ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL
INFORME DE LABORATORIO DE FISICA DINÁMICA ROTACIONAL
PROFESOR: MSC. ING. JOSE ALEXANDER ORTEGA. POR: JULIO JAVIER SAMANIEGO CARRIÓN PARALELO: 62 FECHA DE REALIZACIÓN: 17/08/2012 FECHA DE ENTREGA: 24/08/2012
I TÉRMINO 2012 - 2013
1. RESUMEN: En la práctica realizada la clase anterior, mediante un sistema especializado para el experimento, nos dispusimos a analizar la dinámica de rotación de un cuerpo sólido, primeramente obtuvimos la aceleración angular de el disco grande de masa M, con los datos de frecuencia que nos proporciono un aparato digital, luego obtuvimos el Torque que fue generado por la fuerza del peso de cada arandela que se le iba añadiendo sucesivamente al sistema, con todo esto elaboramos la gráfica de T vs. , en la cual su pendiente era el valor de la Inercia experimenta que fue comparada con la Inercia obtenida mediante el cálculo teórico. También calculamos el valor teórico de la aceleración angular para ser comparado con el valor experimental obtenido en la práctica, y así determinamos la variación porcentual de estos valores.
2. OBJETIVOS: Medir la aceleración angular de un sistema en rotación. Comparar el valor teórico de con el experimental e identificar los factores que pueden afectar el resultado práctico.
3. INTRODUCCIÓN: Torque: Se define por torque o momento de rotación a la expresión dada por: ⃗ ⃗ En la cual:
= Torque ⃗ = Fuerza aplicada ⃗ = brazo de momento
Momento de Inercia: Este concepto es similar a la inercia, excepto en que se aplica a la rotación más que al movimiento lineal. La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a continuar moviéndose en línea recta a la
misma velocidad. La inercia puede pensarse como una nueva definición de la masa. El momento de inercia es, entonces, masa rotacional. Al contrario que la inercia, el MI también depende de la distribución de masa en un objeto. Cuanto más lejos está la masa del centro de rotación, mayor es el momento de inercia. Obviamente el mismo depende del sólido al que hagamos referencia, como se observa en la figura.
Velocidad angular. La velocidad angular es una medida de la velocidad de rotación. Se la define como el ángulo girado por unidad de tiempo y se la designa mediante la letra griega. Su unidad en el S.I. es el radián por segundo (rad/s). Si una partícula en el instante t = t1 ocupa la posición A, con posición .y en el instante t = t2 ocupa la posición B, con posición , cuando se mueve desde A hasta B su desplazamiento angular será . Obviamente el desplazamiento angular también se medirá en radianes. Entonces, definimos el desplazamiento angular como el cambio en la posición angular: .y la velocidad angular estaría definida por:
Aceleración Angular. Obviamente el desplazamiento angular también se medirá en radianes. Se define la aceleración angular como el cambio que experimenta la velocidad angular por unidad de tiempo. Se denota por la letra griega alfa α. Al igual que la velocidad angular, la aceleración angular tiene carácter vectorial. Esta aceleración tiene carácter vectorial y se expresa en radianes por segundo al cuadrado.
Se expresa en radianes por segundo al cuadrado, o s-2, ya que el radián es adimensional. Acción de una fuerza sobre un cuerpo rígido.
Una fuerza aplicada a un cuerpo rígido puede provocar un giro o una tendencia a girar en relación a un eje.
Si el cuerpo es plano y la fuerza es coplanar con él, la rotación puede darse alrededor de un eje perpendicular a la aceleración angular adquirida de acuerdo a la ecuación: ∑ de es el brazo de la fuerza: esto es, la distancia perpendicular del eje de rotación a la línea de acción de la fuerza. En el experimento tenemos lo siguiente:
Un disco metálico con una polea liviana incorporada descansa sobre otro que permanecerá fijo durante el proceso, Una cuerda de peso despreciable se enrolla en la polea y se fija a una carga que es un cilindro metálico. El cilindro se suspende pasando por una polea especial que dispone de un sistema neumático que permite disminuir considerablemente la fricción.
La tensión de la cuerda F establece un torque T=dF donde r es el radio de la polea, si se considera el Momento de Inercia del disco metálico, solamente, despreciando la masa pequeña de la polea que enrolla la
cuerda, se tiene que I= 1/2mR2 donde M es la masa del disco y R su radio. Adicionalmente para la masa suspendida se tiene mg – T= ma donde a es la aceleración lineal. Combinando estas expresiones y tomando en cuenta que m es mucho menor que M, se tiene para la aceleración angular: mg-T=ma T=mg-ma
Tr=I mgr-m( r)=I mgr=(Idisco+mr2) T= (Idisco+mr2)
Sabemos por definición que la aceleración angular permanecerá constante durante la caída de la carga m y puede ser verificada con mediciones realizadas sobre el disco. Debido a que la masa m que cuelga es pequeña en comparación con la del disco se puede despreciar para obtener una relación aproximada.
Aceleración Angular del Disco El disco metálico tiene marcas alternadas en colores blanco y negro a lo largo de su contorno
Un sensor en el borde del disco general una señal cada vez que una franja oscura pasa frente a él, la distancia entre las franjas oscuras es de 2mm. El contador digital muestra la lectura correspondiente al número de señales que recibe por segundo, esta lectura se muestra con un intervalo de dos segundos. Este dato permite establecer la frecuencia de rotación como se indicará a continuación:
Medición de Frecuencia y Velocidad Angular. La frecuencia se define por f= n/t donde n es el número de vueltas en el siendo S la longitud de la circunferencia que pasa frente al sensor ubicado en el borde del disco y R el radio del disco. Si la distancia entre marcas es 2 mm.
Como se indica en la figura puesta anteriormente, se puede considerar la longitud S = 2mm N, donde N es el número de pulsos por segundo que indica el contador digital. La velocidad angular se define por: 2
2 ( )
2 ) 2 2 Tomando en cuenta las consideraciones hechas al inicio se tiene: 2
2 (
Donde n y f están consideradas como las lecturas que se observan en la pantalla inicial. También se considera que el tiempo t es de 1 segundo.
4. Equipo y Materiales:
Compresor de 150 psi. Equipos de dinámica rotacional (discos, medidor de frecuencia, base) Arandelas Balanza
5. Procedimiento Experimental: 1. Arme el aparato usando los dos discos de acero. Cerciórese que el seguro de tubo debajo de la pantalla de control este abierto para que el disco inferior descanse firmemente sobre el plato inferior. 2. Coloque el aparato en una mesa a una altura aceptable para que la masa que está siendo acelerada pueda caer una distancia máxima. El cojín de aire del cilindro debe colgar por encima del borde de la mesa para que la masa pueda caer libremente. Mida la distancia desde el cojín de aire del cilindro hasta el piso y súmele 25cms. Llame a este total d. corte un pedazo de hilo delgado y flexible de unos 10cms más largo que d. ate un extremo a la masa de 25gr. que viene con este equipo. Ate el otro extremo al agujero que se encuentra en el carrete la distancia desde la masa hasta el carrete debe ser d. 3. Usando el perno sólido negro asegure el carrete y la polea pequeña al agujero que esta en el centro del disco superior. El carrete calza en el descanso de la polea u el perno pasa a través del agujero en el carrete, la polea, hasta el agujero en el disco superior. El hilo debe calzar a través de la ranura en la polea y correr sobre el surco del cojín de aire del cilindro dejando suspendida la masa que se va a acelerar. 4. Al hacer girar lentamente el disco superior en enrolle el hilo alrededor de la polea hasta que la parte superior de la masa de 25gr. este en el nivel con la abrazadera de la parte inferior del cojín de aire del cilindro. Mantenga el disco superior estacionario por el momento y luego suéltelo sin impartir ninguna velocidad inicial. La masa al caer acelerara el disco. Cuando todo el hilo se haya desenrollado de la polea, la masa va a invertir su dirección y el hilo se va a enrollar en la polea. 5. Tan pronto como el disco superior se ha soltado empiece a apuntar la medida de la frecuencia. Puede colocar el switch en la posición top. La electrónica contara el número de barras en el borde del disco por periodo de un segundo. Estas medidas serán hechas exactas cada dos segundos. 6. Note que a pesar que la primera medida hecha no necesariamente empieza en el instante que el disco superior ha sido soltado, la medida obtenida todavía es válida. Pero no se utilice la última medida obtenida cuando la masa ha llegado al final de su camino. Esto es debido a que la masa puede haber llegado al final de su camino durante ese periodo de medida y el resultado una medida inexacta.
7. Con suerte se obtendrá al menos tres o cuatro medidas de velocidad media mientras la masa acelera el disco. 8. Convierta las medidas de frecuencia a velocidad angular media. Conociendo la cantidad de tiempo entre las medidas se podrá calcular la velocidad angular. 9. Búsquese la formula en el libro de texto para el momento de inercia de un cilindro. Haga las necesarias mediciones del disco, use una balanza para determinar su masa y calcule su momento de inercia.
10. Use una escala para medir la altura de la masa utilizada. Mida de la polea y determine el torque aplicado al disco.
11. Resultados. Datos generales.
Objetos Arandela 1 (A1) Arandela 2 (A2) Arandela 3 (A3) Arandela 4 (A4) Arandela 5 (A5) Polea del disco(m1) Disco (m2) Polea(m3)
Masa (7.4+-0.1)g=(7.4+-0.1)(10)-3 Kg (8.0+-0.1)g=(8.0+-0.1)(10)-3 Kg (7.6+-0.1)g=(7.6+-0.1)(10)-3 Kg (7.4+-0.1)g=(7.4+-0.1)(10)-3 Kg (8.3+-0.1)g=(8.3+-0.1)(10)-3 Kg (25.0+-0.1)g=(25.0+-0.1) (10)-3 Kg (1353.5+-0.1)g=(1.3535+-0.0001)Kg (26.0+-0.1)g=(26.0+-0.1) (10)-3 Kg
Objetos Radio Polea del Disco(r1) (12.5+-0.1)mm=(12.5+-0.1) (10)-3 m Disco (r2) (63.3+-0.1)mm = (63.3+-0.1) (10)-3 m polea (r3) (11.5+-0.1)mm = (11.5+-0.1) (10)-3 m
Sumatoria de las experimentación. mE1 mE2 mE3
mA1 mA1+mA2 mA1+mA2+mA3
mE4
mA1+mA2+mA3+mA4
mE5
mA1+mA2+mA3+mA4+mA5
masas
totales
para
(7.4)(10)-3 (7.4)(10)-3 +(8.0)(10)-3 (7.4)(10)-3 +(8.0)(10)-3 +(7.6)(10)-3 (7.4)(10)-3 +(8.0)(10)-3 +(7.6)(10)-3 +(7.4)(10)-3 (7.4)(10)-3 +(8.0)(10)-3 +(7.6)(10)-3 +(7.4)(10)-3 +(8.3)(10)-3
cada
7.4(10)-3Kg 16.4(10)-3 Kg 23.0(10)-3 Kg 30.4(10)-3 Kg 38.7(10)-3 Kg
Determinación de la aceleración angular mediante datos obtenidos de la frecuencia.
DATOS Y CÁLCULOS. Exp. E1(A1)
Prom.
E2(A1+ A2) Prom.
E3(A1+ A2+A3) Prom.
E4(A1+ A2+A3+ A4) Prom.
(rad/s2)
N1
N2
60 108 153 N1=V1+V2+V3/3 N1=60+108+153/3 N1=107
84 131 176 N2=V1+V2+V3/3 N2=84+131+176/3 N2=130
=N2-N1 =130-107 =23
0.36
43 138 226 N1=V1+V2+V3/3 N1=43+138+226/3 N1=137
93 181 250 N2=V1+V2+V3/3 N2=93+181+250/3 N2=175
=N2-N1 =175-137 =38
0.60
62
126
191
255
N1=V1+V2 /2 N1=62+191/2 N1=126
N2=V1+V2/2 N2=126+255/2 N2=175
=N2-N1 =175-126 =65
1.0
22
106
192
276
N1=V1+V2 /2 N1=22+192/2 N1=107
N2=V1+V2/2 N2=106+276/2 N2=191
=N2-N1 =175-126 =84
1.3
E5(A1+ A2+A3+ A4+A5) Prom.
28
127
223
320
N1=V1+V2 /2 N1=28+233/2 N1=126
N2=V1+V2/2 N2=127+320/2 N2=224
=N2-N1 =175-126 =98
1.5
RESULTADOS
(Hz) E1 E2 E3 E4 E5
23 38 65 84 98
(rad/s2)
3.6(10)-1 6.0(10)-1 10(10)-1 13(10)-1 15(10)-1
Determinación de la aceleración angular mediante datos obtenidos de la frecuencia. CÁLCULOS Y RESULTADOS experiencia E1
E2 E3 E4 E5
T= mgr (N.m) T= mA1gr T=(7.4(10)-3)(9.8)(0.0115) T=8.3(10)-4 T= mA2gr T=(16.4(10)-3)(9.8)(0.0115) T=1.85(10)-3 T= mA1gr T=(23.0(10)-3)(9.8)(0.0115) T=2.59(10)-3 T= mA1gr T=(30.4(10)-3)(9.8)(0.0115) T=3.43(10)-3 T= mA1gr T=(38.7(10)-3)(9.8)(0.0115) T=4.36(10)-3
T(N.m) 8.3(10)-4 18.5(10)-4 25.9(10)-4 34.3(10)-4 43.6(10)-4
Gráfica: T vs.
Cálculo de la Pendiente y su error absoluto. 𝑦 𝑦 𝑥 𝑥 40 0 10 15 0 10 35 0 10 13 2 10 2 65 10
𝑚 𝑚 𝑚 𝑚
Δ𝑚
±
−4
5 0 10 1 8 10
−
−4 −
− −3
Δ𝑚 Δ𝑚
−
Δ𝑚
𝐾𝑔 𝑚 ±
𝑚 𝑚 𝑎 𝑏
−4
Δ𝑚
1 13 2 10
𝑦 𝑥 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 − 35 0 13 2
𝑚
𝑦 𝑥
10 10
𝑎 b
−4
±
5 0 10 10
−4
Δ𝑎 Δa
±5 0 10
−5
Δb
−
Δb
±
2 0 10 10
±0 2 10
−
−
Δ𝑚 Δ𝑚 Δ𝑎 + Δ𝑏 Δ𝑎 Δ𝑏
± 𝑏 − Δ𝑎 + 𝑎 𝑏 − Δ𝑏 ±
1 Δ𝑎 + 𝑏
5 0 10
−5
± 3 8 10
35 0 10 −4 13 2 10 −
+ −5
𝑎 Δ𝑏 𝑏
+ 4 0 10
Δ𝑚
± 7 8 10
Δ𝑚
± 0 08 10
−5 −3
0 2 10
−
−5
𝑚
2 65 ± 0 08 10
−3
𝐾𝑔 𝑚2
Porcentaje de error para la pendiente. Valor teórico: 2.7 (10)-3 Kg.m2 Cálculo teórico de la pendiente: I2= ½M.R22 I2= ½(1.3535).(0.0633)2 I2= 2.71(10)-3 Kg.m2 Valor experimental = 2 65 ± 0 08 10
%𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟
2
−3
Valor teórico Valor experimental ∗ 100% Valor Teórico %𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 %𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟
27
2 65 ∗ 100% 27
0 018 ∗ 100%
%𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟
1 8%
Cálculo del valor teórico y experimental de la aceleración angular ( ) y su variación porcentual. - Aceleración angular teórica:
1. 2. 3. 4. 5.
- Variación porcentual. Valor teórico Valor experimental ∗ 100% Valor Teórico
% 1.
%
2.
%
3.
%
4.
%
5.
%
3 − 36 3 6 − 6 6 56− 56 6− 3 6 6 − 5 6
∗ 100% =16.12% ∗ 100% = 11.76% ∗ 100% = 4.6% ∗ 100% =3.17% ∗ 100%= 6.8%
Aceleración angular Aceleración angular teórica(rad/s2) experimental(rad/s2) 0.31 0.36 0.68 0.60 0.956 1.0 1.26 1.3 1.61 1.5
Variación porcentual 16.12% 11.76% 4.6% 3.17% 6.8%
12. Discusión. Concluida la experimentación con todo el equipo de laboratorio necesario para la práctica, desarrollamos los cálculos pertinentes para obtener nuestra tabla de datos y así construimos la gráfica T vs. . En la cuál utilizamos su pendiente para determinar el valor de la Inercia experimental cuyo valor fue de 2 65 ± 0 08 10 3 , que comparada con la inercia obtenida teóricamente, con un valor de 2.7 (10)-3 Kg.m2 de desarrollo un error del 1.8%, este error obtenido de la experiencia es muy bajo, gracias a que los instrumentos utilizados tienen mucha exactitud y el aire que se le aplica al aparato reduce la fricción que se genera al hacer contacto todos los instrumentos entre si. También obtuvimos el valor teórico de la aceleración angular, y así comparamos el error porcentual entre esta cantidad y el valor experimental, de esta manera los errores obtenidos van desde el 3.17% hasta el 16.12%, podemos notar que los primeros valores en los que la aceleración angular es mas pequeña existe un mayor error, y este va disminuyendo conforme la aceleración aumento, excepto el ultimo valor.
13. Conclusiones. Se midió la aceleración angular de un sistema en rotación mediante la
frecuencia, obtenida de un contador digital en el cual se iba tomando datos para luego generar un resultado que se lo relacionaba con el radio del disco. Al compara el valor teórico de la aceleración angular con el experimental se obtuvieron buenos resultados, ya que el error entre cada valor no era demasiado grande, de esta manera comprobamos las leyes de dinámica de rotación.
14. Recomendaciones. Tomar los valores del contador digital en pares, despreciando el primer dato, ya que al soltarlo con la mano siempre se produce un pequeño error. Numerar todas las arandelas para que no existan confusiones al momento de colocarlas en el gancho. Verificar que estén bien conectados los tubos que conducen el aire, y no abrir bruscamente la llave del aire, si no que hacerlo de una forma delicada y hasta que el profesor indique.
15. Bibliografía. www. Wikipedia.org http://blog.espol.edu.ec/mvhinojo/files/2011/11/Reporte-Momento-de-Inercia1.pdf
Manual de practicas de laboratorio de Física A. 16. Anexos.
