Horário 09h − 10h 10h − 11h 11h – 12h 12h – 13h 13h – 14h 14h − 15h 15h – 16h 16h – 17h 17h – 18h 18h – 19h 19h – 20h 20h – 21h 21h – 22h
Número mínimo de caixas em funcionamento 10 14 14 20 24 20 18 26 32 36 30 20 10
15. O Banco Municipal Juros Altos (BMJA) está formulando sua política de crédito para o próximo trimestre. Um total de 12 milhões será alocado às várias modalidades de empréstimo que ele pretende conceder. Sendo uma instituição de atendimento pleno, obriga-se a atender a uma clientela diversificada. A tabela abaixo prevê as modalidades de empréstimos praticadas pelo Banco, as taxas de juro por ele cobradas e a possibilidade de débitos não honrados, medida em probabilidade, com base nas experiências passadas. Tipo de Empréstimo Pessoal Compra de automóvel Compra de casa própria Agrícola Comercial
Taxa de Juros 0,140 0,130 0,120 0,125 0,100
Probabilidade de Débito não honrado 0,10 0,07 0,03 0,05 0,02
Os débitos não honrados são assumidos como irrecuperáveis e, portanto, não produzem retorno. A competição com outras instituições similares, nas áreas mencionadas, requer que o Banco aloque pelo menos 40% do total disponível, em empréstimos agrícolas e comerciais. Para apoiar a indústria da construção civil na região, os empréstimos para compra da casa própria devem ser pelo menos, 50% do total alocado para empréstimos pessoais e destinados a compra de carro. Além disso, o Banco deseja incluir na sua política de empréstimos a condição de que a razão entre o total de débitos não honrados em todos os empréstimos e o total emprestado, não exceda 0,04. Formule um modelo de programação linear para otimizar a política de crédito do Banco. Resposta: 1,41. 16. A LCL Investimentos S.A. gerencia recursos de terceiros através da escolha de carteiras de investimentos para diversos clientes, baseados em bonds de diversas empresas. Um de seus clientes exige que:
Não mais de 25% do total aplicado deve ser investido em um único investimento. Um valor superior a 50% do total aplicado deve ser investido em títulos de maturidades maiores que 10 anos. O total aplicado em títulos de alto risco deve ser, no máximo, de 50% do total investido.
A tabela a seguir mostra os dados dos títulos selecionados. Determine qual percentual do total deve ser aplicado em cada tipo de título. Resposta: 0,12875.
Título1 Título2 Título3 Título4 Título5 Título6
Retorno Anual 8,7% 9,5% 12,0% 9,0% 13,0% 20,0%
Anos para Vencimento 15 12 8 7 11 5
Risco 1 - muito baixo 3 - regular 4 - alto 2 - baixo 4 - alto 5 - muito alto
17. Em sua posição como vice-presidente de pesquisa e desenvolvimento da MB Tecnologia, Carlos é responsável pela avaliação de todos os projetos da MB. A empresa recebeu recentemente 18 projetos desenvolvidos por seus engenheiros, dos quais 6 estão alinhados com a missão da empresa. Entretanto, a MB não dispões de recursos suficientes para realizar todos os projetos. Carlos precisa determinar quais projetos selecionar. Os projetos apresentam-se resumidos na tabela a seguir, onde estão os VPL (Valor Presente Líquido) gerado por cada um. Projeto 1 2 3 4 5 6
VPL esperado (em $ 1.000) 141 187 121 83 265 127
Capital Necessário em $ 1.000 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 75 25 20 15 10 90 35 0 0 30 60 15 15 15 15 30 20 10 5 5 100 25 20 20 20 50 20 10 30 40
A MB tem $ 250.000 disponíveis para investimento nestes projetos. Também tem orçado dispor de $ 75.000 para um suporte aos projetos selecionados no ano 2, e $ 50.000 por ano para os anos 3, 4 e 5. Valores não investidos serão apropriados para outros usos da empresa, e não poderão ser utilizados nos anos seguintes. Quais projetos devem ser selecionados de modo a otimizar a rentabilidade da empresa? Resposta: 489. 18. A diretoria da MRF Corporation está analisando como alocar seu orçamento para o próximo ano. Seis diferentes projetos estão sendo analisados, e diretoria acredita que o sucesso de cada projeto depende em parte do número de engenheiros designados. Cada projeto inclui uma estimativa da probabilidade de sucesso como uma função do número de engenheiros, sendo esta função dada por: Pi
probabilidade de sucesso para o projeto i se designados Xi engenheiros =
Xi Xi
i
onde εi é uma constante positiva para o projeto i que determina a forma de sua função de probabilidade. A função de probabilidade para os projetos é apresentada na figura a seguir. A tabela a seguir resume as necessidades iniciais de cada projeto e uma estimativa do VPL (valor presente líquido) que será gerado caso o projeto tenha sucesso. A MRF concorda em designar até 25 engenheiros para estes projetos e está estimando uma reserva orçamentária de R$ 1 bilhão para cobrir os custos iniciais dos projetos selecionados. Quais projetos deverão então ser selecionados de modo a maximizar o VPL? Resposta: 1757,45. Projeto Custos iniciais VPL Parâmetro de probabilidade
1 325 750 3,1
2 200 120 2,5
3 490 900 4,5
4 125 400 5,6
5 710 1110 8,2
6 240 800 8,5
19. Carlos Augusto um consultor financeiro recentemente encontrou com sua cliente Paula de Castro, que perguntou a Carlos qual a melhor diversificação para seus investimentos. Paula tinha investido uma boa parcela de seus recursos na International Business Corporation (IBC), que durante os 12 últimos anos tinha dado um retorno anual médio de 7,64%, com uma variância aproximada de 0,0026. Paula deseja um retorno melhor, em torno de 12%, entretanto, gostaria de ir com cautela porque não é muito favorável a riscos. Paula então perguntou a Carlos que investimentos poderiam ser realizados dadas as sua recomendações. Carlos após uma pesquisa identificou dois novos investimentos, na National Motors Corporation (NMC) e na National Broadcasting System (NBS), que acredita atender às recomendações de Paula. A tabela a seguir mostra o retorno oferecido por estes investimentos nos últimos 12 anos.
Ano 1 2 3 4 5 6
IBC 11,2% 10,8% 11,6% -1,6% -4,1% 8,6%
Retorno Anual NMC NBS 8,0% 10,9% 9,2% 22,0% 6,6% 37,9% 18,5% -11,8% 7,4% 12,9% 13,0% -7,5%
7 8 9 10 11 12 Média
6,8% 11,9% 12,0% 8,3% 6,0% 10,2% 7,64%
22,0% 14,0% 20,5% 14,0% 19,0% 9,0% 13,43%
9,3% 48,7% -1,9% 19,1% -3,4% 43,0% 14,93%
Analisar o quanto dos recursos de Paula deverão ser alocados em cada empresa. Resposta: 0,00112. 20. Uma mineradora recebe uma encomenda para produzir 6.000 toneladas de minério atendendo a especificação abaixo. Elemento químico
Teor Mínimo permitido (%)
Teor Máximo permitido (%)
Fe
44,5
49,5
Al2O3 P
0,27 0,035
0,37 0,043
PPC
2,05
2,65
He
38
50
Sabe-se que esta encomenda pode ser atendida a partir de um conjunto de pilhas de minérios, cuja composição, disponibilidade e custo são relacionados a seguir: Pilha 01
Fe (%) 52,64
Al2O3 (%) 0,52
P (%) 0,084
PPC (%) 4,48
He (%) 45
Massa (ton) 1.500
Custo ($/ton) 10,50
02
39,92
0,18
0,029
0,65
97
2.000
12,50
03
47,19
0,50
0,050
2,52
52
1.700
12,00
04 05
49,36 43,94
0,22 0,46
0,039 0,032
1,74 2,36
78 41
1.450 1.250
10,00 11,50
06 07
48,97 47,46
0,54 0,20
0,057 0,047
4,34 5,07
90 9
1.890 1.640
11,00 10,80
08
46,52
0,32
0,039
3,51
4
1.124
11,20
09 10
56,09 46,00
0,95 0,26
0,059 0,031
4,10 2,51
80 21
1.990 900
10,40 12,00
11 12 13
49,09 49,77 53,03
0,22 0,20 0,24
0,040 0,047 0,047
4,20 4,81 4,17
12 12 1
1.540 1.630 1.320
10,30 11,90 12,30
14 15
52,96 42,09
0,29 0,17
0,052 0,031
4,81 1,38
1 47
1.245 1.859
11,10 12,10
Qual a estratégia da mineradora para atender ao pedido de forma que o custo seja mínimo? Resposta: 65061,6. 21. Uma empresa siderúrgica possui 3 usinas e cada uma delas requer uma quantidade mensal mínima de minério para operar. A empresa adquire minério de 4 minas diferentes. Cada uma das minas tem uma capacidade máxima de produção mensal estabelecida. Por imposições contratuais, o custo do minério para a empresa é composto por um custo fixo mensal para cada mina (este valor é pago em caso de haver produção na mina), mais um custo de transporte ($/t) que varia de acordo com a distância entre as minas e usinas (cada par mina/usina tem um custo diferente). Os dados são mostrados na tabela a seguir: Usina 1
Usina 2
Usina 3
Mina 1 ($/t)
10
8
13
Cap. máx. das minas (t/mês) 11.500
Mina 2 ($/t) Mina 3 ($/t)
7 6,5
9 10,8
14 12,4
14.500 13.000
40.000 30.000
8,5 10.000
12,7 15.400
9,8 13.300
12.300 -
25.500 -
MINAS
Mina 4 ($/t) Quant. req. (t/mês)
Custo Fixo ($) 50.000
Construir um modelo de otimização para determinar a quantidade de m inério a ser comprada de cada mina e levada a cada usina de forma a minimizar o custo total de compra de minério. Resposta: 470540. 22. Pretende-se analisar a eficiência relativa de cinco unidades de cirurgia localizadas em diferentes hospitais. Em cada unidade, se conhece o número de cirurgiões e o financiamento em medicação (medido em dezenas de milhares de reais), constituindo estas duas quantidades os inputs em causa. Como outputs de cada unidade, são disponibilizados: o número de cirurgias, a percentagem de ocupação de camas e o número de consultas externas, num dado período de tempo. Os dados são os seguintes: Unidade 1 2 3 4 5
outputs 40 100 30 85 25 80 32 95 28 50
100 110 70 20 60
inputs 6 5 7 10 4 8 5 5 6 5
Uma medida de eficiência da unidade 1 é definida através do quociente entre uma soma ponderada do seu output e uma soma ponderada do seu input, ou seja, através de: 40u 1 1 00u 2 10 0u 3 6 v1 5 v 2
para uma determinada escolha dos pesos ou fatores de ponderação u1, u2 e u3 (relativos aos outputs) e v1 e v2 (relativos aos inputs). A atribuição de valores aos fatores de ponderação pode colidir com a dificuldade prática em valorizar subjetivamente os vários desempenhos. A idéia central é determinar um conjunto de pesos que maximize a eficiência de uma unidade relativamente às restantes. Resposta: 4,619403. 23. Uma empresa de construção civil pretende construir uma obra envolvendo 10 grandes atividades. Cada atividade tem uma duração mínima e uma duração máxima. O custo de cada atividade varia linearmente com a sua duração. Conhece-se, por exemplo, o custo associado à duração mínima e o custo atribuído à duração máxima. Este último é o custo regular da atividade. O custo associado à duração mínima é super ior ao da duração máxima por necessitar de recursos suplementares ( e.g., mão de obra). Para cada atividade i, lista-se, de seguida, os tempos de duração mínima e máxima ( t mi in e t mi ax ) e os seus respectivos custos ( c mi in e c mi ax ), bem como as atividades que a devem preceder. Atividade 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
tmi in
t mi ax
c mi in
c mi ax
6 8 16 14 8 6 10 4 12 2
12 16 24 20 12 10 15 16 16 12
8000 12000 14500 9500 10000 8500 15000 19000 14500 6500
5000 9000 10000 6500 5500 7000 10000 10000 11000 4000
Precedências
1 1 2 2 4,5 4,5,6 3,7 3,7,8
Os tempos são dados em semanas e os custos em milhares de reais. O grafo (rede CPM) das precedências é ilustrado de seguida.
3 9
1
4
Fim
7 10
Início 2
5
8
6
O gestor da obra pretende elaborar um plano para a sua execução que minimize o seu custo total. A duração máxima da obra é de 46 semanas. Resposta: 92000. 24. Uma empresa está executando 5 obras na Amazônia. As obras têm porte (medido pelo custo total da obra em R$ mil) e duração prevista (medida em meses) diferentes. Além disso, cada uma dessas obras está em um estágio diferentes (começaram em momentos diferentes). A Tabela 1 mostra o custo total, a duração prevista e o estágio atual de cada uma das obras. Tabela 1: Custo total, duração prevista e estágio atual de cada uma das obras Obra A B C D E
Custo Total (R$ Mil) 1.500 3.900 2.400 2.700 1.800
Duração Prevista (Meses) 24 36 24 30 28
Estágio Atual (Mês) 4 26 14 16 20
Criou-se um modelo para prever a necessidade de cimento (NC em toneladas) em função do custo total da obra (CT), do estágio atual (EA) e da sua duração prevista (DP) chegando-se em: 2
NC = -0,000209*CT*EA + 0,00508*CT*EA - 0,015*DP*EA + 14,1*DP - 129,6 Para fazer a distribuição de cimento pelas obras, a empresa conta com 2 centros de distribuição, sendo um localizado em Manaus e o outro localizado em Belém. O centro de distribuição de Manaus tem a capacidade de estocar 2.000 toneladas de cimento e o centro de distribuição de Belém tem a capacidade de estocar 1.500 toneladas de cimento. A distância (em km) entre cada uma das obras e os centros de distribuição são dados na Tabela 2. Tabela 2: Distância (km) entre cada uma das obras e os centros de distribuição. CENTRO DE DISTRIBUIÇÃO MANAUS BELÉM
A 290 670
B 420 530
OBRAS C 510 265
D 690 760
E 550 340
O custo unitário de cada tonelada transportada é de R$0,175/km. Além disso, a empresa possui, em Brasília, uma central de compra que adquire matérias-primas e envia para os centros de distribuição de Manaus e Belém. Sabendo-se que:
O centro de distribuição de Manaus tem um estoque inicial de cimento de 600 toneladas O centro de distribuição de Belém tem um estoque inicial de cimento de 800 toneladas A central de compras dispõem de 5.500 toneladas de cimento para mandar para os centros de distribuição.
Formule e resolva o problema de planejamento de distribuição de cimento para as obras, para um horizonte de 4 meses, objetivando minimizar o custo de distribuição. Resposta: 407384,49. 25. A Sem Insetos S/A é uma empresa de dedetização de insetos. Durante os próximos três meses espera receber o seguinte número de solicitações de dedetizações: 100 chamadas em janeiro; 300 chamadas em fevereiro e 200 chamadas em março. A Sem Insetos S/A recebe $800,00 para dedetização atendida no mesmo mês da chamada. As solicitações podem não ser
atendidas no mesmo mês em que são feitas, mas neste caso, se houver um atraso de um mês, será dado um desconto de $100,00 e, se o atraso for de dois meses de $200,00. Cada empregado pode fazer entre 6 e 10 dedetizações por mês, sendo que seu salário mensal é de $4.000,00. No final do último dezembro, a companhia tinha 8 funcionários. Funcionários podem ser contratados no início do mês a um custo de contratação de $5.000,00 cada. Os gastos de demissões, que são realizadas sempre no final do mês, são de $4.000,00 por funcionário, além do salário. Supondo que todas as chamas devam ser atendidas até o final de março, e que a empresa tenha um efetivo de 8 pessoas no começo de abril, formula um problema de programação linear que maximize o lucro da empresa durante os três meses em questão. Resposta: 82.000 26. Um fabricante monopolista produz dois tipos de lâmpadas. De sua experiência o fabricante determinou que se x lâmpadas do primeiro tipo e y lâmpadas do segundo tipo forem feitas, cada uma delas poderá ser vendida pelos valores (100 – 2x) e (125 – 3y), respectivamente.. O custo de fabricação de x lâmpadas do primeiro tipo e y lâmpadas do segundo tipo é de (12x + 11y + 4xy). Quantas lâmpadas de cada tipo devem ser produzidas para que ele obtenha o lucro máximo, e qual é o lucro máximo? Resposta: 9, 13 e 1.137. 27. Uma empresa de tecnologia apresenta um custo variável de $100,00 para cada minicomputador produzido, mais um custo fixo de $5.000,00 que é incorrido independentemente da quantidade produzida. Se a companhia investe x reais em propaganda, ela consegue vender x0,5 minicomputadores ao preço de $300,00 cada. De que forma a empresa pode maximizar o seu lucro. Resposta: 5.000. Se os custos fixos fossem iguais a $20.000,00 o que a companhia deveria fazer? Resposta: -10.000.
28. A Labs Ltda é um laboratório de manipulação que presta serviços de entrega para idosos. A empresa possui duas filiais e fornece o serviço em seis bairros diferentes. Tendo em vista que atualmente a demanda é superior à capacidade de entrega da companhia, a mesma gostaria de saber a quais clientes atender, a partir de cada filial, de maneira a minimizar o seu custo de entrega. As capacidades das filiais, as demandas dos bairros e os custos unitários de entrega estão evidenciados na tabela a seguir. Resposta: 21.60.
Centro Barra Demanda 29.
Ipanema 7 4 1400
Copacabana 9 5 1560
Centro 1 12 400
Barra 12 1 150
Leblon 7 3 870
Tijuca 4 8 620
Capacidade 2500 2000 5000
A MRF Bicicletas possui 3 fábricas localizadas no Rio, São Paulo e Belo Horizonte. A produção deve ser entregue em Recife, Salvador e Manaus. Considerando os custos de transporte unitários, as capacidades de produção das fábricas e as demandas dos centros consumidores que estão especificados na tabela a seguir, determine quanto deve ser produzido e entregue por cada fábrica em cada centro consumidor de forma a minimizar os custos de transporte. Resposta: 110000.
30. Uma fábrica de televisores pretende planejar a produção de um dos seus modelos para os próximos seis meses. O estoque previsto para o final do mês corrente é de 20 mil unidades. No final do sexto mês a empresa pretende lançar novos modelos, retirando este modelo da linha de fabricação. A fábrica recorreu a modelos de previsão que lhe permitiram estimar a procura e os custos de produção e estocagem. Daí concluiu que são necessárias 60 mil unidades no mês de Novembro, 80 mil em Dezembro, 40 mil em Janeiro, 40 mil em Fevereiro, 50 mil em Março e 60 mil em Abril. Os custos por cada unidade produzida são de 1.000 reais em Novembro, 1.010 em Dezembro, 980 em Janeiro, 970 em Fevereiro, 980 em Março e 990 em Abril. Os custos de estocagem em cada um dos seis meses correspondem cerca de 1% dos custos de produção. A capacidade produtiva mensal da fábrica é de 70 mil unidades e a capacidade de armazenagem é de 90 mil unidades. A capacidade de armazenagem utilizada em cada mês corresponde à soma do número de unidades não vendidas no mês anterior com o número de unidades produzidas no mês corrente. Estabeleça um modelo de programação matemática que permita à fábrica planejar a produção ao longo dos próximos seis meses, sabendo que o preço de venda de cada televisor é de 5.000 reais por unidade. Resposta: 1342713.
31. A MRF Brasil terá duas fábricas no Brasil, uma na Bahia e outra em São Paulo, e está estudando a forma de distribuição de seus carros para as diversas revendas de Minas Gerais. A seguir é apresentada a possível rede de distribuição dos veículos, seus custos de transporte unitários, demandas por revenda e as capacidades das fábricas. Formule o Problema de LP que resolva as rotas que devem ser seguidas a partir das fábricas para atender as diversas revendas. Resposta:26250.
32. Na tabela de precedências abaixo apresentada, listam-se as atividades necessárias para uma empresa de componentes para automóveis desenvolver um produto, que resulta da combinação de peças fabricadas na empresa e de outras peças adquiridas a fornecedores externos. Com base nas durações (médias) enunciadas e na variabilidade associada às mesmas determine O caminho crítico deste projeto e a duração (média) necessária para a conclusão do projeto. Resposta: 8,95. Ativ.
Descrição
Precedência
A B C
Cálculos preliminares (seleção de motor e redutor de velocidade)
Duração (dias) Média Desvio padrão
Cálculos de esforços Desenho chassis
A B
1 1 2
0,12 0,15 0,24
D E
Fabricação chassis Encomendar motor
C A
2 1
0,31 0,09
F
Preparar motor
E
6
0,1
G H
Encomendar redutores de velocidade Preparar redutores de velocidade
A G
1 12
0,13 1,01
I
Montagem
D, F, H
1
0,06
J
Testes
I
1
0,07
33. Uma determinada empresa produtora de aço recebeu uma encomenda de 500 toneladas de aço com determinados requisitos em termos de três elementos químicos: carbono (C), cobre (Cu) e Magnésio (Mn). Os requisitos em causa são dados na tabela a seguir: Mínimo (%)
Máximo (%)
C Cu
2 0.4
3 0.6
Mn
1.2
1.65
A empresa tem armazenadas diferentes quantidades de sete ligas metálicas. Na tabela a seguir é dada a percentagem de cada um dos elementos químicos em cada liga metálica, bem como a sua quantidade disponível (em toneladas) e o seu custo (em € por tonelada). Apresente um modelo de Programação Linear que permita determinar a composição do aço que minimiza o custo total. Resposta: 4618,24 C (%)
Cu (%)
Mn (%)
Disponibilidade (t)
Custo (€/t)
Liga de ferro 1
2,5
0
1,3
400
200
Liga de ferro 2 Liga de ferro 3
3 0
0 0,3
0,8 0
300 600
250 150
Liga de cobre 1
0
90
0
500
220
Liga de cobre 2
0
96
1,2
200
240
Liga de alumínio 1
0
0,4
1,2
300
200
Liga de alumínio 2
0
0,6
0
250
165
-
Não é possível colocar postos de vacinação no arco que une 2 “bairros”. Todos os moradores de um “bairro” partem de uma origem comum (centro do “bairro”), ou seja, a distância percorrida de um “bairro” a outro é a mesma p ara todos os moradores. A distância entre 2 “bairros” (conectados ou não) é o caminho mais curto entre esses. Por exemplo, a distância entre C e J é de 2,1 km (C para G e depois G para J).
36. Uma cidade do interior paulista é servida por uma empresa de transportes urbanos que transporta, em média, 30.000 pessoas por dia. A finalidade do caso é determinar a escala dos motoristas de forma a atender as necessidades dos usuários e que também leve em conta um regime de trabalho que seja razoável. As necessidades de motoristas, por turno, estão nas tabelas que se seguem: NECESSIDADE NO SÁBADO TURNOS 1 2 3
HORÁRIO 6 às 12h 12 às 18h 18 às 24h
NECESSIDADE NO DOM INGO
NECESSIDADE DE 2ª a 6ª FEIRA
TURNOS
Número de motoristas
TURNOS
Número de motoristas
TURNOS
Número de motoristas
1 2 3
26 22 16
1 2 3
16 16 16
1 2 3
26 32 18
Considerando que os motoristas não podem trabalhar mais do que 6 horas por dia e têm descanso de 2 dias consecutivos por semana. Formule e resolva o problema objetivando minimizar a quantidade de motoristas que a empresa deve contratar. Desconsidere a possibilidade do funcionário trocar de turno. Resposta: 99. 37. A agência espacial norte-americana (NASA) utiliza um modelo para apoiar as tomadas de decisão relativas à seleção de potenciais missões. Considere a seguinte versão (simplificada) do problema com que se debate a NASA. Está em causa um horizonte temporal de 12 anos (3 períodos de 4 anos) e um conjunto de 6 potenciais missões. Se uma missão for selecionado, tem de ser totalmente financiada em cada um dos períodos. Na tabela seguinte apresentam-se as missões em causa, o financiamento (em bilhões de dólares) requerido por cada uma, em cada período, e o valor que a NASA atribuiu a cada missão (calculada com base nos ganhos científicos, nos benefícios para a vida na terra, etc...). Missão
2004-08
2008-12
2012-16
Valor
1 − Órbita de Urano 2012
8
10
1
22
2 − Órbita de Urano 2016
1
8
10
25
3 − Exploração de Mercúrio 4 − SETI
2 1
4 1
6 3
15 8
5 − Tecnologia médica
2
1
1
9
6 − Exploração de Io
1
3
1
10
O orçamento disponível é de 10, 14 e 15 bilhões de dólares no primeiro, segundo e terceiro períodos, respectivamente. Das missões 1 e 2 apenas uma pode ser executada. A missão 3 depende da 6, logo só poderá ser selecionada se a 6 também for. Apresente um modelo que permita a maximização do valor do conjunto das missões selecionadas. Resposta: 42.
38. Para uma dada região, existem três tipos de geradores (indexados de 1 a 3) para satisfazer a procura diária de eletricidade dada na tabela que se segue. Período
00.00-6.00
6.00-12.00
12.00-18.00
18.00-24.00
Procura (MegaWatts)
12.000
32.000
36.000
25.000
Na tabela seguinte apresentam-se dados relativos a cada tipo de gerador: (i) o número de geradores existentes; (ii) a produção máxima (em MW) de um gerador por período; (iii) o custo de funcionamento de um gerador por período (em €); (iv) o custo de produção de 1 MW (em €). Tipo de gerador 1
(i) 10
(ii) 1750
(iii) 2250
(iv) 2.7
2
4
1500
1800
2.2
3
8
2000
3750
1.8
No início de cada período cada gerador pode ou não ser ativado. Depois de um gerador ser ativado, fica ativo até ao final do dia (final do último período). Apresente um modelo para o problema em causa que lhe permita determinar quantos geradores devem ser ativados em cada período. Resposta: 19152,40. 39. Em vários contextos, pode ser desejável estimar a velocidade e a direção de um conjunto de p objetos em movimento (por exemplo, aviões, mísseis, manchas de óleo no mar). Uma forma plausível de fazer é tirar duas fotografias em diferentes momentos, como representado na figura seguinte. A posição dos cinco objetos no primeiro momento é representada por um círculo branco. Represente por (x 1i,y1i) as coordenadas do ponto i nesse momento, i=1,...,p. Os cincos pontos identificados no segundo momento são representados por um círculo negro. Represente por (x2i,y2i) as coordenadas do ponto i nesse momento, i=1,...,p. Para estimar a velocidade e a direção de cada objeto torna-se necessário associar cada ponto no primeiro momento a um ponto no segundo. Considerando que as duas fotografias são tiradas com um intervalo de tempo suficientemente pequeno, formule um modelo que lhe permita obter um conjunto de associações plausíveis. Resposta: 26.
40. Uma empresa de enlatados de fruta concentra as suas operações de manufatura em duas fábricas (F1 e F2). A fruta utilizada nas fábricas provém de três grandes agricultores (A1, A2 e A3) que têm capacidade para fornecer fruta de boa qualidade nas seguintes quantidades e preços: Agricultor
Toneladas
Preço (u.m ) / ton.
A1
200
11
A2
310
10
A3
420
9
Os custos de transporte da fruta (em u.m. por tonelada) são os indicados na tabela seguinte: Agricultor (origem) A1 A2 A3
Fábrica (destino) F1 F2 3 3,5 2 2,5 6 4
As capacidades de fabricação e os custos de manufatura das fábricas são respectivamente:
Capacidade de fabricação Custo de manufatura
Fábrica F1
Fábrica F2
460 ton.
560 ton.
26 u.m. / ton.
21 u.m. / ton.
A fruta enlatada é vendida aos distribuidores a 50 u.m. por tonelada e, com este preço de venda, a empresa consegue escoar tudo o que conseguir produzir. Pretende-se determinar as quantidades que devem ser adquiridas aos três agricultores de forma a abastecer as duas fábricas e maximizar o lucro da empresa. Formule o problema de otimização linear. Resposta: 13070. 41. Uma refinaria produz seis tipos de produtos (gasolinas Normal, Super e Sem-Chumbo, Gasóleo, óleo para aquecimento e óleo lubrificante), por mistura de cinco tipos de petróleo bruto (A, B, C, D e E). Abaixo, estão indicadas as composições, custos e disponibilidades mensais dos petróleos brutos e a procura mensal de cada produto refinado. Que quantidades dos vários petróleos brutos deverão ser adquiridas, por forma a satisfazer a procura mínima e minimizar os custos de produção? Resposta: 3240,07.
Petróleo Bruto C D
Produto
A
B
Normal
40%
30%
30%
Super Sem-Chumbo
20% 20%
30% 10%
40%
Gasóleo
10%
10%
10%
10%
10%
Óleo p/ aquec. Óleo lubrific.
10%
10%
10%
Custo (€/galão) Disponibilidade (milhares de galões)
0.20 8 000
0.14 4 000
0.15 5 000
E
Procura (milhares de galões)
20%
30%
5 000
30% 30%
20% 10%
3 000 3 000
20%
2 000
20%
10%
1 000
10%
2 000
0.18 3 000
0.12 6 000
42. Uma determinada Universidade está em fase de instalação de uma rede sem fios (Wi-Fi) em todo o seu campus. Uma das decisões que a equipe responsável pela implementação da rede sem fios tem de tomar diz respeito à localização dos pontos de acesso (equipamento que permite o acesso dos utilizadores à rede). Na tabela seguinte são indicados os cinco potenciais pontos de acesso (designados pelas letras de A a E) em consideração. Na mesma tabela são enumerados os edifícios do campus em que se pretende que haja acesso à rede sem fios, juntamente com a informação de quais os pontos de acesso que o garantem. Por exemplo, o acesso à rede no Auditório pode ser garantido ao ser colocado um ponto de acesso em A, B ou E. Ainda na tabela, na última linha, é dada a informação do custo de instalação de cada um dos pontos de acesso. Auditório Biblioteca Residência Secretaria Complexo Pedagógico Custo (U.M.)
A X X X
B X X X X
10
23
C
D
X X X X 30
X X X 22
E X
X 9
A equipe referida pretende garantir que todos os edifícios têm acesso à rede mas com o menor custo possível. Formule este problema através de um modelo de Programação Linear. Resposta: 48. 43. O abastecimento de água de uma localidade do município do Rio de Janeiro é feito diretamente através de uma estação de abastecimento. Devido a trabalhos de manutenção o abastecimento vai ter de ser feito indiretamente através de outras localidades que pode ser representado pela rede: 2
3 0 1
26
5
15
4
30
0 1
2 0 3
15
1 0
1 3
7
2 1 15
40
8
1 5
6
O nó 1 representa a estação de abastecimento e o nó 8 representa a localidade que se pretende abastecer. Os nós 2 a 7 representam as localidades a partir das quais pode ser feito o abastecimento. O valor associado a cada arco ( i , j ) representa 3 a quantidade, em m por segundo, de água que pode ir diretamente de i para j . Com o objetivo de analisar possíveis descontinuidade no abastecimento da localidade 8, os serviços municipalizados pretendem determinar a quantidade máxima de água que pode chegar indiretamente a essa localidade. Formule o problema em termos de programação matemática. Resposta: 206. 44. A Indústria MRF S/A produz grupo geradores de energia elétrica, e deseja decidir quantas unidades produzir nos próximos 4 meses, de modo a satisfazer sua demanda a um menor custo:
Demanda mínima
Mês1 400
Mês 2 600
Mês 3 750
Mês 4 250
No início do 1º mês, 12 unidades estão em estoque. No início de cada mês, a empresa deve decidir quantas unidades serão produzidos naquele mês. Unidades produzidas num mês podem ser usadas para atender à pedidos naquele mesmo mês (os pedidos são sempre atendidos no final de cada mês). A empresa tem capacidade instalada para produzir até 400
unidades/mês a um custo de $4.000/unidade. Para aumentar a produção, poderá usar horas extras, a um custo de $4.500/unidade. Estocar a produção de um mês para outro também é uma possibilidade, entretanto, o departamento de custos informa que haverá um custo de 5% do valor de venda por cada unidade estocada. Formule o problema tal que a demanda seja atendida. Resposta: 8224600. 45. A Catering SA, empresa que fornece refeições em congressos, precisa de usar um determinado número de guardanapos de linho lavados, para cada um dos dias do período de vigência de um contrato. Alguns dos guardanapos poderão ser comprados em cada dia, mas os guardanapos usados em qualquer dia poderão ser enviados para um serviço de lavanderia e usados posteriormente. Suponha que a empresa não possui guardanapos disponíveis, e que são necessários 1000, 700 e 1300 guardanapos para os próximos três dias. O custo unitários de compra é de 6 U.M.. O serviço de lavanderia tem duas modalidades: serviço rápido e serviço lento. No serviço rápido os guardanapos são entregues no fim de um dia e estão prontos a serem usados na manhã do dia seguinte. No serviço lento os guardanapos são entregues no fim de um dia, passam um dia na lavanderia e estão prontos a serem usados na manhã do dia seguinte. O serviço rápido tem um custo de 3 U.M./unidade e o lento tem custa 2 U.M./unidade. Formule um modelo de programação linear que permita a obtenção da estratégia ótima para o problema com que se debate a Catering SA. Resposta: 16.500. 46. Uma empresa do ramo alimentício produz quatro tipos de óleo, canola, soja, milho e amendoim, e planeja a sua produção para os próximos seis meses. Com base em anos anteriores chegou-se à conclusão que as previsões de vendas (em milhares de caixas) são as que constam da seguinte tabela, bem como, a capacidade normal de produção é de 40 milhares de caixas por mês, sendo os custos unitários de produção (em u.m. por caixa) dados pela seguinte tabela:
Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho
CUSTO UNITÁRIO DE PRODUÇÃO Canola Soja Milho Amendoim 1.500 800 2.000 2.100 1.400 800 1.900 2.000 1.500 850 2.200 2.200 1.600 900 2.150 2.300 1.550 850 2.250 2.200 1.600 800 2.300 2.350
Canola 9 8 10 12 10 12
Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho
VENDAS DE ÓLEO Soja Milho 18 2 16 1 20 6 22 6 20 3 22 6
Amendoim 2 1 4 6 4 5
A empresa consegue produzir até 5 mil caixas de óleo por mês, com custo unitário adicional de 5%, em horário extraordinário. A capacidade de armazenagem é de 50 mil caixas, sendo o custo unitário de armazenagem de apenas 1 u. m. para uma caixa de qualquer tipo de óleo. A empresa deseja planejar a sua produção, tendo em conta que existe em estoque no início do mês de Janeiro três mil caixas de óleo de canola, seis mil de soja, mil de amendoim e mil de milho e que no final do mês de Junho os estoques terão que ser repostos. Resposta: 268358. 47. A McDouglas, pequena fabricante de aviões localizada nos EUA, fabrica quatro tipos de aeronaves: McD1 (avião de um lugar), a McD2 (dois lugares), e a McD4 (quatro lugares), e a McD6 (seis lugares). A FAA- Federal Aviation Administration regulamenta e fiscaliza a produção de aeronaves nos EUA. Uma das exigências da FAA é a inspeção mensal de todas as aeronaves produzidas, e, por consequência, a McDouglas se programa mensalmente. A tabela a seguir mostra as principais informações relativas à produção das aeronaves. Característica Produção permitida pe la FAA (a erona ves /mês ) Tempo de produçã o (di as ) Gerente de produção neces s á ri o por aerona ve Margem de contribuição ($/a erona ve)
McD1
Aeronaves McD2 McD3
McD4
8 4
17 7
11 9
15 11
1
1
2
2
62
84
103
125
Considera-se que: o mercado compra toda a produção; o número de gerentes de produção da empresa é de 60; não há expectativas de novas contratações. A empresa pode fabricar até nove aeronaves ao mesmo tempo, e considere 30 dias de produção no mês. A empresa está interessada em definir o número de aeronaves a serem construídas no próximo mês de modelo que a margem total seja máxima. Formule um modelo para o problema da McDouglas. Resposta: 434. 48. A administração municipal de uma cidade industrializada pretende instalar uma estação de tratamento para despoluir o rio que passa pela cidade. Estudos preliminares mostram que o rio apresenta quatro índices em desacordo com as recomendações da Organização Mundial de Saúde, conforme tabela a seguir:
Índice
3
3
Valor observado (g/m )
Valor recomendado (g/m )
A
26
20 máx
B
72
13 máx
C
54
10 máx
D
8
25 min
Como primeiro passo foi aberta concorrência pública para construção da estação de tratamento com capacidade para 3 100m /h. Uma das firmas participantes da concorrência concluiu que a estação de tratamento poderia utilizar até cinco 3 processos em combinação. As unidades de processo são definidas em m /h. A qualidade da água, obtida nos diversos 3 processos, está na tabela abaixo, onde os índices estão em g/m . Processos Índice
1
2
3
4
5
A
10
8
19
21
20
B
16
6
14
13
45
C
12
15
7
9
16
29
20
26
24
30
5,50
6,10
7,90
7,01
4,82
D 3
Custo do tratamento ($/m )
A água tratada pelos diversos processos é reunida, formando um produto cuja qualidade depende linearmente dos índices obtidos nos diversos tratamentos possíveis (inclusive de uma eventual fração de água não tratada que mantém os índices originais). Para elaborar sua proposta, a firma interessada deve determinar os fluxos destinados aos diversos processos de modo a obter um produto final de acordo com o padrão da OMS e pelo menor custo possível. Estabeleça um modelo de programação linear para auxiliar nessa tarefa. Resposta: 666,9. 49. A Rebombas S/A quer decidir quantos motores elétrico deverá produzir nas próximas 4 semanas, de modo a satisfazer sua demanda a um menor custo, sendo que a demanda da primeira semana é de 90 motores e cresce unitariamente em 30 motores por semana. A Rebombas deve atender seus pedidos em dia. No início do 1º mês, 20 motores estão em estoque. No início de cada mês, a Rebombas deve decidir quantos motores serão produzidos naquele mês. Motores produzidos num mês podem ser usados para atender aos pedidos naquele mesmo mês (pedidos são atendidos no final do mês). A Rebombas por produzir até 40 motores/mês a um custo de $520/motor. Para aumentar a produção, pode usar horas extras, a um custo de $ 580/motor, entretanto por problemas sindicais está limitado na produção máxima de 60 motores/mês. Outra opção é a compra de um fornecedor a um custo de $650/motor. Estocar um motor de um mês para outro custa $ 40/motor. Formule o problema tal que a demanda seja atendida a um mínimo custo. Resposta:328600. 50. Uma determinada instituição resolveu fazer uma campanha publicitária em diversos órgãos de comunicação social. Para tal, efetuou um estudo cujos resultados são sumariados na tabela a seguir apresentada. Órgão de comunicação social
Público atingido pelo anúncio (dividido em 6 grupos)
Custo do anúncio
Benefício devido ao anúncio
A
1, 2 e 4
3
12
B
2, 3 e 6
4
10
C
4, 5 e 6
3
14
D
5, 7 e 8
7
19
E
6, 8 e 9
5
16
Por exemplo, se for efetuado um anúncio no órgão de comunicação social A, os grupos 1,2 e 4 do público são atingidos. Pode supor que A corresponde ao seu jornal preferido e que os grupos 1, 2 e 4 correspondem, por exemplo, a público urbano da zona norte, público não urbano da zona norte e público não urbano da zona sul. Formule um modelo que corresponda a pretender-se minimizar o custo total, mas tendo em conta que a campanha publicitária deve chegar a todos os grupos. Resposta: 38.
