BAB I PERSAMAAN GARIS LURUS A. DEFINISI GARIS LURUS Garis adalah salah satu objek elementer dalam matematika, khususnya geometri. Karena merupakan objek elementer, garis biasanya tidak didefinisikan. Garis lurus adalah garis yang menghubungkan dua titik dengan jarak yang terdekat. Sebelum memahami garis lurus lebih jauh, maka akan dibahas Koordinat kartesius terlebih dahulu.
1.1 Koordinat Cartesius Koordinat cartesius dalam hal ini adalah kerangka acuan dari setiap objek geometri 2 dimensi. Perhatikan gambar 3.1, gambar tersebut menunjukkan bidang koordinat cartesius yang memiliki sumbu mendatar (sumbu x) dan sumbu tegak (sumbu y). Titik potong kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal atau titik koordinat. Pada gambar 3.1 titik pusat koordinat ditunjukkan oleh titik O (0,0) .
B. GRADIEN 2.1 Pengerian Gradien Salah satu komponen yang penting dalam garis lurus adalah kemiringan garis atau biasa disebut gradien. Gradien merupakan perbandingan antara jarak vertikal dengan jarak horizontal dari dua buah titik yang dilalui garis lurus. Menghitung gradien akan lebih mudah dilakukan jika garis diletakkan pada koordinat cartesius. 2.2 Perhitungan gradien a) Menghitung gradien pada persamaan garis y = mx Gradien suatu garis dapat ditentukan melalui perbandingan antara ordinat dan absis sehingga dapat ditulis sebagai berikut :
1
Contoh soal : Tentukanlah gradient dari persamaan berikut : a. y = 2x b. x = 2y c. 2x + 3y = 0 Jawab : a. Persamaan garis y = 2x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi diperoleh m = 2 b. Persamaan garis x = 2y diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx sehingga
Persamaan garis y = ½ x sudah memenuhi bentuk y = mx jadi diperoleh m = ½ x c. Persamaan 2x + 3y = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx sehingga
Persamaan garis y = -⅔ x sudah memenuhi bentuk y =mx jadi diperoleh m= -⅔ x b) Menghitung garis pada persamaan garis y = mx + c Sama halnya dengan perhitungan gradien pada persamaan garis y = mx. Perhitungan pada garis y = mx + c dilakukan dengan cara menentukan nilai konstanta didepan variabel x. Contoh soal : Tentukanlah gradien dari persamaan berikut : a. 2y = x + 12 b. 2 + 4y = 3x + 5 Jawab : a. Parsamaan garis 2y = x + 12 terlebih dahulu di ubah menjadi bentuk y = mx + c sehingga
2
b. Persamaan 2 + 4y = 3x + 5 terlebih dahulu diubah menjadi bentuk y = mx + c sehingga
c) Menghitung gradien pada persamaan garis ax + by + c = 0 Sama dseperti sebelumnya, gradient pada persamaan garis ax + by + c = 0 dapat ditentukan dengan cara mengubah terlebih dahulu persamaan garis tersebut kedalam bentuk y = mx + c. Kemudian nilai gradient diperoleh dari nilai konstanta m didepan variabel x. Contoh soal : Tentukanlah gradient dari persamaan garis berikut : a. x + 2y + 6 = 0 b. 4x + 5y = 9 Jawab : a. Persamaan garis x + 2y + 6 = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c sehingga
b. Persamaan garis 4x + 5y = 9 diubah terlebih dahulu menjadi y = mx + c sehingga
3
d) Menghitung gradient pada garis yang melalui dua titik
Grafik 1 Perhatikan grafik 1. Garis l melalui dua titik yaitu titik A (x1, y1) dan titk B (x2, y2). gradien dinotasikan dengan m garis l dihitung dengan rumus
Contoh soal : Tentukanlah gradient garis yang melalui titik koordinat A (2, 2) dan B (4, 4) Jawab : Untuk titik A (2, 2) maka
,
Untuk titik B (4, 4) maka
,
m=
1
Jadi, gradiennya adalah 1. 2.3 Sifat-sifat Gradien a) Gradient garis yang sejajar dengan sumbu x
Pada gambar 3.7 garis k melalui titik A (-1, 2) dan B (3, 2). Garis tersebut sejajar dengan sumbu x. Gradient garis k dapat dihitung dengan cara sebagai berikut
4
Untuk titik A (-1, 2) maka Untuk titik B (3, 2) maka
, ,
0
m= Jadi, gradiennya adalah 0
Perhitungan tersebut memperjelas tentang gradien garis yang sejajar dengan sumbu x nilai gradiennya adalah nol. b) Gradien garis yang sejajar dengan sumbu y
Pada gambar 3.8 garis l yang melalui titik C (1, 3) dan D (1, -1) letaknya sejajar dengan sumbu y. gradien l dapat dihitung dengan cara sebagai berikut Untuk titik C (1, 3) maka Untuk titik D (1, -1) maka m=
, ,
~
Jadi, gradiennya adalah tak terhingga Perhitungan tersebut memperjelas tentang gradien garis yang sejajar dengan sumbu y tidak memiliki gradient. c) Gradient dua garis yang sejajar
Pada gambar 3.8 garis k dan l adalah garis yang sejajar.
5
-
Garis k melalui titik A (-2, 0) dan B (0, 2) gradient k dapat dihitung dengan cara sebagai berikut
Untuk titik A (-2, 0) maka Untuk titik B (0, 2) maka
, ,
1
m= Jadi, gradiennya adalah 1 -
Garis l melalui titik C (0, -1) dan D (1, 0) gradient l dapat dihitung dengan cara sebagai berikut
Untuk titik C (0, -1) maka
,
Untuk titik D (1, 0) maka
,
m= Jadi, gradiennya adalah 1 Perhitungan tersebut memperjelas tentang gradient garis yang sejajar memiliki gradient yang sama. d) Gradient dua garis yang tegak lurus
Pada gambar 3.10 garis k dan l adalah garis yang tegak lurus. -
Garis k melalui titik C (3, 0) dan D (0, 3) gradient k dapat dihitung dengan cara sebagai berikut
Untuk titik C (3, 0) maka
,
Untuk titik D (0, 3) maka
,
= Jadi, gradiennya adalah –1 -
Garis l melalui titik A (-1, 0) dan B (0, 1) gradient l dapat dihitung dengan cara sebagai berikut
6
Untuk titik A (-1, 0) maka Untuk titik B (0, 1) maka
, ,
= Jadi, gradiennya adalah 1 Hasil kali dua gradient tersebut adalah
x
= 1 x -1 = -1
Perhitungan tersebut memperjelas tentang hasil kali antara dua gradient dari garis yang saling tegak lurus adalah -1
C. MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS LURUS Persamaan garis lurus menyatakan titik-titik yang dilalui oleh suatu garis lurus. Seperti yang telah dibahas sebelumnya bentuk y = mx merupakan bentuk parsamaan garis lurus sederhana. Dikatakan bentuk sederhana karena garis yang dibentuk oleh persamaan garis tersebut selalu melalui titik pusat koordinat. Bentuk umum dari persamaan garis lurus adalah Persamaan garis ini hampir sama dengan bentuk sederhananya namun diberi tambahan konstanta (dengan lambang c). hal ini menunjukkan bahwa garis yang dibentuk oleh persamaan garis tersebut tidak akan melalui titik O (0, 0). 3.1 Menentukan persamaan garis dari gradient dan titik koordinat
Pada gambar 3.11 menunjukkan sebuah garis k pada bidang koordinat cartesius. Garis tersebut memulai titik A (
) dan tidak melalui titik pusat koordinat sehingga persamaan garis pada
gambar 3.11 dapat ditulis
…(1) Adapun bentuk umum persamaan garis yang tidak
melalui titik pusat koordinat diitulis y = mx + c…(2) Jadi ditentukan selisih dari persamaan (2) dan persamaan (1) maka diperoleh :
7
Selanjutnya diperoleh rumus umum untuk menentukan persamaan garis jika diketahui gradient dan titik koordinat yaitu
Contoh soal : Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(3, 5) dan memiliki gradien –2. Jawab : Untuk titik P(3, 5) maka x1 = 3, y1 = 5. Dengan menggunakan rumus umum, diperoleh persamaan garis: y – y1 = m (x – x1) y – 5 = –2 (x – 3) y – 5 = –2x + 6 y = –2x + 6 + 5 y = –2x + 11 atau 2x + y – 11 = 0 3.2 Menentukan persamaan garis yang melalui dua titik Cara untuk menentukan persamaan garis yang melalui dua titik hampir sama dengan rumus umum yang telah dipelajari sebelumnya. Perhatikan uraian berikut :
y -
m (x-
) adalah rumus umum persamaan garis dari gradient dan titik
koordinat
Jadi, rumus untuk menentukan persamaan garis yang melalui dua titik koordinat adalah
Contoh soal Tentukan persamaan garis yang melalui titik-titik koordinat berikut. a. A (3, 3) dan B (2, 1) b. C (–1, 4) dan D (1, 3) c. E (6, 10) dan F (–5, 2) Jawab : a. Untuk titik A (3, 3) maka x1 = 3 dan y1 = 3. Untuk titik B (2, 1) maka x2 = 2 dan y2 =1.
8
Persamaan yang diperoleh:
–1 (y – 3) = –2 (x – 3) –y + 3 = –2x + 6 2x – y + 3 – 6 = 0 2x – y – 3 = 0 Jadi, persamaan garisnya adalah 2x – y – 3 = 0. 3.3 Menentukan koordinat titik potong dari dua garis lurus
Pada gambar 3.12 terdapat dua garis dalam dalam bidang koordinat yaitu garis k dan l. dalam gambar 3.12 (a) kedua garis tersebut sejajar. Adapun pada gambar 3.12 (b) kedua garis tersebut tidak sejajar sehingga keduanya berpotongan pada suatu titik yaitu titik A (
) jadi titk potong dapat dicari dari dua garis yang tidak sejajar. Cara menentukan
koordinat titik potong dari dua persamaan garis dapat dilakukan dengan dua cara yaitu cara menggambar (cara grafik) dan cara subsitusi. a) Cara grafik Dengan cara ini, dua persamaan garis digambar kedalam bidang koordinat cartesius sehingga koordinat titik potong kedua garis tersebut dapat dilihat dari gambar.
9
Contoh soal
b) Cara subsitusi Dengan cara subsitusi, salah satu variabel dari persamaan garis yang diketahui dimasukkan (disubsitusikan) kedalam variabel yang sama dari persamaan garis yang lain. Contoh soal Dengan cara substitusi, tentukan koordinat titik potong antara garis 3x + y = 5 dan garis 2x – 3y = 7 Jawab : Ikuti langkah-langkah berikut. • Ambil salah satu persamaan garis, misalnya 3x + y = 5. • Tentukan salah satu variabel dari garis tersebut, misalnya y. 3x + y = 5 maka y = 5 – 3x. • Substitusikan nilai y tersebut ke dalam persamaan garis yang lain. 2x – 3y = 7 2x – 3(5 – 3x) = 7 2x – 15 + 9x = 7 2x + 9x = 7 + 15 11x = 22 x=2 • Substitusikan nilai x ke dalam salah satu persamaan garis. 3x + y = 5 3 (2) + y = 5 6+y=5 y=5–6 y = –1 • Diperoleh x = 2 dan y = –1. Jadi, koordinat titik potong kedua garis itu adalah (2, –1)
10
BAB II SEGITIGA
A. DEFINISI SEGITIGA Segitiga adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga garis dan memiliki 3 titik sudut.
Unsur-unsur segitiga 1. Tiga ruas garis, yaitu AB, BC dan AC 2. Tiga titik sudut, yaitu sudut A, B dan C 3. Tinggi segitiga, yaitu t 4. Jumlah ketiga sudut adalah 180° Jadi, sudut A+B+C = 180° Luas segitiga
= ½ × alas × tinggi = ½ × AB × CD
Keliling segitiga
= jumlah sisi-sisi = AB + BC + AC
B. JENIS SEGITIGA Berdasarkan panjang sisi-sisinya, segitiga dibagi menjadi 3, yaitu : JENIS SEGITIGA
GAMBAR
CIRI-CIRI
Segitiga sama sisi
Panjang sisi AB=BC=CA
Memiliki 3 sumbu simetri
Segitiga sama kaki
Panjang sisi AC=AB
Memiliki 1 sumbu simetri
Segitiga sembarang
11
Panjang sisi tidak sama
Besar sudut tidak sama
AB≠BC≠AC
Berdasarkan besar sudutnya, segitiga dibagi menjadi 3, yaitu : GAMBAR
JENIS DAN DEFINISI Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku 90°.
Segitiga lancip adalah segitiga yang masingmasing sudutnya kurang dari 90°.
Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya lebih dari 90°.
C. DALIL PYTHAGORAS Pada segitiga siku-siku, berlaku dalil Pythagoras yaitu : Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat dari kedua sisi penyikunya. Perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut! Segitiga ABC siku-siku di A AB = Sisi penyiku datar AC = Sisi penyiku tegak BC = Sisi miring (hipotenusa) Berdasarkan dalil Pythagoras : BC² = AC² + AB² atau a² = b² + c² Dari dalil pythagoras dalam segitiga siku-siku, kita dapat menentukan sisi-sisi segitiga dengan tripel Pythagoras. Tripel Pythagoras adalah tiga pasang bilangan yang memenuhi dalil Pythagoras. Contoh tripel Pythagoras : a. 3, 4, 5 dan kelipatannya b. 5, 12, 13 dan kelipatannya c. 7, 24, 25 dan kelipatannya
12
Contoh soal : 1. Sebuah segitiga memiliki alas 24 cm dan tinggi 15 cm. Berapakah luas segitiga tersebut? Jawab : Luas segitiga
= ½ x alas x tinggi = ½ x 24 cm x 15 cm = 180 cm²
2. Suatu segitiga segitiga sama kaki memiliki panjang sisi alas 25 cm dan sisi kaki 20 cm. keliling segitiga tersebut adalah…. Jawab : alas (a) = 25 cm, kaki (q) = 20 cm K= a + 2q = 25 + (2 x 20) = 25 + 40 = 65 Jadi, keliling segitiga sama kaki itu adalah 65 cm. 3. Pada segitiga siku-siku (90°) diketahui tingginya 8 cm dan alasnya 6 cm. Berapakah panjang sisi miring segitiga tersebut? Jawab : a² = 8² + 6² a² = 64 + 36 a² = 100 a = √100 a = 10 cm
13
BAB III BANGUN DATAR A. DEFINISI BANGUN DATAR Bangun datar adalah bagian dari bidang datar yang dibatasi oleh garis-garis lurus atau lengkung.
B. JENIS BANGUN DATAR JENIS BANGUN, CIRI-CIRI & DEFINISI
RUMUS LUAS & KELILING
PERSEGI (BUJUR SANGKAR/ SQUARE)
Luas Persegi
Persegi adalah bangun datar yang memiliki Luas=sisi x sisi = s² empat buah sisi yang sama panjang.
Keliling Persegi a. b. c. d. e.
Memiliki 4 sisi yang sama panjang (AB=BC=CD=AD) Kel= 4 × sisi= 4s Memiliki 4 sudut (
=pxl
berhadapan sama panjang dan sejajar. a. Memiliki 2 pasang garis sejajar dan sama panjang AB= DC dan AB//DC Keliling Persegi BC= AD dan BC//AD Panjang b. Memiliki 4 sudut siku-siku, yaitu (
14
JAJARGENJANG (RHOMBUS)
Luas Jajargenjang
Jajargenjang adalah bangun datar yang
Luas= alas x tinggi
dibatasi oleh 4 sisi dimana sisi-sisi yang
=AB x t
berhadapan sama panjang dan sejajar, tetapi sisi-sisinya tidak saling tegak lurus. a. Memilki 4 sisi, dimana sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar AB=DC dan AB//DC AD=BC dan AD//BC b. Memiliki 2 garis diagonal yang panjangnya tidak sama, AC≠BD c. Tidak memiliki sumbu simetri d. Dapat dipasangkan dalam bingkai dengan 2 cara LAYANG-LAYANG
Keliling jajargenjang Kel=AB+BC+CD+DA
Luas Layang-layang
Layang-layang adalah bangun datar segi empat Luas= ½ x yang dibentuk oleh dua segitiga sama kaki yang
x
= ½ x AC x BD
alasnya sama panjang dan berimpit.
a. Memiliki 4 sisi dengan 2 pasang sisi sama panjang, yaitu Keliling LayangAB=BC dan AD=CD layang b. Memiliki 2 garis diagonal yang berpotongan tegak lurus dan tidak sama panjang Kel=AB+BC+CD+DA c. Memiliki 1 sumbu simetri d. Dapat dipasangkan dalam bingkai dengan 2 cara BELAH KETUPAT (DIAMOND)
Luas Belah Ketupat
Belah ketupat adalah bangun datar yang dibatasi oleh 4 sisi yang sama panjang, dengan
Luas= ½ x
x
= ½ x AC x BD
sisi-sisi yang berhadapan saling sejajar dan sisisisinya tidak saling tegak lurus. Keliling Belah a. Memiliki 4 sisi yang sama panjang AB=BC=CD=DA b. Memiliki 2 garis diagonal yang panjangnya tidak sama, AC≠BD c. Kedua diagonalnya berpotongan saling tegak lurus, AC±BD d. Memiliki 2 sumbu simetri, yaitu garis AC dan BD e. Dapat dipasangkan dalam bingkai dengan 4 cara
15
Ketupat Kel= 4 x sisi
TRAPESIUM (TRAPEZIUM)
Luas Trapesium
Trapesium adalah bangun datar segi empat
L= ½ x (jumlah sisi
yang sepasang sisi berhadapan saling
sejajar x tinggi)
sejajar. Cirri-ciri trapesium :
Atau
a. Setiap trapesium memiliki sepasang sisi yang sejajar b. Pada trapesium sama kaki, terdapat 2 garis diagonal yang sama panjang dan 2 pasang sudut yang sama besar c. Pada trapesium siku-siku, selalu terdapat 2 sudut siku-siku Jenis-jenis trapesium
L= ½ x (AD+BC) x t
1. Trapesium sama kaki 2. Trapesium siku-siu 3. Trapesium sembarang LINGKARAN (CIRCLE) Lingkaran
Luas Lingkaran adalah
bangun
datar
yanng Luas= π x r²
memiliki simetri lipat dan simetri putar tak terhingga.
π (phi) =
atau 3.14
a. Panjang diameter sama dengan dua kali jari-jarinya Keliling Lingkaran b. Panjang jari-jari setengah panjang diameternya mempunyai Kel= 2 x π x r simetri lipat dan simetri putar tak terhingga c. Mempunyai besar sudut 360° d. Mempunyai sumbu simetri tak terhingga e. Mempunyai satu titik pusat Istilah-istilah dalam lingkaran a. Diameter lingkaran (d) yaitu ruas garis yang menghubungkan dua titik pada busur lingkaran melalui titik pusat lingkaran. b. Jari-jari lingkaran (r) yaitu ruas garis yang menghubungkan titik pada busur lingkaran dengan titik pusat lingkaran. c. Busur yaitu bagian lingkaran yang dibagi oleh tali busur. d. Juring yaitu daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh 2 jari-jari maupun busur lingkaran. e. Tembereng yaitu luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur. f. Apotema yaitu garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran. g. Tali busur yaitu garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran. h. Titik pusat yaitu titik yang terletak ditengah-tengah lingkaran.
16
Contoh soal : 1. Sebuah persegi panjang memilki panjang 24 cm dan lebar 15 cm. Berapakah luas dan keliling persegi panjang tersebut? Jawab : a. Luas = p x l = 24cm x 15 cm = 360 cm² b. Keliling = 2 x (p + l) = 2 x (24 cm + 15 cm) = 2 x 39 = 78 cm 2. Sebuah belah ketupat memiliki panjang sisi 40 cm dan panjang diagonal-diagonalnya adalah 34 cm dan 42 cm. hitunglah luas dan kelilingnya! Jawab : Luas = ½ x
x
= ½ x 34 cm x 42 cm = 714 cm² Keliling = 4 x panjang sisi = 4 x 40 cm = 160 cm 3. Kolam ikan dibelakang rumah berbentuk persegi dengan luas 625 cm². Keliling kolam itu adalah? Jawab : Luas persegi = sisi² L = s² 625 = s² s=√
m = 25 m
Keliling kolam = 4 x sisi = 4 x 25 m = 100 m
17
BAB IV BANGUN RUANG A. DEFINISI BANGUN RUANG Bangun ruang adalah suatu bangun yang memiliki isi (volume). Bangun ruang terbentuk oleh perpotongan ruas garis-ruas garis yang mempunyai bagian-bagian sisi, rusuk, dan titik sudut atau pojok.
B. PENGERTIAN SISI, RUSUK, DAN TITIK SUDUT Sisi adalah suatu bidang yang membatasi bangun ruang dan sekitarnya. Rusuk adalah pertemuan dua buah sisi yang berupa ruas garis. Banyaknya rusuk suatu bangun ruang sama dengan hasil jumlah banyaknya titik sudut dan sisi, kemudian dikurangi dua. r = (ts + s) - 2 dengan : r = rusuk ts= titik sudut s= sisi Titik sudut adalah suatu titik tempat pertemuan tiga buah rusuk atau lebih. Contoh :
C. JENIS BANGUN RUANG JENIS BANGUN RUANG KUBUS
RUMUS-RUMUS s = panjang rusuk
Kubus adalah bangun ruang yang kubus dibatasi oleh 6 sisi yang berbentuk Luas permukaan persegi yang kongruen.
kubus = 6s² Volume kubus = s³ Panjang diagonal sisi
a. Banyak rusuk : 12 rusuk yang sama panjang yaitu AB, = s√ BC, CD, AD, EF, FG, GH, EH, AE, FB, CG dan DH. b. Banyak sisi : 6 sisi berbentuk persegi yaitu ABCD, Panjang diagonal EFGH, BCGF, ADHE, ABFE dan DCGH. ruang = s√ c. Banyak titik sudut : 8 yaitu titik A, B, C, D, E, F, G dan H. d. Sepasang sisi yang berhadapan saling sejajar dan sisi kubus yang berpotongan saling tegak lurus. 18
BALOK
Panjang = p; lebar = l; Balok adalah bangun ruang yang tinggi = t dibatasi
oleh
6
sisi
berbentuk Luas permukaan
persegi panjang yang terdiri atas 3 balok = 2 x {(p x l) + pasang
persegi
panjang
yang (p x t) + (l x t)}
kongruen.
Volume balok
a. Banyak rusuk : 12 rusuk yaitu AB, BC, CD, AD, EF, FG, GH, EH, AE, FB, CG dan DH. b. Banyak sisi : 6 sisi berbentuk persegi panjang yaitu ABCD, EFGH, BCGF, ADHE, ABFE dan DCGH. c. Banyak titik sudut : 8 yaitu titik A, B, C, D, E, F, G dan H. d. Memiliki 3 kelompok rusuk yang sama dan sejajar, yaitu: AB = DC = EF = HG = panjang balok AD = BC = FG = EH = lebar balok AE = BF = CG = DH = tinggi balok TABUNG
=pxlxt
Tabung
adalah
bangun
ruang
Panjang seluruh rusuk = 4 x (p + l + t) Panajng diagonal ruang = √
Jari-jari = r; diameter =
yang d; tinggi = t
berbentuk prisma tegak yang alas dan Luas selimut tabung atasnya berbentuk lingkaran dengan jari-jari
= 2.π.r.t
yang sama.
Luas permukaan tabung = 2 x luas alas
a. Banyak rusuk : 2 b. Banyaknya sisi : 3 bidang sisi, yaitu tutup, alas dan selimut. c. Bidang alas dan bidang atas tabung berbentuk lingkaran. d. Tinggi tabung adalah jarak antara titik pusat lingkaran atas dan titik pusat lingkaran bawah.
+ luas selimut = 2.π.r² + 2.π.r.t = 2.π.r (r + t) Volume tabung = luas alas x tinggi =π.r².t
KERUCUT
Jari-jari = r; diameter = Kerucut adalah bangun ruang yang d; tinggi = t; sisi miring merupakan limas yang alasnya berbentuk = s lingkaran.
Luas selimut kerucut = π.r.s Luas permukaan kerucut
a. b. c. d. e.
Banyak rusuk : 1 Banyak sisi : 2 yaitu alas dan selimut Banyak titik sudut : 1 Alas berbentuk lingkaran Tinggi kerucut adalah jarak antara puncak kerucut dan pusat lingkaran atas
= luas alas+luas selimut = π.r² + π.r.s = π.r(r+s) Volume kerucut = ⅓ x luas alas x tinggi = ⅓.π.r².t
19
LIMAS
Luas permukaan Limas adalah bangun ruang dengan bidang limas alas segi banyak dan dari bidang alas = luas alas + luas dibentuk sisi segitiga yang bertemu di satu selimut titik. Volume limas = ⅓ x luas alas x tinggi
Limas segitiga : a. Banyak rusuk : 6 b. Banyak sisi : 4 c. Banyak titik sudut : 4 d. Alas berbentuk segitiga Limas segi empat : a. Banyak rusuk : 8 b. Banyak sisi : 5 c. Banyak titik sudut : 5 d. Alas berbentuk segi empat PRISMA
Luas permukaan Prisma adalah bangun ruang
yang prisma
dibatasi oleh 2 bidang yang sejajar dan = (2 x luas alas) + luas beberapa
bidang
lain
yang
saling sisi tegak
memotong menurut garis yang sejajar. Prisma segitiga
Volume prisma
a. Banyak rusuk : 9
= luas alas x tinggi
b. Banyak sisi : 5 c. Banyak titik sudut : 6 Prisma segi empat a. Jika sisi-sisinya sama besar dan kongruen, maka bangun itu berupa kubus b. Jika alasnya berbentuk persegi panjang, maka bangun itu berupa balok
20
BOLA
r = jari-jari bola Bola adalah bangun ruang yang dibentuk oleh
setengah
lingkaran
mengelilingi diameternya.
yang
diputar Luas permukaan bola = 4.π.r²
a. Banyak rusuk : 0
Volume bola
b. Banyak sisi : 1
= .π.r³
c. Banyak titik sudut : 0 d. Jari-jari bola adalah r
Contoh soal : 1. Sebuah kubus ABCDEFGH memiliki rusuk 8 cm. Tentukan! a. Luas permukaan kubus b. Volume kubus c. Panjang diagonal ruang Jawab : a. Luas permukaan kubus = 6s² = 6 x 8² = 384 cm² b. Volume kubus = s³ = 8³ = 512 cm³ c. Panjang diagonal ruang = s√ = 8√ cm 2. Sebuah tabung berdiameter 28 cm dan tingginya 42 cm. Hitunglah! a. Luas permukaan tabung b. Volume tabung Jawab : Diketahui d = 28 cm, maka r = 14 cm t = 42 cm a. Luas permukaan tabung = 2πr(r + t) =2x
x 14 x (14 +42)
= 2 x 22 x 2 x 56 = 4.928 cm² b. Volume tabung = πr²t =
x 14² x 42
= 25.872 cm³ 21
3. Sebuah kerucut jari-jari alasnya 14 cm dan tingginya 24 cm. berapakah volume kerucut tersebut? Jawab : Diketahui r = 14 cm dan t = 24 cm Volume kerucut = ⅓πr²t = x
x 14² x 24
= 22 x 14 x 2 x 8 = 4.928 cm³
22
BAB V PENUTUP
A. KESIMPULAN -
Garis adalah salah satu objek elementer dalam matematika, khususnya geometri. Karena merupakan objek elementer, garis biasanya tidak didefinisikan. Garis lurus adalah garis yang menghubungkan dua titik dengan jarak yang terdekat.
-
Segitiga adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga garis dan memiliki 3 titik sudut.
-
Bangun datar adalah bagian dari bidang datar yang dibatasi oleh garis-garis lurus atau lengkung.
-
Bangun ruang adalah suatu bangun yang memiliki isi (volume). Bangun ruang terbentuk oleh perpotongan ruas garis-ruas garis yang mempunyai bagian-bagian sisi, rusuk, dan titik sudut atau pojok.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa geometri adalah ilmu yang membahas tentang hubungan antara titik, garis, sudut, bidang ataupun bangun, dan rumus-rumus yang digunakan untuk pemecahan masalah dimana setiap pembahasannya mempunyai rumus tersendiri.
23
DAFTAR PUSTAKA Rahaju, endah budi,Sulaiman,R.dkk (2008).Contextual Teaching And Learning Matematika SMP.Jakarta : Departemen Pendidikan Nasional. Dwisang,Luviana
evi,Wulandari,Yayan.dkk
(2011).Buku
Tanggerang Selatan : Penerbit Scientific Press. http : //www.google.co.id, 4 Maret 2012.
24
Super
SD.
Pamulang-
