Semester I 2018/2019
u F
mu cu ku F
m k c
Beberapa kondisi: ◦
◦
◦
◦
F = = 0 : getaran bebas ( free vibration vibration) F ≠ 0 : getaran paksa ( forced ( forced vibration vibration)) c = 0 : getaran tak teredam (undamped (undamped vibration) vibration) c ≠ 0 : getaran teredam (damped vibration) vibration) u
k
m c
F (t )
Persamaan gerak
Solusi umum
mu ku 0 u A cos t B sin t di mana
Untuk kondisi awal u 0 u0 diperoleh
k m
; u 0 v0
u t u0 cos t
v0
sin t
Getaran bebas SDOF tak teredam
u t u0 cos t
v0
sin t
dapat dituliskan dalam bentuk lain: u t u
2 0
u t u
2 0
v0
2
v0
tan
1
u0 v 0
sin t 1
1
cos t 2
v0 2 tan u0
2
1
1, 2 = fasa
m = massa k = koefisien kekakuan = frekuensi (angular) alami [rad/detik] f = frekuensi alami [Hz, siklus/detik] T = perioda alami [detik] 2 2 f T
mu ku 0
u u 0 2
Sebuah beb Sebuah beban an seber seberat at 30 kN digant digantung ung di tengah tengah bentang balok sepanjang sepanjang 6 m menggunakan menggunakan pegas denga dengan n kekakua kekakuan n 9 kN/mm. kN/mm. Tentu Tentukan kan frekue frekuensi nsi alami alami dari dari sistem sistem str struktu ukturr ini jika dike diketah tahui ui balok balok terbua terbuatt dari dari baja W8×24 dengan modulus elastisitas 200 GPa dan inersia inersia penampan penampang g 34.5 × 106 mm4.
30 kN
Massa
Kekakuan k balok
1 k total
48 EI 3
m
w g
30000 9.81
9 6 4 8 2 0 0 10 1 0 3 4 . 5 10 1 0
63
L
1 1.53 10
3058 kg
6
1 9 10 10
6
k total
1.53 1.53 106 N/m
1.31106 1.31
N/m
Frekuensi alami 1.31 1.31 10
f
6
3058
20.7 rad/detik T
2 1 f
3.29 Hz
0.304 detik
Sebuah gudang Sebuah gudang satu satu ting tingkat kat berukur berukuran an 20 ft × 3 30 0 ft ft diang dianggap gap dapa dapatt diide diideali alisas sasika ikan n sebaga sebagaii struktu strukturr SDOF SDOF dengan massa massa terkumpul di di level atap, atap, dengan berat berat 30 lb/ft2.
Denah
Portal arah N-S
Portal arah E-W
Keempat kolom berupa baja W8×24 dengan E dengan E = = 29000 ksi, I ksi, I x = 82.8 in. 4, dan I dan I y = 18.3 in. 4. Pada portal arah E W terdapat terdapat cross-bracing cross-bracing dengan dengan luas penampa penampang ng 0.785 in.2. Anggap Anggap hanya batang batang tarik yang bekerja bekerja sebagai sebagai bracing. bracing. Tuliskan Tuliskan persama persamaan an gerak gerak bebas bebas struktur struktur tersebut tersebut untuk arah N-S dan E-W, serta serta tentukan tentukan frekuensi frekuensi alami alami getaran getaran struktur struktur pada masing-ma masing-masin sing g arah ters tersebut. ebut.
m
w
30 20 30
Massa
Kekakuan masing-masing kolom
g
386.4
k
Arah N-S (sumbu (sumbu kuat) kuat)
k
Arah E-W (sumbu (sumbu lemah)
46.58 lb-s2 /in.
12 EI x L3
12 EI y L3
Kekakuan masing-masing bracing k b
EA Lb
cos2
Kekakuan total k N-S
12 EI x
4
L3
6 1 2 2 9 10 1 0 82.8 38600 lb/in. 4 3 12 12
12 EI y EA 2 2 cos k E-W 4 3 L Lb 6 29 10 0.785 202 12 29 106 18.3 4 2 3 2 2 20 2 12 2 12 12 12 20 12 3 8531 8531 1196 119613 13 128. 128.1 110 lb/in b/in..
Persamaan gerak Arah N-S
46.58u 38600u 0
Arah E-W
46.58u 128.110 u 0 3
Frekuensi alami N-S
E-W
38600 46.58
28.79 rad/detik
128. 128.1 1 103 46.58
52.45 rad/detik
mu cu ku 0
Persamaan gerak: atau di mana
c ccr
c
2 m
Persamaan karakteristik: m 2 c k 0
u 2 u u 0 2
c
2 km
atau
c
c
2
4km
2m
2 1
Ae
Solusi umum:
Dengan kondisi awal u 0 u0 , u 0 v0 diperoleh
A
u t e
2 1 u0 v0 2 2 1
t
2 1 t
B
2 1 t
Be
2 1 u0 v0 2 2 1
Tidak terjadi vibrasi. Kondisi Kondisi ini disebut overdamped (teredam (teredam berlebihan).
Solusi umum:
Dengan kondisi awal u 0 u0 , u 0 v0 diperoleh
u t e
t
A Bt
t u t e u0 v0 u0 t
Juga tidak terjadi vibrasi. Kondisi Kondisi ini disebut critically damped (teredam (teredam kritis).
= 1.0 = 1.5 (
)t
= 2.0 n
,
x a h a d ni pr e P
Waktu, t
Solusi umum: di mana
D
A cos Dt B sin Dt
1 2
Dengan kondisi awal u 0 u0 , u 0 v0 diperoleh u t e
u t e
t
t
v0 u0 sin Dt u0 cos Dt D
Terjadi vibrasi dengan amplitudo yang semakin mengecil. Kondisi ini disebut underdamped disebut underdamped (kurang (kurang teredam), kondisi yang umum terjadi pada bangunan sipil.
v0 u0 u0 D
P
e
pr
ni
d
a
h
a
n
,
x
(
)t
2
2
e
t
1
= 2% = 5% = 10% = 20%
0.8 0.6 0.4 0.2 0
x
0 / x
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
0
2
4
6
8
10 t/T
12
14
16
18
20
Adanya redaman mengakibatkan pengurangan amplitudo getaran pada setiap siklus getaran. getara n. Pengurangan amplitudo semakin cepat dengan meningkatnya redaman.
m c ccr k
= massa = koefisien redaman [N-s/m] = koefisien redaman kritis kritis = koefisien kekakuan = rasio redaman = frekuensi alami D = frekuensi getaran teredam
mu cu ku
0
u 2u u 2
0
Sebuah mobil sport sport Porsche Boxster Boxster diketahui memiliki massa 1361 kg. Akibat beratnya sendiri, suspensi mobil berdefleksi sebesar 50 mm. Suspensi mobil tersebut dirancang memiliki nilai redaman sebesar koefisien koefisien redaman reda man kritis. koefisien redaman dan kekakuan Tentukan nilai koefisien dari suspensi mobil tersebut. Jika total massa penumpang, bahan bakar, dan bagasi mobil tersebut adalah 290 kg, tentukan tentukan rasio redaman suspensi mobil tersebut dalam kondisi penuh.
Kekakuan Frekuensi alami Redaman
k
w
k m
1361 9.8 9.81 1361 0.05
2.67 105
2.67 105 1361
14.01 rad/detik
c ccr 2 m
2 14.01 1361 38.110 103
Kondisi penuh
N/m
N-detik/m
m 1361 290 1651 kg
2.67 105 1651
12.72 rad/detik
38.1 38.1 103
2 12.72 1651
0.91
Parameter dinamik: ◦
◦
◦
◦
Massa, m Koefisien redaman, c, atau rasio redaman, Koefisien kekakuan, kekakuan, k Frekuen Frekuensi/perioda si/perioda alami: alami: , f , atau T atau T
Koefisien kekakuan k kekakuan k umumnya umumnya dapat diperoleh dari pengujian statik (hubungan gaya dengan perpindahan). teredam T D Dari grafik getaran bebas, perioda teredam T dapat ditentukan dari jarak dua puncak getaran. ditentukan dari rasio amplitudo Rasio redaman ditentukan dua puncak yang berturutan.
A1 x
t(
)
A2 , n a
h
a
t 1 ni
d
t 2
p r e P
Waktu, t
Amplitudo puncak pertama: A1
u t1 e t C1 cos Dt1 C2 sin Dt 1 1
Amplitudo puncak kedua A2
u t2 u t1 T D e t T C1 cos D t1 TD C2 sin D t1 TD 1
D
e t T C1 cos D t1 C2 sin D t1 1
D
Logarithmic decrement ln
A1 A2
ln
Ai Ai 1
A1 A2
e e
t 1
D
t1 T D
ln
A1 A2
e T
T D
Untuk nilai yang yang kecil:
2
2 1 2
Jika amplitudo yang berturutan hampir sama, karena nilai redaman yang sangat kecil, dapat digunakan perbandingan amplitudo setelah n setelah n siklus getaran: t Ai
Ai n
ln
Ai Ai n
e
e
i
D
ti nT D
nT D
1 2 n
e nT
ln
2 n
Ai Ai n
1
2
