Capitulo 1
1 . TRIGONOMETRÍA (1) Competencia “Aplica teoremas trigonométricos, senos y cosenos en la interpretación de funciones trigonométricas circulares” Logros Establece las relaciones fundamentales entre las funciones trigonométricas circulares y las utiliza para hacer demostraciones.
1.1. 1.1.1.
ÁNGULOS Clasificación de ángulos
arco coincide con la longitud de su radio.
Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con un mismo origen A éstas se las llama lados y al origen vértice.
1 radián = 57° 17' 44.8'' 360º =
rad
De acuerdo a la medida de los ángulos éstos pueden ser: La medida de los ángulos se hace con grados sexagesimales (°) Un grado sexagesimal es la amplitud del ángulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes iguales. 1º = 60' = 3600'' 1' = 60'' También se suelen radianes que es la ángulo central circunferencia cuya
utilizar los medida del de una longitud de
Agudo: si mide menos de 90º.
Recto: si mide 90º.
Obtuso: si mide más de 90º.
Llano si mide 180º.
Los ángulos negativos giran en el sentido en el que lo hacen las manecillas de un reloj. Un ángulo negativo se puede transformar en un ángulo positivo al sumarle 360º. Ejemplo
Convexo si mide menos que un ángulo llano. En un ángulo mayor de 360° se está midiendo más de una vuelta. Cóncavo si mide más que un ángulo llano.
Nulo si mide 0º, es decir que las semirrectas que forman el ángulo coinciden.
Completo si mide 360º.
Ejemplo Un ángulo de 390º si se representa gráficamente coincide con un ángulo de 30º.
Ejemplo Un ángulo de 760º, si se representa gráficamente coincide con un ángulo de 40º.
Negativo si mide menos de 0º.
Es decir dos vueltas y 40º. Si se divide el ángulo entre 360º. El cociente es el número de vueltas que da. El residuo es el
ángulo resultante que corresponde a la primera vuelta.
Por la posición que ocupan los ángulos pueden ser: Consecutivos cuando tienen el vértice y un lado común.
Adyacentes si tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en prolongación del otro forman un ángulo llano.
opuestos por el vértice si teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro.
Por la su suma los ángulos pueden ser: Ángulos complementarios si entre ambos suman 90°.
Ángulos suplementarios entre ambos suman 180°.
si
Así mismo se puede mencionar algunas relaciones importantes en cuanto a los ángulos se refiere: Ángulos correspondientes: los ángulos 1 y 2 son iguales.
Ejemplo Los ángulos 1 y 3 son iguales. Los ángulos 2 y 4 son iguales.
Ángulos alternos internos Los ángulos 2 y 3 son iguales.
ángulo cuya amplitud es la suma de tantos ángulos iguales al dado como indique el número.
Ángulos alternos externos: los ángulos 1 y 4 son iguales.
La división de un ángulo por un número es hallar otro ángulo tal que multiplicado por ese número da como resultado el ángulo original.
÷4=
1.1.3. 1.1.2.
Operaciones con ángulos
La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la suma de las amplitudes de los dos ángulos iniciales.
La resta de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la diferencia entre la amplitud del ángulo mayor y la del ángulo menor.
La multiplicación de un número por un ángulo es otro
Construccione s
Para dibujar la bisectriz de un ángulo se deben seguir las siguientes instrucciones: Con centro en el vértice del ángulo se traza una circunferencia de cualquier amplitud. Desde los puntos de corte de la circunferencia con los lados del ángulo se trazan dos circunferencias con el mismo radio. La recta que pasa por el vértice del ángulo y uno de los puntos de corte de las circunferencias es la bisectriz.
Las bisectrices de un triángulo son cada una de las rectas que dividen a un ángulo en dos ángulos iguales.
El incentro es el punto de corte de las tres bisectrices. El incentro es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo. EJERCICIO 1 Con un compás y una regla, dibuje el incentro de lo siguientes triángulos.
Cuando se miden ángulos suele usarse dos tipos diferentes de sistemas de medición; los grados sexagesimales y los radianes. Para convertir de un sistema a otro es necesaria la equivalencia ; de esta manera se puede encontrar el ángulo en cualquiera de los dos sistemas.
3. 15º
Ejemplo A cuántos grados equivalen radianes:
4. 46º Ejemplo Convertir
a radianes
5. 188º EJERCICIO 2 Escriba en radianes siguientes ángulos:
los
1. 125º
2. 75º
6. 335º
11.
radianes
Escriba en grados los siguientes ángulos: 7.
radianes
1.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICA S
8.
9.
radianes
radianes
La trigonometría es la parte de la matemática que se dedica a estudiar los triángulos, y las relaciones que existen entre sus lados y sus ángulos. Aunque ésta rama de la matemática es muy amplia, en este texto se dedicará especial énfasis a la descripción de las funciones trigonométricas, las demostraciones de identidades trigonométricas y la solución de ecuaciones que incluyan funciones trigonométricas. El triángulo rectángulo es aquél en que uno de sus ángulos es recto. Si es cualquier ángulo agudo, se puede considerar un triángulo rectángulo que tiene como uno de sus ángulos y el otro ángulo es la diferencia .
10.
radianes
Al relacionar los lados del triángulo rectángulo, se obtienen 6 razones entre las longitudes de los lados a, b, c.
Así se puede representar a las funciones trigonométricas como:
c a
Hip o t e nus a Op ue s t o
b
,
,
,
,
,
Ad ya c e nt e
Así para cada valor de , las seis relaciones quedan determinadas en forma única y, por consiguiente, son funciones de . Se llaman funciones trigonométricas, y sus nombres específicos son seno, coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente. El símbolo, , indica la relación
que la
función seno asocia con . Los valores de las otras cinco funciones se representan de manera semejante. Las funciones seno y cosecante son recíprocas entre sí, lo mismo pasa con la función coseno y secante, y tangente y cotangente.
A los lados del triángulo. Cuyas longitudes son a, b, c, se les llama hipotenusa que siempre es el lado más largo, cateto adyacente, si forma parte del ángulo, cateto opuesto si no forma parte del ángulo.
Antiguamente se utilizaba una tabla de funciones trigonométricas para deducir los valores de cada función, pero actualmente el uso de la calculadora facilita dicha actividad.
Si el ángulo que se tiene es en grados, la calculadora se programa del modo y se utiliza la función trigonométrica que se desea.
procede de la misma forma que en el caso anterior.
En la calculadora los ángulo están en grados, y posteriormente en decimales. Para convertirlos en sexagesimales se utiliza la tecla ° ʹ′ ʺ″ que devuelve además de los grados, los minutos y segundos del ángulo.
Calcular el seno de
Ejemplo Cuántos grados, minutos segundos son 37.89º
y
Ejemplo
EJERCICIO 3 Obtenga el valor aproximado a tres cifras decimales: 1) Sen 53º 30´
37.89º = 37º 53ʹ′ 24ʺ″ Ejemplo Cuantos grados son 96º 42ʹ′ 12ʺ″
2) Cos 138º 29´
96º 42ʹ′ 12ʺ″ = 96.70º Para la función inversa, se aplica la función recíproca a la que se quiere, y luego se aplica la función inversa en la calculadora.
3) Tan 251º 11´
Ejemplo Encontrar la cotangente de 25º La recíproca de la cotangente es la tangente (que es la que está en la calculadora). 4) Cot 15º 12´
Si el ángulo a buscar está dado en radianes, la calculadora se programa en el modo , y se
5) Sec 77º 52´
6) Csc 44º 41´
7) sen
Todos ángulos internos de un triángulo miden 180º o lo que es lo mismo radianes, de modo que sabiendo el valor de dos de sus ángulos, se puede encontrar el tercero. Ejemplo
8) cos
Dos ángulos de un triángulo miden 43º y 28º, ¿cuánto mide el tercer ángulo?
Ejemplo 9) tan
,
¿Cuánto mide
el otro ángulo?
10)
cot
EJERCICIO 4 Encuentre el ángulo que hace falta. 1)
11)
sec
12)
csc
,
2)
,
1.2.1.
3)
4)
Aplicaciones donde intervienen triángulos rectángulos
La trigonometría se creo para ayudar a resolver problemas en los que intervienen ángulos y las longitudes de los lados de los triángulos. La notación que se usa frecuentemente asigna a los ángulos las letras griegas , , . Los lados opuestos a estos ángulos se designan con letras mayúsculas A, B, C, respectivamente.
,
,
En los siguientes ejemplos se sobreentiende que el estudiante ya tiene la suficiente habilidad para calcular los valores de las funciones trigonométricas y de los ángulos, empleando calculadora y sabiendo despejar eficientemente las ecuaciones. Ejemplo Resolver el siguiente triángulo rectángulo: C A 3 4º 1 0 .5
La suma de los ángulos internos de todo triángulo equivale a 180º, por tanto:
Para calcular el lado C, se usa cualquiera de las funciones seno o secante, pues se conoce el lado adyacente al ángulo y el ángulo; dado que la calculadora únicamente tiene la función coseno, se utilizará esta:
hilo del barrilete mide 90 pies de largo y forma un ángulo de 22º con el suelo, calcule la altura a la que se encuentra el barrilete.
9 0 p ie s
Para encontrar el otro lado la función más adecuada es la tangente o cotangente, ya que si se conoce el ángulo y su cateto adyacente, el cateto a encontrar es el opuesto.
El símbolo “ ”, indica que no se han usado todos los decimales de la función, por tanto el resultado es aproximado. Para comprobar si las respuestas son correctas, se puede utilizar la igualdad: También conocida como Teorema de Pitágoras.
el
Suele llamarse ángulo de elevación, cuando en un problema el ángulo se mide tomando como referencia el horizonte hacia arriba;
22 135 o p ie s
Dado que lo que se quiere encontrar es el cateto opuesto al ángulo de elevación, y se conoce la hipotenusa, la función trigonométrica adecuada es la función seno:
Si el ángulo de un problema se mide de ésta línea de horizontal hacia abajo se llama ángulo de depresión. Ejemplo Desde la azotea de un edificio que da al mar, un observador ve un barco navegando directamente hacia el edificio. Si el ángulo de depresión del barco cambia de 25º a 40º, calcular la distancia que recorre el barco. La altura del edificio es de 100 pies.
Ejemplo Un barrilete se queda atascado en las ramas de un árbol. Si el
x
d
Al observar la gráfica se puede concluir que:
5
2 x
2)
La distancia que recorrió el bote es la diferencia entre ambas distancias: pies. EJERCICIO 5 Calcule los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo . 1) 5 4
3) 3
c
1 3
Resuelva problemas:
8 x 6 0º y
4)
x y
5)
7
4 0º
los
siguientes
6) Una montaña, tiene una altura aproximada de 3780 metros. Un escalador observa que el ángulo del suelo a la cumbre es de 30º . Calcule la distancia a la que se encuentra de la base de la montaña.
7) Un aeroplano que vuela a una altura de 1500 metros, desea llegar a una pista formando un ángulo de depresión de 10º. Calcule la distancia del avión a la pista de aterrizaje.
8) Una escalera de 6 metros de largo esta apoyada contra el muro vertical de una construcción, donde forma un ángulo de 22º. Calcule la distancia que hay entre el muro y el pie de la escalera.
9) Un vaso cónico de papel tiene 2 pulgadas de radio. Calcule que ángulo forman sus paredes del vaso, de tal modo que el cono contenga 20 pulgadas3 de líquido.
10) Calcule el ángulo aproximado de elevación del la luz de un farol, cuando una persona de 1.52 metros de alto proyecta una sombra de 1.22 metros de largo sobre un terreno horizontal.
Este principio puede ayudar a graficar las otras funciones trigonométricas de la manera siguiente:
1.2.2.
Gráfica de las funciones trigonométricas
Al hacer las graficas de las funciones trigonométricas, se debe suponer que los ángulos están dados en radianes. Para ello se deben localizar puntos en un plano coordenado. Considerando que las funciones trigonométricas corresponden a medidas cíclicas que se repiten cada radianes (1 vuelta), lo más adecuado es calibrar el plano cartesiano en múltiplos de .
1 0 -1 0 1
Ejemplo Graficar la función
0 1
0
0
-
-1
0
0
0
2
Al estudiar el movimiento de esta función, se puede observar que en los puntos donde el dominio es múltiplo de
la función no
tiene solución, esto es porque en dichos puntos la función tiende a ir al infinito sin tocar la recta vertical, que se denomina asíntota.
Observe que al ser la función cosecante, la inversa de la función seno, ambas tienen una estrecha relación:
0 0 -1 1 -
-1 1 -
Comparada con inversa coseno:
su
función
Estas gráficas sirven de referencia para encontrar las de funciones trigonométricas más complejas, donde la función se ve alterada por otros datos:
Luego con ella de referencia se grafica la función solicitada.
Ejemplo: Graficar Primero función
se
encuentra :
la Otra situación puede ocurrir si se agrega alguna constante, lo que traslada la grafica hacia arriba o hacia abajo, Ejemplo: Grafique
Con ella de referencia se grafica la función
EJERCICIO 6 Graficar las siguientes funciones trigonométricas:
Ejemplo Graficar Primero función
se
encuentra :
la
1.
4.
2.
3.
5.
6.
1.2.3.
Identidades trigonométricas
Cuando en una ecuación, el lado derecho es exactamente igual al lado izquierdo, se dice que es una identidad. En trigonometría existen identidades básicas que facilitan la comprobación de esta igualdad. Identidades recíprocas: 7.
Identidades de tangente y cotangente
Identidades pitagóricas
Para simplificar expresiones trigonométricas se utilizan las anteriores identidades trigonométricas y manipulaciones algebraicas fundamentales.
En ocasiones no basta con aplicar identidades, sino que también es necesario aplicar álgebra fundamental. Ejemplo Verificar
la
identidad
Ejemplo Comprobar
la
identidad
Para ello se transforma el lado izquierdo para obtener el derecho.
Otra técnica es llevar los dos términos a una expresión común. Ejemplo Verifique la siguiente identidad trigonométrica En otro ejemplo la expresión que se modifica es la del lado izquierdo, para llegar a la del lado derecho. Esto se decide observando cual de las dos expresiones es más complicada. Ejemplo Comprobar
la
identidad
EJERCICIO 7 Verifique identidades:
las
siguientes
1)
4)
5) 2)
3)
1.2.4.
Ecuaciones trigonométricas
Una ecuación trigonométrica es aquella que contiene expresiones trigonométricas. Cada identidad que se vio en la sección anterior es un ejemplo de ecuación trigonométrica en la cual todo número en el dominio de la variable es una solución. La diferencia principal radica en que
primero se despejan , , etc., de la ecuación trigonométrica y, a continuación, se determinan los valores del ángulo que satisfaga la ecuación aplicando la función inversa. La calculadora es un auxiliar para calcular la función inversa de las funciones trigonométricas, así la función inversa de es , la función inversa de es y la función inversa de es ; también suele llamárseles arco seno, arco coseno y arco tangente.
Ejemplo Resolver la ecuación trigonométrica y expresar la solución en radianes y en grados.
Ejemplo Resolver la ecuación
Si la calculadora esta programada en la función , la respuesta será en radianes. Si se programa en la función la respuesta será en grados.
EJERCICIO 8
Ejemplo
Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas:
Resolver la trigonométrica
ecuación
1)
2)
1.3. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 1 EJERCICIO 2 1. 2. 3. 3) 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 4)
EJERCICIO 3 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
1.
12. EJERCICIO 4 1. 2.
2. 3. 4.
rad
EJERCICIO 5
3.
1.
2.
4.
3.
4. 5. 5. 6. 7. 8.
6.
9. 10. EJERCICIO 6
7. EJERCICIO 7
1.
1. 2.
2.
3. 4.
3.
4.
5. EJERCICIO 8
Capitulo 2
2. TRIGONOMETRÍA(2) Competencia “Aplica teoremas trigonométricos, senos y cosenos en la interpretación de funciones trigonométricas circulares” Logros Emplea las leyes de seno y coseno en las funciones trigonométricas.
2.1. LEY SENOS
DE
Un triángulo oblicuángulo es el que no tiene ángulo recto. Para resolver este tipo de triángulos un recurso es la llamada Ley de Senos que en términos sencillos se enuncia:
o su equivalente
C 4 8º
Los dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos,
b)
Dos ángulos y cualquier lado.
Para calcular C,
Ejemplo Dado el siguiente triángulo, con , ,y , calcular las partes restantes:
4 7
5 7º
Como se conoce el lado B y los tres ángulos, se puede calcular A empleando:
Para aplicar éstas fórmulas a un triángulo específico, se deben conocer los valores de tres de las cuatro variables. a)
A
Ejemplo
Resolver oblicuángulo ,
el con
triángulo ,
Aplicado la fórmula:
Para encontrar restante:
el
2)
,
,
3)
,
,
ángulo
Para encontrar el lado faltante:
EJERCICIO 9 Calcule las partes restantes de los siguientes triángulos: 1)
,
,
4)
,
,
6) Una carretera recta forma un ángulo de 15º con la horizontal. Cuando el ángulo de elevación del Sol es 57º, un poste vertical al lado de la carretera forma una sombra de 75 pies de largo pendiente abajo. Calcule la altura del poste.
5)
,
,
7) Un hombre de 5 pies y 9 pulgadas de altura se para en un anden que se inclina hacia abajo con un ángulo constante. Un poste vertical de luz situado directamente detrás de él proyecta una sombra de 18 pies de largo. El ángulo de depresión desde la altura del hombre hasta la punta de la sombra es de 31º. Encuentre el ángulo de inclinación del andén.
8) La torre inclinada de Pisa tenía verticalmente una altura de 179 pies. A causa del asentamiento del terreno, hoy se desploma un ángulo respecto a la vertical. Cuándo la parte superior de la torre se observa desde un punto a 150 pies el centro de su base, el ángulo de elevación es 53.3º Determine al ángulo .
2.2. LEY COSENOS
DE
Cuando los triángulos oblicuángulos presentan las siguientes características: a)
Se conocen dos lados y el ángulo entre ellos.
b)
Se conocen solamente los tres lados.
La Ley de senos no es aplicable; entonces se recurre a la Ley de cosenos que en términos sencillos se escribe así:
Esta Ley es aplicable como complemento de la Ley de Senos, o incluso se puede aplicar conjuntamente, Ejemplo Resolver el triángulo del cual se conocen , , . Primero se calcula B, pues se conoce el ángulo opuesto a este lado: El otro ángulo se puede obtener con la Ley de senos:
El tercer ángulo es más sencillo de calcular:
40 p ie s
72 p ie s 17º
Si del triángulo únicamente se conocen sus lados, se puede utilizar también la Ley de Cosenos de la siguiente forma: Ejemplo Dado un triángulo oblicuángulo que tiene lados A=90, B=70 y C=40.
pies. EJERCICIO 10 Resuelva y dibuje los triángulos con las siguientes características: 1)
,
,
2)
,
,
El mismo procedimiento se puede usar para encontrar el siguiente ángulo:
Para el tercer ángulo:
Ejemplo Un poste vertical de 40 pies de alto se eleva en una pendiente que forma un ángulo de 17º con la horizontal. Calcular la longitud mínima del cable que llegue desde la punta del poste a un lugar 72 pies cuesta debajo de la base.
4)
3)
,
,
,
,
5)
,
,
6) Un terreno triangular tiene lados de 420 metros, 350 metros y 180 metros de longitud. Calcule el ángulo más pequeño del terreno.
8) Para determinar la distancia entre los puntos A y B, un tipógrafo escoge el punto C que está a 420 yardas de A y a 540 yardas de B. Si el ángulo entre A y B mide 63º calcule la distancia entre A y B.
7) Un avión vuela a 168 millas desde el punto A en dirección 130º, y después 80 millas en dirección 245º, ¿qué distancia ha recorrido desde A?
2.3. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 2 Ejercicio 9 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Ejercicio 10 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Capitulo 3
3. FUNCIONES EXPONENCIALES LOGARÍTMICAS
Y
Competencia “Emplea las funciones exponencial y logarítmica para representaciones gráficas” Logros Resuelve problemas logarítmica.
con
funciones
exponencial
y
Emplea correctamente las funciones logarítmicas.
3.1.
POTENCIAS
La potenciación es una operación que presenta las siguientes propiedades:
Al multiplicar dos potencias de igual base, se copia la base y se suman los exponentes.
Al elevar a una potencia una potencia, se copia la base y se multiplican los exponentes:
Ejemplo
Ejemplo
Al dividir dos potencias de igual base, se copia la base y se restan los exponentes:
La potenciación es distributiva respecto a la multiplicación y a la división, así: ;
Ejemplo
Ejemplo
Toda potencia “cero” es igual a 1, a excepción de cero.
5.
Ejemplo
6.
Las potencias negativas, indican que la base es la recíproca de dicha potencia:
7. Ejemplo:
8. EJERCICIO 11 Resuelva las potencias indicadas: 1. 9. 2. 10. 3. 11.
4. 12.
19. 13.
20.
14.
21.
15.
22. 16.
17.
23.
18. 24.
Evalúe las expresiones:
siguientes Encuentre el valor de la expresión si a= 2, b= -3 y c= -1
25. 33. 26.
34.
27. 35.
28. Simplifique y elimine cualquier exponente negativo.
36.
29.
37. 30.
38. 31.
39. 32.
40.
41.
3.2. FUNCION EXPONENCIAL 42.
43.
Una función exponencial es aquella donde la ecuación que la define es: La grafica de está función se puede representar de la siguiente manera: Ejemplo Graficar
44.
45.
46.
47.
Todas las curvas son crecientes, tienen una asíntota horizontal y cuando los valores de son mayores que 0, y procediendo de izquierda a derecha, las curvas crecen con más rapidez a medida que se hace más grande la base. Si los valores de son menores que 0, avanzando de derecha a izquierda, las curvas bajan con más rapidez cuando aumentan los valores de la base.
Los valores constantes en una función exponencial, indican diferentes cambios en su grafica.
Si la variable es negativa, la función en ves de crecer, decrece.
Ejemplo;
Ejemplo
Graficar
Graficar
Ésta constante traslada arriba o abajo la curva exponencial.
3.2.1.
Ejemplo Graficar
Al sumar una constante al exponente la grafica crece más aprisa, y al restar la pendiente de la misma es menor. Ejemplo Graficar
Aplicaciones
Se pueden utilizar funciones exponenciales para representar el crecimiento de algunas poblaciones. Por ejemplo, suponga que se observa experimentalmente que el número de bacterias en un cultivo se duplica cada día. Si al comienzo hay 1000 bacterias, entonces se tiene la siguiente tabla, en la cual es el tiempo, en días, y es la cantidad de bacterias cuando el tiempo es . 0 1 2 3 4 Resulta que
1000 2000 4000 8000 16000
Con esta fórmula se puede predecir la cantidad de bacterias presentes en cualquier momento . Ejemplo Cuántas bacterias se habrán desarrollado cuando han transcurrido dos días y medio (
).
Algunas cualidades físicas decrecen en forma exponencial. Uno de los casos más comunes del decrecimiento exponencial es la desintegración de una sustancia radiactiva. La semivida de un isótopo radioactivo es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la cantidad original en una muestra dada. La semivida es la característica principal que se usa para diferenciar una sustancia radioactiva de otra. El isótopo de Polonio ( ) tiene una semivida aproximada de 140 días. Si hay al principio 20 mg. de , entonces la siguiente tabla indica la cantidad que queda después de cierto tiempo. 0 140 280 420 560
20 10 5 2.5 1.25
La función es más o menos
El interés compuesto es buen ejemplo del crecimiento exponencial. Si una suma de dinero C, que se llamará monto inicial o capital inicial, se invierte a una tasa de interés simple , entonces el interés final de un período de tiempo es el interés , donde el interés está expresado como decimal. Si se vuelve a invertir el interés ganado en una unidad de tiempo, entonces el monto que se acumula es: Después de otro período, se vuelve a reinvertir el capital con sus respectivos intereses y se calcula , El siguiente cálculo es similar: Se nota entonces que el capital que se ha ido acumulando responde a la función:
Donde son los períodos de tiempo que el capital ha estado invertido a la tasa de interés , y es la cantidad de períodos en que se divide la tasa de interés. El interés acumulado más el capital inicial de acuerdo con esta fórmula se denomina interés compuesto. Ejemplo Suponga que se invierten Q1000.00 a un tipo de interés de 9% anual compuesto calculado
mensualmente. Calcule el monto total después de 5, 10 y 15 años. Dado que el interés se calcula cada mes, .
5 10 15
1565.68 2451.36 3838.04 3.
EJERCICIO 12 Grafique las siguientes funciones exponenciales.
4.
1.
Resuelva ecuaciones: 5.
2.
las
siguientes
6.
9.
7.
Resuelva problemas:
8.
los
siguientes
10. El número de bacterias en determinado cultivo aumentó de 600 a 1800, de las 7 a las 9 horas. Si se supone que el crecimiento es exponencial, la cantidad donde es el número de horas. ¿Cuántas bacterias de cultivo habrán a las 8, 10 y 11 am.
11. Según la Ley de Newton del enfriamiento, la rapidez a la cual se enfría un objeto es directamente proporcional a la diferencia de las temperaturas del objeto y el medio que lo rodea, La cara de una plancha casera se enfría de 125ºF a 100ºF en 30 minutos, en un recinto que permanece a una temperatura constante de 75ºF. Según el cálculo, la temperatura, de la plancha a las horas de enfriamiento es . Si la plancha se apaga a las 13:00 horas, calcule la temperatura de la plancha a las 14:00, 15:30 y 16:00 horas.
3.2.2.
Función exponencial natural
Observe como se comporta esta función:
1 10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000
2.00000000 2.59374246 2.70481383 2.71692393 2.71814593 2.71826824 2.71828047 2.71828169 2.71828181 2.71828183
Mientras los valores de se hacen cada ves más grandes, (tienden al infinito), el valor de la función se acerca cada ves más a 2.71828183…que es llamado el numero . Si observa la fórmula de interés compuesto del apartado anterior:
Si convierte a
, se tiene:
Simplificando:
Ejemplo
Ejemplo
Suponga que deposita Q20,000 en una cuenta del mercado de valores que paga interés a un 8% anual compuesto continuamente. ¿Cuál es el saldo de la cuenta después de 5 años?
El logaritmo de cualquier base de 1 siempre es 0.
Los números mayores que 1 tienen logaritmos positivos.
Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo.
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
Ejemplo:
3.3. S
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.
LOGARÍTMO
El logaritmo de un número es el exponente a que hay ue elevar otro número llamado base para obtener el número dado.
Ejemplo:
, entonces Ejemplo Por tanto el logaritmo de base 5, de 1, es 0. Es decir:
Ejemplo:
La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa.
Los números negativos no tienen logaritmos.
El logaritmo de la base es 1.
El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.
El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido entre el índice de la raíz.
Ejemplo:
Los logaritmos más comunes, son también llamados logaritmos
vulgares, y son los que tienen como base el 10.
3. Log 18
4. Log 1505 Al utilizar logaritmos vulgares, se sobreentenderá que cuando no aparezca la base del logaritmo, ésta será 10. Los logaritmos constan de una parte entera llamada característica, y una parte decimal, llamada mantisa.
5. Log 12
Esto quiere decir que: Observe que mientras más decimales se utilicen como exponente, el resultado será más exacto.
6. Log 9.8
EJERCICIO 13 Con calculadora determine el logaritmo que se le indica: 1. Log 55 7. Log 0.181
2. Log 120
8. Log 23.5
12.
9. Log 2.65
13.
10. Log 1.8
14.
Aplicando logaritmos, determine el valor de x 11.
15.
3.4. FUNCIÓN LOGARÍTMICA 16.
Una de las propiedades de la función exponencial es que es función biunívoca, es decir que tiene una función inversa cuya gráfica se puede obtener reflejando la grafica de en la recta . La función función inversa,
17.
La ecuación el exponente de . En casos como palabra logaritmo exponente.
, tiene su dice que es que produce éste se usa la en lugar de
Entonces se puede decir que es el logaritmo de que produce . Esta descripción se puede abreviar en: Ejemplo Graficar 18.
Como las funciones y son inversas entre sí, se procede inicialmente a graficar la función y después se refleja en la recta y = x. Con ello se obtiene la grafica de
Al usar el teorema de los logaritmos, se puede aplicar para solucionar ecuaciones que incluyan éstos: Ejemplo Resolver la ecuación
Ejemplo Resolver
la
ecuación
Cuándo no se indica la base, se sobreentiende que ésta es 10.
Ejemplo Otra aplicación es la semivida de una sustancia radiactiva, por ejemplo, un investigador observa que una sustancia radioactiva desconocida indica 2 000 cuentas por minuto en un contador Geiger. Diez días después ve que incida 1 500 cuentas por minuto. Sabiendo que el número de cuentas por minuto es directamente proporcional a para cierta constante c. Determinar la vida media de la sustancia. Dado que:
De esta forma: Entonces, Ejemplo En el caso de utilizar logaritmos naturales, resolver La solución también es evidente: Entre algunas aplicaciones que se dan al uso de funciones logarítmicas encontramos: Escala de Richter: la magnitud R de un sismo de intensidad I esta dada por:
Si la intensidad de un sismo es de 1000 calcular la magnitud de su intensidad:
Como la vida media es el tiempo en que la sustancia se reduce a la mitad (1000), entonces:
EJERCICIO 14 Exprese en forma exponencial: 1.
7.
2.
3.
4.
8.
5.
Trace la gráfica de la función y a partir de ella encuentre la inversa de dicha función. 6.
9.
Dadas las siguientes gráficas estime la ecuación para cada una de ellas:
12. 10.
11. 13.
Resolver la ecuación
En ocasiones la ecuación presenta logaritmos con bases diferentes a 10 o a logaritmos naturales, en estas situaciones es conveniente cambiar la base del logaritmo para que pueda emplearse la calculadora para encontrar la solución. 14. Ejemplo Calcular
Ejemplo Resolver la ecuación
3.5. ECUACIONE S EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Al resolver ecuaciones exponenciales o logarítmicas, se usan logaritmos y sus respectivas propiedades: 1) 2)
3) Ejemplo
Ejemplo La ley de Lambert y Beer dice que la energía luminosa, , que penetra hasta la profundidad de x metros en el agua de mar, es donde
es la intensidad de la luz en la superficie y c es ¼, que determina la profundidad donde se puede efectúa la fotosíntesis. Despejar x utilizando logaritmos naturales y encontrar la profundidad.
3)
EJERCICIO 15 Resuelva ecuaciones:
las
siguientes
1)
4)
2)
5)
8)
Evalúe las expresiones:
siguientes
6)
9)
7)
12) 10)
Por medio de logaritmos naturales exprese x en términos de y. 11)
13) Si se toma por vía oral una tableta de 100 mg de un medicamento para el asma, y si nada de él se encuentra en el organismo al tomar la primer tableta, la cantidad total en el flujo sanguíneo, después de minutos, está dado por la función: . Calcule el número de minutos necesarios para que 50 mg de la medicina pasen a la sangre.
15. 16. 17. 18. 19.
3.6. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 3 Ejercicio 11 1. 2. 3. 4.
20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.
5. 28. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37.
38. 39. 40.
4.
41.
5.
42. 43. 44. 45. 46.
6. 7. 8. 9. 10. 11. Ejercicio 13 1.
47.
2.
Ejercicio 12
3. 4. 5. 6. 7.
1.
8. 9. 10. 11. 12.
2.
13. 14. 15. 16.
3.
17. 18. Ejercicio 14 1.
2.
10.
3.
11.
4. 5.
12. 13. 14. Ejercicio 15 1. 2.
6.
3. 4. 5. 6.
7.
7. 8. 9. 10. 11.
8. 12. 13.
9.
Capitulo 4
4. FUNCIONES Competencia “Utiliza las funciones polinomiales y racionales para explicar fenómenos de la realidad social y económica” Logros Compara funciones polinomiales y funciones racionales Realiza operaciones algebraicas polinomiales racionales para resolver problemas de funciones.
4.1.
FUNCIÓN
En muchas aplicaciones, con frecuencia existe cierta correspondencia entre dos conjuntos de números. Ejemplo La ganancia que resulta de la venta de artículos vendidos a Q20.00 cada uno total de ventas = 10 por la cantidad de artículos vendidos. Simbólicamente: Existe una correspondencia entre el conjunto de artículos vendidos y la ganancia obtenida. Sean A y B dos conjuntos no vacíos de números reales. Una función de A en es una regla o correspondencia que asocia a cada elemento del conjunto a con un único elemento del conjunto
B. el conjunto A es llamado dominio de la función. Para cada elemento del conjunto A existe un elemento al que le corresponde un elemento en conjunto B llamado contra dominio o rango. Los elementos del conjunto contra dominio suelen llamarse imágenes del dominio. Con frecuencia las funciones se denotan con la letras o . Si es una función, para cada número en su dominio la imagen correspondiente en el rango es designada , lo cual se lee “ de ”. Se refiere entonces a como el valor de en el número . Ejemplo
La función , se refiere a que cada elemento del dominio que cumpla con la regla , es imagen de la función.
1
4.1.2.
Grafica una función
de
Un conjunto de puntos en el plano es la gráfica de una función si, y sólo si, una recta vertical intersecta la gráfica a los más en un punto.
-1 0
3
4.1.1.
Dominio una función
de
Con frecuencia, el dominio de una función no se especifica, solo se da una regla o ecuación que define la función. En esos casos se dice que el dominio de es el conjunto más grande de números reales para los cuales tiene sentido la regla o, más apropiadamente, los valores para los que es un número real. Ejemplo Determinar el dominio de la siguiente función:
La función indica que debemos dividir entre . Como no es posible la división entre 0, el denominador no puede ser 0. Así, “x” no puede ser 2 ni -2. El dominio de la función serán entonces, todos los reales, excepto 2 y -2.
Trazar gráficas de funciones requiere de la localización de puntos o coordenadas que indica la función. Por facilidad, se toman puntos de muestra sencillos y representativos. Ejemplo Trazar la gráfica de la ecuación
x
y
1
-2
-3
-7
2
1
-2
-5
3
6
-1
-3
0
-1
1
1
2
3
3
5
El punto donde la gráfica atraviesa uno de los ejes suele llamarse punto de intersección. Si el punto de intersección corta al eje vertical, su coordenada estará dada por , si corta el eje horizontal su coordenada será . Es imposible hacer el trazo de todos los puntos de una gráfica, por ello se utilizan sólo puntos de muestra, que dan una idea de como se comporta dicha función.
Ejemplo En la ecuación de corte vertical será:
, el punto
Ejemplo
, entonces el punto es ; el punto de corte horizontal será
Tazar la gráfica de
entonces
x
y
-3
6
-2
1
-1
-2
0
-3
punto es
,
entonces
el
.
Las raíces de una función están precisamente en este punto y corresponden al valor de la coordenada . En la otra ecuación , el punto de corte vertical se puede encontrar , es
decir ; los puntos horizontales se dan igualando a cero la ecuación , donde . Es decir que para esta ecuación los puntos de corte horizontales son dos: y .
3)
EJERCICIO 16 Trace la gráfica y calcule los puntos de intersección en ambos ejes. 1)
4)
2)
en la variable independiente como un argumento en ocasiones facilita la aplicación de la regla de la función. Por ejemplo, si es la función definida por , entonces es la regla que indica elevar al cubo el argumento. Así, significa elevar al cubo a 2, significa elevar al cubo y significa elevar al cubo la cantidad .
5)
Ejemplo Para la función ,
definida por
Evalúe
6)
Evalúe Evalúe Evalúe
7) Si valuar la función presenta algún tipo de dificultad, en ocasiones el uso de algebra proporciona una solución, Ejemplo: Dada la función:
4.1.3.
Notación una función
de
A la variable independiente de una función a veces se le llama argumento de la función. Pensar
evaluar Si se evalúa directamente:
,
Como la división entre cero no está definida se puede pensar que 2 no es parte del dominio, sin embargo:
4.
Entonces, EJERCICIO 17 Determine para: 1.
,
,
,
5.
2. 6.
3.
Las funciones se usan diferentes aplicaciones,
en
Ejemplo En la siguiente figura, el triángulo rectángulo es semejante al triángulo más pequeño contenido en éste. Exprese h en función de x.
8
8
h x 10
x
Dado que son triángulos semejantes se puede afirmar que:
30
h
; es decir: Para subrayar que es función de , se recurre a la notación funcional y se escribe:
El triángulo rectángulo que se forma con el radio y la altura puede representar una relación de triángulos semejantes: ; despejando
, se tiene;
Ejemplo En otra situación, un tanque de agua que tiene forma de un cono invertido de 30 pies de altura y 8 pies de radio, está lleno hasta una cierta profundidad, que se llamará . Siendo el radio del círculo en el nivel del agua, despeje en términos de y use lo obtenido para expresar el volumen de agua en una función de .
Sabiendo que el volumen de un cono es:
Como x es igual al radio del líquido contenido, se sustituye y
EJERCICIO 18 1) Las ganancias anuales de un almacén de llantas puede calcularse por medio de la función donde es el número de llantas vendidas por año. ¿Cuántas llantas se tendrán que vender al año para que la compañía no pierda?
3) En la siguiente figura, el triángulo rectángulo sombreado cuya altura es , es semejante al triángulo mayor cuya altura es h. Exprese en función de
h
x 15 25
2) Don José es el propietario de una tienda. Su ganancia mensual es de Q2000 más el 10% (0.1) de las ventas de la tienda durante el mes. Exprese la función de su ganancia mensual, y cuál será la ganancia si sus ventas del mes son de Q15,000.
4) En la siguiente figura, el triángulo sombreado es semejante al triángulo mayor. Exprese como función de la altura .
h 11 w
32
,
4.1.4. 5) En la siguiente figura, es la longitud de la sombra que proyecta una persona de 6 pies de alto, para a pies de una fuente luminosa a 24 pies sobre el nivel del piso. Exprese en función de .
24 6 x
s
Funciones crecientes decrecientes
y
Cuando se observa la gráfica de una función, se puede observar que algunas partes suben, y otras bajan, otras son horizontales. En tales casos, la función puede ser creciente, decreciente o constante respectivamente. Una función será creciente si teniendo dos valores tales que < , sus funciones son .
4.1.5.
Funciones pares e impares
Una función es par si, y solo si, su gráfica es simétrica con respecto al eje y. Ejemplo Una función será decreciente si teniendo dos valores tales que < , sus funciones son .
Una función será constante para toda elección de x, donde los valores de siempre son iguales.
Una función es impar si, y solo si, su gráfica es simétrica con respecto al origen. Es decir: Ejemplo
2)
Puede darse el caso que una función no sea ni par ni impar. EJERCICIO 19 Demuestre si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna de ellas. 1)
3)
5)
4)
4.2. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 4 Ejercicio 16
1.
2.
5. 6. Ejercicio 18 1. 3.
2. 3. 4.
4.
5.
6.
7. Ejercicio 17 1. 2. 3. 4.
5.
,
Capitulo 5
5. FUNCIONES (2) Competencia “Utiliza las funciones polinomiales y racionales para explicar fenómenos de la realidad social y económica” Logros Compara funciones polinomiales y funciones racionales Realiza operaciones algebraicas polinomiales racionales para resolver problemas de funciones.
5.1. FUNCIÓN LINEAL La
gráfica
de la función es una línea recta, por ello a esa función se le llama función lineal. Como dos puntos determinan una recta, un método de graficar una recta es localizar dos puntos y trazar la recta que pasa por ellos. La pendiente de una recta es el cociente de su coordenada vertical entre su coordenada horizontal:
Toda función lineal siguiente forma:
tiene
la
Donde representa a la pendiente o inclinación que tiene la recta en el plano, y al punto con coordenada es decir al punto de intersección del eje
vertical. Esto permite que con solo ver la ecuación de la recta, se puede deducir la coordenada de un punto, y conociendo su pendiente encontrar un segundo punto para trazar la gráfica. Ejemplo Trazar la gráfica de la función . La primer coordenada que se encuentra es , y como se conoce la pendiente de de dicha recta
,
se
puede
encontrar el siguiente punto moviéndose sobre el plano 2 unidades hacia arriba y una a la derecha .Luego se traza una recta entre esos dos puntos.
Si se conoce la coordenada de un punto por donde pasa una recta, y su pendiente, es posible encontrar su ecuación y realizar su gráfica. Esto se logra con la ecuación llamada comúnmente ecuación punto pendiente de la recta.
EJERCICIO 20 Determine la ecuación y trace la grafica de las siguientes rectas: 1. Con pendiente en (-2, 5)
y un punto
2. Con pendiente
y un punto
Ejemplo Graficar la recta cuya pendiente es
y que pasa por el punto
Al sustituir valores, se obtiene:
entonces en (4, 8)
con esta ecuación se puede graficar. El primer punto es , de donde se suben 3 unidades y se desplazan 2 a la izquierda para encontrar el otro punto , luego se traza la línea recta.
3. Con pendiente en (2, 1)
y un punto
6. Con pendiente en (-2/3, 5)
4. Con pendiente
y un punto
y un punto
en (-1, -1)
5.1.1.
Rectas paralelas
Una recta es paralela a otra cuando teniendo el mismo dominio, no se tocan en ningún punto. Esto solo se puede lograr si la pendiente de ambas es la misma. Ejemplo 5. Con pendiente en (0, -3)
y un punto
Las rectas definidas por las ecuaciones Es paralela a la recta , pues ambas tienen la misma pendiente:
Para determinar si dos rectas son o no paralelas, basta con determinar su pendiente, y si es la misma en ambas ecuaciones, significa que son paralelas. Ejemplo: Dada una recta que pasa por los puntos y determine si es paralela a la recta . Para ello se encuentra pendiente de la primer recta:
la
Por tanto ambas rectas son paralelas. EJERCICIO 21 1) Encuentre la ecuación de la recta paralela a la recta que pase por el punto
.
2) Encuentre la ecuación de la recta paralela a la recta que pase por el punto .
3) Encuentre la ecuación de la recta paralela a la recta que pase por el punto
.
La condición que determina si una recta es perpendicular a otra es su pendiente. Si la pendiente de una recta es inversa y recíproca de otra, significa que son perpendiculares. Ejemplo Dada la ecuación: , Determine la ecuación de la recta perpendicular que para por el punto La pendiente de la otra recta debe ser inversa y recíproca:
5.1.2.
Rectas perpendiculare s
Una recta es perpendicular a otra si se cortan en un solo punto, formando cuatro lados exactamente iguales, es decir formando cuatro ángulos de 90º entre sí. Ejemplo La
recta
perpendicular a la recta
,
es
Para
su inverso es
Para
su recíproco es
Aplicando ambos, la pendiente de la recta perpendicular es Aplicando la ecuación de punto pendiente:
EJERCICIO 22 1) Encuentre la ecuación de la recta perpendicular a la recta que pase por el punto .
3) Encuentre la ecuación de la recta perpendicular a la recta que pase por el punto
2) Encuentre la ecuación de la recta perpendicular a la recta que pase por el punto .
.
5.1.3.
Intersección de rectas
Cuando dos rectas tienen un punto de intersección, es posible encontrar dicho punto por medio de un sistema de ecuaciones lineales. Dicho punto se considera la solución de un sistema de ecuaciones. Ejemplo
“igualación”, sin embargo hay otros métodos posibles, Ejemplo Resolver el sistema
Se sustituye la y de la primera ecuación en la segunda y se despeja
Hallar el punto de intersección de las rectas y Resolviendo para y
Despejando ecuaciones:
y
en
ambas
A este método se le llama “sustitución”. Se igualan ambas:
El último método que se verá se denomina por adición, y consiste en sumar “algebraicamente dos ecuaciones con el fin de eliminar una variable, Ejemplo
Resolviendo para y
A este método de solución de ecuaciones e le llama
Resolver el sistema:
Se multiplica la segunda ecuación por -1 para que el coeficiente de la y sea inverso:
Despejando, 2)
por sustitución
3)
por igualación
Resolviendo para y
EJERCICIO 23 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por el método que se indica en cada caso: 1)
por adición
4)
por adición.
6)
5)
por igualación.
por sustitución.
5.2. FUNCIÓN CUADRÁTICA La función definida por una expresión de grado 2 se llama función cuadrática, Ejemplo ; ;
.
La forma más general de una función cuadrática es En la cual a, b y c representan constantes donde . La curva que se obtiene al graficar una función cuadrática recibe el nombre de parábola, y es una función par, es decir que es simétrica respecto al eje vertical. Esto implica que la función cuadrática será creciente en la mitad de sus valores y decreciente en otra. Ejemplo
La punta de la parábola se llama vértice. Las coordenadas del vértice se pueden encontrar escribiendo la ecuación de la parábola de la siguiente manera: Donde la coordenada del vértice es . Ejemplo Encuentre las coordenadas del vértice de la ecuación Se acomodan los valores de la siguiente forma
Graficar la función x
y
-3
9
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
Se completa un trinomio cuadrado perfecto (factorización) agregando por un lado, y restando por el otro.
Las coordenadas del vértice son
3.
EJERCICIO 24 Encontrar las coordenadas del vértice de las siguientes parábolas. 1.
4.
2.
5.
8.
;
;
9.
;
;
Trace cada uno de los siguientes conjuntos de gráfica en los mismos ejes. 6.
7.
;
;
;
; Encontrar el vértice y las intersecciones de una parábola con el eje horizontal suele ser de mucha importancia, a estas intersecciones se les llama raíces de la función.
Ejemplo Dada
la
, raíces de la función.
función localice las
Como las raíces de la función se encuentran en coordenadas , se puede deducir que éstas se encuentran donde
En este caso ambas raíces son números complejos. EJERCICIO 25 Encuentre las raíces reales de las siguientes ecuaciones cuadráticas: 1.
Es
decir
que o en estas situaciones
y Las coordenadas de las raíces son por tanto
y
La forma que se utilizo para encontrar las raíces de una función cuadrática fue el método de factorización, pero si no domina éste método puede usar la fórmula cuadrática: ,
donde
2.
Ejemplo Dada la ecuación , encuentre sus raíces usando la fórmula cuadrática.
3.
Algunos de los problemas que se pueden solucionar usando funciones cuadráticas se presentan a continuación: Ejemplo
4.
La longitud de una pieza rectangular de cartón es 2 pulgadas mayor que su ancho. Se forma una caja abierta, como se muestra en la figura, cortando cuadrados de 4 pulgadas de cada esquina, y doblando los lados hacia arriba. El volumen de la caja debe ser 672 pulgadas cúbicas. Cuales son las dimensiones del cartón original. Sea el ancho de una pieza de cartón. Entonces es su longitud. Después de haber cortado los cuadrados y de haber doblado los lados, las dimensiones de la caja son: Longitud = Ancho = Altura =
5.
Ya que el volumen es 672 pulgadas cúbicas, y como V = longitud × alto × ancho, entonces:
Resolviendo la ecuación: o
Las dimensiones del original son 20 × 22
cartón
EJERCICIO 26 1. En un negocio de venta de celulares el ingreso por venta de éstos se determina multiplicando el número de celulares vendidos por el costo de éstos que es . ¿Cuál es el ingreso que resulta de vender 30 celulares?
2. Se lanza una pelota desde la parte superior de un barranco de 60 pies de alto, hacia arriba; con una velocidad inicial de 30 pies por segundo. ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al fondo del barranco?
3. Determine dos enteros positivos cuyo producto sea 210.
6. ¿Qué ancho debe tener el borde uniforme de un marco, para que al poner una pintura de 8 pies por 12 pies, se duplique el área de ésta?
4. La suma de un número y su cuadrado es 56. Calcule el número.
5. Un número entero positivo es 3 más que otro. La suma de los cuadrados de los dos es 89. ¿Cuáles son los dos números?
7. La longitud de un rectángulo es 3 cm mayor que su ancho. El área es 70 cm2. Determine las dimensiones del rectángulo.
1. 2. 3. Ejercicio 22 1. 2. 3. Ejercicio 23 1. 2. 3. 4. 5. 6.
5.3. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 5 Ejercicio 20 1. 2. 3.
Ejercicio 24 1. 2. 3. 4. 5.
4. 5. 6. Ejercicio 21
6.
7.
8.
9. Ejercicio 25 1. 2. 3. 4. 5. Ejercicio 26 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Capitulo 6
6. FUNCIONES (3) Competencia “Utiliza las funciones polinomiales y racionales para explicar fenómenos de la realidad social y económica” Logros Compara funciones polinomiales y funciones racionales Realiza operaciones algebraicas polinomiales racionales para resolver problemas de funciones.
6.1. FUNCIONES POLINOMIALES Una función cuyo grado es mayor a 2, suele llamarse función polinomial, esto quiere decir que el exponente más grande de la variable es mayor que dos.
Así se puede saber que la gráfica pasará por los puntos indicados por sus raíces:
Ejemplo: Al graficar una función de éste tipo, es necesario encontrar primero las raíces reales de la función si las tuviera. Estas raíces son llamadas los puntos críticos de la función. Esto se logra igualando a cero la función, y resolviendo. Ejemplo, en la función anterior:
Igualando cada factor a 0, se obtiene:
Luego se forma una tabla para analizar el comportamiento de la grafica en los intervalos que marcan las raíces de la función. Para ello se usan valores de prueba convenientes en cada intervalo, por ejemplo para el intervalo se puede usar el valor -5, para el intervalo se puede usar el valor -2, etc.
-
-
-
-
+
-
-
+
+
+
-
-
+
+
+
+
Al llegar a -4 los valores de son negativos, después los valores son positivos; al llegar a 1 los valores siguen siendo positivos, lo que indica que en algún momento la gráfica revirtió su dirección; después de -1 los valores son ahora negativos, y al llegar a 1 siguen siendo negativos, lo que indica una nueva reversión de su dirección; después de 1 los valores son positivos, y sigue así pues no hay otro punto crítico.
Esto presenta un problema cuando el divisor de dicha
Este análisis únicamente permite un bosquejo de la gráfica, y no permite saber en que puntos hay reversión en la dirección de la misma.
En la función
función es 0 ya que la división no está definida en los números reales. Se debe entender entonces, que en el punto donde el denominador se vuelve 0, en donde la función no tiene rango, hay una asíntota vertical de la función; Ejemplo
Cuando x toma el valor de 2, el denominador se hace 0, entonces es una asíntota vertical de la función.
6.2. FUNCIONES RACIONALES Una Función racional es aquella que presenta un cociente de dos funciones polinomiales. Ejemplo
Una asíntota horizontal se da cuando se cumple cualquiera de las siguientes reglas: Cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador,
entonces es asíntota horizontal.
una
Ejemplo
La asíntota horizontal es , puesto que el grado del numerados es menor que el grado del denominador. Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, NO hay asíntotas verticales. Ejemplo
Observando el grado del numerador y el denominador se puede observar que 2 > 1 En la función no hay asíntota horizontal pues el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, y es la asíntota vertical, ya que -1 hace que el denominador sea 0.
Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, entonces la asíntota horizontal es el coeficiente de la variable con grado mayor del numerador, entre el coeficiente del grado mayor del denominador. Ejemplo
En la función, como no hay valores que vuelvan 0 el denominador, NO hay asíntota vertical. Como tanto el numerador como el denominador tienen el mismo grado, la asíntota vertical es .
EJERCICIO 27 Determine las asíntotas verticales y horizontales para cada una de las siguientes funciones. 1)
2) 4)
3) 5)
antes de 2. Después de 2 la gráfica es negativa lo mismo que antes de 4, pero ya no puede tocar la asíntota horizontal. Después de 4 la gráfica es positiva, pero nuevamente encuentra el límite de la asíntota horizontal. De esta forma se puede bosquejar la siguiente gráfica: Al graficar una función racional se usa la misma técnica que se emplea para graficar funciones polinomiales enteras. Ejemplo Graficar Se iguala a cero y se factoriza para hallar las raíces de la función.
De esta forma se tienen las asíntotas verticales y La asíntota horizontal es , pues el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Las raíces de la función son: -1, 2 y 4. + + +
+ +
+
A veces se puede encontrar con una función racional cuya gráfica tiene una asíntota oblicua o asíntota inclinada, Ejemplo La función:
Observe que cuando el valor de se hace muy grande,
tiende
a cero, y el valor de la función dada tiende a . Entonces la recta es una asíntota oblicua.
+ +
Antes de -1 la gráfica es negativa, pero recuerde que no puede subir de la asíntota horizontal . Después de -1 la gráfica es positiva al igual que
En general, si una función tiene la forma
Entonces la recta Es una asíntota oblicua de la gráfica . Ejemplo Encontrar la asíntota oblicua de:
Entonces asíntota oblicua de
es una .
2.
EJERCICIO 28 Haga un esquema de la grafica de cada función: 1.
Bosqueje la gráfica e indique las asíntotas verticales u horizontales y las raíces de la función. 4.
3.
5.
6.
Deduzca la ecuación de la asíntota oblicua para cada una de las siguientes funciones.
9.
7.
8.
6.2.1.
División sintética teorema residuo
y del
La solución de ecuaciones lineales e incluso una función cuadrática, tienen un método específico. Para resolver ecuaciones polinomiales de orden superior, es útil poder factorizar los polinomios. Una herramienta valiosa para el proceso de factorización de polinomios es la división sintética, especialmente cuando la factorización no es tan evidente.
Para ello se debe recordar que al multiplicar el cociente por el divisor, se obtiene el dividendo, más el residuo:
Ejemplo Efectuar la siguiente división:
Ejemplo
Es decir,
El proceso de división ordinario suele ser largo, por ello la división sintética suele se muy útil. Primero ordene los coeficientes del dividendo; baje el primer coeficiente y multiplíquelo por el divisor (que es la constante que acompaña a la del divisor con el signo cambiado); adiciónelo con el siguiente coeficiente y el resultado vuelva a multiplicarlo por el divisor; siga con este proceso hasta llegar a la última columna, en donde el resultado de la última suma corresponde al residuo. Ejemplo Dividir:
Si al efectuar la división, resulta que el residuo es 0, significa que el divisor y el cociente son factores del dividendo; esto suele llamársele el teorema del factor.
En esta situación fue posible factorizar el numerador para poder simplificar la expresión.
EJERCICIO 29 Use la división sintética para encontrar el cociente y el residuo de las siguientes expresiones: 1)
2)
5)
3)
6)
4)
El Teorema Fundamental Del Álgebra establece que si es un polinomio de grado mayor o igual a 1, tiene cuando menos una raíz. Así un polinomio de grado 3 tiene cuando menos 3 raíces, uno de
grado 4 tiene cuando menos 4 raíces, etc.
Así las raíces de
son:
Ejemplo Determinar las raíces reales y complejas de: Dado que el término independiente es 24, las posibles raíces pueden ser:
El polinomio de grado 4 tiene 3 raíces. EJERCICIO 30 Encuentre todas las raíces de: 1)
Es decir cualquier divisor de 24. Al probar las posibilidades, de izquierda a derecha, se encuentra que 2 es una de las raíces.
Dado que el término independiente del factor polinomial es ahora 12, las posibles raíces pueden ser: Se vuelve a probar iniciando con el mismo 2.
Entonces ya se tiene que Utilizando la fórmula cuadrática para factorizar el último polinomio se obtiene que para ,
2)
3)
6.3. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 6 Ejercicio 27
5.
1. 2. 3. 4. 5. Ejercicio 28
6. 7. 8. 9. Ejercicio 29
1.
1. 2. 3. 4. 5.
2.
6. Ejercicio 30 1. 2. 3.
3.
4.
Capitulo 7
7. MATRICES Competencia “Aplica el álgebra matricial para la solución de problemas de la vida real” Logros Utiliza las matrices y los vectores de Rn, para la interpretación de situaciones reales. Resuelve problemas de matrices y con incógnitas.
7.1.
MATRIZ
Una matriz es una disposición de números que tiene la siguiente forma:
Si , entonces es una matriz cuadrada de orden . La diagonal principal de una matriz contiene los elementos de la línea oblicua de esquina a esquina que empieza en la parte superior izquierda. De esta manera , , , …, , son los elementos de la diagonal principal.
7.2. ÁLGEBRA DE MATRICES A los números de una matriz se les llama elementos. Los elementos uno al lado del otro horizontalmente forman un renglón y los que aparecen en orden vertical forman una columna. De esta manera: , , , …, son elementos del mismo renglón; , , ,… , , son elementos de la misma columna.
Una rama de la Matemática, el Álgebra Lineal, considera a las matrices desde el punto de vista operativo, sin perder de vista por supuesto su significado.
Si una matriz tiene renglones y columnas entonces se dice que su orden es .
• 200 piensan que el gobierno gasta mucho.
Ejemplo En una encuesta de 1000 personas se obtuvo la siguiente información: Hombres:
• 150 piensan que el gobierno no gasta casi nada.
• 45 No opinaron. Mujeres • 315 piensan que el gobierno gasta mucho. • 125 piensan que el gobierno no gasta casi nada. • 165 No opinaron. Esta información se puede arreglar de la siguiente manera: Mucho
Poco
Sin opinión
Hombres 200
150
45
Mujeres
125
165
315
Suponga que A y B representan dos matrices . Entonces la suma de A + B es la matriz que resulta de sumar las entradas correspondientes de a y de B. Ejemplo Dadas las matrices: y
Encontrar A + B:
En forma de matriz matemática se vera:
Esta matriz tiene dos renglones y tres columnas. En general, una matriz con renglones y columnas es una matriz de . Si una matriz tiene el mismo número de renglones que de columnas, se dice que es una matriz cuadrada.
7.2.1.
Igualdad suma matrices
y de
Dos matrices A y B de son iguales, siempre y cuando cada entrada en A sea igual a la entrada correspondiente en B. Ejemplo
Observe que la suma obedece a las leyes algebraicas, lo mismo que la diferencia de matrices. Ejemplo Encontrar A – B.
Si se quiere sumar varias veces la misma matriz, se puede recurrir a la multiplicación para abreviar el proceso. En tal situación se dice que se esta multiplicando una matriz por un escalar, Ejemplo Sumar 5 veces abreviando el proceso, 5A
;
Sumar
veces
EJERCICIO 31 Dadas las matrices: y
Dadas las matrices y 3. Operar 3A – 2B
Determine: 1. A+B
2. A-B
7.2.2.
Multiplicación de matrices
A diferencia de la suma de matrices, la multiplicación de una matriz por otra no es tan sencilla. Dada una matriz
Los precios son:
;
los artículos: El total tanto:
Y otra matriz
El producto
mes pasado se vendieron 100 camisas, 200 corbatas y 50 trajes. ¿Cuál fue el total de ventas por estos artículos:
de
ventas
es
por
es el resultado De manera más general, el producto de una matriz con otra matriz da como resultado la matriz
Observe que un vector renglón y un vector columna pueden multiplicarse solo si tienen el mismo número de entradas. Ejemplo Multiplicar AB Ejemplo Multiplicar las matrices y Entonces,
Ejemplo De la aplicación de ésta operación: en una tienda de ropa se venden camisas a Q25, corbatas a Q8 y trajes a Q300. el
Ejemplo Multiplicar las matrices y
Al multiplicar una matriz por la matriz identidad el resultado es la matriz original, observe,
Esto significa que la matriz identidad tiene propiedades análogas al número 1 en la multiplicación, es decir que la matriz identidad es el elemento neutro en el álgebra de matrices. Ejemplo Cuando las cuadradas,
matrices
son
Multiplicar
Por otro lado, también existe la matriz inversa, ésta cumple con la propiedad: Es decir que inversa de .
es la matriz
Ejemplo:
Porque,
Una matriz identidad es aquella matriz cuadrada cuya diagonal principal es 1 y el resto son ceros, por ejemplo,
EJERCICIO 32 Calcule los siguientes productos Dadas las matrices: y 1) Calcule AB
2) Calcule BA
7.2.3. 3)
Método reducción gaussiano
de
El uso de las matrices tiene amplio uso en la solución problemas, uno de los cuales la solución de sistemas ecuaciones lineales.
un de es de
Un sistema de ecuaciones lineales es o conjunto de ecuaciones en las que el numero de variable es equivalente al numero de ecuaciones que se pueden formar. Ejemplo,
Al ordenar en forma de matriz con los coeficientes de éstas ecuaciones se obtiene:
Este método permite resolver ecuaciones simultáneas utilizando únicamente matrices y manejo de los coeficientes numéricos de cada ecuación, Ejemplo Resolver el siguiente sistema:
Se ordenan las ecuaciones para que las mismas variables queden en columna.
el cuarto por la suma del cuarto y -2 veces el segundo, se obtiene:
Se ingresan los coeficientes en una matriz: Sustituyendo el cuarto renglón por la suma de 3 veces el tercero y -5 veces el cuarto se obtiene:
Se empieza obteniendo ceros como primer elementos del segundo y tercer renglón. Se sustituye el segundo renglón por la suma del primero y el segundo, se sustituye el tercero por la suma de 3 veces el primero y el tercero; luego se sustituye el cuarto por la suma del primero y el cuarto.
Ahora se multiplica el cuarto renglón por
Esta matriz corresponde al mismo sistema de ecuaciones pero modificado: Ahora se intercambia el segundo y el cuarto renglones, pues de esta manera resulta ser 1 como elemento del segundo renglón y la segunda columna; esto facilitará obtener ceros en el tercero y el cuarto renglones de la segunda columna.
Reconstruyendo en la tercera ecuación el valor de z, resulta que ; con el valor de y en la segunda ecuación se obtiene que ; y con estos valores se puede encontrar el valor de . EJERCICIO 33
Sustituyendo el tercer renglón por la suma del tercero y -5 veces el segundo, y sustituyendo
Utilizar el método de reducción gaussiano para resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
1.
2.
4. 3.
Se sustituye la columna de la variable por los valores independientes.
Se sustituye la columna de la variable y por los valores independientes.
Se calcula el valor de cada determinante restando el producto de la diagonal principal del producto de la diagonal secundaria: Existe un concepto asociado con cualquier matriz cuadrada, el cual se conoce como determinante. Las determinantes pueden servir para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante fórmulas llamadas en conjunto regla de Kramer.
7.2.4.
Determinantes y regla de Kramer
Por ejemplo: Usar la regla de Kramer para resolver el sistema de ecuaciones siguiente:
Aplicando la regla de Kramer:
Ejemplo EJERCICIO 34 Primero se elaboran las matrices con los coeficientes de las variables.
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones, utilizando la regla de Kramer. 1.
4.
2. 5.
3.
El método de Kramer se utilizar cuando los sistemas de ecuaciones incluyen tres ecuaciones y tres variables o más; lo importante es que la matriz que se forme sea cuadrada, es decir determinante.
Ejemplo Usar la regla de Kramer para resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Primero se elabora la matriz con los coeficientes de las ecuaciones:
Se agregan las dos primeras filas para facilitar la operación de la matriz. Aplicando la regla de Kramer
A la suma de las diagonales principales se le resta la suma de las diagonales secundarias: EJERCICIO 35 En las otras matrices se reemplaza la columna correspondiente a los coeficientes de la variable a buscar, con los valores independientes.
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando la regla de Kramer. 1.
2.
4. 3.
5.
7.3. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 7 Ejercicio 31 1. 2. 3. Ejercicio 32 1.
2.
3. Ejercicio 33 1. 2. 3. 4. Ejercicio 34 1. 2. 3. 4. 5. Ejercicio 35 1. 2.
3. 4. 5.
Capitulo 8
8 . CÁLCULO Competencia “Utiliza el cálculo integral para determinar velocidades instantáneas, área bajo las curvas y volumen de cuerpos sólidos” Logros Aplica teoremas de cálculo diferencial e integral para explicar velocidad, volumen y espacio. Plantea solución a través del cálculo diferencial e integral.
8.1.
LÍMITES
Considere la función definida por:
Note que ésa función no está definida en , ya que como resultado daría una división entre cero, que es una operación no definida. Sin embargo se puede ver el comportamiento de la función antes y después de 1, acercándose en cada caso a éste numero: 1.25 1.1 1.01 1.001 1.000 0.999 0.99 0.9 0.75
3.813 3.310 3.030 3.003 ¿? 2.997 2.970 2.710 2.313
Intuitivamente se puede observar que cuando el dominio de la
función se acera a 1, ya sea por la arriba o por abajo, el valor de la función se acerca a 3. En forma simbólica se puede decir que,
Esto se lee “el límite cuando tiende a 1 de es 3”. Utilizando un poco de álgebra se puede deducir:
Entonces el límite de una función que tiende a , no es más que la función valuada en . Ejemplos •
•
• En algunos casos, es necesario utilizar álgebra para encontrar un límite, pues de no hacerlo, probablemente se incurriría en el error de creer que el límite no existe.
2.
Si se cuenta con una calculadora graficadora o un programa de graficación de funciones, éste puede ayudar a intuir el resultado de un límite, Ejemplo
Intuitivamente se puede deducir que
EJERCICIO 36 Calcule los siguientes límites, 1.
3.
4.
5.
7.
8.
6.
9.
Ejemplo
El límite de una función cuando tiende a un valor c, es la función valuada en c.
Ejemplo
10.
El límite de una función por una constante es igual al límite de la constante por el límite de la función.
Ejemplo
El límite de la suma de dos o más funciones, es igual a la suma de cada uno de los límites de cada función.
8.1.1.
Teoremas los límites
de
Aún cuando los teoremas que tratan de la solución de límites parezcan sencillos y de sentido común, es necesario aprenderlos de memoria hasta que su uso sea fácil y fluido: El límite de una constante es la misma constante.
Ejemplo
El límite del producto de dos o más funciones es igual al producto de los límites de cada una de sus funciones.
EJERCICIO 37 Ejemplo,
Identifique cada paso o propiedad en la solución de cada uno de los siguientes límites: 1)
El límite del cociente de una función entre otra es igual al límite del numerador entre el límite del denominador.
Ejemplo
El límite de la potencia de una función es igual a la potencia del límite de la función.
2)
Ejemplo,
El límite de un radical es igual al radical del límite de la función.
Ejemplo,
3)
6)
4)
7)
5)
8)
8.1.2.
Límites de funciones trigonométricas
La valuación directa de una función trigonométrica da como resultado el límite de las mismas, sin embargo hay ocasiones en que es necesario hacer transformaciones a través de identidades trigonométricas, para resolver algunos límites. Dos teoremas de sirven de mucha ayuda para resolver este tipo de límites, estos son: 9)
Al aplicar estos teoremas, el cálculo de los límites se vuelve más sencillo. Ejemplo Encontrar
Ejemplo Encontrar
Ejemplo
2)
Encontrar
Ejemplo Encontrar
3) EJERCICIO 38 Evalúe los límites: 1)
6)
4)
7)
5)
8)
11) 9)
8.1.3. 10)
Límites al infinito y límites infinitos
Los símbolos y no representan precisamente a un número, sino más bien a una tendencia. De hecho hay funciones que por su estructura no se pueden resolver de manera convencional. Estas funciones generalmente racionales, muestran límites que tienden mientras se acercan a un límite inexistente, a crecer o decrecer para acercarse mucho a un lugar fijo que se llamara asíntota. Ejemplo
El límite
Es inexistente, ni siquiera usando técnicas algebraicas. Si se grafica la función para intuir el límite se puede observar
valores cercanos a 1, tanto por la derecha como por la izquierda se puede observar la tendencia de dicha función. Tome algunos valores muestra que estén a la derecha del 1.
Cuando la función se acerca al 2 por la izquierda, la función tiende a bajar precipitadamente acercándose cada vez mas al 2 pero sin tocarlo (tiende al infinito negativo); de manera similar, cuando se acerca al 2 por la derecha la función crece acercándose al dos pero sin tocarlo (tiende al infinito positivo). Simbólicamente,
Esto quiere decir que una asíntota vertical función.
2 1.5 1.1 1.01 1.001 1.0001
1 2 100 10000 1000000 100000000
Tome algunos valores muestra que estén a la izquierda del 1.
0 0.5 0.9 0.99 0.999 0.9999
1 4 100 10000 1000000 100000000
es de la
Ejemplo Al operar el límite:
No hay recurso algebraico que evite la división entre cero. Sin embargo si se valúa la función en
De estos ejemplos se puede deducir que conociendo el signo
de la tendencia, se puede determinar si el límite es o . Ejemplo Encuentre Como la factorización no elimina la división entre cero, significa que es asíntota vertical de la función. Se valúa lo que pasa antes y después del 1.
Ejemplo Encuentre el límite Aplicando un poco de algebra:
Aplicando el teorema:
Los anteriores suelen llamarse límites infinitos, pues su límite es infinito. Se deduce que estos límites permiten encontrar las asíntotas verticales de una función.
Se evitó de esta forma la división entre cero. El significado de éste limite es que es una asíntota horizontal de la función. Ejemplo Encuentre la asíntota horizontal de la función:
Para ello se calcula:
Aplicando el teorema: Por otra parte, también existen los límites que tienden al infinito, por ejemplo:
Para encontrar este tipo de límites se utiliza el siguiente teorema:
La asíntota horizontal es
.
Aplicando el teorema: Combinando ambos tipos de límites se pueden encontrar tanto las asíntotas verticales como las horizontales de una función, y ayudar a bosquejar su respectiva gráfica,
es la asíntota horizontal.
Ejemplo Encuentre las asíntotas verticales y horizontales y bosqueje la gráfica de,
Se factoriza para encontrar las asíntotas verticales,
; Para verificar si son asíntotas verticales, se calculan los límites al lado de cada valor.
Se calcula el siguiente límite para encontrar la asíntota horizontal
EJERCICIO 39 En los siguientes problemas encuentre las asíntotas horizontales y verticales para las gráficas de las funciones indicadas, y bosqueje su gráfica. 1)
3)
2)
4)
8.2. RECTA TANGENTE A UNA FUNCIÓN Una recta secante a una función, es aquella que toca a la función en dos puntos de su trayectoria.
5)
Si dicha recta empieza a moverse de manera que se reduzca la distancia que hay entre los dos puntos.
Llegará un instante en que la distancia entre ambas sea cero. En dicha situación, cuando la recta secante toque un solo punto de la función, entonces ya no será una reta secante, sino una recta tangente. La pendiente de ésta recta tangente, es fundamental para el Cálculo, ya que de allí se derivan todos los teoremas que se plantean al respecto. Se sabe que la pendiente de una recta cualquiera es:
Por tanto la pendiente de dicha recta es :
Donde y son dos puntos cualquiera de la función.
Observe que es la distancia horizontal que separa ambos puntos de la función.
Ejemplo
Suponga que en una función cualquiera se escogen 2 puntos cualesquiera, y se calcula la pendiente de la recta que pasa por ellos. Entonces se estaría encontrando la pendiente de una recta secante a la función.
Si se cambia a notación de función se puede observar:
Si la distancia entre esos dos puntos se reduce procurando que la longitud tienda a cero, la
recta secante se convierte en una recta tangente:
De esta forma, es posible encontrar la pendiente en cualquier punto de la función, con solo conocer . Ejemplo La pendiente de cuando es
la función .
Observe que la pendiente cambia conforme se mueve en la trayectoria de la función, lo que permanece constante es la fórmula para encontrarla. EJERCICIO 40
En el momento en que la recta se convierte de secante a tangente, la distancia tiende a 0, y la pendiente de esa recta es:
Encuentre la pendiente de la recta tangente a las siguientes funciones: 1)
A esta pendiente suele llamársele derivada de la función. Ejemplo Encontrar la pendiente de la recta tangente a la función: La pendiente de la recta tangente a la función será: 2)
Valuando el límite, la pendiente de la recta tangente a la función es .
3)
6)
4)
8.2.1.
5)
Velocidad promedio velocidad instantánea
y
Si se conduce un vehiculo desde una ciudad a otra que está a 80 kilómetros en 2 horas, la velocidad promedio es de 40 Km./h. De hecho, la velocidad promedio es la distancia de la primer posición a la segunda posición, dividida entre el tiempo empleado en recorrer dicha distancia. Obviamente durante el viaje la lectura del velocímetro con
frecuencia fue diferente a 40 Km./h. al principio, registró 0; a veces subió hasta 59; al final nuevamente fue 0. Lo que sucede es que el velocímetro no mide la velocidad promedio, sino la velocidad instantánea; es decir, la velocidad en un instante determinado. Para entender esto, conviene usar como referencia un objeto que cae al vacío, pues su velocidad cambia uniformemente, es decir, no tiene cambios bruscos de velocidad, y la función que representa la distancia recorrida está dada por , Quiere decir que en el tiempo recorre pies. Esta función produce una gráfica como la siguiente:
Dado que el eje vertical representa a la distancia recorrida , y el eje horizontal al tiempo empleado, resulta que la velocidad, es decir: Es equivalente a
, es
decir la pendiente de la curva.
Ejemplo La velocidad promedio que alcanza un objeto entre 1 y 5 segundos se puede calcular comparando los dos puntos en la gráfica, (pendiente de una secante)
pies/s Pero si se quiere encontrar la velocidad en un punto determinado, velocidad instantánea, por ejemplo a los 2.5 segundos, se debe considerar que para hallarlo, la fracción de tiempo debe ser muy pequeña, casi 0.
Valuando el límite: Es decir que a los 3 segundos, la velocidad instantánea era de 96 pies/s.
3) ¿Cuál es la velocidad instantánea a los 2 segundos?
EJERCICIO 41 Un objeto viaja a lo largo de una recta, de modo que su posición es . 1) ¿Cuál es la velocidad promedio entre los 2 y 3 segundos?
Cierta bacteria crece de modo que tiene una masa de gramos, después de horas. 4) ¿Cuántos gramos crecerá entre 2 y 2.01 horas?
2) ¿Cuál es la velocidad promedio entre los 2 y los 2.003 segundos?
5) ¿Cuál es la tasa promedio de crecimiento entre las 2 y 3 horas? 8) ¿Cuál fue la ganancia entre el 2 año y el primer trimestre de ese mismo año?
6) ¿A que tasa estará creciendo a las 5 horas?
9) ¿Cuál será la ganancia en el 5 año?
Un negocio está prosperando de tal manera que su ganancia total (acumulada) después de años es de 7) ¿Cuál fue la ganancia entre el 2 y tercer años?
8.3. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 8
6.
Ejercicio 36
9.
1.
10.
2.
11.
3.
Ejercicio 39
4.
1.
5.
2.
6.
3.
7.
4.
8.
5.
9.
7. 8.
Ejercicio 40
10.
1.
Ejercicio 37
2.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
3. 4. 5. 6. Ejercicio 41 1. 2. 3.
9.
4.
Ejercicio 38
5.
1.
6.5
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
Capitulo 9
9 . CÁLCULO (2) Competencia “Utiliza el cálculo integral para determinar velocidades instantáneas, área bajo las curvas y volumen de cuerpos sólidos” Logros Aplica teoremas de cálculo diferencial e integral para explicar velocidad, volumen y espacio. Plantea solución a través del cálculo diferencial e integral.
9.1. LA DERIVADA La base del Cálculo, se centra en la derivada, que es, como ya se dijo anteriormente, la pendiente de la recta tangente a una función. Ejemplo Encontrar la derivada de:
Realizar este procedimiento para encontrar cualquier derivada, es poco práctico, razón por la cual se han establecido teoremas que facilitan el trabajo.
9.1.1.
Teoremas la derivada
de
Derivada de una constante: Si , donde es una constante, . Ejemplo
Se denota colocando una comilla después de la ; otra forma de indicar una derivada es por medio de la notación .
Si
, entonces
.
Derivada de una variable: Si , entonces Ejemplo Si
Aplicando el límite:
,
Derivada de una constante por una variable: Si
donde es una constante, entonces .
Ejemplo Si
,
Derivada de una suma o una diferencia: Para , entonces .
EJERCICIO 42 Encuentre la derivada de las siguientes funciones, utilizando los teoremas anteriormente vistos. 1)
Ejemplo Dada
la
expresión ,
2)
entonces, Derivada de un producto: Dadas las funciones y ,
3)
Ejemplo Encuentre
la .
derivada
de
4) Derivada de un cociente: Dadas las funciones y ,
Ejemplo Encuentre la derivada de
5) .
12)
6)
13)
7)
14) 8)
15) 9)
16) 10)
17) 11)
18)
19)
22)
20)
23)
21)
24)
27)
25)
26) 28)
29) 31)
30)
9.1.2.
Derivada de funciones trigonométricas
El mundo moderno corre sobre ruedas. Las preguntas acerca de
ruedas que giran y velocidades sobre puntos sobre ellas, llevan inevitablemente al estudio senos y cosenos y sus derivadas. Para resolver problemas que incluyan funciones trigonométricas, se plantean los siguientes teoremas. Si
,
Si
,
Si
,
Si
,
Si
,
Si
2)
,
Ejemplo Calcular
la
derivada
de 3)
Calcular
la
derivada
de
EJERCICIO 43 Calcule la derivada siguientes funciones.
de
las
1)
4)
Encontrar
la
derivada
de
Ejemplo Encontrar la derivada de
5) Ordenando,
Ejemplo Encontrar
la
derivada
de
la
derivada
de
Ejemplo
9.1.3.
La regla de la cadena
En algunas situaciones, los teoremas sobre la derivada de productos de una función, suelen ser de poca utilidad, debido a que hay que realizar muchas operaciones para encontrar una sola derivada, tal es el caso de por ejemplo. En tales situaciones, el uso de la regla de la cadena es muy útil. Ejemplo
Encontrar
EJERCICIO 44 Utilice la regla de la cadena para encontrar la derivada de las siguientes funciones: 1)
2)
4)
3)
5)
7)
6)
8)
9)
9.2. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 9 Ejercicio 42 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.
18. 19. 20.
3. 4. 5.
21. 22.
6.
23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. Ejercicio 43 1. 2. 3.
4. 5. Ejercicio 44 1. 2.
7. 8. 9.
Capitulo 10
10.
CÁLCULO (3)
Competencia “Utiliza el cálculo integral para determinar velocidades instantáneas, área bajo las curvas y volumen de cuerpos sólidos” Logros Aplica teoremas de cálculo diferencial e integral para explicar velocidad, volumen y espacio. Plantea solución a través del cálculo diferencial e integral.
10.1. LA INTEGRAL La mayoría de las operaciones matemáticas con que se trabajan vienen en pares de inversas: suma –resta, multiplicación – división, elevación a potencias – extracción de raíces. En cada caso, la segunda operación deshace la primera y viceversa. La derivada también tiene su operación inversa, que en un inicio se llamará antiderivada. Ejemplo Si
y su derivada es , se dice entonces que la antiderivada de
precisar si no se conoce el caso específico. Así como la derivada tiene una notación particular, para denotar la antiderivada se usará:
El símbolo
se llama integral,
término que se utiliza para nombrar a las antiderivadas. La regla para hallar la antiderivada de una función es:
De la misma forma como hay reglas para derivar, también hay reglas para antiderivar o integrar funciones.
es
La indica que es una constante, la cual es imposible
Evalúe
Dado que la derivada de es , se deduce que , entonces la integral queda:
Ejemplo Encontrar
la
antiderivada
de
Ejemplo
Ejemplo
Encuentre la integral general de
Evalúe Dado que la derivada de es
, se deduce que
Ejemplo Encuentre la integral general de
Ejemplo Evalúe Ejemplo Determine el resultado de la siguiente integral:
Ejemplo
EJERCICIO 45
Encuentre la antiderivada de cada una de las funciones siguientes: 1)
2) 6)
3)
7)
4)
5)
8)
10.1.1. Sucesiones Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.
9)
Las sucesiones o secuencias de números son muy frecuentes en la matemática. Por ejemplo, los números forman una sucesión. A esta secuencia se le llama finita, pues tiene un número último o final. Si un conjunto de números de una sucesión no tiene un número final, se dice que la sucesión es infinita. Por ejemplo, En una sucesión infinita los tres puntos sin ningún número después de ellos, indican que no hay número último o final. Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita, si no es una sucesión finita. Ejemplo {a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en orden alfabético.
10)
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo". {1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple y es una sucesión infinita.
{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita. {1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares y es una sucesión finita. {4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás, es una sucesión finita. {1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde se va duplicando cada término. {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0 y 1, siguen un orden, en este caso un orden alternativo. Cuando se dice que los términos están en orden, existe una regla que dice qué orden. Podría ser adelante, atrás... o alternando... o cualquier otro. Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden y el mismo valor puede aparecer muchas veces. Ejemplo {0, 1, 0, 1, 0, 1,...} Es la sucesión que alterna 0 y 1. El conjunto sería sólo {0,1} Una sucesión sigue una regla que dice cómo calcular el valor de cada término, por ejemplo, la sucesión {3, 5, 7, 9,...} empieza por 3 y salta 2 cada vez. Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" indica cómo se calculan cada uno de los términos ya sea el 10º término, el 100º término, o el enésimo término, donde n puede ser cualquier número positivo que se quiera.
De esta forma se necesita una fórmula con "n" dentro, donde n será la posición que tiene el término.
Ejemplo Encuentre la regla que sirve para encontrar los términos de la sucesión {3, 5, 7, 9,...} Primero, se puede observar que la sucesión sube 2 cada vez, así que se puede deducir que la regla es " "o . Término Prueba 1 3
= 2×1 = 2
2 5
= 2×2 = 4
3 7
= 2×3 = 6
Esta regla no funciona, aunque la regla da todo el tiempo valores una unidad menos de lo que debería, así que se modifica para corregirla aumentando 1 a la fórmula : n Término Prueba 1 3
= 2×1 + 1 = 3
2 5
= 2×2 + 1 = 5
3 7
= 2×3 + 1 = 7
Como funciona, en vez de de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" se escribe la regla como .
Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente se utiliza una simbología especial; es normal usar para los términos y para la posición de ese término; así que para hablar del quinto término solo se tiene que escribir .
al término anterior más diferencia entre dos términos.
la
Si la
sucesión aritmética es , y la diferencia ente dos números consecutivos cualquiera de la sucesión es entonces se tiene que:
Entonces se puede escribir la regla que se uso en el ejemplo como: Por ejemplo si se quiere calcular el 10º término, se escribe:
10.1.2. Sucesiones aritméticas La sucesión {3, 5, 7, 9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante Ejemplo Es una sucesión que tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos. La regla es . Ejemplo Es una sucesión que tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos. La regla es . Si se conocen por lo menos tres términos de la sucesión, es posible deducir con ellos la fórmula de dicha sucesión, ya que en toda progresión aritmética, cada término es igual
Aquí se puede observar que cada término es igual al primero de la progresión más tantas veces la diferencia por los términos que le preceden; luego como está ley se cumple para todos los términos, se tiene que será igual al primer término más tantas veces la razón como términos le preceden, y como es el término enésimo, le preceden términos. Ejemplo Hallar el 15º término de la sucesión aritmética El primer término es , y el término a encontrar es el ; la diferencia entre cada término es . De aquí se deduce que la regla es
EJERCICIO 46 Deduzca la fórmula y encuentre el valor del término que se le indica. 1) El 9º término de
5) El 17º término de 2) El 12º término de
3) El 48º termino de
10.1.3. Sucesiones geométricas En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo. Ejemplo 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. 256,… Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos; la regla es . 4) El 12º término de Ejemplo
En la sucesión 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187,… la sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos; la regla es .
varios de los valores se puede deducir que la regla es Entonces EJERCICIO 47
Ejemplo La sucesión 4, 2, 1, 0, ½, ¼ , … El factor entre cada dos términos es ½ ; la regla es entonces .
Hallar el término de una progresión geométrica que se le indica en cada inciso: 1) Hallar
el
7º
término
de
2) Hallar
el
9º
término
de
3) Hallar
el
6º
término
de
Dada una progresión geométrica como en que es el término enésimo, y sabiendo que en una progresión geométrica, cada termino es igual al término anterior multiplicado por el cociente de un término superior y su término inmediato inferior, , se puede deducir:
Se ve que un término cualquiera es igual al primero multiplicado por la razón elevada a una potencia igual al número de términos que le preceden. Luego, como es el término y le preceden Términos, se tiene que: Ejemplo Hallar el 5º término de El primer término es , el término buscado es , y el cociente entre dos términos es . Dado que se conocen
Sucesiones y series pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión. Así para la sucesión , la serie correspondiente es Las series se suelen escribir con el símbolo que significa "súmelos todos": Ejemplo:
Esto significa "sume de 1 a 4" = 10
4) Hallar el 5º término de
Ejemplo
Esto significa "sume los cuatro primeros términos de la sucesión ", como los primeros cuatro términos son la serie es 3 + 5 + 7 + 9 = 24. Unas series muy comunes son las siguientes: La suma de las primeras posiciones: 5) Hallar
el
10º
término
de Ejemplo Encontrar la suma de los primeros 10 números naturales:
10.1.4. Series
Otra serie comunes es la suma de los cuadrados de los primeros naturales: 2) Ejemplo Calcular la suma de los cuadrados de los primeros cinco naturales:
La suma de los primeros cubos también es una fórmula muy común, por ejemplo la suma de los primeros 6 cubos: 3)
Ejemplo
EJERCICIO 48 Evalúe las siguientes series: 1)
4)
5)
8) La suma de los cuadrados del 15 al 20
6)
9) La suma de los cubos del 16 al 23
Determine el valor siguientes series:
de
las
7) La suma de la sucesión de números naturales del 5 al 12
10.2. INTRODUCC IÓN AL ÁREA Hay infinidad de funciones extraídas del mundo real (científico, económico...) para las cuales tiene especial relevancia el área bajo su gráfica.
Si el intervalo se parte en trozos, no necesariamente iguales: ; y sea al menor valor que toma la función en el tramo el área rayada es:
Esta área es menor, o, a lo sumo, igual que el área buscada. Esto aproxima por defecto al área buscada.
Si se conoce la ecuación de una función que toma valores no negativos, se puede calcular el área debajo de esa curva de un punto a un punto . Una idea útil consiste en dividir el intervalo en tramos, y aproximar el área mediante rectángulos con base en el eje y altura el mínimo valor que toma la función en cada tramo.
También se puede aproximar por exceso tomando como altura de cada rectángulo el mayor valor, , que toma la función en el intervalo correspondiente.
Es evidente que si se toman unos rectángulos más finos, es decir, si los puntos se toman cada uno más cerca del siguiente, tanto el área por defecto como el área por exceso se aproximan más que antes al área del recinto.
Si, en vez de tomar el valor máximo o el mínimo de cada intervalo, se toma un valor intermedio, la aproximación podría ser mejor todavía. Dada una función continua en un intervalo tal que , el área entre la gráfica de y el eje , y , , se llamará
Aplicando sumatoria,
Aplicando el límite,
, que se lee: integral entre a y b de
.
El resultado de ésta integral es la suma de las áreas de cada rectángulo que se calcule en la función dada, de donde se deduce que
Ejemplo Hallar el área de la región marcada entre , en el intervalo
.
Ejemplo Encontrar
el
área entre y el eje horizontal
en el intervalo Dado que
Donde valor,
Dado que se pretende encontrar el área geométrica, él área de la región bajo el eje es positiva. es la posición de cada por ejemplo
Así, el área de la región es:
Valuando en el intervalo:
Ejemplo
Hallar el área de la región comprendida entre la parábola y la recta
.
El intervalo ésta comprendida por los puntos en que la recta y la parábola se tocan:
En consecuencia,
2) Calcule la integral definida para
EJERCICIO 49 1) Determine el área bajo la curva intervalo
, con
en el
6. 7. 8. 9. 10. Ejercicio 46 3) Estime el área delimitada por , en el intervalo . Arriba del eje .
1. 2. 3. 4. 5. Ejercicio 47 1. 2. 3. 4.
10.3. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 10
5.
Ejercicio 45
2.
1.
3.
2.
Ejercicio 48 1.
4. 5.
3.
6.
4.
7. 8.
5.
9. Ejercicio 49 1.
2. 3.
BIBLIOGRAFÍA MATEMÁTICA Para Cuarto año en Carreras Diversificadas. Editorial Educativa, Guatemala. MATEMÁTICA Para Quinto año en Carreras Diversificadas. Editorial Educativa. Guatemala. ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA, Walter Fleming, Dale Vargerg. Tercera Edición. Prentice Hall. México. ÁLGEBRA, Luis Leithold. Primera Edición. Oxford University Press. México. ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA, Dennis G. Zill, Jacqueline M. Dejar. Segunda Edición. Mc Graw Hill. Colombia. ÁLGEBRA INTERMEDIA, R. David Gustafson. International Thomson Editores. México. ÁLGEBRA Y TRIGONOMTRÍA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA, Earl W. Swokowski, Jeffery A. Cole. Tercera Edición. Grupo Editorial Iberoamérica. México. ÁLGEBRA, Max Sobel, Norbert Lerner. Cuarta Edición. Prentice Hall hispanoamericana, S.A. México. ÁLGEBRA INTERMEDIA, Allen R. Angel. Séptima Edición. Pearson Educación. México. ÁLGEBRA INTERMEDIA, Larson, Hostetler, Neptuno. Segunda Edición. Mc Graw Hill. México. ÁLGEBRA INTERMEDIA, Jerome E. Kaufmann, Karen Schwitters. Sexta Edición. International Thomson Editores. México. Graficador de Funciones Matemáticas. www.fooplot.com/?lang=es
ÍNDICE 1 . TRIGONOM ETRÍA (1)
1
1.1. ÁNGULOS 1 1.1.1. C LASIFICACIÓN DE ÁNGULOS 1 1.1.2. O PERACIONES CON ÁNGULOS 4 1.1.3. C ONSTRUCCIONES 4 EJERCICIO 1 5 EJERCICIO 2 6 1.2. FUNCIONES TRIGONOM ÉTRICAS 7 EJERCICIO 3 9 EJERCICIO 4 10 1.2.1. A PLICACIONES DONDE INTERVIENEN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
11 13
EJERCICIO 5 1.2.2. G RÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 17 EJERCICIO 6 19 1.2.3. I DENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 21 EJERCICIO 7 22 1.2.4. E CUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 23 EJERCICIO 8 24 1.3. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 1 25 2.
TRIGONOM ETRÍA(2)
2.1. LEY DE SENOS EJERCICIO 9 2.2. LEY DE COSENOS EJERCICIO 10 2.3. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 2
28 28 29 32 33 36
3. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTM ICAS
37
3.1. POTENCIAS EJERCICIO 11 3.2. FUNCION EXPONENCIAL 3.2.1. A PLICACIONES EJERCICIO 12 3.2.2. F UNCIÓN EXPONENCIAL
37 38 41 42 44
NATURAL
46 47 48 50 52
3.3. LOGARÍTM OS EJERCICIO 13 3.4. FUNCIÓN LOGARÍTM ICA EJERCICIO 14 3.5. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTM ICAS EJERCICIO 15 3.6. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 3 4.
FUNCIONES
54 55 58 61
4.1. FUNCIÓN 61 4.1.1. D OMINIO DE UNA FUNCIÓN 62 4.1.2. G RAFICA DE UNA FUNCIÓN 62 EJERCICIO 16 64 4.1.3. N OTACIÓN DE UNA FUNCIÓN 65 EJERCICIO 17 66 EJERCICIO 18 67 4.1.4. F UNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES 69 4.1.5. F UNCIONES PARES E IMPARES 70 EJERCICIO 19 71
4.2. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 4 72 5.
FUNCIONES (2)
74
5.1. FUNCIÓN LINEAL 74 EJERCICIO 20 75 5.1.1. R ECTAS PARALELAS 76 EJERCICIO 21 77 5.1.2. R ECTAS PERPENDICULARES 78 EJERCICIO 22 79 5.1.3. I NTERSECCIÓN DE RECTAS 80 EJERCICIO 23 81 5.2. FUNCIÓN CUADRÁTICA 83 EJERCICIO 24 84 EJERCICIO 25 86 EJERCICIO 26 88 5.3. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 5 90 6.
FUNCIONES (3)
92
6.1. FUNCIONES POLINOM IALES 92 6.2. FUNCIONES RACIONALES 93 EJERCICIO 27 94 EJERCICIO 28 97 6.2.1. D IVISIÓN SINTÉTICA Y TEOREMA DEL RESIDUO 100 EJERCICIO 29 101 EJERCICIO 30 103 6.3. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 6 105 7.
M ATRICES
106
7.1. M ATRIZ 106 7.2. ÁLGEBRA DE M ATRICES106 7.2.1. I GUALDAD Y SUMA DE MATRICES 107 EJERCICIO 31 108 7.2.2. M ULTIPLICACIÓN DE MATRICES 109 EJERCICIO 32 110 7.2.3. M ÉTODO DE REDUCCIÓN GAUSSIANO 112 EJERCICIO 33 113 7.2.4. D ETERMINANTES Y REGLA DE K RAMER 116
EJERCICIO 34 116 EJERCICIO 35 118 7.3. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 7 121 8 . CÁLCULO
123
8.1. LÍM ITES 123 EJERCICIO 36 124 8.1.1. T EOREMAS DE LOS LÍMITES 126 EJERCICIO 37 127 8.1.2. L ÍMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 129 EJERCICIO 38 130 8.1.3. L ÍMITES AL INFINITO Y LÍMITES INFINITOS 132 EJERCICIO 39 135 8.2. RECTA TANGENTE A UNA FUNCIÓN 137 EJERCICIO 40 139 8.2.1. V ELOCIDAD PROMEDIO Y VELOCIDAD INSTANTÁNEA 140 EJERCICIO 41 142 8.3. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 8 144 9 . CÁLCULO (2)
145
9.1. LA DERIVADA 145 9.1.1. T EOREMAS DE LA DERIVADA 145 EJERCICIO 42 146 9.1.2. D ERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 150 EJERCICIO 43 151 9.1.3. L A REGLA DE LA CADENA 152 EJERCICIO 44 152 9.2. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 9 155 1 0 . CÁLCULO (3)
157
10.1. LA INTEGRAL 157 EJERCICIO 45 158 10.1.1. S UCESIONES 160 10.1.2. S UCESIONES ARITMÉTICAS 162 EJERCICIO 46 162
10.1.3. S UCESIONES GEOMÉTRICAS 163 EJERCICIO 47 164 10.1.4. S ERIES 165 EJERCICIO 48 166 10.2. INTRODUCCIÓN AL ÁREA 168 EJERCICIO 49 170 10.3. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 10 171
