PERSAMAAN KEADAAN STATISTIK FERMI-DIRAC DAN BOSE-EINSTEIN
Makalah ini dibuat guna memenuhi Mata Kuliah Mekanika Statistik
Dsen ! D"# Siti Nu"ul Khtimah
KE$OMPOK % ! N&R FAI'IN RIA D.I I'A/0ANTI A&RISTA MIFTA/AT&$ I
()*)%+*+, ()*)%+**1 ()*)%+**2
PRO3RAM ST&DI PASCASAR4ANA FISIKA FAK&$TAS MATEMATIKA DAN I$M& PEN3ETA/&AN A$AM INSTIT&T TEKNO$O3I BAND&N3 )*%5
I#
PENDA/&$&AN
Ditinjau secara Kuantum, statistika dibagi menjadi dua yaitu statistika Bose Einstein dan Statistika Fermi Dirac, salah satu perbedaan dari keduanya adalah pemenuhan pemenuhan larangan pauli, dimana Bose einstein tidak memenuhi kaidah larangan pauli, sedangkan fermi dirac memenuhi memenuhi larangan larangan pauli.Sebel pauli.Sebelum um kita membahas membahas tentang tentang persamaan persamaan keadaan keadaan pada Sistem fermi dan bose einsten, alangkah baiknya baiknya kita membahas terlebih dahulu tentang perbedaan utama fermi dirac dan bose einstein secara umum. I#% Statistika Fe"mi Di"a6
Fermion Fermion memenuhi memenuhi prinsip prinsip eksklusi Pauli Pauli dan juga sesuai dengan dengan statistik statistik Fermi Dirac.eori Dirac.eori spin!statistik menyatakan bah"a fermion mempunyai spin yang berupa separuh bilangan bulat. Salah satu cara untuk menggambarkan spin ini ialah bah"a partikel dengan spin #$% , seperti fermion, harus diputar oleh dua rotasi penuh untuk mengembalikan mereka ke keadaan semula. &ontoh!contoh fermion antara lain' elektron, proton, dan neutron. Karena masing!masing masing!masing keadaan kuantum hanya dapat dihuni dihuni paling paling banyak banyak oleh satu elektron elektron (adi, untuk memberikan jumlah dari tingkat energi
•
banyaknya cara
menempati tingkat!tingkat energi ini adalah
s
W k
=Π i =#
)Surungan, %*##+.
g i N i ( g i − N i )
Dengan Dengan mengumpamak mengumpamakan an Pendekatan Sterling, kita dapat menghitung Entropi dari fermion. •
Entropi dari fermion
...)#+
maka kita -enggunak -enggunakan an
...)%+
•
Fungsi partisi dari Fermi Dirrac Fungsi partisi dari grand kanonik sendiri adalah
Q( z , V , T )
∞
= ∑ z N φ N (V , T ) N = *
φ N (V , T ) = dengan ,
... )+
∑
g n e
− β ∑ ε i ni i
n
maka
Q( z , V , T ) =
∞
∑ ∑ z N
N = *
g n e
− β ∑ ε i ni i
n
= #)untukFermi+ N = ∑ ni g n
Bila
Q( z , V , T ) =
∞
∑ ∑ Π( ze
N + * ni
− βε i
i
)
i
ni
µ
z = e
Dengan fungsi fugasi Q( z ,V , T )
*
n*
Sehingga Di dapat
Q( z ,V , T )
= ∑ ∑ ( ze−βε ) ( ze− βε ) n*
#
n#
n#
n = Πi ∑ ( ze −βε ) n i
/anya, oleh karena prinsip ekslusi pauli
Sehingga Q( z , V , T )
= Πi (# + ze − βε
i
...)0+
kT
Banyaknya jumlah partikel dalam sistem,
-aka distribusi fermi diract untuk fermion adalah
...)1+ I#) Statistik Bse-Einstein
Penamaan statistik Bose!Einstein berhubungan dengan kenyataan bah"a partikel yang ditinjau adalah partikel boson, yaitu yang memiliki momen magnetik intrisik )spin+ bulat. Partikel jenis ini tidak diatur oleh larangan Pauli sehingga dapat berada pada tingkat energi yang samadengan yang lainnya. Boson dapat berupa partikel elementer, contohnya foton, gluon dan partikel hipotetik /iggs boson2 dapat pula berupa komposit seperti meson dan atom!atom bahkan molekul2 bergantung pada jumlahan spin!nya, apakah bulat atau pecahan )Surungan, %*##+ •
banyaknya cara
s
W k
=Π i =#
menempati tingkat!tingkat energi ini adalah
( g i + N i − #) N i ( g i − #)
...(6+
Dengan perlakuan sama pada statistik fermi dirac maka didapat untuk entropi dari Bose Einstein adalah •
Entropi Bose! einstein
g i N i N ln # g ln − − ∑i i N i i # − g i
S = k
...)3+
•
Fungsi Partisi
Dalam peninjauan fungsi partisi dari masing masing statistik , fungsi partisi dari fungsi partisi kanonik lengkap yaitu ' Kita dapat menulis ulang persamaan fungsi partisi pada persamaan )+ adalah
Q ( z , V , T )
∞
= ∑ z N φ N (V , T ) N = *
φ N (V , T ) = dengan
∑
g n e
− β ∑ ε i ni i
n
maka
Q( z , V , T ) =
∞
∑ z ∑ g e N
− β ∑ ε i ni i
n
N = *
n
= #)untukBose+ N = ∑ ni g n
Bila
Q( z , V , T ) -aka
∞
= ∑∑ Πi ( ze − βε ) i
i
ni
N + * ni
µ
z = e
Dengan fungsi fugasi
Q ( z ,V , T )
*
n*
Sehingga Di dapat
Q ( z , V , T )
= ∑∑ ( ze− βε ) ( ze− βε ) n*
#
n#
kT
n#
n = Πi ∑ ( ze −βε ) n i
Sehingga Fungsi partis dari Bose Einstein ...)4+
Banyaknya jumlah partikel dalam sistem,
-aka distribusi Bose! einstein 5ntuk Boson adalah ...)6+
Pada sistem boson tidak ada batas dalam mengisi jumlah pada masing!masing le7el anda positif dan negatif pada persamaan inilah yang menyebabkan perbedaan antara kedua distribusi ini. Di mana bah"a dalam distribusi Fermi!Dirac terbukti bah"a peluang elektron menempati suatu keadaan adalah antara * dan #, karena dibatasi oleh pembagi 8#. keadaan atau tidak memenuhi eksklusi Pauli. I#, 3as Ideal Da"i Fe"mi Di"a6
Persamaan keadaan pada umumnya didapat dengan persamaan ...)#*+
Dengan fungsi partisi yang ditunjukkan persamaan )0+ Q( z , V , T )
= Πi (# + ze − βε
i
-aka ...)##+
Serta jumlah keadaan dapat ketahui adalah pada persamaan )1+
Serta kerapatan dari keadaan adalah
... )#%+ Dengan mengganti sigma menjadi integral maka didapat
...)#+ dan
dengan
Serta
Dengan menggunakan fungsi Fermi Dirac yaitu
-aka didapat bentuk seperti pada persamaan )#0+ diba"ah ini
...)#0+
λ = Dengan
h %π mkT
I#+ Pe"samaan Keadaan 3as Ideal Bse Einstein
Persamaan keadaan pada umumnya didapat dengan persamaan )##+, caranya sama denga fermi dirac
Dengan
Q ( z , V , T )
= Πi # − ze − βε
i
-aka
...)#1+ Serta jumlah keadaan dapat ketahui adalah
Serta kerapatan dari keadaan adalah
Dengan mengganti sigma menjadi integral maka didapat
...)#9+
Dan
Dengan
8
Dengan menggunakan fungsi Bose einstein yaitu
-aka didapat bentuk seperti diba"ah ini
...)#3+
λ = Dengan
h %π mkT dan
II# PERSAMAAN KEADAAN 3AS FERMI IDEA$
5ntuk melihat salah satu aplikasi mekanika statistik maka akan dibahas gas fermi ideal. :as fermi ideal adalah kumpulan fermion bebas )/uang,#643+. ;dapun ungkapan dari persamaan keadaan dari fermion adalah sebagai berikut, 5ngkapan fungsi grand partisi untuk fermion, yaitu < )#+
Dengan,
< )%+
fungsi grand partisi dapat juga ditulis dalam bentuk < )+
sehingga,
< )0+
5ntuk menentukan secara eksplisi fungsi grand partisi pada persamaan )0+ kita mengganti tanda penjumlahan dengan integral terhadap 7ariable momentum. 5ntuk maksud tersebut, terlebih dahulu kita ubah ungkapan diskrit menjadi kontinu sebagai berikut, < )1+
Dengan menggunakan )1+ maka )0+ menjadi, < )9+
(umlah rata!rata sistem < )3+
kita dapat menulis, < )4+
Dengan demikian, jumlah rata!rata system dapat ditulis sebagai,
< )6+
Dari semua penjelasan di atas dapat dituliskan dua persamaan utama, yaitu < )#*+
;gar lebih sederhana, didefinisikan panjang gelombang termal sebagai berikut, < )##+
Dengan definisi )##+ maka persamaan )#*+ dapat ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana sebagai berikut,
< )#%+
di mana, < )#+
< )#0+
5ntuk = yang sangat kecil maka
pada persamaan )#0+ dapat diuraikan dalam
deret taylor disekitar = > *, 5raian tersebut adalah,
< )#1+
Sebaliknya, pendekatan untuk = yang besar dilakukan proses berikut,di definisikan
, karena
maka,
< )#9+
Dengan demikian
dapat ditulis sebagai,
< )#3+
Selanjutnya dengan mengganti 7ariabel
sehingga
dan
, dengan demikian persamaan )#3+ mengambi bentuk,
< )#4+
5ntuk menyelesaikan integral pada persamaan )#4+ secara parsial dan diperoleh, < )#6+
Suku pertama di ruas kanan persamaan )#6+ adalah nol sehingga, < )%*+
Selanjutnya kita uraikan
dalam deret taylor disekitar
dan didapat,
< )%#+
Dengan demikian
< )%%+
< )%+
a# Suhu tinggi dan ke"a7atan 8e"min "endah
Pada suhu tinggi laju partikel sangat besar sehingga panjang gelombang de Broglie sangat kecil. Pada kerapatan rendah jarak antar partikel sangat besar sehingga 7olum yang ditempati per partikel besar. ;kibatnya pada kondisi suhu tinggi dan kerapatan fermion rendah terpenuhi, < )%0+
etapi
sehingga pada kondisi ini
menuju * yang
menandakan = menuju *. Dengan demikian, berdasarkan persamaan )%+, dapat dilakukan aproksimasi
menuju pada = menuju *, yaitu
< )%1+
atau < )%9+
5ntuk mencari = dilakukan operasi rekursif sebagai berikut. Dari persamaan di atas, < )%3+
Pendekatan pertama untuk = adalah hanya mengambil suku pertama saja, yaitu
?ilai
disubstitusikan pada = dalam persamaan )%3+ untuk mendapatakan
pendekatan yang lebih teliti untuk =, yaitu < )%4+
Selanjutnya kita mendapat kan jumlah rata!rata system pada keadaan energi ke!i , yaitu < )%6+
-engingat
dan ketika @ A terjadi
, maka
< )*+
yang merupakan distribusi -a"ell!Boltmann )partikel klasik+. Cni berarti pada suhu tinggi dan kerapatan rendah fermion berperilaku sebagai partikel klasik. Ketika membahas fermion pada suhu tinggi dan kerapatan rendah sebenarnya kita dapat langsung menggunakan statsitik klasik, yaitu -a"ell !Bolt=mann, untuk menghindari kerumitan statistik Fermi!dirac. Persamaan keadaan dapat diperoleh sebagai berikut,
< )#+
;tau < )%+
Suku kedua di sebalah kanan sangat kecil sehingga praktis
yang merupakan
persamaan keadaan gas ideal klasik
b# Suhu "endah dan ke"a7atan 8e"min tinggi
5ntuk kondisi ini berlaku
sehingga dapat digunakan aproksimasi
< )%+
;mbil satu suku diruas kanan sebagai aproksimasi dan samakan dengan
atau
sehingga,
< )+
-engingat
maka,
< )0+
etapi
sehingga,
atau < )1+
(umlah sistem yang menempati keadaan energy ke!i adalah < )9+
(ika
maka ketika
sebaliknya jika
.
maka ketika
atau
terjadi
atau
,
terjadi
II#% AP$IKASI SISTEM 3AS FERMI IDEA$ PADA BINTAN3 KATAI P&TI/
Bintang katai putih adalah bintang yang sudah kehabisan bahan bakar hydrogen . idak ada reaksi fusi lebih lanjut. -ateri penyusun bintang hanyalah helium. Sumber energi bintang semata!mata karena energi gra7itasi yang berasal dari kontraksi bintang secara perlahan !lahan. Energi yang dipancarkan sangat sedikit sehingga bintang tampak putih remang !remang. &ontoh bintang ini adalah pengiring Sirius. Binatng ini tidak tampak oleh mata karena terlalu redup tetapi secara periodik menutup Sirius. Bintang ini dan Sirius berotasi mengelilingi pusat massa keduanya. Perkiraan besaran!besaran fisis bintang katai putih adalah kg$m
Kerapatan
-assa
kg
Suhu pusat
Suhu
K
sebesar
K
berkaitan
dengan
energi
sebesar
. Pada suhu ini semua atom
helium terionisasi. Bintang katai putih dapat dipandang sebagai kumpulan inti helium dan electron!elektron yang berberak bebas. Berdasarkan data kerapatan bintang kita
dapat memperkirakan jumlah atom helium
per satuan 7olum. -assa atom helium adalah
(umlah atom helium per satuan 7olum adalah
Satu atom helium menyumbang dua electron. Dengan demikian, kerapatan electron adalah
Kerapatan ini melahirkan energi fermi sebesar
ampak bah"a
energi termal. Dengan demikian dapat dikatakan bah"a dalam
bintang katai putih, electron menempati tingkat!tingkat energi paling dasar, jauh di ba"ah energi fermi. Keadaan ini sangat mirip dengan assembli electron yang berada pada suhu mendekati nol. (adi meskipun suhu bintang katai putih sangat tinggi, tetapi kerapatan yang luar biasa tinggi menyebabkan energi fermi sangat besar. Energi yang dimiliki electron sangat jauh di ba"ah energi fermi. Dari sifat ini kita dapat lakukan idealisasi sebagai berikut, a. Bintang katai putih adalah assembli ? elektron pada keadaan dasar dengan kerapatan sangat tinggi sehingga dinamika electron harus dijelaskan secara relati7istic. b. Elektron bergerak dalam background ?$% buah inti helium yang melakukan gaya gra7itasi sehingga seluruh system menyatu membentuk binatng. ;da tiga mekanisme yang harus diperhitungkan secara bersama pada bintang katai putih, yaitu, a. ekanan electron akibat ekslusi Pauli b. /ukum gra7itasi c. Dinamika relati7istic Energi total relati7istic yang dimiliki electron adalah
Energi assembli gas fermi pada keadaan dasar adalah
Faktor % dimasukkan karena tiap tingkat energi ditepati dua electron dengan arah spin berla"anan. Penjumlahan dia atas dapat diganti dengan integral dengan terlebih dahulu melakukan transformasi sebagai berikut
(adi,
5ntuk menyelesaikan integral diatas dimisalkan
Dengan pemisalan diatas maka persamaan menjadi,
Energi rata!rata yang dimiliki tiap electron adalah
dengan
Dengan,
-isalkan massa total bintang - dan jari!jarinya maka
Karena
;tau
Dengan
dan
maka
ekanan yang dilakukan oleh gas Fermi adalah
Dengan
(adi didapatkan,
5ntuk kasus nonrelati7istic
5ntuk kasus relati7istic
Dengan
Plot Po sebagai fungsi untuk kondisi nonrelati7istk dan relat7isitik tampak pada gambar berikut,
:ambar #. Kebergantungan tekanan pada jari !jari bintang untuk kasus relati7istik dan nonrelati7istik
III#
STATISTIK BOSE-EINSTEIN (B-E
III#% Pe"samaan Keadaan B-E
Berangkat dari persamaan keadaan Bose!Einstein yaitu PV = − ln # − ze −βε p kT p
∑ (
dan
)
)#+
− βε ze ∂ N = z ln Q = ∑ − βε ∂ z p # − ze p
p
)%+
#
dengan β > kT , k adalah konstanta Blot=mann dan ε p adalah energi setiap partikel yang memiliki momentum p. 5ntuk gas ideal B!E, persamaan # dan % berbeda saat z @ #, hal ini berkaitan dengan 7 > *. Dengan mengganti bentuk penjumlahan menjadi bentuk integral diperoleh persamaan keadaan untuk gas ideal B!E yaitu, P kT #
υ
=−
=
∞
0π
0π
h.
(
∫
h.
p % ln # − ze β p
%
$ %m
*
∞
p % dp
∫ z e
−# β p % $ % m
*
−#
+
#
)dp − V # ln (# − z )
)a+
z
V (# − z )
)b+
dimana υ > V $ N . Di sini diperkenalkan fungsi B!E yaitu, g 1 $ % ( z )
∞
0
=−
π
∞
z l
∫ x ln (# − ze )dx = ∑ l − x %
%
l =#
*
g . $ % ( z ) = z
1$ %
)0a+
z ∂ g 1 $ % ( z ) = ∑ . $ % ∂ z l =# l ∞
l
)0b+ dengan memanfaatkan fungsi B!E ini, persamaan keadaan di atas dapat dituliskan menjadi P kT #
υ
=
=
g 1 $ % ( z )
λ .
g . $ % ( z )
λ .
+
−
#
V
#
ln (# − z )
)1a+ z
V (# − z )
dimana λ > h $ %π mkT . 5ntuk z # persamaan keadaan B!E dapat ditulis P g 1 $ % ( z ) = . kT λ #
υ
=
)1b+
)9a+
g . $ % ( z )
λ .
.
Energi internal dari gas ideal B!E dituliskan
U = kT %
∂ ln Q ∂T
)9b+
)3+
dimana
ln Q =
PV
kT . Sehingga diperoleh energi internal gas ideal B!E yaitu . VkT . U = g z PV ( ) = 1 $ % % λ . % . U = PV %
)4+
)6+
Dari persamaan energi internal yang dituliskan pada persamaan 6, selanjutnya akan dicari kapasitas kalor untuk gas ideal B!E. Sebelum diperoleh kapasitas kalor, terlebih dahulu dibahas hubungan antara persamaan 9a dan 9b. Dari kombinasi kedua persamaan tersebut diperoleh persamaan berikut, l −#
N λ . = ∑ l NkT l =# V PV
∞
. )#*+ Bagian kanan dari persamaan #* disebut sebagai ekspansi 7irial dengan nilai l ada!lah
Kapasitas kalor dapat didefinisikan sebagai ! V .
∂ PV = Nk % ∂T Nk .
)##+
Sehingga diperoleh kapasitas kalor
! V Nk
=
. %
∞
1 − .l
l =#
%
∑
l −#
N λ . l V
atau dapat dituliskan dalam bentuk deret
! V Nk
=
N λ . . # + *,*440 % V
% . N λ . N λ . + *,**99 V + *,***0 V +
)#%+
dimana λ > h $ %π mkT , untuk T @ A kapasitas kalor pada persamaan #% akan menjadi
yaitu
! V
=
. %
Nk . Kapasitas kalor untuk tinjauan kuantum akan menjadi klasik saat
temperatur sistem sangat besar. III#) Kndensasi B-E 5ntuk mempelajari lebih detail tentang sifat!sifat persamaan keadaan B!E, kita harus mencari fungsi Fugasi sebagai fungsi dari temperatur dan 7olume spesifik. Dengan menggunakan persamaan 1b. 5ntuk menyelesaikan persamaan 1b terlebih dahulu kita pelajari sifat!sifat dari persamaan B!E secara umum, ∞ l z g n ( z ) = n l =# l .
∑
)#+
ampak bah"a untuk nilai z dari * sampai #, memberikan nilai g n) z + yang meningkat secara positif. :rafik untuk g n) z + dengan nilai z dari * sampai # ditunjukkan pada gambar
#. ?ilai aproksimasi persamaan B!E saat z > # adalah g n)#+ > %,9#%. Selanjutnya dengan mendefinisikan rata!rata bilangan okupasi untuk le7el partikel tunggal dengan momentum 7 > * yaitu n*
= z $(# − z )
)#0+
persamaan 1b dapat ditulis menjadi
λ . n* V
=
λ . − g . $ % ( z ) υ
)#1+
λ . n* nilai
V
harus bernilai positif maka
λ . υ
> g . $ % (#)
)#9+
persamaan #9 menunjukkan bah"a nilai υ harus berhingga. Fenomena ini disebut sebagai Kondensasi Bose!Einstein.
:ambar #. :rafik antara g n) z + dengan z . Selanjutnya kita akan melihat bah"a pada daerah ini, sistem dapat dinyatakan sebagai gabungan dari dua fase termodinamika, fase pertama terdiri dari partikel!partikel yang memiliki momentum 7 > *, fase yang kedua yaitu partikel!partikel yang memiliki momentum 7 *. Saat z > # atau nilai g n)#+ > %,9#% menunjukkan temperatur kritis T ", sehingga dapat didefinisikan
λ ."
= υ g . $ % (#)
)#3+
atau
T "
=
%π
%
mk (υ g . $ % (#) )
%
.
)#4+
dimana υ > 7olume spesifik, m > massa partikel dan k > konstanta Bolt=mann. Dari persamaan #3 dapat diperoleh 7olume kritis υ" saat temperaturnya T yaitu
υ "
=
λ . g . $ % (#)
)#6+
dalam fungsi T "dan υ" daerah yang terjadi kondensasi adalah daerah dimana T T " atau υ# υ". Berikut ini grafik solusi untuk persamaan 1b,
:ambar %. :rafik hubungan antara G $H dengan z dan grafik antara fungsi Fugasi z dengan H$G ditunjukkan pada gambar .
:ambar . :rafik fungsi Fugasi untuk gas ideal B!E :rafik pada gambar % dan dipenuhi untuk 7olume V yang berhingga. 5ntuk kasus V @ A kita peroleh,
# , z = kr − kr g ( z ) = λ . , .$ % υ
λ . ≥ g . $ % (#) υ λ . ≤ g . $ % (#) υ .
)%*+
( λ $ υ ) ≤ g . $ % (#) , nilai z hanya dapat diperoleh dengan numerik. 5ntuk Fungsi termodinamika yang lain untuk gas ideal Bose!Einstein ditunjukkan pada .
persamaan %#, %%, %, %0, dan %1. Dengan mempertimbangkan temperatur kritis T " dan 7olume kritis υ" terhadap temperatur mutlak T dan 7olume spesifik υ diperoleh persamaan!persamaan termodinamika berikut, . kT υ g ( z ) , T > T tuυ > υ " " U % λ . 1 $ %
= . kT .υ g 1 $ % (#) , T < T " tuυ < υ " % λ 2 υ g ( z ) − ln z , T > T tuυ > υ " " λ . 1 $ % % − = NkT υ T < T " tu υ < υ " λ . g 1 $ % (#) , 2 ln z , T > T " tuυ > υ " & = T < T " tu υ < υ " NkT *, 2 1 υ g ( z ) − ln z , T > T tuυ > υ " " 1$ % S % λ . = Nk 1 υ T < T " tuυ < υ " % λ . g 1 $ % (#) , 2 #1 υ g ( z ) − 6 g . $ % ( z ) , T > T tuυ > υ 1$% " " . ! V 0 λ 0 g # $ % ( z ) = Nk #1 υ T < T " tu υ < υ " 0 λ . g 1 $ % (#) , . N
)%#+
)%%+
)%+
)%0+
)%1+ Persamaan %# adalah persamaan Energi Cnternal gas ideal B!E, persamaan %% merupakan Fungsi /elmholt= untuk gas ideal B!E, persamaan % merupakan Fungsi :ibbs untuk gas ideal B!E, persamaan %0 adalah Entropi gas ideal B!E, dan persamaan %1 adalah Kapasitas Kalor untuk gas ideal B!E. III#, Ftn &ahaya merupakan salah satu contoh dari gelombang elektromagnetik. Dalam teori kuantum foton dihasilkan dari medan elektromagnetik. Setiap foton memiliki energi yaitu '( dan momentum 'κ , dimana ) > 9κ 9 : ($". Sesuai dengan konsekuensi trans7ersalitas
gelombang
yang
merupakan
salah
satu
sifat
dari
gelombang
elektromagnetik, foton hanya memiliki dua 7ektor polarisasi α. Dengan mengambil kasus
gelombang elektromagnetik yang berada pada kubus dengan 7olume V > *, didapatkan nilai untuk κ yaitu,
%π * n. dimana n adalah komponen 7ektor yang bernilai *, I #, I %, I ,... . Dari nilai κ :
)%9+ κ pada
persamaan %9, maka dapat jumlah momentum yang dibolehkan antara ) dan ) 8 d) dapat dirumuskan sebagai berikut,
+ ( κ ) d κ =
0π V
( %π )
.
κ % d κ
. )%3+ Selama atom dapat mengemisi dan mengabsorbsi foton, maka jumlah kuantitas foton tidak tetap. Energi total untuk foton sejumlah n dengan momentum propagasi κ,α
αadalah
, ( nκ ,α ) =
∑
κ
dan polarisasi
ω nκ ,α
κ ,α
, )%4+ dimana J > c κ dan n : *, #, %, ,... . Dalam ruang 7akum, foton tidak tampak, hal ini κ,α
akan mengakibatkan nilai potensial kimia dari foton adalah *. Sehingga fungsi partisi dari foton dapat dituliskan,
Q=
# Π κ ,α # − e − β ω ,
)%6+
dengan β > #$kT dan ( > c κ , jika persamaan %6 ditulis dalam logaritmik menjadi ln Q = −% ln (# − e − β ω κ . Sedangkan rata!rata bilangan okupasi untuk foton adalah # ∂ ( ln Q ) nκ = − = β ω % β ∂ ( ω ) e −#,
∑
)*+
)#+ faktor % menunjukkan dua kemungkinan polarisasi dari foton. Energi internal foton U didefinisikan sebagai, U = −
maka diperoleh
U =
∂ ( ln Q ) ∂β ,
∑
)%+
ω nκ
. )+ ekanan dapat diperoleh dengan mengubah terlebih dahulu fungsi Q)J,T + menjadi κ
Q)V ,T +, sehingga fungsi partisinya dapat ditulis,
∑ ln (# − e
ln Q = −%
− β " %π nV −#$ .
n
dengan definisi tekanan P =
diperoleh
∂( ln Q ) β ∂V ,
) ,
)0+
#
)1+
P =
# .V
∑
ω nκ
κ
# PV = U .
.
)9+ Sekarang kita menghitung energi internal U untuk seluruh ruang, dengan memanfaatkan persamaan %3 dan mengganti bentuk penjumlahan menjadi integral pada persamaan , maka U =
4π "V
( %π ) .
∞
∫ (e
κ .d κ β "κ
*
V
∞
ω .d ω
= ( eβ ω − #) . − #) π %". ∫ *
)3+
Sehingga diperoleh energi internal per satuan 7olume yaitu ∞
U
= ∫ u( ω ,T ) d ω
V
, dimana u)(,T + adalah fungsi radiasi Planck dengan bentuk
u ( ω , T )
=
*
)4+
.
ω
π %" . ( e β ω − #) ,
)6+
dengan menghitung bentuk integral pada persamaan 4, diperoleh hasil U V
=
π % ( kT ) #1( " )
0
.
. )0*+ Selanjutnya diperoleh kapasitas kalor per satuan 7olume yaitu 0π % k 0T . "V = . #1( " ) . )0#+ Dari hasil ini terlihat bah"a kapasitas kalor ! V L T . Cntensitas foton adalah jumlah energi foton yang menembus suatu permukaan per satuan "aktu. Cntensitas foton dapat dirumuskan sebagai berikut, . " u ( ω , T ) ω - ( ω , T ) = = % % β ω − #) , 0 0π " ( e )0%+ jika kita plotkan intensitas foton sebagai fungsi dari frekuensi dengan temperatur yang berbeda!beda maka diperoleh grafik seperti yang ditunjukkan pada gambar 0.
:ambar 0. :rafik hukum adiasi Planck :rafik pada gambar 0 menunjukkan bah"a bila temperatur benda berbeda!beda maka akan menghasilkan frekuensi intensitas maksimum yang berbeda!beda pula. Selanjutnya
dengan mengintegralkan persamaan 0% untuk seluruh nilai frekuensi, maka diperoleh intensitas foton sebagai fungsi dari temperatur. ∞
- ( T )
= ∫ - ( ω , T ) d ω = *
∞
( %π " )
%
∫ ( e
ω . β ω
*
− #)
d ω
diperoleh
π % k 0 0 T . 9*( " ) .
- ( T ) =
)0+
π % k 0 = σ . ( ) " 9* , konstanta . disebut sebagai konstanta Stefan!Bolt=mann. dimana III#+ Fnn
Fonon merupakan kuantitas gelombang bunyi dalam bentuk makroskopis. Bahasan tentang fonon biasanya pada =at padat. Dalam =at padat kecepatan fonon " tidak bergantung pada 7ektor polarisasi. Sehingga kita dapat mengabaikan faktor polarisasi pada fonon. (ika suatu =at padat memiliki N buah atom, maka fonon akan memiliki N mode normal. (umlah mode normal pada fonon dengan frekuensi antara ( dan ( 8 d( dapat dituliskan %
+ ( ω ) d ω =
.ω %
%π "
.
d ω
.
)00+
(ika persamaan 00 kita integralkan sampai nilai frekuensi maksimum (m maka diperoleh ω m
∫ + ( ω ) d ω = . N *
.
)01+
?ilai N ini merupakan jumlah maksimum mode gelombang fonon. Sehingga energi total dari fonon dapat ditulis , ( ni )
. N
= ∑ ω ni i =#
.
)09+
,
)03+
Sehingga fungsi partisinya menjadi . N
Q = Π (# − e −β ω ) i =#
jika ditulis dalam logaritmik
−#
. N
ln Q
= −∑ ln (# − e −β ω )
i
i =#
.
)04+
∂ ln Q . N ω i = β ω ∂β ∑ −# . i =# e
)06+
Sedangkan energi internal fonon adalah U = −
i
Selanjutnya dengan memanfaatkan persamaan 00, kita hitung energi internal fonon untuk seluruh ruang
U =
.V
ω m
ω . d ω
∫ ( e
%π % " .
β ω
*
− #) ,
)1*+
dengan memisalkan β ω = t maka persamaan 1* menjadi
U N
=
6( kT )
0 β ω
t . dt
∫ ( e − #)
( ω ) .
t
,
*
)1#+
dimana β = # $ kT . Persamaan 1# mirip dengan fungsi Debye seperti berikut
/ ( x )
=
.
( x ) .
x
t .dt
∫ (e − #) t
*
,
)1%+
jika ditulis dalam bentuk deret
. x % # − 4 x + %* + , ( x << #) /( x ) = 0 π + Α( e − x ), ( x >> #) 1 x . .
)1+
Dari sini kita perkenalkan temperatur Debye. emperatur Debye didefinisikan sebagai berikut
T /
Sehingga persamaan 1# dapat ditulis
≡
ω m
k .
)10+
. T / # T / % , ( T >> T / ) − + + kT . # T T 4 %* U = .kT/( γ ) = . 0 N −T T π T , ( T << T / ) .kT 1 T + Α e / , /
γ ≡
)11+
T /
dimana
T . Sedangkan kapasitas kalor untuk fonon adalah ! V
= dU $ dT ,
)19+
diperoleh ! V Nk
= . /( γ ) + .T
d/( γ ) dT
.γ = . 0 /( γ ) − γ e − # ,
)13+
atau dalam bentuk deret
# T / % , ( T >> T / ) .# − + T %* ! V = Nk #%π 0 T . − T T ( T << T / ) , 1 T + Α e / . /
)14+
(ika persamaan 14 diplotkan akan diperoleh grafik seperti yang ditunjukkan pada gambar 1 berikut ini
:ambar 1. :rafik kapasitas kalor fonon terhadap temperatur. :rafik pada gambar 1 menunjukkan bah"a kapasitas kalor fonon sebanding dengan T jika T T /, hal ini akan memberikan konsekuensi untuk T T / , kapasitas kalor fonon akan menuju nol. Sedangkan untuk T MMT /, kapasitas kalor fonon akan N Nk , hal ini
