Manual Diseo de La Viga Postensada

MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO

2. SOLICIATIONES MÁXIMAS Sobre la viga central

0 ,1 1

1,00

7,30

2% 0 2,

5 3,

1,00

2% 0 ,2

0 ,2

5 ,2 0

DESAGÜE D=0,10 m 1c/5 m

5 ,3 5 2,

0 ,2 2,


2,50

2,50

0 ,1

1,05

,60

,60

2,70

2,70

SECCIÓN TRANSVERSAL DEL PUENTE-DIMENSIONES

2.1. Propiedades geométricas de la sección simple A 0,695 m 2: Y s  0,95 m; Y i  1,05 m ; I  0,3456 m 4

,80 0 2 , 5 1 ,

,20

0 0 , 2

0 2 , 1

5 2 , 0 2 ,

,60 SECCIÓN TRANSVERSAL DE LA VIGA CENTRO DE LA LUZ

2.2 Avalúo de cargas y máximas solicitaciones Longitud aferente de la losa: 3,3 m. Peso propio de la losa= 1,58 t/m Peso propio de la viga= 1,67 t/m SUMA: 2

3,25 t/m

,60

1,05


2. SOLICIATIONES MÁXIMAS Sobre la viga central

0 ,1 1

1,00

7,30

2% 0 2,

5 3,

1,00

2% 0 ,2

0 ,2

5 ,2 0


5 ,3 5 2,

0 ,2 2,


2,50

2,50

0 ,1

1,05

,60

,60

2,70

2,70

SECCIÓN TRANSVERSAL DEL PUENTE-DIMENSIONES

2.1. Propiedades geométricas de la sección simple A 0,695 m 2: Y s  0,95 m; Y i  1,05 m ; I  0,3456 m 4

,80 0 2 , 5 1 ,

,20

0 0 , 2

0 2 , 1

5 2 , 0 2 ,

,60 SECCIÓN TRANSVERSAL DE LA VIGA CENTRO DE LA LUZ

2.2 Avalúo de cargas y máximas solicitaciones Longitud aferente de la losa: 3,3 m. Peso propio de la losa= 1,58 t/m Peso propio de la viga= 1,67 t/m SUMA: 2

3,25 t/m

,60

1,05


Momento debido al peso propio de la sección simple s imple más el peso de la losa M D 

3,25 * 412

 683 t .m

8

2.3. Cargas sobreimpuestas Nota: El peso del andén y de la baranda es 0,29 t/m. Carpeta asfáltica: 3,3*2,2*0,05=0,36 t/m Andén y barandas= 2*0,29/3= 0,19 t/m SUMA

0,56 t/m

Momento debido a las cargas sobreimpuestas 2

0,56 * 41

M DS 

8

 118 t .m

Nota: no se tuvo en cuanta el peso de los diafragmas cada tercio de la luz. 2.4. Avalúo de la carga viva y máximo momento por carga viva. Línea de carga para flexión: w = 1,44 t/m. P= 12 t. Línea de carga para cortante: w= 1,46 t/m. P= 16 t. Factor de rueda. F . R 

S 1,7



3,3 1,7

 1,94

Factor de impacto: I 

16 40  41

 0,198

Momento por carga viva  1,44 * 412 12 * 41    426 t .m .Referido a la línea de cargas.  M L   8 4   M ( L I )  0,5 * 426 426 *1,94 *1,198 198  495 495 t .m . Referido a la línea de ruedas 3. Ancho efectivo de la sección compuesta.

Criterios bef 

41 4

 10,25 m

bef  0,20  12 * 0,20  2,60 m. Rige Rige bef  3,3 m

3


Relación modular. n

350 280

 1,12

Ancho efectivo de la sección compuesta en concreto de 350 kg/cm2. bef 

2,60 1,12

 2,32 m

Propiedades geométricas de la sección compuesta en concreto de 350 kg/cm 2. A  1,159 m

2

Y i  1,47 m Y s  0,73 m I  0,6539 m

4

Y simple  0,73  0,20  0,53 m 0

2,32 2, 0 2, 5 1,

0

0

,20 0,

2, 1

2

5 2, 0 2,

,60 4. Valoración de la fuerza de tensionamiento

Momento de servicio: M servicio 683  118 118  495 495  1296 t .m servicio  683

Convención de signos: son negativos los esfuerzos de compresión. Criterio. La fibra inferior en el centro de la luz de la sección compuesta se encuentra sometida al máximo esfuerzo a tracción admisible. De acuerdo con el CCDSP-95, este esfuerzo es igual a: f c,tracción  1,6 f ć  1,6 350  30 kg / cm2  300 300 t / m 2

4


En consecuencia:  i  300  

P t  1,159



P t  *1,4 *1,47 0,6539



1296 *1,47 0,6539

 P t   651 t

Suponiendo pérdidas totales (instantáneas más diferidas) del orden del 25 % , se tiene una fuerza de tensionamiento , para t=0, igual a: P t 0 

651 0,75

 868 t

Esfuerzos sobre el concreto sobre la sección simple para una fuerza de tensionamiento de 868 t en el centro de la luz. Momento debido al peso de la sección simple 2

M D 

1,67 * 41 8

 351 t .m

Po consiguiente el esfuerzo en la fibra inferior de la sección simple es igual a:  i  

868 0,695



868 * 0,98 *1,05 0,3456



351*1,05 0,3456

 2767 t / m 2

Este esfuerzo excede el esfuerzo admisible a compresión del concreto (0,55 f´ ci) (-0,55*3150= -1733 t/m2) por lo que el tensionamiento se debe fraccionar. Máximo esfuerzo admisible en el acero de tensionamiento, de acuerdo con el CCDSP-95: f sP  0,80 f Py  0,80 *16000  12800 kg / cm 

2

Primer tensionamiento

Se aplica arbitrariamente una fuerza igual al 60 % de la fuerza total de tensionamiento .Esto es: P 60%  0,60 * 868  521 t

Determinación del número de torones de 0,5 pulg de diámetro ( ASP= 0,987 cm2) para el primer tensionamiento P 60% 

521000 12800 * 0,987

 41 torones

Se toman cinco cables con 10 torones cada uno.

5


Estos 50 cables, tensionados al máximo esfuerzo admisible, resisten una fuerza igual a: *12800  631600 kg P 60%  50 * 0,987

En cada cable de 10 torones se ejerce una fuerza igual a P cable  

631,6 5

 126 t

Segundo tensionamiento

Diferencia de fuerza de tensionamiento  P  868  631,6  236,4 t

Número de torones de 0,5 pulg de diámetro ( A SP = 0,987 cm2) No 

236400 0,987 *12800

 19 torones

Se toman 20 torones distribuidos en dos cables de 10 torones cada uno. Fuerza de tensionamiento en el centro de la luz debida a los cables de segundo tensionamiento:  P  20 * 0,987 *12800  252672 kg  252,7 t

Resumen del tensionamiento TENSIONAMIENTO No cables No.torones No.torones/cable Fuerza/cable PRIMER TENSIONAMIENTO 5 50 10 126 t SEGUNDO TENSIONAMIENTO 2 20 10 126 t

Nota: la fuerza de 126 t corresponde a la fuerza en el centro de la luz durante la transferencia. 5. Ecuación de los cables de tensionamiento

La ecuación que describe la posición de cada cable de tensionamiento es una parábola de la forma y= kx2. En esta ecuación: X se mide a partir del centro de la luz. Y se mide desde la base de la viga al centroide del acero de tensionamiento. La figura siguiente muestra la posición supuesta de los siete cables de tensionamiento sobre apoyo. Nótese que los cables 6 y 7 se tensionan una vez el concreto de la losa ha alcanzado una resistencia de 245 kg/cm 2. 6


2,00m

1,50m

7 6 m

5 5 ,3

4 m 5

m

m 1,

1,

3, 0

3 m 5 3,

0 2

2

2 m 5 3,

1

m

6

5

7 4

2

0

1

,150

3

,070

3,

POSICIÓN DE LOS CABLES EN EL CENTRO DE LA LUZ

POSICIÓN DE LOS CABLES SOBRE APOYO

En consecuencia y de acuerdo con la trayectoria supuesta de los cables de tensionamiento, se obtienen las siguientes ecuaciones: y1  y 2  y3  y 4  y5 

0,23 20,5

0,58 20,5

2

0,93 20,5

2

1,28 20,5

2

1,55 20,5

2

x  0,07  0,000547 x  0,07 2

2

2

x  0,07  0,001380 x  0,07 2

2

x 2  0,07  0,002213 x 2  0,07 x 2  0,07  0,003046 x 2  0,07 x  0,15  0,003688 x  0,15 2

2

La tabla siguiente resume los valores de las ordenadas (m) de cada uno de los cinco cables de primer tensionamiento, cuya trayectoria es descrita por las ecuaciones precedentes. Se tomaron arbitrariamente intervalos cada 2 m. X(m) CABLE1 CABLE2 CABLE3 CABLE4 CABLE5

0 0,070 0,070 0,070 0,070 0,150

2 0,072 0,076 0,079 0,082 0,165

4 0,079 0,092 0,105 0,119 0,209

6 0,090 0,120 0,150 0,180 0,283

8 0,105 0,158 0,212 0,265 0,386

10 0,125 0,208 0,291 0,375 0,519

12 0,149 0,269 0,389 0,509 0,681

Ecuación de los cables de segundo tensionamiento y6  y 7 

7

1,95 18,5 1,95 17

2

2

2 2 x  0,15  0,0056976x  0,15

x 2  0,15  0,006747 x 2  0,15

14 0,177 0,341 0,504 0,667 0,873

16 0,210 0,423 0,637 0,850 1,094

18 0,247 0,517 0,787 1,057 1,345

20,5 0,300 0,650 1,000 1,350 1,700


1,67 t/m

20,50m

x

20,50m

Ecuación para la determinación de la excentricidad de los cables de primer tensionamiento e  1,05  y

Ecuación para la determinación de la excentricidad de los cables de segundo tensionamiento e  1,47  y

Módulos de sección inferior y superior, respectivamente, de la sección simple. W i 

0,3456

W s 

1,05

 0,3291 m 3

0,3456

 0,3638 m 3

0,95

Ecuación para el cálculo de la fuerza efectiva de tensionamiento en cualquier sección de la viga en función de los coeficientes de fricción  y de curvatura involuntaria

k

P x  P o e  (   kx)

e = base de los logaritmos naturales ( e=2,71828) Coeficientes supuestos de fricción y curvatura involuntaria   0,25

k  0,003/ m

6.2 Estado de esfuerzos en el concreto, en la sección simple, durante la transferencia Ecuación general para el cálculo de los esfuerzos: N

N





j 1

j 1

P j

 i  

A



N

9

W i





j 1

j 1

A

 M

c



K 1

W i

N

P j

 s  

C

P j e j

C

 M

P j e j



W s

c



K 1

W s


ESTADO DE ESFUERZOS EN EL CONCRETO

Caso de carga : fuerza de preesfuerzo más peso propio de la viga Primer tensionami ento : 50 torones e n 5 cables con 10 torones cada uno Fuerza en e l centro de la luz = 632 t X se mide de l centro de la luz a los apoyos Los cables 1,3 y 5 se tensionan de sde un mismo e xtremo Los cables 2 y 4 se tensionan desde el extremo opuesto Peso propio de la sección simple : 1,67 t/m X(m) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 2 A (m ) 0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 Ws 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 Wi 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 µα1 0,000 0,001 0,001 0,002 0,002 0,003 0,003 0,004 0,004

20,5 0,695 0,3638 0,3291 0,006

µα2

0,000

0,001

0,003

0,004

0,006

0,007

0,008

0,010

0,011

0,012

0,014

µα3

0,000

0,002

0,004

0,007

0,009

0,011

0,013

0,015

0,018

0,020

0,023

µα4

0,000

0,003

0,006

0,009

0,012

0,015

0,018

0,021

0,024

0,027

0,031

µα5

Kx P1

0,000 0 126

0,004 0,006 127

0,008 0,012 128

0,012 0,018 129

0,016 0,024 130

0,019 0,03 131

0,023 0,036 131

0,027 0,042 132

0,031 0,048 133

0,035 0,040 0,054 0,0615 134 135

P2

126

125

125

124

123

122

121

120

119

118

117

P3

126

127

128

130

131

132

133

134

135

136

138

P4

126

125

124

123

122

121

120

119

118

117

115

P5

126

128

129

130

131

133

134

135

137

138

140

e1

0,980

0,978

0,971

0,960

0,945

0,925

0,901

0,873

0,840

0,803

0,750

e2

0,980

0,974

0,958

0,930

0,892

0,842

0,781

0,709

0,627

0,533

0,400

e3

0,980

0,971

0,945

0,900

0,838

0,759

0,661

0,546

0,413

0,263

0,050

e4

0,980

0,968

0,931

0,870

0,785

0,675

0,541

0,383

0,200 -0,007 -0,300

e5 Suma Pe Suma P MD (t.m) Esf. Sup. Esf. Inf. Esf. Adm CUMPLE

0,900 0,885 0,841 0,767 0,664 0,531 0,369 0,177 -0,044 -0,295 -0,650 609 605 589 562 525 475 415 343 260 165 30 632 633 634 635 637 638 639 640 642 643 645 351 348 338 321 298 268 231 187 137 80 0 -199 -204 -221 -250 -292 -346 -413 -493 -586 -693 -847 -1694 -1692 -1676 -1648 -1605 -1549 -1479 -1395 -1296 -1182 -1018 -1732 -1732 -1732 -1732 -1732 -1732 -1732 -1732 -1732 -1732 -1732 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI

Esfuerzo sobre el acero en el cable más tensionado ( 140 t): f ps 

10

18 0,695 0,3638 0,3291 0,005

140000 10 * 0,987

 14184 kg / cm2  0,90 f py  0,90 *16000 14400 kg / cm2


6.3. Esfuerzos sobre la sección simple debidos a la fuerza de tensionamiento y al peso propio de la sección simple más el peso de la losa: D= 1,67+1,58=3,25 t/m ESTADO DE ESFUERZOS EN EL CONCRETO

Caso de carga : fuerza de tensionamiento más peso propio d e la viga más peso de l a losa Primer tensionami ento : 50 torones e n 5 cables con 10 torones cada uno Fuerza en e l centro de la luz = 632 t X se mide de l centro de la luz a los apoyos Los cables 1,3 y 5 se tensionan de sde un mismo e xtremo Los cables 2 y 4 se tensionan desde el extremo opuesto Esfuerzo admisible a compresión sobre e l concreto : - 0,40fć= -0,4*3500=-1400 t/m 2 Peso propio de la sección simple más peso de la losa: 3,25 t/m Pérdidas del 15 % de fuerza de tensionamiento X(m) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20,5 A (m 2 ) 0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 Ws 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 Wi 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 0,000 0,001 0,001 0,002 0,002 0,003 0,003 0,004 0,004 0,005 0,006 µα1 µα2

0,000

0,001

0,003

0,004

0,006

0,007

0,008

0,010

0,011

0,012

0,014

µα3

0,000

0,002

0,004

0,007

0,009

0,011

0,013

0,015

0,018

0,020

0,023

µα4

0,000

0,003

0,006

0,009

0,012

0,015

0,018

0,021

0,024

0,027

0,031

µα5

Kx P1

0,000 0 107

0,004 0,006 108

0,007 0,012 109

0,011 0,018 110

0,015 0,024 110

0,018 0,03 111

0,022 0,036 112

0,026 0,042 112

0,030 0,048 113

0,033 0,038 0,054 0,0615 114 115

P2

107

107

106

105

104

104

103

102

101

101

100

P3

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

P4

107

106

106

105

104

103

102

101

100

99

98

P5

107

108

110

111

112

113

114

115

116

117

119

e1

0,980

0,978

0,971

0,960

0,945

0,925

0,901

0,873

0,840

0,803

0,750

e2

0,980

0,974

0,958

0,930

0,892

0,842

0,781

0,709

0,627

0,533

0,400

e3

0,980

0,971

0,945

0,900

0,838

0,759

0,661

0,546

0,413

0,263

0,050

e4

0,980

0,968

0,931

0,870

0,785

0,675

0,541

0,383

0,200 -0,007 -0,300

e5 Suma Pe Suma P MD (t.m) Esf. Sup. Esf. Inf. Esf. Adm CUMPLE

11

0,900 0,885 0,841 0,767 0,664 0,531 0,369 0,177 -0,044 -0,295 -0,650 518 514 501 478 446 404 353 292 221 140 25 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 548 683 677 657 625 579 521 449 365 267 157 0 -1227 -1221 -1205 -1180 -1144 -1100 -1046 -983 -911 -831 -719 -271 -280 -301 -332 -374 -426 -489 -562 -644 -737 -865 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI


6.4. Cálculo del momento debido a la carga viva. El momento flector debido a la carga viva se calcula en secciones tomadas arbitrariamente cada 2 m, medidas a partir del centro de la viga, recurriendo a la definición de línea de influencia, tal como se muestra el la figura siguiente. 12 t 1,44t/m 18,50m

22,50m

L.I. M X=2m 10,152

M(L+I)=1,198*1,94*0,5(0,5*1,44*10,152*41+10,152*12)=489t.m 12 t 1,44t/m 16,50m

24,50m

L.I. MX=4m 9,860

M(+I)=1,198*1,94*0,5(0,5*1,44*9,860*41+9,860*12)=476t.m 12 t 1,44t/m 14,50m

26,50m

9,372

M(+I)=1,198*1,94*0,5(0,5*1,44*9,372*41+9,372*12)=452t.m 12 t 1,44t/m 12,50m

28,50m

L.I. M X=8m 8,689

M(+I)=1,198*1,94*0,5(0,5*1,44*8,689*41+8,689*12)=419t.m

x  10 m  M ( L I )  1,198*1,94 * 0,5(0,5 *1,44 * 7,811* 41  7,811*12)  377 t .m x  12 m  M ( L I )  1,198*1,94 * 0,5(0,5 *1,44 * 6,738* 41  6,738*12)  325 t .m x  14 m  M ( L I )  1,198*1,94 * 0,5(0,5 *1,44 * 5,470 * 41  5,470 *12)  264 t .m x  16 m  M ( L I )  1,198*1,94 * 0,5(0,5 *1,44 * 4,00 * 41  4,00 *12)  193 t .m x  18 m  M ( L I )  1,198*1,94 * 0,5(0,5 *1,44 * 2,348 * 41  2,348*12)  113 t .m

6.5. Esfuerzos sobre la sección compuesta debidos a la fuerza de tensionamiento de los cables 6 y 7, a la carga viva y a las cargas sobreimpuestas. Se suponen pérdidas durante la etapa de servicio, iguales al 15 %. 12


Por otra parte, en este estado de esfuerzos debe tenerse en cuenta que la sección simple ha sido sometida a esfuerzos que deben sumarse a los esfuerzos que se presentan sobre la sección compuesta. No se tuvo en cuenta el aumento del área de la sección en el bloque de anclaje. Son positivas las excentricidades por debajo del eje centroidal de la sección. ESFUERZOS SOBRE EL CONCRETO . SECCIÓN COMPUESTA

Caso de carga: esfuerzos sobre la sección simple más cargas sobreimpuestas más carga viva Cargas sobreimpuestas: 0,56 t/m Los cables 6 y 7 se tensionan desde e xtremos opuestos. Se suponen pé rdidas de fuerza de preesfue rzo del 15 % en etapa de servicio Fuerza de preesfuerzo efectiva por cable en etapa de servicio : 0,85*126,4=107 t Exentricidad del cable 6 : e 6=1,47-y6 Excentricidad del cable 7: e 7=1,47-y7 Son positivas las excentricidades por debajo del eje centroidal X(m) 0 2 4 6 8 10 12 14 A (m 2) 1,159 1,159 1,159 1,159 1,159 1,159 1,159 1,159 Ws 0,8958 0,8958 0,8958 0,8958 0,8958 0,8958 0,8958 0,8958 Wi 0,4448 0,4448 0,4448 0,4448 0,4448 0,4448 0,4448 0,4448 Ys 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 Esf. sup. -1227 -1221 -1205 -1180 -1144 -1100 -1046 -983 Esf. Inf. -271 -280 -301 -332 -374 -426 -489 -562 µα6 0 0,0059 0,0119 0,0178 0,0237 0,0297 0,0356 0,0415

16 1,159 0,8958 0,4448 0,53 -911 -644 0,0474

18 1,159 0,8958 0,4448 0,53 -831 -737 0,0534

20,5 1,159 0,8958 0,4448 0,53 -719 -865 0,0608

Kx e6

0 0 1,320

0,007 0,006 1,297

0,014 0,0211 0,0281 0,0351 0,0421 0,0491 0,0562 0,0632 0,072 0,012 0,018 0,024 0,03 0,036 0,042 0,048 0,054 0,0615 1,229 1,115 0,955 0,750 0,500 0,203 -0,139 -0,526

e7

1,320

1,293

1,212

1,077

0,888

0,645

P6

107

108

110

111

112

114

115

116

118

P7

107

106

104

103

102

100

99

98

96

P 6+P7 214 Suma Pe 282 MDS 118

214 277 117

214 261 113

214 234 108

214 197 100

214 150 90

214 92 77

214 23 63

214 -56 46

µα7

M(L+I) Esf. Sup. Esf. Inf. Esf. Adm Esf. Adm CUMPLE

13

0,348 -0,002 -0,407 119 119 -63 27

0

494 489 476 452 419 377 325 264 193 113 0 -1678 -1672 -1655 -1628 -1589 -1541 -1482 -1414 -1335 -1098 -719 284 274 252 214 164 102 24 -65 -166 -384 -865 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 -1400 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 si si si ≈si ≈si ≈si ≈si ≈si ≈si ≈si ≈si


De la tabla precedente se concluye que el máximo esfuerzo actuante a compresión, -1678 t/ m 2, es ligeramente mayor (168-140 = 28 kg/cm 2) que el máximo esfuerzo admisible a compresión, -0,40f´ c= -04*3500=-1400 t/m2, indicado por el CCDSP-95. Es de notar que de acuerdo con las Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismo Resistente NSR.98, el máximo esfuerzo admisible sobre el concreto a compresión y para cargas totales es igual a 0,60 f´ c (C.18.4). En consecuencia: -0,60 *3500 = -2100 /m2>-1678 t/m2. Ejemplo del cálculo de esfuerzos en la sección X= 8 en la tabla precedente. Esfuerzo a compresión en la fibra ubicada a 0,53 m por encima del eje centroidal de la sección compuesta (unión viga-losa).  s  1144 

(112  102) 1,159



(112 * 0,955  102 * 0,888) * 0,53 0,6539



(99,75  419) * 0,53 0,6539

 1589 t / m 2

Esfuerzo a tracción en la fibra inferior de la sección compuesta.  i  374 

(112  102) 1,159



(112 * 0,955  102 * 0,888) 0,4448



(99,75  419) 0,4448

 164 t / m 2

Gráficamente: m 0 2,

-185

2,32m -1144

220

-544

-579

160

-445

-420

m

-1589

3 ,5

,20m

m 7

(t/m2 ) 4,

m 1 5 ,0 1

m 9 ,1

,60m

-374

-185

SECCIÓN SIMPLE

-444 SECCIÓN COMPUESTA

1167

164 ESFUERZOS RESULTANTES

6.7 Diámetro del ducto. El área mínima del ducto de preesfuerzo debe ser 2,5 veces el área neta de los torones contenidos en el ducto. En consecuencia para un cable de 10 torones se tiene. Aducto  2,5 *10 * 0,987  24,68cm 2   ducto 

14

4 * 24,68 

 5,60cm  6 cm


Se toma un ducto metálico de 6 cm de diámetro. 7. Diseño a cortante.

7.1 Cálculo de la fuerza cortante en una sección a h/2 de la cara del apoyo. De acuerdo con el CCDSP-95, el cortante último máximo se puede calcular a una distancia igual a h/2 (h altura de la viga) de la cara del apoyo. (A.8.7.4.1.4). Para una altura de la sección compuesta igual a 2,2 m , h/2 es 1,10 m. El apoyo de la viga tiene una longitud de 0,50 m, en consecuencia la sección de interés está localizada a 1,6 m del borde de la viga. Gráficamente: 1,60m

m 0 2 , 2

VIGA

,50m

Vu

1,10m

ESTRIBO

Fuerza cortante en una sección a 1,6 m de la cara del apoyo, debida a: Al peso propio de la losa (1,67 t/m): V D 34,2  1,67 *1,6  31,5 t

Al peso propio la sección (1,58 t/m) V S 32,4  1,58 *1,6  30 t

A las cargas sobreimpuestas (0,56 t/m): V D S 11,48  0,56 *1,6  10,6 t

A la carga viva. Línea de carga: w  1,5 

41  28 300

 1,46 t / m : P  16 t

De la línea de influencia de la fuerza cortante en una sección a 1,6 m del apoyo se obtiene el siguiente valor para la fuerza cortante debida a la carga viva.

15


16 t 1,46 t/m

41,00m 0,960 1,60m 39,40m 0,040

V ( L I )  0,5 *1,198 *1,94(0,5 * 0,96 * 39,4 *1,46  16 * 0,960)  49,9 t

Fuerza cortante última. Grupo de carga I. Resistencia última. V u  1,331,5  30  10,6  1,67 * 49,9  202 t

La tabla siguiente resume la fuerza cortante última en secciones de la viga , tomadas arbitrariamente cada 2 m. El valor de V D incluye el peso propio de la viga y de la losa X(m) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18,9

FUERZA CORTANTE ÚLTIMA VD VDS V(L+I) 0 0 18 6,5 1,1 21 13 2,2 24 19,5 3,4 27 26 4,5 30 32,5 5,6 33 39 6,7 37 45,5 7,8 40 52 9,0 44 61,4 10,6 50

Vu 39 55 72 88 105 121 140 156 175 202

Resistencia al esfuerzo cortante suministrada por el concreto. De acuerdo con el CCDSP-95, la resistencia al corte V c provista por el concreto, debe ser el menor de los valores V ci o Vcw. 7.2. Cálculo de la fuerza cortante V ci resistida por el concreto ( falla por flexión y corte) La ecuaciones que permiten calcular el valor de la fuerza cortante V ci , resistida por el concreto, son: V ci  0,16 f ć bw d P  V d  16

V i M cr M max


d P  0,80h  0,8 * 2,2 1,76 m M cr 

I

1,6

Y t

I  0,6539 m

f ć  f Pe  f d



4

Y t  1,47 m

f Pe= Esfuerzo de compresión en el concreto debido solamente a las fuerzas efectivas de preesfuerzo después de ocurridas todas las pérdidas en la fibra extrema precomprimida. La tabla siguiente resume el cálculo del esfuerzo f Pe en la fibra extrema precomprimida en la sección bajo estudio (a 1,6 m de la cara de la viga). Se tomaron las fuerzas y las excentricidades de los cables en la sección x=18 m. (18 m ≈18,9 m )., referidas a la sección simple en etapa de servicio. 5

5



 P e

P i

f Pe 

i 1

1,159

1,47



i

i

i 1

0,6539

Cálculo del esfuerzo f Pe a 1,6 m del apoyo. CABLE P(t) e(m) Pe 1 114 0,803 91,54 2 101 0,533 53,83 3 116 0,263 30,51 4 99 -0,007 -0,69 5 117 -0,295 -34,52 SUMA 547 140,68 esf.inf( t/m 2) 788

f d= Esfuerzo debido a las cargas muertas sin mayorar, en la fibra extrema de la sección donde se causen esfuerzos de tensión por la aplicación de cargas externas (fibra extrema precomprimida) . Cargas muertas: peso propio de la viga más peso propio de la losa. Es decir: d  1,58  1.67  3,25 t / m

Momento en la sección a 1,6 m del eje del puente producido por las cargas muertas sin mayorar: M d  66,63 *1,6  1,625 *1,6 2  102 t .m 17


En consecuencia, el esfuerzo debido a las cargas muertas sin mayorar, en la fibra inferior y en la sección de interés (1,60 m) es: f d 

102 *1,47 0,6539

 230 t .m

Ecuación para el cálculo de f d en cualquier sección de la viga medido a partir del centro de la luz. : f d 

M dx 0,4448

(682,9  1,625 x ) 2



0,4448

Sustituyendo en la ecuación del momento de fisuración por flexión en la sección (1,6 m de la cara del apoyo) debido a las cargas aplicadas externamente M cr , se obtiene: M cr 

I

1,6 Y t

0,6539 f ć  f Pe  f d  1,6 350 *10  788  230 381 t .m 1,47







Cálculo de V d Vd = fuerza cortante en la sección debida a las cargas muertas sin mayorar. De los cálculos precedentes: V d  3,25 * 20,5  3,25 *1,6  61 t

Ecuación para el cálculo de V d en cualquier sección V d  66,63  3,25 x

Cálculo de V i: Fuerza de corte mayorada en la sección debida a las cargas aplicadas externamente y que ocurre simultáneamente con M max. Mmax= Momento máximo mayorado en la sección debido a las cargas aplicadas externamente. Las cargas aplicadas externamente son la carga muerta sobreimpuesta, 0,56 t/m y la carga viva debida a la línea de cargas, w= 1,46 t/m y P= 16 t. Para la mayoración de las cargas externas se emplea el método de la resistencia última y el grupo de cargas I. Fuerza cortante en la sección a 1,6 m de la cara del apoyo debida a la carga muerta sobreimpuesta: 18


V ds  0,56 * 20,5  0,56 *1,6  10,58 t

Fuerza cortante en la sección a 1,6 m de la cara del apoyo debida a la carga viva. De la línea de influencia de la fuerza cortante en una sección a 1,6 m del apoyo: V ( L  I )  0,5 *1,198 *1,94(0,5 * 0,96 * 39,4 *1,46  16 * 0,960)  49,9 t

En consecuencia: V i  1,310,58  1,67 * 49,9  122 t

Cálculo de Mmax Mmax = momento en la sección bajo estudio, proveniente de las cargas aplicadas externamente. M ds  11,48 *1,6  0,28 *1,6 2  17,65 t .m

De la línea de influencia del momento en la sección a 1,6 m de la cara del apoyo se obtiene el valor del momento producido por las cargas vivas. 12 t 1,44 t/m

41,00m

1,60m

39,40m

1,534

M ( L I )  0,5 *1,198 *1,940,5 * 41*1,534 *1,44  12 *1,534  74 t .m

Sustituyendo los valores numéricos calculados se obtiene el siguiente valor para el momento M max: M max  1,3(17,65  1,67 * 74)  183 t .m

El valor de la fuerza V ci , resistida por el concreto es : V ci  0,16 f ć bw d P  V d 

V i M cr M max

0,16 350 *10 * 0,20 *1,76  61 

122 * 381 183

 325 t

La tabla siguiente resume el cálculo de la fuerza cortante resistida por el concreto Vci , en secciones tomadas arbitrariamente cada 2 m, medidas desde el centro de la viga hacia los apoyos. 19


X(m) 0,16√f´ b 0 10,5 2 10,5 4 10,5 6 10,5 8 10,5 10 10,5 12 10,5 14 10,5 16 10,5 18,9 10,5 c

wdP

Vd 0,0 6,5 13,0 19,5 26,0 32,5 39,0 45,5 52,0 61,4

V ds V (L+I) 0,0 18 1,1 21 2,2 24 3,4 27 4,5 30 5,6 33 6,7 37 7,8 40 9,0 44 10,6 50

V i(t) 39 46 54 62 70 79 88 98 107 122

P(t) 787 752 753 754 755 756 757 758 759 547

Pe 800,0 791,0 762,0 712,0 643,0 554,0 445,0 315,0 165,0 140

f P e 2477 2427 2363 2251 2097 1898 1654 1362 1026 787

d(t/m

1535 1521 1477 1404 1301 1170 1009 819 600 230

2

4

) I(m ) 0,654 0,654 0,654 0,654 0,654 0,654 0,654 0,654 0,654 0,654

Yt (m) 1,47 1,47 1,47 1,47 1,47 1,47 1,47 1,47 1,47 1,47

Mcr 552 536 527 510 487 457 420 375 323 381

Mmax 1227 1215 1180 1121 1040 822,6 673,5 500,6 304,9 183,9

V ci(t) 28 37 48 58 69 87 104 129 176 325

7.3. Cálculo de la fuerza cortante resistida por el concreto V cw. Falla en el alma de la viga. La ecuación para el cálculo de la fuerza cortante resistida por el concreto V cw es: V cw  0,93 f ć  0,3 f Pc bw d P  V P 

Cálculo de f Pc.

f Pc es el esfuerzo en el centroide de la sección debido a la fuerza de preesfuerzo , una vez han ocurrido todas las pérdidas. 

Cálculo de Vp

VP es la componente vertical de la fuerza de preesfuerzo efectiva en la sección La tabla siguiente resume el cálculo de al fuerza cortante resistida por el concreto Vcw en secciones escogidas cada 2 m, a partir del centro de la viga La tabla siguiente resume el cálculo de la fuerza cortante V cw , resistida por el concreto, en secciones tomadas arbitrariamente cada 2 m .

20


DISEÑO A CORTANTE . CÁLCULO DE V cw

X(m) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18,9

P1 107 108 109 110 110 111 112 112 113 114

P2 107 107 106 105 104 104 103 102 101 101

P3 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116

P4 107 106 106 105 104 103 102 101 100 99

P5 107 108 110 111 112 113 114 115 116 117

P6 106 108 110 111 112 114 115 116 118 0

P7 107 106 104 103 102 100 99 98 96 0

α1

α2

α3

α4

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0022 0,0055 0,0089 0,0122 0,0044 0,0110 0,0177 0,0244 0,0066 0,0166 0,0266 0,0366 0,0088 0,0221 0,0354 0,0487 0,0109 0,0276 0,0443 0,0609 0,0131 0,0331 0,0531 0,0731 0,0153 0,0386 0,0620 0,0853 0,0175 0,0442 0,0708 0,0975 0,0207 0,0522 0,0837 0,1151

α5

0,0000 0,0148 0,0295 0,0443 0,0590 0,0738 0,0885 0,1033 0,1180 0,1394

α6

α7

0,0000 0,0000 0,0228 0,0270 0,0456 0,0540 0,0684 0,0810 0,0912 0,1080 0,1140 0,1349 0,1367 0,1619 0,1595 0,1889 0,1823 0,2159 0 0

V P 0,93√fc 0 174 10 174 20 174 30 174 40 174 50 174 60 174 70 174 80 174 45 174

Ejemplo del calculo de V cw en la sección x = 18,9 m , es decir a 1,6 m de la cara del apoyo. 

Cálculo de f Pc.

f Pc es el esfuerzo en el centroide de la sección debido a la fuerza de preesfuerzo , una vez han ocurrido todas las pérdidas. f P c  

114  101  116  99  117 1,159

 472 t / m 2

Cálculo de Vp

VP es la componente vertical de la fuerza de preesfuerzo efectiva en la sección En la tabla siguiente se resume el cálculo de la componente vertical de la fuerza de preesfuerzo en la sección. Nuevamente se toman de manera aproximada las fuerzas de preesfuerzo, una vez descontadas las pérdidas en la sección X= 18 m. ( y no en x= 18,9 m) CABLE 1 2 3 4 5 SUMA

P(t) 114 101 116 99 117 547

Ejemplo del cálculo de V P. Cable 1. Ecuación del cable: 21

tan α≈α 0,0207 0,0522 0,0837 0,1151 0,1394

Pα 2,36 5,27 9,70 11,40 16,31 45

f Pc 645 648 651 651 651 653 654 654 655 472

V cw 129 140 150 160 170 180 190 201 211 156


y1  0,000547 x 2  0,07  tan    y´ x18m 2 * 0,000547 *18,9  0,0207

La componente vertical de la fuerza de preesfuerzo del cable 1 es: V P 1  P 1 tan  1  114 * 0,0207  2,36 t 

De la misma manera se procede con los cables restantes Resultante horizontal de la fuerza de preesfuerzo: 547 t Resultante vertical de la fuerza de preesfuerzo: 42,9 t Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación de V wc, se obtiene:









V cw  0,93 f ć  0,3 f Pc bw d P  V P  0,93*10 350  0,3 * 472 0,20 *1,76  42,9  154 t

Representación gráfica de las fuerza actuantes sobre el concreto en la sección a 1,6 m del apoyo. (No incluye la fuerza cortante resistida por el concreto). 18,59t 1,70 t/m 3,81 t/m

1,60m

Vu= 202 t

VP= 42,9 t

Ru

CARGA MUERTA: 3,81 t/m CARGA VIVA: W= 0,5*1,46*1,198*1,94=1,70 t/m P = 0,5*16*1,198*1,94=18,59 t

Comparando: Vci ( 311 t ) > V cw ( 154 t). En consecuencia se toma la fuerza cortante resistida por el concreto en la sección a 1,6 m del apoyo, igual a 193 t. 

V s 

Fuerza cortante resistida por el acero: V u 0,85

 V cw 

202 0,85

 154  84 t

La ecuación para el cálculo de V s es: V s 

Av f y d P S

Se toman estribos # 4 ( A v= 1,27 cm 2) con dos ramas . Por consiguiente la separación S de los estribos es: 22


S 

2 *1,27 *10

4

* 42000 *1,76

84

 0,22 m

S toma conservadoramente un estribo # 4 c/0,20 m, en una longitud de 2 m, desde la cara del apoyo. Separación máxima de los estribos: 0,75h = 0,75*2,2= 1,65 m ó 0,60 m. Se toma una separación máxima entre estribos igual a 0,60 m Gráficamente: 0,8

S1 4# 4,L=6m

No se indica la armadura de la losa

5 0, 1

,2 0

0 0 2. 2. 0 /

A48# 4 c/0,20 L= 5,62 m C

,2 4 2 # 0 1

m 0

3, 3 =

5 1 3 A

+

/ m 4 A

4

8

5

6,

2 # L

=

c 2 ,1 2

L

0,2 P34#4 L=3,15m

0,54 0,6

Nótese el incremento de resistencia al esfuerzo cortante que significa la introducción fuerzas de preesfuerzo en la sección. Efectivamente si la viga en estudio fuera en concreto reforzado, el concreto de la misma estaría en capacidad de resistir una fuerza cortante igual a: V c  0,53 f ć bw d P  0,53 350 *10 * 0,20 *1,76  34,9 t  154 t

La tabla siguiente muestra la separación de los estribos # 4 , en secciones tomadas arbitrariamente cada 2 m.

23


X(m) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18,9

Vci 24 34 45 56 67 84 101 125 169 324

SEPARACIÓN DE LOS ESTRIBOS V cw Vu Vs 129 39 22 140 55 31 150 72 40 160 88 48 170 105 57 180 121 58 190 140 64 201 156 59 211 175 37 154 202 84

S(m) 0,86 0,61 0,47 0,40 0,33 0,32 0,29 0,32 0,51 0,22

Notas: 

Para la determinación de la separación S de los estribos, se toma el menor valor entre Vci y Vcw , en cada sección.



En la zona de la viga para x= 16 se presenta la máxima componente vertical de la fuerza de preesfuerzo de los cables 6 y 7. En consecuencia la separación entre estribos aumenta.

Área mínima de los estribos. Av ,min 

3,5bw S f y

 S max 

2 *1,27 * 4200 3,5 * 20

 152 cm

Límite de Vs V s  2,1 f ć bw d P  2,1 350 * 20 *176  138291 kg  138 t

Espaciamiento de los estribos reducido a la mitad. V s  1,05 f ć bw d P  1,05 350 * 20 *176  69146 kg  69,1 t 8. ÁNGULO DE SALIDA DE LOS CABLES

Derivada de la ecuación de la trayectoria de los cables. Ecuación de los cables: y  kx 2 

24

dy dx

 y´ tan     2kx


Sustituyendo los valores numéricos en cada una de las ecuaciones de los cinco cables del primer tensionamiento, se obtiene el siguiente ángulo de salida y1´ 2 * 0,000547293 x  0,0010946 * 20  0,02243    ar tan(0,02243)  1 17´ 

y 2 ´ 2 * 0,001380131 x  0,002760262 * 20,5  0,05658    3 14´ 

y3 ´ 2 * 0,00221297 x  0,00442594 * 20,5  0,0907317    5 11´ 

y 4 ` 2 * 0,00304581 x  0,124878    7 07` 

y5 ´ 2 * 0,003878 x  0,1590    9 02` 

2,00m

1,50m m 0 ,1

13º25¨

12º03¨

7

9º02¨

6 5

7º07¨

4

5º11¨

3 3º14¨

2

1º17¨

1 2,00m

,50m

1,00m

1,00m

ÁNGULO DE SALIDA DE LOS CABLES

9. LONGITUD DE LOS CABLES ENTRE APOYOS

Le ecuación de la longitud de una parábola de la forma: y 

a b

2

x 2

Es igual a: L 

b2  a

 

2a  b

 2a  4a 2   1  0,5 LN   1   b  b b  

4a 2

Gráficamente: y

y=kx

a

x

25

b

2


La tabla siguiente resume la longitud entre anclajes de los siete cables de tensionamiento. LONGITUD DE LOS CABLES ENTRE ANCLAJES

CABLE 1 2 3 4 5 6 7

a(m) 0,23 0,58 0,93 1,28 1,63 1,95 1,95

b(m) 20,5 20,5 20,5 20,5 20,5 18,5 17

L(m) 41 41,02 41,06 41,11 41,16 37,27 34,3

10. ALARGAMIENTO DE LOS CABLES

La fórmula para el cálculo del alargamiento de los cables es:  L 

PL E sP A sP

Para un cable de 10 torones de 0,5 pulg, y para un módulo de elasticidad del acero de preesfuerzo igual a 2.000.000 kg/cm2, se obtiene: E sP A sP  10 * 0,987 * 2.000.000  19.740.000 kg  19.740 t

Para el cálculo de los alargamientos se toma la fuerza efectiva P durante la transferencia en el centro de la luz,. ALARGAMIENTO DE LOS CABLES

CABLE 1 2 3 4 5 6

P(t) 126 126 126 126 126 106

L(m) 41 41,02 41,06 41,11 41,17 37,27

EA(t) 19740 19740 19740 19740 19740 19740

ΔL(m)

0,2617 0,2618 0,2621 0,2624 0,2628 0,2001

Un cálculo más detallado del alargamiento de los cables de tensionamiento requiere considerar la variación de la fuerza de preesfuerzo a lo largo de la luz así como el acortamiento del concreto, tal como se muestra a continuación (cálculos referidos al cable 1). y1  0,000547 x  0, 07  tan     0,001094 x 2

  kx  0,25 * 0,001094 x  0,003 x  0,0032735 x 26


Ecuación para el cálculo de P x del centro de la luz al anclaje activo Px  126 e 0,0032735 x

Ecuación para el cálculo de P x del centro de la luz al anclaje pasivo

Px  126e

 0,0032735 x

FUERZA EFECTIVA. CABLE 1 0 4 8 12 16 20,5 0 0,0131 0,0262 0,0393 0,0524 0,0671

x(m) uα+kx e (uα+kx) Px(t)

1 126

1,0132 1,0265 1,0401 1,0538 1,0694 128 129 131 133 135

e -(uα+kx) Px(t)

1 126

0,987 0,9742 0,9615 0,949 0,9351 125 123 122 120 118

Gráficamente: P(t) 137 135 133 131 129 127 125 123 121 119 117 115

126

20,5

16

12

4

8

0

4

x

8

12

16

20,5

L(m)

x

Ecuación para el cálculo del alargamiento del cable de tensionamiento. L  1 1   L         P x dx E A E A E A E A sP sP c c  0 c c  sP sP 0 0 L

P x dx

L

P x dx

Cálculo de la integral mediante la regla de Simpson: Nota: se supone en los cálculos siguientes que 4 m es el intervalo para la integración numérica.

27


S Pef. SPef. SUMA 41

 P dx  x

0

x 3

1 135 135 3789

4 133 532

* 3789 

4 3

2 131 262

4 129 516

2 128 256

4 126 504

2 125 250

4 123 492

2 122 244

4 120 480

1 118 118

* 3789  5052

Para un módulo de elasticidad del concreto igual a: E c  12500 f ć  12500 315  221852 kg / cm2

Se obtiene:   1 1  L    5052  0,259 m  0,288 m 7 4 2218520 * 0 , 695 2 * 10 * 9 , 87 * 10  

Como se puede apreciar, la diferencia de resultados es mínima. 11. Perdida por penetración de cuña.

Dato: penetración de cuña= 6 mm. Cálculos referidos al cables1 (compuesto por 10 torones de 0,5 pulg de diámetro) W 

 Lc E sP AsP  p

W  Distancia desde el anclaje móvil hasta el punto en que la fuerza de rozamiento por penetración de cuña es cero.  P  2pW  Pérdida de fuerza de preesfuerzo entre dos puntos de la viga.

 Lc  Penetració n de cuña.

Para el cable 1, de 10 torones de 0,5 pulg de diámetro, se tiene: Fuerza en el anclaje = 135 t. Fuerza de preesfuerzo a una distancia igual a 4,5 m del apoyo =133 t.  p 

135  133 4,5

 0,444 t / m

Si se supone que el módulo de elasticidad del acero de preesfuerzo es 2*10 7 t/m2 , se tiene un longitud W igual a: W 

6 *10 3 * 2 *10 7 *10 * 0,987 *10 4 0,444

 16,33 m

Por consiguiente la pérdida de fuerza de preesfuerzo en el anclaje, debida a la penetración de cuña es igual a: 28


 P  2pW  2 * 0,444 *16,33  14,50 m.

Gráficamente: P(t)

P=14,5 t

137 135 133 131 129 127 125 123 120,5 119 117 115 20,5

16,33m

127,75 126

16

12

4

8

0

4

x

8

12

16

20,5

L(m)

x

Fuerza efectiva en el cable 1 una vez descontada la pérdida por penetración de cuña x  16 m  P 1  120,5  x  12 m  P 1  120,5  x  8 m  P 1  120,5 

7,25 16,33 7,25 16,33

7,25 16,33

* 4,5  122,5 t * 8,5  124,3 t

*12,5  126 t

En la tabla siguiente se resume el cálculo de la pérdida por penetración de cuña para los cables de primer tensionamiento. PÉRDIDA POR PENETRACIÓN DE CUÑA

CABLE Panclaje(t) P,X=4,5m Δp(t) W(m) ΔP(t) 1 135 133 0,444 16,33 14,52 2 136 134 0,444 16,33 14,52 3 138 135 0,667 13,32 17,76 4 139 136 0,667 13,32 17,76 5 140 137 0,667 13,32 17,76

x=20,5 x=16m x=12m 120,48 122,5 124,4 121,48 123,5 125,25 120,24 123,2 125,9 121,24 124,2 126,9 122,24 125,2 127,9

x=8 x=4 126,2 no infuye 127 no infuye 128,6 131,2 129,6 132,2 130,6 133,2

Verificación de los esfuerzos en la sección simple, sometida a la fuerza de preesfuerzo más su peso propio, incluyendo las pérdidas por corrimiento en el anclaje. 29


ESTADO DE ESFUERZOS EN EL CONCRETO INFLUENCIA DEL CORRIMIENTO EN EL ANCLAJE

Caso de carga : fuerza de pree sfuerzo más peso propio de la viga Primer tensio namiento : 50 torones en 5 cables con 10 torones cada uno Fuerza en e l centro de la luz = 632 t X se mide de l centro de la luz a los apoyos Los cables 1,3 y 5 se tensionan desde un mismo e xtremo Los cables 2 y 4 se tensionan desde el otro extremo Peso propio d e la sección simple : 1,67 t/m Corrimiento en e l anclaje= 6 mm X(m) 0 4 8 12 16 20,5 2 A (m ) 0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 Ws 0,3637895 0,3637895 0,3637895 0,3637895 0,3637895 0,3637895 Wi 0,3291429 0,3291429 0,3291429 0,3291429 0,3291429 0,3291429 µα1 0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,006 µα2

0,000

0,003

0,006

0,008

0,011

0,014

µα3

0,000

0,004

0,009

0,013

0,018

0,023

µα4

0,000

0,006

0,012

0,018

0,024

0,031

µα5

Kx P1

0,000 0 126

0,008 0,012 128

0,016 0,024 126,20

0,023 0,036 124,40

0,031 0,048 122,50

0,040 0,0615 120,48

P2

126

125

123

121

119

117

P3

126

131,20

128,60

125,90

123,20

120,24

P4

126

124

122

120

118

115

P5

126

133,20

130,60

127,90

125,20

122,24

e1

0,980

0,971

0,945

0,901

0,840

0,750

e2

0,980

0,958

0,892

0,781

0,627

0,400

e3

0,980

0,945

0,838

0,661

0,413

0,050

e4

0,980

0,931

0,785

0,541

0,200

-0,300

e5 Suma Pe Suma P MD(t.m) Esf. Sup. Esf. Inf. Esf. Adm. CUMPLE

0,900 609 632 351 -199 -1694 -1733 ≈SI

0,841 595 641 338 -214 -1705 -1733 ≈SI

0,664 519 630 298 -298 -1579 -1733 SI

0,369 402 619 231 -420 -1410 -1733 SI

-0,044 246 608 137 -574 -1206 -1733 SI

-0,650 29 595 0 -777 -945 -1733 SI

12. Cuadro de tensionamiento de la viga 30


CUADRO DE TENSIONAMIENTO CABLE

TORONES

TENSIÓN EN F =0,5 pulg EL GATO (t)

TENSIÓN EN LONGITUD ENTRE EL CENTRO DE LA LUZ (t) ANCLAJES(m)

ALARGAMIENTO (cm)

ORDEN DE TENSIONAMIENTO

O

1

T

1

10

135

107

41,00

26,17

10

136

107

41,02

26,18

2

10

138

107

41,06

26,21

3

N EI M

2 3

A N OI S N E T R

4

10

26,24

139

107

41,11 41,17

26,28

37,29

20,00

E

4 MI R P

5

10

140

107

6

10

118

107

7

10

119

107

34,32 18,42

5 A N

OI

O

G

N EI

6

O

7

N U S S

E

D

T N E T M

TENSIONAMIENTO EFECTIVO EN EL CENTRO DE LA LUZ=29636 tm/VIGA LONGITUD DE TORONES DE 0,5 PULG(ENTRE ANCLAJES)=2770 m/VIGA TENSIONAMIENTO EFECTIVO POR TORÓN=10,7 t TENSIONAR LAS VIGAS DESDE UN EXTREMO

Cálculo del tensionamiento efectivo en el centro de la luz. (Después de descontadas todas las pérdidas) T . E .  107 * (41  41,02  41,06  41,1  41,17  37,29  34,32)  29636 t

Cálculo del número de torones de 0,5 pulg de diámetro por cable de 10 torones: No. torones.  10 * (41  41,02  41,06  41,1  41,17  37,29  34,32)  2770 m / viga 13. Momento último de la sección.

Del grupo de cargas I, método de la resistencia última: M u  1,3 M D  1,67M ( L I )

Sustituyendo los valores numéricos: M D  683  118  801 t .m M (l  I )  495 t .m M u  1,3801 1,67  495  2116 t .m

31


El momento resistente para secciones rectangulares viene dado por las siguientes ecuaciones: A Ps  70 * 0,987  69,09 cm2 

d 

7 * 40  15 * 30 70

 Ps 

A Ps b w d P

 10,43 cm  d P  2,20  0,1043  2,10 m

69,09



232 * 210

 0,00142

Para acero de baja relajación debe tomarse:  P  0,28

Igualmente:  1  0,85 

f ć 280 70

* 0,05  0,85 

350  280 70

* 0,05  0,80

  f   f Ps  f Pu 1  ( P )( P Pu )  f ć   1 



f Ps  18900 1  (



a

A Ps f Ps 0,85 f ć b



0,28 0,00142 *18900  )( )  18393 kg / cm2 0,80 350  69,09 *18393

0,85 * 350 * 232

 18,41 cm 

La sección se comporta como rectangular. En consecuencia: a  18,41    M u    A Ps f Ps (d P  )   0,90 69,09 *18393(210  )   229648264 kg .cm  2296 t .m 2  2   

El momento último resistente Mu= 2296 t.m es mayor que el momento último actuante 2116 t.m. En consecuencia el diseño es satisfactorio. 14. verificación del acero mínimo .

De acuerdo con el CCDSP-95, la cantidad total de acero de preesforzado y no preesforzado debe ser la adecuada para desarrollar un momento último en la sección crítica de por lo menos 1,2 veces el momento e agrietamiento M* cr .Es decir: M u  1,2M *cr

32


M *cr  ( f r  f pe )S c  M d / nc ( S c / S b  1)

M d/nc = Momento por carga muerta sobre la sección simple. M d / nc 

1,67 * 412 8

 351 t .m

2 f r= Módulo de rotura del concreto en kg/cm . Para concreto de peso normal:

f r  2,0 350  2,0 350  37 kg / cm2

f pe = Esfuerzo de compresión en el concreto debido solamente a las fuerzas efectivas de preesfuerzo después de ocurridas todas las pérdidas en la fibra extrema precomprimida. Para pérdidas en etapa de servicio iguales al 15 % , se tiene el siguiente esfuerzo en la fibra extrema precomprimida, resultado de sumar los esfuerzos en la sección simple más los esfuerzos en la sección compuesta. f pe 

0,85 * 5 *126 0,695



4 * 0,85 *126 * 0,98 *1,05

2 * 0,85 *126 *1,32 *1,47 0,6539

0,3456



1* 0,85 *126 * 0,90 *1,05 0,3456



2 * 0,85 *126 1,159

 771  1276  293  185  636  3161 t / m2

Sc= Módulo de sección compuesta en la fibra extrema precomprimida. S c 

0,6539 1,47

 0,4448 m3

Sb= Módulo de sección simple en la fibra extrema precomprimida. S b 

0,3456 1,05

 0,3291 m3

Sustituyendo los valores numéricos en M*cr , se obtiene:  0,4448

  1  1038 t .m   0,3291 

M *cr  (370  3161)0,3291  351

2296 t .m  1,2 *1038  1246 t .m

La sección cumple con los requisitos de acero mínimo. 14. revisión de los límites de ductilidad.

33




De acuerdo con el CCDSP-95, los elementos de concreto preesforzado deben diseñarse para que el acero y el concreto fluyan en condiciones de capacidad última. En general el índice de refuerzo en secciones rectangulares debe cumplir la siguiente relación:  P f Ps f ć

 0,36  1

De acuerdo con los cálculos precedentes: 0,00142 *18393 350

 0,074  0,36 * 0,80  0,288

La sección cumple con los requisitos de ductilidad. 15. Longitud de apoyo de la viga.

La longitud mínima de apoyo para puentes (A.3.5.9.3) con categoría de comportamiento sísmico C es: N  30,5  0,25 L  1,00 H

Donde: H= Altura promedio, en m, de las columnas o pilas que soportan el tablero hasta la siguiente junta de expansión. H es cero para puentes de una luz. L=Para puentes de una luz, L es la longitud del tablero. N  30,5  0,25 * 41  40,75 cm  50 cm

El diseño es satisfactorio. 16. avalúo de las pérdidas de fuerza de preesfuerzo.

De acuerdo con el Código Colombiano de Diseño Sísmico de puentes -1995, las pérdidas de fuerza de preesfuerzo se calculan de acurdo con la siguiente ecuación:  f s  SH  ES  CRc  CR s

 f s  s pérdida total excluyendo la fricción, kg/cm 2

16.1. Pérdida por retracción de fraguado del concreto SH , kg/cm2. 34


SH  Pérdidas debidas a la retración de fraguado, kg/cm

2

Para miembros postensados: SH  0,80(1190  10,5RH ) RH  Media anual de la humedad relativa del ambiente, en porcentaje

Se supone una humedad relativa del 75 % en el sitio de emplazamiento del puente. En estas condiciones: SH  0,80(1190  10,5 * 75)  322kgc 2

16.2. Pérdida por acortamiento elástico ES, kg/cm 2. Para miembros postensados: ES  E s=

0,5 E s f cir E ci

Módulo de elasticidad del acero de postensado. Se puede suponer 2000000 kg/cm2.

E ci =

Modulo de elasticidad el concreto en el momento de la transferencia , el cul

se puede calcular así: E ci  0,14( wc )1,5

f ć i

E ci  0,14(2400)1,5 280  275438 kg / cm2 f cir  E sfuerzo en el concreto en el centro de gravedad del acero de preesfuerzo debido a la fuerza

de preesfuerzo y a la carga muerta de la viga inmediatam ente después de la transferencia.

Distancia del eje centroidal de la sección simple al punto de aplicación de la resultante de fuerza de preesfuerzo: 1,05-0,10=0,95 m Cálculos referidos a la sección simple. f cir 

5 *126 0,695



5 *126 * 0,95 0,3456

2



351* 0,95 0,3456

 1587 t / m 2  158,7 kg / cm2

Obsérvese que los esfuerzos debidos al preesfuerzo y la carga muerta tienen signos contrarios. No se tuvo en cuenta la pérdida por acortamiento elástico ES 

0,5 * 2 *10 6 *158,7 275438

 576 kg / cm 2

16.3. Pérdida por flujo plástico del concreto, CRc , en kg/cm 2. 35


CRc  12 f cir  7 f cds f cds  E sfuerzo en el concreto en el centro de gravedad del acero de preesfuerzo debido a todas las cargas muertas exceptuand o la carga muerta presente en el momento en que se aplica la fuerza de preesfuerzo.

Intervienen en el cálculo de f cds la carga muerta debida al peso de la losa (1,58 t/m) más las cargas sobreimpuestas (0,56 t/m). Cálculos referidos a la sección compuesta. Distancia del eje centroidal de la sección compuesta al punto de aplicación de la resultante de fuerza de preesfuerzo: 1,47-0,10=1,37m f cds 

(332  118)1,37 0,6539

 943 t / m 2  94,3 kg / cm2

CRc  12 *158,7  7 * 94,3  1244 kgcm

2

16.4. Pérdida debida a la relajación del acero de preesforzado, CR s , en kg/cm2. Para miembros postensados y torones de baja relajación: CR s  350  0,07 FR  0,1 ES  0,05(SH  CRc ) FR =Reducción

en el esfuerzo por la pérdida por fricción en kg/cm 2, por debajo del

nivel de 0,70 f pu en el punto en consideración. En este ejemplo se supone que FR es cero. CR s  350  0,1* 576  0,05(322  1244)  214 kg / cm2

Resumen de pérdidas. Retracción de fraguado:

322 kg/cm2

Acortamiento elástico:

576 kg/cm 2

Flujo plástico del concreto: 1244 kg/cm2 Relajación del acero:

214 kg/cm2

SUMA

2356 kg/cm2.

Pérdida de fuerza de preesfuerzo referida a un cable de 10 torones:  P  10 * 0,987 * 2356  23253 kg  23,25 t

Fuerza en el centro de la luz en el instante de la transferencia: 126 t. Fuerza en el centro de la luz una vez han ocurrido las pérdidas que se presentan durante la vida útil del puente: 126-23,25 =102,75 t En porcentaje: 36


 P % 

23,25 126

*100  18,45%

El diseño se considera satisfactorio ya que existe una diferencia de tan sólo el 3,45 % entre el valor supuesto (15 %) de las pérdidas de fuerza de preesfuerzo y el valor calculado (18,45%). 17. cálculo de deflexiones

17.1 deflexiones en la sección simple. 17.1.1 Deflexión debida al preesfuerzo Coeficiente de rigidez E cIc de la sección simple Módulo de elasticidad del concreto para una resistencia del concreto, en el instante de la transferencia, igual a 315 kg/cm2. E c  12500 315  221852 kg / cm2  2218520 t / m 2 E c I c  2218520 * 0,3456  766724 t .m 2

Constantes que intervienen en el cálculo de la deflexión producida por la fuerza de preesfuerzo en el centro de la luz de una viga simplemente apoyada.

P e1

P ?

f

?

EJE CENTROIDAL

e2

e1

CABLE DE PREESFUERZO

L/2

L/2 W 8Pf Pcos? W= L2

Pcos?

?W ? W= L/2

L/2

L/2

L/2 CÁLCULO DE DEFLEXIONES

37

M=Pe

?M

M=Pe

5WL4 384EI

? M=

ML 2 8EI


Deflexión en el centro de la luz debida a una carga uniformemente repartida w: 5wL4

 w 

384 E c I c

Deflexión debida al momento M.  M 

8 ML2

; M  Pe

E c I c

Ejemplo del cálculo de la deflexión debida al cable 1. Se toma la fuerza en el centro de la luz, durante la transferencia: P 1  126 t

Efecto de la carga equivalente w

8 Pf L2



8 *126 * 0,23 412

 0,138 t / m

La deflexión debida a la fuerza de preesfuerzo en el cable 1 es igual a: 4

 W 1

5WL

4

5 * 0,138 * 41    0,0073 m  384 EI 348 * 766724

Efecto de la excentricidad sobre apoyo: Sobre los apoyos el cable 1 presenta una excentricidad, por debajo del eje centroidal, igual a: 1,05-0,30 = 0,75 m L a deflexión debida a la excentricidad sobre apoyo del cable 1 es:  M 1

ML2

126 * 0,75 * 412    0,0259 m  8 EI 8 * 766724

Por consiguiente, la deflexión total debida al cable de preesfuerzo 1 es igual a:  W 1   M 1  0,0073  0,0259  0,0332 m 

La tabla siguiente resume las cálculos necesarios para determinar la carga equivalente w (t/m), uniformemente repartida, que el preesfuerzo produce sobre el concreto, así como la excentricidad e (m) de los cables de preesfuerzo sobre apoyo y el momento flector correspondiente que estos producen. Convención: son positivas las deflexiones hacia arriba.

38


CABLE 1 2 3 4 5

P(t) f(m) 126 0,23 126 0,58 126 0,93 126 1,28 126 1,55 SUMA

e(m) W(t/m) M=Pe (t.m) 0,75 0,138 94,5 0,4 0,348 50,4 0,05 0,558 6,3 -0,3 0,768 -37,8 -0,65 0,929 -81,9 2,740 31,5

La deflexión en el centro de la luz, en la sección simple, debida a la fuerza total de preesfuerzo es igual a:  P 

5 * 2,74 * 414 384 * 766724



31,5 * 412 8 * 766724

 0,14 m 

17.1.2 Deflexión en el centro de la luz, debida al peso propio de la sección simple (D=1,67 t/m), más el peso de la losa (1,58 t/m), cuando el concreto de esta última no ha fraguado:  D 

5 * (1,67  1,58) * 414 384 * 766720

 0,155 m 

Contraflecha en el centro de la luz:   0,155  0,14  0,015 m  1,5 cm 

17.1.3 Deflexión en el centro de la luz debida a la carga viva. Coeficiente de rigidez para la sección compuesta: ( I= 0,6539 m 4) E c I c  10 *12500 350 * 0,6539  1529169 t .m 2

Deflexión debida a la línea de carga (incluye impacto y factor de rueda) w  1,198 *1,94 * 0,5 *1,44  1,67 t / m P  1,198 *1,94 * 0,5 *12  13,94 t

 (l  I ) 

5 *1,67 * 414 384 *1529169



13,94 * 413 48 *1529169

 0,053 m  5,3 cm 

Valor máximo admisible de deformación por carga viva:  max 

L 800



4100 800

 5,1 cm  5,3 cm

La deflexión por carga viva es menor que la máxima deflexión admisible, por consiguiente el diseño es satisfactorio. 18. 39

Detalles constructivos


A311+11#4C/0.20 L =3,35m

P22+2+2+2#4, L=4,00m

A2 7+7+7#4C/0.09 L= 1,93 m A4 11# 5 c/.15 A5 10# 5 c/.15 P24#4, L=4,00m

P34#4, L=3,15m A5 10# 5 c/.15 A4 8# 4 c/.20 ESTRIBOS

P13#4

E3 #3

0,15

E3 #3,L=1,89 m

4 #

0,75

4

1, 0

+ 4

0 ,4 7

1 P

E1 #4 4 #

,1 2

7 +

E2#3 L=1,34m

7 1 5

P

,1 0

E2 #3

7 3 , 0

2 3 , 0

,1 0

P14#4

0,5

E1 #4,L=5,1m ARMADURA PASIVA CENTRO DE LA LUZ ESC:1_____20

40

0,3


A120+20+20# c/.10 L= 054m 5 ,1

9 0

.0 0/ C

m 7

# ,9 7 =

4

A4 8# 4 c/.20

3 1 +

L 7

+

0,05

2 A 5 ,1

3 mallas .10*.09 0

A3 10+10#4C/0.20.L =3,35m 0,35 1, 0 2

1,91

A3 20#4C/0.20.L =3,28m

DETALLE DE LA ARMADURA SOBRE APOYO

2 , 0

2 , 0

5 , 0

0,05

5 1 , 0

2 , 1

2

5 2 , 0 2 , 0

0,12

5 1 , 0 3 , 0 5 1 , 0

41

1,95

1

2

1 2 , 0 5

0,12

2 , 2 0 , 0

BLOQUE DE ANCLAJE DIMENSIONES

Manual Diseo de La Viga Postensada

Recommend Documents