Manual de Diseño y Calculo de Estructuras

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Por:

Saúl Díaz Godínez

Derechos Reservados  Saúl Díaz Godínez Registro Público de Derechos de Autor 03-2001-021311104800-01 México DF, 2008

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras

INTRODUCIÓN

diseño estructural se basaba, principalmente en la geometría de las formas estructurales.

“La más útil de las ciencias será aquella cuyo fruto sea más comunicable, y por el contrario, la menos útil será la menos comunicable”1. En esta contundente cita de Leonardo Da Vinci podemos resumir el espíritu de este manual. La enorme mayoría de profesionales involucrados en la planeación, diseño y construcción de nuestro ambiente habitable, ejercen sin el conocimiento profundo de las leyes físicas de los materiales y las formas propuestas para los edificios. Por tanto, este manual pretende hacer “comunicable” a todo el público vinculado con el diseño y construcción de edificios, los frutos de la ciencia de las estructuras, lo cual no quiere decir que las teorías, hipótesis y cálculos tienen poco rigor científico o precisión. La mayor parte de los libros de diseño y cálculo de estructuras nos remiten al engorroso mundo de las formulaciones y supuestos matemáticos en que se basan las ecuaciones de diseño, que muchas veces además de estar erróneas2 no proporcionan una guía fácil para calcular y diseñar estructuras, así como una comprensión físico-conceptual de las mismas, que es lo que la mayor parte de arquitectos, ingenieros y constructores necesitan. Ahora bien, ¿por qué decimos que son erróneas? Para entender esto partiremos de una breve historia del diseño estructural.

De hecho fue Galileo el primero en considerar el análisis de la resistencia de una estructura, basado en la curiosidad por saber cuál sería el valor de la carga de ruptura para una viga de madera en cantiliber. Por lo cual el quería determinar la resistencia transversal de la viga como una función dependiente de su base y su peralte, por tanto, esa formula se podría derivar para calcular la resistencia de cualquier otra viga. Galileo esencialmente resolvió el problema correctamente, y encontró que las reglas geométricas de la proporción no se podían aplicar más. Sí las dimensiones de la viga eran dobladas, la resistencia era mucho mayor del doble. Posteriormente Navier (1826) al tratar de resolver las leyes de las propiedades geométricas de las vigas, formula la “Hipótesis fundamental de la teoría de la flexión”, también conocida como la “Hipótesis de Navier”. Esta hipótesis formula que: “Cualquier sección plana de una viga tomada respecto a su eje normal, permanece plana después de que la viga esta sujeta a un momento flector. Por tanto, un plano inicialmente perpendicular al eje de la viga, permanecerá perpendicular al eje deformado de la viga, después de la deformación”.

El diseño estructural siempre estuvo basado en lo que conocemos como “prueba y error”, pero bajo un esquema de economía del pensamiento, en donde los conocimientos sobre el comportamiento de los materiales y las formas en las estructuras se transmitía de una generación a otra; prueba de esto, es como las recomendaciones sobre las dimensiones de los elementos estructurales de Vitruvio, fueron tomadas casi al pie de la letra hasta después del renacimiento. Posteriormente se procedía con cálculos estáticos funiculares sobre el comportamiento de las estructuras, como se puede ver en las teorías de Poleni, sobre el comportamiento de los arcos y bóvedas. Y por tanto, el

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Da Vinci, Leonardo, Tratado de pintura, México 1996, ed. R. LlPara abundar en la demostración de los grandes errores de las formulaciones matemáticas en las estructuras se recomienda ver: NAVEA, Lester, Método de cálculo geométrico de esfuerzos e invalidez de teoría de deformación, Santiago de Chile 2000. 2

Esta suposición “elástica” se puede aplicar para miembros rectangulares en flexión pura, pero si existe cortante (que siempre existe) un error es introducido dentro de la hipótesis. Esta suposición se a tomado como aplicable para proporcionar el peralte de vigas en secciones cuya relación claro/peralte es mayor de 10. Esta teoría parte de los supuestos de que a) las fuerzas aplicadas a la viga no han implicado choque o impacto, b) las vigas se asumen como estables lateralmente ante la aplicación de una fuerza, y c) los materiales son perfectamente homogéneos de tal forma que la distribución del esfuerzo a través del peralte es una línea recta. Por supuesto que en la realidad ninguna de estas condiciones se cumple siempre. Primeramente, esta teoría suponía que el comportamiento de cualquier material, sección o sistema estructural era “elástico”, es decir, que al aplicarle una fuerza (carga) sufría una deformación, y al ser retirada la carga el elemento regresaba a su forma original, y este comportamiento se repetía hasta la falla, lo cual es completamente falso ya que el material tiene un comportamiento plástico y retiene cierta deformación, aunque sea micrométrica, además de

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que ciertos materiales (concreto) sufren agrietamiento, lo cual modifica sus características y propiedades estructurales. Esto es lo que llamaremos el “Error Elástico”. Además toda esta resolución de supuestos y ecuaciones se formulan dentro de soluciones estáticas. Es decir, existen una primera serie de ecuaciones para las estructuras que son estáticas. Para ser consideradas así, las fuerzas internas deben estar en equilibrio con las cargas externas impuestas. Si estas ecuaciones pueden resolverse linealmente, el primer paso se cumple y se considera que la estructura es estáticamente determinada. Pero la realidad es que las ecuaciones de equilibrio son insolubles, es decir, las estructuras son estáticamente indeterminadas (hiperestáticas). Ya que existen muchos posibles estados de equilibrio, esto es, hay muchas formas en las cuales una estructura soporta sus esfuerzos. Esto es lo que llamaremos el “Error Estático”

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras La imposibilidad de los modelos matemáticos para solucionar esta realidad “física”, ha llevado a realizar supuestos “conceptuales” erróneos en el diseño estructural, como suponer que un cuerpo rígido tiene tres grados de libertad: dos de translación y uno de rotación, por lo tanto, si los soportes de una estructura rígida tiene menos de tres grados de libertad se considera como inestable. En resumidas cuentas, expondremos otros dos ejemplos: 1) el Modulo de Elasticidad (E), que es fundamental para determinar la distribución de las fuerzas en una estructura y el tamaño de las secciones se ha considerado como una constante; mientras que la experimentación ha demostrado que E varía para un mismo concreto, desde 285,000 kg/cm2, cuando la sección está sin agrietar, hasta un mínimo de 40,000 kg/cm2 para una sección trabajando a flexión; y 2) El método de Cross (y Kani ) supone que los momentos en los nodos centrales se equilibran e igualan, para lograr esto, se implementa un método numérico por “aproximaciones sucesivas” (poco serio) que realiza bastantes incongruencias en el camino para ajustarse a sus supuestos, como suponer que todos los nodos están perfectamente empotrados, aunque no sea así, y aplicar factores de distribución basados en el inestable módulo de elasticidad; mientras que las últimas investigaciones del Comité 3523 del ACI ha revelado que en un nodo interactúan 22 fuerzas con diferentes magnitudes y direcciones, lo cual hace que un nodo gire ante un sismo. Posteriormente surgió lo que conocemos como la “teoría plástica” que, basada más en la experimentación, reformula y perfecciona los supuestos de la teoría elástica, pero aún así se heredan muchos planteamientos falsos, como la constante de E y muchos más. Por lo tanto, el diseño y cálculo estructural en la actualidad se ha envuelto profundamente en el avance y reformulación de su propia expresión numérica. Recordemos que las matemáticas son el lenguaje de la naturaleza, se encargan del estudio de sus propiedades y lógica como lenguaje. Pero cuando utilizamos las matemáticas para explicarnos fenómenos de la 3

AMERICAN CONCRETE INSTITUTE, Comité 352, Diseño de Juntas viga-columna en estructuras de concreto, México 1990, edit. Limusa.

naturaleza estamos haciendo física, las matemáticas tan sólo son el lenguaje con el cual podemos hacer universalmente entendibles los supuestos físicos. Por esta razón si los supuestos físicos son erróneos los modelos numéricos, aunque son lógicos consigo mismos, nos llevan a resultados erróneos. La corroboración de los errores en la teoría estructural, que vivimos en la práctica, hemos querido corregirlos matemáticamente; esto a todas luces es un error en el que se ha gastado mucho tiempo valioso, y en el cual están formulados actualmente la mayoría de los tratados sobre estructuras. Siendo que las estructuras son parte de la física, entonces lo más sensato es empezar por entender las leyes físicas más elementales en las que se debe basar absolutamente toda la teoría estructural, y vamos replanteando y reformulando tanto el diseño como el cálculo.

desconfianza a los engorrosos cálculos matemáticos, y ponen ante todo la intuición como configuradora de su pensamiento, que encuentra en el diseño de estructuras, más que una ciencia, un arte. Esta intuición evidentemente está basada en un buen conocimiento de la física. En vista de lo anterior, lo que más nos conviene es tomar lo “rescatable” del cálculo actual, y no perder el tiempo en formulaciones matemáticas erróneas; vayamos directamente a lo que es útil (o ha probado tener eficacia), y partamos de las leyes físicas fundamentales de la mecánica. Aunque en este texto procuramos apegarnos a los parámetros de las Normas Técnicas Complementarias (NTC) del Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal (RCDF), donde éste lo permite retomamos muchas cosas de otros reglamentos como el American Concrete Institute, el Eurocódigo, el American Institute of Steel Construcction, American Institute of Timber Construcction de Estados Unidos, el Cement and Concrete Association, British Standard Code of Practice de Inglaterra, el Japan Regulations for Earthqueke Engineering, y el Uniform Building Code.

Por otro lado, tenemos numerosos testimonios de destacados teóricos y constructores de estructuras, quizá los mejores del siglo XX (Félix Candela, Pier Luigi Nervi, Isler Heinz, Eladio Dieste, Eduardo Torroja, Ove Arup y Santiago Calatrava)4 que han reiterado su abierta 4

Ver: CANDELA, Félix, Hacia una nueva filosofía de las estructuras, Architectural Forum, EEUU, febrero 1956; NERVI, Pier Luigi, Arte o scienza del construire, Roma 1845, edit. Bússola.; HEINZ, Isler, Concrete shells today, Atlanta 1994, edit. IASS; DIESTE, Eladio, La estructura cerámica, Colombia 1987, edit. Escala; TORROJA, Eduardo, Philosophy of structures, Berkeley 1958, edit. Univ. of Calif. Press; ARUP, Ove, Ove Arup & Partners, 1946-1986, Londres 1986, edit. Academy Editions.

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En muchas secciones, se incluyen alternativas de cálculo para elementos y/o sistemas, llamadas “Método Alternativo”, en donde las ecuaciones y criterios estan basados en la reglamentación vigente de la Unión Europea. Que ademas, proporcionan parámetros complementarios, y casi siempre por arriba de la seguridad de los reglamentos Americanos. Es muy

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras importante visualizar todos los criterios complementarios, y no excluyentes entre ellos.

como

Todo lo anterior encaminado a la creación de estructuras tecnológicamente apropiadas y creativas, en donde fundamentalmente exista 1) una correcta utilización de los materiales, lo cual exige un conocimiento exhaustivo de sus propiedades mecánicas, y 2) procurar maneras efectivas de trabajo de las formas estructurales. Recordemos la famosa proposición de Galileo: “Sería excelente si pudiéramos descubrir la forma indicada de un elemento estructural, en orden de hacerlo igualmente resistente en cada punto.”5 Como bien señalamos, el diseño estructural y técnico de la arquitectura tiene mucho más de arte que de ciencia, si obedecemos ciegamente los procedimientos de cálculo y las especificaciones, estaremos lejos de la creación estética que requiere mucha intuición, la cual nos dice que el éxito consiste en hacer cosas sencillas, estudiando con cariño los detalles. El concreto armado, el material estructural más utilizado en nuestro medio, no está hecho para trabajar a flexión, aunque paradigmáticamente así se haga. La viga y losas rectangulares de concreto armado son elementos tan inverosímiles como el dintel de piedra.

“buscar una tecnología tal que garantice la superación objetiva del productor y usuario, que implica generar modelos técnicos que atiendan, por un lado, a un uso eficiente y científico de los materiales, la geometría y el cálculo, lo suficientemente avanzados como para que sean viables frente a la escasez de recursos.”7 Hacer estructuras adecuadas nos lleva casi axiomáticamente a hacer edificios bellos.

“El empleo del concreto en esta forma anacrónica y atávica —copiada literalmente de las formas estructurales características del hierro y la madera, cuyo proceso de obtención conduce fatalmente a la pieza prismática— se pretende justificar con el sofisma económico del exagerado costo de la cimbra si se utilizaran formas más apropiadas. Sin embargo, la desfavorable relación resistencia-peso que el concreto presenta con respecto a otros materiales, y que limita de manera efectiva su empleo cuando se trata de salvar grandes claros con los procedimientos tradicionales, es suficiente para anular también la pretendida ventaja, aun en los casos de claros 6 moderados.” Por lo cual, la eficiente función estructural y técnica depende esencialmente de la forma, en la que tanto la función estructural como la expresión interna dependen exclusivamente de ella. Así mismo, no hay que olvidar 5

TZONIS, Alexander, Santiago Calatrava. The poetics of movement, Nueva York 1999, edit. Universe. 6 CANDELA, Félix, Divulgaciones estructurales en torno al estilo, México 1953, Revista Espacios.

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GONZÁLEZ Lobo, Carlos, Vivienda y ciudad posibles, Bogotá 1999, edit. Escala.

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Capítulo I INTRODUCCIÓN AL DISEÑO ESTRUCTURAL a) El sistema métrico En 1960 fue creado el Sistema Internacional de Unidades (SI por su abreviatura en francés), en el ámbito de la Conferencia Internacional de Pesos y Medidas. El objetivo de su creación fue tener un sistema métrico basado en fenómenos físicos medibles y que pudiera ser compartido por el mundo entero, facilitando así el intercambio global de información y medidas de referencia para el comercio, la ciencia, la educación, etc. En este sentido, el SI ha tenido un lento pero abrumador éxito. A la fecha (2011) únicamente tres paises (Liberia, Birmania y Estados Unidos) no han adoptado el SI como prioritario o único en su legislación. En 1992, México se integró a toda la comunidad internacional que utiliza el SI. En el Diario Oficial de la Federación del 1° de julio de 1992 se publicó la nueva Ley Federal sobre Metrología y Normatización, que especifica en su Artículo 5°: “En los Estados Unidos Mexicanos el Sistema General de Unidades de Medida es el único legal y de uso obligatorio […] El Sistema General de Unidades de Medida se integra, entre otras, con las unidades básicas del Sistema Internacional de Unidades: de longitud, el metro; de masa, el kilogramo; de tiempo, el segundo; de temperatura termodinámica, el kelvin; de intensidad de corriente eléctrica, el ampere; de intensidad luminosa, la candela; y de cantidad de sustancia, el mol, así como con las suplementarias, las derivadas de las unidades base y los múltiplos y submúltiplos de todas ellas, que apruebe la Conferencia General de Pesas y Medidas y se prevean en normas oficiales mexicanas. También se integra con las no comprendidas en el sistema internacional que acepte el mencionado organismo y se incluyan en dichos ordenamientos.”

Pero en la práctica, la inercia de continuar utilizando el Sistema Métrico Decimal es muy fuerte, y los esfuerzos de los profesionales por dominar el SI son muy pobres; muy pocos profesionales de la arquitectura y la ingeniería conocen y manejan el SI, prácticamente ningún operario de la construcción ha oido de el, además en los niveles básicos de educación no se enseña, y en las universidades se aplica el SI en algunos ejemplos (no de forma generalizada). Por lo cual, es de espear que su

plena aplicación tardará bastante tiempo; si no es que esta ley se convierte en “letra muerta”.

Temperatura: la unidad para medir la temperatura el el Kelvin (K).

El principal problema en el diseño y cálculo de estructuras es el referente a las ventajas que nos proporciona la “experiencia” en la detección de posibles errores, valores medios o sobrevalores. Por ejemplo, si estamos habituados al sistema métrico tradicional y nos dicen que una losa carga 0.49 MPa, no sabremos si es poco, mucho, o es un valor promedio; en cambio si nos 2 dicen que la losa carga 5,000 kg/m inmediatamente reconocemos que es un valor extremadamente grande, lo cual nos haría pensar que quizá hubo un problema o error en su obtención, y de no ser así entoces tomaremos precauciones espaciales para el diseño de esa estructura, o cambiaremos el sistema estructural global. Por lo tanto, nuestra recomendación es utilizar el sistema de unidades con el cual sintamos más seguridad y certeza sobre sus resultados, y aplicar alguna de las dos siguientes estrategias:

Los kelvin estan basados en los grados Celsius, donde se establece el cero (0) como “cero absoluto”, es decir, que no existen unidades negativas, ya que el calor es provocado por la actividad (o exitación) de los átomos, el cero absoluto es la completa inactividad de los mismos. El cero absoluto se alcanza a los -273.15 °C, no puede existir una temperatura mas baja. Por lo tanto, la conversión entre grados Celsius y Kelvin es la siguiente:

a) Realizar todos los cálculos con el Sistema Métrico Decimal, y convertir los resultados finales la SI; de esta forma se cumple la legislación, y nos habituamos a las cantidades del SI.

K  C  273.15 Por ejemplo, sabemos que la temperatura máxima que puede alcanzar el concreto en su etapa de fraguado y endurecimiento es de 70 °C, es decir 70 °C + 273.15 = 343.15 K. Para converir grados Frafenheit a Kelvin aplicamos la siguiente ecuación:

K   F  459.67  1.8 Es importante recalcar que se representa como K y nunca como °K, por lo cual, no se debe decir grados Kelvin, sino simplemente Kelvin.

b) Realizar todos los cálculos con el SI, y convertir todos los resultados finales al Sistema Métrico Tradicional, para hacer más comunicables los resultados a los demás profesionales que no manejan el SI.

Masa: la unidad para medir la masa en el kilogramo (kg), sus múltiplos y submúltiplos.

Por esta razón, en el presente Manual se utilizarán en forma general el Sistema Métrico Decimal, y en la medida de la disponibilidad de datos se indicarán las ecuaciones, constantes y variables equivalentes para el Sistema Internacional. Es importante mencionar que existen varios temas tratados en la presente publicación para los cuales no existe reglamento y/o publicación que hayan actualizado las constantes con las cuales se podrían sustituir las ecuaciones.

Un newton es la fuerza necesaria para proporcionar 2 una aceleración de 1 m/s a un objeto cuya masa es de 1 kg. Lo podemos obtener con la siguiente ecuación:

A continuación explicaremos brevemente las unidades del SI más utilizadas en el cálculo de estructuras: Longitud: la unidad para medir la longitud es el metro (m), sus múltiplos y submúltiplos (cm, mm, etc.) Tiempo: la unidad para medir el tiempo es el segundo (s), sus múltiplos y submúltiplos (min, hr, día, etc.)

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Fuerza: la unidad para medir la fuerza es el Newton (N), sus múltiplos y submúltiplos.

N

m  kg s2

Es decir, 1 N es igual a 9.8 kg m/s2, que es la constante gravitacional, por lo cual, simplemente multiplicamos los kilogramos (kg) por la constante gravitacional (9.8). Por ejemplo, si una viga tiene una carga puntual de 5 mil kilogramos, multiplicamos 5,000 x 9.8 = 49,000 N, para simplificar con números mas manejables, dividimos entre 1000 y obtenemos 49 kN (kilo newtons). Presión: la unidad para medir la presión es el Pascal (Pa), sus múltiplos y submúltiplos.

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras El pascal es la presión que ejerce una fuerza de un (1) Newton sobre una superficie de un (1) metro 2 cuadrado (m ). La ecuación correspondiente es:

Pa 

N kg  2 2 m s m

Por ejemplo, si la resistencia de un terreno es de 19 ton/m2, entonces serían 19,000 kg/m2 x 9.8 = 186,200 Pa, que si dividimos entre 1,000 nos dará 186.2 kPa (kilo Pascales), o entre un millón nos dará 0.1862 MPa (mega Pascales). Si tenemos un concreto con una resistencia fć = 250 kg/cm2, entonces multiplicamos 250 x 9.8 que nos dará 2,450 N/cm 2, los que debemos multiplicar por 10,000 centímetros en un metro cuadrado, nos dará 24,500,000 Pa, como es un número bastante grande, lo común es dividir entre un millón, lo cual nos da 24.5 MPa; que en todos los reglamentos se cierra a 25 MPa. Por 2 2 ejemplo; fć = 150 kg/cm = 15 Mpa, fć = 350 kg/cm = 35 MPa, etc.

b) La gráfica esfuerzo-deformación En vista de los evidentes errores de las teorías y modelos matemáticos, vamos a tener una primera aproximación fenoménica del comportamiento de las estructuras. Si sometemos a un determinado esfuerzo un material, elemento o sistema estructural, tendría un comportamiento similar al que observamos en la siguiente gráfica. Evidentemente la forma de la curva varía de un material a otro, entre elementos y sistemas, pero todas las curvas tienen las mismas características.

Supongamos que vamos a aplicar peso a un polín de madera hasta que éste se colapse, cuyos extremos están sostenidos en dos mesas. Por un lado graficamos cuánto peso le aplicamos, y por otro que deformación tiene. En el eje de las y (vertical) graficamos los esfuerzos (peso aplicado) y el de las x (horizontal) las deformaciones. En un inicio tendremos una recta, es decir que por cada unidad de peso que apliquemos (supongamos 100 kg) se deformará el material una unidad (supongamos un centímetro), hasta que éste empieza a agrietarse. Hasta este punto, si quitamos el peso, el polín regresa a su forma original (se cumple la Ley de Hooke). Pero después las deformaciones continúan siendo proporcionales a los esfuerzos, mas el material ya no puede regresar a su forma original, esta primera etapa es lo que conocemos como “etapa elástica.” Posteriormente las deformaciones ya no son proporcionales (por cada 100 Kg. se deforma más de 1 cm) por lo cual la gráfica deja de ser recta y se ensancha; este comportamiento se reproduce hasta que el material alcanza su resistencia última, a partir de aquí la gráfica ya no aumenta en el eje de los esfuerzos, pero sí de las deformaciones. Es decir, el polín sigue deformándose sin ponerle más peso hasta que súbitamente se colapsa. Esta etapa la denominamos “plástica”. Ahora bien, de todos los conceptos que podemos deducir de la gráfica “esfuerzo-deformación” nos interesan dos en especial: Resistencia y Ductilidad. Hoy día se busca que los materiales estructurales, y por lo tanto los elementos y sistemas, sean muy resistentes a todas las fuerzas a que sean sometidas las estructuras (carga viva, carga muerta, sismo, viento, hundimientos, empujes, etc.) y por tanto a todos los esfuerzos que éstas tengan que resistir (tensión, compresión, flexión, cortante, torsión, etc.). Pero podemos encontrarnos con materiales o sistemas estructurales muy resistentes pero frágiles, es decir, que se colapsen súbitamente sin tener un rango plástico considerable. Por lo tanto la ductilidad de una estructura (material, elemento, sistema) es de suma importancia, es decir, la capacidad de la estructura para soportar grandes deformaciones antes del colapso. Por ejemplo, si sometemos a flexión dos vigas, una de concreto y la otra de acero, y diseñamos las secciones de tal manera que tengan la misma resistencia última, después de alcanzar esta resistencia el concreto literalmente se partirá en dos mientras que el acero se deformará pero no se partirá; es decir, es mu más dúctil.

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ESFUERZO

DEFORMACIÓN

DUCTILIDAD ¿Cómo interpretamos esto en la gráfica de esfuerzodeformación? Entre más resistente sea un material

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras menos inclinada será la etapa elástica (recta) ya que existirán menores deformaciones respecto al peso (esfuerzo) aplicado. La inclinación de esta recta es lo que conocemos como el módulo de elasticidad (E), entre mayor sea el módulo de elasticidad mayor será la resistencia del material estructural. Ahora bien, un material también es dúctil entre más larga sea la etapa plástica, es decir, más prolongada la curva en el eje de las x, lo cual indica que el material permite tener deformaciones durante más tiempo antes de colapsarse. Estos tres conceptos los podemos ver ejemplificados en el gráfico anterior.

Esfuerzo

Deformación

¿Cómo se presenta esto en un elemento estructural?, lo podemos ver en los gráficos anteriores. Aquí podemos ver cómo al someter una viga a un esfuerzo, la resistencia la medimos entre mayor sea su distancia en el eje de las y; pero también es muy importante la deformación, es decir, la inclinación de la recta (E). La deformación que sufra un elemento o sistema estructural casi siempre se denomina como  (delta). Es mucho mejor que un elemento estructural alcance su resistencia máxima (punto más alto en la gráfica) con más pendiente porque se entiende que en términos generales tiene mejores condiciones de trabajo; y si esta deformación () es alcanzada en una distancia mayor en el eje de las x, el elemento es más dúctil. Las ecuaciones que más utilizamos para medir es esfuerzo y la deformación son las siguientes:

Esfuerzo   f  

Fuerza   P  kg/cm2 (Pa) Area   A

Deformació n    

E

Cambio  de  longitud  L  (Adim.) Longitud  original  L 

L Módulo  de  Elasticidad  E  

E M E N T O

Estabilidad

Ductilidad

Esfuerzo   f  kg/cm2 (Pa) Deformación   

Ahora vamos a introducirnos a otro concepto muy importante en el diseño estructural: la Estabilidad. Podemos conseguir tener elementos resistentes y dúctiles, lo cual nos trae como consecuencia una estabilidad interna; pero no necesariamente externa. Esta estabilidad externa, está más relacionada con el diseño del sistema estructural, que con el dimensionamiento de las secciones y la selección del material. Por lo cual podemos ver que el diseño estructural implica el diseño integral de los sistemas con los elementos y los materiales estructurales como un todo. Continuando con el mismo orden de ideas podemos ver que en un sistema estructural la estabilidad interna de los elementos puede ser buena, pero si no se encuentran articulados apropiadamente el sistema será muy poco estable; por otro lado, podemos tener sistemas internamente muy bien articulados y resistentes, pero con puntos vitales mal realizados (en este caso el empotre en el terreno) que pueden hacer poco estable al sistema. Esto nos enseña cómo el diseño estructural no se trata únicamente de las

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grandes conceptualizaciones y el arte del diseño estructural, sino también de los pequeños detalles. Miguel Ángel lo expresó muy bien en su Gran Regla: “Debemos poner todo nuestro empeño, toda nuestra capacidad de trabajo, penoso y angustiado, en la elaboración de cualquier obra que emprendamos y en sus más ínfimos detalles, pero, para que el resultado final pueda ser considerado como obra de arte, ha de aparentar haber sido hecha sin ningún esfuerzo, como el 8 fruto de una inspiración juguetona y despreocupada.”

c) Acciones-Estructura-Respuesta Para tener una muy clara comprensión del comportamiento de las estructuras paso primordial para poder diseñarlas tenemos que Caeentender muy bien la tríada Acciones-Estructura-Respuesta, es decir, que cualquier estructura está sometida a determinadas acciones exteriores (sismo, viento, empujes, hundimientos, temperatura, etc.) así como acciones interiores (peso propio, peso de instalaciones y personas, impactos, incendios, etc.) que la estructura tiene que soportar dentro de los límites de seguridad y trabajo permisibles; una buena estructura no es necesariamente aquella que soporta las acciones satisfactoriamente, sino aquella que sabe manejarlos de manera inteligente y creativa. Para soportar estas acciones la estructura sufre internamente esfuerzos que llamaremos primarios (tensión, compresión, flexión, cortante y torsión) así como derivados (flexocompresión, flexotensión, etc.).

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CANDELA, Félix, “Dos nuevas iglesias en México”, en: CANDELA, Félix, En defensa del formalismo, y otros escritos, España 1980, edit. Xarait.

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Todos estos esfuerzos internos provocados por acciones externas e internas a la estructura inevitablemente se manifiestan en respuestas visibles (flechas, agrietamientos, daños o incluso el colapso). Pensar en una estructura que no sufra deformaciones, flechas o agrietamientos es algo utópico, siempre los sufren aunque sean micrométricos, pero el buen diseñador estructural está consciente de esto y diseña la estructura de tal manera que estos daños o afectaciones sean mínimas y no interfieran con la vida útil de la estructura. La acción más simple es aquella que conocemos como carga muerta, es decir el peso de la propia estructura, pero esto no se refiere al “esqueleto” sino a los pesos fijos del edificio, que algunas veces ej. cuando el edificio está recubierto de precolados superan el peso de la estructura (esqueleto); saber determinar la magnitud de estos pesos fijos del edificio es el primer paso en el buen diseño estructural. Para lo anterior es necesario conceptualizar la estructura “diacrónicamente” y no según las especificaciones de planos o requerimientos del cliente. Una de las experiencias que nos ha enseñado la historia de la arquitectura es que solamente en pocos ejemplos los edificios no cambian de uso, la mayor parte de los edificios modernos cambian su uso. Supongamos un caso práctico: un edificio de oficinas de 25 x 25 mts por planta, es decir 625 m2, de acuerdo con los planos de acabados se colocará un piso de loseta vinílica que pesa 35 kg/m2, estos significaría un peso por piso de 21.8 ton. Pero, ¿realmente este va a ser siempre el acabado?, lo más posible es que no, en el futuro el mismo dueño o futuros propietarios pueden cambiar el uso y cambiar el acabado por granito de 3 cm de espesor que pesa con todo y el mortero para colocarlo 148.5 kg/cm2, lo que significaría que ahora el acabado pesaría 92.8 ton, es decir 70.93 ton más de lo que se calculó originalmente. El buen diseñador debe prever los posibles cambios en el uso de los edificios y los cambios de cargas fijas que esto acarrearía. Por esta razón el diseñador estructural debe ser un asiduo lector de la historia de la arquitectura y la edificación, no para traer soluciones estructurales del pasado, sino para ver cuáles son los caminos cerrados, los errores que no debemos volver a cometer, y cuáles las grandes vetas que se pueden explotar. Con un ejemplo bastará: el subsuelo de la ciudad de México se hunde constantemente por la extracción de agua de sus mantos acuíferos, por tanto si

se estructuran cimentaciones con pilotes lo más seguro será que dentro de poco tiempo sean la base real del edificio donde los momentos y cortantes sísmicos son máximos ya no será la original sino los delgados “palitos” que tiene por pilotes los cuales no soportarán la flexión y cortante en la base del edificio; por esta razón muchos edificios se colapsaron en el sismo de 1985. Pero cuántos de los diseñadores de estos edificios sabían que Adamo Boari en el corto lapso que estuvo en México (1899-1916) tenía registros detallados de los hundimientos de la ciudad de México9. Dentro de las acciones exteriores el sismo es quizá una de las más importantes. El sismo en la mayor parte de los reglamentos es considerado tan sólo como un porcentaje del peso vertical que se aplica en forma horizontal, pero la realidad va mucho más allá, es fundamental el estudio de las características mecánicas de los suelos debajo del edificio que se diseñará para saber cómo se transmitirán las ondas sísmicas (onda P, S, Love, Rayleigh), cómo serán los periodos, es decir la duración y amplitud de onda. En la ciudad de México influyen mucho las ondas de rebote que chocan con la capa rocoso resistente y se transmiten hacia la superficie provocando movimientos con formas verdaderamente inesperadas; incluso prever la licuefacción del terreno. Pero revisar que un edificio resista la fuerza sísmica es a todas luces insuficiente, no podemos diseñar edificios con cualquier forma y después poner las secciones y armados que soporten las fuerzas sísmicas. Por ejemplo, en un edificio mal configurado se pueden presentar grandes torsiones, que estructuralmente podemos solucionar con la cantidad y colocación necesaria de refuerzo: pero no por eso deja de existir la torsión, lo que en realidad estamos haciendo es “remendando” una mala configuración arquitectónicasísmica. Por este motivo actualmente se habla de la configuración sísmica de los edificios; es decir, tratar de conciliar la forma arquitectónica con la sísmica para evitar tener esfuerzos excesivos.

b) El centro de rigideces: toma en cuenta los elementos estructurales verticales y todo el conjunto, es decir, además de todas las piezas estrictamente estructurales, abarca los elementos constructivos y todo aquello que pueda condicionar o modificar la rigidez del edificio. c) El centro de masas: es el baricentro de las cargas gravitacionales o verticales, y por tanto, su ubicación dependerá de la distribución de las mismas. Si estos dos últimos coinciden en el mismo punto se entiende, de acuerdo con las leyes de la física, que a cada acción le corresponde reacción de igual magnitud, pero en sentido contrario; si el edificio se diseña bien sísmicamente (cálculo) puede reaccionar de manera simétrica ante el sismo. Pero si estos dos puntos no coinciden, es decir, que por un lado tengamos el centro geométrico del edificio, y por otro el centro resistente del edificio; el sismo ataca al edificio (su resultante) por el centro de masas, pero el edificio responde con su centro de rigideces, la distancia entre estos dos puntos que son dos fuerzas con sentido contrario, provoca un par mecánico, que creará un momento torsionante de grandes magnitudes. Pero esta lógica tiene que ser tridimensional, porque nos podemos enfrentar a un edificio que sea simétrico en planta pero no en alzado, puede tener éste una masa enorme en la parte superior y en la planta baja tener espacios abiertos y estar apenas sobre sus columnas, lo que puede provocar volteo en el edificio. Veamos el ejemplo de la siguiente ilustración:

¿Pero cómo podemos entender esto? Muy fácil todos los edificios tinen 3 centros: a) El centroide: este toma en cuenta el baricento de rigideces de los componentes estructurales verticales. 9

Ver: La Construcción del Palacio de Bellas Artes, México 1995, edit. Siglo XXI-INBA, pp. 175 y 176.

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Aquí tenemos un edificio con forma simétrica, cuyo centride está marcado con el punto 1; pero este edificio

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras tiene un ducto de tamaño considerable a la izquierda, que le resta masa (peso) a ese lado del edificio, por lo cual el centro de masa está más a la derecha (marcado con el punto 2) del centroide. La resultante de la fuerza sísmica pasará por el eje sísmico que está sobre el centro de rigideces, pero la reacción del edificio tiene su resultante (con sentido opuesto) en el centro de masa; la distancia entre estas dos líneas es lo que ocasiona el par mecánico que provoca un enorme momento torsionante. Exactamente por esto fue por lo que se colapsó el Banco Central de Managua, Nicaragua, en el sismo de 1972. Una solución a este problema sería crear una junta constructiva de tal manera que el ducto quedara a la mitad de un edificio. Siguiendo con el análisis de las principales acciones el viento constituye otra acción muy importante, en casi todo el mundo se tienen registrados por regiones los valores de diseño eólico, pero el viento, junto con otras variables naturales deben ser tomadas con mucho cuidado, debido a los cambios climáticos globales que se están produciendo en todo el mundo. Recordemos que ahora está granizando o nevando en regiones donde nunca antes había sucedido y existen fenómenos climáticos (el niño) que traen huracanes a lugares donde nunca antes se habían presentado. Simplemente hay que imaginarse el sobrepeso que puede significar una granizada acumulada en una techumbre plana si ésta no fue diseñada para esto. Y las Normas Técnicas Complementarias (NTC) siguen considerando menor carga viva para las techumbres. Por lo cual es indispensable verificar los parámetros de cargas vivas y fuerzas de vientos de países donde esas condiciones son mas agrestes que en el propio. Por lo tanto, en el diseño estructural hay que considerar la simultaneidad de estos fenómenos y diseñar la estructura para una combinación de éstos. Es decir, las cargas muertas y vivas no dejan de existir durante un sismo, y tampoco el viento. Por otro lado existen otras acciones un poco más específicas de determinados lugares y configuraciones específicas de los edificios, como son los hundimientos generales o diferenciales del terreno y los empujes de líquidos o tierra.

se diseñan las secciones y se detalla la estructura; pero como reiterábamos esta visión es a todas luces errónea, no se debe diseñar únicamente para los esfuerzos sean de cualquier magnitud, hay que tener la suficiente creatividad para diseñar en conjunto, desde las acciones, y las mejores formas globales para que afecten lo menos posible. Y por otro lado estar concientes de la magnitud de las respuestas (flecha, agrietamiento, etc.) y procurar que éstas sean mínimas.

 Elementos espaciales  Elementos resistentes de fachada o núcleos, en general procuran que el edificio funcione como una unidad.

d) Formas de estructuración Conseguir una adecuada estructura de un edificio es sencillo si partimos de los elementos esenciales de las estructuras, a saber:  Elementos lineales  Columnas y Vigas. Son capaces de resistir fuerzas axiales y torsionantes (también se incluyen aquí los cables).

 Elementos Planos  Muros. Puede ser sólido, con perforaciones, formado por elementos triangulares (espaciales). Son capaces de soportar cargas axiales y torsionantes. En general son capaces de resistir cargas paralelas a su plano.  Losas. Pueden ser sólidas o aligeradas, planas o perimetralmente apoyadas; en general son capaces de soportar cargas perpendiculares a su plano.

Ahora bien, a estas acciones el edificio responde internamente con esfuerzos (tensión, compresión, flexión, cortante, torsión) que toman una magnitud determinada. De acuerdo con la magnitud de estos esfuerzos es que

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La combinación de estos elementos generan la estructura básica del edificio. Se pueden visualizar un gran número de posibles soluciones, pero a continuación sólo discutiremos los más comunes. Dentro de los elementos lineales, tenemos en primer lugar los elementos constituidos por cables. Los cables son elementos que funcionan basicamente a tensión; y la tensión es el esfuerzo estructural más puro, en términos de que no existen excentricidades en la aplicación de la carga, ni factores de esbeltez, por esa razón desde principios del siglo XIX son utilizados estos elementos en estructuras verdaderamente espectaculares, con cables de un grosor casi ínfimo en relación con la magnitud de la estructura, lo raro es que durante mucho tiempo esta combinación de tensión-cables de acero no fue utilizada para otras cosas; hasta la actualidad es cuando se comienza su explotación en otro tipos de estructuras como edificios con núcleos de concreto (que sirven como muros a cortante) y entrepisos suspendidos por cables de acero; hasta utilizaciones más modestas en escaleras y mezanines colgantes.

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Otra de las formidables aplicaciones de elementos lineales es en sistemas de arcos. Aquí al contrario el esfuerzo predominante es la compresión, por eso es que históricamente fue el más utilizado para estructuras como acueductos e iglesias. Los arcos siempre que sean de medio punto reparten el esfuerzo vertical (90°) al terreno y todo el elemento funciona a compresión pura, el problema comienza cuando es rebajado (menor de medio punto), así los esfuerzos se reparten diagonalmente, lo cual crea una gran tendencia a abrirse en la base (coceo), que en realidad son esfuerzos de tensión. Esto en la antigüedad se solucionaba con contrafuertes que contrarrestaran este esfuerzo diferencial, y a partir del renacimiento con tensores que cierren el polígono de fuerzas. Brunelleschi fue pionero de estas técnicas en su famosa Cúpula de Santa Maria Fiore en Florencia (142036), donde colocó cadenas de hierro alrededor de la base de la cúpula para detener los empujes. Actualmente esta solución universal sigue siendo válida, inteligentemente utilizada y muy económica, baste ver la obra de Carlos Mijares en México, que ha utilizado el arco de tabique en estructuras muy modestas hasta en grandes iglesias, haciendo arreglos interesantes con ellos como las famosas bóvedas de trompa de elefante, que están compuestas por hileras de arcos rebajados cada vez más pequeños, cuyo efecto estético es formidable. Otro ejemplo formidable es la arquitectura de Eladio Dieste, combinando el tabique y los cables de acero.

Aunque el material idóneo para funcionar a tensión es el acero, la resistencia de la madera tampoco es despreciable, pero por la baja resistencia de este material al fuego, no se puede confiar la utilización de elementos lineales como estructurantes básicos en un edificio, aunque su uso en armaduras (que funcionan a tensión y compresión) es bastante utilizado. El concreto tiene una resistencia casi despreciable a la tensión, aunque el acero de refuerzo que contiene tiene una alta resistencia a la tensión, lo cual ha hecho que existan algunos tirantes de concreto en estructuras de tamaño considerable.

El primer arreglo fundamental que se puede realizar con elementos lineales son los denominados “arreglos triangulares” donde se combinan elementos a tensión y a compresión. Las armaduras son el ejemplo más popular de este tipo de arreglos. La ventaja de las armaduras es que reparten todo el peso de una estructura a través de esfuerzos de compresión y tensión; como los elementos a compresión son muy cortos, las relaciones de esbeltez son despreciables así como los posibles pandeos, esto, siempre y cuando el

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peso se coloque sobre los nodos de los arreglos triangulares; cuando no es así, como en el caso de armaduras que se utilizan a modo de vigas, se producen ciertos esfuerzos de flexión pero son muy reducidos por lo corto de los elementos que de inmediato procuran repartir los esfuerzos a tensión y compresión. La utilización de las armaduras a modo de vigas (aunque no funcionan a flexión y cortante) empieza a ser muy popular ya que se requiere mucho menos material y peralte de los elementos, lo cual trae un ahorro considerable en la construcción. De las armaduras se derivan otros elementos también muy utilizados como son las tridilosas popularizadas en México por el Ing. Heberto Castillo, cuyo funcionamiento es muy similar al de la armadura, pero en lugar de hacerlo como elemento plano lo hace tridimensionalmente. La otra gran utilización de los arreglos triangulares son las llamadas estructuras geodésicas, popularizadas por Richard Buckminster, que pueden cubrir claros enormes; pero esa se ha convertido en su principal limitación arquitectónica, que solamente puede ser utilizada en una serie muy limitada de proyectos, sobre todo aquellos que tienen como función principal salvar un gran claro, como espacios deportivos o para espectáculos.

El segundo arreglo fundamental que se puede lograr con los elementos lineales, es lo que denominamos como marco (viga y columna). El arreglo más simple y aquel que históricamente ha sido el más utilizado es el de poste y dintel, es decir, el colocar un elemento horizontal (viga o dintel) sobre otros dos verticales (columna o poste). Que fue históricamente el sistema más utilizado, sobre todo en las viejas civilizaciones, pero para poder dar estabilidad al sistema los miembros

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras tenían que ser muy pesados, para no ser afectados por los sismos.

con madera, barro armado con varillas, barro con botellas, etc.) que pueden tener grandes propiedades térmicas y adaptarse a los materiales del lugar y la economía de los habitantes.

El marco rígido es el sistema estructural más común en las estructuras modernas. Sus ventajas radican no sólo en su buena eficacia estructural, sino sobre todo en que ocasiona una mínima interacción con el funcionamiento de la construcción; y una de las mayores limitaciones de los marcos rígidos es su excesiva flexibilidad ante cargas verticales (sismo y viento); esto se procura solucionar haciendo más rígidas las articulaciones o incluso recurriendo a la triangulación de alguna crujía por medio de diagonales de contraventeo.

Asimismo la transmisión de momentos sísmicos es muy elevada en los marcos, por lo cual se procura, en la actualidad, poner elementos resistentes a sismo dentro de las estructuras; los más comunes son los muros a cortante, es decir muros de concreto, con un altísimo momento de inercia que tienen la habilidad de absorber casi todos los momentos sísmicos y dejar a los marcos la distribución de las cargas verticales únicamente. Evidentemente los marcos tienen la desventaja de que entre más altura tenga el edificio las secciones son más robustas, por lo cual en edificios de altura considerable son preferibles los marcos de acero.

El primer y principal sistema formado por elementos planos es el de muros como elementos de carga (muros de carga). La desventaja es la relativa poca resistencia de los muros de mampostería (los más utilizados) para cargas de compresión (aunque es el esfuerzo que mejor resisten) por eso entre más alto sea el edificio los muros tienen que ser cada vez más robustos, por lo cual y por su economía son los elementos utilizados por excelencia en las casas habitación y edificios de poca altura, ya que además su resistencia sísmica es sorprendente por la cantidad de masa en planta que ocupan. Así es altamente recomendado, en sistemas de muros de carga, que éstos estén perfectamente unidos en todas las direcciones para soportar mejor los sismos, cualquiera que sea la dirección que tenga el sismo. Otro concepto que ha empezado a surgir es el de muros habitables, es decir, no hacer muros rectos sino zigzagueantes formando closets, camas ocultas, ductos de instalaciones, etc, para que el muro funcione como una placa doblada y aumente considerablemente su momento de inercia sísmico. Además existe una cantidad considerable de materiales con los cuales se pueden hacer muros de carga (adobe, block macizo, block hueco, tabique de concreto, tabique de arcilla, piedras naturales, bambú, madera, concreto ligero, etc) con una variedad muy interesante de sistemas constructivos (barro armado

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Dentro de los elementos planos los sistemas de losas son junto con los muros los más utilizados. Estructuralmente existen dos tipos de losas: las planas y las perimetralmente apoyadas. Las primeras son las que se apoyan directamente en las columnas pero la enorme desventaja que tienen es que no logran formar marcos rígidos entre ellas por lo cual sísmicamente son sistemas muy inestables, debido a que las columnas no trabajan juntas y al gran esfuerzo de punzonamiento que ejercen sobre la losa. La mayor parte de edificios con este sistema se colapsaron en la ciudad de México en el sismo de 1985, por lo que no es un sistema muy recomendado. Sin embargo, el sistema de losas perimetralmente apoyadas tienen ventajas mucho mayores, de inicio se necesitan secciones mucho más pequeñas ya que no tienen ningún esfuerzo de punzonamiento y no interfieren con el comportamiento de los marcos, incluso pueden aminorar torsiones verticales en el edificio funcionando como losas-diafragma. Esto es independiente del sistema constructivo (aligeradas, macizas, losacero, etc.).

Izquierda. Losa Plana. Es el tipo más elemental de losa, que Le Corbusier popularizó con la Casa Dominó, el problema que presenta es el enorme cortante (punzonamiento) que producen las columnas y las losas, y, en zonas sísmicas la poca

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras interacción inercial entre las columnas para trabajar lateralmente. Derecha. Losa Perimetralmente Apoyada. Si apoyamos todo el perímetro de la losa en trabes y/o muros, el cortante en la losa es casi despreciable y trabaja prácticamente a flexión. Podemos colocar vigas secundarias para hacer los tableros más pequeños.

Izquierda. Losa Plana con Ábaco y/o capitel. Para solucionar el punzonamiento de las columnas se puede partir de trabajar las zonas de cortante con el peralte indicado y rebajar el resto del peralte de las losas (ábaco), o trabajar el peralte normal de la losa y acrecentar el peralte en la zona de punzonamiento (capitel). Derecha. Losa reticulada. Si las trabes intermedias se colocan a poca distancia entre sí, los tableros prácticamente desaparecen, y como las trabes cargan menor área, el peralte de las trabes disminuye significativamente.

La otra gran utilización de los elementos planos es la que se refiere a las estructuras de cascarón y las placas dobladas. Éstas son estructuras sorprendentemente resistentes y muy económicas. El principio estructural básico al que sus formas se refieren es precisamente el acudir a formas que estructuralmente aumenten la resistencia creando pares mecánicos resistentes increíblemente grandes; por lo cual las secciones necesarias para cubrir estas estructuras son reducidas al mínimo constructivo. Félix Candela hizo cascarones de 2.5 cm de espesor, como en el caso del Pabellón de Rayos Cósmicos en la Ciudad Universitaria de México. Una simple curvatura en una estructura laminar (losa) rigidiza enormemente su forma, al convertir los esfuerzos de flexión de las estructuras planas, principalmente en tensión y compresión en las curvas (aunque se presentan momentos en los bordes que son casi siempre muy pequeños).

Las curvas continuas en estructuras pueden funcionar como arcos o bóvedas dípteras (bóvedas-viga), aunque este tipo de estructuras presentan grandes tensiones en los bordes que eventualmente pueden provocar su falla en vista de que son superficies desarrollables; este problema puede ser solucionado con superficies de doble curvatura (no desarrollables) como son los paraboloides hiperbólicos, que a su vez pueden formar otros sistemas más complejos como los paraguas de cuatro paraboloides hiperbólicos hechos por Candela en México y difundidos en todo el mundo. La utilización de este tipo de estructuras ha decaído en los últimos años debido al sofisma económico del supuesto exagerado costo de la cimbra, pero la desfavorable relación resistencia-peso del concreto en estructuras tradicionales (planas, marcos) medianas y grandes hacen que las secciones utilizadas sean exageradas y anula esta pretendida ventaja. El sobrecosto de la cimbra en un cascarón es mucho menor que el sobrecosto del concreto en una estructura equivalente del mismo claro.

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El tercer gran elemento que mencionamos es el que se refiere a elementos espaciales. Aquí nos referimos principalmente a elementos resistentes de fachada o núcleos. La última tendencia estructural pretende hacer edificios cada vez más rígidos ante las cargas verticales; aun en edificios de mediana y poca altura. Principalmente esto se refiere a tres sistemas: a) núcleo resistente, b) fachada resistente, c) tubo en tubo. El sistema de núcleo resistente se refiere a crear en el centro del edificio un núcleo de muros de concreto (casi siempre utilizados para alojar instalaciones, elevadores, escaleras y núcleos de baño) que funcionen a cortante. Estos elementos absorben todos los esfuerzos sísmicos y permiten que el sistema estructural soporte casi exclusivamente las cargas verticales lo cual libera a la estructura de grandes momentos, los claros pueden ser más grandes y la estructura más ligera. La fachada resistente, se refiere al mismo concepto, pero formando núcleos resistentes en la fachada, que traen las mismas ventajas, nada más que de afuera hacia adentro. El sistema de tubo en tubo, implementa los dos sistemas antes vistos, es decir, la construcción de un núcleo central resistente, interactuando con un núcleo exterior resistente de fachada, este sistema no requiere, por lo regular, de columnas intermedias, y ha sido por lo general utilizado en edificios de gran altura, por lo cual a continuación presentamos dos gráficos comparativos de edificios de gran altura respecto a los sistemas estructurales utilizados en concreto y acero y la altura que pueden alcanzar:

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Llamamos piel envolvente, al caso opuesto, cuando la piel envolvente del edificio se encuentra en el exterior y la estructura se retrae, al igual, la mayor parte de los casos, la misma estructura soporta la piel exterior. Existen muchos ejemplos de edificios que utilizan este sistema (abajo).

Llamamos exoesqueleto, cuando la estructura esta expuesta al exterior, y por tanto la envolvente del edificio (piel) esta retraida. Por lo regular la estructura sirve también de apoyo para la piel interna. El edificio George Pompidou (abajo) fue uno de los más importantes paradigmas del exoesqueleto

e) La estructura y la envolvente del edificio Dentro del diseño estructural, es también muy importante considerar la relación que tendrá, o puede tener la estructura con la piel o envolvente del edificio, en términos generales, podemos habbar de las siguientes relaciones:

Llamamos Piel estructural cuando se da alguno de los dos sigioentes casos: a) el cerramiento (piel) y la estructura están integrados en un mismo sistema, o b) la estructura es al mismo tiempo cerramiento como en el caso de las tensoestructuras o los cascarones

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Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras En el caso de la fotografía de la derecha, podemos apreciar un ejemplo de la integración de la estructura con el sistema de cerramiento den un edificio de considerable altura. En los ejemplos inferiores, podemos ver el segundo caso de la piel estructural, cuando la estructura es al mismo tiempo la envolvente del edificio.

Por supuesto que también se puede diseñar combinaciones de los tres sistemas básicos presentados, en un mismo edificio, lo cual puede resultar en estructuras muy interesantes y estéticas (ejemplos inferiores).

f) El proceso de diseño y cálculo estructural El diseño y cálculo estructural se encuentra dialécticamente entrelazado (o así debe ser) con el proyecto ejecutivo general, ya sea que que se trate de un proyecto donde la estructura cumpla la función principal (ej. puente), o un rol mas modesto, pero siempre de vital importancia. Por esta razón, definiremos brevemente el

los entregables de un proyecto, y la parte que juega el diseño y cálculo estructural.

realizar revisiónes exhaustivas, pulir todos los detalles, y trabajar en la presentación de los planos y memorias.

Planos preliminares: Son bocetos o trazos iniciales para definir las primeras ideas y permitir que el proyectista pueda interpretar adecuadamente lo que se quiere construir. Con un proyecto a este nivel se analizan las primeras corridas financieras, la factibilidad del proyecto, la configuración sísmica (geometría), el sistema estructural y las primeras cargas generales.

Planos de modificaciones: Durante el desarrollo de la obra puede ser necesario hacer distintas modificaciones, que deben quedar plasmadas en la bitácora de obra, y actualizar los planos del proyecto ejecutivo.

Esta etapa es quizá la más importante, aquí debe existir una plena comunicación entre el diseñador y el estructurista, o entre este último y los demás integrantes del proyecto. En esta etapa debe quedar plenamente materializada la estructura, su sistema general y todos sus subsistemas. Para lograr este objetivo el estructurista debe interpretar correctamente todos los requerimientos y especificaciones del proyecto (o la licitación), así como todos los estudios previos necesarios. Al igual, requiere dela mayor creatividad y experiencia del estructurista, pues los posteriores cálculos no deben modificar lo aquí estipulado. Planos de anteproyecto: Son planos con mayor grado de detalle, generalmente utilizados para integrar los proyectos de diseño de cada una de las partes que intervienen (diseño e ingenierías). Con un proyecto a este nivel, se realizan las corridas financieras, la factibilidad económica, y se revisa en función de la normatividad vigente, para realizar las últimas actualizaciones y correcciones. En esta etapa se realiza el cálculo estructural completo, y se realizan los planos del proyecto estructural. En vista de que la estructura representa una parte mayoritaria del presupuesto global de un proyecto (en la mayoría de los casos), es indispensable la precisión para que las corridas financieras arrojen números reales. Planos del proyecto ejecutivo: Son los planos que ya incluyen el proyecto completo para dar inicio a los trabajos reales de construcción, y deben ser los que autorice y firme el perito y sus colaboradores, para tramitar las licencias y autorizaciones de construcción. Estos planos deben estar en la obra para verificar su concordancia con los trabajos realizados. En la etapa anterior ya esta definido el proyecto y cálculo estructural, por lo cual, aquí se aprovecha para

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Si las modificaciones durante la ejecución de la obra, incluyen modificaciones a la estructura, es el estructurista quien debe evaluar su pertinencia y validez, así como efectuar las modificaciones a los planos pertinentes. Planos definitivos (As Bilt): Estos planos se elaboran cuando la obra se termina. Se elaboran integrando los planos de modificaciones en los planos del proyecto ejecutivo, y son los planos que deben anexarse al aviso de terminación de obra. Memoria de cálculo: Documento en el cual se describirán, con el nivel de detalle suficiente para que puedan ser evaluados por un especialista externo al proyecto, los criterios de diseño estructural adoptados y los principales resultados del análisis y el dimensionamiento. Se incluirán los valores de las acciones de diseño y los modelos y procedimientos empleados para el análisis estructural. Se incluirá una justificación del diseño de la cimentación, y de los demás documentos especificados en los reglamentos y normas aplicables. Proyecto estructural: Son los planos debidamente acotados, con especificaciones que contengan una descripción completa y detallada de las características de la estructura incluyendo su cimentación. Se especificarán en ellos los datos esenciales de diseño como las cargas vivas y los coeficientes sísmicos considerados, y las calidades de los materiales. Se indicarán los procedimientos de construcción recomendados, cuando estos difieren de los tradicionales. Deberán mostrarse en planos los detalles de conexiones, cambios de nivel y aberturas para ductos. En particular, para estructuras de concreto se indicarán mediante dibujos acotados los detalles de colocación y traslapes de refuerzo de las conexiones entre miembros estructurales. En estructuras de acero se mostrarán todas las conexiones entre miembros, así como la manera en que deben unirse entre si los diversos elementos que integran un miembro estructural. Cuando se utilicen remaches o tornillos se indicará su diámetro, número, colocación y calidad, y

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras cuando las conexiones sean soldadas se mostraran las características completas de la soldadura; éstas se indicarán utilizando una simbología apropiada y, cuando sea necesario, se complementará la descripción con dibujos acotados y a escala. En caso de estructura de elementos prefabricados, los planos deberán indicar las condiciones que estos deben cumplir en cuanto a su resistencia y otros requisitos de comportamiento. Deben especificarse los herrajes y dispositivos de anclaje, las tolerancias dimensionales y procedimientos de montaje. Deberán indicarse los procedimientos de apuntalamiento, erección de elementos y conexiones de una estructura nueva con otra existente. En los planos de fabricación y en los de montaje de estructuras de acero o de concreto prefabricado, se proporcionará la información necesaria para que la estructura se fabrique y monte de manera que se cumplan los requisitos indicados en los planos estructurales. A continuación describiremos el proceso del Diseño y cálculo estructural. 1. BASES DE LICITACIÓN. Estas son necesarias si se trata de una obra pública, y se tendrá que licitar el proyecto estructural. En las bases de licitación casi siempre se especifican los alcances del proyecto, y los requisitos de las empresas licitantes. 2. ESTUDIOS PREVIOS. Estos son indispensables para el desarrollo del proyecto estructural, son de muy diversa naturaleza, y su elección depende de las características del proyecto, y de las características del lugar donde se realizará el proyecto. Un estudio previo nunca representa un sobre costo, ya que proporciona información muy valiosa para la correcta ejecución del proyecto estructural. Algunos ejemplos de estudios previos son los siguientes:        

Agrología Desarrollo pecuario Hidrología Mecánica de suelos Sismología Topografía Geología Geodesia

        

Geotecnia Geofísica Geotermia Oceanografía Meteorología Aereorotogrametría Ambientales Ecológicos Ingeniería de tránsito

3. MEMORIA DE CÁLCULO ESTRUCTURAL Y DESCRIPTIVA. En un apartado anterior ya se definío el concepto de Memoria de cálculo. A raíz que las corridas computacionales de los análisis y cálculo estructurales son por lo rregular muy voluminosas, se ha popularizado la elaboración de Memorias Descriptivas, donde se incluyen y describen los datos y procedimientos generales, con el detalle suficiente para poder ser evaluadas y reproducidos por un especialista externo. Y en la Memoria de Cálculo, se anexan además las corridas computacionales. Los elementos que debe contener la Memoria Descriptiva son los siguientes a) Datos generales Ubicación geográfica del proyecto, regionalización sísmica, regionalización eólica, regionalización geotécnica y características del proyecto arquitectónico. b) Estudios previos Estudio de mecánica de suelos, donde se obtendrán las propiedades mecánicas del suelo, la resistencia del suelo a considerar, la clasificación del suelo, y las recomendaciones sobre el tipo de cimentación. c) Marco legal Reglamentos y Normas Técnicas a utilizar, Normas Oficiales Mexicanas y Normas Mexicanas a utilizar, y referencias de investigaciones, etc. d) Definición de las características de la estructura. Definición de geometría en planta, Definición de geometría en elevaciones, Revisión de formas regulares y simétricas, Propuesta del Sistema Estructural. e) Definición de los elementos estructurales portantes. f) Definición de los sistemas de piso. g) Definición de los materiales estructurales. h) Definición de las uniones entre los elementos estructurales. i) Definición de elementos no estructurales y la fijación de los elementos no estructurales. j) Definición de la cimentación. k) Definición de los datos sísmicos: Coeficiente sísmico a utilizar (Cs), factor de comportamiento sísmico (Q), Periodo Fundamental de Vibración (T), coeficiente de reducción sísmica (Q´), coeficiente sísmico reducido, y espectro sísmico. l) Análisis de las cargas y pesos en la estructura Cargas muertas y vivas, peso de entrepisos y azoteas, peso de elementos estructurales más representativos.

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m) Factores de carga a utilizar n) Combinaciones de carga a utilizar en el análisis o) Datos con los que se alimenta el análisis del software: i) Modelar la estructura, o sea idealizar la estructura real por medio de un modelo teórico factible de ser analizado con los procedimientos de cálculo disponibles ii) Coordenadas geométricas de los nodos de la iii) estructura. iv) Condiciones de empotramiento (nodos empotrados y tipo de empotramiento). v) Materiales considerados para las barras. vi) Propiedades geométricas de las barras. vii) Resistencia y propiedades mecánicas de las barras (límite de fluencia, módulo de elasticidad, momentos de inercia, etc.). viii) Magnitud, ubicación y características de los pesos en las barras. ix) Combinación de pesos considerados. x) Factores de carga considerados. xi) Centro de inercia sísmico. xii) Dirección sísmica considerada. xi) Método de análisis considerado (Primer orden, Segundo orden, Efectos P-Delta). xiii) Principales resultados obtenidos (momentos, cortantes, axiales, etc.). xiv) Verificación del cumplimiento de la resistencia de los esfuerzos obtenidos. p) Dimensionamiento de los elementos estructurales (y todos sus componentes). q) Cálculo de la cimentación (y todos sus componentes). r) Cálculo y detallado de las conexiones. s) Especificaciones de materiales, elementos, procedimientos y tolerancias. 4. PROYECTO ESTRUCTURAL. Este consta de los planos estructurales en sus diferentes modalidades: Planos del Anteproyecto, Planos del Proyecto Ejecutivo; Planos de Modificaciones, y Planos Definitivos o As Bilt. 5. LICENCIAS Y PERITAJES. Dependiendo de la complejidad, tamaño del edificio, y lo dictado por las normas y reglamentos locales, el proyecto estructural requerirá para la obtención de su licencia y permisos de diferentes peritos especialistas. Es apropiado que dichos especialistas esten al tanto del desarrollo del proyecto, para evitar reformular partes importantes de lo ya realizado.

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras PREMISAS FUNDAMENTALES:

g) Consideraciones sísmicas en el diseño estructural Todas las personas involucradas en el proyecto, diseño y realización del entorno físico construido debemos estar perfectamente concientes de que vivimos en un mundo vivo y en constante movimiento y transformación (Parménides), lo que implica que los movimientos telúricos son un hecho natural, y no necesariamente un desastre; nosotros hacemos que sean desastres. Un edificio debe ser seguro (firmitas Vitruvio), entre muchas otras funciones o valores esenciales, pero independientemente de las teorías de la arquitectura, siempre es reconocida la seguridad como algo primordial.

Centro de Gravedad: La fuerza gravitatoria actúa entre dos pedazos de materia cualquiera e intenta juntarlos. Cada partícula de materia del universo esta atrayendo cada una de todas las demás partículas de materia, simplemente porque la atracción gravitatoria es una propiedad inherente de la materia. La gravitación no es una atracción en un solo sentido. Es mutua: cada cuerpo atrae al otro. Y cuanta más masa tenga un cuerpo (cuantas más partículas contenga), mas fuerte será su fuerza de atracción acumulada Cada partícula de materia de nuestro planeta está atrayendo (y siendo atraída por) todas las demás partículas. Una partícula que está a sólo unos pocos metros de profundidad está siendo tirada hacia abajo por muchas mas partículas que tiran de ella hacia abajo, porque hay muchas más partículas debajo que encima de ellas.

c) El centro de masas: es el centro de las cargas gravitacionales o verticales, y por tanto, su ubicación dependerá de la distribución de las mismas. Toma en cuanta básicamente los entrepisos, muros no estructurales y elementos de fachada no estructurales también, así como equipo, cisternas, etc. El centroide de secciones compuestas (compuestas por formas estándar), se puede calcular usando las siguientes ecuaciones:

 Ax A  Ay y A

x

Para la distancia de “x” al centroide en la dirección horizontal Para la distancia de “y” al centroide en la dirección vertical

Nota: Cuando se trata del centroide de masas, se toma el área de los entrepisos y azoteas (ya que constituyen el 95% del peso del edificio), y cuando se trate del centroide de rigideces, se toma el área de los elementos estructurales exclusivamente.

Lo mismo puede decirse de todas las partículas que tienen más materia debajo de ellas que encima suyo, y, por lo tanto, todas son atraídas hacia abajo. ¿Hacia abajo adónde? Hacia el único lugar que tiene la misma cantidad de materia alrededor de él en todas direcciones: el centro de la tierra. De este modo, la Tierra actúa como si tuviera sólo un punto hacia el cual atrae todo por gravitación: su centro de gravedad. a) El centroide geométrico: es el centro de la forma geométrica del edificio, sin considerar las diferencias en densidad, masa o resistencia de la estructura, solo el volumen geométrico b) El centro de rigideces: es el centro únicamente de los elementos estructurales portantes (columnas, muros, contraventeos, etc.). Se obtiene su ubicación en los ejes x e y como el cociente de la suma todos los productos del área de cada elemento estructral por su distancia en el eje, entre la suma tutal de tadas las áreas de los elementos estructurales.

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En este gráfico, podemos resumir las recomendaciones básicas de las NTC para realizar estructuras “Regulares”, en donde los efectos de las fuerzas laterales ejercen esfuerzos muy controlables. Además recomienda que ningún nivel sea 30% menor al anterior, ni 10% mayor al siguiente. Si algunas de estas recomendaciones no se cumplen, entonces se deben tomar

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras medidas estructurales especiales para rigidizar la estructura y minimizar posibles daños.

una casa habitación no tiene problemas sísmicos muy graves debido a su tamaño y altura pequeña, respecto a la cantidad de muros de carga que aumentan mucho el momento de inercia total, y a que los claros son relativamente pequeños. Aunque esto no significa dejar el diseño sísmico a la deriva, si se pueden cometer algunas imprecisiones en la configuración. Galileo Galilei mencionaba: “.ni la naturaleza puede producir árboles de tamaño extraordinario porque sus ramas se quebrarían bajo su propio peso; así mismo sería imposible construir las estructuras óseas de los hombres, caballos u otros animales de tal modo que se mantuvieran unidas y desempeñaran sus funciones normales, si la altura de estos animales aumentara enormemente; este aumento de altura se podría lograr sólo empleando un material más duro y fuerte que el usual, o mediante el aumento del tamaño de los huesos, cambiando así su forma.”

En el gráfico anterior, podemos ver un caso en donde no se cumplen las condiciones de regularidad de las NTC, ya que el momento de inercia de las columnas inferiores, es mayor de 50% respecto a las superiores por lo cual se incluyeron los contraventeos.

En el siguiente apartado vamos a desarrollar el análisis de 21 conceptos muy importantes en la 10 configuración sísmica de los edificios , estos conceptos deben ser tomados en cuenta no únicamente por los diseñadores y calculistas estructurales, sino también por el arquitecto diseñador del proyecto, ya que su inteligente aplicación disminuye, en primera instancia, los esfuerzos sísmicos en los edificios. Pero sin que esto sea un impedimento a la creatividad estilística-formal, sino por el contrario, un aliciente que aumente la creatividad de los diseñadores para hacer edificios estéticos y seguros.

La Regularidad estructural y constructiva se refiere a procurar la coincidencia del centro de masas con el centro de rigideces en los edificios, y por tanto se cumple la 3ª Ley de Newton sin provocar grandes problemas. Para posibilitar esto es condición necesaria que los elementos estructurales y los constructivos procuren la simetría tridimensional. Para lograr esto, por tanto es necesaria una distribución geométrica tridimensional de las masas de la estructura y de todos los elementos resistentes.

Al igual que en muchas otras ilustraciones, en las fotografías superiores podemos ver dos edificios muy famosos que distan mucho de tener una regularidad estructural (mas el de la derecha), pero no se encuentran ubicados en zonas sísmicas (Nueva York y Bilbao) por lo cual los problemas derivados de este hecho son mínimos. Lamentablemente la influencia en el diseño arquitectónico de imágenes similares es muy alta, y no se considera que las circunstancias locales son determinantes para la morfología arquitectónica de cualquier edificación. En el gráfico anterior podemos ovservar los criterios que toman las NTC para una estructura regular: el lado mayor y la altura no deben ser mayores de 2.5 veces el lado menor del edificio. En cuanto el edificio crece vertical u horizontalmente y supera estas relaciones, tenemos tenemos un indicador que se deben tomar medidas y/o consideraciones especiales para la estructuración del edificio.

1. Escala, regularidad estructural y configuración compacta de volúmenes. La escala de un edificio se refiere a la relación del tamaño del edificio, respecto al tamaño de su estructura y sus componentes estructurales. Se entiende, en términos generales, que 10

Para ampliar esta información se puede consultar: Arnold, Christopher, et. al., Configuración y diseño sísmico de edificios, México 1995, edit. Limusa, y Perlés, Pedro, Temas de Estructuras Especiales, Buenos Aires 2003, edit. nobuko

cuyas configuraciones formales son muy diferentes, pero que muy bien pueden entrar dentro de la envolvente de proporciones estructurales regulares, lo cual confirma que no es una limitante formal, sino una recomendación importante para el diseño.

En las fotografías superiorespodemos observar dos edificios

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La configuración compacta de volúmenes se refiere a cuando los edificios son muy largos es muy probable que se presenten severas diferencias entre la respuesta del edificio al sismo, y la magnitud y/o dirección del mismo. Es muy difícil que una estructura grande (larga, alta, etc.) actúe como un conjunto ante un evento telúrico. Lo cual, provoca necesariamente torsiones. Asimismo, si el edificio esta compuesto de cuerpos en diferentes direcciones, las partes responderán diferencialmente. Por lo cual, se recomienda subdividir los edificios (con juntas constructivas) en volúmenes compactos e independientes. De no ser posible, se recomienda reducir la proporción de los cuerpos salientes para hacerlos más compactos, acorde con el siguiente gráfico:

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Distancia máxima entre juntas de expansión Distancia máxima entre Tipo de Estructuras juntas en mts. Estructuras Estructuras protegidas expuestas Marcos de concreto 50 30 reforzado Estructuras prefabricadas 60 40 Estructuras de concreto 40 25 ligero En este gráfico podemos apreciar diversas morfologías arquitectónicas, y cuáles son los límites que deben tener estos para minimizar las desventajas inerciales de cualquier parte, en el momento en que algún cuerpo sobrepasa estos límites, es recomendable utilizar una junta constructiva. Es muy importante recordar que estas formas se deben entender como envolventes proporcionales, no como limitantes para el diseño.

En el gráfico superior podemos observar la utilización de juntas constructivas para una diversidad de circunstancias. Como se puede apreciar, se procura siempre tener volúmenes compactos, evitar las esquinas, y procurar no tener juntos volúmenes largos perpendicales estre ellos, en vista de que la resistencia inercial es muy favorable en el sentido largo de los cuerpos, lo cual implica un correcto funcionamiento de uno respecto al otro. A continuación se presenta una tabla de distancias recomendadas entre juntas constructivas.

Es muy importante entender esta tabla como parámetros generales, y tener muy presente las configuraciones de las recomendaciones anteriores, en las cuales se puede requerir de juntas constructivas en distancias mucho menores que las aquí indicadas. En el gráfico superior podemos ver las proporciones que marcan la NTC para considerar una estructura como regular. Es importante considerar que dichas recomendaciones son para una de las zonas sísmicas mas peligrosas del mundo, y que por tanto, estas proporciones se pueden ir relajando, conforme la sismicidad de la zona disminuya .Esto de ninguna manera es una limitante para el buen diseño arquitectónico, y no es sinónimo de aburrimiento como vemos en el gráfico inferior. Es correcto visualizar las proporciones que marca el gráfico superior (así como las recomendaciones de los siguientes gráficos) como una envolvente dentro de la cual podemos realizar diseños con una relativa certeza estructural, en el momento en el que el edificio se sale de esta envolvente virtual debemos comenzar a visualizar que la estructura debe jugar un papel mas predominnate en el diseño arquitectónico o que se deben tomar medidas y/o consideraciones estructurales especiales, como incluir elementos rigidizadores.

En el gráfico superior podemos observar en otro esquema, la utilización de juntas constructivas. En este caso, tenemos un edificio bastante largo y bajo que necesita estar separado estructuralmente de un edificio alto y esbelto. Es evidente que estos dos cuerpos tendrán diferente periodo sísmo en diferentes direcciones. Al igual, existe otro cuerpo largo en la parte tracera, unido con el cuerpo delantero, por un pequeño cuerpo trasnversal a estos. Como este cuerpo de unión es perpendicular a los cuerpos que une, debe ser una unidad estructuralmente independiente, ya que su momento de inercia, es mayor es su dirección larga, la cual es menor en los cuerpos largos.

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En las imágenes superior e inferior podemos observar dos configuraciones morfológicas comunes: en cruz y en L. La recomendación en el diseño sísmico nos dice que los cuerpos salientes (del cuerpo principal) no deben ser mayores del 15% del largo total, cuando esto es así, las diferencias en la resistencia inercial de cada cuerpo no provocan momentos torsionantes peligrosos para la estructura. Cuando se exceda este límite, entonces el contacto entre los dos cuerpos debe ser solucionado por medio de juntas constructivas.

En las imágenes superior e inferior podemos observar dos configuraciones morfológicas comunes: en T y en I. La recomendación en el diseño sísmico nos dice que los cuerpos salientes (del cuerpo principal) no deben ser mayores del 15% y el 20% del largo total respectivamente, cuando esto es así, las diferencias en la resistencia inercial de cada cuerpo no provocan momentos torsionantes peligrosos para la estructura. Cuando se exceda este límite, entonces el contacto entre los dos cuerpos debe ser solucionado por medio de juntas constructivas.

En la imagen superior observamos otra recomendación de la configuración sísmica de edificios, que explica que los patios o ductos interiores en los edificios no deben exceder el 20% de la superficie total del mismo, y deben estar centrados. De sobrepasar este porcentaje se debe recucurrir a juntas constructivas para hacer cuerpos independientes, y en caso de no estar centrados, se debe cuidar mucho que no representen una excentricidad en la masa resultante del edificio

En los gráficos superiores, podemos observar un esquema de la planta del Banco Central de Nicaragua que tenía ductos que no superaban el 20% del area total, pero cuya excentricidad provocó una diferencia entre la resultante de los elementos resistentes y la resultante de la masa, lo cual provocó por medio del mecanismo de la derecha, el colapso del edificio.

La Ley del Cubo Cuadrado, dice que cuando la masa de un objeto crece en proporción a su volumen, debe mantener una densidad constante. Por ejemplo, si cada lado de un edificio tiene una longitud L, entonces su volumen es L x L x L. Un edificio que tiene una longitud, altura y anchura de tres metros tendrá un volumen de 3m x 3m x 3m, o sea 27 m 3. Esta unidad de volumen se

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Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras llama métro cúbico o m3 y representa el hecho de que hemos multiplicado por tres longitudes. Supongamos que el edificio debe crecer dos veces en cada dirección. Su altura, anchura y longitud serán también de 6 metros cada una. En este caso su volumen es de 6m x 6m x 6m, o sea, 216 m3. Así pues, duplicar su longitud en las tres direcciones aumenta su volumen por un factor de ocho. Si su longitud crece en las tres direcciones por un factor de diez, de forma que su largo, ancho y alto serán ahora de 30 metros en lugar de 3 metros, su volumen sería entonces de 27,000 m3, mil veces mayor que su volumen inicial de 27 m3. Si queremos que esto sea físicamente plausible, lo sección total de los elemetos estructurales ha de mantener una densidad constante al crecer, entonces su masa debe aumentar en la misma proporción que su volumen, no que su longitud. Es decir, la relación entre la seción de los elementos estructurales (Ee) portantes y el área cúbica (volumen) total del edificio (A3e) debe ser siempre igual independientemente del cambio, lo cual podemos resumir en la siguiente relación matemática:

Ee  Ee   Cons tan te 3 A e A 3 e

Por tanto, si nuestro edificio debe crecer, podemos fácilmente calcular las características de los nuevos elementos estructurales con la siguiente ecuación:

Ee 

Ee  A 3 e A 3e

2. Altura y reducida esbeltez de volúmenes. El aumento en la altura de un edificio significa un aumento en el periodo sísmico del mismo; entre más alta es una estructura, mayor es su peso, por lo tanto su masa, y estando sometida a las fuerzas del entorno (gravedad) la aceleración de su masa es mayor provocando mayor fuerza; al crecer un edificio no crece su escala, sino que se rompe la relación armónica entre el tamaño y la estructura, por lo cual no únicamente las secciones tienen que crecer de tamaño, sino que se tienen que tomar consideraciones más de fondo en la configuración sísmica del edificio, por ejemplo se debe cuidar mucho su relación de esbeltez (la relación con su ancho), los materiales más indicados, los sistemas estructurales tienen que ser más resistentes a las fuerzas sísmicas, el alto de los entrepisos y la cantidad y distribución en la masa.

En la imagen de la izquierda podemos ver el proyecto para las Torres Petronas en Kuala Lumpur (Indonesia), una de los edificios más altos del mundo. La tecnología antisísmica principal que utilizan se denomina “Mat Slab”, que consiste en un inmenso sótano altamente reforzado que funciona como un gran basamento que sustituye las caracteróisticas mecánicas del subsuelo, y que al mismo tiempo provoca que el moemento estabilizador del conjunto sea muy superior al momento de volteo que puede experimentar el mismo.

La relación entre el área de los elementos estructurales de un edificio y su área total en planta, debe permanecer constante cuando las dimensiones del edificio cambien (Δ). Es decir, debe mantener su misma densidad de estructura en planta. Un ejemplo de la aplicación de la Ley del Cubo cuadrado, la podemos encontrar en las películas de ciencia ficción. Acorde a ésta, la existencia de King Kong es imposible (como lo conocemos. No podemos simplemente agrandar un Gorila 100 veces, esto implicaría un crecimiento de sus elementos estructurales (huesos) de 100, pero su pero su masa (peso) crecería por un factor de miles, que sus nuevos huesos no sortarían. Debería por tanto, tener una forma muy distinta.

En los ejemplos superiores podemos ver diversas morfologías de rascacielos que aunque no disminuyen su Momento de Volteo (Aceleración sísmica por su par mecánico) si aumenta su resistencia a la flexión, es decir, son entendidos como grandes vigas en cantiliber.

En el gráfico anterior podemos observar la característica especial de los edificios en altura o esbeltos, en términos generales la deformación o desplazamiento sísmico (Δ) tiende a ser muy elevado, por lo que es necesario disminuir estos efectos rigidizando la estructura y/o implementando dispositivos especiales como el aislamiento sísmico de las bases.

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La Reducida esbeltez de volúmenes se da cuando hablamos de esbeltez nos referimos a la relación entre el ancho y el alto de un edificio. Cuando un edificio es muy esbelto, automáticamente aumenta su momento de volteo, y por el contrario, entre más bajo (el centro de masa esta más cerca de la tierra) aumenta su momento estabilizador. Las NTC recomiendan que la altura de un edificio sea como máximo 2.5 veces la base menor. Cuendo esta relación se rompe entonces debemos poner especial atención en crear un adecuado sistema

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras resistente para el cortante y las deflexiones que se presenten.

En las imágenes superiores podemos observar grandes edificios con una reducida esbeltez. En estos casos, las consideraciones estructurales son muy especiales, fundamentalmente encaminadas a conseguir aumentar el memento de inercia total con estructuraciones de “tubo” o “tubo en tubo”.

3. Tamaño horizontal. Así como la altura es un aspecto que es necesario cuidar, también el tamaño horizontal del edificio es muy importante. Si tenemos un edificio bastante largo, aunque su forma sea regular, siempre tendrá problemas para responder como una sola unidad ante la fuerza sísmica, en primer lugar, por la ley de la conservación de la energía: una estructura es capaz de desarrollar una energía cinética proporcional a su fuerza potencial, pero un edificio largo tarda más tiempo en hacerlo, y en segundo lugar porque las variaciones en la velocidad e intensidad del sismo imprimen diferentes cantidades de energía antes que el edificio termine de transmitir las anteriores, lo que se traduce en torsiones muy fuertes en el edificio.

sísmica es menor. Las normas internacionales recomiendan que la relación alto/ancho no exceda de 4 (cuatro). Aunque existen excepcionales edificios que rompen la regla. Pero esto se da casi siempre en lugares como Nueva York donde la posibilidad de movimientos telúricos es muy baja.

En las fotografías superiores podemos ver edificios con una relación de esbeltez favorable, pero con morfologías diversas e interesantes, por lo cual se concluye que la relación de esbeltez también es una recomendación que se puede visualizar como una envolvente de proporciones estructurales favorables.

5. Simetría. La simetría puede ser un concepto bastante engañoso en el diseño de edificios. La simetría supone que un edificio sea simétrico en cualquier eje en el que éste sea cortado. Pero el concepto de simetría en la configuración sísmica supone la coincidencia del centro de la masa con el centro de rigideces del edificio, aunque en el exterior el edificio no sea estrictamente geométrico.

En la ilustración de la izquierda podemos ver una configuración morfológica simple pero sísmicamente mala, ya que la resultante resistente del edificio no coincide con la resultanmte sísmica lo que provoca un gran momento de torsión. Por el contrario, en la fotografía de la derecha podemos ver un edificio morfológicamente muy interesante, pero estructuralmente muy simétrico.

4. Proporción. La proporción en un edificio se refiere a su relación alto-ancho, es decir a su esbeltez. Entre más esbelto es un edificio mayor es su periodo sísmico y menor el momento interno que puede desarrollar para resistir la fuerza sísmica, por lo tanto su resistencia

Por lo cual el término simetría en el diseño estructural no significa necesariamente aburrimiento y repetición formal. Aunque muy bueno sería llegar al perfecto entendimiento de estas partes. Entre más simétrico sea un edificio (o tienda a serlo) más predecibles serán sus esfuerzos sísmicos, así como más pequeños.

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En la ilustración anterior podemos observar que las variaciones formales en un edificio, pueden romper el sentido estricto de la simetría, siempre y cuando se encuentren dentro de ciertos límites, dentro de los cuales, los efectos asimétricos pueden estrar dentro del comportamiento normal de una estructura simétrica estructural. Después de estos límites, se deben tomar precacuciones especiales.

6. Distribución y concentración. Este concepto se refiere a cómo la forma es concentrada y distribuida la masa en un edificio. En términos generales es mucho más seguro distribuir la masa de un edificio proporcional y simétricamente por toda la planta teniendo claros más pequeños, que concentrar más masa en unos lugares que en otros; de no ser que estas concentraciones pretendan crear momentos resistentes muy elevados, como es el caso de edificios con núcleos centrales y fachadas resistentes, sin columnas intermedias. En el gráfico superior podemos ver un ejemplo simple pero ilustrativo de distribución y concentración no apropiada. Como los elementos resistentes son más masivos en la derecha, la resultante resistente no coincide con el centro de masa del edificio. Lo cual, provoca un momento

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras torsionante.

En las fotografías superiores podemos ver edificios con una concentración y distribución de masas aparentemente muy elevada. En realidad el concepto se refiere a la estructura, no necesariamente a elementos arquitectónicos que si no provocan excentriciddaes importantes en el peso del edificio, no afectan mucho el desempeño estructural del edificio.

En los gráficos superiores e inferiores podemos ver un buen ejemplo de Distribución y concentración. En el primero tenemos dos vigas que se apoyan en un muro, la carga es muy grande y el elemento portante no puede distribuir correctamente el peso, por lo cual es mekor majegar pilastras bajo esas vijas. En los ejemplos inferiores observamos como entre mas elementos se distribuyan menor es el peso, y mejor el comportamiento del muro.

7. Densidad de la estructura en planta. La densidad de la estructura en planta se define como el área total de todos los elementos estructurales verticales (columnas, muros etc.) dividida entre el área bruta del piso. Después de un sismo nos preguntamos por qué los edificios antiguos permanecen intactos, pues lo hacen porque tienen un porcentaje de estructura en planta elevadísimo, es decir, tienen un momento de inercia enorme. Los logros científicos y tecnológicos modernos han hecho que los edificios necesiten cada vez menos masa en sus estructuras, por ejemplo el Taj Mahal (1630) tiene una densidad de estructura en planta de 50%, y el Sears Building (de los más altos del mundo) de 5%. Aún así, y con todos los avances tecnológicos, el principio físico tan sencillo con el cual las estructuras antiguas aseguraban su resistencia sísmica sigue siendo muy válido; por eso en la actualidad existe una tendencia a procurar mayor densidad de la estructura en planta, evidentemente no se trata de volver a las formas del pasado, sino de aprender de ellas, por eso la introducción de elementos como los muros a cortante que elevan el momento de inercia, se está volviendo una práctica común.

En las ilustraciones superiores se ejemplifica el desarrollo histórico de la densidad de la estructura en planta. A la izquierda podemos ver el esquema estructural del Panteón Romano, que tenía una densidad estructural en planta del 25%, y a la derecha, la de cualquier rascacielos contemporáneo que tienen en promedio entre 5 y 2.5%. En la ilustración superior podemos observar una estructuración conocida como “Planta Debil” que se refiere a la enorme diferencia entre el Momento de Inercia total de la planta baja, respecto a la de los pisos superiores (mucho más grande). En lugares sísmicos este tipo de estructuración es

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particularmente dañina, pues diferencia de movimiento sísmico provoca que el cuerpo superior aplaste las columnas inferiores.

8. Esquinas. Las esquinas en los edificios son elementos que requieren mucho cuidado en el diseño estructural; por definición la esquina es el lugar donde se concentra mucho el esfuerzo durante un sismo y tiende a liberarse. Esto nos introduce a dos problemas principales. El primero es que existan discontinuidades estructurales en las esquinas de tal manera que el esfuerzo sea fácilmente liberado por esa parte. Si tomamos una caja de cartón y la aplastamos, esta tenderá a abrirse por los bordes de las esquinas. El segundo problema (y quizá el más grave) es el que se presenta en edificios con esquinas interiores (en formas de L, T, Z, etc.) aquí los esfuerzos tienden a concentrarse en demasía, y es común ver a éstas fracturadas. Por eso lo recomendable es estructurar este tipo de edificios (esquinas interiores) con juntas constructivas de tal manera que las esquinas interiores se conviertan estructuralmente en esquinas exteriores y siempre procurar que en las esquinas existan elementos estructurales que garanticen la transmisión de los momentos sísmicos, o si no es así, reforzarlas. Aunque también es importante tener presente que en las esquinas el periodo sísmico se expresa en varios centímetros de movimiento diferencial, por lo cual es indicado reforzar los acabados para no sufrir daños que requieran constante reparación.

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras En el gráfico de la izq., podemos ver un esquema de reforzamiento de las esquinas de un edificio, que si se extiende lo suficiente puede aumentar el par mecánico resistente del edificio igual a la mitad de su lado mas corto.

los edificios con una sola fachada que tienen colindancias a los lados y detrás, esto forza al diseñador a hacer más abierto el perímetro correspondiente a la fachada y completamente cerrado el perímetro.

En las fotografías superiores podemos observar edificios con un aparente perímetro variable, lo cual no implica que tengan problemas estructurales, ya que esto se refiere a las variaciones en los elementos resistentes (estructurales) en el perímetro.

En los ejemplos superiores observamos configuraciones con muchas esquinas las cuales pueden ser especialmente negativas para su comportamiento, en función de la relación proporcional de los cuerpos salientes respecto al total.

9. Resistencia perimetral y variaciones en su resistencia. Una de las formas más recurridas en la actualidad para estructurar edificios tanto de mucha altura como de poca, es reforzar la fachada de tal manera que funcione como un tubo resistente. Si se refuerza la fachada, el brazo de palanca interior del edificio tiene una longitud igual a la distancia del centro geométrico del edificio a la orilla, es decir un momento resistente enorme.

Las variaciones de resistencia perimetral conllevan un equilibrio muy frágil, cualquier discontinuidad en la resistencia de la fachada puede traer asimetrías importantes en su resistencia y por lo tanto torsiones importantes en la estructura, que pueden resultar contraproducentes. Una situación muy común sucede en

10. Redundancia. La redundancia básicamente se refiere a la incursión de elementos estructurales que ante las cargas normales parecen no servir para nada, o no tener una función definida, pero que en el momento de un movimiento telúrico tienen una importancia fundamental, a esto es a lo que se llama redundancia. Cuando estos elementos pueden tener una función estética, se logra un diseño excelente.

En los gráficos de la derecha, podemos apreciar estructuraciones, que aunque formalmente pueden ser muy interesantes, estructuralmente son muy peligrosas, ya que la estabilidad completa de la estructura depende de un solo elento, que de fallar colapsaría la totalidad, en estos casos, la incursión de elementos redundantes en la estructura es indispensable, para evitar el colapso.

11. Núcleo (falsa simetría). Como muchas veces los requisitos funcionales, estéticos o simbólicos de un edificio no permiten la estructuración con base en el perímetro resistente, se tiene que recurrir al núcleo resistente, que funcionalmente tiene menos problemas. Pero al igual esto es un equilibrio muy delicado, con que el núcleo no coincida con el centro de masa y el de rigideces del edificio se provocarán momentos torsionantes considerables. Pero al mismo tiempo pueden existir otros elementos resistentes importantes en un edificio además del núcleo y que no sean necesariamente elementos de fachada, por lo cual se debe estudiar minuciosamente la localización simétrica del centro resistente, así como su relación también simétrica con otros elementos resistentes o muy masivos del edificio, para evitar que se produzcan torsiones.

En las fotografías superiores podemos observar dos edificios con configuraciones morfológicas muy interesantes, pero lo cual no implica necesariamente que tengan una falsa simetría, ya que esto se refiere a la coincidencia entre el centroide de masas y el de los elementos resistentes. Por lo regular un edificio que tiene un núcleo central resistente (tubo) se puede permitir cierto grado de libertad formal, ya que el mismo elemento resiste la mayor parte de los esfuerzos sísmicos.

12. Evitar variaciones bruscas de rigidez y uniformidad de la resistencia. Siempre deben evitarse los cambios bruscos de rigidez en la estructura para evitar la concentración de esfuerzos en puntos peligrosos de la misma. Esta recomendación aplica tanto para la rigidez de los entrepisos, como de los elementos resistentes verticales. En el caso de los entrepisos las NTC recomiendan que ningún nivel sea 30% mayor (en área) al anterior, ni 10% mayor del siguiente, de esta forma es esfuerzo cortante en los elementos verticales estará en un rango admisible. Al igual, en los elementos verticales las NTC recomiendan que no se varíe la rigidez en un 50% en el mismo plano o nivel, incluso es recomendable hacer cambios de secciones verticales alternadamente entre niveles.

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En las imágenes superiores podemos ver edificios, en donde las variaciones de masa son proporcionalmente cuidadas para no tener variaciones bruzcas de rigidez entre niveles (o cuerpos) y garantizar el comportamiento sísmico de los mismos, vistos como una sola unidad estructural.

13. Evitar el mecanismo de la planta débil. En el gráfico inferior esta muy bien ejemplificado este problema. La diferencia de masa y rigidez entre la planta baja y el resto del edificio es muy elevada, lo cual puede provocar el colapso del piso inferior, ya que el cortante producido es inmenso. Este problema de configuración arquitectónica es muy común, ya que funcionalmente se requiere movilidad, estacionamiento, o diferente uso (comercial, habitacional) en la planta baja de los edificios. Por lo cual, si no se puede evitar, al menos se deben reducir sus riesgos incorporando elementos rígidos resistentes (muros o núcleos de cortante).

La Uniformidad de resistencia se refiere básicamente a lo mismo del punto 4 (Evitar variaciones bruscas de rigidez), pero conlleva un concepto interesante: la sobreresistencia. Esto es la relación entre la capacidad resistente de un piso y la resistencia requerida en el mismo para absorber esfuerzos sísmicos. Para procurar la uniformidad de la resistencia de de una estructura, el “índice de sobreresistencia” se recomienda que cada nivel no varíe en más de 25% del valor promedio de todos los niveles. La ecuación será la siguiente.

Sobreresis tencia 

una dirección predominante, ya que el efecto será el mismo.

Cuando se estructura un edificio con muros de carga, o muros resistentes a sismo, es muy importante procurar bidireccionalidad resistente de los mismos (en X e Y). De no ser así estaríamos favoreciendo el comportamiento sismico

16. Utilizar sistemas hiperestáticos. La característica más favorable de los sistemas hiperestáticos es la solidaridad estructural. En este tipo de sistemas, cualquier peso o esfuerzo extra en un elemento particular tiene la tendencia a ser repartido en todos los demás. Por el contrario los sistemas isostóticos no. Además, la falla en un elemento isostático, puede provocar el colapso de toda la estructura, por tanto, entre más hiperestático es el sistema mejor será su comportamiento sísmico.

Re sistencia  existente Re sistencia  requerida 14. Evitar la formación de columnas o vigas cortas. Los cambios súbitos de rigideces en las estructuras pueden traer consigo una reducción del tramo de columna o viga sometida a flexión, lo cual axiomáticamente significará un incremento considerable del esfuerzo cortante por la concentración de tensiones diagonales (diferencias de rigidez en planos de corte). Por lo cual es recomendable evitar estos elementos.

En las imágenes superiores podemos observar dos edificios en los cuales se evitan los cambios bruscos de rigidez, pero sus aspectos formales son muy diferentes, lo cual nos enseña que mientras se cuiden las reglas, se pueden hacer configuraciones arquitectónicas muy interesantes.

15. Utilizar sistemas resistentes bidireccionales. En las estructuras debemos procurar la distribución de las cargas bidireccionalmente. En el mercado existen varios sistemas de piso que funcionan en una sola dirección, y si no se alterna en la estructura esta dirección, una dirección de la estructura cargará mucho más que otra, provocando grandes diferencias de rigidez. Al igual, no se deben diseñar elementos resistentes con

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En las imágenes superiores podemos ver un sistema de cimentación, y otro de entrepiso, en donde se siguen los criteros de hiperestaticidad. Como se puede apreciar, la vigas y contratrabes ligan los elementos en X e Y, lo cual garantiza una mejor distribución del peso y de los esfuerzo también. Además que sosn sistemas que pueden absorber sin problemas excentricidades accidentales de peso y/o esfuerzo.

17. Prever juntas sísmicas. La función de las juntas sísmicas es evitar los impactos dinámicos entre edificios anexos. Cada edificio, dependiendo de su esbeltez, rigidez, masa etc. tiene diferente período sísmico, y por tanto la separación entre edificios (junta sísmica) debe ser siempre mayor a la suma de las máximas deformaciones de cada edificio. La deformación máxima

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras de cada edificio es denominada D (Delta) y se encuentra con la siguiente ecuación:



Ps  L3 3 E  I

 Ps  L3      0.333  E  I  

18. Evitar uniones excéntricas entre columnas y vigas. Las uniones entre estos dos elementos tienden a concentrar muchas tensiones, sobre todo en los bodes, por lo cual es muy importante que ambos elementos posean un ancho similar, o en su defecto lo más similar posible. En caso de que algún ancho tenga que ser menor, siempre debe ser el de la viga, si es al contrario, la columna provocara una fuerza considerable de punzonamiento en la viga.

20. Influencia de los suelos de cimentación. Las características de las propiedades mecánicas del suelo, son fundamentales para el comportamiento de la estructura. Los modelos matemáticos para representar las estructuras suponen que estas se empotran perfectamente en el terreno, y en consecuencia, se estudia el comportamiento de una estructura como si estuviese en el espacio (cartesiano), mágicamente sustentada en sus apoyos. Pero la realidad es muy diferente. En la fotografía inferior podemos observar este norme defecto del diseño y cálculo estructural. Las propiedades mecánicas del suelo, permitieron la licuefacción del mismo durante un sismo, por lo cual las estructuras se voltearon completamente. Obsérvese que los edificios están casi intactos, prueba de que su resistencia y rigidez eran apropiadas.

En lasimágenes superiores se ilustran conexiones de elementos estructurales de acero y concreto respectivamente. En al cálculo y diseño estructural contemporáneo el análisis de las conexiónes debe ser muy cuidado, máxime el ahorro de tiempo que los programas computacionales han traido.

El efecto sísmo sobre una estructura será siempre modificado por las propiedades mecánicas del suelo. En términos generales, se ha observado que en suelos arcillosos (blandos) sufren mayor daño las estructuras flexibles, y por el contrario, en suelos rocosos (compactos) sufren mayores deterioros las estructuras rígidas. La principal recomendación en este sentido, es contar siempre con un estudio de Mecánica de Suelos, que nos puede dar información vital para el diseño de una estructura.

Ps= Peso sísmico total L= Altura total E= Módulo de Elasticidad I= Momento de Inercia

En los gráficos superior e inferior podemos ver casos extremos, pero lamentablemente comunes, de edificios con períodos sísmicos muy diferentes que chocan entre si, en estos casos, la junta contractiva no únicamente es indispensable, sino también el análisis de una separación suficiente que garantice que los edificios no se golpearan entre ellos, esto se puede analizar con la ecuación anterior.

19. Losas como diafragmas rígidos. Las losas normalmente con entendidas como elementos delgados, altamente reforzados, que trabajan fundamentalmente en flexión. Pero en la influencia de un movimiento lateral, las losas funcionan como vigas de gran peralte, y por tanto, pueden evitar torsiones en los edificios, debido a la no coincidencia de los centros de masa y rigideces. Pero, para que esto suceda así, es necesario evitar en lo posible discontinuidades en las losas. Es inevitable abrir ductos y/o patios en los edificios, y cuando esto suceda, se deben reforzar en las esquinas para que puedan transmitir los esfuerzos como si fueran vigas de gran peralte con aberturas.

Como podemos observar en el ejemplo de la derecha, tenemos una losa mucho mas reforzada que llega a ser mas rígida que la de la izquierda, permitiendo así funcionar como una viga de gran peralte ante un evento sísmico, lo cual optmiza el comportamiento del edificio como un conjunto resistente. Además de tener mejor comportamiento como losa.

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21. Aislamiento de bases y dispersores de fuerza en la estructura. Es una solución sísmica muy socorrida en la actualidad, y que sin duda tendrá un gran desarrollo en los próximos años. Consiste en algo muy similar al sistema de amortiguación de un automóvil. La idea es disminuir y disipar (amortiguar) el movimiento sísmico, de forma tal que la oscilación del edificio sea la menor posible. Consiste en unos dispositivos colocados entre las columnas inferiores y la cimentación. Estos dispositivos consisten de placas alternadas de acero inoxidable con teflón (que le da flexibilidad y alarga el periodo de oscilación) y goma o caucho (que disipan la energía para controlar los desplazamientos. En el centro

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras existe un núcleo de plomo que le da suficiente rigidez para resistir las cargas laterales.

del cimiento 5. Verificación de la Estabilidad

Zona I II II

Valores de Ta y Tb (Periodo del Terreno) Ta Tb 0.2 0.6 Lomerío 0.3 1.5 Transición 0.6 3.9 Lago

Fuente: NTC para el Diseño Sísmico

ME  1.5 MV

Como se puede apreciar en el gráfico e interpretar de la ecuación, el momento estabilizador del edificio debe ser 50% mayor que el momento de volteo acacionado por empujes y/o fuerzas laterales. El momento de volteo es el producto del peso propio del edificio por su brazo de palanca, y al igual, el momento de volteo el igual a la fuerza sísmica total multiplicada por su propio brazo de palanca.

h) Estabilidad del Edificio A continuación presentamos las ecuaciones para calcular la Estabilidad en edificios: 1. Cálculo del cortante máximo en la bade del edificio: En donde: VO  Wt  Cs Wt (ton o kN): Peso total del edificio Cs: Coeficiente sismico 2. Fuerza sísmica Lateral en cada Nivel En donde: W h Fn  n n n  VO Wn (ton o kN): Peso total del nivel Wi  hi Hn (mts) Altura del nivel i 1 respecto a ± 0.0



3. Momento de Volteo

M V   Fn  hn   0.9

4. Momento Estabilizador

M E  Wt  e

En donde: e (mts.): excentricidad=distancia del centroide al borde

El periodo fundamental de vibraciónes el tiempo (en segundos) que tarda un edificio o estructura en completar su desplazamiento sísmico máximo. Las NTC especifican los valores mónimos (Ta) y máximos (Tb) de este desplazamiento, para las tres zonas geológico-sismicas del Valle de México. Los Reglamentos internacionales no permiten que el movimiento máximo de un edificio dure más de 3 veces el período máximo.

i) Periodo Fundamental de Vibración 1. Densidad de los elementos estructurales portantes En donde:  bd  b (mts): Base del elemento  de   estructural  A  T   d (mts): Altura del elemento estructural At (m2): Area total del edificio



2. Periodo Fundamental de Vivración del Edificio (seg.) En donde: Ht (mts): Altura total Ht 30 2 del edificio To    100 L 1  30  de L (mts): Lado del edificio 3. Verificación de To

To  1.5  Tb

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j) Diseño de Juntas Sísmicas 1. Deformación total del edificio En donde: Ps  L3 Ps (Wt x Cs): Peso sísmico  L (cm): Altura total de la 3 E  I estructura o elemento 3  Ps  L  E (kg/cm2): Módulo de     Elasticidad 0 . 333  E  I   I (cm4): Momento de Inercia

I

bd3 12

Momento de Inercia de elementos simples

I   I   A d 2 En donde:

Momento de Inercia de elementos compuestos

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras A (cm2): Area de los elementos estructurales d (cm): Distancia del centroide del edificio al borde Módulo de Elasticidad

Ec  14000 f ć

E

 4400 f ć E s  2100000

E

c



 2105 E  2040000 E  200000 s



Concreto Reforzado

como lamentablemente de los masivos edificios colapsados de los cuales debemos aprender. Por lo tanto, el nuevo diseño estructural debe estar basado en leyes físicas y en el estudio científico de la evidencia empírica, seleccionando los métodos numéricos adecuados a ésta. En este gráfico podemos visualizar este proceso:

1. Las matemáticas son el lenguaje del universo, todo puede representarse y entenderse con números. Este es el primer punto y quizá el más importante. Las matemáticas son un lenguaje que tiene su propia lógica, reglas, características y sintaxis. Como éste no se encuentra vinculado a ningún horizonte cultural como el lenguaje verbal es universal. Todo puede entenderse y representarse a través de éste. Pero el lenguaje por sí mismo, la estructura formal (quantum) de la ciencia junto con la lógica no explica los fenómenos conceptuales, éstos se encuentran en el estudio del “ente móvil” o en última instancia de la metafísica. Las matemáticas las utilizamos para expresar universalmente los conceptos.

Acero Estructural

k) El diseño estructural reconsiderado Como vimos en la introducción, hasta el momento la teoría de las estructuras se ha basado en suposiciones (hipótesis) de cómo funcionan, y no en la realidad obtenida de la experiencia concreta. A estas suposiciones les corresponde una explicación matemática, pero si las suposiciones están mal, los métodos numéricos también lo están; modificar y perfeccionar los métodos numéricos no sirve de nada. Las hipótesis se tienen que reformular con base en leyes físicas. Además, existe una cantidad muy importante de evidencia empírica, tanto de pruebas de laboratorio,

Planteamientos conceptuales Por lo tanto, empecemos desde el principio replanteando nuestras suposiciones:

Acero de Alta Resistencia

Con la ecuación de Δ podemos evaluar ell desplazamiento máximo de una estructura en un sismo, respecto a su posición original y por tanto la distancia que dede estar separada de sus vecinos.

aristotélico que propone prescindir de toda materia para pasar a un nivel trascendental; pero esto implica salir de lo rigurosamente científico para entrar a lo metafísico, por lo cual no es necesario llegar hasta éste para la formación de una teoría del diseño estructural, aunque no deja de ser inquietante, y clarificante para el análisis.

Como podemos ver, el nuevo diseño reconsiderado debe replantear la forma de ver y analizar las estructuras. Primero debe partir de las leyes más fundamentales de la física, que son el fundamento de cualquier comportamiento estructural. Posteriormente, para ir construyendo las nuevas hipótesis que nos replanteen el diseño estructural, se debe recurrir a la enorme evidencia empírica sobre el comportamiento de éstas. La contrastación entre la evidencia empírica y las leyes físicas deben proporcionar la base para realizar los procesos de abstracción necesarios en toda interpretación teórica. Sólo entonces estaremos en posibilidades de recurrir a métodos numéricos que expliquen el fenómeno, pero siempre dentro del proceso de abstracción del entendimiento de las cosas. Un primer nivel o grado de abstracción corresponde meramente a la física, se prescinde de la materia individual y se estudia el “ente móvil” (principio). En el segundo nivel se prescinde de la materia sensible, y se estudia al ente quantum (cantidad). En este nivel está la matemática. Existe un tercer nivel en el pensamiento

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2. En cambio, la física explica los fenómenos en el cosmos. La física, a diferencia de las matemáticas, no es un lenguaje, estudia conceptualmente las características fenoménicas de la materia. Aquí entra por completo el estudio de las estructuras. Las leyes y teorías de la mecánica de los cuerpos sólidos son su fundamento. 3. Por lo tanto, la física utiliza las matemáticas para hacer entendibles los fenómenos naturales. Aquí nos referimos al ya mencionado cambio en el proceso de abstracción de la realidad en donde la física prescinde de la materia individual y busca el “ente móvil”, los principios básicos, verdaderos y universales de los fenómenos de la materia; al proceso de abstracción del quantum, es decir, se prescinde de la materia sensible para entenderla en el mundo de las ideas, y dar así el paso necesario de los objetos materiales a los objetos ideales. 4. Las estructuras son parte de los fenómenos físicos. Como ya habíamos esbozado, las estructuras en su totalidad son parte de la física y deben ser estudiadas como fenómenos físicos, no como fenómenos matemáticos. La matemática es la parte formal de las

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras estructuras, éstas únicamente tienen que ser coherentes dentro de su propia sintaxis, lo cual no implica que el fenómeno al que se aplique sea verdadero; eso depende de la veracidad del concepto físico, que es la parte material de las estructuras. 5. Por lo tanto, las estructuras deben ser repensadas desde la física y no de las matemáticas. Como en la actualidad la base físico-conceptual de la teoría de las estructuras es muy pobre, se ha recurrido a todo un sistema matemático muy complejo que cubra las obvias contradicciones, y la mayor parte de los tratados de estructuras se adentran más en la complejidad del lenguaje matemático, en lugar de buscar la abstracción pura de la realidad física de las estructuras. La física se puede sintetizar en dos grandes “principios fundamentales”. Todo lo que enseña la física acerca de la naturaleza puede resumirse en dos afirmaciones (Conservación de la energía y Entropía). Ahora bien, tales afirmaciones o principios distan mucho de ser obvios, y su comprensión requiere un importante esfuerzo y preparación conceptual. La física se estructura en diversas ramas o subdisciplinas. Desde un punto de vista estrictamente teórico, la física se divide en dos áreas teóricas: la mecánica y la termodinámica (las demás subdisciplinas tienen ya un carácter aplicado y se fundamentan en estas dos). La mecánica teórica, tanto la clásica como la cuántica, trata exclusivamente de la comprensión del principio de la conservación de la energía. Este concepto no ha sido comprendido a cabalidad en el diseño y cálculo de estructuras, y en su comprensión están basadas las tesis de este capítulo. La termodinámica tiene un nivel de integración teórica superior, por supuesto trata de la comprensión del principio del incremento de la entropía y su interrelación con el principio de la conservación de la energía. La entropía es un concepto fundamental, al igual casi no estudiado en el diseño de estructuras. Por lo cual, podemos afirmar que en la comprensión de estos dos grandes principios (conservación de la energía y entropía) esta la base teórica e intuitiva de cualquier buen diseñador de edificios. Conservación de la energía

Es importante empezar recordando que hay muchas formas diferentes de energía: mecánica, eléctrica, calorífica, la luz, etc. En el caso de las edificaciones la energía a la que más nos referimos es la mecánica. Pero independientemente del tipo de energía, existe una ley común a todas ellas: La ley de la Conservación de la Energía. La Ley de la Conservación de la Energía es conocida también como la primera Ley de la Termodinámica, esta enuncia que “la energía no puede ser creada ni destruida, sólo puede ser convertida de una forma a otra.” Acorde con esto, la totalidad de energía presente en el universo es constante. Por tanto, es muy importante entender los edificios como sistemas de energía constante, y ante los diferentes esfuerzos a que está sometida una estructura, la energía se transforma de un estado a otro. Para visualizar esto mejor, es indispensable entender la diferencia ente la energía “Potencial” y la “Cinética” La energía potencial es energía que está asociada con la posición de un objeto relativa a un campo de fuerza. Se puede pensar que es una energía que está guardada, que todavía no esta en uso. Por ejemplo, un sistema estructural se puede entender como energía potencial, en el momento de recibir un esfuerzo externo (sismo, peso, empuje, etc.) se modifica la forma del sistema estructural convirtiéndose en energía cinética (en movimiento), que posteriormente es liberada, hasta que la estructura regrese a su estado original, o a un estado similar a su estado original, esta posibilidad de no regresar a su estado original, se puede entender con la segunda Ley de la Termodinámica, o de la Entropía. Entropía e irreversibilidad La mayor parte de los procesos que tienen lugar en la naturaleza son de carácter irreversible. Lo mismo sucede con la estructura de un edificio, ésta esta sometida a esfuerzos que producen internamente efectos (agrietamiento, deformación, etc.) que hacen que la estructura ya no sea la misma, aún cuando la carga sea retirada (esto es lo que llamamos el comportamiento plástico). Estos efectos son irreversibles y acumulables. Una vez que una estructura se agrieta, la grieta no tiene otro camino más que seguir creciendo. Esto es lo que llamamos “Entropía”, por lo tanto: La entropía no puede ser destruida, pero puede ser creada.

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Todos los sistemas cerrados que evolucionan de forma irreversible, lo hacen hacia estados de mayor entropía. Así analizando los estados iniciales y finales de una evolución irreversible, se puede determinar la dirección del cambio que se producirá y también su espontaneidad. El sismo es un suceso espontáneo que acelera la entropía en una estructura. Crea mayores estados de irreversibilidad, por tanto: Hipótesis: El diseño estructural actual, no considera los procesos entrópicos en los sistemas estructurales. Siempre se parte del diseño sincrónico de la misma, mas no de su desarrollo diacrónico; por tanto, el diseño de una estructura debe considerar la evolución de los posibles procesos irreversibles, su espontaneidad, y modificar su estructura analítica para escenarios prospectivos críticos. Mecánica estructural Como las estructuras son parte de la mecánica (física) deben ser replanteadas desde las leyes fundamentales de la mecánica: las tres leyes del Movimiento de Newton. Por tanto, recordemos las “Axioms, or Laws of Motions” de Isaac Newton:11 1ª Ley: Todos los cuerpos permanecen en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme a menos que sobre ellos actúe una fuerza externa, que modifique dicho estado. 2ª Ley: La alteración del movimiento es siempre proporcional a la fuerza impresa en ello; y es realizada en la dirección de una línea recta, en la cual esta fuerza es realizada. (Una interpretación moderna de esta ley dice: La fuerza que se aplica en un cuerpo es igual al producto de la masa del cuerpo por la aceleración que recibe F = ma  F  a en donde la fuerza es proporcional a la aceleración). Cuando se aplica una fuerza a un objeto éste se acelera, la aceleración es en dirección de la fuerza y proporcional a su intensidad y es inversamente proporcional a la masa que se mueve.

11

Newton, Isaac, Principios matemáticos de la Filosofía Natural, Madrid 1998, edit. Alianza.


a

En la ilustración anterior podemos ver el procedimiento para obtener las fuerzas sísmicas totales, y también podemos inferir el comportamiento mecánico de las estructuras. Esto nos permite asumir dos premisas fundamentales sobre el comportamiento inercial de la masa:

F  F  m  a  F a m

En otras palabras, la fuerza que se aplica en un cuerpo es igual al producto de la masa del cuerpo por la aceleración que recibe.

Premisa 1. Partimos de la masa inicial “A” en reposo. Recibe una fuerza durante un tiempo de otro objeto másico “X”, es decir, un impulso P1. Consecuencias:

3ª Ley: A toda acción le corresponde una reacción de igual magnitud en sentido opuesto. Entonces empecemos estableciendo hipótesis sobre el cumplimiento de estas leyes físicas, y estableciendo con base en este análisis y la evidencia empírica, principios básicos sobre el diseño reconsiderado de estructuras. Cumplimiento de la 1ª Ley de Newton Hipótesis: (Navea L.)12 En el análisis estructural actual se ubica la referencia para plantear una ecuación de momento en un punto cualquiera, y no se considera si este punto está en reposo o en movimiento. Esto no tiene validez dado que no es el origen de la relación acción-reacción (objeto-entorno) o ejes de rotación, donde se tiene la certeza de que no existe desplazamiento.

b) Una categoría de la filosofía pero muy cierta en la física dice que “el movimiento es absoluto; el reposo, relativo”13 por esta razón debemos considerar los puntos de rotación como referencias inerciales. c) En el instante de sufrir una fuerza horizontal todo el sistema está en movimiento, por lo cual las ecuaciones de momentos y todas las fuerzas consecuentes, tienen que partir de un punto en reposo o punto de rotación como punto inercial.

Analicémoslo con más detalle: a) Una estructura está en reposo antes de que actúe una fuerza horizontal.

b. "A" reacciona ante el impulso recibido emitiendo hacia "X" un impulso de similar magnitud pero de sentido contrario. c. Incremento de masa en "A" (Energía kinética "K")

Un sistema estructural está en equilibrio ya que en él actúan diversas fuerzas a las cuales les corresponde una reacción interna contraria de la misma magnitud (o mayor), pero en sentido opuesto (3ª ley de Newton). Por lo cual, el sistema estructural está en reposo. En el momento en el que una fuerza lateral (empuje, sismo, viento, etc.) actúa sobre ella todo el sistema se encuentra en movimiento (incluyendo la cimentación) por lo cual no podemos encontrar un punto fijo (ya sea en reposo o en movimiento continuo), lo que nos lleva a considerar los puntos de rotación de la estructura como “referencias inerciales” respecto a las cuales podemos establecer magnitudes de los esfuerzos y las deformaciones provocadas potencial y cinéticamente.

d. Incremento de tiempo directamente proporcional al de masa. Premisa 2. a. En sucesivos impulsos aplicados al objeto másico "A", se observa que los incrementos de energía kinética no guardan una relación lineal con las cantidades P1 de impulsos aplicados tendiendo a incrementarse en cada impulso posterior. b. En sucesivos impulsos aplicados al objeto másico "A", la velocidad tiende a incrementarse también de forma no lineal pero de modo contrario, es decir, incrementándose en menor cantidad a cada cantidad P1 de impulso aportado.

12

Nevea, Lester, Método de Cálculo Geométrico de Esfuerzos e invalidez de la Teoría de la Deformación, Santiago de Chile, 2000.

a. Se modifica el estado de reposo de "A" y su velocidad se incrementa, comienza por ello el movimiento en el mismo sentido y dirección que la fuerza recibida durante x tiempo "impulso".

13

Lenin, V. I., Materialismo y Emperiocriticismo, China 1970, edit. Popular

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Llama la atención el hecho de que siendo la fuerza aplicada durante un tiempo, o sea, el impulso, la única causa capaz de modificar el estado de energía de la

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras masa, (recordemos que la masa sólo interacciona con el impulso) no encontremos una relación lineal y directa entre los impulsos aportados y los cambios registrados en la energía. ¿Por qué sucede esto? No parece lógico, hay que encontrar la razón. Al estudiar la gráfica que relaciona impulso con energía comprobaremos que aparece primero una relación escasa donde sólo una parte del impulso aplicado al objeto másico parece tener relación con el incremento de energía observado. Tal relación tiende a recuperase poco a poco hacia la completa linealidad, entonces el impulso aplicado tiene un rendimiento máximo, es decir, tanto impulso tanta energía, en vista de que la estructura adquiere su real comportamiento centrífugo.

No se considera el efecto P- más que para estructuras grandes, pero el suceso P- no depende de la masa sino de la aceleración. De acuerdo con esta ley, la fuerza y la aceleración son proporcionales (F  a), es decir, a cada objeto que se aplique una fuerza está implícita una aceleración; su magnitud obviamente depende de la masa, por lo tanto fuerza y aceleración podemos graficarla:

Hipótesis: Un mismo edificio con una misma masa horizontal, pero diferente estructuración vertical tiene diferente resistencia (inercia) proporcional al porcentaje de masa en planta.

d) De acuerdo con la ley de la conservación de la energía mecánica, la energía potencial es igual a la energía cinética y no es modificada por su dirección. Considerando que la gravedad es constante (“la energía no se crea ni se destruye, sólo se transforma) ésta no se modifica con la dirección o cambios en ésta (dirección) por lo cual la fuerza sísmica se suma a todos los momentos existentes (negativos o positivos). e) Si el sistema es hiperestático se realizan los métodos de distribución y después se suma el Momento sísmico (Ms). Cumplimiento de la 2ª Ley de Newton Hipótesis: (Navea L.)14 En el diseño estructural actual no se considera la ecuación F = m  a que determina la acción constante y permanente de G, es decir la atracción gravitacional.  El efecto de G varía en una estructura dependiendo de su movimiento.

Por lo tanto, entre mayor sea el porcentaje de estructura en planta respecto al total mayor será su inercia sísmica. Principio: Densidad de la estructura en planta Como podemos ver en la gráfica, entre más masa tiene un objeto se necesita más fuerza para moverlo y se logra muy poca aceleración (m1), y por el contrario (m3) un objeto con poca masa necesita poca fuerza para ser movido y puede alcanzar una considerable aceleración, Hipótesis: Entre más masa tenga un edificio, no significa que oponga menos resistencia a la fuerza (inercia) sísmica, ya que los elementos que oponen resistencia son los verticales (columnas y/o muros) son la masa resistente, mientras que la mayor parte de la masa la constituyen los elementos horizontales (entrepisos). Un edificio muy grande puede tener una resistencia (inercia) muy baja y gran aceleración sísmica. Por lo tanto, desde el punto de vista estructural necesitamos ver la gráfica anterior desde otra perspectiva:

Panteón Romano 120 dC. Roma Italia 20%

Edificio moderno de rascacielos 2%

En la anterior ilustración comparamos el Panteón romano cuya densidad de estructura en la planta es de 20% del total del área, con un edificio moderno de rascacielos que tan sólo tiene el 5%. Entre más densidad de estructura en planta tiene un edificio, su momento de inercia es superior, es decir, necesita una fuerza muy grande para ser movido con muy poca aceleración, por lo cual, la estructuración debe buscar un balance adecuado entre porcentaje de estructura y área disponible para uso. ¿Pero qué sucede si a los sistemas de baja densidad de la estructura en planta se incorporan sistemas de rigidización antisísmica?

14

Navea, Op. Cit.

30

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Principio: Distribución del esfuerzo en un sistema rígido

Además existe la posibilidad de “arritmias” en el periodo de la respuesta sísmica del edificio. Evidentemente los esfuerzos internos y desplazamientos son menores. La ley de la conservación de la energía nos dice que los cambios en la dirección de la fuerza no la disminuyen. Si lo graficamos: Movimiento Rítmico

Movimiento Arrítmico

Falla por cortante

Pero queda la pregunta: ¿por qué si los edificios antiguos tienen mayor densidad de estructura en planta a veces se colapsan?

Entonces si los dos edificios A y B de igual masa están expuestos a una fuerza sísmica (S) igual para los dos, y B tiene un momento menor, ¿dónde queda el resto del esfuerzo?

La diferencia de esfuerzo es absorbida por el contraventeo en compresión, es decir existe una distribución interna más proporcional de la fuerza. Lo cual nos lleva al siguiente principio:

En el diseño estructural actual la resistencia del sistema es clave. Como vemos en la gráfica superior, el muro monolítico es el sistema estructural y por mucho más resistente y evidentemente el que sufre menor deformación antes de alcanzar su resistencia máxima, ya que también es el que tiene mayor momento de inercia. El marco rígido es lo opuesto, sufre una enorme deformación con cantidades pequeñas de esfuerzo; de ninguna manera podemos decir que es más dúctil, ya que la ductilidad es la propiedad de un material, elemento o sistema estructural a deformarse antes de colapsarse y éste se colapsa con muy pocas cantidades de esfuerzo. Conforme el sistema tiende a aproximarse al muro monolítico es mayor su resistencia, como bien se observa en la gráfica; quizá los momentos de inercia no alcancen al del muro monolítico, pero la mejor distribución del esfuerzo en sistemas resistentes hacen más confiable su utilización y por tanto son más recomendables.

Evidentemente por falta de monolitismo en el sistema Principio: Monolitismo del sistema estructural Cumplimiento de la 3ª Ley de Newton Hipótesis: (Navea L.)15 El diseño estructural actual aplica esta ley sólo en la coordenada vertical (y), ya que anula la coordenada horizontal (x) debido a la incapacidad del modelo matemático de actuar como sistema, lo cual anula la posibilidad de desplazamiento horizontal, y por lo tanto los modelos están desequilibrados.

Pero aun así el esfuerzo siempre es mayor en la base y el principio de la densidad de la estructura en planta se aplica:

15

31

Navea, Lester, Op. Cit.


El modelo original contiene potencialmente la reacción sísmica; si su diseño no está realizado contemplando X para Y entonces Y está desequilibrado. Esto se puede observar con mucha facilidad. Un edificio bajo condiciones no sísmicas está en reposo relativo; cuando sucede el sismo el edificio se mueve. Aquí se cumple la 1ª ley de Newton: el estado de reposo se interrumpe, pero no existe un movimiento rectilíneo uniforme, el edificio se mueve diferencialmente respecto al suelo por su resistencia inercial. Pero, ¿si la fuerza potencial es igual a la kinética, qué sucede? La dirección de la fuerza es lo que hace la diferencia, la mayor parte de los edificios se conceptualizan y diseñan en Y y no en X. Por tanto, la importancia de aplicar conjuntamente los principios de monolitismo, densidad de la estructura en planta y distribución del esfuerzo en un sistema rígido, es de vital importancia para el funcionamiento global del sistema estructural. El “diseño” estructural tiene que ser separado del “cálculo” estructural. Representan entidades separables pero dialécticamente interrelacionadas. El diseño es el acto creador, la parte cualitativa de las estructuras. Y el cálculo es la parte “mecánico-metódico”, la parte cuantitativa. En este sentido el diseño de las estructuras debe también ser replanteado en la particularidad de los materiales y las estructuras y lo más importante: la forma. Hipótesis: Según los conceptos de la física clásica, los cuerpos físicos son prácticamente informes ya que son idealmente reducidos a masas puntuales sobre las que actúa un cierto número de fuerzas. La forma

de una estructura, es fundamentalmente una noción cualitativa, no constituye una magnitud a diferencia de la longitud, la velocidad, la masa, la temperatura, etc. La figura de un cuerpo, a diferencia de su materia o su volumen, no es susceptible de incremento o disminución. No existe ley de conservación de la forma equivalente la que existe para la conservación de la energía o el movimiento. Por tanto, la forma de los objetos materiales es entendida como mero accidente y no es considerada como una entidad autónoma regida por sus propias leyes, sino como el resultado de la acción de fuerzas internas y externas que actúan sobre el objeto en que se manifiestan. La forma es concebida como el resultado de modificaciones físicas elementales, o sea, como una más de las reacciones de la materia. Y es probable que el desinterés de la física moderna con respecto a la forma de los fenómenos naturales, se deba a la incapacidad de la herramienta matemática clásica para describir y comprender discontinuidades. Una forma es algo que se distingue de un trasfondo y constituye la manifestación de una discontinuidad en las propiedades del medio. La física tiene como objeto el estudio de la materia y sus interacciones; por lo tanto, debería de ocuparse de explicar una de las manifestaciones más espectaculares de la naturaleza que consiste en la existencia de objetos que presentan formas típicas. Por lo tanto, toda teoría morfológica busca describir y explicar el surgimiento, la permanencia y desaparición de las formas. El universo se encuentra en condiciones infinitas de asimetría, inestabilidad y perturbación (Einstein); por lo tanto, todo sistema local participa también de estas perturbaciones. Todo sistema aislable tiende hacia un estado simétrico, pero ningún sistema permanece aislado en forma indefinida. Hipótesis: Una estructura aunque el diseñador se esfuerce por lo contrario es asimétrica y desigual (literal y conceptualmente), y estas características son irreversibles, es decir, la estructura reacciona asimétricamente ante los esfuerzos asimétricos y entrópicos, en vista de que las causas (fuerzas) que actúan sobre ella son muy diferentes y mayores a lo idealizado. La noción de un proceso que va de la inestabilidad hacia la estabilidad ya estaba implícita en la observación

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de Leonado da Vinci en el sentido de que las fuerzas motrices buscan el reposo y actúan en la medida en que se disipan.

En la fotografía superior observamos el Edificio Anexo al Planatario Luis E. Erro en México DF, obra del autor del libro, y abajo una sección del proyecto estructural. Este edificio es un muy buen ejemplo de la aplicación de las premisas y las hipótesis expuestas en estos capítulos.


Capítulo II ESTÁTICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES EN LAS ESTRUCTURAS a) Principios de Análisis La finalidad de este primer apartado, es esbozar los principios fundamentales del Análisis Estructural, que sirvan de base para entender los fundamentos de muchos cálculos desarrollados a lo largo de todo el Manual. 1. Principios Básicos del Análisis Estructural a) Equilibrio Cuando una estructura esta sometida a cargas, estas y las fuerzas intrenas desarrolladas en la estructura están en equilibrio. En otras palabras, las fuerzas internas equilibran las fuerzas externas. b) Cinemática Cuendo una estructura esta sometida a cargas, se deforma y adquiere un nuevo estado de equilibrio, el cual es diferente al de la forma sin deformar. Las deformaciones y el esfuerzo en la estructura deben ser compatibles. c) Compatibilidad Esfuerzo-Deformación Las cargas en la estructura desarrollan una serie de esfuerzos internos en la misma, que son compatibles entre si. El esfuerzo y la deformación, deben satisfacer la relación “Esfuerzo-deformación” que puede ser elástica (lineal) o plástica (no lineal). La parte elástica de la gráfica, se suele representar con la ecuación:

  Las deformaciones son proporcionales a los esfuerzos. El análisis debe siempre satisfacer estos tres principios. 2. Estructuras Estaticamente Determinadas Son aquellas, en donde los esfuerzos en cualquier parte de la estructura, pueden ser determinados de las cargas, solamente son las ecuaciones del equilibrio, que son:

F

x

0

F

y

M

0

z

0

Esto esta relacionado con: a)el tipo de apoyos, b) el número de apoyos, c) el tipo de fuerzas que desarrollan los miempros, y d) el número de miembros.

En la teoría, se supone que las armaduras (vargadas solo en sus nodos) trabajan exclusivamente con fuerzas axiales (tensión y compresión); pero en la realidad la compresión, dependiendo de su relación de esbeltez, puede estar acompañada de flexión, como podemos apreciar en el siguiente ejemplo:

Por ejemplo, el tipo de apoyos mas comúnes en las estructuras planas son: Tipo

Simbolo

Fy

Restricción Fx Mz

Empotrado

X

X

Articulado

X

X

Libre

X

X

Por ejemplo:

En la armadura anterior, podemos apreciar que se tienen 3 miembros de lo cuales se desconoce su esfuerzo, además se tiene un apoyo articulado que contiene dos incógnitas, y un apoyo libre que contiene una. En total se tienen 6 incógnitas en este problema. Por otro lado, cada apoyo desarrolla las tres ecuaciones del equilibrio, y al ser dos, el total de ecuaciones de equilibrio son 6, por lo cual, el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones de equilibrio, y todas las fuerzas actuantes pueden ser encontradas con estas. En conclusión es una estructura Estaticamente Determinada.

33

3. Estructuras Estáticamente Indeterminadas Son aquellas en donde el número de interrogantes (incógnitas) son mayores que el número de ecuaciones de equilibrio; por ejemplo:

En la armadura anterior, podemos apreciar que se tienen 3 miembros de lo cuales se desconoce su esfuerzo, además se tienen 2 apoyos articulados que contienen dos incógnitas cada uno. En total, se tienen 7 incógnitas en este problema. Por otro lado, cada apoyo desarrolla las tres ecuaciones del equilibrio, y al ser dos, el total de ecuaciones de equilibrio son 6, por lo cual, el número de incógnitas es mayor al número de ecuaciones de equilibrio, y no se pueden utilizar para detrerminar todos los esfuerzos en la armadura. En conclusión es una estructura Estaticamente Indeterminada.


 F  0  Suma de fuerzas horizontales = 0  F  0  Suma de fuerzas verticales = 0  M  0  Suma de momentos = 0 x

4. Grado de Indeterminación Estática Es el el número de incógnitas que no pueden ser resueltas con las ecuaciones del equilibrio, o el número de restricciones que see tienen que quitar (teóricamente) en una estructura, para hacerla estáticamente determinada. El grado de indeterminación estática determina el grado de complejidad en la resolución del problema.

y

z

Nota: Estas 3 ecuaciones son para sistemas de análisis bi-dimensionales.

6. Grado de Libertad (Indeterminación Cinemática) Es el número mínimo de desplazamientos que se requieren definir para poder determinar la geometría deformada de la estructura, una vez sometida a cargas.

Ejemplo: En estas esculturas de Santiago Calatrava podemos ver el concepto de Equilibrio llevado al límite, y por tanto, podemos ver lo frágil que puede llegar a ser el mismo, basta con que una pieza sea cortada y/o movida para que todo el sistema se colapse. Esto es lo que conocemos como equilibrio inestable.

En el caso de las armaduras planas, sabemos que cada nodo puede desplazarse en 2 direcciones (X y Y) por lo cual, los grados de libertad se obtienen multiplicandi el número de nodos por 2, y restando el número de restricciones que tiene la estructura en sus apoyos. En el caso de las vivas y marcos planos, cada nodos tiene 3 grados de libertad (X, Y y la rotación) porque también cada nodo esta sometido a momento. Por lo tanto, multiplicamos cada nodo por 3 grados de libertad, y restamos el número de restricciones que tiene la estructura en sus apoyos, y como las columnas o vigas normalmente están restringidas a la deformación axial, también se resta el número de miembros (si es el caso).

b) Equilibrio

Clasificamos los tipos de equilibrio en 3: a. Equilibrio Neutral La energía potencial es constante

Tenemos una viga con un solo apoyo intermedio, y debemos evaluar su estado de equilibrio

F

 0  25  10  30  R

y

R  25  10  30  65  kg

Se comprueba que la reacción es igual a las acciones

Suma de Momentos n el punto “P”

M M

z

 25  (6)  10  3  30  6

z

 150  30  80  0

Por lo tanto la viga esta en equilibrio estático. Equilibrio en vigas (ejemplos):

a. Equilibrio Estable

El equilibrio es un estado sin cambio, de balance. En estructuras se entiende que se consigue el equilibrio cuando el total de fuerzas aplicadas a un cuerpo, reacciones y momentos son igual a cero (0).

Primer ejemplo:

La energía potencial es ganada a. Equilibrio Inestable La energía potencial es perdida

Para el análisis estructural las ecuaciones generales del equilibrio son:

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a. Equilibrio translatorio en la dirección vertical

F

y

0

Ecuación del equilibrio vertical


R A  RB  10  ton  0  R A  RB  10  ton b. Equilibrio rotacional respecto al punto A

M

z

R A  RB  20  ton R A  10  20  R A  20  10  10  ton

Entonces:

0

M  E   I y R

R A  0  10  5  RB  20  0 10  5  RB   2.5  ton 20 R A  RB  10  ton R A  2.5  10  R A  10  2.5  7.5  ton

En donde:

Entonces:

c) Propiedades de las Secciones ESFUERZO: El esfuerzo para estructuras en tensión y/o compresión simple, se calcula con la ecuación:

Esfuerzo   

Segundo ejemplo:

a. Equilibrio translatorio en la dirección vertical

R  0

Ecuación del equilibrio vertical

R A  RB  20  ton  0  R A  RB  20  ton b. Equilibrio rotacional respecto al punto A

M  0

R A  0  10  5  10  5  RB  15  0 10  5   10  5  RB   10  ton 15

El problema cuando diseñamos vigas y elementos similares, es que están sujetos a Momentos flexionantes en lugar de tensión y compresión simple. Para solventar esto tenemos que recurrir a la ecuación general del momento:

Fuerza F  Area A

Para mantener el equilibrio, la resistencia del material por unidad de medida debe ser mayor que el esfuerzo del elemento estructural (o el sistema).

M = Momento (kg-cm o kN-cm): Este es el momento flexionante, normalmente tomado como el momento flexionante máximo calculado. I = Momento de Inercia (cm4): Se refiere a las propiedades geométricas de la sección y esta relacionado con la forma y dimensiones.  = Esfuerzo (Kg/cm2 o MPa): Se refiere al esfuerzo calculado en la posición del momento aplicado a cualquier distancia del centroide de una sección. y = Distancia en la dirección vertical (cm): Esta es la distancia del centroide al punto que nosotros deseamos calcular el esfuerzo. El esfuerzo máximo normalmente ocurre en la fibra extrema del elemento, en cuyo caso “y” es la distancia del centroide a los extremos inferior o superior de la viga.

Ejemplo: Tenemos una barra de acero empotrada y de la cual pende un peso de 500 kg. La barra es de acero de alta resistencia fy = 4200 kg/cm2, y tiene un diámetro de 2.5 cm. En el gráfico podemos apreciar el esquema “literal” de la barra, y el “Diagrama de cuerpo libre”, donde se reduce el sistema a los vectores que actúan sobre el.

  2.5  cm fy  4200  kg cm 2 A    r 2  4.9  cm 2 F 500  A 4.9   102  kg cm 2   fy  OK

 

35

A lo largo del eje neutro del objeto (que pasa por el centroide) el esfuerzo es cero. Esta es la posición en la cual el esfuerzo cambia de positivo (compresión) a negativo (tensión). 2

E = Módulo de Elasticidad (Kg/cm o MPa): Esta es la propiedad del material que se relaciona a las características de su esfuero y deformación. Calculamos el esfuerzo directo a partir de:

 

F A

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras La deformación () es la relación que determina cuánto se modifica la longitud original de un elemento una vez que se le aplica una carga:



Cambio  longitud L  Longitud  original L

Dentro del rango elástico de la gráfica de EsfuerzoDeformación podemos definir esta propiedad específica. Esta se calcula con la pendiente que forma la línea elástica:

E

Esfuerzo  Fuerza Area   Deformación  L L

Los valores de E que se han obtenido de pruebas de laboratorio (para los materiales estructurales más comunes) son:

E  10000  f ć

E  3500 

f ć







PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS SECCIONES: Área (cm2): Calcular el área depende del tamaño y la forma del objeto considerado. Las áreas de secciones complejas pueden ser calculadas reduciendo a formas más simples y después sumarlas juntas para el área de la sección compuesta.

Concreto simple

f ć en SI E  2100000 E  2 10 5 en SI E  2040000 E  200000 en SI E  80000 E  7848 en SI E  70000 E  6870 en SI E  110000 E  10800 en SI



Y si

M  E   I y R M  My  entonces   I y I

en SI

E  14000  f ć

E  4400

de la sección a un punto en el cual esfuerzo será calculado (y) por tanto (Ecuación de la Escuadría):

El centroide de secciones compuestas (compuestas por formas estandar), se puede calcular usando las siguientes ecuaciones:

Concreto reforzado

 Ax  A  Ay  y A

x Acero de alta resistencia Acero Estructural Maderas coníferas Maderas latifoliadas Madera contrachapeada

Centroide ( x o y cm): Este es el centro del área para una sección, y es un punto muy importante ya que cualquier momento tendrá lugar en el eje longitudinal que pasa por este punto. Su distancia desde un punto conocido en el sistema cartesiano de coordenadas define la posición del centroide. Los datos pueden tomarse desde cualquier punto en la sección, pero por facilidad el eje horizontal del sistema es tomado desde la fibra inferior y el eje vertical a la izquierda de la sección, de esta forma las distancias siempre serán medidas en la dirección positiva.

Para la distancia de “y” al centroide en la dirección horizontal Para la distancia de “x” al centroide en la dirección vertical

Ejemplo: Paso 1. Determinación del esquema cartesiano

R = Radio de curvatura (cm): Este es el radio de curvatura de un miembro bajo una carga específica. En el primer gráfico mostramos las características geométricas de la sección, y en el segundo se divide la sección en figuras regulares y se pone en el sistema de coordenadas.

Para calcular el esfuerzo para un elemento simple necesitamos solamente determinar el momento aplicado (M), el momento de inercia (I) y la distancia del centroide

Paso 2. Cálculo de las áreas

36


A1  b  h  13  12  26  cm 2

bh 36

A2  b  h  12  5  60  cm 2

3

hb 36

3

Parte No.

Ixx 4 (cm )

1

y 2  12 2  6 x 2  5  5 2   7.5

 d4 64

Paso 4. Cálculo del centroide de la sección compuesta

 A x  26  6.5  60  7.5  7.19  cm x 26  60  A  A y  26  13  60  6  8.11  cm y 26  60  A

 d4 64

I  I

Iy

  A  y  y 

yy

  A  x  x 

b  d 3 12 = 4  6 3 12  72

5.8 – 5 = 0.8

24  0 .8  = 15.36

3

b  d 3 12 =

5.8 – 1 = 4.8

12  4 .8  = 276.48

bd3 12

d  b3 12

6  2 12  4 3

2

2

2

 A y  y 

Ixx = 84

2

= 537.54

I

  A  y  y 

2

xx

Paso 2. Cálculo de Iyy para la seccipon compuesta

En la gráfica podemos ver la ubicación del centroide

Momento de Inercia de Secciones Planas Sección Ix (cm4) Iy (cm4)

3

I xx  84  573.54  621.64  cm 4

Ejemplo:

Momento de Inercia (I cm4): Esta propiedad de las secciones siempre esta definida por un eje específico que pasa a través del centroide de una sección. Esto es aspa porque el tipo de secciones utilizadas en Estructuras se orientan en el sentido de maximizar su resistencia.

4

(cm )

2

I xx 

2

(cm)

24   3 .2  = 245.7

2

xx

2

b  d 12 = 12  2 3 12  8

Las ecuaciones para el Momento de Inercia de secciones compuestas son:

Ix 

A y  y 

5.8 – 9 = -3.2

Paso 3. Centroides de partes aisladas

y1  12  2 2   13 x1  13 2  6.5

y  y 

Tabla p/calcular Secciones Compuestas 1ª Parte (Iyy) Parte No.

Área 2 A (cm )

Distancia X (cm)

AxX 3 (cm )

1 2 3

24 24 12 A = 60

12/2=6 6 6

24x6 = 144 24x6 = 144 12x6 = 72 Ax = 360

Como la sección es simétrica respecto al eje Y-Y es posible localizar la ubicación del centroide en x  6 cm Paso 1. Cálculo de Ixx para la sección compuesta Tabla p/calcular Secciones Compuestas 1ª Parte (Ixx) Parte No.

Área A (cm2)

Distancia Y (cm)

AxY (cm3)

1 2 3

24 24 12 A = 60

2+6+ (2/2) = 9 2+(6/2) = 5 2/2 = 1

216 120 12 Ay = 348

 Ay  348  5.8  cm y A

60

Tabla p/calcular Secciones Compuestas 2ª Parte (Ixx)

37

x

 Ax  360  6  cm A

60

Tabla p/calcular Secciones Compuestas 2ª Parte (Iyy) Parte No.

Iyy 4 (cm )

1

d  b 12 = 3

x  x  (cm)

Ax  x 

2

4

(cm )

6–6=0

24  0  =0

2  12 3 12  288

2

2

d  b3 12 = 6  43 12  32

6–6=0

24  0  =0

3

d  b3 12 = 2  63 12  36

6–6=0

12  0  =0

Ixx = 356

2

2

 A y  y 

2

=0


I yy   I yy   A  x  x   356  cm 4 2

Momento Resistente (M kg-cm o kN-cm): El esfuerzo se distribuye en una sección sujeta a momento acorde a las siguientes ecuaciones:

My I xx Mx  I yy

 yy 

 Dirección vertical

 xx

 Dirección horizontal

Y el máximo esfuerzo 

 

My I

El momento resistente lo podemos determinar con la ecuación:

Tomamos

M  E   I y R M   I  y M  I y y

Ejemplo:

P  L 5,000  5   6,250  kg  m 4 4 M   625,000  kg  cm  M  OK

I xx 

M 

I xx  3378.9  70368.75  73747.65  cm 4

Ejemplo:

Esfuerzo resistente del material

Fy  2530  kg cm 2  fs  0 .6 Fy  1518   max   I 1518  73747.65 M    8,448,976  kg  cm y 13.25

M  Paso 1. Cálculo de Ixx para la sección compuesta Parte No.

Área 2 A (cm )

Distancia Y (cm)

AxY 3 (cm )

1

50

2

100

2.5+20+(2.5/2) = 23.75 2.5+(20/2) = 12.5

3

37.5

2.5/2 = 1.25

50x23.75 = 1187.5 100x12.5 = 1250 37.5x1.25 = 46.87 Ay = 2484.37

bd 40  60  12 12  720,000  cm 4

I xx  I xx

2

A

187.5

Momento de Inercia

  I 112.5  720,000 M   2,700,000  kg  cm y 30

y  y 

Parte No.

Ixx 4 (cm )

1

b  d 12 = 20  2.5 3 12  26.04

2

b  d 3 12 = 5  203 12  3333.33

3

b  d 3 12 = 15  2.53 12  19.53

3

d) Propiedades Geométricas de las Secciones Cuadrado

(cm)

3

Ixx = 3378.9

13.25 – 23.75 = -10.5 13.25 – 12.5 = 0.75 13.25 – 1.25 = 12

A y  y 

2

I x1

a a3 rx  ry   0.289  a , Z  4 12 Cuadrado

4

(cm )

50   10 .5  = 5512.5

2

A  a2 h  a 2  1.42 a a2 Ix  Iy  12

100  0 .75  = 56.25

2

37 .5  12  = 64800

2

 A y  y 

2

= 70368.75

38

a2 12 4 a a2  , Sx  Sy  3 6

A  a2, Ix  Iy 

 Ay  2485.37  13.25  cm


Distancia el centroide

P  L 7500  7   13125  kg  m 4 4 M   M OK


y

y  d 2  60 2  30

  A  y  y 

2

xx

Paso 2. Cálculo del momento resistente

A = 187.5

f ć  250  kg / cm 2  fc  0 .45 f ć  112 .5   max

I

Sx  Sy 

a3  0.118a 3 6 2


rx  ry 

Forma simétrica

a a  0.289a , Z   0.236a 12 3 2

A  ah  bH  h 

Ix 

Rectánglo

bh 3 12 3 b h bh 3 Iy  , I x1  12 3 3 b h bh 2 I y1  S  , x 3 6 A  bh , I x 

Sy 



ah 3 b  H 3  h3 12 12

a 3h b3  H  h  12 12 a 3h b 2 Sy   H  h  6b 6 3 b ah Sx  H 3  h3  6H 6H

Angulo con patines desiguales

A  t b  h1   t h  b1 



b 2  h1t xd  2b  h1 

Iy 





b2h , rx  0.289 h , ry  0.289b 6 d 4 sen I x 2  I x3  48

Forma no simétrica

A  bc t  a hb  ht   Bc b

b1  b  a , B1  B  a y t  H  yb

h 2  b1t yd  2h  b1 

 

A  bh y t  yb 

1 h  cos   b  sen  2

 

bh 2 Ix  h cos 2   b 2 sen 2 12 bh  h 2 cos 2   b 2 sen 2 Sx  6  h  cos   b  sen  



aH 2  B1cb  b1c t 2 H  ct  2aH  B1cb  b1ct  1 I x  By b3  B1 hb3  by t3  b1 ht3  3



Triángulo

A

Angulo de patines iguales

A  t  2h  t  h  t  2c yb  2

 

rx  0.289 h 2 cos 2  b 2 sen 2

I12   I max min 

yb 

bb1 hh1t 4b  h1  1 1 I y  I y 2  4I xy2  I y  I x   2 2 I xy  

Rectángulo

(el eje de momentos en cualquier linea a través del centro de grevedad)

 

1 3 3 t h  y d   by d3  b1  y d  t  3 1 3 3 I y  t b  x d   hx d3  h1  x d  t  3 2 I xy I 1  I max e I 2  I min , tan 2  Iy  Ix Ix 

yt 

h1 

39

bh 3 bh 3 bh 3 , I x1  , I x2  36 12 4 2 3 hb b  ba bc h ba  bc3 Iy  , I y1  36 12 2 2 h bh bh S x b    0.236h , S x t   , rx  12 24 3 2



t

3

2 1 h , d  ba  bc  3 3

Ix 

h 2  ht  t 2 , c  y cos 45 22 h  t  cos 45

1 1   4 I x  2c 4  2c  t   t  h  2c  t  3  2  

1 1 bh , hb  h 2 3

  







Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Hexagono regular

Triángulo Rectángulo

Círculo

A  2.598 R  0.866d I x  I y  0.541R 2  0.06d 4 2

bh cL  2 2 3 bh hb 3 I x I  , y 36 36 3 3 b h Lc 3 I y1   36 36L2 A

d 2 A  0.785d 2 4 d 2 I x  I y  I x1  64 d 3 S x  S y  S x1  32

2

S x  0.625 R 3

S y  0.541R 3 rx  ry  0.456 R  0.265d Octagono regular

A  0.828d 2

I y1  I y cos 2   I x sen 2  2 I xy sen cos

I x  I y  0. 638 R 4  0. 054 d 4

S x  S y  0.690 R 3  0.109d 3

b2h2 b h I   , , sen   cos   xy L L 72 h rx   0.236h 3 2

I x2



h 3 bb2  4bb bt  bt2 36bb  bt 

, I

x1



h 3 bb  3bt  12

h 3 3bb  bt  Ix Ix  , Sx  , Sx  b t 12 yb yt rx 



h 2 bb2  4bb bt  bt2 6  bb  bt 

D 2 1   4  64 D 3 Sx  Sy   1 4  32 Ix  I y 

A

A

Ix 

d D 2 A  1   2 ,   D 4

Poligono regular n lados

1 2  na cot 4 2 a R  2 sen 2

R 2  R12   2 tan 2 naR1 A  12 R12  a 2  I x  I x1  12 R1  a 2   96 48 R1 

a

,



360 , a2 n



40

d3 d , Z  4 6 Círculo perforado

rx  ry  0.257 d

Trapecio

1 bt  bb h 2 b  2bt yb  b h 3bb  bt  2bb  bt yt  h 3bb  bt 

rx  ry 

rx  ry 

D3  d 3 D 1 2 , Z  4 6 Anillo delgado

A  Dt D 3t Ix   0.3926D 3 t 8 D 2 t Sx   0.7853D 2 t 4 rx  0 .353 D

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Medio Círculo

A

D  0.392D 2 8 2

R R 4 1  k cos  1  3k cos   , I y  8 8 4

Ix 

 ab 4 ab 3 Ab 2 Ix   64 16 A

y t  0.2878 D

I x  0.00686 D 4 , I y  I x1 

S xb

 D  0.2587  2

3

,

Cuarto de círculo

A

R  0.785R 2 4 2

a 3b Aa 2 ab 2 Ab Iy    , Sx  64 16 32 8 2 a b Aa b a Sy   , rx  , ry  32 8 4 4 Elipse perforada

 ab  a1b1  4  Ix   ab 3  a1b13  64 A

4R yb   0.424 R 3 y t  0 .576 R , I x  0.07135R 4

I y  0.03843R 4 , I x1  I y1  0.05489R 4 I x2  I y2 

R  0.19635R 4 16 4

Iy 

 3   a b  a13 b1  , S x   ab 3  a1b13  64 32b  3 Sx   a b  a13 b1  32 a

Segmento de un círculo

Segmento de una Parábola

   rad  180    2 rad  sen 2 k

b  2 Rsen , s  2 R rad , A 

4ab 3a , xd  3 5 3 4ab ab 2 Ix   15 5 3 16a b 12 Aa 2 Iy   175 175 A

4 sen 3 3

R 2 , y d  kR 2

1 A  t 2b  5.2h  3 1 b1  b  2.6t  4

Elipse

y b  0.2122 D

D 4  0.025D 4 128 3 D S xt  0.1908  2

Curvas de Acero (de arcos parabólicos)

I y1 

4a 3b 3 Aa 2 32a 3b 8 Aa 2   , I y2  7 7 105 35 41

b2 

1 b  2.6t  , h1  1 h  t  , h2  1 h  t  4 2 2 2I x 64 Ix  b1 h13  b2 h23 , S x  105 ht





Curvas de Acero (de arcos circulares)

A  b  2h t h1  h  b 2I x Sx  ht

 b 3 bh12 1 3  I x    b 2 h1   h1 t 4 6   8 Estructura en torsión

d 4  Ip 32 d 3 St  16

It 

 max  M t S t

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Estructura en torsión

e) Armaduras planas

I t  0.1154 d 4 S t  0.1888d 3

El triángulo forma la forma estructural perfecta, inicialmente esta compuesto de: 3 Nodos (3g) 3 Barras (3n)

 max  M t S t

Para crear un nuevo triángulo, solamente necesitamos: 2 barras y 1 nodo, lo cual se puede expresar:

Estructura en torsión

n  3  2  ( g  3)

I t  0.1075d 4

Simplificando: n  2 g  3  2 g  n  3 y de esta forma podemos encontrar la ecuación de la Estabilidad Dimensional de las estructuras planas.

S t  0.1850d 3

 max  M t S t Configuración de Armaduras Estructura en torsión

I t  0.1404a 4 S t  0.208a

3

 max  M t S t

Una armadura simple puede consistir de un solo triángulo. Esta figura es por excelencia la utilizada en la configuración de armaduras, ya que permite que los esfuerzos sean exclusivamente tensión y compresión.

Estructura en torsión





h b14  b24  0.21b24 12b1  b2  I S t  t ,  max  M t S t bt It 

En las anteriores figuras podemos ver como la triangulación en una estructura es lo que proporciona su estabilidad. La primer figura es muy estable, pero la segunda no lo es, su estabilidad la podemos conseguir por la simple triangulación (tercer figura). Teoremas de Euler

42

Asi mismo es muy importante que las cargas lleguen a las armaduras por medio de los nodos, cuando no es así, como vemos en el primer ejemplo las barras estarán sometidas a flexión y cortante. Cuando las cargas llegan a los nodos, los esfuerzos en las barras de la armadura son tensión y compresión únicamente. Cuando las cargas son distribuidas, se realizan arreglos, para que se repartan puntualmente a los nodos como vemos en el ejemplo.

Peralte en las armaduras

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras b. L/10. Esta relación es adecuada para armaduras que medianamente cargadas, y para vigas secundarias de sistemas mucho más cargados. c. L/5. Esta relación es adecuada para vigas primarias altamente cargadas. El peralte es frecuentemente equivalente al tamaño de un entrepiso.

Paso 1. Encontrar las Reacciones

 F  0  Ra  Rb  50  ton Equilibrio vertical  M  0 Ecuación del Equilibrio en la Estructura V

Como podemos observar en el gráfico anterior, el peralte de una armadura es fundamental para determinar los esfuerzos a que estará sometida. En el primer ejemplo la cuerda inferior esta doblada 15° debajo de la horizontal, y todas las barras cargan menos peso que en la segunda, donde la cuerda es horizontal. En los dos posteriores ejemplos la cuerda inferior se eleva 15° y 30° consecutivamente, y podemos visualizar como los esfuerzos se incrementan. Eficiencia Estructural El objetivo general de la eficiencia estructural es encontrar los sistemas que utilicen una mínima cantidad de material para un claro y peso determinado. Como ya vimos, el peralte es un factor muy importante al diseñar sistemas eficientes, así como el patrón de trangulación más apropiado. Un punto de partida para el diseño puede ser considerar las sguientes relaciones de claro/peralte, para posteriormente calcular detalladamente los elementos:

250  18.38 13.6 Ra  Rb  50  ton  Ra  50  18.38  31.62 Ra  50  (5)  Rb  13.6   Rb 

Al igual, la dirección de los elementos de una armadura, pueden hacer que esta trabaje de forma más eficiente, o no der así. En la armadura superior observamos como las barras interiores trabajan a compresión, y en el caso de la armadura inferior a tensión. Debido al pandeo vinculado a la compresión, las barras de la armadura superior tendrán que ser más robustas que las inferiores.

ANÁLISIS DE FUERZAS EN LAS ARMADURAS: Método de Equilibrio en los Nodos

Paso 2. Equilibrio en el nodo A (Dirección Vertical)

 FAB  ( sen45)  Ra  0

Ejemplo:

 FAB  (sen 45)  31.62  0

a. L/20. Esta relación es recoendable para armaduras que carguen poco peso, como las te techos, azoteas, o aquellas que estan espaciadas cortas distancias.

FAB 

43

31.62  44.7  ton sen 45

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras (Dirección Horizontal)

FCB 

 FAB  (cos 45 )  FAC  0

FAC  44.7  cos 45   31.6  ton

Suma de fuerzas en la dirección “n”

FAC  5  ( sen 30)  FCD  FCB  sen 30   0

Paso 3. Equilibrio en el nodo C (Dirección Vertical)

10  5  sen30   FCD  5  sen30   0 5  sen30 FCD  0 5  sen30

 FBC  ( sen30)  Rb  0  FBC  ( sen 30)  18.38  0

FBC

18.38   36.7  ton sen30

Paso 1. Fuerzas en el nodo A (Dirección vertical)

FBC  (cos 30)  FAC  0 FAC  36.7  cos 30   31.6  ton FBC  sen 30    F AB  sen 45    50 36.7  ( sen30)  44.7  ( sen45)  50

36.7  13.3  50 (Dirección Horizontal)

FAB  (cos 45)  FBC  (cos 30)  0 44.7  (cos 45)  36.7  (cos 30)  0

Ejemplo: Encontrar las fuerzas de las barras KL, ML y MN usando el método de “equilibrio de secciones”.

 FAC  sen 30   Ra  0 Ra 5 FAC    10 sen30 0.5

(Dirección Horizontal)

Paso 4. Equilibrio en el nodo B (Dirección Vertical)

5  (cos 30)  5  ton cos 30

Dirección horizontal

 FAC  (cos 30)  FAB  0

Para encontrar las fuerzas que requerimos, tenemos que realizar una sección en el punto M de la armadura, como se muestra en la ilustración.

FAB  FAC  cos 30   10  cos 30   8.6  ton

Paso 2. Fuerzas en el nodo C Si sumamos las fuerzas en las direcciones horizontal y vertical obtendremos 2 ecuaciones con dos incógnitas cada una.

Por lo cual, es mucho mas simple si rotamos los ejes de referencia. De esta forma tenemos 2 ecuaciones con una sola incógnita para resolver. Suma de fuerzas en la dirección “m”

 5  cos 30   FCB  (cos 30)  0

44

Paso 1. Suma de Fuerzas en la Dirección Vertical

 Ra  FML  sen 45  0  3.5  FML  sen45  0 3.5 FML   4.9  ton sen 45

Paso 2. Suma de Momentos en “M”

 Ra  6   FKL  2   0  3.5  6   FKL  2   0


FKL 

3.5  6   10.5  ton 2

Paso 3. Suma de Fuerzas en la Dirección Horizontal

 FML  cos 45    FMN  Ra  0

 10.5  6   12  6  FKL  2  0 45 FKL   22.5  ton 2 Paso 3. Suma de Fuerzas en la Dirección Horizontal

 FML  cos 45   FMN  FKL  0

 4.9  cos 45   FMN  3.5  0 4.9  3.5 FMN   9.8  ton cos 45

 2.12  cos 45   FMN  22.5  0 FMN  2.12  sen 45   22.5  24  ton

Ejemplo: Encontrar las fuerzas de las barras KL, ML y MN usando el método de “equilibrio de secciones”. Ejemplo: Tenemos una armadura plana que cubre un claro de 18 metros y tiene 6 cargas puntuales de 20 toneladas cada una. El diseño interno de la armadura esta compuesto por un peralte de 3 mts., y seis paneles de 3 mts. cada uno. Lo podemos ver muy bien en el siguiente gráfico:

El siguiente paso será encontrar el valor de nuestras reacciones, que nombramos HA y GH como podemos ver en el siguiente gráfico:

Para encontrar las fuerzas que requerimos, tenemos que realizar una sección en el punto M de la armadura, como se muestra en la ilustración.

Paso 1. Suma de Fuerzas en la Dirección Vertical

 Ra  3  3  3  FML  sen 45  0  10.5  9  FML  sen 45  0 1.5 FML   2.12  ton sen 45 

El siguiente paso es poner una nomenclatura a todos los elementos de la armadura, comenzamos poniendo literales mayúsculas a los espacios entre fuerzas y reacciones, este procedimiento siempre se debe hacer en el sentido de las manecillas del reloj; posteriormente se nombran los espacios entre barras internas con números (también en el sentido de las manecillas del reloj). De esta forma todas las fuerzas y barras tienen una nomenclatura. La primera acción de la izquierda es la AB, la segunda BC, etc., la primera barra vertical de la izquierda es la A1, la diagonal 1-2, la horizontal superior A2, y la inferior H1. Nótese que el orden también está en el sentido se las manecillas del reloj

Esto es lo que llamamos diagrama de forma. La armadura debe estar siempre a escala métrica y las acciones como las reacciones se representan con vectores. Nótese que las acciones coinciden con nodos, en caso de no ser así las barras estarían sometidas a flexión y cortante, y recordemos que el objetivo mecánico de una armadura es funcionar a tensión y compresión básicamente.

Paso 2. Suma de Momentos en “M”

 Ra  6   3  4   3  2   FKL  2   0 45

Como las acciones no son simétricas, debemos recurrir a las ecuaciones generales del equilibrio estático, en este caso la de momentos:

M

Z

0

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Por tanto, el diagrama de forma ya queda completo con las acciones y reacciones correspondientes.

en la ilustración, se trazan primero los valores conocemos, en este caso las acciones, en lo denominamos línea de fuerzas. Podemos obvservar tenemos trazados todos los valores de las acciones tras otro, de A-B hasta F-G.

que que que uno

Para esto, comenzaremos calculando los momentos a partir de la Reacción HA para obtener la reacción GH.

M

HA

M

HA

 0  3m  (20t )  6m  (20t )  9m  (20t )

 12m  (20t )  15m  (20t )  18m  (20t )  18m  (GM )

 1260  18  (GH )

1260  70 18

GH 

Es decir, la suma de momentos es igual a cada acción multiplicada por la distancia a la referencia inercial, menos la reacción contraria. Al despejar GH encontramos que su valor es 70. Por tanto procedemos a encontrar el valor de la reacción HA:

M

GH

El siguiente paso es llegar a determinar que tipo de esfuerzo es al que esta sometida cada barra de la armadura (tensión o compresión), así como su valor numérico (dimensión). Comenzamos con encontrar los valores de las fuerzas a que están sometidos cada elemento de la armadura.

 0  3m  (20t )  6m  (20t )  9m  (20t )

 12m  (20t )  15m  (20t )  18m  ( HA)

M

GH

 900  18  ( HA)

HA 

900  50 18

Posteriormente encontramos las reacciones, primero la reacción G-H que mide 70 ton. Con esto encontramos la ubicación de H en la línea de fuerzas, y por consiguiente el valor de la siguiente reacción: H-A.

Por tanto los valores de las reacciones son los siguientes:

Ahora podemos proceder a comprobar el equilibrio de las reacciones respecto a las acciones:

F

y

 6  (20t )  70  50  0

Comenzamos a trazar el polígono de fuerzas, que debe estar a una escala de fuerza (una unidad métrica equivale a una de fuerza, ej. 1 cm = 20 ton). Omo se ve

46

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Después nos pasamos al siguiente par de barras (H3 y 23), donde podemos ver que el procedimiento es el mismo.

Después nos concentramos en encontrar los valores de las incógnitas, un buen método para hacer esto es tomar pares de barras en la dirección de las manecillas del reloj. Comenzamos con el par de barras A1 y H1. Conocemos dónde esta el punto A, y la dirección de la barra A1, por lo que 1, se debe encontrar en la línea de esfuerzos. Es lógico pensar que la magnitud actuante en la barra A1sea igual a la reacción H1, ya que estan sobre la misma línea vertical, por lo cual, 1 se localiza en H, y po rtanto el valor de H1 es igual a cero.

En seguida nos vamos con el siguiente par de barras: 1-2 y A2. En el polígono de fuerzas conocemos la ubicación de 1, y la dirección de la barra 1-2, por lo cual trazamos una paralela a esta. Al igual, conocemos la ubicación de A, y la dirección de la barra A2, por lo cual trazamos una paralela a esta, y donde se intersectan tenemos la ubicación del punto 2.

47

Encontramos la ubicación del siguiente par de barras 8B4 y 3-4) en el pológono de fuerzas.


El siguiente par, etc.

Hasta terminar con el polígono de fuerzas, donde se ubican todos los puntos y barras del diagrama de forma.

Ahora bien, como el poligono de fuerzas esta a escala de fuerza, podemos medir con mucha precisión la longitud de cada barra, y acorde a la escala establecida, encontrar la magnitud del esfuerzo en cada barra. Como vemos en el ejemplo cada bara tiene su magnitud. Posteriormente, nos falta encontrar cuál es el tipo de esfuerzo al que está somitida cada barra. El método el muy simple: tomamos un nodo de la armadura, en este caso el nodo AB4-3-2 y en el sentido de las manecillas del reloj bamos encontrando que esfuerzo es. La barra B4 es la primera, y ubicamos la lectura B4 (no 4B pues sería en sentido contrario al establecido) en el polígono de fuerzas. En este caso B4 esta en dirección horizontal con sentido hacia el nodo. La siguiente barra es 4-3 que en el polígono de fuerzas se lee diagonal con sentido hacia fuera del nodo. La barra 3-2 se lee en el polígono de fuerzas en dirección vertical con sentido hacia el nodo. Y finalmente la barra 2ª se lee en el polígono de fuerzas con dirección horizontal y con sentido hacia el nodo. Las barras cuyo sentido es hacia el nodo estan en compresión, y las barras cuyo sentido es hacia fuera del nodo estan en tensión. El procedimiento se repite con todos los nodos, y encontramos el tipo de esfuerzo al que esta sometida cada barra.

48

Por último, ponemos el tipo de esfuerzo a que esta sometida cada barra, junto con su magnitud.


 B  180  90  29  61 a 180 180 senA   c  205 c c senA c 2  a 2  b 2  b  c 2  a 2  98.10 f) Estabilidad a. Estabilidad en Estructuras Planas16

Ejemplo de una solución de armadura triangular.

Concepto: Un marco esta compuesto por barras rectas conectadas a puntos nodales que las articulan. Si todas las barras son paralelas a un mismo plano, nos referimos a ellas como Marco Plano o Armadura Plana. Si las barras no son paralelas a un solo plano, nos referimos a ellas como Marco Espacial o Armadura Espacial.

Ejemplo de una armadura similar con cargas simétricas.

c  a  b  c  5  9  c  10.30 b 9 cos A    0.874  cos A 1  29 c 10.29 2

2

2

2

Las barras y las conexiones nodales, por tanto, son los componentes de un marco. Su arreglo y diseño mutuo determinarán las propiedades estáticas y constructivas del mismo. Desde el punto de vista Estático, las más importantes propiedades de los marcos son: a.

Ejemplo de una armadura similar con las diagonales encontradas hacia el centro. 16

La relación carga-resistencia, que requiere de un apropiado diseño de todos los componentes en concordancia con la carga aplicada.

Las ecuaciones de Estabilidad Dimensional para Estructuras Planas y Espaciales fueron obtenidas de: Calatrava, Santiago, On Foldability of Frames, Tesis Doctoral, Zurich 1981, ETH.

49


g  4, n  4

2  g  n  3  2  10  16  3  20  19

Datos:

Por tanto es Dimensionalmente Inestable, le faltan barras, lo cual lo podemos corroborar con:

2 g  n  3

La estabilidad dimensional de un marco plano, se puede expresar en el siguiente sistema de ecuaciones:

Es evidente que falta la barra vertical intermedia

( 2  4)  4  3  8  7

2 g  n  3

Pero veamos esta otra posibilidad:

b.

Si

La estabilidad dimensional, que demanda la correcta relación formal a través de todo el sistema de carga resistencia.

2 g  n  3

u  n  (2  g )  3 Si

2 g  n  3

F  (2  g )  n  3 En donde:

    

Ecuación de la Estabilidad Sobran Barras, para lo cual recurrimos a la segunda ecuación Ecuación de la redundancia Faltan barras, y para conocer cuántas, debemos recurrir a la tercera ecuación Ecuación de la Inestabilidad

g = número de nodos n = número de barras

F  2  g  n  3  ( 2  10)  16  3  1

g  10 n  18

g  10 n  17

2  g  n  3  2  10  17  3  20  20 Por tanto es Dimensionalmente Estable

Datos: Datos:

g  12 n  21

2  g  n  3  2  12  21  3  24  24 Por lo tanto es Dimensionalmente Estable Exploremos ahora una opción aún más eficiente:

La estabilidad dimensional de un marco espacial, se puede expresar en el siguiente sistema de ecuaciones:

3 g  n  6 Si

g  4, n  3

3 g  n  6

u  n  (3  g )  6 Si

Ejemplo 3

Ejemplo 2

( 2  4)  5  3  8  8 Por tanto es Dimensionalmente Estable

u  n  2  g  3  18  ( 2  10)  3  1

Datos:

3 g  n  6

2 g  n  3

F  (3  g )  n  6

( 2  4)  3  3  8  6

En donde:

Por tanto es inestable y le faltan barras, entonces:

F  2  g  n  3  ( 2  4)  3  3  2 Un primer paso para solucionarlo puede ser:

Datos:

g  4, n  5

2 g  n  3

Por tanto es Dimensionalmente Inestable, le sobran barras, lo cual lo podemos corroborar con:

Datos

Por lo tanto es Dimensionalmente Estable

Lo cual nos lleva a la solución final: Datos:

2  g  n  3  2  10  18  3  20  21

Ejemplo 1

2  g  n  3  12  10  21  3  20  20

F  2  g  n  3  ( 2  4)  4  3  1

Datos:

Veamos esta otra opción:

g  10 n  17

Continua siendo inestable y le faltan barras, por tanto:

    

Ecuación de la Estabilidad Sobran Barras, para lo cual recurrimos a la segunda ecuación Ecuación de la redundancia Faltan barras, y para conocer cuántas, debemos recurrir a la tercera ecuación Ecuación de la Inestabilidad

g = número de nodos n = número de barras

Ejemplo 4 Datos:

g  8 , n  12

3 g  n  6 (3  8)  12  6  24  18

g  10 n  16

Por tanto es inestable y le faltan barras, entonces:

50


F  3  g  n  6  (3  8)  12  6  6 La solución quedaría de la siguiente forma: Datos: g  8 , n

Viga en cantiliber con una carga puntual en el extremo.

 18

3 g  n  6 (3  8)  18  6  24  24 Por tanto es Dimensionalmente Estable

Viga simplemente apoyada con tres cargas simétricas

Viga apoyada y empotrada con tres cargas simétricas

Viga apoyada y empotrada con dos cargas simétricas

Viga apoyada y empotrada con carga uniformemente distribuida

h) Dimensionamiento de Vigas

g) Cortantes y Momentos en Vigas En la práctica de del diseño y construcción de estructuras, nos encontramos con que la mayor parte de las veces las cargas (empujes, etc.) que se aplican a las vigas son simétricas y/o regulares. Para el cálculo de Cortantes y Momentos Flexionantes de estas existen ecuaciones ya establecidas que presentamos a continuación:

Viga simplemente apoyada con una carga intermedia

Viga simplemente apoyada con una carga escéntrica

Viga doblemente empotrada con carga uniformemente distribuida

Viga doblemente empotrada con dos cargas simétricas

En las ilustraciones superiores, podemos observar la importancia de las propiedades geométricas de las secciones en las vigas. Una misma viga cuyo mayor peralte este en el sento de la “y” tendrá mucha menor deformación ante el mismo esfuerzo, que la misma vigaen sentido opuesto, cuya deformación es máxima.

Problema 1

Viga simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida

Viga simplemente apoyada con dos cargas simétricas Viga doblemene empotrada con tres cargas distribuidas

Cantiliber con carga uniformemente distribuida

51

Se tiene una viga de 12 mts de claro y una carga uniformemente distribuida de 2,100 kg/m. Se requiere dimensionar la sección para soportar el esfuerzo actuante.

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Notación: 2 2 Fb (kg/cm o kN/cm ): Esfuerzo permisible del material 2 2 fb (kg/cm o kN/cm ): Esfuerzo actuante en el material I (cm4): Momento de Inercia de la sección S (cm3): Modulo de sección Paso 1. Propuesta de la sección Propiedades de la Sección

d

90720  54  cm 30

Esfuerzo actuante en la sección

fb 

La nueva sección será de 30 x 54 cm

M 2500000  kg  cm   435.72  kg / cm 2 3 S 5737.5  cm

fb  Fb

El esfuerzo actuante es mayor que el esfuerzo permisible del material, por tanto no pasa.

Problema 2

Paso 2. Redimensionamiento

Material: Concreto Fb = fć = 250 kg/cm2

S REQ 

Momento de Inercia

I

b  h3 12

= 216,000 cm 4

Por tanto, si

Módulo de Sección

b  h2 S 6

= 12,000 cm3

Si proponemos

d

M 3780000  kg  cm fb    315  kg / cm 2 S 12000  cm 3

El esfuerzo actuante es mayor que el esfuerzo permisible del material, por tanto no pasa. Paso 2. Redimensionamiento

Paso 1. Propuesta de la sección Propiedades de la Sección Material: Madera

M 3780000  kg  cm    15120  cm 3 2 Fb 250  kg / cm

b  d 2  15120  6  90720

b  30

y despejamos d

b  20

y despejamos d

88235.28  66.4  cm 20

Paso 3. Redimensionamiento (Concreto Fb=250 Kg/cm2)

S REQ 

M 2500000  kg  cm   10000  cm 3 Fb 250  kg / cm 2

Fb = f´fu = 170 kg/cm2 Momento de Inercia

b  h2 b  h2 S   15120  cm 3 6 6

Si proponemos

b  h2 b  h2   14705.88  cm 3 6 6


fb  Fb

Por tanto, si

S

b  d 2  14705.88  6  88235.28

Esfuerzo actuante en la sección

S REQ

M 2500000  kg  cm   14705.88  cm 3 2 Fb 170  kg / cm

I

b  h3 12

Módulo de Sección

S

bh 6

= 129,093.75 cm4

Por tanto, si

S

b  d 2  10000  6  60000 Si proponemos

2

= 5,737.5 cm3

52

b  h2 b  h2   10000  cm 3 6 6

b  20

y despejamos d


d

60000  54.7  cm 20

Comprobamos el resultado


y

Paso 4. Redimensionamiento (Acero Fb=2,530 Kg/cm2)

S REQ 

M 2500000  kg  cm   988.14  cm 3 2 Fb 2530  kg / cm

Por tanto, si

b  h2 b  h2 S   988.14  cm 3 6 6

y

d

b  20

AT

4  12   4  2  4   1  4  10   5  0 96  cm

Paso 2. Encontrar el Momento de Inercia

I r   I  A i2 

b  d 2  988.14  6  5928.84 Si proponemos

Ay

y despejamos d

5928.84  17.21  cm 20

La nueva sección será de 20 x 20 cm SECCIONES ASIMÉTRICAS Ejemplo Paso 1. Encontramos el centroide









 12  4 3 2 I1    4  12   4    12  3  4 2 2 I2    2  4   1   12 





 4  10 3 2 I3    4  10  5   12  I Total  64  768  2.7  8  333  1000  I Total  3148  cm 4 Paso 3. Encontrar el esfuerzo actuante en la sección

S AT  96  cm 2

y

I I  , C y

fb 

M  fb  Fb S

Ay

AT 4  12   14   4  12   6   10  cm y 4  12   4  12  53


Capítulo III PESOS Y CARGAS EN LAS ESTRUCTURAS a) Cargas muertas Acorde con las NTC “se consideran como cargas muertas los pesos de todos los elementos constructivos, de los acabados y de todos los elementos que ocupan una posición permanente y tienen un peso que no cambia sustancialmente con el tiempo”. Elemento Piedras Naturales Areniscas Basaltos Granito Mármol Riolita Pizarras Tepetate Tezontle Calizas Taquilita Lava basáltica Toba volcánica Pizarra Grava y arena a granel Escoria de alto horno en terrones Escoria de alto horno en gránulo Arena de ladrillo Vermiculita expandida Vermiculita cruda Bentonita suelta Bentonita batida Cenizas voladoras Cal Piedra caliza en polvo Magnesita molida Suelos Arena de grano Arena bien graduada Arcilla típica del Valle de Méxco Caliche Piedras artificiales y morteros Adobe Argamasa Fraguada

Ton/m3

kN/m 3

2.5 2.65 3.2 2.6 2.55 2.85 1.95 1.55 2.85 2.65 2.44 2.04 2.85 2.04 1.73 1.22 1.53 0.10 0.91 0.81 1.12 1.42 1.32 1.32 1.22 3 Ton/m 2.1 2.3 1.5 2.1 3 Ton/m 1.6 1.6

(24.8) (25.9) (31.3) (25.4) (24.9) (27.9) (19.1) (15.1) (27.9) (26) (24) (20) (28) (20) (17) (12) (15) (1) (9) (8) (11) (14) (13) (13) (12) 3 kN/m (20.5) (22.5) (14.7) (20.5) 3 kN/m (15.6) (15.6)

Cemento Portland Fraguado Cemento Portland a granel Cemento Portland en sacos Concreto simple (sin refuerzo) Concreto Reforzado Concreto bituminoso Concreto ligero c/Betostyrene fć 175 Concreto ligero c/Betostyrene fć 60 Concreto ligero c/Betostyrene fć 15 Mortero de cal y arena Mortero cemento y arena Mortero de yeso Mortero de cal Aplanado de yeso Tabique macizo hecho a mano Tabique macizo prensado Bloque hueco de concreto ligero Bloque hueco de concreto intermedio Bloque hueco de concreto pesado Bloque de vidrio para muros Prismáticos para tragaluces Vidrio plano Madera Álamo seco Caoba Cedro blanco Cedro rojo Oyamel Encino Pino Fresno Ocote Palma real Roble blanco Roble rojo Roble (otras especies) Contrachapeada de madera blanda Contrachapeada de abedul Tablero de láminas y de listones Recubrimientos Azulejo Mosaico de pasta Granito 40 x 40 Loseta asfáltica Metales Aluminio Acero y Hierro Cobre fundido laminado Latón fundido laminado Plomo Zinc, fundido laminado Bronce

54

2.95 1.63 1.53 2.2 2.4 2.55 1.45 1.2 0.4 1.5 2.1 1.83 1.83 1.5 1.5 2.2 1.3 1.7 2.2 1.25 2.0 3.1 3 Ton/m 0.59 1.0 0.38 0.70 0.65 1.0 1.0 0.95 0.8 0.7 0.8 0.7 0.95 0.51 0.71 0.45 2 kg/m 15 35 65 10 3 Ton/m 2.75 7.85 9.0 8.7 11.35 7.2 8.6

(28.9) (16) (15) (21.5) (23.5) (25) (14.2) (11.7) (3.9) (14.7) (20.5) (18.0) (18.0) (14.7) (14.7) (21.5) (12.7) (16.6) (21.5) (12.2) (19.6) (30.3) 3 kN/m (5.7) (9.8) (3.7) (6.8) (6.3) (9.8) (9.8) (9.3) (7.8) (6.8) (7.8) (6.8) (9.5) (5) (7) (4.5) kPa (0.14) (0.34) (0.63) (0.09) 3 kN/m (26.9) (76.9) (88.2) (85.2) (111.2) (70.5) (85)

Plásticos Lámina acrílica Poliestireno expandido y en gránulos Espuma de vidrio Polietileno y poliestireno granulado Cloruro de polivinilo en polvo Resina de poliester Colas a base de resina Tableros de fibras duros y extraduros Tablero de fibra peso medio Tablero de fibras blandoas Productos orgánicos Asfalto Asfalto fundido Asfalto apisionado en caliente Basalto basáltico Carbón antracita Carbón butaminoso Carbón turba, seca Carbón vegetal de pino Petróleo crudo Petroleo refinado Petroleo bencina Petroleo gasolina Estiercol Gas líquido Grano Paja en pacas Fruta Azucar Vegetales Agua dulce Leña Libros y documentos Libros densamente almecenados Estanterías y archivadores Ropa y trapos Papel en rollo Papel apilado

3

Ton/m 1.22 0.03 0.14 0.65 0.6 1.2 1.3 1.02 0.81 0.4 3 Ton/m 1.5 2.5 2.3 2.6 0.92 0.86 0.65 0.44 0.90 0.82 0.75 0.69 1.6 0.58 0.79 0.15 0.84 1.6 0.51 1.02 0.55 0.61 0.86 0.61 1.1 1.5 1.1

3

kN/m (12) (0.3) (1.4) (6.4) (5.9) (11.8) (13) (10) (8) (4) 3 kN/m (14.7) (25) (23) (26) (9) (8.4) (6.3) (4.3) (8.8) (8) (7.3) (6.7) (16) (5.7) (7.8) (1.5) (8.3) (16) (5) (10) (5.4) (6) (8.5) (6) (11) (15) (11)

Las NTC especifican un aumento de carga para losas de concreto (NTC-Acciones 5.1.2.): “El peso muerto calculado de losas de concreto de peso normal coladas en el lugar se incrementará en 20 kg/m2 (0.2 kN/m2). Cuando sobre una losa colada en el lugar o precolada, se coloque una capa de mortero de peso normal, el peso calculado de esta capa se incrementará también en 20 kg/m2 (0.2 kN/m2) de manera que el incremento total será de 40 kg/m2 (0.4 kN/m2).”


b) Cargas vivas Acorde con las NTC, “Se considerán cargas vivas las fuerzas que se producen por el uso y ocupación de las edificaciones y que no tienen carácter permanente […] Las cargas especificadas no incluyen el peso de muros divisorios de mampostería o de otros materiales, ni de muebles, equipos u objetos de peso fuera de lo común, como cajas fuertes de gran tamaño, archivos importantes, libreros pesados o cortinajes en salas de espectáculos” Tabla de Cargas Vivas Unitarias (NTC) (NTC sobre Criterios y Acciones para el Diseño Estructural de las Edificaciones)

Destino

Kg/m 2

kPa

a. Habitación (casa–habitación, departamentos, viviendas, dormitorios, cuartos de hotel, internados de escuelas, cuarteles, cárceles, correccionales, hospitales y similares) b. Oficinas, despachos y laboratorios c. Aulas d. Comunicación para peatones (pasillos, escaleras, rampas, vestíbulos y pasajes de acceso libre al público) e. Estadios y lugares de reunión sin asientos individuales f. Otros lugares de reunión (bibliotecas, templos, cines, teatros, gimnasios, salones de baile, restaurantes, salas de juego y similares) g. Azoteas con pendiente no mayor de 5% h. Azoteas con pendiente mayor de 5 %; otras cubiertas, cualquier pendiente. i. Volados en vía pública (marquesinas, balcones y similares) j. Garajes y estacionamientos (exclusivamente para automóviles)

170

(1.7)

250 250 350

(2.5) (2.5) (3.5)

450

(4.5)

350

(35)

100

(1.0)

40

(0.4)

300

(3.0)

250

(2.5)

Las NTC también especifican la consideración de cargas vivas transitorias (NTC- Acciones 6.1.3): “Durante el proceso de edificación deberán considerarse las cargas vivas transitorias que puedan producirse. Éstas incluirán el peso de los materiales que se almacenen temporalmente, el de los vehículos y equipo, el de colado de plantas superiores que se apoyen en la planta que se

analiza y del personal necesario, no siendo este último peso menor de 1.5 kN/m2 (150 kg/m2). Se considerará además, una concentración de 1.5 kN (150 kg) en el lugar más desfavorable.” Tabla de Cargas Vivas Unitarias (UBC) (Cargas del Uniform Building Code no incluidas en las NTC)

Destino Cuartos de maquinas y herramientas Cuarto de máquinas de elevadores Escaleras de emergencia Cocheras Librerias y bibliotecas Manufactura pesada Manufactura ligera Techos para jardínes Puentes vehiculares Almacenes pesados Almacenes ligeros

Kg/m 2

kPa

732 1464 488 195 732 1220 610 488 1220 1220 610

(7.17) (14.3) (4.7) (1.9) (7.17) (11.9) (5.9) (4.7) (11.9) (11.9) (5.9)

En los gráficos de la derecha, podemos apreciar la falla continental del Atlántico provocada por el movimiento de varias placas grandes, y la famosa falla de San Andrés, en California, producto del rozamiento de 2 grandes placas. En los tres gráficos de la izquierda, podemos observar distintos tipos de interacciones entre capas tectónicas. Estos movimientos, se presentan entre las grandes placas, como es el caso de la placa de Norteamérica (continental) y la placa Pacífica (Oceánica).Cuando entre grandes placas tecónicas esta “atoradas” pequeñas placas (como la de Cocos), las grandes tiendes a sumergir a las pequeñas, lo que es el fenómeno que conocemos como subducción, y que provoca los sismos más intensos.

c) Cargas por sismo

En este gráfico, podemos ver mejor explicado el mecanismo de la subducción de la placa de cocos con la placa continental, y los lugares donde tienen lugar los epicentros sísmicos-

En el gráficosuperior podemos apreciar la división continental de las grandes placas tectónicas, que están en constante movimiento, algunas placas son pequeñas y están atrapadas entre las grandes, quienes provocan el hundimiento (subducción) de las chicas bajo las grandes, en estas regiones es donde se registran sismos mas intensos.

En el gráfico de la derecha podemos observar la relación entre el epicentro y el foco de un sismo. El foco es el lugar donde se produce la falla tectónica, y el epicentro su proyección vertical en la superficie.

Tipos de Ondas Sísmicas

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Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Ondas Primarias (P): son denominadas así porque son las que se propagan con mayor velocidad, entre 7 y 14 km/seg., y son las primeras en llegar a cualquier lugar. Su movimiento hace vibrar las partículas en la misma dirección de propagación del sismo, son las de menor intensidad, casi no las nota la mayor parte de la población, y pueden propagarse en medios sólidos, líquidos y gaseosos.

En este gráfico podemos observar el mecanismo de funcionamiento de las Ondas Primarias (segundo) y Secundarias (primero). Las ondas primarias vivran las partículas con mayor rapidez pero menor fuerza, y las secundarias mas lentas pero con mayor energía.

Ondas Secundarias (S): debido a que viajan con menor velocidad, de 3 a 5 km/seg, son las segundas en arribar a un lugar (de aquí su demonimación), pero son también las que transmiten mayor energía. Su movimiento es longitudinal, y las partículas vibran en dirección perpendicular a la propagación de la onda sísmica. Como cuando arrojamos una piedra en un estanque de agua, las ondas se propagan moviendo las partículas rítmicamente arriba y abajo, dándonos la impresión que el agua se desplaza. Estas ondas solamente se propagan en medios sólidos.

Además existen las Ondas Superficiales, que se presentan poe la refracción de las primarias y

secundarias en distintos tipos de terreno, entre ellas se encuentran: las Ondas Rayleigh (R) que generan oscilaciones perpendiculares a la dirección del movimiento, y las Ondas Love (L) que provocan un movimiento horizontal y transversal respecto a la dirección de propagación del sismo.

Ondas de vibración Una vibración u oscilación es el movimiento de un punto determinado que se desplaza de forma alternativa en un sentido o en otro, pero que siempre pasa por las mismas posiciones. En el gráfico de la derecha, podemos observar la graficación de una onda de vibración u oscilación, observamos tanto su movimiento en “x” como en “y”, pero siempre se pasa por puntos comunes.

Los parámetros que definen a las Ondas de vibración son muy importantes, y se clasifican en las siguientes: Periodo: El periodo es el tiempo que tarda una oscilación completa. Por tanto, entre mayor sea el periodo de vibración mayor será su duración. En la gráfica inferior podemos observar oscilaciones con diferente duración.

Frecuencia: Es el número de vibraciones u oscilaciones en una unidad de tiempo determinada. En consecuencia, a menor frecuencia le correponde un mayor periodo. En el gráfico inferior, podemos observar 5 ondas con diferente frecuencia.

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Amplitud: La amplitud en el valor que caracteriza cualquier fenómeno oscilatorio, que puede corresponder a un desplazamiento, una velocidad o una aceleración. Periodo de Vibración en los Edificios. El periodo de vibración u oscilación en un edificio siempre será el mismo, es lo que conocemos como Peiodo Fundamental de Vibración, pero los desplazamientos siempre serán diferentes, ya que dependen de la intensidad del fenómeno sísmico. Es decir el tiempo que tarda un edificio en completar una oscilación siempre es la misma, independientemente de la longitud real de la misma. Los edificios tienen tantos modos o formas de vibrar, como entrepisos tengan. Podemos visualizar al edificio como un gran péndulo con diferentes masas, entre mas masa posea, mayor serán los modos en que vibrará. El más importante de todos estos modos de vibración es el primero porque es el recibe mayor energía sísmica, se caracteriza por tener todos los movimientos de un mismo lado, y se le denomina Modo Fundamental de Vibración.


En la serie de nueve ilustraciones anteriores, podemos ver igual número de modos de vibración para un edificio de 4 niveles, el principio en el mismo del péndulo invertido con cuatro masas. Aunque los Softwares contemporáneos nos pueden simular mas modos que el número de masas, aún así los más importantes son los tres primeros por ser los de mayor periodo.

Condicionantes del Periodo de Vibración Como ya se esbozó anteriormente, cada edificio tiene un Periodo de Vibración que le es propio, y que depende fundamentalmente de sus características físicas. Como vimos este periodo es independiente de la intensidad del sismo, por consiguiente, lo que varía en cada sismo son tanto la intensidad y características de los esfuerzos externos, como la intensidad y características de los esfuerzos internos que estos generan, lo cual da lugar a diferentes variaciones en los desplazamientos de un edificio, pero no al tiempo o “periodo” de cada uno de ellos. Características físicas que condicionan el periodo de vibración Las importantes son las siguientes: a) La altura del edificio. Conforme aumenta la altura aumenta el periodo de vibración b) La densidad de la estructura en planta. Esto aumenta su momento de inercia (resistencia a ser movido), y por tanto el periodo de vibración disminuye. c) La longitud del edificio en la diracción considerada. Al igual, a mayor longitud, mernor periodo de vibración y visceversa. La altura del edificio junto con la longitud del mismo conforman la Relación de Esbeltez del mismo, por lo cual podemos reducir estos factores a dos: La esbeltez del edificio (relación geométrica en la dirección considerada) y la densidad de sus componentes resistentes (estructurales).

Magnitud e Intensidad de un Sismo Para comprender la medición de un sismo, es importante entender y diferenciar la Magnitud y la Intendidad de cualquier fenómeno telúrico. La Magnitud, es un fenómeno instrumental, es decir, esta directamente relacionado con los registros sismográficos obtenidos, y básicamente se refiere a la energía liberada en un sismo. Las escalas utilizadas para medir la magnitud son las de Richter y la Escala de Magnitud de Momento. Por otro lado, la Intensidad se refierea los efectos que producen los terremotos, y se mide con la Escala de Mercalli.

Grado I. Muy Débil

Es diferente el efecto de un terremoto con una magnitud de 7, si la profundidad de su epicentro es de 500 mts, o de 5 km, aunque la magnitud es la misma, la intensidad será diferente.

VII. Muy Fuerte

El terremoto de 1985 en México, tuvo una magnitud “única” de 8.1, pero diferentes intensidades regionales. Incluso, la intensidad vario significativamente en a ciudad de México, del centro de la ciudad a las periferias cercanas a los lomeríos. Por lo tanto, al relacionar magnitud con intensidad, se puede asignar magnitud a sismos históricos, con el registro de las consecuencias que este sismo dejo. Las Escalas de medición de los sismos Actualmente se utilizan tres escalas: la escala de Mercalli, la Escala de Richter y la escala de Magnitud de Momento. Aunque las últimas dos son casi las universalmente utilizadas, cuando en una zona no se cuanta con los instrumentos técnológicos para la medición precisa, se continúa recurriendo a la Escala de Mercalli, veamos más a detalle cada una: Escala de Mercalli: Fue creada por Giusseppe Mercalli en 1902, y no se basa en ninguna ecuación, ni en los registros de sismógrafos, sino en el registro de los daños producidos en las estructuras y la sensación percibida por las personas. Esta basada en 12 grados de intensidad, que van desde Muy débil (grado 1), hasta Catastrófico (grado 12). En cada grado se describe el tipo de daño presentado en las edificaciones y los efectos producidos en la población.

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II. Débil III. Leve IV. Moderado V. Poco Fuerte VI. Fuerte

VIII. Destructivo

IX. Ruinoso

X. Desastroso XI. Muy Desastroso XII. Catastrófico

Descripción Imperceptible para la mayoría de la población Perceptible por algunas personas en reposo, objetos colgantes oscilan Perceptible en edificios, aumenta con número de niveles. Perceptible por la mayoria de personas, daños leves en acabados, y los muros crujen. Los objetos se caen, es difícil caminar, y se producen daños en acabados Lo perciben todas las personas, se dañan los acabados, y se producen daños leves en las estructuras. Daños mínimos en construcciones antisísmicas, daños leves o moderados en construcciones ordinarias, y daños considerables en estructuras mal construidas. Daños leves en estructuras antisísmicas, daños considerables en estructuras ordinarias bien construidas, daño severo en estructuras pobremente construidas. Pánico generalizado, daños considerables en estructuras antisísmicas, grandes daños en edificios importantes, edificios desplazados de sus bases. La mayoría de las estructuras dañadas. Pocas estructuras quedan en pie, sobretodo de muros de concreto y/o mampostería. Destrucción total con pocos sobrevivientes, los niveles y perspectivas quedan distorsionados-

La Escala de Richter: Desarrollada por Charles Richter en 1930, consiste básicamente en asociar la magnitud del sismo con la amplitud de la onda sísmica, lo que redunda en propagación del movimiento en un área determinada. Teóricamente en esta escala pueden darse sismos de magnitud negativa, lo que corresponderá a leves movimientos de baja liberación de energía. En otras palabras, representa la energía sísmica liberada en cada terremoto y se basa en el registro sismográfico. Es una escala que crece en forma potencial o semilogarítmica, de manera que cada punto de aumento puede significar un aumento de energía diez o más veces mayor. Una magnitud 4 no es el doble de 2, sino que 100 veces mayor. La ecuación desarrollada por Richter para medir la magnitud de un sismo (M) es la siguiente:


M  log 10  A  3  log10  t   2.92 En donde A es la amplitud máxima de la onda S en mm, y t es el tiempo (en sugundos) transcurrido entre el principio de las ondas P y las S. Escala de Magnitud de Momento: Desarrollada en 1979 por Hanks y Kanamori, es la sucesora de la escala de Ricther. Es una escala logarítmica, basada en la medición de la energía total que se libera en un terremoto. Una ventaja que posee es que coincide y continúa con los parámetros de la escala de Richter. La magnitud de momento sísmico (Mw) resume en un único número la cantidad de energía liberada por el terremoto, llamada momento sísmico (M0). La “w” en el subíndice del símbolo Mw, proviene de la palabra inglesa “work” (trabajo). Mw coincide con las estimaciones obtenidas con la escala de Richter. Es decir, Mw permite entender la cantidad de energía liberada por el terremoto (M0) en términos del resto de las escalas sísmicas. Es por esto que se usa Mw en vez de M0 como parámetro de escala. Los períodos de oscilación de las ondas sísmicas grandes son proporcionales al momento sísmico (M0). Es por esto que se suele medir la magnitud de momento Mw a travvés de los períodos de oscilación por medio de los sismógrafos. La relación entre Mw y M0 esta dada por la ecuación:

Mw 

M0 2     log10   9.1 3  N m 

La magnitud del momento sísmico (Mw) se obtiene a partir de una función logarítmica. Por tanto es una variable adimensional. En cambi el momento sísmico (M0) es una variable que mide emergía (fuerza x desplazamiento). Más concretamente, el momento sísmico (M0) es una cantidad que combina el área de ruptura y la compensación de la falla con una medida de la resistencia de las rocas mediante la siguiente ecuación:

M 0    A u Donde: µ es el módulo de deformación de las rocas involucradas en el terremoto. Usualmente es de 30 gigapascales.

A es el área de ruptura a lo largo de la falla geológica donde ocurrió el terremoto. u es el desplazamiento promedio de A. Esta escala es la más usada hoy día por los sismólogos para medir y comparar terremotos de grandes proporciones. Se indica mencionando simplemente “magnitud” (ej. magnitud 8.8) y se evita decir escala o grados. CÁLCULO SÍSMICO A continuación expondremos los pasos para formular todas las variables sísmicas, que necesitamos obtener para calcular una estructura por sismo, cualquier programa computaciónal también debe ser alimentado con estas.

estaciones repetidoras inalámbrica, y

de

comunicación

celular

Subgrupo B2: Las demás de este grupo.

Paso 2. Zonificación sísmica. Posteriormente se debe localizar la zonificación sísmica del predio, acorde con la zonificación del las NTC-Sismo, o si el edificio se encuentra en cualquier otra parte de la República, se puede utilizar la regionalización sísmica del Manual de CFE. Regionalización del Manual de CFE

Paso1. Clasificación del grupo del edificio. Según el artículo 139 del RCDF los edificios se clasifican acorde con los siguientes criterios: Grupo A: Edificaciones cuya falla estructural podría constituir un peligro significativo por contener sustancias tóxicas o explosivas, así como edificaciones cuyo funcionamiento es esencial a raíz de una emergencia urbana, como: hospitales, escuelas, terminales de transporte, estaciones de bomberos, centrales eléctricas y de telecomunicaciones, estadios, depósitos de sustancias flamables o tóxicas, museos y edificios que alojen archivos y registros públicos de particular importancia, y otras edificaciones a juicio de la Secretaría de Obras y Servicios. Grupo B: Edificaciones comunes destinadas a viviendas, oficinas y locales comerciales, hoteles y construcciones comerciales e industriales no incluidas en el Grupo A, las que se subdividen en: Subgrupo B1: Edificaciones de más de 30 m de altura o con más de 6,000 m2 de área total construida, ubicadas en las zonas I y II a que se aluden en el artículo 170 de este Reglamento, y construcciones de más de 15 m de altura o más de 3,000 m2 de área total construida, en zona III; en ambos casos las áreas se refieren a un solo cuerpo de edificio que cuente con medios propios de desalojo: acceso y escaleras, incluyendo las áreas de anexos, como pueden ser los propios cuerpos de escaleras. El área de un cuerpo que no cuente con medios propios de desalojo se adicionará a la de aquel otro a través del cual se desaloje; Edificios que tengan locales de reunión que puedan alojar más de 200 personas, templos, salas de espectáculos, así como anuncios autosoportados, anuncios de azotea y

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y/o

Zonificación sísmica según las NTC-Sísmo

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Zona Sísmica

(Estructuras del grupo B) Tipo de Suelo Coeficiente Sísmico

I 0.08 II 0.16 III 0.20 I 0.14 B II 0.30 III 0.36 I 0.36 C II 0.64 III 0.64 I 0.50 D II 0.86 III 0.86 Nota: Para las Estructuras del grupo A estos valores deberán multiplicarse por 1.5 A

Los tipos de suelo a los cuales se refiere la tabla de los coeficientes de CFE son los siguientes: Tipo I. Terreno firme: Depósitos de suelo formados solamente po r estratos con velocidades de propagación βo ≥ 700 m/s o 2 módulos de rigidez Go ≥ 85000 t/m . Tipo II. Terrenointermedio: Depósitos de suelo con periodo fundamental de vibración y velocidad efectiva de propagación tales que se cumpla la relación:

 c  Ts   s  Tc   c  Tc Paso 3. Obtención del Coeficiente sísmico. Acorde con las NTC-Sísmo, los coeficientes sísmicos que corresponden al tipo de edificación y zonificación son los siguentes: “El coeficiente sísmico para las edificaciones clasificadas como del grupo B en el artículo 139 del Reglamento se tomará igual a 0.16 en la zona I, 0.32 en la II, 0.40 en las zonas IIIa y IIIc, 0.45 en la IIIb y 0.30 en la IIId, a menos que se emplee el método simplificado de análisis, en cuyo caso se aplicarán los coeficientes que fija el Capítulo 7 (tabla 7.1). Para las estructuras del grupo A se incrementará el coeficiente sísmico en 50 por ciento.”

El coeficiente sísmico para el resto de la República Mexicana se puede obtener con la tabla 3.1 del Manual de CFE, a continuación reproducimos solamente la parte de coeficientes sísmicos. Coeficientes Sísmicos, Manual CFE

Tipo III. Terreno blando: Depósitos de suelo con periodo fundamental de vibración y velocidad efectiva de propagación tales que se cumple con la relación.

 c  Ts   s  Tc   c  Tc Paso 4. Obtención del Factor de Comportamiento Sísmico (Q). Según las NTC-Sísmo, los valores de Q serán los siguientes: Requisitos para Q= 4. Se usará Q= 4 cuando se cumplan los requisitos siguientes: a) La resistencia en todos los entrepisos es suministrada exclusivamente por marcos no contraventeados de acero, concreto reforzado o compuestos de los dos materiales, o bien por marcos contraventeados o con muros de concreto reforzado o de placa de acero o compuestos de los dos materiales, en los que en cada entrepiso los marcos son capaces de resistir, sin contar muros ni contravientos, cuando menos 50 por ciento de la fuerza sísmica actuante.

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b) Si hay muros de mampostería ligados a la estructura en la forma especificada en la sección 1.3.1, éstos se deben considerar en el análisis, pero su contribución a la resistencia ante fuerzas laterales sólo se tomará en cuenta si son de piezas macizas, y los marcos, sean o no contraventeados, y los muros de concreto reforzado, de placa de acero o compuestos de los dos materiales, son capaces de resistir al menos 80 por ciento de las fuerzas laterales totales sin la contribución de los muros de mampostería. c) El mínimo cociente de la capacidad resistente de un entrepiso entre la acción de diseño no difiere en más de 35 por ciento del promedio de dichos cocientes para todos los entrepisos. Para verificar el cumplimiento de este requisito, se calculará la capacidad resistente de cada entrepiso teniendo en cuenta todos los elementos que puedan contribuir a la resistencia, en particular los muros que se hallen en el caso de la sección 1.3.1. El último entrepiso queda excluido de este requisito. d) Los marcos y muros de concreto reforzado cumplen con los requisitos que fijan las Normas correspondientes para marcos y muros dúctiles. e) Los marcos rígidos de acero satisfacen los requisitos para marcos con ductilidad alta que fijan las Normas correspondientes, o están provistos de contraventeo excéntrico de acuerdo con las mismas Normas. Requisitos para Q= 3 Se usará Q= 3 cuando se satisfacen las condiciones 5.1.b y 5.1.d ó 5.1.e y en cualquier entrepiso dejan de satisfacerse las condiciones 5.1.a ó 5.1.c, pero la resistencia en todos los entrepisos es suministrada por columnas de acero o de concreto reforzado con losas planas, por marcos rígidos de acero, por marcos de concreto reforzado, por muros de concreto o de placa de acero o compuestos de los dos materiales, por combinaciones de éstos y marcos o por diafragmas de madera. Las estructuras con losas planas y las de madera deberán además satisfacer los requisitos que sobre el particular marcan las Normas correspondientes. Los marcos rígidos de acero satisfacen los requisitos para ductilidad alta o están provistos de contraventeo concéntrico dúctil, de acuerdo con las Normas correspondientes. Requisitos para Q= 2 Se usará Q= 2 cuando la resistencia a fuerzas laterales es suministrada por losas planas con columnas de acero o de concreto reforzado, por marcos de acero con ductilidad reducida o provistos de contraventeo con ductilidad normal, o de concreto reforzado que no cumplan con los requisitos para ser considerados dúctiles, o muros de concreto reforzado, de placa de acero o compuestos de acero y concreto, que no cumplen en algún entrepiso lo especificado por las secciones 5.1 y 5.2 de este Capítulo, o por muros de mampostería de piezas macizas

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras confinados por castillos, dalas, columnas o trabes de concreto reforzado o de acero que satisfacen los requisitos de las Normas correspondientes. También se usará Q= 2 cuando la resistencia es suministrada por elementos de concreto prefabricado o presforzado, con las excepciones que sobre el particular marcan las Normas correspondientes, o cuando se trate de estructuras de madera con las características que se indican en las Normas respectivas, o de algunas estructuras de acero que se indican en las Normas correspondientes. Requisitos para Q= 1.5 Se usará Q= 1.5 cuando la resistencia a fuerzas laterales es suministrada en todos los entrepisos por muros de mampostería de piezas huecas, confinados o con refuerzo interior, que satisfacen los requisitos de las Normas correspondientes, o por combinaciones de dichos muros con elementos como los descritos para los casos de las secciones 5.2 y 5.3, o por marcos y armaduras de madera, o por algunas estructuras de acero que se indican en las Normas correspondientes. Requisitos para Q= 1 Se usará Q = 1 en estructuras cuya resistencia a fuerzas laterales es suministrada al menos parcialmente por elementos o materiales diferentes de los arriba especificados, a menos que se haga un estudio que demuestre, a satisfacción de la Administración, que se puede emplear un valor más alto que el que aquí se especifica; también en algunas estructuras de acero que se indican en las Normas correspondientes. En todos los casos se usará para toda la estructura, en la dirección de análisis, el valor mínimo de Q que corresponde a los diversos entrepisos de la estructura en dicha dirección. El factor Q puede diferir en las dos direcciones ortogonales en que se analiza la estructura, según sean las propiedades de ésta en dichas direcciones.

Paso 5. Obtención del factor de reducción de fuerzas sísmicas (Q´). Las NTC-Sísmo, determinan que el coeficiente sísmico puede ser reducido al dividirse entre el valor de Q´, acorde con las siguientes ecuaciones: Si se desconoce T, o si T ≥ Ta, entonces:

Q´ Q Si T < Ta, entonces:

T Q´ 1   Q  1 Ta

T es igual al periodo fundamental de vibración de la estructura, Ta es un periodo característico del espectro de diseño que se define en la tabla 3.1 de las NTCSismo. A continuación se reproduce esta parte de la tabla 3.1 Zona I II IIIa IIIb IIIc IIId

Valores de Ta (NTC-Sis) Coef. Sísmico 0.16 0.32 0.40 0.45 0.40 0.30

Ta 0.2 0.2 0.53 0.85 1.25 0.85

Para el caso de la República, reproducimos los valores de la tabla 3.1 del manual de CFE: Zona Sísmica A

B

C

D

Valores Ta (Manual CFE) Tipo de Suelo

Ta

I II III I II III I II III I II III

0.2 0.3 0.6 0.2 0.3 0.6 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Paso 6. Obtención de las condiciones de regularidad. En este paso se debe determinar, acorde con las características físicas de la estructura si es regular, irregular o fuertemente irregular. Los parámetros que manejan las NTC-Sismo (apartado 6) son las siguientes: Estructura regular Para que una estructura pueda considerarse regular debe satisfacer los siguientes requisitos. 1) Su planta es sensiblemente simétrica con respecto a dos ejes ortogonales por lo que toca a masas, así como a muros y otros elementos resistentes. Éstos son, además, sensiblemente paralelos a los ejes ortogonales principales del edificio.

60

2) La relación de su altura a la dimensión menor de su base no pasa de 2.5. 3) La relación de largo a ancho de la base no excede de 2.5. 4) En planta no tiene entrantes ni salientes cuya dimensión exceda de 20 por ciento de la dimensión de la planta medida paralelamente a la dirección que se considera del entrante o saliente. 5) En cada nivel tiene un sistema de techo o piso rígido y resistente. 6) No tiene aberturas en sus sistemas de techo o piso cuya dimensión exceda de 20 por ciento de la dimensión en planta medida paralelamente a la abertura; las áreas huecas no ocasionan asimetrías significativas ni difieren en posición de un piso a otro, y el área total de aberturas no excede en ningún nivel de 20 por ciento del área de la planta. 7) El peso de cada nivel, incluyendo la carga viva que debe considerarse para diseño sísmico, no es mayor que 110 por ciento del correspondiente al piso inmediato inferior ni, excepción hecha del último nivel de la construcción, es menor que 70 por ciento de dicho peso. 8) Ningún piso tiene un área, delimitada por los paños exteriores de sus elementos resistentes verticales, mayor que 110 por ciento de la del piso inmediato inferior ni menor que 70 por ciento de ésta. Se exime de este último requisito únicamente al último piso de la construcción. Además, el área de ningún entrepiso excede en más de 50 por ciento a la menor de los pisos inferiores. 9) Todas las columnas están restringidas en todos los pisos en dos direcciones sensiblemente ortogonales por diafragmas horizontales y por trabes o losas planas. 10) Ni la rigidez ni la resistencia al corte de ningún entrepiso difieren en más de 50 por ciento de la del entrepiso inmediatamente inferior. El último entrepiso queda excluido de este requisito. 11) En ningún entrepiso la excentricidad torsional calculada estáticamente, es, excede del diez por ciento de la dimensión en planta de ese entrepiso medida paralelamente a la excentricidad mencionada. Estructura irregular Toda estructura que no satisfaga uno o más de los requisitos de la sección 6.1 será considerada irregular. Estructura fuertemente irregular Una estructura será considerada fuertemente irregular si se cumple alguna de las condiciones siguientes: 1) La excentricidad torsional calculada estáticamente, es, excede en algún entrepiso de 20 por ciento de la dimensión

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras en planta de ese entrepiso, medida paralelamente a la excentricidad mencionada. 2) La rigidez o la resistencia al corte de algún entrepiso exceden en más de 100 por ciento a la del piso inmediatamente inferior.

Paso 7. Corrección por irregularidad de Q´. El factor de reducción Q´se debera multiplicar por 0.9 si no se cumple con uno (1) de los once ruequisitos de las estructuras regulares, se multiplicará por 0,8 si no cumplecon dos o mas; y por 0.7 cuando sea una estructura fuertemente irregular. Paso 8. Obtención del coeficiente símico corregido. Una vez que se tiene el valor del factor de reducción Q´ coregido por irregularidad o no, se procede a dividir el coeficiente sísmico (c) entre el factor de correción Q´. Paso 9. Obtención de los efectos bidireccionales. Acorde con las NTC-Sismo (apartado 8.7) se debe analizar el sismo al 100% en la dirección más desfaborable de la estructura, y simultamenamente con el 30% en la dirección oeroendicular a esta: “Los efectos de ambos componentes horizontales del movimiento del terreno se combinarán tomando, en cada dirección en que se analice la estructura, el 100 por ciento de los efectos del componente que obra en esa dirección y el 30 por ciento de los efectos del que obra perpendicularmente a ella, con los signos que resulten más desfavorables para cada concepto.”

Valores de los parámetros para calcular los espectros de aceleraciones (NTC-Sismo 3.1)

Zona

c

a0

Ta

Tb

r

I II IIIa IIIb IIIc IIId

0.16 0.32 0.40 0.45 0.40 0.30

0.04 0.08 0.10 0.11 0.10 0.10

0.2 0.2 0.53 0.85 1.25 0.85

1.35 1.35 1.8 3.0 4.2 4.2

1 1.33 2.0 2.0 2.0 2.0

Para el resto de la República se utiliza la tabla 3.1 del Manual de CFE, que a continuación reproducimos: Espectros de diseño para estructuras del grupo B

Zona

Tipo Suelo

a0

c

A

I 0.02 0.08 II 0.04 0.16 III 0.05 0.20 B I 0.04 0.14 II 0.08 0.30 III 0.10 0.36 C I 0.36 0.36 II 0.64 0.64 III 0.64 0.64 D I 0.50 0.50 II 0.86 0.86 III 0.86 0.86 Nota: Para las Estructuras del grupo A multiplicarse por 1.5

Ta

Tb

r

0.2 0.6 1/2 0.3 1.5 2/3 0.6 2.9 1 0.2 0.6 ½ 0.3 1.5 2/3 0.6 2.9 1 0.0 0.6 1/2 0.0 1.4 2/3 0.0 1.9 1 0.0 0.6 1/2 0.0 1.2 2/3 0.0 1.7 1 estos valores deberán

Paso 10. Obtención del Espectro de Diseño Sísmico. Este espectro solamente se requiere cuando se realiza un análisis sísmico modal, en donde “a” se define como la ordenada de los espectros de diseño, como fracción de la aceleración de la gravedad, que se calcula con las ecuaciones: Si T < Ta → Si Ta ≤ T ≤ Tb → Si T > Tb → En donde:

ao = valor de a que corresponde a T = 0 (NTC); es el coeficiente de aceleración del terreno (CFE) Ta y Tb = periodos característicos de los espectros de diseño (NTC); son los periodos característicos que delimitan la meseta c = coeficiente sísmico (NTC y CFE) r = exponente en las expresiones para el cálculo de las ordenadas de los espectros de díselo (NTC); exponente que define la parte curva del espectro de diseño. La ecuación que determina los valores para calcular la curva del espectro es la siguiente:

 Tb  c    t 

r

Donde t es el tiempo propuesto (en segundos) en la ordenada tempotal de la gráfica. Como se puede apreciar, la grafica del espectro de diseño sísmico, es una idealización de cómo se comporta el sismo en un lugar determinado; el valor de ao es la aceleración del terreno al inicio del sismo, Ta es el tiempo en el que el sismo va del valor inicial ao hasta alcanzar el coeficiente sísmico (descrito por una recta), y Tb es el tiempo en el que el sismo mantiene la fuerza máxima alcantaza (c). Posteriormente, la fuerza sísmica decrece describiendo una curva. Ejemplo: Cálculo de Espectro de Aceleraciones Sísmicas

T a  a0  c  a0   Ta ac a  qc

Datos:

q  Tb T 

r

Los parámetros que intervienen en estas ecuaciones se obtienen de la tabla 3.1 de las NTC-Sis, que a continuación reproducimos:

este caso marca 3 curvas para 3 direfentes zonas) en este incluimos los valores de ao, Ta y Tb, que siempre nos dan las tablas de los reglamentos, a continuación damos las definiciones de cada uno de estos valores según las NTC y CFE:

En la gráfica superior, podemos apreciar un ejemplo de la gráfica de espectro de aceleraciones sísmicas, (que en

61

Reglamento:

NTC

Zonificación: Tipo Suelo Grupo:

IIIa II A

F.I.:

1.5

Est. Regular

No

(Reglameto utilizado para el cálculo sísmico: NTC, CFE, etc.) (Figura 1.1 NTC-Sismo: Figura 3.1 CFE) (I, II o III solo para CFE secc. 3.1.2) (Art. 139 RCDF; secc. 3.2.2 CFE) (Factor de Importancia = 1.5 Gripo A, y 1.0 para demás grupos NTC y CFE) (Num. 6.1 NTC-Sismo;0.9, 0.8, ó 0.7)

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Valor de Q:

2

Valor de Q’:

0.7

Valor de ao:

0.1

Valor de c:

0.4

Valor de Ta:

0.53

Valor de Tb:

1.8

Valor de r: Cd:

2 0.429

(Factor de Comportamiento Sísmico, num. 5 NTC-Sismo; y secc. 3.2.4 CFE) (Corrección de Irregularidad; num. 6.4 NTC-Sismo; y secc. 2.3.5 CFE) (Coef. de Aceleración del Terreno; Tabla 3.1 NTC-Sismo; Tabla 3.1 CFE) (Coef. Sísmico; Tabla 3.1 NTC-Sismo; Tabla 3.1 CFE) (Periodo al inicio de meseta; Tabla 3.1 NTC-Sismo; Tabla 3.1 CFE) (Periodo de término de meseta: Tabla 3.1 NTC-Sismo; Tabla 3.1 CFE) Exponente que define la curva del Espectro; Tabla 3.1 NTC-Sismo; Tabla 3.1 CFE) (Coef. Sismico de Diseño; calculado con la equación 1)

Las tres ecuaciones que utilizamos para calcular los valores del Coeficiente de Diseño (ec. 1), los valores de la curva del espectro (ec. 2), y los valores de la curva del espectro modificado (ec. 3) son las siguientes:

 c  FI   Q  Q '   (ec.1)   r

0.100 0.090

ec. 2 ec. 2

 Tb  Cd     (ec.3)  t 

Valor de ao Valor de Ta Valor de Tb Propuesto (t) Propuesto (t) Propuesto (t) Propuesto (t) Propuesto (t) Propuesto (t) Propuesto (t) Propuesto (t) Propuesto (t) Propuesto (t)

ec. ec. ec. ec. ec. ec. ec. ec. ec. ec. ec. ec. ec.

1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

2) Se determina el coeficiente sísmico corregido (Csis) 3) Se calcula el “Cortante Basal” (Vo) o la fuerza sísmica total en la base del edificio:

Vo  Pte  C sis 4) Se determina el peso tatal de cada nivel (W n) ec. ec. ec. ec. ec. ec. ec. ec.

2 2 2 2 2 2 2 2

(Vo). La fuerza sísmica de cada nivel (Fsisn) es el valor del centro de masa de cada nivel. 6) Se calcula el centroide de masa de cada nivel, y

Valores de Diseño Tiempo (s) Aceleración 0 0.1 0.53 0.429 1.8 0.429 2 0.347 2.2 0.287 2.4 0.241 2.6 0.205 2.8 0.177 3 0.154 3.2 0.136 3.4 0.120 3.6 0.107 3.8 0.096

1) Se calcula el peso total del edificio (Pte)

r

Valor de ao Valor de Ta Valor de Tb Propuesto (t) Propuesto (t) Propuesto (t) Propuesto (t) Propuesto (t) Propuesto (t) Propuesto (t) Propuesto (t)

3.6 3.8

Paso 11. Determinación de los centros de masas y sus valores. Si se realizará el análisis sísmico modal, además del espectro de aceleraciones, se deben obtener los centros de masas de cada nivel (o de la estructura o tramo) y sus respectivos valores, para poder analizarlo de esta manera como un péndulo invertido. Los pasos a seguir son los siguientes:

 Tb  c     (ec.2)  t 

Valores Reales Tiempo (s) Aceleración 0 0.1 0.53 0.4 1.8 0.4 2 0.324 2.2 0.268 2.4 0.225 2.6 0.192 2.8 0.165 3 0.144 3.2 0.127 3.4 0.112

Propuesto (t) Propuesto (t)

5) Se calcula la fuerza sísmica en cada nivel (Fsisn):

Fsis n 

Wn  hn  Vo   Wn  hn 

El facor hn es la altura de cada nivel respecto al suelo o nivel cero del análisis. La suma de todas las fuerzas sísmicas (Fsisn1,n2,…) debe ser igual al cortante Basal

62

7) Se colocan los centroides de masa, y se asigna su valor (en el caso de utilizar un programa computacional). Paso 12. Determinación de la fuerza horizontal equivalente. El método de la fuerza horizontal equivalente se debe utilizar en caso que existan diferencias significativas entre el centroide de masas y el centroide de rigideces del edificio. El procedimiento es el siguiente: 8) Se calcula el centroide de rigidez de cada nivel y su distancia respecto al centro de masas (en X e Y) 9) Se calclan los momentos torsionantes de cada nivel:

Mxn1  Fsis n1  exn1 10) Se introducen los centroides de rigidez y sus valores para X e Y (en el caso de programas computacionales).

d) Cargas por viento A continuación describiremos la metodología de cálculo de las cargas popr viento (presión del viento) según las Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Viento (NTC-Viento), y el Manual de Diseño por Viento de la Comisión Federal de Elecricidad (CFE-Viento). Es importante precisar que las NTC-Viento realizan algunas simplificaciones en sus ecuaciones, partiendo de la altura media sobre el nivel del mar de la Ciudad de México y su respectiva presión barométrica; por lo cual esta norma debe utilizarse exclusivamente para la Ciudad de México y su Zona Metropolitana. Para el resto de la República debe utilizarse la metodología del Manual de CFE. CALCULO SEGÚN NTC-Viento Paso 1. Determianción de la velocidad regional del viento (VR). Esta velocidad se puede tomar de la regionalización eolica de la República Mexicana (Manual CFE), o de la tabla 3.1 de las NTC-Viento. Esta tabla

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras únicamente incluye las delegaciones del DF, por lo cual, si se esta en un municipio de la ZMCM se recomienda tomar el valor del Manual de CFE.

realizar las respectivas conversiones si se cruzan los datos. Paso 2. Determinación del factor de variación con la altura (Fα). Este factor establece la variación de la velocidad del viento con respecto a la altura (z). Se obtiene con las siguientes ecuaciones:

REGIONALIZACIÓN EÓLICA DE MÉXICO (CFE)

Si z ≤ 10 m → Si 10 m < z < δ → Si z ≥ δ →

F  1.0

F   z 10 



F   10 



En donde: δ = altura gradiente, medida a partir del nivel del terreno de desplante, por encima de la cual la variación de la velocidad del viento no es importante y se puede suponer constante; δ y z están dadas en metros; y Zona 1 2 3 4 5 6 7

Km/h 90 125 115 160 80 150 80

α = exponente que determina la forma de la variación de la velocidad del viento con la altura.

m/s 25 34.7 32 44.5 22.2 41.6 22.2

Los coeficientes δ y α estan en función de la rugosidad del terreno y se define con la tabla 3.2 de las NTCViento, que reproducimos a continuación: Rugosidad del terreno, δ y α (NTC-Viento 3.2) Tipos de terreno α δ, m

Velocidades regionales (VR) en m/s NTC-Viento (tabla 3.1) Retorno en años → Zona I. Delegaciones: A. Obregón, Azcapotzalco, B. Juárez, Coyoacán, Cuauhtémoc, GA Madero, Iztacalco, Iztapalapa, M. Hidalgo, V. Carranza Zona II. Delegaciones: M. Contreras, Cuajimalpa, Milpa Alta, Tlalpan y Xochimilco

Importancia de la Construcción A B Temporal 200 50 10 39

35

36

32

31

28

Nota: las NTC consideran la velocidad del viento en m/s y el Manual de CFE en km/hr; por lo cual es importante

R1 = Escasas o nulas obstrucciones al flujo de viento, como en campo abierto R2 = Terreno plano u ondulado con pocas obstrucciones R3 = Zona típica urbana y suburbana. El sitio está rodeado predominantemente por construcciones de mediana y baja altura o por áreas arboladas y no se cumplen las condiciones del Tipo R4 R4 = Zona de gran densidad de edificios altos. Por lo menos la mitad de las edificaciones que se encuentran en un radio de 500 m alrededor de la estructura en estudio tiene altura superior a 20 m

0.099

245

0.128

315

0.156

390

0.170

455

Paso 3. Determinación del Factor correctivo por topografía y rugosidad (FTR). Este factor se toma de la tabla 3.3 de las NTC-Viento que a continuación reproducimos:

63

Factor FTR (NTC-Viento) Tipos de topografía T1 = Base protegida de promontorios y faldas de serranías del lado de sotavento T2 = Valles cerrados T3 = Terreno prácticamente plano, campo abierto, ausencia de cambios topográficos importantes, con pendientes menores de 5% (normal) T4 = Terrenos inclinados con pendientes entre 5 y 10% T5 = Cimas de promontorios, colinas o montañas, terrenos con pendientes mayores de 10%, cañadas o valles cerrados.

Rugosidad de terrenos en alrededores Terreno Terreno Tereno tipo R2 tipo R3 tipo R4 0.80 0.70 0.66

0.90 1.00

0.79 0.88

0.74 0.82

1.10

0.97

0.90

1.20

1.06

0.98

Paso 4. Determinación de la velocidad de diseño (VD). La velocidad de diseño del viento se obtiene con la siguiente ecuación:

VD  FTR  F  VR

(m/s)

Paso 5. Determinación de los coeficientes de presión (CP). Estos coeficientes se obtienen según el tipo y forma de la construcción, a continuación reproducimos las tablas 3.4, 3.6, 3.7, 3.8 y 3.13 de las NTC-Viento, de donde se puede obtener el coeficiente, y que también son las más utilizadas: Coeficiente CP para construcciones cerradas (NTC-Viento 3.4) Tipo CP Pared de barlovento 1 Pared de sotavento Paredes laterales Techos planos Techos inclinados lado de sotavento Techos inclinados lado de

0.8 ─ 0.4 ─ 0.8 ─ 0.8 ─ 0.7 ─ 0.8 < 0.04θ ─ 1.6 < 1.8

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras 2

barlovento 1 La succión se considerará constante en toda la altura de la pared de sotavento y se calculará para un nivel z igual a la altura media del edificio. 2 θ es el ángulo de inclinación del techo en grados.

Coeficiente CP para el viento normal a un anuncio o muro (NTC-Viento 3.6) Coeficiente de presión neta (CP) Anuncios Muros 0 < he/H < 0.2 0.2 ≤ he/H ≤ 0.7 1.2+0.02 (d/he−5) 1.5 1.2 H = altura total del anuncio o muro he = altura del exclusiva del anuncio (sin estructura inferior) d = longitud (horizontal) del anuncio o muro La tabla 3.6 se aplica para anuncios con 1≤d/H≤20. Si d/he o d/H es mayor que 20, el coeficiente de presión será igual a 2.0 En el caso de muros, si d/H es menor que 1.0, el coeficiente de presión también será igual a 2.0

la dirección del viento Aberturas uniformes distribuidas en las cuatro caras

− 0.3

Coeficiente CP para estructuras reticulares (NTCviento 3.3.3). Para el diseño de estructuras reticulares como las formadas por trabes de alma abierta y armaduras a través de las que pasa el viento, se usará un coeficiente de presión igual a 2.0, cuando están construidas por elementos de sección transversal plana y de 1.3 cuando los elementos constitutivos son de sección transversal circular.

Coeficiente CP para el viento a 45° sobre el anuncio o muro (NTC-Viento 3.7) Coeficiente de presión neta (CP) en zonas de anuncios o muros Distancia horizontal medida a partir del borde libre de barlovento del anuncio o muro Anuncios Muros 0 a 2he 2he a > 4he 0 a 2H 2H a > 4H 4he 4H 3.0 1.5 0.75 2.4 1.2 0.6 Para las paredes y anuncios planos con aberturas, las presiones se reducirán con el factor dado por  2    donde Φ es la

Paso 6. Determinación de la presión de diseño (pz). La presión que ejerce un flujo de viento sobre una 2 construcción (pz) se obtiene en kg/m (MPa), acorde con la siguiente ecuación:

Factores de forma para diseño por viento

p z  0.048  C P  VD

p

relación de solidez del anuncio o muro

Coeficiente CP para el viento paralelo al plano del anuncio o muro (NTC-Viento 3.8) Coeficiente de presión neta (CP) en zonas de anuncios o muros Distancia horizontal medida a partir del borde libre de barlovento del anuncio o muro Anuncios Muros 0 a 2he 2he a > 4he 0 a 2H 2H a > 4H 4he 4H ± 1.2 ± 0.6 ± 0.3 ± 1.0 ± 0.5 ± 0.25

 0.47  C P  VD

2

(kg/m2)



(MPa)

CALCULO SEGÚN CFE-Viento

Presión del viento conforme aumenta la altura de un edificio (Zona 5 de México)

Paso 1. Clasificación de la estructura según su importancia. Esta clasificación es la correspondiente al apartado 4.3 del Manual CFE-Viento, y se reproduce a continuación: Grupo A. Estructuras para las que se recomienda un grado de seguridad elavado. Pertenecen a este grupo aquéllas que en caso de fallar causarían la pérdida de un número importante de vidas, o prejuicios económicos o culturales excepcionalmente altos; asimismo, las construcciones y depósitos cuya falla implique un peligro significativo por almacenar o contener sustancias tóxicas o inflamables, así como aquéllas cuyo funcionamiento es imprescindible y debe continuar después de la la ocurrencia de vientos

Coeficiente CP para presiones interiores (NTC-Viento 3.13) Tipología Aberturas principalmente en la cara de barlovento Aberturas principalmente en la cara de sotavento Aberturas principalmente en las caras paralelas a

z

2

CP 0.75 − 0.6 − 0.5

64

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras fuertes tales como los provocados por huracanes. Quedan excluidos los depósitos y las estructuras enterradas. Grupo B. Estructuras para las que se recomienda un grado de seguridad moderado. Se encuentran dentro de este grupo aqéllas que en caso de fallar, representean un bajo riesgo de pérdida de vidas humanas y que ocacionarían daños materiales de magnitud intermedia. Grupo C. Estructuras para las que se recomienda un bajo grado de seguridad. Son aquellas cuya falla no implica graves consecuencias, ni puede causar daños a construcciones de los grupos A y B.

Paso 2. Clasificación de la estructura según su respuesta ante la acción del viento. Esta clasificación es la correspondiente al apartado 4.4 del Manual CFEViento, y se reproduce a continuación: Tipo 1. Estructuras poco sensibles a las ráfagas y a los efectos dinámicos del viento. Abarca todas aquellas en las que la relación de aspecto λ (definida como el cociente entre la altura y la menor dimensión en planta), es el menor o igual a cinco y cuyo periodo natural de vibración es menor o igual a un segundo. Pertenecen a este tipo, por ejemplo, la mayoría de los edificios para habitación u oficinas, bodegas, naves industriales, teatros y auditorios, puentes cortos y viaductos. Tipo 2. Estructuras que por su alta relación de aspecto o dimensiones reducidas de su sección transversal son especialmente sensibles a las rafagas de corta duración (entre 1 y 5 segundos) y cuyos periodos naturales largos favorecen a la ocurrencia de oscilaciones importantes en la dirección del viento. Dentro de este tipo se encuentran los edificios con relación de aspecto, λ, mayor que cinco o con periodo fundamental mayor que un segundo. Se incluyen también, por ejemplo, las torres de celosía atirantadas y las autosoportadas para líneas de transmisión, chimeneas, tanques elevados, antenas, bardas, parapetos, anuncios y, en general, las construcciones que presentan unadimensión muy corta paralela a la dirección del viento. Tipo 3. Estas estructuras, además de reunir todas las caracterísrticas de las del tipo 2, presentan oscilaciones importantes transversales al flujo de los vientos provocados por la aparición períodica de vórtices o remolinos con ejes paralelos a la dirección del viento. En este tipo se incluyen las construcciones y elementos aproximadamente cilíndricos o prismáticos esbeltos, tales como chimeneas, tuberías exteriores o elevadas, arbotantes para iluminación, postes de distribución y cables de líneas de transmisión. Tipo 4. Estructuras que por su forma o por lo largo de sus periiodos de vibración (periodos naturales mayores que un

segundo), presentan problemas aerodinámicos especiales. Entre ellas se hallan las formas aerodinámicas inestables como son los cables de líneas de transmisión, las tuberías colgantes y las antenas parabólicas.

Paso 3. Determinación de la categoría del terreno según su rugosidad. Esta clasificación se obtiene de la tabla I.1 del apartado 4.6.1 del Manual CFE-Viento, y se reproduce a continuación:

Cat. 1

2

3

4

Categoría del terreno según su rugosidad (CFE-Viento I.1) Descripción Limitaciones Terreno abierto, prácticamente plano y sin obstrucciones. (Ej. franjas costerasplanas, campos aéreos, pastizales, tierras de cultivo, superficies nevadas). Terreno plano u ondulado con pocas obstrucciones (Ej. campos de cultivo, granjas, construcciones dispersas). Terreno cubierto por numerosas obstrucciones estrechamente espaciadas. (Ej. Áreas urbanas, suburbanas y de bosques, el tamaño de las construcciones corresponde al de casas y viviendas). Terreno con numerosas obstrucciones largas, altas y estrechamente espaciadas. (Ej. Centros de grandes ciudades y complejos industriales bien desarrollados).

La longitud mínima de este tipo de terreno en la dirección del viento debe ser de 2000 m o 10 veces la altura de la construcción por diseñar, la que sea mayor Las obstrucciones tienen alturas de 1.5 a 10 m, en una longitud mínima de 1500 m.

A

B C

Todo elemento de recubrimiento de fachadas, de ventanerías y de techumbres y sus respectivos sujetadores. Todo elemento estructural aislado, expuesto directamente a la acción del viento. Asimismo, todas las construcciones cuya mayor dimensión, ya sea horizontal o vertical, sea menor de 20 mts. Todas las construcciones cuya dimensión, ya sea horizontal o vertical, varíe entre 20 y 50 mts. Todas las construcciones cuya mayor dimensión, ya sea horizontal o vertical, sea mayor que 50 mts.

Paso 5. Determinación de la Velocidad Regional (VR) del viento. Este valor se obtiene de los mapas de regionalización éolica del apartado 4.6.2 del Manual CFE-Viento. A continuación se reproduce la regionalización éolica general (nota: para las ecuaciones de la CFE se requiere el valor en km/hr), pero en dicho apartado del manual, se pueden encontrar mapas más detallados. REGIONALIZACIÓN EÓLICA DE MÉXICO (CFE)

Las obstrucciones presentan alturas de 3 a 5 m. La longitud mínima de este tipo de terreno en la dirección del viento debe ser 500m o 10 veces la altura de la construcción, la que sea mayor. Por lo menos el 50% de los edificios tiene una altura mayor que 20 m. Las obstrucciones miden de 10 a 30 m de altura. La longitud mínima de este tipo de terrenoen la dirección del viento dede ser la mayor entre 400 m y 10 veces la altura de la construcción.

Paso 4. Determinación de la clase de estructura según su tamaño. Esta clasificación se obtiene de la tabla I.2 del apartado 4.6.1 del Manual CFE-Viento, y se reproduce a continuación: Clase de Estructura según su Tamaño

65

(CFE-Viento I.2) Descripción

Clase

Zona 1 2 3 4 5 6 7

Km/h 90 125 115 160 80 150 80

m/s 25 34.7 32 44.5 22.2 41.6 22.2

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Paso 6. Determinación del Factor de tamaño (FC). Este valor se obtiene de la tabla I.3 del apartado 4.6.3.1 del Manual CFE-Viento, acorde con la Clase de Estructura según se Tamaño del paso a. A continuación se reproduce dicha tabla:

F  FC  FRZ

Factor de Tamaño (FC) (CFE-Viento I.3) Clase de Estructura FC A 1.0 B 0.95 C 0.9

Paso 9. Determinación del Factor de topografía (FT). Este valor se obtiene con la tabla I.5 del apartado 4.6.4 del Manual CFE-Viento, que a continuación se reproduce:

Paso 7. Determinación del Factor de rugosidad y altura (FRZ). Este valor se obtiene con las ecuaciones del apartado 4.6.3.2 del Manual CFE-Viento, que a continuación se reproducen:

Si Z ≤ 10 →

10  Frz  1.56     

Paso 8. Determinación del Factor de exposición (Fα). Este valor se obtiene con la ecuación del apartado 4.6.3. del Manual CFE-Viento, que a continuación se reproduce:

Factor de Topografía Local (FT) (CFE-Viento I.5) Sitios Topografía FT Protegidos



Z  Si 10 < Z < δ → Frz  1.56      Si Z ≥ δ → Frz  1.56

Normales 

Expuestos

En donde:

Base de promontorios y faldas de serranías del lado de sotavento Valles cerrados Terreno prácticamente plano, campo abierto, ausencia de cambios topográficos importantes, con pendientes menores que 5% Terrenos inclinados con pendientes entre 5 y 10%, valles abiertos y litorales planos. Cimas de promontorios, colinas o montañas, terrenos con pendientes mayores que 10%, cañadas cerradas y valles que formen un embudo o cañon, islas.

0.8 0.9

1.1

1.2

Paso 10. Determinación de la velocidad de diseño (VD). Este valor se obtiene con la ecuación (m/s):

α es el exponente que determina la forma de la variación de la velocidad del viento con la altura y es adimensional

VD  FT  F  VR

Valores de α y δ (CFE-Viento I.4) Categoría del Terreno 1 2 3 4

α Clase de estructura A B C 0.099 0.101 0.105 0.128 0.131 0.138 0.156 0.160 0.171 0.170 0.177 0.193

δ (m)

245 315 390 455

Paso 11. Presión dinámica de base (qz). Este valor se obtiene con la ecuación:

En donde:

66

G

0.392   273  

En donde:

Ω es la presión barométrica (mm de Hg) τ la temperatura ambiental en °C La temperatura ambiental es la promedio anual del lugar, y la presión barométrica se puede obtener de la tabla I.7 del apartado 4.7 del Manual de CFE-Viento, que a continuación se reproduce: Relación entre la altitud y la presión barométrica (CFE-Viento I.7) Altitud (msnm) Presión barométrica (mm de Hg) 0 760 500 720 1000 675 1500 635 2000 600 2500 565 3000 530 3500 495 Nota: puede interpolarse para valores intermedios de altitud.

Donde: FT es un factor que depende de la topografía del sitio (adimensional). Fα factor que toma en cuenta el efecto combinado de las características de exposición locales, del tamaño de la construcción y de la variación de la velocidad con la altura (adimensional=. VR velocidad regional que le corresponde al sitio en donde se construirá la estructura (km/hr).

q z  0.0048  G  VD

El factor de 0.0048 corresponde a un medio de la densidad del aire, y el valor de G se obtiene de la ecuación:

1.0

δ es la altura, medida a partir del nivel del terreno de desplante, por encima de la cual la variación de la velocidad del viento no es importante y se puede suponer constante; a esta altura se le conoce como la altura gradiente; δ y Z están dadas en metros.

Los coeficientes δ y α están en función de la rugosidad del terreno (punto 3), y la clase de estructura según su tamaño (punto 4). Estos valores se pueden obtener con la tabla I.4 del apartado 4.6.3.2 del Manual CFE-Viento, que a continuación se reproduce:

G es el factor de corrección por temperatura y por altura con respecto al nivel del mar (adimensional). VD la velodidad de diseño (m/s) qz la presión dinámica de la base a una altura Z sobre el nivel 2 del terreno (kg/m ).

2

d) Factores de carga Acorde con el apartado 3.4 (factores de carga) de las Normas Técnicas Complementarias sobre criterios y Acciones para Diseño Estructural de las Edificaciones: “Para determinar el factor de carga, FC, se aplicarán las reglas siguientes”: a) Para combinaciones de acciones clasificadas en el inciso 2.3.a [acciones permanentes y variables], se aplicará un factor de carga de 1.4. Cuando se trate de edificaciones del Grupo A, el factor de carga para este tipo de combinación se tomará igual a 1.5;

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras b) Para combinaciones de acciones clasificadas en el inciso 2.3.b, se tomará un factor de carga de 1.1 aplicado a los efectos de todas las acciones que intervengan en la combinación; c) Para acciones o fuerzas internas cuyo efecto sea favorable a la resistencia o estabilidad de la estructura, el factor de carga se tomará igual a 0.9; además, se tomará como intensidad de la acción el valor mínimo probable de acuerdo con la sección 2.2; y d) Para revisión de estados límite de servicio se tomará en todos los casos un factor de carga unitario.

d) Combinación de cargas Acorde con lo especificado en el apartado 2.3 (Combinaciones de acciones) de las Normas Técnicas Complementarias sobre criterios y Acciones para Diseño Estructural de las Edificaciones, “La seguridad de una estructura deberá verificarse para el efecto combinado de todas las acciones que tengan una probabilidad no despreciable de ocurrir simultáneamente, considerándose dos categorías de combinaciones”: a) Para las combinaciones que incluyan acciones permanentes y acciones variables, se considerarán todas las acciones permanentes que actúen sobre la estructura y las distintas acciones variables, de las cuales la más desfavorable se tomará con su intensidad máxima y el resto con su intensidad instantánea, o bien todas ellas con su intensidad media cuando se trate de evaluar efectos a largo plazo. Para la combinación de carga muerta más carga viva, se empleará la intensidad máxima de la carga viva de la sección 6.1, considerándola uniformemente repartida sobre toda el área. Cuando se tomen en cuenta distribuciones de la carga viva más desfavorables que la uniformemente repartida, deberán tomarse los valores de la intensidad instantánea especificada en la mencionada sección; y b) Para las combinaciones que incluyan acciones permanentes, variables y accidentales, se considerarán todas las acciones permanentes, las acciones variables con sus valores instantáneos y únicamente una acción accidental en cada combinación.

“Los efectos de ambos componentes horizontales del movimiento del terreno se combinarán tomando, en cada dirección en que se analice la estructura, el 100 por ciento de los efectos del componente que obra en esa dirección y el 30 por ciento de los efectos del que obra perpendicularmente a ella, con los signos que resulten más desfavorables para cada concepto.” En conclusión, las combinaciones de carga que exigen las NTC quese consideren en el análisis son las siguientes: 1.4 (CM) + 1.4 (CVmax) 1.5 (CM) + 1.5 (CVmax) Para estructuras del Grupo A 1.1 (CM) + 1.1(CVinst) + 1.1 (Sis X) + 0.33 (Sis Z) La mayor parte de los programas computacionales de análisis estructural, tienen precargadas 30 a mas combinaciones de carga; por lo cual es indispensable verificar que entre ellas se encuantren las dos anteriores. Nota: Algunos Reglamentos de construcción especifican que además se debe considerar (sumar) la acción sísmica de una componente vertical. Por ejemplo, el Reglamento de Construcciones del Estado de Michoacán especifica en su Artículo 425: […] Adicionalmente , en construcciones localizadas en las zonas sísmicas C y D del Estado de Michoacán, se considerará la acción de una componente vertical cuya seudoaceleración sea igual a 0.5 en la zona C y 0.75 en la zona D, de la mayor seudoadeleración horizontal de la construcción […] Existen pocos programas computacionales de análisis estructural en el mercado, que permitan combinaciones de carga con componentes sísmicos horizontales y verticales. Un programa que lo permite es el Ram Advanse.

Además, es importante considerar el apartado 8.7 (Efectos Bidireccionales) de las NTC-Sismo que especifica:

67


Capítulo IV REVISIÓN DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO REFORZADO Y MAMPOSTERÍA A continuación exponemos la revisión de estructuras de concreto existentes. Con estos métodos, podemos evaluar la resistencia de elementos existentes; además del diseño y cálculo de los elementos de mampostería más comunes en el medio edilicio, al inicio abarcamos el cálculo por esfuerzos lo cual permite tener las herramientas para calcular y diseñar sobre construcciones existentes, además de darnos las herramientas fundamentales para el cálculo de cualquier elemento, pues como sabemos todo se reduce a los esfuerzos fundamentales. El concreto es una mezcla de cemento, agregados inertes (grava y arena) y agua. Esta mezcla construye una piedra artificial de gran dureza y resistencia, pero al mismo tiempo muy frágil ante la tensión, aunque su resistencia a la compresión es muy aceptable en comparación con su bajo costo de construcción. La baja resistencia (casi nula) a la tensión hace necesario incluir acero de refuerzo en las zonas en las cuales existe la tensión, esto es lo que conocemos como concreto reforzado. El acero que se utiliza para el refuerzo, por lo general viene en barras sólidas corrugadas (para mejorar la adhesión) con un límite de fluencia de 4,200 kg/cm2 (42 MPa). Aunque el acero de refuerzo también es utilizado en las zonas de compresión para aumentar la resistencia y hacer secciones cada vez más esbeltas, pero con mayor porcentaje de acero, es decir, más dúctiles. Por lo tanto, primero exploraremos, desde la perspectiva estructural, las características de los materiales que componen el concreto reforzado.

a) Materiales Introducción La elaboración de elementos estructurales de concreto reforzado, implica muchos procesos, que aunque en parte pueden ser industrializados, no pueden dejar de

tener un alto componente de procesos manuales. La correcta elaboración del mismo es fundamental para garantizar las propiedades mecánicas con las que será calculado, así como su vida útil de trabajo. Hoy día existe una gran cantidad de literatura científica sobre el tema, por lo cual aquí esbozaremos los puntos más importantes que cualquier diseñador estructural debe considerar para garantizar el cumplimiento de las características mecánicas del concreto: a) Mecanismo DEF. El mecanismo del “Delayed Ettringite Formation” (DEF), o Formación Retardada de Etringuita, es una de los principales problemas a que se deben cuidar en la elaboración del concreto. La “Etringita” o sulfoaluminato de calcio, se encuentra en todos los concretos fabricados con cemento Pórtland. Las fuentes de sulfato de calcio, como el yeso, son agregadas al cemento Pórtland para prevenir el rápido fraguado y para mejorar el desarrollo de su resistencia. Los sulfatos también están presentes en materiales cementantes suplementarios y en los agregados. El yeso y otros compuestos sulfatados reaccionan con el aluminato de calcio en el cemento para formar etringita dentro de las primeras horas después de mezclarse con agua. Básicamente todos los sulfatos en el cemento son normalmente consumidos para formar etringita en 24 horas. La formación de etringita resulta en un aumento del volumen en el concreto fresco. Pero debido a la propia condición plástica del concreto, esta expansión no es dañina y pasa desapercibida. Existen varias formas de perturbación de la etringita, que provocan una aceleración en el rango en el que la etringita deja su posición original en el mortero, reconvertirse en una solución y recristalizarse en mayores volúmenes que provocan oquedades o fisuras. La condición más común es el llamado mecanismo DEF (Delayed Ettringite Formation). El mecanismo DEF, se refiere a una condición asociada con el calor del concreto. Cuando la temperatura del concreto supera los 70°C durante el curado del mismo, se produce una expansión y fisuración del mismo provocado por la expansión de la etringita al recristalizarse, ya que el calor descompone todas las formaciones iniciales de etringita y retiene fuertemente los hidratos de sulfato y calcio del mortero. La Federal Higway Administration (FHWA) y la Portland Cement Association (PCA) han documentado ampliamente como el mecanismo DEF provoca la fisuración a edades tempranas en concreto masivo

68

debido a las diferencias de temperatura (y por tanto dureza) entre el concreto de la superficie (en contacto directo con el colado) y el concreto confinado en el interior. b) Oxidación del refuerzo. Acorde con las últimas investigaciones de la Portland Cement Association (PCA), la corrosión del acero de refuerzo es la mayor causa de deterioro en el concreto. Cuando el acero se corroe, la herrumbre resultante ocupa un mayor volumen que el acero inicialmente. Esta expansión provoca un esfuerzo de tensión en el concreto, que eventualmente causa agrietamiento y desprendimiento del recubrimiento. La exposición del concreto reforzado a iones de Cloruro es la causa primordial de la prematura corrosión del acero de refuerzo. El contenido de cloruro en los agregados acelera esta corrosión. Ningún otro contaminante ha sido tan extensamente documentado en la literatura científica como causa de corrosión de metales como el Cloruro. Está plenamente documentado que el riesgo de corrosión aumenta en proporción al aumento de cloruro en el concreto. En un concreto nuevo con un pH promedio de 12 a 13, tan solo de 7,000 a 8,000 partes por millón (ppm) de cloruros se requieren para comenzar la corrosión del acero embebido. Por lo cual, todas las pruebas de calidad contemporáneas, incluyen el seguimiento de la cantidad de cloruro y otros agentes químicos similares.

En el gráfico superior podemos apreciar el mecanismo del proceso electroquímico de la corrosión del del acero de refuerzo embebido en el concreto (Fuente: ACI-Comité 222, Durabilidad del Concreto).

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras generales todas exigen la medición de los siguientes factores: a) Requisitos de los Componentes, donde se verificará la calidad del Cemento Pórtland; la calidad de los Agregados Pétreos; la calidad del Agua; y la calidad de los Aditivos; b) Revenimiento; c) Temperatura; d) Resistencia, acorde con otra norma de Muestreo de Concreto Hidráulico; y serán probados conforme a los procedimientos de Resistencia a la Compresión Simple de Cilindros de Concreto, y Resistencia a la Tensión de Cilindros de Concreto. Cuando sea necesario determinar el Índice de Rebote, se realizará la prueba descrita en alguna norma de Índice de Rebote del Concreto mediante Esclerómetro; e) Volumen. La masa volumétrica se determinará en el concreto fresco.

En el gráfico superior podemos apreciar el cambio volumétrico que experimenta el acero durante este proceso. Nótese que su volumen aumenta 650% (Fuente: ACI-Comité 222, Durabilidad del Concreto).

e) Durabilidad del Concreto. El cabal cumplimiento de los puntos anteriores, mas un adecuado recubrimiento del acero de refuerzo, son los factores que garantizan un adecuada vida útil del concreto reforzado

Esta clasificación, aunque todavía se continúa utilizando, esta siendo rápidamente remplazada por por la Norma Mexicana NMX-C-414-ONNCCE-1999, que parte de la siguiente nomenclatura: CPO: Cemento Portland Ordinario CPP: Cemento Portland Puzolánico CPEG: Cemento Portland con Escoria Granulada de alto horno CPC: Cemento Portland Compuesto CPS: Cemento Portland con humo de Sílice CEG: Cemento con Escoria Granulada de alto horno Además existen las siguientes características especiales que se pueden añadir:

Adicionalmente, se puede incluir una subclasificación con base en su resistencia mecánica a la compresión a los 28 días de 20, 30 o 40 N/mm2 (1 N/mm2 = 1 MPa = 10 kg/cm2); así como una resistencia mecánica a la compresión a los 3 días, que se denomina agregando la letra R (de rápido), para esta subclasicificación únicamente se especifican los valores 30R y 40R 2 (N/mm ). El Cemento Tradicionalmente se ha clasisificado al cemento portland en cinco tipos diferentes:

d) Normas de Calidad. Existen diversas normas nacionales (NMX y N-CMT) e internacionales (ASTM) que regulan la calidad del concreto, y en términos

Es apropiado para obras que esten en contacto con el agua, tanto normal, como salada y residual

RS: Resistente a los Sulfatos BRA: Baja Reactividad álcali-agregado BCH: Bajo Calor de Hidratación B: Blanco

c) Reacciones Alcali-Silicatos. Controlar la cantidad de Álcalis en el concreto es de fundamental importancia para la durabilidad del mismo. Las reacciones álcaliagregados son procesos fisicoquímicos, en donde los hidróxidos alcalinos presentes en el cemento, agregados, o aportados por medio ambientes severos (principalmente salinos), reaccionan con los carbonatos, silicatos y sílice también presentes en los elementos constituyentes del concreto, formando reacciones que el caso de los silicatos y sílice son de carácter expansivo.

En la fotografía derecha podemos observar un caso de fisuración de concreto por reacciones álcali-silicatos, y en la fotografía izquierda, la microformación de partículas de sílice, que lo ocasionaron. (Fuente: ACI-Comité 222, Durabilidad del Concreto).

V. Resistente a los sulfatos

Tipo I. Normal II. Modificado III. Rápida resistencia alta IV. Bajo calor

Caracteríasticas Cemento portland ordinario Tiene moderado calor de hidratación y moderada resistencia a los sulfatos. Puede alcanzar su resistencia de diseño en menos de los 28 días Muy bajo calor de hidratación, por lo tanto es recomendable para obras muy voluminosas.

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Por ejemplo, nos podemos encontrar con las siguientes nomenclaturas: CPO 40R = Cemento portland ordinario con una resistencia mecánica de 40 MPa a los 3 días. CPO 40 B = Cemento portland ordinario con una resistencia mecánica de 40 MPa a los 28 días, blanco. CPC 30R RS = Cemento portland compuesto con una resistencia mecánica de 30 MPa a los 3 días, resistente a los sulfatos. CPP 30 RS = Cemento portland puzolánico con una resistencia de 30 MPa a los 28 días, resistente a los sulfatos.

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras CPEG 30 RS = Cemento portland con escoria granulada de alto horno, una resistencia de 30 MPa a los 28 días, resistente a los sulfatos. CPP 30 BRA/BCH = Cemento porland puzolánico con una resistencia de 30 MPa a los 28 días, baja Reactividad álcali-agregado, y bajo calor de hidratación. El CPO es aconsejable para usos generales, cuando se requiere una mayor protección del acero de refuerzo contra la corrosón, para concreto pretensado, para prefabricación y para concretos de alta resistencia. Cuando se agrega 30R o 40R se usa para descimbrados rápidos o muy rápidos.

Se debe garantizar el cumplimiento de las nornas de calidad del cemento portlan, ya sea por un Certificado de Calidad expedido por el fabricante, o en su defecto, por las pruebas realizadas por el constructor, y ambos deben contener por lo mínimo los siguientes resultados: a) Composición del Cemento; b) Resistencia a la Compresión, (inicial y normal); c) Tiempo de Fraguado (inicial y final); d) Estabilidad de Volumen (expansión y contracción); e) Actividad Puzolánica; f) Expansión por ataque de sulfatos; g) Expansión por Reacción ÁlcaliAgregado; h) Calor de Hidratación; i) Blancura.

el Método Químico, Reactividad Potencial de Agregados mediante Barras de Mortero, Reactividad Potencial de los Agregados mediante el Método del Cilindro de Roca, Efectividad de Aditivos Minerales para Evitar una Expansión Excesiva del Concreto). “Requisitos de Calidad de los Agregados Gruesos”, de la norma N-CMT-2-02-002/02. Donde se debe contener los siguientes resultados: a) Granulometría, b) Material que pasa la Malla no. 200 (0.075 mm), c) Contenido de Sustancias Perjudiciales, (Sanidad de los Agregados mediante Sulfato de Sodio o de Magnesio, Resistencia a la Degradación del Agregado Grueso mediante la Máquina de los Ángeles, Resistencia del Concreto a Congelación y Deshielo); d) Reactividad con los Álcalis del Cemento; e) Masa Volumétrica (Masa Específica de los Agregados); f) Intemperismo Acelerado, (Sanidad de los Agregados mediante Sulfatos de Sodio o de Magnesio, Resistencia del Concreto a Congelación y Deshielo); g) Resistencia al Desgaste (Resistencia a la Degradación del Agregado Grueso mediante la Máquina de los Ángeles); h) Reactividad de los Agregados Finos y Gruesos, (Reactividad Potencial de Agregados mediante el Método Químico, Reactividad Potencial de Agregados mediante Barras de Mortero, Reactividad Potencial de los Agregados mediante el Método del Cilindro de Roca, Efectividad de Aditivos Minerales para Evitar una Expansión Excesiva del Concreto).

Impurezas en Solución (máx. 3 500 ppm) (Impurezas en Solución en el Agua); j) Grasas o Aceites (máx. 0 ppm) (Aceite, Grasa y Sólidos en Suspensión en el Agua); k) Materia Orgánica (máx. 150 ppm), (Materia Orgánica en el Agua); y l) Potencial de Hidrógeno (pH) (máx. 6 ppm), (Potencial de Hidrógeno [pH] en el Agua).

Los Aditivos

Las Varrillas de Refuerzo “Pruebas Físicas del Acero de Refuerzo”, que deben contener los valores siguientes: a) Resistencia a la Tensión, (Resistencia de la Tensión de Productos Metálicos); b) Alargamiento, (Resistencia de la Tensión de Productos Metálicos). “Inspección Metalúrgica Macroscópica”, que contenga los resultados siguientes: a) Grietas de laminación radiales o tangenciales; b) Traslapes o lajas y defectos superficiales con reducción de área; c) Tubo de laminación o repuche; d) Grietas de enfriamiento; e) Inclusión de materia contaminante; f) Porosidad.

El Agua

Los Agregados Pétreos

“Requisitos de Calidad de los Agregados Finos”, de la

norma N-CMT-2-02-002/02. En donde se deben obtener los siguientes resultados: a) Granulometría, b) Módulo de finura; c) Material que pasa la malla no. 200 (0.075 mm), d) Contenido de Sustancias perjudiciales, (Terrones y Partículas Deleznables en los Agregados); e) Contenido de Impurezas Orgánicas, f) Reactividad con los Álcalis del Cemento; g) Intemperismo Acelerado, (Sanidad de los Agregados mediante Sulfatos de Sodio o de Magnesio), (Resistencia del concreto a Congelación y Deshielo); h) Reactividad de los Agregados Finos y Gruesos (Reactividad Potencial de Agregados mediante

norma N-CMT-2-02-003/02 (Calidad del Agua para Concreto Hidráulico) de la SCT, que a su vez especifica se debe garantizar el cumplimiento de todos los valores siguientes: a) Sólidos en Suspensión en Aguas Naturales (máx. 2,000 ppm), (Aceite, Grasa y Sólidos en Suspensión en el Agua); b) Sólidos en Suspensión en Aguas Recicladas (máx. 50,000 ppm), (Aceite, Grasa y Sólidos en Suspensión en el Agua); c) Contenidos de Cloruros (Cl) (máx. 700 ppm), (Cloruros en el Agua); d) Contenidos de Sulfatos (SO4) (máx. 3,000 ppm), (Sulfatos en el Agua); e) Contenido de Magnesio (Mg++) (máx. 100 ppm), (Magnesio en el Agua); f) Contenido de Carbonatos (CO3) (máx. 600 ppm), (Carbonatos y Bicarbonatos Alcalinos en el Agua); g) Bióxido de Carbono Disuelto (CO2) (máx. 5 pppm); h) Álcalis Totales (Na+) (máx. 300 ppm), (Álcalis en el Agua); i) Total de

70

b) Carga axial La compresión pura es lo que conocemos como “carga axial”, es decir una fuerza que se aplica a un miembro estructural exactamente en coincidencia con su centroide o eje principal. En este caso la tendencia del elemento es a encogerse hasta fallar; es decir, cuando se resquebraja en la dirección de los esfuerzos aplicados. Pero en la realidad esto nunca sucede por dos circunstancias. En primer lugar, porque los ejes o centroides de la carga, y del elemento resistente, nunca coinciden, en vista de que el proceso constructivo de los elementos o de montaje de éstos, se puede describir como bastante imperfecto. En segundo lugar, porque un elemento sujeto a compresión como una columna, difícilmente está solo,

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras siempre esta interactuando con otros elementos constructivos, que al funcionar como sistema le transmiten esfuerzos de flexión. El simple hecho de que los ejes de carga no coincidan, produce necesariamente un momento de volteo, que provoca lo que conocemos como pandeo. Aunque éste último no únicamente depende de las excentricidades de la carga respecto al elemento resistente, sino también respecto a la relación de esbeltez del miembro. Es decir, entre mayor sea el largo del elemento respecto a su ancho, mayor es la posibilidad de que este elemento sufra pandeo, o lo que conocemos como pandeo local. Notación Ag (cm2): área total de la sección Ac (cm2): área del núcleo de concreto confinado por el refuerzo helicoidal. 2 f’c (kg/cm ): resistencia del concreto 2 fy (kg/cm ): esfuerzo de fluencia del acero (4200 más común en México) 2 As (cm ): área de acero del refuerzo longitudinal Ps (adimensional): cuantía volumétrica del refuerzo helicoidal Ae (cm2): área del alambre helicoidal s (cm): paso (separación del refuerzo helicoidal) d (cm): diámetro del elemento dn (cm): diámetro del núcleo Fórmulas 1. Concreto simple

Po  0.85   f ' ' c  Ag  2. Concreto con refuerzo longitudinal y recubrimiento

Po  0.85 f ' ' c  Ag  As  fy  En donde: 0.85 es el factor de esbeltez para columnas rectangulares o helicoidales. Es decir, es la posibilidad de que la columna se pandee y falle antes de alcanzar su resistencia máxima. Esta posibilidad es del 15%, por esta razón todas la ecuaciones se multiplican por 0.85. En el caso de columnas rectangulares, el refuerzo transversal (estribos) no se considera dentro de la resistencia de los elementos (aunque constructivamente son necesarios), ya que no alcanzan a confinar el núcleo de concreto de la columna; lo cual no sucede con las helicoidales, en éstas, la hélice sí llega a confinar el centro de la columna y aumenta bastante su resistencia.

3.

Concreto simple con refuerzo helicoidal, sin recubrimiento

Po  0.85 f ' ' c  Ac  2 Ps  fy  Ac  4  Ae En donde: Ps  sd

4. Concreto con refuerzo longitudinal y helicoidal, con recubrimiento. (Se elige el menor de los resultados de las siguientes ecuaciones)

Po  0.85 f ' c  Ag  As  fy  Primer máximo Po  0.85 f ' c  Ac  As  fy  2  Ps  fy  Ac 

Segundo máximo Para las columnas helicoidales se debe verificar que el refuerzo helicoidal esté lo suficientemente ancho y separado entre sí para funcionar confinando el núcleo de concreto. Esto se verifica cerciorándose que la relación de refuerzo helicoidal (Ps) no sea menor que los resultados de las dos siguientes ecuaciones:

Ps >

Ag  f ' c  0.45  1   Ac  fy  f 'c 0.12  fy

En caso de que Ps sea memor que cualquiera de los resultados de las anteriores ecuaciones se debe aumentar el diámetro del acero utilizado para la hélice, disminuir la separación de la hélice (s), o ambas, hasta que se cumpla con la regla.

Nota: si se requiere mayor precisión en la revisión de la resistencia a compresión, podemos recurrir al Teorema de Euler (modificado):

P

2 E  KL     r 

2

En donde: E (cm3): Módulo de elasticidad ( 12000

f ć para el

concreto reforzado) I (cm4): Momento de inercia L (cm): Altura de la columna K (adim.) Factor de longitud efectiva (ver anexos) r (cm): Radio de la sección transversal Ejemplo 1. Calcular la resistencia de una columna de 30 x 40 cm y refuerzo longitudinal de 6 barras del # 8, f’c= 300 kg/cm2. Datos f’c=300 kg/cm2 fy=4200 kg/cm2 As=30.42 cm2 (1 varilla #8 tiene un área de 5.07 x 6 = 30.42) Ag=1200 cm2 (lado por lado= 30x40 cm) Constantes Como f’c >250 se utilizan las siguientes ecuaciones: f * c  0.8  f ' c = 240 kg/cm2

f *c  f ' ' c  1.05    f * c = 205 kg/cm2 1250   Cálculo de la resistencia

Po  0.85 f ' ' c  Ag  As  fy 

En este ejemplo, podemos ver una columna rectangular con armado de varillas de la misma forma, y una rectangular, con armado helicoidal. Esta última, si la hélice cumple las características necesarias, resistirá mucho más que la otra.

Po=317,699 kg Ejemplo 2 Calcular la resistencia de una columna con refuerzo helicoidal de 30 cm de diámetro interior y 35 cm de diámetro exterior; el refuerzo longitudinal es de 6 varillas del # 8, la hélice es del número 3, y el paso es de 5 cm. El concreto es de f’c= 250 kg/cm2.

71

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Datos f’c= 250 kg/cm2 d= 35 cm 2 fy= 4200 kg/cm dn= 30 cm As= 30.42 cm2 s= 5 cm Constantes (como fć < 250 se utilizan las siguientes ecuaciones) f * c  0.80  f ' c = 200 kg/cm2

f ' ' c  0.85  f * c = 170 kg/cm 4  Ac = 0.016 Ps  sd Ag    r 2 = 962.13 cm2 Ac    r 2 = 706.85 cm2

2

Revisión de la sección helicoidal

Ag  f ' c  = 0.009 < 0.016 0.45  1   Ac  fy  f 'c 0.12  = 0.007 < 0.016 fy Ps > 0.01 y 0.007 Por tanto sí cumple la condición Cálculo de la resistencia a)

Primer máximo

Po  0.85   f ' ' c  Ag  As  fy 

Po= 247,627 kg b)

Segundo máximo

Po  0.85   f ' ' c  Ac  As  fy  2  Ps  fy  Ac 

Po= 342,928 kg Se considera el menor Po= 247627 kg Método Alternativo Una buena referencia para poder determinar la correcta sección de acero en una columna de concreto, la podemos obtener de las siguientes ecuaciones acero mínimo y máximo:

As total  fy  0.10  Ag  f ´ć

Acero mínimo

As total  fy  1.0  Ag  f ´ć

Acero máximo

c) Revisión sísmica de elementos a compresión La fuerza sísmica la podemos conceptuar como un empuje lateral sobre cualquier estructura que provoca en ésta una deformación y/o desplazamiento. Este empuje lateral (horizontal) es proporcional a la gravedad, siempre tiene una magnitud regular, ya que la aceleración es proporcional a la fuerza, es decir, a cada fuerza (lateral) le corresponde una aceleración determinada, y como la aceleración la proporcionan los elementos contextuales (gravedad) es constante. La fuerza sísmica es producto de multiplicar la masa (en este caso el peso) por la aceleración (F=m*a), que se considera como un coeficiente sísmico. Por ejemplo en la ciudad de México el más alto coeficiente es 0.40, lo que significa que si en nuestro ejemplo la columna del primer piso carga 100 toneladas, el empuje lateral será de 40 toneladas. Lo que tenemos que revisar es que el desplazamiento que tenga el elemento respecto a la posición original (delta) no exceda de ciertos parámetros; en este caso un parámetro indicado es la mitad de la base menor del propio elemento. Por ejemplo si nuestra columna es de 40 x 50, el desplazamiento no puede ser mayor de 20 cm.

Notación  (cm): flecha de desplazamiento del elemento P (kg): peso total sobre el elemento Ps (kg): peso sísmico o empuje lateral (horizontal) Cs: coeficiente sísmico (ver anexo de coeficientes sísmicos) L (cm): longitud del elemento E (kg/cm2): módulo de elasticidad del material 4 I (cm ): momento de inercia b (cm): base de la sección h (cm): altura de la sección d (cm): diámetro de la sección (si es circular)

72

Fórmulas



Ps  P  Cs

Ps  L3 3 E  I

donde  debe ser menor que 0.5 b En donde:

b  h3 Sección rectangular 12 d4 I Sección circular 64 E  10,000  f ć Concreto simple I

E  14000 f ć

Concreto reforzado

E= 2,100,000 Acero de alta resistencia E= 2,040,000 Acero estructural E= 55,000 Madera (coníferas) E= 120,000 Madera (latifoliadas) E=105,000 Madera (contrachapeada) Ejemplo Revisar si una columna de 40 x 40 cm y 5 mts de altura que carga 220 ton puede resistir su correspondiente fuerza sísmica, se encuentra ubicada en el centro de la ciudad de México. Datos P= 220000 kg Cs=0.40 b=40 cm Módulo de elasticidad

E  14,000  f ć Momento de inercia

b  h3 I 12

h=40 cm L=500 cm fć=250 kg/cm2 E=189,736 kg/cm2

I=213,333 cm4

Empuje lateral

Ps  P  Cs

Ps=88,000 kg

Flecha de desplazamiento ()




Ps  L3 3 E  I

=90.58 cm > 0.5 x 40 cm de base Por lo tanto no pasa.

Nota: para que la sección soportara el esfuerzo lateral, se necesitaría que fuera minimamente de 50 x 50 cm.

d) Muros de concreto Los muros tanto de concreto como de mampostería tienen la propiedad de repartir la carga que soportan uniformemente por el largo del muro, por lo cual se calcula una franja de un metro de ancho, dividiendo anteriormente todo el peso que soporta entre el largo del muro, para obtener el peso por metro lineal. Notación Pu (kg): resistencia última a compresión por unidad de medida Ag (cm2): área total de la sección resistente fć (kg/cm2): resistencia del concreto Fr: factor de reducción de la resistencia (0.7) c: factor reductivo por excentricidades y esbeltez que tiene los siguientes valores: 0.7 Muros interiores que soporten claros que no difieran en más de 50% 0.6 Muros extremos o con claros asimétricos y para casos en que la relación de cargas muertas excede de uno. 0.8 Muros que estén ligados a muros transversales con una separación no mayor de 3 mts 0.7 Muros que estén ligados a muros transversales con una separación mayor de 3 mts. F*m (kg/cm2): resistencia en compresión de la mampostería. Ésta varía dependiendo de las propiedades de fabricación y composición de las piezas, pero se puede considerar una resistencia conservadora de 150 kg/cm2 tanto para tabique rojo recocido, tabicón, block hueco de concreto y vidriado. Fórmulas

Pu  Fr  c   f ´ć  Ag 

Ejemplo Calcular si un muro de concreto de 10 cm. de espesor, fć= 250 kg/cm2, al cual llegan muros transversales separados a 5 mts., soportará una carga de 1500 kg/ml.

P=1500 kg/ml fć=250 kg/cm2 2 Ag=1,000 cm (10 x 100)

c=0.7 Fr=0.7

Constantes

f * c  0.80  f ' c = 200 kg/cm2 f ' ' c  0.85  f * c = 170 kg/cm2

Cálculo de la resistencia

Pu  Fr  c   f ´ć  Ag 

Pu=83,300 kg  1,500 kg

OK

e) Muros de mampostería En el gráfico podemos observar el comportamiento isostático de un muro de mampostería, es decir como se distribuyen los esfuerzos (mayormente de compresión) dentro del muro. Como se puede observar la distribución de esfuerzos tiende a ser bastante uniforme, aún cuando existan cargas puntuales o la carga no sea axial, el muro tiende a repartir el esfuerzo de forma uniforme. Esto se debe básicamente a las buenas propiedades mecánicas de la mampostería y al acomodo de las piezas (traslapado).

Por esta razón la adecuada selección de las piezas a utilizar y la correcta construcción del muro son factores indispensables. En el gráfico también podemos observar el tipo de afectación que sufren las trayectorias de los esfuerzos cuando en el muro existen vanos (ventanas o puertas). El esfuerzo tiende a fluir al rededor de los vanos y se libera al pasarlos. Esto provoca una gran concentración de esfuerzos alrededor de los vanos que puede rápidamente visualizarse como grietas que parten del vano. Las soluciones con base a castillos y dalas bordeando los vanos, suelen darle al muro una mayor estabilidad ante esta concentración de esfuerzos.

Datos

Notación Pr (kg): resistencia de diseño a compresión de un muro de mampostería por unidad de medida (ml) At (cm 2): área neta del muro por unidad de medida (ml) Fr: factor de reducción de la resistencia (0.6) c: factor reductivo por excentricidades y esbeltez que tiene los siguientes valores: 0.7 Muros interiores que soporten claros que no difieran en más de 50% 0.6 Muros extremos o con claros asimétricos y para casos en que la relación de cargas muertas excede de uno. 0.8 Muros que estén ligados a muros transversales con separación no mayor de 3 mts 0.7 Muros que estén ligados a muros transversales con separación mayor de 3 mts. F*m (kg/cm2): resistencia en compresión de la mampostería. Ésta varía dependiendo de las propiedades de fabricación y composición de las piezas, pero se puede considerar una resistencia conservadora de 150 kg/cm2 tanto para tabique rojo recocido, tabicón, block hueco de concreto y vidriado. Resistencia a Compresión de Mampostería de Tabiques de Barro recocido (NTC) F*p (kg/cm2) F*m (kg/cm2) Mortero I Mortero II Mortero III 60 20 20 20 75 30 30 25 100 40 40 30 150 60 60 40 200 80 70 50 300 120 90 70 400 140 110 90 500 160 130 110 Resistencia a Compresión de Mampostería de Tabiques de Concreto (NTC) F*p (kg/cm2) F*m (kg/cm2) Mortero I Mortero II Mortero III 100 50 45 40 150 75 60 60 200 100 90 80 Resistencia a Compresión de Mampostería para algunos tipos de piezas (NTC) Tipo de Pieza F*m (kg/cm2) Mortero I

73

Mortero II

Mortero III

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Tabique de Barro recocido (60 kg/cm2) Tabique de Barro con huecos verticales (120 kg/cm2) Bloque de concreto pesado (100 kg/cm2) Tabique de concreto (Tabicón) (100 kg/cm2)

15

15

15

40

40

30

20

15

15

20

15

15

Nota: Para ver las características de los Tipos de Mortero, ver el Anexo de este Manual.

Formulas

Pr  Fr  c  F * m  Ag 

Ejemplo Revisar la resistencia de un muro de TRR 6-12-24, externo, que carga 2,100 kg/ml. Datos P=2,100 kg/ml f*m=150 kg/cm2 Fr=0.6 Ag=1200 cm2 (12x100) c=0.6 Cálculo de la resistencia

Pr  Fr  c   f * c  Ag 

Pr=64,800 kg  2,100 kg

OK

f) Revisión sísmica de muros La revisión sísmica de un muro pretende establecer la constante  (Delta) real y compararla con los esfuerzos admisibles que provocaría. Como en cualquier elemento constructivo, dicha constante es la fuerza requerida para desplazar en la parte alta una unidad de longitud, en este caso la base. Tal desplazamiento o deflexión del muro puede causarse por la flexión que como fruto del momento experimenta al trabajar como una ménsula apoyada en el terreno (y´), y por la deformación que sufre debido a los esfuerzos cortantes (y´´), o ambas simultáneamente (y).

movimiento sísmico en una sola dirección. Podemos fácilmente deducir que el muro cuyo lado largo está en la dirección del movimiento opone más resistencia (y´) que el otro (y´´), por esta razón en las estructuras basadas en muros de carga deben existir muros perpendiculares unidos entre sí. Esto proporcionará una resistencia del sistema como un todo y disminuye los efectos sísmicos en los muros menos favorecidos.

Notación P (kg): peso total sobre el muro Ps (kg): empuje lateral (horizontal) Cs: coeficiente sísmico y´(cm): deflexión debida a momento y´´(cm): deflexión debida a cortante y (cm): deflexión total h (cm): altura del muro L (cm): largo del muro b (cm): ancho del muro E (kg/cm2): módulo de elasticidad, se toma un valor conservador de 20,000 kg/cm2 para mampostería y 14,000 fć, para concreto reforzado. G (kg/cm2): módulo de rigidez (0.45) I (cm4): momento de inercia de la base del muro Fórmulas

Ps  P  Cs

bL 12 Ps  h 3 y´ 3  E  I  I

3

y´´

Deflexión total

y  y´ y´´

que debe ser menor que b

Ejemplo 1 Revisar la resistencia a compresión y sísmica de un muro de concreto exterior de 7 cm de espesor, 5.5 mts de largo y 2.3 de altura, fć=250 kg/cm2 y un peso uniforme de 2,700 kg/ml. Datos P=2,700 kg/ml fć=250 kg/cm2 Ag=700 cm2 (7x100) c=0.6 Fr=0.7

En el gráfico podemos observar dos muros, sometidos a un

Ps  h L bG  E

b=7 cm L=550 cm h=230 cm G=0.45 Cs=0.40

Constantes

74


E  14,000  f ć = 221,359.43 kg/cm2 Resistencia a la compresión

Pu  Fr  c   f ´ć  Ag 

Pu=49,980 kg > 2,700 kg

OK

Revisión sísmica

I

b  L3 12

= 97´052,083.33 cm

4

Peso total (Pt)= 2,700 x 5.5 = 14,850 kg Ps 5,940 kg.

Ps  h 3 = 0.0011 3  E  I  Ps  h = 0.0032 y´´ L bG  E

 Pt  Cs =

y´

y = y´ + y´´ = 0.0043cm < b

OK

Ejemplo 2 Revisar la resistencia a compresión y sísmica de un muro de TRR 6-12-24, interior de 7 mts de largo y 2.5 mts de altura que soporta un peso uniformemente repartido de 3,100 kg/ml. Datos P=3,100 kg/ml Ag=1,200 cm2 (12x100) c=0.7 Fr=0.6 b=12 cm

L=700 cm h=250 cm G=0.45 Cs=0.40 E=20,000 kg/cm2 2 f*m=150 kg/cm

Resistencia a compresión

Pr  Fr  c   f * m  Ag 

Pr= 75,600 kg > 3,100 kg Revisión sísmica

OK


b  L3 I 12

= 343´000,000 cm

2. Muros sujetos a cortante (zonas sísmicas) Límite acorde al UBC h  14  t

4

Peso total (Pt)= 3,100 x 7 = 21,700 kg 8,680 kg

Ps  Pt  Cs =

Ps  h = 0.0065 3  E  I  Ps  h = 0.0029 y´´ L bG  E y´

3

y = y´ + y´´ = 0.035cm < b

3.

Muros de Block de concreto

h  20  t

Límite acorde al UBC

de la iglesia de la Atlántida (Eladio Dieste, Uruguay), en donde el autor curva los muros de carga, provocando así un enorme momento de inercia, que posibilita la gran altura del edificio, sin tener que recurrir a ningún refuerzo adicional (castillos, dalas, etc). Además de ser un excelente ejemplo de las posibilidades plásticas de una estructura.

4.

Máxima distancia entre castillos y/o muros transversales Límite acorde al UBC L  36  t u

Práctica recomendada (Méx.)

OK

Lu  3mts

Problemas comunes en muros de carga

En este gráfico, se resumen las recomendaciones de refuerzo para estructuras de mampostería reforzada de las NTC del RCDF.

En la construcción de edificaciones cuya estructura sea de muros de carga, las NTC recomiendan: que los muros tengan una distribución sensiblemente simétrica con respecto a dos ejes ortogonales, la relación entre longitud y anchura de la planta del edificio no exceda de 2, y que la relación entre la altura y la dimensión mínima de la base del edificio no exceda 1.5.

DISEÑO DE LA ALTURA DE LOS MUROS Esta sección nos indica cuál debe ser la altura libre máxima para muros, dependiendo de su espesor, así como cual es la distancia recomendada entre castillos.

En estos ejemplos gráficos podemos observar lo delicados que son los muros de mampostería a la tensión. Diferentes problemas en el terreno ocasionan severos daños en estos. La mejor forma de evitarlos es con un correcto diseño de la cimentación, que pueda absorber hundimiento y deslizamientos diferenciales. Pero aún así los muros necesitan refuerzos para soportar esfuerzos de tensión, éstos siempre deben estar enmarcados por dalas de desplante, cerramientos y castillos.

Notación: h (cm): Altura máxima del muro t (cm): Espesor mínimo del muro Lu (mts): Máxima distancia sin castillos y/o muros transversales 1. Muros de carga y divisorios de mampostería Límite acorde al UBC h  25  t Práctica recomendada

h  18  t

En las ilustraciones superiores, se muestran modelos de muros

75

Como podemos apreciar en el grafico anterior, la separación entre castillos para muros de mampostería de piezas macizas es de hasta 4 mts o 1.5 veces la altura del entrepiso, deben existir castillos en las intersecciones en los bordes y en los perímetros de las abertura.

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras En el gráfico superior podemos apreciar que una abertura en un muro necesita de refuerzos en sus bordes si es mayor de 60 cm. Y ninguna abertura puede ser mayor del 50% del claro entre castillos, de lo contrario se necesita una trabe.

Las NTC tienen requisitos especiales para la mampostería hueca o multiperforada, que difieren de los criterios constructivos de los manuales de los fabricantes. Como podemos apreciar en el gráfico anterior, únicamente se acepta la utilización de piezas huecas cuando el área neta en el 50% o mayor que el área bruta de las piezas.

Al igual, las NTC recomiendan que en los muros las piezas huecas se utilicen exclusivamente para castillos o para alojar ductos e instalaciones; todas las demás piezas de preferencia deben ser multiperforadas. Al igual, como podemos apreciar en el gráfico superior, en los castillos se deben rellenar todas las celdas que de las piezas huevas que no coinciden con los huecos que forman el ducto y/o castillo, para igualar de esta forma el comportamiento estructural de los mismos.

76

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Como podemos apreciar en el grafico anterior en la mampostería hueca, los castillos deben etar espaciados a una distancia de 3 mts máximo, además de refuerzos verticales cada 80 cm, y refuerzos verticales cada 60 cm.

Ft  1.5  f ć  Ag  As  fy  Fras Como se puede observar, la resistencia del concreto a la tensión es casi nula, por las propiedades mecánicas del material, sobre todo su alta fragilidad. En el concreto reforzado la resistencia a la tensión la absorbe mayoritariamente el acero, pero aún así el concreto contribuye con un porcentaje bajo. Por esta razón se recomienda que se diseñen los elementos sujetos a tensión de tal manera que el acero soporte todo el peso y el concreto pueda ser utilizado como recubrimiento para la corrosión y el fuego.

En términos generales, las ecuaciones para determinar la resistencia de elementos sujetos a flexión verifican que el momento interno del miembro estructural sea mayor al momento flexionante producido por las cargas externas. Como es bien sabido, el concreto tiene una resistencia a la compresión bastante alta, no tanta como el acero, pero muy buena comparada con su bajo costo. Pero su resistencia a la tensión como se vio en el apartado anterior es casi nula, por lo cual se coloca acero de refuerzo en las áreas donde se presenta la tensión.

Ejemplo Calcular la resistencia a tensión de una sección de concreto reforzado de 30 x 30 cm y refuerzo longitudinal de 8 barras del #8, fć=250 kg/cm2. Los criterios para el refuerzo de aberturas son igual a las piezas macizas, como se aprecia en el grpafico anterior.

g) Tensión La tensión es el más puro de los esfuerzos, es contrario a la compresión, en el sentido de que la fuerza es aplicada a un miembro estructural de manera tal que tiende a alargarlo, por lo tanto, no existen excentricidades en la aplicación de esta fuerza, por lo que las ecuaciones para resolver la resistencia de miembros a tensión son casi lineales (la resistencia del material por la cantidad de material de la sección), únicamente se aplican factores de reducción de la resistencia de los materiales. Notación Ft (kg): resistencia del concreto a la tensión 2 fć (kg/cm ): resistencia del concreto 2 Ag (cm ): área total de la sección As (cm2): área de acero fy (kg/cm 2): esfuerzo de fluencia del acero Fras: factor de reducción para el acero en tensión (0.90)

Datos fć= 250 kg/cm2 2 fy= 4200 kg/cm 2 Ag= 900 cm (30 x 30 cm de lado) Cálculo de la resistencia

Ft  1.5  f ć  Ag  As  fy  Fras Ft= 174,662.1 kg

h) Flexión simple La flexión es una deformación que hace que un lado de la sección estructural sufra compresión y la opuesta tensión. Esto crea una distribución de esfuerzos que resultan en una par mecánico; este par mecánico es el momento flexionante interno del miembro.

Fórmulas 1. Concreto simple

Ft  1.5  f ć  Ag 2.

As= 40.56 cm2 Fras= 0.90

Concreto reforzado

77

En los gráficos superiores podemos apreciar el comportamiento de vigas en flexión. Notese en el primer gráfico que el eje neutro se localiza en el centro geométrico, dividiendo los esfuerzos de compresión (superiores) y de tensión (inferiores). En el segundo gráfico, al ser incorporado acero de refuerzo en la parte de tensión (que tiene mayor resistencia por unidad de medida), la ubicación del eje neutro se modifica.

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras También se puede determinar si la sección necesita acero a compresión con la siguiente ecuación:

M lim  0.3  f ´ć  b  d 2

En los gráficos superiores podemos apreciar muy bien, como funciona el mecanismo de la flexión. En este caso, como es una viga en cantiliber, la tensión se localiza en el lecho superior, y la compresión en el inferior.

Notación fć (kg/cm2): resistencia del concreto fy= (kg/cm2): esfuerzo de fluencia del acero Mn= (kg-m ó kg-cm): momento nominal Mr (kg-m ó kg-cm): momento resistente b (cm): base de la sección d (cm): peralte efectivo de la sección q (adimensional): índice del refuerzo p (adimensional): cuantía de acero As (cm2): área de acero Fr (adim.): factor de reducción de resistencia (0.9) Fórmulas 1. Momento nominal

Mn  b  d 2  f ´ć  q  1  0.5q 

En donde:

q 2.

p  fy f ´ć

p

As bd

si

M max  M lim

basta con dispones acero a tensión

si

M max  M lim

es necesario acero por compresión

El acero por compresión se calcula con la siguiente ecuación:

As comp 

Ejemplo Determinar la resistencia a flexión de una sección rectangular de 30 cm de base, 65 cm de altura y 5 cm de recubrimiento; armada con tres varillas del # 8 y fć = 200 kg/cm2. Datos fć=200 kg/cm2 fy= 4200 kg/cm2 As= 15.21 cm2

b= 30 cm h= 65 cm d= 60 cm (altura total – recub.)

Constantes

f * c  0.8  f ć = 160 kg/cm f ´ć  0.85  f * c = 136 kg/cm2 2

1.

Cálculo del momento nominal

Mn  b  d 2  f ´ć  q  1  0.5q 

En donde:

Momento resistente

Mr  Fr  Mn

p

As bd

= 0.0084

Método Alternativo

Mn= 3,311,549 kg-cm

El área de acero a tensión también puede calcularse con la ecuación:

2.

As 

M max  M lim 0.8  d  fy

M max 0.8  d  fy

q

p  fy = 0.259 f ´ć

Cálculo de momento resistente Mr  Fr  Mn = 2,980,394.2 kg-cm

En la imagen superior observamos el armado de una viga, con acero para resistir momentos negativos (derecha) y positivos (izquierda).

i) Cortante La fuerza cortante es una fuerza perpendicular a una sección estructural, provocada por la convergencia de dos fuerzas contrarias cuyos ejes no son concurrentes, sino paralelos. El concreto tiene una resistencia al cortante bastante aceptable, pero cuando el esfuerzo cortante es mayor al resistente de la sección entonces se coloca acero transversal (anillos o estribos) para absorber la diferencia. Notación fć (kg/cm2): resistencia del concreto 2 fy= (kg/cm ): esfuerzo de fluencia del acero b (cm): base de la sección d (cm): peralte efectivo de la sección p (adimensional): cuantía de acero As (cm2): área de acero Fr (adimensional): factor de reducción (0.80) Vc (kg): resistencia nominal a cortante del concreto Vcr (kg): resistencia de diseño a cortante del concreto Vsr (kg): resistencia de diseño a cortante del acero Vcsr (kg): resistencia total de diseño (concreto y acero) s (cm): separación entre estribos Fórmulas 1. Contribución del concreto si p<0.01 Vcr

En donde

As tension  fy  0.04  At  f ´ć

78





 Fr  0.20  30  p  f * c  b  d

si p > ó = 0.01

Asimismo, el área mínima de acero a tensión, puede evaluarse con la siguiente ecuación

En la imagen observamos una viga T, el patín extiende el área en compresión y su resultante se eleva, provocando que el peralte disminuya.



Vcr  Fr  0.5  f * c  b  d






p 2.

Fr= 0.8

j) Cimentaciones superficiales (mampostería)

Contribución del acero

Vsr  3.

Vcsr= 15,442.72 kg

As bd Fr  Av  fy  d s

En donde Fr= 0.85

Resistencia de diseño

Vcsr  Fr  Vcr  Vsr 

Método Alternativo También se puede evaluar la resistencia del concreto a cortante con la siguiente ecuación:

La creencia generalizada (dogmática) sobre la selección de una cimentación específica esta muy ligada a su tipología, y eso ciertamente es un error. Se cree que una casa habitación debe tener una cimentación corrida de mampostería (A), si la estructura es más pesada, entonces zapatas aisladas (B y C) aunque la utilización de zapatas aisladas en sistemas de muros de carga necesitan una trabe para repartir la carga entre zapatas (C), lo cual es excesivamente innecesario comparado con el bajo costo de poner una zapata corrida contra el peralte necesario de la viga. Si el edificio es más grande, entonces necesita zapatas corridas (d) y progresivamente losa de cimentación (E y F), e incluso cuando el edificio es mas grande una cimentación profunda como una sistema de cajones de substitución (G).

Vcr  0.5  f ´ć  b  d Ejemplo Calcular la resistencia de diseño a fuerza cortante de una viga libremente apoyada. La sección es de 30 x 50 cm, el armado es de 4 barras del # 6, los estribos son del # 3, separados a 10 cm. fć= 210 kg/cm 2. Datos fć= 210 kg/cm2 fy= 4200 kg/cm2 b= 30 cm d= 50 cm

As= 11.40 cm2 Av= 0.071 cm2 s= 10 cm Fr= 0.8

Constantes

f * c  0.85 f ć

=178.5 kg/cm

p

2

As bd

= 0.0076

1. Cálculo de la contribución del concreto como p < 0.01 utilizamos:





Vcr  Fr  0.20  30  p  f * c  b  d



Vcr= 7,375.4 kg 2. Cálculo de la contribución del acero

Vsr 

Fr  Av  fy  d s

3. Cálculo de la resistencia

Vsr= 11,928 kg

El principio básico de cualquier cimentación es que ésta amplía la base de los elementos estructurales para igualar el peso de la estructura transmitida por unidad de superficie, con la resistencia del terreno. Pero en realidad en el diseño de una cimentación existen mucho más factores a considerar: 1) la forma en la que la estructura baje el peso al terreno (compárese la gráfica A y la B, en la A un muro le corresponde una cimentación lineal y en la B al elemento puntual una cimentación aislada), 2) la relación del peso de la estructura entre la resistencia del terreno, y quizá la más importante: 3) las propiedades mecánicas del suelo. La combinación entre estos tres factores puede determinar una variedad de cimentaciones para un edificio específico.

Vcsr  Fr  Vcr  Vsr  79

Pero en la realidad nos podemos encontrar con casas incluso de un solo piso en terrenos de muy baja resistencia (2 ton/m2) y pésimas características mecánicas del suelo que tengan un sistema de losa de cimentación. También podemos tener edificios de altura media en terrenos muy resistentes y mecánicamente apropiados que tan solo necesiten zapatas aisladas. Incluso nos es difícil entender como edificios de más de 100 niveles al necesitar muchos niveles de estacionamiento en sótano llegan a estar sobresustituidos y tienen que ser lastrados, para literalmente detenerlos en el suelo. Existen otros elementos muy importantes en las cimentaciones como: a) dados, los cuales están en desuso en vista de que no se comprendía bien su funcionamiento (posteriormente profundizaremos en el

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras tema) y b) trabes de liga y/o contratrabes que distribuyen los esfuerzos entre elementos aislados de la cimentación y reducen la posibilidad de hundimientos diferenciales en la misma.

3. Determinación de la profundidad

Notación: w (kg/m): carga lineal sobre el cimiento fr (kg/cm2): capacidad de carga del terreno k (kg/cm2): esfuerzo unitario del mortero (1.0) c (cm): corona del cimiento b (cm): base del cimiento v (cm): vuelo del cimiento p (cm): profundidad del cimiento

p= 9.48 cm. En este caso por ser la profundidad del cimiento menor que 50 cm se tomará el valor de este mínimo.

Fórmulas 1.

Determinación de la base

b 3.

w fr  100

Determinación del vuelo

v

bc 2

2.

Profundidad del cimiento

 fr  p  v  3  k  Nota: El cimiento mínimo de mampostería deberá ser de las siguientes dimensiones: Base: 50 cm Altura: 50 cm Corona: 30 cm

Ejemplo Calcular las dimensiones de un cimiento de mampostería para una carga lineal de 1500 kg/ml y una resistencia del terreno de 0.3 kg/cm2. Datos w= 1500 kg/ml 2 fr= 0.3 kg/cm

k= 1.0 kg/cm2 c= 30 cm

1. Determinación de la base

b

w fr  100

b= 50 cm

2. Determinación del vuelo

bc v 2

v= 10 cm

 fr  p  v  3   k 

CIMIENTOS DE CONCRETO En determinados tipos de construcciones, es factible la construcción de cimientos de concreto (sin refuerzo), o de concreto ciclópeo, esto, en términos generales, se puede realizar cuando la resistencia del terreno es buena (lomerío) y las cargas son bajas (edificios de pocos niveles), en estos casos el cimiento sirve más como anclaje de la estructura en el terreno que como medio de transmisión de cargas. En estos casos lo que rige el diseño es la fuerza cortante que transmite la estructura dentro del cimiento, para que el cimiento no falle por cortante debe tener la profundidad (peralte) suficiente para desarrollar este esfuerzo, y la forma para absorber la línea de esfuerzos cortantes (45); por lo cual su forma debe ser cuadrada o rectangular, por lo que es necesario dimensionar la base y la profundidad con las siguientes ecuaciones: En donde: P B= base del cimiento B Rt H= profundidad del cimiento peso sobre la cimentación por B  b P= metro lineal H Rt= resistencia del terreno 2 b= ancho del muro Ejemplo Calcular las dimensiones de un cimiento de concreto para una carga lineal de 1,500 kg/ml y una resistencia del 2 terreno de 3 ton/m Datos Cálculo de la base P=1.5 ton/ml P = 0.5 mts B b=0.15 mts 2 Rt Rt=3 ton/m Revisión de la altura

Bb = 0.175 mts se iguala a 0.5 mts. 2

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k) Normas NMX de Estructuras de Mampostería Estructural NMX-C-033-1996-ONNCCE Cal hidratada. Especificaciones y métodos de prueba. NMX-C-021-ONNCCE-2004 Cemento para albañilería (mortero), Especificaciones y métodos de prueba. NMX-C-036-ONNCCE-2004 Bloques, tabiques o ladrillos, tabicones y adoquines. Resistencia a la compresión. Métodos de prueba. NMX-C-038-ONNCCE-2004 Determinación de las dimensiones de ladrillos, tabiques, bloques y tabicones para la construcción. NMX-C-076-ONNCCE-2002 Agregados. Efectos de las impurezas orgánicas en los agregados finos sobre la resistencia de los morteros. Métodos de prueba. NMX-C-082-1974 Determinación del esfuerzo de adherencia de los ladrillos cerámicos y el mortero de las juntas. NMX-C-085-ONNCCE-2002 Cementos hidráulicos. Método estándar para el mezclado de pastas y morteros de cementantes hidráulicos. NMX-C-144-ONNCCE-2002 Cementos hidráulicos. Requisitos para el aparato usado de la determinación de la fluidez de morteros con cementantes hidráulicos. NMX-C-180-ONNCCE-2001 Cementos hidráulicos. Determinación de la reactividad potencial de los agregados con los álcalis de cementantes hidráulicos por medio de barras de mortero. NMX-C-300-1980 Cemento hidráulico. Determinación del contenido de aire en el mortero. NMX-C-404-ONNCCE-2005 Bloques, tabiques o ladrillos y tabicones para uso estructural. Especificaciones y métodos de prueba. NMX-C-405-1997-ONNCCE Paneles para uso estructural en muros, techos y entrepisos. NMX-C-418-ONNCCE-2001 Cemento. Cambio de longitud de morteros con cemento hidráulico expuesto a una solución de sulfato de sodio. NMX-B-456-1987 Armaduras soldadas de alambre de acero para castillos y dalas.

l) Especificaciones para estructura de mampostería

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras 1. Tipos de piezas. Las piezas usadas en los elementos estructurales de mampostería deberán cumplir con la Norma Mexicana NMX-C-404-ONNCCE, con excepción de lo dispuesto para el límite inferior del área neta de piezas huecas. El peso volumétrico neto mínimo de las piezas, en estado seco, será el indicado a continuación: a) Tabique de barro recocido 13 kN/m³ (1300 kg/m³) b) Tabique de barro con huecos verticales 17 kN/m³ (1700 kg/m³) c) Bloque de concreto 17 kN/m³ (1700 kg/m³) d) Tabique de concreto (tabicón) 15 kN/m³ (1500 kg/m³) Piezas macizas. Se considerarán como piezas macizas aquéllas que tienen en su sección transversal más desfavorable un área neta de por lo menos 75 por ciento del área bruta, y cuyas paredes exteriores no tienen espesores menores de 20 mm. Piezas huecas. Las piezas huecas son las que tienen en su sección transversal más desfavorable, un área neta de por lo menos 50 por ciento del área bruta; además, el espesor de sus paredes exteriores no es menor que 15 mm. Para piezas huecas con dos y hasta cuatro celdas, el espesor mínimo de las paredes interiores deberá ser de 13 mm. Para piezas multiperforadas, cuyas perforaciones sean de las mismas dimensiones y con distribución uniforme, el espesor mínimo de las paredes interiores será de 7 mm. Se entiende como piezas multiperforadas aquéllas con más de siete perforaciones o alvéolos. Sólo se permite usar piezas huecas con celdas o perforaciones ortogonales a la cara de apoyo. 2. La resistencia a compresión se determinará para cada tipo de piezas de acuerdo con el ensaye especificado en la norma NMX-C-036. Para diseño, se empleará un valor de la resistencia, fp*, medida sobre el área bruta, que se determinará como el que es alcanzado por lo menos por el 98 por ciento de las piezas producidas. La resistencia de diseño se determinará con base en la información estadística existente sobre el producto o a partir de muestreos de la pieza, ya sea en planta o en obra. Si se opta por el muestreo, se obtendrán al menos tres muestras, cada una de diez piezas, de lotes diferentes de la producción. Las 30 piezas así obtenidas se ensayarán en laboratorios acreditados por la entidad de acreditación reconocida en los términos de la Ley Federal sobre Metrología y Normalización. El sistema de control de

calidad se refiere a los diversos procedimientos documentados de la línea de producción de interés, incluyendo los ensayes rutinarios y sus registros. La resistencia mínima a compresión de las piezas de la Norma Mexicana NMX-C-404-ONNCCE corresponde a la resistencia fp*. 3. Cemento hidráulico. En la elaboración del concreto y morteros se empleará cualquier tipo de cemento hidráulico que cumpla con los requisitos especificados en la norma NMX-C-414-ONNCCE. 4. Cemento de albañilería. En la elaboración de morteros se podrá usar cemento de albañilería que cumpla con los requisitos especificados en la norma NMX-C-021. 5. Cal hidratada. En la elaboración de morteros se podrá usar cal hidratada que cumpla con los requisitos especificados en la norma NMX-C-003-ONNCCE. 6. Agregados pétreos. Los agregados deben cumplir con las especificaciones de la norma NMX-C-111. 7. Agua de mezclado. El agua para el mezclado del mortero o del concreto debe cumplir con las especificaciones de la norma NMX-C-122. El agua debe almacenarse en depósitos limpios y cubiertos. 8. Resistencia a compresión de Morteros. La resistencia a compresión del mortero, sea para pegar piezas o de relleno, se determinará de acuerdo con el ensaye especificado en la norma NMX-C-061-ONNCCE. La resistencia a compresión del concreto de relleno se determinará del ensaye de cilindros elaborados, curados y probados de acuerdo con las normas NMX-C-160 y NMXC-083-ONNCCE. Para diseño, se empleará un valor de la resistencia, fj*, determinado como el que es alcanzado por lo menos por el 98 por ciento de las muestras. La resistencia de diseño se calculará a partir de muestras del mortero, para pegar piezas o de relleno, o del concreto de relleno por utilizar. En caso de mortero, se obtendrán como mínimo tres muestras, cada una de al menos tres probetas cúbicas. Las nueve probetas se ensayarán siguiendo la norma NMX-C-061-ONNCCE. En caso de concreto de relleno, se obtendrán al menos tres probetas cilíndricas. Las probetas se elaborarán, curarán y probarán de acuerdo con las normas antes citadas. 9. Mortero para pegar piezas. Los morteros que se empleen en elementos estructurales de mampostería deberán cumplir con los requisitos siguientes: a) Su resistencia a compresión será por lo menos de 4 MPa (40 kg/cm²).

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b) Siempre deberán contener cemento en la cantidad mínima, antes indicada. c) La relación volumétrica entre la arena y la suma de cementantes se encontrará entre 2.25 y 3. El volumen de arena se medirá en estado suelto. d) Se empleará la mínima cantidad de agua que dé como resultado un mortero fácilmente trabajable. Si el mortero incluye cemento de albañilería, la cantidad máxima de éste, a usar en combinación con cemento, será la indicada a continuación: Tipo de mortero I (Resistencia nominal en compresión fj* 12.5 MPa [125 kg/cm²]) i) Partes de cemento hidráulico = 1, partes de cemento de albañilería = 0, partes de cal hidratada= 0 a 1/4, partes de arena = no menos de 2.25 ni más de 3 veces la suma de cementantes en volumen. ii) Partes de cemento hidráulico = 1, partes de cemento de albañilería = 0 a 1/2, partes de cal hidratada = 0, partes de arena = no menos de 2.25 ni más de 3 veces la suma de cementantes en volumen. Tipo de mortero II (Resistencia nominal en compresión fj* 7.5 MPa [74 kg/cm²]) i) Partes de cemento hidráulico = 1, partes de cemento de albañilería = 0, partes de cal hidratada= 1/4 a 1/2 , partes de arena= no menos de 2.25 ni más de 3 veces la suma de cementantes en volumen. ii) Partes de cemento hidráulico = 1, partes de cemento de albañilería = 1/2 a 1, partes de cal hidratada= 0, partes de arena = no menos de 2.25 ni más de 3 veces la suma de cementantes en volumen. Tipo de mortero III (Resistencia nominal en compresión fj* 4.0 MPa [40 kg/cm²]) i) Partes de cemento hidráulico = 1, partes de cemento de albañilería = 0, partes de cal hidratada = 1/2 a 1 1/4, partes de arena = no menos de 2.25 ni más de 3 veces la suma de cementantes en volumen. 10. Morteros y concretos de relleno. Los morteros y concretos de relleno que se emplean en elementos estructurales de mampostería para rellenar celdas de

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras piezas huecas deberán cumplir con los siguientes requisitos: a) Su resistencia a compresión será por lo menos de 12.5 MPa (125 kg/cm²). b) El tamaño máximo del agregado no excederá de 10 mm. c) Se empleará la mínima cantidad de agua que permita que la mezcla sea lo suficientemente fluida para rellenar las celdas y cubrir completamente las barras de refuerzo vertical, en el caso de que se cuente con refuerzo interior. Se aceptará el uso de aditivos que mejoren la trabajabilidad. 11. Aditivos. En la elaboración de concretos, concretos de relleno y morteros de relleno se podrán usar aditivos que mejoren la trabajabilidad y que cumplan con los requisitos especificados en la norma NMX-C-255. No deberán usarse aditivos que aceleren el fraguado. 12. Acero de refuerzo. El refuerzo que se emplee en castillos, dalas, elementos colocados en el interior del muro y/o en el exterior del muro, estará constituido por barras corrugadas, por malla de acero, por alambres corrugados laminados en frío, o por armaduras soldadas por resistencia eléctrica de alambre de acero para castillos y dalas, que cumplan con las Normas Mexicanas correspondientes. Se admitirá el uso de barras lisas, como el alambrón, únicamente en estribos, en mallas de alambre soldado o en conectores. El diámetro mínimo del alambrón para ser usado en estribos es de 5.5 mm. Se podrán utilizar otros tipos de acero siempre y cuando se demuestre a satisfacción del perito responsable su eficiencia como refuerzo estructural. El módulo de elasticidad del acero de refuerzo ordinario, Es , se supondrá igual a 2×105 MPa (2×106 kg/cm²). Para diseño se considerará el esfuerzo de fluencia mínimo, fy, establecido en las normas citadas. 13. Tamaño del acero de refuerzo. Diámetro del acero de refuerzo longitudinal. El diámetro de la barra más gruesa no deberá exceder de la mitad de la menor dimensión libre de una celda. En castillos y dalas, el diámetro de la barra más gruesa no deberá exceder de un sexto de la menor dimensión. Diámetro del acero de refuerzo horizontal. El diámetro del refuerzo horizontal no será menor que 3.5 mm ni mayor que tres cuartas partes del espesor de la junta. 14. Colocación y separación del acero de refuerzo longitudinal. La distancia libre entre barras paralelas,

empalmes de barras, o entre barras y empalmes, no será menor que el diámetro nominal de la barra más gruesa, ni que 25 mm. Se aceptarán paquetes de dos barras como máximo. El espesor del concreto o mortero de relleno, entre las barras o empalmes y la pared de la pieza serán al menos de 6 mm. 15. Protección del acero de refuerzo. En muros confinados con castillos exteriores, las barras de refuerzo longitudinal de castillos y dalas deberán tener un recubrimiento mínimo de concreto de 20 mm. Recubrimiento en castillos interiores y en muros con refuerzo interior. Si la cara del muro está expuesta a tierra, el recubrimiento será de 35 mm para barras no mayores del No. 5 (15.9 mm de diámetro) o de 50 mm para barras más gruesas La distancia libre mínima entre una barra de refuerzo horizontal o malla de alambre soldado y el exterior del muro será la menor de 10 mm o una vez el diámetro de la barra. 16. Anclaje. Requisitos generales. La fuerza de tensión o compresión que actúa en el acero de refuerzo en toda sección debe desarrollarse a cada lado de la sección considerada por medio de adherencia en una longitud suficiente de barra. Barras rectas a tensión. La longitud de desarrollo, Ld, en la cual se considera que una barra de tensión se ancla de modo que alcance su esfuerzo especificado de fluencia, será la requerida para concreto reforzado. Barras a tensión con dobleces a 90 ó 180 grados. La revisión del anclaje de barras a tensión con dobleces a 90 ó 180 grados se hará siguiendo lo indicado para concreto reforzado. Refuerzo horizontal en juntas de mortero. El refuerzo horizontal colocado en juntas de mortero deberá ser continuo a lo largo del muro, entre dos castillos si se trata de mampostería confinada, o entre dos celdas rellenas y reforzadas con barras verticales en muros reforzados interiormente. Si se requiere, se podrán anclar dos o más barras o alambres en el mismo castillo o celda que refuercen muros colineales o transversales. No se admitirá el traslape de alambres o barras de refuerzo horizontal en ningún tramo. El refuerzo horizontal deberá anclarse en los castillos, ya sea exteriores o interiores, o en las celdas rellenas reforzadas. Se deberá anclar mediante dobleces a 90 grados colocados dentro de los castillos o celdas. El doblez del gancho se colocará verticalmente dentro del castillo o celda rellena lo más alejado posible de la cara del castillo o de la pared de la

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celda rellena en contacto con la mampostería. Para fines de revisar la longitud de desarrollo, la sección crítica será la cara del castillo o la pared de la celda rellena en contacto con la mampostería. Mallas de alambre soldado. Las mallas de alambre soldado se deberán anclar a la mampostería, así como a los castillos y dalas si existen, de manera que pueda alcanzar su esfuerzo especificado de fluencia. Se aceptará ahogar la malla en el concreto; para ello, deberán ahogarse cuando menos dos alambres perpendiculares a la dirección de análisis, distando el más próximo no menos de 50 mm de la sección considerada. Si para fijar la malla de alambre soldado se usan conectores instalados a través de una carga explosiva de potencia controlada o clavos de acero, la separación máxima será de 450 mm. Las mallas deberán rodear los bordes verticales de muros y los bordes de las aberturas. Si la malla se coloca sobre una cara del muro, la porción de malla que rodea los bordes se extenderá al menos dos veces la separación entre alambres transversales. Esta porción de malla se anclará de modo que pueda alcanzar su esfuerzo especificado de fluencia. Si el diámetro de los alambres de la malla no permite doblarla alrededor de bordes verticales de muros y los bordes de aberturas, se aceptará colocar un refuerzo en forma de letra C hecho con malla de calibre no inferior al 10 (3.43 mm de diámetro) que se traslape con la malla principal. Se admitirá que la malla se fije en contacto con la mampostería. Uniones de barras a) Barras sujetas a tensión. La longitud de traslapes de barras en concreto se determinará según lo especificado para concreto reforzado. No se aceptan uniones soldadas. Si las barras se traslapan en el interior de piezas huecas, la longitud del traslape será al menos igual a 50 db en barras con esfuerzo especificado de fluencia de hasta 412 MPa (4200 kg/cm²) y al menos igual a 60 db en barras o alambres con esfuerzo especificado de fluencia mayor; db es el diámetro de la barra más gruesa del traslape. El traslape se ubicará en el tercio medio de la altura del muro. No se aceptan traslapes de más del 50 por ciento del acero longitudinal del elemento (castillo, dala, muro) en una misma sección. No se permitirán traslapes en los extremos de los castillos (ya sean éstos exteriores o interiores). No se permitirán traslapes en el refuerzo vertical en la base de muros de mampostería reforzada interiormente a

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras lo largo de la altura calculada de la articulación plástica por flexión. b) Mallas de alambre soldado. Las mallas de alambre soldado deberán ser continuas, sin traslape, a lo largo del muro. Si la altura del muro así lo demanda, se aceptará unir las mallas. El traslape se colocará en una zona donde los esfuerzos esperados en los alambres sean bajos. El traslape medido entre los alambres transversales extremos de las hojas que se unen no será menor que dos veces la separación entre alambres transversales más 50 mm. 17. MAMPOSTERÍA CONFINADA. Castillos y dalas exteriores. Los castillos y dalas deberán cumplir con lo siguiente: a) Existirán castillos por lo menos en los extremos de los muros e intersecciones con otros muros, y en puntos intermedios del muro a una separación no mayor que 1.5H ni 4 m. Los pretiles o parapetos deberán tener castillos con una separación no mayor que 4 m. b) Existirá una dala en todo extremo horizontal de muro, a menos que este último esté ligado a un elemento de concreto reforzado con un peralte mínimo de 100 mm. Aun en este caso, se deberá colocar refuerzo longitudinal y transversal. Además, existirán dalas en el interior del muro a una separación no mayor de 3 m y en la parte superior de pretiles o parapetos cuya altura sea superior a 500 mm. c) Los castillos y dalas tendrán como dimensión mínima el espesor de la mampostería del muro, (t). d) El concreto de castillos y dalas tendrá un resistencia a compresión, fc’, no menor de 15MPa (150 kg/cm²). e) El refuerzo longitudinal del castillo y la dala deberá dimensionarse para resistir las componentes vertical y horizontal correspondientes del puntal de compresión que se desarrolla en la mampostería para resistir las cargas laterales y verticales. f) El refuerzo longitudinal del castillo y la dala estará anclado en los elementos que limitan al muro de manera que pueda alcanzar su esfuerzo de fluencia. g) Los castillos y dalas estarán reforzados transversalmente por estribos cerrados. La separación de los estribos, (s), no excederá de 1.5t ni de 200 mm.

h) Cuando la resistencia de diseño a compresión diagonal de la mampostería, (vm*), sea superior a 0.6 MPa (6 kg/cm²), se suministrará refuerzo transversal, con una separación no mayor que una hilada dentro de una longitud Ho (longitud mínima, medida en los extremos de los castillos, sobre la cual se deben colocar estribos con una menor separación) en cada extremo de los castillos. Ho se tomará como el mayor de H/6, 2hc (dimensión de la sección del castillo o dala que confina al muro en el plano del mismo) y 400 mm. Muros con aberturas. Existirán elementos de refuerzo con las mismas características que las dalas y castillos en el perímetro de toda abertura cuyas dimensiones horizontal o vertical excedan de la cuarta parte de la longitud del muro o separación entre castillos, o de 600 mm. También se colocarán elementos verticales y horizontales de refuerzo en aberturas con altura igual a la del muro. En muros con castillos interiores, se aceptará sustituir a la dala de la parte inferior de una abertura por acero de refuerzo horizontal anclado en los castillos que confinan a la abertura. El refuerzo consistirá de barras capaces de alcanzar en conjunto una tensión a la fluencia de 29 kN (2980 kg). Espesor y relación altura a espesor de los muros. El espesor de la mampostería de los muros, (t), no será menor que 100 mm y la relación altura libre a espesor de la mampostería del muro, H/ t, no excederá de 30. 18. MAMPOSTERÍA REFORZADA INTERIORMENTE. Es aquélla con muros reforzados con barras o alambres corrugados de acero, horizontales y verticales, colocados en las celdas de las piezas, en ductos o en las juntas. El acero de refuerzo, tanto horizontal como vertical, se distribuirá a lo alto y largo del muro. Refuerzo vertical. El refuerzo vertical en el interior del muro tendrá una separación no mayor de seis veces el espesor del mismo ni mayor de 800 mm. Refuerzo en los extremos de muros. a) Existirá una dala en todo extremo horizontal de muro, a menos que este último esté ligado a un elemento de concreto reforzado con un peralte mínimo de 100 mm. Aún en este caso, se deberá colocar refuerzo longitudinal y transversal. El refuerzo longitudinal de la dala deberá dimensionarse para resistir la componente horizontal del puntal de compresión que se desarrolle en la mampostería para

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resistir las cargas laterales y verticales. En cualquier caso, estará formado por lo menos de tres barras. b) Deberá colocarse por lo menos una barra No. 3 (9.5 mm de diámetro) con esfuerzo especificado de fluencia de 412 MPa (4200 kg/cm²), o refuerzo de otras características con resistencia a tensión equivalente, en cada una de dos celdas consecutivas, en todo extremo de muros, en la intersecciones entre muros o a cada 3 m. Mortero y concreto de relleno. Para el colado de las celdas donde se aloje el refuerzo vertical podrán emplearse los morteros y concretos de relleno, o el mismo mortero que se usa para pegar las piezas, si es del tipo I. El hueco de las piezas (celda) tendrá una dimensión mínima mayor de 50 mm y un área no menor de 3000 mm². Muros transversales. Cuando los muros transversales sean de carga y lleguen a tope, sin traslape de piezas, será necesario unirlos mediante dispositivos que aseguren la continuidad de la estructura. Los dispositivos deberán ser capaces de resistir 1.33 veces la resistencia de diseño a fuerza cortante del muro transversal, dividida por el factor de resistencia correspondiente. En la resistencia de diseño se incluirá la fuerza cortante resistida por la mampostería y, si aplica, la resistida por el refuerzo horizontal. Muros con aberturas. Existirán elementos de refuerzo vertical y horizontal en el perímetro de toda abertura cuya dimensión exceda de la cuarta parte de la longitud del muro, de la cuarta parte de la distancia entre intersecciones de muros o de 600 mm, o bien en aberturas con altura igual a la del muro. Espesor y relación altura a espesor de los muros. El espesor de la mampostería de los muros, (t), no será menor que 100 mm y la relación altura a espesor de la mampostería del muro, H/ t, no excederá de 30. Pretiles. Los pretiles o parapetos deberán reforzarse interiormente con barras de refuerzo vertical. Se deberá proporcionar refuerzo horizontal en la parte superior de pretiles o parapetos cuya altura sea superior a 500 mm. 19. MAMPOSTERÍA DE PIEDRAS NATURALES. Se refiere al diseño y construcción de cimientos, muros de retención y otros elementos estructurales de mampostería del tipo conocido como de tercera, o sea, formado por piedras naturales sin labrar unidas por mortero.

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Materiales. Piedras. Las piedras que se empleen en elementos estructurales deberán satisfacer los requisitos siguientes: a) Su resistencia mínima a compresión en dirección normal a los planos de formación será de 15 MPa (150kg/cm²). b) Su resistencia mínima a compresión en dirección paralela a los planos de formación será de 10 MPa (100 kg/cm²). c) La absorción máxima será de 4 por ciento. d) Su resistencia al intemperismo, medida como la máxima pérdida de peso después de cinco ciclos en solución saturada de sulfato de sodio, sea del 10 por ciento. Las propiedades anteriores se determinarán de acuerdo con los procedimientos indicados en el capítulo CXVII de las Especificaciones Generales de Construcción de la Secretaría de Obras Públicas (1971). Las piedras no necesitarán ser labradas, pero se evitará, en lo posible, el empleo de piedras de formas redondeadas y de cantos rodados. Por lo menos, el 70 por ciento del volumen del elemento estará constituido por piedras con un peso mínimo de 300 N (30 kg), cada una. Morteros. Los morteros que se empleen para mampostería de piedras naturales deberán ser al menos del tipo III, tal que la resistencia mínima en compresión sea de 4 MPa (40 kg/cm²). La resistencia se determinará según lo especificado en la norma NMX-C-061ONNCCE. 20. INSPECCIÓN Y CONTROL DE OBRA. El Perito Responsable deberá supervisar el cumplimiento de las disposiciones constructivas en el proyecto estructural. Antes de la construcción de muros de mampostería. Se deberá verificar que la cimentación se haya construido con las tolerancias señaladas para Estructuras de Concreto, si la cimentación es de concreto, o en las marcadas en estas especificaciones, si la cimentación es de mampostería. Se revisará que el refuerzo longitudinal de castillos, o el vertical de muros, esté anclado y en la posición señalada en los planos estructurales. Durante la construcción. En especial, se revisará que: a) Las piezas sean del tipo y tengan la calidad especificada en los planos de construcción. b) Las piezas de barro estén sumergidas en agua al menos 2 hrs. antes de su colocación.

c) Las piezas de concreto estén secas y que se rocíen con agua justo antes de su colocación.

instalados en la mampostería y concreto, con la separación señalada en los planos de construcción.

d) Las piezas estén libres de polvo, grasa, aceite o cualquier otra sustancia o elemento que reduzca la adherencia o dificulte su colocación. e) Las barras de refuerzo sean del tipo, diámetro y grado indicado en los planos de construcción. f) El aparejo sea cuatrapeado. g) Los bordes verticales de muros confinados exteriormente estén dentados o que cuenten con conectores o refuerzo horizontal. h) El refuerzo longitudinal de castillos o el interior del muro esté libre de polvo, grasa o cualquier otra sustancia que afecte la adherencia, y que su posición de diseño esté asegurada durante el colado.

t) Los muros transversales de carga que lleguen a tope estén conectados con el muro ortogonal. u) Las aberturas en muros, si así lo señalan los planos, estén reforzadas o confinadas en sus bordes. v) Los pretiles cuenten con castillos y dalas o refuerzo interior. Muestreo y ensayes. Mortero para pegar piezas. Se tomarán como mínimo seis muestras por cada lote de 3000 m² o fracción de muro construido. En casos de edificios que no formen parte de conjuntos, al menos dos muestras serán de la planta baja en edificaciones de hasta tres niveles, y de la planta baja y primer entrepiso en edificios de más niveles. Las muestras se tomarán durante la construcción del lote indicado. Cada muestra estará compuesta de tres probetas cúbicas. La elaboración, curado, ensaye y determinación de la resistencia de las probetas se hará según lo especificado en la norma NMX-C-061-ONNCCE. Las muestras se ensayarán a los 28 días. Los ensayes se realizarán en laboratorios acreditados por la entidad de acreditación reconocida en los términos de la Ley Federal sobre Metrología y Normalización. Mortero y concreto de relleno. Se tomarán como mínimo tres muestras por cada lote de 3000 m² o fracción de muro construido. En casos de edificios que no formen parte de conjuntos, al menos una muestra será de la planta baja en edificaciones de hasta tres niveles, y de la planta baja y primer entrepiso en edificios de más niveles. Las muestras se tomarán durante la construcción del lote indicado. Cada muestra estará compuesta de tres probetas cúbicas en el caso de morteros, y de tres cilindros en el caso de concretos de relleno. La elaboración, curado, ensaye y determinación de la resistencia de las probetas de mortero se hará según lo especificado en la norma NMXC-061-ONNCCE. La elaboración, curado y ensaye de cilindros de concreto de relleno se hará de acuerdo con las normas NMX-C-160 y NMX-C-083-ONNCCE. Las muestras se ensayarán a los 28 días. Los ensayes se realizarán en laboratorios acreditados por la entidad de acreditación reconocida en los términos de la Ley Federal sobre Metrología y Normalización.

i) No se traslape más del 50 por ciento del acero longitudinal de castillos, dalas o refuerzo vertical en una misma sección. j) El refuerzo horizontal sea continuo en el muro, sin traslapes, y anclado en los extremos con ganchos a 90 grados colocados en el plano del muro. k) El mortero no se fabrique en contacto con el suelo o sin control de la dosificación. l) El relleno de los huecos verticales en piezas huecas de hasta cuatro celdas se realice a la altura máxima especificada en los planos. m) Las juntas verticales y horizontales estén totalmente rellenas de mortero. n) Si se usan tabiques multiperforados, que el mortero penetre en las perforaciones la distancia indicada en los planos, pero no menos de 10 mm. o) El espesor de las juntas no exceda el valor indicado en los planos de construcción. p) El desplomo del muro no exceda 0.004H ni 15 mm. q) En castillos interiores, el concreto o mortero de relleno haya penetrado completamente, sin dejar huecos. r) En muros hechos con tabique multiperforado y piezas huecas (estas últimas para alojar instalaciones o castillos interiores), la pieza hueca esté llena con concreto o mortero de relleno. s) En muros reforzados con malla soldada de alambre, los conectores de anclaje estén firmemente

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Mampostería. Se tomarán como mínimo tres muestras por cada lote de 3000 m² o fracción de muro construido con cada tipo de pieza. En casos de edificios que no

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras formen parte de conjuntos, al menos una muestra será de la planta baja en edificios de hasta tres niveles, y de la planta baja y primer entrepiso si el edificio tiene más niveles. Las muestras se tomarán durante la construcción del lote indicado. Las probetas se elaborarán con los materiales, mortero y piezas, usados en la construcción del lote. Cada muestra estará compuesta por una pila y un murete. Se aceptará elaborar las probetas en laboratorio usando las piezas, la mezcla en seco del mortero y la cantidad de agua empleada en la construcción del lote. La elaboración, curado, transporte, ensaye y determinación de las resistencias de las probetas se hará según lo indicado en las Normas Mexicanas correspondientes. Las muestras se ensayarán a los 28 días. Los ensayes se realizarán en laboratorios acreditados por la entidad de acreditación reconocida en los términos de la Ley Federal sobre Metrología y Normalización. Penetración del mortero en piezas multiperforadas. Se aceptará la aplicación de cualquiera de los procedimientos siguientes: a) Penetración del mortero. Se determinará la penetración del mortero retirando una pieza multiperforada en un muro de planta baja si el edificio tiene hasta tres niveles, o de planta baja y primer entrepiso si el edificio tiene más niveles. b) Consumo de mortero. Se controlará el consumo de mortero que penetra en las perforaciones de las piezas, adicional al colocado en las juntas horizontal y vertical, en todos los muros de planta baja, si el edificio tiene hasta tres niveles, o de planta baja y primer entrepiso si el edificio tiene más niveles.

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Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Notación fć (kg/cm2): resistencia del concreto 2 fy (kg/cm ): esfuerzo de fluencia del acero P (ton): carga total sobre la zapata qa (ton/m 2): capacidad de carga del terreno c (mts): distancia de borde de columna al de la zapata d (cm): peralte efectivo h (cm): altura de la sección r (cm): recubrimiento del refuerzo 2 As (cm ): área de acero l (mts): lado de la zapata lc (mts): lado de la columna Af (m 2): área efectiva de la zapata

Capítulo V DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO REFORZADO a) Cimentación (Zapatas)

Fórmulas 1. Área efectiva Las zapatas de concreto armado (aisladas o corridas) son elementos subestructurales que funcionan básicamente como una trabe en voladizo (invertida). Recibe el peso puntual de una estructura y lo reparte en el terreno, hasta este punto, el diseño de una zapara es muy simple, únicamente de divide el peso entre la resistencia del terreno y se obtiene la superficie de cimentación necesaria. Lo que sucede dentro de la zapata y como distribuye ese esfuerzo es lo más interesante. Esto nos da la oportunidad para aclarar algunos malentendidos sobre las zapatas. 1) La teoría generalizada hasta el momento parte del supuesto (correcto) de que la zapata funciona como una viga doble en cantiliber, por lo cual los momentos flexionantes y cortantes son máximos junto a la columna (o muro) y menores en los extremos por lo cual tradicionalmente se diseñaban en forma trapezoidal siendo que en realidad la zapata es un elemento altamente indeterminado, es decir las cargas y los esfuerzos fluyen en de muchas posibles formas. En general los esfuerzos se distribuyen más uniformemente por lo que las secciones rectangulares funcionan mucho mejor. 2) Los dados tienen la función de disminuir la fuerza punzonante (cortante) que provoca la columna sobre la zapata y que generalmente domina el dimensionamiento.

En el gráfico superior, podemos apreciar el comportamiento de punzonamiento que provoca una columna sombre una zapata. Se puede apreciar que el cono formado es medio peralte mayor, por lo cual esta zona es recomendable reforzarla al cortante.

Pero la práctica ha mostrado que casi siempre el volumen de concreto utilizado para el dado es muy superior al volumen de concreto ahorrado en el peralte de la sección, sin contar el armado del dado y su cimbra, siendo que el dado no disminuye el acero ni la cimbra de al zapata, por lo cual esta francamente en desuso, aunque es necesario cuando las columnas son de acero, para poder alojar los anclajes y subir la conexión a nivel de piso. 3) El ACI recomienda que la profundidad mínima de una cimentación medida desde su base hasta el nivel de piso sea como mínimo de 1.52 mts., para garantizar el empotramiento de la estructura al suelo. Esta no es una práctica común en la construcción, pero es altamente recomendable. 4) El tipo y características de bulbo de esfuerzos de una zapata es de vital importancia para evitar hundimientos diferenciales, como se puede ver en la gráfica la zapata reparte un menor porcentaje de peso entre mayor sea la profundidad, pero si las zapatas están muy juntas los bulbos se traslapan y se sobrecargan áreas superando su capacidad. Por ejemplo: a menos de 1 mts de su base la zapata descarga la mitad de su peso, si esta área se ve invadida por otro bulbo, la carga es del 100 % lo que puede derivar en hundimientos diferenciales, si la capacidad de la carga a esa profundidad es diferente a la profundidad de contacto.

86

Af 

P qa

l  Af

Área efectiva

zapata aislada

Lado de zapata

En caso de que la zapata sea corrida, el lado de la zapata (l) será igual al Área efectiva (Af), ya que el peso es dado por metro lineal, que multiplicado por Af es igual al área necesaria. Es decir:

l  Af

zapata corrida

2. Peralte efectivo

d  8.3 

P  c2 Af

c





Af  lc 2

hd r Altura

Peralte efectivo

El recubrimiento para zapatas deberá ser de 3 cm si la zapata se encuentra apoyada sobre una plantilla de concreto pobre, y de 7 cm si está sobre el terreno. 3. Revisión a cortante

  d  PSC  lc  100    2   4  2  

Perímetro de la sección crítica


Vu 

P  1000 PSC  d

Vcr  Fr 

Esfuerzo cortante de diseño

3.

f ć  0.8

Resistencia de diseño cortante del concreto

a

Vcr debe ser mayor que Vu, si no es así, se debe aumentar el peralte, o colocar acero para cortante (estribos).

Cálculo del refuerzo

As  0.184  h = 3.72 cm2/m

s

100  Av As

Se utilizarán varillas del # 3, Av = 0.71 cm 2

Se proponen varillas del # 3 @ 19 cm.

= 19.08 cm

Nomenclatura utilizada, esquematizada en una zapata

4. Refuerzo

As  0.184  h

s

Área de acero

Av  100 As

4. Refuerzo de la Zapata Primero se obtiene el memento máximo de a zapata con la ecuación: Donde: Mmax [ton-ml]  qa  Af Af [m2] M max  1.6      100 qa [tom/m2]  10  8

Separación del armado

Nota: Si el peralte es mayor de 25 cm, se debe colocar doble parrilla de acero (lecho bajo y alto). Las contratrabes o trabes de liga entre zapatas aisladas o corridas se deben dimensionar de acuerdo con la siguiente relación:

h  4b

En donde: h= peralte de la contratrabe b= base de la contratrabe (se propone) Ejemplo Calcular las dimensiones de una zapata aislada para una columna que carga 21.19 ton. La resistencia del terreno 2 es de 12 ton/m . La columna es de 40 x 40 cm. Datos P= 21.19 ton qa= 12 ton/m2 1.

Método Alternativo (Zapatas Aisladas) 1. Datos necesarios a) Si no se dispone del peso exacto que cargará la zapata, se puede realizar un cálculo aproximado con la siguiente ecuación: o P= n de plantas x área tribitarea de la columna x peso por metro cuadradob) Si no se dispone de la dimensión de la columna tomer un valor aproximado de 0.4 a 0.5 mts 2. Área de la zapata

Af 

lc= 0.40 mts r= 7 cm

P qa

l  Af

zapata aislada

Área efectiva de la zapata

P 2 Af  = 1.76 m qa Af  lc c = 0.46 mts 2



2.

 

l  Af

= 1.32 m2



a) El vuelo debe ser el doble que el peralte c=2h, por lo tanto:

Peralte efectivo

d  8.3 

Pc Af

2

= 13.24 cm

3. Peralte de la zapata Se debe tomar el mayor de los siguientes tres criterios:

h  d  r = 20.24

b) Se debe garantizar el anclaje del acero en la zapata, comprobando que:

h

l  lc 4

h  10   2  10 Donde Ø es el diámetro de la varilla de refuerzo

c) El peralte mínimo = 50 cm

87

M  1000 As  max 0.8  h  fy

Donde: As [cm2/ml] Mmax [ton-ml] h [m] fy [kg/cm2]

Método Alternativo (Zapatas Aisladas de borde c/contratrabe) 1. Datos necesarios a) Si no se dispone del peso exacto que cargará la zapata, se puede realizar un cálculo aproximado con la siguiente ecuación: P= no de plantas x área tribitarea de la columna x peso por metro cuadradob) Si no se dispone de la dimensión de la columna tomer un valor aproximado de 0.4 a 0.5 mts 2. Área de la zapata

Af  1.4 

P qa

l  Af

zapata aislada

3. Peralte de la zapata Se debe tomar el mayor de los siguientes tres criterios:

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras a) El vuelo debe ser el doble que el peralte c=2h, por lo tanto: b) Se debe garantizar el anclaje del acero en la zapata, comprobando que:

h

l  lc 4


c) El peralte mínimo = 50 cm 4. Refuerzo de la Zapata Primero se obtiene el memento máximo de a zapata con la ecuación: Donde: Mmax [ton-ml]  qa  Af Af [m2] M max  1.6      100 qa [tom/m2]  10  8

 

M  1000 As  max 0.8  h  fy


5. Refuerzo equivalente sin contratrabe En el caso de no existir una contratrabe, se puede sustituir ésta por una equivalente, ahogada en la zapata con un ancho de lc + h. Y el armado de esta franja se calcula con la ecuación:

M max

As 

fy [kg/cm2]

M max  1000 0.8  h  fy

Método Alternativo (Zapatas Aisladas de esquina c/contratrabe) 1. Datos necesarios a) Si no se dispone del peso exacto que cargará la zapata, se puede realizar un cálculo aproximado con la siguiente ecuación: P= no de plantas x área tribitarea de la columna x peso por metro cuadradob) Si no se dispone de la dimensión de la columna tomer un valor aproximado de 0.4 a 0.5 mts

M max

2. Área de la zapata

P Af  1.4  qa

l  Af

zapata aislada

3. Peralte de la zapata Se debe tomar el mayor de los siguientes tres criterios: a) El vuelo debe ser el doble que l  lc h el peralte c=2h, por lo tanto:

4

b) Se debe garantizar el anclaje del acero en la zapata, comprobando que:


c) El peralte mínimo = 50 cm

L  qa     Af  10 2  1. 6     100 lc  h Donde: As [cm2/ml] Mmax [ton-ml] h [m]

En el caso de no existir una contratrabe, se puede sustituir ésta por una equivalente, ahogada en la zapata con un ancho de lc en ambas direcciones. Y el armado de esta franja se calcula con la ecuación:

4. Refuerzo de la Zapata Primero se obtiene el memento máximo de a zapata con la ecuación: Donde:  qa  2 Mmax [ton-ml]   L Af [m2] 10   M max  1.6   100 qa [tom/m2]

4. 8

 


M  1000 As  max 0.8  h  fy

5. Refuerzo equivalente sin contratrabe

88

As 

 qa  3   L 10 1  1.6        100 2  lc 

M max  1000 0.8  h  fy


CONTRATRABES PARA ZAPATAS 1. Datos necesarios a) Pt (ton): carga total de las columnas o elementos portantes. b) qa (ton/m2): resistencia del terreno c) L (mts): distancia entre columnas o elementos portantes 2. Dimensionamiento de la sección de la contratrabe Base

b

L 20

Peralte

d

L 12

3. Cálculo de esfuerzos en contratrabe a) Para zapatas de borde Momento y Cortante En donde:

M max  1.6   Pt  1000 

l zapata 2

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Mmax [kg-m Vmax [kg]] Pt [Ton L [mts] Lzap [mts]

Vmax 

M max  l zapata L    2

  

b) Para zapatas de esquina Momento y Cortante En donde: Mmax [kg-m Vmax [kg]] Pt [Ton L [mts] Lzap [mts]

M max  1.6   Pt  1000 

c) Armadura longitudinal

M  100 As  max 0.8  d  fy

Vmax 

l zapata 2

M max L  l zapata

d) Armadura transversal

Vmax Asc  0.8  d  fy

ZAPATAS PARA PILOTES 1. Datos necesarios a) Pt (ton): carga total de las columnas o elementos portantes. b) D (cm): diámetro del pilote c) Ø (cm): diámetro de las varillas longitudinales del pilote

La longitud (L) y la anchura (b) se obtienen a partir de los siguientes criterios:

d) φ (°): Ángulo de rozamiento del terreno. Los valores característicos varían entre 25° y 30° e) qk (kg/m2): sobrecarga exterior del terreno (carga viva para áreas esteriores= 350 kg/m2)

a) Distancia enrtre ejes de pilotes = 3D (2D para pilotes pequeños D<50 cm) b) Distancia del borde de la zapata al pilote más cercano > 25 cm

2. Dimensiones de la Zapata

b

Pl qa  1000

El peralte de la zapata debe ser: d  60cm

3. Armadura de la zapata a) Armadura principal (Inferior)

Asinf 

T fy

En donde:

T 

Pt 2d

b) Armadura secundaria (superior)

As sup  0.1  As inf c) Estribos verticales: amarran las armaduras superior e inferior. As ver  0.04  H ref En donde: H ref  b  L

2. Espesor del muro (e) Si el valor es menor de 25 cm, se e  0.06  H toman los 25cm. 3. Armado del muro Empuje al reposo del P  0.67  terreno (P) Momento de diseño a media altura (Mm) Momento de diseño en la base (Mb)

2. Geometría de la zapata El peralte (d) será mayor que los siguientes valores: a) 10  20cm b) D c) 40 cm

Cortante de diseño en los apoyos (V)

d) Estribos horizontales: amarran los estribos verticales.

As hor  0.04  Vref

En donde:

Vref  b  h

Area de acero en el paramento interior

MUROS PARA SÓTANO

Area de acero en el paramento exterior

1. Datos necesarios a) Pl (kg/ml): carga lineal sobre el muro b) qa (ton/m2): resistencia del terreno c) γ (ton/m3): peso del terreno. Los valores característicos varían entre 1.5 y 2

Area de acero en el sentido horizontal (ambos paramentos)

89

  H  q k   1  sen  M m  1.6 

PH2 8

M b  0.25  M m

V  1.6 

Asi 

PH 2

M m  100 0.8  e  fy

Ase 

M b  100 0.8  e  fy

As h  0.002  e

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Armadura para cortante. Para no colocar armadura a cortante, se debe cumplir con:

Vd  0.5  f ć  0.9  e

b) Contratrabes para zapatas 1. Cálculo de la carga máxima.

Pmax  1.6  0.16  P  Donde P = Peszo sobre la zapata (columna o muro ml) 2. Área de acero

Astot 

Pmax  As   As   0.5  Astot 2500

y recargar el resto del peso en pilotes, en la losa de los cajones, o en ambos, lo que conocemos como una cimentación mixta. Además, así se evita la sobresustitución que provoca que, al sacar más tierra en peso, el edificio tienda a salirse, lo cual se traduce en asentamientos diferenciales que causan daños significativos a la estructura. En términos generales podemos encontrar el peralte o altura de la substitución, para ser lograda al 100%, con la siguiente ecuación:

h

Pe Ae  Pt

En donde: Pe= peso total del edificio Ae= área total del edificio (en la planta baja) Pt= peso del metro cúbico de tierra (1.5 ton para la ciudad de México) h= altura de la cimentación substituida

3. Peralte

 As  fy    b  25cm d  3    f ć  b  c) Cimentaciones profundas SUSTITUCIÓN La cimentación por sustitución parte de un principio muy sencillo: sustituir el peso del edificio por peso en tierra. Es decir, es el principio de Arquímedes: “Un cuerpo sumergido total o parcialmente en un líquido experimenta una fuerza ascendente igual al peso del líquido desplazado”. Esto significa que debe ser escarbado un volumen de tierra, y construidos unos cajones que mantengan ese volumen, lo suficientemente grandes o profundos para sacar en peso de tierra el peso del edificio. Esta condición es lo que conocemos como sustitución total o del 100% del edificio. Pero al menos en la ciudad de México, o terrenos similares, la práctica ha enseñado que esto no es conveniente por los asentamientos diferenciales que se pueden presentar en el edificio, por lo cual, es conveniente realizar sustitución,

En este gráfico se expresa la relación que debe tener una contratrabe, en un sistema de losa de cimentación.

PILAS Las pilas al ser más anchas que las columnas a las cuales corresponden, transmiten sin menor problema axialmente el peso hasta el estrato rocoso-resistente. Por lo cual revisar si su sección soporta el peso al cual estará sometido es una pérdida de tiempo. Pero es necesario verificar que sí tenga el diámetro necesario para resistir la flexocompresión y los momentos de pandeo local, provocados por los enormes momentos de inercia a que están sometidas las plantas bajas de los edificios en los sismos, y que provocan un movimiento diferencial entre la estructura y subestructura del edificio. La revisión de este diámetro se puede realizar con la siguiente ecuación: En donde: n 1,000  ATi =diámetro del fuste (cm) ATi=área tributaria p/ piso i 1   2 n= número de pisos



Con base en este resultado podemos fácilmente subsustituir nuestra cimentación, reduciendo un determinado porcentaje a la altura de la cimentación, que en términos de peso tendrá que ser absorbido por otros medios.

0.3    f ' c

Posteriormente, es necesario que la campana de la pila sea capaz de transmitir los esfuerzos a la capa rocoso resistente, así como anclar la pila a ésta. Esto se puede fácilmente determinar con la ecuación: n

D  200 

90

 AT i 1

 Q

i

En donde: D= diámetro de la campana en cm Q= capacidad de carga del terreno (ton/m2)

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras PILOTES

columna carga 450 ton en la planta baja, el primer terreno es de lomerío, el segundo de transición con 7 mts de profundidad de la capa rocoso resistente (c.r.r.) cuya resistencia de 97.5 ton/mt2, y el tercero en zona del lago con una profundidad de 17 mts de la c.r.r. y una resistencia de 3 ton/m2 en la superficie. 1. Terreno de lomerío (Se propone una cimentación por sustitución) Datos Pe= 7,200 ton (16x450) Peso del edificio Ae=441 m 2 Área del edificio Pt=1.5 ton/m 3 Peso de la tierra arcillosa clásica de la Ciudad de México Altura de la cimentación

Al contrario que las pilas, los pilotes al ser elementos mucho más delgados y esbeltos, sí tiene que ser revisada su capacidad de carga en comprensión, lo cual se puede realizar con la ecuación de resistencia a compresión antes vista:

Po  0.85   Ag  f ' ' c  As  fy  Además, debe de ser revisado el diámetro propuesto para el pilote, por los esfuerzos de flexocompresión provocados por los momentos de inercia sísmicos en la base del edificio con las siguientes ecuaciones:

110  A  2  n    L

 2

para pilotes de fricción

1,100  A 0.3    n  f ' c

para pilotes de punta

En donde: = diámetro del pilote en cm 2 A= área construida en m n= número de pilotes en toda la cimentación L= longitud del pilote sin incluir la punta, en mts. Ejemplo Diseñar la cimentación para un edificio en tres tipos de terrenos. El edificio es de 5 niveles de una planta de 21 x 21 con tres crujías por lado (16 columnas) y cada

h

Pe Ae  Pt

= 10.8 mts se iguala a 11

Se proponen 2 pisos de sótano de 5.5 mts de altura cada piso 2. Terreno de transición Se propone cimentación por pilas. Se proponen pilas para cada columna de 60 cm  del fuste y 120  de campana, armadas con 8 varillas del # 8. Revisión de la resistencia a compresión del fuste Datos fć=250 kg/cm2 fy=4200 kg/cm2

Datos

n

2

At=441 m h=5 fć=250 kg/cm2

  2

1,000   ATi i 1

0.3    f ' c

= 86.52 cm Revisión de la campana Datos At=441 m2 Q=97.5 ton/m2

n

 AT i 1

D  200 

 Q

D= 239.97 cm Los dos diámetros necesarios no coinciden con los propuestos, por lo cual se propone un  para el fuste de 87 cm y un  de 241 cm para la campana. 3. Terreno en la zona del lago Se proponen pilotes de punta de 30 x 30 cm armados con 8 varillas # 8 y un largo de 17 mts a la c.r.r. Datos Ag=900 cm2 (30 x 30) As=40.56 cm2 (8#8)

f´ć=170 kg/cm2 2 fy=4200 kg/cm

Po  0.85   f ' ' c  Ag  As  fy 

2

Ag=  r2 = 2,827.44 cm Área del fuste 2 As=40.56 cm (8#8) Área de acero

Constantes

f * c  0.80  f ' c = 200 kg/cm f ' ' c  0.85  f * c = 170 kg/cm2

i

Número de pilotes necesarios

Pe Po

=274,849.2 kg

= 26.2 Por lo tanto se

proponen 2 pilotes por columna = 32 pilotes

2

Revisión del  del pilote Datos

Po  0.85   f ' ' c  Ag  As  fy  Po=520,813.44 kg = 520.8 ton  450 ton Revisión del  del fuste

OK

n=32 pilotes At= 2,025 m2 (441x5) Área total del edificio fć=250 kg/cm2

 2

1,100  A 0.3    n  f ' c 2

= 34.3 cm es decir un área de 924 cm superior a los 900 cm2 propuestos. Por lo tanto se propone un pilote

91

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras de 35 x 35 cm.

b) Número mínimo de varillas= 6 c) Separación mínima entre varillas longitudinales=20cm d) Diámetro mínimo de estribos=3/8 (#3) e) Separación mínima entre estribos= 15Ø f) Recubrimiento mínimo del acero= 7cm en pilotes colados in situ y 4 cm para pilotes prefabricados. g) Se recomienda que el armado transversal sea helicoidal. 3. Número de Pilotes

c) L (mts): distancia entre columnas o elementos portantes

R  Ag  

En donde: R (ton): Resistencia a flexocompresión del pilote Ag (m2): Sección del pilote σ (ton/m2): Tensión de servicio: a) Para pilotes prefabricados: 700-1000 b) Para pilotes in situ 300-400 Con este dato encontramos el número de pilotes necesarios:

En la imagen superior, podemos observar un Pilote de Control. El Control es un mecanismo que permite regular el hundimiento de un edificio y arreglar hundimientos diferenciales en los mismos. En regiones donde el suministro de agua potable proviene del subsuelo de la misma ciudad, el nivel de la ciudad puede reducirse periódicamente. La Ciudad de México es quizá el ejemplo más dramático. En estos casos la implementación de los pilotes de control pueden reducir el riesgo de un colapso en un evento telúrico, pues garantizan que la basde del edificio sea siempre la misma, además de mantener la verticalidad de los mismos.

4. Armadura longitudinal Para cada pilote la carga a soportar sera de:

As 

Armadura mínima: Mínima geométrica: Mínima mecánica: Armadura máxima: Máxima mecánica:

1. Datos necesarios a) Pt (ton) Carga sobre la columna o elemento portante. Si no se tiene se puede realizar un cálculo aproximado multiplicando: No. de pisos x área tributaria x peso promedio por m2 b) Dimensión propuesta de la sección del pilote

En pilotes prefabricados:

Se recomienda que las características constructivas de los pilotes sean las siguientes: a) Diámetro mínimo de armado longitudinal= ½ (#4)

N d  1.6 

Base

Pt n

N d  1000  0.85  f ´ć   Ag  10000 

MÉTODO ALTERNATIVO

2. Características de los pilotes:

2. Dimensionamiento de la sección de la contratrabe

Pt n R

fy As  0.04  Ag As  fy  0.1  Ag  f ´ć As  fy  0.6  Ag  f ´ć As  fy  Ag  f ´ć

b

L 20

Peralte

d

L 12

3. Cálculo de esfuerzos en contratrabe donde:  e  En M max  1.6  Pt  1000    M [kg-m]  100  Pt [ton] e [mts]





Este momento no deberá ser menor que: En donde: L [mts] M  0.0833  L2 min

4. Armadura longitudinal

As 

M max  100 0.8  d  fy

En donde M [kg-m] d [cm] fy [kg/cm2]

d) Losas (una dirección)

CONTRATRABES PARA PILOTES 1. Datos necesarios a) Pt (ton): carga total de las columnas o elementos portantes. b) e (cm): excentricidad entre el pilote y la columna (5 cm para una buena ejecución de obra, y 10 cm para una mala ejecución de obra)

92

Introducción. En términos estructurales existen dos tipos de losas: perimetralmente apoyadas y planas. Las primeras son las que están forzosamente apoyadas en todo su perímetro sobre sus apoyos (muros y/o vigas), y las segundas son las que se apoyan únicamente sobre columnas. A partir de las experiencias de los sismos de 1985, el uso de

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras losas planas casi se ha eliminado, ya que la mayor parte de los edificios que utilizaron este sistema de losas fallaron o quedaron seriamente dañados durante el siniestro. Esto debido al enorme esfuerzo de punzonamiento (cortante) que ejerce la columna en la losa; a que los apoyos (columnas) no tienen ninguna restricción al giro y no se forman marcos rígidos en la estructura, aunque se han implementado métodos de diseño conocidos como del “marco equivalente” para poner franjas de acero más altas en el tramo de losa entre columna y columna, aun así la rigidez de estas losas, dada por su gran peralte (para salvar el cortante) las convierte en cajas muy rígidas que no interactúan con las columnas. En cambio la losa maciza o aligerada, pero funcionando perimetralmente, ha demostrado ser, estructuralmente, el mejor sistema de piso. Permite a los marcos trabajar, no transmite momentos a éstos y funciona como losas-diafragma, es decir impiden las torsiones en el edificio al funcionar parecido a los contraventeos de los marcos pero en dirección horizontal. Por lo cual en este libro realizaremos el análisis y el cálculo de losas perimetralmente apoyadas. Las planas tienen que desaparecer, al menos en zonas sísmicas. Empezaremos con las losas perimetrales que trabajan en una dirección. Las losas son elementos estructurales cuyas dimensiones en planta son relativamente grandes en comparación con su peralte. Las losas que funcionan en una dirección son aquellas que trabajan únicamente en la dirección perpendicular a los apoyos, esto sucede cuando en una losa perimetralmente apoyada existe un lado que es dos veces o más grande que el otro lado. Esto se define como la relación claro corto (Lc)-claro largo (Ll), para lo cual:

En el diseño estructural actual se pretende que las losas tengan mayor cantidad de acero, para hacerlas elementos estructurales más dúctiles en su comportamiento sísmico, y al mismo tiempo reforzar su comportamiento de losas diafragmas: por lo cual el peralte de las losas ya no depende directamente de los momentos que éstas sufran sino de otras condiciones, que casi siempre (en losas de una y dos direcciones) se refiere a sus condiciones de continuidad, dejando las diferencias en peso (y momento) entre una losa más cargada que otra al armado de acero, así en términos generales las losas contienen mayor cantidad de acero. Por lo tanto el peralte de las losas en una dirección se determinará de acuerdo con la siguiente tabla. Elemento

Libremente apoyada

Empotrada y apoyada

Ambos extremos empotrados

Losas macizas

L/20

L/24

L/28

Vigas y losas nervadas

L/16

L/18.5

L/21

Ahora bien, el armado del acero también es de suma importancia para garantizar el adecuado funcionamiento de las losas, por lo cual se deberán armar de acuerdo al siguiente esquema.

Si Ll/Lc > 2 = losa en una dirección

Esquema tridimensional del armado de una losa Notación fć (kg/cm2): resistencia del concreto fy (kg/cm 2): esfuerzo de fluencia del acero w (kg/m2): carga sobre la losa d (cm): peralte efectivo h (cm): altura total de la sección r (cm): recubrimiento del refuerzo M- (kg-m): momento negativo M+ (kg-m): momento positivo l (cm): largo de la sección Fr (adimen.): factor de reducción (0.9)  (adimensional): constante p (adimensional): cuantía de acero pmin (adimensional): cuantía mínima de acero As (cm2): área de acero Asmin (cm 2): área mínima de acero s (cm): separación del refuerzo Ascontr (cm2): área de acero por contracción scontr (cm): separación del refuerzo por contracción Fórmulas

Si Ll/Lc < 2 = losa en dos direcciones

1.

Cálculo del espesor

h h h

En estas imágenes, podemos observar la deflexión de losas que funcionan en una y dos direcciones.

93

l 28

l 20

l 24

si es libremente apoyada

si tiene un extremo empotrado

si tiene los dos extremos empotrados


h 2.

l 10

Cálculo de momentos empotrada y apoyada

9 wl M  128 wl2 M  8 wl 2 M  8

doblemente empotrada 2

1.

Pmin 

0.7  fy

3.

Nota: si p es menor que pmin, se toma el valor de pmin.

As min 

As  p  b  d

0.7 

f ć fy

b  d

d  h  r = 15.85 cm

Nota: si As es menor que Asmin se toma el valor de Asmin.

100  Av As

4500  h fy  h  100

s contr 

100  Av As

Nota: este procedimiento se realiza tanto para el acero negativo como para el acero positivo. El acero por contracción se coloca en la dirección larga de la losa, que no está sometida a ningún momento. Ejemplo Diseñar una losa con carga distribuida de 991.2 kg/m2. 2 La longitud de la losa es de 5 x 15 mts. fć= 200 kg/cm . Ambos extremos son continuos.

s

Mu(kg  cm) = 0.07 Fr  b  d 2  f ' ' c

p min 

0.001 Se considera pmin ya que p
= 0.0023

Se selecciona varilla # 3 (3/8”) Av= 0.71 cm2

= 19.5 cm se iguala a 19 cm

45000  h = 1.62 cm 2/m fy  h  100 100  Av = 43.8 cm  As contr

Ascontr 

0.7 

f 'c fy

=

Observación: como se puede observar, en el momento positivo, al ser menor, todas las separaciones tuvieron que ser iguales, ya que en el momento negativo tuvimos que considerar las mínimas. Por esta razón recomendamos que en el cálculo de losas tanto de una como de dos direcciones siempre se empiece calculando el momento más grande, si éste no cubre con los mínimos, entonces los demás se pueden obviar.

0.0023 Se considera pmin ya que p
As  p min  b  d = 3.64 cm2/m s

100  Av As

Se selecciona varilla # 3 (3/8”) Av= 0.71 cm2

= 19.50 cm se iguala a 19 cm Claro Corto

Momento positivo (+)

94

  f ''c = fy

La separación constructiva máxima entre varillas es de 30 cm. Por lo cual conservamos el valor de Asconrt e igualamos a 30 cm

Observación: la base de la losa siempre se considera de un ancho de un metro (100 cm) ya que funciona como viga; y como todas las unidades están en centímetros, el momento último se tiene que convertir a kg-cm, multiplicando por 100 o recorriendo dos lugares el punto.

  f ''c = 0.0022 fy

p

Lado Largo

s Ascontr

Momento negativo (-)

p

fy

100  Av As

Cálculo de áreas de acero



f 'c

cm 2/m

r= 2 cm

Cálculo de los momentos (l en mts) w  l 2 = 2065 kg-m wl2 = 1032.5 kg-m M   M  12 24

f ć

0.7 

As  p min  b  d = 3.64

2.

Mu Fr  b  d 2  f ' ' c   f ´ć p fy

Mu(kg  cm) = 0.033 Fr  b  d 2  f ' ' c

p min 

Cálculo del espesor

l = 17.85 cm h 28

Libremente apoyada



Ascontr 

Constantes

2

Cálculo de áreas de acero

s



l= 500 cm 2 w= 991.2 kg/m

f * c  0.8  f ' c = 160 kg/cm f ' ' c  0.85  f * c = 136 kg/cm2

wl M  24 wl2 M  12

2

3.

Datos fć= 200 kg/cm2 2 fy= 4200 kg/cm r= 2 cm

si está en voladizo

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Cálculo Nota: las losas en dos direcciones se calculan igual que las losas en una dirección, con excepción de que en este caso existen momentos en ambas direcciones, para lo cual se requiere calcular el claro corto y el largo. Además, la formula para el peralte es igual a:

Perímetro d 250

Claro Largo

e) Losas (dos direcciones) Las losas las podemos dividir en dos grandes grupos: perimetralmente apoyadas y planas. Las losas apoyadas perimetralmente son aquellas que están apoyadas sobre vigas o muros en su perímetro, y por lo tanto trabajan en dos direcciones, a diferencia de las losas en una dirección que, estructuralmente sólo se apoyan en dos extremos. Las losas planas son aquellas que se apoyan directamente sobre las columnas, sin existir ninguna trabe entre columnas. Este sistema estructural fue ampliamente utilizado en México y en el mundo, sobre todo después del esquema de la famosa Casa Dominó de Le Corbusier. Pero sus principales desventajas son el enorme punzonamiento o cortante que se produce en el apoyo entre columna y losa (que se puede disminuir con el uso de capiteles), y la relativa independencia de las columnas, que al no formar un marco rígido se pandean y/o flexionan a diferentes ritmos cada una. Esto hizo que la mayor parte de los edificios con este sistema de entrepiso en México, se colapsaran en el sismo de 1985; por lo cual han entrado en desuso, por esa razón aquí analizaremos las perimetralmente apoyadas, que sísmicamente funcionan muchísimo mejor.

La primera imagen nos ejemplifica una losa perimetralmente apoyada, la columna se apoya en la intersección de las trabes, y el cortante que producen las trabes en las losas es muy bajo. En el segundo una losa plana, aquí la columna llega directamente a la losa provocando una fuerza de punzonamiento muy elevada. En la tercera tenemos un corte de una losa plana, en donde el esfuerzo punzonante es disminuido por un capitel.

M pa 

6. Carga uniforme (w) con extremos continuos 7. Carga concentrada (P) en apoyos simplemente soportados 8. Carga concentrada (P) en apoyos empotrados

M pa  M ap 

si fs < 2,000 kg/cm 2 (fs = 0.6fy) y w < 380 kg/cm2 si no se cumple alguna o las dos condiciones anteriores:

d



Perímetro  0.034  4 fs  w 250

w a2 144 P 6 3 P 12  3



Para este caso, para calcular el perímetro los lados discontinuos deberán multiplicarse por 1.25 si la losa es monolítica con sus apoyos (ej. losa en trabes o cerramientos de concreto), y por 1.5 si no son monolíticos con sus apoyos (ej. losa apoyada en trabes de acero, o directamente sobre tabiques). Además, con esta formula no es necesario verificar las deflexiones en la losa. Momentos flexionantes en varios tipos de losas Condición Forma Ecuación 1. Carga uniforme (w) , extremos simplemente apoyados

wr2 Mp  6

2. Carga uniforme (w) extremos continuos

Mp 

wr2 12

Mp 

P 2 

Mp 

P 4 

M pa 

w a2 72

3.Carga concentrada (P) en medio con extremos simplemente apoyados 4. Carga concentrada (P) en medio con extremos continuos 5. Carga uniforme (w) con extremos simplemente apoyados

Ejemplo: Diseñar una losa con carga distribuida de 1950 kg/m2. La osa es de 5 x 7 mts. fć= 250 kg/cm2. Y está empotrada en todo su perímetro. Datos fć= 250 kg/cm2 fy= 4200 kg/cm2 w= 1950 kg/m2 b= 100 cm Fr= 0.9 Constantes

f * c  0.8  f ' c = 200 kg/cm2 f ' ' c  0.85  f * c = 170 kg/cm2 fs  0 .6  fy = 2520 kg/cm2

Paso 1. Cálculo del peralte

95

Ll= 700 cm Lc= 500 cm v= 1.27 cm Av= 1.27 cm2










p

Perímetro  0.034  4 fs  w 250 2400  0.034  4 2530  1950 d  15.36  cm 250 h  d  v  15.36  1.27  16.63  17  cm d



Paso 2. Cálculo de Momentos Flexionantes Claro largo

w  Ll 2 1950  7 2   7962.5  kg  m 12 12 w  Ll 2 1950  7 2 M    3981.25  kg  m 24 24 M 

Claro corto

w  Lc 1950  5   2595.83  kg  m 12 12 w  Lc 2 1950  5 2 M    2031.25  kg  m 24 24 M 

2

2

Paso 3. Cálculo de Áreas de Acero Claro largo Momento negativo



M   100 7962.5  100   0.2240 2 Fr  b  d  f ´ć 0.9  100  15.36 2  170

  f ´ć 0.224  170   0.0089 fy 4200 0.7  f ć 0.7  250 p min    0.0026 fy 4200 p

As  p  b  d  0.0089  100  15.36  13.7  cm 2 100  Av 100  1.27 s   9.26  cm As 13.70 Claro largo Momento positivo

M  100 Fr  b  d  f ´ć 2



3981.25  100  0.1102 0.9 100 15.36 2  170

  f ´ć 0.1102  170   0.0045 fy 4200 0.7  f ć 0.7  250 p min    0.0026 fy 4200

Resumen de Armado de Losa Claro Largo Claro Corto Negativo Positivo Negativo Positivo @ 9.26 cm @18.53 cm @18.15 cm @31.82 cm Propuesta constructiva @ 9 cm @ 18 cm @ 15 cm @ 30 cm Todas las varillas son del # 4 (1/2 Pulgada)

As  p  b  d  0.0045  100  15.36  6.8  cm 2 100  Av 100  1.27 s   18.53  cm As 6.8 Claro Corto Momento negativo



M  100

Fr  b  d  f ´ć 2



2595.83 100  0.1124 0.9 100 15.36 2  170

Claro Largo

  f ´ć 0.1124  170   0.0046 fy 4200 0.7  f ć 0.7  250 p min    0.0026 fy 4200 p

As  p  b  d  0.0046  100  15.36  6.99  cm 2 100  Av 100  1.27 s   18.15  cm As 6.99

Claro Corto

Claro Largo Momento positivo



M  100

Fr  b  d  f ´ć 2



2035.21 100  0.0562 0.9  100  15.36 2 170

  f ´ć 0.0562  170   0.0023 fy 4200 0.7  f ć 0.7  250 p min    0.0026 fy 4200 p

As  p min  b  d  0.0026  100  15 .36  3 .99  cm 2

s

100  Av 100  1.27   31.82  cm As 3.99

Paso 4. Armado de la losa

96

En los gráficos superiores podemos observar una LosaDiafragna, es decir una losa que gracias a la incorporación de faldones externos, su comportamiento se equipara al de una viga. Lo cual es muy recomendable para la resistencia sísmica del edificio, sobretodo ente esfuerzos de torsión.

f) Vigas Notación 2 fć (kg/cm ): resistencia del concreto 2 fy (kg/cm ): esfuerzo de fluencia del acero 2 fs (kg/cm ): esfuerzo permisible del acero (0.6fy)

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Pb (adimensional): porcentaje balanceado de acero p (adimensional): porcentaje de acero (0.5Pb) 2 Rn (Kg/cm2.): valor de Mu/bd b (cm): base de la sección d (cm): peralte efectivo de la sección h (cm): altura total de la sección (d+r) Mu (kg-m o kg-cm): momento último resistente As (cm2): área de acero r (cm): recubrimiento del refuerzo Vc (kg): esfuerzo cortante real Vcr (kg): esfuerzo cortante resistente s (cm): separación del refuerzo transversal Fr (adimensional): factor de reducción (0.9) Av (cm2): área de la varilla Fórmulas 1. Cálculo de los momentos y cortantes Este procedimiento se hace de acuerdo con las fórmulas ya vistas. 2.

Cálculo del peralte efectivo

Pb 

f ''c 4800  fy fy  6000

Mu d  FR  R n

Mu 100 As  0.9  fy  0.89  d  4.

Cálculo del cortante (Contribución del concreto)

Vcr  Fr  b  d  0.2  30  p   f * c

s

hd r

M max  M lim 0.8  d  fy

Tabla de Deflexiones Máximas en Vigas Ecuación

Caso





5  w  L4 384  EI



P  L3 48  EI



P  a  3  L2  4  a 2 24  EI



Método Alternativo El área de acero a tensión también puede calcularse con la ecuación:

Mu FR  R n  b

Importante: lo más recomendable, por las características geométricas que debe tener una sección a flexión, es que el peralte sea “aproximadamente” el doble que la base, o cuando menos iguales, de no cumplirse esta condición, se debe reducir la propuesta de la base, hasta que esta condición se cumpla. De no ser así, porque la sección es demasiado pequeña, se recomienda proponer una 2 sección mínima de 700 cm de sección, que es el mínimo para elementos estructurales.

As comp 

Av  fy  d Vc  Vcr

Nota: la separación mínima entre estribos es de 30cm, de dar menor se deberá ajustar a este mínimo.

Nota: el momento último tiene que estar en kg-cm, para lo cual se puede multiplicar por 100 o recorrer dos números el punto.

El acero por compresión se calcula con la siguiente ecuación:

Si el cortante resistente del concreto (Vcr) es mayor que el cortante real, entonces la sección no necesita estribos, y se colocan para armar del # 2.3 ó 3 @ 30 cm., pero si es menor, la diferencia debe ser absorbida por los estribos. Se selecciona el número de la varilla y se calcula su separación de acuerdo a:

p  0.5  Pb

 0.5  p  fy   Rn  p  fy  1  0.85  f ć   bd2 

3. Cálculo del área de acero Las áreas de acero tanto negativas como positivas se pueden calcular con la siguiente ecuación:

As 

M max 0.8  d  fy



P  a2  b2 3 E  I  L

  0.01304 

w  L3 EI

Asimismo, el área mínima de acero a tensión, puede evaluarse con la siguiente ecuación

As tension  fy  0.04  At  f ´ć También se puede determinar si la sección necesita acero a compresión con la siguiente ecuación:

M lim  0.3  f ´ć  b  d 2 si si

M max  M lim M max  M lim

basta con dispones acero a tensión es necesario acero por compresión

97

En estos gráficos, podemos ver dos opciones en la unión de vigas con losas, la primera es que los elementos estén libremente apoyados (los armados no se intersectan), y la segunda es que los elementos estén empotrados (los armados si se intersectan). El apoyo libre es recomendable cuando sea

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras requerido cierto grado de libertad para absorber movimientos sísmicos u por contracciones de temperatura, y el empotramiento, cuando se requiera de mayor rigidez para soportar esfuerzos laterales.

Límites permisibles para deflexión de elementos en función de su claro Tipo de Elemento Tipo de Carga Carga Viva Carga Viva + Carga muerta Entrepisos L/360 L/240 Vigas L/360 L/240 Azoteas c/acabado en L/360 L/240 plafón Azoteas c/plafón sin L/240 L/180 repellado Azoteas sin acabado L/180 L/120 Claro vertical en muros L/180 ___ interiores Claro vertical en muros L/240 ___ exteriores Edificios o estructuras ___ L/180 industriales Invernaderos ----L/120

En el gráfico superior podemos apreciar el funcionamiento de una viga post-tensada. En el primer gráfico observamos como es el proceso de fabricación, con cables en el interior de perforaciones previas en el colado, posteriormente (segundo gráfico) se tensiona el cable, lo cual aumenta significativamente la resistencia de la viga, y crea una contraflecha importante. Finalmente, al soportar un peso considerable, la contraflecha se elimina y la viga queda perfectamente recta. La resistencia del cable puede alcanzar los 16,000 kg/cm2, por lo cual la resistencia de las vigas post-tensadas son ,uy significativas.Los pisis superiores (volando) del edificio de la Defense en París (foto inferior) esta estructurado por grandes vigas post-tensadas.

d viga 4

8  db

24  d e

300 mm

En donde db es el diámetro de la barra longitudinal mas gruesa, y de es el diámetro del estribo. La separación en la zona central debe ser menor a la mitad del peralte efectivo.

g) Ecuaciones para Vigas Isostáticas

R a  Rb  M max 

P 2

PL 4

b L a Rb  P L ab M max  P L Ra  P

En el gráfico superior podemos apreciar los criterios de armado de vigas coyo claro es superior o igual a cuatro veces el peralte nominal de la trabe. El primeros estribos se deben poner a menos de 5 cm de la columna; en las zonas de cortante existe una zona de confinamiento de los estribos igual a dos veces el peralte total de la viga, en donde la separación de los estribos sea menor acualquier de los siguientes cuatro criterios:

98

R a  Rb  P M max  Pa


wa 2    2 wa Rb   2 a  L 2 wa M max  2   2 8 Ra 

3P R a  Rb  2 M max

PL  2

Pn R a  Rb  2 M max 

PL 2

M max

wL 6 wL Rb  3 wL2 M max  9 3 Ra 

wL R a  Rb  2

M max 

wcb Ra  L wca Rb  L wabc  c   1   L  2L 

wL2 8

R a  Rb 

M max 

w L  a  2

wL2 wa 2  8 6

2wa  wb L 6 w  2 wb Rb  a L 6 wb L2 M max  8 Ra 

Ra 

Ma L

Rb   Ra M max  M a

M0 L M Rb  0 L a M 1  M 0 L b M2  M0 L Ra  

R a  Rb 

M max 

99

wL 4

wL2 12


M max  

wL2 2

wL 2

R

wa 2 Ra   2L  a2   Rb  w a  2 L   Mb  

2 wL 5 1 Rb  wL 10 wL2 Ma   15 wL2 M1  33.6 Ra 

R  wL

a Ra   P L aL Rb  P L M b   Pa

M max  

3 Mb  2 L 3 M Rb    b 2 L M Ma   b 2 Ra 

wL2 6

wa 2 2

RP

M max   PL





Pb 3 L2  b 2 3 2L Pa 2 Rb  3 b  2 L  2L Pab M a   2 L  b  2L M 1  Rb b Ra 

5 wL 8 3 Rb  wL 8 wL2 Ma   8 9 M1  wL 2 128 Ra 

RP

M max   Pa

100









3M 0 L2  b 2 2 L3 3M 0 L2  b 2 Rb  2 L3 2 M0  b  Ma  1  3   2   L   Ra  

wL 2 wL2 Ma  Mb   12 2 wL M1  24 R a  Rb 


P3a  b b 2 L3 Pa  3b a 2 Rb  L3 Pab 2 Ma   2 L Pa 2 b Mb   2 L 2 Pa 2 b 2 M1  L3

R a  Rb 

Ra 

Ma  Mb  

6M 0 ab L3 6 M 0 ab Rb  L3 M b M a  02 2a  b  L M b M b  20 a  2b  L Ra  

h) Flechas permisibles 1. No es necesario calcular la flecha de una viga en los siguientes casos:

wa 2 M a  M b  2L L



wa 2 3  4  1.5 2 6

Mb  

wa 3

2



  0.75 

a  L



wcL  1  1     M a 4  2 

M1 

wa L  0.5a  M a  M b Ra   L L

Ma  



wcL 3 2 24

f  0.5  Finst  viga  un  claro  cantiliber

c  L

7 Ra  wL 20 3 Rb  wL 20 wL2 Ma   20 wL2 Mb   30 wL2 M1  46.6

Rb 

wc 2

2

L L L L

d d d d

 8  Cantiliber  14  Isostáticas  18  Bordes  hiperestáticas  20  Claros  medios  hiperestáticas

2. Cálculo de flecha instantánea

Finst 

5 wl4  Viga  isostática 384  E  I 101

f  0.2  Finst  viga  media  de  hiperestática

Finst

wl4   Cantiliber 8 E  I

3. Cálculo de flecha diferida

Fdif  1.5  Finst 4. Cálculo de flecha total

Ftot  Finst  Fdif 5. Limitaciones

Ftot 

L 250 i) Losas Nervadas

Las losas nervadas estan compuestas por una serie de pequeñas vigas en ambos sentidos de las losas, por lo cual, el procedimiento de su cálculo combina elementos de ambos temas. Procedimiento: 1. Cálculo de peso por metro cuadrado. En este paso se calcula cual es peso de la losa por metro cuadrado incluyendo la Carga Muerta (peso propio + acabados) y la Carga Viva (incluyendo las cargas accidentales. 2. Cálculo de momentos y cortantes En este paso, acorde a las condiciones de las coneiones de la losa, se calculan los momentos flexionantes positivos y/o negativos en ambas direcciones, así como los cortantes; todos ellos con las ecuaciones utilizadas hasta el momento.

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Nota: De aquí en adelante únicamente se calcula una nervadura (viga) del sentido largo, y otra del sentido corta. Porque funcionan como vigas, y todas las demás nervaduras del mismo sentodo son iguales. 3. Cálculo de la base efectiva Como el peralte esta establecido de antemano por las las caracteristicas constructivas del sistema (altura del caseton + capa de compresión), el peralte no puede variar, por loo cual se revisa la base con la siguiente ecuación:

d

Mu Mu  Despejando  b  Rn  b Rn  d 2

4. Cálculo del área de acero Este procedimiento es identico al de una viga, ya que es una viga. 5. Cálculo del cortante. Este procedimiento es identico al de una viga, ya que es una viga

j) Vigas hiperestáticas Para calcular la distribución de los momentos en trabes hiperestáticas (de cualquier material), los métodos de coeficientes aproximativos (estadísticos), han comprobado tener mayor exactitud que los llamados métodos tradicionales (Cross, Kani, Clásico y Matricial). A continuación presentamos los coeficientes para las cargas muertas y vivas. Para obtener los momentos correspondientes se multiplican los coeficientes por el producto de multiplicar el peso (kg/ml) por el claro de la barra respectiva al cuadrado. Para obtener los momentos finales se suman los resultados de muertas y vivas. Posteriormente cada barra es calculada.

Ejemplo Calcular una viga hiperestática de tres con extremos empotrados, carga muerta de 1,100 kg/ml (Wm) y una carga viva de 450 kg/ml (Wv).

102

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras 3. Revisión de la sección

As  fy d f ´ć  t

As  fy t f ´ć  d

(vigas)

(nervaduras en sistema de losa) 4.Revisión del momento resistente

 t a    Mr  Fr   Asp  fy   d     As  Asp  fy   d   2 2      En el caso de vigas en sistema de losa, Mr se divide entre la cantidad de nervaduras en sentido contrario a lo largo de la nervadura analizada. En donde:

f ´ć  b  t  fy  As  Asp  fy a f ´ć  t Asp 

k) Vigas “T” Nota: La notación es la misma que para las vigas, cuando no sea así, se indicará. Procedimiento 1. Cálculo del área de acero

f ´ć 4800 Porcentaje balanceado de acero Pb   fy fy  6000

p  0.5  Pb Porcentaje de sección subreforzada As  p  d  t d y t se proponen 2. Cálculo del ancho del patín (b) Se toma el menor de: a) 1 8  L  

t (vigas 2

en losas) c) La mitad al paño de la próxima viga x 2 + t (nervadas) d) t  8 (vigas en losas y solas)

(área de acero en la zona de tensión) (profundidad del eje neutro)

5. Revisión del cortante

Vcr  Fr  d  t  0.2  30  p   f * c

s

Resistencia del concreto a cortante Separación de los Av  fy  d estribos (Av es el área del V  Vcr estribo seleccionado)

Ejemplo Calcular una viga T de una losa nervada de 7 mts de largo, empotrada en ambos extremos, de 25 cm de base por 35 cm de peralte. El peso sobre la nervadura es de 2,142 kg y la cruzan 23 nervaduras perpendiculares. Datos fć=250 kg/cm2 2 fy=4200 kg/cm t=25 cm d=35 cm

w=2142 kg/ml l=700 cm b=60 cm Fr=0.9

Constantes


103

Paso 1. Cálculo de momentos y cortantes

M

w l 12

= 124,950 kg-cm

V 

w 2

= 1,071 kg

Paso 2. Cálculo del área de acero

p  0.5  Pb = f ´ć 4800  = 0.019 0.0095 fy fy  6000 As  p  d  t =8.31cm2 Se proponen 6 varillas del #4

Pb 

Paso 3. Revisión de la sección (t)

t

As  fy f ´ć  d

= 5.86 cm  25 cm

OK

Paso 4. Revisión del momento resistente

f ´ć  b  t  1.41 cm2 fy  As  Asp  fy = 6.81 cm a f ´ć  t Asp 

 t a    Mr  Fr  Asp  fy   d     As  Asp   fy   d   2 2    

= 943,981.29 kg-cm  M- OK Paso 5. Revisión del cortante

Vcr  Fr  d  t  0.2  30  p   f * c

=1,273 kg  V Se proponen estribos #3 @ 30cm

l) Muros de contención

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras empuje de tierras, la fricción entre muro y suelo de relleno, el empuje hidrostático o las fuerzas de filtración en su caso, las sobrecargas en la superficie del relleno y las fuerzas sísmicas. Los empujes desarrollados en condiciones sísmicas se evaluarán en la forma indicada en las Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Sismo”.

Notación w Peso de la tierra ton/m3 W Peso de la tierra del triángulo ton/ml h Altura de la tierra detenida P Peso resultante

P  0.286 

w  h2 2

M  0 .128  P  h

m) Columnas

Una vez que se obtiene el momento, se procede a calcular el peralte y el armado, como una viga de 100 cm de base

Las NTC-Cimentaciones precisan consideraciones importantes para el diseño y cálculo de muros de contención, que a continuación reproducimos:

Notación Mu (ton-m): momento último en la columna Pu (ton): peso último en la columna fć (kg/cm2): resistencia del concreto fy (kg/cm 2): esfuerzo de fluencia del acero p (adimensional): cuantía del acero (0.025) r (cm): recubrimiento del refuerzo ea (cm): excentricidad accidental d (cm): lado de la sección interna h (cm): lado mayor de la sección externa b (cm): lado menor de la sección externa Fr (adimensional): factor de reducción (0.75) As (cm2): área de acero (0.025) de (cm): diámetro del estribo db (cm): diámetro del refuerzo longitudinal I (cm4): momento de inercia de la sección E (cm3): módulo de elasticidad del concreto

“Los muros de contención exteriores construidos para dar

Fórmulas

En esta serie de 3 gráficos, podemos observar el comportamiento estructural de un muro de contención, que no es volcado, por su adecuada geometría estructural, pero que si es desplazado por no equilibrar la fricción con el resto de las fuerzas. Para evitar este desplazamiento, es adecuado implementar una contratrave que equilibre correctamente las fuerzas.

estabilidad al terreno en desniveles, deberán diseñarse de tal forma que no se rebasen los siguientes estados límite de falla: volteo, desplazamiento del muro, falla de la cimentación del mismo o del talud que lo soporta, o bien rotura estructural. Además, se revisarán los estados límite de servicio, como asentamiento, giro o deformación excesiva del muro. Los empujes se estimarán tomando en cuenta la flexibilidad del muro, el tipo de relleno y el método de colocación del mismo. Los muros incluirán un sistema de drenaje adecuado que impida el desarrollo de empujes superiores a los de diseño por efecto de presión del agua. Para ello, los muros de contención deberán siempre dotarse de un filtro colocado atrás del muro con lloraderos y/o tubos perforados. Este dispositivo deberá diseñarse para evitar el arrastre de materiales provenientes del relleno y para garantizar una conducción eficiente del agua infiltrada, sin generación de presiones de agua significativas. Se tomará en cuenta que, aún con un sistema de drenaje, el efecto de las fuerzas de filtración sobre el empuje recibido por el muro puede ser significativo. Las fuerzas actuantes sobre un muro de contención se considerarán por unidad de longitud. Las acciones a tomar en cuenta, según el tipo de muro serán: el peso propio del muro, el

104

1. Cálculo del refuerzo longitudinal Tanteo inicial (se propone la sección, mínimo 40 x 40 cm) Para poder calcular la resistencia de una sección flexocomprimida (que es el caso más crítico en compresión), en necesario primero revisar que:

l r  100 y posteriormente que la excentricidad accidental no sea mayor que:

ea  0.05  h  2cm Si no se cumplen cualquiera de las dos condiciones anteriores, significa que la columna es demasiado esbelta, es decir, que su relación ancho-alto es muy alta, por lo cual hay que reducir la altura de la columna, lo cual es menos probable por los requisitos arquitectónicos; o

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras aumentar la sección de la misma. Entonces se calcula su resistencia:

Fr   2  0.4  E  I  Pc  l2

En donde:

E  14,000 

f ć

b  h3 I 12

As  p  b  d

2. Cálculo del refuerzo transversal Para la separación entre estribos se tomará el menor de los siguientes valores (del # 2.5 en adelante):

48  de

850  db fy

b

Relación de esbeltez recomendable para columnas de concreto (según ACI) Columnas posteriores al L b primer nivel

14 L b 10

Columnas para primer nivel con cero restricciones

Ejemplo Dimensionar una columna que carga 100 ton y tiene un 2 momento último de 23.5 ton-m, fć= 200 kg/cm y r = 5 cm, y una longitud de 5 mts. Datos Mu = 23.5 ton-m Pu = 100 ton fć = 200 kg/cm2

p = 0.025 r = 5 cm l= 500 cm

l r

= 25 < 100 OK

ea  0.05  h = 2cm < 2cm

OK

Revisión de la resistencia

b  h3 I 12 Pc 

E  14,000  f ' c

= 213,333 cm4

= 221,359.43 cm3

Fr   2  0.4  E  I  = 559,292kg >100,00kg OK l2

As  p  b  d = 40 cm2

Se usarán 6 varillas del # 10

2. Cálculo del refuerzo transversal ¿Se tomará la separación entre estribos el menor de las siguientes tres ecuaciones (del # 2.5 en adelante): Se consideran estribos del # 3 (de= 0.95, db= 3.13) 48  de = 45.6 cm

850  db = 41 cm fy

1. Cálculo del refuerzo longitudinal Tanteo inicial = 40 x 40 cm Revisión de las relaciones de esbeltez:

Método Alternativo 2 1. Datos necesarios a) Pt (kg): peso total sobre la columna b) H (m): altura de la columna 2. Armadura de la columna Capacidad resistente del concreto (b y h en cm) Área de acero

Po  0.85  f ´ć  b  h

As 

b = 40 cm Se toma 40 cm

Pt  Po fy

Area de acero mínima Método Alternativo Una buena referencia para poder determinar la correcta sección de acero en una columna de concreto, la podemos obtener de las siguientes ecuaciones acero mínimo y máximo:

As total  fy  0.10  Ag  f ´ć

Acero mínimo

As total  fy  1.0  Ag  f ´ć

Acero máximo

Constantes


Es muy importante que en la intersección de columnas con vigas, la viga tenga la misma base, o menor, que la columna. Así se evita el punzonamiento de la columna en la viga, además de las fuerzas cortantes normales. En el gráfico, podemos observar como el armado de la viga paso dentro del armado de la columna, lo cual es la práctica recomendable.

Espaciamiento de Estribos (#3) en columnas ACI Varillas en Columna Espaciamiento Máximo

#4 #5 #6 #7 #8

8 cm 10 cm 12 cm 14 cm 16 cm

105

 Pt  Asmin 1  0.1     fy  3. Revisión del Pandeo La esbeltez mecánica debe ser:   35

As min 2  0.04  Ag



 H  12 h

El valor de β es de: 2 para columnas empotradas en un extremo y libres en otro, 1 con ambos extremos articulados, 0.7 empotrado y articulado, y 0.5 si ambos extremos son empotrados.

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras La separación de estribos en la zona central, debe ser menor que los valores de los siguientes criterios:

850  d b fy

48  d e

Notación


Paso 1. Tanteo inicial de la sección b= 40 cm h= 40 cm

bmax

H 6

600mm

La separación mínima en esta zona de confinamiento debe ser menor que cualquiera de los siguientes tres criterios:

bmin 4

6  db

100mm

Pu Mu    fc  ó  fs   1.3 At I

Criterio de deformación permisible 3 En donde:

Ps  L  3  E  I 

fc  0.45  f ć fs  0.5  fy

  Ps  L3     0.333  E  I   

p=0.025 Porcentaje de acero r=5 cm Recubrimiento L=500 cm Fr=0.75

Constantes

Fórmulas 1. Criterio de esfuerzos permisibles

3.

Ejemplo Calcular una columna (compresión y sismo) doblemente empotrada de 5 mts de largo, que carga un peso de 10 ton y tiene un momento de 873,600 kg-cm. Datos Mu=873,600 kg-cm Pu=10000 kg 2 fć=250 kg/cm fy=4200 kg/cm2

2

K (kg/cm ): fatiga unitaria del elemento Pu (kg): peso último sobre el elemento 2 At (cm ): área de la sección del elemento estructural Mu (kg-cm): momento último en el elemento r (cm): distancia del centro de gravedad de la sección a la fibra extrema comprimida en el lado más corto (radio) I (cm4): momento de inercia de la sección

En el gráfico superior, podemos apreciar los criterios de las NTC para la colocación de estribos en columnas. Existe una zona de confinamiento en la junta con la columna que debe ser mayor que el valor más alto de los siguientes 3 criterios:

Ps  L E  I  cos  2

bmin 2

n) Revisión sísmica de columnas

K



b  h2 I 12

DEFORMACIÓN DE COLUMNAS CONTRAVENTEADAS ():

Revisión de las relaciones de esbeltez

L = 25cm  100 cm OK b  0.5

ea  0.05  h

= 2 cm  2cm

OK

Propiedades de la sección

b  h3 I 12

= 213,300 cm4

E  14,000  f ' c =221,359.43 cm

3

Paso 2. Revisión de la resistencia

Pc 

Fr   2  0.4  E  I  l2

As  p  b  d = 40 cm2

= 559,292 kg  Pu OK

Se utilizarán 6 varillas del # 10

Paso 3. Cálculo del refuerzo transversal de= 0.95 cm Diámetro del estribo #3 db= 3.13 cm Diámetro de la barra longitudinal #10

Este mismo criterio de separación se utiliza en los estribos en la zona de traslape del refuerzo longitudinal.

106


 A

48  de = 45.6 cm

850  db = 41 cm fy

b = 40 cm

n i 1

1000  At i

0.3  f ć

En donde: n = Número de pisos A = Área de la sección transversal de la columna Ati = Área tributaria en m2

Se toma 40 cm

Paso 4. Revisión sísmica de la columna Criterio de esfuerzos permisibles

fc  0.45  f ć   1.3 = 146.25 kg/cm2 Pu Mu  At I

= 10.345 kg/cm2  fc

OK

Criterio de deformación permisible Cs= 0.40 Coeficiente Ps  Pu  Cs = 4,000 kg sísmico Peso sísmico (fuerza horizontal)



Ps  L = 3.52 cm 3  E  I  3

 0.5 b

I vig 

OK

En este apartado veremos la transmisión de momentos y cortantes sísmicos en las columnas, y de las columnas a las trabes. Estos momentos se tienen que sumar a los normales para determinar los momentos actuantes bajo circunstancias de carga desfavorables. Notación P (kg): peso o carga total sobre una columna Ps (kg): peso o empuje lateral sobre una columna Cs: coeficiente sísmico Lcol (cm): largo de la columna Lvig (cm) : largo de la viga Msis (kg-cm): momento flexionante sísmico I (cm4): momento de inercia de la viga r (cm3): rigidez propia de la viga Vsis (kg): esfuerzo cortante sísmico Fórmulas 1. Cálculo del empuje lateral en la columna

También podemos revisar sismicamente la sección de la columna con la siguiente ecuación:

L vig

b  h3 12

Vsis 

M sis Lvig 2

Nota: Los cortantes y los momentos flexionantes sísmicos (horizontales) se suman a los verticales para obtener los momentos y cortantes totales.  Los muros no transmiten momentos a las vigas, por tanto en éstas se tomará el momento y cortante producido únicamente por las cargas verticales.  Las vigas que se apoyan en columnas aisladas o de esquina soportan la totalidad del momento sísmico y su consecuente cortante. A continuación presentamos un método japonés de coeficientes para momentos debidos a cargas verticales en edificios de varios pisos. Para obtener los momentos sísmicos se aplican los principios ya vistos y se suman los resultados.

Ps  P  Cs

2. Cálculo del momento que produce la columna en trabes de borde En las ilustraciones podemos observar una intersección típica de losa en trabe con columna. A la izquierda observamos el modo adecuado de realizarlo, la losa se empotra con la trabe y reparte todo su peso a esta, a su vez la trabe a la columna. En el gráfico de la derecha observamos que la losa se apoya libremente en la trabe, el problema es que en un movimiento sísmico la losa tiende a golpear la columna, como si fuese una navaja actuando horizontalmente.

I vig

4. Cálculo de cortante sísmico

o) Estructuras hiperestáticas

At=1600 cm2 (40x40) Área de la sección

K

r

Msis  Ps 

Lcol 2

3. Distribución de momentos sísmicos en trabes centrales o internas

Msis1, 2 

M sis  r r

Coeficientes de wl2 (los coeficientes para columnas están en un cuadro).

En donde:

En las vigas los coeficientes para momentos negativos se indican arriba del eje de la viga; los

107

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras coeficientes para momentos (momento=wl2  coeficiente).

positivos,

abajo

El método que aquí presentamos es únicamente para obtener los momentos debidos a cargas verticales (vivas y muertas). Cada elemento, ya sea viga o columna, debe ser revisado sísmicamente idénticamente como lo vimos en el ejemplo de la viga hiperestática, pero aplicado a cada nivel. En el caso de las columnas es recomendable revisar por los dos métodos vistos (esfuerzos y deformación) recordando que el peso sísmico aumenta en los pisos inferiores debido a que soportan cada vez más peso. En el caso de las vigas, al igual se le debe aumentar los momentos sísmicos de acuerdo con el método visto, de la misma forma las vigas de las plantas inferiores reciben más momento de las columnas ya que éstas están más cargadas.

podemos ver los momentos sísmicos de la misma estructura cuyo máximo valor es de 340,770 kg-m, lo cual opaca y por mucho los momentos normales. En la mayor parte de los cursos de estructuras, la enseñanza del comportamiento sísmico de una estructura es muy vago, respecto a su importancia, que en las regiones sísmicas debe dominar los criterios de diseño. En el último grafico podemos ver la distribución de fuerzas simultáneas en la misma estructura.

Ejemplo: Paso 1. Primero se determinan las cargas que actúan obre el marco, esto incluye las cargas en las vigas (w), los correspondientes pesos que soportan las columnas (P), así cómo el peso sísmico correspondiente (Ps).

En muchas ocasiones por no ser precavidos en la distribución de momentos en cada piso, o por querer ahorrar en el costo de la construcción, se prefabrican o se producen en serie todas las vigas o columnas con la misma sección, sin entender que la distribución de fuerzas varía en cada piso.

Paso 4. Se calculan los momentos totales. En el siguiente gráfico, se traslaparon todos los momentos en la misma crujía para que esto fuera más claro. Primero se colocaron los momentos gravitacionales, y posteriormente los sísmicos. El cálculo de los momentos totales se realiza estudiando ambas trayectorias de movimiento. En el gráfico se muestra la trayectoria de izquierda a derecha, pero también se debe estudiar la trayectoria derecha izquierda, por tanto la gráfica quedaría invertida, y lo momentos quedarían como sigue (posteriormente se calcula con los mayores):

M TB  M sisB  M B  M AB  M TA  M sisA  M A

DISTRIBUCIÓN DE FUERZAS EN UNA ESTRUCTURA HIPERESTÁTICA Paso 2. Se determinan cuáles son los coeficientes hiperestáticos de la estructura, y se calculan los momentos gravitacionales.

En esta serie de gráficas podemos ver la distribución de las fuerzas internas en una estructura hiperestática. En este caso en particular es un marco rígido de la planta baja de un edificio de siete niveles. En el primer gráfico podemos ver los momentos debidos a carga muerta y viva, como se observa el momento máximo es 8,088 kg-m, pero en el siguiente marco

Paso 3. Conociendo los pesos sísmicos de la estructura, se procede a calcular los momentos sísmicos de la misma.

108

Paso 5. Se calculan los cortantes totales, que son la simple suma de los cortantes gravitacionales y los cortantes sísmicos.

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras En estos tres ejemplos podemos apreciar como pequeñas variaciones en la forma de los marcos estructurales, pueden traer percepciones muy diferentes de un espacio arquitectónico.

i   r

i (cm): Diámetro Interior del gancho : 6 si la barra es del #3 al #8, y 8 si es del #9 al #11 r (cm): Diámetro de la barra

2.

p) Longitud de desarrollo en acero de refuerzo

Cálculo de la longitud de la extensión del gancho En donde: e (cm): longitud de la e  4   r   6.35cm extensión del gancho r (cm): Diámetro de la barra

Barras del #3 al #11:

l d  13cm  0.004  d b  f y  0.04  Ab 

fy f c0.5

Barras del #14:

l d  13cm  0.004  d b  f y  Ab  El esfuerzo interno de un contraventeo se puede calcular fácilmente con el teorema de Pitágoras, como se muestra en la imagen. Esto contribuye a la estabilidad de la estructura cuya deformación será ahora de:

Ps  L  E  cos  2

En lugar de



Ps  L3 3 E  I

fy f c0.5

Barras del #18:

l d  13cm  0.004  d b  f y  0.11  Ab 

fy f c0.5

Barras en compresión:

l d  13cm  0.004  d b  f y  0.02  d b  Ab 

fy f c0.5

En donde ld (cm): Longitud de desarrollo mínima para barras en tensión Ab (cm2): Área de la sección de las barras Fy (kg/cm2): Esfuerzo de fluencia del acero Fc (kg/cm2): Resistencia del concreto Db (cm): Diámetro de la barra DISEÑO DEL GANCHO DE LAS BARRAS DE REFUERZO Cualquier varilla en tensión menor del #14 requiere un gancho en cada extremo. Las barras en compresión no requieren ganchos. 1.

Cálculo del diámetro interior del gancho En donde:

109

En el gráfico superior, podemos apreciar los criterios de longitud de desarrollo mínimo de las NTC.

q) Recubrimiento del refuerzo El recubrimiento del acero de refuerzo, es una de las medidas más importantes para garantizar la vida útil de la estructura. Cuando el acero de refuerzo esta expuesto,, se empieza a oxidar con una velocidad proporcional a las características del medio ambiente. Cuando esto sucede, se modifican las características mecánicas, y se reduce la resistencia. Las NTC especifican que el recubrimiento debe ser de 1 cm, o un diámetro de la varilla (lo que sea mayor), lamentablemente, es una especificación muy pobre que

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras no cubre las diferentes circunstancias a que esta sometida una estructura.

En la práctica no es recomendable seguir el mímino de las NTC, ya que el agregado grueso mas ampliamente utilizado es de 3/4", es decir 19 mm, por lo cual el concreto no puede fluir entre la cimbra y el armado; y como resultado, el mortero es el que almacena en el recubrimiento, disminuyento la resistencia de la sección y la durabilidad de la estructura. Por tal motivo, a continuación presentamos los criterios del Eurocódigo y el ACI. La tabla inferior (4.1 Eurocódigo 2) del Eurocódigo 2 (1992) clasifica los tipos de exposición a que pueden estar sometidas las estructuras, asi como ejemplos de las condiciones ambientales

El pH es la concentración de iones de Hidronio (H3O+), 3 medida con la ecuación: pH = -log10[aH3O ], por lo cual, la diferencia real entre un valor de pH 8 y 14 es de un millón de veces más concentración de iones. Por lo cual, es muy importante verificar el contenido de pH en el agua o ácidos, alos que estará espuesto el concreto. Es importante puntualizar que los recubrimientos mínimos no incluyen su respectiva tolerancia. La práctica mas común recomienda 10 mm para concreto hecho en obra, y 5 mm para concreto presforzado, por lo cual, estas cantidades se deben sumar a los mínimos especificados en las normas. En la tabla inferior (7.7 ACI) podemos apreciar los recubrimientos recomendados por el ACI, donde se puede apreciar que el recubrimiento mínimo es de 20 mm, para que pueda pasar el agregado grueso (19 mm), y un máximo de 75 mm, para estructuras expuestas permanentemente al terreno. En el gráfico superior podemos apreciar la degradación del concreto en un periodo de 100 años expuesto a valores de pH entre 4.5 y 6.5, presentes en el agua de lluvia. Todos los estudios relacionados han confirmado que un buen contenido de Óxido de Silicio (SiO2) en el concreto, decrementa drásticamente los efectos de los ácidos en éste. Recordemos que las Cenizas Voladoras contienen en promedio 30 a 50% de Óxido de Silicio, por lo cual, es recomendación de utilización. Por ejemplo, una losa que estará expuesta a detergentes (lavado de autos, ropa, etc), tendrá contacto permanente con el Hidróxido Sódico presente en los detergentes comunes, que tienen un pH de 14. Es decir, la concentación de iones será 10 millones mayor que la del agua de lluvia, por lo cual, el proceso de oxidación será muy severo.

Una vez que se ha seleccionado el tipo de exposición (por ejemplo 4.a = Ambiente marino sin hielo), se procede a seleccionar el recubrimiento mínimo acorde con la tabla inferior (4.2 Eurocódigo 2). En esta se cruza el tipo de exposición, con el tipo de armado de la estructura, y obtenemos el recubrimiento mínimo.

b) Corrosión por sulfatación Existen tres condiciones especialmente severas para el recubrimiento de concreto, estas son: a) Corrosión por pH (ácidos); b) Corrosión por sulfatación, y c) Corrosión por carbonatación. a) Corrosión por pH (ácidos):

110

Los sulfatos (SO4), presenta un proceso de oxidación en el concreto que puede ser muy severo. El ACI especifica requerimientos muy específicos para concretos expuestos a sulfatos. Estos se encuentran principalmente en terrenos con salinidad, por el contenido de SO4

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras presente en las sales del ácido clorhídrico, y en el agua de mar.

c) Corrosión por carbonatación La Cal Apagada o Hidróxido de Calcio [Ca(OH)2] presente en el concreto, reacciona con el Dióxido de Carbono (CO2) producto de la combustión de motores, produciendo Carbonato de Calcio (CaCO3).

s) Durabilidad del Concreto Reforzado En este apartado no pretendemos hacer una completa descripción y análisis del proceso constructivo del concreto reforzado, sino puntualizar algunos aspectos muy importantes que se deben cuidar desde el punto de vista estructural.

t) Normas NMX de Estructuras de Concreto Reforzado NMX-C-030-ONNCCE-2004 Agregado. Muestreo.

NMX-C-049-ONNCCE-2006 Cemento hidráulico. Método de ensayo para la determinación de la finura de cementantes hidráulicos mediante la malla 0.045 mm. (No. 325). NMX-C-056-1997-ONNCCE Determinación de la finura de los cementantes hidráulicos (método de permeabilidad al aire). NMX-C-057-1997-ONNCCE Cementantes hidráulicos. Determinación de la consistencia normal. NMX-C-058-1967 Método de prueba para determinar el tiempo de fraguado en cementantes hidráulicos (método de Gillmore). NMX-C-059-ONNCCE-2006 Cementos hidráulicos. Determinación del tiempo de fraguado de cementantes hidráulicos (método de Vicat). NMX-C-061-ONNCCE-2001 Cemento. Determinación de la resistencia a la compresión de cementantes hidráulicos. NMX-C-061-ONNCCE-2001 Cemento. Determinación de la resistencia a la compresión de cementantes hidráulicos. NMX-C-073-ONNCCE-2004 Agregados. Masa volumétrica. Método de prueba. NMX-C-075-ONNCCE-2006 Agregados. Determinación de la sanidad por método del sulfato de sodio o del sulfato de magnesio. NMX-C-077-1997-ONNCCE Agregados para concreto. Análisis granulómetro. Método de prueba. NMX-C-081-1981 Aditivos para concreto curado. Compuestos líquidos que forman membrana. NMX-C-083 – ONNCCE-2002 Concreto. Determinación de la resistencia a compresión de cilindros de concreto. Métodos de prueba. NMX-C-084-ONNCCE-2006 Agragados para concreto. Partículas más finas que la criba 0.075 mm (No. 200) por medio de lavado. Método de prueba. NMX-C-088-1997-ONNCCE Agregados. Determinación de impurezas orgánicas del agregado fino. NMX-C-090-1978 Método de prueba para expansores y estabilizadores de volumen del concreto. NMX-C-105-1987 Concreto ligero estructural. Determinación de la masa volumétrica. NMX-C-109-ONNCCE-2004 Concreto. Cabeceo de especímenes cilíndricos. NMX-C-111-ONNCCE-2004 Agregados para concreto hidráulico. Especificaciones y métodos de prueba. NMX-C-117-1978 Aditivos estabilizadores de volumen de concreto.

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NMX-C-128-1997-ONNCCE Concreto sometido a compresión. Determinación del módulo de elasticidad estático y relación de Poisson. NMX-C-132-1997-ONNCCE Cementantes hidráulicos. Determinación del fraguado falso del cemento Pórtland. Método de pasta NMX-C-140-1978 Aditivos expansores del concreto. NMX-C-147-1983 Postes de concreto reforzado sección “I”. Especificaciones. NMX-C-148-ONNCCE-2002 Cementos hidráulicos. Gabinetes y cuartos húmedos y tanques de almacenamiento para el curado de especímenes de mortero y concreto de cementantes hidráulicos. NMX-C-150-1973 Determinación de la finura de cementantes hidráulicos mediante tamiz No. 80 mm (No. 200). NMX-C-151-ONNCCE-2001 Cementantes hidráulicos. Determinación del calor de hidratación. NMX-C-152-1997-ONNCCE Cementantes hidráulicos. Método de prueba para determinación del peso específico de cementantes hidráulicos. NMX-C-153-1971 Método de prueba para la determinación del sangrado en pasta de cemento y en mortero. NMX-C-154-1987 Concreto. Determinación del contenido del cemento en concreto endurecido. NMX-C-154-1987 Concreto. Determinación del contenido del cemento en concreto endurecido. NMX-C-155-ONNCCE-2004 Concreto. Concreto hidráulico industrializado. Especificaciones NMX-C-156-1997-ONNCCE Concreto. Determinación del revenimiento en el concreto fresco. NMX-C-157-ONNCCE-2006 Concreto. Determinación del contenido de aire del concreto fresco por el método de presión. NMX-C-158-ONNCCE-2006 Concreto. Determinación del contenido de aire del concreto fresco por el método volumétrico. NMX-C-159-ONNCCE-2004 Concreto. Elaboración y curado de especificaciones en el laboratorio. NMX-C-160-ONNCCE-2004 Concreto. Elaboración y curado en obra de especímenes de concreto. NMX-C-161-1997-ONNCCE Concreto fresco. Muestreo. NMX-C-162-ONNCCE-2000 Concreto. Determinación de la masa unitaria, cálculo del rendimiento y contenido de aire del concreto fresco por el método gravimétrico.

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras NMX-C-163-1997-ONNCCE Concreto. Determinación de la resistencia a la tensión por comprensión diametral de cilindros de concreto. NMX-C-164-ONNCCE-2002 Agregados. Determinación de la masa específica y absorción de agua del agregado grueso. NMX-C-165-ONNCCE-2004 Agregados. Determinación de la masa específica y absorción de agua del agregado fino. Método de prueba. NMX-C-166-ONNCCE-2006 Agregado. Contenido de agua por secado. Método de prueba. NMX-C-169-1997-ONNCCE Concreto. Obtención y prueba de corazones y vigas extraídos de concreto endurecido. NMX-C-170-1997-ONNCCE Agregados. Reducción de las muestras de agregados obtenidos en el campo al tamaño requerido para las pruebas. NMX-C-173-1990 Concreto. Determinación de la valoración en longitud de especímenes de mortero de cemento y de concreto endurecidos. NMX-C-177-1997-ONNCCE Concreto. Determinación del tiempo de fraguado de mezclas de concreto, mediante la resistencia a la penetración. NMX-C-191-ONNCCE-2004 Concreto. Determinación de la resistencia a flexión del concreto usando una viga simple con carga en los tercios del claro. NMX-C-199-1986 Aditivos para concreto y materiales complementarios.Terminología y clasificación. NMX-C-205-ONNCCE-2005 Concreto. Determinación de la resistencia del concreto a la congelación y deshielo acelerados. NMX-C-219-ONNCCE-2005 Concreto. Resistencia a la compresión a edades tempranas y predicción de la misma a edades tempranas y predicción de la misma a edades posteriores. Método de prueba. NMX-C-221-ONNCCE-2005 Longitud de los corazones de concreto. Método de prueba. NMX-C-235-1984 Concreto. Resistencia a la compresión empleando porciones de vigas ensayadas a flexión. NMX-C-236-1984 Concreto. Practica para examinar y muestras de concreto endurecido en el sitio de colado. NMX-C-237-1985 Aditivos para concreto determinación de la adherencia de los sistemas de resinas epóxicas empleadas en el concreto. NMX-C-240-1985 Aditivos para concreto. Determinación de la viscosidad cinemática y cálculo de la viscosidad dinámica.

NMX-C-241 Sistemas de adhesivos a base de resinas epóxicas para concreto. NMX-C-243-ONNCCE-2005 Concreto. Prueba de resistencia al cortante en concreto endurecido. NMX-C-244-1986 Agregado ligero termoaislante para concreto. NMX-C-251-1997-ONNCCE Concreto. Terminología. NMX-C-255-ONNCCE-2006 Aditivos químicos para concreto. Especificaciones, muestreo y métodos de ensayo. NMX-C-263-1983 Concreto endurecido, masa específica, absorción y vacíos, métodos de prueba. NMX-C-265-1984 Agregados para concreto. Examen petrográfico. Método de prueba. NMX-C-267-ONNCCE- 1999 Concreto. Determinación de la penetración en concreto fresco por medio de una esfera metálica. NMX-C-271-ONNCCE-1999 Agregados para concreto. Determinación de la realidad potencial (método químico). NMX-C-273-ONNCCE-2001 Cemento. Determinación de la actividad hidráulica de las adiciones con cemento pórtland ordinario. NMX-C-277-1979 Agua para concreto. Muestreo. NMX-C-281-1985 Concreto. Moldes para elaborar especímenes cilíndricos de concreto verticalmente para pruebas. NMX-C-282-ONNCCE-2004 Agregados para concreto. Cambio de volumen de combinaciones cementoagregado. Método de prueba. NMX-C-283-1982 Agua para concreto. Análisis. NMX-C-290-1987 Concreto. Curado acelerado para prueba a compresión de especímenes. NMX-C-296-ONNCCE-2000 Concreto. Determinación del sangrado. Método de prueba. NMX-C-298-1980 Concreto. Aditivos minerales. Determinación de la efectividad para prevenir una expansión excesiva del concreto debida a la reacción álcalis. Agregado. NMX-C-299-1987 Concreto estructural. Agregados ligeros. NMX-C-301-1986 Concreto endurecido. Determinación de la resistencia a la penetración. NMX-C-302-1980 Concreto fresco. Determinación de la masa por unidad de volumen de los ingredientes mediante deshidratación con alcohol.

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NMX-C-303-1986 Concreto. Determinación de la resistencia a la flexión usando una viga simple con carga en el centro del claro. NMX-C-304-1980 Aditivos. Determinación de la retención de agua por medio de compuestos líquidos que forman membrana para el curado del concreto. NMX-C-305-1980 Agregados para concreto. Descripción de sus componentes minerales naturales. NMX-C-309-1980 Aditivos para concreto. Determinación del factor de reflectancia de membranas de color blanco para el curado del concreto. NMX-C-315-1981 Cementos. Cementaciones primarias y secundarias de pozos petroleros o de gas. NMX-C-320-1981 Cemento, asbesto cemento y concreto. Determinación de alcalinidad (cal libre). NMX-C-329-ONNCCE-2002 Cementos hidráulicos. Determinación de la granulometría de la arena de sílice utilizada en la preparación de los morteros de cementantes hidráulicos. NMX-C-330-1964 Arena de sílice. NMX-C-331-1964 Determinación de sílice en arena de sílice. NMX-C-348-1987 Agregados. Determinación del manchado en el concreto. NMX-C-356-1988 Aditivos para concreto. Cloruro de calcio. NMX-C-364-1992 Aditivos para concreto. Morteros predosificados sin contracción. Especificaciones. NMX-C-365-1990 Aditivos para concreto. Morteros para concreto. Morteros predosificados sin contracción. Métodos de prueba. NMX-C-403-ONNCCE-1999 Concreto hidráulico para uso estructural. NMX-C-407-ONNCCE-2001 Varilla corrugada de acero proveniente de lingote y palanquilla para refuerzo de concreto. Especificaciones y métodos de prueba. NMX-C-414-ONNCCE-2004 Cementos hidráulicos. Especificaciones y métodos de prueba. NMX-C-435-ONNCCE-2004 Concreto. Método para determinar la temperatura del concreto fresco. NMX-C-436-ONNCCE-2004 Agregados para concreto. Coeficiente volumétrico (de forma) en agregado grueso. Método de prueba. NMX-B-018-1988 Varillas corrugadas y lisas de acero procedentes de riel, para refuerzo de concreto. NMX-B-032-1988 Varillas corrugadas y lisas de acero procedentes de eje, para refuerzo de concreto.

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras NMX-B-072-1986 Alambre corrugado de acero, laminado en frío para refuerzo de concreto. NMX-B-253-1988 Alambre liso de acero estirado en frio para refuerzo de concreto. NMX-B-290-1988 Malla soldada de alambre liso de acero, para refuerzo de concreto. NMX-B-294-1986 Varillas corrugadas de acero, torcidas en frio, procedentes de lingote o palanquilla, para refuerzo de concreto. NMX-B-434-1969 Método de prueba para determinar el peso unitario y el área transversal de las varillas lisas y corrugadas, para refuerzo de concreto. NMX-B-455-1987 Armaduras electrosoldadas de sección triangular, de alambre de acero corrugado o liso para refuerzo de elementos estructurales de concreto. NMX-B-457-1988 Varillas corrugadas de acero de baja aleación procedente de lingote o palanquilla para refuerzo de concreto. NMX-H-121-1988 Procedimiento de soldadura estructural de acero de refuerzo.

u) Normas SCT para Concreto Reforzado M-MMP-2-02-001/00 Muestreo de cemento pórtland M-MMP-2-02-002/00 Finura del cemento por el método del tamiz M-MMP-2-02-003/04 Finura del cemento por el método de permeabilidad al aire M-MMP-2-02-004/04 Resistencia a la compresión del cemento pórtland M-MMP-2-02-006/04 Tiempo de fraguado del cemento por el método de Vicat M-MMP-2-02-055/06 Muestreo de concreto hidráulico M-MMP-2-02-056/06 Revenimiento del concreto fresco M-MMP-2-02-058/04 Resistencia a la compresión simple de cilindros de concreto M-MMP-2-02-059/04 Resistencia a la tensión de cilindros de concreto M-MMP-2-02-060/04 Resistencia del concreto a congelación y deshielo N-CMT-2-01-004/02 Morteros N-CMT-2-02-001/02 Calidad del cemento pórtland N-CMT-2-02-002/02 Calidad de agregados pétreos para concreto hidráulico N-CMT-2-02-003/02 Calidad del Agua para concreto hidráulico

N-CMT-2-02-004/04 Calidad de aditivos químicos para concreto hidráulico N-CMT-2-02-005/04 Calidad del concreto hidráulico N-CMT-2-02-006/04 Calidad de membranas de curado para concreto hidráulico N-CMT-2-03-001/07 Acero de refuerzo para concreto hidráulico N-CMT-2-03-002/04 Acero de presfuerzo para concreto hidráulico N-CMT-2-03-004/06 Acero de refuerzo galvanizado para concreto hidráulico N-PRY-CAR-6-01-003/01 Cargas y acciones N-PRY-CAR-6-01-004/01 Viento N-PRY-CAR-6-01-005/01 Sismo N-PRY-CAR-6-01-006/01 Combinaciones de cargas N-PRY-CAR-6-01-007/04 Distribución de cargas

v) Normas SCT para Cimentaciones N-CTR-CAR-1-06-001/01 Pilotes de madera N-CTR-CAR-1-06-002/01 Pilotes precolados N-CTR-CAR-1-06-003/01 Pilotes colados en el lugar N-CTR-CAR-1-06-004/01 Pilotes de acero N-CTR-CAR-1-06-005/01 Cilindros y cajones de cimentación N-CTR-CAR-1-06-006/01 Tablaestacados N-CTR-CAR-1-01-007/00 Excavaciones para estructuras N-CTR-CAR-1-01-017/00 Concreto lanzado N-CTR-CAR-1-02-001/00 Mampostería de piedra N-CMT-2-01-003/02 Fragmentos de roca

w) Especificaciones para estructura de concreto reforzado 1. El concreto utilizado para fines estructurales puede ser de dos clases: clase 1, con peso volumétrico en estado fresco superior a 22 kN/m³ (2.2 t/m³) y clase 2 con peso volumétrico en estado fresco comprendido entre 19 y 22 kN/m³ (1.9 y 2.2 t/m³), determinado acorde con la norma NMX-C-162-ONNCE-2000 y la NMX-C-403-ONNCCE1999. 2. Los concretos clase 1 tendrán una resistencia especificada, fc’, igual o mayor que 25 MPa (250 kg/cm²). La resistencia especificada de los concretos clase 2 será inferior a 25 MPa (250 kg/cm²) pero no menor que 20 MPa (200 kg/cm²). En ambas clases deberá comprobarse

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que el nivel de resistencia del concreto estructural de toda construcción cumpla con la resistencia especificada en la norma NMX-C-083-ONNCCE-2002. En el proyecto estructural se indicará que tipo de concreto que se utilizará, y en que partes de la estructura. 3. La calidad y proporciones de los materiales componentes del concreto serán tales que se logren la resistencia, rigidez y durabilidad necesarias. La calidad de todos los materiales componentes del concreto deberá verificarse antes del inicio de la obra y también cuando exista sospecha de cambio en las características de los mismos o haya cambio de las fuentes de suministro. Esta verificación de calidad se realizará a partir de muestras tomadas del sitio de suministro o del almacén del productor de concreto, acorde con la norma NMX-C-161-1997-ONNCCE. El perito responsable podrá admitir la garantía del fabricante del concreto, de que los materiales fueron ensayados en un laboratorio acreditado por la entidad de acreditación reconocida en los términos de la Ley Federal sobre Metrología y Normalización. En cualquier caso podrá ordenar la verificación de la calidad de los materiales cuando lo juzgue procedente, acorde con las normas NMX-C-061-ONNCCE-2001 para el cemento, la NMX-C-111-ONNCCE-2004 para los agregados, la NMX-C-122-ONNCCE-2004 para el agua, y la NMX-B-172-1988 para el acero de refuerzo. 4. El cemento a utilizar debe corresponder en marca y tipo con el usado para calcular la dosificación, debe ser clase resistente 30 ó 40, que cumpla con los requisitos especificados en la norma NMX-C-414-ONNCCE-2004. 5. Los agregados deberán ser de igual granulometría y tipo geológico que los usados para calcular la dosificación. Los agregados pétreos deberán cumplir con los requisitos de la norma NMX-C-111-ONNCCE-2004. 6. Los agregados deberán estar limpios, sin materia orgánica, polvo o arcilla, con poco porcentaje de partículas planas y una granulometría adecuada, acorde con la norma NMX-C-077-1997-ONNCCE. 7. El agua deberá estar limpia, exenta de ácidos, bases, aceites y materia orgánica y cumplir con los requisitos de la norma NMX-C-122-ONNCCE-2004. 8. Tamaño máximo de los agregados será de: >1/5 de la menor dimensión horizontal de la cimbra. >3/4 de la separación libre mínima de refuerzo.

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras >1/3 del peralte de losa. 9. Podrán usarse aditivos a solicitud expresa del contratista o a propuesta del constructor, en ambos casos con la autorización del perito correspondiente. Los aditivos deberán cumplir con los requisitos de la norma NMX-C-255-ONNCCE-2006. 10. Los límites correspondientes a estos requisitos especiales pueden modificarse si el fabricante del concreto demuestra, con pruebas realizadas en un laboratorio acreditado por la entidad de acreditación reconocida en los términos de la Ley Federal sobre Metrología y Normalización, que con los nuevos valores se obtiene concreto que cumpla con el requisito de módulo de elasticidad establecido. En tal caso, los nuevos límites serán los que se apliquen en la verificación de estos requisitos para los agregados específicamente considerados en dichas pruebas. 11. El mezclado deberá ser mecánico. Manual sólo cuando fć < 14 MPa (140 kg/cm2) y cada revoltura de no más de 3 sacos de cemento 1.5 kN (150 kg.). Si es manual, aumentar el contenido de cemento en 10%, acorde con la norma NMX-C-403-ONNCCE-1999. 12. El equipo a utilizar deberá estar limpio y ser probado mecánicamente. Deberá dársele mantenimiento preventivo. 13. El concreto podrá ser dosificado en una planta central y transportado a la obra en camiones revolvedores, o dosificado y mezclado en una planta central y transportado a la obra en camiones agitadores, o bien podrá ser elaborado directamente en la obra; en todos los casos la dosificación establecida no deberá alterarse, en especial, el contenido de agua. El concreto clase 1, premezclado o hecho en obra, deberá ser elaborado en una planta de dosificación y mezclado de acuerdo con los requisitos de elaboración establecidos en la norma NMXC-403-ONNCCE-1999. El concreto clase 2, si es premezclado, deberá satisfacer los requisitos de elaboración de la norma NMX-C-155-ONNCCE-2004. Si es hecho en obra, podrá ser dosificado en peso o en volumen, pero deberá ser mezclado en una revolvedora mecánica, ya que no se permitirá la mezcla manual de concreto estructural. 14. Las cimbras deberán estar limpias, lubricadas, aprobadas y cumplir los requisitos de la norma NMX-C239-1985.

15. Toda cimbra se construirá de manera que resista las acciones a que pueda estar sujeta durante la construcción, incluyendo las fuerzas causadas por la colocación, compactación y vibrado del concreto. Debe ser lo suficientemente rígida para evitar movimientos y deformaciones excesivos; y suficientemente estanca para evitar el escurrimiento del mortero. En su geometría se incluirán las contraflechas prescritas en el proyecto. Inmediatamente antes del colado deben limpiarse los moldes cuidadosamente. Si es necesario se dejarán registros en la cimbra para facilitar su limpieza. La cimbra de madera o de algún otro material absorbente debe estar húmeda durante un período mínimo de dos horas antes del colado, acorde con la norma NMX-C-443ONNCCE-2006. Se recomienda cubrir los moldes con algún lubricante para protegerlos y facilitar el descimbrado. La cimbra para miembros de concreto presforzado deberá diseñarse y construirse de tal manera que permita el movimiento del elemento sin provocar daño durante la transferencia de la fuerza de preesfuerzo, acorde con la norma NMX-C-248-1978. 16. Todos los elementos estructurales deben permanecer cimbrados el tiempo necesario para que el concreto alcance la resistencia especificada para soportar su peso propio y otras cargas que actúen durante la construcción, así como para evitar que las deflexiones sobrepasen los valores fijados en el reglamento aplicable. Los elementos de concreto presforzado deberán permanecer cimbrados hasta que la fuerza de presfuerzo haya sido aplicada y sea tal que, por lo menos, permita soportar el peso propio del elemento y las cargas adicionales que se tengan inmediatamente después del descimbrado, acorde con la norma NMX-C-248-1978. 17. No se permitirá la inclusión de tuberías y ductos de aluminio en elementos de concreto, a menos que se tengan cubiertas o protecciones especiales para evitar la reacción aluminio–concreto y la reacción electrolítica entre aluminio y acero de refuerzo. No se permitirá la inclusión de tuberías y ductos longitudinales en columnas, en elementos de refuerzo y en los extremos de muros. Las tuberías y los ductos incluidos en los elementos no deberán afectar significativamente la resistencia de dichos elementos ni de la construcción en general. Asimismo, no deberán impedir que el concreto penetre, sin segregarse, en todos los intersticios. 18. Excepto cuando se haya establecido en los planos o haya sido aprobado por el Perito Responsable, las

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tuberías y los ductos incluidos en losas, muros y trabes de concreto deberán cumplir con lo siguiente: a) El diámetro exterior no será mayor que 1/3 del espesor de la losa o del ancho del muro y de la trabe. b) Estarán colocados entre ellos con una separación, medida centro a centro, mayor que 3 veces el diámetro de los ductos. c) No deberán afectar significativamente la resistencia estructural de los elementos de concreto. Las tuberías y los ductos deberán diseñarse para resistir los efectos del concreto, la presión y la temperatura a la que estarán expuestos al quedar incluidos en el concreto. Las tuberías no deberán contener líquidos, gas, vapor ni agua a altas temperaturas ni a altas presiones, hasta que el concreto haya alcanzado completamente la resistencia de diseño. En losas, las tuberías y los ductos deberán quedar incluidos entre el acero de refuerzo inferior y superior, a menos que sean para captar agua o materiales exteriores. El recubrimiento mínimo para tuberías y ductos no será menor que 40 mm para elementos expuestos a la intemperie o en contacto con el terreno, ni menor que 20 mm para elementos no expuestos a la intemperie y que no están en contacto con el terreno. Las tuberías y ductos deberán construirse y colocarse de tal manera que no se requiera cortar, doblar, ni mover de su posición original el acero de refuerzo. 19. Las instalaciones que se alojen en las estructuras deberán estar probadas. La temperatura del fluido deberá ser < 338 K (65ºc). La presión máxima de trabajo < 1.37 MPa (14 kg/cm²). 20. El área para ductos ahogados en columnas deberá ser 4% del área de la columna. 21. En losas, muros y trabes en zonas de compresión se permitirán, previa autorización del perito responsable ductos de fierro o acero no galvanizado, cédula 40, diámetro <5cm. 22. Las juntas de colado en losas y trabes deberán localizarse cerca de la mitad del claro. Si a medio claro hay una intersección de trabe secundaria con la principal, deberá situarse la junta en la trabe secundaria a una distancia igual a dos veces el ancho de la principal.

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras a) En columnas, las juntas de colado deberán estar 1cm arriba del lecho bajo de la losa o trabe que soporta. b) En muros las juntas de construcción verticales, deberán tener ahogados 2 refuerzos n°3 (3/4”) como mínimo, en zig-zag en toda la altura. c) Si la junta de colado se hace en lugares inadecuados o sujetos a cortante se deberá usar refuerzo en zig-zag en número y posición de acuerdo a esfuerzos solicitados. 23. Los métodos que se empleen para transportar el concreto serán tales que eviten la segregación o pérdida de sus ingredientes. Si el tránsito es de 1 hora se deberá reanudar la revoltura 3 minutos a velocidad de mezclado (10 a 12 r.p.m.) para eliminar la segregación. a) Se deberá desechar la revoltura si t= 1.5 horas si el mezclado se hizo totalmente en planta o después de que se completó la cantidad de agua, si el mezclado se terminó en el camión. Los premezclados deberán colocarse en capas niveladas de 40 a 50 cm de espesor máximo. Cada capa será múltiplo del espesor total del colado. b) El borde de avance de cada capa de premezclado deberá mantenerse de 1.20 a 1.50 m atrás del borde de avance de la capa inferior. Cada capa debe colocarse cuando la subyacente todavía responda a la vibración para ligar ambos concretos. c) Antes de colocar los premezclados en juntas verticales, se deberá picar la superficie expuesta, desprender partículas sueltas, saturar con agua 12 a 24 horas antes, según la edad del concreto viejo y cubrirla con lechada de cemento 1:2 o aditivo inmediatamente antes de colocar el concreto nuevo. 24. Antes de efectuar un colado deben limpiarse los elementos de transporte y el lugar donde se va a depositar el concreto. Los procedimientos de colocación y compactación serán tales que aseguren una densidad uniforme del concreto y eviten la formación de huecos. El lugar en el que se colocará el concreto deberá cumplir con lo siguiente: a) Estar libre de material suelto como partículas de roca, polvo, clavos, tornillos, tuercas, basura, etc.; b) Los moldes que recibirán al concreto deben estar firmemente sujetos.

c) Las superficies de mampostería que vayan a estar en contacto con el concreto deberán humedecerse previamente al colado. d) El acero de refuerzo deberá estar completamente limpio y adecuadamente colocado y sujeto. e) No deberá existir agua en el lugar del colado, a menos que se hayan tomado las medidas necesarias para colar concreto en agua. De ninguna manera se permitirá la colocación de concreto contaminado con materia orgánica. El concreto se vaciará en la zona del molde donde vaya a quedar en definitiva y se compactará con picado, vibrado o apisonado. No se permitirá trasladar el concreto mediante el vibrado. 25. Cuando la temperatura ambiente durante el colado o poco después sea inferior a 278 K (5 °C), se tomarán las precauciones especiales tendientes a contrarrestar el descenso en resistencia y el retardo en endurecimiento, y se verificará que estas características no hayan sido desfavorablemente afectadas. La resistencia de este concreto se verificara acorde con la norma NMX-C-205ONNCCE-2005. 26. El mortero aplicado neumáticamente satisfará los requisitos de compacidad, resistencia y demás propiedades que especifique el proyecto. Se aplicará perpendicularmente a la superficie en cuestión, la cual deberá estar limpia y húmeda. 27. El concreto debe mantenerse en un ambiente húmedo por lo menos durante siete días en el caso de cemento ordinario, y tres días si se empleó cemento de alta resistencia inicial. Estos lapsos se aumentarán si la temperatura desciende a menos de 278 K (5 °C). Para acelerar la adquisición de resistencia y reducir el tiempo de curado, puede usarse el curado con vapor a alta presión, vapor a presión atmosférica, calor y humedad, o algún otro proceso que sea aceptado por el perito responsable. El proceso de curado que se aplique debe producir concreto cuya durabilidad sea por lo menos equivalente a la obtenida con curado en ambiente húmedo. 28. Las juntas de colado se ejecutarán en los lugares y con la forma que indiquen los planos estructurales. Antes de iniciar un colado las superficies de contacto se limpiarán y saturarán con agua. Se tomará especial cuidado en todas las juntas de columnas y muros en lo

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que respecta a su limpieza y a la remoción de material suelto o poco compacto. 29. El concreto deberá compactarse por medio de vibrador mecánico, el cual se introducirá verticalmente, a intervalos uniformes de 1 1/2 veces el radio de acción, para empalmar áreas vibradas. a) El vibrador deberá ser introducido rápidamente hasta el fondo, o 15 cm dentro de la capa precedente, mantenerlo de 5 a 15 segundos hasta lograr consolidación. Extraerlo lentamente a velocidad de 8 cm/seg. b) En losas se deberá inclinar el vibrador para que opere completamente sumergido, o aún horizontalmente. c) En bordes no confinados no se deberá introducir el vibrador a menos de 60 cm de los bordes de avance. d) Para cerrar huecos provocados por el vibrador, introducir éste algunos centímetros cerca del hueco, o cambiar el vibrador o la revoltura. e) En áreas congestionadas de refuerzo es válido vibrar la varilla, usando el vibrador de cimbra sujeto a la varilla con un accesorio adecuado. No usar vibrador de inmersión porque puede dañar el armado. 30. Al concreto en estado fresco, antes de su colocación en las cimbras, se le harán pruebas para verificar que cumple con los requisitos de revenimiento (NMX-C-1561997-ONNCCE) y peso volumétrico (NMX-C-162ONNCCE-2000). Estas pruebas se realizarán al concreto muestreado en obra (NMX-c-161-1997-ONNCCE). El revenimiento será el mínimo requerido para que el concreto fluya a través de las barras de refuerzo y para que pueda bombearse en su caso, así como para lograr un aspecto satisfactorio. El revenimiento nominal de los concretos no será mayor de 120 mm. Para permitir la colocación del concreto en condiciones difíciles, o para que pueda ser bombeado, se autoriza aumentar el revenimiento nominal hasta un máximo de 180 mm, mediante el uso de aditivo superfluidificante (NMX-C-255ONNCCE-2006), de manera que no se incremente el contenido unitario de agua. En tal caso, la verificación del revenimiento se realizará en la obra antes y después de incorporar el aditivo superfluidificante, comparando con los valores nominales de 120 y 180 mm, respectivamente. Las demás propiedades, incluyendo las del concreto endurecido, se determinarán en muestras que ya incluyan dicho aditivo. Si el concreto es premezclado y se surte con un revenimiento nominal

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras mayor de 120 mm, deberá ser entregado con un comprobante de incorporación del aditivo en planta; en la obra se medirá el revenimiento para compararlo con el nominal máximo de 180 mm. Para que el concreto cumpla con el requisito de revenimiento, su valor determinado deberá concordar con el nominal especificado. Estas tolerancias también se aplican a los valores nominales máximos de 120 y 180 mm. Para que el concreto cumpla con el requisito de peso volumétrico en estado fresco o endurecido, su valor determinado deberá ser mayor de 22 kN/m³ (2200 kg/m³) para el concreto clase 1, y no menor de 19 kN/m³ (1900 kg/m³) para el concreto clase 2. 31. En el refuerzo para concreto pueden usarse barras de acero y/o malla de alambre soldado. Las barras serán corrugadas, con la salvedad que se indica adelante, y deben cumplir con las normas NMX-C-407-ONNCCE, NMX-B-294 o NMX-B-457. La malla cumplirá con la norma NMX-B-290. Se permite el uso de barra lisa de 6.4 mm de diámetro (número 2) para estribos donde así se indique en la reglamentación, conectores de elementos compuestos y como refuerzo para fuerza cortante por fricción. El acero de presfuerzo cumplirá con las normas NMX-B-292 o NMX-B-293. Para elementos secundarios y losas apoyadas en su perímetro, se permite el uso de barras que cumplan con las normas NMX-B-18, NMX-B32 y NMX-B-72. El módulo de elasticidad del acero de refuerzo ordinario, Es, se supondrá igual a 2x105 MPa 6 (2x10 kg/cm²) y el de torones de preesfuerzo se supondrá de 1.9x105 MPa (1.9x106 kg/cm²). En el cálculo de resistencias se usarán los esfuerzos de fluencia mínimos, fy, establecidos en las normas citadas. 32. El refuerzo debe estar limpio, libre de lodo, aceite, óxido excesivo, escamas, pintura, etc. La oxidación puede admitirse si cepillando a mano con cepillo de alambre un espécimen se conservan las dimensiones mínimas y el peso. 33. El acero de refuerzo y especialmente el de preesfuerzo y los ductos de postensado deben protegerse durante su transporte, manejo y almacenamiento. Inmediatamente antes de su colocación se revisará que el acero no haya sufrido algún daño, en especial, después de un largo período de almacenamiento. Si se juzga necesario, se realizarán ensayes mecánicos en el acero dudoso. Al efectuar el colado, el acero debe estar exento de grasa, aceites, pinturas, polvo, tierra, oxidación excesiva y cualquier

sustancia que reduzca su adherencia con el concreto. A excepción del uso de recubrimientos epóxicos y lodos bentoníticos. No deben doblarse barras parcialmente ahogadas en concreto, a menos que se tomen las medidas para evitar que se dañe el concreto vecino. Todos los dobleces se harán en frío, excepto cuando el Perito Responsable permita calentamiento, pero no se admitirá que la temperatura del acero se eleve a más de la que corresponde a un color rojo café (aproximadamente 803 K [530 ºc]) si no está tratado en frío, ni a más de 673 K (400 ºc) en caso contrario. No se permitirá que el enfriamiento sea rápido. Los tendones de preesfuerzo que presenten algún doblez concentrado no se deben tratar de enderezar, sino que se rechazarán. El acero debe sujetarse en su sitio con amarres de alambre, silletas y separadores, de resistencia, rigidez y en número suficiente para impedir movimientos durante el colado. Los paquetes de barras deben amarrarse firmemente con alambre. Antes de colar debe comprobarse que todo el acero se ha colocado en su sitio de acuerdo con los planos estructurales y que se encuentra correctamente sujeto. 34. El acero de refuerzo ordinario se someterá al control que se refiere al cumplimiento de la norma NMX-B-2541987. Para cada tipo de barras (laminadas en caliente o torcidas en frío) se procederá como sigue: de cada lote de 100 kN (10 ton.) o fracción, formado por barras de una misma marca, un mismo grado, un mismo diámetro y correspondientes a una misma remesa de cada proveedor, se tomará un espécimen para ensaye de tensión y uno para ensaye de doblado, que no sean de los extremos de barras completas; las corrugaciones se podrán revisar en uno de dichos especímenes. Si algún espécimen presenta defectos superficiales, puede descartarse y sustituirse por otro. Cada lote definido según el párrafo anterior debe quedar perfectamente identificado y no se utilizará en tanto no se acepte su empleo con base en resultados de los ensayes. Éstos se realizarán de acuerdo con la norma NMX-B-172-1988. Si algún espécimen no cumple con los requisitos de tensión especificados en la norma, se permitirá repetir la prueba como se señala en la misma norma. En sustitución del control de obra, el Perito Responsable, podrá admitir la garantía escrita del fabricante de que el acero cumple con la norma correspondiente; en su caso, definirá la forma de revisar que se cumplan los requisitos adicionales para el acero. Todo el acero de refuerzo, así

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como las placas y, en general, todas las preparaciones metálicas que queden expuestas a la intemperie con el fin de realizar extensiones a la construcción en el futuro, deberán protegerse contra la corrosión y contra el ataque de agentes externos. 35. Los procedimientos de doblado de varillas se harán en frío. a) Cuando se permita calentamiento, la temperatura no deberá exceder de 803 K (530ºc) color rojo café, (673 K [400ºc] para aceros torcidos o estirados en frío), comprobando con lápices de fusión (crayones térmicos). b) El enfriamiento se hará en forma natural, sólo en forma artificial cuando la temperatura haya descendido a 475 K (200ºc). c) Debe evitarse el uso de grifas. Siempre se debe utilizar dobladora. 36. Existirán 3 tipos de ganchos: a) doblez de 180° más extensión de 4 diámetros de la varilla pero no menor de 6.5cm; b) doblez de 90° más extensión de 12 diámetros de la varilla; c) en estribos y anillos, doblez de 90°+ 20 diámetros o de 135° más extensión de 10 diámetros. Para ganchos estándar, excepto en estribos y anillos, medido en el interior de la vuelta. 37. No deberá reenderezarse ni redoblarse el acero de refuerzo. Las varillas parcialmente ahogadas pueden doblarse, calentándolas de 873 K (600ºc) a 926 K (650ºc) y doblándolas con máxima precaución. Si el área de doblado esta a 15 cm del concreto, aplicar aislamiento de protección. Tomar un espécimen para ensaye tensión por cada 10 ton. O fracción de misma marca, grado, diámetro y remesa de cada proveedor, que no sea extremo, identificando los lotes. 38. La separación libre mínima entre varillas paralelas en una capa: 1diam. o 1.5 veces el tamaño máximo del agregado, el que sea mayor. a) En columnas el espaciamiento libre = 1.5 diam., 1.5 veces tamaño máximo del agregado o 4cm. b) En dos o más capas, las varillas de cada capa deberán colocarse en el mismo plano vertical con distancia mínima libre entre capas de 2 cm. c) En muros y losas (excepto nervadas): 3 veces el espesor del elemento o 45 cm, el que sea menor. En columnas = 35 cm.

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras 39. El espaciamiento máximo de anillos en vigas será de d/2 (d = peralte) y cerca de los extremos = d/4 (de 1/5 a 1/4 del claro). Los recubrimientos mínimos en concretos colados sobre el suelo (sin plantillas de concreto pobre) = 5 cm; expuestos al terreno o al intemperismo, fachadas aparentes = 3 cm; en vigas y columnas = 1diam.; en paquetes = 1cm o 1.5 veces el diámetro de la barra más gruesa. 40. La colocación del refuerzo debe hacerse con precisión. Los calzos o pollos deben ser de fierro, concreto o plástico. Estos últimos de suficiente resistencia para que no se deformen. No usar madera o gravas. Asegurar los soportes contra desplazamientos. 41. Requisitos y control del concreto endurecido. La calidad del concreto endurecido se verificará mediante pruebas de resistencia a compresión en cilindros elaborados, curados y probados de acuerdo con las normas NMX-C-160-ONNCCE-2004 y NMX-C-083ONNCCE-2002, en un laboratorio acreditado por la entidad de acreditación reconocida en los términos de la Ley Federal sobre Metrología y Normalización. Cuando la mezcla de concreto se diseñe para obtener la resistencia especificada a 14 días, las pruebas anteriores se efectuarán a esta edad; de lo contrario, las pruebas deberán efectuarse a los 28 días de edad. Para verificar la resistencia a compresión de concreto de las mismas características y nivel de resistencia, se tomará como mínimo una muestra por cada día de colado, pero al menos una por cada 40 m³; sin embargo, si el concreto se emplea para el colado de columnas, se tomará por lo menos una muestra por cada 10 m³. De cada muestra se elaborarán y ensayarán al menos dos cilindros; se entenderá por resistencia de una muestra el promedio de las resistencias de los cilindros que se elaboren de ella. Para el concreto clase 1, se admitirá que la resistencia del concreto cumple con la resistencia especificada, fc’, si ninguna muestra da una resistencia inferior a fc’ –3.5MPa ( fc’ –35 kg/cm²), y, además, si ningún promedio de resistencias de todos los conjuntos de tres muestras consecutivas, pertenecientes o no al mismo día de colado, es menor que fc’. Para el concreto clase 2, se admitirá que la resistencia del concreto cumple con la resistencia especificada, fc’, si ninguna muestra da una resistencia inferior a fc’ –5 MPa ( fc’ –50 kg/cm²), y, además, si ningún promedio de resistencias de todos los conjuntos de tres muestras consecutivas, pertenecientes o no al mismo día de colado, es menor que fc’ –1.7MPa

(fc’ –17 kg/cm²). Si sólo se cuenta con dos muestras, el promedio de las resistencias de ambas no será inferior a fc’ –1.3 MPa ( fc’ –13 kg/cm²) para concretos clase 1, ni a fc’ –2.8 MPa ( fc’ –28 kg/cm²), para clase 2, además de cumplir con el respectivo requisito concerniente a las muestras tomadas una por una. Cuando el concreto no cumpla con el requisito de resistencia, el Perito Responsable, cuando no se requiera, tomará las medidas conducentes para garantizar la seguridad de la estructura. Como factores de juicio deben considerarse, entre otros, el tipo de elemento en que no se alcanzó el nivel de resistencia especificado, el monto del déficit de resistencia y el número de muestras o grupos de ellas que no cumplieron. En ocasiones debe revisarse el proyecto estructural a fin de considerar la posibilidad de que la resistencia que se obtuvo sea suficiente. Si subsiste la duda sobre la seguridad de la estructura se podrán extraer y ensayar corazones, de acuerdo con la norma NMX-C-169-ONNCCE, del concreto en la zona representada por los cilindros que no cumplieron. Se probarán tres corazones por cada incumplimiento con la calidad especificada. La humedad de los corazones al probarse debe ser representativa de la que tenga la estructura en condiciones de servicio. El concreto clase 1 representado por los corazones se considerará adecuado si el promedio de las resistencias de los tres corazones es mayor o igual que 0.85fc’ y la resistencia de ningún corazón es menor que 0.75fc’. El concreto clase 2 representado por los corazones se considerará adecuado si el promedio de las resistencias de los tres corazones es mayor o igual que 0.80fc’ y la resistencia de ningún corazón es menor que 0.70fc’. Para comprobar que los especímenes se extrajeron y ensayaron correctamente, se permite probar nuevos corazones de las zonas representadas por aquellos que hayan dado resistencias erráticas. Si la resistencia de los corazones ensayados no cumple con el criterio de aceptación que se ha descrito, el responsable en cuestión nuevamente debe decidir a su juicio y responsabilidad las medidas que han de tomarse. Puede optar por reforzar la estructura hasta lograr la resistencia necesaria, o recurrir a realizar pruebas de carga en elementos no destinados a resistir sismo, u ordenar la demolición de la zona de resistencia escasa, etc. Si el concreto se compra ya elaborado, en el contrato de compraventa se establecerán, de común acuerdo entre el fabricante y el consumidor, las responsabilidades del fabricante en caso de que el concreto no cumpla con el requisito de resistencia.

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42. Tolerancias. Las tolerancias que a continuación se señalan rigen con respecto a los planos constructivos del proyecto: a) Las dimensiones de la sección transversal de un miembro estructural no excederán de las del proyecto en más de 10 mm + 0.05x, siendo x la dimensión en la dirección en que se considera la tolerancia, ni serán menores que las del proyecto en más de 3 mm +0.03x. b) El espesor de zapatas, losas, muros y cascarones no excederá al de proyecto en más de 5 mm + 0.05t, siendo t el espesor del elemento, ni será menor que éste en más de 3 mm + 0.03t. c) En cada planta se trazarán los ejes de acuerdo con el proyecto ajustado, con tolerancia de un centímetro. Toda columna quedará desplantada de tal manera que su eje no diste, del que se ha trazado, más de 10 mm más dos por ciento de la dimensión transversal de la columna paralela a la desviación. Además, no deberá excederse esta cantidad en la desviación del eje de la columna, con respecto al de la columna inmediata inferior. d) La tolerancia en desplomo de una columna será de 5 mm más dos por ciento de la dimensión de la sección transversal de la columna paralela a la desviación. e) El eje centroidal de una columna no deberá distar de la recta que une los centroides de las secciones extremas, más de 5 mm más uno por ciento de la dimensión de la columna paralela a la desviación. f) La posición de los ejes de vigas con respecto a los de las columnas donde apoyan no deberá diferir de la de proyecto en más de 10 mm más dos por ciento de la dimensión de la columna paralela a la desviación, ni más de 10 mm más dos por ciento del ancho de la viga. g) El eje centroidal de una viga no deberá distar de la recta que une los centroides de las secciones extremas, más de 10 mm más dos por ciento de la dimensión de la viga paralela a la desviación. h) En ningún punto la distancia medida verticalmente entre losas de pisos consecutivos, diferirá de la de proyecto más de 30 mm, ni la inclinación de una losa respecto a la de proyecto más de uno por ciento. i) La desviación angular de una línea de cualquier sección transversal de un miembro respecto a la dirección que dicha línea tendría según el proyecto, no excederá de cuatro por ciento.

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras j) La localización de dobleces y cortes de barras longitudinales no debe diferir en más de 10 mm + 0.01L de la señalada en el proyecto, siendo L el claro, excepto en extremos discontinuos de miembros donde la tolerancia será de 10 mm. k) La posición de refuerzo de losas, zapatas, muros, cascarones, arcos y vigas será tal que no reduzca el peralte efectivo, d, en más de 3 mm+ 0.03d ni reduzca el recubrimiento en más de 5 mm. En columnas rige la misma tolerancia, pero referida a la mínima dimensión de la sección transversal, en vez del peralte efectivo. La separación entre barras no diferirá de la de proyecto más de 10 mm más diez por ciento de dicha separación, pero en todo caso respetando el número de barras y su diámetro, y de tal manera que permita pasar al agregado grueso. l) Las dimensiones del refuerzo transversal de vigas y columnas, medidas según el eje de dicho refuerzo, no excederá a las del proyecto en más de 10 mm +0.05x, siendo x la dimensión en la dirección en que se considera la tolerancia, ni serán menores que las de proyecto en más de 3 mm + 0.03x. m) La separación del refuerzo transversal de vigas y columnas no diferirá de la de proyecto más de 10 mm más diez por ciento de dicha separación, respetando el número de elementos de refuerzo y su diámetro. n) Si un miembro estructural no es claramente clasificable como columna o viga, se aplicarán las tolerancias relativas a columnas, con las adaptaciones que procedan si el miembro en cuestión puede verse sometido a compresión axial apreciable, y las correspondientes a trabes en caso contrario. En cascarones rigen las tolerancias relativas a losas, con las adaptaciones que procedan. Por razones ajenas al comportamiento estructural, tales como aspecto, o colocación de acabados, puede ser necesario imponer tolerancias más estrictas que las arriba prescritas. De no satisfacerse cualquiera de las tolerancias especificadas, el Perito Responsable, estudiará las consecuencias que de ahí deriven y tomará las medidas pertinentes para garantizar la estabilidad y correcto funcionamiento de la estructura.

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Capítulo VI DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE ACERO Y MADERA ESTRUCTURAS DE ACERO El acero estructural es una aleación de hierro y carbono (éste último entre 0.5 y 1.5%). Lo que proporciona cualidades de maleabilidad, dureza y resistencia. Evidentemente estamos hablando de un material compuesto por dos elementos; el hierro es aceptablemente resistente pero muy dúctil, y el carbono es muy resistente pero nada dúctil, por lo cual entre más carbono tenga el acero, será más resistente, pero menos dúctil y viceversa. Por lo cual el acero más comercial es el denominado A-36 en EEUU (NMX-B-234 en México) cuyo límite de fluencia es de 2530 kg/cm2, que es una resistencia muy buena en términos de la excelente ductilidad lograda, por lo cual también es el tipo de acero más recomendado.

10. Tubos de acero al carbono para usos estructurales, formados en caliente, con o sin costura, norma MNX-B200 (ASTM A501) Tipos de aceros y su resistencia TIPO DE ACERO Norma Norma fy NOM ASTM (kg/cm2) Al carbono B-234 A-36 2,530 B-99 A529 2,950 Alta resistencia-baja B-284 A-441 2,810 aleación 2,950 3,235 3,515 Resistencia a la B-282 A-242 2,950 corrosión-alta 3,235 resistencia-baja 3,515 aleación Debido a las características de alta resistencia, el acero se utiliza como estructura en edificaciones con condiciones severas de carga y forma, grandes alturas, grandes claros. Pocos puntos de apoyo, voladizos y dificultades de ejecución.

Tipos de Acero estructural

Las estructuras de acero presentan las siguientes características o ventajas:

1. Acero estructural, norma NMX-B-254 (ASTM A36) 2. Acero estructural con límite de fluencia mínimo de 290 MPa (2 950 kg/cm²), norma NMX.B-99 (ASTM A529) 3. Acero estructural de baja aleación y alta resistencia, norma NMX-B-282 (ASTM A242) 4. Acero estructural de alta resistencia y baja aleación al manganeso–vanadio, norma NMX-B-284 (ASTM A572) 5. Acero estructural de alta resistencia y baja aleación de hasta 100 mm de grueso, con límite de fluencia mínimo de 345 MPa (3 515 kg/cm²), norma (ASTM A588) 6. Perfiles de acero de alta resistencia y baja aleación, de calidad estructural, producidos por un proceso de tratamiento térmico especial, norma (ASTM A913) 7. Acero estructural para perfiles H laminados para uso en edificios, norma (ASTM A992) 8. Tubos de acero, con o sin costura, norma NMX-B-177 (ASTM A53, grado B) 9. Tubos de acero al carbono para usos estructurales, formados en frío, con o sin costura, de sección circular o de otras formas, norma NMX-B-199 (ASTM A500)

a) b) c) d) e) f) g)

Grandes alturas Grandes claros Máximo aprovechamiento del área Reducido peso de la estructura en relación con su capacidad de carga Tiempo reducido de ejecución al utilizar elementos prefabricados Facilidad de montaje Posibilidad de desmontar la estructura

Ventajas y desventajas Ventajas Alta resistencia Alta rigidez Alta ductilidad Relación: formaresistencia Muy bajo coeficiente de variabilidad de su resistencia

Desventajas Lograr continuidad Juntas Corrosión Poca resistencia al fuego Alto costo inicial Mano de obra especializada

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Mantenimiento continuo

En México entre los elementos laminados se fabrican ángulos de lados iguales (LI), ángulo de lados desiguales (LD), perfil C estándar (CE), perfil I estándar (IE), perfil I rectangular (IR), perfil T rectangular (TR), redondo sólido liso (OS), tubo circular (OC), tubo cuadrado o rectangular (OR), perfil C formado en frío (CF), perfil Z formado en frío (ZF). Tipos de Remaches Remaches de acero estructural, norma ASTM A502; esta especificación incluye tres grados: Grado 1 Remaches de acero al carbón para uso general; Grado 2 Remaches de acero al carbono–manganeso, para uso con aceros; y Grado 3 Semejante al Grado 2, pero con resistencia a la corrosión mejorada. Tipos de Tornillos 1. Sujetadores de acero al carbono con rosca estándar exterior (Fu = 414 MPa; 4 220 kg/cm²), norma NMX-H118 (ASTM A307) 2. Tornillos de alta resistencia para conexiones entre elementos de acero estructural [Fu = 830 MPa (8 440 kg/cm²) para diámetros de 13 a 25 mm ( 1/2 a 1 pulg.), Fu = 725 MPa (7 380 kg/cm²) para diámetros de 29 y 38 mm (1 1/8 y 1 1/2 pulg.)], norma NMX-H-124 (ASTM A325) 3. Tornillos de acero aleado tratado térmicamente para conexiones entre elementos de acero estructural (Fu = 1 035 MPa, 10 550 kg/cm²), norma NMX-H-123 (ASTM A490) Tipos de Metales de aportación y fundentes para soldadura 1. Electrodos de acero al carbono, recubiertos, para soldadura por arco eléctrico, norma NMX-H-77 (AWS A5.1).

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras 2. Electrodos de acero de baja aleación, recubiertos, para soldadura por arco eléctrico, norma NMX-H-86 (AWS A5.5). 3. Electrodos desnudos de acero al carbono y fundentes para soldadura por arco eléctrico sumergido, norma NMX-H-108 (AWS A5.17). 4. Metales de aporte de acero al carbono para soldadura por arco eléctrico protegido con gas, norma NMX-H-97 (AWS A5.18). 5. Electrodos de acero al carbono para el proceso de soldadura por arco eléctrico con electrodo tubular continuo, norma NMX-H-99 (AWS A5.20).

a) Tensión Es importante recordar que en el procedimiento para calcular un elemento estructural según las NTC, lo que nos interesa es que nuestro elemento estructural soporte las cargas y/o acciones a que está sometido; por tanto, primero se tienen que determinar dichas acciones para que posteriormente se proponga una sección determinada y por último se revise si resiste dichas acciones, por lo cual el procedimiento para calcular la resistencia de elementos ya existentes y elementos nuevos es el mismo. En las siguientes secciones se analiza la revisión de los elementos estructurales ante determinadas cargas y/o acciones. Pero a este análisis antecede la determinación de dichas fuerzas, así como el tipo de sistema estructural y secciones estructurales determinadas. La tensión es el esfuerzo más puro de todos; es decir, toda una sección sometida a tensión está funcionando únicamente a tensión, no existen excentricidades entre el miembro estructural y la tensión sometida, no existen relaciones de esbeltez; solamente cuando el elemento es muy largo y esta en diagonal u horizontal pueden presentarse pequeñas flexiones por el pandeo del elemento. Y el acero a diferencia del concreto es el material que tiene mayor resistencia a la tensión, por lo cual el uso de elementos de acero a tensión dentro de los sistemas estructurales comienza cada día a ser más común, ya sea en pequeños elementos, o como elementos portantes de todo un edificio.

Los cables de acero tienen una resistencia muy superior a la de los perfiles normales, por lo cual su utilización ha pasado del dominio casi exclusivo en grandes puentes como el famoso Golden Gate de San Francisco, a estructuras mucho más comunes trayendo un ahorro considerable en el costo de las estructuras, y en definitiva un mejor comportamiento estructural. Notación At (cm2): área total de la sección transversal de un miembro; área total de la sección transversal del elemento de acero estructural de una columna compuesta. FR (adimensional): factor de reducción de la resistencia. 2 Fu (Kg/cm ): esfuerzo mínimo especificado de ruptura en tensión (4080 kg/cm 2 para el acero al carbono más disponible en México). Fy (kg/cm2): Valor mínimo garantizado del esfuerzo correspondiente al límite inferior de fluencia del material (2530 kg/cm2 para el acero al carbono más disponible en México). g (cm): separación transversal centro a centro entre agujeros (gramil). h (cm): peralte del alma de una viga o trabe armada (distancia libre entre patines). Rt (kg): resistencia de diseño de un elemento estructural en tensión. s (cm): separación longitudinal centro a centro entre agujeros consecutivos (en la dirección en que se transmiten las fuerzas). U (adimensional): coeficiente de reducción del área; se utiliza para calcular el área efectiva.

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Para determinar la resistencia de diseño (Rt) de un elemento estructural sujeto a tensión, se revisa la resistencia de dicha sección ante el estado límite de flujo plástico en la sección total, es decir, la posibilidad de que la sección total alcance su resistencia última (flujo plástico) y fluya; y el estado límite de fractura en la sección neta, es decir, la posibilidad de que el elemento estructural se fracture antes de alcanzar su flujo plástico. Esta fractura es posible cuando el elemento estructural tiene perforaciones para conexiones atornilladas o remachadas que reduzcan su sección total y por estas líneas se pueda fracturar. La resistencia de diseño a tensión se determina con el valor mínimo de cualquiera de las siguientes ecuaciones. Para estos casos el área total (At) y el área efectiva (Ae) se consideran en cm2, el límite inferior de fluencia (Fy) y el esfuerzo de ruptura en tensión (Fu) en kg/cm 2, y por tanto Rt se obtiene en kg.

a) Estado límite de flujo plástico en la sección total: en donde FR = 0.90 Rt  At  Fy  FR b) Estado límite de fractura en la sección neta: en donde FR = 0.75 Rt  Ae  Fu  FR el área efectiva (Ae) se calcula según la siguiente ecuación:

Ae  U  An

El área neta (An) es la cantidad de sección en una posible línea de ruptura cuando se restan las perforaciones; se obtiene sumando los productos del grueso de cada una de las partes que lo componen por su ancho neto, que se determina como sigue: a) En el cálculo del área neta de barras en tensión, el ancho de los agujeros para pernos o tornillos se toma 1.5 mm mayor que el diámetro nominal del agujero, medido

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras normalmente en la dirección de los esfuerzos. Para determinar el área neta en cortante se utilizan las dimensiones nominales de los agujeros. b) Cuando hay varios agujeros en una normal al eje de la pieza, el ancho neto de cada parte de la sección se obtiene restando al ancho total la suma de los anchos de los agujeros. c) Cuando los agujeros están dispuestos en una línea diagonal al eje de la pieza, o en zigzag, se deben estudiar todas las trayectorias posibles para determinar a cuál de ellas le corresponde el ancho neto menor, que es el que se utiliza para calcular el área neta. El ancho neto de cada una de las partes que forman la sección, correspondiente a cada trayectoria, se obtiene restando del ancho total la suma de los anchos de todos los agujeros que se encuentran sobre la trayectoria escogida y sumando para cada espacio entre agujeros la cantidad 2 s /4g, donde s es la separación longitudinal centro a centro entre los dos agujeros considerados (paso) y g la separación transversal centro entre ellos (gramil). Los valores que se asignarán a U serán los siguientes: a) Secciones laminadas H o I con patines de ancho no menor que 2/3 del peralte y tés estructurales obtenidas de ellas, conectadas por patines; cuando la conexión es remachada o atornillada debe haber tres o más conectores en cada línea en la dirección de los esfuerzos: U = 0.90. b) Secciones laminadas H o I que no cumplan las condiciones del párrafo anterior, tés estructurales obtenidas de ellas y todas las secciones resultantes incluidas las que están formadas por varias placas; cuando la conexión es remachada o atornillada debe haber tres o más conectores en cada línea en la dirección de los esfuerzos: U = 0.85. c) Todos los miembros con conexiones remachadas o atornilladas que tengan sólo dos conectores en cada línea en la dirección de los esfuerzos: U = 0.75. d) Ángulos conectados por una sola ala con cuatro a más conectores en la dirección de los esfuerzos: U = 0.8 e) Ángulos conectados por una sola ala con menos de cuatro conectores en dirección de los esfuerzos: U = 0.6 f) Conexiones soldadas: En donde: U = 1.0 si l 2d I = longitud de la soldadura U = 0.87 si 2d>1>1.5d d = ancho de la placa U = 0.75 si 1.5d>1d

Secuela de cálculo: 1) Determinación del coeficiente de reducción de área (U) según las características de la sección y sus conexiones. 2) Determinación del área neta (An) de la sección, aumentando 1.5 mm al diámetro nominal de las perforaciones y estudiando las trayectorias con posibles fallas. 3) Determinación del área neta efectiva (Ae) según la ecuación:

Ae  U  An

4) Determinación de la resistencia de diseño (Rt), tomando el menor valor de las ecuaciones:

Rt  Ae  Fu  FR

Rt  At  Fy  FR

DEFLEXIÓN EN ELEMENTOS A TENSIÓN Teóricamente la tensión es un esfuerzo unitario a lo largo de un elemento estructural, pero en la realiad si el elemento es muy esbelto (con la excepción de los cables cuya esbeltez se considera infinita) puede presentar una catenaria, momento y/o pandeo. Para que esto no seceda es recomendable que el radio del elemento respete:

rmin 

I L  Ag 300

En donde: r (cm): radio del elemento I (cm4): momento de inercia Ag (cm2): área del elemento

Ejemplo 1. Calcular la resistencia de diseño de una barra sometida a tensión. La sección de la barra es de 3.5 x 15 cm y está conectada a otro miembro estructural por dos tornillos en la normal al eje de la pieza. Las perforaciones son de 0.7 cm cada una. Datos: Fy = 2530 kg/cm2 Fu = 4080 kg/cm2

b = 3.5 cm h = 15 cm

Paso 1. Determinación de coeficiente de reducción de área (U). - Se selecciona U = 0.75 ya que cumple con el apartado c por tener sólo dos conectores en cada línea en dirección de los esfuerzos. Paso 2. Determinación del área neta (An) Ancho de los agujeros = 0.7 + 0.015 cm = 0.715

121

0.715 x 2 agujeros = 1.43 cm

An  3.5  15cm   1.43  3.5  47.49cm 2

Paso 3. Determinación del área neta efectiva (Ae)

Ae  U  An

Ae  0.75  47.49  35.61cm 2

Paso 4. Determinación de la resistencia de diseño (Rt) a) Estado límite de flujo plástico en la sección total.

Rt  At  F y  FR Rt  52.5  2530  0.90  119,542.5kg b) Estado límite de fractura en la sección neta.

Rt  Ae  Fu  FR Rt  36.61  4080  0.75  112,026.6kg Se selecciona Rt = 108,874.8 kg Ejemplo 2. La barra de una armadura está sometida a una fuerza tensionante de 95 toneladas; y se requiere saber si una barra de acero de 3.3 cm de grueso por 13 cm de ancho soportará dicha carga. La barra está conectada por tres pernos como se aprecia en la ilustración. Las perforaciones son de 0.73 cm. de diámetro. Datos: 2

Fy = 2530 kg/cm Fu = 4080 kg/cm2 b = 3.3 cm h = 13 cm s = 3 cm g = 0.9 cm Paso 1. Determinación del coeficiente de reducción de área (U) Se selecciona U = 0.85 ya que se cumple con el apartado b al haber tres o más agujeros. Paso 2. Determinación del área neta (An) Ancho de agujeros = 0.73 + 0.015 = 0.745 cm - Trayectoria A-C Ancho neto = 13 - (0.745 x 2) = 11.51 cm


An  1151 .  3.3  37.98cm2 - Trayectoria A-B-C Ancho neto = 13 - (0.745 x 3) = 10.76 cm 2

2

s 3 9    2.5  2  5cm 4 g 4  0.9 36 . Ancho neto = 10.76 + 5 = 15.76 cm

An  15.76  3.3  52.0cm 2 -Trayectoria D-C Ancho neto = 13 - 0.745 = 12.25 cm

 (adimensional): parámetro de esbeltez de una columna K (adimensional): factor de longitud efectiva de columnas (Ver anexo) Kl/r (adimensional): relación de esbeltez de una columna (Kl/r)ć (adimensional): relación de esbeltez de columnas comprimidas axialmente que separan los intervalos de pandeo elástico e inelástico l (cm): longitud libre de una columna r (cm): radio de giro E (kg/cm2): módulo de elasticidad del acero (2,040,000) Fórmulas

An  12.25  3.3  40.44 cm2

Ae  0.85  37.98cm 2  32.98cm 2

1. Revisión de la relación Kl/r Según el artículo 2.2.3 de las Normas Técnicas Complementarias para el Diseño de Estructuras Metálicas, la relación Kl/r < 200, de no ser así, se tiene que modificar el tipo de perfil ya que es demasiado esbelto y se puede presentar pandeo local y el único pandeo permitido es el del estado límite de pandeo por flexión.

Paso 4. Determinación de la resistencia de diseño (Rt) a) Estado límite de flujo plástico en la sección total.

2. a)

Se selecciona An = 37.98 cm

2

Paso 3. Determinación del área neta efectiva (Ae)

Ae  U  An

Rt  At  F y  FR Rt  42.9  2530  0.90  97683 .3kg b) Estado límite de fractura en la sección neta

Rt  Ae  Fu  FR Rt  32.28  4080  0.75  98776.8kg Se selecciona 97,683.3 kg > 95,000 kg. por tanto sí pasa.

b) Compresión Notación Rc (kg): resistencia a la compresión 2 At (cm ): área total de la sección transversal n (adimensional): coeficiente para determinar la resistencia de miembros comprimidos

Revisión de la resistencia Miembros de sección transversal H (IR), I (IE) o rectangular hueca (OR).

 fy Rc    1   2n  0.15 2n





   At  Fr 1 n  

demás opciones que no entren en las descripciones anteriores, n = 1.0 b)

Miembros cuya sección transversal tiene una forma cualquiera no incluida en a). si Kl/r > (Kl/r)’c

Rc 

20,120,000  At  Fr Kl rx 2

En donde: Fr = 0.85

 Kl rx 2  Rc  At  Fy  1   Fr  si Kl/r < (Kl/r)’c 2   2   Kl rx ' c  En donde:

(Kl/r)’c =

6340 Fy

MÉTODO ALTERNATIVO Una forma rápida (para predimensionar) de obtener la resistencia de un perfil a compresión, puede obtenerse con la siguiente ecuación:

Rc 

Fy  A K

En donde: Fr = 0.9



Kl fy  2 rx  E

n es un coeficiente adimensional, que tiene alguno de los siguientes valores: Columnas de sección transversal H (IR) o I (IE) hechas con tres placas soldadas obtenidas cortándolas con oxígeno de placas más anchas, y columnas de sección transversal rectangular hueca (OR), hechas con cuatro placas soldadas, n = 1.4 Columnas de sección transversal H (IR) o I (IR), hechas con tras placas laminadas soldadas entre sí, y todas las

122

En las imágenes superiores se puede apreciar un criterio de placas de continuidad para tramos de columnas.

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras funcionamiento de las armaduras se da cuando las cargas se aplican en los nodos. Cuando no es así (ej. carga distribuida) se presentan pequeños momentos flexionantes en las barras, que por sus dimensiones son bastante pequeños y a final de cuentas tienden a repartir estos esfuerzos a la armadura en su totalidad como tensión y compresión.

Ejemplo Calcular la resistencia a compresión de un miembro LI 102 x 19, de una armadura. La conexión es soldada, y su longitud es de 3 mts. Datos Fy= 2,530 kg/cm2 At= 35.10 cm2 l= 300 cm E= 2,040,000 kg/cm2

r= 3.02 cm K= 1.0 n= 1.0

Articulación vertical atornillada y soldada de una columna que cambia de sección.

Articulación vertical atornillada y soldada de una columna de acero de la misma sección.

1. Revisión de la relación Kl/r Kl/r= 99.33 <200 Por lo tanto sí pasa el artículo 2.2.3 de las NTC. 2.

c) Armaduras

Revisión de la resistencia

(Kl/r)ć=

6300 = 12,604 Fy

Kl/r= 99.33 < (Kl/r)ć Por lo tanto se utiliza:

 Kl rx 2   Fr Rc  At  Fy  1  2  2  Kl rx ' c  La revisión sísmica de columnas a compresión se puede realizar con la ecuación:

Articulación vertical atornillada de una columna de acero de la misma sección.



= 52,007.47 kg

Ps  L3 3 E  Ix

Articulación vertical atornillada de una columna de acero de la misma sección.

Las armaduras son elementos estructurales que tienen un funcionamiento estructural óptimo, en vista de que todos sus miembros están sujetos a tensión o a compresión. Hasta hace poco las armaduras eran utilizadas casi únicamente en instalaciones industriales, estaciones de transporte e instalaciones deportivas, pero en la actualidad su uso se comienza a popularizar en casi todo tipo de edificios por las grandes ventajas estructurales que ofrece. Ya hemos visto cómo la tensión es un esfuerzo casi puro que permite el diseño de elementos muy esbeltos. Por otro lado la compresión también es un esfuerzo bastante favorable, de no ser por las excentricidades en la aplicación de la carga y la esbeltez del miembro que causan pandeo; pero la esbeltez depende de la relación ancho-largo, y como los miembros en una armadura son muy cortos este esfuerzo trabaja bastante bien. En cualquier caso hablamos de tensión y compresión, por esta razón el mejor

123

En los grágicos superiores, podemos apreciar el mal comportamiento sísmico de los contraventeos en K. Por lo cual no es recomendable su uso. En general, los contraventeos deben empezar y terminar en los nodos columna-viga.

DISEÑO PRELIMINAR DE ARMADURAS

Vmax 

w L  Re acción 2

M max 

w  L2  Momento 8


H max 

Esfuerzo en la diagonal extrema

N max

ARMADURAS TRIDIMENSIONALES

w  L2  Tensión  cuerda  inf . 8 d  V 2  H 2  Comp.  cuerda  sup .

MÉTODO ALTERNATIVO 1. Datos necesarios a. Carga por metro lineal (w) en kg b. Definición geométrica de la armadura (L,H, a y b)

De  1.5

wL b  2 H

El cálculo de los miembros individuales de una armadura tridimensional se puede calcular fácilmente con las ecuaciones de tensión y compresión, ya que estos son los esfuerzos a que están sometidas. Para fines del diseño, el peralte puede encontrar con las siguientes ecuaciones: 1. Peralte Cuando las celdas son triangulares d  0 .816  L Cuando las celdas son cuadradas: d  0 .707  L En donde: d (cm): Peralte de la armadura L (cm) largo de carda cuerda inferior

2. Peralte

H 

L L a 15 20

Se suele utilizar el primer caso si la carga no es mu elevada y viceversa

3. Esfuerzos en los elementos: Tensión en la cuerda inferior y compresión en la cuerda superior

Esfuerzo en el montante mas solicitado en el extremo

wL2 Ti  C S  1.5 8H

Q d  1.5

wL 2

d) Flexión

124

Notación L (cm): distancia entre puntos del patín comprimido de una viga soportada lateralmente. Lu (cm): longitud máxima no soportada lateralmente, para la que un miembro en flexión puede desarrollar todavía el momento plástico. Mr (kg-cm): resistencia de diseño a flexión. Fr (adimensional): factor de reducción de la resistencia (0.9) 3 Z (cm ): módulo de sección plástico (manual) fy (kg/cm 2): esfuerzo de fluencia del acero (2530) S (cm3): módulo de sección elástico (manual) Qs (adimensional): factor de reducción de la resistencia en compresión de elementos planos no atiesados (1.0) Se (cm3): módulo de sección elástico efectivo de secciones cuyo patín comprimido es tipo 4 y está compuesto por elementos planos atiesados b ó bf (cm): base de la sección (manual) t ó tf (cm): grueso del patín de la sección Mu (kg-m): momento resistente nominal de una sección Mp (kg-cm): momento plástico resistente nominal de un miembro en flexión J (cm4): constante de torsión de Sain Venant (manual) I (cm4): momento de inercia (manual) E (kg/cm2): módulo de elasticidad del acero (2,040,000) C (adimensional): coeficiente que depende de la ley de variación del momento flexionante a lo largo del eje de una barra en flexocompresión (1.0) Ca (adimensional): coeficiente que interviene en el cálculo del área de atiezadores en trabes armadas (secciones I o H= 1.0, y las demás= 0.0) My (kg-cm): momento correspondiente a la iniciación de la fluencia en una sección Xu: coeficiente adimensional G (kg/cm2): módulo de elasticidad al esfuerzo cortante del acero (784,000) d (cm): peralte (manual) r (cm): radio de giro (manual)

Si el patín tiene el tamaño necesario (Lu) funciona con la losa y su diagrama de momento sería igual al derecho (soportado lateralmente), de no ser así funcionan cono el diagrama


Mp  Z  Fy

izquierdo.

Fórmulas 1. Seleccionar la sección 2.

Calcular Lu y comparar con L para determinar si es miembro soportado lateralmente o no.

Miembros de sección transversal I (IE)

2    E  Ca Lu    1  1  Xu 2 Xu GJ Z  Fy Ca En donde: Xu  4.295  C   GJ Iy

Miembros de sección H (IR) y todas las demás:

Lu 

6.55 d  ry   1  1  Xu 2 Xu t

Mu 

 J     E  Iy       Ca CL  2.6  L  

 0.28  Mp  Mr  1.15  Fr  Mp  1   Mu   Si Mu < 2/3 Mp b)

 d  Fy Xu  7.7  C     t E

3.

Determinación de la relación b/t para ver que tipo de sección es (1, 2, 3, o 4. Comparar con valores de tabla correspondiente)

4.

Cálculo de Momento Resistente

Mr  Fr  Mu

Secciones 3 y 4

Si Mu < 2/3 My En donde:

My  S  Fy 2

En donde:

Metodo Alternativo 2

 0.28  My  Mr  1.15  Fr  My  1   Mu  

A continuación se presenta una forma práctica de abordar el diseño de una viga de acero, encontrando el Módulo de Sección Elástico (Sx) y el Momento de Inercia (Ix) necesarios para soportar el Momento máximo. 1. Módulo de Sección Elástico necesario El momento máximo se M 100 multiplica por 100 para S x (min)  max que este en Kg-cm Fy





2. Momento de Inercia Necesario w [kg/m]: peso sobre la viga 5wl 4 L [cm]: largo de la viga I x (min)  L E [kg/cm2]: 2,040,000 384 E I [cm4]



Ψ es la relación claro/flecha con la que se quiere proyectar la viga, y tiene los siguientes valores:

Si Mu > 2/3 My

Mr  Fr  My

Ψ= 250 Ψ =300 Ψ= 400 Ψ= 500

Para vigas o viguetas de cubierta Para vigas de hasta 5 mts de claro Para vigas de más de 5 mts de claro Para vigas que soportan muros de carga

Miembros soportados lateralmente (si L < Lu) a)

Secciones 1 y 2

b)

Mr  Fr  Zx  fy c)

Secciones tipo 3

Mr  Fr  Sx  Fy

Secciones tipo 4

Mr  Fr  Se  fy

En donde:

Se 

2730  t  480   1   fy  b t   Fy 

Miembros no soportados lateralmente (L < Lu) a)

Secciones tipo 1 o 2

Si Mu > 2/3 Mp En donde:

En el gráfico superior podemos apreciar una viga que esta siendo torsionada (momento torsionante) por otra viga secundaria que no continua. Para evitar este esfuerzo se recure a la utilización de atiezadores en el lado discuntinuo, que minorizan en esfuerzo torsionante, al proporcionar mayor estabilidad lateral al elemento.

125

En el gráfico superior podemos ver distintas formas de aumentar la resistencia a flexión de un perfil estándar de acero. En la opción A se aumenta el peralte hacia el centro de la viga. En la opción B se colocan placas en los 2/4 intermedios de la trabe, esto aumenta el área de la sección, pero al no aumentar significativamente el peralte, no tiene los beneficios de A. En la opción C, se aumenta el área y la base de los patines, pero al igual, al no incidir en el peralte los beneficios no son tan buenos.


En las fotografías superiores podemos apreciar la diferencia entre un apoyo empotrado y articulado de una viga. Como no siempre es posible que todas las conexiones lleguen a el alma de las columnas, la solución radica en colocar atiezadores de continuidad, como apreciamos en el gráfico superior. Incluso, aunque aunque las vigas sean continuas, como en el ejemplo inferior, y por tanto la excentricidad sea 0, es conveniente colocar los atiezadores de continuidad, para reforzar la articulación de dichos elementos. En el ejemplo anterior, podemos ver que las ventajas de los atiezadores de continuidad son muy grandes, al no forzar los nodos a mecanismos de falla, y permitir que las columnas soporten las deformaciones para las cuales están calculadas.

En el gráfico superior, podemos apreciar una viga que se apoya el el patín de una columna, lo cual provoca un momento de volteo, debido a la excentricidad de la carga contra el centro de la columna. En el grafico inferior podemos apreciar que la viga se apoya en el alma, y por tanto coinciden los centros de carga y resistencia, llevando la excentricidad a 0.

126

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Notación Vr (kg): resistencia de diseño a cortante Vn (kg): resistencia nominal a cortante t o tf (cm): grueso del alma (manual) b o tw (cm): peralte del alma (manual) K (adimensional): coeficiente que interviene en el cálculo de la resistencia al cortante de almas de vigas y trabes armadas Aa (cm2): área del alma de una trabe a (cm): distancia entre atiezadores transversales en una trabe h o T (cm): peralte del alma xxxxxx

Fórmulas

h  2000  K Fy t

d.1) Estado límite de iniciación del pandeo del alma

Vn 

1,845,000  K  Aa h t 2

d.2) Estado límite de falla por tensión diagonal 1,845,000  K  0.870  0.50  Fy    Aa Vn    1   2 2  2   h t   1   a h  1   a h     

La fórmula para calcular la resistencia a cortante de una viga es: En donde Fr= 0.9 Vr  Vn  Fr

Ejemplo Calcular una viga (flexión y cortante) de 7.5 mts de largo y un momento flexionante de 91,015.31 kg-m y un cortante de 48,543.37 kg.

El valor de Vn se tomará del menor de todas las siguientes circunstancias de falla (si es que se presentan)

Se propone un perfil IR 553 x 150.9

a)

Datos

Consideración de la falla elástica de la sección En donde:

si

h  1400  K Fy t

K  5.0 

5.0 a h 2

Vn  0.66  fy  Aa

e) Cortante En la ilustración de la izquierda, podemos observar como funciona el mecanismo de cortante. En este caso particular la viga se conecta a la columna por medio de placas, dejando la mayor parte del esfuerzo cortante a los tornillos y/o pernos que la contienen, es una solución constructivamente conveniente.

d) si

b)

El alma falla por cortante en el intervalo por endurecimiento por deformación si

h  1600  K Fy t

c)

922  Fy  K Vn   Aa ht

La falla es por plastificación del alma por cortante si

 922  Fy  K Vn   ht  

h  2000  K Fy t  0.870  1  2  1  a h  

    0.50  Fy   Aa 2  1  Ca h   

M=9101531 kg-cm V=48,543.37 kg c=1 Z=4,143 cm3 G=784,000 kg/cm2 Ca=1 Iy=10,323 cm4

E=2,040,000 kg/cm2 L=B=31.2 cm t=2.03 Fr=0.9 l=750 cm a=1 h=54.3 cm Aa=192.3 cm2

Paso 1. Determinación de la longitud efectiva Lu

 fy  Ca  = 0.0026  Xu  4.293 c   Z     G  J  Iy    2   Lu    Xu = 264.105



  E  Ca   2     G  J    1  1  Xu    L

Es soportada lateralmente

Paso 2. Determinación de la relación B/t

B = 15.36 t

Por lo tanto es sección tipo 1

Paso 3. Cálculo de la resistencia a flexión

127

  


Mr  Fr  Z x  Fy = 9,440,000 kg-cm

 Mu

OK

Paso 4. Resistencia a cortante

 5  K 5 = 5.026 2   a h    922  Fy  K   0.870   0.50  Fy   1  Vn     2 2  ht  1  a h   1  Ca h    = 943,700 kg  V OK

    Aa  

f) Losacero La losacero es un sistema de piso muy utilizado junto con las estructuras metálicas. Los diferentes fabricantes proporcionan tablas con el dimensionamiento de las losas acorde al claro y la carga viva a considerar. A continuación, se presenta una tabla con la que se puede dimensionar las losas con este sistema.

En este gráfico se muestra el desarrollo constructivo de una “Losacero”. Primero vemos la forma en que ésta se cierra en los bordes con ángulos, después la malla electrosoldada que lleva la capa de compresión, posteriormente los pernos de sujeción con la trabe de acero, y finalmente la posibilidad de alojar instalaciones.

g) Conexiones Soldadas

Dimensionamiento de Losacero (C.V. 170 a 350 Kg/m2) Peso Claro Peralte Sustrato Capa Muerto (sin (mts) (cm) (cm) Compresión acabados) (cm) (kg/m2)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

5.1 10.2 10.2 10.2 15.2 15.2 20.3

1.3 2.5 3.8 5.1 5.1 7.6 7.6

3.8 7.7 6.4 5.1 10.1 7.6 12.7

Notación: Rs (kg): Resistencia de la soldadura Aw (cm2): Área de la soldadura (largo x garganta) Fu (kg/cm2): Esfuerzo mínimo especificado de ruptura en tensión (4080 kg/cm 2 para el acero al carbono más disponible en México). Para el cálculo de la resistencia de la soldadura se considera la trayectoria, o el plano mas débil del triángulo que normalmente forma, al cual se denomina: Garganta Aw = Largo del tramo de soldadura x Garganta

x  y  G arg anta 

106.8 214.8 199.2 183.6 303.6 273.6 396



Rs  0.3  Fu  Aw  0.75

128



x 2  y 2  0.5


h) Conexiones Atornilladas Las conexiones atornilladas deben ser revidas por tres diferentes posibilidades de falla: a) cortante, b) tensión y c) desgarramiento.

1) CORTANTE: Notación: Ru (Kg): esfuerzo cortante total en una conexión Rn (kg): Resistencia de diseño a cortante  (adim.): Factor de reducción de la resistencia (0.9) Ag (cm2): Área nominal de cada elemento n (adim.) número de elementos fs (kg/cm2) Resistencia a cortante del tornillo

Rn  Ru

d (cm): diámetro del tornillo t (cm): espesor de la placa Fu (kg/cm2): esfuerzi de tensión del acero (4,080) Resistencia de tornillos más comunes (kg/cm2) Tipo Resistencia a Resistencia a Tensión (Fu) Cortante (Fs) A307 3163.5 1687.2 A325 6327 3379.4 A490 7943.9 3374.4 A502 3163.5 1757.5

Ejemplo de conexión de una trabe en el patín de una columna. Conexión resuelta con ángulos atornillados en el alma de la trabe.

Esta es la misma solución pero con dos placas de atizadores en el interior de la columna lo cual hace más rígida la articulación.

Ejemplo de conexión de una trabe en el alma de una columna. Conexión resuelta con ángulos en los patines de la trabe.

El mismo ejemplo pero solucionado con ángulos en el alma de la trabe

2) TENSIÓN

Fr= Factor de reducción de la resistencia (0.9)

3) DESGARRAMIENTO:

Rn    3  d   t   Fu   Fr

Ejemplo de conexión de una trabe secundaria con una trabe primaria, por medio de doble

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atornillados en el alma de la trabe y en el patín.

i) Chapas de continuidad Una chapa de continuidad se dispone para restituir la capacidad resistente de un perfil que necesita ser cortado por razones constructivas En el caso de la figura, la capacidad a flexión del perfil se mantendrá por dos motivos: a) la compresión, por contacto entre perfiles debidamente soldados, b) La tensión, a través de la chapa de continuidad. En el perfil orifinal la mayor parte de las tracciones van por los patines. Bastará con que la chapa tenga un área un algo superior (1.2 a 1.5 veces el area del patin superior del perfil original. Ancho y espesor de la chapa (b,e) Ancho (b): El ancho será un poco menor que el ancho del patín para poder soldar. Sabiendo que: Espesor de soldadura = 0.7 espesor mínimo a unir. Espesor (e): Una vez estimado b, el espesor se obtiene: be= (1.2 a 1.5) Área del patín superior. Los espesores más comerciales son: 12, 15, 18, 20, 25, 30, 35 y 40 mm. Longitud de la chapa (L)

L  hwh

Rn     fs  Ag  n 

Pn  Fr   fy  Ag  n 

ángulo atornillado (puede ser soldado)

Ejemplo de conexión de una trabe en el patín de una columna. Conexión resuelta con ángulos

Donde: h= canto del perfil a unir w= ancho del patín del perfil que intersecta Las chapas así obtenidas están del lado de la seguridad, aunque se pueden obtener ahorros de material en los perfiles más grandes o cuando el dimensionamiento de los mismos se realice por criterios de flechas.


j) Placas en Columnas

El espesor del cartabón puede calcularse con la ecuación:

e

d 6

k) Estereoestructuras

Para ello, podemos asimilar el comportamiento de una Estereoestructura con el de una gran losa cruzada, calcular sus momentos y los esfuerzos de tensión (T) y compresión (C) en las cuerdas inferior y posterior. Notación: d (mts): peralte efectivo L (mts): Claro largo de la Estereoestructura M xy (kg-m): Momento flector máximo w (kg/ml): carga total (por metro) sobre la estructura a) Cálculo del peralte

L L d      0.5  15 25  b) Cálculo de Esfuerzos



M XY  0.125  w  L2 Para garantizar la correcta transmisión de esfuerzos de columnas de acero a sus respectivas bases de concreto (y de ahí a la cimentación), se debe dimensionar la placa de base acorde a las siguientes ecuaciones: Notación: A (cm2): área de la base de concreto P (kg): Peso sobre la columna L (cm): lado de la base de concreto bf (cm): ancho del patín de la sección d (cm): peralte de la sección

C XY  T XY  Para realizar un análisis preciso y riguroso que determine todos los esfuerzos actuantes en una estructura con un gran número de barras, y por tanto, un alto grado de hiperasticidad, nos obligaría a utilizar un sinnúmero de ecuaciones, para lo cual es imprecidible utilizar un sofisticado programa de computación. Por tanto, podemos recurrir a un método aproximado de diseño y cálculo que nos ayude a llegar a un resultado cientifico y muy aproximado.

Ecuaciones:

P 0.7  F ć n  0.8  bf   0.5 A

El espesor de la placa se puede obtener con la siguiente ecuación:

l A

M XY d

c) Dimensionamiento de elementos Para el cálculo de las cuerdas superior e inferior, así como las baras interiores, se tine que comprobar con las ecuaciones de tensión y compresión que el perfil propuesto soporte el valor de Cxy y Txy.

l) Normas NMX de Estructuras de Acero Estructural NMX-B-026-1972 Método de prueba para determinar, por penetración rápida, la dureza de los materiales metálicos. NMX-B-029-1985 Determinación del módulo de Young, a temperatura ambiente. Método de prueba. NMX-B-099-1986 Acero estructural con límite de fluencia mínimo de 290 MPa y espesor máximo de 12.7 mm. NMX-B-172-1988 Métodos de prueba mecánicos para productos de acero. NMX-B-177-1990 Tubos de acero con o sin costura negros y galvanizados por inmersión en caliente (240 MPa).

m  0.95  d   0.5 e



m 2.5

Es muy recomendable el uso se cartabones cuando existe riesgo de sísmo en la zona. La altura del cartabón (H) H d m puede tomarse como:

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Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras NMX-B-198-1991 Tubos de acero con o sin costura para pilotes. NMX-B-199-1986 Tubos sin costura o soldados de acero al carbono, formados en fío, para usos estructurales (320 MPa). NMX-B-200-1990 Tubos de acero al carbono, sin costura o soldados, conformados en caliente para usos estructurales (250 MPa). NMX-B-252-1988 Requisitos generales para planchas perfiles, tablaestacas y barras de acero laminado, para uso estructural. NMX-B-254-1987 Acero estructural (250 MPa). NMX-B-283-1968 Acero estructural de alta resistencia mecánica y a la corrosión (42 MPa). NMX-B-284-1987 Acero estructural de alta resistencia y baja aleación al manganeso vanadio (290, 320 y 345 MPa). NMX-B-285-1974 Acero estructural de alta resistencia (420 MPa). NMX-B-286-1991 Perfiles I y H de tres planchas soldadas de acero. NMX-B-353-1988 Piezas coladas de acero de alta resistencia, para uso estructural. NMX-B-480-1989 Perfil y plancha de acero de baja aleación y alta resistencia al manganeso-niobio, vanadio para uso estructural. NMX-H-038-1988 Tornillos de acero, cabeza hexagonal para uso estructural. NMX-H-039-1994-SCFI Arandelas de acero, templadas, para uso con tornillos estructurales. NMX-H-124-1990 Tornillos de alta resistencia para uniones de acero estructural. N-CMT-2-04-001/04 Soldadura al arco eléctrico (norma SCT) N-CMT-2-07/04 Pinturas para recubrimiento de estructuras (norma SCT)

m) Normas NMX para Sistemas de Piso NMX-C-405-1997-ONNCCE Sistemas de vigueta y bovedilla y componentes prefabricados similares para losas. Especificaciones y métodos de prueba. NMX-B-066-1988 Lámina de acero al carbono, galvanizada por el proceso de inmersión en caliente para uso estructural. NMX-B-348-1989 Lámina de acero al carbono laminada en frío para uso estructural.

n) Especificaciones de estructura metálica 1. Acero Estructural. De no especificarse lo contrario, se entiende que el acero a utilizarse en toda la estructura metálica es de tipo A36 según la clasificación de la American Society for Testing and Materials (ASTM), o tipo B-254 acorde con la Norma Mexicana (NMX), en particular la norma NMX-B-254-1987. Por lo cual debe garantizarse una resistencia mínima a la fluencia (fy) de 250 MPa (2530 kg/cm2). 2. También pueden utilizarse cualquiera de los siguientes aceros estructurales (aunque no son de uso común): a) Acero estructural con límite de fluencia mínimo de 290 MPa (2950 kg/cm²), norma NMX-B-99 (ASTM A529). b) Acero estructural de baja aleación y alta resistencia, norma NMX-B-282 (ASTM A242). c) Acero estructural de alta resistencia y baja aleación al manganeso– vanadio, norma NMX-B-284 (ASTM A572). d) Acero estructural de alta resistencia y baja aleación de hasta 100 mm de grueso, con límite de fluencia mínimo de 345 MPa (3515 kg/cm²), norma NMX-B200 (ASTM A588). e) Perfiles de acero de alta resistencia y baja aleación, de calidad estructural, producidos por un proceso de tratamiento térmico especial, norma ASTM A913. f) Acero estructural para perfiles H (IR) laminados para uso en edificios, norma ASTM A992. g) Tubos de acero, con o sin costura, norma NMX-B177 (ASTM A53, grado B). h) Tubos de acero al carbono para usos estructurales, formados en frío, con o sin costura, de sección circular o de otras formas, norma NMX-B-199 (ASTM A500). i) Tubos de acero al carbono para usos estructurales, formados en caliente, con o sin costura, norma NMXB-200 (ASTM A501). 3. Remaches. Los remaches de acero estructural serán de la especificación ASTM A502; esta especificación incluye tres grados: a) Grado 1 Remaches de acero al carbón para uso general.

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b) Grado 2 Remaches de acero al carbono– manganeso, para uso con aceros. c) Grado 3 Semejante al Grado 2, pero con resistencia a la corrosión mejorada. La certificación del fabricante constituye evidencia suficiente de conformidad con la norma. 4. Tornillos. Podrán utilizarse: a) Sujetadores de acero al carbono con rosca estándar exterior (Fu = 414 MPa; 4220 kg/cm²), norma NMX-H-118 (ASTM A307). b) Tornillos de alta resistencia para conexiones entre elementos de acero estructural [Fu = 830 MPa (8440 kg/cm²) para diámetros de13 a 25 mm (1/2 a 1 pulg.), Fu = 725 MPa (7380 kg/cm²) para diámetros de 29 y 38 mm (1 1/8 y 1 1/2 pulg.)], norma NMX-H-124 (ASTM A325). c) Tornillos de acero aleado tratado térmicamente para conexiones entre elementos de acero estructural (Fu = 1035 MPa, 10550 kg/cm²), norma NMX-H-123 (ASTM A490). 5. Metales de aportación y fundentes para soldadura. Pueden utilizarse los siguientes: a) Electrodos de acero al carbono, recubiertos, para soldadura por arco eléctrico, norma NMX-H-77 (AWS A5.1). b) Electrodos de acero de baja aleación, recubiertos, para soldadura por arco eléctrico, norma NMX-H-86 (AWS A5.5). c) Electrodos desnudos de acero al carbono y fundentes para soldadura por arco eléctrico sumergido, norma: NMX-H-108 (AWS A5.17). d) Metales de aporte de acero al carbono para soldadura por arco eléctrico protegido con gas, norma NMX-H-97 (AWS A5.18). e) Electrodos de acero al carbono para el proceso de soldadura por arco eléctrico con electrodo tubular continuo, norma NMX-H-99 (AWS A5.20). 6. Conectores de cortante de barra con cabeza para construcción compuesta. Los conectores de cortante de barra con cabeza que se utilizan en la construcción compuesta deben fabricarse con barras que cumplan los requisitos de ASTM A108, “Especificación para barras de acero al carbón, terminadas en frío, de calidad estándar, grados 1010 a 1020”. Las propiedades mecánicas principales de los conectores son: Fy = 345 MPa (3515

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras kg/cm²) (correspondiente a una deformación permanente de 0.2 por ciento). Fu = 414 MPa (4220 kg/cm²). Elongación en 50 mm ó 20 por ciento, mínimo. Reducción de área 50 por ciento, mínimo. 7. Todo el material que se vaya a utilizar en la estructura debe enderezarse previamente. El enderezado se hará de preferencia en frío, por medios mecánicos, pero puede aplicarse también calor, en zonas locales, la temperatura de las zonas calentadas, medida por medio de procedimientos adecuados, no debe sobrepasar 923 K (650ºc). 8. Los cortes pueden hacerse con cizalla, sierra o soplete; estos últimos se harán de preferencia, a máquina. Los cortes con soplete requieren un acabado correcto, libre de rebabas. Se admiten muescas o depresiones ocasionales de de no más de 5 mm de profundidad; pero todas las que tengan profundidades mayores deben eliminarse con esmeril o repararse con soldadura. Los cortes en ángulo deben hacerse con el mayor radio posible, nunca menor de 15 mm, para proporcionar una transición continua y suave. Las preparaciones de los bordes de piezas en las que se vaya a depositar soldadura pueden efectuarse con soplete. Los extremos de piezas que transmiten compresión por contacto directo tienen que prepararse adecuadamente por medio de cortes muy cuidadosos, cepillado u otros medios que proporcionen un acabado semejante. 9. Las piezas entre las que van a colocar soldaduras de filete deben ponerse en contacto; cuando esto no sea posible, su separación no excederá de 5 mm. Si la separación es de 1.5 mm., o mayor, el tamaño de la soldadura de filete se aumentará en una cantidad igual a la separación. La separación entre las superficies en contacto de juntas traslapadas, así como entre las placas de juntas a tope y la placa de respaldo, no excederá de 1.5 mm. En zonas de la estructura expuestas a la intemperie, que no puedan pintarse por el interior, el ajuste de las juntas que no estén selladas por soldaduras en toda su longitud será tal que, una vez pintadas, no pueda introducirse el agua. Las partes que se vayan a soldar a tope deben alinearse cuidadosamente, corrigiendo faltas en el alineamiento mayores que 1/10 del grueso de la parte más delgada o que 3 mm. Siempre que sea posible, las piezas por soldar se colocarán de manera que la soldadura se deposite en posición plana. Las partes por soldar se mantendrán en su posición

correcta hasta terminar el proceso de soldadura, mediante el empleo de pernos, prensas, cuñas, tirantes, puntales u otros dispositivos adecuados, o por medio de puntos provisionales de soldadura. En todos los casos se tendrán en cuenta las deformaciones producidas por la soldadura durante su colocación. Los puntos provisionales de soldadura deberán limpiarse y fundirse completamente con la soldadura definitiva o, de no ser así, deberán removerse con esmeril hasta emparejar la superficie original del metal base. Al armar y unir partes de una estructura o de miembros compuestos se guiarán procedimientos y secuencias en la colocación de las soldaduras que eliminen distorsiones innecesarias y minimicen los esfuerzos de contracción. Cuando sea posible evitar esfuerzos residuales altos al cerrar soldaduras en conjuntos rígidos, al cierre se hará en elementos que trabajen en compresión. 10. Antes de depositar la soldadura deben revisarse los bordes de las piezas en los que se colocará, para cerciorarse de que los biseles, holguras, etc., son correctas y están de acuerdo con los planos. Una vez realizadas, las uniones soldadas deben inspeccionarse ocularmente, y se repararan todas las que presenten defectos aparentes de importancia, tales como tamaño insuficiente, cráteres o socavación del metal base. Toda soldadura debe rechazarse, cuando haya dudas. En juntas importantes de penetración completa, la revisión se complementará por medio de radiografías y/o ensayes no destructivos de otros tipos. En cada caso se hará un número de pruebas no destructivas de soldadura de taller suficiente para abarcar los diferentes tipos que haya en la estructura y poderse formar una idea general de su calidad. En soldaduras de campo se aumentará el número de pruebas, y éstas se efectuarán en todas las soladuras de penetración en material de más de 2 cm de grueso y en un porcentaje elevado de las soldaduras efectuadas sobre cabeza. 11. Todas las partes de miembros que estén en proceso de colocación, de remaches o tornillos, se mantendrán en contacto entre sí rígidamente, por medio de tornillos provisionales. Durante la colocación de las partes que se unirán entre sí no debe distorsionarse el metal ni agrandarse los agujeros. Una concordancia pobre entre agujeros es motivo de rechazo. Las superficies de partes unidas con tornillos de alta resistencia que estén en contacto con la cabeza del tornillo o con la tuerca tendrán una pendiente no mayor que 1:20 con respecto a un

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plano normal al eje del tornillo. Si la pendiente es mayor se utilizarán rondanas para compensar la falta de paralelismo. Las partes unidas con tornillos de alta resistencia deberán ajustarse perfectamente, sin que haya ningún material compresible entre ellas. Todas las superficies de las juntas, incluyendo las adyacentes a las rondanas, estarán libres de costras de laminado, exceptuando las que resistan un cepillado vigoroso hecho con cepillo de alambre, así como de basura, escoria, o cualquier otro defecto que impida que las partes se asienten perfectamente. Las superficies de contacto en conexiones por fricción estarán libres de aceite, pintura y otros recubrimientos, excepto en los casos en que se cuente con información sobre el comportamiento de conexiones entre partes con superficies de características especiales. A todos los tornillos A490 se les dará una tensión de apriete no menor que 21.7 kN (22.2 ton) por tornillo de 7/8". Esta tensión se dará por el método de la vuelta de la tuerca o se revisará por medio de un indicador directo de tensión. Cuando se emplea el método de la vuelta de la tuerca para los tornillos A490, cuando se conecte material con límite de fluencia especificado menor que 274 MPa (2800 kg/cm2), se colocarán rondanas endurecidas bajo la tuerca y la cabeza del tornillo. 12. Las piezas terminadas en taller deben estar libres de torceduras y dobleces locales, y sus juntas deben quedar acabadas correctamente. En miembros que trabajarán en compresión en la estructura terminada no se permiten desviaciones, con respecto a la línea recta que une sus extremos, mayores de un milésimo de la distancia entre puntos que estarán soportados lateralmente en la estructura terminada. La discrepancia máxima, con respecto a la longitud teórica, que se permite en miembros que tengan sus dos extremos cepillados para trabajar por contacto directo, es de 1 mm. En piezas no cepilladas, de longitud no mayor de 10 m, se permite una discrepancia de 1.5 mm, la que aumenta a 3 mm cuando la longitud de la pieza es mayor que la indicada. 13. Las bases de columnas y placas de base cumplirán los requisitos siguientes: a) No es necesario cepillar las placas de base de grueso no mayor de 51mm (2"), siempre que se obtenga un contacto satisfactorio. Las placas de grueso comprendido entre más de 51 mm (2") y 102 mm (4") pueden enderezarse por medio de prensas, o, si no se cuenta con las prensas adecuadas,

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras pueden cepillarse todas las superficies necesarias para obtener un contacto satisfactorio. Si el grueso de las placas es mayor que 102 mm (4") se cepillaran todas las superficies en contacto. b) No es necesario cepillar las superficies inferiores de las placas de base cuando se inyecte bajo ellas un mortero de resistencia adecuada que asegure un contacto completo con la cimentación. c) No es necesario cepillar las superficies superiores de las placas de base ni las inferiores de las columnas cuando la unión entre ambas se haga por medio de soldaduras de penetración completa.

no producir deformaciones ni esfuerzos excesivos. Si a pesar de ellos algunas de las piezas se maltratan y deforman, deben ser enderezadas o repuestas, según el caso, antes de montarlas, permitiéndose las mismas tolerancias que en trabajos de taller.

14. Después de inspeccionadas y aprobadas, y antes de salir del taller, todas las piezas que deban pintarse se limpiarán cepillándose vigorosamente, a mano, con cepillo de alambre, o con chorro de arena, para eliminar escamas de laminado, óxido, escoria de soldadura, basura y, en general, toda materia extraña. Los depósitos de aceite y grasa se quitarán por medio de solventes. Las piezas que no requieran pintura de taller se deben limpiar también, siguiendo procedimientos análogos a los indicados anteriormente. A menos que se especifique otra cosa, las piezas de acero que vayan a quedar cubiertas por acabados interiores del edificio no necesitan pintarse, y las que vayan a quedar ahogadas en concreto no deben pintarse. Todo el material restante recibirá en el taller una mano de pintura anticorrosiva, aplicada cuidadosa y uniformemente sobre superficies secas y limpias, por medio de brocha, pistola de aire, rodillo o por inmersión.

18. Durante el montaje, los diversos elementos que constituyen la estructura deben sostenerse individualmente o ligarse entre sí por medio de tornillos, pernos o soldaduras provisionales que proporcionen la resistencia requerida bajo la acción de cargas muertas y esfuerzos de montaje, viento o sismo. Asimismo, deben tenerse en cuenta los efectos de cargas producidas por materiales, equipo de montaje, etc. Cuando sea necesario, se colocará en la estructura el contraventeo provisional requerido para resistir los efectos mencionados.

15. El objeto de la pintura de taller es proteger el acero durante un periodo de tiempo corto, y puede servir como base para la pintura final, que se efectuará en obra. Las superficies que sean inaccesibles después del armado de las piezas deben pintarse antes. Todas las superficies que se encuentren a no más de 5 cm de distancia de las zonas en que se depositarán soldaduras de taller o de campo deben estar libres de materiales que dificulten la obtención de soldaduras sanas o que produzcan humos perjudiciales para ellas. Cuando un elemento estructural esté expuesto a los agentes atmosféricos, todas las partes que lo componen deben ser accesibles de manera que puedan limpiarse y pintarse. 16. El montaje debe efectuarse con equipo apropiado, que ofrezca la mayor seguridad posible. Durante la carga, transporte y descarga del material, y durante el montaje, se adoptarán las precauciones necesarias para

17. Antes de iniciar el montaje de la estructura se revisará la posición de las anclas, que habrán sido colocadas previamente, y en caso de que haya discrepancias, en planta o en elevación, con respecto a las posiciones mostradas en planos, se tomarán las providencias necesarias para corregirlas o compensarlas.

19. Se considerará que cada una de las piezas que componen la estructura están correctamente plomeada, nivelada y alineada, si la tangente del ángulo que forma la recta que une los extremos de la pieza con el eje de proyecto no excede de 1/500. En vigas teóricamente horizontales es suficiente revisar que las proyecciones vertical y horizontal de su eje satisfacen la condición anterior. Deben cumplirse, además, las condiciones siguientes: a) El desplazamiento del eje de columnas adyacentes a cubos de elevadores, medido con respecto al eje teórico, no es mayor de 25 mm en ningún punto. b) El desplazamiento del eje de columnas exteriores, medido con respecto al eje teórico, no es mayor de 25 mm hacia afuera del edificio, ni 50 mm hacia adentro. 20. No se colocarán remaches, pernos ni soldaduras permanentes hasta que la parte de la estructura que quede rigidizada por ellos esté alineada y plomeada. 21. Se aceptarán faltas de contacto por apoyo directo, independientemente del tipo de unión empleado, siempre que la separación entre las partes no exceda de 1.5 mm. Si la separación es mayor de 1.5 mm, pero menor de 6 mm, y una investigación de ingeniería muestra que no

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hay suficiente área de contacto, el espacio entre las dos partes debe rellenarse con láminas de acero de grueso constante. Las láminas de relleno pueden ser de acero dulce, cualquiera que sea el tipo del material principal. 22. Remaches o tornillos en combinación con soldadura. a) En obras nuevas. Cuando en una obra nueva se especifique el uso de remaches o tornillos, ordinarios o de alta resistencia, diseñados para transmitir las cargas por aplastamiento, en combinación con soldadura, ésta se dimensionará para resistir las fuerzas completas a que estén sujetos los miembros conectados, no dándoles más cargas a los remaches o tornillos que las que tomen durante el proceso de montaje. Cuando se emplean tornillos de alta resistencia diseñados para transmitir las fuerzas por fricción sí puede considerarse que las solicitaciones se reparten entre ellos y las soldaduras. Los cálculos deben hacerse con fuerzas factorizadas. b) En obras ya construidas. Cuando se utilice la soldadura para hacer modificaciones o refuerzos de estructuras, los remaches y los tornillos de alta resistencia, diseñados para trabajar en una conexión de deslizamiento crítico, de la estructura original, pueden utilizarse para resistir los efectos de las cargas muertas existentes antes de la modificación, y la soldadura para proporcionar la resistencia adicional requerida. 23. Atiesadores. Se colocarán atiesadores en pares, en los dos lados del alma, en todos los extremos libremente apoyados de vigas y trabes, y en los apoyos intermedios de vigas continuas; estos atiesadores ocuparán el peralte completo del alma. También se colocarán pares de atiesadores o placas adosadas al alma en puntos intermedios de vigas, trabes o columnas, en los que actúen cargas concentradas que produzcan acciones de diseño en el alma mayores que la resistencia de diseño. Además, se cumplirán los requisitos siguientes: a) Los atiesadores que trabajan en compresión se dimensionarán de manera que no fallen por pandeo local. b) La suma del ancho de cada atiesador, más la mitad del grueso del alma del miembro, sobre el que actúa la carga concentrada, no será menor que un tercio del ancho del patín o de la placa de conexión a través de los que se aplica esa carga.

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras c) El grueso de los atiesadores no será menor que la mitad del grueso del patín o placa a través de la que se aplica la carga concentrada. d) Cuando la carga concentrada actúa en un solo patín del elemento que la recibe, basta con que los atiesadores lleguen a la mitad del peralte del alma. e) La soldadura que une los atiesadores con el alma del elemento sobre el que actúan cargas concentradas debe dimensionarse para que transmita la fuerza en los atiesadores ocasionada por los momentos diferentes que obran en los lados opuestos del elemento atiesado. f) Cuando la carga normal al patín es de tensión, los atiesadores deben soldarse al patín cargado; cuando la carga es de compresión, pueden soldarse o ajustarse al patín cargado. En el segundo caso la carga se transmite por contacto directo entre el patín y los atiesadores. Cuando se utilice soldadura, debe dimensionarse para que transmita al atiesador la totalidad de la fuerza aplicada en el patín. 24. Placas adosadas al alma. Cuando se empleen placas adosadas al alma, deberán satisfacer los requisitos siguientes: a) El grueso y tamaño de la placa, o placas, serán los necesarios para proporcionar el material (área) requerido para igualar, o exceder, la demanda de resistencia. b) Las soldaduras de las placas trasmitirán la parte de la fuerza total que les corresponda. Pueden colocarse dos placas, a uno y otro lado del alma, o una sola. Esta solución suele ser más económica. 25. Soldaduras. Las recomendaciones que se dan aquí se complementan con las de la última versión de “Structural Welding Code–Steel”, AWS D1.1, de la Sociedad Americana de la Soldadura (American Welding Society). El tipo de soldadura aplicable en la construcción metálica es el de arco eléctrico con electrodo metálico, aplicado manual, semiautomática o automáticamente. Los procesos aprobados son: la soldadura manual con electrodo recubierto, la soldadura automática de arco sumergido, la protegida con gases y la soldadura con electrodo con corazón de fundente. Pueden utilizarse otros procesos si se califican adecuadamente para los casos en que se vayan a usar.

26. Metal de aportación para soldadura. Se usará el electrodo, o la combinación de electrodo y fundente, adecuados al material base que se esté soldando, teniendo especial cuidado en aceros con altos contenidos de carbón u otros elementos aleados, y de acuerdo con la posición en que se deposite la soldadura. Se seguirán las instrucciones del fabricante respecto a los parámetros que controlan el proceso de soldadura, como son voltaje, amperaje, polaridad y tipo de corriente. La resistencia del material depositado con el electrodo será compatible con la del metal base. Para que una soldadura sea compatible con el metal base, tanto el esfuerzo de fluencia mínimo como el esfuerzo mínimo de ruptura en tensión del metal de aportación depositado, sin mezclar con el metal base, deben ser iguales o ligeramente mayores que los correspondientes del metal base. Por ejemplo, las soldaduras manuales obtenidas con electrodos E60XX o E70XX3, que producen metal de aportación con esfuerzos mínimos especificados de fluencia de 331 y 365 MPa (3400 y 3700 kg/cm²), respectivamente, y de ruptura en tensión de 412 y 481 MPa (4200 y 4900 kg/cm²), son compatibles con el acero A36, cuyos esfuerzos mínimos especificados de fluencia y ruptura en tensión son 250 y 400 MPa (2530 y 4080 kg/cm²), respectivamente. 27. Tipos de soldaduras. Se consideran cuatro tipos de soldaduras: a) Soldaduras de filete. Se obtienen depositando un cordón de metal de aportación en el ángulo diedro formado por dos piezas. Su sección transversal es aproximadamente triangular. b) Soldaduras de penetración. Se obtienen depositando metal de aportación entre dos placas que pueden, o no, estar alineadas en un mismo plano. Pueden ser de penetración completa o parcial, según que la fusión de la soldadura y el metal base abarque todo o parte del espesor de las placas, o de la más delgada de ellas. c) Soldaduras de tapón. d) Soldaduras de ranura. Las soldaduras de tapón y de ranura se hacen en placas traslapadas, rellenando por completo, con metal de aportación, un agujero, circular o alargado, hecho en una de ellas, cuyo fondo está constituido por la otra. 28. Dimensiones efectivas de las soldaduras.

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a) El área efectiva de una soldadura de penetración o de filete es el producto de su longitud efectiva por el tamaño efectivo de su garganta. b) El área efectiva de soldaduras de tapón o de ranura es el área de la sección transversal nominal del tapón o la ranura, medida en el plano de la superficie de falla. c) La longitud efectiva de una soldadura de penetración entre dos piezas a tope es igual al ancho de la pieza más angosta, aun en el caso de soldaduras inclinadas respecto al eje de la pieza. d) La longitud efectiva de una soldadura de filete recta es igual a la longitud total del filete de tamaño completo, incluyendo retornos, cuando los haya. Si la soldadura de filete es curva, la longitud es igual a la del eje del cordón, trazado por el centroide del plano que pasa por la garganta, pero si el filete está depositado en un agujero circular o en una ranura, el área efectiva no será mayor que el área nominal de la sección transversal del agujero o la ranura, medida en el plano de la superficie de falla. e) El tamaño efectivo de la garganta de una soldadura de filete es la distancia más corta de la raíz a la cara de la soldadura diagramática, sin incluir el refuerzo de la misma. En soldaduras de filete depositadas por el proceso de arco sumergido, el tamaño efectivo de la garganta puede tomarse igual a la pierna del cordón cuando ésta no excede de 10 mm ( 3/8 pulg.), e igual a la garganta teórica más 2.5 mm para filetes mayores de 10 mm. f) El tamaño efectivo de la garganta de una soldadura de penetración completa, depositada por un lado, con placa de respaldo, o por los dos, limpiando el segundo lado hasta descubrir metal sano antes de colocar la soldadura, es igual al grueso de la más delgada de las placas unidas. Si no se usa placa de respaldo, o no se limpia adecuadamente el segundo lado antes de depositar la soldadura, la junta se considerará de penetración parcial. 29. Tornillos de alta resistencia. Estas recomendaciones se complementan con las de la última versión de “Load and Resistance Factor Design Specification for Structural Joints Using ASTM A325 or A490 Bolts”, del Consejo de Investigación en Conexiones Estructurales (Research Council on Structural Connections). Los tornillos que se consideran aquí deben satisfacer los requisitos de alguna de las especificaciones NMX-H-124 (ASTM-A325) o NMX-H-123 (ASTM-A490). Dependiendo del tipo de

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras conexión, puede, o no, requerirse que los tornillos se instalen apretándolos hasta que haya en ellos una tensión especificada mínima. El apriete puede hacerse por alguno de los métodos siguientes: vuelta de la tuerca, con un indicador directo de tensión, una llave calibrada, o con un tornillo de diseño especial. 30. Tamaños de los agujeros a) Los agujeros de placas de base de columnas pueden ser mayores si se requiere por las tolerancias admisibles en la colocación de anclas en cimientos de concreto reforzado. b) Siempre se utilizarán agujeros estándar, excepto cuando el diseñador especifique, en conexiones atornilladas, el uso de agujeros sobredimensionados o alargados. En conexiones remachadas, no se permite el uso de agujeros sobredimensionados o alargados. c) Los agujeros sobredimensionados pueden usarse en cualquiera o en todas las partes unidas en una conexión por fricción, pero su empleo está prohibido en conexiones por aplastamiento. Si las partes exteriores tienen agujeros sobredimensionados, deben colocarse roldanas endurecidas. d) Los agujeros alargados cortos pueden usarse en cualquiera o en todas las partes unidas en una conexión por fricción o por aplastamiento. En conexiones por fricción los agujeros pueden tener cualquier dirección, pero en conexiones por aplastamiento su dimensión mayor debe ser perpendicular a la dirección de la carga. Si las partes exteriores tienen agujeros alargados cortos deben colocarse roldanas, las que serán endurecidas cuando los tornillos sean de alta resistencia. e) Los agujeros alargados largos pueden usarse sólo en una de las partes comunes a cada superficie de falla individual, tanto en juntas de fricción como de aplastamiento. En conexiones por fricción los agujeros pueden tener cualquier dirección, pero en conexiones por aplastamiento su dimensión mayor debe ser perpendicular a la dirección de la carga. Cuando se usan agujeros alargados largos en una parte exterior, deben colocarse roldanas de placa o una solera continua, con agujeros estándar, de tamaño suficiente para cubrir por completo los agujeros alargados. En conexiones con tornillos de alta resistencia, las roldanas de placa o las soleras continuas serán de acero

de grado estructural, de no menos de 8 mm de grueso; no es necesario que estén endurecidas. Si en algún caso se requieren roldanas endurecidas con tornillos de alta resistencia, se colocarán sobre la cara exterior de la roldana de placa o de la solera. 31. Agarres largos. Cuando la longitud de agarre de remaches, o tornillos de acero ASTM-A307, sea mayor que cinco veces su diámetro, su número se aumentará en uno por ciento por cada 1.5 mm de longitud adicional. 32. Separaciones mínimas. La distancia entre centros de agujeros para remaches o tornillos, sean estándar, sobredimensionados o alargados, no será, en general, menor que tres veces el diámetro nominal del conector; de ser necesario, esta distancia puede disminuirse a 2 2/3 veces el diámetro nominal. 33. Separación y distancia al borde máximas. La distancia máxima del centro de un tornillo o remache al borde más cercano de las partes en contacto será 12 veces el grueso de la parte conectada en consideración, sin exceder de 150 mm. La separación longitudinal entre conectores colocados en elementos en contacto continuo, consistentes en una placa y un perfil, o dos placas, será la siguiente: a) Para elementos, pintados o sin pintar, no sujetos a corrosión, no excederá de 24 veces el grueso de la placa más delgada, o 300 mm. b) Para miembros no pintados de acero intemperizable, sujetos a corrosión atmosférica, no será mayor que 14 veces el grueso de la placa más delgada, o 180 mm.

o) Especificaciones de losacero 1. Para un adecuado funcionamiento como diafragma, la lámina deberá ser correctamente fijada a todas las vigas de la estructura portante y no portante. 2. Deberá hacerse un adecuado cosido longitudinal para garantizar el correcto funcionamiento estructural de la lamina y evitar filtraciones de concreto por el traslape longitudinal. 3. La lamina losacero deberá estar debidamente sujetada a la estructura de soporte en cada valle mediante tornillos autoperforantes, clavo de disparo o soldadura, así como se deberá tener restricción al giro en los bordes

135

discontinuos de la losa utilizando fronteras metálicas permanentes o conectores. 4. Los conectores deberán ser del tipo Weld-Thru TRW Nelson S3l de 3/4" de diámetro, y de una longitud sin instalar de 4" que ya instalado tendrá una longitud de 4", es decir que sobresalga del peralte de la lamina 1 1/2" y con una resistencia ultima a corte de 93 kN (9513 kg), acorde con la norma NMX-H-124-1990. 5. La densidad de los conectores colocados en los valles de la lamina en función del calibre son las siguientes: en cada valle (@ 12") para calibre 18, en valles alternados (@ 24") para calibres 20, 22, 24. 6. Se deberá verificar por métodos adecuados que el conector este debidamente anclado a la viga de soporte, acorde con la norma NMX-H-121-1988. 7. El concreto deberá tener una resistencia a la compresión a los 28 días (f'c) 25 MPa (250 kg/m2). Para su proporcionamiento, revenimiento, elaboración y manejo, se deberán seguir las especificaciones vigentes del en las normas NMX aplicables para un concreto con refuerzo y al ambiente en cuestión. 8. No se deberán utilizar aditivos acelerantes de fraguado que contengan cloruros de sodio. 9. Para disminuir el tiempo de colado y la cantidad de juntas frías, se recomienda utilizar concreto bombeado. 10. Se deberá realizar un cosido con alambre galvanizado en la unión longitudinal de la lámina. Esta operación se efectuara cada 30 cms. máximo, utilizando la punzonadora. 11. Cuando se utilice soldadura como modo de fijación en calibres de laminas losacero 24 y 22, se deberá colocar una arandela galvanizada calibre 16 (0.0613") con una perforación al centro de 3/8" de diámetro. Este accesorio se colocara sobre cada valle de la lámina coincidiendo en el apoyo y se aplicara la soldadura en el centro, verificando que se haya realizado un correcto anclaje en el elemento de soporte. Los calibres 20 y 18 no requieren arandela.


ESTRUCTURAS DE MADERA

f´vy E0.50 E0.05

15 100,000 55,000

Valores especificados de resistencias y módulos de elasticidad de maderas latifoliadas (kg/cm2)

Maderas estructurales Coníferas: también llamadas gimnospermas, árboles de hoja perenne en forma de aguja con semillas alojadas en sus conos. Su madera está constituida esencialmente por un tipo de células denominadas traquedias (pino, roble, nogal, etc.) Latifoliadas: también llamadas angiospermas, árboles de hoja caduca de forma ancha que producen sus semillas dentro de frutos. Su madera está constituida por células denominadas vasos, fibras y rarénquima (tropicales: caoba). Madera contrachapeada: placa compuesta de un conjunto de chapas o capas de madera unidas con adhesivo, generalmente en número impar, en la cual las chapas adyacentes se colocan con la dirección de la fibra perpendicularmente entre sí.

Nota: La principal propiedad mecánica que caracteriza a la madera de los demás materiales estructurales es la anisotropía. Valores especificados de resistencias y módulos de elasticidad de madera de especies coníferas (kg/cm2) Flexión Tensión paralela a la fibra Compresión paralela a la fibra Cortante perpendicular a la fibra

Cortante paralelo a la fibra Módulo de elasticidad promedio Módulo de elasticidad correspondiente al 5º percentil

f´fu f´tu fću fńu

Flexión Tensión paralela a la fibra Compresión paralela a la fibra Cortante perpendicular a la fibra Cortante paralelo a la fibra Módulo de elasticidad promedio Módulo de elasticidad correspondiente al 5º percentil

f´fu f´tu fću fńu f´vy E0.50 E0.05

300 200 220 75 25 160,000 120,000

Valores especificados de resistencias y módulos de elasticidad y módulo de rigidez de madera contrachapeada de especies coníferas (kg/cm2) Flexión Tensión Tensión: fibra en las chapas exteriores perpendicular al eje (tres chapas) Compresión en el plano de las chapas Compresión perpendicular al plano de las chapas Cortante a través del grosor Cortante en el plano de las chapas Módulo de elasticidad promedio Módulo de rigidez promedio

f´fu f´tu f´tu

190 140 90

fću

160

fńu

25

f´vu f´ru E0.50 G0.5o

20 5 105,000 5,000

Factores de reducción de resistencia para madera maciza y contrachapeada (Fr) Acción Madera Madera Maciza Contra chapeada Flexión 0.80 0.80 Tensión paralela 0.70 0.70 Compresión paralela y en el 0.70 0.70 plano de las chapas Compresión perpendicular 0.90 0.90 Cortante paralelo, a través 0.70 070 del espesor y en el plano de las chapas

170 115 120 40

Inspección visual y enfermedades de la 17 madera Es necesario que la pieza esté sana y esto puede juzgarse tras una inspección visual. A continuación se enumeran algunos síntomas o defectos de la matera y se describe su influencia en las propiedades macánicas.  Fendas: agrietamiento longitudinal entre las fibras cortando los anillos de cerramiento, producido durante el secado de la pieza. No afecta a las propiedades mecánicas ya que no supone discontinuidad de las fibras.  Nudos: nacimiento de una rama del arbol. Son un punto débil en la pieza. A efectos de cálculo no se puede considerar la zona de sección transversal ocupada por los nudos, aunque, si son pequeños con respecto al canto de la pieza y están muy espaciados, suele desprecirse su efecto.  Coloración grisácea, versosa o azulada: debida a oxidación de vetas de resina remanente entre fibras (en el caso de coníferas) producidas por la acción solar. La presencia de hongos cromógeneos que colorean la madera. La primera causa no afecta a las propiedades de la la pieza. La segunda, en general, tampoco, aunque avisa de la presencia de humedad (actual o pasada).  Carcoma: la presencia de estos insectos en fase larvaria produce en la pieza una red de galería rellenas de serrín con orificios en superficie circulares u ovalados de 1 a 10 mm de diámetro. La madera atacada por carcoma ha de ser tatada para parar su desarrollo. La pérdida de resistencia de la pieza puede ser importante y ha de ser evaluada si se quiere reutilizar.  Pudrición: producida por hongos xilófagos que destruyen la madera con importante pérdida de materia. La pudrición se limita únicamente a la zona donde la humedad es elevada (mayor del 20% en el interior de la pieza). Las zonas de un edificio más susceptibles de ser atacadas por la pudrición sonaquelas húmedas y poco aireadas: Uniones con muros, pies derechos de entramados, elementos cercanos a las redes de agua y cubiertas.

17

ARROLLO, Juan, et. al. Números gordos en el proyecto de estructuras, Madrid 2006, edit. Cister.

136


p) Tensión (madera)

(encofrado) para el concreto es muy popular, la cimbra es en sí una estructura provisional que está sometida a esfuerzos considerables, que no puede ser confiada únicamente a la experiencia (empírica) de los maestros carpinteros, sino que debe ser revisada su resistencia de acuerdo con los métodos aquí vistos.

Notación Tr (kg): resistencia de diseño a la tensión Fr (adimensional): factor de resistencia f´tu (kg/cm2) Esfuerzo en tensión paralelo a la fibra An (cm2): área neta del miembro At (cm 2): área total Ap (cm2): área de perforaciones s (cm): paso g (cm): gramil

r) Flexión

Fórmulas

Tr  Fr  f ´tu  An En donde:

An  At  Ap

 s2   An  At   Ap  4  g  

Notación Pr (kg): resistencia a compresión de un miembro Fr (adimensional): factor de reducción fću (kg/cm2): esfuerzo de compresión paralelo a la fibra A (cm2): área total de la sección Pcr (kg): carga crítica de pandeo E (kg/cm2): módulo de elasticidad del tipo de madera K (adimensional): factor para determinar la longitud de columnas (Ver anexo) Lu (cm): longitud libre de columna Kd (adimensional): factor de modificación por duración (1.33) Kc (adimensional): factor de modificación por compartición de carga (0.90) Kh (adimensional): factor de modificación por humedad (0.80) Fórmulas

q) Compresión (madera)

si

K  Lu 4 r

si

K  Lu 4 r

Pr  Fr  f ' cu  A

Pcr  Fr 

 2  E0.05  A  Kd  Kc  Kh K  Lu 

Notación Mr (kg-cm): momento resistente a flexión Fr (adimensional): factor de reducción f´fu (kg/cm 2): esfuerzo a la flexión s (cm3): módulo de sección  (adim.): factor de estabilidad lateral Cs (adimensional): factor de esbeltez Ck (adim.): factor de esbeltez crítico Lu (cm): largo efectivo del elemento Fórmulas

En muchos países (México y Latinoamérica) la madera no es utilizada como elemento estructural, salvo pocas excepciones, pero su uso como cimbra

137

Mr  Fr  f ' fu  s  

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras En donde:

 Ck    0. 7     Cs  E 0.05 Ck  f ' fu

2

Cs 

s

Lu  d b2

bd 6

2

s) Cortante Notación Vr (kg): resistencia de diseño a cortante f´vu (kg/cm2): esfuerzo nominal a cortante del material A (cm2): área de la sección Fórmulas

Vr 

Fr  f ' vu  A 1.5

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t) Normas NMX de Estructuras de Madera Estructural NMX-C-178-ONNCCE-2001 Preservadores para madera. Clasificación y requisitos. NMX-C-224-ONNCCE-2001 Dimensiones de la madera aserrada para el uso en la construcción. NMX-C-239-1985 Calificación y clasificación visual para madera de pino en usos estructurales. NMX-C-322-ONNCCE-2003 Madera preservada a presión. Clasificación y requisitos. NMX-C-409-ONNCCE-1999 Elementos de madera. Clasificación visual para maderas latifoliadas de uso estructural. NMX-C-410-ONNCCE-1999 Retención y penetración de sustancias preservadoras en madera. Métodos de prueba. NMX-C-411-ONNCCE-1999 Especificaciones de comportamiento para tableros a base de madera de uso estructural. NMX-C-419-ONNCCE-2001 Preservación de maderas. Terminología. NMX-C-438-ONNCCE-2006 Tableros contrachapados de madera de pino coníferas. Clasificación y especificaciones. NMX-C-439-ONNCCE-2006 Tableros contrachapados de pino y otras coníferas. Propiedades físicas. Métodos de ensayo. NMX-C-440-ONNCCE-2006 Tableros contrachapados de pino y otras coníferas. Propiedades mecánicas. Métodos de ensayo. NMX-C-443-ONNCCE-2006 Madera. Contenido de humedad de la madera. Método de ensayo. NMX-C-446-ONNCCE-2006 Métodos de ensayo para determinar las propiedades mecánicas de la madera de tamaño estructural. NMX-H-023-1976 Tornillos de acero para madera.

139


Capítulo VII ESTRUCTURAS DE CASCARÓN a) Introducción Ley del Cubo Cuadrado Cuando la masa de un objeto crece en proporción a su volumen, debe mantener una densidad constante. Por ejemplo, si cada lado de un edificio tiene una longitud L, entonces su volumen es L x L x L. Un edificio que tiene una longitud, altura y anchura de tres metros tendrá un volumen de 3m x 3m x 3m, o sea 27 m3. Esta unidad de volumen se llama metro cúbico o m3 y representa el hecho de que hemos multiplicado por tres longitudes. Supongamos que el edificio debe crecer dos veces en cada dirección. Su altura, anchura y longitud serán también de 6 metros cada una. En este caso su volumen es de 6m x 6m x 6m, o sea, 216 m3. Así pues, duplicar su longitud en las tres direcciones aumenta su volumen por un factor de ocho. Si su longitud crece en las tres direcciones por un factor de diez, de forma que su largo, ancho y alto serán ahora de 30 metros en lugar de 3 metros, su volumen sería entonces de 27,000 m3, mil veces mayor que su volumen inicial de 27 m3. Si queremos que esto sea físicamente plausible, lo sección total de los elementos estructurales ha de mantener una densidad constante al crecer, entonces su masa debe aumentar en la misma proporción que su volumen, no que su longitud. Es decir, la relación entre la sección de los elementos estructurales (Ee) portantes y el área total del edificio (Ae) debe ser siempre igual independientemente del cambio, lo cual podemos resumir en la siguiente relación matemática:

Ee Ee   Cons tan te Ae Ae

En la ilustración anterior podemos apreciar una estructura natural de cascarón, sus formas han sido y serán fuente de inspiración para el diseño arquitectónico, pero al mismo tiempo las leyes que gobiernan su comportamiento mecánico que siempre las optimiza al máximo son la máxima fuente de conocimiento para arribar a las hipótesis físicas y las formulaciones matemáticas con las que se calculan este tipo de estructuras (Ley del cubo cuadrado), incluso las proporciones que guarda su volumen respecto al espesor de sus paredes, son limites máximos y minimos que continúan utilizando muchos reglamentos, y para la construcción de estructuras de cascaron en la actualidad.

Hipérbola En el caso de las membranas arquitectónicas la ley del Cubo cuadrado ya no es aplicable, pero si las leyes que se describen en la ecuación de Euler-Lagrange (ver el siguiente capítulo), que son leyes que también se presentan en la naturaleza, en este caso en las pompas de jabón.

Parábola La parábola es una de las secciones cónicas. Es una curva plana que se puede ajustar, en relación a un sistema de ecuaciones ortonormales, o con la aplicación de una transformación que represente un giro a dicha relación. Se trata del lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de uno fijo, llamado foco, y de una recta cualquiera, llamada directriz.

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Una hipérbola es un tipo de sección cónica. Se define como el lugar geométrico de todos los puntos del plano para los cuales la diferencia de las distancias (en valor absoluto) a dos puntos fijos (llamados focos) es constante. Se obtiene al sacar las pendientes absisas, y sumar todos los ángulos iguales tales como los catetos y la hipotenusa.


Paraboloide Hiperbólico (Hypar) Es una superficie que sobre planos horizontales paralelos al eje XY, genera hipérbolas o dos rectas, mientras que sus trazos sobre planos verticales paralelos a los ejes ZX son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazos sobre planos verticales paralelos a los ejes ZY son parábolas que abren hacia arriba.

Superficie de Doble Curvatura Son superficies generadas por el movimiento de una generatriz (g) curva. Estas superficies no contienen líneas rectas, y por lo tanto no son desarrollables. Entre ellas son muy conocidas las cuádricas, las cuales son superficies generadas por la rotación de una curva cónica alrededor de uno de sus ejes. Las cuadráticas son: la esfera, cuya generatriz (g) es una circunferencia; el elipsoide, cuya generatriz (g) es una elipse; el paraboloide, cuya generatriz (g) es una parábola; y el hiperboloide, cuya generatriz (g) es una hipérbola.

141

Catenaria Es la curva que describe una cadena suspendida por sus extremos y que se encuentra sometida a un campo gravitatorio uniforme. Es la curva que se observa, forman los cables del tendido eléctrico de alta tensión, entre dos torres de apoyo. Por extensión, en matemáticas se denomina catenaria a la curva que adopta una cadena, cuerda o cable ideal perfectamente flexible, con masa distribuida uniformemente por unidad de longitud, suspendida por sus extremos y sometida a la acción de un campo gravitatorio uniforme.

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras son: a) Una superficie de revolución cilíndrica, b) una superficie de revolución cónica, c) una superficie de revolución esférica, y d) una superficie de revolución toroidal.

Superficie Sinclástica Es una superficie que posee curvaturas similares en un punto dado. Superficie Anticlástica Es una superficie con curvatura de sentidos opuestos en diferentes direcciones y en cualquier punto Superficie Reglada Superficie generada por el movimiento de una recta, denominada generatriz, manteniéndose en contacto con otra u otras, denominadas directríces, cumpliendo además en su desplazamiento ciertas condiciones particulares.

Superficie desarrollable Una superficie desarrollable es una forma geométrica simple capaz de ser aplanada sin sufrir alargamiento y/o ruptura Superficie no desarrollable Una superficie no desarrollable es una forma geométrica compleja que al intentar ser aplanada sufre alargamiento y/o ruptura.

En la ilustración de la derecha podemos apreciar un ejemplo de una superficie reglada. A pesar de estar formada por líneas rectas esclisivamente. Si hacemos secciones sobre su geometría podemos encontrar círculos, parábolas e hipérbolas.

b) Comportamiento mecánico

Una estructura tradicional resiste los momentos a los que esta sometida creando internamente un momento resistente que sea igual o mayor al momento externo. En una viga el momento externo es muy grande ya que este momento es directamente proporcional a la distancia entre el centro de la carga y el eje de rotación de la misma (r), es decir el brazo de palanca. Esto obliga a que internamente en la viga exista una área considerable de material (60 a 70%) que no esta soportando ningún esfuerzo, sino que únicamente sirve para crear el brazo de palanca necesario para proporcionar el momento resistente interno.

Supongamos que a la misma viga, con la misma carga le ponemos un concreto de mayor resistencia, lógicamente el peralte de ésta será menor porque el área de compresión será más chica y su centro resistente subirá, pero el brazo de palanca será igual al de la viga anterior, porque esta distancia es la que crea el momento resistente (fuerza por distancia). Ahora supongamos que para la misma viga, con la misma carga ponemos una sección “T”; lo que sucederá es que el área de resistencia a compresión se puede extender horizontalmente y por tanto el centro resistente a compresión sube (se acerca a la fibra última) y por tanto se necesita aún menos peralte, pero el brazo de palanca continua siendo el mismo para formar el momento

Superficie de Revolución Es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva. Ejemplos comunes de una superficie de revolución

142

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras resistente. Por lo tanto lo más importante no es la resistencia de los materiales sino la DISTANCIA.

ver en el clásico ejemplo de la hoja de papel. Una hoja de papel no es capaz de permanecer horizontal, aunque es muy ligera, pero si le realizamos una pequeña curvatura, esta no solamente es capaz de permanecer horizontal, sino que es capaz de soportar un peso extra (pluma), es decir se aumenta su resistencia enormemente, sin aumentar su espesor. Simplemente se aumenta su par mecánico. El tipo de curvatura, pliegues o la combinación de estos puede ser casi infinito, pero el principio, como podemos ver, es muy sencillo

Por lo tanto, que pasaría si buscamos estructuras en donde la distancia que forma el par mecánico sea muy grande. La consecuencia inmediata sería que el espesor del elemento disminuirá mucho al igual que la cantidad de material; y por lo tanto tendíamos un ahorro significativo. Pongamos el ejemplo de una losa maciza de concreto comparada con una estructura de placa doblada también de concreto. La losa maciza solamente puede desarrollar (por su peralte) un momento pequeño, y por tanto la cantidad de acero que necesita es muy alta; pero la placa doblada puede desarrollar un par mecánico enorme y por lo tanto el espesor de ésta es el mínimo para recubrir el armado. En cuanto la losa maciza necesita soportar un momento más grande necesita más peralte, y su peso, la cantidad de material y el peso que distribuye a la cimentación, es muy grande; mientras que la placa doblada no sufriría ninguna modificación ya que su momento resistente es enorme.

Por lo tanto el principio implícito sería que entre más grande sea el par mecánico de la estructura, mayor su momento resistente y menor tiene que ser su espesor. Esta propiedad quedó magistralmente demostrada en el Pabellón de Rayos Cósmicos construido en 1951 por Félix Candela en la Ciudad Universitaria. Esta estructura de aproximadamente 10 metros de claro y un par mecánico de 5 mts., fue resulta mediante una estructura de Paraboloides hiperbólicos que permitió tener un espesor que varía entre 2.5 y 1.5 centímetros, lo que fue necesario para permitir la entrada al interior de las partículas solares que atraviesan el delgado cascarón.

En el gráfico de arriba podemos ver muy bien ilustrados los principios que se han comentado. Una placa delgada tiene mucha dificultad para soportar su peso propio (recordemos que en las estructuras tradicionales la mayor parte del peso es el propio de la estructura) pero si esta placa la doblamos en forma de acordeón es capaz de soportar su peso propio más un peso agradado. Si aumentamos este peso agregado, llega súbitamente un momento en que la estructura empieza a ceder en sus vértices. Basta tan sólo un pequeño arreglo de atiezadores en los extremos para que la estructura sea capaz de soportar 3 o 4 veces la misma carga. Por tanto podemos concluir tempranamente que “los apoyos para un cascarón son tan importantes como la forma del mismo cascarón”.

Por lo tanto la clave de cualquier estructura de cascarón se encuentra en su geometría. Esto lo podemos

Pero evidentemente este es un principio que tiene sus límites, para claros muy grandes los momentos producidos en las placas son inadmisibles; prueba de ello es que el propio Candela en el Palacio de los Deportes de la Ciudad de México para la Olimpiada de 1968 (80 mts. de diámetro) utilizó una estructura de armaduras tridimensionales en ambos sentidos, y en los cuadros de las intersecciones de éstas se recurrió a estructuras de cascarón. En el otro extremo, la creencia generalizada es que las estructuras de cascarón no son indicadas para claros pequeños; pero la experiencia a enseñado que en el uso de bóvedas dípteras en casas habitación con claros experimentados de 1.80 a 12.0 mts y espesor de 4 cm. se tiene un ahorro de más del 40% en relación con la construcción tradicional de losa maciza18.

18

Ver: GONZÁLEZ, Lobo Carlos, Vivienda y ciudad posibles, Bogota 1998, edit. Escala

143

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras la máxima belleza. Por lo tanto, la intuición estructural al momento de diseñar estructuras de cascarón es lo más importante, pero esta debe estar basada en información científica y experiencia. Para cualquier estructura de cascarón, habrá un método simple de análisis que puede usarse para verificar el análisis más preciso. En las estructuras ordinarias, los resultados de un método simple de análisis varia un 10% del análisis final; y en las estructuras de cascarón puede estimarse una variación menor del 5 % porque usualmente lo único que se desconoce es el aumento de refuerzo. Otro principio fundamental es de la desarrollabilidad de las estructuras. Cuando la forma específica de una estructura se puede desarrollar en otra forma geométrica simple, después de aplicarle un esfuerzo, decimos que es una estructura desarrollable; pero cuando la forma específica no puede ser desarrollada a otra forma simple, es lo que conocemos como estructura no desarrollable. Una estructura no desarrollable es mucho más resistente que una estructura desarrollable. Heinz Isler asegura que una estructura no desarrollable es aproximadamente 30 veces más resistente que una desarrollable19. Evidentemente esto esta relacionado con la altura y el grado de la curvatura. En un cascarón tradicional el radio de la altura de su diagonal en planta es aproximadamente 1:10. En un domo con poca curvatura, el concreto puede ser más fácil de aplicar a la cimbra. Cuando la altura y la curvatura se incrementa de tal forma que el radio pase de 1:10 a 1:7 la cáscara pasa a ser dos veces más resistente, y el concreto no presenta ninguna dificultad extra para ser colocado. La experiencia en cascarones de 1:3 de radio, el concreto puede ser perfectamente colocado si se elabora con un revenimiento de 2 cm. Funcionamiento interno

c) Domos Para entender el funcionamiento interno de una estructura de cascarón partamos del ejemplo de un domo semicircular. Esta estructura, reparte sus fuerzas en dos sentidos. El primero es el sentido como arco, es decir, el domo se puede entender como una serie de arcos. En el otro sentido (meridional) actúan fuerzas como anillos. El anillo de la base es el que mayor fuerza soporta, es decir, los arcos tienden a abrirse, y esta fuerza es mayor en la base. Obviamente los anillos en la base están sujetos a tensión, y el esfuerzo de tensión disminuye conforme subimos a la corona del domo, y pasan a sufrir tensión. Por tanto, podemos aislar un metro cuadrado de superficie curvada y analizar las fuerzas a que esta sometido. En un sentido esta la fuerza como arco (N) y en el otro las meridionales (N). Además encontramos fuerzas cortantes y momentos flexionantes con valores muy bajos, producidos principalmente por la interacción del domo con sus apoyos. Esto es lo que conocemos como la teoría de la membrana, con ella se puede calcular casi todas las estructuras de cascarón y sus ecuaciones generales son:

N  

19

ROBBIN, Tony, Engineering a new architecture, New Haven 1996, edit. Yale Univ. Press

rw 1  cos 

1   N  r  w    cos    1  cos  

En el diseño de estructuras de cascarón existe un principio muy simple pero muy eficaz: si una imagen vale 1000 palabras, entonces un simple modelo vale por 1000 cálculos. Félix Candela siempre se guiaba por un principio: lograr la máxima eficacia con el mínimo peso y

144

Notación: fs (kg/cm 2): esfuerzo de trabajo del acero (0.5fy) fc (kg/cm 2): esfuerzo de trabajo del concreto (0.45fć) n (adim.): módulo de radio K (adim.): profundidad del eje neutro J (adim.): brazo de palanca del peralte KJ (kg/cm2): esfuerzo resistente del concreto w (kg): carga viva total Ph1 (kg/m2): peso total de la membrana en lo más delgado Ph2 (kg/m2): peso total de la membrana en lo más grueso Cs (kg/m): esfuerzo a compresión ft (kg/cm2): esfuerzo en la fibra última superior de la viga Rt (kg): fuerza tensionante total en la viga perimetral Es (cm3): módulo de elasticidad del acero (2,100,000) Ec (cm3): módulo de elasticidad del concreto (10,000 fć) D (mts.): diámetro del domo a (mts): altura del domo R (mts): radio de la curvatura  (o): ángulo de la curvatura h1 (cm): peralte del domo en la parte más delgada (corona) h2 (cm): peralte del domo en la parte más ancha (arranque) s (mts): distancia a partir del arranque en que se cambia de peralte b (cm): base de la viga perimetral de apoyo d (cm): peralte de la viga perimetral de apoyo qd (kg/m2): peso propio de la membrana en lo más delgado qb (kg/m2): carga máxima de seguridad en la membrana

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras A (m2): área cubierta por el domo qD (kg/m2): peso propio de la membrana en la parte más gruesa fb (kg/cm 2): esfuerzo en la fibra última inferior de la viga V (m3): volumen de concreto necesario para realizar el domo N (kg/m): fuerza en el domo en el sentido meridional M (kg-m): momento respecto al eje horizontal de la viga N (kg/m): fuerza en el domo en el sentido de los arcos Q (kg/m): fuerza cortante radial en la membrana bc (cm): base de la sección de cascarón a calcular (100) Av (cm2): área de la varilla de refuerzo

El ACI (EEUU) y el BS 5337 (UK) recomiendan 123 kg/cm2 considerando: nieve, viento, tornados e 2 impermeabilizantes, más 40 kg/m de carga viva NTC 2 (Méx.) = 163 kg/m . 4. Peso total (m2) en el espesor mínimo (h1)

Ph1  w  qd

 qb

5. Peso total (m2) en el espesor máximo (h2)

Ph 2  w  qD

 qb

Procedimiento de Cálculo

6. Área de acero mínima

1. Constantes de diseño (teoría elástica)

As min  p min  h2  bc

Esfuerzo de trabajo del acero

Esfuerzo de trabajo del concreto

fs  0 .6  fy

Es n Ec

fc  0.45  f ć

Módulo de radio

En donde

Es  2,100,000 cm2

y Profundidad del eje neutro

1

K 1

fs n  fc

Ec  10,000  f ć

Brazo de palanca del peralte

K J 1 3 Esfuerzo resistente del concreto

KJ  0.5   fc  K  J 

2. Determinación de los valores a utilizar Nota: en la “tabla de valores para el diseño de domos” se muestran todos los valores para domos de concreto reforzado sobre vigas perimetrales desde un diámetro de 12 a 36 mts. En caso de que el diámetro no coincida con los de la tabla se debe tomar el inmediato mayor, y si el diámetro es inferior de 12 mts se recomienda tomar los valores de 12 mts. Por otro lado, en diámetros mayores de 36 mts., se recomienda utilizar otra forma en la estructura, principalmente de paraboloides hiperbólicos.

Nota: por lo tanto los valores de N, M, N, Q se deben multiplicar por Ph2.

(pmin = 0.002)

7. Cálculo del refuerzo para el valor máximo de N

N max  N  Ph 2

s

Av  100 As

Cs 

N maz h1  b

N max Área de acero As  fy

Separación entre varillas

 fć si no se calcula As para acero

meridional a compresión 8. Refuerzo para los momentos máximos M

M  max  M  Ph 2 Mr  KJ  b  d Momento resistente de la sección de concreto. En donde: d  h 2  r (r = 1.9 cm) Si Mmax  Si Mmax 

M max As  fy  J  d M max As  fy

3. Determinación de la carga viva (w)

145

s

Av  100 As

9. Cálculo del refuerzo para el valor máximo de N

N  max  N   Ph 2

Cs 

N max h1  100

si Cs  fć se arma con armado

mínimo, si Cs  fć se calcula As sino se pone Asmin 10. Cálculo del refuerzo para el valor máximo de Q

Q max  Q  Ph 2

Vs 

Q max J d

 fć

11. Cálculo del refuerzo para la viga perimetral Nota: para el caso de la viga perimetral el valor de la fuerza a tensión (fb) es mucho mayor que la de compresión (ft) por eso esta última se desprecia.

fbmax  fb  Ph 2

Rt  fbmax  b 2 Rt As  fy

Ejemplo Diseñar un domo con un diámetro en planta (claro) de 30 2 mts. se utilizará fć = 250 kg/cm y acero de fy = 4200 2 kg/cm . Datos fć = 250 kg/cm2 2 fy = 4200 kg/cm 2 w = 163 kg/m 3 Es = 2,100,000 cm Ec = 14,000  Pmin = 0.002 Av = 1.27 (1/2”) r = 1.9 cm

f ć

= 158,113.88 cm3

fs  0 .6  fy = 112.5 kg/cm2 fc  0.45  f ć = 2100 kg/cm2


n

Es Ec

K J 1 3

Refuerzo para valor máximo de Q

1

K

= 13.28

Q max  Q  Ph 2

= 0,415

fs n  fc KJ  0.5   fc  K  J  1

= 0.8616

20.112 kg/cm

=

2

Cálculo del peso por m2 de superficie curvada Ph1  w  qd = 163+346.65 = 509.65 kg /m2

Ph 2  w  qD

= 163+424.86 = 587.86 kg/m2  qd =

674.96 kg/m2 Área mínima de acero

As min  p min  h2  bc

Vs 

Q max J d

= 3.40 x 587.86 = 23.5 kg

= 85.60  fć

Cálculo de la viga perimetral = 0.004 x 587.86 = 23.5 kg

fbmax  fb  Ph 2

Rt  fbmax  b 2 = 21,150 kg Rt As  = 5.0 cm2 = 4#4 fy

= 0.002 x 29 x 100 = 5.8 cm2

Cálculo para valor máximo de N

N  max  N  Ph 2

s

= 8.62 cm

Av  100 As

= 14.7 cm

2

Cs 

N maz = 8.04  fć h1  b

Cálculo para momento máximo M d  h 2  r = 27.1 cm Mr  KJ

M  max  M  Ph 2

El problema básico de una bóveda es el relacionado con su curvatura y el efecto que est o produce en sus estructuras portantes. Esto lo podemos ver claramente en la ilustración. Cuando el arco tiene un radio de curvatura de 1:2 (medio punto) el esfuerzo y el peso de la estructura es transmitido a sus soportes verticalmente, haciendo que el esfuerzo se transmita linealmente hasta la cimentación. En cuanto el arco tiene un radio menor de 1:2 (bóveda rebajada) el esfuerzo es transmitido diferencialmente (diagonal) provocando un esfuerzo lateral en la estructura que se manifiesta como volteo o coceo. Históricamente este problema se ha resuelto básicamente de dos maneras: a) con sistemas de contrafuertes que permiten al esfuerzo diagonal ser transmitido en su dirección hasta la cimentación, y b) con tirantes (tensores) que equilibran el esfuerzo hacia “adentro” (cierran el polígono de fuerzas). Estas soluciones entrañan dos entre muchos más problemas arquitectónicos, el primero se refiere al sobre costo que implica la construcción de los contrafuertes, aunque estos pueden ser un elemento altamente estético como bien lo enseño el Gótico. Otro problema, en el caso de los tirantes es la inhabitabilidad de el espacio (volumen) extra que una bóveda permite.

= 61.6 x 587.86 = 36,212 kg/m

N  max fy

As 

 b  d = 54, 503

= -2.02 x 587.86 = -1,293  Mr

por tanto el concreto absorbe el momento. Cálculo para momentos máximos de N

N  max  N   Ph 2

Cs 

s

N max h1  100

Av  100 As min

d) Bóvedas dípteras

= 17.51 x 587.86 = 10,293.42 kg 2

= 7.9 kg/cm  f’c se utiliza As min

= 21.8 cm

146

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras 40 50

Ahora variemos la perspectiva del problema en el que nos hemos concentrado. Hasta el momento estamos partiendo del supuesto de que la bóveda funciona como un arco (un arco prolongado) apoyándose en sus dos vértices. ¿Qué sucedería si le quitamos estos apoyos y dejamos que se apoye únicamente en sus extremos (tímpanos)? Lo que sucedería es que la bóveda funcionaría básicamente como una viga, una “viga díptera”. Y esta como cualquier otro sistema de cascarón permite mantener un peralte muy corto respecto a su claro, por el enorme momento de inercia que la forma de la bóveda implica. La experiencia ha demostrado que podemos tener claros de 50 mts, entre tímpanos y mantener un espesor de 10 cm. Si quisiéramos salvar el mismo claro con una viga recta (“normal”), el peralte superaría los 3 mts con un volumen extraordinario de concreto y acero. Si observamos el funcionamiento interno de una bóveda díptera observamos la enorme similitud con el armado de una viga tradicional. Las bóvedas dípteras en términos generales se pueden calcular y entender como una membrana, pero los esfuerzos a flexión a los que estan sometidos requieren de refuerzos especiales para soportarlos. Si observamos el esquema vemos como una bóveda díptera se arma como arco (membrana) y como viga, y así se calcula también. Este es el sobre costo por ser una estructura desarrollable. Como ya habíamos analizado, los momentos en las estructuras no desarrollables son casi ínfimos, por lo cual son aproximadamente 30 veces más resistentes.

20 25

8.0 10.0

350 390

El ACI recomienda que el espesor mínimo de una estructura de cascarón sea de 7 cm. Pero en la práctica se han construido cascarones de mucho menos espesor. Quizá el caso más famoso es el del Pabellón de Rayos Cósmicos en CU (México 1951) de Félix Candela varía entre 2.5 y 1.5 cm. Como la resistencia de estas estructuras la proporciona su forma y no el momento interno en su sección, la absorción de esfuerzos es realizado por el acero de alta resistencia (varillas) y el concreto funciona casi únicamente como recubrimiento del acero. El arquitecto mexicano Carlos González Lobo a desarrollado y construido por más de 30 años bóvedas dípteras de concreto reforzado de medianas dimensiones (L  20 y B  10) de 4 cm de espesor, teniendo magníficos resultados. Valores recomendados para la altura de las bóvedas y sus respectivos ángulos ½ 1/3 ¼ 1/5 1/6 1/8 180° 136° 108° 88° 75° 56°  90° 68° 54° 44° 37.5° 28° K 4 4 4 4 4 4 #

CÁLCULO Notación: Z (m): distancia vertical de la fibra última de la bóveda el centroide la sección G (adim.): centroide de la sección de la bóveda z (m): distancia vertical del centroide de la sección al punto del ángulo seleccionado Nx (kg/m): esfuerzo longitudinal de la membrana 4 Iyy (m ): momento de inercia de la sección Nx (kg/m): esfuerzo cortante transversal l (m): largo de la bóveda B (m): ancho de la bóveda r (m): radio de la sección de la bóveda t (cm): espesor (peralte) de la membrana k (): mitad del ángulo central  (): Ángulo seleccionado por analizar Q (m3): valor del primer momento del área circular a ser analizada V (kg): fuerza cortante 1. Seleccionar altura y peralte de la bóveda de acuerdo con tablas 2. Encontrar el centroide de la bóveda

r

0.5  B senk

 sin k     r  1  k  

 = debe estar en Radianes k = debe estar en Radianes El radian es una unidad de medida en donde el radio de un arco sea igual a la longitud del arco, es decir.

1radian 

360 2 

x   Conversón x° = 180

3. Momento de inercia Iyy

  2  sin k   Iyy  r 3  t  k  sin k   cos k  k   

Valores preliminares de peralte y peso para Bóvedas Dípteras de ½ a 1/8. l (mts) B t (cm) w (mts) (kg/m2) 20 10 6.0 270 30 15 7.0 300

4. Sacar el primer momento por cada segmento de 5 (de la mitad k)

147

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Punto 0 1 2 

 desde corona 40 35 30 

1 

Q (m3) 

35 





11. Cálculo del esfuerzo como arco (N)

   Q  2  r  t   sin    sin k  k  

Punto

rw N  1  cos( 0,1...)

0 1 

Análisis como viga

 desde la corona 40 35 

N 

Cálculo del refuerzo 12. Cálculo del refuerzo para Nx (longitudinales-viga)

5. Cálculo del peso (w)

w  Cm  Cv   r  2  k

Se calculan los tres valores máximos correspondientes a los 3/3 en que se divide la media bóveda (k) para reforzarla.

6. Cálculo del momento flexionante en y-y

wl2 8

As 

7. Cálculo del cortante

V 

estructuralmente muy eficientes, que tienen muchas ventajas tanto constructivas como estéticas: son usadas para cubrir grandes claros, vastas superficies techadas, e incluso son usadas como cimientos para estructuras especiales, y pueden ser prefabricadas



Análisis como arco

2

Myy 



Nx(0,1...) fy  Fr

13. Cálculo del refuerzo para Nx (transversalesesquinas)

wl 2

As 

8. Cálculo de todos los valores de z para cada segmento

 sen   z  r  1    (0,1...) 

Nx (max .) fy  Fr

14. Cálculo del refuerzo para N (diagonales-arco)

As 

N (max .) fy  Fr

s

100  Av As

9. Cálculo del esfuerzo longitudinal de la membrana Nx

Myy  t  z (0,1...) Iyy

Nx 

e) Paraboloides hiperbólicos

10. Cálculo del esfuerzo transversal a cortante (Nx)

Nx  Punto 0

 desde la corona 40

V  Q( 0,1...) 2  Iyy

z (m) -

Q (m3) -

Nx (kg/m) -

Nx (kg/m) -

Los paraboloides hiperbólicos son superficies curvas, formadas por la intersección de líneas rectas o curvas. En este apartado veremos las formadas por líneas rectas o “superficies regladas” por ser las de mas fácil fabricación y bajo costo. Como su nombre lo designa en un paraboloide hiperbólico tenemos dos curvaturas (parábola e hipérbola) que se intersectan en cualquier punto de la superficie. Obviamente esto nos genera una superficie no desarrollable de enorme resistencia. Los paraboloides hiperbólicos son cascarones

148

Para obtener una paraboloide hiperbólico partiremos de una superficie plana (a) si a esta le levantamos una arista, de tal forma que este formada por dos extremos inclinados y dos horizontales, formamos el hiperboloide. Las líneas subsecuentes que unirán las rectas forman la hipérbola y la parábola (b). Como podemos observar las fuerzas internas dentro del hiperboloide actúan a tensión y compresión, en términos teóricos estas fuerzas son iguales (tensión y compresión) y su valor se puede resolver con la ecuación:

1 a b N xy    p 2 f Las posibles estructuras que se pueden formar con este módulo son muchas y muy variadas. Las más populares son el hongo de cuatro paraboloides hiperbólicos (tanto para techos como cimentaciones) y el llamado en “Aguilón”. A continuación vemos dos ejemplos de los mismos. CÁLCULO Notación: Nxy (kg/m): Esfuerzo de tensión y compresión en el hiperboloide a (m): Lado mayor del hiperboloide b (m): Lado menor del hiperboloide

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras f (m): Altura del hiperboloide (rise) p (kg/m2): Peso por unidad de medida

N (kg/m): Esfuerzo compresivo máximo Cv (kg/m2): Carga viva Cm (kg/m2): Carga muerta

1. Cálculo de los esfuerzos de cable (tensión) y arco (compresión) en la membrana

Ecuaciones:

Wa  cv 

2. Cálculo del refuerzo para membrana (ambas direcciones) En donde: N

As 

xy

2  fy  cos 

2

cos  

a

f 2  a2

3. Cálculo del máximo valor de la fuerza compresiva en la orilla del Hypar

Fhyp

M max 

 a b    p    f  cos 

Cimbrado y andamiaje de las Bodegas de Bacardí, México, Arq. Félix Candela. En esta ilustración podemos observar el enorme sobre costo del cimbrado de una de los más espectaculares paraboloides en el mundo, aunque el ahorro en el material de la estructura en si, equilibra y justifica su alto costo inicial.

Fhyp

f) Placas Dobladas

fy

5. Cálculo del momento flexionante máximo en la membrana 1

Mymax

 f 4  0.149  p  a 2    t

En el siguiente gráfico podemos ver los tres esquemas básicos de carga en una estructura de placa doblada. El primero corresponde a la carga gravitacional, el segundo a la carga de viento sobre las caras de la estructura, y la tercera el esfuerzo total en la estructura.

6. Refuerzo para el momento flexionante Nota: las ecuaciones para My max encontrar los valores de J y fs se As  fs  J  d pueden ver en el apartado de Domos. Se verifica el  de As:



As bd

en donde

w  p  L2 8

Wa sen  M max a , b N b cos 

Wp 

Con estos valores la placa doblada puede ser calculada como una losa maciza con claro de un metro de base.

4. Refuerzo para la orilla del Hypar

As 

cm cos 

 min, en donde min= 0.0035

As    b  d

Notación: Wa (kg/m2): Carga gravitacional (w) Wp (Kg/m2): Varga debido a la presión del viento (p) Mmax (kg-m): Momento máximo

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g) Form Finding Una de las mejores formas para encontrar geometrías adecuadas para la construcción de cascarones, que además de dar resultados estéticos muy interesantes, nos garantiza el óptimo funcionamiento mecánico, es con base en funciones matemáticas. A continuación se presentan las funciones mas comunes y adecuadas para dicho propósito:

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras construir y conceptualizar. Tiene enormes ventajas por su doble curvatura, y por ser una superficie reglada (formada por rectas).

Además se pueden hacer las siguientes operaciones de transformación con las funciones:

En laos gráficos superiores podemos apreciar un cascarón formado por dos curvas (conoides) invertidas, que al igual forma superficies de doble curvatura.

En los gráficos superiores apreciamos un cascarón formado por dos placas dobladas invertidas.

En el gráfico de la izquierda podemos apreciar una bóveda diptera, y en la derecha una con doble curvatura, lo cual unmenta enormemente su resistencia, por pasar de ser una superficie desarrollable a no desarollable

En los gráficos superiores podemos apreciar dos diseños diferentes, que parten de un juego formal entre conoides.

En los gráficos superiores podemos apreciar la conversión de un cascarón laminar reglado, a una superficie no desarrollable, por la operación de invertir sus bordes.

Paraguas formado por cuatro paraboloides hiperbólicos

A continuación, se muestran varios ejemplos de geometrías para cascarones obtenidas utilizando las funciones matemáticas, y sus transformaciones:

Conoide combado. Superficie formada por un conoide que empieza como una curva y termina como una recta

El paraboloide hipebólico es quizá la estructura más simple de

150


Capítulo VIII TENSOESTRUCTURAS a) Introducción El término “Tensoestructuras” cubre una amplia categoría de estructuras, que incluyen las membranas arquitectónicas (velarias), las redes de cables pre y post tensionados, los cables que forman vigas en forma de armaduras o estereoestructuras (tensegrity), y las estructuras neumáticas. Históricamente fueron utilizadas como formas para techumbres, o estructuras de puentes, y en la actualidad como elementos permanentes de la arquitectura moderna, ya que han demostrado tener una explotación potencial como estructuras eficientes y altamente estéticas. El “European Consortium” investigo que de 1988 al 2000, la superficie de terreno cubiertas por tensoestructuras aumentó de 1 a 5 millones de metros cuadrados.

Las formas de mínima energía son observadas claramente en la naturaleza. Incluso se puede afirmar que las formas mas óptimas y estéticas para estructuras, tienen sus raíces en la naturaleza. Durante en crecimiento de un árbol, por ejemplo, se desarrolla una superficie constante que asegura la distribución uniforme de esfuerzos y peso a lo largo de tallos y ramas. Cuando un árbol es dañado (ej. Las ramas de rompen) el proceso de curación minimiza la superficie de la herida. Es interesante observar que esta relación (superficie de esfuerzos constante y mínima superficie en área) es encontrada en objetos inanimados como las películas de jabón.

1 1 1 1 p       Si    0    0 r1 r2  r1 r2  Definición y clasificación: Podemos resumir los más importantes tipos de estructuras en tensión, dentro de los siguientes: (i) Membranas tensionadas (ii) Estructuras neumáticas (iii) Redes y Vigas de cables pre-esforzados (i) Membranas tensionadas

Las estructuras de cables y las membranas en su estado “tensional” , adoptan formas únicas que no pueden ser descritas por simples funciones matemáticas. Ellas (literalmente) deben ser encontradas a los largo de un proceso de diseño que denominamos “Form Finding”

Las membranas tensionadas son esforzadas por el estiramiento de la superficie de membrana, hasta alcanzar los bordes, hechos de cables tensionados y flexibles, o marcos rígidos y/o vigas. La principal diferencia entre membranas tensionadas y estructuras neumáticas radica en el método de conseguir el esfuerzo en la superficie. Además, las neumáticas no deben tener ningún exceso de presión entre las superficies interna y externa. Los niveles de pre-esfuerzo en la superficie deben tener el nivel apropiado para contrarrestar la posible pérdida de tensión durante la vida útil de la estructura (enlongamiento por trabajo), y por otro lado, permitir que el material este dentro del rango de las deformaciones elásticas. Bajo cargas temporales, como viento y nieve, el esfuerzo en la superficie se puede incrementar de 6 a 8 veces, incluso hasta 10. Por estas razones, el diseño de membranas en tensión esta dirigido a conservar el pre-esfuerzo inicial aproximadamente a 1/20 de rotura de la membrana.

151

(ii) Estructuras Neumáticas Las estructuras neumáticas son membranas muy delgadas tensionadas por la presión interna de aire generada por grandes ventiladores. Su forma es severamente afectada por la diferencia entre las presiones interna y externa, que provoca cambios continuos, como resultado de las variaciones de temperatura, viento, nieve y condiciones de carga. Es difícil asegurar la adecuada presión interna a través de la vida útil de la estructura, debido a lo impredecible de los factores ambientales, o la falla de los sistemas internos de control, responsables de mantener la presión interna. Las estructuras neumáticas son diseñadas para mantener un presión interna entre 20.4 y 56.12 kg/m2. Los valores de diseño típicos para cargas de nieve están entre 122.22 y 244.89 kg/m2, que son mucho mayores que la presión interna. Es por esa razón, que regularmente se recurre a sistemas de calentamiento del aire interno, que derriten la nieve (para evitar su acumulación).

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras cruzarse entre si, pero únicamente se conectan por cables. Existen grandes similitudes en el comportamiento mecánico de las sistemas en tensegrityy las redes de cables, por tanto, los dos sistemas pueden considerarse que pertenecen a una misma familia de sistemas llamados “Estructuras de cables”.

Además del daño local a la superficie de la membrana causada por la acumulación de nieve, viento, o ambos., puede ocurrir una inestabilidad mayor de la estructura, debido a la excitación que el viento puede ocasionar en las grandes masas de aire interior de la membrana. El desempeño de las estructuras neumáticas depende también de la calidad de la tela utilizada en su construcción. Una buena calidad de la tela es importante para proporcionar un adecuado factor de seguridad contra la propagación de cortes o desperfectos que existieran en el material. Un factor de seguridad 6, o mayor, es recomendado, lo que implica que el esfuerzo en la tela, en cualquier momento debe ser por lo menos 6 veces menor que el valor mínimo de rotura plástica. Además, un factor de seguridad de 1.5 es recomendado para las cargas. (iii) Redes y vigas de cables pre-esforzados Existen grandes similitudes entre el comportamiento de las membranas a tensión y las redes de cables. Una red de cables pre-esforzados es en términos de análisis un discreto tipo de membrana, o una membrana representada por un sistema de cables o elementos lineales. El término “tensoestructura” será por tanto, utilizado para describir a ambos (cables y membranas). Las redes de cables pueden tensionarse directamente usando soportes rígidos como vigas perimetrales de compresión, o cables flexibles en los bordes soportados en mástiles. Pueden tomar la forma de una estructura suspendida, estabilizada por medio de techumbres de pesos significativos, o incluso concreto. Pero si la red de cables constituyen parte de un cascarón de concreto, estrictamente deja de ser “Tensoestructura”, pues pierde las ventajas de su flexibilidad.

Las vigas de cables pre-esforzados don versiones bidimensionales de las estructuras de red, y su principal aplicación se encuentra en los edificios industriales. Pueden ser clasificadas como armaduras y vigas. Las armaduras de cables tienen cables en las cuerdas superiores e inferiores, así como en los miembros internos, todos están trabajando en tensión.

El aumento de pre-esfuerzo en una red de cables depende de las deformaciones permitidas y de la resistencia a la fatiga de sus miembros individuales. El excesivo pre-tensionamiento de los cables para reducir las deformaciones es costoso, y por tanto, es importante prever la rigidez de la estructura ante los cambios de su geometría, a partir de la alteración de la configuración de sus bordes. En función de reducir los costos, una determinada cantidad de movimiento de la estructura debe ser permitida, y por tanto, el diseño de la carga de la estructura debe incorporar este requerimiento de flexibilidad.

Los principales elementos que cargan el peso , tienen una mayor sección (área) que los tensores. La forma inicial de la armadura y el nivel de pre-esfuerzo, deben ser diseñados para prevenir que los tensores trabajen el compresión, ante cargas accidentales. Las armaduras de cables, también pueden ser utilizadas como estructuras suspendidas por pesados mástiles.

Las redes de cables, incorporan mástiles como sus elementos en compresión,. Las formas resultantes son menos flexibles que las armaduras de cables y, en principio, no muy diferentes a los sistemas de tensegrity, que consisten de barras y cables, las barras pueden

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Proceso de Diseño de las Membranas a Tensión: En términos general, podemos resumir las etapas del diseño de Membranas en Tensión, en los siguientes tres puntos: (i) El Form Finding (ii) El Patronaje (iii) El análisis estático

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras El problema común (y más importante) que comparten todas las estructuras en tensión es la definición de su forma. Respecto a las membranas en tensión, su configuración, no puede ser dada por una función matemática obvia. Consecuentemente, es el primer, y mas importante paso en el diseño. Por lo general, las condiciones de los bordes (límites) ya se encuentran establecidos, lo cual lleva a encontrar la geometría de más apropiada para la membrana. En este caso, un modelo físico (maqueta) sirve de forma excelente con propósitos de visualización y entendimiento tridimensional de la forma, pero una descripción detallada acarrea problemas como pueden ser grandes errores de magnitud (por la escala) si el modelo será escalado a una estructura real. Además, la medición del campo real de tensiones en la superficie puede ser tedioso y inexacto. Por tanto, para un más adecuado Form-finding de la membrana en tensión, se deben realizar iterativos cálculos computacionales, que llevarán a graduales ajustes en la geometría de la superficie , hasta que sea compatible con el estado de equilibrio estático y el nivel de pre-esfuerzo en la estructura.

La etapa de patronaje, permite que una forma tridimensional de una superficie tensionada, pueda ser trasladada a un patrón bidimensional de corte, para poder manufacturar la membrana. El patronaje debe ser realizado a partir de tiras de tela (membrana) de 2 a 3 metros de ancho, con un mínimo desperdicio de material (de lo contrario el costo se eleva) y un mínimo de distorsiones en los patrones de la tela. Estos problemas pueden ser solucionados usando modelos a escala de la estructura, que proveen de información muy útil, pero cuyos resultados son cuestionables si se utilizan directamente a una escala real. Los métodos computacionales utilizados para cortar patrones involucran una cierta cantidad de alisamiento de las superficies, lo cual lleva a inexactitudes en el corte. En conclusión, un análisis que combine modelos físicos y computacionales de forma interactiva es la mejor forma de trabajar tanto el patronaje, como el Form-Finding

El análisis estático es la continuación del proceso de form-finding, en el cual, los esfuerzos y las deformaciones son calculadas, acuerdo con las cargas externas de diseño. El proceso comienza con la forma de la estructura (encontrada en el form-finding) inicialmente en equilibrio, con un una distribución uniforme de esfuerzo en la superficie dada. Las cargas estáticas son subsecuentemente aplicadas, y un nuevo estado de equilibrio es encontrado. El proceder debe incluir una serie de cálculos iterativos, en los cuales, los desplazamientos de la de la estructura y los esfuerzos resultantes de la aplicación de las cargas deben de ser determinados. Este problema es geométricamente nolineal, pero la no-linealidad no es tan pronunciada como en el caso del form-finding. Por tanto, la convergencia de la solución numérica es fácil de obtener.

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El análisis dinámico de estructuras ligeras en tensión, no listada en las tres etapas fundamentales del proceso de diseño, esta típicamente basada en los datos obtenidos de experimentos en túneles de viento con modelos de pequeña escala. La carga del viento, es establecida con la ayuda de coeficientes de presión del viento, para eventos fuertes. El problema radica en que los coeficientes de los códigos de construcción, nunca consideran coeficientes específicos para este tipo de formas, además, os modelos para las pruebas de túnel usualmente son de materiales rígidos, incapaces de proporcionar una representación fiel de las presiones que se desarrollarán en la superficie de una membrana. La mayor dificultad en el análisis de estructuras de tensión, radica no únicamente en establecer los valores de diseño para la presión del viento, sino también las cargas debidas a nieve. Las estructuras de membrana representan un problema aerostático mas complejo, que el del diseño de aviones, por ejemplo. Con las alas de un avión, las deflexiones estructurales pueden ser asumidas como pequeñas, y debido a que el flujo es constante en la superficie de la curvatura, puede ser interpretado en ecuaciones simples. En las estructuras de membrana, debido al tipo de curvaturas involucradas, el problema es no-lineal y por tanto mas complejo.

Principales Características de las Membranas a Tensión: Las principales características de las membranas en tensión pueden ser resumidas a continuación: (i) Una superficie tensionada que cubre una configuración arbitraria de sus bordes, adopta su propia y única forma, consecuente con los bordes seleccionados, las propiedades mecánicas del material y el estado de pre-esfuerzo. La forma una membrana en tensión no puede ser impuesta, debe ser encontrada. El proceso de form-finding, es el punto de partida el proceso de diseño.

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras (ii) La estructura contiene las cargas a través de cambios en la tensión de la superficie y desplazamientos muy largos, produciendo un comportamiento geométricamente no-lineal. Incluso, cuando las cargas de trabajo están dentro del rango elástico, las deflexiones son de tal magnitud que los cambios resultantes en la geometría global, deben ser considerados en el análisis. (iii) El nivel de pre-esfuerzo en una membrana de tela usualmente permanece bajo, para prevenir rasgamientos bajo las cargas impuestas. La compresión y/o las flexiones se desarrollan y absorben por la estructura portante.

una relación lineal de carga-desplazamiento son automáticamente caracterizadas por una relación también lineal de esfuerzo-deformación (Ley de Hoke) de su material. Sin embargo, lo opuesto no ser verdad. En el caso de las estructuras de cables, por ejemplo, el material puede comportarse de una manera elásticamente lineal, pero el comportamiento de la estructura será, en general, geométricamente no-lineal, al menos que sean impuestos niveles muy altos de preesfuerzo para limitar las deflexiones. Cuando decimos que una estructura de cables se comporta de una manera no-lineal, entendemos que a determinados cambios en las cargas, no le corresponde proporcionales cambios en su deflexión.

b) Cables en tensión Notación: Va y Vb (kg): reacciones verticales Ha y Hb (kg): reacciones horizontales Ra y Rb (kg): reacciones finales w (kg/m): carga uniformemente distribuida l (mts): largo del elemento (claro) f (mts): altura del elemento

(iv) El comportamiento estructural de las membranas en tensión es caracterizada por su poca resistencia a cortante y momento. (v) El costo del análisis computacional, a diferencia de las estructuras convencionales, forma una parte significante del costo total del proyecto de diseño

Techumbres convencionales vs. Membranas a Tensión: En el diseño de estructuras convencionales, es decir, los edificios rígidos fabricados con materiales tradicionales como acero, concreto, madera y mamposterías, el aspecto arquitectónico e ingenieril de la estructura, puede ser fácilmente separado. La estructuras rígidas no se deforman mucho, a al menos no lo suficiente para afectar su geometría global. Su comportamiento es descrito como “lineal”, porque las deformaciones son proporcionales a las cargas aplicadas (dentro de los límites de trabajo y seguridad). Continuamente, el término “lineal” es usado para describir justamente las características de esfuerzodeformación del material. Las estructuras que obedecen

En términos generales, la forma de una estructura convencional (lineal) permanece (con un buen nivel de aproximación) esencialmente inalterada, incluso cuando la estructura es sujeto de cargas fuera de sus especificaciones de diseño. En la etapa de análisis, que sigue el diseño conceptual, el ingeniero pervive la forma estructural como un sistema (modelo) simple, interconectado de elementos de los cuales se debe verificar su estabilidad, deformación y esfuerzo bajo condiciones específicas de carga. La principal herramienta para este propósito en un “modelo matemático”, que básicamente es un sistema de ecuaciones que relaciona las cargas externas con los esfuerzos internos y las deformaciones de la estructura. El arquitecto continua siendo el responsable de la forma global de la estructura, incluso cuando tiene una comprensión muy pobre de las complejidades de los modelos matemáticos involucrados. En contraste, el diseño de estructuras ligeras en tensión, requiere de una completa integración de las habilidades del arquitecto e ingeniero. Esto es impuesto por la necesidad de entender la interacción entre la forma de la estructura y los patrones de carga de pueda desarrollar.

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V A  VB 

wl 2

wl 2 HB  HB  8 f

R A  RB  H 2  V 2  Pitágoras El esfuerzo de fluencia (fy) de los cables de acero más comerciales es de 14,000 y 16,000 kg/cm2. Normalmente los cables están formados por 6 cordones trenzados entre si, y cada cordón esta compuesto de un número variable de alambres también trenzados entre si. En el anexo de gráficas se encuentran tablas con los valores más comunes de los cables.

c) Estructuras de membrana Historia de las Tensoestructuras Probablemente una carpa no sea tan durable como una construcción de un material rígido, sin embargo, la necesidad de estructuras económicas, ligeras, portátiles y con menos material las hicieron posibles, por tanto, la necesidad de movilidad y materiales al alcance, fueron

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras las necesidades primarias detonadoras para el nacimiento de las estructuras en tensión. Las carpas más antiguas conocidas, se registran en las zonas de Islandia, Alaska, Siberia y Groelandia, para cubrirse de los fuertes y helados vientos, cazadores nómadas colgaban pieles de sus presas sobre huesos, si existían árboles, estructuras primarias se utilizaban como soporte, en todos los casos eran materiales biodegradables.

eficiente ya que por los materiales utilizados eran impermeables.

En el sur de Francia, en una región llamada Terra Amata se han encontardo los restos arqueológicos de una tienda de 15 x 6 mts contruida con varas y pieles, que se ha datado en 400,000 años de antigüedad. Las construcciones cónicas probablemente sean las que mejor comportamiento tengan con la precipitación pluvial, fuertes vientos y mejor ventilación por el sistema superior que ahora conocemos como “linternilla”, así como la capacidad de tener fuego en el interior sin correr peligro por el desfogue natural de la propia forma. Por tanto, el TIPPI americano se puede considerar como una pieza maestra del diseño tenso estructural, ya que el diseño de las mismas aportaba grandes beneficios en las condiciones climáticas extremas que prevalecían en las zonas donde este tipo de construcciones eran utilizadas, el sistema de entrada con solapa, permitía orientar el tippi hacia los vientos dominantes durante las temporadas de calor, permitiendo un sistema natural de ventilación.

Una vez conocido este desarrollo, el “abuelo” de las velarias se conoce como la carpa de circo, basada en una forma simple de sombrilla. Sin embargo contaban con una debilidad estructural: la compresión concentrada en su elemento central, por lo tanto se desarrollaron teorías empíricas para eliminar los postes centrales que impedían la buena visibilidad del espectáculo, y se crearon los conocidos circos de tres pistas, dando así el primer paso para el estudio y desarrollo formal de las velarias.

El “GER” de origen Ruso es probablemente la construcción mas lujosa de las tribus nómadas y precursoras del sedentarismo. Proporcionaba un ambiente cómodo en las zonas esteparias de Siberia. Las estructuras laterales realizadas en madera proporcionaban una seguridad total en todo el sistema constructivo, la linternilla central permitía incluso contar con una estufa permanente. Estudio formal de las velarias (tensoestructuras) Arq. Frei Otto Nacido en Alemania en 1925, es considerado el padre de la teoría de la bomba de jabón, las estructuras de Tensegrity y el mas grande diseñador de tensoestructuras en la historia. Obras Clave de Frei Otto: Instalaciones Ollímpicas de Munich 1972

Mientras tanto, en otra región del mundo, los Beduinos, Moros, Bárbaros y Kurdos, desarrollaban las “Carpas Negras” que proviene del color de la piel de las cabras que se utilizaban para crear los textiles con los que se fabricaban, ya que el tejido ligeramente abierto, permitía una ventilación natural en climas secos y de sol extremo. Por otra parte, el sistema de repelencia al agua era muy

Uno de los principales proyectos de la historia de las membranas fue la cubierta del Coliseo Romano, y por el éxito de esta cubierta, existen pruebas de que casi todos los anfiteatros de los romanos contaban con una cubierta retráctil de esta naturaleza, basada en la teoría de las velas, la estabilidad y resistencia que tenían al viento era de lo mejor, por lo que se podría utilizar sin lugar a dudas el termino de velarias. Por ende, una vez que el ser humano se volvió sedentario, las velarias, en un sentido primitivo, se fueron utilizando, para eventos religiosos, comerciales, festivos, etc.

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Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras 1. La forma estructural, y la forma arquitectónica son inseparables. 2. La flexibilidad en las estructuras no es una debilidad, por el contrario es una fortaleza. 3. El material de superficie debe ser más flexible que los elementos que lo soportan. 4. La arquitectura debe conseguir con los medios mínimos los beneficios máximos, tal como nos ha enseñado 400 mil años de historia de las estructuras ténsiles. Ing.Horst Berger Ing. Civil Alemán, egresado de la Univ. de Stuttgart. Le dio sentido matemático a la teoría de la pompa de Jabón de Frei Otto. Es en la actualidad uno de los diseñadores más importantes de tensoestructuras en el mundo Obras Clave de Horst Berger: Canda Place

Principios fundamentales de Frei Otto:

El Aeropuerto de Denver

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La tensoestructura más grande del mundo El Domo del Milenio proyectada por Richard Rogers y Asociados y calculada por Bruno Happold Consulting. Posee una forma circular, con un diámetro total de 565 mts., y una altura máxima de 50 mts., tiene una capacidad para albergar hasta 35,00 personas. La estructura de la cubierta está compuesta por 72 cables dispuestos en forma radial, estando conformados cada uno por alambres de acero en espiral. Estos cables, a modo de largueros son soportados por una red de cables colgantes dispuestos alrededor de 12 mástiles constituidos por reticulados metálicos de 100 mts de altura, que en consecuencia sobresalen en altura y se erigen como imagen y referencia inequívoca de su relación con el entorno exterior.

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Tipos de membranas: (i) Algodón recubierta con Vinilo. Se utiliza para cubiertas de pequeña escala, como carpas o toldos, se utilizan lonas naturales o sintéticas que pesan entre 300 y 600 gr/m2, pudiendo estar pintadas o recubiertas, tienen una vida promedio de 5 a 10 años. La resistencia promedio es de 2900 kg/m2 y sin recubrimiento de aproximadamente 2100 kg/m2. (ii) Nylon recubiertas con Vinilo. Tienen poca resistencia a la tensión, aproximadamente de 3570 a 7140 kg/m2, y decrece con el aumento de temperatura. Además, se deforman por fluencia lenta, es decir, se estira con el tiempo y su vida promedio es de 5 a 7 años. (iii) Poliéster recubiertas con Vinilo. Tienen mayor resistencia, entre 5350 y 12,500 kg/m2, no se estiran tanto, y su vida útil es de 10 a 15 años. Su inconveniente es que producen humo negro con el fuego, y atraen el polvo atmosférico, debiendo por ello ser periódicamente pintadas y limpiadas. (iv) Fibra de Vidrio recubierta con Teflón. Es la mas apropiada para estructuras de gran escala. En promedio es 5 veces mas cara que la anterior, pero sus ventajas equiparan el sobrecosto. Su resistencia varía entre 5320 y 17,800 kg/m2. Su elongación es 0, así como su deformación por fluencia lenta. Es incombustible, además de ser autolimpiable y tener una decoloración del 100%. Por lo cual no requieren de mantenimiento. Sistemas de Sellado: (i) Máquina de Coser: El sistema más antiguo utilizado para las velarias (lonarias) después de la costura manual, hasta hace 25 años, todas las velarias eran unidas con este método. En la actualidad algunos detalles pueden ser realizados con máquinas modernas de alta precisión, pero JAMAS de debe unir el cuerpo de una velaria con este sistema. En México hay compañías que en sus inicios utilizaron este sistema, pero nunca se puede garantizar los resultados de una empresa que lo utilice como método para unir el cuerpo de la velaria. Lamentablemente en México y América Latina existen empresas que todavía utilizan este método. (ii) Termo Sellado o Vulcanizado: No es el método más recomendable para las velarias (tensoestructuras) sin embargo es el método más utilizado en México y América Latina. Se recomienda sobre todo para unir lonas

publicitarias, lonas de camión o cortinas de tiendas. Pero definitivamente no para velarias. Se aplica calor directo a 450° C, pero en los materiales estructurales literalmente se quema el material y se modifican sus propiedades mecánicas básicas. Es el equipo mas barato del mercado. (iii) R. F. Welding (Sistema de electro soldado por radio frecuencia): Es el sistema mas sofisticado disponible en la actualidad, y definitivamente el mejor y el más recomendable para las tensoestructuras. Es un proceso de estimulación molecular que por medio de radiofrecuencia deja sin memoria la trayectoria de los electrones entorno al protón, al terminar el proceso (que dura milésimas de segundo) ambos lienzos quedan unidos unos con otros formando una misma pieza (se fusionan molecularmente los dos). Por tanto, no se pierden las propiedades mecánicas de los materiales. Es el equipo mas caro que hay, pero los resultados son los mejores.

Las estructuras de cables y las membranas en tensión adoptan formas únicas bajo tensión. Estas formas, no son, o pueden ser a priori, estas no pueden ser descritas usualmente por simples funciones matemáticas, y por tanto, requieren que el diseñador se involucre en un proceso conocido como “form-finding”. Este requerimiento distingue las estructuras en tensión de otros tipos de estructuras, como las tradicionales fabricadas de concreto, acero (perfiles) o mampostería, donde es posible determinar la forma de la estructura desde el inicio del proceso de diseño.

Características de los cables de Acero Los más usuales son de 140 y 160 Kg/mm2, que equivalen a 14,000 kg/cm2 y 16,000 kg/cm2. Normalmente suelen estar constituidos por 6 cordones más una alma textil que puede ser de cáñamo o similar. Cada cordón (también conocido como torón) está constituido por un número variable de alambres; cuanto mayor es la cantidad de alambres por cordón tanto más flexible es el cable. Ello significa que la flexibilidad de un cable crece más rápidamente si se aumenta el número de cordones por cable. En el caso de cables muy flexibles pueden llegar hasta 7 almas textiles por cable.

En general, el proceso de form-finding debe conducir a las formas estructurales óptimas: formas que satisfacen tanto los requerimientos funcionales y que proporcionen durabilidad y resistencia a un costo mínimo. Precisamente una de la características mas atractivas de las estructuras en tensión, es su habilidad de ofrecer formas altamente estéticas, incluso con efectos dramáticos. Pero siempre formas que obedecen los principios de las estructuras ligeras, es decir: usar la mínima cantidad de material, mientras que se maximice,

Form finding:

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Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras a través de la optimización de la forma, su estabilidad y resistencia. Su estética emerge de forma natural, en lo que es considerado el proceso de auto-optimización. Por tanto, se puede concluir que el camino para conseguir un producto estético nunca es sencillo, y que el principio de las estructuras ligeras tiene sus raíces en la naturaleza misma. El proceso de optimización consiste el permitir a u componente mecánico “crecer” en una forma de constante superficie de esfuerzo. Metodologías de Form finding: En términos generales, el proceso de form-finding de una superficie tensionada para una membrana involucra: (i) La construcción de un modelo físico a pequeña escala usando: películas de jabón, tela (likra) papel, y (ii) El desarrollo de modelos computacionales usando una variedad de técnicas numéricas. Modelos físicos Los modelos físicos continúan siendo utilizados para varias etapas del diseño, principalmente como medio de comunicación entre los miembros del equipo de diseño y como verificación de los resultados computacionales. Sin embargo, las limitantes discutidas en la introducción, son la principal razón del incremento en la utilización de métodos computacionales (matemáticos), particularmente cuando numerosos cambios deben hacerse ala superficie geométrica del proyecto.

la exactitud fue resuelto en la etapa experimental tomando mediciones fotogramétricas del modelo, y dispersando y suavizando los datos numéricos, hasta obtener lo que se creía era un buen estimado de la configuración del equilibrio. La experiencia obtenida desde principios de los 70´s hasta la fecha, indica que la combinación de modelos físicos y computacionales es por mucho la estrategia más prometedora y correcta, que el uso de una solamente.

Finalmente, el tercer caso (iii) representa un intento por recortar la ruta de diseño, utilizando la misma red, o al menos parte de ella, para el form-finding y el desarrollo de los patrones de corte. Nomenclatura:

Modelos computacionales Los modelos computacionales de las estructuras en tensión, representan un grupo de datos numéricos y gráficos que describen la forma de la estructura, sus esfuerzos y deformaciones, bajo determinadas condiciones de carga. Los datos son obtenidos a partir de algoritmos que describen un proceso iterativo de ajustes geométricos de una superficie tensionada, hasta que el equilibrio estático es alcanzado. Como con todos lo métodos numéricos, una “intuición educada” de “cómo debería verse la superficie” es el punto de partida para este proceso. La forma intuida no satisface nunca plenamente las condiciones de equilibrio estático, por lo cual las iteraciones son necesarias para alcanzar el resultado final. El término form-finding, usado en relación con la modelación computacional, puede significar lo siguiente: (i) Encontrar una forma optima de la membrana tensionada (ej. una superficie mínima estable). (ii) Encontrar una forma para la membrana en tensión que este en equilibrio estático, pero no necesariamente tenga una superficie con tensionada constante. (iii) Encontrar una forma , que se aproxime al estado de completo equilibrio estático (que en algunas ocasiones se acompaña de una metodología de patronaje).

El diseño estructural para las techumbres de las instalaciones olímpicas de Munich 72, se realizó con base en modelos físicos. El modelo del estadio se realizó a una escala 1:125, pero las mediciones convencionales probaron las inexactitudes para la generación del patronaje para la estructura a escala real. El problema de

En el segundo caso (ii), la condición de constante esfuerzo es relajada. La forma estructural resultante esta en equilibrio estático, pero, como ya se indico, la superficie no tiene un esfuerzo constante y homogeneo.

En el primer caso (i), los bordes de la estructura ya estan pre-establecidos, y los algoritmos numéricos son construidos de tal manera que permitan que la superficie adopte su propia configuración geométrica, acorde con el principio neutral de la superficie con un constante y homogeneo esfuerzo.

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P: Presión (kg/m2) R1: Radio de 1ª curvatura R2: Radio 2ª curvatura S1: Esfuerzo 1ª dirección S2: Esfuerzo 2ª dirección

P

S 2 S1  R 2 R1

Ecuación de Equilibrio de fuerzas en una membrana


d) Cimentaciones de Tensoestructuras Tipo 1. Cimentación mixta entre compresión y pilotes de tensofricción

zapata

de

El mastil apoya sobre la clásica zapata de concreto reforzado, mientras que los tensores confluyen en un cabezal del cual nacen los pilotes de friccion/tensión inclinados. La función del cabezal es transferir los esfuerzos que transmiten los cables hacia los respectivos pilotes que trabajan por fricción con el terreno que lo circunda. El coeficiente de fricción se obtiene por ensayos de suelos y depende del ángulo de rozamiento interno de cada suelo. Suele variar entre 0.1 y 0.5 kg/cm2 aproximadamente. Por consiguiente, la capacidad resistente de los pilotes se puede calcular, en principio, multiplicando su superficie total por el coeficiente de fricción del suelo y por el número de pilotes, según la siguiente ecuación:

Tipo 2. Cimentación mixta de zapata de compresión combinada con pilotes verticales (compresióntensofricción) Constructivamente resulta complicado colocar en el terreno los pilotes inclinados, siendo más sencilo ubicarlos en posición vertical. En este caso, la carga inclinada que transmiten los cables se descompone en una vertical V que toman los pilotes, y una horizontal H que tiende a provocar el desplazamiento del cabezal, lo que obliga a colocar una trabe de liga conectada con la zapata, y que al combinarse con la carga vertical que esta recibe del mástil genera una resultante inclinada, y consecuentemente una zapata también inclinada. Un problema serio en este sistema es el momento de volteo en la trabe, al tener fuerzas en sentidos contrarios en sus extremos (compresión hacia habajo y tensión hacia arriba). Tipo 3. Cimentación mixta de pilotes de tensión (fricción) y compresión (punta o fricción)

P  DL f No En donde: No= Cantidad de pilotes L= Longitud de los pilotes

El mástil y los tensores han sido remplazados por un sistema de marcos rígidos, que posee la ventaja de permitir su aprovechamiento funcional. La resultante de las reacciones en ambas columnas provocan un Momento de Volteo que hace trabajar el pie izquierdo del marco a compresión y el pie derecho, en principio, a tensión. Esto da lugar a una cimentación con pilotes de tensión y compresión. Si el peso de los marcos llegase a ser muy elevado superando a la tensión generada por el momento de volteo en el pie derecho, este se hallaría también comprimido. La cimentación con pilotes de compresión resulta aconsejable cuando la capa resistente del terreno se encuentra a una profundidad mayor de 7 mts.

f= Coeficiente de fricción D=Diámetro de los pilotes

Si de todas maneras se desea hacer la base recta, esta se puede ejecutar como se indica en la figura (inferior) con una doble zapata que absorba las respectivas componentes vertical y horizontal.

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Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras una reacción igual o mayor a la componente vertical V de la carga de tensión transmitida por los cables o barras en general.

Tipo 4. Zapata unificada Se denomina así porque se unifican en una misma zapata la cimentación de ambos pies del marco, si la capacidad resistente del terreno lo permite. Se suele preferir esta solución en estructuras importantes.

En estos casos se genera una excentricidad que tiende a hacer girar la base como se indica en la figura, lo que obliga a verificar que la resultante entre las cargas del mástil y los tensores se encuentre dentro del núcleo central para asegurarse que toda la base apoye sobre el terreno, o sea que:

e

b 6

Si ello no fuera posible, se admite como máximo, que la mitad del terreno esté comprimido, lo que se logra cuando la excentriciad es igual o menor a la tercera parte de la dimensión de la base, o sea que:

e

b 3

Tipo 4. Solución de Zapata y lastre Son cimentaciones de tensión y resulta económicamente aconsejable su adopción para cargas relativamente reducidas que no superen aproximadamente 7 toneladas. Consisten básicamente en un volumen prismático de concreto cuya masa genere

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La carga de tensión T se descompone en una vertical V que tiende a arrancar el bloque y otra horizontal H que tiende a desplazarlo. El desplazamiento se evita por el rozamiento de la masa con el suelo, debiendo verificarse para ello que:

A f  2 H

En donde: f= coeficiente de fricción entre el suelo y el concreto A= Área de la base3 del bloque de concreto 2= Coeficiente de seguridad


ANEXO: TABLAS DE ESTRUCTURAS Pesos volumétricos de los materiales Material Arenisca (chilucas y canteras) Basaltos (piedra braza) Granito Mármol Riolita Pizarras Tepetates Tezontles Caliza Arena de grano de tamaño uniforme Arena bien granulada Arcilla típica del valle de México Caliche Concreto simple con agregados de peso normal Concreto reforzado Mortero de cal y arena Mortero de cemento arena Aplanado de yeso Tabique macizo hecho a mano Tabique macizo prensado Bloque hueco de concreto ligero Bloque hueco de concreto Bloque hueco de concreto prensado Vidrio plano Caoba, encino y pino Vigueta y Bovedilla (sin capa de compresión) Block estruido c/perforaciones Azulejo Mozaico de pasta Granito o terrazo de 30 x 30 Loseta asfáltica Mamposterías de piedras naturales Acero Vidrio Aluminio

Peso volumétrico en ton/m3 2.50 2.65 3.20 2.60 2.55 2.85 1.95 1.55 2.85 2.10 2.30 1.50 2.10 2.20 2.40 1.50 2.10 1.50 1.50 2.20 1.30 1.70 2.20 3.10 1.00 120 kg/m2 120.5 kg/m2 15 kg/m2 35 kg/m2 55 kg/m2 10 kg/m2 2.5 7.9 2.6 2.7

Pesos volumétricos de los materiales (continua) Material

Peso volumétrico en ton/m3 50 kg/m2 10 kg/m2 4 kg/m2 60 kg/m2 1.15

Muro de Tablarroca (Ambas caras c/hoja de 1.25 cm de yeso) Lámina de asbesto Madera contrachapeada (6mm) Cielo raso c/malla y yeso (25mm) Papel

Diámetros, pesos y áreas de varillas Numero de varillas  pulg ¼ 5/16 3/8 ½ 5/8 ¾ 7/8 1 1 1/8 1¼ 1 3/8 1 1/2

# 2 2.5 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

 cm 0.64 0.79 0.95 1.27 1.59 1.90 2.22 2.54 2.86 3.13 3.49 3.81

Peso kg/m 0.24 0.38 0.55 0.99 1.55 2.23 3.02 3.97 5.02 6.207 7.51 8.93

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.32 0.49 0.71 1.27 1.98 2.85 3.88 5.07 6.41 7.92 9.58 11.40

0.64 0.98 1.42 2.54 3.96 5.70 7.76 10.14 12.62 15.84 19.16 22.80

0.96 1.47 2.13 3.81 5.94 8.55 11.64 15.21 19.23 23.76 28.74 34.20

1.28 1.96 2.84 5.08 7.92 11.40 15.52 20.28 25.64 31.68 38.32 45.60

1.60 2.45 3.55 6.35 9.90 14.25 19.40 25.35 32.05 39.60 47.90 57.00

1.92 2.94 4.26 7.62 11.83 17.10 23.28 30.42 38.46 47.52 57.48 68.40

2.24 3.43 4.97 8.89 13.86 19.95 27.16 35.49 44.87 55.44 67.06 79.80

2.56 3.92 5.68 10.16 15.84 22.80 31.04 40.56 51.28 63.36 76.64 91.20

2.88 4.41 6.39 11.43 17.82 25.65 34.92 45.63 57.69 71.28 86.22 102.6

3.20 4.90 7.20 12.70 19.80 28.50 38.80 50.70 64.10 79.20 95.80 114.0

Valores máximos admisibles de la relación ancho/grueso (flexión) Descripción del elemento Patines de secciones I, H o T, y canales, en flexión Patines de secciones en cajón, laminadas o soldadas en flexión

Tipo 1

Tipo 2

460 / fy

540 /

9.14 si fy=2530

10.73 si fy=2530

16.50 si fy=2530

1600 /

1600 /

2100 / fy

fy

fy

Tipo 3

fy

830 /

fy

31.81 si fy=2530 31.81 si fy=2530 41.75 si fy=2530 Nota: todos los valores por encima del máximo para la sección tipo 3, son tipo 4.

161

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Determinación del coeficiente sísmico En general los coeficientes sísmicos se determinan de acuerdo con: a) Clase de terreno b) Tipo de construcción c) Grupo estructural (NTC)

Coeficientes sísmicos para edificios del grupo B en el Valle de México. Tipo de Terreno alta Terreno baja estructuración compresibilidad compresibilidad 1 0.40 0.32 2 0.40 0.32 3 0.40 0.32 Para edificios del grupo A estos coeficientes deben multiplicarse por 1.5  Las construcciones del tipo C no requieren cálculo antisísmico.

El terreno puede ser de alta o baja compresibilidad. Baja  tepetatoso, rocoso Alta  fangoso, arcilloso Tipos de construcción: Tipo 1. Edificios en estructuras Tipo 2. Edificios sobre muros de carga Tipo 3. Construcciones sobre apoyos, en el sentido en que se analizan, como chimeneas, monorrieles o viaductos. Grupos de edificios: Grupo A. Alojan un gran número de personas, contienen instalaciones importantes o encierran cosas de gran valor. Grupo B. Intermedios o normales Grupo C. No requieren la intervención de un técnico, y la falla ante sismo no implica la pérdida de vidas o grandes daños.

Capacidades de carga promedio para distintos 2 tipos de terrenos, en ton/m Tipo de terreno Ton/m2 Suelo arcilloso típico de la ciudad de México Suelo acuoso Arcilla suelta Arcilla compacta Arena mojada Arena revuelta con arcilla Arena seca fina Arcilla dura Arena gruesa seca Grava Grava y arena bien cimentadas Arcillas o pizarras duras Roca media Roca sólida

3.0 4.9 9.8 19.5 19.5 19.5 29.3 39.1 39.1 58.6 78.1 97.6 195.3 781.2

En los lugares de la República que corresponden a las zonas de temblores más intensos, más cercanos a los epicentros, y sobre terrenos rocosos se recomiendan los siguientes coeficientes Tipo de Estructura 1 2 3

Coeficiente 0.12 0.15 0.18

Tabla de cargas vivas unitarias en kg/m2 (NTC) Destino de piso o cubierta Habitación (casa habitación, departamentos, viviendas, dormitorios, cuartos de hotel, internados de escuelas, cuarteles, cárceles, correccionales, hospitales y similares) Oficinas, despachos y laboratorios Comunicación para peatones (pasillos, escaleras, rampas, vestíbulos y pasajes de acceso libre al público) Estadios y lugares de reunión sin asientos individuales Otros lugares de reunión (templos, cines, teatros, gimnasios, salones de baile, restaurantes, bibliotecas, aulas, salas de juego y similares) Comercios, fábricas y bodegas Cubiertas y azoteas con pendiente no mayor de 5 % Cubiertas y azoteas con pendiente mayor de 5 % Volados en vía pública (marquesinas, balcones y similares) Garajes y estacionamientos (para automóviles exclusivamente)

162

Carga 170 250 350 450 350 350 100 40 300 250

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Factor de longitud efectiva de columnas (K) Tipo de articulación

Simbología Rotación y traslación impedidos

Valor de K 0.65

Rotación libre y traslación impedida Rotación impedida y traslación libre

0.80

Rotación libre y traslación libre

1.2

Losa de concreto reforzado para escaleras con carga viva de 500 kg/m2

Claro Horizontal (m)

Espesor total de la losa (cm)

Acero de refuerzo en tensión

1.50 1.80 2.10 2.40 2.70 3.00 3.30 3.60 3.90 4.20 4.50

7.5 7.5 9.0 10.0 10.0 11.5 13.0 14.0 14.0 16.5 18.0

#3 @ 16.5 cm #3 @ 11.5 cm #4 @ 18.0 cm #4 @ 16.5 cm #4 @ 12.5 cm #5 @ 18.0 cm #5 @ 16.5 cm #5 @ 15.0 cm #5 @ 12.5 cm #6 @ 18.0 cm #6 @ 16.5 cm

1.0

2.1

Morteros en elementos Estructurales (NTC) Tipo de Mortero I

2.0

II III

163

Partes de Cemento Hidráulico 1

Partes de Cemento. Albañilría. --

Partes de Cal

Partes de Arena

0a¼

1 1 1 1

0a½ -½ a1 --

-¼ a½ -½ a1¼

No menos de 2.25 ni mas de 3 veces la suma de cementantes en volumen

Resistencia nominal f*j (kg/cm2) 125 75 40

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Tabla de valores para Diseño de Domos 2 (Los valores de N, M, N y Q están calculados por 1 kg/m2 de superficie curvada, por lo cual se tienen que multiplicar por el peso máximo en la membrana por m Ph2) D a R s b d qd qb A qD fb V  h1 h2 N M N Q 1404.7 120 268 0.01 13.4 13.7 -0.42 -6.89 -1.16 12 1.49 12.77 28 7.5 18 2.55 25 70 206.97 265.50 0.01 15.8 16.5 -0.46 -7.54 -1.27 13 1.63 13.95 28 7.5 18 2.70 25 70 205.95 1178.62 143 204.9 988.9 171 262.34 0.02 18.6 19.7 -0.50 -8.25 -1.39 14 1.78 15.22 28 7.5 18 2.78 25 70 203.9 875.8 193 260.19 0.03 20.8 22.3 -0.52 -8.78 -1.48 15 1.89 16.18 28 7.5 18 2.87 25 70 17.14 28 7.5 18 2.95 25 70 203.9 119.97 216 258.26 0.03 23.2 25.1 -0.55 -9.31 -1.57 16 2.0 629.29 244 256.22 0.03 26 28.4 -0.58 -9.90 -1.68 17 2.13 18.21 28 7.5 18 3.04 25 70 202.89 899.26 270 298.63 0.03 33.6 27.3 -0.75 -10.39 -1.77 18 2.24 19.16 28 9 20 3.33 28 80 241.64 798.32 304 296.59 0.03 37.5 30.8 -0.79 -11.04 -1.98 19 2.38 20.34 28 9 20 3.43 28 80 240.62 239.6 706.56 344 294.45 0.04 42.1 34.9 -0.83 -11.75 -2.01 20 2.34 21.61 28 9 20 3.54 28 80 239.6 630.1 368 292.52 0.04 46.9 39.2 -0.87 -12.46 -2.14 21 2.68 22.89 28 9 20 3.64 28 80 596.45 408 291.60 0.04 49.9 41.4 -0.89 -12.82 -2.21 22 2.75 23.53 28 9 20 3.69 28 80 238.58 527.12 461 289.56 0.05 55.4 46.9 -0.94 -13.67 -2.36 23 2.93 25.02 28 9 20 3.81 28 80 238.58 623.98 481 347.78 0.04 69.5 43.0 -1.25 -13.94 -2.52 24 2.99 25.58 28 10 25 4.23 30 100 275.25 552.61 543 344.92 0.04 77.8 48.6 -1.32 -14.84 -2.69 25 3.17 27.15 28 10 25 4.36 30 100 272.23 27.9 28 10 25 4.41 30 100 271.21 524.06 573 343.70 0.04 81.88 51.3 -1.3 -15.26 -2.77 26 3.6 28.7 28 10 25 4.48 30 100 271.21 493.47 608 342.37 0.05 96.5 54.5 -1.38 -15.74 -2.86 27 3.36 436.38 687 339.62 0.05 97 61.6 -1.45 -16.77 -3.05 28 3.57 30.59 28 10 25 4.62 30 100 270.19 417.53 726 388.4 0.05 102.1 65.1 -1.49 -17.25 -3.15 29 3.67 31.41 28 10 25 4.68 30 100 270.19 674.96 751 428.86 0.04 134.7 61.6 -2.02 -17.51 -3.4 30 3.74 31.94 28 13 29 5.18 30 120 346.65 600.5 844 422.2 0.05 148 69.2 -2.12 -18.59 -3.62 31 3.96 33.86 28 13 29 5.33 30 120 345.63 564.84 898 420.68 0.05 157 73.6 -2.18 -19.2 -3.74 32 4.09 34.92 28 13 29 5.41 30 120 345.63 532.22 953 419.25 0.06 166.1 78.1 -2.23 -19.81 -3.87 33 4.21 35.99 28 13 29 5.49 30 120 344.62 501.63 1010 417.92 0.06 175.5 82.8 -2.29 -20.41 -3.99 34 4.33 37.05 28 13 29 5.57 30 120 344.62 37.2 28 13 29 5.59 30 120 344.62 496.53 1022 417.62 0.06 177.4 83.7 -2.30 -20.54 -4.02 35 4.36 465.94 1087 416.19 0.06 188.1 89.0 -2.35 -21.17 -4.16 36 4.50 38.44 28 13 29 5.68 30 120 343.6 Nota: signo positivo (+) indica tensión y signo negativo (-) compresión. Todos los datos fueron obtenidos a partir de las ecuaciones para domos planteadas en: WILBY, C. B., Concrete Dome Roofs, Essex 1993, edit. Longman. Notación: D (mts.): diámetro del domo; a (mts): altura del domo; R (mts): radio de la curvatura;  (o): ángulo de la curvatura; h1 (cm): peralte del domo en la parte más delgada (corona); h2 (cm): peralte del domo en la parte más ancha (arranque); s (mts): distancia a partir del arranque en que se cambia de peralte; b (cm): base de la viga perimetral de apoyo; d (cm): peralte de la viga perimetral de apoyo; qd (kg/m2): peso propio de la membrana en lo más delgado; qb (kg/m2): carga máxima de seguridad en la membrana; A (m2): área cubierta por el domo; qD (kg/m2): peso propio de la membrana en la parte más gruesa; fb (kg/cm2): esfuerzo en la fibra última inferior de la viga; V (m3): volumen de concreto necesario para realizar el domo; N (kg/m): fuerza en el domo en el sentido meridional; M (kgm): momento respecto al eje horizontal de la viga; N (kg/m): fuerza en el domo en el sentido de los arcos; Q (kg/m): fuerza cortante radial en la membrana.

164

Dimensiones aproximadas de miembros estructurales Viga a. Ligeramente cargada d  b. Altamente cargada d 

L 20

L 18

Losa

L Simplemente soportada d  30 Cantiliber En cantiliber d 

L 7

Armadura Simplemente soportada d 

Marco

d

L 40

Armadura espacial En dos direcciones d  En una dirección d 

L 15

L 40

L 14

Peso de losa de azotea tradicional (Kg/m2) Elemento Cantidad Peso Losa de concreto reforzado 0.13 2400 Tezontle 0.25 1550 Mortero cemento-arena 0.05 2100 Enladrillado 0.025 1500 Impermeabilizante 2 10 Plafón de yeso 0.025 1500  + Carga Viva 100 X Factor de Seg. 1.4 Peso de losa de Entrepiso p/casa Habitación (Kg/m2) Elemento Cantidad Peso Losa de concreto reforzado 0.13 2400 Mortero 0.025 2100 Mármol 0.03 2600 Plafón de Yeso 0.025 1500  + Carga Viva 250 X Factor de Seg. 1.4 Peso de losa de Entrepiso p/oficinas (Kg/m2) Elemento Cantidad Peso Losa de Concreto reforzado 0.15 2400 Mortero 0.025 2100 Granito 0.03 3200 Plafón de yeso 0.025 1500  + Carga Viva 350 X Factor de Seg. 1.4 Elemento Trabe de Concreto 20 x 40 (ml) Trabe de Concreto 30 x 60 (ml9 Trabe de Concreto 40 x 80 (ml) Trabe de Concreto 50 x 100 (ml) Trabe de Concreto 60 x 120 (ml) Columna de Concreto 40 x 40 (ml) Columna de Concreto 50 x 50 (ml) Columna de Concreto 60 x 60 (ml) Columna de Concreto 70 x 70 (ml) Columna de Concreto 80 x 80 (ml) Perfil de Acero IE 457 x 104 (ml) Perfil de Acero IE 610 x 180 (ml) Perfil de Acero IR 457 x 177 (ml) Perfil de Acero IR 686 x 264 (ml) Muro TRR (m2) Muro Block hueco de concreto (m2) Muro Block hueco prensado (m2)

Total 312 375 105 37.5 20 37.5 887 987 1381.8

Total 312 52.5 78 37.5 480 730 1022

Total 360 52.5 96 37.5 546 896 1254.4 Peso 192 432 768 1200 1728 384 600 864 1176 1536 104 180 177 264 225 255 330

Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras Cable flexible (6 cordones-19 alambres-1 alma textil) Diámetro del cable (cm) 0.476 0.6 0.635 0.7 0.8 0.9 0.953 1.10 1.20 1.27 1.40 1.60 1.70 1.90 2.10 2.20 2.40 2.54 2.70 2.80 2.90 3.10 3.20 3.40 3.60 3.80 4.0

Peso aprox. (Kg/m) 0.088 0.155 0.150 0.177 0.236 0.300 0.340 0.450 0.530 0.580 0.690 0.915 1.000 1.310 1.620 1.780 2.170 2.320 2.720 2.930 3.050 3.560 3.730 4.280 4.910 5.300 5.810

11,000 Kg/cm2 1000 1570 1720 2070 2750 2540 3900 5230 6290 6770 7970 10840 11910 15370 19300 20700 25210 26800 31900 33700 35550 41380 43430 49850 56720 61440 66580

Cargas de ruptura en kilogramos 12,500 14,000 16,000 17,500 Kg/cm2 Kg/cm2 Kg/cm2 Kg/cm2 1140 1280 1460 1600 1780 2000 2280 2500 1960 2190 2510 2740 2360 2640 3020 3300 3130 3510 4010 4380 4020 4500 5150 5630 4430 4970 5680 6210 5950 6600 7610 8330 7150 8000 9150 10010 7700 8620 9850 10780 9060 10150 11600 12680 12320 13800 15770 17250 13530 15160 17320 18950 17470 19570 22360 24460 21930 24570 24080 30710 23520 26340 30110 32930 28650 32080 36670 40110 30460 34110 38990 42640 36250 40600 46400 50750 38300 42890 49020 53620 40400 45240 51710 56560 47020 52660 60190 65830 49360 55280 63180 69100 56650 63440 72510 79310 64460 72190 82510 90240 69820 78200 89370 97750 75660 84740 96840 105927

19,000 Kg/cm2 1740 2710 2980 3590 4760 6110 6740 9040 10860 11700 13770 18730 20570 26560 33340 35750 43540 46300 55100 56210 61400 71470 75030 86100 97980 106130 115000

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Identidades trigonométricas básicas

b Cateto  opuesto  c Hipotenusa a Cateto  adyacente cos   c Hipotenusa b Cateto  opuesto tan    a Cateto  adyacente sen 

b = Cateto opuesto a= Cateto adyacente c= Hipotenusa

Funciones trigonométricas inversas

y  y   ar cos eno     sen 1    r r  x  x   arco cos eno     cos 1    r r  y  y   ar cot angente     tan 1    x x Ley del Coseno

a 2  b 2  c 2  2 ab  cos A b 2  a 2  c 2  2 ac  cos B c 2  a 2  b 2  2ab  cos C

Fuente: Perlés, Pedro, “Temas de estructuras especiales”, Buenos Aires 2003, edit. Nobuko

Teorema de Pitágoras

Ley del Seno

r x y

a b c   senA senB senC

2

166

2

2


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Contenido Introducción Capítulo I. Introducción al Diseño Estructural a) El sistema métrico b) La gráfica de esfuerzo-deformación c) Acciones-Estructura-Respuesta d) Formas de estructuración e) La estructura y la envolvente del edificio f) El proceso de diseño y cálculo estructural g) Consideraciones sísmicas en el diseño estructural h) Estabilidad del edificio i) Periodo fundamental de vibración j) Diseño de juntas sísmicas k) El diseño estructural reconsiderado Capítulo II. Estática y Resistencia de Materiales en las Estructuras a) Equilibrio b) Propiedades de las secciones c) Propiedades geométricas de las secciones d) Armaduras planas e) Estabilidad f) Cortantes y momentos en vigas g) Dimensionamiento de vigas Capítulo III. Pesos y cargas en las estructuras Capítulo IV. Revisión de Estructuras de Concreto Reforzado y Mampostería a) Carga axial b) Revisión sísmica de elementos a compresión c) Muros de concreto d) Muros de mampostería e) Revisión sísmica de muros f) Tensión g) Flexión simple h) Cortante i) Cimentaciones superficiales (mampostería) j) Normas NMX de estructuras de mampostería estructural k) Especificaciones para estructuras de mampostería Capítulo V. Diseño de Estructuras de Concreto Reforzado a) Diseño por viento

b) Cimentación (zapatas) c) Contratrabes para zapatas d) Cimentaciones profundas e) Losas (una dirección) f) Losas (dos direcciones) g) Vigas h) Ecuaciones para vigas isostáticas i) Losas nervadas j) Vigas hiperestáticas k) Vigas T l) Muros de contención m) Columnas n) Revisión sísmica de columnas o) Estructuras hiperestáticas p) Longitud de desarrollo en acero de refuerzo q) Normas NMX de estructuras de concreto reforzado r) Normas SCT para cimentaciones s) Especificaciones para estructuras de concreto reforzado Capítulo VI. Diseño de Estructuras de Acero y Madera a) Tensión b) Compresión c) Armaduras d) Flexión e) Cortante f) Losacero g) Conexiones soldadas h) Conexiones atornilladas i) Chapas de continuidad j) Placas en columnas k) Estereoestructuras l) Normas NMX de estructuras de acero estructural m) Normas NMX para sistemas de piso n) Especificaciones de estructura metálica o) Especificaciones de losacero p) Tensión (madera) q) Compresión (madera) r) Flexión (madera) s) Cortante (madera) t) Normas NMX de estructuras de madera estructural Capítulo VII. Estructuras de Cascarón a) Introducción b) Comportamiento mecánico c) Domos d) Bóvedas dípteras e) Paraboloides hiperbólicos f) Placas dobladas

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g) Form finding Capítulo VIII. Tensoestructuras a) Introducción b) Cables a tensión c) Estructuras de membrana d) Cimentaciones de tensoestructuras Anexo: Tablas de Estructuras Bibliografía

Manual de Diseño y Calculo de Estructuras

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