Introdução à Termoelasticidade
Introdução a Termoelasticidade Henrique Mariano Costa do Amaral
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Introdução à Termoelasticidade
1. Fundamentos Termodinâmicos da Termoelasticidade
A aplicação direta das leis da termodinâmica clássica no estado de deformação de um corpo só é possível para processos reversíveis. Estritamente falando, um processo real de deformação termoelástica de um corpo é um processo não em equilíbrio, no qual a irreversibilidade é devida aos gradientes de temperatura, apesar dos recentes desenvolvimentos na teoria dos processos irreversíveis, formular o problema das deformações irreversíveis de maneira mais rigorosa ainda é muito difícil.
Deve-se ter em mente que as tensões térmicas estão relacionadas com a temperatura media, uma vez que as propriedades do material dependem, em geral, da temperatura. O corpo, assim, pode comporta-se como plástico-elástico ou elástico não homogêneo. No entanto, em parte deste estudo e em muitos casos práticos, considerar-se-á que o material é elástico e que suas propriedades elásticas são uniformes a uma temperatura media, donde se pode, calcular as tensões e deformações termo elásticas supondo conhecida a distribuição de temperatura. Entretanto, para analisar o problema mais rigorosamente
é
necessário
usar
adequadamente
os
conceitos
mecânicos
e
termodinâmicos envolvidos.
A expressão da conservação da energia dada pela 1ª lei da termodinâmica, que expressa o balanço de energia durante processos mecânicos e termodinâmicos (reversíveis e irreversíveis), para processo finito é dada por: U 2 − U1 = Q + W
(1.1)
Onde U 2 − U 1 é a variação da energia interna quando o processo passa de um estado 1 para outro estado 2; Q o calor recebido pelo sistema e W é W é o trabalho externo realizado sobre o sistema. Para um processo infinitesimal, se tem:
δU
= δ Q + δ W
(1.2)
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Introdução à Termoelasticidade
1. Fundamentos Termodinâmicos da Termoelasticidade
A aplicação direta das leis da termodinâmica clássica no estado de deformação de um corpo só é possível para processos reversíveis. Estritamente falando, um processo real de deformação termoelástica de um corpo é um processo não em equilíbrio, no qual a irreversibilidade é devida aos gradientes de temperatura, apesar dos recentes desenvolvimentos na teoria dos processos irreversíveis, formular o problema das deformações irreversíveis de maneira mais rigorosa ainda é muito difícil.
Deve-se ter em mente que as tensões térmicas estão relacionadas com a temperatura media, uma vez que as propriedades do material dependem, em geral, da temperatura. O corpo, assim, pode comporta-se como plástico-elástico ou elástico não homogêneo. No entanto, em parte deste estudo e em muitos casos práticos, considerar-se-á que o material é elástico e que suas propriedades elásticas são uniformes a uma temperatura media, donde se pode, calcular as tensões e deformações termo elásticas supondo conhecida a distribuição de temperatura. Entretanto, para analisar o problema mais rigorosamente
é
necessário
usar
adequadamente
os
conceitos
mecânicos
e
termodinâmicos envolvidos.
A expressão da conservação da energia dada pela 1ª lei da termodinâmica, que expressa o balanço de energia durante processos mecânicos e termodinâmicos (reversíveis e irreversíveis), para processo finito é dada por: U 2 − U1 = Q + W
(1.1)
Onde U 2 − U 1 é a variação da energia interna quando o processo passa de um estado 1 para outro estado 2; Q o calor recebido pelo sistema e W é W é o trabalho externo realizado sobre o sistema. Para um processo infinitesimal, se tem:
δU
= δ Q + δ W
(1.2)
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Introdução à Termoelasticidade Ou δ Q = δ U + δ W1 ∴δ W1 = δ W
(1.3)
Quando o processo é reversível, a expressão do calor pode ser expressa pela forma de Pfaffian:
δ Q = X 1dx1 + X 2dx2 + ..... + X n dxn
(1.4)
Onde xi são variáveis de estado independentes e X i são funções destas variáveis. Da segunda lei da termodinâmica, Caratheodory mostrou a existência de uma função de estado, denominada de entropia, S , S , que é devido ao principio da inacessibilidade.
Quando no sistema em estudo, o processo é reversível e adiabático, temos a equação de Pfaffian:
δ Q = X1dx1 + ....... + X n dxn
=0
(1.5)
a qual, supondo integrável (isto é, existe o fator integrando) é impossível passar por todos os pontos da vizinhança de um determinado ponto P ( x1 ) , passando ao longo da curva integral que contem esse ponto. A integrabilidade de (1.5) é usada para provar a existência da diferencial total:
dS =
δ Q
Τ
> 0
(1.6)
onde T é a temperatura absoluta do sistema. Como já foi dito acima, no estado dos processos reais de deformações termoelásticas de um corpo sob a ação de forças externas e de um aquecimento não uniforme, é necessário a aplicação da termodinâmica dos processos irreversíveis. A idéia central da termodinâmica dos processos irreversíveis envolve a noção de equilíbrio local e de processo lento, o que postula que as equações básicas da termodinâmica dos processos reversíveis continuam válidas para pequenas partes, microscópicas, do sistema em equilíbrio local.
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Introdução à Termoelasticidade O balanço de energia para um elemento do corpo é:
−qi ,i = Q
(1.7)
que relaciona os componentes qi do vetor fluxo de calor q com a taxa especifica de influxo de calor (por unidade de volume). As variáveis com um “ponto” sobreposto a sua representação simbólica denota uma derivado material:
•
( )
=
D (
)
Dt
=
∂( ) ∂( ) + u j ∂t ∂X j
(1.8)
a qual, neste caso, como em geral, trata-se da termoelastoestática (u j 1) onde se tem:
•
( )
=
∂( ) ∂t
(1.9)
Sabe-se, no entanto, que a taxa de trabalho das forças externas durante a deformação de um corpo elástico de volume
Ω , é: L =
∫ ( F − ρ u )u d Ω ∫ f u d Γ i
i
i
+
Ω
(1.10)
i i
Γ
onde
•
F i são as forças de corpo;
•
f i são as forças de superfície
•
ui são os deslocamentos
•
ρ massa específica
•
S superfície que envolve o volume V
por outro lado, se tem também:
L =
∫ WdΩ ∫ ⎡⎢⎣(σ =
Ω
Ω
ij , j
+ Fi
− ρ ui )ui + σ ijui , j ⎤⎥⎦ d Ω
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(1.11)
Introdução à Termoelasticidade Onde W é a taxa de trabalho das forças externas por unidade de volume, e é dada por:
= W σ ij (εij + ω ij ) = σ ijεij
ij uma vez que σ ijω
(1.12)
1
é anti-simétrico. Dessa forma se tem: pois o tensor ω
=0
TP
PT
= σ ε W ′ = −W 1 ij i j
(1.13)
Combinando (1.7) com (1.6) e com (1.3), se tem: σ ijε ij −qi ,i = TS = U −
(1.14)
onde S é a entropia especifica e U é a energia interna especifica. A equação (1.14) acima, necessita agora ser suplementada pela equação fenomenológica dos processos irreversíveis da condução de calor, a qual é conhecida como lei de Fourier, que relaciona o fluxo de calor com o gradiente de temperatura:
qi
−k T T ,i
=
(1.15)
ij
onde k T ij é o coeficiente de condutividade térmica.
Das equações (1.14) e (1.15) se tem:
S = −
qi ,i T
+ S = S I II
(1.16)
onde
1 TP
PT
O tensor de 2ª ordem ui , j obtido da diferenciação dos deslocamentos ui em relação as variáveis
x j pode ser escrito como a soma de um tensor simétrico ε ij e um tensor anti-simétrico ω ij , da seguinte forma: ui , j =
1 2
(u
i, j
)
(u − u ) = ε + ω , onde o tensor ε = (u − u ) = −ω .
+ u j ,i +
caracterizado pela relação
ωi, j
1 2
i, j
1 2
j ,i
i, j
ij
j ,i
ij
ij
é o tensor tensão e ω ij é
ji
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⎛ qi ⎞⎟ ⎜⎝ T ⎠⎟⎟,i
S I = −⎜⎜
(1.17)
é a mudança de entropia como resultado do fluxo de calor para o ambiente, e onde:
S II
=
−
1 T2
qiT , j
=
1 qi qi T 2 k T ij
>0
(1.18)
é a taxa local de produção de entropia causada pelo gradiente de temperatura. Além das equações apresentadas acima, no estudo das deformações térmicas, é vantajosa a introdução de duas outras funções de estado, além da entropia S e da energia interna U , que são:
1. a energia livre F (especifica):
F = U − TS
(1.19)
Φ = F−σ i jε ij
(1.20)
2. potencial de Gibbs
As funções U , F ,
Φ
Φ:
são funções de estado, isto é, seus incrementos durante uma
mudança de estado de um corpo elástico, são diferenciais totais. Elas também são chamadas de potenciais termodinâmicos. Combinando as equações (1.14), (1.19) e (1.20) apropriadamente, encontra-se:
dU
= Tds + σ ij d ε ij
(1.21)
d F = −SdT + σ ij d ε ij
(1.22)
d Φ = −SdT − ε ij dσ ij
(1.23)
Como dU , d F , d Φ são diferenciais totais segue que:
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⎛⎜ ∂U ⎞⎟ ⎜⎝ ∂S ⎠⎟⎟ε
=
Τ;
ij =cte
⎛⎜ ∂ F ⎞⎟ ⎜⎜⎝ ∂Τ ⎠⎟⎟ ε
=
−S ;
ij =cte
⎛⎜ ∂Φ ⎞⎟ ⎜⎜⎝ ∂Τ ⎠⎟⎟ σ
=
ij = cte
−S ;
⎛⎜ ∂U ⎞⎟ ⎜⎜⎝⎜ ∂ε ⎠⎟⎟⎟ ij S
= σ ij
(1.24)
=c te
⎛⎜ ∂ F ⎞⎟ ⎜⎜⎜⎝ ∂ε ⎠⎟⎟⎟ ij T
= σ ij
(1.25)
= ε ij
(1.26)
=c te
⎛⎜ ∂Φ ⎟⎞ ⎜⎜⎜⎝ ∂σ ⎟⎟⎟⎠ ij T
=c te
desta forma se pode ver que basta se conhecer um potencial termodinâmico, para se ser capaz de determinar todas as variáveis de estado, isto é, temperatura absoluta, tensor tensão, tensor deformação e entropia. Neste ponto é bom lembrar o significado físico dos potenciais termodinâmicos. As expressões (1.21) e (1.22) mostram que durante um processo isotérmico ( T = ct e ) o trabalho elementar coincide com a mudança da energia livre F , enquanto que num processo adiabático ( S
=
ct e ) o trabalho elementar coincide
com o incremento da energia interna U .
Das equações (1.22) e (1.23) segue que durante um processo isotérmico o trabalho complementar sobre um corpo elástico é igual ao incremento do potencial termodinâmico de Gibbs, enquanto para o mesmo processo o trabalho elementar é igual ao decréscimo da energia livre.
Para se achar a relação tensão-deformação é necessária formular a expressão para a energia livre específica como uma função das componentes do tensor-tensão e da temperatura.
Da equação (1.16) expandida se tem:
⎛ qi ⎞⎟ qiT ,i ⎜⎝ T ⎟⎠⎟ij − T 2
= −⎜ S ⎜
=
−
1 T
qi ,i
(1.27)
e de (1.25) se pode escrever:
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−
1 T
qi ,i
= = S
∂S ∂S T ε + ∂ε ij ij ∂T
(1.28)
isto é,
′ = − S
∂2 F ∂2 F T ε − ∂ε ij∂T ij ∂T 2
(1.29)
Por outro lado sabemos que:
as equações fundamentais da elasticidade são:
σ ij , j + F j − ρ u = 0 σ ij
(1.30)
= f ijε rk
a lei de Hooke generalizada para um corpo isotrópico é:
σ ij
= λε kkδ ij + 2 µ ε ij
− β (T − T 0 )δ ij
(1.31)
onde
⎡⎛ σ kk ⎞⎟ ⎤ ⎜ ⎢ ⎥ ε kk = ε11 + ε 22 + ε 33 + 3α (T − T0 ) = ⎜ ⎢⎜⎝ 3λ + 2 µ ⎟⎠⎟ + 3α (T − T0 )⎥ ⎣ ⎦ ε ij
=
β
1 2
(u
=
i, j
)
+ u j ,i = ε ji
(1.32)
(1.33)
(3λ + 2 µ )α
(1.34)
sendo α o coeficiente de expansão linear e T 0 a temperatura do corpo no estado não deformado. a definição de calor específico é:
qi ,i
=
−cV T
(1.35)
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Introdução à Termoelasticidade substituindo (1.31) em (1.30), encontra-se: 0 (λ + µ )ε kk , j + µ ∇2u j + FJ − ( ρ u j ) − 3T, j =
(1.36)
que são as conhecidas equações de Duhamel – Neumann, onde λ e µ são as constantes elásticas de Lamé.
Assim, de posse e conhecimento das equações descritas nos itens a, b, c, e d acima, pode-se encontrar que a energia livre específica F não depende da escolha das coordenadas e assim pode ser expressa em termos dos invariantes do tensor-tensão e da temperatura.
Pela análise tensorial pode-se provar que um tensor-tensão, simétrico, tem um 2 invariante linear ε kk e dois invariantes de segunda ordem ε kk e ε i jε ij . Assim a expressão
para a energia livre pode ser escrita da seguinte forma:
F=
λ 2
ε kk2
+ µ ε ij ε ij
− β T ε kk + F0 ∴ F0 =
função de T
(1.37)
donde se pode escrever a entropia especifica s como:
s = βε kk −
d F0 dT
substituindo (1.32) em (1.31) e explicitando o valor constantes de Lamé são definidas por λ =
ε ij
=
(1.38)
de ε ij e considerando que as
ν E
(1 + ν )(1 − 2ν )
σ ij
−
e
µ =
E
2 (1 + ν )
, se tem:
ν
σ kkδ ij + α T δ ij 2 µ E
(1.39)
onde E é o módulo de elasticidade de Young e ν é o coeficiente de Poisson.
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Introdução à Termoelasticidade Da equação acima, vemos que ε ij pode ser decomposta em duas parcelas: uma dependente da ação do carregamento externo ou da ação das tensões surgidas mantendo o corpo sob aquecimento não uniforme (essas deformações são relacionadas com as tensões através da lei de Hooke generalizada), dadas por:
(ε )
ij I
=
σ ij
−
ν
σ kk 2 µ E
(1.40)
e outra correspondente a expansão térmica do corpo, de modo livre, sob um gradiente de temperatura T :
(ε )
ij II
= α T δ ij
(1.41)
que no caso de corpos elásticos isótropos, são representados por um tensor esférico (escalar múltiplo do tensor unitário).
(Φ)
Para determinar o potencial de Gibbs expressão de definição de
Φ
substitui-se a expressão para F (1.37) na
(1.20) e onde aparecer ε ij , o substituímos por (1.39). Desta
forma se obtém:
Φ=
1 2 µ
σ ijσ ij +
ν
3 2 2 2 σ kk − α T σ kk − λ (1 + ν )α T + F0 2 E 2
(1.42)
derivando a equação acima em relação a T encontramos S [ver a equação (1.26)]:
S = ασ kk + 3λ (1 + ν )α 2T −
d F0 dT
(1.43)
De (1.38) e (1.43) se pode determinar o calor especifico a deformação constante cε e o calor especifico a tensão constante cσ , respectivamente:
T
dS (ε kk , T ) dT
=
−T
d 2 F0 dT 2
= cε
(1.44)
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Introdução à Termoelasticidade
T
dS (σ kk , T ) dT
= 3λ
(1 + ν )α T − T 2
2
d F0 dT 2
= cσ
(1.45)
cε e cσ é o mesmo que o calor especifico a volume constante:
cσ − c∈
= 3λ
(1 + ν )α 2T = 3(3λ + 2 µ )α 2T
(1.46)
Da equação (1.44) se tira:
−T dF dT
d 2 F0 dT 2
= cε
⎛⎜ T ⎞⎟ ⎛⎜ cε ⎞⎟ = ∫ ⎜− ⎜⎝ T ⎠⎟⎟dT = −cε ln ⎜⎜⎝ T0 ⎠⎟⎟⎟ T
(1.47)
T
0
Substituindo em (1.43), se tem:
⎛ T ⎞⎟ ⎜⎝ T 0 ⎠⎟⎟⎟
+ cε ln ⎜⎜ S = ασ kk + 3λ (1 + ν )α 2T
(1.48)
Agora se for feita a substituição da equação do fluxo de calor (1.15) e a expressão da entropia especifica (1.38) na equação (1.14), e tomando como base o resultado (1.46), se chega a seguinte equação:
λT T,ii
+ = cε T
cσ
− cε 3α
ε kk
(1.49)
que é uma “equação da condução de calor ” contendo um termo de acoplamento mecânico: cσ − cε 3α
ε kk
(1.50)
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Introdução à Termoelasticidade
Seja agora o caso quando
(T − T 0 ) T
⎛ T ⎞⎟ T − T 0 ⎜⎝ T0 ⎠⎟⎟⎟ → T
ln ⎜⎜
→ 0 . Neste caso
e T → T 0 , logo
de (1.38) se tira:
⎛ T ⎞ ⎟ ⎝ T 0 ⎠ T − T 0
S = βε κκ + cε ln ⎜ S = βε κκ + cε
(1.51)
T
e de (1.49) se tem:
λT T,ii
+ = cε T
cσ
− cε 3α
ε kk
usando (1.46) se obtém:
λΤT,ii
= cε T +
(3λ + 2 µ )αT ε kk
(1.52)
Se alem disso, se tem um processo adiabático de deformação, isto, é, S = cte. , a equação (1.51) se transforma como se segue: S → 0 quando T
T − T 0 = −
βε kk T cε
→ T 0 e
ε κκ = 0 , logo
(1.53)
Substituindo (1.53) em (1.31) se tem:
σ ij
= λε κκδ ij + 2 µ ε ij +
β 2T cε
ε κκδ ij
⎛⎜ β 2T ⎞⎟ ⎟ε κκ δ ij + 2 µ ε ij σ ij = ⎜λ + ⎜⎝ cε ⎠⎟⎟
(1.54)
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Introdução à Termoelasticidade 2
onde λ +
β T cε
= λ A é
segunda constante,
a constante de Lamé para processos de deformação adiabática. A
µ não
se altera.
2. Formulação do Problema Termoelástico e Representação da Solução Geral. No caso geral, o problema termoelástico é formulado da seguinte forma:
Existem 16 incógnitas que são função da posição e do tempo t , a saber:
# 6 componentes de tensão:
σ
=
~
{σ } = {σ
xx
,σ xy , σ xz ,σ yy ,σ yz ,σ zz }
(2.1)
{ε } = {ε
xx
, ε xy , , ε xz , ε yy , ε yz ,ε zz }
(2.2)
ij
# 6 componentes de deformação:
ε
=
~
ij
# 3 componentes de deslocamento: u = {ui } = {u x , u y , uz } = {u, v , w}
(2.3)
t ij
(2.4)
~
# temperatura:
As equações que governam os quatro grupos de incógnitas descritas acima são:
# 3 equações de movimento [equação (1.30)]:
σ ij , j + Fj − ρ ui σ ij
=0
= f ijε rk
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Introdução à Termoelasticidade # equação da condução de calor:
T,ii −
onde a =
λT cε
T
a
− T 0
β λT
ε kk
= 0
(2.5)
é a difusidade térmica.
# 9 relações tensão x deformação [equação (1.54) e (1.33)]:
⎛⎜ β 2T ⎞⎟ ⎟ε κκ δ ij + 2 µ ε ij σ ij = ⎜λ + ⎜⎝ cε ⎠⎟⎟ ε ij
=
1 2
(u
i, j
+ u j ,i
)
# 2 condições de contorno e condições iniciais em termos dos deslocamentos ui , e da temperatura T :
- para t = 0 (condição inicial):
(1)
( xk )
(2)
( xk )
(1)
( xk )
ui
=
gi
u i
=
gi
T
=G
(2.6)
- para t > 0 (condições de contorno):
(3)
ui
=
gi
T
=G
(2)
( xk , t )
, x t ( k )
(2.7)
onde gi( n ) ( xk ) e G ( n ) ( xk ) são funções de todas as coordenadas.
Eliminando σ ij das equações (1.30) usando (1.54), se tem:
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Introdução à Termoelasticidade 2 µ ε ij , j + (λε kk ,i − βΤ,i ) + Fj − ρ ui = 0
(2.8)
Usando (1.33) na equação acima se obtém:
µ ui ,kk +
(λ + µ ) uk ,ki − β T,i = (−Fj + ρ ui )
(2.9)
Agora, (2.9), (2.6) e (2.5), (59) são suficientes para a determinação do deslocamento dependente do tempo e do campo de temperatura, cujas equações podem ser escritas como:
∇2u + (λ + µ )∇(∇⋅ u) − β .∇T = ρ u − F
µ
(2.10)
e
∇2T −
1 β T − T (∇⋅ u) a λT
(2.11)
O vetor deslocamento u pode ser dividido na soma de uma parte irrotacional e outra
parte selenoidal: u = ∇Φ + ∇ × A
onde
(2.12)
U
Φ é um potencial escalar e U
U
A um potencial vetorial ; e substituindo a expressão U
acima em (2.11), se tem:
∇2Φ−
1 β T Φ− = 0 2 C 1 λ + 2 µ
(2.13)
1 A = 0 C 22
(2.14)
1 β T 2 T − ∇ Φ=0 a λΤ
(2.15)
∇2 A −
∇2T −
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Introdução à Termoelasticidade onde C 12
=
(λ + 2 µ ) / ρ e
2
C 2
= µ /
ρ e
C 1 → é velocidade de propagação de ondas dilatacionais; C 2 → é velocidade de propagação de ondas cisalhantes;
as quais são caracterizadas pela mudança de forma sem mudança de volume.
Eliminando T das equações acima [(2.13), (2.14) e (2.15)] se obtém a equação para
L1L2
Φ−
β 2T 0 acε (λ + 2 µ )
Φ:
∇2Φ = 0
onde T 0 é a temperatura do corpo no estado não tencionado quando
(2.16)
Φ=0
e
L1 e L2
são operadores diferenciais:
⎛⎜ 2 1 ∂ ⎞⎟ ⎜⎜⎝∇ − a ∂t ⎟⎟⎠ ⎛⎜ 2 1 ∂ 2 ⎟⎞ ⎟ L2 = ⎜∇ − 2 ⎜⎝ C1 ∂t 2 ⎟⎟⎠ L1 =
(2.17)
Se o acoplamento existente em (2.10) e (2.11) entre as deformações e os campos de temperatura for negligenciado, obtém-se a solução geral de (2.12) do problema termoelástico dinâmico ou estático (se ρ ui
=
0 ), na qual o potencial escalar
Φ
e o
potencial vetorial A são determinados por:
Φ=
L1
β (T − T 0 ) λ + 2 µ
(T − T0 ) =
1 + ν 1 − ν
α T (T − T0 )
L2 A = 0
(2.18)
(2.19)
De uma forma generalizada se tem:
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Introdução à Termoelasticidade
2 Ln
∂2 , ∀n = 1, 2, … =∇ − 2 Cn ∂t 2 1
2
(Ver outra solução no item 2.3 do livro do Boley & Weiner).
3. Princípios Variacionais para Problemas Termoelásticos Acoplados. Biot, em 1956, estabeleceu um principio para o problema da termoelasticidade acoplada.
Limitando as considerações a pequenos desvios do sistema termodinâmico do seu estado de equilíbrio ( T
≈ T 0 )
se tem: (1) o vetor campo de deslocamento u , e (2) o
vetor campo de fluxo de entropia s . O fluxo de entropia s é definido como a taxa de fluxo de calor dividido pela temperatura absoluta na direção indicada pelo vetor s . Ele é relacionado com o fluxo de calor q pela equação: q = Ts ≈ T0 s
(3.1)
ou qi
= T0si
Em vista das equações (1.7) e (1.18) se tem:
−si,i =
Q T 0
= S
(3.2)
As componentes ui do vetor deslocamento e as componentes si do fluxo de entropia passam por seis variações independentes δ ui ,δ si (i = 1, 2, 3) , que em vista das equações (1.30), (1.7) e (3.1) pode-se escrever para toda a extensão
Ω do corpo:
⎛⎜ T0si ⎞⎟ ∫Ω (σ ij,i − ρu)δ ui dΩ− ∫ Ω ⎜⎜⎝F+ λT ⎟⎟⎟⎠δ sid Ω = 0
(3.3)
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Introdução à Termoelasticidade Aplicando o teorema da divergência sobre a equação anterior, se tem:
∫ σ n δ u d Γ ∫ (−ρ u )δ u d Ω− ∫ σ δε d Ω− ij
j
+
i
i
Γ
i
ij
Ω
Ω
−∫ (T − T0 ) niδ si d Γ + ∫ (T − T0 )δ si ,id Ω− ∫ Γ
ij
Ω
Ω
T0si
λT
(3.4)
δ sid Ω = 0
A segunda integral da expressão acima, pode ser transformada baseada nas equações (1.54), (3.2) e (1.51) da seguinte forma:
∫
σ ijδε ij d Ω = δ
Ω
⎛⎜ λ 2 ⎞⎟ ε µ ε ε + ∫Ω ⎜⎜⎝ 2 kk ij ij ⎟⎠⎟d Ω− ∫ Ω β (T − T0 )δε kk d Ω
∫ (T − T )δ s dΩ 0
i ,i
=
Ω
−∫ (T − T0 )δ sd Ω = Ω
2
∫
cε (T − T 0 ) 2T 0
Ω
d Ω−
(3.5)
(3.6)
∫ β (T − T )δε d Ω 0
kk
Ω
Nas transformações acima foi feito uso do fato que δ ijε ij
= ε kk .
Levando assim as
expressões (3.5) e (3.6) em (3.4) e levando em conta as condições de contorno
= σ ij n j ,
f i
∀i, j = 1, 2, 3
(3.7)
Pode-se, finalmente, formular a expressão do princípio variacional para problemas de termoelasticidade acoplada, da seguinte forma:
δ V B + δ D =
∫ ( f δ u −(T − T )n δ s )d Γ ∫ (−ρu )δ u d Ω i
Γ
i
0
i
i
+
i
i
(3.8)
Ω
onde 2 ⎡λ cε (T − T 0 ) ⎤⎥ 2 ⎢ V B = ∫ ⎢ ε kk + µ ε ijε ij + ⎥ d Ω 2 2 T 0 ⎢ ⎥⎦ Ω ⎣
(3.9)
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Introdução à Termoelasticidade
D =
1 2
∫ Ω
T0si si
λT
d Ω
(3.10)
O invariante escalar V B é chamado de potencial termoelástico do Biot, o invariante escalar D é chamado de função dissipação, e como pode ser verificado pela igualdade acima, este último é proporcional a taxa de produção de entropia em todo do corpo
Ω.
O lado direito da expressão (3.8) pode ser interpretado como um trabalho virtual generalizado, uma vez que a quantidade
−(T − T0 ) ni
com ni o versor normal ao
contorno, é análogo a uma força e δ si é análogo a um deslocamento virtual.
Para problemas de termoelasticidade desacoplada, como se verá mais adiante, apenas os deslocamentos ui está sujeitos a variações. Então, quando os termos de acoplamento
∫ β (T − T )δε d Ω forem omitidos de (3.6), o princípio variacional (3.4) produzira 0
kk
Ω
uma equação variacional de Lagrange para o caso de equilíbrio termoelástico. Se por outro lado, os termos mecânicos em (3.8) forem igualados a zero, se obterá a equação variacional para a condução de calor:
∫ ((T − T ) n δ s ) d Γ
δ V B + δ D = −
0
i
(3.11)
i
Γ
Onde agora se tem:
⎡ c (T − T )2 ⎤ 0 ⎥ d Ω V B = ∫ ⎢⎢ ε ⎥ 2 Ω ⎢ T 0 ⎥⎦ ⎣ 1
D =
1
2 ∫ Ω
T0 si si
λT
d Ω ∴ si
=
qi T 0
(3.12)
(3.13)
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Introdução à Termoelasticidade
4. Termoelasticidade Quase-Estática Desacoplada. 4.1 Generalidades
As equações vistas anteriormente, combinam a teoria da elasticidade com a condução de calor sob condições transientes, cujas soluções são bastante difíceis. Afortunadamente, em muitas aplicações de engenharia, é possível omitir o termo de acoplamento mecânico na equação de energia (2.5) ou (2.11) e o termo de inércia na equação do movimento (1.30) ou (2.10), sem acarretar erros significantes. Quando essas simplificações são introduzidas a teoria e dita “não acoplada quase–estática”,
e
degenera o problema em outros dois, de condução de calor e termoelasticidade.
Com o desacoplamento, os dois problemas surgidos, podem ser resolvidos separadamente. O primeiro é um problema que é tratado geralmente pela teoria da condução de calor e requer a solução de problema de contorno, cuja equação, quando as propriedades forem constantes e não há geração interna de calor é dado pela equação (2.5) sem o termo acoplado:
T ,ii
=
T
a
(4.1)
Quando a distribuição de temperatura é conhecida, a determinação da distribuição de tensão resultante, quando se negligencia, conforme já dito, o termo de inércia, é um 2
problema que é tratado pela teoria quase-estática desacoplada da termoelasticidade (ou TP
PT
simplesmente termoelasticidade) para a qual as equações de campo são (1.33) e (1.31) e (1.30) sem o termo de inércia:
1
(ui , j + u j,i ) 2 σ ij = λε kkδ ij + 2 µ ε ij − β (T − T 0 )δ ij ε ij
=
e
2
Quando os termos do acoplamento na equação da condução de calor e os termos inerciais nas equações do movimento são desagregados, a formulação do problema termoelástico é dito quase-estático . TP
PT
U
U
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Introdução à Termoelasticidade
σ ij , j + F i = 0
(4.2)
Note que, com o desacoplamento, não aparece em nenhuma equação de campo ((1.33), (1.31) e (4.2)) derivada com relação ao tempo. Se as condições de contorno também não envolvem quaisquer derivadas com respeito ao tempo, então o tempo t será simplesmente um parâmetro na solução de problemas termoelásticos. Em outras palavras, é uma completa analogia matemática entre as soluções correspondentes a uma família de distribuição de temperatura estacionaria dependente de um parâmetro c , T ( xk , c) e de uma distribuição de temperatura transiente, T ( xk , t ) . A distribuição de tensão resultante dependerá assim de c e de t respectivamente, isto é, no último caso, a distribuição de tensão será dependente do tempo.
Viu-se também que a equação (1.33) precisa satisfazer a equação de compatibilidade:
ε ij ,k + ε k ,ij − εik , j − ε j ,ik = 0
(4.3)
Se em (1.39) se fizer σ ij = o , se tem:
ε ij
= α T T δ ij
que corresponde à equação (1.41). Se agora se substituir este resultado, após as derivações necessárias, na expressão (4.3), se encontra:
δ k T ,j +T ,k δ ij − T , j δ ki − T ,ki δ j = 0
(4.4)
T ,ij = 0, ∀i, j
(4.5)
que é satisfeita se:
Agora tomando (1.33) e (1.31) substituindo em (4.2) se encontra a equação de Navier generalizada:
µ ui , jj +
(λ + µ ) u j , ji + Fi − β T,i = 0
(4.6)
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Introdução à Termoelasticidade que é particularmente útil quando as condições de contorno são dadas em termos de deslocamentos. Se por outro lado, as tensões é que são especificadas como condições de contorno, se tem:
ti
= σ ij n j =
gi ( xk )
(4.7)
Onde n j é o vetor normal à superfície de contorno e as funções gi são especificadas. Se assim o é, se deve utilizar a seguinte equação:
(
)
n j λuk ,kδ ij + µ (ui , j + u j ,i ) − β Tδ ij = gi
(4.8)
Comparando (4.6) e (4.8) com as equações gerais da elasticidade linear, si vê que o eleito da mudança de temperatura T (ou T − T0 ) é equivalente a trocar as forças de corpo F i da equação de Navier por Fi − β T ,i e substituir as forças de superfície gi por gi + β niT .Assim o deslocamento u produzido por T é o mesmo produzido pelas
forças de corpo
− β T ,i e
forças de superfície normais β T agindo sobre o corpo de
mesma forma, mas submetido a um campo de temperatura uniforme. Em linguagem matemática se tem: ( II )
ui I ( xk , t ) = ui ( )
σ
CORPO 1
( I ) ij
=σ
( II ) ij
( xk , t )
− β T
( I )
δ ij
(4.9)
CORPO 2
Esta analogia é conhecida como “ analogia de Duhamel – Neumann ”. U
U
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Introdução à Termoelasticidade
4.2 Princípios Variacionais Para a Termoelasticidade Desacoplada. Na teoria da termoelasticidade desacoplada, o campo de temperaturas é determinado pela condução de calor e a influencia do calor latente devido à mudança de deformação é ignorada. Existe diferença entre as leis variacionais para a elasticidade dos materiais isentrópicos para as da termoelasticidade, no entanto, na termoelasticidade linear tal diferença nas relações tensões-deformações é oculta quando se utiliza as seguintes expressões, as quais são aplicadas tanto à elasticidade quanto a termoelasticidade:
∂W = σ ij ; ∂ε ij
(4.10)
∂W c = ε ij ∂σ ij
(4.11)
onde W (ε ij , T ) e W c (σ ij , Τ) são respectivamente a “ função de energia de deformação ” U
U
e a “ função energia complementar de deformação ”; W (ε ij , T ) é expressa em U
U
componentes de deformação, enquanto W c (σ ij , Τ) em componentes de tensão; na teoria linear elas são iguais. Para a elasticidade isentrópica W é dado por:
W
2 λε kk
=
2
+ Gε ijε ij
(4.12)
Para a termoelasticidade em geral, W é dada por:
W
=
− β ij (T − T0 )ε kk +
Seja, agora, a energia total de deformação com limites
Ψ de
1 2
λε kk2
+ Gε ij ε ij
(4.13)
um corpo que ocupa uma região
Ω
Γ: Ψ = ∫ W (ε ij , T ) d Ω
(4.14)
Ω
Página 23 de 42
Introdução à Termoelasticidade Supondo que o corpo esteja sujeito a forças de corpo F i por unidade de volume, e a força de superfície f i sobre
Γσ ∴ ( Γσ ⊂ Γ) ,
as quais, por hipótese, serão funções do
espaço e do tempo, não influenciadas por pequenos deslocamentos elásticos.
Seja
Κ a energia cinética do corpo e
A o potencial do carregamento externo, definidos
pelas expressões:
Κ= Α = −∫
∂ui ∂ui ρ d Ω 2 ∫ Ω ∂t ∂t 1
Ω
Fi ui d Ω−
∫
Γσ
(4.15)
f iν i d Γ σ
(4.16)
Mas o Principio de Hamilton estabelece que de todos os deslocamentos ui que satisfazem as condições de contorno:
ui
=
g i ( xk )
∵ Γ u = Γ −Γσ
Γu
(4.17)
e que também satisfazem a equação do movimento, minimiza a seguinte integral:
t 1
∫ (Ψ −Κ t 0
+
Α)dt = mínimo
(4.18)
onde t 0 e t 1 são instantes arbitrários, e onde as variações admissíveis δ ui são triplamente diferenciáveis e satisfazem as seguintes condições:
δ ui
δ ui
= 0,
⊆ Γ u ∧ (t 0 ≤ t ≤ t 1 )
(4.19)
∀ (t = t0 ) ∧ (t = t1) ⊆ (Ω + Γ)
(4.20)
= 0,
Se o corpo estiver em equilíbrio estático, então o Principio da Energia Potencial Mínima para a termoelasticidade estabelece que todos os deslocamentos que são contínuos e triplamente diferenciáveis no corpo
Ω + Γ , e que satisfaz os deslocamentos
limites especificados ui sobre Γu são os que satisfazem à condição: Página 24 de 42
Introdução à Termoelasticidade
∫ W (ε , T ) d Ω− ∫ F u d Ω− ∫ f u d Γ ij
i
Ω
i
i i
Ω
σ
= mínimo
(4.21)
Γσ
De forma similar, variando as tensões σ ij , o Principio da Energia Complementar estabelece que o sistema de tensões σ ij que satisfaz as equações da elasticidade, minimiza a energia complementar com relação à variação de σ ij :
∫ W (σ , T )d Ω− ∫ Ω
c
ij
Ω
∫
Fi ui d Ω−
Γu
f iui d Γ u
= mínimo
(4.22)
onde W c é dado por: W c = −ρ Φ
(4.23)
⎡ν ⎤ 1 + ν −Wc = ρ Φ = ⎢ σ kk2 − σ ijσ ij ⎥ −α (T − T0 )σ kk + C2 (T ) ⎢⎣ 2 E ⎥⎦ 2 E
(4.24)
ou ainda:
onde
∫
C2 (T ) = ρ
Onde
Φ
T
T0
dT
T
∫ (C ) T 0
p
σ ij =
⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ dT 0 ⎝ T ⎠
(4.25)
é o potencial de Gibbs (veja (1.20)). As variações δσ ij estão sujeitas às
condições:
δ (σ ij ) = 0 ∈ Ω
(4.26)
∈ Γσ
(4.27)
δσ ij n j
=0
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Introdução à Termoelasticidade
4.3 Generalização do Teorema de recipr oci dade de Betti3 Maxwell para a Termo elastic idade. TP
PT
Sejam dois estados de tensões em um corpo elástico ocupando um espaço superfície de contorno
Γ.
Ω com
O primeiro estado é caracterizado pelas tensões σ ij e pelas
deformações ε ij ; sejam também os deslocamentos ui produzidos pelas forças externas F i , f i e pelo campo de temperatura T . O segundo estado é caracterizado pelas tensões
σ ij* , pelas deformações ε ij* , pelos deslocamentos ui* produzidos pelas forças externas *
*
*
F i , f i e pelo campo de temperatura T .
Aplicando o teorema da divergência, as condições de equilíbrio e as condições de contorno cinemáticas, o trabalho das forças no primeiro estado em relação aos deslocamentos no segundo estado é dado por:
L12
=
∫ F u d Ω ∫ f u d Γ * i i
Ω
=
∫ (σ
ij , j
+ Fi
Ω
* i i
+
=
Γ
σ ε d Ω
)u d Ω + ∫ σ u d Ω = ∫ * i
ij
* i, j
Ω
(4.28)
* ij ij
Ω
Similarmente, o trabalho das forças no segundo estado em função dos deslocamentos do primeiro estado de tensões é dado por:
L21 =
∫ F u d Ω ∫ f u d Γ ∫ σ ε d Ω *
i
Ω
i
*
+
i
Γ
i
* ij ij
=
(4.29)
Ω
Subtraindo L21 de L12 e eliminando ou as tensões ou as deformações com a ajuda da expressão da lei de Hooke para corpos isentrópicos (1.31) e da expressão das deformações dadas por (1.39), se acha:
3
Teorema da reciprocidade de Maxwell da mecânica das estrutura afirma: “o deslocamento na direção 1 causada por uma força atuando na direção 2 é igual ao deslocamento na direção 2 causada por uma força atuando na direção 1”. O teorema da reciprocidade de Betti-Maxwell é mais genérico que o anterior e afirma: “o trabalho realizado pelas ações do sistema A com os deslocamentos do sistema B é igual ao trabalho realizado pelas ações do sistema B com os deslocamentos do sistema A”. TP
PT
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Introdução à Termoelasticidade L12 − L21 = (3λ + 2 µ )α T
∫ ((T
− T0 )ε kk −(T − T0 )ε kk* ) d Ω =
*
Ω
= αT
∫ ((T
*
− T0 )σ kk − (T − T0 )σ
* kk
)dΩ
(4.30)
Ω
Este resultado é a generalização do teorema de Betti-Maxwell para problemas quaseestáticos da termoelasticidade e é devido a Maizel, e por isso muitas vezes chamada de fórmula de Maizel . U
U
Agora se pode aplicar o resultado anterior para se determinar os deslocamentos num ponto prescrito em um corpo aquecido não uniformemente. Para isso pode-se assumir que F i = 0 , f i = 0 e mais T * = T 0 . As forças externas F i* e f i* serão consideradas equivalentes a uma força unitária concentrada no ponto xr 0 . Assim, a fórmula de Maizel produz a seguinte expressão para o deslocamento no ponto xr 0 , devido a um campo de temperatura T :
∫ (T − T )ε
( x , x ) d Ω =
∫ (T − T )σ
( x , x ) d Ω
ui ( xr0 ) = β
0
* kk
0 r
r
Ω
= αT
0
* kk
0 r
r
(4.31)
Ω
Onde β
= (3λ + 2 µ )α T ,
e σ kk ( xr , xr ) e ε kk ( xr , xr ) são as somas das componentes da *
0
*
0
diagonal principal (isto é, o traço – primeiro invariante de um tensor) dos tensores de tensão σ ij e de deformação ε ij . A formula (4.31) pode ser generalizada para o caso em que o modulo de elasticidade, a razão de Poisson e por conseqüência os coeficientes λ e µ de
Lamé forem dependentes da temperatura e, portanto funções também da posição
xr . Dessa forma se tem:
ui ( xr0 ) =
∫ β (T − T )ε 0
* kk
( x , x )d Ω = 0 r
r
Ω
=
∫ α
T
(T − T0 )σ
* kk
( x , x ) d Ω 0 r
r
(4.32)
Ω
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Introdução à Termoelasticidade * Aqui, σ kk ( xr0 , xr ) e ε kk* ( xr0 , xr ) precisam ser interpretados como os traços do tensor-
tensão e do tensor-deformação correspondente a ação de uma força unitária sobre o corpo elástico no qual E e ν variam como funções da posição de uma maneira correspondente a campo de temperatura prescrita.
Assim, quando o teorema da reciprocidade é usado, o problema da determinação do estado de tensões térmicas em um corpo elástico é reduzido a um problema da teoria da elasticidade isotérmica com uma força unitária concentrada aplicada. Se as deformações forem axisimétricas, o problema termoelástico se reduz àquele de estado de tensões de um corpo uniformemente aquecido sob a ação de forças uniformemente distribuídas ao longo do seu contorno.
5. Princípio Variacional Para a Condição de Calor As equações básicas da condução de calor, conforme já apresentadas, são:
qi
=
qi ,i
−λT T , j ij
=
−cV T
onde T = T − T 0 .
Um problema em condução de calor para um corpo ocupando volume
Ω com limite Γ
é o de achar uma função continuamente diferenciável T ( x1 , x2 , x 3 , t ) que satisfaça as equações (1.15) e (1.35) reproduzidas acima e as condições de contorno:
( xk , t ) ∈ Γ*
(5.1)
* ( xk , t ) ⎡⎣T0 ( xk , t ) − T ( xk , t) ⎤⎦ ∈ Γ−Γ
(5.2)
T
qn
= T0
= α
em t = 0 → T
= T0
( xk ,0) ∈ Ω + Γ
(5.3)
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Introdução à Termoelasticidade onde qn é o componente do fluxo de calor q na direção de um vetor normal á
superfície
Γ , isto é,
qn
=
qi ni ; α é o coeficiente de transmissão de calor e a equação
(5.2) é a lei de Newton para a Transferência de Calor em superfícies.
O Principio Variacional de Biot estabelece que se cV é constante, então as equações U
U
(1.15), (1.35) e (5.1) a (5.3) são condições necessárias para a seguinte equação variacional:
δ
∫
cV T 2
Ω
2
dΩ +
∫ K Q δ Q dΩ ∫ T δ Q n d Γ ij
j
*
+
j
0
i
i
=0
(5.4)
Γ∗
Ω
para uma variação arbitraria do vetor Q, sob as condições:
Qi ,i
δ Qi
=
−cV T
∈ (Γ− Γ* )
=0
(5.5)
onde Q = qi satisfaz (5.2).
A matriz
( Κ ) é ij
chamada de resistividade térmica, e sua inversa é a matriz de
condutividade térmica:
−1
(λΤ ) = (Κ )
(5.6)
ij
ij
E a relação existente entre Q e q é:
Q i
=
(5.7)
qi
Página 29 de 42
Introdução à Termoelasticidade
BIBLIOGRAFIA [1].
N. Kovalenko – - Thermoelasticity –1969
[2].
P. P. Benham & Russel Hoyle - Thermal Stress –Sir Isaac Pitmdn & Sons Ltd – 1964
[3].
Bruno A. Boley & Jerome H. Weiner –- Theory of Thermal Stress – John Wiley & Sons – London - 1960
[4].
Y. C. Fung - Foundations of Solid Mechanics – Printice – Hall – New Jersey – 1972
[5].
D. J. Johns. - Analisis de La Tension Térmica – Ediciones Urmo – Bilbao – 1967
[6].
J. Dunwoody – On Weak Shock Waves in Thermoelasticity Solids – Journal Mathematical Applied, pp 203-208
[7].
Hans Ziegler – Thermomechanics – Quarterly of Applied Mathematics – vol. XXVI – abr. 1972 – nº 4, pp 91-106
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S. P. Timoshenko & J. N. Godier - Theory of Elasticity – McGraw Hill – 1970
[9].
V.G. Rekach - Manual of The Theory of Elasticity – Mir – 1979.
[10].
Aköz, A. Y., Tauchert, T. R. Thermoelastic Analysis of a Finite Orthotropic Slab. J. Mech. Eng. Science, vol 20 N°2, pp 65-71, 1978.
[11].
Agostineli, Cataldo. On the Theory of Thermoelasticity and Some Recent Contributions. Meccanica (dez 1971) pp 179-196.
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Introdução à Termoelasticidade
ANEXOS Problemas Clássicos – Visão Geral
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Introdução à Termoelasticidade
ANEXOS A Problemas Clássicos – Visão Geral
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Introdução à Termoelasticidade
A1. Tensões Térmicas Longitudinais em uma Placa Retangular
Seja a placa retangular delgada vista acima, em que a variação da temperatura é unicamente função da coordenada y e o comprimento total 2 A é muito maior que a altura 2 B e que a espessura D . Na placa temos então T
=T
( y),
e admitir-se-á a
hipótese de tensão plana: σ zz = σ xz = σ yz = 0
(2.1)
Como é delgada, suponhamos também de não exista forças de corpo e que σ yy e σ xy sejam nulas e que σ xx
=
f ( y ) satisfaz as equações de equilíbrio:
∂σ xx ∂ y
=0
(2.2)
e
∂ 2σ xx ∂ 2 + ( Eα T ) = 0 ∂ y 2 ∂y 2 ∂2 (σ + Eα T ) = 0 ∂ y 2 xx
(2.3)
Cuja solução, após integrar, é:
σ xx
=
−Eα T + C1 + C2 y
(2.4)
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Introdução à Termoelasticidade As constantes C 1 e C 2 serão determinadas levando em consideração as condições de nulidade dos movimentos e dos esforços no plano yz , temos:
σ xx
=
− EαT +
1 2 B
∫
B
− B
EαTdy +
3 y 2B3
B
∫
−B
EαTydy
(2.5)
A2. Tensões Térmicas na Proximidade de Pontos Quentes em Placas Ilimitadas. Este é um problema cuja solução mais interessante foi dada por Godier, como um caso particular de um estudo geral tridimensional, onde foi demonstrado que as equações de compatibilidade tridimensional para o deslocamento se satisfazem integralmente se for encontrada uma função potencial ψ ( xk ) , a partir da qual se tira os deslocamentos da seguinte forma: u = ∂ψ / ∂x v = ∂ψ / ∂ y
(2.6)
w = ∂ψ / ∂z
E onde a função ψ é a solução da equação:
∇2ψ =
1 + ν 1 −ν
α Τ
(2.7)
No caso de deformação planas, desprezando-se as forças de corpo [ w = 0, F i = 0 ] a equação (2.7) se reduz a:
∂ ∂ 1 + ν ψ+ ψ = α Τ ∂ x ∂y 1− ν
(2.8)
Que tem uma equação correspondente a tensão plana que é:
∂ ∂ ψ+ ψ = (1 + ν )α Τ ∂ x ∂y
(2.9)
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Introdução à Termoelasticidade Cuja solução e dada pelo potencial logaritmo:
ψ
=
(1 + ν ) 2π
α
∫ ∫ Τ(ξ ,η )ln r′dξ d η
(2.10)
A equação acima proporciona a solução geral no caso de aquecimento localizado em uma placa ilimitada na qual a tensão e a deformação tendem a anula-se no limite.
Para um ponto quente “retangular” de dimensões 2a e 2b a uma temperatura T em uma placa ilimitada a zero grau de temperatura, o potencial logaritmo necessário é:
ψ
=
(1 + ν ) 2π
αT
b
a
∫ ∫ −b
−a
1 2
ln ⎡⎢( x − ξ )
2
⎣
+
2 ( y −η ) ⎦⎤⎥d ξ d η
(2.11)
De acordo com (2.6) determinando-se (2.11) obtém-se os deslocamentos e levando em conta as relações tensões x deformações, para os problemas de tensões plana, encontrase as expressões para as tensões σ xx ,σ yy ,σ xy . O valor máximo dessas tensões varia de
( 0,375 ) Eα T para um ponto quente de forma quadrada, a ( 0,5 ) Eα T , para um ponto quente de comprimento infinito.
A3. Disco Circular Fino – Distribuição de Temperatura Simétrica em Relação ao Centro Quando a temperatura T não varia sobre a espessura do disco, se pode assumir que as tensões e os deslocamentos devido ao aquecimento também não variam na espessura. As tensões σ r e σ θ satisfazem à equação de equilíbrio:
d σ r dr
+
σ r −σ θ r
= 0
(2.12)
O cisalhamento é zero devido à simetria da deformação. Se ε r representa a deformação radial real, ε r −α T representa a parte devida à tensão, e temos então:
Página 35 de 42
Introdução à Termoelasticidade
ε r − αT =
1
(σ r −νσ θ )
(2.13)
(σ θ −νσ r )
(2.14)
E
E similarmente:
ε r − αT =
1
E
Resolvendo (2.13) e (2.14)(3) para σ θ e σ r , encontra-se:
σr σθ
Ε ⎡ ε r + νεθ − (1 + ν )α T ⎤⎦ 1 − ν 2 ⎣ Ε ⎡ εθ + νε r − (1 + ν )α T ⎤⎦ = 1 − ν 2 ⎣
=
(2.15)
Levando-as em (2.12) vem:
d dT r (ε r + νεθ ) + (1 −ν )(ε r − εθ ) = (1 + ν )α r dr dr
(2.16)
Mas se sabe que,
ε r = ε θ
=
du dr u
(2.17)
r
Substituindo em (2.16) se tem,
2
d u dr 2
+
1 du r dr
−
u r2
=
(1 + ν )α
dT dr
(2.18)
a qual se pode escrever da seguinte forma: d ⎡1 d
⎤ dT ⎢ ( ru)⎥ = (1 + ν )α ⎥⎦ dr ⎢⎣ r dr dr
(2.19)
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Introdução à Termoelasticidade Integrando a expressão anterior se encontra a equação:
u = (1 + ν )α
1 r
r
∫ a
Trdr + C1r +
C 2 r
(2.20)
Onde a é o raio interno do disco. Levando o resultado (2.20) em (2.17) e o resultado dessa substituição sendo levado para (2.15) se encontra:
σ r = −α E
σ θ = −α E
1 r
2
1 r
2
r
∫
Trdr +
a
⎡ 1⎤ ⎢ ⎥ 1 1 C + C − − ν ν ( ) ( ) 1 2 2 2 1− ν ⎣⎢ r ⎦⎥ E
E ⎡
r
∫ Trdr − α ET + 1 − ν a
2
⎢C1 (1 + ν ) − C 2 (1 − ν )
⎣
(2.21)
1⎤ 2 r ⎦⎥
(2.22)
Agora as constantes C 1 e C 2 serão determinadas pelas condições de contorno. Para um disco cheio, se tem o raio interno a = 0 , e tendo em conta que:
lim r →0
se verifica que C 2
=0
1 r
r
∫ Trdr 0
=0
pois na equação (2.20) u deve ser nulo quando r = 0 . Por outro
lado, quando r = b se tem:
α C 1 = (1− ν ) 2 b
b
∫ Trdr
(2.23)
0
Logo as expressões (2.21) e (2.22) devem ser reescritas definitivamente como:
⎛1 b ⎞⎟ 1 r Trdr Trdr − ⎟ ⎜⎝ b2 ∫0 ⎠⎟ r 2 ∫ 0
(2.24)
⎛⎜ ⎞⎟ 1 b 1 r −Τ + Trdr + Trdr ⎟⎟ ⎜⎜⎝ 2 2 ⎠ b ∫0 r ∫ 0
(2.25)
σ r = α E ⎜⎜
σ θ
= α E
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Introdução à Termoelasticidade
A4. Cilindros Longos Ajustados um Interno ao Outro (Problemas de Gadolin)
Neste tipo de problema a temperatura do cilindro depende só de r 1 , de modo que se tem T
= T ( r ) ,
isto é, um problema com simetria
axial. Por hipótese será considerado que o contato entre os cilindros será sempre mantido. Denotando por P a pressão entre os dutos durante o aquecimento, vê-se que o valor de P será determinado da condição de que os deslocamentos dos pontos de raio externo do (1)
tubo interno ur e do raio interno do tubo (2)
externo ur são iguais.
Sabe-se que os deslocamentos de um tubo na direção radial são:
(1)
2G1ur
r12 =
∫
r1 0
(λ1 +
2 2
r 2
∫ G )( r − r ) 1
( 2)
2G2ur G2 r
2 1
r 1
r22 =
r 1
∫ Trdr 0
+
(r − r ) r
G1r
2 2
Trdr − r22
0
(λ2 + G2 )( r32 − r 22 ) ∫ r 2
r
∫ Trdr
+
0
⎛ λ1 + 2G1 r r r r + r −r ⎝⎜ k1 r22 − r12
Trdr − r32
∫ Trdr 0
⎛ λ2 + 2G2 ⎝⎜ k2
Trdr −Ρ⎜⎜
2 2 1 2 2 2 2 1
1 ⎞⎟
(2.26)
⎟
r ⎠⎟⎟
r 2
(r22 − r12 ) r r 3
r
2 2
Trdr −Ρ⎜⎜
r2
∫
2 1
1
+
1 r
r
∫ Trdr 0
+
r r 1 ⎞⎟ ⎟ r + r32 − r22 r32 − r22 r ⎠⎟⎟ 2 3
r
2 2 3 2
As equações acima (2.26) e (2.27) podem ser escritas mais compactamente, da seguinte forma:
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(2.27)
Introdução à Termoelasticidade
−Ρψ 1 ( r ) (2 ) 2G2 ur = ϕ 2 ( r ) + Ρψ 2 ( r ) (1)
2G1ur
(1)
Assim, quando r = r 2 , ur
(2)
= ur
= ϕ1 ( r )
(2.28)
, se tem:
P=
G2ϕ1 ( r2 ) − G1ϕ 2 (r2 ) G1ψ1 ( r2 ) − G2ψ 2 ( r2 )
(2.29)
que é a solução geral do problema proposto; ϕ1 ,ϕ 2,ψ 1,ψ 2 são tirados por comparação entre (2.28) , (2.27) e (2.26).
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Introdução à Termoelasticidade
ANEXO B Coordenadas Curvilíneas
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Introdução à Termoelasticidade
Coordenadas Curv ilíneas O uso de coordenadas curvilíneas ortogonais em muitos problemas é vantajoso em relação ao uso do sistema de coordenadas retangulares
Em coordenadas cilíndricas a posição de um ponto P é determinada por três coordenadas r,θ , z :
x1 = r cosθ x2
=
r sin θ
x3 = z
Considerando três versores mutuamente ortogonais er , eθ , ez obedecendo ao sistema da mão direita. O vetor radial é er , o versor azimutal é eθ e o versor axial é ez . As operações fundamentais vetoriais em coordenadas cilíndricas polares são expressas por:
gradψ
=
∇ψ =
1 ∂ψ ∂ψ ∂ψ er + eθ + e ∂r ∂z z r ∂θ
div a = ∇⋅ a =
∂ (rar ) 1 ∂aθ ∂a z + + ∂r ∂ z r ∂θ
(1.1)
(1.2)
⎛⎜ 1 ∂ (raθ ) 1 ∂ar ⎞⎟ ⎛ 1 ∂a z ∂aθ ⎞⎟ ⎛⎜ ∂ar ∂a z ⎞⎟ e + e + − − ⎜⎝ r ∂θ ∂z ⎠⎟⎟ r ⎝⎜⎜ ∂z ∂r ⎠⎟⎟ θ ⎜⎜⎝ r ∂r − r ∂ θ ⎠⎟⎟⎟ez
rot a = ∇ × a = ⎜⎜
(1.3)
⎛⎜ 1 ∂ ⎛ ∂ ⎞⎟ 1 ∂ 2 ∂ 2 ⎞⎟ ⎜ r ⎟ + ⎟ψ + ∇ ψ = ⎜⎜ ⎝ r ∂r ⎜⎜⎝ ∂r ⎠⎟ r 2 ∂θ 2 ∂z 2 ⎠⎟⎟ 2
(1.4)
As relações deformação-deslocamento em coordenadas polares cilíndricas é: ⎞ 1 ⎛ ∂u ∂u ∂uz ε r = r ; εθ = ⎜⎜ θ + ur ⎟⎟⎟; ε z = ⎠ r ⎜⎝ ∂θ ∂r ∂z
ε rθ
1 ⎛⎜ 1 ⎛⎜ ∂ur
⎞ ∂uθ ⎞⎟ = ⎜ ⎜ + uθ ⎟ + ⎟; ⎠⎟⎟ ∂r ⎠⎟ 2 ⎜⎝ r ⎝⎜ ∂θ
εθ z
=
1 ⎛⎜ ∂uθ
⎜
2 ⎝⎜ ∂z
+
1 ∂ur ⎞⎟ r
1 ⎛⎜ ∂ur
∂u ⎞ ⎟⎠⎟; ε zr = ⎝⎜⎜ + r ⎟⎟⎠⎟ 2 ∂r ∂θ ∂ z
As equações das tensões são da forma:
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(1.5)
