DINAMICA DE ROTACION En el aula y en el laboratorio se propone a los estudiantes resolver un conjunto de problemas de dinámica del sólido rígido para practicar las ecuaciones de la dinámica de rotación y el principio de conservación de la energía. Se usa un dispositivo similar a una rueda de bicicleta que puede girar alrededor de un eje fijo. Se enrollan cuerdas de las que penden pesas tal como se muestra en la figura.
Se mide el tiempo que tarda una pesa en recorrer una determinada altura, partiendo del reposo. A partir de este dato, dato, de las masas masas de las pesas, y de los radios interior y exterior de la rueda, se calcula el momento de inercia por dos procedimientos procedimientos
Aplicando las ecuaciones de la dinámica Aplicando el principio de conservación de la energía
Describiremos a continuación, cada una de los tres experiencias desde el más sencilla a la más complicada complicada
Primera experiencia
Método: conservación de la energía
La comparación de la situación inicial y la situación final nos permite formular rápidamente el principio de conservación conservación de la energía.
La pesa de masa m desciende una altura h. La pesa de masa m incrementa su velocidad en v La rueda gira con velocidad angular
La energía potencial disminuye en mgh, mgh, su energía cinética se incrementa en mv2 /2, /2, y lo mismo ocurre para sólido en rotación, su 2 /2. energía cinética se incrementa en I en I /2.
La ecuación del balance energético es
La velocidad v se calcula a partir de h y del tiempo t que que tarda la pesa en descender esta altura, partiendo del reposo.
La velocidad angular está está relacionada con la velocidad v de la pesa que a su vez, es la misma que la velocidad de un punto del borde de la rueda de radio r (siendo (siendo r el el radio interior de la rueda). Véase la relación entre magnitudes lineales y angulares.
Completar la siguiente tabla y despejar el momento de inercia desconocido Altura h Tiempo t Velocidad v Radio r Velocidad angular
Masa de la pesa m Momento de inercia I
La pesa de masa m desciende una altura h. La pesa de masa m incrementa su velocidad en v La rueda gira con velocidad angular
La energía potencial disminuye en mgh, mgh, su energía cinética se incrementa en mv2 /2, /2, y lo mismo ocurre para sólido en rotación, su 2 /2. energía cinética se incrementa en I en I /2.
La ecuación del balance energético es
La velocidad v se calcula a partir de h y del tiempo t que que tarda la pesa en descender esta altura, partiendo del reposo.
La velocidad angular está está relacionada con la velocidad v de la pesa que a su vez, es la misma que la velocidad de un punto del borde de la rueda de radio r (siendo (siendo r el el radio interior de la rueda). Véase la relación entre magnitudes lineales y angulares.
Completar la siguiente tabla y despejar el momento de inercia desconocido Altura h Tiempo t Velocidad v Radio r Velocidad angular
Masa de la pesa m Momento de inercia I
Método: dinámica
En la figura se han dibujado el esquema de las fuerzas sobre los cuerpos que intervienen en el movimiento.
La ecuación de la dinámica de rotación de la rueda es
Tr=I
La ecuación de la dinámica de traslación del bloque es
mg-T=ma
La relación entre la aceleración angular del disco y la aceleración a de la pesa es la misma que la existente entre sus respectivas velocidades
a= r r
Conocido el tiempo t que que tarda en caer la pesa y la altura h desde la que cae, se determina la aceleración a
A partir de la medida del radio r de de la rueda (interior o exterior, según el caso), se calcula la aceleración angular del disco, la tensión T de de la cuerda y se despeja el momento de inercia I inercia I desconocido. desconocido. Altura h Tiempo t Aceleración a Radio r Aceleración angular Masa de la pesa m Tensión de la cuerda T cuerda T Momento de inercia I
Ejemplo:
Introducir en el programa interactivo los siguientes datos:
Masa de la primera pesa cero (m1=0), Masa de la segunda pesa m2=200 g, Radio interior r =30 cm.
Se pulsa el botón titulado Empieza , y se mide el tiempo que tarda la pesa en recorrer una determinada altura medida por la regla adjunta. Utilizar los botones titulados Pausa y Paso para acercarse a la altura deseada. Calcular el momento de inercia y compararlo con la respuesta dada por el programa que se obtiene pulsando en el botón titulado Resultado.
Segunda experiencia
Método: conservación de la energía
Comparando la situación inicial y la final apreciamos de un vistazo las variaciones de energía que han experimentado los cuerpos que intervienen.
La pesa m2 desciende una altura h. La pesa m1 asciende la misma altura h. La pesa m1 aumenta en v su velocidad. Lo mismo le ocurre a la pesa m2 La rueda gira con velocidad angular .
Se formula el principio de conservación de la energía
Calculando la velocidad v a partir de h y del tiempo t que la pesa tarda en descender esta altura, partiendo del reposo, y relacionando v con velocidad angular de la rueda, se obtiene el momento de inercia I .
Completar la siguiente tabla y despejar el momento de inercia desconocido Altura h Tiempo t Velocidad v Radio R Velocidad angular
Masa de la pesa m1 Masa de la pesa m2 Momento de inercia I
Método: Dinámica
En la figura se han dibujado el esquema de las fuerzas sobre los cuerpos que intervienen en el movimiento. A partir de este esquema formulamos las ecuaciones de la dinámica de cada uno de los cuerpos.
m2 g-T 2=m2a T 1-m1 g=m1a T 2 R-T 1 R=I a= R
Como en el ejemplo anterior, conocido el tiempo t que tarda en caer la pesa y la altura h desde la que cae, se determina la aceleración a A partir de la medida del radio exterior R de la rueda, se calcula la aceleración angular del disco, las tensiones T 1 y T 2 de la cuerda y se despeja el momento de inercia I desconocido. Altura h Tiempo t Aceleración a
Radio R Aceleración angular Masa de la pesa m1 Masa de la pesa m2 Tensión de la cuerda T 1 Tensión de la cuerda T 2 Momento de inercia I
Ejemplo:
Introducir en el programa interactivo los siguientes datos:
Masa de la primera pesa cero ( m1=100 g) Masa de la segunda pesa m2=200 g Radio 50 cm.
Se pulsa el botón titulado Empieza , y se mide el tiempo que tarda la pesa en recorrer una determinada altura medida por la regla adjunta. Utilizar los botones titulados Pausa y Paso para acercarse a la altura deseada. Calcular el momento de inercia y compararlo con la respuesta dada por el programa que se obtiene pulsando en el botón titulado Resultado.
Tercera experiencia
Método: conservación de la energía
Comparando el estado inicial y final observamos que
La pesa m1 desciende una altura h1 La pesa h2 asciende una altura h2 La pesa m1 incrementa su velocidad en v1 La pesa m2 incrementa su velocidad en v2 La rueda está girando con velocidad
Formulamos el principio de conservación de la energía
Existe una relación entre h1 y h2, la misma que existe entre v1 y v2. Recordaremos que las magnitudes angulares son las mismas para todos los puntos del sólido en rotación mientras que las magnitudes lineales son proporcionales al radio.
es
v1= r 1 v2= r 2 h1= r 1 h2= r 2 la velocidad angular de la rueda y es el ángulo girado en el tiempo t .
Dados los datos de h1, la altura que cae la masa m1 y el tiempo t que tarda en caer, y a partir de las medidas de los radios interior r 2 y exterior r 1 de la rueda podemos calcular, el momento de inercia I desconocido de la rueda, siguiendo los mismos pasos que en los ejercicios previos. Completar la siguiente tabla y despejar el momento de inercia desconocido Altura h1 Radio r 1 Radio r 2 Altura h2 Tiempo t
Velocidad v1 Velocidad angular
Velocidad v2 Masa de la pesa m1 Masa de la pesa m2 Momento de inercia I
Método: dinámica
En la figura se han dibujado el esquema de las fuerzas sobre los cuerpos que intervienen en el movimiento. A partir de este esquema formulamos las ecuaciones de la dinámica de cada uno de los cuerpos.
m1 g-T 1=m1a1 T 2-m2 g=m2a2 T 1r 1-T 2r 2=I a1= r 1 a2= r 2
Como en los ejemplos anteriores, conocido el tiempo t que tarda en caer la pesa m1 y la altura h1 desde la que cae, se determina la aceleración a1. Con los datos de los radios r 1 y r 2, se determina y a2. A continuación T 1, T 2 y finalmente I . Completar la siguiente tabla y despejar el momento de inercia desconocido Altura h1 Altura h2 Tiempo t Aceleración a1 Radio r 1
Radio r 2 Aceleración angular Aceleración a2 Masa de la pesa m1 Masa de la pesa m2 Tensión de la cuerda T 1 Tensión de la cuerda T 2 Momento de inercia I
Ejemplo:
Introducir en el programa interactivo los siguientes datos:
Masa de la primera pesa cero ( m1=150 g) Masa de la segunda pesa m2=200 g. Radio interior 30 cm
¿En qué sentido gira? Se pulsa el botón titulado Empieza , y se mide el tiempo que tarda la pesa en recorrer una determinada altura medida por la regla adjunta. Utilizar los botones titulados Pausa y Paso para acercarse a la altura deseada. Se pulsa el botón titulado Resultado para comparar el momento de inercia calculado con el generado por el programa interactivo.
Problemas Cinemática de rotación Problemas de dinámica de rotación Problema 1
Un disco de 0.6 m de radio y 100 kg de masa, gira inicialmente con una velocidad de 175 rad/s. Se aplican los frenos que ejercen un momento de M= -2·t Nm. Determinar:
*La aceleración angular en función del tiempo *La velocidad angular en función del tiempo *El ángulo girado en función del tiempo.
*El momento angular inicial y en el instante t=18 s. Representar el momento M en función del tiempo. Comprobar que el impulso angular ∫0tM⋅dt (área) es igual a la variación de momento angular.
Solución:
Problema 2
Un bloque de 2000 kg está suspendido en el aire por un cable de acero que pasa por una polea y acaba en un torno motorizado. El bloqu e asciende con velocidad constante de 8 cm/s. El radio del tambor del torno es de 30 cm y la masa de la polea es despreciable.
*¿Cuánto vale el momento que ejerce el cable sobre el tambor del torno? *¿Cuánto vale la velocidad angular del tambor del torno? *¿Qué potencia tiene que desarrollar el motor?. Calcular el trabajo realizado durante 10 s.
Solución:
Problema 3
El sistema de la figura está inicialmente en reposo. El bloque de 30 kg está a 2 m del suelo. La polea es un disco uniforme de 20 cm de diámetro y 5 kg de masa. Se supone que la cuerda no resbala sobre la polea. Encontrar:
*La velocidad del bloque de 30 kg justo antes de tocar el suelo. *La velocidad angular de la polea en ese instante. *Las tensiones de la cuerda. *El tiempo que tarda el bloque de 30 kg en tocar el suelo.
(Resolver el problema por dinámica y aplicando el balance energético)
Solución:
Problema 4
Sobre un plano horizontal está situado un cuerpo de 50 kg que está unido mediante una cuerda, que pasa a través de una polea de 15 kg a otro cuerpo de 200 kg. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo de 50 kg y el plano horizontal vale 0.1, calcular.
*La aceleración de los cuerpos *Las tensiones de la cuerda *La velocidad de los cuerpos sabiendo que el de 200 kg ha descendido 2 m partiendo del reposo. (emplear dos procedimientos de cálculo para este apartado).
Solución:
Problema 5
Dos cuerpos de 3 y 2 kg están unidos por una cuerda que pasa por una polea en forma de disco (I=MR2/2) de 0.5 kg de masa y 20 cm de radio. Ambos deslizan sobre un plano horizontal y otro inclinado 60º. Los coeficientes de rozamiento entre los cuerpos y los planos inclinados son 0.1 y 0.3 respectivamente. Calcular:
*La aceleración del sistema *Las tensiones de la cuerda *La velocidad que adquieren los bloques cuando se desplazan 5 m a lo largo de los planos inclinados respectivos, partiendo del reposo. Emplear dos procedimientos de cálculo (cinemática y balance energético) para este apartado, comprobando que se obtienen los mismos resultados.
Solución:
Dinámica de rotación Problema 1
Un disco de 0.6 m de radio y 100 kg de masa, gira inicialmente con una velocidad de 175 rad/s. Se aplican los frenos que ejercen un momento de M = -2·t Nm. Determinar
la aceleración angular en función del tiempo
la velocidad angular en función del tiempo
el ángulo girado en función del tiempo.
El momento angular inicial y en el instante t =18 s.
Representar el momento M en función del tiempo. Comprobar que el impulso angular ∫ 0 t M·dt (área) es igual a la variación de momento angular. La velocidad, aceleración tangencial y normal de un punto de la periferia del disco en dicho instante. Representar estas magnitudes. Solución
Momento de inercia I= 1 2 100· 0.6 2
=18 kgm 2
Ecuación de la dinámica de rotación I·α=M , α=-t /9 rad/s2 la aceleración angular no es constante Calculamos la velocidad angular ω y el desplazamiento angular θ .
ω− ω 0 = ∫ t 0 t α·dt /s θ− θ 0 = ∫ t 0 t ω·dt rad Momento angular, L=I ω
ω−175= ∫ 0 t ( −t 9 )·dt ω=175− t 2 18 rad θ= ∫ 0 t (175− t 2 18 )·dt θ=175t− t 3 54
t =0, ω=175, L=3150 kgm2/s t =18, ω=157, L=2826 kgm2/s Impulso angular
L− L 0 = ∫ t 0 t M·dt
L−3150= ∫ 0 t (−2t)·dt
L=3150− t 2 kg·m 2
/s En el instante t =18 s, L=2826 kgm2/s
La representación del momento M en función del tiempo t es una recta. El ´rea del triángulo de la figura es
−18·36 2 =−324 que es el impulso angular, igual a la diferencia entre el momento angular final e inicial
Para t =18 s Aceleración tangencial, at =α·R=(-18/9)·0.6=-1.2 m/s 2 Aceleración normal, an=ω2·R=1572·0.6=14789.6 m/s 2 En la figura, se representa la velocidad, tangente a la trayectoria circular, la aceleración tangencial de signo contrario a la velocidad, y la aceleración normal dirigida hacia el centro. Estas dos componentes de la aceleración no están dibujadas a escala. Problema 2
Un bloque de 2000 kg está suspendido en el aire por un cable de acero que pasa por una polea y acaba en un torno motorizado. El bloque asciende con velocidad constante de 8 cm/s. El radio del tambor del torno es de 30 cm y la masa de la polea es despreciable.
¿Cuánto vale el momento que ejerce el cable sobre el tambor del torno?
¿Cuánto vale la velocidad angular del tambor del torno?
¿Qué potencia tiene que desarrollar el motor?.Calcular el trabajo realizado durante 10 s Solución
Velocidad constante del bloque v=0.08 m/s Tensión de la cuerda, es el peso del bloque, F =2000·9.8=19600 kg Momento, M=F·r =19600·0.3=5880 N·m Velocidad angular, ω=v/r =0.08/0.3=4/15 rad/s Potencia, P=M·ω=5880·4/15=1568 W Trabajo, W=M·θ= P·t =1568·10=15680 J Problema 3
El sistema de la figura está inicialmente en reposo. El bloque de 30 kg está a 2 m del suelo. La polea es un disco uniforme de 20 cm de diámetro y 5 kg de masa. Se supone que la cuerda no resbala sobre la polea. Encontrar:
La velocidad del bloque de 30 kg justo antes de tocar el suelo.
La velocidad angular de la polea en ese instante.
Las tensiones de la cuerda.
El tiempo que tarda el bloque de 30 kg en tocar el suelo.
(Resolver el problema por dinámica y aplicando el balance energético) Solución
Escribimos las ecuaciones del movimiento
Del movimiento cada uno de los bloques
Del movimiento de rotación del disco
30 · 9.8 − T 1 = 30 · a T 2 − 20 · 9.8 = 20 · a T 1 · 0.1 − T 2 · 0.1 =( 1 2 5
La relación entre la aceleración de los bloques a y la aceleración angular α del disco es a=α·0.1 Resolviendo el sistema de ecuaciones, a=1.87 m/s2 Si el bloque de 30 kg cae 2 m partiendo del reposo. 2= 1 2 a t 2 v=a·t
}v=2.73 m/s
Balance energético
En la figura se compara la situación inicial y la final y aplicamos el principio de conservación de la energía 30·9.8·2=20·9.8·2+ 1 2 20 v 2 + 1 2 30 v 2 + 1 2 ( 1 2 5· 0.1 2 )
ω 2
Relacionamos la velocidad v de los bloques y la velocidad angular ω del disco, v=ω·0.1 El resultado es v=2.73 m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica Problema 4
Sobre un plano horizontal está situado un cuerpo de 50 kg que está unido mediante una cuerda, que pasa a través de una polea de 15 kg a otro cuerpo de 200 kg. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo de 50 kg y el plano horizontal vale 0.1, calcular.
La aceleración de los cuerpos
Las tensiones de la cuerda
La velocidad de los cuerpos sabiendo que el de 200 kg ha descendido 2 m partiendo del reposo. (emplear dos procedimientos de cálculo para este apartado) Solución
Ecuaciones del movimiento de cada uno
200·9.8− T 2 =200a T 2 R− T 1 R=( 1 21
Relación entre la aceleración a de los bloques y la aceleración angular α del disco a=α·R El sistema de ecuaciones se reduce a
1960− T 2 =200a T 2 − T 1 =7.5a T 1 −49=50a }a=7.42 m/s 2 Si el cuerpo de 200 kg desciende 2 m partiendo del reposo 2= 1 2 a t 2 v=at
}v=5.45 m/s
Balance energético
Trabajo de la fuerza de rozamiento W=-F r· 2=-49·2=-98 J W= 1 2 50 v 2 + 1 2 200 v 2 + 1 2 ( 1 2 15 R 2 )
ω 2 −200·9.8·2
Relación entre la velocidad v de los bloques y la velocidad angular ω del disco v=ω·R El resultado es v=5.45 m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica
Problema 5
Una esfera hueca de masa M =6 kg y radio R=8 cm puede rotar alrededor de un eje vertical. En el eje hay un momento de rozamiento de 0.2 N·m. Una cuerda sin masa está enrollada alrededor del plano ecuatorial de la esfera, pasa por una polea de momento de inercia I =3·10-3 kg m2 y radio r =5 cm y está atada al final a un bloque de masa m=0,6 kg. No hay fricción en el eje de la polea y la cuerda no resbala.
¿Cuál es la velocidad del bloque cuando ha descendido 80 cm?
Resolverlo dinámica y por balance energético. I (esfera hueca)=2/3 MR 2 Solución
Ecuaciones del movimiento de cada uno de los cuerp T 1 ·0.08=( 2 3 6· 0.08 2 ) α 2 T 2
·0.05− T 1·0.05=3
Relación entre la aceleración a del bloque y las acele y de la polea a=α1·0.05= α2·0.08 Resolviendo el sistema de ecuaciones, a=1.013 m/s2
Si el cuerpo de 0.6 kg desciende 0.8 m partiendo del reposo 0.8= 1 2 a t 2 v=at
}v=1.273 m/s
Balance energético
Principio de conservación de la energía 0.6·9.8·0.8= 1 2 0.6· v 2 + 1 2 3· 10 2
−3 ω 1 2 + 1 2 ( 1 2 6· 0.08 2 ) ω 2
Relación entre la velocidad v del bloque y las velocidades angulares de la esfera y de la polea v=ω1·0.05= ω2·0.08 El resultado es v=1.273 m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica Problema 6
Dos cuerpos de 3 y 5 kg están unidos por una cuerda que pasa por una polea en forma de disco de 2 kg de masa y 20 cm de radio. Ambos deslizan sobre planos inclinados de 30º y 45º. Los coeficientes de rozamiento entre los cuerpos y los planos inclinados son 0.3 y 0.1 respectivamente. Calcular:
La aceleración del sistema,
Las tensiones de la cuerda,
La velocidad que adquieren los bloques cuando se desplazan 5 m a lo largo de los planos inclinados respectivos, partiendo del reposo. (Emplear dos procedimientos de cálculo para este apartado, comprobando que se obtienen los mismos resultados). Solución
Ecuaciones del movimiento de cada uno de los cuerpos
{ N 2 =3·9.8·cos 30 F 2 = μ 2 N 2 =0.3·3·9.8·cos 30 T 2 − F 2 −3·9.8· sin 30=3a { N 1 =5·9.8·cos 45 F 1 = μ 1N 1 =0.1·5·9.8·cos 45 5·9.8· sin 45− T 1 − F 1 =5a T 1 r− T 2 r=( 1 2 2 r 2 )α Relación entre la aceleración a de los bloques y la aceleración angular α de la polea a=α·r El sistema de ecuaciones se reduce a
31.8− T 1 =5a T 2 −22.34=3a T 1 − T 2 =a }a=0.983 m/s 2 Si el cuerpo de 5 kg desliza 5 m partiendo del reposo 5= 1 2 a t 2 v=at
}v=3.13 m/s
Balance energético
Trabajo de la fuerzas de rozamiento W=-F 1·5-F 2·5=-55.52 J W= 1 2 3 v 2 + 1 2 5 v 2 + 1 2 ( 1 2 2 r 2 ) ·sin 45
ω 2 +3·9.8·5·sin 30−5·9.8·5
Relación entre la velocidad v de los bloques y la velocidad angular ω de la polea v=ω·r El resultado es v=3.13 m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica Problema 7
Un disco de 0.2 kg y de 10 cm de radio se hace girar mediante una cuerda que pasa a través de una polea de 0.5 kg y de 7 cm de radio. De la cuerda cuelga un bloque de 3 kg, tal como se muestra en la figura. El disco gira alrededor de un eje vertical en cuyo extremo hay una varilla de 0.75 kg masa y de 20 cm de longitud perpendicular al eje y en cuyos extremos se han fijado dos esferas iguales de 2 kg de masa y 5 cm de radio. Se suelta el bloque y el dispositivo comienza a girar. Calcular:
El momento de inercia del dispositivo.
La aceleración del bloque.
La velocidad del bloque cuando ha descendido 2 m partiendo del reposo (resolver este apartado por energías). Solución
Momento de inercia del dispositivo I= 1 2 0.2· 0.1 2 + 1 12 0.75· 0.2 2 +2( 2 5 2· 0.05 2 +2· 0.1 2 kg·m2
)=0.0475
Ecuaciones del movimiento de cada uno de los cuerpos T 2 ·0.1=I α 2 T 1 ·0.07− T 2 ·0.07=( 1 2 0.5· 0.07 2 )
α 13·9.8
Relación entre la aceleración a del bloque y las aceleraciones a del disco y de la polea a=α1·0.07= α2·0.1
El sistema de ecuaciones se reduce a T 2 =4.75a T 1 − T 2 =0.25a 29.4− T 1 =3a }a=3.675 m/s 2 Si el cuerpo de 3 kg desciende 2 m partiendo del reposo 2= 1 2 a t 2 v=at
}v=3.83 m/s
Balance energético
Principio de conservación de la energía 3·9.8·2= 1 2 3· v 2 + 1 2 I
ω 2 2 + 1 2 ( 1 2 0.5· 0.07 2 ) ω 1 2
Relación entre la velocidad v del bloque y las velocidades angulares del disco y de la polea v=ω1·0.07= ω2·0.1 El resultado es v=3.83 m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica Problema 8
El sistema de la figura consta de una polea formada por dos discos coaxiales soldados de masas 550 y 300 g y radios 8 y 6 cm, respectivamente. Dos masas de 600 y 500 g cuelgan del borde de cada disco. Calcular:
¿En qué sentido gira?
La tensión de cada cuerda
La aceleración de cada masa
La velocidad de cada cuerpo cuando uno de ellos (¿cuál?) haya descendido 3 m partiendo del reposo (emplea dos procedimientos de cálculo).
Solución
Como 0.5·9.8·0.06>0.6·9.8·0.06, gira en el sentido de las agujas del reloj.
Momento de inercia de los discos soldados I = 1 2 0.55 · 0.08 2 + 1 2 0.3 · 0.06 2 = 0.0023 kg·m 2 Ecuaciones del movimiento de cada uno de los cuerpos 0.5 · 9.8 − T 2 = 0.5 · a 2 T 2 · 0.08
− T 1 · 0.06 = I α T 1 − 0.6 ·
Relación entre las aceleraciones de los bloques y la aceleración a discos a1=α·0.06 a2= α·0.08 Resolvemos el sistema de ecuaciones, α=5.12 rad/s2, a1=0.307 m/ m/s2
Balance energético
Si el cuerpo de 0.5 kg desciende 3 m partiendo del reposo 3= 1 2 a 2 t 2 v 2 = a 2 t } v 2
=1.567 m/s
Cuando el cuerpo de 0.5 kg desciende h2=3 m el cuerpo de 0.6 kg asciende h1
θ= h 1 0.06 = h 2 0.08
h1
=2.25 m
Conservación de la energía 0.5·9.8·3= 1 2 0.5· v 2 2 + 1 2 I
ω 2 + 1 2 0.6· v 1 2
Relación entre las velocidades de los bloques y la velocidad angular de los discos v1=ω·0.06 v2= ω·0.08 El resultado es v2=1.567 m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica Problema 9
Sobre un plano horizontal y que presenta una resistencia al deslizamiento de coeficiente μ=0.2, desliza un bloque de 3 kg de masa unido a una cuerda que se enrolla en la periferia de una polea formada por un disco 5 kg y 0.3 m de radio que tiene una hendidura de 0.1 m tal como se ve en la figura. De la cuerda enrollada en la hendidura pende un bloque de 10 kg de peso. Calcular:
Las tensiones de las cuerdas
La aceleración de cada cuerpo
El bloque de 10 kg desciende 2 m partiendo del reposo, calcular la velocidad de cada uno de los bloques (resolver este apartado relacionado trabajos y energías). Solución
Ecuaciones del movimiento de cada uno de los cuerpos { T 1 − F r =3 a 1 N=3·9.8 F r =0.2·N=5.88 T 2 .3 2 )α 10·9.8− T 2 =10· a 2
·0.1− T 1 ·0.3=( 1 2 5· 0
Relación entre las aceleraciones de los bloques y la aceleración angular de los discos a1=α·0.3 a2= α·0.1
Resolvemos el sistema de ecuaciones, α=13.51 rad/s 2, a1=4.05 m/s2, a2=1.35 m/s2 Si el cuerpo de 10 kg desciende 2 m partiendo del reposo 2= 1 2 a 2 t 2 v 2 = a 2 t } v 2
=2.32 m/s
Balance energético
Cuando el cuerpo de 10 kg desciende x2=2 m el cuerpo de 3 kg se desplaza x1
θ= x 1 0.3 = x 2 0.1
x1
=6 m
Trabajo de la fuerza de rozamiento W=-F r· x1=-5.88·6=-35.28 J Balance energético W= 1 2 10· v 2 2 + 1 2 I
ω 2 + 1 2 3· v 1 2 −10·9.8·2
Relación entre las velocidades de los bloques y la velocidad angular de los discos v1=ω·0.3 v2= ω·0.1 El resultado es ω=23.24 rad/s, v1=6.97 m/s, v2=2.32 m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica Problema 10
Sobre un plano inclinado
30º y que ofrece una resistencia al deslizamiento de coeficiente μ=0.2,
desliza un bloque de 3 kg de masa unido a una cuerda que se enrolla en la periferia de una polea formada por dos discos acoplados de 1 kg y 0.5 kg y de radios 0.3 m y 0.1 m respectivamente. De la cuerda enrollada al disco pequeño pende un bloque de 10 kg de peso. Calcular:
Las tensiones de las cuerdas
La aceleración de cada cuerpo
La velocidad de cada cuerpo si el bloque de 10 kg desciende 2 m partiendo del reposo (emplear dos procedimientos distintos para este apartado). Solución
Momento de inercia de los discos soldados I= 1 2 1· 0.3 2 + 1 2 0.5· 0.1 2
=0.0475 kg·m 2
Ecuaciones del movimiento de cada uno de los cuerpos { T 1 − F r −3·9.8·sin 30=3 a 1 N=3·9.8·cos 30 F r =0.2·N T 2 T 1 ·0.3=Iα 10·9.8− T 2 =10· a 2
·0.1−
Relación entre las aceleraciones de los bloques y la aceleración angular de los discos a1=α·0.3 a2= α·0.1 Resolvemos el sistema de ecuaciones: α=9.25 rad/s2, a1=2.77 m/s2, a2=0.92 m/s2 Si el cuerpo de 10 kg desciende 2 m partiendo del reposo 2= 1 2 a 2 t 2 v 2 = a 2 t } v 2
=1.92 m/s
Balance energético
Cuando el cuerpo de 10 kg desciende x2=2 m el cuerpo de 3 kg se desplaza x1
θ= x 1 0.3 = x 2 0.1
x1
=6 m
Trabajo de la fuerza de rozamiento W=-F r· x1=-0.2·3·9.8·cos30·6=-30.55 J W= 1 2 10· v 2 2 + 1 2 I
ω 2 + 1 2 3· v 1 2 +3·9.8·6·sin 30−10·9.8·2
Relación entre las velocidades de los bloques y la velocidad angular de los discos v1=ω·0.3 v2= ω·0.1 El resultado es ω=19.24 rad/s, v1=5.77 m/s, v2=1.92 m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica
