Ano/Sem: 2018/1
ATIVIDADE ACADÊMICA: Pesquisa Operacional I Horário: 53 Prof.ª: Débora Oliveira da Silva
Lista de Exercícios I – I – Alocação, Alocação, Dosagem e Transporte 1. Uma 1. Uma empresa produz um suco a partir da mistura de cinco tipos de sucos naturais e ág ua. Este suco deve conter, em cada litro, pelo menos 10.000 unidades de vitamina A, 50.000 unidades de Vitamina E, 800 unidades de Potássio. Os dados são (unidades/litro): Matéria-prima Laranja Acerola Abacaxi Mamão Caju Água
Vitamina A 20.000 5.000 10.000 5.000 30.000
Vitamina E 80.000 200.000 50.000 20.000 30.000
Potássio 500 400 100 2.000 600
Custo por Litro 0,30 0,50 0,35 0,10 0,25 0,01
Pergunta-se: qual é a mistura a custo mínimo? Xi = quantidade, em litro, da matéria-prima “i” na mistura desejada, onde i = {LA, AC, AB, MA, CA, AG} MIN 0.3 XLA + 0.5 XAC + 0.35 XAB + 0.1 XMA + 0.25 XCA + 0.01 XAG 20000 XLA + 5000 XAC + 10000 XAB + 5000 XMA + 30000 XCA ≥ 10000 80000 XLA + 200000 XAC + 50000 XAB + 20000 XMA + 30000 XCA ≥ 50000 500 XLA + 400 XAC + 100 XAB + 2000 XMA + 600 XCA ≥ 800 XLA + XAC + XAB + XMA + XCA + XAG = 1 2. 2. Uma fábrica de rádios produz os modelos A, B e C, que fornecem lucros de 16, 30 e 50 reais por unidade, respectivamente. As exigências de produção mínima semanal são (em dúzias): 2, 10 e 5, respectivamente. Cada tipo de rádio requer certa quantidade de tempo para a fabricação das partes componentes, para a montagem e para a embalagem. A tabela a seguir mostra estas necessidades de tempo (em horas) para lotes de 12 unidades (que é a quantidade mínima de fabricação): Rádio A B C Disponibilidade
Fabricação 3 3,5 5 120
Montagem 4 5 8 160
Embalagem 1 1,5 3 48
A tabela mostra, ainda, a disponibilidade em horas de cada setor da fábrica. Pergunta-se: qual a programação da produção de maior lucro? Xi = quantidade, em dúzias, do rádio “i” a ser produzido na semana, onde i = {A, B, C}
MAX 192 XA + 360 XB + 600 XC XA ≥ 2 XB ≥ 10 XC ≥ 5 3 XA + 3.5 XB + 5 XC ≤ 120 4 XA + 5 XB + 8 XC ≤ 160 XA + 1.5 XB + 3 XC ≤ 48
1
3. Uma fábrica de cadeiras produz quatro modelos, usando a carpintaria e a seção de acabamento. As necessidades de homens/hora de cada produto na carpintaria são as seguintes, respectivamente: 4, 9, 7 e 10 e, na seção de acabamento, 1, 1, 3 e 40. Os lucros unitários fornecidos por produto são, respectivamente, R$12,00, R$20,00, R$18,00 e R$40,00. A fábrica possui 20 operários na carpintaria e 30 na seção de acabamento, trabalhando 8 horas por dia e 25 dias por mês. Supondo-se que não há restrições de demanda de produto, pergunta-se qual o esquema mensal de produção capaz de maximizar o lucro da fábrica. Xi = quantidade, em unidades, do produto “i” a ser produzido no mês, onde i = {1, 2, 3, 4}
MAX 12 X1 + 20 X2 + 18 X3 + 40 X4 4 X1 + 9 X2 + 7 X3 + 10 X4 ≤ 4000 X1 + X2 + 3 X3 + 40 X4 ≤ 6000 04. Uma empresa fabrica quatro modelos de rebites metálicos a partir de chapas, cada um dos quais deve ser cortado, dobrado e furado. As necessidades específicas de tempo de trabalho (em minutos por 1.000 unidades) de cada um dos produtos são as seguintes: Modelo A B C D
Cortar 3 2 2 4
Dobrar 2 1 2 1
Furar 1 3 1 3
A empresa dispõe, numa base diária, de 2880 minutos de tempo de corte, 2400 minutos de tempo de dobra e 2400 minutos de tempo de furar. Os lucros unitários (R$/1.000 unidades) sobre os produtos são, respectivamente, R$6,00, R$4,00, R$6,00 e R$8,00. Pede-se o esquema de produção que maximiza o lucro. Xi = quantidade, em milhares de uni dades, do produto “i” a ser produzido, onde i = {A, B, C, D} MAX 6 XA + 4 XB + 6 XC + 8 XD 3 XA + 2 XB + 2 XC + 4 XD ≤ 2880 2 XA + XB + 2 XC + XD ≤ 2400 XA + 3 XB + XC + 3 XD ≤ 2400 05. Um fazendeiro dispõe de 400 hectares cultiváveis com milho, trigo ou soja. Cada hectare de milho envolve custos de R$2.000,00 para preparação do terreno, 20 homens/dia de trabalho e gera um lucro de R$600,00. Um hectare de trigo envolve custos de R$2.400,00 para preparação, requer 30 homens/dia de trabalho e gera um lucro de R$800,00. Finalmente, um hectare de soja envolve gastos de R$1.400,00, 24 homens/dia e um lucro de R$400,00. O fazendeiro dispõe de R$800.000,00 para cobrir os custos de preparação do terreno e pode contar também com 8.000 homens/dia de trabalho. Qual deve ser a alocação da terra para os vários tipos de cultura de maneira a maximizar os lucros? Xi = quantidade, em hectares, do produto “i” a ser plantado, onde i = {MI, TR, SO}
MAX 600 XMI + 800 XTR + 400 XSO 2000 XMI + 2400 XTR + 1400 XSO ≤ 800000 20 XMI + 30 XTR + 24 XSO ≤ 8000 XMI + XTR + XSO = 400
2
06. Uma fábrica de bebidas produz 3 tipos de rum: Popular, Standard e Especial, os quais passam por 3 processos dentro da empresa e cujos tempos vemos abaixo (em horas por caixa de bebida): Bebida Esterilização Engarrafamento Embalagem Popular 3 2 1 Standard 4 3 3 Especial 4 4 7 Os lucros unitários fornecidos pelos produtos, na ordem acima, são R$1,00, R$2,00 e R$3,00, r espectivamente. A fábrica dispõe das seguintes quantidades de máquinas: 3 esterilizadores, 2 engarrafadores e 3 embaladores. Pede-se o programa ótimo de produção diária (480 minutos). Xi = quantidade, em unidades por dia, do rum tipo “i” a ser produzido, onde i= {PO, ST, ES}
MAX XPO + 2 XST + 3 XES 180 XPO + 240 XST + 240 XES ≤ 1440 120 XPO + 180 XST + 240 XES ≤ 960 60 XPO + 180 XST + 420 XES ≤ 1440 07. Um Fundo de Investimentos tem as seguintes opções de compra de ações: Empresa Categoria Lucratividade Esperada E1 A 10% E2 A 15% E3 B 5% E4 C 20% E5 A 12% E6 B 15% E7 A 10% E8 C 5% E9 B 5% E10 C 10% As restrições governamentais a fundos de investimentos estabelecem que nenhum investimento isolado pode ultrapassar 15% do capital total do fundo. Além disso, o total de investimentos por categoria não pode ultrapassar 40%. Pede-se qual deve ser a composição percentual da carteira do Fundo. Xi = participação relativa da empresa “i” no fundo de investimento, onde i= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
MAX 1.10 X1 + 1.15 X2 + 1.05 X3 + 1.20 X4 + 1.12 X5 + 1.15 X6 + 1.10 X7 + 1.05 X8 + 1.05 X9 + 1.10 X10 X1 ≤ 0.15 X2 ≤ 0.15 X3 ≤ 0.15 X4 ≤ 0.15 X5 ≤ 0.15 X6 ≤ 0.15 X7 ≤ 0.15 X8 ≤ 0.15 X9 ≤ 0.15 X10 ≤ 0.15 X1 + X2 + X5 + X7 ≤ 0.4 X3 + X6 + X09 ≤ 0.4 X4 + X8 + X10 ≤ 0.4 X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 = 1 3
08. Uma empresa adquire petróleo para produzir gasolina comum, gasolina especial, óleo diesel e querosene. Ela necessita manter em seus tanques, no início de cada semana um estoque mínimo dos produtos. A tabela abaixo mostra, para uma determinada semana, as composições, disponibilidades e estoques mínimos. Qual é o esquema de produção de custo mínimo?
Gasolina Comum Querosene Gasolina Especial Óleo Disponibilidade no fornecedor Custo (por barril)
Petróleo A 10% 10% 20% 60% 280 Barris R$20,00
Petróleo B 40% 20% 30% 10% 150 Barris R$15,00
Petróleo C 10% 20% 60% 10% 150 Barris R$30,00
Estoque Mínimo 100 Barris 50 Barris 50 Barris 100 Barris
Xi = quantidade, em barris, do petróleo “i” a ser adquirido, onde i= {A, B, C}
MIN 20 XA + 15 XB + 30 XC XA ≤ 280 XB ≤ 150 XC ≤ 150 0.1 XA + 0.4 XB + 0.1 XC ≥ 100 0.1 XA + 0.2 XB + 0.2 XC ≥ 50 0.2 XA + 0.3 XB + 0.6 XC ≥ 50 0.6 XA + 0.1 XB + 0.1 XC ≥ 100 09. Um forno elétrico de fundição é utilizado na fabricação de ferro cinzento e uma carga de 5 toneladas deve ser produzida a custo mínimo. Para tal necessita-se determinar a carga do forno, tendo em vista as especificações do produto final. O ferro cinzento deve conter um teor de carbono (percentual em peso) entre 3,05% e 3,30% e um teor de silício entre 1,90% e 2,10%. A matéria-prima disponível está descrita na tabela abaixo: Material Sucata de Aço A Sucata de ferro fundido Sucata de Aço B Sucata de Fundição Briquetes de Carbono Briquetes de Silício
Qtd
Carbono (%) 0,50 3,45 0,40 3,25 100 0
Silício (%) 0,15 2,25 0,30 2,20 0 100
Custo/tonelada Disponibilidade (kg) R$2.000,00 500 R$2.100,00 2.000 R$2.500,00 1.000 R$1.200,00 1.500 R$15.000,00 Infinito R$30.000,00 Infinito
Pergunta-se: qual é a mistura a custo mínimo? Xi = quantidade, em kg, do material “i” na carga do forno, onde i= {SAA, SFF, SAB, SFU, BCA, BSI} MIN 2 XSAA + 2,1 XSFF + 2,5 XSAB + 1,2 XSFU + 15 XBCA + 30 XBSI XSAA ≤ 500 XSFF ≤ 2000 XSAB ≤ 1000 XSFO ≤ 1500 0.005 XSAA + 0.0345 XSFF + 0.004 XSAB + 0.0325 XSFU + XBCA ≥ 152.5 0.005 XSAA + 0.0345 XSFF + 0.004 XSAB + 0.0325 XSFU + XBCA ≤ 165 0.0015 XSAA + 0.0225 XSFF + 0.003 XSAB + 0.022 XSFU + XBSI ≥ 95 0.0015 XSAA + 0.0225 XSFF + 0.003 XSAB + 0.022 XSFU + XBSI ≤ 105 XSAA + XSFF + XSAB + XSFU + XBCA + XBSI = 5000 4
10. Uma metalúrgica possui em seu estoque cinco diferentes tipos de ligas metálicas, cujas composições percentuais são as seguintes: Liga Componente 1 2 3 4 5 Estanho 40 30 60 10 20 Chumbo 40 50 30 70 50 Zinco 20 20 10 20 30 Os custos, por tonelada, das ligas são, respectivamente, R$10,00, R$12,00, R$15,00, R$12,00 e R$14,00. A empresa deseja fundir, a partir das ligas existentes, uma nova liga cuja composição deve ser de 40% de estanho, 45% de chumbo e 15% de zinco. O objetivo é determinar as proporções destas ligas que deveriam ser fundidas para produzir a nova liga a um custo mínimo. Xi = proporção da liga “i” a ser fundida, onde i= {1, 2, 3, 4, 5} MIN 10 X1 + 12 X2 + 15 X3 + 12 X4 + 14 X5 0.4 X1 + 0.3 X2 + 0.6 X3 + 0.1 X4 + 0.2 X5 = 0.40 0.4 X1 + 0.5 X2 + 0.3 X3 + 0.7 X4 + 0.5 X5 = 0.45 0.2 X1 + 0.2 X2 + 0.1 X3 + 0.2 X4 + 0.3 X5 = 0.15 11. Na fabricação de determinados produtos são utilizadas as seguintes matérias-primas nas quantidades indicadas (em kg): Produto Matéria-prima Madeira Plástico Aço Vidro Pintura
A 2
B 1 4
1 1
C 3 1 3 2 2
D
2 1 1
Os estoques das matérias-primas, em toneladas, conforme lista acima, são, respectivamente: 1000, 2000, 800, 1000, 1500. Os lucros unitários dos produtos, conforme lista acima, são: R$20,00, R$30,00, R$25,00 e R$15,00. Pede-se o esquema de produção de lucro máximo. Xi = quantidade, em unidades, do produto “i” a ser produzido, onde i= {A, B, C, D}
MAX 20 XA + 30 XB + 25 XC + 15 XD 2 XA + XB + 3 XC ≤ 1000000 4 XB + XC ≤ 2000000 XA + 3 XC + 2 XD ≤ 800000 2 XC + XD ≤ 1000000 XB + 2 XC + XD ≤ 1500000
5
12. Uma fábrica de alimentos produz 4 tipos diferentes de cereais para o café da manhã. Seu objetivo é programar a produção a lucro máximo para o próximo mês. A composição de ingredientes destes produtos disponibilidade em estoque dos ingredientes é a seguinte: Produto A B C D Disponibilidade
Grãos 85% 95% 65% 75% 10.000 kg
Vitaminas 25% 10% 30% 20% 5.000 kg
Açúcar 4% 2% 1% 3% 500 kg
Conservantes 1% 1% 2% 2% 400 kg
A tabela a seguir mostra o lucro e a demanda dos citados produtos para o próximo mês: Produto A B C C
Lucro R$2,00 R$1,00 R$0,50 R$1,50
Demanda Mínima 1000 kg 1000 kg 1500 kg 500 kg
Demanda Máxima 3000 kg 3000 kg 2000 kg 1000 kg
Pergunta-se: qual é a mistura de lucro máximo? Xi = quantidade, em Kg, do produto “i” a ser produzido no próximo mês, onde i= {A, B, C, D}
MAX 2 XA + XB + 0.5 XC + 1.5 XD 0.85 XA + 0.95 XB + 0.65 XC + 0.75 XD ≤ 10000 0.25 XA + 0.1 XB + 0.3 XC + 0.2 XD ≤ 5000 0.04 XA + 0.02 XB + 0.01 XC + 0.03 XD ≤ 500 0.01 XA + 0.01 XB + 0.02 XC + 0.02 XD ≤ 400 XA ≥ 1000 XA ≤ 3000 XB ≥ 1000 XB ≤ 3000 XC ≥ 1500 XC ≤ 2000 XD ≥ 500 XD ≤ 1000 13. Um fazendeiro tem 50 hectares de terra, R$40.000,00 para investimento e mão-de-obra de 4.000 homens/hora. A receita da fazenda pode ser obtida de três plantações e dois tipos de criação: vacas leiteiras e galinhas poedeiras. A tabela abaixo fornece as informações necessárias.
Mão-de-obra por hectare ou por unidade (homens/hora) Espaço (hectare) por unidade Investimento Receita Líquida Máximo
Soja 50 1 0 800
Milho 100 1 0 1500
Produto Açúcar 50 1 0 500
Vaca 100 0,6 1000 1000 32
Galinha 0,6 0,01 0,3 1 3.000
Pede-se o esquema ótimo de funcionamento da fazenda.
6
Xi = quantidade, em unidades, do produto “i” no esquema da fazenda, onde i= {SO, MI, AC, VA, GA}
MAX 800 XSO + 1500 XMI + 500 XAC + 1000 XVA + XGA 50 XSO + 100 XMI + 50 XAC + 100 XVA + 0.6 XGA ≤ 4000 XSO + XMI + XAC + 0.6 XVA + 0.01 XGA ≤ 50 1000 XVA + 0.3 XGA ≤ 40000 XVA ≤ 32 XGA ≤ 3000 14. Uma empresa tem fábricas nos locais I, II e III, que abastecem armazéns situados em A, B, C e D. As capacidades mensais das fábricas são de 1000, 2500 e 3000, respectivamente. As necessidades mensais mínimas dos armazéns são 1500, 2000, 1500 e 500, respectivamente. Os custos unitários de transporte são os seguintes: Destino Origem I II III
A 5 4 3
B 8 2 5
C 6 2 4
D 9 1 5
Pede-se o esquema de transporte de custo mínimo. Xij = quantidade, em unidades, dos produtos da origem “i” para o destino “j”, onde i= {1, 2, 3} e j={A, B, C, D} MIN 5 X1A + 8 X1B + 6 X1C + 9 X1D + 4 X2A + 2 X2B + 2 X2C + X2D + 3 X3A + 5 X3B + 4 X3C + 5 X3D RESTRIÇÕES: X1A + X1B + X1C + X1D ≤ 1000 X2A + X2B + X2C + X2D ≤ 2500 X3A + X3B + X3C + X3D ≤ 3000 X1A + X2A + X3A ≥ 1500 X1B + X2B + X3B ≥ 2000 X1C + X2C + X3C ≥ 1500 X1D + X2D + X3D ≥ 500 15. Uma firma tem 3 fábricas que distribuem sua produção para quatro depósitos. A capacidade da Fábrica 1 é de 2,2 mil unidades de produto por semana, produção esta que é obtida a um custo médio de $ 83.000 por mil unidades. A capacidade da Fábrica 2 é de 3,4 mil unidades de produto por semana, produção esta que é obtida a um custo médio de $ 78.000 por mil unidades. A capacidade da Fábrica 3 é de 1,8 mil unidades de produto por semana, produção esta que é obtida a um custo médio de $ 94.000 por mil unidades. A gerência tem os seguintes pedidos de entrega de produto nos diversos depósitos para a próxima semana: (a) o depósito 1 solicitou 0,85 mil unidades, (b) o depósito 2 solicitou 0,75 mil unidades, (c) o depósito 3 solicitou 1,34 mil unidades e (d) o depósito 4 solicitou 1,60 mil unidades. Os custos de transporte entre as diversas fábricas e depósitos é como segue (em $ mil / mil unidades de produto): Depósitos Fábricas 1 2 3
1
2
3
4
26 45 53
30 31 29
35 53 40
29 41 49
O problema da gerência é estabelecer a produção e a distribuição da próxima semana, de modo a minimizar o custo total de atender às solicitações dos depósitos. Obs.: Supõe-se que a produção da semana pode ser toda entregue na mesma semana. 7
Xij = quantidade, em unidades, dos produtos da fábrica “i” para o depósito “j”, onde i= {F1, F2, F3} e j={D1, D2, D3, D4} MIN 109 XF1D1 + 113 XF1D2 + 118 XF1D3 + 112 XF1D4 + 123 XF2D1 + 109 XF2D2 + 121 XF2D3 + 119 XF2D4 + 147 XF3D1 + 123 XF3D2 + 134 XF3D3 + 143 XF3D4 XF1D1 + XF1D2 + XF1D3 + XF1D4 ≤ 2200 XF2D1 + XF2D2 + XF2D3 + XF2D4 ≤ 3400 XF3D1 + XF3D2 + XF3D3 + XF3D4 ≤ 1800 XF1D1 + XF2D1 + XF3D1 ≥ 850 XF1D2 + XF2D2 + XF3D2 ≥ 750 XF1D3 + XF2D3 + XF3D3 ≥ 1340 XF1D4 + XF2D4 + XF3D4 ≥ 1600
8
