Método Bishop Simplificado Ejercicio

MÉTODO DE BISHOP SIMPLIFICADO El método de Bishop Simplificado establece el equilibrio de momentos a partir de las fuerzas actuantes sobre cada una de las dovelas o rebanadas como es mostrada en la Figura 1. x

O

O



 

R 

c



R  W X1

X2

E1

E2

Figura 1

 Figura 2

Tf   N U

A

En el método de Bishop Simplificado la dovela o rebanada i-ésima (Figura 2) establece: ΔX

E1

 X 2  X1

 E2

La sumatoria de momentos con respecto a O: ΣTf 

 R   ΣW  x  ΣW  R  senα

El Factor de seguridad al deslizamiento se define: FS 

FS 

Fuerzas actuantes Fuerzas resultantes c A  N tan Tf 

Resolviendo para T f , se obtiene: c A  N tan Tf   FS

Sustituyendo T f  en:  en: ΣTf 

 R  ΣW  R  senα

 c A  N tan    ΣWsen α   FS    

Σ

Resultando: c A  N tan  FS  Σ Wsen α

La sumatoria de fuerzas verticales en la dovela es:

W  X 2  X1   Σ N cos  Ucos  Tf  sen 

Σ

W  X  Σ N cos  Ucos  Tf  sen 

Σ

Sustituyendo T f

  c A  N tan   W  X   Σ N cos  Ucos      sen  FS      

Σ

cA  N W  X   Σ N cos  Ucos  sen  tan FS FS 

sen

 

 W  X - Ucos   

-

 W  X - Ucos   

-

Σ

Σ

Σ

cA FS cA FS

sen

   Σ N cos   N tan  FS   

sen

 

sen

   Σ N  cos  1 tan   FS  

sen

 

 W  X - Ucos - c A sen     FS      N  1      cos  tan sen  FS     Σ

Sustituyendo N en

   W  X - Ucos - c A sen       FS      c A   tan     cos  1 tan sen       FS       FS  Σ Wsen α

 cA tan sen  W  X - Ucos  tan FS  c A     cos  1 tan sen    cos  1 tan sen        FS FS          FS  Σ Wsen α

     

    cA cos        FS      cA cos        FS 

    c A tan sen  W  X - Ucos  tan  FS   FS  1  cos  tan sen    cos  1 tan sen        FS FS         



1

tan sen

Σ Wsen α



1 FS

tan sen



1 FS

tan sen

 cos  1 tan sen     FS    

        W  X - Ucos  tan   cos  1 tan sen      FS     

Σ Wsen α

    cA cos W  X - Ucos  tan     1 1             cos  FS tan sen    cos  FS tan sen      FS  Σ Wsen α

  cA cos  W  X - Ucos  tan    cos  1 tan sen      FS      FS 

     

Σ Wsen α

FS 

FS 

FS 

  W  X - Ucos  tan  cA cos   cos  1 tan sen       FS    

    

Σ Wsen α

  W  X - Ucos  tan  cA cos   cos  1 tan sen       FS    

    

Σ Wsen α

  W  X - Ucos  tan  cA cos    1 tan tan    cos 1      FS   Σ Wsen α

    

    sec  W  X - Ucos  tan  cA cos   1      1  tan tan      FS    FS  Σ Wsen α

Considerando ΔX = 0, se tiene:

    sec  W - Ucos  tan  cA cos    1  1 tan tan          FS    FS  Σ Wsen α

que representa el factor de seguridad por el método de Bishop Simplificado.

EJERCICIO Determinar el factor de seguridad del talud mostrado en la Figura, el radio R es igual 10,57 m. 3.66 O

C R 

3.56 m

FS  18.5 kN / m3

9.92

   c   kPa

B

3.78 m A

3.02

1.6

3.74

Solución: Por los puntos A, B y C deben pasar segmentos de la división de dovelas. La división de dovelas se muestra en la siguiente Figura, formándose 13 dovelas. 1.2 1.2

0.62 0.4 0.74 1.2 1.2 1.2 1.34 1.2   1.2 1.2 1.2

13

12 

R 

11 10  9 5 

8  7  6 

1

2

3

4



Procediéndose a medir los lados de cada dovela (hi y hd), el ángulo  con la horizontal y tabulándose de la siguiente manera: A  b * (hi  hd ) / 2 Dovela

b (m)

hi (m)

hd (m)

A (m2)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1.2 1.2 0.62 1.2 0.4 1.2 1.2 1.34 1.2 1.2 1.2 1.2 0.74

0.00 0.36 0.58 0.63 3.47 4.39 5.35 6.17 6.89 6.19 5.25 3.96 2.04

0.36 0.58 0.63 3.47 4.39 5.35 6.17 6.89 6.19 5.25 3.96 2.04 0.00

0.22 0.56 0.38 2.46 1.57 5.84 6.91 8.75 7.85 6.86 5.53 3.60 0.75

FS 

, kN/m3

18.5 18.5 18.5 18.5 18.5 18.5 18.5 18.5 18.5 18.5 18.5 18.5 18.5

Wcos  tan   cb/cos   Σ Wsen 

W (A)

 (°)

4.00 -17 10.43 -10 6.94 -5 45.51 0 29.08 4 108.11 8 127.87 15 161.88 22 145.19 30 126.98 38 102.23 47 66.60 58 13.96 70



c (kPa)

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Wcos * tan  Σ Wsen 

N (kN/m)

 (°)

N*tan 

3.82 10.28 6.91 45.51 29.01 107.06 123.51 150.09 125.74 100.06 69.72 35.29 4.78

32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32

2.39 -1.17 6.42 -1.81 4.32 -0.60 28.44 0.00 18.13 2.03 66.90 15.05 77.18 33.10 93.79 60.64 78.57 72.59 62.53 78.18 43.57 74.77 22.05 56.48 2.98 13.12 507.26 402.37



 N * tan  ΣT 



507.26 402.37

T (kN/m)

 1.26