UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS PRÁCTICA APLICACIONES DE LAS EDO DE 1 ER ORDEN MECÁNICA ELEMENTAL
25
1. Una masa de cae desde el reposo bajo la influencia de la gravedad: (a) Establezca una Ecuación Diferencial y las condiciones para dicho movimiento. (b) ¿Cuál es la velocidad de la masa en todo tiempo “ ”? (c) ¿Cuál es la posición de la masa en todo tiempo “ ”? (d) ¿Cuál es la velocidad de la masa a los ? (e) ¿Cuál es la posición de la masa a los ; y ? (f) ¿Cuál es la distancia recorrida por la masa entre los y los ? (g) ¿Cuál es la distancia recorrida por la masa entre los y los ?
=3 = 3 = 4 = 5 3 4 4 5 ; 3 =29.4 ; 3 =44.1; : =; 0 = 0; = 9 . 8 ; = 4 . 9 4 = 78.4 78.4 5 = 122. 122.5 (f) 34.3. (g) 44.1. 2. Un peso de 6 se deja caer desde una cima de de milla de alto. Si no existe existe ninguna ninguna resistencia del aire: (a) Establezca una Ecuación Diferencial y las condiciones para dicho movimiento. (b) ¿Cuál es la velocidad de la masa en todo tiempo “ ”? (c) ¿Cuál es la posición de la masa en todo tiempo “ ”? (d) ¿En qué tiempo llega a tierra? (e) ¿Con qué velocidad llega a tierra?
; = 9.08 ;; : =; 0 =0; = 3 2 ; =16 9.08 =290.61 ; 3. Una masa de 200 se lanza hacia arriba con una velocidad de 2450 :
(a) Establezca una Ecuación Diferencial y las condiciones para dicho movimiento. (b) ¿Cuál es la velocidad de la masa en todo tiempo “ ”? (c) ¿Cuál es la posición de la masa en todo tiempo “ ”? (d) ¿Cuál es la velocidad y la distancia recorrida de la masa a los ? (e) ¿Cuál es la velocidad y la distancia recorrida de la masa a los ?
=2 =4 : =; 0 =24.5 ; = 9 9..8 + 24.5 24.5;; =4.9 +24.5; 2 =4.9 ↑; 2 = 29. 29.4 ↑ ; 4 =14.7 ↓ 4 =19.6 ↓ 4. La fuerza de resistencia del agua que actúa sobre un bote es proporcional a su velocidad instantánea, y es tal que a 20
160
la resistencia del agua es de 40 .
y su pasajero pesa y el motor ejerce una fuerza de movimiento y asumiendo que el bote parte del reposo :
Si el bote pesa
320
50 en la dirección del
Prof. Alejandro Hernández Espino - Universidad Tecnológica de Panamá
(a) Establezca una Ecuación Diferencial y las condiciones para dicho movimiento. (b) ¿Cuál es la velocidad del bote en todo tiempo “ ”? (c) ¿Cuál es la posición del bote en todo tiempo “ ”? (d) ¿Cuál es la máxima velocidad a la que el bote puede viajar?
− ); : 15 =502; 0 =0; =25(1 − 375 ; =25 =25+ 375 2 2 5. Un paracaidista y sus paracaídas pesan 200 . En el instante en que el paracaídas se abre, el paracaidista cae verticalmente hacia abajo a 40 . Si la resistencia del aire varía directamente proporcional a su velocidad instantánea, y la resistencia del aire es de 80 cuando su velocidad es de 20
:
(a) Establezca una Ecuación Diferencial y las condiciones para dicho movimiento. (b) ¿Cuál es la velocidad del paracaidista todo tiempo “ ”? (c) ¿Cuál es la posición del paracaidista todo tiempo “ ”? (d) ¿Cuál es la velocidad límite del paracaidista?
− ) : 254 =2004; 0 =40; =10(5 − =50+ ; =50 cuando cae en el aire, el cual ofrece una 6. Un peso de 192 tiene velocidad límite de 16 fuerza de resistencia proporcional a la velocidad instantánea del cuerpo. Si el peso parte del reposo: (a) Establezca una Ecuación Diferencial y las condiciones para dicho movimiento. (b) ¿Cuál es la velocidad del peso en todo tiempo “ ”? (c) ¿Cuál es la posición del peso en todo tiempo “ ”? (d) ¿Cuál es la velocidad del peso a los “ ?
=1
15 ? − ; =16+8 − 8; : 6 =19212; 0 =0; = 16 1 1 =13.83 ; 1.39 = 14.68 . (e) ¿Cuál es su posición antes de que su velocidad sea de
7. Una piedra de 4 lbs cae desde el reposo hacia la Tierra desde una gran altura. A medida que cae actúa sobre ella la resistencia del aire que es numéricamente igual a
(en libras),
donde es la velocidad (en pies por segundos). (a) Determine la velocidad y la distancia recorrida después de “ t ” segundos (b) Determine la velocidad y la distancia recorrida después de 5 segundos
: a = 81 − ; = 24 + − 1; b 5 = 8 ; 5 = 38 Prof. Alejandro Hernández Espino - Universidad Tecnológica de Panamá
6 se lanza verticalmente hacia abajo hacia la superficie de la terrestre desde un altura de 1000 pies con una velocidad inicial de 6 . A medid que cae actúa sobre ella la resistencia del aire que es numéricamente igual (en libras) donde
8. Una pelota que pesa
es la velocidad (en pies por segundos). (a) Determine la velocidad y la distancia recorrida después de “ t ” segundos (b) Determine la velocidad y la distancia recorrida al final de 1 minuto (c) ¿Con que velocidad choca la pelota contra la tierra?
: a =33− ; = 33+ − ; b 60 = 9 ; 60 = 539.16 9. Una pelota que pesa se lanza verticalmente hacia arriba desde un punto que se encuentra 6 pies arriba de la superficie de la terrestre y con una velocidad inicial de 20 . A medida que asciende actúa sobre ella la resistencia del aire que es numéricamente igual
(en libras), donde es la velocidad (en pies por segundos).
(a) Determine la velocidad y la distancia recorrida después de “ t ” segundos (b) ¿en qué momento la pelota alcanza la máxima altura? (c) ¿Cuál es la máxima altura alcanzada por la pelota?
− − : a =68 48; =108102 48; b = 0.52 ; 0.52 = 10.92 10. Un barco que pesa 32,000 parte del reposo bajo la fuerza constante de arrastre de 100,000 . La resistencia en libras es numéricamente igual a 8,000 , donde es la velocidad (en pies por segundos). (a) Determine la velocidad y el desplazamiento del barco como una función del tiempo (b) Determine la velocidad limite (es decir, el límite de cuando ) (c) Determine la distancia que debe recorrer el barco para alcanzar una velo cidad de 80% de la velocidad límite.
→∞
25 25 − − : a = 2 (1 ); = 2 +3125 3125; b = 12.5 20 =9.74
11. Un cuerpo de masa 100 gramos se deja caer desde el reposo a tierra desde una altura de 1000 m. A medida que cae, la resistencia que actúa sobre él (en Newton) es proporcional
a la velocidad “ ” (en metros por segundos). Suponga que la velocidad limite es 245
(a) Determine la velocidad y la distancia recorrida después de “ ” segundos. (b) Calcule el instante en que la velocidad es un quinto de su velocidad limite
: a =245(1 − ); =245[251 − ]; b = 5.58 12. Dos persona viajan en un bote y el peso combinado de las dos personas, el bote, el motor y el equipo es de . El motor ejerce una fuerza constante de sobre el bote en dirección del movimiento, mientras que la resistencia en es numéricamente igual a una y media veces la velocidad en pies por segundos. Si el bote parte desde el reposo, calcular la velocidad del bote (a) Determine la velocidad y la distancia recorrida después de “ ” segundos. Prof. Alejandro Hernández Espino - Universidad Tecnológica de Panamá
640
20
(b) Velocidad y distancia después de 20 segundo; (c) Velocidad y distancia después de 1 minuto
: a =13.33(1− ); =13.33177.73(1 − ); b 20 =10.36 ; 20 = 128.52 ; c 60 =13.19 ; 60 = 624,04 ; 13. Un hombre empuja un trineo cargado a través de una superficie helada horizontal con velocidad constante de 10 . Cuando el hombre se encuentra a la mitad de su recorrido,
deja de empujar el trineo y permite que este continúe moviéndose por sí mismo. El peso combinado del trineo y su carga es de . La resistencia del aire en es
80
numéricamente igual a , donde es la velocidad del trineo en pies por segundos y el
0.05
coeficiente de rozamiento sobre el hielo es : (a) Determine la velocidad después de “ ” segundos (b) ¿en qué tiempo el trineo se detendrá después que el hombre deja de empujarlo? (c) Determine la distancia recorrida después de “ ” segundos (d) ¿qué distancia recorrerá el trineo después que el hombre deja de empujarlo?
: a =14.27(− 1); b = 4.02 ; =47.5747.2747.47− d 4.02 = 16.16 14. Una caja de leche enlatada pesa 24 bs y se suelta desde el reposo en la parte superior de un plano inclinado metálico que mide 30 de longitud y que tiene un ángulo de inclinación de 45º respecto a la horizontal. La resistencia del aire en es numéricamente igual a , donde es la velocidad en pies por segundos y el coeficiente de rozamiento sobre el hielo es 0.4, determinar: (a) La velocidad después de “” segundos (b) La velocidad a 1 s y 2 s después de soltarla (c) La distancia recorrida después de “ ” segundos (d) La distancia recorrida después de “ ” segundos (e) ¿en qué momento llega a la parte inferior del plano? (f) ¿qué velocidad lleva la caja al momento de que llega a la parte inferior del plano ?
− : a =21.6√ 2 (1 ); b 1 =10.96 2 =17.99 c =21.6√ 2 +48.6√ 2 ( − 1); 2 = 20.63 ; e = 7 f 7 = 148.18
Prof. Alejandro Hernández Espino - Universidad Tecnológica de Panamá
32
50
15. Un objeto que pesa suelta desde el reposo a una altura de arriba de la superficie de un lago en calma. Antes de que el objeto llegue a la superficie del lago, la resistencia del aire en libras está dada donde es la velocidad (en pies por segundos). Después que el objeto empieza a hundirse en el agua, la resistencia en libras está dada por donde es la velocidad en pies por segundos. Además sobre el objeto actúa una fuerza de empuje hacia arriba de . Calcular (a) La velocidad después de “ ” segundos (b) ¿con que velocidad el objeto choca contra la superficie del lago? (c) La distancia recorrida después de “ t ” segundos (d) Determine la velocidad después de 2 s
2
6
8
: a = 161 −; b = 16 ; c = 82 + − 1 d 2 = 4 16. Un bloque que pesa 96 bs, es soltado desde el reposo en la parte más alta de un plano inclinado de 30º de pendiente y 50 de longitud, que tiene un coeficiente de fricción = √ . La resistencia del aire actúa en retardar el descenso del bloque por el plano con una fuerza igual a , donde es la velocidad en pies por segundos y, determinar: (a) La velocidad del bloque en cualquier tiempo “ ” (b) El desplazamiento en cualquier tiempo “ ” (c) ¿En qué tiempo llega el bloque a la parte inferior del plano? (d) ¿Con qué velocidad llega la caja a la parte inferior del plano?
:
− a =24(1 );
− b =24+144( 1)
c = 5.8 ; 5.8 =14.87 ;
REFERENCIA BIBLIOGRAFICA SPIEGEL, Murray R. (1983). Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. Editorial Prentice Hall
Hispanoamericana. México. (Problemas 1-6) ROSS, S.L. (1980). Introducción a las Ecuaciones Diferenciales. México. 3ª Edición. Editorial Mc Graw Hill. (Problemas 7-15) O´NEIL, P. (1994) Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. Volumen I. México. 3ª Edición. Editorial Compañía Editorial Continental, S.A. DE CV. CECSA. (Problema 16)
Prof. Alejandro Hernández Espino - Universidad Tecnológica de Panamá
