MODUL 4
Beberapa Teknik untuk Menganalisis Rangkaian (Lanjutan) 3-3
Analisis Mesh (Mesh Analysis) Cara analisis simpul yang diterapkan di dalam bab terdahulu adalah sangat
umum dan selalu dapat digunakan pada setiap jaringan listrik. Ini bukanlah satusatunya metode agar kita bisa mengatakan hal yang serupa. Khususnya, kita akan menemui metode analisis simpul umum dan cara yang dinamai analisis loop pada bagian penutup bab ini. Pertama, kita akan meninjau sebuah metode yang dinamai analisis mesh (mesh analysis). Walapun cara ini tidak dapat dipakai setiap jaringan, teknik ini dapat diterapkan pada sebagian besar jaringan yang perlu kita analisis, dan barangkali digunakan lebih sering dari semestinya, karena terkadang metode lain lebih sederhana. Analisis mesin dapat dipakai hanya pada jaringan-jaringan yang terletak dalam satu bidang, sebuah istilah yang akan kita definiskan sekarang. Jika mungkin menggambar diagram sebuah rangkaian pada sebuah permukaan bidang sedemikian rupa sehingga tak ada cabang yang melalui di atas di bawah cabang lain, maka rangkaian tersebut dinamai rangkaian sebidang (planar circuit). Di dalam bab kedua, istilah-istilah jalan (path), jalan tertutup , dan loop telah didefinisikan. Mesh adalah sifat rangkaian sebidang dan tidak didefinisikan untuk rangkaian tak sebidang. Kita definisikan mesh sebagai loop yang tidak mengandung loop lain di dalamnya. Bilamana mesh itu telah digambar dengan baik dalam bentuk bidang, biasanya mesh tersebut mempunyai penampilan seperti jendela multi-kaca; setiap kaca pada jendela itu dapat dianggap sebagai mesh. Jika sebuah jaringan adalah sebidang, maka analisis mesh dapat digunakan untuk menyelesaikan analisisnya. Cara ini melibatkan konsep arus mesh, yang akan kita perkenalkan dengan meninjau analisis rangkaian yang mempunyai dua mesh Gambar 3-6. Seperti telah kita lakukan dalam rangkaian berloop tunggal, maka kita mulai dengan memperhatikan sebuah arus yang melalui salah satu cabang. Arus yang mengalir ke kanan melalui tahanan 6
Ω,
kita namai i 1. Kita bermaksud menggunakan
hukum tegangan Kirchoff sekeliling setiap mesh, dan kedua persamaan yang dihasilkan adalah cukup untuk menentukan kedua arus yang tak diketahui. Maka kita
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK
1
pilih arus kedua i 2 yang mengalir ke kanan melalui tahanan 4
Ω.
Kita dapat juga
menamai arus yang mengalir ke bawah melalui cabang sentral i 3, tetapi jelaslah dari hukum arus Kirchoff bahwa i 3 dapat dinyatakan dalam kedua arus yang telah kita misalkan sebelumnya sebagai ( i 1- i 2). Arus yang dimisalkan tersebut diperlihatkan di dalam Gambar 3-7. i1
i2
6Ω 42 V
+ -
6Ω
4Ω 3Ω
i2
+ -
42 V
+
10 V
dalam
sebuah
i1
dan
rangkaian
i1
i2
3Ω
(i1 – i2)
Gambar 3-6: Dua arus,
4Ω
+
i2,
Gambar 3-7: Arus mesh menurut arah
yang
perputaran jarum jam ditetapkan pada
mempunyai dua mesh.
10 V
setiap mesh dari rangkaian sebidang.
Dengan mengikuti metode pemecahan yang rangkaian berloop tunggal, kita sekarang menggunakan hukum tegangan Kirchoff pada mesh yang kiri, -42 + 6i 1 + 3(i 1 – i 2) = 0 atau
9i 1 – 3i 2 = 42
dan kemudian pada mesh sebelah kanan, -3(i 1-i 2) + 4i 2 – 10 = 0 atau
-3i 1 + 7i 2 = 10 Persamaan-persamaan tersebut adalah persamaan-persamaan yang berdiri
sendiri; yang satu tidak dapat diturunkan dari yang lain. Ada dua persamaan dan dua yang tak diketahui, dan pemecahaannya mudah didapatkan; i 2 adalah 6 A, i 2 adalah 4 A, dan ( i 1 – i 2)adalah 2 A. Hubungan tegangan dan tenaga boleh didapat dengan cepat jika diinginkan. Jika seandainya rangkaian kita mengandung mesh yang banyaknya M maka kita harus menganggap ada M arus arus cabang dan menulis sebanyak M persamaan bebas. Pemecahan pada umumnya bisa didapat secara sistematis melalui penggunaan determinan. Kita tinjau sekarang soal yang sama dengan cara yang sedikit berbeda dengan menggunakan arus mesh. Kita definisikan sebuah arus mesh sebagai sebuah arus yang mengalir hanya di sekitar perimeter sebuah mesh. Jika tidak tandai mesh kiri dari soal kita sebagai mesh 1, maka kita dapat menentukan arus
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK
2
mesh i 1 yang mengalir menurut perputaran jarum jam sekeliling mesh ini. Sebuah arus mesh dinyatakan dengan sebuah panah lengkung yang hampir menutupi dirinya sendiri dan digambarkan di dalam mesh yang sesuai, seperti diperlihatkan pada Gambar 3-7. Arus mesh i 2 dihasilkan di dalam mesh yang satu lagi, dan searah dengan perputaran jarum jam. Walaupun arah itu sembarang, namun kita akan selalu memilih arus-arus mesh searah dengan peputaran jarum jam karena pilihan ini mengakibatkan simetri yang meminimalkan kesalahan dalam persamaan-persamaan tersebut. Kita tidak lagi mempunyai arus atau panah arus yang diperlihatkan langsung pada setiap cabang rangkaian. Arus melalui setiap cabang harus ditentukan dengan meninjau arus-arus mesh yang mengalir dalam tiap-tiap mesh di mana cabang tersebut muncul. Ini tidak sukar karena jelaslah bahwa tidak ada cabang yang dapat muncul di dalam lebih dari dua mesh. Misalnya, tahanan 3- Ω yang muncul di dalam kedua mesh, dan arus yang mengalir ke bawah melaluinya adalah ( i 1 – i 2). Tahanan 6-Ω muncul hanya di dalam mesh 1, dan arus yang mengalir ke kanan di dalam cabang tersebut adalah sama dengan arus m esh i 1. Sebuah arus mesh seringkali dapat diidentifikasi sebagai sebuah arus cabang seperti i 1 dan i 2 diidentifikasi di atas. Hal ini tidak selalu benar, karena peninjauan sebuah jaringan persegi yang mempunyai sembilan mesh segera memperlihatkan bahwa arus mesh sentral tidak dapat diidentifikasi sebagai arus di dalam suatu cabang. Salah satu terbesar dalam penggunaan arus mesh adalah kenyataan bahwa hukum arus Kirchhoff secara otomatis dipenuhi. Jika sebuah arus mesh mengalir kedalam sebuah simpul, maka jelaslah bahwa arus itu mengalir keluar dari simpul itu juga. Maka kita dapat mengalihkan perhatian kita kepada pemakaian hukum tegangan Kirchoff pada setiap mesh. Untuk mesh kiri − 42 + 6i1 + 3(i1 − i 2 ) =
0
sedangkan untuk mesh kanan
3(i2
− i1 ) +
4i2
− 10 =
0
dan kedua persamaan ini sama dengan yang didapat sebelumnya.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK
3
1Ω
2Ω
i2
3Ω 7V
+ -
i1
7A 1Ω
i3
2Ω
Gambar 3-8: Analisis mesh digunakan pada rangkaian ini yang mengandung sebuah sumber arus dengan menuliskan persamaan hukum tegangan Kirchoff di sekitar loop: 7 V, 1Ω, 3 Ω, 1Ω. Sekarang kita tinjau jaringan yang diperlihatkan dalam Gambar 3-8, di mana sebuah sumber arus bebas 7 A berada pada batas bersama dari dua mesh. Arusarus mesh i 1, i 2, dan i 3 ditentukan, dan sumber arus menyebabkan kita mencipkan mesh super yang bagian dalamnya adalah mesh 1 dan 3. Dengan menggunakan hukum tegangan Kirchoff di sekitar loop ini, − 7 + 1(i1 − i2 ) + 3(i3 − i 2 ) + 1i3 =
atau
i1 − 4i 2 + 4i3 =
0
7
(1)
dan di sekitar mesh 2,
1(i2
− i1 ) + 2i 2 + 3(i2 − i3 ) = − i1 + 6i2 − 3i3 =
atau
0
0
(2)
Akhirnya, arus sumber dihubungkan dengan arus mesh yang dimisalkan tersebut: i1 − i3 =
7
(3)
Dengan memecahkan (1), (2) dan (3), kita dapat
i3 =
−1
6
0
1
−4
7
1
0
7
−1
6
−3
1
−4
4
1
0
−1
=
28 14
=
2A
Kita dapat bahwa i 1 = 9 A dan i 2 = 2,5 A
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK
4
Marilah kita rangkum metode yang kita gunakan untuk mendapatkan seperangkat persamaan mesh untuk rangkaian resistif (rangkaian tahanan) : 1. Pastikan bahwa jaringan adalah sebidang. Jika tidak sebidang, maka analisis mesh tidak dapat dipakai. 2. Buat diagram rangkaian yang rapih dan sederhana. Tunjukkan harga semua elemen dan sumber. Harga tahanan lebih disukai daripada harga konduktansi. Setiap sumber harus mempunyai simbol referensinya. 3. Dengan menganggap bahwa rangkaian mempunyai M mesh, tentukan arus mesh searah dengan perputaran jarum jam dalam setiap mesh, i 1, i 2, … , i M . 4. Jika rangkaian hanya mengandung sumber tegangan, gunakan hukum tegangan Kirchoff mengelilingi setiap mesh, samakan jumlah semua tegangan tahanan jika rangkaian hanya mempunyai sumber tegangan bebas, samakan jumlah semua tegangan tahanan di dalam arah jarum jam, dengan semua berlawanan dengan arah jarum jam, dan aturlah suku-suku tersebut, dari i 1, ke i M. Untuk setiap variabel i 1, i 2, … , i M , jika belum berada dalam bentuk tersebut. 5. Jika rangkaian mengandung sumber-sumber arus, ciptakan sebuah mesh super untuk tiap sumber arus yang merupakan sekutu dari dua mesh dengan jalan menerapkan hukum tegangan Kirchoff mengelilingi loop yang lebih besar yang dibentuk oleh cabang-cabang yang bukan sekutu terhadap kedua mesh; hukum tegangan Kirchoff tidak perlu dipakai pada mesh yang berisi sumber arus yang terletak pada keliling rangkaian seluruhnya. Hubungkanlah setiap arus sumber kepada variabel-variabel i 1, i 2, … , i M , jika belum di dalam bentuk tersebut.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK
5
Soal Contoh 3-2
Dengan mempergunakan analisis mesh carilah nilai dari arus-arus mesh i 1, i 2 dan i 3 dalam rangkaian yang mengandung lima simpul, tujuh cabang dan tiga mesh pada Gambar 3-9.
1Ω
3Ω
+ −
7V
2Ω
i2
i1
+ −
6V
1Ω
i3
2Ω Gambar 3-9: Lihat Contoh soal 3-2.
Jawab Kita dapat langsung mempergunakan hukum tegangan Kirchhoff (KVL) pada setiap mesh dikarenakan tidak terdapat sumber arus pada rangkaian dan akan diperoleh : N
pada mesh i 1,
∑υ
n
=
0
n =1
− 7 + 1(i1 − i2 ) + 6 +
− i3 ) =
0
− 7 + 6 + 3i1 − i 2 − 2i3 =
0
3i1
2(i1
− i2 − 2i3 = 1
K (i )
N
pada mesh i 2,
∑υ
n
=
0
n =1
(1 + 3 + 2)i2
− i1 − 3i3 =
0
− i1 + 6i2 − 3i3 =
0
K (ii)
N
pada mesh i 3,
∑υ
n
=
0
n =1
− 6 + ( 2 + 3 + 1)i3 − 2i1 − 3i 2 = − 2i1 − 3i 2 + 6i3 =
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
0
6
K (iii )
Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK
6
kita susun lagi persamaaannya,
3i1
− i 2 − 2i3 = 1
− i1 + 6i 2 − 3i3 =
0
− 2i1 − 3i2 + 6i3 =
6
K (i ) K (ii ) K (iii )
dan dengan kaidah Cramer menghasilkan perumusan untuk i 1:
i1 =
i2 =
i3 =
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
1
−1
−2
0
6
−3
6
−3
6
3
−1
−2
−1
6
−3
−2
−3
6
3
1
−2
−1
0
−3
−2
6
6
3
−1
−2
−1
6
−3
−2
−3
6
3
−1
1
−1
6
0
−2
−3
6
3
−1
−2
−1
6
−3
−2
−3
6
=
=
=
117
=
39
78 39
=
117 39
3 A
2 A
=
3 A
Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK
7
3-3
Carilah nilai arus dalam rangkaian berikut yang diperlihatkan pada Gambar 310 dengan mempergunakan analisis mesh.
1Ω
2Ω
i2
3Ω +
i1
15 A
1 9
υ x
υ x
−
i3
1Ω
2Ω Gambar 3-10: Lihat Contoh Soal 3-3.
Jawab Dikarenakan pada mesh 1 dan 3 terdapat sumber arus bebas dan tak bebas yang menghalangi kita mempergunakan KVL pada mesh tersebut maka kita alihkan perhatian pada mesh 2, dan dengan mempergunakan hukum N
tegangan Kirchhoff pada mesh i 2,
∑υ
n
=
0
n =1
− 1i1 − 3i3 =
0
− i1 + 6i 2 − 3i3 =
0
6i2
K (i )
sedangkan pada mesh 1 dan 3 kita pergunakan difinisi sumber arus i1 = 15 A
K (ii ) i3 − i1 = = =
3(i3
9 1 9 1 3
υ x
⋅ 3 ⋅ (i3 − i2 )
(i3
− i2 )
− i1 ) = i3 − i2
− 3i1 − i3 + i2 =
0
− 3i1 + i2 + 2i3 =
0
3i3
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
1
K (iii )
Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK
8
dengan mensubstitusi nilai i 1 = 15 A ke persamaan i dan ii akan didapat
(i ) K
− i1 + 6i2 − 3i3 =
0
− 15 + 6i2 − 3i3 =
0
6i2 (iii ) K
K (iv )
− 3i3 = 15
− 3i1 + i 2 + 2i3 =
0
− 3(15) + i 2 + 2i3 =
0
− 45 + i 2 +
2i3
=
i 2 + 2i3 =
0
K ( v)
45
untuk mendapatkan nilai i 2 kita bisa mempergunakan metode eliminasi
(iv ) K
6i2
− 3i3 = 15 × 2
i2 + 2i3 =
45
12i2 3i 2
×3
− 6i3 =
30
+ 6i3 = 135
15i2
+
= 165
i2 = 11 A
dan terakhir kita bisa mensubstitusikan nilai i 2 = 11 ke persamaan iv untuk mendapatkan nilai i 3,
(iv ) K
6i2
− 3i3 = 15
6 ⋅ 11 − 3 ⋅ i3
= 15
i3 =
66 − 15 3
= 17 A
Soal Latihan 2. Gunakanlah analisis mesh dalam rangkaian pada Gambar 3-11 untuk mencari harga-harga arus mesh. 1Ω
1Ω 3A
1V
+ −
i1
i2
− +
3V
1Ω 1A 1Ω
i3
1Ω
i4
1Ω
2A 5V + − Gambar 3-11: Lihat Latihan Soal 2.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK
9
3. Gunakan analisis mesh dalam rangkaian yang terlihat pada Gambar 3-12 untuk mencari daya yang diberikan oleh batere 4 V.
+
υ2
200 Ω
− 600 Ω
5 mA
400 Ω
500 Ω 1 k Ω 4V
υ 2
400
Gambar 3-12: Lihat Latihan Soal 3.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK
10
