dr = Fr dx = −κ xdx (12.3) x0
x0
o sea que: w=−
1 2 1 2 κx − κx 2 f 2 0
(12.4)
donde el signo menos significa que el trabajo es hecho por el resorte. La cantidad κx2 /2 se interpreta como la cantidad de energ´ıa potencial que posee el resorte por haber sido deformado una distancia x. ´stica y se escribe EP E . Dicha cantidad se denomina energ´ıa potencial ela
12.4.2 Acerca de la din´ amica del sistema masa-resorte El sistema masa-resorte consta de un resorte el´astico, fijo por uno de sus extremos. De su extremo libre pende un objeto de masa m, en presencia del campo gravitatorio terrestre. El sistema puede estar en equilibrio, como en la fig. 12.2, y podr´a permanecer en equilibrio indefinidamente. Sin embargo, un agente externo puede bajar la masa m estirando el resorte m´as all´a del punto de equilibrio, donde la fuerza el´astica se hace mayor que la fuerza gravitatoria. El agente externo realizar´a un trabajo hecho sobre la masa m y est´a dado por: w = −(mgyf − mgy0 ) (12.5) donde el signo menos significa que el trabajo es hecho por la masa m, g es la gravedad e y es la distancia vertical a un punto de referencia arbitrario y = 0. La cantidad mgy se interpreta como la cantidad de energ´ıa potencial gravitacional que posee la masa m por haber sido levantada una distancia y. Dicha cantidad se denomina energ´ıa potencial gravitatoria y se escribe EP G . Cuando la fuerza externa libera la masa aparecer´a un movimiento gobernado por el desequilibrio de fuerzas y el sistema comenzar´a a oscilar de manera peri´odica alrededor del punto de equilibrio. El sistema oscilar´a muchas veces antes de volver al equilibrio. Se detendr´a una vez que la energ´ıa entregada al sistema, por el agente externo, se disipe en los alrededores. En esta din´amica se debe considerar, como m´ınimo tres fuerzas: la del resorte Fr , la gravitacional mg y la de fricci´on con el aire. Esta u ´ ltima, sin embargo, puede ser peque˜ na y despreciarse. Tambi´en puede ser posible despreciar la masa del resorte, por tanto, las leyes de Newton permiten encontrar la relaci´on entre aceleraci´ on resultante, con las fuerzas que intervienen, as´ı: Fr − mg = ma
(12.6)
12-4
La ec. (12.5) muestra que la aceleraci´on no puede ser constante por cuanto la fuerza Fr va variando con la altura. Esto hace que la ecuaci´on sea diferencial y su soluci´on requiera conceptos que no est´ an a la mano. Sin embargo, el an´alisis energ´etico del sistema es sencillo. Recordando que el sistema masa-resorte realiza dos trabajos: uno, hecho por el resorte, debido a Fr y, dos, hecho por la masa, debido a Fg . El trabajo total ser´a la suma de estos dos trabajos, e. d., 1 2 κxf + mgy (12.7) w=− 2 Por ser ambas fuerzas conservativas, el trabajo realizado sobre m se puede calcular mediante el cambio de sus energ´ıas potenciales el´astica y gravitatoria, respectivamente: w = −∆EP G − ∆EP E
(12.8)
De otro lado, el sistema tiene una velocidad y, por tanto, adquiere una energ´ıa cin´etica EC , la cual se relaciona con w a trav´es del teorema del trabajo y la energ´ıa: El trabajo realizado por las fuerzas que act´ uan sobre un objeto es igual al cambio de la energ´ıa cin´etica total de dicho objeto. o sea: w = ∆EC
(12.9)
EC = −∆EP G − ∆EP E
(12.10)
De las ecs. (12.7)–(12.9) se tiene que:
Si se consideran dos instantes del movimiento, t1 y t2 , para los que la energ´ıa cin´etica sea EC1 y EC2 , la energ´ıa potencial gravitatoria sea EP G1 y EP G2 y la energ´ıa potencial el´astica sea EP E1 y EP E2 , respectivamente, la ec. (12.10) se puede escribir de la siguiente manera: EC2 − EC1 = −(EP G2 − EP G1 ) − (EP E2 − EP E1 )
(12.11)
reordenando, se obtiene que: EC1 + EP G1 + EP E1 = EC2 + EP G2 + EP E2
(12.12)
Esta ecuaci´on muestra que la suma de la energ´ıa cin´etica y de las energ´ıas potenciales permanece igual en el tiempo. Esto, como consecuencia de que las fuerzas que intervienen sean conservativas. Llamando energ´ıa total mec´anica a la suma de energ´ıa cin´etica y de energ´ıas potenciales, es decir, Et = EC + EP G + EP E
(12.13)
el resultado (12.12) se puede escribir abreviadamente as´ı: Et1 = Et2
(12.14)
´ n de la energ´ıa meca ´nica. Esta ecuaci´on constituye el denominado principio de conservacio De la ec. (12.12) podemos calcular la energ´ıa total del sistema en cualquier instante si conocemos la velocidad de la masa, su posici´on respecto del origen y la elongaci´on del resorte.
12.5 Procedimiento 12.5.1 Determinaci´ on de la constante el´ astica del resorte ① Coloquen una tira de papel termosensible, sin arrugas, sobre la superficie vertical del soporte, con su cara sensible hacia el exterior y coloque el soporte.
12-5 ② A˜ nadan suficientes masas al portapesas hasta lograr que el disco est´e unos 2 cm por debajo del borde superior del soporte vertical. Ubiquen el soporte a una distancia adecuada para que salte la chispa. ③ Enciendan el chisp´ometro y, con el disco en reposo, haga saltar la chispa. Esta marca ser´ a el registro de la elongaci´on del resorte correspondiente al peso inicialmente utilizado. ④ A continuaci´on, sin accionar el chisp´ometro, agreguen una masa de 50 g. Cuando el disco logre el reposo, accione el chisp´ometro y marque la nueva posici´ on. ⑤ Repitan el procedimiento anterior agregando masas de 50 g hasta lograr la mayor elongaci´ on posible. ⑥ Retiren la cinta termosensible y midan la elongaci´on del resorte
12.5.2 Registro del movimiento ascendente del sistema masa-resorte: La fig. 12.3 ilustra de manera esquem´atica la geometr´ıa del montaje experimental:
x0
xm
x
L
H
h
L y0
(a)
(b)
(c)
Figura 12.3: (a) x′0 es la longitud inicial del resorte y H la distancia entre su extremo inferior y el piso. (b) Ilustraci´ on de una posici´ on cualquiera en equilibrio. (c) Configuraci´ on inicial para el registro del movimiento ascendente.
❶ A˜ nadan masa al portapesas hasta lograr la posici´on que se muestra en la fig. 12.3b (cercano a la mitad de la altura del soporte vertical). Amarre las masas y el portapesas para evitar que se caigan cuando se est´en moviendo. ❷ Halen la masa colgante hasta el tornillo A como indica la 12.3c. Mant´engalo en dicha posici´ on, sin tocar el portapesas ni el soporte de aluminio. Encienda el chisp´ometro y permita que salte la chispa continuamente. ❸ Suelten el portapesas y obs´ervenlo mientras sube; si el soporte vertical est´a bien ubicado, deber´a notar que la chispa salta a todo lo largo del soporte mientras va subiendo, y que no se producen roces entre el borde del disco y la superficie del soporte. Desactive la chispa justo antes de que el portapesas llega a su m´axima altura.
12-6 ❹ Sin mover el soporte, adhieran una tira de papel termosensible a su superficie frontal y repita el procedimiento anterior. ❺ Desconecten el chisp´ometro. Remuevan la tira de papel del soporte. Retire el portapesas y, sin despegar las masas adicionales, determine la masa total colgante y reg´ıstrela.
12.6 An´ alisis 12.6.1 Determinaci´ on de la constante el´ astica del resorte ✑ Tabulen sus datos de fuerza aplicada al resorte y de elongaci´on en la tabla 12.1. ✑ ¿Es posible tomar el primer punto como cero elongaci´on y cero fuerza? ¿Por qu´e? ✑ Grafiquen la fuerza gravitacional (Fg = mg) en funci´on de la elongaci´on. ✑ Encuentren la constante del resorte y su incertidumbre.
12.6.2 Registro del movimiento ascendente del sistema masa-resorte ✒ Determinen la masa total colgante y reg´ıstrenla. ✒ Tabulen sus datos de posici´on y tiempo distribuidos en toda la cinta y complete la tabla 12.2. ✒ Hagan una gr´afica de posici´on como funci´on del tiempo y calculen las velocidades medias, siguiendo el algoritmo representado en la fig. 12.4. ✒ Tomen como h = 0 el punto m´as bajo y tenga en cuenta que entre punto y punto hay 1/60 de segundo.
12.6.3 Determinaci´ on de la velocidad media En la fig. 12.4, se ha ejemplificado el caso para determinar la velocidad media que corresponde al tiempo t2 : Se calcula como la pendiente de los puntos (t3 , y3 ) y (t1 , y1 ), as´ı: v2 =
y3 − y1 t3 − t1
Y ∆t y3 ∆y y2 y1 t t1
t2
t3
Figura 12.4: Determinaci´ on de la velocidad instant´ anea.
✑ Utilicen el algoritmo anterior para calcular las velocidades instant´aneas correspondientes a los instantes registrados.
12-7 ✑ Calculen los tipos de energ´ıa, completando la tabla 12.3. ✑ En una hoja de papel milimetrado, escogiendo una escala de energ´ıa adecuada, representen el comportamiento de las cuatro energ´ıas en funci´on del tiempo. ✑ Reporten sus datos con la respectiva dispersi´on. De las preguntas y gr´aficos anteriores, hagan sus conclusiones.
12.7 Datos m
x( )
Tabla 12.1:
t( )
v′ (
h( )
)
Tabla 12.2:
EC ( )
EP G (
)
Tabla 12.3:
EP E (
)
CAP´ITULO
13 Energ´ıas potencial gravitacional y cin´etica
13.1 Objetivos 13.1.1 Objetivo general ✔ Estudiar la ley de la conservaci´on de la energ´ıa mec´anica.
13.1.2 Objetivos espec´ıficos ✓ Observar la variaci´on de la energ´ıa cin´etica en funci´on de la energ´ıa potencial gravitacional. ✓ Observar la variaci´on del alcance horizontal en funci´on de la energ´ıa cin´etica inicial en un tiro parab´olico de una part´ıcula.
13.2 Equipamiento ☞ Cuchilla de afeitar.
☞ Bal´ın de acero.
☞ Papel milimetrado.
☞ Papel carb´on.
☞ Soporte vertical.
☞ Regla.
☞ Plano met´alico.
☞ Hilo.
13.3 Montaje experimental El sistema es un plano met´alico q, un p´endulo formado por un bal´ın suspendido de un hilo y una cuchilla de afeitar en el punto A, como se ilustra en la figura 13.1. El filo de la cuchilla est´ a dispuesto de tal forma que corte el hilo cuando el bal´ın llegue a A, despu´es de soltarse desde una altura h.
13.3.1 Chequeo inicial y minimizaci´ on de errores sistem´ aticos ✍ El soporte vertical y la gu´ıa del plano met´alico deben estar fijos a la mesa. ✍ Apriete bien la nuez de la varilla donde pende el hilo. ✍ El plano met´alico se debe colocar de tal forma que el plano del movimiento del bal´ın coincida con ´el. Esta verificaci´on debe hacerse cada vez que va a liberar el bal´ın desde una altura h.
13-1
13-2
q
A
v
h
y x Figura 13.1: Esquema del montaje experimental.
13.4 Consideraci´ on te´ orica La suma de las energ´ıas cin´etica y potencial gravitacional de un objeto de masa m que se encuentra ´nica E, esto es: en un campo gravitacional se conserva en el tiempo y se conoce como energ´ıa meca E =K +U
(13.1)
donde K la energ´ıa cin´etica dada por:
1 mv 2 2 siendo v la velocidad del objeto y U es la energ´ıa potencial gravitacional dada por: K=
U = mgh
(13.2)
(13.3)
con g la aceleraci´on de la gravedad y h la altura a la cual se encuentra el objeto, medida desde el nivel de referencia que se use para determinar la energ´ıa potencial. Entonces para un objeto que pasa de una situaci´on inicial i a una final f , es posible aplicar la ley de la conservaci´on de la energ´ıa en la forma K i + Ui = K f + Uf ,
esto es,
1 1 mv 2 + mghi = mvf2 + mghf 2 i 2
(13.4)
Como habr´a observado, a medida que h se incrementa, el alcance horizontal del bal´ın x, aumenta y cada vez que se aumenta h, es decir, cada vez que aumenta la energ´ıa potencial gravitacional del bal´ın, tambi´en aumenta la velocidad con que ´este abandona el punto A. Esto significa que x crece con la velocidad del bal´ın en ese punto. Entonces si x crece con la velocidad del bal´ın en el punto A, se podr´ıa pensar que x crece con la energ´ıa cin´etica que el bal´ın ha adquirido en A. La ley de la conservaci´on de la energ´ıa establece que la energ´ıa cin´etica del bal´ın en el punto A, mv 2 /2, es igual a la energ´ıa potencial gravitacional del bal´ın antes de ser liberado, mgh, medida desde la horizontal que pasa por A, esto es 1 mgh = mv 2 (13.5) 2 Adem´as, una part´ıcula describe una trayectoria parab´olica el alcance horizontal x, est´a dado por x = vt,
(13.6)
donde v es la componente horizontal de la velocidad inicial del bal´ın cuando pasa por el punto A y t es el tiempo de vuelo de la part´ıcula. La altura y que desciende la part´ıcula desde el punto A, est´ a dado por 1 y = gt2 (13.7) 2
13-3
De estas dos u ´ ltimas ecuaciones se obtiene v2 =
gx2 2y
(13.8)
Reemplazando esta expresi´on para v 2 en la ec. (13.2) se obtiene para h: h=
x2 4y
(13.9)
13.5 Procedimiento ① Suelten el bal´ın desde una altura h y cuando pasa por el punto A, la cuchilla corta el hilo y el bal´ın sigue hasta tocar el suelo en el punto x, como se muestra en la fig. 13.1. Recuerde que el plano del movimiento del bal´ın debe ser paralelo al del plano met´alico, donde se determinar´ a la altura h de la cual se libera el bal´ın. ② Determinen la altura h, desde la cual suelta el bal´ın, en la hoja de papel que adhieren al plano met´alico coincidente con la trayectoria del bal´ın desde que lo suelta hasta que llega al punto A. ③ Para un mismo valor de h, liberen el bal´ın al menos tres veces y determinen el valor de x. ④ Tomen al menos 6 valores diferentes de h y repitan el procedimiento anterior.
13.6 An´ alisis ✑ Midan la altura y. ✑ Midan las alturas h y las respectivas distancias x Completando la tabla 13.1. ✑ Al soltar el bal´ın desde la altura h, ¿qu´e tipo de trayectoria sigue el bal´ın despu´es de abandonar el punto A? ✑ Para un mismo valor de h, ¿observan alguna dispersi´on en el valor de x? ✑ ¿El alcance horizontal x depende de la altura y? ✑ A partir de sus datos de la tabla 13.1, grafiquen h en funci´on de x y encuentren la relaci´ on matem´atica entre h y x, es decir, h = f (x). ✑ En caso que obtenga una curva, lineal´ızenla. ¿Cu´al es el valor de la pendiente de esta l´ınea recta? ¿Cu´al es el significado f´ısico? ✑ Para h = f (x2 ) a partir de sus mediciones experimentales, ¿est´a de acuerdo con la ley de la conservaci´on de la energ´ıa? De las preguntas y gr´aficos anteriores, hagan sus conclusiones.
13.7 Datos h( ) x( )
ola
ola
ola
ola
ola
ola
ola
Tabla 13.1:
ola
ola
ola
ola
ola
ola
CAP´ITULO
14 P´endulo bal´ıstico
14.1 Objetivos 14.1.1 Objetivo general ✔ Medir de la velocidad de un proyectil.
14.1.2 Objetivos espec´ıficos ✓ Usar las leyes de la conservaci´on del momentum lineal y de la energ´ıa mec´anica para medir la velocidad inicial de un proyectil al incrustarse en un blanco. ✓ Usar las leyes del movimiento realizado por el proyectil para calcular la velocidad inicial con la que fue disparado. ✓ Hacer una comparaci´on de la velocidad inicial del proyectil dada por las leyes anteriores.
14.2 Equipamiento ☞ Hojas de papel carb´on y de papel blanco.
☞ Plomada.
☞ P´endulo bal´ıstico (Cenco).
☞ Balanza.
☞ Calibrador.
☞ Bal´ın.
☞ Flex´ometro.
14.3 Montaje experimental El sistema consiste b´asicamente de un p´endulo y de una pistola de resorte para impulsar el proyectil, como se ilustra en el diagrama esquem´atico de la fig. 14.1. El p´endulo lo forma una cavidad cil´ındrica c, para recibir el proyectil (bal´ın b), una varilla liviana y fuerte l, unida a la cavidad en la parte inferior y mediante un pivote en su extremo superior donde hay un tornillo T, el cual debe ajustarse para asegurara la estabilidad del p´endulo y la menor fricci´ on posible durante la ejecuci´on del movimiento. La pistola de resorte consta de un eje m´ovil E, que entra en la perforaci´on que tiene el bal´ın, y es compreso a trav´es de un resorte R. El eje se suelta por medio de un gatillo G. Al dispararse el bal´ın, ´este es retenido en la cavidad y se mantiene dentro de ella por medio de una l´amina, como se ilustra en la fig. 14.2, de tal forma que el centro de gravedad de todo el cuerpo en su punto m´as bajo se ubique 14-1
14-2
Figura 14.1: Detalles del p´endulo bal´ıstico.
en el eje de l. En algunos aparatos hay una punta de indicadora, unida a c, y determina la ubicaci´ on del centro de gravedad del cuerpo resultante; en otros hay una cinta unida a l. b X
c
(a)
(b)
Figura 14.2: Cavidad y bal´ın. a) Antes del choque, (b) Despu´es del choque.
La altura m´axima hi a la cual llega el p´endulo cuando se incrusta el bal´ın en la cavidad se registra al quedar el p´endulo sostenido por una cu˜ na Q que se engancha en los dientes de una peque˜ na rampa dentada d. Esta rampa tiene una escala, en su cara externa para indicar la altura alcanzada por el p´endulo
14.3.1 Chequeo inicial y minimizaci´ on de errores sistem´ aticos ✍ Para preparar la pistola, inserten el bal´ın en el extremo del eje E y sosteniendo la base con una mano empujen el bal´ın hacia atr´as hasta engancharlo en el gatillo G. Esto comprime el resorte R una cantidad definida que dar´a al bal´ın una velocidad inicial igual cada vez que se dispara. ✍ Para preparar el p´endulo, ll´evelo a la posici´on vertical, aj´ ustelo a trav´es del tornillo T y verifiquen que oscila libremente, es decir, d´ele un peque˜ no empuj´on con su mano y observe el movimiento. Si no oscila libremente, afloje un poco T. ✍ Realicen varios disparos y observen que el p´endulo no se salga de la rampa dentada, caso que suceda, aprieten un poco el tornillo.
14.4 Consideraci´ on te´ orica Si sobre dos cuerpos que chocan no act´ ua ninguna fuerza externa durante el tiempo en que tiene lugar el choque, la cantidad de movimiento lineal total del sistema formado por los dos cuerpos se conserva durante el choque. Si un bal´ın de masa m y velocidad v, en una direcci´on horizontal escogida como el eje X (ver fig. 14.2) realiza un choque frontal y se incrusta en una masa M en reposo. El
14-3
conjunto de las dos masas M + m adquiere una velocidad V en la misma direcci´on del proyectil incidente; entonces, se cumple: mv = (m + M )V
⇒
v=
m+M V m
(14.1)
Para medir V , el blanco de masa M se suspende de un p´endulo y se mide la altura m´ axima que logra subir el centro de masa del nuevo cuerpo con masa M + m. Debido al intercambio de energ´ıas entre la energ´ıa cin´etica que adquiri´o m + M , despu´es del choque, y la energ´ıa potencial lograda en el punto m´as alto de su trayectoria. Esto es, 1 (m + M )V 2 = (m + M )gh 2
⇒
Reemplazando (14.2) en (14.1), se tiene: v=
V =
p 2gh
(14.2)
m+Mp 2gh m
(14.3)
la velocidad del proyectil v, cuando se conocen las masas m, M y la altura h. La velocidad v del proyectil tambi´en puede medirse usando la ecuaci´on de la trayectoria que describe bajo la acci´on de la gravedad. En estas condiciones, el movimiento se realiza en el plano vertical como se ilustra en la fig. 14.3, por tanto: Eje X:
alcance m´aximo:
R = vt
Eje Y :
ca´ıda libre:
H = 21 gt2
de acuerdo con un sistema cartesiana ubicado a la salida del bal´ın. Eliminando el tiempo de estas dos ecuaciones, obtenemos r g v=R (14.4) 2H Y v0
H
X R Figura 14.3: Trayectoria descrita por el proyectil.
14.5 Procedimiento 14.5.1 Determinaci´ on de la velocidad inicial por el p´ endulo bal´ıstico ① Con el p´endulo en reposo, accionando G, el proyectil b se incrustar´a en c, e. d., de acuerdo con la fig. 14.2, b pasa de la posici´on (a) a la (b), quedando finalmente enganchado en un diente particular de la rampa d.
14-4 ② Registren la posici´on alcanzada, seg´ un la escala de la rampa (n´ umero de ranuras) y procedan con cuidado a sacar b de c empuj´ andolo con el dedo o con un elemento delgado, luego compriman R unido con b. ③ Repitan desde ①, diez (10) veces. ④ Noten que la posici´on de enganche en la rampa var´ıa. El promedio de las posiciones obtenidas da la posici´on media m´as alta. Lleven el p´endulo a dicha posici´on, eng´anchelo en el diente m´ as cercano al valor medio. ⑤ Midan la altura desde la base del p´endulo bal´ıstico a un punto de referencia de l h1 y la altura m´axima promedio obtenida h2 (ver fig. 14.1). ⑥ Desenrosquen T y remuevan el p´endulo, cuidadosamente, de su soporte . ⑦ Pesen el p´endulo y el bal´ın. ⑧ Regresen el p´endulo a su posici´on original, ajust´andolo cuidadosamente con T.
14.5.2 Determinaci´ on de la velocidad inicial por la medici´ on del alcance m´ aximo y la altura Para esta segunda parte, el p´endulo debe estar en un diente de d para que no interfiera en el movimiento de b. ❶ Con la plomada obtengan el punto de salida sobre el eje X y mida la altura inicial en el eje Y . ❷ Realice un disparo y observe el lugar del impacto de b en el piso. ❸ Adhieran una hoja de papel al piso en dicho lugar y c´ ubralo con papel carb´on para determinar el punto de impacto. ❹ Dispare diez (10) veces y midan el alcance para cada disparo.
14.6 An´ alisis 14.6.1 Determinaci´ on de la velocidad inicial por el p´ endulo bal´ıstico ✑ Registren las alturas hi , obtenidas de los diez (10) disparos, en la tabla 14.1. ✑ Anoten las masas m (bal´ın), M (p´endulo), por separado y juntos, en las tres primeras filas de la tabla 12.2 y la altura h1 en la cuarta fila. ✑ Calculen hi , desviaci´on est´andar, CV, IC, completando las ultimas fila de la tabla 14.2. ✑ Calculen h = hi − h1 ✑ Encuentren la velocidad del proyectil usando la expresi´on (14.3). ✑ Reporten el valor de v con su respectiva incertidumbre.
14.6.2 Determinaci´ on de la velocidad inicial por la medici´ on del alcance m´ aximo y la altura ✒ Registren las distancias Ri , obtenidas de los diez (10) disparos, en la tabla 14.3. ✒ Anoten la altura inicial H en la primera fila de la tabla 14.4. ✒ Calculen Ri [(1.17)], desviaci´ on est´andar [(1.19)], CV [(1.20)], IC [(1.24)] y error porcentual [(1.26)] con una probabilidad del 90 % (t0,90 ) utilizando la tabla 1.3, completando las ultimas fila de la tabla 14.3. ✒ Encuentren la velocidad del proyectil usando la expresi´on (14.4).
14-5
14.6.3 Comparaci´ on ✑ Determinen la diferencia entre los valores de velocidad obtenida por los dos m´etodos. ✑ Analicen los errores probables en cada m´etodo y estime cual debe ser el resultado m´ as preciso. ✑ ¿Qu´e condici´on din´amica (fuerzas externas) deben cumplirse durante el choque de las dos masas, para que las cantidades de movimiento antes y despu´es del choque sean iguales? ¿Se cumple con exactitud esta condici´on? ¿C´omo podr´ıan reducirse estos efectos externos? ✑ Comparando los dos experimentos y con base en los modelos te´oricos respectivos, ¿cu´ al cree que arrojen los resultados m´as confiables de las medidas realizadas? De las preguntas y gr´aficos anteriores, hagan sus conclusiones.
14.7 Datos No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
hi ( ) m( ) M ( ) m+M ( ) h1 ( ) h( ) σx ( ) CV ( ) IC ( ) ǫ( )
m+M
Tabla 14.2:
Tabla 14.1:
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ri ( )
Tabla 14.3:
H ( ) R( ) σx ( ) CV ( ) IC ( ) ǫ( )
m+M
Tabla 14.4:
CAP´ITULO
15 Momentos de fuerzas
15.1 Objetivos 15.1.1 Objetivo general ✔ Comprobar el equilibrio debido a momentos de fuerzas.
15.1.2 Objetivos espec´ıficos ✓ Demostrar el equilibrio de fuerzas paralelas.
15.2 Equipamiento ☞ Regla con orificios para suspensi´on de pesos y acople magn´etico ☞ Polea de torsi´on de adhesi´on magn´etica calibrada en newtons.
☞ Tablero magn´etico de fuerzas. ☞ Balanza. ☞ Pesas.
15.3 Montaje experimental El sistema consiste de una regla suspendida en uno de sus extremos y sostenida por un hilo acoplado a la polea de torsi´on desde el otro extremo. El peso de la regla es aplicado a su centro de masa, un peso se suspende en uno de los agujeros de la regla el cual puede variar en magnitud y posici´ on con relaci´on al punto de oscilaci´on, como se muestra en la fig. 15.1.
15.4 Consideraci´ on te´ orica En la fig. 15.1 se ilustra una situaci´on de equilibrio dada por: T0 + T = mg + F mgL + Fx TL = 2
(15.1) (15.2)
donde T0 es la reacci´on debido al soporte en el extremo izquierdo de la regla, T es la magnitud de la tensi´on que se mide en el otro extremo de la regla, mg es el peso de la regla y F es el peso adicional suspendido a una distancia x del centro de oscilaci´on, L es la longitud de la regla y corresponde al 15-1
15-2
T0
T
mg
F
Figura 15.1: Esquema ilustrativo.
brazo de T , L/2 corresponde al brazo del peso de la misma y x es el brazo de la fuerza aplicada. La ec. (15.2) puede expresarse como: F x mg T = + (15.3) L 2 La ec. (15.3) ser´a comprobada experimentalmente, como se explicar´a en el procedimiento.
15.5 Procedimiento 15.5.1 x fijo ① Los pesos disponibles permiten variar F y obtener, por tanto, T en la polea calibrada, despu´es de haber equilibrado el sistema. El equilibrio del sistema puede obtenerse de dos maneras: i. Girando suavemente con la mano el soporte de la polea hasta que la regla alcance su posici´ on horizontal, formando un ´angulo de 90◦ con la cuerda de la polea. ii. Desplazando verticalmente el centro de oscilaci´on. Se recomienda la segunda sugerencia. ② Con el montaje esquematizado en la fig. 15.1 y para las distancias fijas de x < L/2, x = L/2 y x > L/2 ), hallar las F variables que equilibran el sistema.
15.5.2 F fijo ❶ Repetir el procedimiento anterior para x variable y F fijo. Realice la gr´afica de T versus F. examine si es lineal, si lo es, halle el valor de la pendiente y el intercepto con sus respectivas incertidumbres. Teniendo en cuenta las incertidumbres en las medidas, realizar las respectivas regresiones lineales, para obtener las pendientes e interceptos, y obtener el error relativo porcentual de estas.
15.6 An´ alisis ✑ Para un x fijo, complete la tabla 15.1 y grafiquen T en funci´on de F . ✑ ¿Qu´e tipo de gr´afica obtuvieron? ✑ ¿Qu´e significa cada t´ermino de la ecuaci´on que describe la gr´afica anterior?
15-3 ✑ Para un F fijo, complete la tabla 15.2 y grafiquen T en funci´on de x. ✑ ¿Qu´e tipo de gr´afica obtuvieron? ✑ ¿Qu´e significa cada t´ermino de la ecuaci´on que describe la gr´afica anterior? De las preguntas y gr´aficos anteriores, hagan sus conclusiones.
15.7 Datos F ( )
T ( ) x < L/2
T ( ) x = L/2
Tabla 15.1:
x( )
T ( )
Tabla 15.2:
T ( ) x > L/2
CAP´ITULO
16 Movimiento rotacional
16.1 Objetivos 16.1.1 Objetivo general ✔ Estudiar la din´amica de un movimiento de rotaci´on.
16.1.2 Objetivos espec´ıficos ✓ Determinar el momento de inercia a partir de la aceleraci´on angular del sistema bajo una fuerza constante. ✓ Calcular el momento de inercia de discos en rotaci´on a partir de la medici´on de su radio y su masa gravitatoria. ✓ Comprobar el principio de conservaci´on del momento angular.
16.2 Equipamiento ☞ Kit para din´amica rotacional de Pasco.
☞ Compresor.
16.3 Montaje experimental El sistema consiste de un kit de din´amica cuyas vistas superior y lateral se ilustran en la fig. 16.1 y un compresor, no ilustrado, el cual tiene un tanque de almacenamiento que permite presiones hasta de 100 psi (poundal square inch, libras por pulgada cuadrada). La salida del tanque est´a controlada por una v´alvula manual. La base del aparato es una caja firme y hueca. En su interior hay un circuito de flujo de aire a presi´on moderada. El circuito conduce aire al interior y dependiendo de una llave de paso (v´alvula 1) llega a una parte superior creando un colch´on de aire entre los discos y la base. El aparato posee un par discos (A y B) de acero inoxidable (el disco B siempre va debajo de A), aunque la simetr´ıa de ambos discos parece ser la misma, existen cavidades centrales que los hacen diferentes. Los dos discos son controlados por un pin que los hacen flotar juntos o por separado. Hay dos clases de pines: los macizos, que sirven como tap´on para la salida de aire por el centro de los discos y el hueco, que permite la salida de aire por su interior. Cada disco posee 200 l´ıneas a lo largo de su per´ımetro, las cuales son detectadas por un medidor de velocidad angular, que cuenta el n´ umero de l´ıneas que pasan por el detector, durante 2 s, el medidor tiene un selector de velocidad para elegir la medici´on de la velocidad angular del disco A o B (upper o lower respectivamente). 16-1
16-2
Pin V´alvulas
Ingreso de aire comprimido
1 2 3 A E
F
E
F
D A B
D C
Pantalla Selector de disco
Figura 16.1: (a) Vista superior. (b) Vista lateral. A: disco superior de acero, B: disco inferior de acero, C: portapesas, D: polea, E: polea, F : cuerda.
16.4 Consideraci´ on te´ orica 16.4.1 Rotaci´ on por una fuerza constante Dos discos A y B conc´entricos unidos mediante una cuerda F a un objeto C que pende de la misma tal como se observa en las figs 16.1a y b. Suponiendo que el sistema se encuentra en reposo en el instante en que se suelta, y despreciando las fuerzas de fricci´on que act´ uan sobre el mismo, tendremos el siguiente diagrama: 2r 2rpd
2rp T1
T mC
Figura 16.2: Diagrama del sistema de rotaci´ on.
Aplicando las leyes de Newton, respectivamente se tiene: mC g − T = mC a T rp − T1 rp = Ip α
T1 rpd = (Id + Ipd )α
Teniendo en cuenta que, a = rα, ω = αt y como rp ≈ rpd = r0 , se obtiene la expresi´on: ! mC gr0 ω= t m +m Id + p 2 pd r02 + mC r02
(16.1) (16.2) (16.3)
(16.4)
16-3
en donde, mC es masa total en el portapesas C, r0 = 13, 5 mm es el radio de la polea D m´ as peque˜ na, g es la magnitud del vector aceleraci´on de la gravedad (9, 799 ± 0, 003 m/s2 ), Id es el momento de inercia total del disco, mp = 15 g y mpd = 13 g.
16.4.2 Conservaci´ on del momento angular En ausencia de un torque externo, el momento angular de un sistema f´ısico se conserva en el tiempo. Nuestro sistema en consideraci´on consiste de dos discos A (con momento de inercia IA ) y B (con momento de inercia IB ) que pueden rotar alrededor del mismo eje y que est´an libres de torques externos. Inicialmente se asume que el disco A gira con cierta frecuencia ωi mientras que el disco B permanece en reposo. Finalmente se permite que el disco A descanse sobre el B cambiando de esta forma la frecuencia angular a ωf . El momento angular del sistema compuesto por los discos A y B se conserva, luego tenemos que: Li = Lf IA ωi = (IA + IB )ωf
(16.5)
16.5 Procedimiento 16.5.1 Rotaci´ on por una fuerza constante ① Realicen el montaje indicado en las figs. 16.1a y b utilizando los dos discos de acero representados por A y B. ② Coloquen en el portapesas C una masa total de 15 g (incluida la del portapesas) haciendo uso del juego de pesitas de 5, 10 y 20 g disponibles. ③ Ajusten la polea D al disco A con el tornillo que tiene un agujero en el centro para permitir la salida del aire inyectado desde el compresor y as´ı lograr eliminar el colch´on de aire entre los discos B y A. ④ Enciendan el compresor y abran la llave de paso con cuidado hasta sentir la salida del aire a presi´on baja y ajuste la llave de paso hasta que el man´ometro indique 9 psi aproximadamente. Debe monitorear la presi´on y asegurarse de que est´e siempre en el valor anterior. ⑤ Enrollen la cuerda F en la polea D hasta que C quede casi al nivel de la polea E. ⑥ Coloquen uno de los dos pines disponibles en la v´alvula 1 para permitir que el disco B gire libremente sobre la base fija G. ⑦ Sostengan ligeramente uno de los dos discos y espere a que la pantalla marque cero. Una vez se obtenga esta lectura suelte el disco y registre las lecturas de la pantalla las cuales son dadas autom´aticamente cada 2 s, es decir, cada 2 s aparecen la medida en l´ıneas/segundo. Solo registre datos durante el proceso de ca´ıda del portapesas C. ⑧ Repitan el experimento para las otras masas.
16.5.2 Conservaci´ on del momento angular ❶ Realice el mismo montaje del procedimiento anterior pero dejando solamente los discos A y B. ❷ Inserte en el agujero central del disco A uno de los dos pines disponibles y el otro en la v´ alvula. ❸ Sostenga el disco B mientras espera que la pantalla marque lectura cero teniendo el selector de disco en posici´on upper. Luego aplique un torque al disco A de tal manera que la lectura en la pantalla est´e alrededor de 100 l´ıneas/s.
16-4 ❹ Retire el pin del disco A para permitir que este en repose sobre el disco B y registre las lecturas estables de la pantalla inmediatamente antes y despu´es de quitarlo. ❺ Repita el experimento para cuatro frecuencias m´as, como por ejemplo: 200, 300, 400, 500 l´ıneas/s.
16.6 An´ alisis 16.6.1 Rotaci´ on por una fuerza constante ✑ Pesen cada disco por separado y registre sus datos y completen la tabla 16.1. ✑ Con el calibrador vernier midan los radios externo e interno de A y B, as´ı como tambi´en el radio de la polea D y llenen la tabla 14.1. ✑ Registren los datos durante el proceso de ca´ıda del portapesas C en la tabla 16.2. ✑ Grafiquen en una misma hoja milimetrado los datos de frecuencia angular versus tiempo para las tres masas. ✑ Comparen el tipo de curva obtenida para cada gr´afico con la ec. 16.4 y determinen si los tipos de curvas obtenidos est´an de acuerdo con la teor´ıa. Expliquen. ✑ Con base en la gr´afica ω vs t, encuentre el momento de inercia del disco, teniendo en cuenta el modelo te´orico. ✑ Calculen el momento de inercia te´orico de los discos y de la polea D [ID = (Ri2 + Re2 )/2]. ✑ Calculen la incertidumbre del momento de inercia obtenido en el punto anterior y eval´ uen la concordancia con los resultados experimentales.
16.6.2 Conservaci´ on del momento angular ✒ Conviertan las lecturas obtenidas en la pantalla dadas en l´ıneas/s a rad/s y llenen la tabla 16.3. ✒ Utilicen los valores de momentos de inercia hallados en la secci´on anterior para el disco A y para el sistema compuesto por los discos A y B y compruebe si el momento angular se conserva. ✒ Suponga que se hubiesen puesto a girar inicialmente los dos discos pegados y luego se hubiese frenado el disco inferior dejando el disco superior girando libremente. ¿Se hubiese constatado conservaci´on de momento angular para esta situaci´on? Explique claramente su respuesta. ✒ Usted ha calculado el momento de inercia de dos discos conc´entricos por dos m´etodos distintos, hay alg´ un criterio por el cual puedan determinar ¿cu´al de los dos resultados obtenidos es m´ as confiable? Si lo hay, explique su respuesta con suficiente claridad. De las preguntas y gr´aficos anteriores, hagan sus conclusiones.
16.7 Datos Disco A Masa ( ) Radio interno ( ) Radio externo ( ) Tabla 16.1:
Disco B
16-5
L´ıneas
t( )
ω( )
L´ıneas
t( )
ω( )
Tabla 16.2:
ωi (l´ın/s)
ωf (l´ın/s)
Tabla 16.3:
L´ıneas
t(
)
ω( )
CAP´ITULO
17 Movimiento de rotaci´on y traslaci´on
17.1 Objetivos 17.1.1 Objetivo general ✔ Estudiar el movimiento combinado de traslaci´on y de rotaci´on sin deslizamiento de un cuerpo r´ıgido.
17.1.2 Objetivos espec´ıficos ✓ Deducir el momento de inercia de un objeto cil´ındrico. ✓ Hacer consideraciones acerca del modelo te´orico desarrollado y decidir acerca del efecto de los elementos despreciados.
17.2 Equipamiento ☞ Cuerpo cil´ındrico en madera.
☞ Flex´ometro.
☞ Rieles paralelos.
☞ Cron´ometro.
☞ Calibrador.
☞ Balanza.
17.3 Montaje experimental El sistema consiste de un cuerpo cil´ındrico, M , montado sobre dos rieles paralelos, u, los cuales est´an elevados en uno de sus extremos una altura h, formando un plano inclinado, como se ilustra de forma esquem´atica en la fig. 17.1.
17.3.1 Chequeo inicial y minimizaci´ on de errores sistem´ aticos ✍ Verifiquen que los rieles est´en ubicados como en la fig. 17.1, sin que resbalen mientras se efect´ ua el experimento. ✍ Trabajen con alturas h menores de 50 cm, as´ı obtendr´a mejores resultados; el cuerpo que rueda lo har´a m´as despacio d´andole a usted la posibilidad de tomar el tiempo con mayor precisi´ on y evitando que el cuerpo deslice.
17-1
17-2
M
M s
h θ
θ
u
Figura 17.1: Esquema ilustrativo.
✍ Pongan cuidado en la ubicaci´ on inicial del cuerpo M al momento de soltarlo, para que cuando baje rodando no toque los lados de los rieles y se produzca un frenado del mismo. ✍ Tengan en cuenta que la altura h que usted debe medir corresponde a la distancia vertical desde el punto de partida hasta donde usted ubic´o su sistema de referencia (posici´on final) y no necesariamente corresponde a la parte m´as baja de los rieles (el piso). ✍ No confundir el radio del eje de rotaci´on r con el radio del cuerpo R.
17.4 Consideraci´ on te´ orica Sea un cuerpo r´ıgido de masa M y de momento de inercia I con respecto a su eje de revoluci´ on, que descansa sobre dos rieles paralelos inclinados como se indica en la 16.1. Si el cuerpo, partiendo del reposo, rueda bajando sin resbalar, una distancia vertical h, se tiene: M gh =
1 1 M v 2 + Iω 2 2 2
(17.1)
donde v es la velocidad lineal del centro de masa en la parte final de su recorrido, ω es la velocidad angular alrededor del centro de masa en la parte final de su recorrido. Como v = rω, siendo r el radio del eje de rotaci´on, se tiene: 1 1 v 2 M gh = M v 2 + I (17.2) 2 2 r De otro lado, como el movimiento de traslaci´on del centro de masa es un movimiento uniformemente acelerado, se tiene que: v = at 1 s = at2 2
(17.3) (17.4)
siendo s distancia recorrida por el centro de masa en el tiempo t. Despejando a de (17.4) y reemplazando en (17.3), se tiene: 2s v= (17.5) t
17.5 Procedimiento ① Midan los radios R (cilindro), r (de giro) y pesen M . ② Para una misma inclinaci´on de los rieles, suelten el objeto desde el mismo punto cinco (5) veces y midan el tiempo de bajada del cuerpo, la distancia s recorrida y la altura h. ③ Repitan el experimento con otras seis inclinaciones.
17-3
17.6 An´ alisis ✑ Reporten las medidas de r, R en la tabla 17.1. ✑ Calculen R [(1.17)], desviaci´ on est´andar [(1.19)], CV [(1.20)], IC [(1.24)] y error porcentual [(1.26)] con una probabilidad del 90 % (t0,90 ), utilizando la tabla 1.3, y M en la tabla 17.2. ✑ Igual al ´ıtem anterior pero para r (tabla 15.3). ✑ Completen las tablas 17.5–17.8 para cada altura hi . ✑ Hagan un gr´afico de h en funci´on de v 2 y compare con la ec. (17.2). Determinen la pendiente, ¿cu´al es el significado f´ısico? ✑ Determinen I por consideraciones geom´etricas. ✑ Comparen los resultados obtenidos y diga cu´al de las formas de calcular I creen que sea m´ as confiable. ¿Por qu´e? De las preguntas y gr´aficos anteriores, hagan sus conclusiones.
17.7 Datos M () r()
ola
ola
ola
ola
R()
Tabla 17.1:
sx ( )
sx ( )
IC ( )
ǫ()
Tabla 17.2:
h() r()
CV ( )
CV ( )
IC ( )
s()
t()
v()
v2 ( )
ǫ()
Tabla 17.3: Tabla 17.4:
h()
s()
t()
v()
v2 ( )
h()
s()
Tabla 17.5:
h()
s()
t()
v()
Tabla 17.7:
t()
v()
v2 ( )
Tabla 17.6:
v2 ( )
h()
s()
t()
v()
Tabla 17.8:
v2 ( )
´ APENDICE
A Manejo cron´ometro programable (Aslab 1)
La fig. A.1 ilustra, de manera esquem´ atica, la parte frontal del cron´ ometro Aslab 1, que se usa en el cap´ıtulo 7. El cron´ ometro se alimenta con un voltaje continuo (V dc) proveniente de un adaptador de pared, que se conecta en su lado izquierdo. En su extremo superior hay 4 entradas, utilice la que est´ a a la derecha para conectar el fotodetector. El cron´ ometro programable se enciende con la tecla ➀. Fotodetector ↓
V dc
1 →
2 3 ← →
OFF
➀ ➁ ➂
a
➃ ➄ ➅
b
➆ ➇ ➈
d
?
0
# d
Figura A.1: Esquema frontal del Science First.
Enci´endalo y en la pantalla aparecer´ a un despliegue como el que se muestra en la A.1, indicando que la tecla ➀ (OFF), ahora, es para apagar el cron´ ometro y las teclas ➁ y ➂ (← →) son para retroceder o avanzar respectivamente. Pulse la tecla ➂ para ingresar al Men´ u Principal, el cual tiene 5 opciones, que podr´ a revisar pulsando consecutivamente las teclas ➁ y ➂ o ← →: Opc. 1: Experiments: Para escoger el experimento que se va a controlar (Picket fence 2 ). Opc. 2: # decimals: Para escoger el n´ umero de decimales a utilizar (4).
A-1
A-2
Opc. 3: # memories: Para escoger el n´ umero de memorias a usar en los registros de tiempo (10). Opc. 4: Tranfer data: Para transferir los datos registrados a una computadora (no se requiere). Opc. 5: Memory clear: Para limpiar el contenido de las memorias y dejarla en cero. Use la tecla a para escoger cualquier opci´on. Comience escogiendo la opci´on 3 (# memories). Use la tecla ➂ para incrementar el n´ umero a 10 y use la tecla a para aceptar la entrada y regresar al men´ u principal. Ahora escoja la opci´on 2: decimals. Podr´a observar que est´a en 4 por defecto. No requiere cambio, pulse la tecla ➀ para regresar al Men´ u Principal. Ahora escoja la Opci´on 5: Memory clear; acepte la opci´on con la tecla a. Ahora escoja la Opci´on 1: Experiments. Use la tecla 3 para avanzar en los diferentes experimentos hasta llegar a Picket Fence 2; acepte la opci´on con la tecla a. Ahora, en la pantalla aparece: Indicando que el cron´ometro est´a preparado para tomar los datos. El asterisco (⋆) indica que el fotodetector est´a siendo alimentado Indicando que el cron´ometro est´a preparado para tomar los datos, ⋆) indica que el fotodetector est´a siendo alimentado Ahora pulse la tecla a y, a continuaci´on, en la pantalla aparece: ⋆ se ha reemplazado por m, indicando que el cron´ometro est´a ahora en la fase de medici´ on. Con esto, el cron´ometro est´a listo para registrar los intervalos de tiempo. Verifique su funcionamiento cortando el haz, con el dedo ´ındice, once veces. Aunque no parezca, el cron´ometro est´a midiendo. S´olo despu´es de haber cortado el haz las once veces el cron´ometro termina su funci´on y en la pantalla aparece: Mostrando el contenido de la memoria 10, o sea el d´ecimo intervalo de tiempo registrado. Para revisar los dem´as intervalos pulse, consecutivamente, las teclas ➁ y ➂ para retroceder o avanzar. Pulse la tecla ➀ para regresar al Men´ u Principal. Elija la Opci´on 5: Memory clear para limpiar todos los registros. Ahora elija, de nuevo, el experimento Picket Fence 2 y repita el proceso hasta dejarlo listo para registrar los intervalos de tiempo del experimento.
Modelo de informe N. Apellido, Nombre Apellido1 y N. Apellido2 Abstract—Descripci´ on con brevedad de los objetivos del trabajo (fen´ omeno, propiedad estudiada), el m´ etodo (sustancia, sistema f´ısico y t´ ecnicas experimentales) empleado y los resultados obtenidos. Sirve para que el lector decida si quiere leerlo completo. Generalmente se usa la voz pasiva
´n I. Introduccio
E
N esta parte se proporciona la informaci´on necesaria para situar el problema; es decir, se menciona el por qu´e se pens´o que val´ıa la pena resolverlo, cu´ales son las ideas vigentes al respecto, los modelos aplicables al respecto y las consecuencias de su aplicaci´on. Tambi´en debe decirse cu´al es el resultado que se busca y las t´ecnicas o m´etodos experimentales que se utilizan en el experimento. Aqu´ı se plantea la motivaci´on y los objetivos del trabajo as´ı como el contenido de cada aparte del mismo
TABLE I Datos de la temperatura T y la resistencia R. T 10 20 30 40 50 60 70 80
R 12,3 12,9 13,6 13,8 14,5 15,1 15,2 15,9
De igual forma, las figuras deben rotularse: la figura (o fig.) 1 es la gr´afica de la tabla I.
´ n teo ´ rica II. Discusio Se ampl´ıan y desarrollan las ideas presentadas en la introducci´on respecto a formas y modelos aplicables para afrontar o resolver el problema por la comunidad cient´ıfica. En forma resumida se definen las cantidades que van a ser medidas as´ı como el “modelo” de las expresiones matem´aticas a emplear y/o corroborar. Tenga en cuenta, si utiliza expresiones obtenidas de textos, art´ıculos o gu´ıas de laboratorio hacer la correspondiente referencias bibliogr´aficas. Si la deducci´on de las expresiones se hace extensa, realice un ap´endice y traiga s´olo las expresiones de inter´es. Las ecuaciones est´an centradas y se enumeran entre par´entesis (· · · ), p. ej.,. . . la relaci´on entre el periodo T y la masa m + mef est´a dada por: r m + mef T = 2π (1) κ Si hay alguna cita bibliogr´afica, ´esta se debe referenciar de la forma [1] la cual se encuentra en la u ´ltima p´agina III. Procedimiento experimental y resultados En la descripci´on del experimento se har´an saber las partes que se consideren importantes del procedimiento experimental, con el fin de ayudar a otros investigadores a reproducirlo si lo consideran conveniente; se proporcionan tambi´en los datos necesarios para evaluar la precisi´on en las medidas y la concordancia del experimento con las suposiciones del modelo o hip´otesis de trabajo. Sintetice el procedimiento experimental haciendo una descripci´on del equipo, y los pasos realizados. Las tablas deben tener sus r´otulos, p. ej., Los r´otulos de la tabla I deben “hablar” de la tabla, no basta escribir Tabla I. N. Apellido: Universidad del Valle, Cali, AA 25360. Phone: e-mail:
,
Fig. 1. Gr´ afica de los datos de la tabla I
´ lisis de resultados y discusio ´n IV. Ana En esta parte debe consignar la interpretaci´on de los resultados obtenidos, su relaci´on con lo esperado te´oricamente y los errores as como la justificaci´on de las discrepancias que surjan (si compara con otros autores debe citarlos para llevarlos a las referencias). Para lo anterior son u ´tiles las preguntas que se formulan dentro de la gu´ıa. V. Conclusiones En las conclusiones se debe contestar la pregunta planteada inicialmente o establecer por qu´e no se puede responder. Tambin se a˜ nadir cualquier comentario que se juzgue conveniente. Las expresiones los objetivos del laboratorios se cumplieron no es una conclusi´on. En lo posible use prrafos separados y sin enumerar. References [1] Alonso Marcelo y Finn Edward J., “F´ısica I: Mec´ anica”, AddisonWesley, USA (1967). [2] Sears F. W. y Zemansky M. W., “F´ısica Universitaria, Novena Edici´ on”, Addison-Wesley Iberoamericana, Mexico (1998).
