BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Dalam pandangan formalis, ”matematika adalah penelaahan struktur abstrak yang didefinisikan secara aksioma dengan menggunakan logika simbolik dan notasi matematika”. Sedangkan secara umum, ”matematika ditegaskan sebagai penelitian pola dari suatu struktur, perubahan dan ruang”. Struktur spesifik yang diselidiki oleh matematika sering kali berasal dari ilmu pengetahuan alam termasuk di dalamnya biologi, akan tetapi yang paling umum berasal dari fisika. Pada perkembangannya, matematika tingkat lanjut digunakan sebagai alat untuk mempelajari berbagai fenomena fisik yang kompleks khususnya berbagai fenomena alam yang teramati agar pola struktur, perubahan ruang dan sifat-sifat fenomena tersebut bisa didekati atau dinyatakan dalam sebuah bentuk perumusan yang sistematis dan penuh dengan berbagai konvensi, simbol dan notasi. Hasil perumusan yang menggambarkan prilaku dan proses fenomena fisik tersebut biasa disebut model matematika. Karena kebanyakan fenomena fisik secara alamiah berujung pada hubungan antara kuantitas dan laju perubahannya, maka dibangunlah kalkulus, yang secara khusus topik tersebut dibahas dalam persamaan diferensial. Persamaan diferensial yang pada mulanya disebut sebagai “ persamaan turunan” merupakan persamaan yang diperkenalkan oleh Leibniz pada tahun 1676
(Finizio dan Ladas, 1988: 1). Secara definisi, ”persamaan diferensial merupakan persamaan yang menyangkut turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas” (Ross, 1984: 3). Dan berdasarkan pada kasus kali ini adalah untuk menyelesaikan persamaan defleksi dengan berbagai metode pendekatan secara numerik, yaitu dengan metode euler, metode heun, metode polygon, metode raltson. Untuk itu dilakukanlah praktikum ini untuk mengetahui perbedaan di antara metode-metode tersebut.
1
1.2 Tujuan
1. Menyelesaikan persamaan profil muka air dengan menggunakan metode euler, heun, polygon, raltson, runge kutta orde 3, dan runge kutta orde 4 2. Mengetahui besarnya nilai atau hasil antara metode euler, heun, polygon, raltson, runge kutta orde 3, dan runge kutta orde 4
2
BAB II TINJAUAN PUTAKA
Metode artinya cara, sedangkan numerik artinya angka, sehingga metode numerik secara harfiah berarti cara berhitung dengan menggunakan angka-angka. Sedangkan secara istilah, metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmetika biasa (tambah, kurang, kali dan bagi) (Munir, 2006: 5). Secara lebih sederhana metode numerik merupakan cabang atau bidang matematika khususnya matematika rekayasa, yang menggunakan bilangan untuk menirukan proses matematika (Djojodiharjo, 2000: 1). Metode numerik disebut juga sebagai alternatif dari metode analitik, yang merupakan metode penyelesaian persoalan matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku atau lazim. Disebut demikian, karena adakalanya persoalan matematik sulit diselesaikan atau bahkan tidak dapat diselesaikan secara analitik sehingga dapat dikatakan bahwa persoalan matematik tersebut tidak mempunyai solusi analitik. Sehingga sebagai alternatifnya, persoalan matematik tersebut diselesaikan dengan metode numerik. Perbedaan utama antara metode numerik dengan metode analitik terletak pada dua hal, yaitu: a) Solusi dengan metode numerik selalu berbentuk angka, sedangkan dengan metode analitik biasanya menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematikyang selanjutnya fungsi matematik tersebut dapat dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka. b) Dengan metode numerik hanya diperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran
approximation) atau solusi pendekatan. Akan tetapi, solusi
hampiran tersebut tersebut apat dibuat seteliti seteliti yang diinginkan. diinginkan. Solusi hampiran tentu tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya, dan selisih tersebut dinamakan sebagai galat ( error ). ). Sedangkan dengan solusi analitik sudah pasti dihasilkan solusi sejati yang sesuai dengan kenyataannya (Munir, 2006:5). 3
Metode penyelesaian persamaan diferensial biasa secara numerik terbagi menjadi 2, yaitu metode satu langkah dan metode banyak langkah. Metode yang termasuk satu langkah adalah metode deret Taylor, metode Euler, metode Runge Kutta dan metode Heun. Sedangkan metode yang termasuk banyak langkah adalah metode Adam-Bashforth-Moulton, metode Milne-Simpson dan metode Hamming. 1. Metode Euler
Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling sederhana. Di banding dengan beberapa metode lainnya, metode ini paling kurang teliti. Namun demikian metode ini perlu dipelajari mengingat kesederhanaannya dan mudah pemahamannya sehingga memudahkan dalam mempelajari metode lain yang lebih teliti. Akan diselesaikan persamaan diferensial biasa dengan bentuk sebagai berikut:
dy
f ( x, y )
dx
Persamaan tersebut dapat didekati dengan bentuk berikut:
dy dx
Δy Δx
yi
1
yi
xi
1
xi
f ( x, y)
atau
yi
1
yi f (x, y)(x i
1
xi )
atau
yi 1 yi Φ Δx ...(1) dengan
adalah perkiraan kemiringan yang digunakan untuk ekstrapolasi dari
nilai yi ke yi
+ 1
yang berjarak x yaitu selisih antara x = xi
+ 1 xi.
Persamaan
diatas dapat digunakan untuk menghitung langkah nilai y secara bertahap. Metode Euler dapat diturunkan dari Deret Taylor:
yi
1
yi
y
' i
Δx
1!
y
'' i
Δx
2
2!
...
4
Apabila nilai x kecil, maka suku yang mengandung pangkat lebih tinggi dari 2 adalah sangat kecil dan dapat diabaikan, sehingga persamaan diatas dapat ditulis menjadi:
yi 1 yi yi'
Δx ....(2)
Dengan membandingkan persamaan (1) dan persamaan (2) dapat disimpulkan bahwa pada metode Euler, kemiringan
= = f ( x xi , yi), sehingga
persamaan (2) dapat ditulis menjadi:
yi 1 yi f (xi , yi ) Δx ...(3) dengan i = 1, 2, 3, … Persamaan (3) adalah metode Euler, nilai yi
+ 1
diprediksi
dengan menggunakan menggunakan kemiringan fungsi (sama dengan de ngan turunan pertama) di titik xi untuk diekstrapolasikan secara linier pada jarak sepanjang pias
x.
Gambar 1,
adalah penjelasan secara grafis dari metode Euler.
Gambar1. Metode Euler Kesalahan Metode Euler
Penyelesaian numerik dari persamaan diferensial biasa menyebabkan terjadinya dua tipe kesalahan, yaitu: 1. Kesalahan pemotongan, yang disebabkan oleh cara penyelesaian yang digunakan untuk perkiraan nilai y.
5
2. Kesalahan pembulatan, yang disebabkan oleh keterbatasan jumlah angka (digit) yang digunakan dalam hitungan. Kesalahan pemotongan terdiri dari dua bagian.
1. Pertama adalah kesalahan pemotongan lokal yang terjadi dari pemakaian suatu metode pada satu langkah. 2. Kedua adalah kesalahan pemotongan menyebar yang ditimbulkan dari perkiraan yang dihasilkan pada langkah-langkah berikutnya. Gabungan dari kedua kesalahan tersebut dikenal dengan kesalahan pemotongan global.
Besar dan sifat kesalahan pemotongan pada metode Euler dapat dijelaskan dari deret Taylor. Untuk itu dipandang persamaan diferensial berbentuk:
y' f (x, y) ....(4) y'
dy
dx
sedang x dan y adalah variabel bebas dan tak bebas. Penyelesaian dari persamaan tersebut dapat diperkiraan dengan deret Taylor: yi 1 yi y
' i
Δx
1!
y
'' i
Δx
2
... y
2!
n i
Δx
n
n!
Rn ...(5)
Apabila persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (5), akan menghasilkan: yi 1 yi f (x i , yi )
Δx
1!
f ' (x i , yi )
Δx
2
2!
f ' ' (x i , yi )
Δx
3
3!
... R n ...(6)
Perbandingan antara persamaan (3) dan persamaan (6) menunjukkan bahwa metode Euler hanya memperhitungkan dua suku pertama dari ruas kanan persamaan (6). Kesalahan yang terjadi dari metode Euler adalah karena tidak memperhitungkan memperhitungkan suku-suku terakhir dari dar i persamaan (6) yaitu sebesar: sebesar:
dengan
t
t
f ' (xi , yi )
Δx
2
2!
f '' (x i , yi )
Δx
3
3!
... R n ...(7)
adalah kesalahan pemotongan lokal eksak. Untuk x yang sangat kecil,
kesalahan seperti yang diberikan oleh persamaan (7)adalah berkurang dengan bertambahnya order (order yang lebih tinggi). Dengan demikian suku
6
yang mengandung pangkat lebih besar dari dua dapat diabaikan, sehingga persamaan (7) menjadi:
dengan
a
a
Δx
f ' ( x i , y i )
2
...(8)
2!
adalah perkiraan kesalahan pemotongan lokal.
2. Metode Heun
Metode Heun merupakan Perbaikan Metode Euler, Metode Euler mempunyai ketelitian yang rendah karena galatnya besar (sebanding dengan h). Kekurangan galat ini diperbaiki dengan menggunakan metode Heun. Pada metode Heun, solusi dari metode Euler dijadikan sebagai solusi perkiraan awal ( predictor ) selanjutnya perkiraan awal diperbaiki dengan metode Heun (corrector ). ). Metode Heun diturunkan sbb : Pandang PDB (Persamaan Differensial Biasa) orde satu
y' ( x) f ( x, y( x) Pr edictor : y (0) r 1 yr hf ( xr , yr )
Corrector : yr 1 yr h 2 [ f ( xr , yr ) f ( xr 1 , y
(0)
r 1
)] ...(*)
Persamaan (*), suku h
2
f x , y f x r
r
r 1
,y
(0)
r 1
Bersesuaian dengan aturan trapesium pada integrasi numerik. Dapat dibuktikan bahwa galat perlangkah metode Heun sama dengan galat kaidah trapezium Galat Metode Heun : E p
h3 12
y '' (t ), xr
t xr
1
O h3
Bukti: Misalkan ; Yr+1 adalah nilai y sejati di xr+1 yr+1 adalah hampiran nilai y di x r+1
7
Uraikan Yr+1 di sekitar xr Menghasilkan:
Y ( xr 1 ) y1 hy'r
h
2
y ' 'r
2
h
3
y' ' 'r ... ...(1)
6
Dengan menyatakan
y'r f ( xr , yr ) f r , maka Persamaan menjadi Y ( xr 1 ) yr hf r
h
2
2
f 'r
h
3
6
f ' 'r ... ...(2)
Dari persamaan (*)
yr 1 yr h 2 [ f ( xr , yr ) f ( xr 1 , y ( 0) r 1 )]
Uraikan
f ( xr 1 , y
(0)
r 1
)
Dengan menggunakan Deret Taylor di sekitar x r , menghasilkan:
f ( xr 1 , y
(0
r 1
) yr hf r
h2
2
f 'r
h3
4
f ' 'r ... ...(3)
Persamaan (*) menjadi yr
1
yr hf r
h2
f 'r
2
h3 4
f ' 'r ... ...( 4)
Galat perlangkah = nilai sejati-nilai hampiran hampiran
Y r
1
h
yr
1
3
12
f ' 'r (t ), xr
t xr
1
3. Metode Poligon
Metode Poligon dapat juga disebut sebagai modifikasi dari metode Euler. Metode Euler digunakan untuk memprediksi kemiringan nilai y pada titik tengah interval. Untuk itu pertama kali dihitung nilai yi
+ 1/2
berikut ini. Gambar 2 adalah
penjelasan dari metode tersebut.
8
