Unid ad 1.
Tema “Toma de decisiones”
Subtemas 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
2.
3.
4.
Ambientes y criterios para la toma de decisiones. Toma de decisiones bajo modelos de certidumbre, incertidumbre y riesgo. Enfoque cuantitativo en la toma de decisiones. Teoría de la utilidad. La obtención de datos para la toma decisiones. Arboles de decisión.
“Programación Lineal”
1.6
“Asignación y transporte”
2.1 Formulación y aplicación de modelos de programación lineal. 2.2 Método Grafico. 2.3 Método Simplex. 2.3.1 Método Algebraico. 2.3.2 Método dual-simplex. 2.4 Método dual. 2.5 Método dual- simplex. 2.6 Análisis de resultados.
“Lineas de espera”
5.1 5.2 5.3 5.4
Método Método Método Método
de de de de
Esquina Noroeste. costo Mínimo. Aproximación de Vogel. Asignación.
4.1 Estructura básica de los modelos de línea de espera. 4.1.1 Un servidor, una cola. 4.1.2 N servidores, una cola. 4.1.3 N servidores, n colas 4.2 Criterios bajo la distribución de Poisson y Exponencial para la selección del modelo apropiado de líneas de espera. 4.3 Aplicación de modelos de decisión en líneas de espera. 4.4 Inferencia de resultados. 5. “Modelos de pronósticos e inventarios” 5.1 Modelos de pronósticos. 5.1.1 Modelos de pronósticos para un nivel constante.
Pagina
5.1.2 Efectos estacionales en los modelos de pronósticos. 5.2 Suavizado exponencial en modelos de tendencia lineal. 5.3 Errores en los pronósticos. 5.4 Pronósticos casuales con regresión lineal. 5.5 Definición y tipos de inventarios. 5.5.1 Ventajas y desventajas de los inventarios. 5.5.2 Costos de inventarios. 5.6 Modelos determinísticos. 5.7 Modelos de probabilísticas. 5.8 Planeación de requerimientos de materiales. 6.1 Grafica de grant. 6.2 Método de la ruta crítica (PERT/CPM). 6.2.1 Terminología. 6.2.2 Construcción de una red. 6.2.3 Determinación de la ruta crítica. 6.2.4 Compresión de redes. 6.2.5 Análisis de una red PERT. 6.3 Programación y control de proyectos basados en costos
UNIDAD
“Toma de decisione
1.1
Ambientes y criterios para la toma de decisiones.
Los ambientes y criterios que se utilizan para una toma de decisiones varían dependiendo los conocimientos que se tengan para realizar alguna función y de las herramientas con las que se cuenten en ese momento, ya que las decisiones que se toman al final se componen bajo los rendimientos que se establecen con estas dos variables mencionadas. El problema de la Decisión, motivado por la existencia de ciertos estados de ambigüedad que constan de proposiciones verdaderas (conocidas o desconocidas), es tan antiguo como la vida misma. Podemos afirmar que todos los seres vivientes, aún los más simples, se enfrentan con problemas de decisión. Así, un organismo unicelular asimila partículas de su medio ambiente, unas nutritivas y otras nocivas para él. Conforme aumenta la complejidad del ser vivo, aumenta también la complejidad de sus decisiones y la forma en que éstas se toman. Así, pasamos de una toma de decisiones guiada instintivamente, a procesos de toma de decisiones que deben estar guiados por un pensamiento racional en el ser humano. Un proceso de decisión presenta las siguientes características principales: Existen al menos dos posibles formas de actuar, que llamaremos alternativas o acciones, excluyentes entre sí, de manera que la actuación según una de ellas imposibilita cualquiera de las restantes. Mediante un proceso de decisión se elige una alternativa, que es la que se lleva a cabo. •
La elección de una alternativa ha de realizarse de modo que cumpla un fin determinado.
1.2 Toma de decisiones incertidumbre y riesgo.
bajo
modelos
de
certidumbre,
En todo problema de decisión pueden distinguirse una serie de elementos característicos: El decisor, encargado de realizar la elección de la mejor forma de actuar de acuerdo con sus intereses. Las alternativas o acciones, que son las diferentes formas de actuar posibles, de entre las cuales se seleccionará una. Deben ser excluyentes entre sí. Los posibles estados de la naturaleza, término mediante el cual se designan a todos aquellos eventos futuros que escapan al control del decisor y que influyen en el proceso. Las consecuencias o resultados que se obtienen al seleccionar las diferentes alternativas bajo cada uno de los posibles estados de la naturaleza. La regla de decisión o criterio, que es la especificación de un procedimiento para identificar la mejor alternativa en un problema de decisión.
CLASIFICACIÓN DE LOS PROCESOS DE DECISIÓN Los procesos de decisión se clasifican de acuerdo según el grado de conocimiento que se tenga sobre el conjunto de factores o variables no controladas por el decisor y que pueden tener influencia sobre el resultado final (esto es lo que se conoce como ambiente o contexto). Así, se dirá que: El ambiente es de certidumbre cuando se conoce con certeza su estado, es decir, cada acción conduce invariablemente a un resultado bien definido. El ambiente de riesgo cuando cada decisión puede dar lugar a una serie de consecuencias a las que puede asignarse una distribución de probabilidad conocida. El ambiente es de incertidumbre cuando cada decisión puede dar lugar a una serie de consecuencias a las que no puede asignarse una distribución de probabilidad, bien porque sea desconocida o porque no tenga sentido hablar de ella.
Según sea el contexto, diremos que el proceso de decisión (o la toma de decisiones) se realiza bajo certidumbre, bajo riesgo o bajo incertidumbre, respectivamente.
TOMA DE DECISIÓN BAJO MODELOS DE CERTIDUMBRE
En los procesos de decisión bajo certidumbre se supone que el verdadero estado de la naturaleza es conocido por el decisor antes de realizar su elección, es decir, puede predecir con certeza total las consecuencias de sus acciones. Esto es equivalente a considerar n =1 en la descripción de la tabla de decisión, dando lugar a siguiente tabla trivial:
Estado de la Naturaleza
Alternativas
e1
a1
x11
a2
x21
...
...
am
xm1
Conceptualmente, la resolución de un problema de este tipo es inmediata: basta elegir la alternativa que proporcione un mejor resultado, es decir:
Se selecciona como alternativa óptima aquella alternativa ak tal que xk1 = max {xi1 : 1im}
El problema de decisión se reduce, por tanto, a un problema de optimización, ya que se trata de escoger la alternativa que conduzca a la consecuencia con mayor valor numérico asociado. Básicamente, un problema de optimización puede expresarse en forma compacta como sigue: max { f(x) : x ∈S} donde: S es el conjunto de alternativas o conjunto factible. Se trata de un subconjunto del espacio euclídeo ℜn, que puede contener un número finito o infinito de elementos. f: S ℜ es la denominada función objetivo, que asigna a cada alternativa una valoración, permitiendo su comparación. x representa el vector n-dimensional que describe cada elemento del conjunto factible. Cada una de sus componentes recibe el nombre de variable de decisión. TOMA DE DECISIÓN BAJO INCERTIDUMBRE
En los procesos de decisión bajo incertidumbre, el decisor conoce cuáles son los posibles estados de la naturaleza, aunque no dispone de información alguna sobre cuál de ellos ocurrirá. No sólo es incapaz de predecir el estado real que se presentará, sino que además no puede cuantificar de ninguna forma esta incertidumbre. En particular, esto excluye el conocimiento de información de tipo probabilística sobre las posibilidades de ocurrencia de cada estado.
REGLAS DE DECISIÓN A continuación se describen las diferentes reglas de decisión en ambiente de incertidumbre, y que serán sucesivamente aplicadas al ejemplo de construcción del hotel. Criterio de Wald Criterio Maximax Criterio de Hurwicz Criterio de Savage Criterio de Laplace 1.- CRITERIO DE WALD Bajo la alternativa ai, el peor resultado posible que puede ocurrir tiene una valor para el decisor dado por:
El valor si se denomina nivel de seguridad de la alternativa ai y representa la cantidad mínima que el decisor recibirá si selecciona tal alternativa. En 1950, Wald sugiere que el decisor debe elegir aquella alternativa que le proporcione el mayor nivel de seguridad posible, por lo que S(ai)=si. Así, la regla de decisión de Wald resulta ser:
Este criterio recibe también el nombre de criterio maximin, y corresponde a un pensamiento pesimista, pues razona sobre lo peor que le puede ocurrir al decisor cuando elige una alternativa. EJEMPLO Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra las recompensas obtenidas junto con los niveles de seguridad de las diferentes alternativas:
Alternativas
Estados de la Naturaleza
Terreno comprado
Aeropuerto A
A
13
- 12
-12
B
-8
11
-8
AyB
5
-1
-1
0
0
0
Ninguno
en Aeropuerto B
en si
La alternativa óptima según el criterio de Wald sería no comprar ninguno de los terrenos, pues proporciona el mayor de los niveles de seguridad. 2.- CRITERIO MAXIMAX Bajo la alternativa ai, el mejor resultado posible que puede ocurrir tiene un valor para el decisor dado por:
El valor oi se denomina nivel de optimismo de la alternativa ai y representa la recompensa máxima que el decisor recibirá si selecciona tal alternativa. El criterio maximax consiste en elegir aquella alternativa que proporcione el mayor nivel de optimismo posible, por lo que S(ai)=oi. Esta regla de decisión puede enunciarse de la siguiente forma:
Este criterio corresponde a un pensamiento optimista, ya que el decisor supone que la naturaleza siempre estará de su parte, por lo que siempre se presentará el estado más favorable. EJEMPLO Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra las recompensas obtenidas junto con los niveles de optimismo de las diferentes alternativas:
Alternativas
Estados de la Naturaleza
Terreno comprado
Aeropuerto A
A
en Aeropuerto B
en oi
13
- 12
13
B
-8
11
11
AyB
5
-1
5
Ninguno
0
0
0
La alternativa óptima según el criterio maximax sería comprar la parcela en la ubicación A, pues proporciona el mayor de los niveles de optimismo.
3.- CRITERIO DE HURWICZ Se trata de un criterio intermedio entre el criterio de Wald y el criterio maximax. Dado que muy pocas personas son tan extremadamente pesimistas u optimistas como sugieren dichos criterios, Hurwicz (1951) considera que el decisor debe ordenar las alternativas de acuerdo con una media ponderada de los niveles de seguridad y optimismo:
donde es un valor específico elegido por el decisor y aplicable a cualquier problema de decisión abordado por él, por lo que T(ai) = si + (1-oi. Así, la regla de decisión de Hurwicz resulta ser:
Los valores de próximos a 0 corresponden a una pensamiento optimista, obteniéndose en el caso extremo =0 el criterio maximax. •
Los valores de próximos a 1 corresponden a una pensamiento pesimista, obteniéndose en el caso extremo =1 el criterio de Wald.
TOMA DE DECISIÓN BAJO RIESGO
Los procesos de decisión en ambiente de riesgo se caracterizan porque puede asociarse una probabilidad de ocurrencia a cada estado de la naturaleza, probabilidades que son conocidas o pueden ser estimadas por el decisor antes del proceso de toma de decisiones.
REGLAS DE DECISIÓN Los diferentes criterios de decisión en ambiente de riesgo se basan en estadísticos asociados a la distribución de probabilidad de los resultados. Algunos de estos criterios se aplican sobre la totalidad de las alternativas, mientras que otros sólo tienen en cuenta un subconjunto de ellas, considerando las restantes peores, por lo no que están presentes en el proceso de toma de decisiones. Representaremos por R(ai) los resultados asociados a la alternativa ai, y por P(ai) la distribución de probabilidad correspondiente a tales resultados, esto es, el conjunto de valores que representan las probabilidades de ocurrencia de los diferentes estados de la naturaleza:
R
xi1
xi1
...
xi1
P
p1
p2
...
pn
Los principales criterios de decisión empleados sobre tablas de decisión en ambiente de riesgo son: Criterio del valor esperado Criterio de mínima varianza con media acotada Criterio de la media con varianza acotada Criterio de la dispersión Todos estos criterios serán aplicados al problema de decisión bajo riesgo cuya tabla de resultados figura a continuación: Decisión bajo riesgo: Ejemplo Estados de la Naturaleza Alternativas
e1
e2
e3
e4
a1
11
9
11
8
a2
8
25
8
11
a3
8
11
10
11
0.2
0.5
0.1
Probabilidades 0.2
EJEMPLO Partiendo del ejemplo ilustrativo de decisión bajo riesgo, la siguiente tabla muestra el resultado esperado y su varianza para cada una de las alternativas.
Criterio de la media con varianza acotada Estados Naturaleza
de
la
e1
e2
e3
e4
E[R(ai)] V
11
9
11
8
10.3
1.21
a2
8
25
8
11
11.7
45.01
a3
8
11
10
11
9.9
1.09
0.2
0.5
0.1
Alternativas a1
Probabilidades 0.2
Si el decisor selecciona un valor 20 para la constante K, quedaría excluida del proceso de decisión la alternativa a 2, que es la que posee mayor valor esperado. Excluida ésta, la elección óptima corresponde a la alternativa a 1, pues es la que posee mayor valor esperado entre las que cumplen la condición V.
1.3
Enfoque cuantitativo en la toma de decisiones. Estas herramientas ayudan a aplicar el pensamiento racional para que guíe, ayude y automatice las decisiones y sirvan al gerente a descubrir la solución deseada al problema
de la mejor forma, mediante la división de problemas en fragmentos menores, lo cual facilita el diagnóstico. Las técnicas cuantitativas facilitan el diagnóstico de problemas pero no permite el análisis de los aspectos cualitativos como los aspectos humanos que no se pueden contar en términos numéricos. La toma de decisiones no es fácil, pues se enfrenta a la incertidumbre y muchas veces los gerentes ven la conducta pasada como un indicador del futuro. Algunos elementos de apoyo cuantitativos en la toma de decisiones gerenciales son: 1. Matriz de resultados 2. Árboles de decisiones 3. Modelos de tamaños de inventarios 4. Programación lineal 5. Teoría de colas 6. Teoría de redes 7. La programación entera 8. La simulación 9. El análisis de Markov
1.4
Teoría de la utilidad.
Hasta ahora hemos supuesto que el pago esperado en términos monetarios es la medida adecuada de las consecuencias de tomar una acción. Sin embargo en muchas situaciones esto no es así y se debe utilizar otra escala de medida para las acciones que realizamos. Suponga que se le ofrece a una persona, 50% de posibilidades de ganar $100000, 50% de posibilidades de no ganar nada y Ganar $40000 fijos. E {p(a1 ,q)}= 0.5* $100000 + 0.5*0= $50000 E {p(a2 ,q)}= 1* $40000 = $40000 Aunque la alternativa 1 tiene un pago esperado mayor, muchas personas preferirán los $400
En muchas ocasiones los tomadores de decisiones no están dispuestos a correr riesgos aunque la ganancia esperada sea mucho mayor. Se pueden transformar los valores monetarios a una escala apropiada que refleje las preferencias del tomador de decisiones, llamada función de utilidad del dinero. Una función de utilidad para el dinero de este tipo nos muestra una utilidad marginal decreciente para el dinero. La pendiente de la función disminuye conforme aumenta la cantidad de : dinero M 2a derivada < 0 cuando ésta existe No todas las personas tienen una utilidad marginal decreciente
para el dinero. Hay personas que tienen funciones de utilidad marginal creciente para éste. El hecho de que distintas personas tienen funciones de utilidad diferentes para el dinero tienen una aplicación importante para el tomador de decisiones cuando se enfrenta a la incertidumbre. Cuando una función de utilidad para el dinero se incorpora en un análisis de decisiones para un problema, esta función de utilidad debe construirse de manera que se ajuste a las preferencias y valores del tomador de decisiones. La clave para considerar que la función de utilidad para el dinero se ajusta al tomador de decisiones es la siguiente propiedad de las funciones de utilidad. Propiedad. Bajo las suposiciones de la teoría de utilidad, la función de utilidad para el dinero de un tomador de decisiones tiene la propiedad de que éste se muestra indiferente ante dos cursos de acción alternativos si los dos tienen la misma utilidad esperada.
Además se le ofrece: Ganar $100000 con probabilidad p (utilidad = 4) No ganar nada con probabilidad 1-p; (utilidad = 0) El valor esperado de la utilidad con esta oferta es:
E(utilidad) = 4 * p
El tomador de decisiones será entonces indiferente ante cualquiera de estos 3 pares de alternativas Ganar $100000 con
Definitivamente
probabilidad 0.25
obtener $10000
E(utilidad = 1)
(utilidad = 1)
Ganar $100000 con
Definitivamente
probabilidad 0.5
obtener $30000
E(utilidad = 2)
Ganar $100000 con probabilidad 0.75 E(utilidad = 3)
(utilidad = 2)
Definitivamente obtener $60000 (utilidad = 3)
Para construir una función de utilidad para el dinero se hace lo siguiente: 1. Se le hace al tomador de decisiones una oferta hipotética de obtener una gran suma de dinero con probabilidad p o nada. 2. Para cada una de las pequeñas cantidades se le pide al tomador de decisiones que elija un valor de p que lo vuelva indiferente ante la oferta y la obtención definitiva de esa cantidad de dinero. Cuando se usa la función de utilidad para el dinero, del tomador de decisiones, para medir el valor relativo de los distintos valores monetarios posibles, la regla de Bayes sustituye los pagos monetarios por las utilidades correspondientes. Por lo tanto, la acción (o la serie de acciones) óptima es la que maximiza la utilidad esperada.
1.5
La obtención de datos para la toma de decisiones.
Para tomar decisiones acertadas, es mejor basarse en la frialdad y objetividad de los datos, mas que intuiciones, deseos y esperanzas. Los datos, plantean varios problemas: •
El modo de obtenerlos
•
Su fiabilidad
•
Darles una interpretación adecuada.
El sistema de gestión de la calidad, mejora la calidad de la información obtenida, y mejora los cauces para su obtención. Con buena información, se pueden hacer estudios y análisis de futuro, y mejora del producto a corto plazo. Otro problema que presentan los datos, es su aceptación por parte de los miembros de la organización. Los datos, son fríos y basados en hechos reales. Por tanto, son objetivos. Quien no quiera aceptar los resultados, debe de realizar un esfuerzo para mejorar por si mismo los datos, hasta obtener el resultado esperado o exigido. No hay que perder el tiempo, ni perderse en recriminaciones si los datos son negativos. Los miembros de la organización, han de autoanalizarse con la ayuda del resto del colectivo para intentar mejorar los resultados. Conseguir las metas y objetivos marcados en el plan de la organización. No hay que tener reparo en tratar estos temas, ni sentir vergüenza. El intercambio de información, positiva o negativa, debe de fluir por la organización. Han de señalarse los defectos y poner un pronto remedio sin perjudicar a ningún miembro o proceso de la organización. Los hechos, son los hechos. Y es responsabilidad de todos aceptarlos y ponerles remedio. Es habitual que se omita que en esta definición en el procedimiento, aunque está implícito: la información es la herramienta o materia prima fundamental al tomar decisiones de la empresa. A mayor calidad de la información, mejor calidad en las resoluciones. Se pueden seguir criterios analíticos cuantificables y exactos, si se tiene información perfecta. La información, vale tanto como el beneficio, o ausencia de pérdidas que se obtengan en base a esa información El arte de tomar decisiones está basado en cinco ingredientes básicos: a.
Información:
Estas se recogen tanto para los aspectos que están a favor como en contra del problema, con el fin de definir sus limitaciones. Sin embargo si la información no puede obtenerse, la decisión entonces debe basarse en los datos disponibles, los cuales caen en la categoría de información general. b.
Conocimientos:
Si quien toma la decisión tiene conocimientos, ya sea de las circunstancias que rodean el problema o de una situación similar, entonces estos pueden utilizarse para seleccionar un curso de acción favorable. En caso de carecer de conocimientos, es necesario buscar consejo en quienes están informados. c.
Experiencia:
Cuando un individuo soluciona un problema en forma particular, ya sea con resultados buenos o malos, esta experiencia le proporciona información para la solución del próximo problema similar. Si ha encontrado una solución aceptable, con mayor razón tenderá a repetirla cuando surja un problema parecido. Si carecemos de experiencia entonces tendremos que experimentar; pero sólo en el caso en que las consecuencias de un mal experimento no sean desastrosas. Por lo tanto, los problemas más importantes no pueden solucionarse con experimentos. d.
Análisis:
No puede hablarse de un método en particular para analizar un problema, debe existir un complemento, pero no un reemplazo de los otros ingredientes. En ausencia de un método para analizar matemáticamente un problema es posible estudiarlo con otros métodos diferentes. Si estos otros métodos también fallan, entonces debe confiarse en la intuición. Algunas personas se ríen de la intuición, pero si los otros ingredientes de la toma de decisiones no señalan un camino que tomar, entonces ésta es la única opción disponible. e.
Juicio:
El juicio es necesario para combinar la información, los conocimientos, la experiencia y el análisis, con el fin de seleccionar el curso de acción apropiado. No existen substitutos para el buen juicio.
1.6 Árboles de decisión. Este método ha sido empleado desde los años 50 por los administradores de organizaciones complejas, en todos sus sistemas o funciones básicas, en especial en las áreas de investigación y desarrollo, en el análisis del presupuesto de inversión y en la investigación de mercados. Consiste en asignar probabilidades a eventos en condiciones de riesgos o incertidumbre mediante la representación gráfica que ilustra cada estrategia o alternativa a través de una ramificación, parecidas a las ramas de un árbol. Los vértices o nodos representan los eventos de decisión utilizando para esto un cuadro. Los efectos derivados de la decisión se denominan acontecimientos y se representan por medio de un círculo en la siguiente forma
La técnica permite seleccionar la mejor alternativa mediante la comparación de los beneficios económicos de cada rama a partir de:
Ejemplo:
• •
Los costos condicionales de cada decisión El cálculo o estimación de probabilidad designada a cada alternativa originada en cada decisión
•
El valor esperado de cada rama.
Cuando una secuencia de decisiones necesita ser tomada, los árboles de decisión son la herramienta más poderosa que las tablas de decisión. Decimos que la Cafetera tiene dos decisiones a tomar, con la segunda decisión dependiendo del resultado de la primera. Antes de decidirse por una nueva planta, la Cafetera tiene la opción de conducir su propia inspección de la investigación del mercado, con un costo de $ 10.000.La información de su inspección puede llevarlo a decidir si construir una planta larga, una planta pequeña o no construir nada. la Cafetera reconoce, que una inspección general del mercado no le proveería la información perfecta, pero puede ayudar no obstante un poco. “ Todos los resultados y alternativas deben ser considerados”. La nueva decisión del árbol está representada en la figura siguiente. Miremos cuidadosamente a este árbol más complejo. Se nota que todas las posibles soluciones y alternativas están incluidas en su secuencia lógica. Esta es una de las ventajas de usar el árbol de decisión en la toma de decisiones. El usuario es forzado a examinar todos los resultado posibles, incluyendo los desfavorables. El o ella son forzados a hacer decisiones de una manera lógica y secuencial. Examinando el árbol, vemos que la primera decisión de la Cafetera es conducir o no las $ 10.000 de la inspección del mercado. Si él escoge no hacer el estudio( la parte de abajo del árbol ), él puede entonces construir una planta larga, una pequeña o no construir. Este es el segundo punto de decisión. El mercado así puede ser favorable (50 % de probabilidad ) o desfavorable (50 % de probabilidad), si él construye. El pago adecuado de cada una de las consecuencias posibles están al lado derecho. De hecho su baja porción del árbol de la Cafetera es idéntica a la más simple decisión del árbol mostrado en la primera figura. Por qué es así?. La refleja
de número que 45% de
55% de estudio
parte superior de la segunda figura la decisión de conducir la supervisión del mercado. El estado naturaleza del nodo uno tiene dos ramas salen de él. Hay un chance que el resultado del estudio indicara un mercado favorable por cubrimiento del almacenamiento. Nosotros notamos también que la probabilidad es de que el resultado de sea negativo.
Unidad 2 Unidad 2
“Programa cion lineal”
2.1 Formulación y aplicación de modelos de programación lineal. Una vez definido el problema del tomador de decisiones, la siguiente etapa consiste en reformularlo de manera conveniente para su análisis. La forma convencional en que la investigación de operaciones realiza esto es construyendo un modelo matemático que represente la esencia del problema. Antes de analizar como formular los modelos de este tipo, se explorará la naturaleza general de los modelos y, en particular, la de los modelos matemáticos. El modelo matemático está constituido por relaciones matemáticas (ecuaciones y desigualdades) establecidas en términos de variables, que representa la esencia el problema que se pretende solucionar. Para construir un modelo es necesario primero definir las variables en función de las cuales será establecido. Luego, se procede a determinar matemáticamente cada una de las dos partes que constituyen un modelo: a) la medida de efectividad que permite conocer el nivel de logro de los objetivos y generalmente es una función (ecuación) llamada función objetivo; b) las limitantes del problema llamadas restricciones que son un conjunto de igualdades o desigualdades que constituyen las barreras y obstáculos para la consecución del objetivo. Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, es una aproximación abstracta de la realidad con consideraciones y simplificaciones que hacen más manejable el problema y permiten evaluar eficientemente las alternativas de solución. Los modelos matemáticos tienen muchas ventajas sobre una descripción verbal del problema. Una ventaja obvia es que el modelo matemático describe un problema en forma mucho más concisa. Esto tiende a hacer que toda la estructura del problema sea más comprensible y ayude a revelar las relaciones importantes entre causa y
efecto. De esta manera, indica con más claridad que datos adicionales son importantes para el análisis. También facilita simultáneamente el manejo del problema en su totalidad y el estudio de todas sus interpelaciones. Por último, un modelo matemático forma un puente para poder emplear técnicas matemáticas y computadoras de alto poder, para analizar el problema. Sin duda, existe una amplia disponibilidad de paquetes de software para muchos tipos de modelos matemáticos, para micro y minicomputadoras. Por otro lado, existen obstáculos que deben evitarse al usar modelos matemáticos. Un modelo es, necesariamente, una idealización abstracta del problema, por lo que casi siempre se requieren aproximaciones y suposiciones de simplificación si se quiere que el modelo sea manejable (susceptible de ser resuelto). Por lo tanto, debe tenerse cuidado de que el modelo sea siempre una representación válida del problema. El criterio apropiado para juzgar la validez de un modelo es el hecho de si predice o no con suficiente exactitud los efectos relativos de los diferentes cursos de acción, para poder tomar una decisión que tenga sentido. En consecuencia, no es necesario incluir detalles sin importancia o factores que tienen aproximadamente el mismo efecto sobre todas las opciones. Ni siquiera es necesario que la magnitud absoluta de la medida de efectividad sea aproximadamente correcta para las diferentes alternativas, siempre que sus valores relativos (es decir, las diferencias entre sus valores) sean bastante preciso. Entonces, todo lo que se requiere es que exista una alta correlación entre la predicción del modelo y lo que ocurre en la vida real. Para asegurar que este requisito se cumpla, es importante hacer un número considerable de pruebas del modelo y las modificaciones consecuentes. Aunque esta fase de pruebas se haya colocado después en el orden del libro, gran parte del trabajo de validación del modelo se lleva a cabo durante la etapa de construcción para que sirva de guía en la obtención del modelo matemático. OBTENCIÓN DE UNA SOLUCIÓN A PARTIR DEL MODELO Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el propósito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del problema. La selección del método de solución depende de las características del modelo. Los procedimientos de solución pueden ser clasificados en tres tipos: a) analíticos, que utilizan procesos de deducción matemática; b) numéricos, que son de carácter inductivo y funcionan en base a operaciones de prueba y error; c) simulación, que utiliza métodos que imitan o, emulan al sistema real, en base a un modelo. Muchos de los procedimientos de solución tienen la característica de ser iterativos, es decir buscan la solución en base a la repetición de la misma regla analítica hasta llegar a ella, si la hay, o cuando menos a una aproximación. PRUEBA DEL MODELO El desarrollo de un modelo matemático grande es análogo en algunos aspectos al desarrollo de un programa de computadora grande. Cuando se completa la primera versión, es inevitable que contenga muchas fallas. El programa debe probarse de
manera exhaustiva para tratar de encontrar y corregir tantos problemas como sea posible. Eventualmente, después de una larga serie de programas mejorados, el programador (o equipo de programación) concluye que el actual da, en general, resultados razonablemente válidos. Aunque sin duda quedarán algunas fallas ocultas en el programa (y quizá nunca se detecten, se habrán eliminado suficientes problemas importantes como para que sea confiable utilizarlo. De manera similar, es inevitable que la primera versión de un modelo matemático grande tenga muchas fallas. Sin duda, algunos factores o interpelaciones relevantes no se incorporaron al modelo y algunos parámetros no se estimaron correctamente. Esto no se puede eludir dada la dificultad de la comunicación y la compresión de todos los aspectos y sutilezas de un problema operacional complejo, así como la dificultad de recolectar datos confiables. Por lo tanto, antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para intentar identificar y corregir todas las fallas que se pueda. Con el tiempo, después de una larga serie de modelos mejorados, el equipo de IO concluye que el modelo actual produce resultados razonablemente válidos. Aunque sin duda quedarán algunos problemas menores ocultos en el modelo (y quizá nunca se detecten), las fallas importantes se habrán eliminado de manera que ahora es confiable usar el modelo. Este proceso de prueba y mejoramiento de un modelo para incrementar su validez se conoce como validación del modelo. Debido a que el equipo de IO puede pasar meses desarrollando todas las piezas detalladas del modelo, es sencillo "no ver el bosque por buscar los árboles". Entonces, después de completar los detalles ("los árboles") de la versión inicial del modelo, una buena manera de comenzar las pruebas es observarlo en forma global ("el bosque") para verificar los errores u omisiones obvias. El grupo que hace esta revisión debe, de preferencia, incluir por lo menos a una persona que no haya participado en la formulación. Al examinar de nuevo la formulación del problema y comprarla con el modelo pueden descubrirse este tipo de errores. También es útil asegurarse de que todas las expresiones matemáticas sean consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean. Además, puede obtenerse un mejor conocimiento de la validez del modelo variando los valores de los parámetros de entrada y/o de las variables de decisión, y comprobando que los resultados del modelo se comporten de una manera factible. Con frecuencia, esto es especialmente revelador cuando se asignan a los parámetros o a las variables valores extremos cercanos a su máximo o a su mínimo. Un enfoque más sistemático para la prueba del modelo es emplear una prueba retrospectiva. Cuando es aplicable, esta prueba utiliza datos históricos y reconstruye el pasado para determinar si el modelo y la solución resultante hubieran tenido un buen desempeño, de haberse usado. La comparación de la efectividad de este desempeño hipotético con lo que en realidad ocurrió, indica si el uso del modelo tiende a dar mejoras significativas sobre la práctica actual. Puede también indicar áreas en las que el modelo tiene fallas y requiere modificaciones. Lo que es más, el emplear las alternativas de solución y estimar sus desempeños históricos hipotéticos, se pueden reunir evidencias en cuanto a lo bien que el modelo predice los efectos relativos de los diferentes cursos de acción. Cuando se determina que el modelo y la solución no son válidos, es necesario iniciar nuevamente el proceso revisando cada una de las fases de la metodología de la investigación de operaciones.
ESTABLECIMIENTO DE CONTROLES SOBRE LA SOLUCION Una solución establecida como válida para un problema, permanece como tal siempre y cuando las condiciones del problema tales como: las variables no controlables, los parámetros, las relaciones, etc., no cambien significativamente. Esta situación se vuelve más factible cuando algunos de los parámetros fueron estimados aproximadamente. Por lo anterior, es necesario generar información adicional sobre el comportamiento de la solución debido a cambios en los parámetros del modelo. usualmente esto se conoce como análisis de sensibilidad. En pocas palabras, esta fase consiste en determinar los rangos de variación de los parámetros dentro de los cuales no cambia la solución del problema. IMPLANTACION DE LA SOLUCION El paso final se inicia con el proceso de "vender" los hallazgos que se hicieron a lo largo del proceso a los ejecutivos o tomadores de decisiones. Una vez superado éste obstáculo, se debe traducir la solución encontrada a instrucciones y operaciones comprensibles para los individuos que intervienen en la operación y administración del sistema. La etapa de implantación de una solución se simplifica en gran medida cuando se ha propiciado la participación de todos los involucrados en el problema en cada fase de la metodología. Preparación para la aplicación del modelo Esta etapa es crítica, ya que es aquí, y sólo aquí, donde se cosecharán los beneficios del estudio. Por lo tanto, es importante que el equipo de IO participe, tanto para asegurar que las soluciones del modelo se traduzcan con exactitud a un procedimiento operativo, como para corregir cualquier defecto en la solución que salga a la luz en este momento. El éxito de la puesta en práctica depende en gran parte del apoyo que proporcionen tanto la alta administración como la gerencia operativa. Es más probable que el equipo de IO obtenga este apoyo si ha mantenido a la administración bien informada y ha fomentado la guía de la gerencia durante el estudio. La buena comunicación ayuda a asegurar que el estudio logre lo que la administración quiere y por lo tanto merezca llevarse a la práctica. También proporciona a la administración el sentimiento de que el estudio es suyo y esto facilita el apoyo para la implantación. La etapa de implantación incluye varios pasos. Primero, el equipo de investigación de operaciones de una cuidadosa explicación a la gerencia operativa sobre el nuevo sistema que se va a adoptar y su relación con la realidad operativa. En seguida, estos dos grupos comparten la responsabilidad de desarrollar los procedimientos requeridos para poner este sistema en operación. La gerencia operativa se encarga después de dar una capacitación detallada al personal que participa, y se inicia entonces el nuevo curso de acción. Si tiene éxito, el nuevo sistema se podrá emplear durante algunos años. Con esto en mente, el equipo de IO supervisa la experiencia inicial con la acción tomada para identificar cualquier modificación que tenga que hacerse en el futuro.
A la culminación del estudio, es apropiado que el equipo de investigación de operaciones documento su metodología con suficiente claridad y detalle para que el trabajo sea reproducible. Poder obtener una réplica debe ser parte del código de ética profesional del investigador de operaciones. Esta condición es crucial especialmente cuando se estudian políticas gubernamentales en controversia. 1. ¿Qué es la Programación Lineal?.
En infinidad de aplicaciones de la industria, la economía, etc, se presentan situaciones en las que se exige maximizar o minimizar algunas funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones. De la solución de estos problemas se encarga la Programación Lineal. En este tema estudiaremos el caso más fácil: Programación Lineal con dos variables. Veamos un ejemplo: Un laboratorio de farmacia fabrica dos complejos vitamínicos constituidos ambos por vitamina A y vitamina B. El primero está compuesto por 2 unidades de vitamina A y 2 unidades de vitamina B y el segundo por 1 unidad de vitamina A y 3 unidades de vitamina B. Sabiendo que sólo se dispone de 1000 unidades de vitamina A y 1800 unidades de vitamina B y que el beneficio del primer complejo es de 400 pesetas y el del segundo 300 pesetas. Hallar el número de complejos vitamínicos de cada tipo que deben fabricarse para obtener un beneficio máximo. ¿Cuál será dicho beneficio máximo?. En primer lugar es conveniente resumir los datos en una tabla:
C1
C2
Disponible
Vitamina A
2
1
1000
Vitamina B
2
3
1800
Beneficio
400
300
Ahora planteamos el problema: 1. Nombrar las incógnitas: x= número de complejos C1 ; y= número de complejos C2 2. Función objetivo ( función que queremos que sea máxima o mínima) en nuestro caso las Ganancias que hay que maximizar: 3. Las restricciones del problema que vienen dadas por las 4. inecuaciones:
2.- Resolución del Problema 1. Representamos gráficamente las restricciones. Los puntos que cumplen todas las restriciones se llaman Soluciones Factibles 2.
1.- Utilizando lo aprendido en la página de INECUACIONES representa las restricciones. 2.- Para recordarlo, aumentando el valor del control S se van representando sucesivamente todas las restricciones. 3.- Para ver todo el proceso pulsa animar. 4.- Traslada todo esto a tu cuaderno y tendrás el conjuto de Soluciones Factibles (el recinto turquesa)
3. Buscamos la solución óptima que es la solución factible que hace máxima la función objetivo.(Se puede demostrar que la función objetivo alcanza el máximo ó mínimo en alguno de los vértices del recinto). Existen dos métodos
para encontrarla: 4. 0. Método Analítico. Se calcula el valor de la función en cada uno de los vértices para ver cual es el valor máximo ó mínimo:
b.
Máx.
Solución
a. Método Gráfico. Se representa la recta de la función objetivo, se trazan rectas paralelas a ella que pasen por cada uno de los vértices y se observa cual de las rectas trazadas tiene mayor o menor ordenada en el origen. En nuestro caso la solución es B. El beneficio máximo que se alcanza en el punto B será : 2.
2.2 Método Grafico. El método gráfico se utiliza para la solución de problemas de PL, representando geométricamente a las restricciones, condiciones técnicas y el objetivo. El modelo se puede resolver en forma gráfica si sólo tiene dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es impráctico o imposible. Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema, el método es llamado método gráfico en actividad. Cuando se relacionan las restricciones tecnológicas se denomina método gráfico en recursos. Los pasos necesarios para realizar el método son nueve: 2. graficar las soluciones factibles, o el espacio de soluciones (factible), que satisfagan todas las restricciones en forma simultánea. 3. Las restricciones de no negatividad Xi>= 0 confían todos los valores posibles. 4. El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan sustituyendo en primer término <= por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta. 5. trazar cada línea recta en el plano y la región en cual se encuentra cada restricción cuando se considera la desigualdad lo indica la dirección de la flecha situada sobre la línea recta asociada. 6. Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de soluciones satisfacen todas las restricciones y por consiguiente, representa un punto factible.
7. Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio de soluciones, la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la función objetivo. 8. Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la cual crece o decrece el valor de la función objetivo.
Ejemplo. Maximizar Z = 3X1 + 2X2 restricciones : X1 + 2X2 2X1 + X2 -X1 + X2 X2 X1 X2
<=6 <=8 <=1 <= 2 >= 0 >= 0
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
Convirtiendo las restricciones a igualdad y representándolas gráficamente se tiene: X1 + 2X2 2X1 + X2 -X1 + X2 X2 X1 X2
=6 =8 =1 =2 =0 =0
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
Figura 1 Espacio de solución presentada con WinQsb
Figura 2 Determinación de soluciones
Maximizar
Z = 3X1 + 2X2 Punto
(X1, X2)
Z
A
(0, 0)
0
B
(4, 0)
C
(3.3, 1.3)
D
(2, 3)
E
(1, 3)
9
F
(0, 2)
4
12 12.6 ( óptima ) 12
Tabla 2. Solución Método Gráfico Para obtener la solución gráfica, después de haber obtenido el espacio de solución y graficada la función objetivo el factor clave consiste en decidir la dirección de mejora de la función objetivo.
2.3 Método simplex. El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables.
El Método Simplex es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará solución.
Este famosísimo método fue creado en el año de 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el ánimo de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones y n variables. Resolver mediante el método simplex el siguiente problema: Maximizar
Z = f(x,y) = 3x + 2y
sujeto a: 2x + y ≤ 18 2x + 3y ≤ 42 3x + y ≤ 24 x≥0,y≥0 Se consideran las siguientes fases: 1. Convertir las desigualdades en igualdades Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones del tipo ≤, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales: 2x + y + r = 18 2x + 3y + s = 42 3x +y + t = 24 2. Igualar la función objetivo a cero - 3x - 2y + Z = 0 3. Escribir la tabla inicial simplex
En las columnas aparecerán todas las variables básicas del problema y las variables de holgura/exceso. En las filas se observan, para cada restricción las variables de holgura con sus coeficientes de las igualdades obtenidas, y la última fila con los valores resultantes de sustituir el valor de cada variable en la función objetivo, y de operar tal como se explicó en la teoría para obtener el resto de valores de la fila: Tabla I . Iteración nº 1 3
2
0
0
0
Base
Cb
P0
P1
P2
P3
P4
P5
P3
0
18
2
1
1
0
0
P4
0
42
2
3
0
1
0
P5
0
24
3
1
0
0
1
0
-3
-2
0
0
0
Z 4. Condición de parada
Cuando en la fila Z no existe ningún valor negativo, se ha alcanzado la solución óptima del problema. En tal caso, se ha llegado al final del algoritmo. De no ser así, se ejecutan los siguientes pasos. 5. Condición de entrada y salida de la base A. Primero debemos saber la variable que entra en la base. Para ello
escogemos la columna de aquel valor que en la fila Z sea el menor de los negativos. En este caso sería la variable x (P1) de coeficiente - 3. Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior (caso de empate), entonces se optará por aquella variable que sea básica. La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (En color verde). B. Una vez obtenida la variable que entra en la base, estamos en condiciones
de deducir cual será la variable que sale. Para ello se divide cada término independiente (P0) entre el elemento correspondiente de la columna pivote, siempre que el resultado sea mayor que cero, y se escoge el mínimo de ellos. En
nuestro
caso:
18/2
[=9]
,
42/2
[=21]
y
24/3
[=8]
Si hubiera algún elemento menor o igual a cero no se realiza dicho cociente,
y caso de que todos los elementos de la columna pivote fueran de ésta condición tendríamos una solución no acotada y terminaríamos el problema. El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor cociente positivo, el 3, ya que 8 es el menor cociente, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base, t (P5). Esta fila se llama fila pivote (En color verde). Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales (caso de empate), se escoge aquella que no sea variable básica (si es posible). C. En la intersección elemento pivote, 3.
de
la fila
pivote y columna
pivote tenemos
el
6. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla. Los nuevos coeficientes de la fila pivote, t (P5), se obtienen dividiendo todos los coeficientes de dicha fila entre el elemento pivote, 3, que es el que hay que convertir en 1. A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los restantes términos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z. También se puede hacer de la siguiente manera: Fila del pivote: Nueva fila del pivote = (Vieja fila del pivote) / (Pivote) Resto de las filas: Nueva fila = (Vieja fila) -(Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable entrante) x (Nueva fila del pivote) Veámoslo con un ejemplo una vez calculada la fila del pivote (fila de x (P1) en la Tabla II): Vieja fila de P4
Coeficiente
Nueva fila pivote
42
2
3
0 1
0
-
-
-
-
-
-
2
2
2
2 2
2
x
x
x
x x
x
8
1
1/3
0 0
1/3
=
=
=
= =
=
Nueva fila de P4
26
0
7/3
0 1
-2/3
Tabla II . Iteración nº 2 3
2
0
0
0
Base
Cb
P0
P1
P2
P3
P4
P5
P3
0
2
0
1/3
1
0
-2/3
P4
0
26
0
7/3
0
1
-2/3
P1
3
8
1
1/3
0
0
1/3
24
0
-1
0
0
1
Z
Se puede observar que no hemos alcanzado la condición de parada ya que en los elementos de la última fila, Z, hay uno negativo, -1. Hay que repetir el proceso: A. La variable que entra en la base es y (P2), por ser la variable que
corresponde a la columna donde se encuentra el coeficiente -1. B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna
entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 2 / 1/3 [=6] , 26 / 7/3 [=78/7] y 8 / 1/3 [=24] y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la variable que sale es r (P3). C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3. Operando de forma análoga a la anterior obtenemos la tabla: Tabla III . Iteración nº 3 3
2
0
0
0
Base
Cb
P0
P1
P2
P3
P4
P5
P2
2
6
0
1
3
0
-2
P4
0
12
0
0
-7
1
4
P1
3
6
1
0
-1
0
1
Z
30
0
0
3
0
-1
Como en los elementos de la fila Z hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso: A. La variable que entra en la base es t (P5), por ser la variable que
corresponde al coeficiente -1. B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna
entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6/1 [=6] y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable que sale es s (P4). C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4. Obtenemos la tabla: Tabla IV . Iteración nº 4 3
2
0
0
0
Base
Cb
P0
P1
P2
P3
P4
P5
P2
2
12
0
1
-1/2
1/2
0
P5
0
3
0
0
-7/4
1/4
1
P1
3
3
1
0
3/4
-1/4
0
33
0
0
5/4
1/4
0
Z
Se observa que en la última fila todos los coeficientes son positivos, por lo tanto se cumple la condición de parada, obteniendo la solución óptima. La solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solución, en nuestro caso: 33. En la misma columna se puede observar el punto donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base: (x,y) = (3,12)
2.3.1 Método algebraico. Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución.
El método del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta. El método del simplex fue creado en 1947 por el matemático George Dantzig. El método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables. El álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del método simplex. Con miras a conocer la metodología que se aplica en el Método SIMPLEX, vamos a resolver el siguiente problema: Maximizar
Z= f(x,y)= 3x + 2y
sujeto a:
2x + y
18
2x + 3y
42
3x + y
24
x 0,y
0
Se consideran las siguientes fases: 1. Convertir las desigualdades en igualdades Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales: 2x + y + h = 18 2x + 3y + s = 42 3x +y + d = 24
2. Igualar la función objetivo a cero - 3x - 2y + Z = 0 3. Escribir la tabla inicial simplex
En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restricción y la última fila con los coeficientes de la función objetivo: Tabla I . Iteración nº 1 Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución x
Y
h
s
d
h
2
1
1
0
0
18
s
2
3
0
1
0
42
d
3
1
0
0
1
24
Z
-3
-2
0
0
0
0
4. Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base A. Para escoger la variable de decisión que entra en la base, nos fijamos en la última fila, la de los coeficientes de la función objetivo y escogemos la variable con el coeficiente negativo mayor (en valor absoluto). En nuestro caso, la variable x de coeficiente - 3. Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos. Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solución óptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método del simplex, es que en la última fila no haya elementos negativos.
La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (En color azulado). B. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se divide cada término de la última columna (valores solución) por el término correspondiente de la columna pivote, siempre que estos últimos sean
mayores que cero. 18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8]
En
nuestro
caso:
Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir. El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor cociente positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base, d. Esta fila se llama fila pivote (En color azulado). Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes pueden salir de la base. C. En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, 3. 5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla. Los nuevos coeficientes de x se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila d por el pivote operacional, 3, que es el que hay que convertir en 1. A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los restantes términos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z. También se puede hacer utilizando el siguiente esquema: Fila del pivote: Nueva fila del pivote= (Vieja fila del pivote) : (Pivote) Resto de las filas:
Nueva fila= (Vieja fila) - (Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable entrante) X (Nueva fila del pivote) Veámoslo con un ejemplo una vez calculada la fila del pivote (fila de x en la Tabla
II): Vieja fila de s
Coeficiente
2 3
0 1 0
42
- -
- - -
-
2 2
2 2 2
2
x x
x x x
x
Nueva fila pivote 1 1/3 0 0 1/3 8 = = Nueva fila de s
= = =
=
0 7/3 0 1 -2/3 26
Tabla II . Iteración nº 2 Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución x
Y
h
s
d
h
0
1/3
1
0
-2/3
2
s
0
7/3
0
1
-2/3
26
x
1
1/3
0
0
1/3
8
Z
0
-1
0
0
1
24
Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso: A. La variable que entra en la base es y, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1 B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 2:1/3 [=6] , 26:7/3 [=78/7] y 8:1/3 [=8]
y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la variable de holgura que sale es h. C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3. Operando de forma análoga a la anterior obtenemos la tabla: Tabla III . Iteración nº 3 Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución x
Y
h
s
d
y
0
1
3
0
-2
6
s
0
0
-7
0
4
12
x
1
0
-1
0
1
6
Z
0
0
3
0
-1
30
Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso: A. La variable que entra en la base es d, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1 B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6:1 [=6] y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable de holgura que sale es s. C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4. Obtenemos la tabla: Tabla IV . Final del proceso Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución x
Y
h
s
d
y
0
1
-1/2
0
0
12
d
0
0
-7/4
0
1
3
x
1
0
-3/4
0
0
3
Z
0
0
5/4
0
0
33
Como todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son positivos, hemos llegado a la solución óptima. Los solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solución, en nuestro caso: 33. En la misma columna se puede observar el vértice donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base: D(3,12) * Si en el problema de maximizar apareciesen como restricciones inecuaciones de la forma: ax + by c; multiplicándolas por - 1 se transforman en inecuaciones de la forma - ax - by - c y estamos en el caso anterior * Si en lugar de maximizar se trata de un problema de minimizar se sigue el mismo proceso, pero cambiando el sentido del criterio, es decir, para entrar en la base se elige la variable cuyo valor, en la fila de la función objetivo, sea el mayor de los positivos y se finalizan las iteraciones cuando todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son negativos
2.3.2 La tabla simplex. La resolución de programas lineales mediante el método Simplex implica la realización de gran cantidad de cálculos, sobre todo cuando el número de variables y/o restricciones es relativamente elevado. Sin embargo, estos cálculos no son complejos y pueden realizarse en modo sistemático utilizando una forma tabular. Así surgen las conocidas como tablas del Simplex, que no son más que una forma de organizar los cálculos. Sobre las tablas del Simplex comentar que su interés es totalmente pedagógico, ya que en los casos reales la magnitud de los problemas que suelen aparecer hace que nadie las utilice de forma directa para resolverlos. En tales casos, ha de recurrirse al uso del computador. Para aplicar el método Simplex en forma de tabla a un problema de la forma:
min cx Ax=b con b >= 0 x >= 0 en primer lugar se construye la tabla siguiente: c1 c2 ... cn cb1 cb2 . . . cbm
xb1 xb2 . . . xbm
b1 b2 . . . bm v
a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... am1 am2 ... amn y1 y2 ... ym z1 z2 ... zm
Tabla del Simplex Donde: • •
v es el producto escalar de los vectores (cb1,cb2,...,cbm) y (b1,b2,...,bm) yk es el producto escalar de los vectores (cb1,cb2,...,cbm) y (a1k,a2k,...,amk) para k=1,2,...m.
•
zk=ck-yk para k=1,2,...,m.
Observar la forma en que se construye esta tabla:
•
En la primera fila de la tabla se colocan los coeficientes de las variables en la función objetivo. En las tres primeras columnas aparecen los coeficientes de las variables básicas en la función objetivo, las variables básicas iniciales y el vector de términos independientes de las restricciones, respectivamente.
•
La parte central de la tabla está formada por la matriz de coeficientes A.
•
Los elementos de la penúltima fila son los productos escalares del vector de la primera columna con los vectores de la tabla que quedan encima de cada uno de esos elementos.
•
•
Finalmente, en la última fila aparece la diferencia de las filas primera y penúltima.
Cada tabla del Simplex está asociada a una solución básica factible. De forma que, una vez construida la tabla inicial, deben establecerse las reglas que permitan obtener las tablas asociadas a las siguientes soluciones básicas, así como saber la solución básica que lleva asociada cada tabla. Además es necesario saber cuando una tabla corresponde a la solución óptima, esto último se consigue analizando los signos de la última fila de la tabla: Si todos los elementos de la última fila de la tabla son mayores o iguales que cero, el óptimo ha sido alcanzado. Cuando alguno de los elementos de la última fila es negativo, el valor óptimo puede mejorarse y por tanto debe construirse una nueva tabla de la manera siguiente: •
•
Se selecciona de la última fila el elemento negativo de mayor valor absoluto. La variable correspondiente al índice del zi seleccionado es la que pasará a ser básica. Para saber a que variable básica sustituye, se dividen los valores de la tercera columna entre los valores positivos de la columna de A seleccionada en el paso anterior (la que corresponde al elemento negativo de mayor valor absoluto). En caso de no existir valores positivos, puede asegurarse que el problema no tiene óptimo finito.
•
De todos los cocientes calculados se selecciona el mínimo, el elemento de la matriz A que ha servido para construir ese valor mínimo es el que actuará como pivot y la variable de la segunda columna de la tabla en la posición de la fila del pivot es la que deja de ser básica.
•
Mediante transformaciones elementales de filas sobre el bloque central de la tabla (el bloque de fondo amarillo en la tabla) se llega a transformar en 1 el pivot y anular los restantes elementos de la correspondiente columna. Las únicas transformaciones que son permitidas son: o
Multiplicar por constantes la fila que contiene el pivot.
o
Sumar o restar a una fila un múltiplo de la fila que contiene el pivot.
•
Intercambiar las variables básicas en la segunda columna al mismo tiempo que se modifica el correspondiente elemento de la primera columna.
•
Calcular los nuevos valores de las dos últimas filas de la tabla de acuerdo a las instrucciones ya indicadas.
Se repiten todos estos procesos y se van transformando las tablas hasta que el test de parada sea positivo (todos los elementos de la última fila mayores o iguales que cero) en cuyo caso se tiene:
•
•
El óptimo se alcanza en el punto cuyas coordenadas son nulas excepto las correspondientes a las variables básicas, cuyos valores aparecen en la tercera columna de la tabla óptima. El valor de la función en el óptimo es el que aparece en el último elemento de esa misma columna
Todas las tablas que se van obteniendo tienen dos características en común: los elementos de la tercera columna son todos ellos mayores o iguales que cero, salvo el último (el que indica el valor de la función objetivo) que pudiera ser negativo. Por otro lado, las columnas de A asociadas a las variables básicas siempre forman una matriz identidad. Analizando más en profundizar cada una de las etapas expuestas, se puede comprobar la correspondencia con el método Simplex enunciado de una forma más teórica anteriormente. Por supuesto, la mejor manera de comprender la resolución mediante tablas es con ejemplos particulares; a continuación se exponen dos de estos ejemplos. Ejemplo: Programa lineal
Tabla Inicial 2 -1
min 2x1-x2 -x1+x2+x3=2 2x1+x2+x4=6 x1,x2,x3,x4 >= 0
0 0
0
x3 2 x4 6
-1 1 1 0 2 1 0 1
0
0 0 0 0
0
2 -1 0 0 Se toman como variables básicas x3 y x4 porque llevan asociadas como matriz de base la identidad. El elemento señalado en color rojo en la tabla es el que actuará como pivot, ha sido determinado teniendo en cuenta que en la última fila de la tabla solo hay un elemento negativo; tras esto se debe calcular min{2/1,6/1}, dicho mínimo se obtiene a partir del pivot.
La posición del pivot dentro de la tabla indica: • •
La variable x3 dejará de ser básica. La variable que la sustituye es x2
Para construir la siguiente tabla, han de realizarse operaciones elementales sobre las filas del bloque central hasta conseguir que el pivot sea 1 y los restantes elementos de su columna sean 0. En este caso el pivot ya tiene el valor 1, para anular el otro elemento de la columna basta restar a la segunda fila la primera. Tras estas manipulaciones, se sustituye la variable x3 por x2 y el valor 0 de la primera columna de la tabla por c2=-1. A continuación se realizan las operaciones que definen los elementos de las dos últimas filas de la tabla para completar la segunda tabla del algoritmo. Segunda Tabla 2 -1 0 0 -1 x2 2 0 x4 4 -2
-1 1 1 0 3 0 -1 1 1 -1 -1 0 1 0 1 0
Como puede observarse, la última fila de la tabla está formada por elementos mayores o iguales que cero todos ellos, lo que significa que se ha alcanzado un óptimo. En concreto, el óptimo se alcanza sobre el punto x1=0 x2=2 x3=0 x4=4 El valor óptimo es además -2 (último elemento de la tercera columna de la tabla). Ejemplo: Programa lineal min -x1-x2 -x1+x2 <= 2 x1+2x2 <= 6 2x1+x2 <= 6 x1,x2 >= 0
Formulación estándar min -x1-x2 -x1+x2+x3 = 2 x1+2x2+x4 = 6 2x1+x2+x5 = 6 x1,x2,x3,x4,x5 >= 0
Las variables x3, x4 y x5 tienen como matriz de base a la identidad, de forma que pueden tomarse como variables básicas iniciales. Aplicando el algoritmo Simplex, en tres tablas se obtiene el óptimo: Tabla Inicial
Segunda Tabla
-1 -1 0 0 0 0 0 0
x3 2 x4 6 x5 6
-1 1 1 0 0 1 2 0 1 0 2 1 0 0 1
0
0 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0
Tercera Tabla -1 -1 0 0 0 x3 2 -1 x2 2 -1 x1 2
0
0 0 1 -1 1 0 1 0 2/3 -1/3 1 0 0 -1/3 2/3
-4 -1 -1 0 -1/3 -1/3
-1 -1 0 0 0 0 x3 5 0 x4 3 -1 x1 3
0 3/2 1 0 1/2 0 3/2 0 1 -1/2 1 1/2 0 0 ½
-3 -1 -1/2 0 0 -1/2 0 -1/2 0 0 ½ Optimo x1=2 x2=2 x3=2 x4=0 x5=0 Valor óptimo = -4
0 0 0 1/3 1/3 Cada tabla del Simplex lleva asociado un punto cuyas coordenadas se obtienen en la tercera columna para sus variables básicas y son nulas el resto. En la siguiente figura se encuentra representado el espacio de soluciones factibles del problema, indicándose además los vértices correspondientes a cada una de las tres tablas obtenidas.
2.4 Metodo dual.
Todo problema de programación lineal tiene asociado con él otro problema de programación lineal llamado DUAL. El problema inicial es llamado PRIMO y el problema asociado (sombra) es llamado el problema PRIMO. Los dos juntos son llamados problemas duales ya que ambos están formados por el mismo conjunto de datos. La solución básica factible óptima de estos problemas es tal que una puede fácilmente ser usada para la solución de la otra. La dimensión del problema de programación lineal influencia la elección del cálculo del primo o del dual. Si el primo tiene mas ecuaciones que variables, es frecuentemente mas fácil obtener la solución del dual ya que menor numero de iteraciones son requeridas. Además si el primo tiene solución, el dual tendrá solución. Una vez que el problema dual es formulado, el procedimiento de solución es exactamente el mismo que para cualquier problema de programación lineal. Mecánicamente el dual es formulado partiendo del problema primo en la siguiente forma: Si el primo es un problema de Maximización, el dual es un problema de Minimización y viceversa. 1. Los coeficientes de la función objetivo del primo se convierten en las restricciones constantes de las ecuaciones del dual. 2. Las restricciones de las ecuaciones del primo se convierten en los coeficientes de la función objetivo del dual. 3. Los coeficientes de las variables del dual en las ecuaciones restrictivas son obtenidas sacando la transpuesta de la matriz de coeficientes del primo ( los arreglos de los coeficientes en las columnas del primo se convierten en los coeficientes de las filas en el dual y viceversa ). 4. Los signos de la desigualdad son invertidos. 5. Las Xn variables del primo son remplazadas por Wm variables en el dual. Ejemplo: MINIMIZAR Z=2X1+X2 Sujeto a: 3X1 + X2³ 3 4X1 +3X2³ 6 X1 +2X2£ 3 X1, X2³ 0
El paso inicial necesita que se conviertan todas las restricciones en desigualdades "£ " y que después se aumenten las variables de holgura. por lo tanto, se obtiene : MINIMIZAR Z=2X1+X2 Sujeto a: - 3X1 - X2 + X3 =-3 - 4X1 -3X2 +X4 =-6 X1 +2X2 +X5=3 X1, X2,X3,X4,X5³ 0 Si se intenta expresar este problema como una tabla simplex inicial, se observara que las variables de holgura (X3,X4,X5) no ofrecen una solución inicial factible. Como este es un problema de minimización y todos los coeficientes de la ecuación objetivo son £ 0, la solución básica inicial. X3=-3,X4=-6,X5=3 es optima pero infactible. Este problema es del tipo común que se puede manejar a través del método simplex dual. Tabla óptima inicial pero infactible esta dada como: .
. Como el método simplex regular, el método de solución esta basado en las condiciones de factibilidad y optimidad. La condición de optimidad garantiza que la solución permanezca siempre optima, mientras que la condición de factibilidad obliga a las soluciones básicas hacia el espacio factible. . La variable que sale es la variable básica que tiene el valor negativo. Si todas las variables básicas son no negativas el proceso termina y se alcanza la solución factible(optima). La variable que entra se elige de entre las variables no básicas como sigue. Tome los conscientes de los coeficientes del lado izquierdo de la ecuación z entre los coeficientes correspondientes a la ecuación asociada a la variable que sale. Ignore los cocientes asociados a denominadores positivos o cero. La variable que entra es aquella con el cociente mas pequeño si el problema es de minimización o el valor absoluto mas pequeño de las razones si el problema es de maximización (rompa los
empates arbitrariamente). Si todos los denominadores son cero o positivos el problema no tiene ninguna solución factible. Después de elegir la variable que entra y la que sale, se aplican las operaciones de renglón como es usual para obtener la siguiente iteración de la solución. La variable que sale en la tabla anterior es X4 < (=-6) ya que tiene el valor mas negativo. Para la variable que entra, los cocientes son .
La variable que entra es x2 ya que corresponde al cociente más pequeño 1/3. Aplicando las operaciones renglón como es usual, se encuentra la nueva tabla :
La nueva solución todavía es óptima pero infactible(X3=-1, X5=-1). Si X3 se elige arbitrariamente para que deje la solución, X1 llega a ser la variable de entrada. Esto da :
La cual es óptima y factible. La aplicación del método simplex dual es especialmente útil en el análisis de sensibilidad. Esto ocurre, por ejemplo cuando se agrega una nueva restricción al problema después que se ha obtenido la solución optima. Si esta restricción no se verifica por la solución optima, el problema permanece óptimo pero llega a ser infactible. Por lo tanto el método simplex dual se utiliza entonces para quitar la infactibilidad en el problema.
2.5 Metodo dual simplex. Como sabemos, el método simplex es un algoritmo iterativo que iniciando en una solución básica factible pero no óptima, genera soluciones básicas factibles cada vez mejores hasta encontrar la solución óptima (sí esta existe). Nótese que la base de su lógica es mantener la factibilidad, mientras busca la optimalidad. Pero surge la posibilidad de usar otro esquema igualmente iterativo, que como contraparte del simplex, comienza en una solución básica óptima, pero no factible y mantiene la inmejorabilidad mientras busca la factibilidad. Con este procedimiento se llega igualmente a la solución óptima. El nuevo algoritmo fue desarrollo en 1954 por C. E. Lemke y se conoce con el nombre de Método Dual-Simplex. A continuación se presenta su estructura y un ejemplo para ilustrar su aplicación. El algoritmo para resolver un modelo de maximización es el siguiente: Paso 1: Hallar una solución básica inicial infactible e inmejorable Escribir el tablero inicial tomando a las variables de holgura y de exceso como variables básicas iniciales Paso 2: Prueba de factibilidad a. Si todas las variables básicas son no negatívas, la actual solución es la óptima. b. Si hay al menos una variable básica negativa, seleccionar como variable de salida, ( llamémosla (XB)s ), a aquella con el valor mas negativo. Los empates se pueden romper arbitrariamente. Paso 3: Prueba de inmejorabilidad a. Sí en el renglón de la variable básica de salida (XB)s todos los coeficientes de reemplazo con las variables no básicas son no negativos, la solución del modelo es óptima ¡limitada. Se termina el proceso. Si en el renglón de la variable básica de salida (XB)s, hay al menos un coeficiente de intercambio negativo , se efectúan los cocientes entre el efecto
neto de cada variable no básicas y su correspondientel coeficiente de intercambio negativo. Es decir, siendo (XB)s la variable de salida se calculan todos los cocientes
Se toma como variable de entrada ( llamémosla Xe ) a aquella que corresponda al mínimo de los cocientes del anterior conjunto Si la variable de entrada es Xe el elemento pivote será el elemento (Se)s El empate se puede romper arbitrariamente. b. Aplicar la operación de pivoteo para generar la nueva tabla, en la cual aparezca Xe como variable básica en lugar de la variable de salida (XB)s c. Repetir el algoritmo a partir del paso 2. Ejemplo de aplicación del Método Dual Simplex Sea el siguiente modelo: Z= Maximizar
-2X1 -2X2 -3X3
Sujeto a :
2X1 +4X2 +2X3 > 10 3X1 -3X2 +9X3 = 12
con X1, X2, X3 > 0 Expresemos el modelo en formato estándar Z= Maximizar
-2X1 -2X2 -3X3
Sujeto a :
2X1 +4X2 +2X3 -IE1 3X1 -3X2 +9X3
= 10 -IE2 = 12
multipliquemos por (-1) en ambos lados de las ecuaciones, para formar los vectores unitarios, requeridos para contar con una base inicial unitaria. Z= Maximizar
-2X1 -2X2 -3X3
Sujeto a :
-2X1 -4X2 -2X3 +IE1 -3X1 +3X2 -9X3
= -10 +IE2 = -12
Paso 1. Tomando las variables básicas iniciales hacemos lo siguiente: Cj -2
-2
CB X1 0 0
-3
0
0
XB
X2 X3 E1
E2
Solución Básicas
-2
-4
-2
1
0
-10 E1
-3
3
-9
0
1
-12 E2
Zj 0
0
0
0
0
0
Ej -2
-2
-3
0
0
0Z
Paso 2 Sale E2 = (XB)2 o sea s = 2 Paso 3 a. Calculando los cocientes para todo (Sj)2 < 0 obtenemos:
o sea que X3 es la variable de entrada( entonces e = 3) y el elemento pivote es el (Se)s = (S3)2 = -9
b. Efectuando el pivoteo obtenemos la tabla siguiente: Tabla 1 (maximizar) -3 0 0 XB
Cj -2
-2
CB X1
X2 X3 E1
E2
Solución Básicas
0
0 14/3
1
-2/9
-22/3 E1
-3 -1/3 -1/3 1
0
-1/9
4/3 X3
Zj -1
1
-3
0
1/3
Ej -1
-3
0
0
-1/3
-4/3
-4 Z
c. Repitiendo el algoritmo desde el paso 1, obtenemos: sale E1 = (XB)1 y entra X2 por lo cual obtenemos la siguiente tabla
-3
Tabla 2 0 0 XB
Cj -2
-2
CB X1
X2 X3 E1
E2
Solución Básicas
-2 2/7 1
0
1/21 3/14
11/7 X2
-3 3/7 0
1
1/14 2/21
13/7 X3
-3
4/21 9/14
0
9/14 4/21
Zj
1 13/7
Ej -1/7 0
-61/7 Z
Como se En definitiva:
observa,
ahora
X2* X3* Z* = - 61/7
estamos
en
= =
el
óptimo.
11/7 13/7
Otro ejemplo: Resolver el siguiente modelo usando el método Dual-Simplex Z= Minimizar
2X1 + 2X2
Sujeto a :
3X1 +X2
> 10
4X1 +3X2
> 12 <
X1
+2X
con X1, X2 > 0 Expresando el modelo en formato estándar y ajustándolo para que las variables básicas sean las variables de holgura tenemos:
Minimizar Sujeto a :
Z=
2X1
+ 2X2
-3X1 -X2
+IE1
-4X1 -3X2 X1
+IE2
+2X
+IE3
=
-3
=
-6
=
3
Usando el método Dual Simplex obtenemos, sucesivamente: Tabla 0 X1
X2
E1
E2
H3 Solución
-3
-1
1
0
0
-3
-4
-3
0
1
0
-6
Basicas E1 E2
H3 Ej
1
2
0
0
1
3
2
1
0
0
0
0
Sale E2 Entonces los cocientes son
Nota: Obsérvese que cuando el objetivo es minimizar, se toma el valor absoluto de los cocientes. Tabla 1 X1
X2
E1
E2
H3 Solución
-5/3
0
1
-1/3
0
-1
4/3
1
0
-1/3
0
2
-5/3
0
0
2/3
1
-1
2
0
0
1/3
0
2
Basicas E1 E2 H3 Ej Sale Los cocientes son:
H1
Tabla 2 (óptima) X1 X2 Basicas
E1
E2
H3 Solución
E1 E2 H3 Ej
1
0
-3/5 1/5
0
3/5
0
1
4/5 -3/5
0
6/5
0
0
-1
1
1
0
0
0
2/5
1/5
0
12/5
La solución óptima es X1 = 3/5, X2 = 6/5 ; Z = 12/5 En la gráfica observamos el camino que realmente siguió el algoritmo para pasar de la solución infactible con valor Z= 0 a la solución factible óptima con valor Z = 12/5. La aplicación del método simplex dual es especialmente útil en el análisis de sensibilidad. Se usa cuando después de haber obtenido la solución óptima, se desea agregar una nueva restricción al modelo si la nueva restricción no se cumple. En este caso se obtiene que para los valores óptimos de las variables de decisión, la solución permanece óptima pero se convierte en infactible. Surge entonces la necesidad de aplicar el algoritmo Dual-Simplex para extraer la variable básica que tiene valor infactible. Cuando estudiemos el tema de análisis de sensibilidad analizaremos un caso como el citado.
2.6 Analisis de resultados. Los resultados se analizaron en términos de la media de los errores agrupados por tipo de instancias y en forma global, para cada valor utilizado de y . El error se calcula como: (4)
donde es el óptimo de la instancia para los problemas de la mochila con múltiples restricciones ( ); y es la cota de Dantzig (mirar por ej. [24]) para la versión clásica ( ). En la Tabla 1 se muestra la media del error para cada valor de discriminado para las instancias y . Tabla 1: Medias del Error en función de ) y con múltiples restricciones ( ).
y
Base Decremento
y cada
,
para instancias con una restricción (
Incremento
Instancia 1
2
3
4
2
3
4
MR
9.01
2.19
1.95
1.92
3.98
3.85
3.90
ST
6.86
4.58
3.87
3.58
4.73
4.28
4.11
Total
7.94
3.39
2.91
2.75
4.36
4.06
4.01
Se puede observar que tanto en forma global, como para cada tipo de instancia en particular, las versiones del algoritmo que usan obtienen mejores resultados que los obtenidos con . Esto ocurre para los dos esquemas de adaptación de propuestos. También se verifica que para ambos 's, un incremento en el valor de permite reducir el error global (indicado en la columna ). Para el caso de decremento, resulta beneficioso comenzar las mejoras con un operador que cambie 4 bits. Cuando con 4 ya no se obtengan mejoras, se reduce a 3, luego a 2 y finalmente se realiza un ``ajuste fino'' con . La adaptación de en sentido contrario también resulta beneficiosa, aunque para las instancias solo aparecen mejoras respecto a y no entre los valores obtenidos cuando se utiliza
.
Es interesante analizar cuanto contribuye cada operador a la obtención del resultado final. En la Figura 4 se muestran la cantidad de transiciones a soluciones aceptables (en promedio) que permitió obtener cada operador para cada valor de . Los valores obtenidos se escalaron en el rango para mejorar la interpretabilidad. Naturalmente cuando , todas las mejoras se obtuvieron con . Es a partir de donde el análisis se vuelve interesante. En los resultados correspondientes al cuando
, prácticamente un
restante porcentaje con uso de
, se observa que
de la mejora se obtuvo con
. Cuando
-BitFlip. Del restante
que decrementa
, el
-BitFlip y el
del progreso se debe al
, casi toda la mejora se realiza con
-BitFlip.
Finalmente cuando , el operador -BitFlip es el responsable del de los pasos de mejora. La utilización de y -BitFlip completa prácticamente la optimización aunque aparecen correspondientes a -BitFlip. Para el caso de incrementos en
aproximadamente
un
de
, se observa que para un valor de
mejoras ,
hasta un de mejora se puede conseguir con -BitFlip una vez que la búsqueda se estancó con -BitFlip. Para y , los gráficos muestran que hasta un de la mejora corresponde a -BitFlip, pero luego los operadores subsiguientes pueden mejorar los óptimos locales encontrados.
(a)
(b) Figura 4: Contribución promedio de cada operador BitFlip para cada valor de resultados con administrador de operación decremento y en (b) con incremento.
. En (a)
También se analizó la media de la cantidad de evaluaciones realizadas para encontrar el mejor valor, discriminada en función de y por tipo de instancia (resultados no mostrados). Cuando se utiliza un esquema de decremento, para las instancias con múltiples restricciones se observa una reducción de los valores a medida que aumenta . Para las instancias del problema clásico, esta tendencia no se verifica. En este caso, el valor más alto de evaluaciones se alcanza con . Luego aparecen los asociados a .
mientras que el menor valor corresponde a
Para el esquema de adaptación con incrementos de , los resultados para indican que un aumento de permite, no sólo obtener mejores resultados, sino también de forma más rápida. Para las instancias , el valor de (media de la
cantidad de evaluaciones realizadas para obtener la mejor solución) para es el menor de todos, seguido por y . Naturalmente, esta medida del ``esfuerzo'' no se puede analizar en forma aislada sino teniendo en mente los resultados obtenidos en términos del error. Por lo tanto, creemos que las diferencias en la media del error pueden compensar un posible aumento en las evaluaciones necesarias.
UNIDAD 3
“Asignación y transporte”
3.1 Método de Esquina Noroeste. El método de la esquina Noroeste es un algoritmo heurístico capaz de solucionar problemas de transporte o distribución mediante la consecución de una solución básica inicial que satisfaga todas las restricciones existentes sin que esto implique que se alcance el costo óptimo total. Este método tiene como ventaja frente a sus similares la rapidez de su ejecución, y es utilizado con mayor frecuencia en ejercicios donde el número de fuentes y destinos sea muy elevado. Su nombre se debe al génesis del algoritmo, el cual inicia en la ruta, celda o esquina Noroeste. Es común encontrar gran variedad de métodos que se basen en la misma metodología de la esquina Noroeste, dado que podemos encontrar de igual manera el método e la esquina Noreste, Sureste o Suroeste. También llamado noroccidental o de extremos, presenta la construcción de una matriz de flujos de la siguiente manera. Paso1 En la posición (1, 1) que es el extremo Noroeste , se decide a
por lo tanto alguno de los valores se hacen cero. Paso 2. Si
es CERO, se pasa a la posición que le sigue ( "abajo" en la columna) que es la
(2, 1), para hacer Se cancela el resto de la fila con ceros; además no se considerarán estas posiciones en un futuro, exceptuando la posición
Por otro lado, si , en el paso anterior, se pasa a la posición contigua (que en este caso sería (1, 2), tal que Se cancela lo restante de la columna con ceros, y se descarta de consideración futura alguna, con excepción de la posición Paso3. Continuar con la misma lógica hasta llegar a la posición (m, n) de la matriz de flujos. En esta forma se obtendrá una solución inicial factible, básica; pero bastante distante del óptimo para el problema del transporte. Donde :
Se empieza en la celda (A,D) y se asigna lo máximo que se pueda por fila(columna) y se sigue sucesivamente de la misma manera hasta llegar a la celda (C,G) y obtener así una solución factible inicial.
A
D
E
10
10
B
5
C Dj
10
15
F
G
Oi 20
25
30
15
30
40
30
45
3.2 Método del Costo Mínimo. El método del costo mínimo o de los mínimos costos es un algoritmo desarrollado con el objetivo de resolver problemas de transporte o distribución, arrojando mejores resultados que métodos como el de la esquina noroeste, dado que se enfoca en las rutas que presentan menores costos. El diagrama de flujo de este algoritmo es mucho más sencillo que los anteriores dado que se trata simplemente de la asignación de la mayor cantidad de unidades posibles (sujeta a las restricciones de oferta y/o demanda) a la celda menos costosa de toda la matriz hasta finalizar el método. Ejemplo: Una compañía de agua tiene 3 depósitos con una entrada diaria estimada de 15, 20 y 25 millones de litros de agua respectivamente. Diariamente tiene que abastecer 4 áreas A, B, C y D, las cuales tienen una demanda esperada de 8, 10, 12 y 15 millones de litros respectivamente. El costo de bombeo por millón de litros de agua es como sigue.
Encuentre la solución básica de inicio del modelo de transporte por el método de costo mínimo.
3.1 Método de asignación de Vogel. El método de aproximación de Vogel es un método heurístico de resolución de problemas de transporte capaz de alcanzar una solución básica no artificial de inicio, este modelo requiere de la realización de un número generalmente mayor de iteraciones que los demás métodos heurísticos existentes con este fin, sin embargo produce mejores resultados iniciales que los mismos. El método consiste en la realización de un algoritmo que consta de 3 pasos fundamentales y 1 más que asegura el ciclo hasta la culminación del método. PASO 1 Determinar para cada fila y columna una medida de penalización restando los dos costos menores en filas y columnas. PASO 2 Escoger la fila o columna con la mayor penalización, es decir que de la resta realizada en el "Paso 1" se debe escoger el número mayor. En caso de haber empate, se debe escoger arbitrariamente (a juicio personal). PASO 3 De la fila o columna de mayor penalización determinada en el paso anterior debemos de escoger la celda con el menor costo, y en esta asignar la mayor cantidad posible de unidades. Una vez se realiza este paso una oferta o demanda quedará satisfecha por ende se tachará la fila o columna, en caso de empate solo se tachará 1, la restante quedará con oferta o demanda igual a cero (0). PASO 4: DE CICLO Y EXCEPCIONES - Si queda sin tachar exactamente una fila o columna con cero oferta o demanda, detenerse. - Si queda sin tachar una fila o columna con oferta o demanda positiva, determine las variables básicas en la fila o columna con el método de costos mínimos, detenerse.
- Si todas las filas y columnas que no se tacharon tienen cero oferta y demanda, determine las variables básicas cero por el método del costo mínimo, detenerse. - Si no se presenta ninguno de los casos anteriores vuelva al paso 1 hasta que las ofertas y las demandas se hayan agotado.
EL PROBLEMA Una empresa energética colombiana dispone de cuatro plantas de generación para satisfacer la demanda diaria eléctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al día respectivamente. Los costos asociados al envío de suministro energético por cada millón de KW entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.
Formule un modelo de programación lineal que permita satisfacer las necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte. SOLUCIÓN PASO A PASO El primer paso es determinar las medidas de penalización y consignarlas en el tabulado de costos, tal como se muestra a continuación. El paso siguiente es escoger la mayor penalización, de esta manera:
El paso siguiente es escoger de esta columna el menor valor, y en una tabla paralela se le asigna la mayor cantidad posible de unidades, podemos observar como el menor costo es "2" y que a esa celda se le pueden asignar como máximo 60 unidades "que es la capacidad de la planta 3".
Dado que la fila de la "Planta 3" ya ha asignado toda su capacidad (60 unidades) esta debe desaparecer.
Se ha llegado al final del ciclo, por ende se repite el proceso
Iniciamos una nueva iteración
Continuamos con las iteraciones,
Iniciamos otra iteración
Al finalizar esta iteración podemos observar como el tabulado queda una fila sin tachar y con valores positivos, por ende asignamos las variables básicas y hemos concluido el método.
Los costos asociados a la distribución son:
De esta manera hemos llegado a la solución a la cual también llegamos mediante programación lineal, definitivamente desarrollar la capacidad para modelar mediante programación lineal y apoyarse de una buena herramienta como WinQSB, STORM, LINGO, TORA etc.. termina siendo mucho más eficiente que la utilización de los métodos heurísticos para problemas determinísticos; sin embargo cabe recordar que uno de los errores más frecuentes en los que caen los ingenieros industriales es en tratar de adaptar a sus organizaciones a los modelos establecidos, cabe recordar que son los modelos los que deben adaptarse a las organizaciones lo cual requiere de determinada habilidad para realizar de forma inmediata innovaciones positivas para sus fines, en pocas palabras un ingeniero industrial requiere de un buen toque de HEURÍSTICA en su proceder.
3.4 Método de Asignación. Discutiremos un modelo de asignación que intente minimizar el coste total de procesamiento y almacenamiento a la vez que intenta reunir ciertas restricciones en el tiempo de respuesta. El modelo que emplearemos tiene la forma mín(Coste Total), la cual está sujeta a restricciones del tiempo de respuesta, restricciones de almacenamiento y restricciones de procesamiento. En el resto de este punto desarrollaremos los componentes de este modelo basándonos en la información necesaria presentada anteriormente. La variable de decisión es xij, la cual se define como xij = 1 si el fragmento Fi se almacena en el sitio Sj xij = 0 en otro caso Coste total. La función de coste total tiene dos componentes: el procesamiento de la consulta y el almacenamiento. Entonces podríamos expresarla como
donde CPQi es el coste de procesar una consulta de la aplicación qi, y CAFjk es el coste de almacenar el fragmento Fj en el sitio Sk. Consideremos primero el coste de almacenamiento. Su fórmula viene dada por
donde se representa el coste total de almacenamiento en todos los sitios y para todos los fragmentos. El coste de procesamiento de consultas es más difícil de especificar. Muchos modelos de asignación de archivos se dividen en dos componentes: el coste de procesar las lecturas y el coste de procesar las actualizaciones. Nosotros escogeremos un enfoque diferente para el problema de asignación en las bases de datos y lo especificaremos a partir del coste de procesamiento (CP) y el coste de transmisión (CT). El coste de procesamiento de una consulta (CPQ) para una aplicación qi es
De acuerdo con las líneas presentadas anteriormente, el componente de procesamiento CP se basa en tres factores: el coste de acceso (CA), el coste de mantenimiento de la integridad (MI) y el coste de control de la concurrencia (CC):
La especificación detallada de cada uno de estos factores depende del algoritmo que se emplee para desarrollar estas tareas. Sin embargo, se especificará CA detalladamente:
El primero de los términos de la fórmula calcula el número de accesos de la consulta qi al fragmento Fj. Advierta que (URij + RRij) da el número total de accesos de lectura y actualización. Asumiremos que los costes locales de procesamiento de ambos son idénticos. El sumatorio proporciona el número total de accesos para todos los fragmentos a los que accede qi. El producto por UPTk da el coste de este acceso al sitio Sk. Usamos de nuevo, xjk para seleccionar únicamente los valores de coste para los sitios donde se almacenan los fragmentos. Se debe tener en cuenta que la función de coste de acceso asume que el procesamiento de una consulta implica su descomposición en una serie de subconsultas, cada una de las cuales trabaja sobre un fragmento almacenado en un sitio, seguido de una transmisión de los resultados al sitio del cual partió la consulta. Se vio, anteriormente, que es un enfoque muy simplista no tener en cuenta la complejidad del procesamiento de la base de datos. Por ejemplo, la función de coste no tiene en cuenta el coste de desarrollar yuntos (si fuese necesario), lo cual puede ejecutarse de varias formas. En un modelo más realista, que el modelo genérico considerado, esto problemas no deberían omitirse. El factor de coste del esfuerzo de integridad puede especificarse como el componente de procesamiento, excepto que la unidad de coste de procesamiento local, probablemente, cambiaría para reflejar el coste real del esfuerzo de integridad. La función del coste de transmisión puede formularse sobre las líneas de la función del coste de acceso. Sin embargo, los gastos de la transmisión de datos para actualizaciones y para lecturas no es el mismo. En las consultas de actualización, es necesario informar a todos los sitios donde existen réplicas, mientras que en las consultas de lectura, es suficiente con acceder al sitio que alberga las copias. En suma, al final de una petición de actualización, no existe una transmisión de datos al sitio origen de ésta, sino un mensaje de confirmación, mientras que en las consultas de lectura, los datos a transmitir al origen son significativos. El componente de actualización de la función de transmisión es
El primer término es para el envío del mensaje de actualización de qi desde el sitio origen o(i) a todas las réplicas de los fragmentos que necesiten actualizarse. El segundo término hace referencia a la confirmación. El coste de lectura puede especificarse como
El primer término de CTL representa el coste de transmitir la petición de lectura a los sitios que contienen copias de los fragmentos a los que se necesita acceder. El segundo término cuenta para la transmisión de los resultados desde estos sitios al sitio origen. La ecuación afirma que para todos los sitios con copias del mismo fragmento, sólo el sitio que produzca el coste total de transmisión más pequeño debería seleccionarse para la ejecución de la operación. Ahora, la función del coste de la transmisión para la consulta qi puede especificarse como
que indica la función de coste total. Restricciones. Las funciones restrictivas pueden especificarse de forma similar. Sin embargo, en lugar de describir estas funciones con detalle, simplemente indicaremos el aspecto que deberían tener. El tiempo de respuesta debería especificarse como tiempo de ejecución de qi máximo tiempo de respuesta de qi,
qi Q
Preferiblemente, la medida de coste en la función objetiva debería especificarse en términos de tiempo, para hacer la especificación del tiempo de ejecución relativamente sencilla. La restricción de almacenamiento es
Así misma, la restricción de procesamiento es
Esto completa el desarrollo del modelo de asignación.
UNIDAD 4
“Líneas de espera”
4.1 Estructura básica de los modelos de línea de espera.
Se han elaborado modelos para ayudar a los administradores a entender y tomar mejores decisiones sobre la operación de las líneas de espera. En la terminología de los métodos cuantitativos, una línea de espera también se conoce como cola y el cuerpo de conocimiento que tiene que ver con las líneas de espera se conoce como teoría de las colas o simplemente teoría de colas. Los modelos de línea de espera consisten en fórmulas y relaciones matemáticas que pueden usarse para determinar las características operativas (medidas de desempeño) para una cola. Las características operativas de interés incluyen las siguientes: 1. Probabilidad de que no haya unidades o clientes en el sistema 2. Cantidad promedio de unidades en la línea de espera 3. Cantidad promedio de unidades en el sistema (la cantidad de unidades en la línea de espera más la cantidad de unidades que se están atendiendo) 4. Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera 5. Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema (el tiempo de espera más el tiempo de servicio) 6. Probabilidad que tiene una unidad que llega de esperar por el servicio ESTRUCTURA
DE
UN
SISTEMA
DE
LINEA
DE
ESPERA
Para ilustrar las características básicas de un modelo de línea de espera, consideramos la cola en el Burger Dome, que vende hamburguesas, papas fritas, refrescos y malteadas, así como un número limitado de artículos de especialidad y postres. Aunque a Burger Dome le gustaría servir inmediatamente a cada cliente, a veces llegan más comensales de los que puede manejar el personal de Burger Dome, por tanto, los clientes esperan en línea para hacer sus pedidos y recibir sus alimentos. A Burger Dome le preocupa que los métodos que se usan actualmente para servir a los clientes dan como resultado tiempos de espera excesivos. La administración desea realizar un estudio con el fin de ayudar a determinar el mejor enfoque para producir los tiempos de espera y mejorar el servicio. Línea de espera de un solo canal: Cada cliente que entra al restaurante de Burger Dome debe pasar por un canal, una estación para tomar y surtir el pedido, para colocar el pedido, pagar la cuenta y recibir el producto. Cuanto llegan más clientes forman una línea de espera y aguardan que se desocupe la estación para tomar y surtir el pedido. Distribución
de
llegadas:
Definir el proceso de llegada para una línea de espera implica determinar la distribución de probabilidad para la cantidad de llegadas en un periodo dado. Para muchas situaciones de línea de espera, cada llegada ocurre aleatoria e independientemente de otras llegadas y no podemos predecir cuándo ocurrirá. En tales casos los analistas cuantitativos han encontrado que la distribución de probabilidad de poisson proporciona una buena descripción del patrón de llegadas.
Distribución de tiempos de servicio: El tiempo de servicio es el tiempo que pasa un cliente en la instalación una vez el servicio ha iniciado. Se puede utilizar la distribución de probabilidad exponencial para encontrar la probabilidad de que el tiempo de servicio sea menor o igual que un tiempo t.
Cómo usan los administradores los modelos de línea de espera: Los resultados de la línea de espera de un solo canal para Burger Dome muestran varias cosas importantes sobre su operación. En particular, los clientes esperan un promedio de tres minutos antes de comenzar a colocar un pedido, lo cual parece un poco largo para un negocio basado en el servicio rápido. Además los hechos de que la cantidad promedio de clientes que esperan en la línea es de 2.25 y que 75% de los clientes que llegan tienen que esperar para que los atiendan son indicadores de que debería hacerse algo para mejorar la operación. Mejora de la operación de la línea de espera Después de revisar las características operativas proporcionadas por el modelo de línea de espera, la administración de Burger Dome concluyó que es deseable diseñar mejoras que reduzcan los tiempos de espera; para ello, a menudo los analistas se centran en formas de mejorar la tasa de servicio. Por lo general, las mejoras en la tasa de servicio se obtienen realizando los siguientes cambios de manera individual o conjuntamente.
MODELOS DE LÍNEA DE ESPERA CON CANALES MÚLTIPLES CON LLEGADAS DE POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES Consiste en dos o más canales de servicio que se supone son idénticos desde el punto de vista de su capacidad. En el sistema de canales múltiples, las unidades que llegan esperan en una sola línea
y luego pasan al primer canal disponible para ser servidas. A continuación, las fórmulas que pueden usarse para determinar las características operativas de estado estable para líneas de espera con múltiples canales. Estas formulas son aplicables si existen las siguientes condiciones. 1. Las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson. 2. Tiempo de servicio para cada canal sigue una distribución de probabilidad exponencial.
4.1.1 Un servidor, una cola.
Este modelo puede aplicarse a personas esperando en una cola para comprar boletos para el cine, a mecánicos que esperan obtener herramientas de un expendio o a trabajos de computadora que esperan tiempo de procesador. Llegadas. Consiste en la entrada al sistema que se supone es aleatoria. No tienen horario, es impredicible en que momento llegarán . El modelo también supone que las llegadas vienen de una población infinita y llegan una a la vez . Cola. En este modelo se considera que el tamaño de la cola es infinito. La disciplina de la cola es primero en llegar, primero en ser servido sin prioridades especiales. También se supone que las llegadas no pueden cambiar lugares en la línea (cola) o dejar la cola antes de ser servidas. Instalación de Servicio. Se supone que un solo servidor proporciona el servicio que varía aleatoriamente. Salidas. No se permite que las unidades que salgan entren inmediatamente al servicio. Características de operación . Un servidor y una cola. Llegada Poisson. Cola infinita, primero en llegar primero en ser servido. Tiempos de servicio exponenciales. Cola :
Longitud promedio de la línea :
Tiempo de espera promedio : Sistema:
Longitud promedio de la línea :
Tiempo de espera promedio :
Utilización de la instalación :
Probabilidad de que la línea exceda a n : A = tasa promedio de llegada. S = tasa promedio de servicio. Ejemplo : (Un supermercado ) Supóngase un supermercado grande con muchas cajas de salida, en donde los clientes llegan para que les marquen su cuenta con una tasa de 90 por hora y que hay 10 cajas en operación. Si hay poco intercambio entre las lìneas, puede tratarse este problema como 10 sistemas separados de una sola lìnea, cada uno con una llegada de 9 clientes por hora. Para una tasa de servicio de 12 por hora : Dados A = 9 clientes por hora S = 12 clientes por hora Entonces :
=
2.25 Clientes
=
=
0.25 horas o 15 minutos.
=
3 clientes.
=
0.33 horas o 20 minutos.
0.75 o 75%
0.32
Entonces, para este ejemplo, el cliente promedio espera 15 minutos antes de ser servido. En promedio, hay un poco más de dos clientes en la línea o tres en el sistema. El proceso completo lleva un promedio de 20 minutos. La caja está ocupada el 75 % del tiempo. Y finalmente, el 32 % del tiempo habrá cuatro personas o más en el sistema ( o tres o más esperando en la cola).
4.2 CRITERIOS BAJO LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON Y EXPONENCIAL PARA LA SELECCIÓN DEL MODELO APROPIADO DE LÍNEAS DE ESPERA. A pesar de que la distribución Normal puede utilizarse para resolver muchos problemas en ingeniería y ciencias, existen aún numerosas situaciones que requieren diferentes tipos de funciones de densidad, tales como la exponencial y la gamma y algunas otras como la weibull, etc., etc., de momento solo trataremos sobre el uso de la exponencial. Resulta que la exponencial es un caso especial de la distribución gamma, ambas tienen un gran número de aplicaciones. Las distribuciones exponencial y gamma juegan un papel importante tanto en teoría de colas como en problemas de confiabilidad. El tiempo entre las llegadas en las instalaciones de servicio y el tiempo de falla de los componentes y sistemas eléctricos, frecuentemente involucran la distribución exponencial. La relación entre la gamma y la exponencial permite que la distribución gamma se utilice en tipos similares de problemas. La variable aleatoria x tiene una distribución exponencial, con parámetro β, si su función de densidad es:
−x
1 f(x)= x β β
,x>0
; f(x) = 0 en cualquier otro caso
donde β > 0 La media y la variancia de la distribución exponencial son:
µ=β
y
σ2 = β2
Relación con el proceso de Poisson. Las aplicaciones más importantes de la distribución exponencial son aquellas situaciones en donde se aplica el proceso de Poisson , es necesario recordar que un proceso de Poisson permite el uso de la distribución de Poisson. Recuérdese también que la distribución de Poisson se utiliza para calcular la probabilidad de números específicos de “eventos” durante un período o espacio particular. En muchas aplicaciones, el período o la cantidad de espacio es la variable aleatoria. Por ejemplo un ingeniero industrial puede interesarse en el tiempo T entre llegadas en una intersección congestionada durante la hora de salida de trabajo en una gran ciudad. Una llegada representa el evento de Poisson.
La relación entre la distribución exponencial (con frecuencia llamada exponencial negativa) y el proceso llamado de Poisson es bastante simple. La distribución de Poisson se desarrolló como una distribución de un solo parámetro λ, donde λ puede interpretarse como el número promedio de eventos por unidad de “tiempo” . Considérese ahora la variable aleatoria descrita por el tiempo que se requiere para que ocurra el primer evento. Mediante la distribución de Poisson, se encuentra que la probabilidad de que no ocurran en el espacio hasta el tiempo t está dada por:
ε − λt ( λt )0 p( 0,λt ) = = ε − λt 0!
; ε = 2.718
Ahora puede utilizarse lo anterior y hacer que X sea el tiempo para el primer evento de Poisson. La probabilidad de que el período hasta que ocurre el primer evento de Poisson exceda x es la misma que la probabilidad de que no ocurra un − λx evento de Poisson en x. Esto último por supuesto está dado por ε . Como resultado, − λx P(X ≥ x) = ε
Entonces, la función de distribución acumulada para x es:
− λx P(0≤ X ≤ x) = 1 - ε
Ahora, con objeto de que se reconozca la presencia de la distribución exponencial, puede derivarse la distribución acumulada anterior para obtener la función de densidad: − λx f(x) = λε
La cual es la función de densidad de la distribución exponencial con
λ=
1 β.
Nótese que la media de la distribución exponencial es el parámetro β , el recíproco del parámetro en la distribución de Poisson. El lector debe recordar que con frecuencia se dice que la distribución de Poisson no tiene memoria, lo cuál implica que las ocurrencias en períodos de tiempo sucesivos son independientes. Aquí el parámetro importante β es el tiempo promedio entre eventos. En teoría de la confiabilidad, donde la falla de un equipo concuerda con el proceso de Poisson, β recibe el nombre de tiempo promedio entre fallas. Muchas descomposturas de equipo siguen el proceso de Poisson, y entonces la distribución exponencial es aplicable.
En el siguiente ejemplo se muestra una aplicación simple de la distribución exponencial en un problema de confiabilidad. La distribución binomial también juega un papel importante en la solución. Ejemplos:
1. Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de falla en años está dado por la variable aleatoria T, distribuida exponencialmente con tiempo promedio de falla β = 5 . S í 5 de estos componentes se instalan en diferentes sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 continúen funcionando después de 8 años? Solución: La probabilidad de que un determinado componente esté funcionando aún después de 8 años es:
P( > 8 ) =
∞
t
8
− 1 −5 ε dt = ε 5 ∫ 58
≅ 0.2 la | nos indica que la integral se va a
evaluar desde 8 hasta ∞ Sea x el número de componentes funcionando después de 8 años. Entonces mediante la distribución Binomial, n=5 p = 0.20 = probabilidad de que un componente esté funcionando después de 8 años q = 1-p = 0.80 = probabilidad de que un componente no funcione después de 8 años
P(x ≥ 2 ) = p(x=2) + p(x=3) + p(x=4)+p(x=5) = 1 – p(x = 0, 1)
= 1 −{ 5 C0 ( 0.2 )0 ( 0.8 )5 + 5 C1( 0.2 )1( 0.8 )4
} = 1 − 0.7373 = 0.2627
2. El tiempo que transcurre antes de que una persona sea atendida en una cafetería es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con una media de 4 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea
atendida antes de que transcurran 3 minutos en al menos 4 de los 6 días siguientes?
Solución:
3
1
1
− 1 − t P( T ≤ 3 ) = ∫ ε 4 dt = ε 4 40
= 1− ε
−
3 4
= 0.5276 la nos indica que la integral
va a ser evaluada de 0 a 3
x = número de días en que un cliente es atendido antes de que transcurran 3 minutos x = 0, 1, 2,...,6 días p = probabilidad de que un cliente sea atendido antes de que transcurran 3 minutos en un día cualquiera = 0.5276 q = probabilidad de que un cliente no sea atendido antes de que transcurran 3 minutos en un día cualquiera = 1- p = 0.4724
P( x = 5o6, N = 6, p = 0.5276 )=6 C5 ( 0.5276 )5 ( 0.4724 )1 + 6 C6 ( 0.5276 )6 ( 0.4724 )0 =
= 0.11587 + 0.02157 = 0.13744
4,3 Aplicación de modelos de decisión en líneas de espera.
5.1 Modelos de pronósticos. Existen muchos métodos de pronósticos por lo cual es necesario conocer su clasificación a continuación se mencionan 3 categorías principales las cuales no están limitadas y no son mutuamente excluyentes : a) Series de tiempo o causales. b) A corto,mediano o largo plazo. c) Cuantitativos o cualitativos. MÉTODO DE ANÁLISIS DE SERIES DE TIEMPO En este método se utilizan solo datos históricos del pasado para la variable que se pronostica,al generar proyecciones al futuro.Suponen de manera implícita que ha sucedido en el pasado proporciona información de lo que va a suceder en el futuro.Por otra parte ,los métodos causales consideran los factores que influyen o están relacionados con lo que se esta pronosticando. MÉTODO DE PRONÓSTICOS A CORTO.MEDIANO O LARGO PLAZO. Los métodos de pronósticos a corto plazo tienen un horizonte de tiempo de un día a un mes en el futuro es de gran utilidad para las organizaciones en el manejo de sus operaciones diarias.En los métodos de pronósticos a mediano plazo se hacen proyecciones de un mes aun año hacia el futuro sirviendo como ayuda en la toma de decisiones y el uso eficiente de los recursos.Los métodos de pronósticos a largo plazo tienen un horizonte de mas allá de un año proporcionando una guía directriz para la organización. CUANTITATIVOS Y CUALITATIVOS En los métodos cuantitativos se emplean modelos matemáticos que requieren datos para las variables independientes con el objetivo de generar un pronostico. Los métodos cualitativos se usan para situaciones a largo plazo ,altamente inciertas en las cuales el uso de un modelo matemático no es tan apropiado, es importante mencionar que es normal el juicio subjetivo para llegar a un pronóstico.
