MATLAB - DESFASE

PRÁCTICA 1: Introducción a Matlab

1.1

PRÁCTICA 1: Introducción a Matlab 1.1 Introducción MATLAB es un paquete de software que proporciona un entorno potente y amigable para cálculo y simulación. El entorno de programación ofrece operaciones matemáticas básicas más una serie de procedimientos operacionales (conocidos como como funciones). La programación en MATLAB permite realizar de forma directa diversas tareas que requieren cierta complejidad computacional. Las herramientas de programación abarcan operaciones matemáticas básicas básicas y también un gran conjunto de procedimientos computacionales que se diseñan para tareas específicas. Así, el usuario tiene la opción de desarrollar un programa a medida o de llamar a cualquiera de las funciones de propósito especial que residen en los ficheros de MATLAB. Además, un potente procesador gráfico permite visualizaciones visualizac iones de alta calidad de las variables en diversos formatos. Programando en MATLAB, cada cada variable se supone que es una matriz matriz y no existe ningún requisito para el dimensionamiento y declaración de variables. Las dimensiones de la matriz se definen mediante una lista explícita de elementos o por reglas que se aplican a las operaciones matemáticas. Las sentencias de MATLAB están típicamente en el formato general de variable=expresión (o simplemente expresión), y se devuelve una variable variable como respuesta a una interpretación de MATLAB de la evaluación de la expresión. Un ejemplo simple es: y = 10*sin(pi/6)

El resultado devuelto es un escalar (matriz de 1 por 1) con un valor de 5,0. además el usuario podrá insertar la variable de salida y en cualquier sentencia que siga. Es útil considerar una expresión que se puede utilizar para generar un vector que describa el tiempo (una variable independiente). Con un cálculo numérico, el tiempo debe expresarse en pasos discretos; por lo tanto, se considera un vector fila con valores numéricos del tiempo que aumentan desde 0 a 4 con un tamaño de paso fijo de 0,02. El procedimiento más simple que generará este vector es una sentencia que expresa: t =0 : 0.02 : 4

Escuela Politécnica Superior de la Rábida

Prácticas de Dinámica de Sistemas, Curso 2005 / 2006


1.2

El resultado es una variable matricial t con una fila y 201 columnas. Si el tamaño del paso se omite el valor por defecto es la unidad. No se requieren los paréntesis para generar un vector fila; sin embargo, si los paréntesis derechos van seguidos por apóstrofe la matriz se transpone y el vector de tiempos de transforma en un vector columna. t = (0 : 0.02 : 4)’ Operaciones con matrices

Las matriciales con filas múltiples se pueden especificar colocando un punto y coma, que indica el comienzo de una nueva fila o comenzando la nueva fila en la línea siguiente. Una sentencia tal como a = [12 40 8 4; 10 2 16 36; 2 7 5 4]]

producirá una matriz con tres filas y cuatro columnas. Los elementos de la matriz se identifican mediante el número de fila y columna; así, una sentencia que especifica: a(1,2)= 30 cambiará 40 por 30. Si se desea crear una matriz con los valores la primera fila, puede utilizarse la sentencia: = a(1,:) g = Si por el contrario se desea que que g contenga todas las filas y solo las tres primeras columnas columnas la sentencia a utilizar es: = a( : , 1:3) g = Las expresiones que contienen matrices deben, por supuesto, seguir las reglas del álgebra matricial. Si se obtiene un mensaje de error debido a matrices con dimensiones no acordes, el usuario puede comprobar rápidamente las dimensiones de una variable (tal como a) escribiendo size(a). La respuesta se presenta con el número de filas seguido por el número de columnas. Todos los elementos de una variable se pueden borrar borrar utilizando la orden clear a, o se pueden borrar todas las variables escribiendo simplemente clear .




1.3

Las operaciones matriciales incluyen el símbolo de apóstrofe para trasponer y los símbolos +, -, * y ^ para la suma, resta, multiplicación y elevar a una potencia. La expresión inv(a) producirá la inversa de la matriz a. Si dos matrices tienen las mismas dimensiones, puede ser útil una operación de arrays. La operación de array designada ocurre solamente entre elementos con números de filas y columnas idénticas, es dedcir operan elemento a elemento, creando así una nueva matriz de igual dimensión. Un símbolo de operación de array se designa colocando un punto justamente antes del símbolo que se aplica a la operación matricial. Por ejemplo: t = 0 : 0.05 : 6: y = (4*t).*(exp(-2*t)); Como los factores 4*t y exp(-2*t) se generan ambos como matrices columnas (121 por 1), la generación de r con una única sentencia requiere la aplicación de una multiplicación de arrays. El cálculo tal como se describe crea otra matriz columna (121 por 1) con los valores deseados para los elementos. Ayuda en Línea

Se puede obtener una ayuda en línea escribiendo help, seguido por el nombre de la función o del tema. Las instrucciones para aplicar ciertos procedimientos, tales como la construcción de lazos for , lazos while y condiciones if, else se pueden encontrar escribiendo help seguido de for , while o if , respectivamente.

1.2 Prácticas resueltas Práctica

1. Considere la siguiente matriz: &11 $ 21 A = $ $31 $ % 41

12 22 32 42

13 23 33 43

14 # 24!! 34 ! ! 44"

Se pide: a) Introducir la matriz A. b) Obtener los valores de la primera columna. Escuela Politécnica Superior de la Rábida



1.4

c) Obtener los valores de la segunda fila. d) Obtener los valores de la segunda y la tercera columna. e) Obtener la diagonal de A. f) Obtener una matriz de 2x2 donde todos lo elementos sean 1. g) Obtener una matriz unidad de orden 2x2. Se trata de diferenciar el uso de funciones orientadas al elemento de las orientadas a operar con la matriz: Práctica 2.

a) Entrar la siguiente matriz: &0 A = $π $% 6

π # π !

2 !"

b) Encontrar la matriz transpuesta de A c) Encontrar los autovalores y autovectores de A d) Calcular la matriz columna resultante de multiplicar elemento a elemento B y C &1# B = $1! y C = [2 3 4] $! $%1!" Práctica 3. Para

cada una de las funciones indicadas, escriba un script que permita obtener su valor para cualquier valor de t. Realice una representación de cada una de ellas para un amplio rango de valores de t . a) y(t )= 2 · t

b) u(t )

1 para t > 0 0 ara t < 0




1.5

c) f (t ) = u(t -2)· y(t ) Práctica 4.-

El propósito del siguiente problema es practicar algunas capacidades gráficas de MATLAB: a) Dibujar las siguientes funciones expresadas en coordenadas polares para 0 < θ < 2· π i.- r = 3· (1-cosθ ) ‘cardiode’ ii.- r = cos( 3·θ ) ‘rosa de tres hojas’ b) Obtener el gráfico tridimensional de la función z para el siguiente rango -5 < x <5, -5 < y <5 z =

1 1.5 − 2 2 ( x + 1) + ( y + 1) + 1 ( x − 1) + ( y − 1)2 + 1 2

1.3 Soluciones Práctica 1

a) >> A=[11 12 13 14;21 22 23 24;31 32 33 34;41 42 43 44] A =

b) >>

11

12

13

14

21

22

23

24

31

32

33

34

41

42

43

4

A(:,1)

ans = 11 21 31 41




1.6

c) >> A(2,:) ans = 21

22

23

24

d) >> A(:,2:3) ans = 12

13

22

23

32

33

42

4

e) >> diag(A) ans = 11 22 33 44 f) >> ones(2,2) ans = 1

1

1

1

g) >> eye(2) ans = 1

0

0

1




1.7

Práctica 2

a) >> A=[0 pi; pi/6 pi/2] A = 0

3.1416

0.5236 1.5708 >> B2=cos(A) B2 = 1.0000 -1.0000

0.8660 0.0000

b) c) >> [M,L] = eig(A)

% Autovectores (columnas de M) y autovalores (diagonal de L)

M = -0.9748 -0.8082 0.2230 -0.5889 L = -0.7185 0

0

2.2893

d) >>B.*C' ans = 2 3 4




1.8

Práctica 3

a) fichero recta.m: function [salida]=recta(t) salida= t;

comandos desde la consola de MATLAB » t=-5:0.001:5; » y=2*recta(t); » plot(t,y); 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

0

1

2

3

4

5

b) fichero escalon.m: function [salida]=escalon(t) m=length(t); salida=zeros(1,m); for i =1:m; if t(i)<0 salida(i)=0; else salida(i)=1; end end

comandos desde la consola de MATLAB » u=escalon(t); » plot(t,u) 3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1 -5


-4

-3

-2

-1

2

3

4

5



1.9

c) En primer lugar hay que obtener la función u(t -2). Representando dicha función junto a y(t ) queda claro que u(t -2) representa un escalón desfasado 2 unidades: » u=escalon(t-2); » plot(t,y,t,u,'r') 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

la función se obtiene multiplincando ambas funciones, es decir, multiplicando u e y elemento a elemento: » f=y.*u; » plot(t,f) 10

5

0

-5 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Práctica 4

a) i) >> THETA=0:0.1:2*pi >> RHO=3*(1-cos(THETA)) >> polar(THETA,RHO)




1.10

ii) >> RHO=cos(3*THETA) >> polar(THETA,RHO)

b) >> x=-5:0.1:5;y=x;[X,Y]=meshgrid(x,y); >> z=(1./((X+1).^2+(Y+1).^2+1))-(1.5./((X-1).^2+(Y-1).^2+1)); >> mesh(z)



PRÁCTICA 2: FUNCIONES DE TRANFERENCIA

2.1

PRÁCTICA 2: FUNCIONES DE TRANFERENCIA 2.1 INTRODUCCIÓN Esta práctica está dedicada al modelado de sistemas mediante la función de transferencia, la cual se obtiene directamente de las ecuaciones diferenciales que definen el sistema.Una vez obtenida, es posible trabajar sobre ella con el entorno que proporcionan MATALAB y la herramientas Simulink. Trabajar con funciones de transferencia es bastante parecido a hacerlo con modelos de estado, tal y como se ha visto en las prácticas anteriores. Simplemente debemos conocer el bloque referido a funciones de transferencia. Este módulo se encuentra en la librería Continuous y se llama Transfer Fcn . La forma de este bloque una vez colocado en simulink es la siguiente:

Los parámetros a configurar en este bloque son los siguientes: Coeficientes del numerador y Coeficientes del denominador. Ambos datos han de escribirse en forma matricial, escribiéndose de mayor a menor grado de derecha a izquierda, ver figura 2.1

fi gura 2.1Configur ación de un bloque para una f unci ón de tranferencia




2.2

Con los parámetros mostrados anteriormente quedaría la función de transferencia anterior. El numerador sería “1” y el denominador sería “s+1”. Por otra parte, MATLAB también ofrece la posibilidad de realizar tareas de modelado y manipulación de funciones de transferencia desde el interfaz de comandos. Para asociar un sistema con una función de transferencia se utiliza la sentencia tf . Por ejemplo, el siguiente código crea un sistema llamado sis, al que se le asocia la función de transferencia :

5 s + 20 s 2 + 4 s + 20 Los coeficientes del numerador se encuentran en la matriz n y los coeficientes del denominador se encuentran en la matriz d . n=[0 5 20]; %Vector fila para definir coeficientes del numerador d=[1 4 20]; %Vector fila para definir coeficientes del denominador sis = tf(n,d); En ocasiones, puede ser útil especificar la función de transferencia por los polos y ceros que lo componen. En este caso se utiliza la sentencia zpk. Por ejemplo, el siguiente código asocia el sistema sis con la función de transferencia:

5( s + 4) ( s + 2)( s − 2) z = [-4]; % Matriz de ceros p = [-2 2]; %Matriz de polos k=5 %Valor de la ganancia sis=zpk(z,p,k) Aunque la conversión entre los dos formatos no es una tarea difícil con funciones de transferencia simples, el cambio puede llegar a ser tedioso con funciones de elevado orden y la consideración de raíces complejas. Las órdenes de conversión en MATLAB son tf2zp (función de transferencia a ceros y polos) o zp2t (ceros y polos a función transferencia). Por ejemplo, el siguiente programa convierte la primera función de transferencia a la nueva forma:




2.3

5( s + 4) ( s + 2 − 4 j )( s + 2 + 4 j ) n=[0 5 20]; %Vector fila para definir coeficientes del numerador d=[1 4 20]; %Vector fila para definir coeficientes del denominador [z, p, k] = tf2zp(n,d) %Convertir a formato polo-cero Como resultado se obtiene la matriz z que contiene los ceros del sitema, y la matriz d que contiene los polos del sistema. Si lo que se desea es establecer los ceros y polos del sistema y obtener la función de transferencia como cociente de polinomios en s, puede utilizarse el siguiente código: k = 5; %Definir el factor de ganancia z = -4; %Especificar el cero p = [-2+j*4 –2-4*j]’; %Vector columna para definir los polos [n, d] = zp2tf (z, p, k) %Convertir a una razón de polinomios Observe que el apóstrofo (que sigue al vector p) traspone el vector. Aunque la notación utilizada para identificar los diferentes datos (n, d, p, etc) es arbitraria, la secuencia en la cual de introducen los datos en cada orden de conversión debe corresponder a un formato que es específico de la función. El siguiente programa describe un modelo de estado, obtiene una función de transferencia equivalente y a continuación lo convierte otra vez a un modelo de estado en forma canónica de control a = [0 1 0; -4 –2 4; -1 0 0]; %Definir la matriz A b = [0 4 1]’ ; %Definir la matriz B c = [1/2 0 0]; %Definir la matriz C d = 0; %Definir la matriz D [n, d] = ss2tf (a, b, c, d) %Convertir el modelo de estado en F.T. [aa,bb,cc,dd]=tf2ss(n,d) %Convertir F.T. a modelo de estado Observe que la conversión de una función de transferencia en un modelo de estado no proporciona una solución única y la orden tf2ss produce una solución que es una variación de la forma canónica de control, donde las variables de estado se relacionan en orden inverso.




2.4

Para el estudio de la respuesta temporal de los sistemas definidos mediante funciones de transferencia, MATLAB utiliza los mismos comandos que para el caso de los modelos de estado: step, impulse, initial. Adicionalmente, MATALAB incorpora una serie de funciones que permiten el análisis de sistemas modelados mediante funciones de transferencia: El comando bode(sis) dibuja los diagramas de bode del sistema. •

El comando evalfr(sis, j*w ) Genera el valor de G(jw) en formato parte real y parte imaginaria.

•

El comando pole(sis) devuelve los polos del sistema.

•

El comand tzero(sis) devuelve los ceros del sistema

•

El comando pzmap(sis) muestra en pantalla el diagrama de polos y ceros del sistema.

•

El comando rlocus(sis) calcula los polos del sistema como el que se muestra en la figura, cuando k varía entre 0 e infinito.

SIS

k

fi gura 2.2

•

El comando rlocfind(sys) permite obtener el valor que hay que darle a la ganamcia k para que el sistema tenga unos determinados polos. Esto se consigue pinchando con el raton sobre la figura obtenida con el comando rlocus(sis).

Para más información referencia [4].

sobre estos comandos consulte la información en línea o la




2.5

2.2 PRÁCTICA RESUELTA Considerando el siguiente esquema:

Donde la longitud del muelle en reposo es d=2 m., K representa la constante de elasticidad del resorte, cuyo valor es 1 N/m, µ la constante de rozamiento viscoso, cuyo valor es 1 Kg/s y M la masa tiene un valor de 1 Kg. Consideramos como variable de entrada del sistema la posición del extremo libre de resorte x0 (t), como salida y1 la posición x 1 de la masa M y como salida y2 la distancia entre el punto x1 el x0. Obtenga las funciones de transferencia Y1(s)/X0(s) e Y2(s)/X0(s), simule en SIMULINK las siguientes situaciones:

a) El punto se desplaza con una velocidad constante x’0=1 m/s. b) El punto se desplaza instantáneamente de x0=0 a x0=1. c) El punto x0 está sometido a una oscilación continua de según a la expresión x0(t)=sin(2t). d) De acuerdo con el apartado c) escriba un script que obtenga la amplitud y fase de la oscilación de la variable y2 en estado estacionario. Compruebe que los datos obtenidos coinciden con los alcanzados en dicho apartado. e) Dibuje los polos y ceros de la función de transferencia Y1(s)/X0(s), analice mediante el lugar de las raices el efecto la constante k sobre los polos de dicha función de transferencia.




2.6

2.3 Solución Ecuación del movimiento de la masa − k ( x1 − x0 ) − µ

dx1 dt

=m

d 2 x1 dt

Para la salida y1: k x0(s) = m s2x1(s) + µ s x1 (s) + k x 1(s)

! k

x0 (s) = x1(s) [m s2 + µ s + k]

Funcion de transferencia: x1 ( s ) x 0 ( s )

=

y1 ( s ) x 0 ( s )

=

k 2

ms + µ s + k

Para el caso de la salida y2: y2 = x1 – x0 − k ( y 2 ) − µ (

2

dy 2 dt

+

x1 = y2 +x0

!

dx0 dt

) = m(

d 2 y 2 dt

+

d 2 x 0 dt

)

x0 (s)= m s2 y2 (s) + k y2 (s) + µ s y2 (s) !

-

µ sx0 (S) – m s

!

x0 (s) [- µ s – m s 2] = m s2 y2 (s) + k y2(s) + µ S y2 (s)

Función de transferencia: y 2 ( s ) x 0 ( s )

=

− µ s − ms 2 ms 2 + µ s + k

La situación en la que el punto x0 se mueve con una velocidad constante x’ 0=1 se simula suponiendo que la entrada es una señal rampa de valor 1. Representando las las funciones de tranferencia en simulink queda el siguiente diagrama de bloques:




2.7

fi gura 2.3

Observe cómo la condición inicial para la posición de la masa y la longitud del muelle se ha modelado mediante la suma, a la salida de los bloques de las funciones de transferencia, de un valor constante e igual a 2. Con este diagrama obtenemos la siguiente gráficas:

a)

b) fi gura 2.4

En la figura 2.4-a), la línea amarilla (más clara) representa el desplazamiento del extremo libre del muelle (x0) cuya velocidad se mantiene constante, la línea morada (más oscura) representa el movimiento de la masa (x1). Puede observarse cómo, al principio, la masa comienza desplazándose mas lentamente que el extremo libre del muelle, hasta que la fuerza que ha ejercido el muelle sobre ella es suficientemente grande como para acelerarla y que alcance la velocidad de x0 . En la figura figura 2.4-b) se representa la evolución de la salida y2. Se observa cómo la longitud del muelle aumenta hasta alcanzar un valor máximo. Finalmente, tras un pequeño tiempo transitorio la longitud del muelle se estabiliza, coincidiendo con el momento en que la masa alcanza la misma velocidad que el extremo libre del muelle. b) Para

simular la situación propuesta en este apartado se sustituye la señal rampa por una señal escalón, Las gráficas obtenidas son las representadas en la figura 2.5. En la figura 2.5-a), la línea amarilla (más clara) representa el desplazamiento instantáneo del extremo libre Escuela Politécnica Superior de la Rábida



2.8

del muelle, la línea morada (más oscura) representa el movimiento de la masa. Nótese cómo éste se desplaza más lentamente hasta que se estabiliza su posición tras una pequeña oscilación . Por otra parte, En la figura figura 2.5-b) se representa la evolución de la salida y 2; se ilustra claramente cómo la longitud del muelle disminuye bruscamente. Por último, tras un pequeño tiempo transitorio el muelle alcanza su longitud inicial.

a)

b) fi gura 2.5

c) En este apartado la señal de entrada está formada por una señal senoidal. Las gráficas

obtenidas son las siguientes:

a)

b) fi gura 2.6

En la figura 2.6-a), la línea amarilla (más clara) representa la oscilación del extremo libre del muelle, la línea morada (más oscura) representa el movimiento de la masa. Nótese cómo, en un principio, aparece un comportamiento transitorio y, más tarde, el movimiento de la masa se asemeja al movimiento senoidal del punto x 0 pero con un desfase y distinta amplitud. En la figura figura 2.6-b) se representa la evolución de la salida y 2; se comprueba cómo la longitud del muelle también está sometida a una evolución senoidal.




2.9

d)

Para obtener el valor de G(j ω) se utiliza el comando evalfr(sis, j*ω) . De esta forma es posible describir la oscilación en estado estacionario según la expresión: y(t)=| G(jω) | * sin[w*t + arg(G(jω)))] » n=[-1 -1 0]; » d=[1 1 1]; » sis=tf(n,d); » G=evalfr(sis,j*2) G= -1.23076923076923 - 0.15384615384615i ; » t=0:0.1:20; » y=2+abs(G)*sin(2*t+angle(G)); » plot(t,y); 3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

e) >>pzmap(sis) Pole-zero map 1 0.8 0.6 0.4

Polos s i x A g a m I

0.2 0 -0.2

Ceros

-0.4 -0.6 -0.8 -1 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Axis




2.10

La función de transferencia puede rescribirse de la forma:

1 y 2 ( s ) x0 ( s )

=

1 ms 2 + µ s + k

2

=

ms + µ s

1 + k

1 ms 2 + µ s

Lo cual responde a un sistema en bucle cerrado del tipo

Para ver la influencia del parámetro k se utiliza la técnica del lugar de las raices: » n2=[1]; » d2=[1 1 0]; » sys2=tf(n2,d2); » rlocus(sys2)

Puede observarse cómo la gráfica tiene dos ramas que se corresponden con los dos plos del sistema. Cada una de las ramas comienza en el valor correspondiente a k = 0; ambas ramas representan la ubicación de los polos conforme k varia desde 0 hasta tomar un valor infinito. Escuela Politécnica Superior de la Rábida



2.11

Las raices que hacen que el sistema responda de forma críticamente amortiguada son dos raices múltiples que delimitan la frontera entra raices reales y raices con parte imaginaria distinta de cero.

2.4 PRÁCTICAS PROPUESTAS 1) El

diagrama de la figura representa el esquema de un controlador de posición para la orientación de la base de un robot manipulador plano. Simúlelo en en simulink. Estudie los valores de k que hacen estable el sistema.




2.12

Dibuje una gráfica con la respuesta en frecuencia del filtro representado en la figura. Obtenga la tensión de salida cuando la señal de entrada es de la forma vi(t)=2·sin(5t)+4·sin(100·t). 2)

Los valores son: R1= 10 Ω, R2= 25 Ω; C =15 F

3) La

figura a) representa un modelo simplificado del sistema de tracción de un robot móvil, se pretende estudiar el movimiento del sistema cuando el robot se mueve sobre una superficie como la de la figura b) X(m) 15

5 a)

25

Y(m)

b)

Dibuje un esquema de bloques y simúlelo en Simulink. Los valores son: R= 0.75 m; I=0.14 Kg·m2; M=0.5 Kg; µ=0.01 Kg/s; n1=10; n2=30; Ha de probar con distintos valores de entrada para comprobar cuando la rueda es capaz de subir la rampa



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