NOMBRE: IVON ARCE MORALES
CARRERA: LICENCIATURA INFORMATICA ADMINISTRATIVA
NIVEL: QUINTO CUATRIMESTRE
MATERIA: ADMINISTRACION DE CENTRO DE COMPUTO
PROFESOR: LI GABRIEL FLORES GONZALEZ
PROYECTO: INDUCCION MATEMATICA
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Tabla de contenido
Introducción…...……………………………………………………………………
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Desarrollo……………………………………………………………………………
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Conclusiones………………………………………………………………………..
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Bibliografía…………………………………………………………………………..
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Anexos…………………………………………………………………………………
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Introducción
En matemáticas, matemáticas , la inducción inducción es un razonamiento razonamiento que permite demostrar demostrar una infinidad de proposiciones, proposiciones , o una proposición proposición que depende de un parámetro parámetro valores enteros.
que toma toma una infinidad infinidad de
La demostración por inducción completa es, en realidad, el desarrollo de un proceso de deducción. El nombre que le damos se debe a una similitud aceptada con los procesos de inducción de las ciencias naturales.
Induccion Matematica Matematica La inducción matemática es un método de demostración que suele ser muy útil en problemas en los que se trata de probar que todos los números naturales (1, 2, 3...) cumplen una cierta propiedad: consta de dos pasos: 1.
Prim Primer ero, o, se demu demues estr tra a que que el 1 cum cumpl ple e la la pro propi pied edad ad.. 3
2. A cont continu inuaci ación ón,, se supo supone ne que que la la prop propied iedad ad es es verda verdade dera ra para para un cie cierto rto núm número ero n (arbi (arbitra trario rio)) y se demuestra para el número siguiente, el n+1.
Si se consigue, esto demuestra la propiedad que queríamos para todos los números naturales, de forma parecida a las filas de fichas de dominó cuando caen: hemos demostrado que la primera ficha (el 1) cae (primer paso), y que si cae una ficha también debe caer la siguiente (si es cierta para n, debe serlo para n+1, segundo paso). La idea de la inducción es muy clara: si un número cumple algo, y si cuando un número lo cumple el siguiente tiene que cumplirlo, entonces todos los números lo cumplen. Este método es mucho más general de lo que pueda parecer a primera vista; si queremos, por ejemplo, demostrar una propiedad para todos los números pares, no tenemos más que aplicar la inducción a la afirmación "el número 2n cumple la propiedad, para todo natural n", que se refiere a todos los números naturales y es equivalente a la inicial. De la misma forma, la inducción es útil para demostrar algo sobre una cantidad finita de cosas porque la misma idea de las fichas de dominó es aplicable; en este caso se suele llamar "inducción finita", y es un caso particular de la inducción que se ha explicado arriba. Pueden, de manera similar, demostrarse afirmaciones del tipo "todos los números a partir del 8 cumplen tal cosa", y éstos son sólo ejemplos simples. El método de inducción es a la vez muy potente y muy intuitivo, y puede aplicarse en una gran variedad de problemas. Demostración matemática
demostración matemática matemática es un razonamiento realizado con una lógica válida Una demostración que progresa a partir de ideas que se dan por ciertas (llamadas hipótesis) hipótesis ) hasta la afirmación que se esté planteando, o sea, hasta obtener la veracidad de la tesis formulada. [1] Estos pasos deben estar fundamentados en la aplicación de reglas de deducción: fundadas ya sea en axiomas o en teoremas anteriormente demostrados o en reglas básicas de deducción del sistema en cuestión. El hecho de no conocer ninguna demostración de un teorema no implica su no veracidad; sólo la demostración de la negación de este resultado implica que es falso. Aunque en general no existe un procedimiento único de demostración de tesis, sí exist existen en difer diferen entes tes tipos tipos de demo demostr straci acion ones es que que son utiliz utilizado ados s comú comúnm nmen ente te en matemáticas: matemáticas : Demostr Demostració ación n por contrap contraposic osición ión (form (formali aliza zado do y utiliz utilizado ado en los silogismos por Aristóteles) Aristóteles ) Demostr Demostració ación n por reducció reducción n al absurdo absurdo (formal (formalizad izado o y utiliza utilizado do por Aristóteles) Aristóteles ) y, como caso particular, descenso infinito Inducción matemática ›
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Inducción fuerte
Por otra parte, a pesar del alto grado de intervención humana necesario para hacer una demostración, también existen técnicas computacionales que permiten hacer demostraciones automáticas, notablemente en el campo de la geometría euclidiana. Axioma A veces se compara a los axiomas con semillas, porque de ellos surge toda la teoría de la cual son axiomas. Un axio axioma ma es una una prem premis isa a que que se cons consid ider era a «evi «evide dent nte» e» y se acep acepta ta sin sin requ requer erir ir demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo es toda proposición no deducida (de otras), sino que constituye una regla general de pensamiento lógico, por oposición a los postulados.1 En matemática, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas «verdades evidentes», porque permiten deducir las demás fórmulas. En lógica matemática un postulado es una proposición no necesariamente evidente: una fórmula bien formada (planteada) de un lenguaje formal utilizada en una deducción para llegar a una conclusión. En matemática se distinguen dos tipos de proposiciones un teorema es una fórmula bien formada, que no es un axioma, y que puede ser el elemento final de alguna demostración, es decir, un teorema es una fórmula lógica bien formada para la cual existe una demostración. el silogismo consta de dos juicios, premisa mayor y mayor y premisa menor , en los que se comparan tres términos, de cuya comparación se obtiene un nuevo juicio como conclusión. conclusión . La lógica trata de establecer las leyes que garantizan que, de la verdad de los juicios comparados (premisas), se pueda obtener con garantía de verdad un nuevo juicio verdadero (conclusión).
Cuantificadores En lógica, teoría de conjuntos y matemáticas en general, los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad
TIPOS DE CUANTIFICADORES 5
El cuantificador universal indica que algo es cierto para todos los individuos. Sea A una expresión y sea x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para todos los posibles valores de x, escribiremos ( ∀x) A. Cuantificador Existencial La cuantificación existencial de P(x) “Es la proposición en que existe un elemento x en el universo de discurso tal que P(x) es verdad”. Se denota con el símbolo ∃ x y se lee de las siguientes maneras: “hay un x tal que…)”, “hay al menos un x tal que…” o “para algún x…”. EJEMPLOS: Todos los humanos respiran (∀ x) (H(x) → R(x)) donde el predicado H significa humanos, R respiran y x es un elemento de un dominio general que podría ser el de las personas o cualquier subconjunto deseado. Todos los alumnos son estudiosos (∀ x) (A(x) → E(x)) donde el predicado A significa alumno, E estudioso y x es un elemento de un dominio general que podría ser el de las personas o cualquier subconjunto deseado. Ejemplo 2 Cuantificadores Frase en lenguaje natural Algún venezolano es medallista olímpico Se traduce en: Existe al menos un venezolano que cumple con la condición de ser medallista olímpico Las variables Existe al menos un venezolano x que cumple la condición que x es medallista olímpico
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Conclusión
En conclusión la inducción es válida por la construcción misma misma del conjunto de los naturales mediante los axiomas de Peano. De hecho, la inducción imita la construcción del conjunto: 0 es un natural, y, si n lo es, entonces n+1 (sucesor de n) lo es también.
Existen Existen otras otras induccio inducciones, nes, para para otros otros conjunt conjuntos os elaborad elaborados os de forma forma distint distinta, a, como como por ejemplo la inducción transfinita, y la inducción sobre las fórmulas de la lógica proposicional.
Además de la Demostración por Inducción, existe la definición o construcción por inducción. 7
Bibliografía
http://es.wikipedia.org/wiki/Inducci%C3%B3n_matem%C3%A1tica http://funciongamma.com/tag/induccion-matematica/
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EJEMPLOS ANEXOS
Problema 1.
Demostrar que si es un número entero positivo, entonces
es múltiplo de .
Solución:
a) Primeramente, si cierta.
entonces:
b) Asumimos como hipótesis de inducción que
y como
se tiene que la afirmación es
, y debemos demostrar que
. En efecto:
con
, por la hipótesis de inducción.
Aplicando Binomio de Newton: ; para algún
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