LABO ABORATOR RATORIO IO N o 04 EJERCICIOS DE DISTRIBUCIONE DISTRIBUCIONES S MUESTRALES
Pag.369 4.- La demanda diaria dc un producto puede ser 0, I, 2, 3, 4 con probabilidades respectivas 0.3, 0.3, 0.2, 0.1, 0.1. a !escriba la distribuci"n de probabilidades apro#imada de la demanda promedio de 36 d$as. b %alcular la probabilidad de &ue la media de la demanda de 36 d$as est' entre 1 ( 2 inclusive.
Solución: )*+ !emanda diaria de un producto+ # P#
0 0.3
1 0 .3
2 0.2
3 0 .1
4 0.1
a n36 u x = E ( x x ) =
∑ xp ( x )=0 ( 0.3 ) +1 ( 0.3 ) +2 ( 0.2 )+ 3 ( 0.1 )+ 4 ( 0.1 )
u x =1.4 E ( x ) = 2
∑ x p ( x )=0 ( 0.3 ) +1 ( 0.3 ) +2 ( 0.2 ) +3 ( 0.1 ) +4 2
2
2
2
2
E ( x ) =3.6 2
VAR ( x )= E ( x )−u 2
2
σ x =3.6− 1.4
2
2
σ x =0.045
x´ 1.4,
3.6 1.64 / ¿ ¿
x ≤ 2 b P 1 ≤ ´
∅
(
2− 1.4 0.21343
) ( −∅
1 −1.4 0.21343
∅
( 2.81 ) −∅ (−1.87 )
∅
( 2.81 ) −[ 1−∅ ( 1.87 ) ]
0.966/
)
2
( 0.1 )
6.- l gerente de ventas de una empresa caetalera sabe &ue el consumo mensual de ca' por casa en ilos est normalmente distribuida con media desconocida la ( desviaci"n desviaci"n estndar igual a 0.3. i se registra el consumo de ca' durante un mes de 36 5ogares escogidos al aar, 7cul es la probabilidad de &ue la media del consumo est' entre los valores n. u8 0.1 ( u 0.1:
Solución: σ x =0.3 n = 36
media* u
u− 0.1 ≤ x´ ≤ u + 0.1 P ¿
∅
(
u + 0.1−u
=
0.3 / 6 ∅
) (
−∅ u −0.1−u 0.3 / 6
)
( 2 ) − ∅ (− 2 ) ∅
( 2 ) −[ 1−∅ ( 2 ) ]
0.9772−[ 1 −0.9772 ]
=0.9544
10.- La utilid utilidad ad en miles miles dc soles soles por la venta venta de cierto cierto art$culo art$culo,, es una variab variable le aleatoria aleatoria con distribuci" distribuci"n n normal. e estima estima &ue en el ;< de las ventas las utilidades ser$an menos de 6.=1, mientras &ue el 1< de las ventas ser$an ma(ores &ue 14.66. i se realian 16 operaciones de ventas, 7cul es la probabilidad de &ue el promedio de la utilidad por cada operaci"n est' entre >10.000 ( >11,000:
Solución: 14.66 −u
)*+ utilidad en miles de soles ?
x → u, σ x 2
P x < 6.71 0.0; ∅
(
6.71−u
σ x
6.71 −u
σ x
u −6.71 1.645
)
(
0.0;
=−1.645 =σ x … 1
14.66 − u
σ x
14.66 −u 2.33
=2.33 = σ x … 2
igualando 1 y 2
P x > 6.71 0.01 1− ∅
n16
σ x
)
= 0.01
u=10
σ x =2
´ ≤ 11)=¿ P ( 10 ≤ x )= ¿ ∅
(
11−10
¿ ∅ ( 2 ) −∅ ( 0 )
2/ 4
)− ( ∅
10−10 2/ 4
)
0.99=2-0.;
0.4==2
11.- La vida @til de cierta marca de llantas radiales es una variable aleatoria ) cu(a distribuci"n es normal con i 3/,000 Am. ( c 3,000 Am. a i la utilidad B en > &ue produce cada llanta est dada por la relaci"n* B 0.2) 100, 7cul es la probabilidad de &ue la utilidad sea ma(or &ue /,900>: b !eterminar el n@mero de tales llantas &ue debe ad&uirir una empresa de transporte para conseguir una utilidad promedio de al menos >=;41 con probabilidad 0.996
Solución: E ( y´ )=0.2 E ( x´ )+ 100
x → 3/00,3000
E ( y´ )=0.2 ( 3800 )+ 100
$ y
a utilidad en
y =0.2 x + 100
σ x var ( y )= n
E ( y )=0.2 E ( x )+ 100
σ y =
E ( y )=0.2 ( 3800 )+ 100
2
600
√ n
P y´ >7541 1-
E ( y )=7700
∅
var ( y )= 0.2 var ( x ) 2
σ y =0.2 σ x = 0.2 ( 3000 ) 600 P y > 8.900 1-
1-
∅
∅
(
8900−7700 600
1-0.9==2
0.022/
600 / √ n
)
0.9961∅
)
(
7541−7700 600 / √ n ∅
( 2)
(
7541−7700
∅
(
( 2.65 )
7541−7700 600 / √ n
) )
2.6; 7541 −7700 600 / √ n
b P y´ > 7541
n100
14.- Cna empresa vende blo&ues de mrmol cu(o peso se distribu(e normalmente con una media de 200 ilogramos. a %alcular la variana del peso de los blo&ues, si la probabilidad de &ue el peso est' entre 16; Ag. ( 23; Ag es 0.9/=6. b 7Du' tan grande debe ser la muestra para &ue 5a(a una probabilidad de 0.993/ de &ue el peso medio de la muestra sea inerior a 20; Ag.:
Solución: )*+ peso en g de mrmol+
x → 200, σ x x 2
165 ≤ x ≤ 235 0.9/=6 P ¿
35
2.; σ x
0.9/=6 ∅
(
0.9/=6
1.9/=62
235−200
σ x
∅
)− ( ∅
165−200
σ x
σ x
∅
0.9/=62
∅
( ) 35
σ x
x´ ≤ 205 0.993/ P ¿
) ¿∅
( )− ( ) 35
−35
2
σ x =14 σ x = 196
(
205− 200 14 / √ n
)
σ x
∅
( ) 35
σ x
2.5=
5 √ n
−1 n =49
14
16.- Cn proceso para llenar cervea en botellas de 620 ml. sure una perdida en el contenido &ue tiene una media de ; ml. ( una desviaci"n estndar dc 1.2 ml. o escogen al aar 36 de tales botellas. i la meda de la muestra est entre 4.; ( ;.; ml. se acepta acepta &ue u; ml., ml., en caso caso contra contrari rioE oE se rec5 rec5a aa a &ue i;. i;. 7%ul 7%ul es la probabilidad de aceptar &ue u; cuando realmente es* u4./ml:
Solución: X :perdida : perdida en ml.
σ x =1.2 ml .
E ( X )=5 ml .
X ;,
2
1.2
4.5 ≤ x ≤ 5.5 / ¿
P ¿
u;
piden 4.5 ≤ x ≤ 5.5 F u4./ P ¿
∅
(
∅
( 3.5 )−∅ (−1.5 )
5.5− 4.5 1.2 / 6
) (
− −∅ 4.5 5.5 1.2 / 6
)
1− ∅ ( 1.5 )
∅
( 3.5 )−¿ G
0.999/-0.066/ 0.9330
1=.1=.- Cna empr empres esa a come comerc rcia ialilia a ardo ardoHH de algod algod"n "n cu(o cu(o peso peso ) se dist distri ribu( bu(e e normalmente con una media de 2;0 Ag. ( una desviaci"n estndar de 4 Ag. l costo por ardo es dado por B a) ;2. allar el valor dc a si se &uiere &ue la media de los costos de 4 ardos sea ma(or &ue >3,100 con probabilidad 0.022/
Solución: )*+ peso de los ardos de algod"n en g.+
E ( y )=a ( 250 )+ 52
x → 2;0, 4 2
var ( y )= a var ( x )
y : costo costo por fardo fardo
var ( y )= a
y = ax + 52
2
2
σ y
E ( y )=aE ( x )+ 52 w´ =
a
2
2
16 16
y 1 + y 2 + y 3 + y 4 4
1−∅
4 E ( ´ w ) = E ( y ) =250 a + 52 4
var ( ´ w )=
4 16
var ( y )=
4
2
a 16
(
3100− 250 a− 52 2a
)
0.022/
16 4
2
a
∅
(
3100−250 a −52 2a
3100 −250 a −52 2a
σ w´ =2 a
)=
0.9772
=2
a =12 P ( ´ w > 3100 ) =0.0228
1!
!einimos la variable aleatoria ?error muestral+
´ −u| | X
. !e todas las muestras
de tamaJo 36 escogidas al aar de la poblaci"n u,324. a 7Du' porcentaK porcentaKe e tendrn tendrn un error muestral muestral ma(or ma(or de 4.;: 4.;:
SOLUCION n36 a
) → u,324.
´ −u|> 4.5 ) P (| X ¿ 1−¿
=18
´ −u|≤ 4.5 ) P (| X
´ −u ≤ 4.5) } ¿ 1−{ P P (− 4.5 ≤ X ¿ 1−{ P P (−4.5 / 3 ≤ ! ≤ 4.5 / 3) } ¿ 1−{ " ( 1.5 )−" (−1.5 ) } ¿ 1−{ 2 " ( 1.5 )−1 }=2−2 ( 0.9332 )= 0.1336
19!
l costo costo de producci"n producci"n en d"lares d"lares de un obKeto es 100 veces el valor valor n@merico n@merico de su longitud. uponga &ue a longitud en metros es una variable aleatoria con distribuci"n normal −4
# ( 0.012, 1.44 x 10 ) .
a 7%ul es la distribuc distribuci"n i"n del costo costo medio medio por obKeto obKeto si se toman al aar n: n: b 7si el precio precio de venta venta de cada obKeto obKeto es >2.00. calcula calcularr la probabilida probabilidad d de &ue si la utilidad promedio por obKeto de 36 obKetos tomados al aar sea a lo ms >0.;:
SOLUCION 1.2 1.44 / n 1.44 2
B* +%osto de producci"n+
y =
)*+Lomgitud+ −4
) → # ( 0.012,1.44 x 10
) .
V =2 − y
b P.2
y =100 x
a
y → ¿
n
E ( V )= 2− E ( y )=2− 1.2 E ( y ) =100 ( 0.012 )=1.2
u y = 0.8 100
( ¿ ¿ 2 ) ( 1.44 x 10−4 ) =1.44 var ( y )=¿
1.44
var ( y )=1.44 v =
36
= 0.04
v → # ( ( 0.8 $ 0.04 )
2
=1.44
P ( v ≤ 0.5 ) ="
(
0.5 −0.8 0.2
) = (− "
1.5 )= 0.0668
"1!
Cn auditor auditor &uiere &uiere tomar una muestra muestra aleatoria aleatoria &ue consiste consiste de 10 000 cuentas por cobrar, donde = $ 2000. 7!e &u' tamaJo debe escoger la muestra si &uiere tener una probabilidad del 9;< de &ue la dierencia entre la media muestral ( la media poblacional no e#ceda el valor de >192:
SOLUCION # =10000 n %
P
= $ 2000
´ −u|≤ 192 ) =0.95 P (| X 2" 2
x =
2000
n
2
(
10000 − n 9999
)
(
´ −u −192 X ≤
x
x
≤
x
( ) 192
x
)=
192
=1.95 → x =
192 1.96
Por lo tanto* 2
192
1.96
= 2
2000
n
2
(
10000 −n 9999
0.95
)
n =401
"5!
Cna empres empresa a &ue &ue 5ace 5ace estudi estudios os de de merc mercado ado &uiere &uiere obtener obtener una muestr muestra a aleatoria suicientemente grande de manera &ue la probabilidad de &ue la proporci"n obtenida a avor de un cierto producto resulte inerior al 3;< sea igual a 0.0062. %alcul ular ar el tama tamaJo Jo de la mues muestr tra a a toma tomarr si se supo supone ne &ue &ue la verd verdad ader era a #$ %alc proporci"n a avor del Mproducto es p0.4 %$ %on el tamaJo de muestra calculado en a ( si se supone verdadero el valor del ´ parme parmetro tro p0.2, determina determinarr el intervalo intervalo Na,bG centra centrado do en p tal &ue P ∈ Na,bG con probabilidad 0.9;
SOLUCION n:
P ( p < 0.35 )=0.0062 ^
p=0.4
a 2
p =
( 0.02 )2=
→
a
0.4 ( 0.6 ) n
&¿
→" 0.4 ( 0.6 )
n
n =600
(
0.35− 0.40
p
)=
0.0062 → p =0.02
→ n=600 p=0.20
[a≤ p≤&] ' =1.96
√
0.2 ( 0.8 ) 600
p− '= 0.032 ^
→
→ ' =0.032 ' =0.232
p +0.032=0.20 ^
p=0.168
HPor lo tanto*
^
[ 0.168 ≤ p ≤ 0.232 ] ^
&1! !e 300 empleados de una empresa se escoge una muestra aleatoria de 300 empleados empleados para una encuesta sobre condiciones condiciones laborales laborales 7%ul es la probabilidad probabilidad &ue la proporci"n muestral a avor de las condiciones laborales est' comprendido en el intervalo 0.=6 ( 0./4, si se estima en /0< del total de empleados el porcentaKe a avor de las condicione laborales:
SOLUCION 3000
n 300
[
P 0.76 ≤ p ≤
0.84
^
p= ^
√
p
=0.80
]
0.80 ( 0.20 ) 3000−300 ( ) 300 2999
p=0.021912554 ^
¿"
(
0.84 −0.8 0.021912554
) ( −"
0.76− 0.8 0.021912554
)
¿ " ( 1.83 )− " (−1.83 )
¿ 0.9664 −0.0336= 0.9328
&"! Cna empresa encuestadora debe seleccionar una muestra aleatoria de una poblaci"n &ue consiste de 3000 electores para una encuesta de opini"n. La empresa estima en 30< del total, el porcentaKe a avor de cierto candidato. 7!e &u' tamaJo debe escoger la muestra si se &uiere tener una probabilidad del 9;< de &ue la dierencia de la proporci"n a avor del candidato n la muestra ( en la poblaci"n no e#ceda la valor de 0.0492:
SOLUCION
3000 p 0.30 n:
P (| p ´ − p|≤ 0.0492 )=0.95
"
(
−0.0492
2"
≤( ≤
p ^
(
^
)
p ^
=
0.0492 1.96
2
)=
= 0.975 → p= ^
2
2
p ^
0.0492
p
0.0492
=
0.95
0.0492 1.96
0.3 ( 0.7 ) 3000− n
n
(
2999
)
→ n =300
&4! %alcular la probabilidad de &ue una muestra aleatoria de tamaJo 13 escogida de 2 2 una poblaci"n normal con variana =4 tenga una variana muestral s^ , #$ Oenor &ue =.01 %$ ntre 1.19 ( 2.1 n 13 # → # ( ( u ) 4 ) a
P ( ^s ≤ 7,01 ) 2
SOLUCION a
P
(
n− 1 2
2
≤ ≤
12 ( 7.01 ) 4
)
P ( x ≤ 21.03 )=0.95 2
&'! Ctiliando la tabla de la distribuci"n F 5allar* * 0.99,15 0.95,10 .15 b 0.99,15 .9 a * 0.95,10
0.05,30 .8 % * 0.05,30
0.01,15 .9 ! * 0.01,15
SOLUCION 0.95,10 .15 2.;4 a * 0.95,10
0.99,15 .9 4.96 b * 0.99,15
1
1
0.05,30 .8 % * 0.05,30 2.27 0.440;2/ * 0.95,8 0.95,8 .30
1 1 * 0.01,15 0.01,1 5 .9 ! * 3.89 0.440;2/ 0.99,9.15
&(! !os muestras aleatorias independientes de tamaJos 21 ( 9 respectivamente se toma toman n de una una mism misma a pobla poblaci ci"n "n &ue &ue est est norm normal alme mente nte distr distrib ibui uida, da, 7cul 7cul es la probabilidad de &ue la variana de la primera muestra sea al menos el cudruple de la variana de la segunda:
SOLUCION O121, O29
P ( + > 4 + ) =1− P ( * 1− , ) 20.8 ≤ 4 ) ^
2
^
2
¿ 1− P ( * 0.975,20.8 0.975,20.8 ≤ 4 ) ¿ 1−0.975 =0.025
9
¿ X 2 / 20 5allar los valores a ( b &! ean. /( ¿ ) X 1 / ¿ /(¿ 2 2 X 1 X ( 9 ) ) X 2 X ( 20 ) y X =¿ tales &ue*
≤ X
P[a
≤ b] 0.92; ( P [ X
≤ a] 0.0;.
SOLUCION 2 2 X 1 X ( 9 ) ) X 2 X ( 20 )
X = X 1 / 9 / X 2 / 20
7a
P [ a≤ X ≤ & ] =0.925
- b:
P [ X X ≤ a ]= 0.05
=2.84 =& * 0.975,9 0.975,9 .20 1
1
= =0.34 = a * 0.05,9 0.05,9 .20 = 2.94 * 0.95,20 0.95,20 .9
4&! l Kee de compras est por decidir si comprar una marca o una marca Q de ocos para la compaJ$a. Para a(udarle a optar por una de ellas se escogen dos muestras aleatorias de tamaJos n1 = 10 ( n2 9 ocos respectivamente de las marcas ( Q, resultando, las desviaciones estndares respectivas s^ 1 200 ( s^ 1 1;0. i la dierencia entre las medias mu'strales es ma(or &ue 1=3 5oras. e acepta &ue 1 / 2 . n caso contrari contrario, o, se acepta acepta &ue 1= 2 . 7%ul es la probabilidad de acept aceptar ar &ue
.1 / .2
cuando cuando realmen realmente te
1= 2 :. e asume &ue la vida @til de
ambas marcas tiene distribuci"n normal con varianas iguales.soluci"n*
sc=
9 ( 200
^
2
) + 8 ( 1502) 17
s c =31764.70588 ^
sc= ^
√
31764.70588 10
+
31764.70588 9
s c =81.88945202 ^
´ 1− X ´ 2> 173 / 01= 02 ] P [ X
[
´ 1− X ´ 2> 173 / 01= 02 ]= 1− P t 17 ≤ P [ X
173 −0 81.88945202
]
´ 1− X ´ 2> 173 / 01= 02 ]= 1− P [ t 17 ≤ 2.1126 ] P [ X ´ 1− X ´ 2> 173 / 01= 02 ]= 1−0.975 P [ X ´ 1− X ´ 2> 173 / 01= 02 ]= 0.025 P [ X ´ ´ RES)UESTA: P [ X 1− X 2> 173 / 01= 02 ]= 0.025 44.- Para comparar los salarios &ue se pagan a los empleados en dos grandes empresas 1 ( 2, se escogen dos muestras aleatorias independientes de tamaJos respectivos n1 16 ( n2 13 respectivamente de 1 ( 2 resultando las desviaciones estndar estndares es respec respectiv tivas as s 1= $ 120 y s2 =$ 55 . i la die dieren renci cia a entre entre las las medi medias as ^
^
muestrales no es ma(or &ue 6; $ se acepta &ue
0 1 / 02 . 7%ul es es la probabili probabilidad dad de aceptar aceptar &ue
acepta &ue
distribuci"n normal con varianas dierentes.
SOLUCI*N: 16
2
55
+ ¿
2
13 2
120 16
r
¿ ¿ ¿2 ¿
55
2
13
¿ ¿ ¿2 ¿ ¿ ¿ ¿ 2
1132.6923
r
0 1 / 02 cuando
0 1=02 % . e asume &ue los salarios en ambas empresas tienen una
realmen realmente te
120
0 1=02 . n caso contrario se
241.8928321
r 21.926
2
r 22
[
]
[
]
´ 1− X ´ 2>65 / 01= 02 P X
[
´ 1− X ´ 2>65 / 01= 02 =1 − P t 22 ≤ P X
65 −0
√
2
120 16
+
55
2
13
]
´ 1− X ´ 2>65 / 01= 02 ]=1 − P [ t 22 P [ X 22 ≤ 1.9313 ]
´ 1− X ´ 2>65 / 01= 02 ]=1 −0.95 P [ X
´ 1− X ´ 2>65 / 01= 02 ]= 0.05 P [ X RES)UESTA:
´ 1− X ´ 2>65 / 01= 02 ]= 0.05 P [ X
46.- Cn abricante airma &ue el 30< de muKeres ( el 20< de 5ombres preieren su nuevo producto de aseo personal. i se 5ace una encuesta a 200 5ombres ( 200 muKeres elegidos aleatoriamente, 7con &ue probabilidad muestral de muKeres menos la proporci"n muestral est en el intervalo N-19<, 19
SOLUCI*N: P 0.30 PO 0.20 allamos la desviaci"n estndar*
= σ P1 P1 − P2 P2
^^
√
0.3 ( 0.7 ) 200
+
0.2 ( 0.8 ) 200
=0.043011626 σ P1 P1 − P2 P2
^^
P [−0.19 ≤ P1 − P2 P2 ≤ 0.19 ]
^ ^ ^− ^
P [−0.19 ≤ P1 P2 P2 ≤ 0.19 ] =∅
(
) (
0.19−0.10 0.043011
−∅ −0.19−0.10 0.043011
)
P [−0.19 ≤ P1 − P2 P2 ≤ 0.19 ] =∅ ( 2.09 ) −∅ (−6.79 )
^ ^
P [−0.19 ≤ P1 − P P 2 ≤ 0.19 ] =0.9817 − 0
^^
P [−0.19 ≤ P1 − P2 P2 ≤ 0.19 ] =0.9817
^ ^
RES)UESTA: P [−0.19 ≤ P1 − P2 P2 ≤ 0.19 ] =0.9817
^ ^
4=.- e escoge una muestra de 600 electores &ue acaban de votar entre las 9 a.m. ( las 3 p.m. para estimar la proporci"n de votantes a avor de los candidatos ( Q. n una encuesta 5ec5a en la v$spera se estim" estim" en 30< ( 3;< los porcentaKes a avor de ( Q respectivamente. 7 cual es la probabilidad de &ue la proporci"n muestral de Q e#ceda a la proporci"n propo rci"n muestral de en al menos 10<:
SOLUCI*N: P 0.30 PQ 0.3; n 600 allamos la desviaci"n estndar*
= σ P3 ^ P3− PA ^ PA
√
0.3 ( 0.7 ) 600
+
0.35 (0.65 ) 600
=0.027 σ P1 ^ P1 − P2 P2
^
P [ P3− PA PA > 0.10 ]
^ ^ ^A > ^− PA P [ P3 P
0.10
^A ≤ 0.10 ] P3 − PA P ]=1 − P [ P3
P [ P3− PA PA > 0.10 ] =1 −∅
^ ^
^
(
0.10−( 0.35− 0.30 ) 0.027
)
P [ P3− PA PA > 0.10 ] =1 −∅ ( 1.85 )
^ ^
P [ P3 − PA PA > 0.10 ] =1 −0.9678
^ ^
P [ P3− PA PA > 0.10 ] = 0.0322
^ ^
RES)UESTA: P [ P3− PA PA > 0.10 ] = 0.0322
^ ^
