MATEMATIKA WAJIB KELAS 10 Aturan Sinus Dan Cosinus

MATEMATIKA WAJIB KELAS 10 TRIGONOMETRI III ATURAN SINUS DAN COSINUS  

Rumus – rumus Segitiga 1) Aturan Sinus. Pada setiap segitiga ABC berlaku aturan sinus:

C

a

a

b

sin sin  A

 A

c

b

 =

sin sin  B

 =

c sin sin C 

B

Bukti: C

a

C b

a

D

D

b

c  A

E

B

E

 A

c Gambar (i)

B

Gambar (ii)

Dari gambar (i). Dalam Δ AEC, sin A = CE  atau CE = b sin A ……….(1)  AC 

Dari gambar (ii). Dalam Δ BEC, sin B =

CE 

atau CE = a sin B ……….(2)

 BC 

Dari (1) dan (2): a sin B = b sin A a sin sin  B

sin sin  A sin sin  B

 =

(masing-masing (masing-m asing ruas dibagi sinA . sinB)

b sin sin  A

a

, maka

sin sin  A sin sin  B

sin sin  A

 =

 BD

Dari gambar (i). Dalam Δ ABD, sin A =

b sin sin  B

……………………(3)

atau BD = c sin A …………(4)

 AB  BD

Dari gambar (ii). Dalam Δ CDB, sin C =

atau BD = a sin C …………(5)

 BC 

Dari (4) dan (5): c sin A = a sin C sin  A c sin sin sin  A sin sin C 

 =

(masing-masing (masing-m asing ruas dibagi sinA. sinC)

sin C  a sin sin sin  A sin sin C 

,

maka a

Dari (3) dan (6) di peroleh:

sin sin  A

c sin sin C  b

 =

sin sin  B

 =

a

sin sin  A

……………………..(6)

c

 =

sin sin C 

 Aturan sinus sinus digunakan digunakan jika diketahui diketahui 3 unsur yang yang secara berurutan, berurutan, yaitu: 1. sisi – sudut – sudut (s, sd, sd) 2. sisi – sisi – sudut (s, s, sd) 3. sudut  – sisi – sudut ( sd, s, sd ) CONTOH.  CONTOH.  Dalam Δ ABC, dengan c = 35 cm,
a

sin sin  A

c

 =

a=

sin sin C 

sin  A c sin

 =

sin sin C 

(35) sin sin 47 0 sin sin 98 0

 = 25, 8 cm

*) < B = 180 0 – (470 + 980) = 350 b sin sin  B

b=

 =

c sin sin C 

sin  B c sin sin sin C 

 =

(35) si sin n 35 0 si sin n 98 0

 = 20, 3 cm

Jadi, panjang sisi a = 25,8 cm dan b = 20, 3 cm CONTOH.  CONTOH.  Pada Δ ABC, diketahui panjang sisi AB = 10 cm, sisi AC = 12 cm dan sin B = 4 . Tentukan nilai cos C. 5

Penyelesaian: Panjang sisi AB = c = 10 cm, panjang sisi AC = b = 12 cm, sin B =

4 5

Dengan aturan sinus:

b sin sin  B 12 4/5

 =

 =

c

sin sin C  10 sin sin C 

1

sin C =

4 5

(10)

8

 =

12

=

3

12

2

2

2

Identitas trigonometri: sin  C + cos  C = 1 ( 2 )2 + cos 2 C = 1 3

cos2C = 1 – 1

cos c =

4

=5

9

9

5

3

2) Aturan Kosinus.

Pada setiap Δ ABC berlaku rumus kosinus: a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A cos A = b

2

c



2



a

C

2

2bc

b2 = a2 + c2 – 2 ac cos B

atau

cos B =

a

2



c

2

b

b

a

2

2ac

c2 = a2 + b2 – 2 ab cos C

cos C =

a

2



b

2



c

2

Bukti. Gambar (i)

C b

 A

x

a c-x

D c

Gambar (ii)

c

 A

2ab

C D

Pada gambar (i) Δ ABC lancip dan CD ┴  AB Misalkan AD = x, maka BD = c  – x Pada Δ ADC; CD2 = b2 – x2 ……………………………………(1) Pada Δ BDC; CD 2 = a2 – ( c – x )2 = a2 – c2 + 2cx – x2 ………..(2) Dari (1) dan (2): b 2 – x2 = a2 – c2 + 2cx – x2 b2 = a2 – c2 + 2cx atau a2 = b2 + c2 – 2cx ………………………..(3)

Dalam Δ ADC; cos A =

 x

a

b

B

B

 A

c

B

x = b cos A ……………...(4)

b

Dari (3) dan (4); a 2 = b2 + c2 – 2bc cos A Jadi, a2 = b2 + c2 – 2bc cos A. Dengan cara yang serupa, dapat kita buktikan pula bahwa: b2 = a2 + c2 – 2 ac cos B c2 = a2 + b2 – 2 ab cos C  Aturan kosinus di gunakan jika diketahui 3 unsur secara berurutan yaitu: 1. sisi – sisi – sisi ( s, s, s ) 2. sudut – sudut – sudut ( sd, sd, sd ) 3. sisi – sudut – sisi (s, sd, s) Dan aturan kosinus di atas berlaku juga untuk segitumpul seperti Gambar (ii) CONTOH. Diketahui Δ ABC dengan panjang AC = 4 cm, AB = 5 cm, dan
= 49 a = 49  = 7 cm. 

Luas Segitiga 1. Luas segitiga jika diketahui alas dan tingginya  Apabila pada sebuah segitiga diketahui alas dan tingginya, maka luas segitiga tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus: L = 1 a.t keterangan: a = alas; t = tinggi t

2

a

2. Luas segitiga jika diketahui dua sisi dan sudut apit dua sisi tersebut (s, sd, s)  Apabila pada sebuah segitiga diketahui dua sisi dan satu sudut yang diapit oleh ke dua sisi itu, maka luas segitiga tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus:

2

C b

L=

1

a.b.sin C

2

a

L=

1

a.c.sin B

2

 A

L=

B

c

1

b.c.sin A

2

CONTOH.  Sebuah Δ ABC, panjang sisi a = 16 cm dan panjang sisi b = 24 cm, serta
=

1

. 16 . 24 .( 1

2

2

2

)

B

450

 A

= 96 2  cm2 3. Luas segitiga jika diketahui dua sudut dan satu sisi  Apabila pada sebuah segitiga, dua sudut dan satu sisi yang terletak di antara ke dua sudut, maka luas segitiga itu dapat di tentukan dengan rumus: C

L=

2

sin  B sin C  2 sin  A

2

a

b

a

L=

b si n A si n C  2 si n B

L=

c sin  A si n B 2 si n C 

2

 A

B

c

CONTOH. Diketahui Δ ABC dengan

Jadi, L ΔABC =

b sin  A si n C  2 sin  B 2

= 180  – ( 25  + 45  ) 0

0

0

=

= 1800 – 700

=

0

15 sin 25 sin 45 0

2 sin 110

152 0, 4226. 12 2 2( 0,939)

0

= 110 = 35,802 cm 2 4. Luas segitiga jika diketahui panjang ketiga sisinya  Apabila ketiga sisi sebuah segitiga diketahui, maka luas segitiga itu dapat ditentukan dengan menggunakan rumus: L= Dengan s =

1

 s( s  a)( s  b)( s  c)

(a +b + c)

2

CONTOH. Sebuah Δ ABC diketahui panjang sisi -sisinya, masing-masing AB 4 cm, AC = 5 cm, dan BC = 7 cm. tentukan luas segitiga tersebut! Penyelesaian: s= 1(4+5+7)=8 2

L=

8(8  4)(8  5)(8  7)  =

8.4.3.1  =

2.4.4.3.1  =

Jadi luas segitiga tersebut adalah 4 5. Luas segi banyak ( segi  – n ) beraturan Rumus luas segi  – n beraturan: L=

n

 r 2 sin

2

4

6

 cm2

6

0

360 n

Keterangan: n = benyaknya segi r = jarak pusat segi-n terhadap titik sudut pada lingkaran CONTOH. Hitunglah luas segi  – 8 beraturan jika titik-titik sudutnya terletak pada lingkaran berjari-jari 16 cm Penyelesaian: n = 8, r = 16 cm L=

n

 r 2 sin

2

0

360 n

 =

8

.162 . sin

2

0

360

 = 4 (256) ( 1

8

sin  A

sin  B

) = 512

2

 cm2

2

Jadi, luas segitiga tersebut adalah 512 b. Rangkuman * Pada setiap segitiga berlaku aturan sinus c b a  =  =

2

2

2

 cm

* Luas segitiga jika diketahui dua sudut dan satu sisi.

sin C 

3

2

* Pada setiap segitiga berlaku aturan kosinus

L=

a sin  B sin C 

2 sin  A 2

a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A

L=

b si n A si n C  2 si n B

b2 = a2 + c2 – 2 ac cos B

L=

c si n A si n B 2 si n C 

2

c2 = a2 + b2 – 2 ab cos C * Luas segitiga jika diketahui dua sisi dan sudut apit dua sisi tersebut L=

1

* Luas segitiga jika diketahui panjang ketiga sisinya.

a.b.sin C

L=

1

 s( s  a)( s  b)( s  c)

L=

2

* Luas segi banyak (segi  – n) beraturan

a.c.sin B

2

L=

1

b.c.sin A

L=

n

 r 2 sin

2

2

0

360 n

LATIHAN SOAL: Pada gambar disamping nilai a adalah …  A. 6 C. 11

1. 2

a

60

0

B.

3 P

2. Q

450

D.

7

E.

14

E.

2

13

Pada gambar disamping PQ : PR = … 300

 A. 1: 2 B. 2 : 1

R

C. 3 : 1 D. 1 : 3

:

3

3. Apabila pada segitiga ABC terdapat hubungan a 2 = b2 + c2 – bc, maka besar sudut A adalah …  A. 450 B. 600 C. 900 D. 1200 E. 150 0 4. Jika a, b, dan c berturut-turut adalah sisi-sisi suatu segitiga dengan luas 28 cm 2, a = 8 cm, b= 7 cm,

maka besar sudut antara sisi a dan b adalah …

 A. 300 B. 450 C. 600 D. 900 E. 120 0 5. Sebuah segitiga ABC dengan panjang sisi-sisinya masing-masing 12 cm, 14 cm, dan 10 cm, maka

luas segitiga tersebut adalah …  A. 16

2

B. 16

3

 

C.16

6

D. 24

3

E. 24

6

4