Pr esen tas tasii M ate atemati mati k a
Jarak pada Bangun Ruang Roski Ardi Wijaya X IPA I SMAN 1 Batanghari
Jarak Antara Dua Titik Jarak titik A ke titik B sama dengan panjang ruas garis AB, yang ditentukan dengan teorema Pythagoras, yaitu:
Contoh soal: Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah. Titik P merupakan titik potong diagonal bidang atas. Jarak antara titik B dengan titik P adalah.... A.4√2 cm B.3√6 cm C.3√2 cm D.3 cm E.2√3 cm
Pembahasan: Perhatikan bahwa ∆BFP adalah sikusiku di F. Dengan teorema Phytagoras: BP2 = BF2 + FP2 BF = 6 cm dan FP = ½ x FH = ½ x 6√2 = 3√2 cm sehingga: BP2 = 62 + (3√2)2 = 36 + 18 = 54 BP = √54 = 3√6 Jadi, jarak antara titik B dengan P adalah 3√6 cm
Jawaban: B
Jarak Titik ke Garis 1. Jika Titik dan Garis Terletak pada Satu Bidang
Titik A dan garis g terletak pada bidang α. Untuk menentukan jarak titik A ke garis g yaitu: a. Buatlah garis h yang melalui melalui titik A dan memotong tegak lurus garis g di B. b.Titik B adalah proyek titik A pada garis g. AB adalah jarak antara titik A dan garis g.
Jarak Titik ke Garis 2. Jika Titik dan Garis Tidak Terletak pada Satu Bidang
Garis g terletak pada bidang α. Untuk menentukan jarak antara titik A dan garis g, yaitu: a. Buatlah Buatlah garis garis AB AB yang yang tegak tegak lurus bidang α. b. Buatlah Buatlah garis BC BC yang tegak lurus garis g. c. AC adala adalah h jarak jarak antara antara titik titik A dan garis g.
Contoh soal: Diketahui kubus ABCD.EFGH rusukrusuknya 10 cm. Jarak titik F ke garis AC adalah.... A.√6 cm D. 10√2 cm B.5√2 cm E. 10√6 cm C.5√6 cm
Pembahasan: Titik F dan garis AC terletak pada bidang ACF. Garis AF, CF, dan AC adalah diagonal bidang. AF = CF = AC = 10 √2 cm. FO merupakan jarak titik F ke garis AC. Jika AO = x, maka OC = AC – AO = 10√2 – x ∆AOF siku-siku di O, sehingga berlaku: FO2 = AF2 – AO2 = (10√2)2 – x2 FO2 = 200 – x2 ......................... (1)
Perhatikan ∆COF: FO2 = CF2 – OC2 = (10√2)2 – (10√2 – x)2 FO2 = 200 – (200 + 20√2x – x2) FO2 = 20√2x – x2 ......................... (2)
Pembahasan: Substitusikan persamaan (1) ke (2), sehingga diperoleh: 200 – x2 = 20√2x – x2 200 = 20√2x x = 200 = 10 = 5√2 20√2 √2 Dari persamaan (1): FO2 = 200 – x2 FO2 = 200 – (5√2)2 FO2 = 200 – 50 = 150 FO = √150 = 5√6 Jadi, jarak antara titik F dan garis AC adalah 5√6 cm.
Jawaban: C
Jarak Titik ke Bidang Titik A terletak di luar bidang α. Untuk menentukan jarak antara titik A dan bidang α adalah sebagai berikut: a. Buatlah garis garis g melalui melalui titik titik A dan tegak lurus bidang α. b.Jika garis g menembus bidang di B, maka AB adalah jarak antara titik A dan bidang α.
Contoh soal: Jarak antara titik C dengan bidang BDG dalam kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 6 cm adalah .... cm. A.3√2 D. √3 cm B.2√6 E. 2√3 cm C.√6 cm
Pembahasan: CC’ adalah jarak C ke bidang BDG. CC’ = CT sin CTC’ = CT sin α
AC = 6√2 CT = ½ x AC = 3 √2
Perhatikan ∆CTG: Tg α = CG = 6 = 2 = √2 CT 3√2 √2
α
Pembahasan: Tg α = √2 dapat digambarkan pada segitiga siku-siku. 1 Menurut teorema Pythagoras: PR = √PQ2 + QR2 = √12 + (√2)2 = √1 + 2 = √3 Dengan demikian sin α = √2 √3 Jadi, CC’ = CT . sin α CC’ = 3√2 x √2 = 2√3 √3 Jadi, jarak antara titik C ke bidang BDG adalah 2√3 cm. Jawaban: E
Jarak Dua Garis yang Sejajar Garis sejajar dengan garis h dan keduanya terletak pada bidang α.untuk menentukan jarak garis g dan garis h, yaitu: a. Buatlah Buatlah garis garis l yang tegak tegak lurus kedua garis g dan garis h. b.Garis l memotong garis g di titik A dan garis h di titik A’. AA’ adalah jarak antara garis g dan garis h.
Contoh soal: Balok ABCD.EFGH mempunyai panjang 4 cm, lebar 2 cm, dan tinggi 3 cm. Jarak antara BC dan EH adalah.... A.√13 cm D. 5√2 cm B.2√5 cm E. 6 cm C.5 cm
Pembahasan: BC dan EH terletak pada bidang BCHE. BC & EH sejajar. Jarak antara BC dan EH sama dengan panjang BE. Perhatikan bahwa ∆BAE siku-siku di A. Dengan teorema Pythagoras: BE2 = EA2 + AB2 BE2 = 32 = 42 BE2 = 9 + 16 = 25 BE = 5
α
Jadi, jarak antara BC dan EH adalah 5 cm Jawaban: E
Jarak Antara Garis dan Bidang yang Sejajar Cara menentukan jarak antara garis g dan bidang α bila garis g dan bidang α sejajar, yaitu: a.Buatlah garis sembarang h melalui titik A di garis g dan tegak lurus bidang α. Garis h menembus bidang α di titik A’. b.AA’ adalah jarak antara garis g dan bidang α.
Contoh soal: Balok ABCD.EFGH mempunyai panjang 4 cm, lebar 2 cm, dan tinggi 3 cm. Jarak antara BE dengan bidang CDHG adalah.... A.2 cm D. 5√2 cm B.4 cm E. 6 cm C.5 cm
Pembahasan: BE sejajar bidang CDHG. CH terletak pada bidang CDHG dan sejajar BE. Jarak BE dengan bidang CDHG sama dengan panjang BC. BC = 2 cm Jadi, jarak antara BC dengan bidang CDHG adalah 2 cm Jawaban: A
Jarak Dua Bidang yang Sejajar Bidang α sejajar dengan bidang β. Misalnya garis g melalui titik A dan tegak lurus bidang α dan A’ adalah titik tembus dari garis g pada bidang α. AA’ adalah jarak antara bidang α dan bidang α.
Contoh soal: Balok ABCD.EFGH mempunyai panjang 4 cm, lebar 2 cm, dan tinggi 3 cm. Jarak antara bidang ABCD dan bidang EFGH adalah.... A.2 cm D. 5 cm B.3 cm E. 5√2 cm C.4 cm
Pembahasan: Bidang ABCD sejajar dengan bidang EFGH. Jarak bidang ABCD dengan bidang EFGH dapat diwakili pleh panjang AE, karena AE tegak lurus kedua bidang. AE = 3 cm Jadi, jarak antara bidang ABCD sejajar dengan bidang EFGH adalah 2 cm Jawaban: B
