Idrologia Tecnica - Esercizi

Università degli Studi di Trieste Piazzale Europa 1, 34100 Trieste Facoltà di INGEGNERIA Corso di Laurea in INGEGNERIA CIVILE ED AMBIENTALE – CURRICULUM TRASPORTI Anno Accademico 2005/2006

Esercizi di IDROLOGIA TECNICA

Studente: Marega Edoardo

Docente: prof. Elpidio Caroni

Edoardo Marega

Esercizi di Idrologia Tecnica, A.A. 2005/2006

Esercizio 1: Data la sequenza di piogge orarie (mm): 12.8, 42.2, 21.6, 0.8, calcolare la sequenza delle piogge efficaci: 1. Secondo uno schema Hortoniano con intensità di infiltrazione pari a 16.5 mm/h costante; 2. Secondo uno schema ad area contribuente con coefficiente di afflusso 0.2 costante.

Dati: f 16.5 16.5 16.5 16.5

p 12.8 42.2 21.6 0.8

1. Approccio Hortoniano: Considerando che per: ( p− f) < 0 → p= 0 Otteniamo: p 0 25.7 5.1 0

1

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2. Approccio ad area contribuente: pa = p ⋅ φ pa

2.56 8.44 4.32 0.16

2

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Esercizio 2: Il dimensionamento di una fognatura è stato eseguito in riferimento ad un evento di progetto con Tr = 5 anni. Determinare la probabilità di non superamento dell’evento di progetto su un periodo di 10 anni.

Svolgimento: n

⎛ 1⎞ P = ⎜1 − ⎟ = 0.107 = 10.7% ⎝ T r ⎠

Esercizio 3: Un piccolo bacino di drenaggio è caratterizzato da una superficie con area di 34 ha, e da un’asta principale con 0.85 Km di lunghezza. Si stima, inoltre, un coefficiente di afflusso pari a 0.4 e una curva di possibilità pluviometrica di frequenza ventennale h = 25 ⋅ t 0.37 , con t in ore e h in mm. Calcolare la portata di piena dell’evento critico col metodo della corrivazione, considerando una velocità media di scorrimento dell’acqua nei canali par a 0.5 m/s.

Dati: b

A= 0.34

=L 0.85 φ = 0.4

k2m v H 2O = 0.5m / s km 0.37 h = 25 ⋅ t

Svolgimento: Secondo il metodo della corrivazione lineare, la durata t crit che rende massima la portata al colmo è il tempo di corrivazione lineare. Infatti l’IUH è fatto in questo modo: Tc =

L ⋅103 v H 2O ⋅ 3600

= 0.472ore

3

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Di conseguenza la portata dell’evento critico vale: n −1

Qc =

Ab ⋅ φ ⋅ a⋅ Tc

3.6

3

= 1515 m s

Esercizio 4: I dati di una stazione pluviografica hanno consentito di stimare i parametri della distribuzione di Gumbel per le piogge massime annue da 1 a 24 ore. I risultati sono riportati in tabella, bella quale (h − β ) rappresentano i coefficienti coefficienti della relazione r elazione di Gumbel Z = . α e β rappresentano α

Calcolare i parametri della curva di possibilità possibilità pluviometrica per il tempo di ritorno di 15 anni. Secondo questa curva, quale altezza di pioggia corrisponde alla durata di 8 ore? Durate 1 3 6 12 24

α

β

14.2 28.4 49.2 73.8 90.9

42.7 72.4 103.8 146.1 203.4

4

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Svolgimento: ⎛ ⎛ T r ⎞ ⎞ = − l n ln ⎜ ⎜⎜ yln ⎟ ⎟⎟ = 2.6738 r − T 1 ⎝ ⎝ r ⎠ ⎠

mm

Definiamo le distribuzioni EV1 Di Gumbel per ogni durata: h1 ( yr ) = α 0 ⋅ yr + β 0 = 80.667mm h3 ( yr ) = α 3 ⋅ yr + β 3 = 148.335mm h6 ( yr ) = α 6 ⋅ yr + β 6 = 235.349mm h12 ( yr ) = α12 ⋅ yr + β 12 = 343.423mm h24 ( yr ) = α 24 ⋅ yr + β 24 = 446.444mm

Ora, col metodo dei minimi quadrati non lineari cerchiamo una retta che interpoli le altezze: ln h 4.39 4.999 4.461 5.839 6.101

ln t 0 1.099 1.792 2.485 3.178 5

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I coefficienti della retta di interpolazione saranno: x = ln t y = ln h

Quindi si troveranno i coefficienti m e q della retta: m = 0.552 q = 4.414

Ora si può tarare la Curva di Possibilità Pluviometrica: Pluviometrica: H ( t) = a ⋅ t n

n = m = 0.552 q a = e = 82.571

Risulta quindi: H( )t = 82.571 ⋅ 0.552 t

Per t = 8ore allora: (8) = 82H.571⋅ 80.552 = 260.305

mm

6

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Esercizio 5: Un bacino idrografico di 82km2 è caratterizzato da un ideogramma unitario istantaneo (IUH) a forma di triangolo, con base inferiore di 5 ore e valore massimo (vertice del triangolo)a 2 ore dall’origine temporale. Il bacino è interessato da una pioggia di intensità costante per una durata di ora e 45 minuti con altezza totale di 63 mm. Se il coefficiente di afflusso vale 0.48, trascurando il contributo del deflusso di base, quanto vale la portata al colmo e quanto tempo (ore e minuto) dopo la fine della pioggia transita per la sezione di chiusura del bacino? Dopo quante ore dall’inizio della pioggia ha fine il deflusso rapido?

Dati: 2

A= 82 Km

b

t p = 1.75h h = 63mm

φ = 0.48

Svolgimento: Calcoliamo l’altezza dell’IUH: 1=

5 ⋅ xh 2 ⇒ xh = 2 5

Definizione dell’IUH: ⎧ 0.4 ⎪⎪ x ⋅ 2 0 ≤ x ≤ 2 u ( x) = ⎨ ⎪− x ⋅ 0.4 + 0.4 ⋅ 5 2 ≤ x ≤ 5 ⎪⎩ 3 3

⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭

Graficamente

7

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Calcolo dell’intensità di pioggia: j =

h t p

= 36

mm h

Ruscellamento: r = φ ⋅ j = 17.28

mm h

Calcolo della portata affluente: Qa =

Ab ⋅ r

3.6

= 393.6

m

3

s

Ora, per individuare la portata massima critica bisogna massimizzare massimizzare la funzione. Per questa operazione ci serviamo di Matcad, un programma che permette la risoluzione delle funzioni integrali. Successivamente verrà riportato il codice usato per il calcolo. La funzione da massimizzare massimizzare è: Qc (t ) = Qa ⋅

t

∫

t −t p

u ( x )dx

8

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Calcolo del massimo della funzione Qc ( t ) con l’utilizzo di Matcad. t test = 3 Given u (ttest ) = u (ttest − t p ) tcrit = Find (tte st ) tcrit = 3.05h

Facendo una semplice sostituzione si ricava la portata critica: Qc (t crit ) = 227.304

m

3

s

La portata critica transita attraverso la sezione di chiusura dopo 3 ore e 3 minuti, mentre i deflusso rapido ha fine dopo 6 ore e 45 minuti dopo l’inizio della pioggia.

9

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Esercizio 6: 1

in un canale rettangolare rettilineo largo con K s = 50m 3 s −1 K si ha un cambiamento di pendenza da i f _ m = 0.012 a monte a i f _ v = 0.0008 a valle. Definire il tipo (o i tipi) di profilo che vi si realizzano per una portata di 12 m2 s . Nel caso si realizzi un risalto, indicarne le profondità coniugate.

Dati: 1

− K s = 50m 3 s 1

q = 12 m 2 s i f _ m = 0.012 i f _ v = 0.0008

Svolgimento: Per prima cosa si calcola, on la formula di Strikler, i tiranti di monte e di valle di moto uniforme: q = ks ⋅

⎛ q ⎜ = y 0_ m ⎜ ks ⋅ i f _ m ⎝ ⎛ q ⎜ = y 0_v ⎜ ks ⋅ i f _ v ⎝

3 y05

⋅ i f

3 5

⎞ ⎟ → ⎟ ⎠

m 0 _y

= 1.601 m

3 5

⎞ ⎟ → ⎟ ⎠

0 _yv

= 3.607

m

Calcolo del tirante critico: ⎛q

c y= ⎜

2

1 ⎞3

⎟ → cy= 2.449 m

⎝ g ⎠

Dunque: y0 _ m < yc y0 _ v > yc

Il tratto di monte è a forte pendenza mentre il tratto a valle è a debole pendenza. Siccome c’è un cambiamento cambiamento di pendenza, verrà a generarsi un risalto. Calcolo delle spinte:

10

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Spinta di monte: 2

Sm =

y0 _ m

2

+

q

2

y0 _ m ⋅ g

→ Sm = 10.46m 2

Spinta di valle: 2

Sv =

y0 _ v

2

+

q2 y0 _ v ⋅ g

→ S v = 10.58m 2

Dato che la spinta di monte è minore di quella di valle, il profilo verrà ricacciato a monte ed il risalto avverrà a monte. Calcolo delle altezze coniugate: y1 = y0 _ m 2

y1 ⎡

⎛ yc3 ⎞ ⎤ =y ⋅ ⎢ −1 + 1+ ⎜ 8 ⋅ 3 ⎟ ⎥ → 2 ⎢⎣ ⎝ y1 ⎠ ⎥⎦

2

=y 3.558

m

11

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Esercizio 7: Un fiume, assimilabile per geometria ad un canale rettangolare largo, porta in piena 20 m s 2 , con 1/ 3 −1 ks = 45m s e i f = 0.0005 . Se alla foce si ha una profondità d’acqua di 8 m , a che distanza il profilo si discosta dal livello di moto uniforme di 20cm ?

Svolgimento:

Per prima cosa andiamo a calcolare il tirante di moto uniforme dalla formula di Strikler: ⎛ q y0 = ⎜ ⎜ ks ⋅ i f ⎝

3 5

⎞ ⎟ = 6.012m ⎟ ⎠

Calcolo del Numero Di Froude: F r =

q y0 ⋅

g ⋅ y0

= 0.433

Dato che il Numero di Froude è minore di 1 ci troviamo in condizioni subcritiche. Facendo alcune considerazioni trigonometriche, possiamo calcolare la distanza L: 8 − ( y0 + 0.20 ) L

=i

⇓ L = 3576.54m

12

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Esercizio 8: Su una sezione idrometrica sono state eseguite le misure riportate in tabella. Stimare il valore della portata di piena eccezionale che ha fatto registrare il livello massimo strumentale a 8.74m . N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Z 1.22 1.58 2.34 2.95 3.34 3.17 3.65 3.91 4.32 4.55 4.73 5.21

Q 125 292.8 373 551.4 680.4 623 791 889 1054 1151 1230 1460

Svolgimento: Utilizzo il metodo dei minimi quadrati non lineari: N

x = log ( z )

y = log ( Q )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0.086 0.199 0.369 0.47 0.524 0.501 0.562 0.592 0.635 0.658 0.675 0.717

2.097 2.285 2.572 2.741 2.833 2.794 2.898 2.949 3.023 3.061 3.09 3.164

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In seguito possiamo calcolare i parametri m e q della retta interpolatrice: interpolatrice: log(Q) = q + m log( Z ) m = 1.6886 q = 1.95

È da notare che la retta r etta approssima in maniera soddisfacente l’andamento l’andamento dei punti. Curva interpolatrice: interpolatrice: Q (h) = 10 ⋅ h q

m

Dove: m = 1.689 q = 1.95

Successivamente viene stimato il valore della portata di piena eccezionale che ha fatto registrare il livello massimo strumentale a 8.74 m : 1.95

Q(8.74) = 10

⋅ h1.689

⇓ Q(8.74) = 3464.132m

3

/ s

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Esercizio 9: La risposta idrologica di un bacino è rappresentabile mediante uno IUH triangolare isoscele. Il tempo di corrivazione sia di 8 ore e l’area contribuente contribuente sia il 35% di quella totale che assomma assomma a 410Km2 . Se la curva di possibilità pluviometrica (CPP) per un tempo di ritorno centennale è di h = 40t 0.20 , calcolare: a. La durata dell’evento critico; b. La portata al colmo; c. Il tempo di transito, alla fine della pioggia, in cui la portata critica passa attraverso la sezione di chiusura del bacino.

Dati: Area del bacino: Tempo di corrivazione Coefficiente di afflusso Coefficiente a della CPP Coefficiente n della CPP CPP

2

b

A= 410 Km

Tc = 8 ore φ = 0.35

a = 40 n = 0.2 n h = a ⋅ t

IUH f(t) 0.25

(Tp)

0

2

4

6

8=Tc

t

T /2 c/2 tp t /2 p /2

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Procedimento: 1.1. Definizione del picco dell’IUH:

Per trovare il picco dell’IUH si procede utilizzando le proprietà del triangolo. È da notare che l’area del triangolo sotteso dall’IUH è unitaria. Tc ⋅ h

2

=1⇒ h =

1 = 0.25 4

1.2. Funzioni dell’IUH:

Conoscere le funzioni dell’IUH serve per imbastire l’integrale di convoluzione. convoluzione. Tratto AB: Trat Tratto to BC: BC:

0.0625 ⋅ t 0.5 0.5 − 0.06 0.0625 25 ⋅ t

1.3. Calcolo del fattore di attenuazione del colmo:

Per calcolare il fattore di attenuazione attenuazione del colmo bisogna svolgere l’integrale di convoluzione. Siccome l’IUH è simmetrico allora moltiplico moltiplico per 2 l’integrale. ε (t p ) = 2 ⋅

T c

∫ 2

T c T p

2

−

0.0625 ⋅ t ⋅ dt

2

⇓ ε (t

)p= 0.25 ⋅ t −p 0.01562t 2

p

Tracciamento della curva per punti: Fattore di attenuazione del colmo

t p

ε (t p )

0 4 8 16

0 0.75 1 0

1,2

1

0,8

) p t ( e

0,6

0,4

0,2

0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

tp

16

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A questo punto abbiamo gli elementi necessari per rispondere ad a), b) e c). a) Calcolo del tempo critico:

Per calcolare il tempo critico ( t p_ crit crit ) ci serve conoscere la curva delle portate Qc . La curva si trova mediante la seguente formula: Qc (t p ) = Qa (t p ) ⋅ ε (t p )

Dove: ε (t p )

ce la siamo calcolata al punto 1.3 ed in questo caso vale: ε (t

)p= 0.25 ⋅ t −p 0.01562t 2

p

Invece: n −1

Qa (t p ) =

Ab ⋅ φ ⋅ a⋅ tp

3.6 ⇓ −

Qa (t p ) = 1594.44 ⋅ t p0.8

Sostituendo e svolgendo si ha che: Qc (t p ) = Qa (t p ) ⋅ ε (t p )

⇓ Qc (t p ) = 398.61⋅ t 0p.2 − 24.9051 ⋅ t1p.2

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Tracciamento della curva per punti: t p

Qc (t p )

0 4 8 16

0 394 302 0 Curva delle portate

450,00

400,00

350,00

300,00

250,00

) p t ( c Q

Qc(tp)

200,00

150,00

100,00

50,00

0,00 0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

16,00

18,00

tp

Il tempo critico si ottiene con: dQc (t p ) dt p

= 0 ⇒ t p_ crit crit = 2.667 ore

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b) Calcolo della portata critica

La portata critica si ottiene con: Qc _ crit = Qc (t p _ crit )

⇓ Qc _ crit crit = 405.30

m3 s

c) Calcolo del tempo di transito della portata critica alla sezione di chiusura

Probabilmente è la parte più difficile dell’esercizio. Il tempo di transito si ottiene semplicemente facendo: T c

2

+

t p_ crit crit

2

= 5.333 ore dall’inizio della pioggia.

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Esercizio 10: Date le misure di Z e Q riportate in tabella, si stimi un’espressione analitica della scala dei deflussi β nella forma Q = Q1 ⋅ ( z − η ) Q

Z

-0.5 -0.32 -0.12 0.08 0.25 0.31 0.45 0.58 0.66 0.72 0.78 0.87 0.93 1.02 1.15

1.25 7.74 21 40.4 60.1 63.8 75.9 109 112 128 134 144 176 191 220

Per fare in modo di non avere delle altezze Z negative, si incrementa di un valore δ = 1 tutti i valori. Z = Z + δ β

I valori Q1 e β della funzione Q = Q1 ⋅ ( z − η ) sono da stimare. A questo proposito usiamo il metodo dei minimi quadrati non lineari. log(Q) = q + m log( Z ) x = log( Z )

y = log(Q)

-0.301 -0.167 -0.056 0.033 0.097 0.117 0.161 0.199 0.22 0.236 0.25 0.272 0.286 0.305 0.332

0.097 0.899 1.322 1.606 1.779 1.805 1.88 2.037 2.049 2.107 2.127 2.158 2.246 2.281 2.342 20

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Si trovano così i valori m e q: m = 3.2465 q = 1.352

Si trova così la curva interpolatrice che approssima la scala delle portate: β

Q = Q1 ⋅ ( z − η )

β = m η = −δ Q1 = 10

q

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Esercizio 11: Con i dati mensili di temperatura riportati in tabella si calcoli l’evapotraspirazione potenziale secondo la formula di Thornthwaite per il maggio 1981. Si calcoli conseguentemente il volume d’evapotraspirazione potenziale per un bacino di 96 Km2 di superficie. Ammesso che l’ evapotraspirazione effettiva abbia eguagliato quella potenziale e che non vi siano stati scambi idrici sotterranei apprezzabili con l’esterno del bacino, si calcoli la variazione nel contenuto di acqua al suolo (in mm e in m3 ) per il mese di maggio 1981, posto che la pioggia mensile sia stata di 248.44mm e che la portata media nel mese alla sezione di chiusura sia stata di 6.2m3 s −1 . Mesi Maggio 1980 Giugno 1980 Luglio 1980 Agosto 1980 Settembre 1980 Ottobre 1980 Novembre 1980 Dicembre 1980 Gennaio 1981 Febbraio 1981 Marzo 1981 Aprile 1981 Maggio 1981

Temperatura media 14.7 18.2 20 22.9 19 13.3 6.2 3.8 3 4.6 9 12.9 15.7 22

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Dati: 2 A= 96 Km

b

h = 248.4mm 3 −1

Q = 6.2m s

Svolgimento: Calcolo dell’evapotraspirazione dell’evapotraspirazione potenziale con la formula f ormula di Thornthwaite: a

⎛ 10 ⋅ T m ⎞ =E16 TP⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎝ θ ⎠

k

Dove: −7

−5

2

−2

a: polinomio in θ . a = 6.75 ⋅10 ⋅θ − 7.71 ⋅10 ⋅ θ + 1.79 ⋅ 10 10 ⋅θ + 0.492 ; 1.514

⎛ T ⎞ θ = ∑ ⎜ i ⎟ i ⎝ 5 ⎠

;

T m = temperatura media del mese in questione; k = fattore stagionale che tiene conto dell’insolazione, viene ricavato dalla seguente tabella.

1.514

⎛ T ⎞ θ = ∑ ⎜ i ⎟ = 45.791 i ⎝ 5 ⎠ 1.2152 5.71 ⎞ ⎛ 10 ⋅15.7 = 16 ⋅ ⎜ ETP ⎟ ⋅1.28 = 91.54 45.791 ⎝ ⎠

mm

Il volume di evapotraspirazione per il mese di maggio 1981 sarà pari a: V ETP = Ab ⋅ ETP ⋅103 = 8.788 ⋅106 m3

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A questo punto si deve calcolare la variazione nel contenuto di acqua al suolo, in mm ed in m3 per il mese di maggio 1981. Il volume di acqua scaricato nel mese di maggio presso la sezione di chiusura è pari a: Vscar = Q ⋅ smaggio = 1.66 1.6606 06 ⋅ 107 m3

Dove

smaggio = 60 ⋅ 60 ⋅ 24 ⋅ 31 =

2.678⋅ 106 s sono i secondi nel mese di maggio.

In millimetri: millimetri: Qmm =

V scar Ab ⋅103

= 172.98mm

Facciamo il bilancio complessivo per il mese di maggio: Bilancio= h mm − ETP− Q mm = − 16.12

Paro a: 3 3 bilancio ⋅10 ⋅ Ab = −1547491.673m

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Esercizio 12: La serie di portate al colmo massime annue della tabella è stata interpretata con una distribuzione di Gumbel (EV1). I parametri sono stati stimati: b = 255.7 a = 273.9

Essendo Q = b + a ⋅ z g , eseguire il test χ 2 di adattamento della distribuzione usando le tavole statistiche allegate. Anni 1966 1958 2000 1965 1960 1957 1959 1990 1963 1996 1962 1999 1984 1978 1961 1954 1972 1993 1980 1987 1998 1968 1979 1967 1975 1977 1976 1997 1988 1956 1964 1989 1982 1992 1955 1970 1973

Portate (Q) 1630 1600 973 966 808 660 653 652 641 552 542 540 520 513 472 465 450 422 405 370 367 360 345 325 290 245 220 177 152 140 126 124 120 94 91 73 72 25

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Esercizi di Idrologia Tecnica, A.A. 2005/2006 1985 1971 1991 1995 1974

64 56 43 34 28

Svolgimento: Per procedere correttamente il campione deve essere composto da almeno 20 elementi. Nella tabella precedente sono riportati 42 elementi, più che sufficienti per procedere. Scegliamo un numero di classi

m≥4→m=5

Calcolo della frequenza teorica E k che deve essere E k ≥ 5 : E k =

N m

= 8.4

Calcolo delle porte caratterizzanti le classi: ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ ⎟⎟ ⎝ ⎝ 0.2 ⎠ ⎠ ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ = − ln ⎜ ln ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ 0.4 ⎠ ⎠

Z g 20% = − ln ⎜ ln ⎜ Z g 40%

⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ ⎟⎟ ⎝ ⎝ 0.6 ⎠ ⎠

Z g 60% = − ln ⎜ ln ⎜

⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ ⎟⎟ ⎝ ⎝ 0.8 ⎠ ⎠

Z g 80% = − ln ⎜ ln ⎜ Z g 100% = ∞

3 −1

Q = b + a ⋅ z g 20% = 125.355m s

− Q = b + a ⋅ z g 40% = 279.645m3 s 1 − Q = b + a ⋅ z g 60% = 439.686m s

3

1

3 −1

Q = b + a ⋅ z g 80% = 666.534m s Q=∞

Frequenze osservate: Classi 1 2 3 4 5

Ok

11 6 8 12 5 26

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Calcolo del parametro C 2 : C 2 =

∑ i

( Ok − E k )

2

E k

= 4.429

Adesso, per completare il test bisogna calcolare i gradi di libertà della funzione: a e b sono due parametri, quindi: v = m −1 − np

Dove: m − 1 sono i gradi di libertà; n p numero dei parametri stimati. v=2

Scegliamo come livello di significatività: α = 0.05

Dalle seguenti tavole statistiche si ricava il valore χ 2 da confrontare con C 2 :

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χ 2 = 5.99

Siccome: 4.429 < χ 2 Si può concludere che l’adattamento della distribuzione ai dati è buono.

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