INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO MENTAL EN LA ESCUELA PRIMARIA Andrea Araya Chacón Chacón
Kathya Castillo Castillo Fallas
Escuela de Matemática, UCR
Escuela San Miguel Arcángel
[email protected]
[email protected]
Fabiola Madrigal Rosales
Dylana Vargas Mejía
Escuela San Miguel Arcángel
Escuela San Miguel Arcángel
[email protected]
[email protected]
Resumen
En este artículo se presenta una propuesta generada por maestras y profesores de matemáticas para iniciar el cálculo mental con alumnos de segundo ciclo acostumbrados al cálculo algorítmico. Se discuten alguna de las principales dificultades y fortalezas que se evidenciaron en los niños y las maestras durante su implementación. Palabras claves : educación primaria, operaciones aritméticas, cálculo mental, estrategias de
cálculo mental. 1. INTRODUCCIÓN Este artículo es producto del trabajo realizado por maestras y profesores de matemáticas en el marco del proyecto IREM-SJ-UCR : ED-2927 Investigación y Formación Continua en Enseñanza de la Matemática de la Escuela de Matemática de la UCR.
El cálculo mental es una de las herramientas intelectuales más beneficiosas que la educación primaria puede favorecer en los estudiantes. Ésta promueve no solo habilidades cognitivas asociadas con la agilidad aritmética que benefician al individuo al resolver ejercicios y problemas (tanto matemáticos como extramatemáticos), sino también, capacidades de comunicación y razonamiento relacionadas con las metodologías empleadas en clase. Por este motivo, durante el primer semestre de este año 2012, en el IREM se implementó un estudio sobre cómo iniciar el cálculo mental con estudiantes de segundo ciclo acostumbrados al cálculo algorítmico con lápiz y papel. Los principales aspectos de ese trabajo son presentados en este artículo siguiendo la siguiente estructura: aspectos teóricos que orientaron el estudio, procedimientos metodológicos que describen cómo se diseñó, implementó y analizó la secuencia, algunos de los principales análisis del trabajo de campo, conclusiones y recomendaciones que se derivaron del estudio y las referencias bibliográficas consultadas.
1
2. MARCO TEÓRICO En tiempos pasados, el cálculo mental era central en la formación de los estudiantes. Luego, su importancia fue disminuyendo al entrar a la era tecnológica, quedando delegado a la memorización de las tablas de multiplicar. Ahora bien, como lo indican Ortega y Ortiz (2005), desde hace algunos años la comunidad educativa recomienda con mayor rotundidad la necesidad del trabajo en el aula de este tipo de cálculo; esto, por ser un medio adecuado para favorecer en los alumnos el desarrollo de destrezas aritméticas y una formación integral. 2.1 EL CÁLCULO MENTAL Según Ramos (2009), el cálculo mental es una forma de calcular “sin tener en cuenta algoritmos preestablecidos” (p. 27), o como lo caracteriza Gómez (2005) “por el uso de métodos de cálculos alternativos a las columnas” (p. 18). Otros autores como Ortega, Ortiz y Monge (2005),
también le llaman cálculo pensado o cálculo reflexivo. Ellos señalan que durante su implementación, se espera que no se empleen ayudas externas, siendo solo la mente la que trabaja. Ahora bien, lo que diferencia el cálculo mental del cálculo algorítmico, no radica en que el segundo sea escrito, con lápiz y papel, y el primero no. Como se explica en Matemática. Cálculo mental con números naturales ,
el cálculo algorítmico utiliza siempre la misma técnica para una operación dada, cualquier sean los números. Esto hace que baste con conocer sus pasos (…) En
cambio, el cálculo mental admite varias maneras posibles para resolver un mismo cálculo (…) Ambos tipos de cálculos apelan a conocimientos sobre resultados
memorizados, a propiedades de la numeración y de las operaciones, pero lo hacen de manera diferente (Ministerio de Educación de Buenos Aires, 2008, p. 10). El
cálculo
mental
se
caracteriza
mediante varios atributos, entre ellos: rápido,
variable,
flexible,
activo
y
constructivo (Ramos, 2009). En su tesis de maestría, la autora se refiere
a
cada
una
de
estas
características: Figura 1. Características del cálculo mental según Ramos (2009)
2
Rápido: Aunque no se debe considerar como su principal finalidad, se adquiere dicha destreza si se practica continuamente. Variable: Es decir que se pueden seguir diferentes formas para un mismo problema. Flexible: Se puede descomponer números o alterar los datos iniciales para trabajar con otros más sencillos, o más simples. Activo: Significa que quien calcula tiene la facilidad de poder elegir la estrategia que va a desarrollar. Constructivo: Se refiere a que se puede ir haciendo por partes el problema y luego unir las respuestas parciales para sacar la respuesta última (Ramos, 2009, pp. 28 – 29). Uno de los mayores contribuyentes en esta área de estudio, según Faura y Pacheco (s.f.); Ortega y Ortiz (2005); Ortega, Ortiz y Monge (2005) y Gálvez, Comelli, Cubillos, Leger, Mena, Tanter et al. (2011) es el español Bernardo Gómez; según el cual, el cálculo mental está regido por cinco principios relativos a la estructura numérica decimal:
Los números básicos son del 1 al 9 y el cero.
Valor posicional, composición y descomposición decimal.
El uso del cero en decenas puras, centenas puras, unidades de mil puras, etc.
El agrupamiento multiplicando. Como 5 decenas son 5 veces una decena y se puede escribir así: 5 10 en vez de 50.
Las diferentes formas en que se puede escribir un número: 3C, 8D y 9U = 389; 300 + 80 + 9 = 389; 3
100 + 8
10 + 9 = 389 (Gómez, 2006, citado por Ramos, 2009,
pp. 34 35). Si se busca extender el cálculo mental a operaciones con números fraccionarios no enteros, Ramos (2009) sugiere agregar al listado anterior las diferentes formas de escribir dichos números, empleando notación decimal y fraccionaria; por ejemplo
1 4
= 0,25.
Estos principios se consideran conocimientos previos cuando media una intención didáctica, tal y como se pretendió al diseñar la propuesta metodológica que en este artículo se presenta, para trabajar el cálculo mental en el segundo ciclo de la educación básica costarricense. En el siguiente apartado se describen las contribuciones de algunos autores sobre este tratamiento escolar. 2.2 ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DEL CÁLCULO MENTAL La incorporación del cálculo mental en el aula ha estado motivada por múltiples ventajas que esta práctica genera en los estudiantes. Siguiendo a Ortega y Ortiz (2005) éstas pueden
3
esbozarse desde tres puntos de vista: la formación matemática, el desarrollo de las capacidades y un punto de vista utilitario. En cuanto a la formación matemática, el cálculo mental contribuye a desarrollar la “apreciación del significado y estructura de las operaciones aritméticas” (Ortega y Ortiz., 2005, p. 3):
ayuda a profundizar en la comprensión de los números, puesto que los tiene que transformar, por ejemplo: 27 + 8 = (20 + 7) + 8. Colabora en la profundización de las estructuras numéricas, relacionando las propiedades entre sí y haciendo uso de sus propiedades, por ejemplo: 27 + 8 = (20 + 7) + 8 = 20 + (7 + 8) = 20 + 15 = 35. Mejora las operaciones con los grandes números. Ayuda a controlar el cálculo de aproximación (Ortega y Ortiz, 2005, p. 2). Estas ventajas también las señalan Gálvez et al. (2011) al caracterizar el cálculo mental como un medio excepcional para favorecer en los estudiantes “la familiarización progresiva con los números” (p. 11).
Respecto al desarrollo de las capacidades, Ortega y Ortiz (2005) describen varias capacidades que se promueven durante el cálculo mental, como lo son: la concentración, la capacidad de organización, el rigor, la lógica, la memoria, la autonomía, la imaginación, la creatividad y la seguridad; Galvez et al. (2011) también mencionan las habilidades de “expresión, puesta en común, discusión y comparación” (p. 11).
Desde un punto de vista utilitario, Ortega y Ortiz (2005) se refieren a aplicar los beneficios del cálculo mental a las restantes áreas de estudio, así como a la vida práctica cotidiana de cada estudiante (cuentas de supermercado, juegos, restaurantes, etc.). Para fomentar la mayoría de los beneficios mencionados en los párrafos anteriores, se hace necesaria una metodología de trabajo en el aula que regrese al estudiante un rol de crítico, generador y comunicador de propuestas. Así, la actividad matemática a propósito del cálculo mental se describe como: Las decisiones a cargo del alumno que resuelve, los análisis que puede hacer mientras trabaja, las discusiones acerca de la validez de sus razonamientos con sus pares y con el docente, van tejiendo una red de conocimientos que fundamenta el funcionamiento de los números y de las operaciones (…) Al mismo tiempo, los alumnos participan de la construcción de criterios de validación de los procedimientos elaborados (…) y criterios
de elección de procedimientos adecuados en función de la tarea (Ministerio de Educación de Buenos Aires, 2008, p. 14). Siguiendo a este ente gubernamental, la intervención del docente se torna fundamental en estas actividades; ya que es quien debe hacer explicitar a los alumnos los procedimientos
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empleados, promover su comparación pública y llevar a que los estudiantes analicen y tomen decisiones sobre las herramientas óptimas de trabajo. En esta línea sobre el rol del docente, Ramos (2009) precisa algunas estrategias a considerar antes de empezar con un nuevo aprendizaje: “partir de la enseñanza del cálculo con material concreto y paulatinamente ir retirándolo, para no crear dependencia” (p. 36), “eliminar el conteo de uno a uno” (p. 37) y “respetar las estrategias que (un estudiante) pueda adaptar o variar para
una sola operación ” (p. 37). Parte del rol del maestro es valorar el estado de conocimientos de los estudiantes que inician con el cálculo mental; ya que “es necesario disponer de una cierta sistematización de un
conjunto de resultados que permite la construcción progresiva de un repertorio de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones disponibles en memoria o fácilmente reconstruibles a partir de aquellos memorizados” (Ministerio de Educación de Buenos Aires, 2008, p. 11). El gobierno
central de Buenos Aires ha emitido un documento en el que se enlistan algunos de estos resultados a sistematizar:
Sumas de números de 1 cifra entre sí. (…)
Identificar descomposiciones de 10 (9 + 1; 8 + 2; 7 + 3, etc.) (…) y su uso para la
identificación de las descomposiciones aditivas del 100 en números “redondos” (…)
Sumas de números “redondos” de dos cifras más un número de una cifra (…)
Cálculos que sumen o resten 10 a un número cualquiera (…)
Cálculos de complementos de un número cualquiera respecto a un número “redondo”
(p. 11) Finalmente, Ramos (2009), Ortega, Ortiz y Monge (2005) y Gómez (2005) destacan que el desarrollo de destrezas de cálculo mental es un proceso que demanda tiempo, adiestramiento y continuidad, en particular, ante la no implementación de esta última, se observarán retrasos que provocarán constantes „reinicios‟ a las estrategias básicas estudiadas.
Luego de puntualizar elementos de un referente conceptual del cálculo mental, y algunas contribuciones sobre su enseñanza, en la sección 2.3 se precisan algunas de las técnicas o estrategias de cálculo descritas por Gómez (2005) y Jiménez (s.f). 2.3 ESTRATEGIAS DE CÁLCULO MENTAL Los autores mencionados aportan un amplio listado de estrategias de cálculo para las cuatro operaciones básicas. Sin embargo, dado que la temática de interés para el estudio es el inicio del cálculo mental, se expondrán las referentes a la suma siguiendo a Jiménez (s.f.). i. Aplicar la propiedad conmutativa m + t = t + m
5
Tienden a ser más sencillas las sumas en el que al número mayor
Por ejemplo
se le adiciona el número menor, por lo que conmutar los
7 + 21 = 21 + 7 = 28
sumandos para obtener este orden es una estrategia en
23 + 64 = 64 + 23 = 87
ocasiones aplicada. ii. Recuentos o conteos
Esta estrategia se plantea para introducir al cálculo mental
Por ejemplo
a los alumnos que están incursionando en esta forma de
5+6=5+2+2+2
calcular. El objetivo es mejorar la técnica de conteo unidad
10 = 9 + 1 = 3 + 7 = 8 + 2 = …
a unidad que se aprende a inicios de la escolaridad (4 + 3 = 4 + 1 + 1 + 1). Para tal fin, puede recurrirse a series ascendentes , de 2 en 2 o de 3 en 3 y descomposición de los números , del 5 y del 10. iii. Doblar
Por ser frecuente su aparición, conviene agilizar la suma de un número consigo mismo, el doble del número. Jiménez propone nombrarles números vecinos (a los números consecutivos) y números casi vecinos (números naturales cuya diferencia es 1).
Por ejemplo 7+8=7+7+1 7+9=8+8
Para los primeros, se piensa en el doble del menor y se adiciona uno; para los segundos, se duplica el número entre los dos sumandos, por ejemplo 7 + 9 = 7 + (1 + 8) = (7 + 1) + 8 = 8 + 8. iv. Descomposición
Consiste en descomponer uno o los dos sumandos en sumas o restas equivalentes, de manera que la expresión original se torne más sencilla. Las decenas más próximas son por lo general los referentes para la descomposición.
Por ejemplo 58 + 19 = (58 + 2) + 17 = 77 58 + 19 = (58 + 20) – 1 = 77 58 + 19 = (50 + 10) + (1 + 9) + 7 = 77
Las estrategias descritas han sido presentadas como técnicas para el cálculo mental, sin embargo, como lo comenta Ramos (2009) es necesario que el mismo alumno sea quien vaya construyendo progresivamente sus propias estrategias. 3. MARCO METODOLÓGICO 3.1 TIPO DE ESTUDIO: INVESTIGACIÓN APLICADA La investigación denominada básica, busca avanzar en la producción de conocimientos científicos teóricos, sin priorizar sus posibles aplicaciones prácticas. Como lo precisa Grajales (2000), la investigación aplicada
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depende de los descubrimientos y avances de la investigación básica (…) pero se caracteriza por su interés en la aplicación, utilización y consecuencias prácticas de los conocimientos. La investigación aplicada busca el conocer para hacer, para actuar, para construir, para modificar (p. 2). Es en el sentido en que lo presenta la autora que este estudio se clasifica como aplicado. 3.2 PROCEDIMIENTOS DE LA LECCIÓN DE ESTUDIO La construcción de las lecciones sobre cálculo mental que se discuten en este artículo, se elaboraron e implementaron según los siguientes procedimientos. Durante una primera etapa se realizó una revisión bibliográfica sobre estrategias de cálculo mental. Así se obtuvieron algunos elementos expuestos en la segunda sección de este documento y sugerencias sobre qué tipo de actividades realizar en el aula, por ejemplo Jiménez (s.f.). En una segunda etapa se establecieron jerarquías de conocimientos y procedimientos necesarias para desarrollar el cálculo mental, en términos de conocimientos y procedimientos previos y posteriores. La tercera etapa engloba el proceso de construcción de las lecciones, según la información recolectada en las etapas anteriores. Las ideas generales de los primeros diseños que surgieron se analizaron según la pertinencia para el ciclo educativo, las conexiones con las temáticas del nivel, los conocimientos y procedimientos previos, el número de estudiantes, la duración de la lección y las habilidades que se buscaban promover: aplicar convenientemente estrategias de cálculo para determinar resultados de operaciones, comunicar las estrategias de cálculo construidas y justificar la aplicación de la estrategia de cálculo más conveniente según la forma de la operación presentada. Se elaboró una secuencia de cinco lecciones de 40 minutos (ver sección 4.1) que promoviera la sistematización de algunas sumas y el surgimiento de estrategias de cálculo mental básicas. Durante la cuarta etapa se esperaba implementar cada una de las cinco lecciones en tres grupos, uno por cada nivel del segundo ciclo. Sin embargo, por razones de tiempo causadas por actividades de la institución educativa, únicamente se aplicó la primera lección a los tres niveles, y la segunda a cuarto y sexto grado. Las estrategias y automatismos que se elaboraron durante estas aplicaciones, se continuaron evocando y utilizando a lo largo del curso lectivo. La tabla 1 resume los días, horario, niveles y maestra a cargo de los grupos donde se realizaron las aplicaciones.
7
Lección 1
Lección 2
29 de mayo del 2012
01 de junio del 2012
Nivel
Maestra a cargo
Hora
alumnos
Hora
alumnos
4to
Fabiola Madrigal
7:40 – 8:20
32
10:45 – 11:25
32
5to
Kattya Castillo
9:15 – 9:55
29
6to
Dylana Vargas
8:35 – 9:15
32
11:25 – 12:15
32
Tabla 1: Datos sobre los grupos en que se realizó la implementación de las lecciones
Cada una de las lecciones implementadas fue video-grabada para conservar la información registrada y apoyar los análisis. Además, a parte de la docente a cargo de la lección, al menos dos miembros más del IREM1 observaron la puesta en práctica del diseño. 3.3 ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN Para analizar la información recolectada se dividió cada lección en cuatro episodios. En cada uno se analizó el alcance de las habilidades propuestas –si aplicaba –, los conflictos que presentaron los estudiantes o aspectos que facilitaron la promoción de las habilidades, interacciones entre alumnos y entre maestra y alumnos, pertinencia de los recursos utilizados y la pertinencia de las consignas dadas. 4. RESULTADOS 4.1 DISEÑO DE LECCIÓN En esta sección se describen los lineamientos generales de las lecciones que no fueron implementadas y con mayor detalle aquellas que se aplicaron. LECCIÓN 1: “Corriendo a 10” y “Corriendo a 20” Dado que la aplicación de este diseño fue próxima a la realización de los Juegos Olímpicos y al Festival Deportivo en la Escuela, se introdujo la actividad preguntando a los niños sobre Gabriela Traña y comunicándoles algunos de sus méritos, entre ellos ser atleta olímpica de Costa Rica. Seguido se solicita a los estudiantes mencionar algunas características que deben tener los atletas para triunfar en sus competencias; los alumnos las dicen y se resalta que éstas mismas deben desarrollarse para correr en el juego llamado : “Corriendo a 10”.
1
El subgrupo del IREM I-12 que trabajó en esta secuencia estaba conformado por las proponentes del artículo y el profesor Juan Carlos Bolaños del colegio ICS.
8
Para la actividad se reparte una ficha a cada estudiante con un número del 1 al 9. Debe contarse con una bolsa con bolas de ping pong también enumeradas del 1 al 9. La maestra explica que sacará una bola, el primer estudiante que se ponga de pie y tenga en su ficha el número que al sumarle el de la bolita dé 10, gana un punto. Luego de cinco partidas, los niños deben cambiar de ficha con algún compañero y se corre a 10 al menos tres veces más. Seguido, la maestra dice que jugarán “corriendo a 20” y pregunta cómo podrían hacerlo empleando las fichas que ya se han entregado. El fin es que el estudiante se percate que se trata, por ejemplo, de sumar una decena al número en cada ficha y por tanto sí se puede jugar con el mismo material. Con este juego se espera ayudar a automatizar las sumas de números con una cifra que dan una decena pura (1 + 9, 2 + 8, 3 + 7, 4 + 6, 5 + 5, 11 + 9, 12 + 8, etc.). LECCIONES 2, 3: “Estrategias de cálculo” Esta actividad está diseñada para dos sesiones. Para iniciar la primera lección, la maestra indica que jugarán “corriendo a 10” sin materiales; pero lo hará ella contra algún niño voluntario. Otro estudiante dirá al azar números del 1 al 9, simulando las bolitas de ping pong de sesiones anteriores. La maestra deberá “contar con los dedos ” mientras que el estudiante es probable que opte por el cálculo mental, lo que hará que él gane la mayoría de las partidas. Esta situación se aprovechará para comentar los beneficios del cálculo mental. Seguido, los estudiantes se distribuyen en subgrupos de 4. Cada uno tiene la tarjeta roja con cuatro sumas (ver Figura 1). En grupo, deberán realizarlas mentalmente, empleando tres procedimientos diferentes
Figura 2: Tarjetas para sesiones 2 y 3
que anotarán en una hoja. El fin es que discutan las formas en que realizaron las operaciones y así hacer surgir posibles estrategias de cálculo mental. Finalmente, la maestra dirige una plenaria para revisar los resultados y escribir en la pizarra las estrategias (que no sean de conteo) que utilicen los estudiantes. Si no verbalizan alguna de las estrategias previstas (ver Figura 2), ésta podría escribirse en la pizarra. (i ) (6 + 6) + 1 (8 + 8) + 1 (5 + 5) + 1 (7 + 7) + 1
( ii ) (6 + 4) + 3 (9 + 1) + 7 (6 + 4) + 1 (8 + 2) + 5
(i i i ) (7 + 3) + 3 (8 + 2) + 7 (5 + 5) + 1 (7 + 3) + 5
( i v ) (7 + 7) – 1 (9 + 9) – 1 (6 + 6) – 1 (8 + 8) – 1
[ para 6+7 ] [ para 9+8 ] [ para 6+5 ] [ para 7+8 ]
Figura 3: Estrategias de cálculo mental previstas para realizar las sumas de la tarjeta roja
9
Durante el cierre de la sesión deberán distinguirse las estrategias de cálculo validadas como las más usadas y eficientes. Para la segunda sesión de esta actividad, se conserva la distribución de los estudiantes en cuartetos y la dinámica descrita en los párrafos anteriores; sin embargo, dado que se realizarán más sumas (4 tarjetas más, ver Figura 1), se solicita a los estudiantes dos formas distintas de encontrar el resultado, en lugar de tres, y se establece un periodo de tiempo para el estudio de cada tarjeta. Durante la plenaria se escriben las estrategias empleadas por los alumnos. Debe valorarse la conveniencia o no, según lo propuesto por los estudiantes, de agregar alguna estrategia prevista que los niños no hayan mencionado. (v ) (7 + 7) + 2 (6 + 6) + 2 (5 + 5) + 2 (4 + 4) + 2
( v i ) (7 + 3) + 6 (6 + 4) + 4 (5 + 5) + 2 (4 + 6) + 0
(v ii ) (9 + 1) + 6 (8 + 2) + 4 (7 + 3) + 2 (6 + 4) + 0
( v ii ) (9 + 9) – 2 (8 + 8) – 2 (7 + 7) – 2 (6 + 6) – 2
No parecieran tan inmediatas
(ix) (7 + 1) + (9 – 1) (6 + 1) + (8 – 1) (5 + 1) + (7 – 1) (4 + 1) + (6 – 1)
[ para 7+9] [ para 6+8 ] [ para 5+7 ] [ para 4+6 ]
Más inmediata: doble del número (necesita número “casi vecinos”)
Figura 4: Estrategias de cálculo mental previstas para realizar las sumas de la tarjeta amarilla
Se espera que para la última suma 4 + 6, los estudiantes mencionen que se trata de una suma de “corriendo a 10”, por lo que no hay necesidad de plantearse más estrategias. Tarjeta Morada
(x ) (10 + 10) + (3 + 2) (x i ) (13 + 2) + 10 ó (12 + 3) + 10 ( x i i ) (13 + 10) + 2 ó (12 + 10) + 3 (10 + 10) + (4 + 3) (14 + 3) + 10 ó (13 + 4) + 10 (14 + 10) + 3 ó (13 + 10) + 4
[ para 13+12 ] [ para 14+13]
Tarjeta Rosada
(x i i ) (10 + 10) + (6 + 7) (10 + 10) + (8 + 9)
( x i v ) (16 + 4) + 13 ó (17 + 3) + 13 (18 + 2) + 17 ó (19 + 1) + 17
[ para 16+17 ] [ para 18+19]
Tarjeta Verde
(x v i i ) (20 + 60) + (7 + 9) (10 + 70) + (9 + 8)
( x v i i i ) (30 + 70) – 3 – 1 (20 + 80) – 1 – 2
[ para 27+69] [ para 19+78 ]
Figura 5: Estrategias de cálculo previstas para realizar las sumas de las tarjetas morada, rosada y verde
LECCIÓN 4: “Calculadora humana” 2 El objetivo de esta sesión es “entrenar” la p uesta en práctica de las estrategias que se han
trabajado anteriormente. Es una actividad planeada para convertirla en “rutina” de clase cada cierta cantidad de lecciones. Se reparte a cada estudiante una tabla con 20 filas y 7 columnas 2
http://docentes.educacion.navarra.es/jjimenei/0000009bbf0a45a2d/0000009bbf0b55c04/index.html
10
(cantidades variables según el avance de la clase),
indexadas
respectivamente.
por
números
Cada
celda
y
letras
tiene
una
operación aritmética. Todos los alumnos tienen la misma tabla. Se explica la noción de coordenadas y se ubican algunas operaciones. Cada estudiante también tiene una cuadrícula similar en blanco para anotar los resultados. La actividad consiste en realizar mentalmente la mayor cantidad de sumas (y escribir el resultado) en un tiempo dado (por ejemplo 1 minuto). Durante la revisión, se adjudica una nota según los puntos obtenidos (un punto cada acierto). El autor que propone esta actividad (Jiménez,
Figura 5: Tabla de cálculo para “calculadora humana”
2009) sugiere la siguiente: Puntos
4
6
8
10
12
15
18
21
24
27
Nota
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Una de las fortalezas que tiene esta actividad es su conexión con la Estadística descriptiva. Luego de implementarla en varias ocasiones, pueden registrarse las notas de cada estudiante gráficamente, de manera que se evidencia su progreso para un mismo tipo de ejercicios. También pueden determinarse las medidas de tendencia central de las notas de los estudiantes para una sesión y realizar interpretaciones sobre el rendimiento del grupo.3
3
Figura 6: Registro de notas de “calculadora humana” (Tomado de Jiménez, 2009) 3
http://docentes.educacion.navarra.es/jjimenei/images/alumno3grafica.jpg
11
LECCIÓN 5: “Ubicándonos en el calendario” La actividad inicia cuando la maestra cuestiona a los niños sobre algunos términos usados cotidianamente para referirnos a unidades de tiempo: milenio, siglo, década, año, mes, semana, día, hora, minuto, segundo (según el nivel del ciclo en que se trabaje). Se cuenta con un calendario del mes vigente, de un tamaño que permita a todos los estudiantes observar las fechas de los días (puede estar trazado en la pizarra), y se señalan fechas que los estudiantes consideran relevantes (gira, cumpleaños, exámenes, visitas de invitados, campeonatos, etc.). La maestra les pregunta a los niños si han escuchado las expresiones “de hoy en ocho”, “hace quince días” y sobre su significa do. Se verifican las interpretaciones de las mismas contando en el calendario, evidencian do que “de hoy en ocho” en realidad significa sumarle 7 , y “de hoy en 15” sería más bien sumarle 14; es decir, agregar un múltiplo de 7: “dentro de dos semanas” “sumar 14”, “dentro de tres semanas”
“sumar 21”.
Seguido se interroga a los estudiantes sobre las fechas a las que es inmediato determinar el día “de hoy en ocho” o “de hoy en qui nce”. Se espera que los estudiantes respondan el día 1 (1 + 7
= 8), 3 (3 + 7 = 10), 13 (13 + 7 = 20), 23 (23 + 7 = 30); de manera que surgen los resultados sistematizados en sesiones anteriores; pero contextualizado en una situación que servirá de referencia siendo un recurso cotidiano. Finalmente, se oculta el calendario y se hacen preguntas sobre las fechas importantes o los eventos que se habían mencionado al inicio de la lección. Por ejemplo, si hoy es 13 de octubre, ¿cuánto falta para el cumpleaños de Carlos? (se había anotado que el niño cumplía el 27 de ese mes). Es necesario que la maestra priorice la verbalización del procedimiento más que la respuesta correcta. Así por ejemplo, para la pregunta de anterior, una de las respuestas esperadas es: “si estamos 13, 13 más 7 serían 20 y 7 más, entonces faltan 14 días … ¡de hoy en quince!”.
4.2 ANÁLISIS DE LA IMPLEMENTACIÓN Los análisis de las implementaciones en los tres niveles se presentan en este artículo por episodios. Las proponentes indicarán si se identificó un rasgo distinto en un nivel en particular. 4.2.1 “Corriendo a 10” y “Corriendo a 20”
Episodio 1: Motivación La mayoría de los estudiantes se dispusieron a aportar sobre el atletismo y las competencias en el colegio. Fue un espacio donde los alumnos enlistaron condiciones de un atleta para tener éxito: “practicar ”, “disciplina”, “buen físico ”, “rapidez”, “dedicación ”, “ser saludable ”, “nunca
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rendirse”, “aprender de los errores ”, etc. Al finalizar la lección los estudiantes reflexionaron sobre las habilidades que se requieren para hacer cálculo mental en forma ágil. A la pregunta de la docente ¿Qué se necesita para hacer cálculo mental?, los alumno s respondieron “poner atención”, “calcular rápidamente”, “estar concentrados”.
Se considera positivo insistir regularmente en estas destrezas mencionadas por los niños al trabajar en clase de matemática: recordarlas con los estudiantes, dar ejemplos concretos según el desempeño de los alumnos y enunciar los beneficios que pueden aportar en otras áreas, intra y extramatemática. Episodio 2: Presentación de la actividad Se mantiene el interés de los estudiantes cuando se les propuso participar en el juego Corriendo a 10 . Dadas las instrucciones del juego, se dio el espacio para la interacción
alumno – maestra, lo que permitió evacuar dudas, ejemplificar aspectos del juego y corregir errores. Jose Andr és:
Teacher ¿pero si alguien se equivoca?
Docente:
Si alguien se equivoca nada pasa. Yo le digo, no mi amor no suma 10, entonces se tiene que sentar.
Mar ian:
Teacher y uno puede multiplicar.
Docente:
No, sumando. Yo saco l a bolita, y si la tarjeta que cada uno tiene… o la que usted tiene suma 10, usted se levanta inmediatamente (…)
Moisés:
¿Uno cómo tiene que hacer? Mentalmente o…
Docente:
Mentalmente. Referencia: Video grabación 29.05.12, 4 to –C
El objetivo del episodio era enmarcar la actividad como un juego, un espacio lúdico, donde el error no interfiriera en el desarrollo de la misma. Antes de iniciar, se hicieron “simulacros” para verificar la comprensión de la consigna. Episodio 3: Sumas mentales que dan 10 Avanzada la actividad, en todos los niveles se observaron indicadores de la automatización de la suma de números de una cifra: disminución del tiempo de respuesta una vez mostrada la bolita y, todos los estudiantes con la respuesta correcta se ponían en pie (ellos mostraban su tarjeta). Se dio el caso que los estudiantes aplicaron la propiedad conmutativa al sumar siempre
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el número mayor más el número menor, indistintamente del número que tenían en la tarjeta o saliera en la bolita. Por ejemplo: si la maestra saca la bolita 9, el niño tiene tarjeta 1 y verbaliza 9 + 1 = 10. Ahora bien, dado que las bolitas utilizadas estaban pintadas con colores distintos, algunos niños hayan memorizaron el color que debe tener la bolita para ellos ponerse de pie y ganar. Después de realizar algunos cálculos, los estudiantes intercambian tarjetas. Esto incentivó la competencia y al observarse los indicadores de automatización, permitió pasar a la segunda etapa del juego Corriendo a 20 . Episodio 4: Sumas mentales que dan 20 Corriendo a 20 elevó las expectativas del juego, ya que para los estudiantes de los tres niveles
representó un mayor reto. Se enfrentaron al conflicto de buscar una estrategia para seguir jugando con las mismas reglas y el mismo material. La docente media diciendo que dicha estrategia debe ser factible para que todos puedan seguir jugando con las mismas posibilidades. Esta modificación en el juego buscaba ampliar la sistematización de resultados, que según el Ministerio de Educación de Buenos Aires (2008), es una condición necesario para que surjan estrategias de cálculo. El objetivo era que los estudiantes evidenciaran que bastaba con tener las mismas cifras con las que trabajaron en „corriendo a 10‟, en las unidades; es decir la suma 2 + 8, es análoga (en cuanto a procedimiento) a 12 + 8. Posteriormente en clase se trabajarían las sumas 22 + 8, 32 + 8, 82 + 8, etc. A continuación se mencionan algunas estrategias dadas por los niños ante la pregunta sobre cómo „correr a 20‟: 4to - C
Agarrar dos bolitas.
Multiplicando el número de la bolita por el número
5to – A
de la tarjeta.
Multiplicando el número de la
6to - C
Ponerle uno al lado del
bola por la tarjeta y sumarle dos.
número de la tarjeta sin
Dividiendo 20 entre el número de
rayarla. “Digamos que
la bolita.
tengo el 5 y la profe saca 5
Restando
Multiplicando el número por 5.
pero no me puede dar a 20,
Multiplicaciones
Sumar la tarjeta y la bolita o
entonces sin rayar la tarjeta
abreviadas.
viceversa y multiplicar el
nada más cuento este
Agregarle un 1 cada uno a
resultado de la suma por dos.
número como si fuera un
Sumarle 10 al resultado de la
15”.
su tarjetita. Entonces si
tengo 5 se convierte en 15, sumarle el 5 y da 20.
suma de la bolita y la tarjeta.
Multiplicando el número de
Sumarle 10 a la tarjeta o a la
la bolita por el número de la
bolita.
tarjeta.
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Tabla 2: Sugerencias de los estudiantes para „correr a 20‟
De las estrategias mencionadas anteriormente, los estudiantes de cuarto y sexto aplicaron por consenso el uso de la decena pura agregándosela al número de la tarjeta. Se evidencia de nuevo que los estudiantes suman al número mayor el menor: “agregarle un 1 cada uno a su tarjetita, entonces si tengo 5 se convierte en 15, sumarle el cinco y da 20”.
En quinto grado la mayoría de los estudiantes utilizaron operaciones combinadas para hacer el cálculo a 20, por ejemplo (8+2) x 2= 20. Se recomienda que sea el estudiante quien verbalice la operación de cálculo que va a realizar y no la docente, como mayoritariamente sucedió en las clases observadas. En los niveles de quinto y sexto los estudiantes solicitaron elevar el nivel de dificultad, jugando Corriendo a 30”. En el caso del 5 – A usaron la misma estrategia, por ejemplo (8 + 2) x 3. En el
caso del 6 – C la estrategia fue agregar dos decenas puras a la tarjeta y sumarle el valor de la bolita. Al finalizar la actividad, los estudiantes comunicaron la utilidad que le hallaron al juego y comentaron lo siguiente:
Ayuda a hacer cálculo mental
Ayuda a hacer rápidamente operaciones pequeñas
Se pueden aprender los resultados de memoria
La aplicación del diseño “Corriendo a 10” permitió el alcance de las habilidades propuestas . En
días posteriores se jugó nuevamente pero sin el material concreto, para reforzar la automatización de la suma. Se rescata el caso de un estudiante de cuarto grado que durante las lecciones de matemáticas presentaba una actitud negativa, inseguridad y sentimiento de incapacidad ante la materia, y al ganar en el juego “Corriendo a 10”, despertó afinidad a la matemática desarrollando en él
confianza y deseos de desempeñarse mejor en esta área. Esto se ha observado en las sesiones de clase posteriores a la aplicación. 4.2.2 “ Estrategias de cálculo”
Episodio 1: Motivación Los estudiantes que participaron en la competencia ( “corriendo a 10” ) con la docente mostraron automatización de las sumas, velocidad y agilidad en el cálculo que hacían. Esto se evidenció por el corto tiempo de respuesta, siempre acertadas. Al comentar sobre los resultados, los estudiantes del 4 –C expresaron que la “maestra perdió por contar con los dedos”, “por hacerlo más despacio”; y que “ella ganó por usar cálculo mental”. Por su parte, al responder ¿Para qué
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sirve el cálculo mental?, los estudiantes del 6 – C expresaron: “para dar el resultado más rápido”, “para agilizar la mente” y “saber operaciones básicas, aplicar en la vida el cálculo
mental, ya que cuando uno esté trabajando puede ser que le den finanzas de eso y debe ser de inmediato”. Episodio 2: Presentación de la actividad Los estudiantes comprendieron las instrucciones; ya que formularon pocas preguntas y las realizadas se referían más a aspectos organizativos. La maestra enfatizó que lo más importante era la estrategia que usaran para obtener el cálculo mental de la operación de sumas de una cifra y no la respuesta en sí. Episodio 3: Sumas en equipo En ambos niveles4 los estudiantes terminaron rápidamente las sumas. Se pudo observar que la mayor parte usaron realmente cálculo mental al no utilizar los dedos para contar. Sin embargo, algunos niños del 4- C sí contaron con éstos. En el período de razonamiento y discusión de las estrategias que utilizaron para realizar las sumas por equipos, los estudiantes aplicaron diferentes habilidades como doblar, descomponer, correr a 10 (se mencionan en el episodio 4: Exposición de estrategias de sumas), usando lenguaje matemático para comunicarse y construir estrategias funcionales. Se evidenció que los estudiantes se corregían entre sí mismos cuando planteaban una estrategia incorrecta, como fue el caso en un grupo del sexto C donde una niña propuso hacer la suma de la siguiente manera: Obser vador a:
¿Encontraron alguna estrategia?
Kar ina:
Corriendo a diez y multiplicarlo y luego restarle 1.
Obser vador a:
Pero ¿cómo sería?
Kar ina:
Diay, usando corriendo a 10 con cálculo mental
Obser vador a:
Pero ¿cómo aplicaría eso?
Kar ina
Colocamos un 1 más a cada número y luego se le suma eso
Mar ía
No eso es corriendo a 20 Referencia: Video grabación 01.06.12, 6 to - C
4
Se recuerda que la segunda lección se implementó, para videograbar, solo en cuarto y en sexto grado.
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Es notorio que en ambos niveles hay diferencias de participación. En el 4 –C son pocos los estudiantes que se involucran en buscar las estrategias para las sumas; en cambio en el 6- C, los estudiantes en general son más activos para razonar y discutir las estrategias que usaron. Episodio 4: Exposición de estrategias de sumas Las siguientes son estrategias de cálculo mental que propusieron los estudiantes en ambos niveles. 4to - C
6to - C
Doblar las
Corriendo a 10 y
Doblar las operaciones
Corriendo a 10 y
operaciones
descomposición
6 + 7 = 13
descomposición
6 + 7 = 13
9 + 8 = 17
6+6+1
7 + 7 – 1
10 + 8 -1
7 + 7 – 1
Descomposición
7 + 8 = 15
9 + 8 = 17
6 + 7 = 13
9 + 9 – 1
7 + 3+ 3= 13
7 + 8 = 15
6 + 5 = 11
7 + 7+ 1
5+5+1
8 + 8 – 1
9+8
/ 10 + (8 – 1) = 17
Tabla 3: Tipos de estrategias de cálculo que emplearon los estudiantes Se destaca el caso de un estudiante de sexto grado que llegó a la siguiente estrategia: “encontrar la mitad entre la suma de cada número, me refiero a que es seis más seis igual doce y siete más siete igual catorce entonces lo que está entre cada uno es la respuesta”. Esta
estrategia la aplicó a las cuatro sumas propuestas obteniendo el resultado correcto. Lo ejemplificó numéricamente de la siguiente manera.
6 + 7 = 13
6 + 6 = 12
9 + 8 = 17
13
7 + 7 = 14
9 + 9 = 18
17
8 + 8 = 16
Esta estrategia no estaba contemplada en el listado analizado antes de la implementación; lo que contribuyó a que en ese momento no se profundizara una discusión matemática referente a ¿por qué funciona la estrategia? o si ¿siempre funcionará? Nótese que la estrategia es válida para números consecutivos, n y n + 1:
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(n + n) = 2 n
y
(n + 1 + n + 1) = 2 n + 2
(6 + 6) = 2 6 = 12
(6 + 1 + 6 +1) = 7 + 7 = 2 6 + 1 = 14
Al sumar dos números consecutivos se tendrá: n + (n + 1) = 2n + 1 6 + 7 = 6 + (6 + 1) = 26 + 1 = 13 Para obtener las tres estrategias diferentes de cada suma algunos estudiantes de sexto grado optaron por descomponer el resultado y proponer operaciones que al realizarlas dieran ese resultado; esto sin considerar que su propuesta lejos de facilitar el cálculo, éste se complicaba o eran estrategias que asumía información que originalmente no se tenía. Por ejemplo, para 7 + 8 se propusieron 20 – 5 y 3 5; para 6 + 5 se mencionó 5 – 4 + 10. En cuarto grado también se presentó la situación anterior, en particular el caso de descomponer los sumandos en números más pequeños. Los niños expresaron que esto los ayudaba a hacer más fácil la suma. Por ejemplo: para 6 + 5 indicaron 3 + 3 + 5= 11. La facilidad a la que se refieren los estudiantes, era po r involucrar números “más bajo” , lo cual se consideró válido por ser la primera sesión de la secuencia. En la Figura 7 se presentan las estrategias que plantearon los estudiantes de ambos niveles y que las docentes escribieron en la pizarra. Estrategias propuestas por el 6- C
Estrategias propuestas por el 4 - C
Figura 7: Estrategias de cálculo mencionadas por los estudiantes de sexto y cuarto grado
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La variedad de respuestas refleja la disposición por participar de los alumnos; sin embargo, como se indicó anteriormente, varias propuestas no correspondían a estrategias de cálculo mental. Al parecer la falta de alguna aclaración previa por parte de las docentes sobre qué es una estrategia de cálculo mental, podría haber contribuido a esta situación y validar el surgimiento de expresiones como 2 3 + 2 + 4 ó 1 + 1 +1 + 3 + 4 + 2, para sumar 8 + 4. Por esta razón, es necesario que al aplicar el diseño exista un espacio donde se discuta y aclare qué es una estrategia de cálculo mental. Al finalizar y ante la intervención de la docente que les solicita indicar cuáles estrategias de las escritas en la pizarra sirven para hacer cálculo mental, estudiantes de ambos niveles indican las que se usaron para doblar y otros mantienen la descomposición del resultado. Ante esta situación, la docente de sexto grado indicó que era tarea de ellos analizar cuál estrategia servía para agilizar cálculo mental y que lo retomarían en la siguiente clase. La docente de cuarto grado medió con los estudiantes para que eligieran de entre todas las estrategias que propusieron las que realmente les ayudaban a realizar el cálculo mental, llegando a un consenso común. Como se esperaba estos estudiantes presentaron mayores dificultades para obtener las estrategias de cálculo mental en comparación con el grupo de sexto grado. 5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Implementar estas lecciones ofrece al grupo de maestras y docentes de matemáticas en el IREM, una referencia concreta sobre la aceptación favorable que pueden tener las actividades cuando los estudiantes reconocen en ellas un aprendizaje que les beneficie en varios contextos. En esta línea es que debe seguirse avanzando. Las proponentes de este artículo recomiendan iniciar con el cálculo mental en la educación primaria lo más pronto posible. Esto por las ventajas en rapidez y eficiencia que de él se derivan; pero también por el espacio de discusión matemática que puede surgir al exteriorizar las estrategias que permite, como lo indicaron los autores investigadores en el área, analizar propiedades de las operaciones. Aunque no se documentaron (videograbaron) el resto de las lecciones de cada maestra, es esencial darle continuidad al resultado automatizado derivado de “corriendo a 10” y a las estrategias de cálculo que surgieron, tal y como se realizó luego de esta implementación. 6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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