TUGAS DINAMIKA STRUKTUR LANJUT Analisis Dinamik Metode Runge-Kutta Dosen : Prof. Dr. Ir. Herlien D. Setio
Nama : Indra Sidik Permadi (25014325)
PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN LINGKUNGAN INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG BANDUNG 2016
I.
ANAL ISIS DINAMIK SINGLE DEGREE OF FREEDOM
Suatu struktur mempunyai data-data sebagai berikut: q1 F sin Ot
1 H
L
Gambar 1. Struktur Single Degree of Freedom
H1 L q1 g I E
= = = = = =
6m 6m 2500 N/m 9.81 cm/s 2 3.25 x 10-4 m4 23500 MPa = 2.35 x 10 10 N/m2
Dengan menggunakan pemograman Matlab, maka didapat parameter massa dan kekakuan sebagai berikut: Bahasa Program :
% Massa Struktur g=9.81; %(m/s^2) disp(' Input beban q (N/m): '); q1=input(' '); disp(' Input Panjang Struktur L (m): '); L=input(' '); massa=(q1*L)/g; disp([' Massa : ' num2str(massa)]); % Kekakuan Struktur disp(' Input Panjang Elemen H (m): '); H=input(' '); disp(' Input Momen Inersia I (m4): '); I=input(' '); disp(' Input Modulus Elastisitas E (N/m2): '); E=input(' '); k=(12*E*(2*I))/H^3; % Tumpuan Jepit disp([' Kekakuan (N/m) : ' num2str(k)]); % Frekuensi Natural wn=sqrt(k/massa); disp([' Frekuensi Natural (rad/s) : ' num2str(wn)]);
Dinamika Struktur Lanjut - 2
Output Hasil Program : Masukan nilai beban q (N/m) Masukan nilai Panjang Struktur L (m) Massa Masukan Panjang Elemen H (m) Masukan Momen Inersia I (m 4) Modulus Elastisitas E (N/m 2) Kekakuan (N/m)
= 2500 =6 = 1529.052 =6 = 3.25E-04 = 2.35E10 = 848611.1111
Frekuensi natural dari struktur : k
n
m
Maka didapat frekuensi natural dari struktur yang ditinjau adalah 23.5583 rad/s. II.
RESPON STRUKTUR
Respon struktur yang ditinjau yaitu berupa grafik time domain dari percepatan, kecepatan dan perpindahan struktur. Untuk menentukan respon struktur dapat dilakukan dengan metode integrasi numerik Runge-Kutta. Integrasi numerik dengan menggunakan metode Runge-Kutta banyak digunakan karenan ketepatan dan kemudahannya. Metode ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial tingkat satu. Untuk menyelesaikan persamaan dinamik yang merupakan persamaan diferensial tingkat dua, persamaan tersebut harus dibuat menjadi persamaan diferensial tingkat satu. Untuk sistem dinamik dengan banyak derajat kebebasan yang mengalami beban sembarang seperti beban gempa, angin, gelombang laut, beban mesin atau beban dinamik sembarang lainnya, respon struktur dapat dihitung dengan menggunakan integrasi numerik Runge-Kutta. Persamaan diferensial tingkat dua dari suatu sistem dinamik dengan satu derajat kebebasan adalah: ̈ = [() − ̇ − ] = (,̇ , )...........................(3-106)
Dengan membuat ̇ = , maka persamaan (3-106) dapat ditulis menjadi dua persamaan diferensial tingkat satu: ̇ = ̇ = (, , )
Respon struktur sebagai fungsi waktu untuk setiap interval waktu Δt dapat dihitung dengan menggunakan persamaan: ( + ∆) = ( ) +
1 6
̇ ( + ∆) = ̇ ( ) +
∆( + 2 + 23 + 4 )
1 6
∆( + 2 + 23 + 4 )
Dinamika Struktur Lanjut - 3
̈ ( ) =
1
[( ) − ̇( ) − ( )]
Dengan = = + 3 = +
= ∆
= +
2 ∆
3 = +
2
4 = + ∆
= ( , , )
= ∆ 2 ∆ 2
4 = + 3∆
= + 3 = +
∆
= ( , , )
2 ∆
3 = (3 , 3 , 3 )
2
4 = (4 , 4 , 4 )
y4 = + 3 ∆
dan adalah vektor respon awal pada setiap iterasi yang diperoleh dari iterasi sebelumnya.
III.
HASIL ANAL ISIS
Berikut adalah pemograman Runge-Kutta untuk analisis dinamik struktur SDOF terhadap beban luar harmonik. Parameter awal untuk input ke dalam pemograman adalah : : F sin Ω t = 1500 sin 10 t : 0 s/d 20.47 detik dengan Δt = 0.01 detik : 5% :0
Beban luar harmonik Interval waktu Rasio redaman Koefisien nonlinier (α)
3.1. Mendefinisikan Gaya Luar yang Bekerja pada Struktur Bahasa Program :
%Subroutine gaya luar function P=gaya_luar1(F,omega,t) P=F*sin(omega*t); % Persamaan Gerak Harmonik
Output Hasil Program : Gaya Luar yang Bekerja pada Struktur 1500
r
1000
500 a ul a y g
a
0 d
o ut li A
m
p
-500
-1000
-1500
0
5
10
15
20
25
t (seconds)
Gambar 2. Respon gaya luar yang bekerja pada struktur
Dinamika Struktur Lanjut - 4
3.2. Metode Runge-Kutta Bahasa Program :
% Respon Struktur Metode Runge-Kutta % Paramater t=0:0.01:20.47; % Interval waktu nload=size(t,2); disp(' '); disp(' Parameter gaya luar '); disp(' Input Frekuensi gaya luar: '); omega=input(' '); % Frekuensi gaya luar disp(' Input Amplitudo gaya luar: '); F=input(' '); % Amplitudo gaya luar P=gaya_luar1(F,omega,t); % Gaya Luar Harmonik dt=0.01; disp(' '); disp(' Parameter redaman dan alfa nonlinier '); disp(' Input Rasio redaman: '); si=input(' '); % Rasio redaman (%) c=si*2*sqrt(k*massa); % Redaman Struktur disp(' Input Faktor gaya non linier: '); alfa=input(' '); % Koefisien gaya non linier u(1)=0; % Initial Condition v(1)=0; % Initial Condition % Runge-Kutta Processing Data % Processing Data a(1)=(P(1)-alfa*u(1)^3-c*v(1)-k*u(1))/massa; for i=2:nload ui=u(i-1); vi=v(i-1); ai=a(i-1); V(1)=vi; A(1)=ai; for j=2:3 U=ui+(V(j-1)*dt/2); V(j)=vi+(A(j-1)*dt/2); A(j)=(P(i)-c*V(j)-k*U)/massa; end U=ui+V(3)*dt; V(4)=vi+A(3)*dt; A(4)=(P(i)-c*V(j)-k*U)/massa; % Result u(i)=ui+(V(1)+2*V(2)+2*V(3)+V(4))*dt/6; v(i)=vi+(A(1)+2*A(2)+2*A(3)+A(4))*dt/6; a(i)=(P(i)-alfa*u(i)^3-c*v(i)-k*u(i))/massa; end for i=1:nload time(i)=(i-1)*dt; end
Dinamika Struktur Lanjut - 5
3.3. Respon Perpindahan 3
x 10
-3
Respon Perpindahan Akibat Gaya Luar Harmonik
2
1 ) (m n a h a
0 d ni pr e P
-1
-2
-3
0
5
10
15
20
25
t (seconds) Gambar 3. Respon perpindahan pada struktur akibat gaya luar harmonik
3.4. Respon Kecepatan Respon Kecepatan Akibat Gaya Luar Harmonik 0.04 0.03
)
0.02 0.01 s/ (m at
n
0 a p e K
e
c
-0.01 -0.02 -0.03 -0.04
0
5
10
15
20
25
t (seconds) Gambar 4. Respon kecepatan pada struktur ak ibat gaya luar harmonik
Dinamika Struktur Lanjut - 6
3.5. Respon Percepatan Respon Percepatan Akibat Gaya Luar Harmonik 0.6
0.4
0.2 ) 2 s/
0 m( n at a p e
-0.2 rc e P
-0.4
-0.6
-0.8
0
5
10
15
20
25
t (seconds) Gambar 5. Respon percepatan pada struktur akibat gaya luar harmonik
IV.
KESIMPULAN
Analisis dinamik dengan metode integrasi numerik Runge-Kutta memberikan output berupa kurva time domain perpindahan, kecepatan dan percepatan dari struktur. Pada metode ini struktur harus dibebani dengan gaya luar, bisa berupa beban harmonik atau beban gempa. Dengan input perpindahan awal dan kecepatan awal serta beban luar dari t0 sampai t n, maka respon struktur dapat dianalisis dengan menggunakan metode ini.
Dinamika Struktur Lanjut - 7
LAMPIRAN
Hasil Pemograman pada Matlab
