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INTRODUCCIÓN , A LA ,TEORIA DE NUMEROS
Hugo Barrantes Pedro Díaz Manuel Murillo Alberto Soto
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INTRODUCCION A LA TEORIA DE NUMEROS ~
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UNED
UNIVERSfDAD ESTATAL A DISTANCIA
La asesoría metodológica y la Producción Académica de esta obra estuvo a cargo de la licenciada Johanna Meza
Fungieron como especialista& Profesionales de la Cátedra de Matemática Digitación y diagramación:
Hugo Barranús Diaedo de portada: Georgina Garcia Herrera
PRIMERA EDICIÓN
Primera edición: Universidad Estatal a Distancia San José, Costa Rica, 1998. Versión preliminar para efectos de edición.
ISBN ~1-003-4
512,7 161i
Introducción a la teoría de números I Hugo Barrantea ...(tt aLJ.- l . ed. - San José : EUNED,
1998.
180p. ISBN 9968-31-003-4
l . Teorfa de loe Números. l. Barrantee, Hugo.
n.Título.
Impreso en -costa Rica en los Talleres Gráficos de la Editorial EUNED. Reservados todos los derechos. Prolu'bida la reproducción total o parcial. Hecho el depósito de ley.
PREFACIO La Teoría de Números es, básicamente, el estudio de los números enteros. Constituye uno de los campos de las matemáticas que más interés despierta tanto en matemáticos como en no matemáticos; muchos de sus conceptos básicos son de gran simplicidad y pueden servir como elemento mori\·ador para el estudio de las matemáticas, especialmente en el nivel medio de enseñanza Así, el objeto principal de este texto es presentar esos conceptos básicos de ia teona. así como su·s propiedades, en una forma agradable y accesible a estudianres q_e _e están fo rmando para enseñar matemáticas en la escuela secundaria. Hemos :ra:a..:o ce que el material vaya siendo asimilado en forma paulatina, por esra razór: :e :-~-enra una buena cantidad de ejemplos ilustrativos referentes a los dife1e::res co-~ec:--:o- . : propiedades. En el primer capitulo se estudia el con~e"'"':o ·e ··-. .s·~·· 'ad y cuestiones relacionadas con él. Se inicia el mismo con el estudio C_e: =..e ..: e lllducción matemática; es casi seguro que el lector haya estudiado es:e ::.e- ,.: ... e
teorema de Fermat. El capitulo tercero está dedicado al estudio de algunas funciones especiales muy útiles en la Teoría de Números. Específicamente se estudian la definición y propiedades de las funciones parte entera, tau (7), sigma (a ), mu (p) de Mobius y fi (i.p) de Euler. El interés de este tipo de funciones es que sus valores dependen primordialVII
mente de las propiedades aritméticas de los números. Todas ellas, salvo la función parte entera, están íntimamente relacionadas con la descomposición prima de los números según el teorema fundamental de la aritmética. El capítulo cuarto se refiere al estudio de las congruencias y de algunos teoremas especiales, como los de Wilson, Fermat y Euler, relativos a ellas. Al final del capítulo se introduce el estudio de sistemas de congruencias a través del Teorema Chino del Residuo. Además de los ejemplos ilustrativos, cada sección del libro contiene una lista de ejercicios propuestos, de diferentes niveles, tanto numéricos como de carácter teórico. Estos ejercicios le permitirán al lector realizar un·buen entrenamiento sobre el conocimiento adquirido con respecto a los temas estudiados. Al final del libro se proporciona las soluciones de la mayoría de los ejercicios propuestos; algunas de ellas con bastante detalle y otras con algunas indicaciones que ayudarán al lector a resolver el ejercicio correspondiente. Nuestra idea con estas soluciones es que esta parte sirva como un elemento más de apoyo en la comprensión de los contenidos de la teoría. Sin embargo, no está de más recordar que la mejor manera de aprender es haciendo, de modo que lo recomendable es no ver las solucióne correspondiente a un ejercicio hasta tanto no se haya trabajado suficientemente en el ejercicio. De todas formas, el lector deberá tratar de encontrar la justificación de los diversos pasos de la solución que los autores proponemos. También se proporciona en el libro una bibliografia de referencia. Los libros y artículos que aparecen en ella contienen algunos elementos importantes relativos a distintos tópicos, por tal razón algunos de los libros que allí aparecen se mencionan en el transcurso de la presentación de la teoría. Finalmente, agradecemos a las personas que de una u otra manera nos han ayudado en la elaboración de este trabajo. Especialmente a la Licda. Johanna Meza, productora académica.
VIII
CONTENIDO Prefacio
v
Capítulo l. Divisibilidad
1
1.1 Motivación Histórica
3
1.2 Algoritmo de la división
4 18
Ejercicios 1.2 1.3 Máximo común divisor Ejercicios 1.3
19 27
1.4 Números primos
28
Ejercicios 1.4
35
Capítulo 2. Ecuaciones Diofánticas
37
2.1 Motivación histórica
39
2.2 Ecuación diofántica ax+ by = e
40
Ejercicios 2.2
60
2.3 Ecuaciones diofánticas lineales con más de dos incógnitas Ejercicios 2.3
61 66
2.4 Otras ecuaciones diofánticas Ejercicios 2.4
67 69
2. 5 Números Pitagóricos
69
Ejercicios 2.5
72
2.6 El último teorema de Fermat
IX
72
Capítulo 3. Funciones especiales
75
3.1 Motivación histórica
77
3.2 La función parte entera
78
Ejercicios 3.2 3.3 Funciones multiplicativas Ejercicios 3.3 3.4 La función de Mobius
88 89 96 97
Ejercicios 3 .4
108
3.5 La función de Euler
110
Ejercicios 3.5
115
Capítulo 4. Congruencias
117
4. 1 Motivación histórica
119
4.2 Sistemas de residuos y congruencias
121
Ejercicios 4.2 4.3 Teoremas de Wilson, Fermat y Euler Ejercicios 4.3 4.4 Teorema Chino del residuo Ejercicios 4.4
127 130 137 139
142
Bibliografía
145
Soluciones a ejercicios
147
Divisibilidad
Euclides
1.1 Motivación histórica 1.2 Algoritmo de la división 1.3 Máximo común divisor 1.4 Números primos
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Este capítulo proporciona e~ coacep::o ·e -.::T. -u:- y :ie ;rn:nero primo. Estos conceptos forman parte de los conocimien:os ce:::: 3:1-:--,z;~ ·... ·esce h2ce Clás de 23 siglos, y hoy siguen sorprendiendo por derclles q e ::o 3a:i s:eo ~-oJZ..:o_. La ideas esenciales son enseñadas desde la escuela :Pr~aria ?O= :IQ ~... e ho"y, as1 todo el mundo tiene un conocimiento claro de lo que significa un número prir::o. o ce una regla de divisibilidad. Además, esto ha hecho que muchas personas ql!e no han sido matemáticos profesionales, hayan demostrado algunos principios imponantes.
1.1 Motivación histórica Es dificil empezar un capítulo de divisibilidad sin hablar de Euclides. Euclides fue un matemático griego que vivió en Alejandría alrededor del año 300 a. C. Una de sus grandes obras consistió en 13 libros, llamados "Elementos", en donde él sintetiza y axiomatiza el conocimiento matemático de la época. De estos, los libros VII, VIII y IX están dedicados a la teoría de números. Esta obra llegó a nosotros por medio de traducciones que hicieron los árabes, las cuales trajeron luego a Europa por España. En el libro VII están las definiciones de número par, impar, primo, compuesto, plano (se descompone en dos factores primos), sólido (se descompone en tres factores primos), y perfecto (lo que suma los divisores menores es igual al número). Está también un algoritmo para calcular el máximo común divisor Él demostró los teoremas fundamentales sobre divisibilidad, de los cuales Gauss en 1801 dedujo el teorema fundamental de la Aritmética. Para Euclides los números se asociaban con segmentos. Así, un número divide
3
4
Divisibilidad
a otro, si con el segmento que representa al menor, se puede medir el otro segmento en forma completa. En el libro IX aparecen las proposiciones: "los números primos son más que cualquier multitud dada de ellos", y "si tantos números como queramos, comenzando con la unidad, se p onen seguidos en proporción doble hasta que la suma de todos sea un primo, y si la suma se multiplica por el último, el resultado será p erfecto" que corresponden en lenguaje moderno a: "hay una infinidad de números primos" y "el número (1 + 2 + 4 + · · · + 2n-l )(2n-l ) = (2n - 1)(2n-l) con 2n - 1 primo, es perfecto ". Es interesante saber que se puede demostrar que cualquier número de esta forma es perfecto, pero no se ha demostrado que los únicos números perfectos son de esta forma. Es fascinante el estudio de los enteros, por lo que, estimado lector, lo invitamos a descubrir parte de todo este conocimiento, en éste y los otros capítulos de este libro. Muchos de los teoremas de este capítulo corresponden a temas estudiados en la enseñ.anza primaria o secundaria, no por esto significa que sean simples o elementales. Es importante que usted los comprenda y entienda las demostraciones. En este capítulo, usted encontrará: el algoritmo de la división, las definiciones de divisor y de múltiplo, los teoremas generales de divisibilidad, las propiedades del máximo común divisor y mínimo común múltiplo, algunas reglas o criterios de divisibilidad, el concepto de número primo, propiedades de los números primos, el teorema fundamental de la aritmetica y se concluye con un algoritmo para determinar ' . numeros pnmos. Al final de cada sección hay ejercicios para complementar los conocimientos y las destrezas adquiridas en la sección.
1.2 Algoritmo de la División Iniciaremos con algunos conocimientos previos, los cuales quizá usted ya conozca, pero son muy importantes a lo largo del libro. El primero es el principio de buen ordenamiento de los números naturales y el segundo, el principio de inducción matemática. Denotamos por N el conjunto de los números naturales y consideraremos además,. que N = {l , 2, 3, .. .}.
5
Algoritmo de la División
P:roposici6n 1.1 (Principio de buen ordenamiento) Todo subconjunto no vacío de los números naturales tiene un primer elemento o elemento mínimo.
Demostración: Sea 0 # S e N. Si 1 E S, es cierta la afirmación, si no, como S =J 0 existe n E S, n > l. Sin < m, Vm E S entonces n es el mínimo. Si esto no sucede, la afirmación n - k E S debe de ser verdadera para algún k, k = 1, ... , n - l. Sea k0 el mayor valor en que la afirmación es verdadera, así, n - ko E S y n - ko < m , Vm E S . • Denotamos por min A al primer elemento o elemento mínimo de A. Si A
e
N
posee último elemento, este se denota por max A. No todo subconjunto no vacío de N tiene último elemento o elemento máximo, como es el -c aso del cojunto de los números pares. Si un subconjunto de N tiene elemento mínimo y elemento máximo, este conjunto es finito . Ejemplo 1 Considere el conjunto A = {n E _;: 15n - n2 > ID} ¿cuál es min A? ¿Es este conjunto finito?
Solución : Primero, preguntémonos si este conjunto no es vacío, para esto busquemos un número que cumpla con 15n - n 2 > 40. Podemos sustituir con n = 10 y obtenemos 150 - 100 = 50 > 40 por lo que se cumple con la desigll:lldad. Por el principio de buen ordenamiento, este conjunto debe tener un primer elemento. Como con n = 3 la expresión 15n - n 2 = 36 < 40, y con n = 4 se tiene l5n - n 2 = 44 > 40 concluimos que 4 E A y 3 rf. A. Podemos comprobar que ningún otro número menor que 4 esta en A, así tenemos que 4 = min A. Además, si n = 11 tenemos 15 · 11 - 11 2 = 44 > 40 por lo que 11 E A. Si n > 15 entonces 15n - n 2 < O y como podemos comprobar que 12, 13 y 14 rf. A, así que A= {4, 5, 6 , 7 , 8 , 9, 10, 11} y es finito. D No todo conjunto tiene primer elemento. Por ejemplo ]2, 3) o { q E Q : q2 < 2} son subconjuntos no vacíos de lR sin primer elemento. Una proposición equivalente con el principio de buen ordenamiento se conoce como "Principio de Inducción" muy útil para hacer pruebas relativas a números enteros y naturales. Se expone aquí en dos versiones, que si bien son diferentes, son equivalentes.
6
Divisibilidad
Proposición 1.2 (Principio de Inducción.) Sea P( n) una propiedad definida para todo n EN, suponga que P(l) es verdadera. Si siempre que P(s) es verdadera para todo s < k se puede demostrar que P(k ) también lo es entonces, la propiedad P(n ) es cierta para todo n E N. Demostración: Suponga que existe n E N tal que P(n) es falsa. Supondremos que P(l ) es verdadera y si s < k con P ( s) verdadera entonces P ( k) es verdadera. Defina:
A = {n E N : P (n) es fal sa } entonces n E A por lo que A f:. 0 y tiene primer elemento. Sea n 0 = min A, como no f. 1 tenemos que si s < no entonces P(s) es verdadera, por hipótesis esto implica que P( n 0 ) es verdadera, contradiciendo nuestra suposición inicial. Por lo tanto P(n) es verdadera \:/n E N.
•
Otra manera de enunciar el Principio de Inducción es: Sea P(n) una afirmación para n EN, P (n ) se cumple \:/n EN si:
(i) Se verifica para n = l. Es decir P(l ) es verdadera. (ii) Si siempre que P(n) es verdadera se puede mostrar que P (n verdadera.
+ 1) es también
Suponga que deseamos saber cuanto suma 1 + 3 + 5 + · · · + (2n - 1), o sea, los números impares positivos menores que 2n. Unos primeros ensayos con n = 3,
n = 5, y n = 6 nos dan como resultado:
1 +3+5 1+3+5+7+9 1 + 3+5+7+9 + 11
9 = 32
25
= 52
36 = 62 .
Lo que nos lleva a pensar que la suma siempre dará un cuadrado igual al número qe sumandos. Pero de conjeturar a demostrar, hay un camino largo. Para estar seguros no podremos hacer todos los casos posibles, pero sí una prueba lógica que determine la veracidad de la afirmación.
Ejemplo 2 Sea n E N, la suma de todos los números impares menores que 2n es igual a n 2 .
7
Algoritmo de la División
Solución : El tipo de problema se presta para demostrarla haciendo uso del principio de inducción Para n = 1, es claro que la afirmación es verdadera. Supongamos que la afirmacion se cumple para n, entonces tenemos que demostrarlo para n + l. La suma de todos los impares menores que 2(n + 1) es 1 + 3 + · · · + (2n - 1) + (2n + 1)
(1+3 + · · · + 2n - 1) + (2n + 1) n 2 +2n+1
(n + 1)2 por lo que la afirmación se cumple paran+ 1, y por lo tanto se cumple Vn EN. O
Ejemplo 3 Sea b EN, b > 1 entonces para todo n EN se cumple n< bn. Solución : Probemos la afirmación por inducción. Si n = 1, es cierta pues 1 < b1. Si suponemos que n < bn probaremos que (n + 1 < bn+ 1:
(n + 1) < bn + 1 < bn + b
< bn + bn = 2bn < b. bn = bn+l
o
por lo que (n + 1) < bn+l.
La división Euclídea. Antes de definir el algoritmo de la división, podemos visualiz.ar el proceso de dividir dos naturales de una manera intuitiva. Tome por ejemplo n = 5 348 y b = 13. Queremos saber, ¿cuántas veces cabe 13 en 5 348? y si sobra, ¿cuánto sobra? Antes de dividir de la manera tradicional, busquemos la mayor potencia de 13 que sea menor que 5 348. Probando obtenemos que 133 = 2197, de manera que con 5 348 podemos formar dos grupos de 2 197 y nos sobra 954. Ahora hagamos lo mismo con este sobrante, con él podemos formar cinco grupos de 169 = 132, aún sobra 109. Luego formando con 109 ocho grupos de 13 y sobran cinco, así 5 + 8. 13 1 + 5 . 132 + 2 . 133,
(1)
5 + 13(8 + 5. 131 + 2 . 132 ) = 5 + 13(411).
.(2)
5 348 = o bien 5348
. 8
Divisibilidad
Gráficamente: O············ ··················· ············ ··O························· ················· ···O o 2197 4394
954
O 5348
109
0 ··················0··················0··················0··················0··················0---0
o
169
507
845
954
5 0···········0···········0···········0···········0···········0···········0···········0···········0--0
o
13
39
65
91
109
Cada una de estas maneras de representar al 5 348 tiene una utilidad practica. La forma ( 1) pennite escribir a cinco mil trescientos cuarenta y ocho en base trece, por consiguiente (5 348)¡0 = (2 585)¡3 , y la segunda forma (2), responder a la pregunta inicial: 13 cabe 411 veces en 5 348 y sobra 5. Después de este ejemplo, podemos preguntar: ¿será posible, dados dos números naturales, hacer lo mismo que se hizo con 5 348 y 13? Esto es, ¿dadas dos cantidades n y b con n > b, existe m E N de manera que, puedo formar am < b grupos de bm, ªm-l < b grupos de bm- l y así sucesivamente hasta obtener un grupo ao < b? Notemos que, si esto sucede, podemos expresar a n como un múltiplo de b más otro número, de manera que ese otro número sea no negativo y menor que b. Esto lo demostramos en los siguientes dos teoremas. El primero fundamenta el uso de un sistema númerico posicional. El segundo se le conoce como el Algoritmo de la división euclideana.
Teorema 1.3 (Representación en una base b) Sea b E N, b > 1 y n un número natural cualquiera, entonces existen únicos ao, a 1 , .. . , am E {O, 1, ... , b - 1} con am =/= Otales que
Demostración: Haremos la prueba por inducción. Si n = L tomamos m = O y ao = l. Supondremos ahora, que para todos < n existen únicos ªb' a~, ... , a~ E {O, 1, .. . , b - 1} con a~ =I= Otales que s = ªb + a~ · b + a~ · b2 + · · · + a~ · bk. Para demostrar que existen a0 , a 1 , ... , am E {O, 1, .. . , b - 1} paran, defina A
= {k E N : n < bk}.
9
Algoritmo de la División
Sea ko = min A, este mínimo existe pues A
=f. 0 ya que n E A (vea el ejemplo 3). Si
n = !}o, hemos probado el teorema con m = ko y tomando ao = a1 = · ·· ª1co-1 = O y ako = l. Si n < bko, llamemos a ko - 1 = m entonces bm < n < bm+1, así, existe un am E {1, 2, ... , b - 1} tal que ambm < n < (am + l)bm. Ahora, considere s = n - ambm > O. Comos < n, por la hipótesis de inducción, existen únicos ah, a~ , .. ., a~ E {O, 1, .. ., b - 1} con a~ =f. O tales que s = ah+ a~· b + ~ · b2 + ... + a~ · bk entonces n
= s + (n - s) = a~ + a~ · b + a~ · b2 + · · · + a~ · bk + am ·bm .
Como n < (am +l )bm => s = n- ambm < bm entoncesbk
k < m. Por lo tanto, tomando ao =ah, a 1 = a~, . .. , ak = a~ y si k =f. m -1 tómese a;= O para k
< j < m - 1, de esta forma tenemos que n
m
= :Z a;,bi.
•
i=O
Notemos que~ la prueba de este teorema se basa fuertemente en el principio de buen ordenamiento. Note además que, este teorema sirve para representar números naturales usando bases naturales. Sin embargo, cuando la base b es negativa este teorema servirá para representar cuajquier entero. No se podrá usar cuando n < Oy
b > 1, como se explicará después.
Ejemplo 4 Represente los números cuatro mil trescientos veintitres en base veintisiete, veinticinco en base treinta, setenta y dos en base tres.
Solución : n = 4 323 y b = 27, 4 323 = 3 + 25 · 271 + 5 · 272 que indica que la representación en base 27 de 4 323 es (5 25 3)21. Se acostumbra cuando la ~e es mayor que 10, usar una letra para designar el símbolo que representa las cantidades superiores a 9. Así, A = 10, B = 11 etc .. De esta forma 4323 = (503)27 . Si n = 25 y b = 30 tenemos 25 = ( 0 ) 30 . Si r,, = 72 y b = 3 se tiene 72 = O+ O· 3 1 + 2 . 32 + 2 . 33 = (2 200)3. o Usaremos el Teorema 1.3, para probar el Algoritmo de la división. Teorema 1.4 (Algoritmo de la División) Dados n y b enteros positivos existen únicos enteros q y r con O < r < b tal que n = qb + r.
Demostración: Notemos primero que se está escribiendo el problema de dividir en términos de la multiplicación y la suma. Si b = 1 tomemos q = n y r = O así n =
•
10
Divisibilidad
· n· 1+0. Si b > 1porelteorema1.3, existen únicos ao, ai, ... , am E {O, 1, ... , b- l} tales q9e n
ao + a¡ . b + ª2 . b2 + ... + ~ . bm ao + b(a¡ + ª2 . b + ... + am. bm- 1) .
Si tomamos q = a 1 + a2 · b + · · ·
+am · bm- 1 y r =
(3) (4)
ao, tenemos que
n = bq + r. Por la unicidad de la representación, q y r son únicos y O < r <1
{O, 1, ... , b - 1}.
< b se cumple pues •
Definición 1 En la notación del teorema anterior llamamos a n el dividendo, a b el dJvlsor, q es .e l cociente y r es el residuo.
Ejemplo 5 Detennine cociente y residuo de la división de 1235 por 24. Solución : Como 1 235 11.
= 51 · 24 + 11. Tenemos que el cociente es 51 y el residuo D
Ejemplo 6 Busquemos el residuo y el cociente si el dividendo es n 3 +5n2 + 7n+ 10 y el divisor n + 2 con n E N. Solución : Notemos que usando división de polinomios encontramos la igualdad:
pero esto :r.·J significa necesariamente que el cociente es n 2 + 3n + 1, ni que el residuo sea 8. (¿Por qué?) Como debemos cumplir las condiciones del teorema, se tiene que analizar el caso n + 2 < 8. Si este es el caso, existen cociente q y residuo r de la división den+ 2 por 8. Así, 8 = q(n + 2) + r con O< r < n + 2 entonces n 3 + 5n2 + 7n + 10 = (n 2 + 3n + 1 + q)(n + 2) + r. Por lo que el cociente es n 2 + 3n + 1 + q y el residuo es r . Si n + 2 > 8 el cociente sí es n 2 + 3n + 1 y el O residuo 8. En el ejemplo anterior, sin= 5, la división tiene dividendo 295 y divisor 7, el cociente es 42 y el residuo es 1; aunque evaluando n 2 + 3n + 1 = 41. En cambio, sin = 10, la división tendrá dividendo 1580 y divisor 12, el cociente es 131 y el residuo es 8.
Algoritmo de la División
11
Al restringir el residuo a valores no negativos, estamos con ello asegurando la unicidad de la representación. Lo anterior aunque parece evidente es muy importante. Ya que si no ponemos esta condición al residuo, puede obtenerse cualquier igualdad. Por ejemplo 24 = (3)9 + - 3 o 24 = (-2)9 + 42 que son igualdades verdaderas pero no corresponden a cociente y residuo de la división de 24 por 9. Es posible extender el algoritmo de la división a enteros negativos. Para ello, basta con indicar que el residuo debe de ser no negativo y menor que el valor absoluto del divisor Por ejemplo, al dividir 13 por - 4, se tiene la igualdad 13 = (- 3)(- 4) + 1 por lo que el cociente es -3 y el residuo es l. Si dividimos -13 por 4, se tiene -13 = (4)(- 4) + 3 y no -13 = (3)(-4) + -1 pues el residuo no debe de ser negativo. Dé usted ejemplos de cociente y residuo si divisor y dividendo son negativos. Corolario 1.5 Dados n y b enteros con b O < r < lbl tal que n = qb + r.
=I
O existen únicos enteros q y r con
Demostración: Analicemos los diferentes casos. Si n > Oy b > O, corresponde al teorema anterior. Si n= Oy b =I O, tomamos q = Oy r =O y se cumple O= O·b+O. Si n < Oy b < O, tenemos, como es usual en estas situaciones, -n > Oy -b >O. Usando el teorema anterior existen q y r naturales tales que: -n = q(- b) + r con O< r < - b = lbl; de manera que
n = (- q)b + (-r) con b < - r < O. Si r = O, tenemos lo deseado, si no, escribimos n = (- q + I )b + (-b - r) y como O < - b - r < - b = lbl, el cociente es - q + 1 y el residuo es -b - r . Se deja al lector como ejercicio los otros casos. • Exploremos qué sucede si el divisor es cero. Por la unicidad del residuo, este debe de ser cero. El cociente q puede ser cualquier número, ya que, por la propiedad absorbente del cero, el producto de q · O = O. De aquí que el dividendo debe de ser cero también. Por esta razón, se elimina la posibilidad de que el divisor sea cero. Definición 2 Decimos que b es un /actor de n o bien b es un divisor de n o n es un múúiplo de b, si el residuo de la división den p or b es cero. Decimos también
12
Divisibilidad
que bln (se lee "b divide a n ) si el residuo es cero. Cuando el residuo no es cero escribimos bJn.
Notemos que al decir que bln estamos afirmando que n = qb para algún q E Z. Y si bln entonces existen q E Z y r E 1, 2, ... , b - 1 tal que n = qb + r. Aunque la división de Opor Ono esta definida aceptamos la expresión OIO pues O= k ·O para todo k E Z.
Ejemplo 7 Siempre n + 2 es un factor de n 3 + 2n 2 +8n +16. Solución: Basta con hacer la división de n 3 + 2n2 + 8n + 16 por n
como ejercicio)
+ 2. (Hágala O
El ejemplo anterior nos dice que 1296 es divisible por 12 haciendo n = 10, o el número 231 es un múltiplo de 7 evaluando en n = 5.
El siguiente teorema nos da propiedades de la relación a jb. Por ejemplo, que esta
relación es de orden parcial 1 sobre los naturales. Esto particularmente es importante, pues nos permitirá definir el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor Tuorema 1.6 Sean a, b, e E Z números cualesquiera. Entonces: l. ala 'Va E Z.
2. Si a jb y bja entonces !al = jbj. 3. Si alby ble entonces ale. 4. l ja y a jO'Va E Z.
5. Si alb y
aleentonces aj(nb + ke) 'Vn, k E Z.
6. Si ale entonces (ab)j(cb). 7. Si Ola entonces a = O. 8. Si alb entonces lal < lbl. 9. (.ic) l(bc) y e·# Oentonces alb. Demostración: Cada una de estas propiedades se pueden demostrar usando la defi-
nición anterior Probaremos la 9. y el resto se dejan como ejercicio. Sabemos que 1
Una relación es de orden parcial si es reflexiva, antisimétrica y transitiva.
Algoritmo de la DM sión
13
existe k E Z tal que be= (ac)k *be- (ak )c = O:=:;.. c(b- ak ) =O y como e# O tenemos que b = ak. • Podemos utilizar algunas de las propiedades anteriores cuando decimos que 3118 y 181(- 54) entonces 31(-54), o bien como 6118 y 6142 entonces 61174 pues 174 = 5. 18 + 2. 42. Criterios de Divisibilidad
Las reglas o criterios de divisibilidad consisten en procedimientos prácticos que permitien determinar, sin hacer la división, si un número es divisor de otro. Se toman a partir de la representación del entero en base diez y manipulando los dígitos. Notemos que, actualmente contamos con instrumentos tecnológicos, que permiten determinar el residuo de la divisiún entre dos enteros. Aún así, estos instrumentos son limitados y nuestro conocimiento no debe estar limitado por el uso o no de un instrumento. Por ejemplo: ¿será 1011011110 ... 01111111111111111 divisible por 3, 9 u 11? Quizá usted no tenga a mano un instrumento que maneje un entero de 35 cifras, aún si lo tuviera, es más fácil que usted aplique una regla de divisibilidad y decidir, a que lo digite y el instrumento decida por usted Además, es más complicado erificar la afirmación que, cualquier número de tres cifras, tales que, las cifras sean números consecutivos, como en 786 o 102, es divisible por 3, comprobando todos los casos posibles, que hacer una demostración· usando una regla de divisibilidad. También buscamos la eficiencia. En algunos casos, la utilización de algunas reglas de divisibilidad, va mas alla que saber si el residuo es cero~ como \'eremos más adelante. Proposición 1.7 (Regla de divisibüidad por 3 ó 9) Sea n E . , n es divisible por 3 o por 9, si la suma de los dígitos es un múf{lpfo de 3 ó 9. Demostración: Sea n= do+ d1 · 10 + d2 · 1017 · · · - <Í,n · 1om como 10 = (9+1), 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1 en general IOé = 9s + 1 con s EN, así
n
do + d1 · 10 + d2 · 102 + · · · + ~ · 1()171 do+ d1·(9+1) + d2 · (99 - 1 + .. · + dm · (9s + 1) do + d1 + d2 + · .. + dm + 9{d1 + l ld2 + + " · + S · dm) do + d1 + d2 + · · · + dm + 9x
14
Divisibilidad
entonces n
.
= 3k si do+di +di+· · ·+dm = 3q, o bien n = 9k si do+di +· · ·+dm =
~
Un detalle que se deduce de la demostración, es que, si queremos encontrar el residuo de la división entre un número positivo y 3, podemos sumar las cifras del número y esta suma tendrá el mismo residuo que el número inicial. Es más, podemos eliminar todas las cifras 3, 6 y 9, y si al sumar dos o más cifras da múltiplo de 3, podemos eliminar estas cifras y sumar con las cifras restantes. Ejemplo 8 Determinar el residuo de la división entre 2 386 723 456 789 y 3.
Solución: Procedamos así, quite todas las cifras múltiplos de 3 quedando 28 724 578. Luego, al empezar a sumar de derecha a izquierda 8+ 7, 5+4 y 2+ 7 suman múltiplos de 3, por lo que solamente queda 8 + 2 = 10 y como el residuo de la división de 10 por 3 es 1, este es el residuo buscado. O Proposición 1.8 (Regla de divisibilidad por 11) Sea n E N, n es divisible por 11,
si la suma de los dígitos de las posiciones pares menos la suma de los dígitos de las posiciones impares es un múltiplo de 11. Demostración: Sean = do + di· 10 + d2 · 102 + · · · + dm · lOm suponga, sin perder generalidad que m es impar Como 1O = 11- 1, 100 = 11 ( 9) +1, 1 000 = 11 ( 91 ) - 1 y en general lOk = lls + 1 con s E N si k es par y lOk = l ls - 1 con s E N, si k es impar, así n
do+ di · 10 +di · 102 + · ·· + dm · lOm do + di · (11 - 1) + d2 · (11(9) + 1) + · ·· + dm · (lls - 1) do - di+ d2 - · .. - dm + ll(d1 + 9d2 + (do+ d2
+ · · · + dm-1) -
(d1
entonces n = llk si (do+ d2 + · · · + dm- 1 )
+ d3 + · · · + -
· · · + S · dm) dm)
+ llx
(d1 + d3 + · · · + dm ) = llq.
•
El comentario hecho para encontrar el residuo de la división por 3, usando la regla de divisibilidad por 3~ se puede modificar para encontrar el residuo de la división por 11 usando la regla de divisibilidad por 11 . Ejemplo 9 Encontrar el residuo de la división de 66 225 929 837 591 por 11.
15
Algoritmo de la División
Solución : Coloquemos las cifras de este número en una tabla: d13
6
d12 6
du 2
dio
2
dg 5
ds 9
d1 2
d5 9
d5 8
d4
3
d3
7
di di do 5
9
1
Tomemos las cifras en las posiciones pares 1, 5, 3> 9, 9>2, 6 como 1 + 5 + 3 + 9 + 9 + 6 = 33, descartamos estas cifras y nos queda 2. Tomamos las cifras en las posiciones impares y hacemos lo mismo 9+7 +8+2 +5+ 2 = 33, descartamos esta.) cifras y nos queda 6. Hacemos la resta 2 - 6 = -4 que nos indica que el número no es múltiplo de 11 y que le faltan 4 para llegar a serlo. Por lo que el residuo de la división por 11es7. D
Proposición 1.9 (Regla de divisibilidad por 7) Sea n E _~. n es d1V1 1ble por 7. Si al restar el doble de la unidades al número que queda uprnniendo el dígito de las unidades, el resultado es un múlciplo de 7. Demostración: Sea n = lüa + u con O < u < 10 el dígito de las unidades, a es el número que queda de suprimir a n el digíto de las unidades . Tenemos que probar que a - 2u es un múltiplo de 7 . Sabemos que 7 l(10a +u ) y 7l(7a), usando el Teorema 1.6.(5) 7 l(3(7a) + (-2)(10a +u)) entonces 7 i(a - 2u). •
Ejemplo 10 Determinar si 760 578 es múltiplo de 7. Solución: En este ejemplo a = 76 057 y u = 8. Tenemos que determinar si a- 2u = 76 041 es múltiplo de 7. Como a simple vista no lo sabemos, procedemos igual tomando a = 7 604 y u = l. Como obtenemos a - 2u = 7 602, volvemos a tomar a = 760 y v, = 2. Esta vez a - 2·u = 756 y una vez mas, a - 2u = 63. Como 63 sí es un múltiplo de 7 concluimos que 760 578 es múltiplo de 7 también. D Lamentablemente esta última regla no permite determinar el residuo de la división por 7. Hay muchas otras reglas de divisibilidad, pero no es nuestro objetivo darlas aquí, la idea es que usted conozca las presentadas y entienda sus demostraciones. Al inicio de esta sección, se habló de la representación de enteros en diferentes bases. Es posible que la forma de encontrar la representación le parezca un poco complicada. Usando el algoritmo de la división, se puede conseguir un procedimiento para encontrar tal representación. vamos a demostrar que, la sucesión de los
16
Divisibilidad
residuos forma la representación de un número en una base. Tomemos por ejemplo, ¿cómo representar 245 en base 8? Procedamos dividiendo 245 por 8, obtenemos un cociente q0 = 30 y un residuo de r 0 = 5. Ahora, continuando el proceso con 30, obtenemos un nuevo cociente q1 = 3 y un residuo r 1 = 6. Al continuar con 3 tenemos un cociente de q2 = Oy un residuo r 2 = 3. Cuando el cociente es cero el proceso se detiene y la representación de 245 en base 8 es 245 = (r2r 1ro )s = (365)s. En efecto 245 = 5 + 6 · 8 + 3 · 82 . El procedimiento anterior es general, paran > O y b E Z tal que lbl > l. Defina q0 y r 0 cociente y residuo de la división de n por b. q1 y r 1 cociente y residuo de la división de q0 por b y así sucesivamente. Por los ejemplos, esperamos que eventualmente exista m E N tal que qm = O. Lo cual demostraremos en la siguiente proposición. Entonces n se representa en la base b como n = (rmrm-l · · · r1ro)b. Proposición 1.10 Sea n > O, n E N y b E Z con lbl > 1 entonces existe m E N tal que la sucesión de cocientes (qk )kEN descrita anteriormente cumple con qk OVk > m.
Demostración: Nótese que si existe m E N tal que qm =O ~ qm+k = OVk E N. Como qi = qi+ib + ri+1 entonces jqi+il < lqil· Por lo que existe s E N tal que O< lqsl < lbl. Si q8 =O tenemos lo esperado. Si no, suponga que q8 > O, como
por lo que también se cumple con el cociente igual a cero. Si sólo si b < O, así,
y dado que q8 + 1
qs < O esto sucede
> Oentonces q8 +2 =O. Y también el cociente es cero.
•
Ahora tenemos las herramientas para demostrar el siguiente teorema. Teorema 1.11 Sea b E Z con lbl > 1, sea n E N y (rk)zi=1 la sucesión de residuos definida anteriormente, entonces n se representa en la base b como n (rmrm- 1 · · · r1ro)b· Demostración: Lo que hay que probar es
n = ro + r1 · b + r2 · b2 + · · · + rm · bm
17
Algoritmo de la División
sabemos que
n
qob +ro (q1b + r1)b +ro = q¡ · b2 + r1 · b + ro 2
( q2b + r2) b2 + ri · b +ro = q2b3 + r2 · b
+ r1 · b +ro
( qmb + r m) · bm + · · · + r2 · b2 + r1 · b + ro como qm = O 2
rm · bm + · · · + r2 · b
+ r1 · b + ro
•
El teorema anterior excluye la posibilidad cuando n < Oy b > Opues el lado derecho de la igualdad probada es positivo. Además en este caso la sucesión de cocientes no es finita. Esto hace que para representar números negativos usando una base positi a, es necesario usar un símbolo ( - ) que signifique que la representación es de un número negatiYo.
Ejemplo 11 Representemos a -23..; en base b = 7. Solución: Como se mencionó anteriormente, se debe encontrar la representación de
234 en base 7, se procede como antes y se obtiene que 234
-234 = (-453)7.
= (453)7 ,
por lo que
o
Ejemplo 12 Represente a 184 en base b = - 5. Solución : Primero notemos que los únicos residuos permitidos son O, 1, 2, 3 y 4.
Dividamos 184 por - 5, el cociente es q0 = -36 y el residuo es r0 = 4. Continuamos con -36 dividido por - 5, obteniendo un cociente q1 = 8 y un residuo de r 1 = 4. Proseguimos con 8 dividido por -5, el cociente es q2 = -1 y residuo r 2 = 3. Al dividir - 1 por -5 tenemos que el cociente es q3 = 1 y el residuo r 3 = 4. Al hacer la división de 1por 5 el cociente q4 = Oy r 4 = l. Por lo que, 184 = (14 344)_ 5 . D
Corolario 1.12 Sean n, b E 7l tal que b < - 1 y (rk)k=l la s ucesión de residuos definida anteriormente, entonces n = (rmrm-l · · · r 1 ro)b· Demostración: Notemos que lo único que hay que demostrar es cuando n < O. Observe que al buscar el cociente y el residuo de dividir n por b, n1 = q0 b + r 0 . De
18
Divisibilidad
donde se tiene que q0 > Oy el teorema 1. 11 afirma que existe m
E
N tal que
(r:n r:n_ 1 · · · r~ rb) b ~ (r:nr:n_1 · · · r~rbO)b ~ (
1 I I ) rImrm-1 ... r1roro b
Y tomando rm+l = r~rP rm = r~_ 1 etc .. Por lo tanto n = (rm+1rm · · · r1ro) b.
•
Es interesante observar que cuando la base es negativa no se ocupa de ningún signo para representar a los números negativos o positivos, por ejemplo (1011)-2 = -9 y (101)_ 2 = 5. Todos los números enteros en base - 2 se representan usando solo unos y ceros.
Ejercicios 1.2 l. Pruebe que 1 + r
+ r 2 + · · · + rn =
rn+l - 1
r- 1
2. Pruebe que la suma de los cubos de los números naturales menores o iguales a n, es igual al cuadrado de la suma de los números naturales menores o iguales
an. 3. Sean a, b E N defina A = { k E N : es múltiplo de a y b}. Demuestre que este conjunto tiene un primer elemento. 4. Existencia del elemento máximo Sea B i: 0 subconjunto de N, suponga que existe m E N tal que b < m para todo b E B. Demuestre que existe bm E B tal que b < bm para todo b E B. A bm se le llama el máximo de B .
5. Sean a, b E N defina A = { k E N : es divisor de a y b}. Demuestre que este conjunto tiene elemento máximo. 6. Si q y r son respectivamente el cociente y el residuo de la división de n por b, encuentre los residuos y cocientes en términos de q y r para: n por -b, - n por - by -n por b. Ilustrelos con un ejemplo. 7. Pruebe que si a y b son impares entonces 8j(a2 - b2 ). 8. Pruebe que si a es impar entonces 12j(a2 +(a+ 2) 2 +(a+ 4) 2 + 1). 9. Pruebe que si 6 j(n (n + l )(n + 2)), Vn EN.
Máximo Común Divisor
19
+ 3n+2 ), \In E N. Pruebe que si 3 Jn entonces 3I(n2 - 1).
10. Pruebe que 13l(42n+l 11.
12. Pruebe que n 5 tiene el mismo dígito final que n .
13. Regla de divisibilidad por 37. Sea n E N, pruebe que n es divisible por 37, si la suma de los dígitos de las posiciones O, 3, 6 etc. más la suma de los dígitos 1, 4, 7 etc. mutiplicada por 1O, menos la suma de los dígitos de las posiciones 2, 5, 8 etc. multiplicada por 11 es un múltiplo de 37. Por ejemplo 16169 es múltiplo de 37 ya que (9 + 6) + 10(6 + 1) - 11(1) = 74 = 37 · 2. 14. Represente n en la base b: (i) n
(ii) (iii) (iv) () ( i)
= 1845, b = 16.
n = 1845, b = -16. n = 9372, b = . n = - 9372, b = . n = 2467,b= -10. n = 4 48 b = -t
15. Defina A= {n E .V: n = (amªm-1 . . . a{))2 = (amllm-1 ·. ·ª<:l'-2} determine a A por extensión. ¿Cuál es su primer elemento? ¿Tiene elemento máximo?
1.3 Máximo Común Divisor En la sección anterior se definió lo que significa divisor. Algunos problemas que involucran dos cantidades se pueden resolver fácilmente encontrando un número que sea divisor de ambos y que sea el mayor divisor. Ejemplo 13 Se tiene una habitación rectangular de 245 cm, de ancho por 315 cm de largo. Si podemos escoger el tamaño de las piezas cuadradas de cerámica para el piso, ¿cuál debe ser el mayor tamaño de estas piezas, para que no se tenga que partir ninguna y comprar la menor cantidad posible? Solución : Sea n el tamaño buscado, sea k el número de piezas que colocaremos al
Jo largo y q el número de piezas que colocamos a lo ancho. Se debe cumplir con 245 = nk y 315 = nq, es claro que estas dos ecuaciones tienen varias soluciones, (n = 1 k = 245, q = 315, ¡pero este tamaño no es cómodo!) Podemos ensayar y
20
Divisibilidad
descubrir que el mayor valor para n es 35, por lo que k = 7 y q = 9. En total se D deben comprar 63 piez.as de 35 x 35. El problema anterior consistía en encontrar el valor entero que fuera divisor de ambos números y que fuera el mayor. Este número siempre existe por el principio de buen ordenamiento (vea ejercicio 5 de la secciór.. anterior). Definición 3 Sean a, b E Z, no ambos cero, denotemos por Da y Db el conjunto de los divisores positivos de a y de b respectivamente. El entero d se llama Máximo Común Divisor de a y b si: y se denota d = mcd( a b).
Notemos que si a y b no son ambos cero, por el principio de buen ordenamiento este máximo existe y es único. Algunos autores utilizan (a, b) para indicar el máximo común divisor, pero esto puede confundirse con un punto en el plano Euclídeo por lo que aquí siempre se usará mcd( a, b). Ejemplo 14 ¿Cuál es el mcd(45 , - 18)? Solución : Como los divisores positivos de 45 son {1, 3, 5, 9, 15, 45} y los divisores positivos de -18 son {1, 3, 9, 18} el valor de mcd( 45, -18) = 9. O
Sean x , y E Z, si consideramos todas las posibles sumas de expresiones positivas de la fonna ax+ l>y, la expresión mínima suma el mcd(a, b). Esta propiedad del mcd(a, b), que demostraremos más adelante, la ilustramos tomando a = 45 y b = - 18 y considerando algunos valores de x y de y: X
1 1
y
45x + (-18)y
- 1
63
1
-1 -3 1 2
2 4
27 9 9
18
Observemos que todos los resultados dieron múltiplos de 9. Teorema 1.13 Sean a y b no ambos nulos entonces existen s y t enteros tales que mcd(a, b) = as+ tb
21
Máximo Común Divisor
y mcd(a, b) = rnin{ ax+ by> O, x, y
E
Z}, note que s y t no son únicos.
Demostración: Supongamos que a=/:- O. Definamos A
= {z = ax + by con x, y E Z : z > O.}
Note que a2 E A, tomando x =a y y= Opor lo que A=/:- 0. Como A e NA posee primer elemento, denotemos por d = rnin A, de esta forma existen x y y tales que
d=ax+by y cualquieI otro elemento de A es una suma ax
demostrará que d
= mcc! a. b
+ by que es mayor o igual a d.
Se
. -=illle;o veamos qu_e es cfulioT C'e c.. S-?J:2ga ~:
para a por d> y exis~en q e =y 0 < .,. < d ~ ~ .'.: = -:. ~· - T. r = a - qd sustituyendo a 5· rees_ ~~:~_:
u;.-e:?.::.e::
r
a - q c:.x , by)
r
a(l - qx) + b -qy)
~C)
r
ax'+ by'
(i )
lo que implica que r E A, contradiciendo que d es el mínimo. Por lo tanto r = O y dla. Bajo el mismo argumento dlb. Basta probar quedes el máximo. Sea e otro divisor positivo común de a y b, entonces a = me y b = ne para enteros m y n así:
d
ax
+ by = mcx + ncy
(8) (9)
c(mx + ny) de donde cid y usando Teorema 1.6(8) e< d. Por lo tanto d = mcd(a, b).
1
•
Algunas veces se define el mcd( a, b) como el entero d que cumple con l. d >O.
2. dla y dJb 3. Si existe e E Z es tal que cJa y clb entonces cid Esto ahora lo podemos enunciar como ·una proposición, las dos primeras son evidentes de la definición y la tercera se deduce de la igualdad (9). Podemos adoptar
22
Divisibilidad
cualquiera de las dos definiciones expuestas para hacer las demostraciones. Generalmente buscamos el máximo común divisor solo sobre cantidades positivas. Esto se hace, pues este máximo no varía si la cantidad es positiva o negativa y en general es más cómodo usar números naturales. La siguiente proposición demuestra esta afinnación. Teorema 1.14 Sean a y b enteros no ambos cero, entonces se cumple con: l. mcd(a, b)
= mcd( lal, lbl).
2. Si a =/= Oy ajb entonces mcd(a . b) = 3. Si e =f O entonces mcd (ca cb) =
lal en particular si b =
O, mcd(a. O) =
lal.
lcl mcd (a. b).
Demostración: Ejercicio para el lector
•
Definición 4 Si a y b son enteros tales que mcd(a, b) = 1, entonces a y b se llaman primos relativos.
Un resultado muy útil cuando tenemos que demostrar propiedades de divisores, es el llamado Lema de Euclides. Este lema afirma que si un número divide a un producto y es primo relativo con uno de los factores entonces necesariamente es un divisor del otro. No se debe entender que si un número divide a un producto debe
dividir a alguno de los factores.
Proposición 1.15 (Lema de Euclides) Sean a. by e E Z tales que al(be) y a y e primos relativos, esto es mcd(a, e) = 1 entonces alb.
Demostración: Sabemos que existe k E Z tal que be = ak. Usando el teorema 1.13 existen s , t E Z tales que as+ et = 1 entonces a.bs + bct = b. Sustituyendo be = ak en esta igualdad, tenemos abs + akt = b o bien a(bs + at ) = b por lo que alb. • Generalmente el método de buscar todos los divisores positivos de ambos números es suficiente para determinar el máximo común divisor. Sin embargo, cuando las cantidades son muy grandes hay que buscar un método más eficiente. Dichosamente Euclides encontró (se le atribuye a él) un método fácil para determinar el máximo común divisor. Ilustremos el algoritmo con un ejemplo. Ejemplo 15 ¿Cuál es el mcd(19 260, 8025)?
Máximo Común Divisor
23
Solución: Primero calculamos el residuo2 de dividir 19 260 por 8 025, así, obtenemos el residuo r 1 = 3 210. Ahora repitamos dividiendo 8 025 por 3 210 obtenemos el residuo r 2 = 1 605. Volvemos a buscar el residuo de la división de 3 210 y 1605 que es r 3 = O, cuando el residuo es cero el proceso se detiene y el último residuo no
cero que en este ejemplo corresponde a 1605, es el mcd(19 260, 8 025).
O
¿Cómo funciona el procedimiento anterior? ¿Será posible continuar con este proceso y que todos los residuos sean positivos? Observe que en el primer paso escribimos 19 260 = 2 . 025 - 3 210. así, cualquier número que divida simultáneamente a 19 260 y 8 025 debe también dividir a 3 210 o sea, si de
= 19 260 y de =
025 ent onces d( e - 2e) = 3 210. De
la misma manera 8025
2 . 3 210 + 1605
(10)
3210
2 . 1605,
(11)
por esta última ecuación 8 025 = 2 · (2 ·1 625) + 1 605 = 5 ·1 625 y entonces tenemos que19260 = 2 ·8025 + 3210=2·(5·1625) +2·1605=12·1625. Deestamanera, usando el teorema 1.14(3) tenemos quemcd(19260, 8025) = m cd(l 605· 12, 1605 · 5) = 1605 · mcd(12, 5) y como 12 y 5 son primos relativos, hemos comprobado que m cd(19 260, 8 025) = 1605.
Proposición 1.16 Sean a, b, q y r enteros tales que a= qb + r, entonces mcd(a, b) = m cd(b, r ).
Demostración: Sean d = mcd(a, b) y d' = mcd(b, r). Probaremos que d < d' y d' < d, notemos que como d ja y dlb entonces usando Teorema 1.6(5) dl(a+ (-bq)) osea dlr por lo que d E Db n Dr, entonces d < d', por otro l~do d' lb y d'lr entonces d' 1a por el mismo teorema y d' E Da n Db => d' < d. Por lo tanto d' = d. • Entonces, usando el Algoritmo de la división y esta última proposición tenemos dos herramientas muy útiles para calcular el mcd( a, b) de una manera rápida. El 2
Podemos usar una calculadora para ello, divida en forma decimal dividendo por divisor, esto nos dá un entero y una expansión decimal, que corresponde a la parte fraccionaria, multiplique esta expansión por el divisor, si el resultado de la calculadora no es entero redondee al más cercano. Este · resultado es el residuo.
.
24
Divisibilidad
proceso consiste en aplicar estos dos teoremas hasta que el residuo sea cero. De la siguiente forma: llamemos a ro = a y r 1 = b definimos ri el residuo de dividir ri_ 2 por ri-1, r2 ra ri
a - q2b = ro - q2r1 O < r2 < r1 < ro r1 - qar2 O < r3 < r2 < r 1 < ro así ri-2 - qiri-1 O < ri < ri- 1 < ... < ro
eventualmente rk = O entonces el proceso se detiene. Entonces la proposición anterior afirma que: mcd(a, b)
mcd(b. r 2 ) mcd (r2 r3 ) mcd(rk-1 , O) = rk-1
Esto es el Algoritmo de Euclides para calcular el mcd( a, b) Teorema 1.17 (Algoritmo de Euclides) Sean a y b enteros no ambos cero, entonces la sucesión de residuos descrita anteriormente calcula el mcd(a, b).
Demostración: Realmente la demostración está indicada en los comentarios anteriores al teorema. Como ejercicio, escríbala.
•
Ejemplo 16 Usando el algoritmo de la Euclides, encuentre mcd(24 750, 5 280).
Solución: Obtenemos haciendo divisiones: Dividendo Divisor Cociente Residuo 24750 5280 3630 1650
5280 3630 1650 330
4
1 2
5
3630 1650 330
o
Por lo tanto mcd(24 750, 5 280) = 330, el último residuo no cero.
o
Notemos que el proceso anterior no es dificil de aplicar ni de entender A un estudiante de secundaria se le puede enseñar y que él entienda. De hecho es mucho más complicado el procedimiento de factorizacíon simultánea, cuando los números
Máximo Común Divisor
25
son grandes. Con esto se le puede dar una utilidad práctica a la división aprendida en la escuela. El algoritmo de Euclides permite también encontrar los valores s y t que mencionaba el Teorema 1.13. Con el ejemplo 15 buscaremos enteros s y t tales que 19 260s + 8 025t = 1605. 1 605
= 8 025 -
2 . 3 210 = 8 025 - 2(19 260 - 2 . 8 025) = - 2. 19 260 + 5. 8 025
Mínimo común múltiplo.
Otro concepto muy ligado al de máximo común divisor es el de mínimo común múltiplo; que al igual que el primero, lo JX>demos definir a partir de conjuntos. Muchos problemas se pueden resolver si con1amos con un proceso para calcular múltiplos comunes y determinar el menor, como el siguiente ejemplo. Ejemplo 17 El campanario de la Iglesia del pueblo, tiene tres relojes que deben accionar cada uno una campana y sonar al unísono. Lamentablemente, por los años, el sistema se ha desajustado tanto, que uno de los relojes suena cada hora y cuarto, el otro cada hora y veinte minutos, y el tercero cada hora y media. Si las tres campanas sonaron juntas a las diez de la mañana del domingo, ¿cuántas veces sonaránjuntas en la semana? Solución: La campana que suena cada hora y cuarto, suena cada 75 minutos. La
campana que suena cada hora y veinte, suena cada 80 minutos y la tercera campana debe sonar cada 90 minutos. Debemos encontrar todos los múltiplos comunes de estos tres números en 1O080 minutos, que son los minutos de la semana. El primer múltiplo común de 75 y 80 es 1200 (1 200 = 75 · 16 = 80 · 15). El primer múltiplo común de 75 y 90 es 450, (450 = 75 · 6 = 90 · 5). pe esta forma, las tres campanas sonaránjuntas en múltiplos comunes de 1200 y 450. Como el primer múltiplo común de 1 200 y 450 es 3 600 (3 600 = 1 200 · 3 = 450 · 8), determinamos que suenan juntas cada 3 600 minutos. En la semana, las tres campanas suenan juntas 2 veces. 10 080 = 2 · 3 600 + 2 880. Por lo que vuelven a sonar juntas a las 10 de la noche O del domingo. Definición 5 Sean a y b números enteros no ambos cero, y denotemos por Ma y Mb el conjunto de múltiplos positivos de a y de b respectivamnete El número d se llama
26
Divisibilidad
Mínimo Común Múltiplo de a y b si: d = min{ Ma.
n Mb}
y se denota por d = mcm( a, b).
Ejemplo 18 Calcular el mcm(36, 80).
Solución: Busquemos los conjuntos M36 y Mso,
M36
{36,72, 108, 144, 180, 216, 252, 288 324 360,396, ... }
M 80
{80, 160, 240, 320, 400, 480, ... }
A simple vista .º º podemos descubrir cuál es el primer múltiplo común, pero con un O poco de paciencia determinamos que es 720 el número buscado. Es claro que el proceso anterior no es el más adecuado, pero si notamos que mcd(36, 80) = 4, que el producto 36 · 80 = 2 880 y que 2 880 + 4 = 720 podemos tener una clave de como calcular el mcm( a, b)
Tuorema 1.18 Sean a y b enteros no ambos cero, entonces
labl
mcm(a, b) = mcd (a b) .
Demostración: Para hacer más simple la escritura supondremos que a > Oy b > O y d = mcd(a, b). Primero notemos que como dlay dlb la expresión~ es un entero.
Además, es claro que es positivo y es múltiplo común de a y de b. Basta probar que
es el mínimo. Sea m un múltiplo común positivo de a y de b entonces m = ka y m = lb para enteros k y l. Sabemos por el teorema 1.13 que existen s y t enteros tales que
=>
dividiendo por d
d
sr + bt
1
- ·s+-·t
a d am
b d
( multiplicando por m)
bm
=> m
- · s+ - · t ( sustituyendo m = ak y m = bl)
=> m
-
=> m
-¡(ls + kt)
aiz
ai
bgk
·s+- · t d
( agrupando y factorizando)
27
Máximo Común Divisor
Por lo tanto m es múltiplo de
~ y prueba que es el mínimo común múltiplo.
•
Ejercicios 1.3 l. Pruebe que 12l(n2
-
1) si mcd(n, 6) = l.
2. Si a y b son enteros no nulos probar que cualquier divisor común de a y bes un divisor de mcd( a, b). 3. Probar que si mcd(a, b) = 1 entonces mcd(a + b, a - b) = 1ó2. 4. Sean a.b E N, defina M = {ax+by , x y E Z}, pruebeque M = mcd(a.b) ·Z esto es si m E _Vf existe z E Z tal que m = mcd( a, b) · z. También se dice que ~J
es un Ideal principal de Z.
5. Sean a y b enteros positivos oon mcd a. b = 1 probar que para todo x > ah se puede e.scnoir como ab - iJt = z con ~ y enteros posruYos. 6. Sean a, b, e enteros no nulos, definimos m cd (a. b. e) = ma.-x{D 0 '1 Db
De}
pruebe que mcd(a, b, e)= mcd(mcd(a, b), e) = mcd(a, mcd(b, e)). 7. Usando el algoritmo de Euclides, calcular el máximo común divisor para las
siguientes parejas de números, calcule además el mínimo común múltiplo. (a) 2 456, -1234. (b) 5 096, 7098
(e) 12 321, 8 658 (d) 156,1 740.
(e) n, n +l. (f) 2n - 1, 2n + l. 8. Probar que si r es un múltiplo común de a y de b, entonces r es un múltiplo de
mcm(a, b). 9. Pruebe que mcm(ca, cb)
= icl · mcm(a, b) para a y b enteros no nulos.
28
Divisibilidad
10. Pruebe que si D
= roed~b, d) y B = roed~b, d) a
e
b
d
entonces
aD +cB rncrn(b,d)
- +- =- - - -
Discuta la relación entre esta igualdad y la suma de fracciones por medio de un común denominador. 11 . Probar que si alb y cid entonces aclbd. 12. Probar que rncd (x2 + y2 , 4) = 2 si x y y son impares. 13. Probar que no existen enteros x, y tales que x +y= 100 y rncd(x, y) = 3. 14. Probar que existen un número infinito de pares de enteros x, y tales que x +y
100 y rncd(x, y)
= 5.
=
15. Si a y b son enteros dados, probar que existen enteros x, y que satisfacen x +y = a y rncd(x, y) = b si sólo si bla. 16. Determine todos los enteros a, b tales que rncd(a, b) = 10 y rncrn(a, b) = 100. 17. Probar que las ecuaciones rncd (a, b) = simultáneamente si sólo si d2 Ic. 18. Probar que (n - l )l(nk - 1) para todo k
par.
d y ab =
e se pueden resolver
> 1 y (n - l )l(nk+ 1) para todo k > O
19. Probar que si rncd(a, b) = 1 y clb entonces rncd(a. e) = l.
1.4 Números Primos En la escuela pitagórica el número era concebido como un elemento natural que formaba parte del universo. La contribución más importante de dicha escuela fué la distinción entre números primos y compuestos. Eratóstenes (II a.C.) describe un método llamado "criba" para reconocer si en número es primo. Schosten (S. XVII), utilizando el mismo método, publicó una tabla hasta el 10 000, y otros publicaron tablas hasta 1020 000. Una de las primeras y más frecuente pregunta que se hace al introducir el tema es, si existe una fórmula para determinar números primos. Sin embargo, muchos
Números Primos
29
matemáticos aficionados y profesionales han ensayado, con diferentes expresiones para determinar una fórmula para números primos. Por ejemplo, Leonard Euler (S.
XVIII) tenía que el polinomio n 2 + n + 41 siempre da primo para enteros del O al 40; o bien, Mersenne que afirmó en 1644 que 2P - 1 es primo si p = 2, 3, 5, 7, 13,
17, 19, 31, 67, 127 y 257 y para ningún primo p < 258. Actualmente sabemos que si p = 67 y p = 127, es falso que 2P - 1 es primo. Y faltan los primos p = 61, 89 y 107 en esta lista. Es sorprendente que la afirmación fuera hecha 300 años antes de la invención de las modernas computadoras y que tuviera solo cinco errores. Los primos poseen propiedades interesantes como que todo número entero mayor que 2 se puede escribir como producto de primos, que da la idea de que los números primos son la "esencia" (elementos primitivos) de los naturales. Existen muchas conjeturas acerca de los números primos. Una de las más famosas es la conjetura de Goldbach que dice:
Todo número par, mayor que 2, se puede escribir como la suma de dos primos. Esta conjetura está aún sin resolver. A principios de siglo, el matemático ruso I. Vinogradov probó que todo impar se puede escribir como la suma de tres primos; curiosamente, la prueba usa variable compleja. Otra conjetura no probada es sobre la existencia de primos gemelos, esto es, que pyp
+ 2 son primos. Esto es una pequeña muestra de la seducción de los números
primos. En esta sección se presentan los teoremas principales sobre primos.
Definición 6 Un número natural p > 1 se llama primo si sus únicos divisores p ositivos son 1 y p. En caso contrario se llama compuesto. De esta forma tenemos que
2, 3, 5, 7, 11 , 13, 17, 19, 23, 29, 31 , 37, 41 , 43, 47, 53, 59 son los números primos menores que 60. El resto de números mayores que 1 y menores que 60, se pueden escribir como producto de éstos, por lo que son compuestos. Euclides demostró que hay una cantidad infinita de primos, su razonamiento es elegante y se expone aquí su demostración.
30
Divisibilidad
Teorema 1.19 Existe una cantidad infinita de primos. Demostración: (Euclides.) Supongamos por lo contrario que existe una cantidad
finita de primos, y sean p 1 , P2 , ... , Pn todos los primos. Defina: q = P1 · P2 · · · · · Pn + 1
como q > Pi para todo i = 1, ... , n, q debe de ser compuesto pero Pi,(q, pues el residuo siempre es 1 para todos los primos. Concluimos que debe existir un primo p =!=Pi Vi = 1, . .. , n tal que p¡q, contradiciendo la suposición inicial. Por lo tanto existe una infinidad de primos. • La siguiente proposición es muy similar al Lema de Euclides (proposición 1.15). Para notar diferencia, considere el siguiente ejemplo: Sabemos que 6j90 y podemos usar el lema de Euclides para afirmar que, como 90 = 18 · 5 y mcd(6, 5) = 1 entonces, 6j18. Pero si cambiamos la factorización de 90 = 10 ·9 ahora tenemos que 6 ,(10 y 6 )9 aún cuando 6j10 · 9. Ahora note que 5190 y no importa cómo factoricemos, 90 = a· b. Se puede afirmar que 5ja o 5lb. ¿Por qué con 5 se puede hacer una afirmación que 6 no la cumple? Obviamente la razón es que 5 es primo y 6 no lo es. Proposición 1.20 Si pes primo y pj(a · b) entonces pla ó p¡b. Demostración: La demostración se basa en la Proposición 1.15, ya que si supone-
mos que p Ja entonces mcd( a,p) = 1 entonces plb.
•
Como se mencionó todo número natural mayor que 2 se puede expesar como producto de primos. Este resultado se conoce como el Teorema Fundamental de la Aritmética y fué probado por C. F. Gauss en 1 801. No importa qué tan grande sea un número, si éste no es primo, se puede escribir como el producto de primos menores.
Teorema 1.21 (1eorema Fundamental de la Aritmética) Sean EN, denote p or
pi, p2, . .. , Pk todos los divisores primos que n, entonces existen únicos a 1 , a 2 , ak EN tales que Q}
Q2
... ,
Qk
n = P1 · P2 · · · · · Pk · Esta representación es única salvo permutación de p 1 , ... , Pk· Demostración: Probemos la existencia por inducción. Si n = 2, 2 es primo y ya
Números Primos
31
tenemos la factorización. Supongamos que para todo m < n , m se puede escribir como producto de primos; ahora, si n es primo ya esta factorizado, si no n es compuesto-y n = n 1 · n 2, con n 1 < n y n2 < n_ Entonces por la hipotesis de inducción n 1 y n 2 se pueden escribir como producto de primos, por lo que también n se puede escribir como producto de primos. Para la unicidad suponga que n = p 1 · · · p z = q1 · · · qs dos factorizaciones diferentes de n, eliminemos los primos comunes que existan en estas factorizaciones y obtenemos
donde estas dos factorizaciones no tienen primos comunes. Así, Pi i l(qi 1 • • • qj.) y usando la proposición 1.20 tenemos que Pl%m. Pero esto contradice el hecho que %m es primo, de esta forma la factorización es única • Ejemplo 19 Encuentre la factorización prima de 20!.
Solución: Note que 20! = 20· 19· 18· 17 ·16 ·15 ·14· 13·12· 11·10·9·8·7 ·5.5 .4. 3. 2, 20 = 22 . 5, 18 = 2 . 32 , 16 = 24 , 15 = 3. 5, 14 = 2 . 7, 12 = 2.2 . 3, 10 = 2. 5, 9 = 32 , 8 = 23 , 6 = 2 · 3, 4 = 22 y el resto son números primos por lo que 20! = 218 . 38 . 54 . 72 . 11 . 13 . 17 . 19
que es la factorización prima de 20!.
o
Factorizaciones de números más grandes, se verán en los capítulos 3 y 4. Criba de Eratóstenes Un procedimiento para hallar todos los números primos menores que un entero n dado, es la criba de Eratóstenes. Consiste en colocar todos los números del 2 al ne ir eliminando todos los múltiplos de 2, de 3, de 5, y así sucesivamente hasta eliminar todos los múltiplos de los primos menores que fo. Los números compuestos menores que n y mayores que fo ya han sido tachados si se ha seguido el procedimiento correctamente_ Ya que el teorema siguiente afirma que si m es compuesto, existe un divisor primo que sea menor que Vffi. Esto no significa que todos los divisores tengan que ser menores que fo. Por ejemplo 2047 = 23 · 89 y 89 > ./2 047. Teorema 1.22 Sean EN, n > 1 un número compuesto, entonces existe p primo tal que pin y p < fo.
32
Divisibilidad
Demostración: Suponga por contradicción que n posee todos sus divisores primos mayores que .jn, sean p y q divisores primos de n, entonces n > p· q > fa· fa = n que es un absurdo pues se concluye que n > n, por lo tanto existe un divisor primo • menor que fa. Ilustre usted este proceso en la siguiente tabla. Debe eliminar empezando en 2, todos los números de dos en dos, luego empezando en 3, de tres en tres, siguiendo con el 5, eliminar todos de cinco en cinco y después de 7 eliminar todos de 7 en 7. Al final de esto quedan todos los primos menores que 100 11
21
31 41 51 61 71 81 91
2 12
22
32 42 52 62 72 82 92
3 13
4 14 23 24 33 34 43 44 53 54 63 64 73 74 83 84 93 94
5 15
6 7 16 17 25 26 27 35 36 37 45 46 47 55 56 57 65 66 67 75 76 77 85 86 87 95 96 97
8 9 10 18 19 20 28 29 30 38 39 40 48 49 50 58 59 60 68 69 70 78 79 80 88 89 90 98 99 100
Al tener una forma de determinar números primos, podemos encontrar todos los divisores positivos de cualquier entero~ dado que, todos los diúsores serán combinaciones de los primos de la factorización. Como lo afirma la siguiente proposición. Proposición 1.23 Sean entonces mln si y sólo si
> 1 un entero, con factori:ación priman =
pr
1
· • •
p~k,
con {3i E {O, ... , a i}.
Demostración: Ejercicio para el lector
•
Ejemplo 20 Determinar todos los divisores positivos de 360.
Solución: Primero escribimos la factorización prima de 360 = 23 · 32 · 5. Luego colocamos todos los posibles números de la forma m = 2ª · 3b· 5c con a. E {O. 1 2. 3}, b E {O, 1, 2} y e E {O, 1 }, que es equivalente a pensar en todas las tripletes ordenados de la forma (a, b, e), pues habrá un divisor para cada triplete.
33
Números Primos
(0,0,0) (0,0, 1) (O, 1, O) (O, 1, 1) (O, 2, O) (0, 2, 1) (1, 0, 0) (1 , 0, 1) (1. l. O) (1.1.1) (1. 2. o (l. 2, 1)
m m m m m m m m m m m m
= 2° · 3° · 5° = 2° · 3° · 51 = 2° · 31 · 5° = 2° · 31 · 51 = 2° · 32 · 5° = 2° · 32 · 51 = 21 · 3º · 5º = 21 · 3° · 51 = 21 · 31 · 5° = 21 · 31 · 51 = 21 · 3;¿ · 5° = 21 · 3-¿ · 51
En total tenen:o- 2-::
cy·-o~e~
(2, o·,O) (2, 0, 1) (2, 1, O) (2, 1, 1) (2, 2, O) (2, 2, 1) (3, 0, 0) (3, o, 1) (3, 1, O) (3, 1.1) (3.2,0) (3.2, 1)
m m m m m m m m m m m m
·e 360. Cor;:io
~
1 5 3 15 9
45 2 10 6 30 18
90
= 2;¿ · 3° · 5° 4 = 2;¿ · 3° · 51 20 = 2:t · 31 · 5° 12 = 2;¿ · 31 · 51 60 = 22 · 32 · 5° 36 = 2i · 32 · 51 180 = 2J · 3° · 5° 8 = 2J · 3° · 51 40 = 2J · 31 · 5° 24 = 2J · 31 · 51 120 = 2,j · 3:t · 5° 72 =
2.j · 3;¿ · 51
nota
360
1111~-esante.
300 es el [j
Podemos determinar e: ;:r:::r::e~o ce ..,,r•-e:-es ~e -
obSe_:\ -c.::_ ·o el ejemplo anterio~ en el cual obtu\1filOs 2~ trip:e:es n:¿_e:z-.:_os ~-e ~en:c ·e co:-:-hü::ar 4 = card{O 1 2 3} con 3 = card{O l. 2} y 2 = ca:cJO. l; :r:::::ie:o- pa.-a los exponentes. ~S:..-::e--o
En el capítulo 3 se estudiarán propiedades sobre los divisores de números enteros. Al tener la factorización prima de cualquier entero, entonces, para cualquier pareja de números enteros a y b, se puede determinar mcd(a, b) y mcm(a, b).
Ejemplo 21 Sabiendo que 360 = 23 · 32 · 5 y 756 = 22 • 33 · 7 podemos determinar el mcd(360, 756) y el mcm(360, 756) rápidamente. Solución: El mcd(360, 756) es un divisor común por lo que tiene que ser de la forma 2ª · 3b· 5c y 2d · 3e · 7f. Como queremos el mayor número, tenemos que escoger los menores exponentes para cada primo y ascgur~r que es divisor de ambos, esto es:
mcd(360, 756)
= 22 · 32 · 5o · ....o ' - = 36.
En cambio, para el mínimo común múltiplo debemos escoger el máximo exponente para cada primo; y de esta forma asegurar que cualquier otro mpltiplo común es
34
Divisibilidad
menor, así: mcm(360, 756)
= 23 · 33 · 51 · 71 = 7 560.
o
Esta manera de calcular el mcd( a, b) es útil cuando tenemos el número escrito en su factorización prima; y por supuesto es mucho más rápida. Teorema 1.24 Sean n , m EN denote por p 1 , p 2 , ... ,p8 todos los divisores primos simultáneos de n y m entonces /32 . .... p/3s s med(n , m ) -- P1/31 . P2
donde (3i es el mínimo exponente que tiene Pi en la f actorización de n y de m . Demostración: Ejercicio para el lector.
•
Teorema 1.25 Sean n , m EN denote por p 1, p2 , ... , pk todos los divisores p rimos de n ó m entonces mcm (n , m) = p~ 1 • p~ 2 • • • • • ~k donde f3i es el máximo exp onente que tiene Pi en la factorización de n o de m . Demostración: Ejercicio para el lector.
La teoría de Números y las computadoras
•
Como se ha mencionado, muchas de las conjeturas que se pueden hacer sobre los números enteros, están basados en la experimentación. En dicho trabajo, si se hace manual, se invierte tiempo valioso que puede ser utilizado para otros fines; por lo que se recomienda el uso de computadoras o calculadoras programables, y así valorar si las suposiciones son correctas o existe un contaejemplo que lo puede calcular la computadora. Por ejemplo, en 1 967 en la Universidad de Illlinois Donald Gillies uso dos horas y cincuenta minutos en la Illiac II para establecer que 211213 - 1, un número de 3 376 cifras, era número primo. El programa Mathematica corriendo en una computadora IBM compatible 586 con 12 megas en memoria RAM, hace este cálculo en 45 minutos, esto nos dice que con la utilización de instrumentos de alta tecnología y el software adecuado, nuestro tiempo es más valioso todavía.
un
Con ayuda de una calculadora programable realice las siguientes actividades: Ejemplo 22 Sea r(n) número de divisores positivos menores a n. Calcule r (n) para n = 2, ... , 200.
35
Números Primos
Ejemplo 23 Encuentre todos los números primos menores que 1 000. Ejemplo 24 Encuentre todos los enteros menores que 1 000, que se pueden escribir como suma de dos o tres cuadrados perfectos. Ejemplo 25 Sea cr(n) la suma de los divisores menores que n. Determine la suma de todos los divisores para números menores que 200, y clasifique los números en: perfectos C1(n) = n, deficientes cr(n) < n y abundantes cr(n) > n, además encuentre números "amigos"(C1(n) = m y cr(m) = n).
Por último, un resultado conocido como el Teorema del número primo, que C.F. Gauus fue en primero en conjeturado, establece que si --(x) determina el número de primos menores que x entonces lim ln X X~
.
~(x,
=
~.
X
que indica que el número de primos meno:- ... e ~ es aproximadamente : x. Esta fórmula da una aproximación, que mej o:a si :: cree.e.
Bjercicios 1.4 l. Sea P el conjunto de números pares positivos. Defina m E P un primo par, si m no puede factorizarse usando números de P~ pruebe que algunos elementos de P no tienen factorización única. 2. Pruebe que todo número positivo se puede escribir como el producto de potencia no negativa de 2 y un número impar
una
3. ikmostrar que si p es primo y a E .Z, tal que plan entonces pja.
4. Demostrar que todo número se puede escribir como un cuadrado perfecto multiplicado por un entero m tal que, si p jm y p 2 Jm para todo divisor p > 1, por ejemplo 24 = 22 · 6 y 316 pero 9 J6. 5. Un número se llama perfecto si el número es igual a la suma de sus divisores propios. Demuestre que 2n- 1 (2n - 1) es perfecto si 2n - 1 es primh 6. Determine todos los números perfectos menores que 1000. 7. Si p es primo PI (~) para todo 1 < i < p - l.
36
Divisibilidad
8. Suponiendo que n tiene D divisores, probar que el producto de todos los divisores es
v:;;v.
9. Usando los teoremas 1.24 y 1.25, determine el mcd(a , b) y mcm(a, b) para las siguientes parejas: (a) a = 1440 y b = 4 725
(b) a
= 3 024 y b = 6 720
(e) a = 73260 y b = 42 328 (d) a = 5 525 y b = 13 585
(e) a
= 371 293 y b =
388 531
(f) a= 93 347 y b = 67 507
Ecuaciones Diofánticas D .IOPHANTI ALE ·X ANDRINI
ARITHMETICOR VM L I BR l
SÉ X ..
E T DE ~VMEJUS 1-.-f VLT.~~GVLIS . L l •~ ill..
TS-VS.
C7 ;\:l COMP-~"IE-~T~n?....!JS ·C; G . 'B,/CH_E'T.! Y.(;, (F-<>W"rnU~,_¡J.ax;t.JP, J.. r::; j.~/t¡..-.
S <=UGTU
T_.t.f".ud-
Página de la Arithmetica de Diofanto, traducción de Bachet de 1670
2.1 Motivación histórica 2.2 Ecuación diofántica ax,+by = e 2.3 Ecuaciones diofánticas lineales con más de dos incógnitas 2.4 Otras ecuaciones diofánticas 2.5 Números pitagóricos 2.6 El último teorema de Fermat
---=-=::::
-;·=.:::-
~--:::::-
·:-
·:::::-==-
=::=
-=-..;_
fJPn;;c¡¡ y_~gso~z¡er; q.~rs0;~. tipos de~ ~aqi_~~io~ntíclis. ---
_--
~. ~erñiinarc~pi~óriros apartif de rijin.eri§ en@ros=_é;uale$quiéra.
- 4-s ;:·-
-
--
-==--:_--=
-
--
=
-
;s~ ARlic~la ~ría _b ásica de liis ecuacio_nes dÚJfár#Jcascoa la _resolUción de problemas. :. -
La resolución de ecuaciones es un tema que se presenta en secundaria desde los primeros niveles. Paralelamente se van estudiando los diferentes conjuntos numéricos a saber: el conjunto de números Naturales (N), el conjunto de números enteros (Z), el conjunto de números racionales (Q) y el conjunto de números reales (IR). Además se repasan conceptos elementales de teoría de números como son : máximo común divisor, mínimo común múltiplo, números primos etc. En este capítulo estudiaremos los métodos de resolución de un tipo especia! a e ecuaciones: las ecuaciones Diofánticas. El estudio de las ecuaciones diofánticas permite reforzar los conocimientos adquiridos en cursos anteriores y además le brinda al profesor ideas para motivar al estudiante en el estudio de la resolución de ecuaciones y mas generalmente a incrementar su interés por el estudio de la matemática.
2.1 Motivación histórica Diofanto de Alejandría fue un matemático griego del último periodo alejandrino tardío. Sus mayores logros fueron de carácter eminentemente geométricos. Durante este periodo, cuando la ciencia griega y la filosofía como un todo estaba en decadencia, con esta su matemática y los métodos algebraicos ocuparon un primer plano. Por este tiempo Diofanto, el más reconocido exponente del álgebra griega, vivió en Alejandría. Prácticamente no se conoce nada sobre su vida. Existe una colección de problemas griegos escritos en forma poética, la Antología Palatina, que fue probablemente compilada en la primera centuria después de la 39
40
Ecuaciones Diofánticas
muerte de Diofanto. Contiene ciertos problemas que pueden ser resueltos mediante ecuaciones . Entre ellos se encuentra el siguiente que contiene toda la información acerca de Diofanto. · Aquí ves la tumba que contiene los restos de Diofanto, se puede notar: ingeniosamente se cuenta la medida de su vida. La sexta parte de su vida, Dios se lo concedió a su j uventud. Después de un doceavo más le creció la barba. Después de un sétimo adicional, encendió la luz del matrimonio, y en el quinto año f ue padre. Elas, su hijo, un querido pero desafortunado niño, vh>ió la mitad de su padre y esto fue también duración de un cruel destino dado, y el consoló su pena en los restantes cuatro años de su vida. "
Dejamos al lector la búsqueda de la edad a la que murió Diofanto de Alejandría. La obra más importante que se conoce de Diofanto es su Arithmetica, un tratado en trece libros de los cuales solamente han sobrevivido los seis primeros. En la antigua Grecia, la palabra aritmética significaba en realidad teoría de números y no técnicas para calcular LaArithmetica de Diofanto, en lo que ha llegado hasta ahora, está dedicada casi por completo a la resolución exacta de ecuaciones determinadas e indeterminadas; por esta razón, a la teoría que se ocupa de estos temas se le conoce con el nombre de análisis diofántico.
2.2 Ecuación Diofántica ax + by == e En esta sección iniciaremos nuestros conocimientos sobre las ecuaciones diofánticas; para ello trataremos con la forma más simple de ellas, pero antes, como todo estudio en matemática, comenzamos definiendo el concepto que deseamos trabajar. Definición 1 Se llama ecuación dio/ánti.ca o ecuación dio/anti.na a cualquier ec71ación polinomial con coeficientes enteros cuya solución se restringe únicamente a aquellos valores enteros que la satisfacen. Ejemplo 1 Una ecuación de la forma: ax + by
= e
a b, e E 'lL
(1)
en las variables enteras x e y se llama ecuación diofántica lineal si se consideran como soluciones solo aquellas donde x y y sean números enteros. D
Ecuación Diofántica ax + lYy = e
41
x2 + y 2 = z 2 x, y, z E '7l
(2)
Ejemplo 2 La ecuación: se llama ecuación diofántica de segundo grado con tres incógnitas.
O
Observación: Note que en los ejemplos anteriores hemos supuesto que las ecuaciones están definidas sobre 'll, esto es, sus soluciones deben ser números enteros. En lo que resta de este capítulo, asumiremos dicho supuesto para todas las ecuaciones involucradas, salvo que se indique lo contrario. Una ecuación diofántica podría tener otras soluciones no enteras, como en el caso de los ejemplos ( 1) o (2), si se consideran a dichas ecuaciones sobre un conjunto más general digamos Q o Ilt Sin embargo la característica principal de estas ecuaciones es que deben ser resueltas en el conjunto de los números enteros. Esta restricción es la que hace interesante su estudio ya que los mé:odos de resolución (cuando existen) son en general distintos de los métodos t:adicio::i.ales usados sob:-e el conjunto de números reales R. Al respecto leemos en el libro Teoría de !os _. . .--.Dr.eros. de Bunon \\: Jones, lo siguiente: • Uno de los problemas más dificrles de la ieoría de números, es la resolución, en números enteros, de ecuaciones algebr01cas con coeficien1es enteros y con más de una incógnita. "
A través de la historia, grandes matemáticos se han dedicado al estudio de tales ecuaciones. Podemos mencionar por ejemplo a Pitágoras; Diofanto de Alejandría, Pierre de Fermat, Leonard Euler, Joseph Louis Lagrange y más recientemente podemos mencionar a Shimura Taniyama y Andrew Wiles. Este último tiene el mérito de haber probado recientemente la famosa conjetura de Fermat donde demostró una conjetura hecha por Shimura, de la cual se deducía la demostración del "Ultimo Teorema de F ermat'' . La importancia de las ecuaciones diofánticas radica en el hecho de que muchos de los problemas de la misma teoría de números están estrechamente ligadas a esta. Además, los resultados elementales pueden servir a nivel de secundaria, como veremos posteriormente, como mecanismo de motivación para los estudiantes que deseen ampliar sus conocimientos. No existe un método general de solución para las ecuaciones diofánticas. En 1
42
Ecuaciones Diofánticas
este capítulo discutiremos algunas de las más simples, pero no por esto menos importantes. Podemos ilustrar lo anterior con el siguiente ejemplo: Ejemplo 3 Un profesor de primer nivel de secundaria, haciendo un repaso sobre fracciones le pide a un estudiante que resuelva la siguiente operación con fracciones:
10 65
+
3 13 65 + 65
(3)
=
El estudiante rápidamente sumó las fracciones dado que tenían un denominador común, llegando al resultado siguiente:
10 65
3 + 65
+
13 65
=
26 65
=
2 f> /J5
=
2
5
(4)
El profesor notó que, pese a que la suma era correcta, la simplificación hecha por el estudiante violaba las reglas del álgebra. Sin embargo la fracción final obtenida era la respuesta correcta. Luego de hacer las aclaraciones del caso, nuestro profesor observó que, para caracterizar las fracciones que tienen la propiedad de que al cancelar el dígito de las unidades del numerador con el dígito de las decenas del denominador se obtiene la simplificación correcta, debía resolver una ecuación de la forma: lOx+y _ x lüy+ z z
(5)
La cual después de simplificar .un poco se transforma en:
(y - x)z = lO(y - z)x
(6)
pero solo interesan las soluciones de x, y, z que sean números enteros positivos menores que 10. En otras palabras la ecuación (5) es una ecuación diofántica. . de (5). No es dI.fiicil ver que 19 , 16 , 49 son tamb', ien so1uc1ones 95 64 98
o
· Este ejemplo nos ilustra sobre el tipo de resultados que se suelen encontrar en la teoría de números. En los números enteros se conocen gran cantidad de propiedades de esta naturaleza. Iremos descubriendo a lo largo del texto algunos de los resultados más importantes. Como dijimos anteriormente las ecuaciones del tipo ( 1) son ecuaciones diofán-
'
Ecuación Diofántica ax + by = e
43
ticas lineales. Su nombre se debe al hecho de que no contiene términos de grado mayor o igual que 1 en x e y. Para saber cuando una ecuación de es1e tipo tiene soluciones enteras probamos el siguiente teorema: Teorema 2.1 Una ecuación de la forma:
ax + by = e
con a, b, e E Z
(7)
tiene soluciones enteras si y solo si mcd(a, b) lc. Aún más, dicha ecuación es equivalente a una ecuación diofántica lineal en dos incógnitas con coejicfences p r imos entre sí.
Si d = 1 el teorema es e \ :ce~:e::1ente cieno. Supongamos entonces que d =/:- l. Así a = a 1 d y b =bid De es:a :o~ :e:iemos que Demostración: Sea d
= mcd(a , b).
ax+ by = a 1 dx Luego la ecuación ax + by
...L
b¡dy
= (a 1x + b¡y)d =
= e tiene soluciones enteras x y y
Por otra parte, si di e sea c1 = ax + by = e por d obtenemos
c. sólo cuando d c.
~. Luego, dividiendo ambos lados de la ecuación
con a 1 y b1 primos entre si. Ejemplo 4 Considere la ecuación
•
24x + 18y = 12, como el mcd(24, 18)
= 6 y 6j12 entonces esta ecuación es equivalente a la ecuación 4x + 3y = 2.
Además, como mcd( 4, 3) = 1 y 1 j2, por el teorema anterior podemos afirmar que la ecuación tiene soluciones enteras. O Para describir la forma de resolver estas ecuaciones, es necesario definir el concepto de congruencia el cual se desarrollará con más detalle en el capítulo cuarto. Definición 2 Sean a, b, e números enteros, decimos que a es congruente a e módulo b sí y solo sí bla - e y escribimos: a - c(modb)
(8)
44
Ecuaciones Diofánticas
Ejemplo 5
l. El número 21 es congruente a 6 módulo 7 y escribimos 21 _ 6(mod7)
pues 21 - 6
= 14 =
2 · 7, o sea, 7J21.
2. El número 31 es congruente a -1 módulo 8 y escribimos 31 que 31 - (-1) = 32 = 8 · 4, o sea, 8132.
= - 1(rnod 8) ya
3. El.número 54 es equivalente a cero módulo 9 y escribimos 54 _ O(mod 9) pues 54 - O = 54 = 9 · 6, esto es, 9j54. O En notación de congruencias, el problema de resolver una ecuación diofántica lineal en dos incógnitas equivale a resolver la siguiente congruencia:
ya que si ax
=e(mod
=c(rnod
ax
b) entonces ax - e
=
b)
(9)
- by. O sea ax + by = c.
Ejemplo 6 La ecuación 3x + 4y = 5 se puede escribir como una congruencia O haciendo 3x - 5 mod(4), o bien, 4y _ 5 mod(3). Por otra parte, para encontrar las soluciones de una ecuación diofántica lineal ax+ by = e, basta obtener una solución particular (x 0 , y0 ). El siguiente teorema nos indica la fonna general de las soluciones.
Teorema 2.2 Considere la ecuación diofántica ax+by+c= O
(10)
Si a y b son primos entre si y x0 , y0 es una solución; todas las soluciones quedan determinadas por x
= xo -
bn,
y
= Yo + an
(11)
para va!ores enteros de n. Démostración: Sea (x, y) una solución arbitraria de la ecuación (10). Entonces, de las igualdades ax + by + e
= O, axo + byo + e = O
tenemos que ax - ax0
+ by - byO = O
45
Ecuación Diofántica ax+ by= e
de donde y - Yo =
a(Xo - x) b
·
Como y - y0 es un número entero y a y b son números primos entre sí, se tiene que bl(x0 - x), o sea, (x0 - x) O(mod b). Así (Xo - x ) = bn, n E Z. De esta forma abn (y - y 0 ) = b = an, de donde
=
y = Yo -
x = x o - bn ,
an.
n E
Z.
Hemos probado que cualquier solución (x. J, ·e.r:e la forma que las fórmulas (11). Falta demostrar que cualquier par de núrae:,Js .!':.y¡) obtenidos con hase en las fórmulas (11), siendo n = n 1 un entero> e.s 3:1"'~~:-:ó:: de la ecuación (10). Para ver esto evaluemos los valores x 1 = x 0 - bn 1 .7 ~ = ' , Wl1 en el primer miembro de la ecuación (10): ax1
+ by1 + e =
axo - abn 1
+ b]Jo -
a-
- e
= azg -
byo ...L e
entonces, como (xo, yo) es solución, por hipó:e-.~ '# -~ -~- e -:_-e axo ..!.. b/;'o +e = Oy por lo tanto ax1
+ by1 -
c = O.
Esto dice que (x 1 , y 1 ) es una solución de (10)
"::..:~.: '"'-=?:eta la demostración.
Ejemplo 7 Considere la ecuación diofán:i~ l.-:- - -;y
.•
= "'. P'or simple inspección
podemos determinar que una solución pa:rticia: ~ n-ra.,ecuación es x = O, y = 2. Luego las soluciones enteras de la ecuación se:-:2.- : X
= Ü - 4n
y
= 2-
Es fácil ver que ( -4, 5), ( -8, 8), ( - 40, 32 dada.
3 . n E Z.
~o:i
!2.:nbién soluciones de la ecuación
O
Las soluciones generales de una ecuación. diofántica lineal establecidas en el teorema anterior se pueden analizar desde un punto de vista geomátrico. La ecuación ax +by = e representa, en geometría analitica>una recta. Las soluciones en enteros x y y corresponden a los puntos por donde pasa la recta cuyas coordenadas son números enteros.
46
Ecuaciones Diofánticas y
ax+by=c
Definición 3 Llamamos punto reticular de una recta ax+ by = e, a un punto (x, y) en la recta, cuyas coordenadas x y y son números enteros.
Ejemplo 8 La ecuación 3x+6y
= 1 no contiene puntos reticulares pues (3, 6) = 2
y como 2 no divide a 1, por el teorema anterior, no hay soluciones enteras y por tanto O no hay puntos reticulares.
Ejemplo 9 La ecuación 7x + 5y = 53 contiene un punto reticular pues (7, 5) = 1 y 1 divide a 53, por el teorema anterior sabemos que existen puntos reticulares en la
recta dada.
O
Métodos para encontrar una solución particular
Ahora que tenemos una idea de qué es una ecuación diofántica lineal y de saber cómo son sus soluciones, debemos preguntarnos: ¿Cómo se encuentra una solución particular? La respuesta a esta pregunta no es única. Existen varios métodos para encontrar soluciones particulares de las ecuaciones diofánticas lineales. Estudiaremos tres métodos para hallar las soluciones particulares de dichas ecuaciones. Uno de ellos esta relacionado con las llamadas jracciones continuas• ~ otro método utiliza el concepto de congruencias lineales que se estudiará con detalle en el capítulo cuarto y el último, que se encuentra expuesto en el libro "Los Elementos" de Euclides, utiliza el algoritmo de división Euclideana estudiado en el capítulo uno. Método de Fracciones Continuas
El concepto de fracción continua se define como sigue. Definición 4 Una/racción continua es un número de laforma:
b2
a i+-----------~
b3 a2+------b4 a3+--a4
+ ...
47
Ecuación Diofántica ax + by = e
donde ningún ai excepto -posiblemente- el primero es cero. Si los bi son todos 1 y los ai son enteros positivos, excepto el primero que puede ser cero, lo llamamos
fracción continua simple. En lo que sigue nos referiremos simplemente como jracciones continuas" a las fracciones continuas simples. Resolvamos algunos ejemplos que ilustran el uso de las fracciones .c-0ntinuas en la búsqueda de las soluciones particulares de una ecuación diofántica
Ejemplo 10 Resolvamos la siguiente ecuación:
17X
-
l5y - 2 = O.
- Solución: Cqmomcd(l 7, 15) = 1, la ecuación diofántica tiene solución Para hallar una solución particular escribimos la fracción ~~ como fracción continua:
17 15
=
2 1 + 15
=
1 1 + 15 = 1 + 2
1
1. 7+2
s
Procedemos a eliminar la última fracción del término de la derecha c;filculamos la fracción resultante. En este caso eliminamos .la fracción ~ deJ témrino de la derecha y escribimos la fracción que queda en la forina ~ , d -=/:- O e d E Z :
1
1 +7 =
8
7·
Restamos la fracción obtenida a la fracción original y obtenemos:
17
8
-15 7
17·7 - 15·8 15 . 8
-1 15 . 1 ·
Trabajando solamente con los numeradores del segundo y tercer término de la igualdad anterior tenemos:
17 . 7 - 15 . 8 = -1 . Como la ecuación original está igualada a 2 y, notando que el ténnino de la izquierda posee los coeficientes de x e y de la ecuación original, multiplicamos por
48
Ecuaciones Diofánticas
- 2 a ambos lados de la igualdad:
-2. 17. 7 - (-2). 15. 8 = - 1. (- 2). Acomodando términos al lado izquierdo de la igualdad anterior obtenemos la expresión:
17. ( - 14) + 15 . 16 = 2. La cual nos da una solución particular de la ecuación diofántica lineal; esto es: x = - 14 y y= 16. Por último escribimos la solución general de la ecuación: x = -14 + 15n, y = 16 - l 7n, n E Z.
o
Ejemplo 11 Resuelva la siguiente ecuación diofántica:
20x + 15y = 30. Solución: Como mcd(20, 15) = 5 y 5130 la ecuación diofántica tiene solución. Primero procedemos a dividir a ambos lados de la ecuación por el máximo común divisor para obtener una ecuación donde los coeficientes de x y y sean primos relativos. Así obtenemos:
4x+3y
= 6.
Escribimos la fracción ~ como fracción continua. 4
1 1 3 = +3·
Eliminamos la última fracción del término de la derecha o sea ~. Restamos 1 a la fracción original y obtenemos: 4 3
- - 1=
4·1-1·3 1 = -. 3·1 3·1
Trabajando solamente con los numeradores del segundo y tercer término de la igualdad anterior tenemos:
4·1 - 1·3 = 1. Como la ecuación original está igualada a 6 y, notando que el término de la izquierda posee los coeficientes de x e y de la ecuación original, multiplicamos por
Ecuación Diofántica ax + lYy = e
49
6 a ambos lados de la igualdad. 6 . 4 . 1 - 6. 1 . 3 = 1 . 6.
Acomodando términos al lado izquierdo de la igualdad anterior obtenemos la expresión:
4 . 6 + 3. 6 = 6; la cual nos da una solucién panicular de la ecuación diofántica lineal, esto es: x y y = 6. Por último escrihin~u - la solución general de la ecuación:
=6
o
x = 6-3n. y = - 6 - 4n, n E Z.
Note que en el ejemplo a:nrerm: ~= S(L ción particular x = O, y = 2 se puede hallar por simple inspección. Es:o -se .:2. ;~~_e c:no de los coeficientes de x o y divide el término constante en la ecuc:~:é~ -~:~._g ' espu_es de dividir por el máximo común divisor En estos casos una -º~:-~ ....._EI ...:e obtiene haciendo cero la variable cuyo coeficiente no divida a~~ ;- _ ~-----:; -.:-:- ? ..:es¿ejando la otra variable.
.. . -
Ejemplo 12 Resolvamos la siguiente ec'!E:
..
::_2-:z - ' -Y = ::.6.
•--
Solución: Primeramente dividimos poI e: ~1- ~"==- -2 = .:! ambos lados de la ecuación notando que 4j16 y por lo tanto : a -e. . := ::;.,ti~ ciofü.ntica tiene soluciónes enteras. De esa forma debemos resol . er la ~ ~6:! · 3lx - 1 y =-=-
Separamos la parte entera de la fracción ~: 31 - l 18 - luego cambiamos la fracción propia entonces
1
1
13 -_
•
•
~~ po1 otra equivalente a ella 1~ . Obtenemos 13
31 1 1 18= + 18 '
13
50
Ecuaciones Diofánticas
Realizando nuevamente el mismo proceso con la fracción impropia obtenida en el denominador
~: :
18 13
=
5 1 + 13
=
1 1 + 13. 5
Ahora la fracción inicial tendrá la forma: 31 18 = 1 +
1
1
1+13 5
Realizando el mismo proceso con la fracción 13
5 tenemos entonces
3
13 : 5 1
= 2 +5 = 2 + 5;
3 31 18 = 1 +
1 1+
1
1
2+5 3
Separando la parte entera de la fracción
5
: 3
5 2 1 - = 1 + -=1 +3 3 3 2 y sustituyendo en la fracción anterior tenemos
31 18 = 1 +
1 1+
2+
1
1 1
1 +3
-
2
Ecuación Diofántica ax + by = e
Separamos la parte entera de
3
2:
obtenemos al final de este proceso: -31 = 1 +
18
51
3 1 - =1+2 2
1 1_ __ ____
1+----1 2+--11+ 1 1+ 2
i,
Suprimiendo el último término de esta fracción continua, o sea transformamos la fracción continua que queda en una fracción ordinaria y la restamos a la fracción . . 1 31 ongma : 18 1 1 1 5 12 1+---1-- = l + 1 = 1+ 2 = 1+ - = - . 1+7 7 1+ 1 1+ 1 5 2+ 1 2+2
1+1
12 31 . 7 - 18. 12 1 18. 7· 18. 7 7 Reduciendo la expresión obtenida a un de11om.inador común y suprimiendo este denominador, obtenemos: 31 18
31 . 7 - 18. 12 = l.
Multiplicando por 4 a cada lado de esta última igualdad tenemos: 31. 28 - 18 . 48
= 4.
Finalmente comparando la igualdad obtenida con la ecuación 3lx - l8y = 4,
vemos que x
= 28 y y = 48 son solución de esta ecuación y, con base en el teorema
52
Ecuaciones Diofánticas
anterior, todas sus soluciones estarán incluidas en las progresiones:
x = 28 - 18n, y
= 48 -
31n
n
Z.
E
D
El método seguido en los ejemplos anteriores se puede resumir en el siguiente algoritmo para hallar la solución .general de la ecuación ax + by + e = O usando fracciones continuas: Algoritmo usando fracciones continuas. 1. \érificar si la ecuación tiene soluciones enteras. Esto es, se verifica si el máximo común divisor mcd( a, b) le. Si es así se divide la ecuación por el máximo común divisor para obtener una ecuación ax+ by = e, con mcd(a, b) = l . En caso contrario,. la ecuación no tiene solución. 2. Si mcd(a, b)lc, desarrollar en fracción continua la fracción formada por los coeficientes de las incógnitas x y y tomando como numerador el valor más grande. Supongamos sin perdida de generalidad que 1al > 1bl. Entonces desarrollamos ~ , b # O, como fracción continua. 3. Suprimir el último término de la fracción continua encontrada. 4. Escribir en la forma
~. s #O, la fracción que queda en el paso anterior
s 5. Restar a la fracción original la fracción del paso precedente dejando expresados los cálculos del numerador para poder comparar con la ecuación original. Esto es: a r a· s - b·r k b- ~ = bs = bs · k E ~. 6. Igualar el numerador del intermedio a su resultado k y comparar con la ecuación original, multiplicando la igualdad obtenida por el valor necesario para obtener una solución particular de la ecuación original m · a · s - m · b · r = mk = e m E
z.
7. Escribir la solución general de la ecuación diofantica a partir de la solución particular encontrada en el paso anterior
x = ms + bn, y = (-mr)
+ an,
n
E
z.
Ecuación Diofántica ax+ by= e
53
La demostración de este algoritmo la omitimos pero se puede ver en el libro Teoría de Números de Burton Jones una demostración que implica su validez.
Método de Congruencias Lineales
=
Como dijimos anteriormente, resolver una ecuación del tipo ax+ by = e equivale a resolver la congruencia ax c(mod b). Existen varios métodos para resolver congruencias lineales. Uno de los métodos más utilizados para la solución de ax= b(mod m) es el que indica que en cada etapa se obtenga un número congruente con
b(mod m) que tenga un factor común a a y de esta manera pueden dividirse ambos miembros de la congruencia. Por tanto fX>der:io- reó:cir la congruencia dada a una con módulo menor y aplicar el método una y otra ye-za .as congruen cias de módulos cada vez menores.
Ejemplo 13 Resolvamos: 5x
=52(mod3
Solución:
l. Buscamos un múltiplo de 3 que, cuando se si.::;:ie a 52, dé un número divisible por 5. Esto es, necesitamos una y tal ~e
Como 52 es congruente con 2 y 3 es congruente con - 2 (tomando los menores
=
residuos en valor absoluto) entoilces la última congruencia se convierte en 2 - 2y O(mod 5), ó - 2y -2 :nod5). 2. Podemos "ver " por simple observación que una solución de esta congruencia es y = 2. Sustituyendo en 52 + 3y, obtenemos 55, que es 5 · 11. Lo que demuestra que es una solución de la congruencia dada. De donde la ecuación:
5x
+ 3y = 52
(12)
tiene como solución para x a 11. Sustituyendo x tenemos que y = - 1. Por último escribimos las soluciones generales
x = 11 - 3n, y = -1
+ 5n,
nEZ
o
54
Ecuaciones Diofánticas
Ejemplo 14 Resuelva la siguiente ecuación 8c + 7p = 100.
Solución: Dado que mcd(8, 7) = 1l100, la ecuación tiene solu~iones enteras. Re-
solver la ecuación es equivalente a resolver la congruencia 8c
=lOO(mod 7).
1. Buscamos un múltiplo de 7 que, cuando se sume a 100, dé un número divisible por 8. Esto es, necesitamos una y tal que
100 + 7p - O(mod8). Como 100 es congruente con 4, y 7 con -1 (tomando los menores residuos en valor absoluto), la última congruencia se convierte en 4 - p O(mod 8), o p 4(mod8).
=
=
2. Podemos "ver " por simple observación que una solución de esta congruencia esp = 4.
Sustituyendo en 100+1p, obtenemos 128, que es 8 · 16. Lo que demuestra que ' 16 es una solución de la congruencia dada. De donde la ecuación: Be+ 7p
= 100
(13)
tiene como solución para e a 16. Sustituyendo e tenemos que p = -4. Por último escribimos las soluciones generales e= 16 - 7n , p = - 4 + 8n, n
E
Z
o
Método usando el Algoritmo de Euclides
Usando el algoritmo de Euclides estudiado en el capítulo anterior podemos resolver ecuaciones diofánticas de la siguiente forma: Dada la ecuación ax + by = e entonces: l. Obtener mcd( a, b). Si mcd(a, b) no divide a e entonces no hay solución. 2. Si mcd( a, b) divide a e, dividimos ambos términos de la ecuación por d mcd(a, b).
55
Ecuación Diofántica ax+ lYfj =e
3. Consideremos la ecuación ax+by esto en virtud del paso 2.
= e tal que mcd(a, b) = l. Podemos suponer
(a) Si ale, existe Co tal que ªCo = c. Luego hay una solución
y= Ü
X=
(b) Si a Je podemos suponer que O < a <
b
aq1 + r 1.
e
aq2
+ r 2.
(14)
C().
o por el algoritmo de la división
O< r 1 . ~a 1
(15)
O<
(16)
- ?·
a
4. Sustituyamos estas igualdades en la ec:!.a~ar. oi~ Entonces
(17) Sea z = x
+ q1y -
q2 entonces ~a ~~:.ac:o:: :7, se transforma en (18)
(a) Si r 1 lr2 caemos en 3.a (b) Si r 1
Jr 2 caemos en 3.b y iconunuamos el proceso.
\éamos algunos ejemplos:
Ejemplo 15 Resuelva la ecuación diofántica 125x - 25y
= 28.
Solución: Como (125, 25) = 5 y 5 no div ide a 28, tenemos que la ecuación dada no tiene soluciones enteras. O
Ejemplo 16 Resolvamos la siguiente ecuación: 350x
+ 425y =
1200.
Solución: Como (350, 425) = 25 dividimos ambos lados de la ecuación por 25 y tenemos
14x + l7y = 48.
56
Ecuaciones Diofánticas
Por el algoritmo de la división euclideana se tiene que 17 = 1 · 14 + 3 y 48 = 3 · 14 + 6. Sustituyendo y agrupando términos tenemos: 14(x + y - 3) + 3y = 6. Haciendo z = x + y - 3 y sustituyendo en esta última ecuación se tiene 14z+ 3y = 6.
Como 3j6, para esta ecuación tenemos una solución de la fonna z =O y y= 2. Escribiendo z en términos de x e y y sustituyendo y = 2 obtenemos el valor x = l. Luego la solución general de la ecuación diofántica inicial es: X= 1 + l7k ,
y= 2 - 14k,
k E Z.
o
\éarnos otro ejemplo donde se usa la recursividad del método.
Ejemplo 17 Resolvamos la ecuación: 69x
+ l23y = 3000.
Solución: Primeramente vemos que (69 123) = 3 ~ 313000. Dividiendo ambos 1
términos de la ecuación por 3 obtenemos 23x + 4l y = 1000. Aplicando el algoritmo de división euclideana a 41 y 100 se tiene 41 = 1 . 23 + 18, 1000 = 43 . 23 + 11. Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación anterior tenemos 23(x +y- 43) + l8y = 11. Haciendo el cambio de variable z = x + y - 43 obtenemos 23z + 18y
= 11.
Aplicando de nuevo el algoritmo a esta ecuación y notando que ahora z tiene el
57
Ecuación Diofántica ax + lYy = e
coeficiente mayor vemos que
23
= 1. 18 + 5,
11
=o. 18 + 11.
Sustituyendo nuevamente obtenemos
18(y + z) + 5z = 11. Hacemos el cambio de variable u = y
18u
+ z para obtener
+ 5z =
11.
Volviendo a aplicar el método a esta ecuación obtenemos
18 = 3 . 5 + 3.
11 = 2. 5 + l.
Sustituyendo se tiene
5(z + 3u - 2) 1 3u = l. Haciendo el cambio de variable w = z
+ 3u -
2 llegamos a la ecuación
5w + 3u = l. De nuevo aplicamos el método para obtener
5 = 1 . 3 + 2, 1 = o. 3 + l. Sustituyendo y haciendo el cambio de variable t = u
3t + 2w =l. Aplicamos el método una vez más y tenemos
3 = 1 . 2 + 1, 1 =o. 2 +l. De donde
2(t + w) + t =l.
+ w llegamos a
58
Ecuaciones Diofánticas
Nuevamente cambiamos de variable, haciendo v = w Zv
+t =
+ t para obtener
l.
Para esta última ecuación, y con base en el algoritmo, se tiene la solución v = O, t = l. Luego, por sustitución hacia atrás se obtienen los siguientes valores: l.
V
= Ü, t =
1,
W
=
- 1
2. w = -1, t = 1,
u= 2
3.w = -l, u = 2,
z=-5
4. u = 2,
z = -5, y= 7
5. Z = -5, y= 7,
X= 31
6. X = 31, y= 7 Luego la solución general de nuestra ecuación inicial es: X
= 31
+ 4lk,
y = 7 - 23k
k E Z.
o
Resolución de problemas. Muchos problemas con números enteros se pueden resolver frecuentemente mediante ecuaciones diofánticas lineales en dos incógnitas. \éamos algunos ejemplos.
Ejemplo 18 Suponga que una persona gasta 40 colones en una tienda. Si le da al dependiente un billete de cien colones, ¿cómo puede recibir el cambio en monedas .de 1Oy 25 colones? Solución: La solución aquí es obvia pero será instructiva para ver cómo un problema de este tipo·nos conduce a una ecuación Diofántica. La ecuación en términos de monedas de 10 colones (á) y 25 colones (q) es: lOd + 25q = 60, cuando la transacción es expresada en colones. Simplificando esta ecuación tenemos 2d + 5q = 12. Debemos tomar en cuenta que d y q deben ser enteros positivos o cero. Si resol-
Ecuación Diofántica ax + by = e
59
vemos la ecuación para d, obtenemos
5 d = 6- q 2· Como d y 6 son enteros o cero, ~es también entero. Sea r = ~ . Entonces ~ = r o 5q = 2r, un entero par: Como 5 es impar, q debe ser un entero par, digamos q = 2s. Así
d = 6 - Sq ===> ti. = 6 - 5s 2 donde s es un entero arbitrario.Adem s 53 'ebe S..'°-f menor que 6 pues d debe ser un entero positivo o cero. Así llegamos a ~as ·os pos: ilidades siguientes:
1. s = O, 2. s
= 1,
d = 6, d
= 1,
=O q=2 q
Por tanto nuestro problema tiene dos pnsib:es so:~c1o:ies: sei s monedas de 1O colones solamente o dos monedas de 25 colone.s y un.a de :o colones. O
Ejemplo 19 Un hombre paga 143 colones por la compra de manzanas y peras. Si paga 17 colones por cada pera y 15 colones por cada manzana, ¿cuántas manzanas y peras pudo comprar?
Solución: Sea x el número de manzanas y y el número de peras. Debemos resolver la ecuación diofántica:
l5x + l7y = 143. Como (15, 17) = 1 sabemos que existe una solución entera al problema. Aplicando el método del Algoritmo de Euclides se tiene:
17 = 1 . 15 + 2'
143
= 9 . 15 + 8.
sustituyendo en la ecuación tenemos
15( X
+ y - 9) + 2y = 8.
Hacemos el cambio de variable z = x
+y -
l5z + 2y = 8.
9 y tenemos:
60
Ecuaciones Diofánticas
Luego, por el paso 2 del método se tiene que z = O y y = 2 es una solución de la última ecuación. De donde, por sustitución hacia atrás, obtenemos la solución particular x = 5 y y= 4. Luego la solución general será: X
= 5 - 17t,
y = 4 + 15t t E Z.
Como x y y deben ser positivos, t solo puede tomar el valor cero. Se tiene entonces que la única solución posible al problema es la solución particular encontrada antes.
D
Ejercicios 2.2 1. Encuentre todas las soluciones positivas enteras de las siguientes ecuaciones usando los tres métodos expuestos:
(a) 5x + 2y = 52 (b) l5x+7y= 111 (c) 40x + 63y = 521 (d) 123x+57y= 531
(e) 12x+501y= 1
(f) 12x + 50ly = 274 (g) 97x + 98y = 1000
(h) 2x + 3y = 4 (i) 17x + l 9y = 23
U) 15x+51y = 41 2. Encuentre la fracción continua de las siguientes fracciones .
(a) (a) :~
(d) ~
(e) ~~
3. Escriba las ecuaciones del ejercicio 1 como dos congruencias distintas: una en la variable x y la otra en la variable y. 4. ¿Cuál es el menor valor estrictamente positivo para e para el cual la recta
l5x. + 2ly = e tiene puntos reticulares?
61
Ecuaciones Diofánticas Lineales con más de dos incógnitas
5. Demuestre que ax+ lYy =a+ e tiene puntos reticulares si y solo si ax+ lYy =e tiene puntos reticulares.
6. Pruebe que ax mcd(a, b, e).
+ lYy =
e tiene puntos reticulares si y solo si mcd( a, b)
=
7. ¿Qué tan separados están los puntos reticulares de la ecuación 15x + 21y = 6?
8. Si (a, b) = 1, demuestre que la recta ax+ by = e tiene un número infinito de puntos reticulares en el primer cuadrante si ah < O, un número finito o ninguno si ab > O, con ac > Oy ninguno si ab > Ocon a.e < O. 9. Demuestre que ax + lYy + cz divisor de a, b, e divide a d.
= d tiene soluciones enteras, si el máximo común
2.3 Ecuaciones Diofánticas Lin,eales con más de dos incógnitas Una generalización de la ecuación ax incógnitas:
+ lYy =
d es la ecuación lineal en más de dos
(19) Cuándo una ecuación del tipo ( 19) tiene solución lo establece el siguiente teorema: Teorema 2.3 La ecuación diofántica
(20) tiene solución si y solo si el máximo común divisor de los coeficientes ai divide a d. La demostración del caso con tres incógnitas nos brinda un método para resolver algunas ecuaciones. El caso general se deja como ejercicio al lector. Teorema 2.4 La ecuación diofántica a1x1
+ a2x2 + a3X3 = d
(21)
62
Ecuaciones Diofánticas
tiene solución si y solo si el máximo común divisor de los coeficientes a1, a2, a3 divide a d. Demostración: Para demostrar el teorema en el caso n = 3, supongamos que g = mcd(a 1, ~). Entonces para cualquier y, el teorema de la sección precedente nos permite resolver la ecuación: (22)
De esta forma, la solución para n = 3 se reduce a encontrar los enteros y y x 3 tales que (23)
La ecuación anterior tiene solución si y solo si el mcd(g, a 3 ) divide a d. Sin embargo, el mcd(g, a 3 ) es el mismo que rncd(a 1 , a2 , a3 ), pues cualquier divisor de g y a 3 devide a a 1 y a2, mientras que cualquier divisor común de a 1 , a2 a3 divide • tanto a g como a a3 . Cuando los coeficientes de (2 1) son tales que cada dos de ellos tienen un máximo común divisor mayor que 1, la técnica empleada en la demostración del teorema se puede aplicar para resolverla.
Ejemplo 20 Resuelva la siguiente ecuación 8x
+ 20y + 5z = 45
(24)
Solución: Como el mcd(8, 20) = 4, la ecuación 8x + 20y = 4t tiene solución pues es de la forma (21).Una solución de 4t + 5z = 45 es t = O, z = 9. La solución general para esta última ecuación, con base en ( 11 ), es:
t = - 5n, z = 9 + 4n. Luego, sustituyendo tenemos
8x + 20y = 4t ===> 2x
+ 5y =
- 5n ==> 2x + 5(y + n) = O.
(25)
Ecuaciones Diofánticas Lineales con más de dos incógnitas
Haciendo el cambio de v = y
63
+ n obtenemos la ecuación diofántica lineal 2x
+ 5v
(26)
= O.
Como x = O, v = O es una solución particular de esta última ecuación, la solución general para ella esta dada por
x = - 5m. v = 2m. De donde, sustituyendo v = y ción inicial
+ n, podemos dar la solución general de la ecua-
x = -5rn, y = 2m - n,
z = 9 + 4n .
o
El lector observará que las soluciones quedan en términos de los parámetros m, n . Esto se debe a que, vía la sustitución v = y + n, la _e cuación (26) se está resolviendo para x y v en términos del parámetro m. Como v ya dependía del parámetro n, en virtud de las soluciones (25), las soluciones finales dependerán de m y n. Algunas soluciones particulares para esta ecuación se dan en la tabla siguiente. Se deja al lector el ejercicio de verificar su validez.
m
o
n
1
º1 '
X
o
y
o
~
g
-;) 1 1 13 - ;) 1 2 o 17 -3 21 15 1 -4 -3 10 - 1 -50 1 27 -19
\éamos otro ejemplo.
Ejemplo 21 Resuelva la siguiente ecuación 20x
+ 12y -
30z = 8
(27)
Solución: Como el mcd(20, 12) = 4, la ecuación 20x - l2y = 4t tiene solución pues es de la forma (21 ).Una solución particular de 4t - 30z = 8 es t = 2, z = O. La solución general para esta última ecuación, con base en (11), es:
t = 2 - 30n, z = 4n
(28)
64
Ecuaciones Diofánticas
Luego, sustituyendo tenemos
20x - 12y = 4t ===> 5x - 3y = 2 - 30n ===> 5x + 3(y + lün) =O. Haciendo el cambio de v
= y + 1On obtenemos la ecuación diofántica lineal 5x+3v =O.
(29)
Como x = -2, v = 4 es una solución particular de esta última ecuación, la solución general para ella está dada por x
= -2 - 5m,
De donde, sustituyendo v ecuación inicial x
= y+ lün,
v
= 4 + 5m.
podemos dar la solución general de la
= -2 - 5m, y= 4 + 5m -
lOn , z
= 4n.
o
El método seguido en los dos ejemplos anteriores falla cuando los coeficientes de (21) no tienen, cada dos de ellos, un máximo común divisor mayor que 1. En estos casos, un método descrito en el libro Teoría de Números de Burton Jones que agiliza el cálculo de las soluciones es el siguiente: Supongamos que el mcd( a, b, e) = l. Entonces, si podemos encontrar
a', b', e' y a", b", e" tales que el determinante a a'
b e b' e' a" b" e" es 1, entonces formamos las ecuaciones
(30)
ax+ by+ cz
x'
(31)
a'x + b'y + c'z
y'
(32)
+ e" z
z'
(33)
a" x + b"y
Como el determinante (30) de este sistema es uno, las ecuaciones pueden resolverse para los enteros x, y , z en términos de x' , y' , z'. Haciendo x' = d y conside-
Ecuaciones Diofánticas Lineales con más de dos incógnitas
65
rando y' y z' como parámetros arbitrarios obtendremos una solución general. La dificultad en general es encontrar el segundo y tercer renglones del determinante. Para encontrar los coeficientes del segundo y tercer renglón de(30), sea g = mcd(a, b) y sean s , r E .Z tal que (34)
as - br = g.
Como mcd(a, b, e) enteros u y v tales que
=
1, por hipótesis, entonces mcd(g, e)
=
1, y existen los
gu - cu = l.
(35)
Procedemos a calcular soluciones particulares de (34) y (35). Una vez encontradas, escribimos el determinante (30) en la forma a
b
r av
s bv
g
g
e O
(36)
u
Desarrollando el determinante por la tercera columna se obtiene, en virtud de (34) y (35) e(
gr bv - gsav )
+ u(as - rb)
cv(rb - as) (, b) - - - - + u as-r
(37)
1
(38)
g
- cv + gu Ejemplo 22 Resuelva 35x
+ 3y -
=
l 4z = 17.
Solución: Nótese primeramente que mcd(35, 3, - 14) = l. Dado que g = (35 3) = 1, formamos la primera ecuación equivalente a (34)
35 - 3r =l. Los valores s = -1, r = -12 dan una solución particular para esta ecuación, la cual se puede obtener aplicando el método de fracciones continuas para la solución para ecuaciones lineales en dos incógnitas. Por otro lado, resolviendo la ecuación equivalente a (35),
u+ l 4v = 1,
66
Ecuaciones Diofánticas
vemos que u = 1 y v = O es una solución particular El determinante (36) toma la forma ~
=
35 3 - 14 -12 - 1 o = 1 o o 1
Por tanto tenemos:
35x + 3y - l4z
Como~ =
17
(39)
- l2x-y
y'
(40)
z
z'
(41)
1, podemos usar la regla de Cramer para encontrar las soluciones: X
- 17 - 3y' - l4z'
(42)
y
204 + 35y' + 168
(43)
z
z'
(44)
Algunas soluciones particulares se pueden apreciar en la siguiente tabla
y' z'
o o 1 o 2 o
X
- 17 - 20 - 23
y 204 239 274
z
o o o
o
Ejercicios 2.3 1. Demuestre que la ecuación diofántica
tiene solución si y solo si el máximo común divisor de los coeficientes ai divide a d. (Sugerencia: Use inducción sobre n.) 2. Resuelva las siguientes ecuaciones. (a) 8x + lOy + 3z = 34
67
Otras Ecuaciones Diofánticas
(c)
+ lOy + 15z = 37 20x + 5y + 5z = 13
(d)
X+
(b) 6x
y-
Z
= 6
(e) 4x - 32y + 12z = 8
=7 (g) 15x - l2y - 20z = 21 ( t) lOx + 2y - 3x
2.4 Otras Ecuaciones Diofánticas Algunas ecuaciones diofánticas distintas de las lineales tienen métodos muy particulares de resolución (cuando se puede resolverlas). Una caracterización de la ley de cosenos Considere la ecuación diofántica de segundo grado en tres incógnitas x, y , z: x 2 + y 2 + z 2 + 2xyz = 1
(45)
Podemos escribir esta ecuación como un determinante 3 x 3 y
X
-1
y
Z
z - 1
-1
-- o.
X
Para que existan soluciones racionales x, y , z de (45) se sabe que deben existir tres números racionales a, b, e tal que el sistema lineal bx+ay
e
(46)
cx +bz
a
(47)
cx+az
b
(48)
tiene soluciones b2 + c2 _ X= 2bc
ª2
' y=
a2 + ¿ _ b2 ?.. ac
a2
z=
+ b2 _
c2
2ab
Estas ecuaciones dan las fórmulas para la ley de cosenos en un triángulo cuyos
68
Ecuaciones Diofánticas
lados son números racionales a, b, c. En este sentido podemos decir que la ecuación (45) caracteriza la ley de cosenos. Notese que existen infinitas soluciones racionales para esta ecuación. La solución general para números enteros de (45) se puede encontrar en (The American Mathematical Montly 64: 101-103February1957). Ecuaciones cuadráticas
Las ecuaciones diofánticas cuadráticas por ejemplo, son aquellas en las que al menos una de las incógnitas tiene exponente 2 en alguno de sus términos. Para tener una idea de este tipo de ecuaciones veamos la ecuación
(49) El siguiente teorema nos indica cuándo podemos encontrar soluciones para ellas: Teorema 2.5 La ecuación diofántica x 2 - u 2 y 2 = d tiene como solución 2x = r + t , 2uy = r - t donde rt = d y r - t = 2ku,con k E Z.
El teorema nos dice que dicha ecuación tiene solamente un número finito de soluciones. Esto contrasta con la ecuación x2
-
2
cy = d,
eEZ
(50)
y e no es un cuadrado perfecto pues se sabe que dicha ecuación, o bien tiene un
número infinito de soluciones, o bien no tiene solución. Un caso particular de esta situación se da cuando d es llamada ecuación de Pell: x 2 - cy2 = 1
=
1. La ecuación obtenida
(51)
De esta ecuación se sabe que si x = xo, y = y0 es una solución y y0 es diferente de eero, entonces existen un infinito número de soluciones. La demostración de esta afirmación se puede encontrar en el libro Teoría de Números de Burton Jones. El estudio del caso general de (50) requiere del desarrollo de la teoría de fracciones continuas con un número infinito de términos las cuales son útiles para expresar numeros irracionales como fracción continua. No es nuestra intención hacer una exposición formal de estos tópicos. EL lector interesado podrá encontrar una expo-
Números Pitagóricos
69
sición bastante detallada del estudio de la ecuación (50) en el libro Resolución de ecuaciones en números enteros de A. O. Guelfond.
La ecuación x 3
-
dy 3
=1
La ecuación x 3 - dy 3 = 1 tiene al menos la solución trivial x = 1, y = O. Probar que posee otro tipo de soluciones para algunos valores de d requiere del estudio de "métodos peádicos ". El lector interesado podrá encontrar un esrudio de estos métodos y de esta ecuación en particular en el libro Studies in 1 un1her Theory de W J. Le \éque.
Ejercicios 2.4 1. Demuestre que la ecuación x 2 - u 2y 2 = d no tiene solución~ ti- '1 = ~',.. ' E Z. 2. \érifique que el determinante (45) coincide con la ecuació '~ _ 3. \érifique las soluciones (45) para x, y, z dadas en la pe~21 67.
2.5 Números Pitagóricos Como aplicación de la teoría de las ecuaciones diofán.:C2S ~'tic~ estudiaremos la ecuación
X
2
+ _,2 y =
?
Z-.
(52)
comúnmente relacionada con el triángulo recrá!:gu;ro_De hecho podemos decir que las soluciones enteras de esta ecuación oo~~::_den a ternas pitagóricas, o sea, corresponden a los lados de un triángulo roc::ánguio. Resolver la ecuación (52) es equivaieme a caracterizar todos los triángulos rectángulos cuyos lados miden un número e1:rem. Comenzamos caracterizando cierras soluciones por medio del siguiente teorema, el cual dejamos como ejercicio al lector.
Teorema 2.6 Un conjunto {x . y . z} es wia terna pitagórica si y sólo si el conjunto {bx, by, bz }, b E Z, es una terna pitagórica.
70
Ecuaciones Diofánticas
De este teorema se desprende que basta centramos en aquellas soluciones de (52) tal que no hay dos elementos de la tema que tengan factores comunes, pues, si dos de ellos tienen un factor común, este también es factor del tercero. Definición 5 Una solución primi.tiva de la ecuación diofántica x 2 + y2 = z2 es una terna {x, y , z} de números enteros que la satisfacen y que además cada dos de ellos son primos relativos. Se puede probar que cualquier solución entera de (52) será un múltiplo de una solución primitiva. Por otro lado, si x y y fueran impares, z 2 - 2 = 4 k, con k E Z, lo cual es imposible. Si z es impar su cuadrado es impar y z 2 - 2 -=f. 4k k E Z. Si z es par entonces z2 = 4ko ko E Z, luego z2 - 2 -=f. 4k . Tampoco puede ser que x y y sean pares los dos por la suposición hecha anteriormente. Supongamos pues que y es par y x impar Entonces y = 2u, así, nuestro problema se reduce a encontrar las soluciones de x 2 + 4u 2 = z 2
(53)
con x impar y sin que dos cualesquiera de x u z tengan un factor en común. De (53) tenemos: z2
-
x2
= 4u2 ,
(54)
la cual podemos escribir como z ( -2u De donde z ( 2u
)2- (-2u )2 =1 ·
(55)
x)( 2uz - 2ux) = 1
(56)
X
+ 2u
, . al quepodemos representar como -m con Entonces -Z + -X es un numero rac1on n 2u 2u (m, n) = l. De (56) se deduce que z - x es un recíproco, es decir, ~' entonces, 2u 2u m
71
Números Pitagóricos
sumando ambos rocíprocos tenemos z -u
=
m -n
m2 + n 2 = -mn --
n + -m
(57)
Luego como las 5-acc:o:ies del primer y tercer miembro están en su forma más simple, y todas las inco~;:E.S :-e;i1esentan enteros positivos, tenemos
= 2u. == m 2 + n 2 .
(58)
Si en vez de sumar los rec :::oc.... s ~2s ~-:anos se obtiene el valor de x : (59)
Con esto hemos probado el sig--.....:e-::_:-e
~-:-
Teorema 2.7 Para cada p ar de 11;m: _, ecuación x 2 + y 2 = z2 de la fomw y
so:: crón de la
= 2u, z = m'? -
(60)
Además, si {x y , z} es una solución pr7'::·~ _ .::e _ y m números enteros que satisfacen las ec-~-.- ::
Ejemplo 23 La siguiente tabla nos n:i::es::-a :. las fórmulas dadas. "TI n
~ces
5'_: _::;:- e5 ~ú!lltiyas
existen n
obtenidas de
2
3
?
I
3
-::
-!
5 5
_ --:;
.
-·-, ..,
-::
29
2
6 ,J 61 ') 6 1 35 3- 1 7 16 :.3 85 1 7 4 1 56 33 65 ~-
o Un detalle curioso es que en toda tripleta de números pitagóricos, uno es divisible por 3, uno es divisible por 4 y uno es divisible por 5 (un mismo número de la tripleta
72
Ecuaciones Diofánticas
podría ser divisible por dos o tres de los números 3, 4, 5).
Ejemplo 24
l. En la tripleta (5, 12, 13), el 12 es divisible por 3 y 4.
2. En la tripleta (8, 15, 17), el 15 es divisible por 3 y 5. 3. En la tiipleta (60, 11, 61), el 60 es divisible por 3, 4 y 5.
o
De la afinnación anterior podemos entonces concluir que el producto de los números que fonnan cualquier tripleta pitagórica es siempre divisible por 60.
Ejercicios 2.5 l. Demuestre que cualquier solución de la ecuación (52) es un múltiplo de una solución primitiva.
2. Demuestre que si x y y son números enteros impares entonces la suma de sus cuadrados disminuida en dos es de la fonna 4k k E '!L. 3. Demuestre que si {x, y , z} es una solución primitiva de (52) entonces no contiene dos elementos pares. 4. Indique por qué si { x, y , z} es una solución primitiva de la ecuación (52), z 2 - 2feO(mod4).
5. Demuestre que si m y n son enteros tales que (m, n) = 1 entonces la fracción m2 +n2
- - - es una fracción reducida. mn
6. Demuestre que si m y n son enteros pares positivos, el producto de la terna pitagórica obtenida es equivalente a cero módulo 64.
2.6 El último teorema de Fermat. En la sección precedente se analizó un caso particular de la ecuación
(61)
para el caso n = 2.
El último teorema de Fermat.
73
El caso n = 1 es trivial pues es la propiedad de cerradura de la suma en Z. Pierre de F ermat ( 1601- 1665), matemático" Francés, mientras hací a una traducción de la edición de Bachet de los trabajos completos de Diofanto, escribió en uno de sus márgenes: Es imposible separar un cubo como suma de dos cubos, o un bicuadrado como suma de dos bicuadrados, o en general niJ:g'..ma. potencia de grado mayor que dos como suma de potencias del mismo grado; Ió t.e descubierto una prueba verdaderamente maravillosa pero este margen es den¿asiatkJ pequeño para contenerlo". La copia del libro se perdió, pe:o fa cum, e~ en la edición de 1670 de los trabajos de Fermat, editada en Ioiousepor S..I hlj o, Sa:n e~ deFermat. En lenguaje moderno,, ia afirmación de Ferrnat dice :o siguiente: Teorema 2.8 La ecuación xn +y11 = zn, donde n es un número natural más grande que 2 no tiene soluciones en enteros, todos diferentes de cero. Desgraciadamente la "verdaderamente maravillosa prueba• anunciada por Fermat no apareció entre sus documentos en la revisión que se hiciera cuando murió. Durante más de 300 años, los matemáticos más eminentes de este periodo se dedicaron a encontrar una demostración de la "Conjetura de F ermat" como se le llamó en su momento. Incluso el mismo Karl Fiedrich Gauss, que aunque logró dar una demostración para el caso de los cubos, no logró resolver el problema en su generalidad. El 21 de marzo de 1816, le escribe a Olbers acerca de la reciente competencia de la Academia de Paris sobre el último teorema de Fermat. "Estoy en deuda por sus noticias acerca del premio de Paris. Pero confieso que el teorema de Fermat, como proposición aislada, tiene muy poco interés para mi, porque yo podría fácilmente establecer una multitud de proposiciones como esta, las cuales no podrían ni probarse ni rechazarse". Como quiera que sea, el teorema de Fermat ha contribuido, en gran parte, al desarrollo de la teoría de números. Esto se puede apreciar en el libro An lntroduction to Theory o/Numbers de Niven y Zuckerman, donde podemos ver el grado de dificultad que involucró la busqueda de una prueba de esta afirmación. Si el lector revisa la literatura sobre teoría de números publicada antes de la
74
Ecuaciones Diofánticas
década de los noventa notará que se refieren al último teorema de Fermat com
Funciones especiales
Eu/er
3.1 ::Vlotivación histórica 3.2 La función parte entera 3.3 Funciones multiplicativas 3.4 La función de Mobius 3.5 La función de Euler
---
8ft(JIP~31F= -~==
~~~~~P~+a~"Sús' - ~~ prq_l;Jlemas:::y _: -~l~P!9.Piii:f.adif$~1Íq,ft~e§Olucwi11>tle
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En este capítulo se definen algunas funciones es; c.:: - es ~ _e se utilizan en la teoría de números. Estudiaremos sus propiedades y Z:.~ - -..~ .!~- ~::n::es en las que ellas se aplican. Desde el punto de vista de la teoría de números_ ~ ~~~ -""--~ ::-.:::..' :-:t~_:csantes son aquellas cuyos valores tienen que ver más con :as;:~ : :-.=-=._=s ;.::=._e::_~....s ce los números que con su tamaño; tal es el caso de las 5=__ ::.~ - . : . _ ,..; ___e ~-:cGiaremos en este capítulo. En general estas funciorre-5 ::e-:..e::: ..:...:J.2. s=-:;: ~= ~:icaciones en diferentes contextos de la Teoría de Números: ~-:-::::-==s.~ e:: :-:-::as especiales de las matemáticas tales como la Teoría Algebral _ ~;: _-; =--~ s :· :a -:-eoría Analíties:-e exto el esturuo ca de Números. Sin embargo, no está dentro me les·;.,-?:~ de ellas, más allá de su definición y algunas de ·:::s: :--:· =é2.:es ' asicas.
-=
3.1 Motivación histórica Leonhard Euler (1707- 1783), matemáticos lID. ·~~~uno de los más productivos en la historia de las matemáticas. Euler e::l:i ~ _g..an capacidad en muchos de los campos de esta disciplina y la Teoría de .. ~~o- ao fue la excepción. En 1736 publicó una demostración del resultado conoc:~o cor::o el teorema menor de Fermat que dice que si p es primo y a es un nun:e:-o e:itero no divisible por p, entonces av- 1 - 1 es divisible por p; luego demostro 1.oa proposición algo más general en la que usó una función que posteriormente se conocerla como la función i.p de Eule.c T
Euler nació en Basilea y fue hijo de un pastor calvinista quien esperaba que el joven siguiera la carrera teológica Sin embargo, Euler recibió una educación
77
78
Funciones especiales
muy completa puesto que además de la teología estudió matemáticas, medicina, astronomía, fisica y lenguas orientales; pero su principal campo de trabajo fueron las matemáticas. En el transcurso de su vida publicó más de 500 libros y artículos y aún durante casi 50 años después de su muerte continuaron apareciendo obras inéditas de Euler. En lo que a teoría de números se refiere, Euler esribió gran cantidad de cartas y artículos sobre diversos aspectos de ella. Entre sus aportes a esta teoría se pueden citar los siguientes: • En 1732 refutó una conjetura de Fermat que establecía que los números de la forma 22 n + 1 son siempre primos. Euler comprobó que el número 225 + 1 no es pnmo. • En 1736 publicó una demostración de otra conjetura de F ermat: si p es primo y a no es divisible por p entonces av- 1 - 1 es divisible por p. • En 1747 prolongó la lista de los tres pares de números amigos 1que conocía Fermat hasta treinta pares de ellos. • Demostró que todos los números perfectos 2 pares son de la forma dada por Euclides, es decir, 2n- 1 (2n - 1) siendo 2n - 1 primo.
3.2 La función parte entera Comenzaremos con una función bastante conocida pero que tiene aplicaciones en el estudio de las propiedades de los números enteros. Nos referimos a la función parte entera que se define para todos los números reales. Comencemos con un pequeño problema. Suponga que p y q son dos números primos positivos impares; en un sistema de coordenadas trazamos la recta L que pasa por el origen y por el punto (p, q). Sea R la región limitada por la recta .r = ~p, el eje x y la recta L , sin incluir ninguna de las rectas. En la siguiente figura se 1
Dos números naturales a y b se llaman amigos si a es igual a la suma de los divi sores propios de b y b es igual a la suma de los divisores propios de a. El par más pequeño de números con esta propiedad está formado por los números 220 y 284. 2 Un número natural a se llama perfecto si la suma de sus divisores propios es igual al mismo a. 1
79
La función parte entera
representa esta situación para el caso p = 7, q = 5. 5 i------.~~~-~-
(7, 5)
4 1--+-+--+-i-~~~~
3 1--+-+-+--___-'--_ _
~
2t--+--~.....,,_~~---;--~
Nos preguntamos, ¿cuántos puntos re·:icW.are-s contiene la región R? (recuerde que los puntos reticulares son aquello~ e -~ as: coordenas son números enteros). Es claro que para valores pequeños de ~ ~· _ ;oCemos hacer el dibujo y contar tales puntos. En el caso de nuestro cho ·o &e :::e:::5: 3 puntos reticulares que son (2, 1), (3, 1) y (3, 2). Pero si estos valores so:::. C::- : gra::ides y no sabemos a ciencia cierta quienes son, entonces hacer el Q::"l-. _: :.n s~á :n_u eficiente. Procedamos de otra manera.
?:
Observe que la pendien:e ee _:___ ~~. .:~ ~ e-s ;ior lo tanto su ecuación es y = ~ x. Contemos primero los punm- ~±~~ . . -.: . :. ?-f.::ie;acoordenada es x = 1; observe que la imagen de x = : segñ-..:::. ~~ :~".. ~ ::___ =s -:- -:e. manera que los puntos reticulares correspondientes son (1. :. , :.. 2 :- :.s:..:. ~E ::.egar al máximo número natural que no sobrepase a ~. Luego co1rta:~:::rr ~~ :; __._._: 1e-ticulares cuya primera coordenada es x = 2; igual que antes, p.rice::-o '-s~. ~os .que la imagen de 2, según la recta L, es;, de manera que los pumo- :e:::...,_:_¿:,es con primera coordenada 2 son (2, 1), (2, 2) y así hasta llegar al máximo c..:'.:r.;;,:o ::mm.al que no sobrepase a~ . p 1
•I 1 1
1
1
1 1 1 11 1 1 1 v" 1,,.V 1 111 1 11 ./ 1
1
1
_,,/
(p ) q)
y
/
X · ·, i 1 -: ·I.:.
V "'
./.
i"'.'·.
/
v.· . .
/..
.
-
.. ::.:1: ~. ..
:-:t1 : :: :l
1
1 1 1 1 1 1 1
Podemos seguir de esta manera, pero no podemos dar una fónnula .si antes no
80
Funciones especiales
asignamos una notación para "el máximo número natural que no sobrepase a ... "
Definición 1 La función parte entera se define como la función que a cada número real x le asigna el número [x], donde [x] es el mayor número entero que es menor o igual que x. Lo anterior también se puede enunciar diciendo que [x]
=m
si m E Z y m
<
x
• Puesto que el mayor número entero que es menor que 8, 3 es 8 entonces [8, 3) • Puesto que 1
<
= 8.
v'2 < 2 entonces [V2] = 1.
• [-4, 7] = - 5 pues -5 < -4, 7 < -4. • Sin es un número entero entonces [n] = n pues n
< n < n +l.
D
Observe que sin es un número entero y m es un número entero positivo entonces [ ;;;_] es el mayor entero q tal que qm < n. Esto es evidentemente cierto puesto que si qm < n entonces q < ;;;_ (pues ·m es positivo) y q es el mayor entero con esta propiedad. Para el caso de número racionales la división es muy útil. En efecto, recuerde que si n es un número entero y m es un número entero positivo entonces existen enteros q y r, con O< r < m, tales que n = qm + r. este q es precisamente la parte entera de [ ;;;_ J.
J,
Ejemplo 2 Para calcular la parte entera de 1 efectuando la división correspondiente tenemos que 17 = 5 · 3 + 2, entonces se tiene que [ 1J] = 5. [] Ejemplo 3 Volvamos al problema de los puntos reticulares. Decíamos que, con las indicaciones dadas antes, los puntos reticulares que pertenecen a la región R y cuya coordenada es :r = 1 son (1. 1), (1. 2) y así hasta el mayor número natural que
J
no exceda a ~; ahora sabemos que este número es [~J. Hay entonces [~ puntos reticulares con primera coordenada .r = l. Del mismo modo podemos establecer
que hay [ ~ J puntos reticulares (en la región R) cuya primera coordenada es .r Hay [; J puntos reticulares cuya primera coordenada es _i· ¿hasta dónde?
=
2.
= 3 y así sucesivamente;
La función oa.- e e tera
81
Como la región está limitada al lado derecio por la recta x = ~p, entonces los últimos puntos que debemos considerar so z • Jetlos cuya primera coordenada es 1 [ (p - 1)J y entonces hay [ (p p -:o; ceticulares con esa primera coordeP nada. Sumando todos estos valores se tie:ie _-e hay
~
~
)q1
[!] + [;] + ¡;: -···-~i(p ; l )q]
puntos reticulares en la región R indican tendríamos
J
? :- ejem plo, con p = 17 y q = 11
-
r~~ + r~~J + r~~J + u~: [~~1 + r~~J + r~~J + r~~J
0 +1+ 1 + 2+3+3 +J- 5=:9
puntos reticulares en la región. Observe - e e:: =s.eC2So ~(p - l ) q = ~ (17 - 1 )· 11 = 8 · 11, por eso el último término es L_ 7 ~ E z 5 .: _:: '"buj o ilustrativo. D 4
El problema sobre los puntos reticu: ::.~ -:..:.:: ::o- propusimos antes, aparece en el contexto de una de las pruebas, la p~.:e"--; ~é:rica de Eisenstein3 , de uno de los teoremas más bellos de la teoría de :es - ~=-a- conocido como la Ley de reciprocidad cuadrática. No está dentro e : . . s '3._:-..:.::.""es de este curso el estudiar dicho teorema, pero quisimos exponer lo an:e::o; _ .:.. ~: o~jeto de motivar la necesidad de la función parte entera. De todas form~ ~.::: ; - ión aparece en muchas otras circunstancias y por tal motivo veremo~ z...: - s :escitados que establecen algunas de sus propiedades interesantes. Observe que si x es un número rea ::e-~e ¿cxiemos escribir x = [x]+'!9, donde O < 1J < l. Por ejemplo [2, 3567] = 2 :· ;-. _e:::os escribir 2, 3567 = 2 + O. 3567. Este número 1J se llama la parte frac.ciomuia ·e x. Dicho de otro modo, la parte fraccionaria de x es '!9 = x - [x]. Ejemplo 4 La parte fracccionaria ce ~ - f' - es O. 3567. La parte fraccionaria de - 3, 54 es O, 46, puesto que -3. ~ - :-3 ~: = -3. 54 - ( -4) = O, 46. D Es impotante destacar también e;. •e si es u:i número entero entonces para cualquier número real :t se tiene que [.r , n] = [xj .- n. Este resultado, que el lector 3
Ferdinand Gotthold Eisenstein (18.LJ-185_), propuso la conj etura de que todos los números de 22
Ja forma 22 + 1, 2
+ 1, 2
222
-
L ere. son primos
Funciones especiales
82
demostrará como ejercicio, es muy últil en la demostración del siguiente teorema.
Teorema 3.1 Sean un número entero, para cualesquiera números enteros positivos x y y se tiene que
~
Demostración: Sean (; J = p, [ ( J ] = [
O<
n
px
+r 1
p
qy
+ r2 , O < r2
Entonces n = qxy + xr2
r1
< x, < y.
+ r 1 . Dividiendo a ambos lados por xy tenemos: n xr2 + r 1 q+
xy
[~] Como q es entero y separar y tenemos
~) = q, esto significa que
xr;;ri
[q+
xy
'
xr2 + r1] xy
.
es positivo, entonces el lado derecho lo podemos
(1)
Ahora, como r 1 es entero y O < r 1 < x, entonces O < r 1 < x - 1; del mismo modoü < r2 < y-1. Porlotanto, O< xr2+r 1 < x (y-l )+x-l = xy-l < xy. Es decir, O < xr2 + r 1 < xy; dividiendo por xy tenemos
xr2 + r1 xy - - - <-= 1 O< xy xy
y, por lo tanto,
[XT2X; T¡]
Sustituyendo en (1) se tiene que [
~]
= Ü.
= q, tal como queríamos probar
•
A partir de la propiedad dada por este teorema podemos establecer otras, tal
83
La función parte entera
como se establece en el siguiente corolario. Corolario 3.2 Sea n E
IT
se tienen las siguientes propiedades de la función parte
entera: 1. Si p es un entero pos:::: o. e:itonces
...
_r -
> > O ~. _ > -· entonces
2. Si x, y son enteros tale
----
>
Demostración:
= ei: ei '7eorema L 1 para obtener el resultado. 2. En primer lugar obser\'e que si y > 1 y m > O entonces [ r;] < m. Ahora, 1. Basta escribir pr =
:r y _
,;J
dadas las hipótesis, se tiene que con la observación indicada:
[i ] > O, entonces de acuerdo con el teorema y
• Teorema 3.3 Sean n, m, x enteros positivos entonces:
2. Si n = ni + n2 + · · ·+ nt, donde todos los ni (para i entonces
n J > [~ n 1 J + [n2 ] [ :t X
+ .. ·+
= 1 ...
[ nt] X
.
t) son positivos,
Funciones especia es
84
Demostración:
l. Sea ( ~n ] = p y [;] = q, debemos probar que p > m q. Dado que [~n] = p y [; J = q entonces: p es el máximo entero :al "~e px < mn y q es el máximo entero tal que qx < n. Multiplicando esta úlur::a desigualdad por m tenemos mqx < mn. Como p es el máximo entero con es:2 p7opiedad entonces p > m q.
2. Sea [~] = Pi; tenemos que Entonces (p1
n
ni
= PiX + r í . e~ e <
+ · .. + Pt) X + (ri -
""¡
<
X
(i = 1, .. . ) t).
· · · - ....
n T¡ •• - -=> - =p1+· ·· +Pt+ - - - -
[n] = Pi + ... + Pt + [r1 • ···- r; 1
x
=> => =>
X
X
X
-
[:J [:J > [:tJ + [:tJ+·· ·+ r:J _ >Pi+·· · + Pt
•
Lo anterior también se puede escribir de la siguiente :ox:a:
[n, + n2x+ ... n,] > [:' l + ¡:2J. ... - J.
r:
o también
Ejemplo 5 Tenemos que 2=
i]
[ = [4+ ~ +
1 ]
> [ ~] +
m ~] = +[
l+ O+ O= 1
D
Lo anterior nos indica, en particular, que la función pane entera no es aditiva en el sentido de que no separa sumandos. Es decir, en general ~ O podemos decir que la parte entera de una suma sea igual a la suma de las partes enteras. Por ejemplo
rn ·+ J2]
=
2, mientras que
rnJ + (J2] = O+ 1 = l. Es decir, rn + v'2J -/= rnJ +
[v'2] . Más bien, como consecuencia del teorema anterior se tiene que [x +y] > [x] + [y] para cualesquiera número racionales positivos x, y; lo cual también es
85
La función parte entera
válido para números reales positivos. A continuación veremos una aplicación interesante de la función parte entera al conteo del número de veces que un número primo aparece como factor de n!. Antes consideremos la siguiente situación: observe la siguiente lista de números enteros positivos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 12. 13. ::.: :5 :6, 17. 18 19, 20, 21, 22.
Entre ellos el mayor número divisib!e ;xr 3 5 ;.;~.sc.::J.ente 21 y note que 21 = [ ; J · 3. El mayor de estos enteros. dl\ .s::;:e ?Gr 3- =: es: y se tiene que 18 = [2;] · 9. En la lista anterior no ha:· ~5= ~~~. ~~:e ?JI 33 = 27~ tenemos que [ ;~ ] = O. La propiedad obsen ·aez ~~ ~-::l ~ 2 ._~=.:e :a demostración del teorema que sigue. 2
En primer lugar, denotamos po: E~(n) factorización prima del entero n.
~~~e:-·=~: :::7-ero
Ejemplo6 Puestoque60 = 22 ·3·5, entonces: L.?(60 1, E 7 (60) = O.
= ::
primo p en la
E'l 60 = 1,E5 (60) = O
El siguiente teorema establece la aplicación a la que 3acfa.:;JOS referencia. Teorema 3.4 Sin y p son números enteros positfro. aP _ primo, entonces el exponente de p en la factorización prima de n ! es
E,(n!) = [;] donde s es tal que
+ [; ] + -· · -
~;-,
[P':.]= o.
Demostración: Recuerde que n! = 1 · 2 · · · · · 71 así, para ver el exponente de p en
la descomposición prima de n !, debemos veT qué ·exponente para p aporta cada uno de los factores 1, 2, ... ,p, ... , n. El exponen1e Ep(n!) será la suma de todos estos aportes. Si consideramos todos los enteros de.sde 1 hasta n , entonces, entre ellos, el mayor entero que es divisible por p es p [ ~ (la prueba de esta afirmación se deja como ejercicio). Entonces, entre los números l. 2, . .. , p, ... )n, los múltiplos de p son p, 2p, ... , [~ J p, esto es, hay [ ~ J múltiplos de p en el conjunto de números
j
86
Funciones especiales
1, 2, ... , p, ... , n. Los demás elementos en ese conjunto son primos relativos con p y por lo tanto no aportan nada al exponente de p en la factorización prima de n!. De este modo tenemos que
Ep(n!) = Ep
(P ·2p · · · · · [~] p) .
(2)
La expresión dentro del paréntesis en (2) se puede escribir como
p[¡;]. 1 . 2 .....
[;] '
de modo que
Ahora, vemos que en el divisible por p es [ [;] ]
co~junto de números 1, 2, · · ·, [~ J el máximo número
p = [; ] p y entonces, procediendo como antes, conclui·
mosque
E,(n!) = [;]
+ [;] +E, ( 1 · 2 · · · · · [;,]) .
Continuando de esta forma llegaremos a s tal que p 8
[; J # Oy [ps1: = Oy por lo tanto
< n < ps+ 1, de modo que
1]
E,(n!) = [;]
+ [; ] + · · · + [;] .
Ejemplo 7 Determinar el exponente de 3 en la descomposición prima de Solución: Observe que [~] = [ ~~ ] = 1, mientras que ( ~; ] tanto, de acuerdo con el teorema anterior:
E3(
=
42!.
•
[:iJ = O, por lo
[42] [42] [42] [42] 42!) = [J42] + [42] 32 + 33 = J + g + 27 = 14 + 4+ 1= 19.
Esto en particular significa que 3 19 es un divisor del número
Ejemplo 8 Probar que si m
1 , m2 : . . .
42!.
o
m.t son enteros positivos tales que m 1 +m 2 +
87
La función parte entera
. .. + mt = n, entonces n. es un número entero. Solución : Sea p un número positivo primo. basta Yer que su exponente en la des-
composición prima de m 1 ! m 2 ! · · · mt . es a :o s::.:::io igual a su exponente en la descomposición prima de n !. Esto es, debemos ;ro~ que Ep(n!) > ¿~=l Ep(mi!). Como m 1 que mi (i se tiene
+ m 2 + ·· · + rr.tt =
= 1, . .. 't) y por ~o tanto
n> si :'
1
e- ::::;a-yor que n, también será mayor
r;;-i- = . :.=:.s.
signiñca que para i
= 1, ... ' t
(3) En lo anterior, eventualmente -::;=- = . ;-..::; .:...;-= ~r todos los términos siguientes de :a~::::::;~~ -
<
_i_
1 y, desde luego
Por la parte (2.) del teorel:'lE. 3 3 ~ ::e-...&-
De acuerdo con esto y con (:3, se
::~:-:e- ..._ - ~
>
t
L
Ep (mi!).
i= i
Como para cada primo p se tiene que su exponente en la descomposición prima
88
Funciones especiales
den! es mayor o igual que la swna de los exponentes de p en las descomposiciones de los mi, se tiene que el producto de los mi divide a n!. O
Ejercicios 3.2
2. Pruebe que
(X] + (- X] 3. Pruebe que [(1
0
= { - 1
si X E Z si X ~ 'Z
+ v'3r] , para n > O, es par si n
4. Pruebe que [(1 + v'3)2n]
es impar y es impar si n es par
+ 1 es divisible por 2n+ 1 para n > O.
5. Pruebe que
(2x] + [2y] > [x] + [y] + [x +y] . 6. Determine el máximo valor de m tal que 12m es un factor de 500!. 7. Determine un entero positivo n tal que E 5 (n !)
=
19.
8. Pruebe que los últimos 22 dígitos de 95! son iguales a O. 9. Determine la descomposición prima de 125!. 10. Determine E 5 ((5r - 1)!). 11. Sean a, b, enteros positivos, p primo y n = ab, pruebe que Ep((ab)!)
> aEp(b! ).
12. Pruebe que el producto de cualesquiera n enteros positivos consecutivos es divisible por n!. 13. Sean x, y enteros positivos y m = xy; pruebe que m ! es divisible por (x !)Y. 14. Pruebe que si n y p son enteros positivos con p
primo~
entonces entre los
números 1, .. . , p, ... , n, el mayor número divisible por p es [ ~ J p.
15. Sea x un número real y n un entero positivo. Pruebe que
[!~l] = [~l ·
89
Funciones multiplicativas
16. Pruebe que si m y n son enteros positivos tales que (m , n)
= 1, entonces
(m+ n-1)! m.n. es un número entero. 17. Si m, n, x son enteros positivos, ¿bajo c;.:._a'é condiciones se tiene que - "1-i -:n > - - . - ?
m n] [ X
-
X
. X -
3.3 Funciones multiplicati-vas Estudiaremos en esta sección el conce,. :o ~ :_~~ -- - :t..:plicativa y veremos dos funciones importantes de la teoría de .::·-~~ ~ =-~~ es:a propiedad. La multiplicatividad de una función permite :-ee_.. ~ e ::--:;:: ~.:::_e ~ eYaluación al de los números que son potencias de núxeros :=- - - -, .: :._e 31:.:.. :;..-~.as al :eorema fundamental de la aritmética, extenderla~ -~,.:.._s · --~ =-~:~ :c=e=za;e::::o_ con el estudio de la función -r, que tiene la pro~e-~ ~e motivación para introducir dic~o (" ::_:e;- .
_· -_;:.::~·-:Z:::: ":_~e
::o- servirá como
Las funciones que esrudiareL:..us ~ ~ ~-=:e~ =-.e 5~e ... ~r-~::Ilo reciben el nombre de funciones aritméticas. Se dice _..:e .,~ ~ __¿ función aritmética si está definida sobre el conjunto de los números e:itero- ?C:s:._~ . '-',
Definición 2 Para todo número enrero po fif:o n se define la función tau de n como el número de divisores positivos de "l'l. Esra f unción se denota por la letra griega -r. Es decir, -r( n) denota el número de divisores positivos de n.
Ejemplo 9
• El número 1 solo tiene un divisor positivo, el 1, entonces -r(l) = l . '
• El número 12 tiene como divisores positivos: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Es decir, 12 tiene seis divisores positivos, por lo tanto -r(l2) = 6.
90
Funciones_f:!Speciales
• La siguiente tabla proporciona los valores de r (n) para n de 1a12:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
divisores positivos de n 1 1,2 1,3 1, 2, 4 1,5 1,2,3,6 1, 7 1, 2,4, 8 1, 3,9 1,2, 5, 10 1,11 1,2,3, 4,6, 12
1(n ) 1
2 2
3 2 ,
-:::
2 -:::
3 A
2
5
o Como se puede observar en el ejemplo anterior, en principio>para determinar r( n) hay que determinar todos los divisores positi os de n y luego contarlos. Sin embargo, en lo que sigue, determinaremos una fórmula qu.e nos permitirá determinar r( n) sin necesidad de encontrar todos sus divisores. Comenzamos por ooservar que si p es un númeH) primo, entonces sus únicos divisiores son 1 y p, esto es si pes un número primo entonc.:e.s 1(p) = 2. Ahora supongamos que n = pr donde p es primo. En este caso, los divisores positivos den son 1, p, p 2 , ... , pr~ es decir, pr tiene r + 1 divisores_y por lo tanto si pes un número primo entonces r(p" ) = r +l.
• Puesto que 8
Ejemplo 10 • r(81)
....=.
= 23 , entonces r (8) = r (23 ) = 4.
r(3 4 ) = 5.
Ejemplo 11 Consideremos ahora el número 2
324 = 2
·
4
(4)
D 324~
3 , ¿quienes son los divisores de 324?
observe que podemos escribir
obtener todos los divisores de este número considerando todas los productos de potencias de 2 cuyo exponente no exceda 2 y de potencias de 3 cuyo exPo~emos
91
ponente no exceda 4. Para facilitar las cosas potemos fonnar una tabla: 2° . 3° 2°. 31 2°. 32 ~ . 33 2°. 34 21 . 3º 21 . 31 21 . 32 21 33 21 . 34 22 . 30 22 . 31 22 . 32 'l ! 33 22 . 34
No hay más divisores de 324 que los que ª?G=~e~ en la tabla anterior. La tabla tiene 3 filas y 5 columnas, por lo tanto tiene 3 · 5 = :5 entradas. Esto es, 324 tiene 15 divisores y por lo tanto r(324) = 15. O El procedimiento que hemos utilizado pe_--:. =-;:e::::-~ los divisores de 324 se puede generalizar para encontrar los divisores ¿e;, - ~. s:e::do p y q números primos. En efecto, el número pr tiene r + 1 divisores _?J~::--; ~s_ -: s tiene s + 1 divisores positivos. Por otra parte, dado que (p q) = : ._ e::::..,- .:es c--G'.rla di isor de·pr q8 se 1 obtiene multiplicando un divisor de pr por u:: C: . ..:-: =-~~-~e modo que hay (r + 1) (s + 1) divisores de pr qª. La siguiente re.::a. ~ _e :~::s3 ¿e - - l filas y s + 1 columnas y por _lo tanto de (r + 1) ( s + 1) ei:_::E! ~ ' . =-e"5"~ :..;J~ d:Y.:.:ores de pr q$: 1 p p2
q pq p2q
pr
p?'q rf i
q ') ¡xr
re!
De lo anterior se deduce que si p y q son números primos en:o.;:~=s: -
r.- ;_.:.)
= (r + 1) (s + 1).
= r(22 • 32 ) = (2- ::...)(2 - -) = 3 · 3 = 9. • r(80) = r(5 · 24 ) = (1 + 1)(4 + 1) = 2 · 5 = :O.
Ejemplo 12
• r(36)
o
Lo anterior se puede generalizar a :n~o enrero positivo n, mediante el teorema fundamental de la aritmética. En e:OC:o~ sabemos que si n es un entero positivo entonces existen P1 , p2 .... . Pt mí.c:eros enteros positivos primos diferentes y ·· tales qu..~.. r. = pr1 p r2 ... Ptrt ,. ademas, , esta lactonza.c. · r1, r2, ... , rt enteros positivos 1 2 ción, que se llama factorización prima o descomposición prima de n, es única salvo por el orden de los factores. Esto nos pennite determinar r (n) de una manera sencilla.
92
Funciones especiales
Teorema 3.5 Sean =
pí p2 1
2
• • •
prt la descomposición prima den, entonces
r(n ) = (rt + 1) · (rt + 1) · .. · · (rt + 1).
(5)
Demostración: Inducción sobre t : • Para t = 1, el resultado es válido de acuerdo con (4). • Supongamos que el resultado vale para t. • Probemos que, entonces, el resultado es válido para t + 1. Debemos probar que si n = p~ 1 p2.2 • • • p;t p~~11 donde los Pi (i = 1, ... , t + 1) son todos números enteros positivos primos diferentes entonces r (n) = (rt+ l )·(rt+ 1) .. · .. (rt+l )(rt_!_:- 1). En efecto, los números p~ 1 p2,2 • •• p;t y p;~-;1 son primos relativos, entonc s los divisores del producto de ellos, que es n, se obtienen multiplicando los diYisores de uno por los divisores del otro; pero p~ 1 p22 •• • p;t tiene (rt + 1) · (rt, :1 · · · · · (rt + 1) divisores (hipótesis de inducción), mientras qu'e p;~+11 tiene (,..;-:-i ..!... 1) divisores (por (4)). Entonces, el número de divisores de p~ 1 p;2 •• • p;:P/r-L1 es 0
(rt + 1) · (rt + 1) · · · · · (rt + 1) · (rt+l + 1) tal como queríamos probar.
•
Ejemplo 13 Determinar r(2520). Solución: Efectuando la descomposición prima de 2520 tenemo~ 2520 = ~ · 32 · 5 ·7 y, por lo tanto, r(2520) = r (23 · 32 · 5 · 7) = (3 + 1)(2 - 1 (1 - l )(i - : ) = 48.
O
El teorema anterior nos permite establecer e1 siguie::i:e :eo:-ema.
Teorema 3.6 Si x , y son números enteros posirfro~ pr:n:o refauros, entonces
r(xy) = r (x )r (y). ·' Sea x =pr1 p 1·2 .. ·Ptrt 1a decompos1c1onpnma · ·' · de x ; y = qs i qs 2 .. . quu s Demostraczon: 1 2 1 2 la descomposición prima de y. Dado que (x, y ) = 1, entonces Pi =f. qi (para todo 1, . . . , u); esto, en particular, significa que la descomposición i = 1, ... 't, j prima de xy es
93
Funciones multiplicativas
y por lo tanto
r(xy)
= (r1 + l )(r2 +1) · · · (rt + l )(s1 + l)(s2 + 1) ···(su+ 1) = r (x)r(y). •
Muchas funciones aritméticas poseen una propiedad análoga a la que establece el teorema anterior para la función r. Esta propiedad conocida como multiplicatividad es de suma importancia porque si una función f la posee, basta con saber calcular f(pr) para cualquier primo p, para calcular de manera fácil f(n ) para cualquier entero n.
Definición 3 Sea f una función definida para los números enteros positivos. Decimos que f es una función multiplicativa si para cualquier par de enteros positrvos x, y primos relativos se tiene que
f (xy) = f( x) f(y). Ejemplo 14
• De acuerdo con el teorema 3.6, la función res multiplicati a
• Sea f(n) = n 2 para todo n E z+. Esta función es multiplicativa pues si n y m son enteros positivos entonces f(nrn) = (nm) 2 = n 2m 2 = f (n)f (m).
= 2n paran E z+ no es multiplicativa. En efecto '(2 f(3 ) = 6, pero f(2 · 3) = f(6) = 12 # 24 = 4 · 6 = f(2) · f (3).
• La función g(n )
Observe que si n = p~ 1 p;2 función multiplicativa entonces
•••
p;t es la factorización prima de
)J(P2r2 ) · · · j(p!"• f( P1r¡ P2r2 · · ·PtTt) -_ j(pr¡ 1 t
.
_.
=~
y .- es una
·
Esto dice que si f es multiplicativa, para determina:- _: :r& • con n E z+, es suficiente saber cómo evaluar f(pr) para cualquier número pnmo p. Ya esto lo habíamos notado en el caso de la función r . CoilSlde.--a:nos a continuación otra función importante que también es multiplicaii\'a
Definición 4 Para todo número entero po iriro "1, se define la función sigma., o-(n ), como la suma de todos lo dh;¡ ores po :tr•o den. Ejemplo 15 Los divisores positi os de 4+8 = 15.
son l. 2 4 8, entonces o-(8) = 1 + 2 +
94
Funciones especiales
En la siguiente tabla se proporcionan los valores de a(n) para n de 1a12: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
divisores positivos de n 1 1, 2 1, 3 1,2, 4 1,5 1,2,3,6 1,7 1,2,4,8 1, 3,9
11 12
1,11 1,2,3,4,6, 12
n
1
10 1,2,5, 10
a(n) 1
3 4 7
6
12
8
15 13 1 12 2
o Teorema 3.7 La función a es multiplicativa. Esto es, si x, y son números enteros positivos tales que ( x, y) = 1, entonces
a(xy ) = a(x )a(y). Demostración: Sean x 1 ,
... ,
Xs los divisores positivos de x; sean y1 , ... , Yt los di-
visores positivos de y. Entonces,a(x) = x 1 + · · ·+x8 ya(y) = y1 + · · ·+Yt· Dado que (x , y)= 1, entonces los divisores de xy son todos los productos que se obtienen al multiplicar un divisor de x por un divisor de y, es decir, son todos los productos de la forma XiYj (i = 1, .. . , s; j = 1 ... , t). De aquí,
O'(xy)
X1Y1
+ · · · + X1Yt + X2Y1 + · · · + X2Yt + · · · + XsYI + · · · + :r,sYt X i (Y1 + · · · + Yt ) + X2(Y1 + · · · + Yt ) + · · · + Xs(Yi + · · · + Yt ) (x1 + X2 + · · · + Xs)(Y1 + · · · + Yt) •
a(x)a(y).
Ahora observe que si pes primo entonces sus divisores positivos son 1 y p, de modo que si p es primo entonces a(p)
= p + 1.
Por otra parte, si p es primo, lo~ divisores positivos de p'' son: 1, p, p 2 ,
... ,
pr,
95
Funciones multiplicativas
de manera que si p es primo entonces a(pr ) = 1 + p + p 2 + ...
+ pr.
(6)
Puesto que pr+i - 1 = (p - 1)(1 - p - ···+¡!) entonces 1 + p + · · · + pr = 1 p - . Por lo tanto, una manera más oo :ve:iien-re de escribir (6) es r+l
p-1
pr-1 - 1 p -1
. . .,. s1 p es pnmo enton~es a .: Ejemplo 16 18.
(7)
• Dado que 17 es :rr..:: 7.eIO p.=:::o. -e · "ene que a ( l 7) = 17 + 1 =
• Puesto que 3 es primo, se ce:::e. -.:e Z1. _do
a( ::. = t7
~ -
~
-
_3___ __
~
-
~ ~l.:e
?_:._•)
?
~a~
•
= 2 = --·· - --
• Observe que 540 = 22 · 33 · 5 entonces, dado que a es multiplicativa, la suma de los di isores de 540 es
a (540)
a (22 · 33 · 5) a(22 )a(33 )a( 5) 23 - 1 34 - 1 52 - 1
2- 1
7 . 40 . 6
3 -1
=
1680.
5- 1
D
En el ejemplo anterior se utilizó la propiedad multiplicativa de a para determinar a(540). El método que aquí se empleó se generaliza mediante la fórmula que proporciona el siguiente teorema, para calcular a( n) para cualquier número natural n.
Teorema 3.8 Sean un entero positivo, n de n , entonces
a(n ) =
p~1+l
= p~·i p~
- 1 p~2+ l - 1
Pi - 1
·
P2 - 1
Demostración: Usemos inducción sobre t.
2
. •.
p~t
la descomposición prima
p~t+ l -
· ··· ·
Pt - 1
1
.
96
Funciones especiales
=
Para t 1 el resultado viene dado por (7). Supongamos que es válido para t y demostrémoslo para t + l . Sea n= p~ 1 p;2 ••• P?P;~11 la descomposición prima de n . Como los Pi son todos primos y diferentes entonces (p~ 1 p722 •• • p;t, p;~11 ) = 1 y, por la multiplicidad de a , se tiene
cr(n) =
a(p~1 p722
. . . p;t p;~11 ) =
a (p~1~2
Porla hipótesis de inducción se tiene que a(p~ 1 ····
p rt + l _
t
Pt - 1
1
.
r
y por (7) se nene que a (pt~J.1 ) =
• •.
p; ) =
prt+1+l _ t+i
tiene que
a(n)
p;
2
... p;1) a(p;~+11) .
Pt+1 - 1
1
pr 1 +1 1
(8)
_ 1 rz+l _ 1 .P
2
P1 - 1 P2 - 1 l . . Sustituyendo en (8) se
= p~1+1 -
1 . p722+1 - 1 . .... p;1+1 - 1 .P -~-·~_ 11+_1__1 . P1 - 1 P2 - 1 Pt - 1 Pt+ i - 1
•
Con esto queda demostrado lo que se quería.
Ejemplo 17 Determinar 0"(12 600). Solución: La descomposición prima de 12 600 es 12 600 = 23 · 32 · 52 · 7, por lo tanto
(j(l 2 600)
0"(23 . 32 . 52 . 7) 24 - 1 33 - 1 53 - 1 72 - 1 2- 1 3- 1 5- 1 7- 1 15 . 13 . 31 . 8 = 48 360.
o
Ejercicios 3.3 ~
l. Calcule T(125), T(2 352), 0"(125), 0"(2 352).
2. Calcule T(116 424) y 0"(116 424). 3. Determine el menor entero positivo n tal que T(n ) = 6. 4. Determine el menor entero positivo n tal que T(n )
= 15.
5. Pruebe que un número entero positivo rn es la suma de números enteros consecutivos si y sólo si rn no es una potencia de 2.
.
La función de Móbius
97
6. Pruebe que el número de divisores de un entero positivo m es impar si el entero m es un cuadrado y su número de divisores es par si m no es un cuadrado. 7. Pruebe que si O"(n) es impar entonces n es un cuadrado o es el doble de un cuadrado. 8. Pruebe que T(l)+ T(2)+···+-r(n) =
[7] + [;J +· ··+ r:J.
9. Pruebe que O"(l ) +0"(2) +···+0"(n) =
[~]
+2[;] + ···+n[:J.
1O. Definimos ak( n) como la suma de las k- ésimas potencias de los divisores de n . Por ejemplo, los divisores de 6son1 , 2, 3, 6, entonces 0" 2(6) = 12+ 22+3 2+6 2 = 1 + 4 + 9 + 36 = 50. Evalúe 0"3(6), 0"2(7), 0"3(12), a 4(ll ). \érifique que 0"1(n) = O"(n) y O"o(n) = T(n) . 11 . Con la definición del ejercicio anterior pruebe que 0" 2 es una función multiplicativa. 12. Pruebe que
(pr) = P ;:~~ 1 si p es primo. Deduzca una fórmula para 0"2(n). 2
0" 2
13. Pruebe que si fes una función multiplicati a definida para los enteros positivos
y si j (n) =!= O, para todo n, entonces f(l ) =l.
14. Pruebe que el producto de dos funciones multiplicativas es una función multiplicativa. 15. Sea n E
z+, sean n 1 . n 2 •..•. nt todos los divisores positivos de n. Definimos la función F(n ) = a (n 1 ) + a(n 2 ) + · · · + a(ni). Pruebe que esta función Fes
multiplicativa.
~.4 La función de Mobius Introduciremos en esta sección una función especial, llamada la función µ (mhu) de .M obius, en honor a A. F. Mobius ( 1790- 1860). Esta función nos permitirá simplificar la escritura de un importante resultado que tiene que ver con las funciones multiplicativas. Antes realizaremos algunas observaciones sobre el uso de los sím-
98
Funciones especiales
bolos¿ y
n.
Estamos familiarizados con los símbolos ¿ de sumatoria y tal como se acostumbra a utilizarlos corrientemente. Esto es,
fl de productoria,
n
L 1(i)
f (1) + f (2) + .. · + f (n) Y
rr
J(l) · J(2) · · · · · f (n) .
i= l
n
J(i)
i=l
Sin embargo, en Teoría de Números se acostumbra extender el uso de estos símbolos, escribiendo bajo el símbolo correspondiente la condición o condiciones que deben cumplir los números S?bre los que se realiza la suma o producto: • La notación
¿ f (n) significa que se evalúa la función f en los
alores de n que
P(n)
satisfacen la condición P( n) y se suman. • La notación
TI f (n) significa que se evalúa la fu.m:i ón f en los valores den que P(n)
satisfacen la condición P ( n) y se multiplican. Ejemplo 18 Evaluar las expresiones
L
tr1 y
II tJ- 1.
~
Solución: La condición dl8, d > O significa que la suma se va a realizar sobre los divisores de 8 que son positivos. Estos divisores snn: l. 2. 4, 8, de modo que
"d-l L._¿ dl8 d>O
1 1 1 15 1-1+2-1+4-l + g- 1 = 1 1 - + - + - = 2 4 8 8' 1-1 . 2- 1 . 4 - 1 . 8 -
Ejemplo 19 La expresión
¿ din d> O
1
1 1 1 2 4 8
1. 64
= 1.- .- .- = -
o
d significa que se deben sumar todos los divisores
positivos del número entero n, en otras palabras,
¿ din
d>O
d = (J (n ).
O
99
La función de Móbius
Cuando escnb~os enteros para los crnú:s
I:
J>l "l
~
1, lo que hacemos es sumar un 1 por cada uno de los
.,.. se cumple, en otras palabras, cuenta los enteros que
tienen la propiedad ? n J.
Ejemplo 20 La expre-s::;J::: Como éstos son 1
= - =:
_ lo que hace es contar los divisores positivos de 8. ~
= 1 .J.. 1 + 1 +1 =
4 (un 1 por cada di visor
positivo de 8). En general, puesto que -
o Por otra parte, si una convenimos en que: -;J~
condici~
L J(n) =o
r
P(n)
Ejemplo 21 Se tiene que
L
n 2 <0
_
~
II :<>= _
~ :.
P( )
n = O. - -~ -
condición n 2 < O. Por la inisma razoc ~
- -- __
::: - e-_:-o e::tero
-
- ·_ ~=- ~~- -~. . o r que cumpla la
=-==' __;: -
O
n.i = !.
-
La expresión
¿
f(d) será utiliza~: ::: =._:- -= ==---e~c1a en lo que sigue; por
din
d>O
tal motivo, para simplificar la notac10- ~= ~- ~ -r.:: escribiremos
L f (d), sobreend !n
tendiendo que nos referimos a los dJy30~;: ~-::.'o- de n , salvo que se especifique otra cosá. Luego de esta necesaria introducc1 ~ o::tinuamos con eJ estudio de las funciones multiplicativas. Resulta que a pCL~ d e funciones multiplicativas dadas, podemos definir nuevas funciones que rambien son multiplicativas. Aunque en general, por ejemplo, la suma de funciones multiplicati as no es multiplicativa, el producto de funciones multiplicativas sí es multiplicativa. Para efectos de utilidad en teoría de números, la forma de construir funciones multiplicativas que proporciona e l siguiente teorema es más interesante.
100
Funciones especiales
Teorema 3.9 Si f es una función multiplicativa, entonces la función F definida por
F(n) =
L f(d), din
es, también, una/unción multiplicativa. Demostración: Sean x, y números enteros ¡x>sitivos primos relativos. Sean x 1 , ... Xs y Y1, ... Yt los divisores positivos de x e y respectivamente. Tenemos que
F(x)
L L
f(d) = f(xi)
+ · · · + f(xs ),
f(d) = f(Y1)
+ ... + f(Yt).
dlx
F(y)
dly
De aquí se tiene que
F(x)F(y)
(f (x1) + · · · + f (xs)) (J (y1) + · · · + f (yt))
L
f(xi)Í (Yt) =
i= l , ... ,s j=l.. .. ,t
L
f (xiYt)
(pues f es multiplicativa)
i = l, ... ,d j = I, ... ,t
F(xy ) La última igualdad es válida porque, puesto que ( x . y ) = 1, los divisores de xy son todos los productos de un divisor de x por un divisor de y; en este caso, todos los productos XiYi (con i = 1 ... s; j = l ... .. t) y entonces
F(xy) =
L
f (xiYt )·
i= l , ... ,s j=l, ... ,t
Al tener F(xy)
= F(x)F(y) se concluye que Fes multiplicativa.
•
Ejemplo 22 Sea f la función identidad en z+, es decir, f (d) = d, para todo d E z+. Evidentemente f es multiplicativa puesto que f (mn) = mn = f (m) f (n) .
¿
De acuerdo con esto y según el teorema anterior, la función definida por F( n) = d es multiplicativa. Observe que esta es otra forma de ver que la función O' es
din
multiplicativa, puesto que O'(n) ·
= L: d, según vimos en el ejemplo 19. din
O
101
La función de Mobius
Ejemplo 23 Sabemos que la función -r(n) es multiplicativa, entonces la función
F(n)
= L-'d) e
o
es multiplicativa.
Sigamos un poco con el ejemplo anter:o_~ ~ 1 ("~emos F(12), donde F es la función definida en dicho ejemplo. Lo que :c::.e=., •..._e <:alcular es, entonces, L: -r( d).
eorno 1os divisores · de 1?.., son i F (12)
L - (d)
~
?_ 3. =·
= 1(:.) -
dll2
. __ ~L - ~-
"' -~
- : ) - - 3) - - .; • - (6) + -r(12)
d 12 l...L2 - 2 - 3 - ~ - ~-
Observe que
1 -2 - 3 - :-.; - 6 I( - - 2 - 3J - 211 T 2 ...L
3)
: - 2 - 3)(1 -2
l- - •(2) - - 22 )) (1 + 7(3)) Es decir
¿
d jl2
r (d) = (1 +
,c2>- .c2 c1+ -r(3)) . 2
))
Teniendo en cuenta que 12 ..:... 22 · 3>lo anterior nos da una relación especial entre 12 y su descomposició,n prima. Esta relación, que hemos encontrado en este caso muy particular, es en realidad una fórmula general para las funciones multiplicativas, tal comq lo establece el siguiente teorema Teorema 3.10 Sea f una función multiplicativa y sean = p~ 1 p;2 posición prima de n, entonces
• • •
p;t la descom-
¿ 1cd) d in
(1 + f(p1) + f(p~) + · · · + f(p~ 1
) )
• • •
(1 + f(Pt) + f(p~) + · · · + J(p;t)) (9)
102
Funciones especiales
Demostración: Observe que los divisores de n son todos los números de la forma p~ 1 p~ 2 • • • p:t, donde O < si < Ti para todo i = 1) . .. , t. De modo que la suma del lado izquierdo de (9) está formada por todos los términos de la forma
f (p1 1 p~
2
• • •
p:t). Por otra parte, si desarrollamos el producto indicado por los pa-
réntesis al lado derecho de (9) obtenemos una suma formada por todos los términos de la forma f(pf 1 )f (p~2 ) · · • f(p: t), pero, dada la propiedad multiplicativa de f, se tiene f (p~ 1 )f (p~2 ) · • • J(p:t) = f (p~ 1 p~ 2 • • • p:' ) y, así se prueba la identidad propuesta. • Ejemplo 24 Sabemos que f(n) = n 2 , para n E Z .... es c::ia función multiplicativa. Definase F(n) = 2: f (d). Calcular F(360). din
Solución: Tenemos que la descomposición prima de 360 e- 300 = 23 · 32 · 5, entonces, según el teorema anterior,
F(n) =
L f(~dl360
(1 + j (2) + ! (22) + f(2 3 )) (1 T /(3 - / (3'.?)) (l ..L f( 5)) (1 + f (2) + f (4) + f (8)) (1 -L f (3 - f(9)) (1 L f (5)) (1 +2 2 + 42 + 82) (1 +3 2 + 92 ) (1+5?) (85)(91 )(26)
o
201110.
En lo anterior hemos definido una función F, a partir de una func10n f dada, mediante F(n ) = ¿ f(d ). Nos proponemos ahora el problema inYerso: '" dada la fundln
ción F, determinar si es posible encontrar una función f tal que F(n) =
L
f(d)."
din
Observe que ahora, al contrario de antes, la función que tenemos dada es F y queremos determinar f. La solución a este problema está relacionada con la función de Mobius que definiremos a continuación. Definición 5 Para todo número entero n positivo, definimos la/unción p de Mobius de la siguienle manera: 1. Si n es divisible por algún cuadrado distinto de 1 entonces fl ( n ) = l :
103
La función de Móbius
2. Sin no es djvisible por ningún cuadrado distinto de 1 y el número de divisores primos de n es par entonces µ( n) = 1. 3. Si n no es divisible por ningún cuadrado distinto de 1 y el número de divisores primos de n es impar entonces J."( n ) = -1 .
4. µ( l ) = l.
De otra manera, si denotamos con Y(r.: e.T r;ÚP;ero de divisores primos de n entonces
µ(n)
=
sin no
( -1 )"'(n) {
.
,
11u~g:~
o
e¡: r
:3 _
~-.. _
. !J
Ejemplo 25 • Puesto que ningu:¡ ~-=-=--~ ..:::~:e::.:= .:e : é.:Y}ce a 1 y puesto que 1 tiene cero divisores pru:aos e:i:: .....t'es -"' :.) = - -f~ = :. • Puesto ~e ningún
C'..lfü.....""a~o
.:::~~:e ~e : ~~-:c_e a~ y ~-c:e-ro qu 2 tiene un
divisor primo entonces ...,. 21 =
0
-:11 = -::...
• Puesto que ningún cuadrado diferente de 1 diYide a 6 y puesto que 6 tiene dos divisores primos (el 2 y el 3) entonces µ(6 )
=
(-1) 2
=
1.
• Puesto que 4 es un cuadrado y 4 divide a 12 entonces µ(12) = O. • La siguiente tabla proporciona los valores deµ(n) para n de 1 a 12:
n 1 2
3
4 5 6
7 8 9
J
divisores primos de n
o 2
3
el cuadrado 4 es divisor 5
2,3
7
el cuadrado 4 es divisor el cuadrado 9 es divisor ?. . , , 5
10 11 11 12 el cuadrado 4 es divisor
J
µ( n) 1 -1 -1
o
-1
1
-1
o o
1 -1
o D
104
Funciones especiales
Observe que si x es un entero positivo con descomposición prima x = P?P~2 • • • p~t, si alguno de los ri es mayor que 1 entonces x tendría un cuadrado como factor y en ese caso µ(x) = O. Así, si µ(x) f= O entonces todos los exponentes ri son iguales a 1 y la factorización prima de x sería x = p1p2 · · ·Pt; en cuyo caso se tendría µ( x) = ( -1 Y. Esta observación es importante en los siguientes teoremas que proporcionan algunas propiedades importantes de la función µ.
Teorema 3.11 La función µ es multiplicativa. Demostración: Tome x, y enteros positivos tales que (x, y ) = 1. Si uno de estos números, digamos x, tiene un cuadrado como factor, entonces también xy tendria un cuadradocomofactoryenesecaso µ(xy) = Oy µ( x) = O,porloque µ(x)µ(y) =O y entonces µ(xy) = µ(x)µ(y). Supongamos ahora que ninguno de los dos números tiene un cuadrado como factor; sus descomposiciones primas serían x = P1~"' · · Pt, y = q1 q2 · · · q5 y por lo tantoµ( x) = (-l)ty µ(y ) = (- 1)8 . Como (x , y) = l , entonces pi f= % para todo i = 1, . .. , t, j = 1, ... s y esto significa que la descomposición prima de xy es x y = P1P2 · · · Ptq1q2 · · · qs; por lo tanto µ(xy ) = (- l )t+s = (-1 t(-1)8 = µ(x) µ(y ). Finalmente, si x
= 1 entonces µ(x ) =
1 y xy = y. Por lo tanto,
µ(xy ) = µ(y) = 1 ·µ(y ) = µ(x)µ( y). El caso y
= 1 es análogo. En conclusión, µ es multiplicativa.
Teorema 3.12 Sea f una función multiplicativa y sean= p;·1 p;2 posición prima den, entonces
L µ(d)f (d) = (1 -
• • • ·
p;t la descom-
f (p1)) (1 - J(J>i )) ... (1 - f(Pt )) .
(10)
din
Demostración: Puesto que µ y f son multiplicativas, también lo es la función µf. Entonces, de acuerdo con lo que establece el teorema 3.10, se tiene
(1+ µ(p1)J(p1) + µ(pr )J(pi ) + .. . + µ(p ¡ 1 ) J(p~ 1 ) ) 1
¿ µ(d)J(d)
•••
din
... (1 + µ(Pt) f
= ·· · =
µ(p~i)
= O(para todo i =
1, .. . , t) pues todos son divisibles
105
La función de Mobius
por un cuadrado. Entonces lo anterior se con. ierte en
L µ(d )f (d) =
(1
+ µ(p1 )f(P1)) (1 + µ(P2) f(p2)) . .. (1 + µ(pt) f (pt)).
din
Además, como cada Pi solo tiene un divisor primo (él mismo), entonces µ(pi) = ( -1) 1 = - 1. Por lo tanto
L µ(d) f (d) = (1 -
f (p1)) (: - ..~(vri)) .. . (1 - f(Pt))'
d in
•
tal como queríamos probar.
Ejemplo 26 Sea f(n) = ~' para n E :t•. ~-:2 es u:m función multiplicativa ( jpruébelo!). Definiendo F(n) = ¿ µ.(dt~ (i. ~ ;_ . . ~ : :2). ~In , ~1'
Solución : La descomposición prima de --? e - :.: = anterior, tenemos que
L µ(d)f(a ) = <=- -
F(12)
dl12 (1 - ~ {1 -
Observe que ¿ µ( d) = µ(l) d fl
=
.:= : -2~ e=..:o::.i..""Q, según el teorema _.:(: ))(=. - ..: 3 )
i = ~ : = i·
~ ~ _es e-~ :=..oo di~is.or positiv o de
o 1 es l. El
siguiente corolario establece
Corolario 3.13 Si m
> 1 entonces~ ¡...(d) = O. d.n
Demostración: La función f (n ) = 1 para todo n E entonces por el teorema 3.12 se tiene
siendo m =
z+es claramente multiplicativa,
f (p1)) (1 - f (p2)) · · · (1 - f (Pt))
¿ µ(d) J(d)
(1 -
dlm
(1 - 1) (1 - 1) .. . (1 - 1) =o,
P? p;
2
• • •
p;i la descomposición prima de m .
•
106
Funciones especiales
Teorema 3.14 Si mes un entero positivo, enlonce m
"""' µ(n ) m = l. L.,¿ n! n=l
Demostración: Sabemos que
nor,
l.: µ(d 1) = 1) mientras que, según el corolario ante-
d il l
Por lo tanto
Además, considerando todos los enteros 1, 2, . . . , m, tenemos que 1 es divisor de todos ellos, de modo que en la suma anterior µ(1) aparece m veces, o sea [7) veces; 2 es divisor de [ 1;') de ellos, este es el número de veces que aparecerá µ(2) en dicha suma; en general µ( d) aparece~ [ 1~i] veces en la suma. De este modo tenemos dmlm
~ (~ µ(d)) µ( l )
[7] + µ(2) [;J+ · · · + µ(m) [:J
f r:J. µ(n)
n= l
•
Ejemplo 27 Para ilustrar el significado del teorema anterior calculemos
~ µ(n) [~] . Ya sabemos que el resultado será 1, pero hagámoslo paso a paso, sin usar el teorema.
107
La función de Móbius
Tenemos que
~µ(n) [~] =µ( l )
m m m m m. +µ(2 )
+µ(4)
+µ(3)
+µ (5)
Sabemos que µ(l ) = 1, µ(2) = -1, µ(3) la tabla en e1 ejemplo 2s)~ además J = s, Sustituyendo todo esto en lo anterior, tenemos
= - 1, µ( 4) = O, µ(5 ) = - 1 (vea rnJ = 2, [U = 1, [~J = 1, [ ~J = i.
[f
1 . 5 + (-1) . 2 + (- 1). 1 +o. 1 + (- 1). 1 5 - 2 - 1 - 1 = 1,
o
tal como esparábamos.
Estamos en condiciones de dar respuesta al problema que nos habíamos propuesto al comienzo~ esto es, dada F, determinar si existe una función f tal que F( n) = L f (d). La respuesta viene dada por el siguiente teorema, que daremos sin d in
demostración y que se llama Fórmula de inversión de Mobius.
Teorema 3.15 Sea F una función aritmética definida para todo define f por
'.
~.
.
TI
E
z+.
Si se
(ll)
{\ ''. ) =·¿¡1.(d)F d . .
d l11
para todo n E Z 1 • entonces
F(11) =
L
f(d ).
d j11
para todo ·n E Z 1 • Ademús fes la 1Ínica ji111ná11 <.Oll t 'Sfc1 ¡m1p1edacl
E.iemplo 28 Sea /•'( 11) -
teorema anterior es
f(n )-
11,
para Ddo /
e
:: 1 .
L 11(d)F(:;) - L ,¡ 11
cil11
la función 11(d) · :;.
f
enunciada por el
108
Funciones especiales
Por ejemplo,
Lµ(d ). ~
f(4)
dj4 '
4
µ(l) . -
..:
4
J) . - 4
+ µ(2) . ~ -
1 1·4 - 1·2 +0· 1 2.
o
Ejemplo 29 Según el teorema, para el caso panicuk z+, se tiene, de acuerdo con el ejemplo anterior
n = F(n)=Lf(d)= L
1( L
din
d in
.~
n) = n, para todo n E
r)· ~.
- ,d
Por ejemplo, para n = 6, se tiene
L (Lµ (r) ·~) d l6
r ld
"' µ(r)~r + "' µ(r)~r + "' µ(r)~r ~ ~ ~~ ~ ~ ~ L
r ll
r l2
1
r l3
2
2
µ(1) · - + µ(1 ) · - + µ(2) ·? 1 1 -
+µ(1).
i
i
(11)
-
---J
-
T
+ µ(2) · + µ(3) · ~
3 µ(:) · ~ -
T
jJ
µ 6) · ~
3
3) · - + 3
1. 1+1. 2 + (-1). 1 + 1 . 3 + (-1) . 1+1 . 6 + (- 1) . 3 + (- 1) . 2 + 1. 1 1 +2-1+3-1+6-3 - 2+1
6.
o
Ejercicios 3.4 l. Calcule µ(25), µ(60), µ(715) . 2. Sea F(n) =
.L r(d).
Calcule F(l ), F(2), F(6).
d jn
3. Demuestre que si f y g son funciones multiplicativas entonces su producto f g es ~a función multiplicativa.
109
La función de Móbius
4. Suponga que F(n) =
I: f(d), para n>
l. Pruebe que f(n ) =
d in
para n> l.
5. Suponga que F(n) =
I: µ (~) · F(d), din
I: f(d), para n
> : . . Pruebe que si pes primo entonces
din
j(pr) = F(pr) _ F(pr-1 ). 6. Pruebe que I: µ (d) r (~) = 1, para n> : . din
7. Pruebe que I: µ ( d) r ( d) d~
=
11 (-
1 . ~c.
> :..
-~ . :---~
> :.
p~ pprimo
s. Pruebe que¿ µ (d) a (d) = TI din
p
n
p~
9. Si F(n ) =
L
f(d), para n > 1
es ~-=~: =
..:
~.;:e·:Je
ue µ 111 = r .
djn
1O. Pruebe que para cualquier e:~~ :-
'
,~~
- . -"" :. ~e' ~::e
<~
-
11. Sea F(n) = n 2 . Es r:"ba ~a ::o::-5?0nd~ente función _:(nJ establecida por la Fórmula de inversión de :\fobius. Calcule f (5) y f (6). 12. Para la misma función F del ejemplo anterior verifique que 2
n =
L J(d) , d in
donde f es la función establecida por la fórmula de inversión de Mobius.
13. Sea f (x, n) el número de enteros positivos menores o iguales que x que son pnmos con n.
(a) Pruebe que I: f(~, ~) = [x] din
(b) Pruebe que f(x , n) =
"L µ(d) · [~] djn
14. Sean
f yg
dos funciones aritméticas. Se define la convolución de
f y
g,
110
Funciones especiales
denotada por f
* g, del siguiente modo 1*g =
L 1(d)g ( ~) . din
Pruebe que la convolución es conmutativa y asociativa. 15. Definase la función aritmética e, de modo que e(l) = 1 y e(n) Pruebe que para toda función aritmética se tiene que f
*e = f .
=
O si n > l .
16. Definase la función aritmética z, de modo que z(n) = 1 para todo n E z+. Pruebe que para la convolución (vea ejercicio 12) se tiene que la función de Mobius µes inversa de z. Esto es, µ* z = e (donde e es la función del ejercicio anterior).
3.5 La función de Euler En esta sección definiremos la función
Definición 6 Sea n E
z+, se define
menores o iguales que n , que además son primos relativos con n .
• Puesto que el único entero positivo menor o igual que 1 es 1 y además es primo relativo con 1, entonces
Ejemplo 30
• Puesto que 13 es un número primo, entonces para todo n < 13 se tiene que mcd(n, 13) = 1, entonces hay 12 números enteros positivos menores que 13 y primos con 13. Es decir,
111
La función de Euler
• En la siguiente tabla se proporcionan los Yalores de c.p(n) para n de 1 a 12:
n 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12
1
enteros positivos < n, primos con n
1
1 1
c.p(n) 1
1, 2 1, 3 1, 2,3, 4 1,5 1, 2,3, 4, 5, 6 1, 3, 5, 7 1, 2, 4, 5, 7 , 8 1, 3, 7, 9 1, 2,3 4.5 6, 7.c S 1, 5, 7.11
1
2 2 4 2
6 4 6
1
:o. '= 1:
~O
o
. . . Es muy fácil determinar ..;_: -~ es ~i:r._o_ ..::..::: e:oc:o o:ls.e:ve que s1 p es un número primo, entonces todo- :os ::i.::n-e;cs :. 2. 3 ..... p - : son primos con p,. como ~
estos son p - 1 números. se tiene que si p es primo entonces c.p(p) = p - 1.
Ejemplo 31 De acuerdo con lo anterior, c.p(13)
= 12, c.p(19) = 18, etc.
O
Más adelante probaremos que la función c.p es multiplicativa. Por lo dicho en las secciones anteriores sobre estas funciones, estamos interesados en saber cómo determinar c.p(pr) para cualquier primo p. Para fijar ideas comencemos con un caso particular Consideremos el número 27 = 33 ; ¿cuántos números entre 1 y 27 son primos relativos con 27? Posiblemente lo más fácil sea más b ien ver cuántos no son primos relativos con él; como 27 = 3 3 , los que no son primos relativos con este
número son aquellos que son múltiplos de 3,es decir: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,
27. Hay 9 = 32 de estos números y por lo tanto la cantidad de números menores o iguales que 27 que son primos relativos con 27 son 27 - 9 = 18 o escrito de otra forma 33
-
32
= 32 (3 -
1)
= 18. Concluimos que c.p(33 ) = 32 (3 -
1).
El siguiente teorem~ ge~eraliza la argumentación que hicimos en este caso particular
112
Funciones especiales
Teorema 3.16 Si pes un número primo positivo y sir es un entero positivo entonces cp(pr) = pr-l(p _ 1). Demostración: Existen pr enteros positivos menores o iguales que pr . De ellos, hay pr-l números que son divisibles por p y los demás son primos relativos con pr. De modo que cp(pr) = pr - pr-1 ...: pr-l(p - 1). •
Ejemplo 32 De acuerdo con el teorema anterior tenemos que cp(81) = cp(34 ) = 3 3 (3 - 1) = 54. También, cp(64) = cp(2 6 ) = 25 (2 - 1) = 32. O Algunas propiedades importantes de la función c.p se proporcionan en los siguientes teoremas.
Teorema 3.17 Si n y m son números enteros positivos tales que cualquier primo que divida a m también divide a n, entonces cp(mn) = m..p( n ). Demostración: Consideremos el arreglo
2 n+2 2n + 2
3 n+3 2n+3
n 2n 3n
(m - l )n + 1 (m - l )n + 2 (m - l )n + 3
mn
1
n+l 2n + 1
Vamos a calcular cp(mn). En la primera fila hay .p(n numeras primos relativos con n y, como los divisores primos de m también lo son de n, entonces el número de elementos en esa fila que son primos con nm es ip(n). Por otra parte, como todos los elemento en la misma columna son congruentes módulo n entonces todos ellos son primos con n o todos no son primos con n. Esto significa que en cada fila hay ip(n) números primos con n y por lo tanto hay
Ejemplo 33 • Puesto que el único divisor primo de 2 es 2 y éste divide a 6 entonces
•
=
lO
y 5) también dividen a 100.
113
La función de Euler
• Tenemos que 1 000 000 = 106 = 26 · 56 , entonces
.p(xy) = ~
_;
Demostración: Arreglemos los ente:u- ..:._"'5:~ :
->·
--'=5:2
= x J rie la siguiente fonna.,
sugerida por las clases residuales:::: 1 x+l 2x + 1
?
.-
x2-?
3 :r - 3
2x - 2
(y - l )x + 1 (y - l )x -2 (y -1)x + 3,
1.
x2x (y - l )x
X
2x ~~
3x
+k
yx
En la primera fila hay .p x enteros primos con x. Por otra parte, en cada columna losenterossonde laforma sx+k (parak = 1, . .. ,x). Perosx+k k(modx)ypor lo tanto, si el entero k tiene un divisor común (,OO x, entonces todos los enteros de esa columna tienen un divisor común con x. Esto significa que hay
=
Además, en cada columna, cp(y) enteros son primos relativos con y (la prueba de esta afirmación se deja como ejercicio). Puesto que
La multiplicatividad de
114
Funciones especiales
entonces cp(108) = cp(2 2 )cp(33) = 2 · 18 = 36. En el siguiente teorema se da una fórmula general basada en la multiplicidad de esta función.
Teorema 3.19 Sean un entero positivo y sea n= pI1 p;2
• • •
p;t la descomposición
prima de n, entonces 'f (n ) = P1ri-1 P2r2-1 · · ·Ptrt-l(p1
-
l )f,,,..,_ vri - 1) · · · (pt - 1) ·
Demostración: Tenemos
cp(n)
cp(p~1 p;2
. .. p;t)
cp(pil )cp(p;2 ... p;t) p~1 - 1(Pi _ l )
= P1r1- lP2r2-1 · · · Ptrt-l(p1 - l )(p2 - 1) · · · (Pt - 1) ·
•
Ejemplo 34 Determinar cp(l 350). Solución: Tenemos que 1350 = 2 · 33 · 52 . De acuerdo con el teorema anterior:
cp(1350)
cp(2 . 33 . 52)
=
21 - 1 . 33 -
1.9.5. 1.2.4
l .
52 -
1 .
(2 - 1) . (3 - 1) . (5 - 1)
= 360.
De acuerdo con el teorema 3.19,
Esta es otra forma de escribir la fórmula para cp(n). Por ejemplo
cp(3 500) = cp(7 . 22 . 53 )
o
115
La función de Euler
Ejemplo 35 Probar que si n es un entero J)O' :Ü\ o entonces
Solución: Sea n =
p? la des...~ -?E~. . ~é:: prima de n .
Puesto que cp es multiplicativa, podemos utilizar la fór:::::::"--2 ~.~ :: ~-= -e: :eturema 9 y tenemos:
L'P(d) din
p~ 1 p;2
• ••
(1 +
... (1- ·. ..) - .; --: - ···- .;, --~~-)} (12- (~::_ - :) - -=- -J - ... - 5:_'"1 .. · (~ - p; - _) -
(12) _,..~-:)) .• •
r.; - Pt) -r · · · + (p? - P?-
(por teorema 3. 16)
1
))
(13)
o
n.
Ejercicios 3.5 l. Evalúe cp(120), cp(3600), cp(12540). 2. Pruebe que si d y n son enteros positivos tales que din, entonces cp(d) l'P(n) 3. ·Determine un n 0 tal que n
1
4. Pruebe que cp(n)
----+
> no implique cp(n) > 100.
oo cuando n----+ oo.
5. Encuentre todas las soluciones de c.p(~)
= 4.
6. Pruebe que para N fijo, la ecuación cp(x) = N, tiene, un número finito de· soluciones. 7. Con la notación proporcionada en los ejercicios de la seccióll anterior, µruebe que cp" = a .
116
Funciones especiales
8. Pruebe que ¿din µ(d)cp(d) =
II (2 -
p), para n > l.
p Jn
p primo
9. Sea é > O, pruebe que existe n tal que
l'f~)
-
i
1
<
é.
1O. Pruebe que si n > 2 entonces cp( n) es par 11. Determine todas las soluciones de cp( x) = !f(2x, . 12. Determine todas las solucfones de cp(2x) = -;(3x . 13. Sea n E N. Pruebe que cualquier solución de ..::. x) = ~n - 2 es de la forma pr o 2pr, con p un número primo de la forma 4s - :.. 14. Pruebe que paran > 1, la suma de todos los nÚille-:us ;>OSÍriYOS menores que n
y primos con n es ~
Congruencias
Gauss
4.1 Motivación histórica 4.2 Sistemas de residuos y congruencias 4.3 Teoremas de Wilson, Fermat y Euler 4.4 Teorema Chino del Residuo
-..:::::;;..
--
--
-
--==--
-=- - --
3~ ij,zicar lqs ~oiem;s 1f~laJ!lo~s con:_ --- cóngrue~cias éJi l~ c(Wisf_~n-iJ,e enteros. - :::
-_
=-
-.:. . .:
-
4. Aplwar ti) teorema~Chi.no ~del residuo en la solución -de próblema.S que involucran sistemas de congruencias.
Este capítulo inicia con una pequeña moti\'a : ~::-~,:u:: ... .: -.:_e cómo nacieron las congruencias y para qué sirven. Luego. a pa:::: ..:_e~ ~~,_ se ie~nen los sistemas completos de residuos como el conjunto de lovalencia en la partición de Z, denotada por Además, se dan algunos teoremas
:-e;.~-~:e-s ::e ~-=2 clase
.= .
~'"'C: - -. ~ ~ 'a :ea:-~ ~
de equi-
=.::::e:us, en el
contexto de congruencias, como ~on :o- :eo:-~ ::e-":\-;''º ~er::ia: :Etler. etc. Para la lectura de este capítulo. usted ce3e ·o:-::7:.a:- :as efirrici o:nes y resuJtados dados en los capítulos anteriores: divis1bi.Edad. :eilia de Euclides. números perfectos, función parte entera, etc.
4.1 Motivación Histórica En la Teoría de Números un concepto muy importante es el de las congruencias. Fue el gran matemático alemán Karl Friedrich Gauss( l 777- 1855), en su monumental obra " Disquisitiones Arithmeticae ", quie~ en analogía con el "="para la igualdad, introdujo el símbolo " = " para denotar que dos números son" congruentes". En aquella época no existían las computadoras ni calculadoras electrónicas y los cálculos eran totalmente manuales o bien con el uso del ábaco. Leonard Euler demostró que la conjetura de Fermat según la cual los números de la forma 22n + 1 eran primos para todo n E N, era falsa. Esto se cumple para n = 11 2 3 4, pero no para todo 25
natural, Euler demostró que 2 + 1 = 232 + 1 = 641 x 6 700 417. Este resultado se puede verificar hoy en día con base en las congruencias, véase el libro Algebra 1 de Fabio González, o rápidamente con ayuda de una calculadora sencilla, Euler lo hizo
120
Congruencias
manualmente. Aún así, hay números que son tan grandes, como 21000000 , que necesitaríamos algo más que una calculadora, para obteneI por ejemplo el residuo de la división de este número por otro. Muchos matemáticos, al igual que Fermar,, trataron de dar una fórmula para encontrar los números primos, es decir, una forma explicrta para todos, o por lo menos para algunos números primos, pero esos intentos resultaron infructuosos pues eran fórmulas que servían para números pequeños pero no para números grandes. Así por ejemplo, el padre Martin Mersenne( l588-1648) conjeturó que los números de la forma Mp = 2P - 1 son primos para p primo. Tenía razón para algunos de ellos, como M 3 ó M 13 entre otros, pero resulta que Mu = 211 - 1 = 2 047 = 23 · 89. A los primos de la forma lvip se les llama "Primos de Mersenne", y aunque se cree que hay un número infinito de ellos, no se ha demostrado y curiosamente sólo se han encontrado 32 primos de Mersenne. El mayor de estos números es M 756839 , un número de 227 832 dígitos, descubierto en 1 992. La historia de estos números y su desarrollo con la computación se puede ver en el libro Historia e Historias de Matemáticas de Mariano Perero. La Aritmética y la Geometría son las dos áreas de -la matemática que se desarrollan primero y que por cierto Pitágoras demuestra geométricamente muchas proposiciones de la Teoría de Números. Esta última se desarrolló desde la antigüedad bajo el nombre de aritmética, la calculería se llamaba logística. El pueblo Chino desarrolló muchos de los conceptos de la Teoría de Números, en la Sección 4 se verá el bien conocido teorema Chino del Residuo y se resolverá un problema planteado por Sun-Tsu en el Siglo I d.c. Como en el caso de las geometrías no Euclideanas, que parecían no tener aplicación hasta la formulación de la llamada Teoría de la Relatividad. La Teoría de Números pasó al primer plano y se desarrolló mucho en este siglo, específicamente durante la segunda Guerra Mundial y por la aparición del espionaje. En ese momento los mensajes secretos eran enviados en claves que usaban algoritmos fundamentados en esta teoría y la Teoría de Grupos, aunque finalmente se descifraban estos mensajes, el problema era el tiempo en que se lograban descifrar, en ese momento ya había nuevas claves. La teoría de congruencias se empieza a desarrollar en el siglo XIX y nos ayuda
121
Sistemas de Re..s :_.:.s .; : : - guencias
a trabajar con números muy grandes de ~ - .- =-=-~ :-ápida y sencilla, actualmente tiene gran utilidad en la Teoría de Grupo- y,..... :::--=.:~ -=-:fa 1 entre otros.
4.2 Sistemas de Residuos 'Y Congruencias Iniciamos esta sección recordando
definició~ ==~
: -:
=~:o
basico de congruencia
que ya se había dado en el capítulo 2.
=
Definición 1 Sean a, b, m E Z, con m módulo m y escribimos a brnod m si) sé o
b - a.
Ejemplo 1 Tenemos que 91
~ ~!!es
congruente a b - - a es decir, m divide a
1 mod 5 pues 5 .:5r. -~= ~
D D
Usted puede probar, como ejercicio, que
-=- =~ ~ -=-.:.- '"":: .:ee.......,.,,.·alencia
2
sobre el conjunto Z, por lo tanto ella particiona a = e- : 2-::"'S ~e ~· ie..!e:ic1a llamadas también clases ae residuos. El conjunto de L~~ :_= _._ _ . .:..:e::cia lo denotamos por Zm y forma un anillo conmutativo. Para único representante entre Oy m - 1.
..._o,,
Definición 2 El conjunto de enreros {T¡ . r2 .. .. 're} de residuos módulo m si cumple:
(i)
ri
*
rj
rnod rn para i
-=-
_::..2 c:ase se le asigna un
_ //._ W:{J W1 sistema completo
=/: j,
( ii) para cada entero n existe un - 1
p~-e
el
,.. n - r 1 mod m.
Es decir, un sistema completo de :e- ¡ .:1r
~
cualquier conjunto de represen-
tantes para las clases de residuos. Es c:aro ..ue todo sistema completo de residuos módulo n1 deberá tener exactamente m elem en ·os. 1
Es la ciencia de codificar y decodificar mensajes. uno de los métodos más usados es el RSA, las iniciales de sus inventores Rivest, Shamir y Adleman, basado en números que son producto de dos números primos muy grandes, alrededor de 100 dígi ms cada uno. '2 Recuerde que una relación de equivalencia es si métrica, reflexiva y transitiva.
122
Congruencias
Los sistemas completos de residuos, no son más que grupos isomorfos bajo la operación de adición módulo m. Así por ejemplo, el conjunto {O, 1, 2, 3, 4} y el conjunto { 10, - 4, -13 18 24}, son sistemas completos de residuos módulo 5. Recordemos que estos, por ser grupos isomorfos, no los consideramos como diferentes, lo que hacemos es llamar a un elemento de diferentes formas. Definición 3 El conjunto de enteros {r1 , r 2 ,
... , r 8 }
se llama un sistema, reducido
de residuos módulo m si cumple:
(i) ri
~ Tj mod m para i =/= j,
(ii) para cada entero n tal que mcd(n m )
1 existe un ri para el cual n
r i mod m, .
(iii) mcd(ri, m) = 1 para todo i. Es decir, un sistema reducido de residuos es cualquier conjunto de representantes para las clases residuales, tomadas estas clases solamente cuando los residuos son primos relativos con m. Es claro que todo sistema reducido de residuos módulo m deberá tener exactamente cp(m) elementos. 1
Ejemplo 3 El conjunto {O, 1, 2, 3, 4, 5} es un sistema completo de residuos módulo D 6, así, {l, 5} es un sistema reducido de residuos módulo 6. Ejemplo 4 Si p es primo, el conjunto {O, 1, . .. , p - 1} es un sistema completo de residuos módulo p y { 1, .. . , p - 1} es un sistema reducido de residuos módulo p. D \éamos algunos ejemplos para irnos familiarizando con las congruencias. Ejemplo 5 Si es x cualquier número impar entonces x 2 Solución: Como x es impar entonces x
x2
=1 mod 4.
= 2n + 1 para algún n
= (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 =
4(n2
+ n) + 1 =
E Z. Entonces
1 mod 4.
D
Ejemplo 6 ¿Cómo se pueden medir 14 litros con dos recipientes con capacidad de 3 y 19 litros? Solución: Note que 19 - 1 mod3, por lo que al llenar el recipiente de 19 litros de 3 en 3 litros, al final nos quedarán 2 litros en el recipiente más pequeño. \áciamos
123
Sistemas de Residuos y Congruencias
el recipiente mayor y ponemos estos 2 litros en él. Como 14 = 2 mod 3, tenemos 14 = 3 · 4 + 2. Ahora, luego de haber depositado estos 2 litros en el recipiente mayor, introducimos en él 3 · 4 = 12 litros con el recipiente de 3 litros, obteniendo los 3 · 4 + 2 = 14 litros. O
=
Teorema 4.1 Para todo a, b, a, a f3 mod m se cumple:
a) V : x y
E Z
/3, m
E
=bmod m
Z, con m > O tal que a
y
se tiene (ax + ay) = (bx + f3y) : mód : m.
b) aa _ b/3 mod m . e) Vn EN se tiene an = bn mod m. d) Si p(x) es un polinomio con coeficientes enteros, entonces p(a) = p( b) mod m. e) Si a - bmod n, con mcd(m, n) = 1 entonces a - bmod mn
f) a - b mod n
~
a y b tienen el mismo residuo en la división por n.
Demostración: Dejamos para el lector la demostración de a), b), e) y f). Haremos
solamente la demostración de e) y d).
e) De la expansión binomial sabemos an - bn = (a - b) · M , con M en Z. Como a = b mod m, tenemos que a - b = km , de donde an - bn
con loque an = bn mod m.
d) Sea p(x) = anxn + °'n-1Xn- l + ...
-4-
= k ·m
· M = N m,
a1x + G(), de donde
p(b) - p(a) = an(bn - a'l) + · · · + a1(b - a) . Como a = bmod m, por e) tenemos que m l(b' - ai) para todo i donde m j(p(b) - p(a) ), así, p(a) _ p(b) mod m . Teorema 4.2 Si ax _ ay mod m y mcd (a m )
= 1, ... , n, de •
= 1, entonces x = y mod m.
Demostración: Dado que ax = ay mod m, tenemos que m la(x - y).
Como mcd(a, m)
= 1, por el lema de Euclides se tiene que ml(x - y).
Es decir, x = y mod m.
•
El teorema anterior es conocido como la" ley de cancelación" para congruencias. 1
124
Congruencias
El siguiente ejemplo, que podríamos resolver usando solamente los conceptos de divisibilidad, es muy ilustrativo de cómo nos a: ' a:i las congruencias para simplificar la solución de problemas que involucran :::n-77".e:os grandes.
Ejemplo 7 ¿Para qué valores enteros de n el ::.:-;-.e::-o l 996 1997n + por 1997?
Solución: Como 1 996
1
es divisible
-1 mod 1 997 Tenemos que
19961997n
(- 1) 1997"' mod::. 997 (- l)n mod 1 997
de donde l
996
n + 1 =( -l )n+ 1mod1997.
1997
que sería divisible si el residuo da cero y esto ocurre cua- rio
es rmpar
O
En el capítulo 1 se probaron algunas reglas de di'·¡_:...:..:.:cad, seguidamente, se presenta la regla de divisibilidad por 3, en el contex:o 'e co::igruencias.
Ejemplo 8 Probar que un entero positivo n es di\ismJe ;x>r 3 si y sólo si la suma de los dígitos de su expresión decimal es divisible por 3.
Solución: Sean= ak · lOk + ªk- i · 1ok-l + · · · + a 1 · 10 + ll(), donde a 0 , ... , ak pertenecen a {O, 1, ... , 9} con ak #O. Es claro que n = p(lO) para p(x) = akxk + ak_ 1xk- l + · · ·+a1x+a0 . Como 10 = 1mod3, por el teorema ..f.1 parte d), tenemos que
n = p(lO)
p(l) mod3 (ak
por lo que 3ln si y sólo si 3j(ak
+ ªk-1 + · · · + a1 + a-0) mod3
+ ªk-1 +
· · · + a1 + ao ).
o
Ejemplo 9 Apliquemos el teorema 4.1 para encontrar el residuo de la división del gigantesco número ( 12 371 12 + 34 )28 por 11.
Solución: Con ayuda de la calculadora, o usando la regla de divisiv il idad por 11 dada en el capítulo 1, encontramos que 12 371 = 7 rnocl 11, además 34 _ 1rnod11
Sistemas de Residuos y Congruencias
y: 12 371 2
49 mod 11 = 5 mod 11
12 371 6 12 371 12
53 mod11 = 4mod 11 42 mod11 = 5mod11
12 371 12 + 34 (12 371 12 + 34) 2
(5+ 1) mod 11 = 6mod 11 36mod 11 = 3mod 11
(12 371 12 + 34) 14
37 mod11 = 9mod11 92 mod11 = 4mod 11
(12 371 12 + 34) 28
o
Con lo que el residuo es 4.
Ejemplo 10 Todo número de Fermat Fn = 22n + 1, con n > 2, termina en 7. Solución: 7modl0.
En el sistema decimal un entero m termina en 7 si y sólo si m 22 F2 = 2 + 1 = 24 + i = i 7 = 7 mod 10
Es decir, la proposición se cumple para n= 2 Si n> 2: 222 ( 222 ) 2n-2
6mod 10 2 62n- mod iO
22n
6mod 10
..,92n + 1
7modl0.
o
Ejemplo 11 \érifiquemos, que 1on+ 3 · 4n+2 + 5 es divisible por 9, V : n
E
N.
Solución: Demostrar que ion+ 3 · 4n+ 2 + 5 es divisible por 9, V : n, equivale a demostrar que V : n E N : ion+ 3 · 4n+2 + 5 = Omod 9. 0 odemos comprobar que 5 = -4mod 9 y:
i mod 9 =* 1on= 1mod9 lmod9 44 -4mod 9, 45 =7mod9 1mod9, 47 = 4mod 9, 48 = 7mod 9 3mod 9 ó
12mod 9
ó
2i mod9
126
Congruencias
> 3, es decir 3 · 4n+2
de donde 3 · 4n - 3 mod 9 V : n lOn + 3 · 4n+2
+5 _
_
3 mod 9 V : n
> 1, así:
1mod9 + 3 mod 9 - ~ mod 9 - Omod 9.
O
Ejemplo 12 ¿Qué día de la semana fue el 1 de diciembre de 1 948, día en que se
abolió el ejército en Costa Rica?
Como la semana tiene 7 días, utilizaremos la congruencia módulo 7.
Solución:
Necesitamos saber cuántos días han pasado desde el 1 de diciembre de 1948 (Día
" A") al, por ejemplo, viernes 3 de julio de 1998. Sea _y esta cantidad de días y N _ a mod 7 con O < a < 7. N -1
----+
Viernes Jueves
O
----+
Da "A"
N
----+
Recordemos que el día de la semana no cambia si a la fecha se le suma un número de días que sea múltiplo de 7. Además3 , los años bisiestos son aquellos no seculares divisibles por 4, y los seculares son bisiestos si son divisibles por 400. Del 1 de diciembre de 1 948 al 3 de julio de 1 998 han pasado 49 años>de los cuales 12 son bisiestos, y 214 días. Como 49 4 mod 7, tenemos que
Omod 7, 365= l 31od 1: :2 = 5 mod 7 y 214 =
49 · 365 + 12 + 214 _ (O· 1 + 5 + 4) mod 7 De donde a = 2 y el 1 de diciembre de 1 948 fue
= 2 mod 7.
u.:i nié;coles.
o
Ejemplo 13 Paracada n E N, sea an elúltirnodígrodelnúmero1+2 + 3 + · · ·+n.
Calcule a1 +
a2
+
a3
+ · · · + a1992.
Solución: De la fónnula de Gauss, sabemos que
1 + 2 + ... + n = n(n - 1) 2 Buscamos un periodo de la sucesión an,
an+k = an ~ 3
n(n+ l ) _ (n+k )(n -k + l ) d ') = t) IUO 10 __,
-
Para conocer más sobre el tema de los calendarios y el uso de fracciones continuas para encontrar el mejor calendario, puede consultar Medición del tiempo y Calendarios de T Tsijli.
121
Sistemas de Residuos y Congruencias
~
n (n + 1) - (n + k) (n + k + 1)
~
k(2n
+ 1 + k)
que es cieno si k = 20, es decir, a1
+
a2
+ a 3 + ··· +
a20 =
an+20
=Omod20
=
= mod 20 O
20. 99
y como 1992
an
+ 12 y
70 tenemos que 99 · 70 +
a1
+
a2
+
a3
+ · ·· +
99 . 70 + 54 = 6 984
a12
o
Ejemplo 14 Descomponga al número 81997 como S 1 + S 2 + · · · + Sn, suma den términos enteros positivos, de manera que S1 · S2 · S 3 · · · Sn sea máximo. ¿Cuál es el máximo producto? Solución: Es claro que si algún sumando es 1, este no afectaría el producto. Si Si > 4 se puede sustituir por Si - 2 + 2, ya que, 2(Si - 2) > 4. En esa forma el producto'~ª siendo máximo si consideramos solo 1 < Si < 4. Además, 4 = 2 + 2 y el producto no aumenta, con lo que los valores que maximizan el producto son 2 y 3. Como 2+2..L2 = 3+3y2·2·2 = 8 < 9 = 3·3,sedebenconsiderarlamayorcantidad de 3's posible. Como 8 - ln1od 3 ~ 81997 (- 1) 1997 mod3 -lmod3 es decir 8 1997 + 1 es di isible por 3 y se tiene que
=
-
~~' =3
( 81997 + 3
1) - 1=3
(81997 -
de donde el producto máximo viene dado por 2. 3(
3
8 1991
-
2
2)
)13 .
+2
'
o
Ejercicios 4.2 1. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos forman un sistema completo de residuos módulo 11?
(a) {0, 1, 2, 4,8,16 1 32, 64.128. 256.512}. (b) {0, 1,4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25.28}. 2. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos forman un sistema reducido de residuos módulo 12? (a)
{l,5,7,9, 11}.
128
Congruencias
(b) {- 11, 17, 31, - 15, 131}. 3. Muestre un sistema reducido de residuos módulo 30. 4. Demuestre que {2, 4, 6, ... , 2m} es un sistema completo de residuos módulo m para m impar 5. Demuestre que {1, 22 , 32 , ... , m 2 } no es un sistema completo de residuos módulo m para m > 2.
6. En Z 7 , verifique que {O, 31 , 32 , ... , 36 } es un sistema completo de residuos. Además, pruebe que { x , x + 31 , x + 32 , ... , x + 36 } también es un sistema completo de residuos para todo x entero, pero si en lugar de 3 ponemos un 2 no lo es. 7. Encuentre un sistema completo de residuos módulo 17 compuesto solamente por múltiplos de 3. 8. Encuentre un sistema reducido de residuos módulo 7, compuesto solamente por potencias de 3. 9. Pruebe que:
(a) Cualquier número que sea un cuadrado perfecto debe tener como dígito de las unidades a O, 1, -!, 5, 6 ó 9. (b) Cualquier cuarta potencia debe tener como dígito de las unidades a O, 1, 5 ó 6. 10. ¿Cuáles son los dos últimos dígitos en la representación decimal de 3400 ?
11 . Describa todas las soluciones de las siguientes congruencias: (a) 3x
=4mod 7.
(b) 27 x
25 mod 256.
12. Halle el mínimo valor de k, > O, para el cual 7077377
-
k es divisible por 11.
13. Halle el residuo de la división por 7 del número 100150 . 14. Halle el residuo de la división por 77 del número 21000000 15. Halle el residuo de dividir el número (116 + 17 17 ) 16. Pruebe que 95892222
21
+ 6051 1111 es divisible por 17.
+ 1000000!.
por 8.
129
Sistemas de Residuos y Congruencias
17. Halle el resi duo de dividir el número (123477
-
3799 )
por 7.
44
18. Analice si existe k tal que k2 = 19891988 + 6. 19. Pruebe sin usar inducción, que para todo natur~ n: (a) 24n+l
-
22n
(b) 32n+l
+ 4 · 23n es divisible por 7.
-
1 es divisible por 9.
20. \érifique, usando congruencias, que la conjetura de que los números de la forma 22" + 1 son primos, propuesta por Ferma~ es falsa para n = 5. 21. Sea n = ak lOk ll l(ao -
+ ak_ 11ok-l , · · · + a1 + a2 + · · · + (-1)»a1;).
U().
Pruebe que ll ln si y sólo si
22. Sea n un número de cuatro cifras. ,es decir, n = 1000a3 Pruebe que 7ln si y sólo si - ¡(ao - 3a1 - 2a2 - 6a3 ).
+ lOOa2 + 10a1 +a.o.
23. Descomponga al número 7 1999 como 8 1 + 82 + · · · + 8n. suma de n términos enteros positivos, de manera que 8 1 · 8 2 · 8 3 · · · 8n sea máximo. ¿Cuál es el máximo producto? 24. Generalice el ejemplo 6 de manera que midamos a litros con dos recipientes que tengan capacidades de rn y n litros con m < n, con la condición adicional de que a+ n
Omodm.
25. ¿Qué día de la semana fue el 15 de septiembre de 1821? 26. _¿Qué día de la semana fue el 12 de octubre de 1492, día del descubrimiento de América? (¡ Investigue sobre calendarios!) 27. Encuentre los primos p, para los cuales n 2 algún cuadrado perfecto n 2 .
-
- 1 modp tiene solución, para
28. Haga un análisis del siguiente acertijo matemático: Piense un número.de cuatro cifras, multiplíquelo por 59, tome las cuatro últimas cifras del número que obtuvo, multiplíquelo por 3, tome las últimas cuatro cifras del resultado de esta operación y multiplíquelas por 113. Las cuatro últimas cifras del número que usted obtuvo corresponden exactamente al número que usted pensó. 29. Para cada n EN, sea an el último dígito del número 1 Calcule 8 =
a1
+ a2 + a3 + ··· + a1997.
+ 22 + 32 + ... +
n 2.
130
Congruencias
30. El producto de tres números pares consecutivos es el número N = 88abcde2, donde cada letra representa un dígito. Determine el valor de a, b, e, d, e.
4.3 Teoremas de Wilson, Fermat y Euler En esta sección daremos algunos de los teoremas CTás C:portantes en el campo de la
Teoría de Números, que son los teoremas de Wllso eÁeeFermat, y como una generalización de este último, el teorema de Euler Ellos ::_os ~te~ entre otras cosas, decidir de una manera rápida cuándo un número es p~o: sugerimos la lectura de Caza mayor en territorio primo de Ian Stewart A..rr:-es e: teorema, relacionado con sistemas de residuos, que será de gran uülidad e:i 2:gc:zs e:::iostraciones. Teorema 4.3 Si mcd(a, m) = 1 y {r1 r 2 . ...• r-rt; ~ ·w -~:ema completo de residuos módulo m, entonces {ar1, ar2 , .. . , arm} 101r. · ién lo es.
Demostración: Sabemos que cualquier sistema n.....~:e:o de residuos módulo m debe tener rn elementos, así, para ver que los e;::.~'e'...u~ r~a . r 2 a, .. ., rma, que son m, forman un sistema completo de residuos ~oc..._.{> .. basta demostrar que este conjunto no tiene elementos repetidos en el se -_:o .:e que dos elementos estén en una misma clase de equivalencia, es decir. ar· ar..- IBOd m si i =/: j. Esto debe ser cierto ya que si ari arj mod m, implicana por :a :ey de cancelación, teorema4.2, que ri ri mod m. Esto último es una contradi :ción ya que {r1 , r 2 , ... , rm} es un • sistema completo de residuos módulo m . 7\
=
=
En el capítulo 2 se discutió sobre las soluciones de la ecuación Diofántica ax + by = e
que en el contexto de congruencias se puede reescribir como ax_ cmodb.
El siguiente teorema nos recuerda las condiciones, dadas en ese capítulo, para que esta ecuación tenga solución. Además, garantiza la unicidad, módulo m, de la solución de la ecuación en el caso de que a y m sean primos relativos. Teorema 4.4 La congruencia ax
=bmod m tiene solución siy sólo si el mcd(a, m)
Teoremas de Wilson, Fermat y Euler
131
divide a b. Además, si tiene solución existen mcd( a, m) soluciones db--tintas no congruentes.
•
Demostración: Se deja como ejercicio al lector.
Note que este teorema implica que, la congruencia ax - 1 mod m tiene solución única si mcd(a. m) = l.
Teorema 4.5 (De JJ'ilson). Para p primo, se cumple (p - 1) ! _ -1 mod p. Demostración: Consideremos el conjunto {l , 2, ... , p - 1}. Sea x 1 la solución de la congruencia 2x 1 _ 1 modp, que por el teorema 4.4 y dado que mcd(2. p) =
1 sabemos que existe y es única. A x 2 lo llamaremos la "pareja" de 2. Por la unicidad, la pareja de a 2 es 2. De la misma manera encontramos la pareja de 3, y así sucesivamente. Para comprender mejor el arreglo por parejas, consideremos la forma en que se agrupan los factores de (p - 1) ! para p = 11:
10!
1 · 2 · 3 · · · 10mod 11 1(2 · 6) (3 · 4)(5 · 9)(7·8)10mod11 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · ( - 1) mod 11
-1 mod 11
o sea 6 es pareja de 2, 4 es pareja de 3 etc. Volviendo a la demostración, analicemos en qué casos un número b es su propia pareja, se tendría que b2 _ lmodp, es decir, (b + l )(b - 1) Omodp, cuyas soluciones son b = 1 ó b = p - l. Todas las parejas las podemos escojer menores que p - 1. Entonces
=
(p - 2)! - (2 · x2)(3 · .r3) · · · modp
multiplicando por (p - 1) y dado que (p - 1)
(p - 1)!
- 1 mod p, tenemos
1(1 ) · .. (1)(-I ) mod p
•
La técnica de '·agrupar"' términos e.Kpuesta en la demostración anterior, es muy útil, y deberá usarla en el Ejercicio 7. El siguiente resultado se conoce con el nombre de teorema de Fermat, aunque •
Congruencias
132
en ocasiones se le llama "El Pequefio Teorema de Fermat", probablemente para no confundirlo con el "gran"Teorema de Fermat. Este último dice que para un entero n > 2, no existen a, b, e tales que an + bn = en. Este gran teorema desveló a muchos matemáticos, y fue demostrado por Andrew Wiles, profesor de la Universidad de Princeton. Su demostración, que fue publicada en el año 1 995, podría llenar con todos sus detalles, un libro de más de 100 páginas.
leorema 4.6 (De Fermllt). Si p es primo, todo e1uero a satisface aP todo entero a no divisible por p satisface aP- l - : ~odp.
= a mod p y
Demostración: Supongamos primero que p fa. Co:::o {0.1 2, ... , p - l } es un sistema completo de residuos módulo p y mcd(a . p = :.. sabemos por el teorema 4.3 que {Oa, l a, 2a, ... , (p - 1)a} también es un sistema completo de residuos módulo p. Como Oa = O, tenemos que l a, 2a, ... , (p - 1 a es ~ ~eordenamiento, módulo p, de 1, 2,. . ., p - l. Así, l a· 2a · · · (p - l )a :::}
aP- 1 (p
- 1)!
=1 · 2 · · · (p - l ) modp
=(p - 1 . _ odp
:::} PI (aP-l - 1) (p -
1)!.
dado que p ,.f(p - 1) !, pues p es primo, tenemos ~ e p aP- 1 - 1), es decir aP-l _ 1 mod p, de donde se obtiene el resultado. P&ii C-O=:ip~etar la demostración basta 1 modp por a, para obtener e? a modp que sería cierto para multiplicar aP-l p ,.fa, y es trivialmente cierta en el e.aso que pla. •
=
Corolario 4.7 Si a no es divisible por p y n - m mod(p - 1) entonces an am modp.
Demostración: Suponga que n > m. Como p - l In - m tenemos que n - m = c(p - 1) para algún entero positivo c. Como a no es divisible por p, del teorema de Fennat tenemos que aP- l 1 modp y (aP- 1 y 1 modp, así an-m - 1 modp, como am am mod p tenemos que an-mam am mod p con lo que se obtiene el • resultado an _ am mod p.
=
=
= =
Teoremas de Wilson, Fermat y Euler
. 133
Ejemplo 15 Usando el ejemplo anterior podemos encontrar el residuo al dividir 21 oooooo por 7: como 1 000 000 _ 4 mod 6, tenemos 21000000
-
24 mod 7
=
16mo
2mod 7,
así el residuo es 2. De esto último podemos con luir que 2999 999
-
1 es divisible por
7. Ejemplo 16 Demuestre que N
= n 13 - n es .;:::i ·
~iplo de 2 730 para todo
o
n EN.
Solución: De las posibles factorizaciones rie _, .- :err~os
n (n12 - 1) n(n 6 +1) (n6 - ) n(n6 +l)(n-; - 2 - : ) ( ~ - 1) n (n6 +1) (n4 - n- - R)(n - -1)(n - 1) n (n8 + n 4 - !) (n~ - ::..)
N
y del teorema de Fennat tenemcr ::e :.- =~ ~--;siO:~e {>OI 13, T>3> 2 y 5 con lo que es divisible por el producto 13 · 1 · 3 · :. · 5 = 2 730_ O Ejemplo 17 Sea m = 1n , 211 - :fl - 4ª. P ruebe qu e m es divisible por 5 si y sólo si n no es divisible por -1.
Solución: Del teorema de F ermat tenemos que a4 - 1 mod 5 y a4k _ 1 mod 5, analizaremos qué pasa con cada uno de los posibles residuos al dividir n por 4. Los posibles residuos son O, 1, 2 y 3,
+ 2 4k + 3 4k + 44k 1 4k+ l + 2 4k+l + 3 4k+ l + 44k+ l 1 4k+2 + 2 4k+ 2 + 3 4k+ 2 + 4 4k+ 2 1 4k+ 3 + 2 4k+ 3 + 3 4k+3 + 44k+ 3 1 4k
4mod5 feümod5 10 mod 5 _ Omod5 30 rnod 5 _ Omod 5 l OOmod 5
=Omod 5
de lo anterior se concluye que m es divisible por 5 si y sólo si el residuo de la división O de n por 4 es diferente de cero. Ejemplo 18 Si ~r es primo relativo con 7 demuestre que paran en N, el número ·m = x 18n + 18:r: 12n + 59x6n - 78 es divisible por 2 058.
134
Congruencias
Solución: Factorizando m tenemos que m = (x6n - l )(x 6n + 6)(x6n + 13) y mes divisible por 2 y por 3 (¡Justifíquelo!). Del teorema de Fermat tenemos que x 6 - 1_Omod7 de donde x6n - 1
Ü!!lod 7
+6
Omod 7
+ 13
Q_ od 7
x 6n
x 6n
así mes divisible por 73 , con lo que es divisible ;x>r el producto 7 3 · 2 · 3 = 2 058. O Un resultado que es natural y lógico pero 2 conocido como el " principio del
__
yez muy importante y útil, es el
palomar~ ._pri;:~~
:ocie las casillas", que damos a
continuación.
Proposición 4.8
(Principio del Palomar) 1 entonces al menos 2 palomas viven en la misl1:11
1 oalomas vhlen en n casitas
-
~¡¡a_
Ejemplo 19 Dados n enteros, pruebe que m:o ..:e e]os es múltiplo de n o se pueden
sumar varios de ellos para dar un múltiplo ·e
Solución: Llamemos a 1 , a2 , . .. . a11 Jos ,... c:e:-os. Si uno de e1los es múltiplo de n, no hay nada que probar. Supongru:10- que esto no ocurre, considere Si =
Los posibles restos de 12 di ·ision de los Si por n son solamente 1, 2, ... , n - 1 y como tenemos n número~ S:. por el principio del palomar, tenemos
a1
+ a2 + · · · + ªi·
que hay dos donde el residuo da el mismo Yalor. JI ámelos SJ y SJ +k, de donde SJ _
SJ+k mod n, es decir SJ+k - SJ = a1 +i
,
a1+2
,
···
+ ªJ 1 k es divisible por n.
Ejemplo 20 Sean a 1 , a.2 , ... , an+I enteros menores o iguales que 2n, pruebe que al menos uno de ellos es divisible por otro.
Solución: Note que ar =
Cr ·
2kr con Cr impar y menor que 2n, pues todo número
entero se puede escribir como una potencia de 2 por un número jmpar, véase ejercicio 2 de la sección 1.4. Dado que la cantidad de enteros impares menores que 2n es n
y tenemos n + 1 números, por e] principio del palomar tenernos que dos de estos impares se repiten, llamemos los ~ y c1 . Es claro que si k1 ~ kJ se tendría que u. J divide a ai y si ki < kí, ai divide a oJ.
Teoremas de Wílson, Fermat y Euler
135
Recordemos que la función cp de J?:uler para n E Z, se define como el número de enteros no negativos b < n tal que mcd(b, n ) = 1, y viene dada por: cp
.p(n)
Z-+N = card ({O
< b < n : (b. n)
= 1})
El siguiente teorema es la Generalización del "teorema de Fermat", y se conoce como el teorema de Euler ya que fue él quien lo demostró.
Teorema 4.9 (DeEuler) Si mcd(a, n) = 1 entonces aip(n)
=1 mod n.
Demostración: Consirler·e a1, a2,
... , aip(n) ,
los enteros positiYos ~enores que n y primos relativos con n. Sea a cualquier número tal que mcd(a. nJ = : . Como en la prueba del teorema 4.3, vemos que
son primos relativos a n y ao !:lay dos de ellos que sean congruentes entre sí módulo n. Por lo tanto, estos úlril:ios deben ser congruentes, con un reordenamiento, a los números a 1 , a2 , ... , a ip(n • es doc-ir aa¡ · aa2 · · · aacp .¡)
= a~{n)(a1a2 · · · aip(n ))
=
(a1a2 · · · aip(n))
mod n.
Además, se concluye que me¿ a 1 · a2 · · · ac,o(n) · n ) = 1 pues, para todo i tenemos que mcd(ai, n) = 1 y así, podemos aplicar la ley de cancelación de congruencias, teorema 4.2, de donde obtenemos
a"' 11
=1 mod n
y se concluye el teorema.
•
Este resultado es otro de los grandes aportes de Euler a la Teoría de Números, y es la generalización del teorema de Fermat pues para p primo tenemos que cp(p) = p- 1.
=
Ejemplo 21 Sabemos que -¡p(20) = 8; observe que 38 decir, a'P<20) 1n10d20.
-
1 = 6 560
= 328 · 20. Es
D
136
Congruencias
Ejemglo 22 Como 2756839 - 1 es primo, el may01 primo de Mersenne conocido, 215683 2 756839 - l. 3 - 1 es divisible por 2 O Ejemplo 23 Encuentre la factorización prima de 2: 1 - 1 = 2 047.
Solución: Sea p un primo que divide a 2 11 - l. Como r(22) = 11, se debe cumplir 1mod22. Así revisamos los primos p = 2-3. ~. 67 89, ... , de donde que p O obtenemos rápidamente la factorización deseada 211 - : = 2 0-!7 = 23 · 89. Ejemplo 24 Encuentre la factorización prima de 311 -
= 531 440.
Solución: Sea p un primo que divide a 312 - l. Como ..:{_3) = 12, se debe cumplir que p - 1mod13. Revisamos los primos p = 13. ~- 39... . de ellos solamente 13 y 73 lo dividen. Como 531440/(13 · 73) = 560. ro-:e-e:nos la factorización
1 = 531440 = 24 · 5 · 7 · 13 · 73. Sm e:::·- a:go podríamos intentar otra forma de factorizarlo, usando la tercera fórm ula ~c~:e. El número dado debe ser divisible por 3 1 - 1 = 2, 32 - 1 = 23 , 33 - : = 1 · 13, 34 - 1 = 24 · 5, 36 - 1 = (33 - 1)(33 + 1) = 23 · 7 · 13, de donde debe _e:- ';visible por 24 · 5 · 7 · 13, y como 531440/(24 • 5 · 7 · 13) = 73, obtenemos de e e":o la factorización anterior. deseada 312
-
o
Ejemplo 25 Sea a= 29999 + 28888 + · · ·+ 21111 +l. lostremos que a es divisible por 3, 11 y 31.
Solución: Resolveremos este ejemplo mostrando un resultado más general. Sea p(x) = x9999 + xssss + ... + ~:1111 + 1 y q(.r) = .rg '.r ' ... + .i: + 1 y observe que:
x 10 - 1 x11110 _
o sea
1
q(x)
(:r -
l )(:r9 + .z:8 + · · · -
.r -
1)
(x1111 _ 1)(:r9999 + .r _ .. . + .r1111 + 1) xio _ 1 .r1u10_ 1 (:r10)u11_ 1 :T _ 1 y p(.r) = .rllll _ 1 = ,yllll _ 1
Sean a: 1 , ... 0: 9 las soluciones de :r 10 = 1, diferentes de l. Como q (ai) = O, entonces 9
q(:r) =
IJ (.r i= l
a1 )
Teoremas de Wilson, Fermat y Euler
137
como p (a¡ ) = O, Vi, tenemos, usando el teorema del factor nueve veces: 9
p(x) =
I1 (x - ai) S(x), i=l
con grado(S)
= 9990.
De donde tenemos que
ITi=\(x - ~) S(x) = S(x).
p(x) = q(x)
Ili=l(x - a i)
Con lo que q(x) divide a p(x). Tratando de generalizar los resultados de congruencias de enteros a congruencias de polinomios, podríamos escribir: · V x E Z : (x 9999
+ x 8888 + · · · + x 1111 + 1) = Omod( x 9 + x 8 + · · · + x + 1).
así a= Omod(2 9 + 28 + · · · + 2 + 1) = Omod 1023, de donde a es divisible por 1023 y como 1023 = 3 · 11 · 31, se obtiene el resultado. O 510
Ejemplo 26 ¿Será el número 10
510
+ 5105
105
,
divisible por 11?
. Solución: Del teorema de Fermat sabemos que 510 es múltiplo de 10, tenemos que 5
5
10510
-
5 105
1mod11, y dado que 10
= lmodll.
Además, dado que toda potencia de 5 es impar, y 1O = - 1 mod 11 tenemos 510
10 de donde 510
10
510
105
+ 5105
510
= - lmod 11
= - 1 + 1mod11=Omod11.
es decir, sí es divisible por 11.
Ejercicios 4.3 l. Calcule el residuo de la división de (5454 2. \érifique que el entero (1340 + 40!)
101
+ 40!)45 por 41.
es divisible por 41.
o
138
Congruencias
3. Pruebe que, para todo entero n:
·ª ) n(n + 1) (n + 5) es divisible por 6. b) 5n 3 + 7n 5 es divisible por 12.
e) n5 - n es divisible por 30. 4. Pruebe que la suma de los cubos de tres números consecutivos es divisible por
9.
5. Sean a, b, e enteros consecutivos, donde b es u:: cubo perfecto. Pruebe que el
producto a"bc es divisible por 504. 6.
¿Cuál es el número más grande de elementos de c::i onjunto de enteros positivos entre .1 y 100 inclusive, que tenga la propieriac de que ninguno de ellos sea divisible por otro?
7. Sea p un número primo y sea r = (p - 1)/2. ~e~ que: (r!)2(-1y - -: ~_
8. Use el ejercicio 7 para encontrar las solucio::es ¿e: (a) x 2
(b) x 2
=-
l mod f 3
=-1 mod 17
9. Sea p un número primo. Pruebe que: a) b)
PI (aP+ (p - l )!a). PI (a+ (p - l )!aP).
c) 12 · 32 · 52 · · · (p - 2) 2 _ (- l )(p+I)/ 2 modp_
10. Pruebe que (a+ b)P
=aP + bP mod p.
11. Pruebe que 1 + a + a 2 mcd (a - 1, m) =l.
+ ··· +
a 'P(m)-I _
Omod m si mcd(a m)
= 1y
12. Pruebe que si {r1 , r 2, ... , r
=
~orema
139
Chino del Residuo
13. Pruebe que:
(1+ 1 + · · · + l)P _ (1+1+ .. ·+1) modp donde el número de números 1 es menor que p. A partir de este resultado, demuestre el teorema de Fermat. 14. Pruebe la otra dirección del teorema de Wtlso~ es decir: si se cumple (p - 1) ! - 1 mod p entonces p es primo.
=
15. Encuentre la factorización en factores primos de los números siguientes: a) 315
-
1
b) 324
-
1
c) 215
-
1
º- 1
d) 23
e) 260 - 1
16. Complete la siguiente tabla:
l 9'(n) 1 125! 13
24 -
1¡ 230 - 1¡ zoo - 11
17. Si a cumple (a, m) = 1, a se llama residuo cuadrático módulo m si la congruencia x 2 = a mod m tiene una solución. Si la congruencia no tiene solución, entonces a se llama no residuo cuadrático módulo m. Encuentre los residuos y no residuos cuadráticos con p = 5, p = 11, p = 43. 18. Pruebe que a es un residuo cuadrático módulo psi y sólo si a(p-l)/2 Compruebe este resultado para p = 5, 11, 43, 101.
_
1 modp.
4.4 Teorema Chino del Residuo Para terminar este capítulo daremos un teorema que garantiza, bajo ciertas condiciones, la solución de una cadena de congruencias lineales. Este es una generalización del teorema 4.4, y es conocido como el teorema Chino del Residuo. Los orígenes de este teorema se deben a Sun-Tsu (S. I d.c.), quien planteó e] siguiente problema:
140
Congruencias
"Encuentre los dos números positivos mínimos que tengan residuos 2, 3, 2 cuando se dividen por 3, 5 y 7, respectivamente". En :iotación de congruencias, este problema busca la solución simultánea de las siguien1e- congruencias: x
-
2 mod 3
(1)
x
-
3mod5
(2)
x -
2 mod 7
(3)
Para que x sea solución de la congruencia (1 ), x d6e :;:ertenecer al conjunto {2,5,8, 11 , 14, 17, 20. 23... }; x satisface (2) si x pertenece al conjunto {3, 8. 13. :
23. 2.8 y x satisface (3) si x pertenece al conjunto {2, 9, 16, 23, ... }. Así! 12 so: ión al problema planteado por Sun-Tsu se obtendría encontrando los dos pri:ae:os enteros que pertenezcan a estos tres conjuntos, estos son 23 y 128. 1 •• • }
Teorema 4.10 (Chino del Residuo) Considere las - 1
b1mod m 1 . b2mod m2.
X
brmodm. .
x
Suponga que cada pareja de módulos son primos er.ue st. es decir, para i =/= j se tiene mcd( mi , mi) = l. Entonces existe una solución :multánea para todas las congruencias que es menor que m 1 · m 2 · · · mr, y todas las soluciones son congruentes módulo m 1 · rn2 · · · mr. Demostración: Sea M = m 1 · m2 · · · mr y Nli = f /mi. es decir, Mi es el producto de todos los módulos excepto el i-ésimo módulo. Como todos los módulos son, tomados dos a dos, primos entre sí, tenemos que mcd(mi JV!i) = 1 y por el teorema 4.4 encontramos N i tal que M iN i 1 mod m¡. Definamos
=
X
= b1M1N1
+ b2M2 N2 + · · · + brlVlrNr
dado que mi 1Mi para i =I= j, tenemos que bi Mi Ni •
=Omod
mi para todo j =I= i. De
141
Teorema Chino cet Residuo
donde obtenemos
biMini mod mi bi m odmi así, x es la solución, pues cwnple cada una de ~¿s congruencias planteadas. Falta ver la unicidad módulo 1\1!, para ello suponga qce ; 5 o::a solución del sistema de congruencias dado, es decir, x _ bi mod fili y ~ - ~ :nod ~ para todo i = 1, .. . , r. Como - es una relación transitiva, tenemo- __e = _ y mod mi para todo i = 1, . .. , r. Usando el teorema4.1 parte e) con ~ 0 =1. decir, las soluciones son congruentes módulo
- -;.
e x - y mod (m 1 · · · mr), es •
·o a seguir para encontrar las soluciones del sistema de ecuaciones D io:-~..:. .Q ::..::e--.:._es. Por ser un algoritmo explícito, podemos elaborar Uil programa
_=e-~
El método expuesto en la demo_stració3 _:e:_ ::~:=::-:2 rnrior se desarrolla en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 27 Resolvamos el problema de S:::::- ~ ia::reado al inicio de esta sección. Solución : Es claro que 3, 5 y 7 son, toL::~cs e:: ~ej as, primos relativos. Tendríamos que lvf = 105, M 1 = 35, Jf 2 = 2: :: _,.: 3 = 15. Para encontrar N 1 se debe resolver 35N1 1mod3, esto es 2_' .-1 : mod 3, de donde obtenemos que E!OC ~' esto es N 2 _ 1mod5, de donN 1 = 2. Luego debemos resolver 2LY2 1mod7, esto es de obtenemos que N 2 = l. Por último se debe resolver 15N3 N 3 _ 1mod7, de donde obtenemos qc e _' ·3 = l. Así, la solución del sistema de congruencias sería:
=
X
=:
=
2 · 35 · 2 - 3 · 21 · 1 + 2 · 15 · 1 233
y como todas las soluciones son congruentes módulo M = 105, tenemos que las dos mínimas soluciones positi as son 23 y 128. En general, todaS las soluciones de
142
Congruencias
o
este sistema tienen la forma 23 + l05n con nen:.
Ejercicios 4.4
=1
1. Encuentre los tres menores enteros positivos .. que satisfagan simultáneamente las congruencias: x
mod 3, x _ 1 mod 5 x _ 1 mod 7.
2. Resuelva los siguientes sistemas de congruencias: a) x _ 3mod4, x
=5mod 7, x =7mod 9.
b) x _ 2mod3, x - 3mod5, x - 4mod c) x
l ~.
=12mod31, x =87mod 127, x _ '9:
x
5mod 16.
:L~ 255 .
3. Encuentre el menor entero positivo cuyo residuo e_;i la división por 11 es 1, en la división por 12 es 2 y en la división por 13 e- 3. 4. Considere las siguientes congruencias: a1x
b1 mod m 1 .
a2x
b2 mod m2.
Suponga que para i =/: j se tiene mcd(m i . m 1 mcd(ai, ·mi) = l.
=1
aeemas, para cada -i se tiene
a) Justifique porqué podemos encontrar c1 . c2 ..... e,. tales que a.ici
bi mod n 1i· b) Sea ]\,f = m 1 · m2 · · · ·m r y Ali= Al/m 1 . Justifique porqué podemos encontrar N1 , N2 , ... , Nr tal que Ali S 1 1 mod m,.
=
c) Defina
y pruebe que :r es solución y que es única módulo JI.
5. Resuelva los siguientes sistemas de congruencias :
léorema Chino del Residuo
143
=2mod4, 5x - 3 mod 7, 8x - 7mod9. b) 5 =3mod 6, 4x - 1 mod 7, 5x =9mod11. a) 3x
6. Elabore un programa, que aplique el algoritmo dado en la demostración del teorema 4.10 y el ejercicio 4, que resueh·a sistemas de congruencias lineales. Córralo para obtener las soluciones de los sistemas de los ejercicios anteriores y compare los resultados.
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SOLUCIONES A EJERCICIOS Aquí se presentan las respuestas a muchos de los ejercicios propuestos en el texto. Varias de estas soluciones se dan con cierto grado de detalle con el propósito de que este material sea de ayuda eficiente para el estudiante. De todas maneras, el lector debe tratar de encontrar las Justificaciones de los diversos pasos que se proponen en cada solución.
Ejercicios del Capítulo 1 Sección 1.2
l. Se hace por inducción. Se probará que (r - 1)
n
E ri = rn+i -
l . Sin= 1 es
i= l
claro que (r - l )(l +r) = r 2 - 1. Si suponemos que es cierto para n, probaremos paran+ l.
(r- 1)
n+l
n
E ri = (r - 1) E r i + (r -
l )r n+l
= rn+l _ 1 + rn+2 -
r n+l
= r n+2 -
l.
i= l
i=l
Por lo tanto es cierta \::/n E N . 2. En simbólos
~i 3 = (~ ir
Primero notemos que
~i =
n(n + l )_ Por
2 inducción, si n = 1, es claro. Si suponemos que se cumple para n probamos para n + l.
~ i3= t 3. A
i3+ 1n+ l )3= ( n(n2+l )r + (n +l)3= c n+ l )2(n +2)r
=J 0 pues a · b
elemento.
E A y por la proposición 1.1 este conjunto tiene un primer
148
Soluciones a ejercicios
4. Defina C = {x E N : b < x , Vb E B} . C' # 0 pues m + 1 E By por la proposición 1.1 este conjunto tiene W1 primer elemento. Sea M = min B, entonces M - 1 E B y es el máximo. 5. Usando el ejercicio 4. Note que 1 E A, y a + 1 > e para todo divisor común e de a y b. Entonces tiene elemento máximo. 6. Por casos. Si r= O, n = qb, n = (-q )(-b -n = q(-b) y -n = (- q)(b). Si r >O. n = qb + r. n = (-q )(-b) + r y - = -q + l )b + (- b - r) si b < O
o -n = (- q - l )b + (b- r) si b >O
7. a= 2n + 1yb =2m+1, a2 - ¡¡. = ( - ~ . - b) = 4(n + m + l )(n - m). Si n y m son ambos impares o pares entonces "'; - m es par y a2 - b2 = 8k. Si
n es par y m es impar n + m - :. es ;m y tambien a'2 - b2 = 8k.
8. a = 2n + 1 entonces a2 igual a 12(n2 + 3n
...L
(a - _
2 -
(
-
~
- -
:
= 3a 2 + 12a + 21 que es
+ 3).
9. Si n es múltiplo de 3 entonces n ..l..} o n+ 2 1es par. Por to que n(n+ l)(n + 2) =
6k. Si n = 3s + 1 entonces n ,- 2 es múltiplo de 3 . . n o n + 1 es par por lo que también n(n + l )(n + 2) = 6k. Si n = 3s - 2 es ' imilar 10. Por inducción. n = 1, 42 n+l + 3n+2 = 91 = 7 · : 3 Si 42n+ l + 3n+ 2 = l3k entonces 4 2n+3 +3n+ 3 = 424 2n+l +3 3n+2 y como 13k-3'lr 2 = 42n+l podemos sustituir 4 2n+3 + 3n+3 = 4 2 (13k - 3n+2 ) + 3 3'11•2 = : 3 · 16k - 13 · 3n+ 2 . Por lo que 42 n+l + 3n+2 = 13k 'Vn E N .
11. Si 3 Jn entonces n + 1 o n - 1 es múltiplo de 3 por lo que 3 ((n - l ) (n + 1)).
12. Si n 5 tiene el mismo dígito final que n es por que 10l(n5 - n). Sea n = lOa+ u con u el dígito de las unidades. Note que n 5 - n = n(n + l )(n - l )(n2 + 1) si u= 1 o u= 9 o u= O los factores n - 1, n + 1, o n son divisibles por 10. Si u= 2 o u= 8 el factor n 2 + 1 es divisible por 5 por lo que n(n2 + 1) es un múltiplo de 10. Si u = 4 o u= 6 el factor (n + l ) (rz - 1) es múltiplo de 5, por lo que n( n 2 n(n2
-
1) es un múltiplo de 10. Si u
+ 1) es divisible por 10.
14. Representen en la base b: (a) 1845 = (735)16
=
5, el factor n 2 + 1 es par, así,
149
Soluciones a ejercicios
(b) n = 1845 = (8D5)b=-16· (c) n = 9372 = (22 234)s. (d) - 9 372 y b = 8 no existe represen:ación. (e) 2 467
=
(18 547)-10·
(f) 4 488 = (1012020)4. 15. A = {n E N : n = (amam-1. .. ao~ = ama.m-1.. . ao)- 2} es el conjunto de todos los números que en las ?OS:-: -es rnpares tienen un cero, el primer elemento es el O, no tiene ele:ne::~ ü. Sección 1.3
l . Si mcd(n. 6) 12l(n2 - 1).
=
l~
entonces n =
5:~ - :_ o~
=
6k + 5 y en cualquier caso
3. Si mcd (a>b) = 1 entonces sea d = ~fa - !J. a - b), así, a+ b = kd y a - b = md con k m E Z, sumando a - ;; ..!.. b) = 2a = d(k + m), y restando (a+b)-(a-b) = 2b= d "- m ..:_eesraforma d l2a ydl2bdedonde di mcd(2a, 2b) como mcd(2a 2b) = 2mctl a. b1 = 2 entonces dl2. Por lo tanto d = 1od = 2.
'ª -
1
5. Sean a > b enteros positivos con mcci a. a = 1, Sea x > ab entonces x = abk + r con O < r < a < b, sabemos que existen s, t E Z alguno de ellos negativo tales que as + bt = l . Si suponemos que s < O entonces t > O. Multiplicando r = asr+ btr entonces x = ab!-- - asr+ btr = a(bk+ sr )+b(tr) que son enteros positivos. 7. Usando el algoritmo de Euclides calcular el máximo común divisor para las
siguientes parejas de números, calcule además el mínimo común múltiplo. (a) mcd(2456, 1234) = 2, mcm(2456, 1234) = 1515 352
(b) n1cd(5096, 7098) = 182, mcm(5096, 7098) = 198744 (c) med(12321, 8658)
= 333.
.
f
~
150
Soluciones a ejercicios
mcm(12 321, 8 658) = 320 346 (d) mcd(156, 1740)=12,
mcm(156, 1 740) = 22620
+ 1) = 1, mcm(n, n + 1) = n(n + 1) mcd(2n - 1, 2n + 1) = 1,
(e) mcd(n, n (f)
mcm(2n - 1, 2n + 1) = 4n2
-
1
10. Suponga que b > O y d > O tenemos q e :J
=
d
b
:;:rrcd(b. d) Y B = mcd(b, d)
entonces aD + cB ad ....3 ad cb a e ---- J._ - -+-- -+m cm(b, d) - mcd(b d) · mcm(b. d) ' mre(i. J • ::!!Cn!(o. d) - bd bd - b d
12. Sean x = 2n + 1 y y = 2m - 1 e:r:n:._ees - - .. " = -:(n 2 + m 2 + n + m) entonces mcd(x 2 + y2. -! :ncd ~- 2 1 = 2.
+2
13. Si suponemos que si exis1en enteros x . y ta~e"5 ¿:._e : - = 100 y mcd( x y) = 3 entonces existen s y t tales q11e xs + yr, = 3 su.s._. . .:::~te-2 ·o y = 100 - x tenemos
x(s - t) + lOOt = 3 de donde 31mcd{x, 100 pero es-:o mdica que 3j100.
16. 10 y 100, 20 y 50.
18. Basta notar que n = 1 es un cero de ambos polinomio po: lo que ( n - 1) 1( n k _ l ) y también si k es par k
para todo k > Opar
> 2y n
19. Por contradicción si mcd(a., e)
= -1 es una raíz por lo que (n
+ l )l (nk - 1)
= d > 1 entonces da, y d e entonces dlb, luego
di mcd(a, b), contradiciendo lo supuesto. Sección 1.4 l . Considere 60
= 6 · 10 = 2 · 30 y 2 6.
10 y 30 E P , y son primos pares.
2. Sea n E N. Del TFA, si 2ln el número se puede escribir únicamente como 2ª · (pf 1 • • • p~k) y como (pf 1 • • • p~k) es un número impar, se tiene lo buscado. 4. Sean E N. Del TFA, sabemos que n
= pf
1
• • •
p~k ~
escójalos de manera que a i
Soluciones a ejercicios
(i = 1 ... s) sean pares y ai
=
151
2ri + 1para i =s+ 1, ... , k. Podemos entonces
escribir
Entonces n = m 2p, donde pes un produ_cto de primos diferentes.
6. 6, 24, 496. 9. Usando los teoremas 1.14 y 1.15 se tiene: (a) mcd(l 440, 4 725) = 5 · 32 ; mcm(l '! :O. ~ 72-5) = 25 . 33 . 52 . 7
(b) mcd(3024,6720) = 24 · 3 · 7; mcm 302~. 6 ;_0) = 26 · 33 · 5 · 7 (e) mcd(73 260, 43 328) = 22 · 11 · 37· mcm(73 260, 43 328) = 23 · 32 · 5 · ::. · :_3 . 3(d) mcd(5525 , 13585) = 5 · 13; mcm( 5 525. :_3 .- - = 52 · 11· 13·17· 19 (e) mcd(371293. 388 531) = 132 ; mcm' 37:. 2930, "" 5311 = 11 2 · 135 · 19
(f) mcd(93 347. 67 507) = 17 · 19· n:c::: 93 3-;7. 67' 507) = 11 ·19 · 173
Ejercicios del Capítulo 2 Sección 2.2
1. (a) x = 52 - 2n; y = - 104 + 5n (b) x = 111 - 7n; y = - 777 + l5n (e) x = -5731 - 63n; y= 3647 + 40n (d) x
= 1062 -
19n; y= -2301+4ln
(e) S = 0; (f) x = - 270 - 50ln; y= 11340 + 12n (g) :r = -1000 - 98n; y = 1000 + 97n
(h) x = - 4 - 3n; y
=
( i)
;i:
U)
s=0
= 4 + 2n
184 - l 9n; y = - 207 + 17n
152
Soluciones a ejercicios
1
2. (a) 1 +
4+
1+
1
1+
1 1
1
1+2
1
(b) 2 + 25 (e) 1 +
1
- - -1- 7+--1 1+ 1
1+2
(d) 1 + (e) 1 +
1
2+1
3
2
= 52(mod 2); 2y = 52(mod 5 l5x = lll(mod 7); 7y = lll (mod5)
3. (a) 5x
(b)
1
(c) 40x
= 521(mod63);
(d) 123x (e) 5x
= 531(mod57);
= 52(mod 2);
2y
63y
=
57y
521 (moc-1>)
= 53 l{mod12-3)
= 52(mod 5)
{f) 5x = 52(mod 2); 2y = 52(mod 5) (g) 5x = 52(mod 2); 2y = 52(mod 5) (h) 5x = 52(mod 2); 2y = 52(mod 5) (i) 2y = 52(mod 5); 2y = 52(mod 5)
U)
2y = 52(mod 5); 2y = 52(mod 5)
4. e= 3 pues es el máximo común divisor S. Sugerencia: Para ambas implicaciones use el hecho de que n1cd( a., b) debe dividir a la parte constante. 6. Sugerencia: Basta probar que mcd( a, b)
< mcd( a., b, e)
Soluciones a ejercicios
Sección 2.3
l . Sugerencia: Use inducción sobre n. 2. (a) x
= 5n + 3s + 34;
y
= -4 -
3
7
3-1~
z
= 2s + 34,
n, s E Z.
(b) x = -518 - 5s; y= 259 - 3n - 3s· z = 37 + 2n, n, s E Z. (c) S
=0
(d) x = 6 - s; y= s - n; z = n .
~E
Z.
(e) x = 8m + 3n + 2; y= m; z = .,.._ (f) x
= -m;
y
= 5m + 3n -
(g) x = 7 + 4s; y
7· :_
= 2n -
= 7 + 5s - 5n; :
7.
= 3ñ. n . s E Z.
Sección 2.4 1. Analice las distintas posibilidades ó~ - :: ..; y ase congruencia módulo 4 para 4 concluir que en todos los casos d ¡=2. _ Sección 2.5 1. Sugerencia: Use las condiciones para ser so
·en de la ecuación.
2. Sugerencia: Use congruencia módulo -t. 3. Sugerencia: Por contradicción.
4. Sugerencia: Por contradicción. 5. Sugerencia: Por contradicción se concluye que m n tiene un factor común distinto de 1. 6. Inmediato de las propiedades de las temas pitagóricas.
154
Soluciones a ejercicios
Ejercicios del Capítulo 3 Sección 3.2 1
l. E2(19!) = [ : ] + E 3 (19!)
=
[~] + [~] + [~:]
= 9+4+2+ 1 =16
[~] + [~] = 6 + 2 = 8
1 E5(l9!) = [ :] = 3 2. Si x E Z. entonces - x E Z y por lo tanto [x] = x y [-x ] = -x, de modo que [x] + [-x] = O. Si x ~ Z, sea q la parte entera de x. Sin perder generalidad podemos suponer que x > O. Consideramos x = [x] + r , donde O < r < 1, entonces -x = - [x] - r. Como O < r < 1 entonces
O> -r > -1 => - [x] > - [x] - r > - [x] - 1 => - ([x] + 1) < -x < - [x] => [-x] = - ([x] + l); de manera que [x] + [- x] = -1.
5. Supongamos que x = p
+ r, donde p es la parte entera de x y res su parte
fraccionaria. Lo mismo, y = q + s. Distinguiremos tres casos. Caso 1: k < r < 1 y ~ < s < l. Entonces 2x = 2p + 2r, 2y = 2q + 2s, x + y = p + q + r + s; en este caso se tiene que 1 < 2r < 2, 1 < 2s < 2, 1 < r + s < 2, por lo tanto [2x) = 2p + 1, [2y) = 2q + 1, [x +y] = p + q + l. Así, [2x] + (2y] = 2p + 2q + 2 > p + q + p + q + 1 = [x] + [y] + [x +y]; se tiene la desigualdad. Caso 2: Si ~ < r < 1 y O < s < ~ obtenemos, razonando como antes, que [2x] + [2y] = 2p + 2q + 1 > p + q + p + q = [x] + [y] + [x +y] (tal como queríamos) Caso 3: Si O < r < ~ y O < s < ~ obtenemos [2x) + [2y) = 2p + 2q = p + q + p + q = [x] + [y]+ [x +y] y queda probado lo que se quería. 494, entonces 2494 es factor de 500!. Por otra parte, E 3 (500!) = 247, esto quiere decir que 3247 es factor de 500!. Se deduce que 2494 . 3247 = 247 (22 ) • 3247 = 12247 es factor de 500!. Concluimos que el máximo valor de ·m con tal propiedad es m = 247.
6. E 2 (500!)
7. n
= 80.
=
155
Soluciones a ejercicios
8. Un dígito final igual a O lo produce un factor 10, o, de modo equivalente, un
factor 2 por un factor 5. Lo que el ejercicio pide es entonces ver que 222 · 522 es
factor de 95!. En otras palabras, hay que ver que E 2 (95!) > 22 y E 5 (95!) > 22. Pero usando la fórmula dada por el teorema 3.4, obtenemos que E 2 (95!) = 89,
mientras que E 5 (95!)
= 22.
9. Para determinar la descomposición prima de 125! basta determinar Ep(125!) para todos los primos p que son divisores de 125! (desde luego, son menores que 125). Usando el teorema 3.4 tenemos que: E 2 (125!) = 119, E 3 (125!) =
59, E 5 (125!)
31, E7 (125!) = 19> E 11 (125!) = 12, E 13 (125!) = 1, todos los restantes primos menores qu"" 125 aparecen con exponente 1 en la decomposición prima de 125! . De manera que
125! =
=
2119 . 359 . 531 . 7 19 . 1112 . 13 . _¡ . ::9 . 23 . 29. 31 . 37 . 41 . 43. 47 .53. 59 . 61 . 67. 71 . 73 . 79. 83, . 9. 97. 101 . 103. 107. 109. 113
1O. Tenemos que
Es((5r - 1).) =
Pero [
f_
-_ 1] + .. · + [5r5r-11] ;J
=r
-
5
5r ~ 1] = [sr-l - 1 + g] = 5r- 1 -
-
(1)
2
l. Del mismo modo se obtiene que
[ 5r 5~ 1] = 5r-2 - 1, [5r 5~ 1] = 5r-3 - 1, .. ., ¡s;r-=/] = 5r-(r-l) - 1 = 51 - 1. Sustituyendo en ( 1) tenemos que
Es((5r - 1)!)
5r-l - 1 + 5r- 2 - 1 +5r- 3
-
1 +···+51
-
1
5r- l + 5r- 2 + 5r-3 + ... + 51 - (1+1+ . .. + 1) (r - 1 veces)
5r-l + 5r- 2 + 5r-3 + ... + 51 + 1 - (r - 1) - 1 5r - 1 -- - r 4
5r - 4r - 1 4
156
Soluciones a ejercicios
11. Tenemos
Ep((ab)!) = [ ~]
+
[~] + ... + [~] ,
para algún s. Pero por el teorema 3.3, parte l.
Pero
[~ J + [~ J +
··· +
Ep((ab)!) > aEp(b!).
12. Sean k
[:s J > Ep(b! ) (¿por que?
y por lo tanto se tiene que
k + 2, .. ., k + n, enteros co::isecutivos. (k + 1) (k + 2) · · · (k + n); hay que probar que n '. :.J.
+ ·1,
Sea M
=
Observe que M
=
1 · 2 .. .. · k · ( k
+ 1) ( k + 2) .. . (',. -
1 ·2 ..... k
)
(k + n) ! k!
Entonces
M n!
(k+ n). k!n! ·
De acuerdo con el ejemplo 8 de la sección 3.2>~e tiene que
Esto significa que
(kk¡;)' es un entero.
!f es un entero y por lo tanto _'.J es divisible por n!.
13. Por inducción sobre y. Si y = 1, entonces m = x y x! es divisible por 1 (x!) . Suponga que (xy)! es divisible por (x. P y en tonces debemos probar que (x(y + l ))! es divisible por (x!)Y+1 . Tenemos que (xy) ! = k(x!)Y (por la hipótesis de inducción); por otra parte: (x (y+ 1)) !
((xy) + x) ! = (xy)!(xy + l ){xy + 2) · · · (xy + x) k(x !)Y(xy + l )(xy + 2) · · · (xy + x ).
Pero ( xy + 1) ( xy + 2) · · · (xy + x) es el producto de x enteros consecutivos, entonces, por el ejercicio anterior ( xy + 1) (xy + 2) · · · ( xy + x ) es divisible por
x!yporlotanto (xy+l) (xy+2)· · ·(xy +x) = r(x!). De esto concluimos que (x (y+ 1))! = k(x!)Yr(x!) = kr(x!)Y+ 1 . Esto dice que (x (y + 1))! es divisible por (x!)Y+l.
157
Soluciones a ejercicios
14. Sea q >
[~ Jp tal que p¡q.
En este caso>n > q . rp >
[~ Jp *
Como [ ~] es el mayor entero tal que í ~ - p < n y siendo r > [ q = pr > n . Esto es, q no estaría en la lista de números 1,... , n.
r
>
[~J.
i] entonce
17. (a) Si m < x, entonces la desigualdad se cumple para cualquier n. En efecto m
* [': J =
(b) Si m
Oy por lo tanto
[m] + [n]x n-;
·n- lx ·n] < [nm] -;-
= n·O-r - X -
=
= x y n < x la desigualdad ta:nbién se cumple pues
n[;J + [;) = n·: - O= n = [nj = [n;i] (e) Si m = x y n
> x la desigualdad no se cumple:
·n [m) + (n)x = n · 1 -r lxJ >n-
n -;;-
1>n
= (nm) --;-
(d) Si m > x, la desigualdad se cumple para cualquier n. En efecto, sea m = kx + s, O < s < x:
Mientras que
[:J +
n [;]
[:] + n
[:J +
[ kx x+ s
n ( [k +
Comos < x, el caso (a) nos dice que
l
:J) [:J + =
nk + n
[;J
[s; J > [:J + n[:J
y entonces
En conclusión la desigualdad se da siempre que m se tiene además n > x.
# x y cuando siendo m = x
158
Soluciones a ejercicios
Sección 3.3
= 4, r(2352) = 30, o-(125) = 156, o-(2J52) = 7068.
l. r(125)
2. r(116424) = 996, a(l 16424) = 410 400. 3. n = 12
4. n = 144
5. (=}) Seam = (n+l)+(n+2)+· · ·+(n+r) (la suma de r enteros consecutivos), entonces
m=rn+ r(r~l) =r ( n+r; l )
=r(2n +; +l)·
Si m, fuera una potencia de 2, entonces m = 2! y por lo tanto 2 r ( n
+; +1) = 2• ~
r(2n -'- r + 1) = 2•H
Si r es impar entonces 2n + r + 1 es par y el producto r(2n + r + 1) seria impar; del mismo modo sucede si r es par. Es decir r 2n - r + 1) no puede ser de la forma 2k+l y por lo tanto ·m no puede ser una potencia de 2. ( <=) Ahora supongamos que m no es una potencia de 2. Podemos ecribir m = kp, donde p es el menor primo diferente de 2 que divide a m, entonces m = (k -
[~]) + · · · + (k - 1) + k + (k-L 1) + ·· · + ( k +
[iJ)
que son enteros consecutivos. 6. Escribamos la descomposición prima de n = divisores es
p;• p;
2
r(n) = (r1+1) (r2 + 1) · · · (rt + 1)
· · •
p;·, . Su número de
Si n es un cuadrado entonces todos los r i son pares y por lo tanto los r i + 1 son impares y el producto anterior, es decir r (n) es impar Si n no es un cuadrado, entonces algún ri es impar y por lo tanto r 1 + 1 es par Al multiplicar esto por cualquier otra cosa se obtiene un número par y por lo tanto r( n) es par.
159
Soluciones a ejercicios
7. Sea n = p~ 1 p; 2 · · · p;t, o-(n) impar => pr1 +l _ l pr2+l _ 1 1
P1 - 1
. 2
P2 - 1
...
prt+l _ 1 t
Pt - 1
= (p~ 1 +
.. ·+p1 + 1) ... (p;t+· . ·+Pt+l) es impar
(2) Caso 1: Todo Pi =!= 2. En este caso p1 - 1 es par (pues los Pi son primos distintos de 2), por lo mismo pf es impar para cualquier entero positivo s. Todos los factores en (2) son impares pues su producto es impar y como cada término en (p~; + · · · + Pi + 1) es impar, la unica forma de que esta suma sea impar es que haya un número impar de términos; pero el número de términos en esta suma es ri + 1 y por lo tanto ri + 1 es impar. Es deci: r1 es par para todo i. En conclusión, n es un cuadrado. Caso 2: Algún Pi = 2. Sin perder generalidad supongamos que p 1 = 2 (todo los otros son diferentes de .son impares). Igual que antes tenemos que ri es par para todo i = 2, ... ,t. Ahora, si r 1 fuera par tendríamos igual que antes, que n es un cuadrado~ pero si r 1fuera impar entonces n sería el doble de un cuadrado.
8. Inducción sobre n. Para n= 1 se tiene T(l ) = 1 =
[t] .
Supongamos que la igualdad es válida para n y demostremos su validez para n + 1. Tenemos por hipótesis de inducción que
Entonces
T(l )+ T(2 )+ ···+T(n)+T(n+l)=
[~] +
[;J + .. ·+ [:J +T(n+ l )
Ahora, si si(n + 1) entonces [n!i] = [1;] + 1, mientras que sis entonces [ 1 J = [ 1¡ J . Según esto, tenemos
n;
[n~ll +
f (n + 1)
[n;l] +· ·+ [n: l] + [::~]
[~] + [;] + ... +
[:J +
x,
donde .r es el número de divisores de n+ 1, es decir x = T( n + 1) y esto prueba Jo pedido. 10. 0-3(6)
= 252, 0-2(7) = 50, 0-3(12) = 2044, 0-4(11) =
14642.
160
Soluciones a ejercicios
Si P1, ... , Pt son los divisores de n entonces
cr1(n) cro(n)
Pi+···+Pi = P1 + · · · -r Pt = cr(n) p~+ ···+p~=l + .. ·+ l = T(n)
12. Si p es primo, los divisores de pr son 1, p . .... p - 1 . pr, entonces
12 + p2 + ... + p2 r- l) + p2r
1 + (p2)1 + . ..
T
(p?y-1 + (p2y
(P2t+1 - 1 p2 - 1 p2r+2 _ 1
p2 - 1 . Si la descomposición prima de n es n = p?p;2 multiplicativa, por el ejercicio anterior, entonces
cr2(n) =
p~r 1 +2
_ l
Pi2 - 1
p~r2+2 _ · 2
P2 - 1
1
• • •
Pi~t+2 ···
Pf -
p;
1
_ 1 1
dado que cr2 es
,
·
13. Si fes multiplicativa y diferente de O para todo n entonces j(l ) j(Í)j(l) y por lo tanto f (1) = l.
= f(l · 1) =
15. Sean m y n tales que mcd(n, m) = l . Si los diYisore~ positivos de n son ni (con i = 1, ... , t ) y los de m son m 1 (con i = 1. . . . . emonces todos los divisores positivos de nm son los productos n{ mi. Entonces i=l, ... ,l j = L. ... s
L
i=l.. .. .t j=l.. ...
L
cr(ni )
i=L. ... t
cr(m 1 = F (n) F (m)
j==l.. ...s
Es decir, Fes multiplicativa. Sección 3.4
l . µ(25) = O, µ(60 ) = O, µ.(715)
=-
1.
2. F(l) = ¿ dll T(d ) = T(l) = 1, F(2) = ¿ dl2 T(d) = 1(1) + T(2) = 1 + 2 = 3, F(6) = ¿dj6 T(d) = T(l ) + T(2) + T(3 ) + T(6) = 1 + 2 + 2 + 4 = 9.
161
Soluciones a ejercicios
4. Inducción sobre n .
Para n= 1 se tiene f(l) = F(l ) = µ(l)F (l ) = L:dll µ (~) F(d). Supongamos que la igualdad es válida para todo k con 2 < k < n y demostrémosla para n . Sean l. d 1 . · · ·. di: n los divisores positivos de n , entonces
F(n )
f(l ) + f(d1) + · · · + f (di )+ f (n) ~
f(n )
F(n) - f(l) - f (d1 ) - · · · - i \d1) F(n) -
I> G)F (r) - L u(;) F(r) - · · · - L µ(~) F(r)
rll r (por hipótesis de inducción)
:.!1
r ld2
L µ(:) F(d). din
5. F(pr) = j(l ) + J(p) + J(r}) + ... + j (pr ) ~ F (pr-1 ) = j (l ) + J (p) · · · + f (pr- i ), entonces
rr
+ j (p2) +
7. De acuerdo con el teorema 3 .12 tenemos que
L µ (d) T(d) =
(1 _ T(p)).
pin
din
p primo
Pero para todo p primo se tiene que T(p) = 2 y por lo tanto la expresión anterior se convierte en
rr pin
p primo
(1 - T(p) ) =
rr
(1- 2) =
pin
rr
(-1).
pin
p primo
p primo
rr
8. De acuerdo con el teorema 3 .12 tenemos que
¿ ¡t (d) O'(d) =
(1- O'(p)).
pin
p primo
Pero para todo p primo se tiene que O'(p) = p + 1 y por lo tanto la expresión
162
Soluciones a ejercicios
anterior se convierte en
IJ (1- u(p)) = IJ (1- p p in
IJ (-p).
1) =
n
pin p primo
p primo
p -=::::o
9. Tenemos que
s~ nn => ~-
µ' (n) = "'µ (d) = { 01
Sl
¿_
} = g( n ).
din
Entoncesµ"(n) = L:dln g (d) = g(l) + g( di ) + ··· - ... (t!~ . donde d 1 , .. . , dt son los restantes divisores de n, pero según lo anterio~ _ = 1 y g( di) = · · · =
g(dt) = O y por lo tanto µ"(n) = 1 para todo n . De a~~ :enemos que
µ"'(n) =
L µ" (d) = L 1 = 1(n). d jn
d in
11. F(n) = n 2 =} f(n) = L:dln µ(d) (~) . Según esto :er:emos : 2
/(5)
µ(l)
!(6)
µ(l)
G) + G) 2
µ(5)
2
= 25 _ : = 2~.
(ª)? 2 + 3 (16)2 + µ(2) (6)2 µ(3) '
~ µ(6)
2 (6) 6
36 - 9 - 4 + 1 = 24.
14. Tenemos f * g = ¿din f (d ) g (~) . Pero al hacer la división ~ para todos los divisores d de n se obtienen nuevamente todos los divisores y del mismo modo cualquier divisor se puede escribir en la forma
~
para algún divisor d. Esta
observación implica que podemos escribir
1 *g =
L 1
Por lo tanto * es conmutativa. Para la asociatividad tenemos
d~
~
...... --.._ ....
Soluciones a ejercicios
LL! (r)g U) h G) '
(3)
din rjd
mientras que
J * (g * h) =
L J(d) (g * h) ( ~) = L {¡ (d) [ L g (r) h ( din
din
rln/ d
:d)] }
LL! (~) g(r)h (~)
(4a)
din rjd
Y las expresiones (3) y ( 4a) son iguales. 15. Sean L d 1
... ,
dt, n los divisores de n, entonces
¿¡ (d)e (~) din
f(l)e(n) + f(d¡) e (
~ ) + · ·· + f(d,)e (:) + f(n)e(l)
O+O +·· ·+O+f(n)
f (n) Puesto que e(l ) = 1 y e(s) =O para todo s> l. 16. Tenemos
(µ * z )( n)
=L
µ ( d) z
G) = L µ (d) = { ~
~n
:: ~ > ~
}
= e( n).
d~
Sección 3.5
l. s (con s < t) y los demás no son O, entonces
d
= p~
p~2
1
• • • p~s.
=
Tenemos
P1r1-1 P2r2-l · · · Ptrt-1 ( P1 -
1)(P2 - 1) · · · (Pt _._ 1) Y
164
Soluciones a ejercicios
l )(P'2 - 1) . . • (Ps - 1),
p~l - lp~2-l ... p~s-l(Pi -
lo cual significa que 'P(d) l'P(n). J. El número n 0 = 1018 sirve. En efecto, suponga que n
mayor que lOldivide a n entonces cp(n)
>
>
101 8 . Si algún primo 100. Si no es así, entonces n debe
tener al menos 8 divisores primos, no necesariamente diferentes; por lo tanto
cp(n) > cp(28 ) = 128.
5. El número 4 se puede descomponer en las siguientes formas:
4
(5 - l) = cp(5)
= cp(2 3 ) = ;p( (2 - 1)(5 - 1) = 'P(2. 5 = ~ (10) 2(2 - 1)(3 - 1) = cp(22 . 3 = ..c(12) 22 (2 - 1)
4
4 4
Así, el conjunto de soluciones de la ecuación propcesta es {5, 8, 10, 12}.
= N , tuviera un conjunto infinito de soluciones, entonces el conjunto { x E N / N, y para cualquier n0 existiría n > no tal que 'P(n) = N < L .
6. Si la ecuación 'P(x)
Esto contradice el hecho de que
'P'(n) =
L .p (d) = n . din
entonces 11
L
din
din
8. De acuerdo con el teorema 3.12 tenemos que
L µ (d)
pin pprimo
Pero para todo p primo se tiene que 'P(p) = p - 1 y por lo tanto la expresión
165
Soluciones a ejercicios
anterior se convierte en
II (1 -
=
II (1 - p + 1) = II (2 pin
Pin
p primo
p).
pin
p primo
p primo
10. En primer lugar, 1, entonces este número es par Ahora si n no es de la forma 2r y si escribimos la descomposición prima de n como n = p~ 1 p;2 • • • p~'t, entonces al menos hay un primo impar en la descomposición, por lo tanto
= 2r
y
= 2r-l
Pero 21• =!= 2r- 1 para todo entero positivo r. Por lo tanto, ningún número par es solución de la ecuación. En resumen, el conjunto solución es el conjunto de los números impares (positivos).
Ejercicios del Capítulo 4 Sección 4.2
l . El conjunto a) si es. El conjunto b) no es. 2. Ambos conjuntos lo son. 6. Es fácil verificar que: O E O, 36 E I, 32 E 2, 3 E 3, 34 E 4, 3 5 E 5, 3 3 E 6. Además, si i =/= j, x + 3i =tx +3J mod 7 y como {O) 31, 32 , .. . , 36 } es un sistema completo de residuos O ~ 3i mod 7, para i = 1, . .. , 6 de donde x ~x +3i n10d 7. Si sustituimos 3 por 2 se comprueba que 22 E 4 y 25 E 4.
7. {O, 18.36, 3, 21, 39. 6,24, 42,9, 27, 45, 12, 30, 48, 15)33}.
166
Soluciones a ejercicios
10. Sugerencia: verifique que 320
11. a) x
-
1mod100.
= 6+1n; b) x = 219 + 256n; n entero.
12. k = 5. 13. 5.
14. 23.
15. 5. 18. Se prueba que 1989 1988 + 6 = 7 mod 10, esto si5".~sca que 19891988 + 6 tiene un 7 en las unidades. Como ningún cuadrado pe~:o :e:rmina en 7, no existe
tal k. 20. Pruebe que 232
+ 1 = Omod 641.
n
n
i= O
i= O
21 . Pruebe que I: ailOi - I:(-l)iaí - Omod 1: , l...:ego _::o::>·~~e qué debe darse
para que un número divida a una diferencia. 22. Se verifica que 994 = Omod 7, 98 = Omod 7
1 _ O1.llod 7.
=> Como 7ln, tenemos:
=> lOOOa3 + lOOa2 + lOa1 + ao =Omod 1 => (994 + 6)a3 + (98 + 2)a2 + (7 + 3)a 1 ~ ao
=Omod7 =On10d 7, tenemos:
Oiuod 7
=> 6a3 + 2a2 + 3a1 + ao <== Como 994a3 + 98a2 + 7a i
=> (1000 - 994)03 + (100 - 98)a2 + (10 - 7)a1 + ao Omod7 =?
lOOOa.3
+ lOOa2 + 10a 1 + ao -
(994a3 + 98a 2
+ 7oi)
Omod 7
· => lOOOa3
+ lOOa2 + lOa. 1 +
ao = Omod 7
26. Probablemente su respuesta haya sido Miércoles. Sin embargo, en 1 582 el Papa Gregorio XIII, decretó que, " dado que desde la vigencia del calendario Juliano se habían considerado como bisiestos, años que no debieron serlo y había ya un error acumulado de 11 días, la fecha del 3 de octubre de 1 582 sería llamada a
167
Soluciones a ejercicios
ser 14 de octubre.". Es por esto último y dado que 11 = 4mod7, a la solución que usted obtuvo debe restarle esos días que no existieron. Resulta que el 12 de octubre de 1492, día en que Cristóbal Colón " descubrió" América, fue un domingo.
28. Sea A , el número de 4 cifras. A - A mod 10 000, de donde 59 ·A - amod 10000. donde a es el número compuesto por las últimas 4 cifras de 59A, 3 · 59·A = 3· amod 10 000 - bmod 10 000, donde bes el número compuesto por las últimas 4 cifras de 3a, 113 · 3 · 59·A _ 113bmod10000 - c mod 10000 donde e es el número compuesto por las últimas 4 cifras de 113b. Como: 113 · 3 · 59 · A = 20001A
=
20000A + A - Amod 10000,
y como A es un número de 4 cifras, tenemos que A = c.
29. Como en an nos interesan las unidades, basta calcular los primeros 11 y vemos quean - an+10 mod5. Como a 1+a2 + · · ·+a10 tenemos que:
= E ai = E ai 1997
S
i= l
= 30y a11+a12+· · ·+a20 = 40
2000
=
ª1998 -
a1999 -
i =l
100 . 30 + 100 . 40 - 9
a2000
= 6 991.
30. N = 88 714 752.
Sección 4.3 4. Como A = (a - 1) 3 + a3 +(a+ 1)3 = 3a3 + 6a = 3 (a3 + 2a), tenemos que A es divisible por 3. Para obtener el resultado, pruebe que 31(a 3 +2a). 5. Pruebe que abe = Omod 7, abe = Omod 8, abe = Omod 9. 6. 50, compare con el ejemplo 20 de la sección 4.3.
168
Soluciones a ejercicios
7. Agrupando los números 1, 2, ... ,p - 1, repase la demostración del teorema de Wilson, de la siguiente manera: 1 y p - 1, cuyo producto es congruente con - 1; 2 y p - 2, cuyo producto es congruente con - 22 · 3 y p - 3, cuyo producto es congruente con -32 ; . . . ; (p - 1)/ 2 y (p + 1)/ 2 = p - (p - 1) / 2, cuyo producto es congruente con - r 2 . Tenemos que
(p - 1)!
(-1)(-2 2 )(- r 2 ) ~odp
(r!)2(-1Y modp y el resultado se concluye aplicando el teorema de \~ilion. 10. Basta ver que (
P. ) J
= (p
_!J1.) 1.J..1 es divisible po: p
para O < j < p. De
donde todos los términos intermedios de la expansión binomial
p
L: (~) aP-i bi de . o J
J=
(a + b)Pse pueden sustituir por M p con M E Z, y además J1p - Omod p. Así, (a + b)P = aP + M P + bP _ aP + bP mod p.
14. Suponga que p no es primo. El número p se puede descomponer como producto de dos factores menores que p, sea p = P1P2· Si p 1 =/:- p2, entonces P1 y p2 formarían parte del producto 1 · 2 · 3 · (p - 1), con lo que este producto sería divisible por p 1p 2 , divisible por p, lo cual contradice que (p - 1)! _ - 1 mod p. Si p 1 = P2 = q,· entonces p = q2 . Si q > 2 entonces p > 2q de donde q y 2q formarían parte del producto 1 · 2 · 3 · (p - 1). con lo que este producto sería divisible por 2q2 , es decir, divisible por p, lo cual contradice de nuevo que (p - 1)! = - 1 mod p. Para completar la prueba faltaría el caso p = 4, que claramente no se cumple pues 1 · 2 · 3 - 1 = 5 y 4/5. 15.
a) 2 · 11 2 · 13 · 4561
b) 25 ·5 ·7 · 13· 41·73 - 6481 c) 7 · 31·151
d) 32 • 7. 11 . 31 . 151 . 331 e) 32 · 52 · 7 · 11 · 13 · 31 · 41 · 61 · 151 · 331 · 1321 16. Debe usar el ejercicio anterior, y en el capítulo 2 ya usted calculó la factorización de 125!.
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Soluciones a ejercicios
17. Para p = 11 los residuos cuadráticos son 1, 3, 4, 5, 9; los no cuadráticos son 2, 6, 7, 8, 10.
18. Sugerencia: del teorema de Fermat, sabemos que (a(p-I)/2 + 1) (a(p- l)/ 2 -
1)
= (ap-I -
Sección 4.4 l . 1, 106, 211. 2. b) 1973 + 2 640n; e) 63 841+1003 935n. 3. 1 706.
1)
=Omodp.
Introduccwn a la ra::in.=i ~ =-:aos. se terminó de imprimir en e! =o c..e ~:"e de 1998, en los Talleres Gráficos ce b ::.:::.....:31 Eu~ED. Su edición COllSl:3.-"eS impresos en papel :X..::C. - 5 ~ con forro de ~ :i;¡;-:;-.b!e. Est uvo a! ~ c2 ..! Dirección de Proa~ _.;-.~e::>ica
