“AÑO DE LA
CONSOLIDACION DEL MAR DE GRAU”
FACULTAD
: FIEE
TEMA
: METODO DE RUNGE KUTTA Y EULER
ESCUELA
: ELECTRICA
CURSO
: ECUACIONES DIFERENCIALES
PROFESOR
: CHAVEZ SANCHEZ WILMER
ALUMNO
: SAMANIEGO LOPEZ DANILO
CODIGO
: 1523120307
2017
INTRODUCCION Dentro de la Ingeniería y otras ciencias hay diversos problemas que se formulan en términos de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, trayectorias balísticas, estudio de redes eléctricas, deformación de vigas, estabilidad de aviones, teoría de vibraciones y otras aplicaciones de aquí la importancia de su solución En el presente trabajo nos enfocaremos en la SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN-Método de Runge kutta del curso de Métodos Numéricos, que va dirigido primeramente al docente del curso y a los colegas estudiantes que llevan el curso ya mencionado, nuestro propósito es desarrollar el tema de una forma breve y entendible claro está utilizando la terminología necesaria en este capítulo, de igual manera se presenta algunos de problemas con el procedimiento completo ,ordenado y de fácil
entendimiento
RESUMEN Cuando se desarrolla el método de Euler para resolver la ecuación diferencial de primer orden Y' = f(X,
(1)
Con la condición inicial = Consiste en aplicar repetidamente la fórmula de recurrencia Yn+1 = Yn + h f (Xn, Yn) donde n = 1, (3) Para determinar la solución de la ecuación diferencial en X = X1, X2, X3, ... Sustituyendo la función f (X, Y) dada en (1), en (3), se tiene que n+ = n + ' Expresión que indica que el método de Euler consiste gráficamente, en ir de un valor Yn conocido de la solución de la ecuación diferencial (1) en un punto, al siguiente por medio de la tangente T1 a la curva integral Y = Y(X) en el mismo punto de la solución conocida, como se muestra en la siguiente figura.
De este planteamiento gráfico puede verse que una mejor aproximación a la solución de la ecuación diferencial se obtendría si en vez de ir por la tangente T1 para determinar la solución en el siguiente Punto Pivote, se utiliza una secante con pendiente igual al promedio de pendientes de la curva integral en los puntos coordenados (Xn, Yn), (Xn+1, Yn+1) en donde Xn+1 y Yn+1 pueden estimarse con el procedimiento normal de Euler, como se muestra en la siguiente gráfica:
Con lo aanterior se obtendría un método mejorado de Euler con error del orden de
definido por la expresión
(5)
en donde f(Xn+1, Yn+1) es el valor de la función f(X, Y) para: X = Xn+1 Y = Yn + h f(Xn, Yn) Observando las expresiones para resolver la ecuación diferencial, puede decirse que ambas consisten en aplicar la fórmula de recurrencia (6)
en donde Φ( ; ) = ( ; )
(7)
EN EL METODO DE EULER (8)
En lo que =
,
En el método de Euler Mejorado. Como se ve, estos métodos tienen los siguientes puntos en común: 1. 2.
son métodos de un paso; para determinar yn+1 se necesita conocer únicamente los valores de Xn y yn del punto anterior. no requieren evaluar ninguna derivada, sino únicamente valores de la función f (x, y).
Estas características dan origen a una gran variedad de métodos conocidos como de runge-kutta la diferencia entre ellos cosiste en la forma como se define la función
que aparece en la expresión (6).
La ventaja de los métodos de Runge-Kutta con respecto al uso de la serie de Taylor, que es también un método de un paso, está expresado en el punto (2) anterior; es decir, los métodos de Runge-Kutta requieren sólo de la función f (X, Y) y de ninguna derivada, mientras que la serie de Taylor sí requiere de la evaluación de derivadas. Esto hace que, en la práctica, la aplicación de los métodos de Runge-Kutta sean más simples que el uso de la serie de Taylor. Un método de Runge-Kutta para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con error del orden , de uso tan frecuente que en la literatura sobre métodos numéricos se le llama simplemente el Método de Runge-Kutta, se dará a conocer sin demostrar y consiste en aplicar la ecuación de recurrencia (6) en donde la función
está dada por la expresión: (10)
En el cual
(11)
La ecuación (10) se obtiene haciendo un promedio de las cuatro pendientes, k1, k2, k3 y k4 a la curva integral, en forma semejante a como se procedió con las pendientes de las tangentes T1 y T2 que dieron lugar a (5).
OBJETIVOS
Objetivo General Aprender a resolver Ecuaciones Diferenciales lineales de primer orden a través del método de Runge-Kutta.
Objetivos Específicos Conocer ventajas y desventajas del método. Comparar el método de Runge-Kutta con la solución de la ecuación resuelta por métodos de integración. Identificar la exactitud del método.
CONTENIDO 1
METODO DE RUNGE KUTTA
El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. El método de Runge-Kutta no es sólo un único método, sino una importante familia de métodos iterativos, tanto implícitos como explícitos, para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s); estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matemáticos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta.
1.1 Método de RUNGE-KUTTA El método de Runge Kutta es un método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales que surge como una mejora del método de Euler. El método de Euler se puede considerar como un método de Runge Kutta de primer orden, el de Heun, es un método de Runge Kutta de orden dos. Los métodos de Runge-Kutta logran la exactitud del procedimiento de una serie de Taylor sin requerir el cálculo de derivadas superiores. Existen muchas variaciones, pero todas se pueden denotar en la forma generalizada de la ecuación yi + 1 = yi + F (xi, yi, h) h Donde F (xi, yi, h) se conoce como la función incremento la cual puede interpretarse como una pendiente representativa en el intervalo. La función incremento se escribe en forma general como:
F = a1k1 + a2k2 +…+ ankn Donde la a son constantes y las K son: k1 = f (xi, yi) k2 = f (xi + p1h, yi + q11k1h) k3 = f (xi + p2h, yi + q21k1h + q22k2h) kn = f (xi + pnh, yi + q2n-1k1h + qn-1,2k2h + …. + qn-1,n-1kn1h) Donde las p y q son constantes. Como cada k es una evaluación funcional, esta recurrencia hace que los métodos Runge-Kutta sean eficientes para la programación. Existen varios tipos de métodos Runge-Kutta al emplear diferentes números de términos en la función incremento como la especificada por n. n = 1, es el método de Euler. Una vez se elige n, se evalúan las a, p y q al igualar la función incremento a los términos en la serie de expansión de Taylor. La versión de segundo orden para la ecuación en su forma generalizada es:
Donde:
Los valores de a 1, a2, p1 y q11 son evaluados al igualar el término de segundo orden de la ecuación dada con la expansión de la serie de Taylor . Desarrollando tres ecuaciones para evaluar las cuatro incógnitas:
suponer el valor de una de ellas. Suponiendo que se especificó un valor para a2, se puede resolver de manera simultánea el sistema de ecuaciones obtenido:
Como se puede elegir un número infinito de valores para a 2, hay un número infinito de métodos Runge-Kutta de segundo orden. a2 = 1/2: Método de Heun con un solo corrector, donde:
a2 = 1 : Método del punto medio.
a2 = 2/3: Método de Ralston.
Siguiendo el mismo razonamiento para n = 3, o sea, Runge-Kutta de tercer orden, el resultado son seis ecuaciones con ocho incógnitas, por lo tanto, se deben suponer dos valores con antelación para poder desarrollar el sistema de ecuaciones. Una versión ampliamente usada es:
Éste es el más popular de los métodos Runge-Kutta de cuarto orden:
1.2 PRIMER METODO DE RUNGE KUTTA Sea dado el punto
, es nuestro interés aproximar
en
dentro de la ecuación diferencial ordinaria Con tal propósito determinemos un punto intermedio
de
modo tal que, reemplazando en las expresiones correspondientes, tendremos que él predictor y corrector en dicho punto intermedio se escribirá:
Por lo cual, en el punto deseado su predictor y corrector será:
Simplificaremos
el
proceso
de
cálculo,
determinando
coeficientes adecuados, así:
Como podemos verificar, reemplazando de acuerdo a las condiciones supuestas
algunos
De esta manera a partir de ( x0, y0) en Y` = f(X, Y) es possible ubicar y1 en
mediante el primer método de RUNGE KUTTA, por medio
de la determinación de los coeficientes de K del modo siguiente
1.3
SEGUNDO METODO DE RUNGE KUTTA
En forma similar, se deduce un segundo método en función al siguiente sistema:
1.4
EXTENSION DEL METODO DE RUNGE KUTTA
Para ecuaciones diferenciales de segundo orden, como
Suele simplificarse su cálculo efectuando el siguiente cambio de variable:
De este modo, el sistema queda entonces reducido a:
Determinándose los coeficientes siguientes:
1.5
EJEMPLOS RESUELTOS
1.5.1 RUNGE –KUTTA PARA SEGUNDO ORDEN, MÉTODO PUNTO MEDIO. Resuelva el siguiente problema de valor inicial en el intervalo de x=0 a x=1. dy
.2 y
yx
2 dx
Donde: y (0) =1 h = 0.25 Solución: yi 1
k 1
yi
k2h
(xi, yi) 1
k = f (x 2
i
2
1
h,y i
2
k h) 1
h , y
k 2 ( x 0
f
k 2 (0
f
k 2
f (0.125,0.85)
k2
0.85(0.125)2
k 2
1.006718
2 1
2
0
(0.25), 1
2
y1
0.748320
Segunda iteración
x1
x0
x1
0 0.25
x1
0.25
k 1
f(x1 , y1 )
k1
(0.748320)(0.25)2
h
( 0.25, 0.748320) .2(0.748320)
0.851432
k 1
1 k 2 f (0.25
2
(0.25) , 0.748320
k 2
f (0.375,0.641891)
k2
0.641891(0.375)2
k 2
0.748320
( 0.680003)0.25
0.578319
Tercera iteración
x1 h x2 0.25 0.25 x2 0.5
1 2
.2(0.641891)
0.680003
x2
(1.2) (0.25))
.2(0.85)
1 (1.006718)0.25
y2 y2
1 2
y1
k 1h)
( 0.851432)(0.25))
1
(0.25) , 0.578319
k 2
f (0.5
k 2
f (0.625,0.509643)
k2
0.509643(0.625)2
2
k 2
0.4125
y3
0.578319
y3
0.4752
x2
h
x3
0.5
0.25
f
(0.75,0.4752)
f(x 3 , y3 )
k1
(0.4752)(0.75) 2
1.2(0.4752)
0.3029 h , y
f
3
2 1
k 2 f (0.75
2
f (0.875,0.4373)
k2
0.4373(0.875)2
y4 y4
x4
2
k 1h)
(0.25) , 0.4752
k 2 k 2
.2(0.509643)
0.75
k 1
k 2 ( x 3
2
( 0.4125)0.25
x3
k 1
( 0.549403)(0.25))
Cuarta iteración
3
1
1
( 0.3029)(0.25))
2
.2(0.4373)
0.1900
0.4752
( 0.1900)0.25
0.4277
x3
h
x4 0.75 x4 1
Vectores solución
X 0
0.25
0.5
0.75
1
RUNGE –KUTTA PARA TERCER ORDEN
1.5.2
Se resuelve el mismo problema anterior pero esta vez mediante el uso del método Runge kutta de tercer grado, de valor inicial, en el intervalo de x=0 a x=1.
dy dx
yx
.2 y
2
Dónde: y(0)=1 h = 0.25
Solución. En el método de Runge kutta de tercer orden se utilizan las siguientes formulas: 1 yi
(k
yi
1
4k 2
6
k 1
(xi, yi ) 1 h,y k = f(x 2
i
k 3
f(x i
2
1 i
h , yi
k 1
f(x0 , y0 )
k1
(1)(0)2
k 1
1.2
f
2 1
h
1
2k 2 h)
(0 ,1)
.2(1)
h , y
k 2 ( x 0
f
k 2 (0
f
k 2
f (0.125,0.85)
k2
0.85(0.125)2
2 1
k 3
k h)
Primera iteración
k 2
k 3 )h
1
2
0
(0.25) , 1
2
k 1h)
1
( 1.2)(0.25))
2
.2(0.85)
1.0067
f(x o
h , yo
1
h
2k 2 h)
1 y1
y0
(k
6
y1
4k 2
0.7445
Segunda iteración
x1
x0
x1
0 0.25
x1
0.25
k 1
f(x1 , y1 )
k1
(0.7445)(0.25)2
k 1
k
k 3 )h
1
h
0.25, 0.7445) .2(0.7445)
0.8468 1
f ( x 2
1
h , y 1
1
2
1
2
f (0.25
k 2
f (0.375,0.6386)
k2
0.6386(0.375)2
k 2
0.6765
k 3
(x1
h , y1
k 1h
k 3
f (0.5,0.6178)
k3
0.6178(0.5)
y1 6
y2 0.57 20
2
(k 1
.2(0.6178)
4k 2
( 0.8469)(0.25))
2
2k 2 h)
0.5870
1 y2
1
.2(0.6386)
(0.25),(0.7445)
k 3 f (0.25
k 3
1
(0.25) , 0.7445
k 2
2
k h)
k 3 )h
( 0.8469)(0.25) 2( 0.6765)(0.25))
Tercera iteración x2= x1+h x2=0.25+0.5
k
1
f ( x
2
2
2 1
k 2 f (0.5
1
h , y 2
(0.25)
f (0.625,0.5041)
k2
0.5041(0.625)2
k 3
h , y2
f(x 2
k 1h
1
( 0.5434)(0.25))
2
k3
0.5038(0.75)
k 3
2k 2 h)
(0.25),(0.5720)
f (0.75,0.5038) 2
( 0.5434)(0.25) 2( 0.4080)(0.25))
.2(0.5038)
0.3212
1 y2
(k
6
4k 2
k 3 )h
1
0.4679
Cuarta iteración
x3
x2
h
x3
0.5
0.25
x3
0.75
k 1
f(x 3 , y3 )
k1
(0.4679)(0.75) 2
k 1
0.5720
.2(0.5041)
k 3
y3
1
0.4080
k 3 f (0.5
y3
,
2
k 2 k 2
2
k h)
0.2986
f
(0.75,0.4679)
1.2(0.4679)
k
1
f ( x 2
3
2
k 2 f (0.75
1
h , y 3
1
2
1
1
(0.25) , 0.4679
k 2
f (0.875,0.4306)
k2
0.4306(0.875)2
k 2
2
k h)
( 0.2983)(0.25))
2
.2(0.4306)
0.1871
k 3
f(x 3
h , y3
k 1h
2k 2 h)
k 3
f (0.75 (0.25),(0.4679)
( 0.2983)(0.25)
2( 0.1871)(0.25))
k3
0.4489(1)
k 3
0.0898
1 y4
y3
(k
6
y4 x4
2
.2(0.4489)
4k 2
k 3 )h
1
0.4206 x3
h
x4 0.75 x4 1
VECTORES SOLUCION:
X 0 0.25 0.5 0.75 1 y 1 0.7445 0.5720 0.4679 0.4206
INTRODUCCION
Considere el problema de calcular la pendiente de una curva desconocida que comienza en un punto dado y satisface una cierta ecuación diferencial dada. Se puede pensar en la ecuación diferencial como una fórmula que nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto de la curva, una vez que el punto ha sido calculado. La idea es que a pesar de que la curva es desconocida en un principio, su punto de comienzo, al cual denotamos por A 0, es conocido. Entonces, de la ecuación diferencial se puede calcular la pendiente de la curva en el punto A 0 y por lo tanto la recta tangente a la curva. Ahora, dando un pequeño paso sobre dicha recta, podemos tomarnos un nuevo punto A 1 y suponer que dicho punto pertenece a la curva, entonces seguimos el mismo razonamiento aplicado anteriormente y volvemos a calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto A 1. Luego de varios pasos tendremos formada una curva poligonal A 0 A 1 A 2 A 3... En general esta curva que obtenemos al aplicar el método no diverge lejos de la curva original, además el error entre ambas curvas se puede minimizar si se dan pasos muy pequeños al avanzar sobre la recta tangente a la curva y además el intervalo sobre el que trabajamos es finito (aunque las cosas son más complicadas para ecuaciones inestables, como se discute más abajo)
FUNDAMENTO El ob jetivo es desarrollar un algoritmo num´erico para resolver el problema de valores iniciales y r ( x ) = ϕ( x, y ),
y (a) = y a;
x
(1) siendo ϕ( x, y ) una funci´on acotada, continua
∈ [a, b]
en la variable x y lipschitziana en la variable y en el dominio [a, b].
Consid´erese en principio el domino [a, b] discretizado en n + 1 puntos equiespaciados: x i = x 0 + ih,
=a
siendo el espaciado h
i = 0, n;
x 0
(2)
h= a
b−
(3)
n
El punto de partida lo constituye el desarrollo en Serie de Taylor de la funci ´on y( x ) en el punto xi+1 de la discretizaci´on del dominio y rr ( x i) 2 ( x i +1 − + . . . y ( x i +1) = y ( x i ) + y r ( x i) ( x i +1 x i ) − x i ) +
(4)
esto es, dado que x i +1 = x i + h y ( x i +1 ) = y ( x i ) + y r ( x i )h + Θ(h2)
(5)
donde Θ(h2) denota los restantes t´erminos del desarrollo en serie que dep enden del factor h2 y/o de potencias sup eriores de h2. Si en esta expresio´n se despeja la derivada primera:
=
y r ( x i)
y restando en ambos miembros ϕ ( x i, y ( x i) ) resulta
y ( x i +1 ) − y ( x i ) − Θ(h) h y ( x i +1 ) − y ( x i ) − ϕ ( x i , y ( x i )) − Θ(h). h
(6)
(7)
y r ( x i ) − ϕ ( x i, y ( x i )) =
Si a continuación se imp one que se satisfaga la ecuación diferencial en cada punto x i , esto es,
y r ( x i ) − ϕ ( x i , y ( x i )) = 0, 1, n (8)
i=
resulta que debe satisfacerse
y ( x i +1) − y ( x i ) h − ϕ ( x i , y ( x i )) − Θ(h) = 0,
El termino −Θ(h) es el la vista
i = 1, n.
“Error de Truncamiento Local del Algoritmo”
(9)
y se denota como τ i (h). A
de la dependencia del orden con h p odemos afirmar que el Métod o de Euler es de primer orden.
La expresio´n (9) es equivalente a 0, n.
y ( x i +1) = y ( x i ) + hϕ( x i, y ( x i )) + hτ i( h), (10)
i=
El algoritmo del Método de Euler consiste en obtener una aproximación a la solución a la ecuación (10) al considerar τ i( h) = 0, resultando
(11)
1.
Consistencia del Método
El Métod o de Euler es consistente ya que, cuando el tama ño de la discretizaci´on h tiende a 0, el error local de truncamiento (τ i (h) = −Θ(h)) también tiende a cero, es decir, τ i (h) 0, n.
2.
→
cuando
0
h
→
0,
∀ i =
(12)
Convergencia del Método
o n” (eT ), esto es la Vamos a analizar el “ Err or Global de Truncamiento” o “ Err or Discretizaci i ´ diferencia entre la solucio´n anal´ıtica y la solución aproximada que proporciona el algoritmo de Euler dado por (11).
Denotaremos por z i al error de truncamiento eT como T e
i
y i (13) i ≡ z i = y ( x i) − ˆ
Si se restan las expresiones (10) y (11) obtenemos
z i +1 = z i + h(ϕ( x i , y ( x i )) − ϕ( x i, ˆ )) + hτ (h), 0, n. (14) y i i
i=
Dado que h > 0, si tomamos valores absolutos en los dos miembros, resulta |z i +1 | = |z i + h(ϕ( x i , y ( x i )) − ϕ( x i , ˆ )) + hτ (h)| y i i y i
(15)
i
Dado que la funci´on ϕ( x, y ) es, p or hipótesis, lipschitziana en y , es decir ∃ k > 0 tal que |ϕ( x i , y ( x i )) − ϕ( x i , ˆ )| ≤ k |y ( x ) − ˆ | = k |z |, y i
i
y i
i
(16)
∀ i,
entonces (15) puede escribirse como |z i +1 | ≤ (1 + hk )|z i | + h|τ i (h)|, 0, n. (17)
i =
Denominemos τ (h) al mayor de los errores de truncamiento locales, esto es τ (h) = max |τ i (h)|, 0, n. (18)
i =
Si la igualdad (17) se aplica de forma recursiva para los valores de i , i − 1, y as´ı hasta 0 se obtiene |z i +1 | ≤ (1 + hk )|z i | + hτ (h) ≤ (1 + hk )2 |z i− 1| + (1 + hk )hτ (h) + ... hτ (h) ≤
(19)
(1 + hk )i +1 |z 0| + (1 + (1 + hk ) + . . . + (1 + hk )i )hτ (h) 1 − (1 + hk )i +1
Por lo tanto: |z i +1 | ≤ (1 + hk )i +1 |z 0 | +
≤
1 − (1 +
hτ (h)
hk ) (1 +i +1 hk )
(1 + hk )i +1 |z 0| +
.
k
τ (h)
.
τ (h)
(20) ≤ (1 + hk )i +1 |z 0| +
k
Por en cuenta que el error inicial (z 0 = y ( x 0) − y ( x )otra = y parte, y ˆ = ysi, tenemos y y 0
que se verifica la desigualdad
ˆ ) es nulo ya que a y 0
a
0
0 ≤ (1 + ξ )n ≤ enξ , ∀ ξ ≥ 0, n ≥ 0, entonces la cota sup erior del error de truncamiento global del m´eto do de Euler es τ (h)
(21)
(i +1)hk
e |z i +1 | ≤ k
(22)
A la vista del resultado anterior, es obvio que el error global de truncamiento del m´eto do tiende a 0 cuando el tama n˜o de la discretizaci´on h tiende a 0, esto es, (23) lı´m |z i +1 | = 0, h→0 p or lo que podemos concluir que el m´eto do de Euler es convergente.
3.
Estabilidad del
todo Mé
Vamos a analizar seguidamente la estabilidad del método de Euler , esto es el comportamiento de la solucio´n num’erico del mismo cuando se perturba el valor de la condición inicial. Para ello consideraremos el algoritmo (11) y el algoritmo del métod o de Euler variando en un valor ε la condici ón inicial ˆi +1 = ψ ˆi + hϕ ( x i , ψ ˆi ), ˆ0 ψ ψ i = 0, n; = y a + ε (24) z el error y analizaremos i = que se produce. ˆ
ˆ
−
ψ
y i i
Si restamos las expresiones de los algoritmos (11) y (24) se obtiene
= −ε i )
ˆ )), z i +1 = z i + h(ϕ( x i , ˆ ) − ϕ( x , ψ z = 0, n; y i
(25
0
i i
que, tomando valores absolutos, resulta
ˆ )|, |z i +1 | ≤ |z i | + h|ϕ( x i , ˆ ) − ϕ( x , ψ = |ε |. (26) y i i i
i = 0, n;
0
Dado que la funci´on ϕ ( x, y ) es lipschitziana, es decir, ˆ )| ≤ k |ˆ ∃ k > 0 tal que |ϕ( x i , ˆ ) − ϕ( x , ψ y i
entonc es
i i
y i
|z |
−
i
ˆ | = k |z |, ψ (27) i
|z i +1 | ≤ |z i |(1 + hk ), (28) 0, n
∀ i,
i =
desigualdad que, aplicada de forma recursiva, conduce a 2 i 1| ≤ . . . |z i +1 | ≤ (1 + hk )|z i | ≤ (1 + hk −) |z
y en consecuencia a
|z i +1 | ≤ (1 + hk )i +1 ε.
≤
(1 +0hk )i +1 |z |
(29)
(30)
Teniendo en cuenta ahora la desigualdad (21), resulta que la cota sup erior del error que se comete en la solucio´n num´erica cuando se perturba la condici o´n inicial es
|z i +1 | ≤ ε e(i +1) hk .
(31)
A la vista del resultado anterior, es obvio que el mayor error que se comete est´a acotado cuando el tama n˜o de la discretizaci´on h tiende a 0, esto es lı´m |z i +1 | = ε, (32) h→0 p or lo que podemos concluir que el m´eto do de Euler es estable.
4.
Convergencia del Método cuando se consideran
los
errores de redondeo en los cá lculos
A continuación, se analiza la evolución del error (z i ) que se comete cuando se compara la solucio´n anal´ıtica exacta y ( x i ) que se obtendría de (10) (si fuese posible hallarla) y ( x i +1 ) = y ( x i ) + hϕ ( x i , y ( x i )) + hτ i (h), i = 0, n; y ( x 0) = y a (33) con la que solucio´n aproximada inexacta (y i ) que proporciona el métod o de Euler si se considera que los cálculos se realizan en un ordenador y se producen, por tanto, errores de redondeo ( ρi ) en las
operaciones, es decir, y i+ 1 = y i + hϕ ( x i , y i ) + ρi +1, = y a + ρ0. (34)
i = 0, n;
y 0
Denominaremos z i al error cometido z i = y ( x i ) − y i. Restando las expresiones (33) y (34), resulta z i+ 1 = z i + h(ϕ( x i , y ( x i )) − ϕ( x i , y i )) + hτ i( h) − ρi +1, = −ρ0, (3
i = 0, n;
z 0
