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Escola de Química Disciplina Modelagem e Dinâmica de Processos – EQE 400 noturno. Lista 3 – Uso da Transformada de Laplace 1) Um processo segue o seguinte modelo de equação diferencial:
Ache a expressão relacionando a ̅ . Ambos e são variáveis-desvio com valores iniciais das funções e das derivadas nulos. 2) O procedimento de start-up para um reator em batelada inclui uma etapa de aquecimento na qual a temperatura do reator é gradualmente elevada até chegar à temperatura nominal de operação de 75 º C. A temperatura desejada do perfil T(t) é mostrada no desenho abaixo. a) Qual a T(s)? Use a definição de transformada de Laplace. 75 70 ) 65 C o 60 ( a 55 r u t 50 a 45 r e p 40 m35 e T 30 25 20
T (oC)
0
20
40
60
Tempo (min)
b) Defina agora T’(t) como a diferença entre duas funções rampas. Encontre a transformada de Laplace utilizando o resultado obtido na questão anterior. 140
130
120 100
) C o ( a r u t a r e p m e T
80
75
60 T1(oC)
40 20
20
20
T2(oC)
0
-20 0
20
40
-35
-40 -60
60
Tempo (min)
3
3) Admita que a concentração de um reagente A para um reator é inicialmente 1 lbmol/ft . Esta concentração é então aumentada de 10% o seu valor inicial por 1 hora, em seguida, cai para 10% do seu valor original e finalmente retorna ao seu valor original. Encontre a expressão no domínio de Laplace que expresse Ca0’(s), conforme a figura a seguir: 0.15 0.1 0.05 ) t ( ' 0 0 a C -0.05 0
0.5
1
1.5
2
T (oC)
2.5
-0.1 -0.15
Tempo (h)
4) Encontre x(t) através da expansão em frações parciais para:
Problemas Aplicados 5) Um aquecedor do tipo tanque agitado com retenção volumétrica constante é usado para pré-aquecer uma mistura de reagente contendo um catalisad or sólido em suspensão com 3
vazão mássica constante de 1000 kg/h. O volume do tanque é de 2 m e a massa específica e o 3
0
calor específico são respectivamente 900 kg/m e 1 cal/g C. O processo inicialmente está 0
0
operando a temperaturas de entrada de 100 C e a temperatura da mistura de 130 C. Determine: a) Qual é a entrada de calor proveniente do aquecedor no estado estacionário inicial? b) Se a entrada de calor for repentinamente aumentada de 30% em t=0 s, determine o perfil de temperatura da mistura de reagente. c) Determine quanto tempo levará para atingir 99% do valor final da temperatura e qual será o valor final. 0
0
d) Admita que a temperatura de entrada seja aumentada bruscamente de 100 C para 130 C ao mesmo tempo que Q(t) é aumentado de 10% em relação ao seu valor estacionário inicial.
Determine a temperatura em T(s) que descreva essas perturbações. Quanto é T(t) depois de um tempo suficientemente grande? 6) Um tanque agitado com aquecimento está operando com uma vazão mássica de 180 lb/min 0
de um líquido com capacidade calorífera específica e massa específica iguais a 0,32 Btu/lb F e 3
3
62,4 lb/ft , respectivamente. O volume do tanque vale 2,4 ft . Suponha que uma entrada de 0
calor de 2000 Btu/min e uma temperatura de 80 F produziram um estado estacionário. a) Calcule a temperatura de saída estacionária (T 0). O aquecimento do líquido ocorre devido a uma serpentina, dentro da qual vapor condensa. Q(t) é função de uma lei de controle, na qual o controlador ajusta à posição da válvula de controle na linha de vapor. Subtamente, por falta de ar para instrumentação, a válvula de controle ficou completamente fechada e o calor cedido foi a zero Q(t)=0, para todo t>=0. b) Escreva a expressão para T(t). Qual a nova temperatura do tanque depois de um tempo longo? c) Quanto tempo vai levar T’(t) para alcançar 63,21% do seu val or final?
