MECÁNICA DE MATERIALES II
UNIDAD III LEY GENERALIZADA DE HOOKE. 3.1 PROPIEDADES ELÁSTICAS DE LOS MATERIALES. Hasta ahora se han estudiado individualmente el esfuerzo y la deformación, y no se ha comentado nada acerca del material ni mucho menos que debe considerarse como un medio continuo. En esta sección, se relacionará deformación con esfuerzo; por consiguiente, deben introducirse ciertas suposiciones restrictivas con respecto al material del cuerpo. La primera de estas suposiciones considera la linealidad del esfuerzo contra la deformación del cuerpo (zona elástica). Con una relación de esfuerzo-deformación lineal es posible escribir las expresiones generales del esfuerzodeformación (Ley Generalizada de Hooke) como sigue:
σ
xx
K13ε + K14γ x+y K15γ + K16γ zx = K11ε x+x K12 ε + yy zz yz
σ
yy
K22 ε + K 23 ε + K24γ + K 25γ + K 26γ zx = K 21ε + xx yy zz xy yz
K32ε + K33ε + K34 γ + K35γ + K36γ zx σ z=z K 31ε + xx yy zz xy yz
τ
xy
K42 ε + K 43ε + K44γ + K 45γ + K 46γ = K 41ε + xx yy zz xy yz
zx
τ
=yz K 51ε +xx K 52ε +yy K 53ε +zz K54γ +xy K55γ
zx
K62ε + K 63ε + K64 γ + K65γ + K66γ zx = K 61ε + xx yy zz xy yz
τ zx τ
+yz K 56γ
zy
(3.1)
Tensorialmente las ecuaciones anteriores se escriben:
=
Donde K11 a K66 son los coeficientes de elasticidad del material y es independiente de las magnitudes de la deformación y del esfuerzo, siempre y cuando el límite elástico del material no se exceda. Si el límite elástico se excede, la relación lineal entre deformación y esfuerzo ya no se satisface, y las Ecuaciones (3.1) no son válidas.
3.2 ISOTROPÍA EN MATERIALES. Hay 36 coeficientes de elasticidad en las Ecuaciones (3.1); sin embargo, no son todos independientes. Por consideraciones de la energía de distorsión que están más allá del alcance de este curso el número de coeficientes independientes de elasticidad puede reducirse a 21. Esta reducción es bastante significativa; sin embargo, incluso con 21 constantes, las Ecuaciones (3.1) son bastante complicadas. Asumiendo que el material es isotrópico, es decir, que las constantes elásticas son iguales en todas las direcciones e independientes de la elección de un sistema coordenado, los 21 coeficientes de elasticidad se reducen a 2 constantes.
3.3 RELACIONES ESFUERZO DEFORMACIÓN PARA MATERIALES ELÁSTICOS. Con lo anterior las relaciones de esfuerzo-deformación se reducen entonces a
σ
=xxλ
1
+J2 µε
σ
xx
=yyyyλ
1
+J2 µε
yy
σ =zzλ
1
+J2 µε z z (3.2)
τ
= µγ µγ
xy
xy
τ
= µγ µγ
yz
yz
τ z=x µγ µγ zx
donde: J1 = Primer invariante de deformación = (ε (εxx +εyy +εzz). λ = La constante de Lamé. µ = El módulo de cortante.
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Las Ecuaciones (3.2) pueden resolverse para dar las deformaciones como una función de esfuerzo:
λ + µ λ (σ yy + σ zz ) σ xx − 2 µ (3λ + 2 µ ) µ (3λ + 2 µ ) λ+µ λ =y σ − yy (σ + σxx ) 2 µ ( 3 λ + 2 µ) µ ( 3 λ + 2 µ)
ε xx = ε
zz
(3.3)
λ+µ λ ε = zz σ − zz (σ + σyy µ ( 3 λ + 2 µ) 2 µ ( 3 λ + 2 µ) γ
=
1
xy
τ µ
γ
xy
=
yz
1
τ µ
γ zx=
yz
1
)
xx
τ zx µ
Los coeficientes elásticos µ y λ mostrados en las Ecuaciones (3.2) y (3.3) son de un fácil tratamiento matemático en las relaciones generales lineales del esfuerzo-deformación. Experimentalmente, la constante de Lamé λ raramente se usa debido a que no tiene importancia física; sin embargo, el módulo de cortante tiene importancia física y puede medirse fácilmente. Considere el caso bidimensional de cortante puro donde:
σ
=σ
xx
= σ zz= τ zx= τ
=0
yy
yz
τ
= Esfuerzo cortante aplicado
xy
De las Ecuaciones (3.3) , tenemos:
µ =
τ xy
(3.4a)
γ xy
De lo anterior se nota que el módulo cortante µ es la proporción del esfuerzo cortante a la deformación cortante en un estado bidimensional de cortante puro. En una prueba convencional de esfuerzo que a menudo se usa para determinar las propiedades mecánicas de materiales, se usa una barra larga y delgada que se somete a un estado de esfuerzo uniaxial en la dirección x. En este caso
σ
= σ zz= τ
yy
=τ
xy
=τ
σ
=0
zx
yz
= Esfuerzo normal aplicado
xx
De las Ecuaciones (3.3) ,
λ + µ σ xx µ( 3 λ+ 2 µ)
ε =
ε
= yyε = − zz
(a)
xx
λ σ 2 µ( 3 λ + 2 µ)
xx
(b)
En textos elementales de resistencia de materiales, se escriben a menudo las relaciones del esfuerzo-deformación para el caso de deformación uniaxial como sigue:
ε =xx
1
E
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σ
xx
(c)
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ε
=ε = − zz
yy
v E
σ
(d)
xx
Igualando los coeficientes en las Ecuaciones (a) y (b) con los de las Ecuaciones (c) y (d) , tenemos:
µ( 3 λ+ 2 µ)
E =
v=
(3.4b)
λ + µ λ 2 ( λ + µ )
(3.4c)
donde E es que el módulo de elasticidad y ν ν ν es la razón de Poisson, definida como:
v=−
ε y
(3.4d)
ε xx
Las Ecuaciones (3.4b) y (3.4c) indican la conversión de la constante de Lamé λ y el modulo de cortante µ, normalmente los más usados son el módulo de elasticidad E y la razón de Poisson ν. ν ν Para establecer la definición y la importancia física de una quinta constante elástica, considere un estado de esfuerzo hidrostático donde:
σ
=σ
= σ zz= − p
xx
τ
yy
=τ
xy
=τ
yz
= 0
zx
Donde p es la presión uniforme que actúa en el cuerpo. Sumando las primeras tres Ecuaciones (3.1) , tenemos:
−3 p = ( 3λ + 2 µ ) J 1 También:
p = p− =
3λ + 2 µ 3
J= − KJ = − KD 1
1
Así
K =
3λ + 2 µ 3
=
− p D
(3.4e)
La constante K es conocido como el módulo volumétrico y es la proporción de la presión hidrostática aplicada a la dilatación volumétrica. Cinco constantes elásticas λ, µ, E, ν ν y K se han discutido. La constante λ no tiene importancia física y es empleado porque simplifica la parte matemática de las relaciones del esfuerzodeformación. La constante µ tiene importancia matemática y física. Se usa extensivamente en problemas de torsión. Las constantes E y ν ν son las mas ampliamente conocidas de las cinco constantes que se consideraron y se usan en casi todas las áreas de análisis de esfuerzo. El módulo volumétrico K se usa principalmente para calcular cambios de volumen en un cuerpo dado sujetó a presión hidrostática. Como se indicó previamente, hay 2 constantes elásticas independientes. Las cinco constantes discutidas antes se relaciona todas ellas mediante el uso de la Tabla 3.1.
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TABLA 3.1 Relaciones entre las constantes elásticas E λ µ Es igual a: Es igual a: Es igual a: λ , µ µ( 3 λ+ 2 µ)
λ + µ
λ , E
A '+ ( E + 3λ )
4
4λ
6 λ (1 + ν )
λ (1 − 2ν ) 2ν 3 ( K − λ )
λ (1 − 2ν )(1 + ν ) ν 9 K ( K − λ )
2
3K − λ
µ ( 2µ − E ) E − 3 µ 2 µ v
3ν
λ 3K − λ E − 2u 2 µ
µ E 3 ( 3 µ − E ) 2 µ (1 + v )
2 µ (1 + v )
1 − 2v
µ , K
3
A '− ( E + λ )
λ , K
µ , v
K Es igual a: 3λ + 2 µ −
A '+ ( E − 3λ )
λ , v
µ , E
ν ν
Es igual a: λ 2 ( λ + µ )
3 (1 − 2v )
3K − 2 µ
9 K µ
3K − 2 µ
3
3K + µ
2 ( 3K + µ )
E, v
vE
E
E
2 (1 + v )
3 (1 − 2v )
K , E
(1 + v ) (1 − 2v ) 3K ( 3K − E )
3 EK
3K − E
9 K − E
6 K
v, K
9 K − E 3Kv
3K (1 − 2v )
1+ v
2 (1 + v )
2
3K (1 − 2v )
2
A' = E + 2λ E + 9λ
Debido a estas relaciones entre las constantes se usarán E y ν ν casi exclusivamente a lo largo del resto de este curso; si las Ecuaciones (3.4b) y (3.4c) se sustituyen en las Ecuaciones (3.1) y (3.2) se obtienen expresiones para la deformación en términos de esfuerzo y las constantes mencionadas, así:
ε xx=
σ xx− v (σ yy+ σ E
ε yy = ε zz =
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1
1
E 1
E
[σ
yy
) zz
− ν (σ xx + σ zz )] (3.5)
[σ
zz
−ν (σ yy + σ xx )]
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γ xy =
2(1 + ν )
E
τ xy
2(1 + ν )
γ yz =
E
τ yz
γ zx =
2(1 + ν )
E
τ zx
Y para el esfuerzo en términos de la deformación, tenemos:
σ
= xx
σ
= yy
E
(1 − v ) ε + xxv ( ε + εyy ) zz
E
(1 − v ) ε + yyv ( ε + εzz ) xx
(1 + v ) (1 − 2v )
(1 + v ) (1 − 2v )
(3.6) E
(1 − v ) ε + vzz( ε + εxx (1 + v ) (1 − 2v )
σ = zz τ
=xy
E 2 (1 + v )
γ
τ
xy
E
=yz
2 (1 + v )
γ
yz
)
yyy
E
τ =zx
2 (1 + v )
γ
zx
3.4 ECUACIONES DE LA TRANSFORMACIÓN DE DEFORMACIÓN Y RELACIONES DE ESFUERZO-DEFORMACIÓN PARA UN ESTADO BIDIMENSIONAL DE DEFORMACIÓN. Las formas simplificadas de las ecuaciones de transformación de deformación y las relaciones del esfuerzo-deformación asociado con un estado bidimensional de esfuerzo (σ σzz = τzx = τzy = 0) se encuentran usando las Ecuaciones (2.6), haciendo que z' coincida con z y resaltando que en las Ecuaciones (3.16) γ γz x = γ γy z = 0. Debe advertirse que ahora se ha denotado el ángulo entre x' y x como θ. Las ecuaciones obtenidas son:
ε x' x' = ε xx cos 2 θ + ε yy sen 2θ + γ xy senθ cosθ ε y ' y ' = ε yy cos 2 θ + ε xx sen 2θ − γ xy senθ cosθ γ x ' y '
= 2(ε
yy
− ε xx
)senθ cosθ + γ (cos
2
xy
ε z ' z ' = ε zz
θ − sen θ ) 2
(3.7)
γ y ' z ' = γ z ' x ' = 0
Las relaciones del esfuerzo-deformación para un estado bidimensional de deformación son obtenidas sustituyendo σzz = τzx = τyz = 0 en las Ecuaciones (3.6) . Así:
ε = xx
1
(σ E − vσ ) xx
γ
ε
yy
2 (1 + v )
=xy
E
τ
xy
=yy
1
(σ E − vσ ) yy
γ
=yzγ
ε =zz −
xx
=zx0
1
(σ E + vσ ) xx
yy
(3.8)
De una manera similar se obtienen las ecuaciones para los esfuerzos en términos de deformación para el estado bidimensional de esfuerzo de las Ecuaciones (3.6) . Así:
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σ
=xx
E 1− v
2
(ε
+xxvε
σ =zzτ =zxτ
)
yy
=yz0
σ
=yy τ
E 1− v
=xy
2
(ε
)
+yyvε
xx
(3.9)
E 2 (1 + v )
γ
xy
Una relación adicional importante en la que se relaciona la deformación εzz con las deformaciones εxx y εyy en un análisis experimental se obtiene de las Ecuaciones (3.8) sustituyendo σzz = 0. Por lo tanto
ε =zz −
v 1− v
(ε
+xxε
)
yy
(3.10)
Esta ecuación puede usarse para establecer la magnitud o el plano de la deformación principal asociado con un estado bidimensional de deformación. Esta información es útil para determinar la deformación cortante máxima.
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