F.T.C Ingeniería Civil. Departamento de Estructuras. Diseño de Estructuras de Concreto Reforzado II.
Elaborado por:
Fecha de entrega: martes 29 de noviembre del 2016
Índice. Problema #1. .................................................. ............................................................................ .................................................... .............................. .... 1 1. Cálculo del Espesor de la losa. ............................................... ..................................................................... ...................... 2 2. Calculo de la Carga Factorizada. ................................................ .................................................................. .................. 2 3. Revisión por cortante. cortante................................................... ............................................................................ .................................. ........ 2 4. Cálculo de elementos del pórtico equivalente. .............................................. .............................................. 3 5. Análisis de pórtico parcial del pórtico equivalente ......................................... ......................................... 8 6. Cálculo de los momentos de diseño. ................................................ ........................................................... ........... 11 7. Chequeo de la la resistencia resistencia de la losa por flexión. flexión. ........................................ ........................................ 13
Problema #2. .................................................. ............................................................................ .................................................... ............................ .. 15 1. Determinación de los valores de α para las vigas. ...................................... 16 2. Selección del espesor de la losa. ................................................ ................................................................ ................ 18 3. Determinación de las constantes de distribución de Momentos Momentos K............... 18 4. Análisis de Pórtico Pórtico Parcial del Pórtico Equivalente. Equivalente. ..................................... ..................................... 30 6. Cálculo de los Momentos de Diseño. ............................................... .......................................................... ........... 35 7. Momento Total Factorizado Factorizado por Tramo. ............................................... ...................................................... ....... 37 8. Distribución de de los Momentos Momentos de Diseño Diseño en las Franjas de Viga Placa. ..... 38 9. Resistencia al Corte. ................................................... ............................................................................. ................................ ...... 39
Índice. Problema #1. .................................................. ............................................................................ .................................................... .............................. .... 1 1. Cálculo del Espesor de la losa. ............................................... ..................................................................... ...................... 2 2. Calculo de la Carga Factorizada. ................................................ .................................................................. .................. 2 3. Revisión por cortante. cortante................................................... ............................................................................ .................................. ........ 2 4. Cálculo de elementos del pórtico equivalente. .............................................. .............................................. 3 5. Análisis de pórtico parcial del pórtico equivalente ......................................... ......................................... 8 6. Cálculo de los momentos de diseño. ................................................ ........................................................... ........... 11 7. Chequeo de la la resistencia resistencia de la losa por flexión. flexión. ........................................ ........................................ 13
Problema #2. .................................................. ............................................................................ .................................................... ............................ .. 15 1. Determinación de los valores de α para las vigas. ...................................... 16 2. Selección del espesor de la losa. ................................................ ................................................................ ................ 18 3. Determinación de las constantes de distribución de Momentos Momentos K............... 18 4. Análisis de Pórtico Pórtico Parcial del Pórtico Equivalente. Equivalente. ..................................... ..................................... 30 6. Cálculo de los Momentos de Diseño. ............................................... .......................................................... ........... 35 7. Momento Total Factorizado Factorizado por Tramo. ............................................... ...................................................... ....... 37 8. Distribución de de los Momentos Momentos de Diseño Diseño en las Franjas de Viga Placa. ..... 38 9. Resistencia al Corte. ................................................... ............................................................................. ................................ ...... 39
Problema #1. Usar el Método del Pórtico Equivalente para determinar los momentos de diseño para el sistema de losa en la dirección ilustrada, para un piso intermedio. No hay vigas de borde, las cargas laterales serán resistidas por muros de corte.
Datos:
Columnas de 16in x 16 in. Carga Viva de Servicio= 40 lb/ft2 Sobrecarga = 20 lb/ft2 f'c= 4000 psi fy= 60,000 psi Altura de cada piso= 9ft. Página | 1
1. Cálcu Cálculo lo del Espeso Espesorr de la losa. los a. El Cálculo se realizó, utilizando una hoja de cálculo como la que se muestra a continuación: Calculo de espesor de losa Panel 1 2 3 4 5 6 7 Tipo Exterior Exterior Exterior Exterior Interior Exterior Exterior Lmin (ft) 14 14 14 14 14 14 14 Lmax (ft) 18 18 18 18 18 18 18 Calculo de Ln Lnmin (ft) 12.667 12.667 12.667 12.667 12.667 12.667 12.667 Lnmax (ft) 16.667 16.667 16.667 16.667 16.667 16.667 16.667 Espesor de losa Según Tabla 8.3.1.1 ACI-318-14 Espesor (h (h)= lnmax/30 lnmax/30 lnmax/30 lnmax/30 lnmax/33 lnmax/30 lnmax/30 h (plg) 6.667 6.667 6.667 6.667 6.061 6.667 6.667
8 Exterior 14 18
9 Exterior 14 18
12.667 16.667
12.667 16.667
lnmax/30 6.667
lnmax/30 6.667
El Espesor Máximo Requerido de la losa es de 6.67 in, por lo tanto, se propone utilizar un espesor de losa de 7 in.
2. Calcu Calculo lo de la Carga Carga Factor Factorizada. izada.
= 1.2 ∗ (12 7 ∗ 150 20) 1.6∗40 ∗40 = 193 = .
3. Revisió Revisión n por cortante. Para las columnas intermedias. L1=18ft L2=14ft
Sección de la columna. Lc=16in Lf=16in
Se propone utilizar barras N° 4, que poseen un diámetro de ½”, y además se propone un recubrimiento de ¾ “.
= ℎ =7 = 5. 75" -0.5-0.75
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= = 1616 =
Como el β<2, predomina la ecuación 3 de la ecuación de cortante en dos
direcciones, que es la siguiente:
= 4∗ 165.75 = 87 = 4∅ ´ = 4∗0.7 =5∗√ 94.391000∗87∗5. 7 5
La demanda de cortante está dada por la siguiente manera:
= 21. 7 5 = 18∗14 12 = 248.7148438 = 0.193 ∗248.7148438 = 48.00 > 1.2 94.91 > 1.2∗48.00 > 57.6 .
94.91
4. Cálculo de elementos del pórtico equivalente. a. Rigidez flexional de las vigas placa en ambos extremos, Ksb.
= 18∗12 16 = 0.07 = 14∗12 16 = 0.1
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Interpolando a partir de los valores de la tabla siguiente.
Luego Ksb
1 8 = 4.1844. ∗0.070.1 00. 1 = 4.13 = ℎ 1 68∗7 = 12 = 12 = 4802
Cálculo de la Inercia de la Losa.
Cálculo del módulo de elasticidad para un concreto con una resistencia de 4000 psi e igual a la siguiente expresión.
= 57000 ´ = 57000√ 4000 = 3.605∗10 3. 6 05∗10 ∗4802 = 4.13 18∗12 = 330.99∗10
Por lo tanto, se tiene que:
Para el cálculo del coeficiente de continuidad se interpolo en la tabla anteriormente mostrada teniendo lo siguiente.
510.1 5 ∗0.070.1 = 0.510.00. Página | 4
= 0.507 0 847 = 0.08470.08330. ∗0.070.1 00. 1 = 0.0843 = 0.0843
El momento en el extremo empotrado se encontró por la interpolación de la tabla anteriormente mostrada y obtuvo lo siguiente.
Por lo tanto, se tiene que:
b. Rigidez flexional de las columnas en ambos extremos de Kc.
En base de la siguiente anterior se obtuvieron los siguientes valores. H=9ft=108in, ta=3.5in, tb=3.5in
= ℎ= 108 7 = 101 = 3.3.55 = 1
Página | 5
= 101 108 = 1.07 5 7 = 0.570.1.5040. 51.1 ∗ 1.071.1 = 4.74 = = 4.74 1 6 = 12 = 12 = 5461.33 = 57000 ´ = 57000∗√ 6000 = 4415 ∗10 4 . 7 4∗4415 ∗10 ∗5461. 3 3 = = 1058. 2 4∗10 9∗12
Se tiene por interpolación los valores siguientes.
Por lo tanto, la rigidez flexional está dada por la siguiente expresión:
Donde:
c. Rigidez torsional de los elementos torsionales. Kt.
∗ = ( 9∗ 1 ) = (10.63 ) 3 = (10.63∗ 167 )7 ∗3 16 = 1325.12 in
Donde: Lc= ancho de la columna.
Página | 6
La rigidez de los elementos torsionales está dada por la siguiente expresión:
9 ∗3. 6 05∗10 1 2 = 14∗12∗1 ∗ 9∗1325. = 345. 5 ∗10 169∗12 d. Cálculo de la columna equivalente.
= ∑∑ ∗∑∑ De la figura se tiene que son dos elementos que comparten cada uno las mismas propiedades.
2∗345. 5 ∗10 ∗2∗1058. 2 4∗10 = 2∗345.5∗10 2∗1058.24∗10 = 520.93∗10 e) Cálculo de factores de distribución FD en la unión de la viga.
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1 − = 12 330. 9 9∗10 = 330.99∗10 520.93∗10 = 0.389 330. 9 9∗10 = 330.99∗10 330.99∗10 520.93∗10 = 0.279
Para una unión Exterior.
Para una unión interior.
5. Análisis d e pó rtico par cial del pó rtico equi val ente.
Primero, se chequea que la carga viva de servicio no sea mayor que ¾ que la carga muerta de servicio.
= 87.40520 = 0.37 < 34
a. Carga mayorada y momento en los extremos empotrados.
= 1.2 ∗87.520 = 129 = 1.640 = 64 = = 193 = = 0.0843∗0.193∗14∗18 = 73.8
Carga muerta mayorada:
Carga viva mayorada
Carga total mayorada:
Momento en los extremos empotrados para las vigas planas, FEM.
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b. Tabla de distribución de momento necesaria para encontrar los momentos negativos a la mitad del claro. Los momentos a la mitad del claro (Momentos en el medio del tramo), se consideran positivos los cuales se encuentran con la siguiente expresión
+ = 2 Siendo Mo el momento a la mitad del claro para una viga simple. Si los momentos en los extremos no son iguales, el máximo momento del tramo no se produce en la mitad del claro, pero su valor es similar al correspondiente a la mitad del claro.
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En la siguiente tabla se calculan los momentos Mul y Mur por medio de la distribución de momentos para el pórtico parcial los cuales representan los momentos negativos a los extremos de los claros.
. Unión 1 Elemento 1-2 FD 0.389 CC 0.507 FEM 73.80 Dist -28.71 Co 0.00 Dist 0.00 Co 2.1 Dist -0.8 Co 0.3 Dist -0.1 Co -0.1 M Neg 46.48
2 2-1 0.280 0.507 -73.80 0.00 -14.56 4.1 0.0 0.6 -0.4 0.1 0.1 -83.94
3 2-3 0.280 0.507 73.80 0.00 0.00 4.1 -2.1 0.6 -0.3 0.1 0.0 76.22
3-2 0.280 0.507 -73.80 0.00 0.00 -4.1 2.1 -0.6 0.3 -0.1 0.0 -76.22
3-4 0.280 0.507 73.80 0.00 14.56 -4.1 0.0 -0.6 0.4 -0.1 -0.1 83.94
4 4-3 0.389 0.507 -73.80 28.71 0.00 0.00 -2.1 0.8 -0.3 0.1 0.1 -46.48
c) Cálculo de los momentos positivos a la mitad el tramo:
En el tramo 1-2
0 . 1 93∗14∗18 9 3 + − = 8 46.4882. 2 = 44.22 0 . 1 93∗14∗18 2 2 + − = 8 76.2276. 2 = 33.21 0 . 1 93∗14∗18 4 8 + − = 8 82.9346. 2 = 44.22
En el tramo 2-3
En el tramo 3-4
Página | 10
6. Cálculo de los momentos de diseño. En la Figura mostrada se grafican los momentos positivos y negativos factorados para el sistema de losa en la dirección de análisis.:
Los momentos de diseño negativos se toman en la cara de los apoyos rectilíneos, pero a una distancia no mayor que 0,175 L1 a partir de los centros de los apoyos. La ubicación de los apoyos se encuentra a la mitad de la dimensión de la columna.
162 = 8 = 0.67 < 0.175∗1 = 0.175∗18 = 3.2
Por lo tanto, para determinar los momentos de diseño estos se calcularán a partir de la ubicación de la cara de diseño teniendo los siguientes resultados.
En los sistemas de losas establecidos dentro de las limitaciones del artículo 13.6.1 de ACI 308-11 se establece que los momentos resultantes se pueden reducir en una porción tal que no sea necesario que la sumatoria numérica de los momentos positivos y negativos promedios deben ser mayor que: Página | 11
1 0 . 1 93∗14∗16. 6 7 = 8 = 8 = 93.9 44.22(32.3267) = 93.3
Para paneles exteriores:
Para paneles interiores:
8 33.21(60.860. 2 ) = 99.3
Distribución de Momentos de Diseño.
La distribución de momentos de diseño en las franjas de la viga placa se pueden distribuir a la franja de columna y las dos semi-franjas intermedias de la viga placa de acuerdo con las especificaciones 13.6.4 y 13.6.6 de ACI 318-11, este caso es un sistema de losa sin vigas por lo tanto α=0. Los cálculos de los momentos se resumen en la siguiente tabla.
Paneles Exteriores Exterior Negativo Exterior Positivo Interior Negativo Panel Interior Negativo Positivo
Momento factorizado (kipsft)
%
Momento(kips-ft)
Momento (kips-ft) en dos semi-franjas intermedias
32.3 44.22 67
100 60 75
32.3 26.5 50.3
0.0 17.7 16.8
60.8 33.21
75 60
45.6 19.9
15.2 13.3
Franja de columna
Notas:
Los porcentajes de los momentos para la franja de columna se obtuvieron de la tabla de distribución de momentos para un sistema de losa sin vigas.
Los momentos en la semi-franja son obtenidos por el porcentaje restante que no fue distribuido a la franja de columna.
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7. Chequeo de la resistencia de la losa por flexión . a) Armadura total de flexión requerida para la franja de diseño:
Determinar la armadura requerida para el momento de la franja de columna M=32.3 kips-ft Suponer que la sección estará controlada a tención (φ=0.9)
= 14∗ 122 = 84 2∗1200075 = 154.6 = ∅ = 0. 32.9∗84∗5. = 0.8 5´ ∗1 1 0.285´ 6 = 0.8605∗4 ∗1 1 0. 2∗154. 85∗4000 = 0.0026 = = 0.0026 ∗84∗5.75 = 1.26 = 0.0018 < = 0.0026 1.0.226 = 6.2 6 °4 = 2 = 2∗7 = 14 < 18
Ancho de la franja de columna
ok
Usar Barras Numero 4.
Separación máxima
Se chequea que la sección trabaja a tensión-.
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1. 4 ∗6 = 0. = 85´ 0. 85∗4∗86 = 0.028 = = 00..08285 = 0.033 = (0.003)∗ 0.003 = (0. 00.03303)5.75 0.003 = 0.52 > 0.005 Por lo tanto, la sección es controlada a tensión. En la franja de columna usar 7 barras N°4.
Luego de realizar todos los chequeos, se propone el siguiente armado.
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Problema #2. Usando el Método del Pórtico Equivalente, determinar los momentos de diseño para el siguiente sistema de losa en la dirección ilustrada, para un piso intermedio.
Datos d el Problema.
Altura de piso= 12ft.
Dimensiones de las vigas de borde= 14x27 in.
Dimensiones de las vigas interiores= 14x20 in.
Dimensiones de las columnas= 18x18 in.
Sobrecarga de servicio= 100 lb/ft2.
f’c= 4000 psi (para todos los elementos), concreto de peso normal.
fy=60,000 psi.
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Solución. 1. Determinación de los valores de α para las vigas.
Vigas de Borde en l a dirección Norte-Sur. L2= 141 in. a/h= 27 in/ 6 in = 4.5 b/h= 14in/6in= 2.33 Utilizando la siguiente figura: Obtenemos f=1.47.
= () ∗ = ()( ) ∗. = . Página | 16
17.52∗12 182 = 114 2 = 1 4 27 = (2)ℎ ∗ = (114)( 6 ) ∗1.47 = 16.450
Vigas de Bord e Dirección Este-Oeste.
Vigas Interiores Dirección Norte Sur. L2= 22 ft = 264 in. a/h= 20in/6in= 3.33 b/h= 14in/6in= 2.33 Utilizando la siguiente figura. F=1.61
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1 4 20 = (2)ℎ ∗ = (264)( 6 ) ∗1.61 = 3.16
Vigas Interior es Dirección Este-Oeste. L2= 17.5 ft= 210 in
1 4 20 = (2)ℎ ∗ = (210)( 6 ) ∗1.61 = 3.98 2. Selección del espesor de la losa.
Primero se verifica que todos los valores de α calculados
anteriormente son mayores a 2, dicha condición se cumple.
= . = 1.28 =
Luego calculamos el Ln en la dirección mayor = 20.5ft = 246 in.
∗.+ . + ℎ = + = +∗. = 5.694 Como se requiere un espesor de losa de 5.694 in, se propone utilizar un espesor de losa igual a 6 pulgadas.
3. Determinación de las constantes de distribu ción de Momentos K. a) Vigas placas, rigidez flexional en ambos extremos Ksb .
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11 = 17.518∗12 / = 0.0857 0.1 22 = 22 18∗12 / = 0.0681
Cálculo de KNF.
Interpolando:
0.0.016810. 00.0000 = 4.184. 0 0 4.00 K NF = 4.12
Cálculo del Momento de Inercia de la Sección de la Viga.
= 2.72(12 1 ∗14 ∗ 20 ) = 25,386.67 Página | 19
Cálculo de Ksb.
= ∗ 1 ∗ = 4.12∗17.∗25,5∗12386.67 = 498 . Cálculo del Coeficiente de Continuidad.
Interpolando:
4.4.1184. 0 0 0 . 5 10. 5 0 = 24.00 0.50 CC = 0.507
Cálculo del mnf .
Interpolando:
0. 5 10. 5 0 0. 5 070. 5 0 = 0.08470.0833 0.0833 m nf = 0.0843
Página | 20
Momento en el extremo empotrado.
= = . b) Rigidez flexional en las colum nas, Kc.
Inercia de las columnas.
= 12∗ = 1812 = ,
Lc= 12 ft = 144 in .
Para columnas interiores.
ta= 17 in tb= 3 in ta/tb= 17in/3in = 5.67 H = 12 ft = 144 in. Hc= H-ta-tb= 144 in- 17 in- 3 in = 124 in.
= = .
Página | 21
Cálculo de la rigidez flexionante en la cumbre de la columna (Kct) para columnas interiores.
ta/tb 1.15 5.0 K AB 6.54 C AB 0.52 5.67 K AB C AB 6.0 K AB 5.60 C AB 0.51
H/Hc 1.16 6.752 0.52 6.305 0.5133 6.058 0.51
1.20 7.60 0.52
7.89 0.51
Interpol aciones para H/Hc= 1.16. Para ta/tb= 5.0.
1.7.2601. 1 5 1 . 1 61. 1 5 = 06.54 6.54 , = 6.752 1.7.2801. 1 5 1 . 1 61. 1 5 = 95.60 5.60 , = 6.058 Para ta/tb= 6.0.
Interpol aciones para H/Hc= 1.16 y ta/tb=5.67
6.5.6075. 5.00 = 6.08586. 7 52 6.752 , = 6.305 6.5.6075. 5.00 = 0.510. 5 2 0.52 , = 0.5133 Factor k = 6.305 + 0.5133 = 6.818
Página | 22
= 6.818∗ ∗ = 6.818∗144∗8748 = .
Cálculo de la rigidez flexionante en la base de la columna Kcb para columnas interiores. Se realiza el mismo procedimiento solo que ahora se entra con tb/ta.
Interpol aciones para H/Hc= 1.16. ta/tb 0
1.15 4.60 0.73
K AB C AB 0.176 K AB C AB 0.2 K AB 4.95 C AB 0.68
H/Hc 1.16 4.64 0.744 4.9744 0.698 5.02 0.692
1.20 4.80 0.80
5.30 0.74
Interpol aciones para H/Hc= 1.16. Para ta/tb= 0.0.
1.4.2801. 1 5 1 . 1 61. 1 5 = 04.60 4.60 , = 4.64 1.0.2801. 1 5 1 . 1 61. 1 5 = 00.73 0.73 , = 0.744 1.5.2301. 1 5 1 . 1 61. 1 5 = 04.95 4.95 , = 5.02 1.0.2701. 1 5 1 . 1 61. 1 5 = 40.68 0.68 , = 0.692 Para ta/tb= 0.2
Página | 23
Interpol aciones para H/Hc= 1.16 y ta/tb=0.176
0.0.12760. 00.00 = 5.024. 6 4 4.64 , = 4.9744 0.0.12760. 00.00 = 0.6920. 7 44 0.744 , = 0.698 = 4.97∗ ∗ = 4.97∗144∗8748 = . Factor = 4.97
Para columnas exteriores.
ta= 24 in tb= 3 in ta/tb= 24in/3in = 8.00 H = 12 ft = 144 in. Hc=H-ta-tb= 144 in- 24 in- 3 in = 117 in.
= = .
Para encontrar los valores de Kcb y Kct, se realiza el mismo procedimiento mostrado anteriormente, utilizando la Tabla A7 del Apéndice.
= 8.57∗ ∗ = 8.57∗144∗8748 = . = 5.31∗ ∗ = 5.31∗144∗8748 = .
Página | 24
c) Cálculo de la Rigidez Torsional de los Elementos Torsion ales.
= −∗ Donde C es la constante Torsional
Para las columnas interiores.
Los valores de la constante de torsión, se obtuvieron por medio de las siguientes ayudas.
X1= 14 in X2= 6 in Y1= 14 in Y2= 42 in C1= 4,738 in4 C2= 2,752 in4 C= 4738+2752=7,490 in4
X1= 14 in X2= 6 in Y1= 20 in Y2= 14 in C1= 10,226 in4 C2= 736 in4 C= 10226+(736*2)= 11,698 in4
61898 = . = 264 9 1∗11,22∗12 Página | 25
Para las columnas exteriores.
Los valores de la constante de torsión, se obtuvieron por medio de las siguientes ayudas.
Opción de División 1: X1= 14 in, Y1=21 in.
X2= 6 in, Y2= 35 in.
− = ,+, = −= ,11, 1 =40.2,5248 ,− −
C= 11,140.5 + 2,248 = 13,388.5 in4. Opción de División 2: X1= 14 in, Y1=27 in. X2= 6 in, Y2= 21 in.
− = 16,629 = − , = 1,240 ,−, −
C= 16,629 + 1,240 = 17,869 in 4.
Página | 26
81869 = . = 264 9 1∗17,22∗12 d) Cálculo de la rigidez torsional mayorada, K ta, debido a las vigas paralelas:
= ∗
Momento de Inercia de la Sección de Losa. (Is)
Momento de Inercia de la Sección T. (Isb).
= 121 ∗264 ∗ 6 = 4,752 = 2.72(12 1 ∗14 ∗ 20 ) = 25,386.67
Para las columnas interiores.
∗ 4 92. 9 0 ∗25, 3 86. 6 7 = = 4,752 = , . Página | 27
Para las columnas exteriores.
∗ 7 52. 9 1 ∗25, 3 86. 6 7 = = 4,752 = , . = ∑∑ ∗ ∑∑
e) Cálculo de la rigidez de la columna equi valente, K ec .
Donde:
∑Kta: Corresponde a dos elementos torsionales, uno a cada lado de la
columna. ∑Kc: Corresponde a las columnas superior e inferior en la unión de la
viga placa en un piso intermedio.
Para las columnas interiores.
414. 1 9 301. 9 3 2∗2,633.633.22 = . = 414.19 301.93 2∗2, 520.63632∗4, 0 22. 2 8 = 322.322.5588520. 2∗4,022.28 = . Para las columnas exteriores.
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f) Cálculo de los factores de distribu ción para la unión de la viga placa, FD.
=
En la unión exterior.
= 498 498763. 21 = 0.395
En la unión interior.
= 498 498498 630.40 = 0.306
Coeficiente de Continuidad para la viga placa CC= 0.507, como se demostró en el paso 3 de este problema.
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4. Análisis de Pórtico Parcial del Pórtico Equivalente. Se deberán determinar los momentos máximos negativos y positivos para las vigas placa usando la distribución de momentos.
= 17500// = . >
Se chequea la relación entre la sobrecarga y la carga permanente.
Por lo tanto, El pórtico se deberá analizar para cinco condiciones de carga que son las siguientes.
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a) Cargas Mayoradas y Momentos en los Extremos Empotr ados.
Cálculo del peso por pie de longitud del alma de la viga dividido por l2.
1 4 14 150 / = 144 / ∗ 22 = 9.28 /
Carga Permanente Factorizada.
= 1.275/ 9.28/ = . / = 1.6100/ = / = 101.14 160 = .
Sobrecarga Factorizada.
Carga Factorizada.
Cálculo de los Momentos en los Extremos Empotrados (FEM). Con mnf = 0.0843, determinado en el paso 3 se tiene:
= = . 0. 0 843∗ 261. 1 4∗22∗17. 5 = 1000 = . FEM debido a Wd+Wl.
FEM debido a Wd + ¾ *Wl.
0. 0 843∗ 221. 1 4∗22∗17. 5 = 1000 = . FEM debido solo a Wd.
0. 0 843∗ 101. 1 4∗22∗17. 5 = 1000 = . Página | 31
b) A continuación, se muestra la distribución de momentos para las cinco con dicio nes de carga.
Unión Elemento FD CC
1 1-2 0.395 0.507
2 2-1 0.306 0.507
3 2-3 0.306 0.507
3-2 0.306 0.507
3-4 0.306 0.507
4 4-3 0.395 0.507
1. Combinación de Carga 1 (Wd+Wl). CEF MC* MC MC MC ∑
MD** Total
+148.3 +4.6 +0.7 +0.3 +153.9 -60.8 +93.1
-148.3 -29.7 -0.9 -0.2 -179.1 +11.1 -168.0
+148.3
-148.3
-4.6 -0.7 -0.3 +142.7 +11.1 +153.8
+4.6 +0.7 +0.3 -142.7 -11.1 -153.8
+148.3 +29.7 +0.9 +0.2 +179.1 -11.1 +168.0
-148.3 -4.6 -0.7 -0.3 -153.9 +60.8 -93.1
2. Segunda Combinación de Carga. Primer y Tercer Tramo cargados con Wd + ¾ Wl; Segundo Tramo con Wd. CEF MC* MC MC MC ∑
MD** Total M a mitad de luz
+125.6 -125.6 +10.6 -25.1 +5.5 -2.1 +1.2 -1.1 +0.4 -0.3 +143.3 -154.2 -56.60 +35.0 +86.7 -119.2 83.3
+57.4 -10.6 -5.5 -1.2 -0.4 +39.7 +35.0 +74.7
-57.4 +10.6 +5.5 +1.2 +0.4 -39.7 -35.0 -74.7
+125.6 -125.6 +25.1 -10.6 +2.1 -5.5 +1.1 -1.2 +0.3 -0.4 +154.2 -143.3 -35.0 +56.6 +119.2 -86.7 83.3
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3. Tercera Combinación de Carga. Segundo tramo cargado con Wd + ¾ Wl; Primer y Tercer Tramo cargados con Wd. CEF MC* MC MC ∑
MD** Total M a mitad de luz
+57.4 -10.6 +0.3 -0.3 +46.8 -18.5 +28.5
-57.4 -11.5 +2.1 -0.1 -66.9 -21.2 -88.1
+125.6 -125.6 +10.6 -10.6 +0.3 +0.3 -0.3 -0.3 +136.2 -136.2 -21.2 +21.2 +115.0 -115.0 71.3
+57.4 +11.5 -2.1 +0.1 +66.9 +21.2 +88.1
-57.4 +10.6 -0.3 +0.3 -46.8 +18.4 -28.5
4. Combinación de Carga 4. Primer tramo cargado con Wd + ¾ Wl, y viga placa supuesta empotrada en el apoyo ubicada a dos claros de distancia cargada con Wd. CEF MC* MC MC ∑
MD** Total
+125.6 +10.6 +3.9 +0.3 +140.4 -55.4 +85.0
-125.6 -25.1 -2.1 -0.8 -153.6 +29.4 -124.2
+57.4
+57.4 +29.4 +86.8
-57.4 +10.6 +3.9 +0.3 -42.6 -42.6
5. Combinación de Carga 5. Primer y segundo tramo cargado con Wd + ¾ Wl, y tercer tramo cargado con Wd. CEF MC* MC MC ∑
MD** Total
+125.6 +2.3 +0.3 +128.2 -50.6 +77.6
-125.6 -25.1 -0.2 -150.9 +5.1 -145.8
+125.6 +10.6 -1.8 -0.1 +134.3 +5.1 +139.4
-125.6 +2.3 +0.3 -123.0 +17.1 -105.9
+57.4 +11.5 -2.1 +0.4 +67.2 +17.1 +84.3
-57.4 +10.6 -1.8 -0.1 -48.7 +19.2 -29.5
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c) Notas pertinentes a la distribu ción de momentos, realizada en el inciso anterior.
Primero para realizar la distribución de momentos, se debe realizar el cálculo de los factores de distribución, los coeficientes de continuidad y los Momentos de Empotramiento Perfecto para las condiciones de carga a analizar. El MC* (Momento de Continuidad es determinado de la siguiente forma) MC*=-1*FD*CC*FEM, así para el caso de Carga 1, el elemento de la columna 3, fila 2, se calcula como sigue: MC*= -1*0.395*0.507*148.3 = -29.7 El FEM a considerar será el Momento No Balanceado de la unión, que se transfiere al extremo opuesto del tramo, aplicando este principio se obtuvieron los demás valores de MC.
En la fila ∑, se coloca la sumatoria de los FEM con los MC calculados.
Así para el caso de Carga 1. ∑= +148.3 +4.6 +0.7 +0.3= +153.9.
Utilizando este presentados.
principio,
se
encontraron
los
demás
valores
El Momento de Diseño MD**, se calcula de la siguiente manera: . Unión 1, Caso de Carga 1 MD**= -1*153.9*0.395 = -60.8 Unión 2, Caso de Carga 1 MD**=-1*(-179.1+142.7) *0.306=+11.1 Utilizando este principio, se calcularon los demás valores presentados.
Luego el Momento Total, se obtiene de sumar la fila ∑, con la fila MD**.
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d) Momento en la mitad del claro.
= 2
Donde el Mo, es el momento a la mitad del claro para una viga simple.
Momento en la mitad del claro para la Combinación de Carga 1, en el tramo 1-2.
0. 2 61∗22 ∗17. 5 7 = 8 93.1167. 2 = 89.4
El ACI establece que los momentos de diseño, no se deberán tomar menores que aquellos que se producen cuando en todos los tramos actúa la sobrecarga factorizada.
Momento Máximo Positivo en el Tramo Final: = Valor Máximo entre 89.4 y 83.3 k-ft= 89,4 kips-ft.
Momento Máximo Positivo en un Tramo interior: = Valor Máximo entre 66.2 y 71.3 k-ft= 71.3 k-ft.
Momento Máximo Negativo en el apoyo extremo: = Valor Máximo entre 93.1 y 86.7 k-ft = 93.1 k-ft.
Momento Máximo Negativo en el apoyo interior de un Tramo Final: = Valor Máximo entre 167.7 y 145.6 k-ft= 167.7 k-ft.
Momento Máximo Negativo en el apoyo interior de un tramo interior. = Valor Máximo entre 153.6 y 139.2 k-ft= 153.6 k-ft.
6. Cálculo de los Momentos de Diseño.
El Código establece que los Momentos Negativos Factorizados, se deben tomar en la cara de los apoyos rectilíneos a una distancia no mayor de 0.75*l1 a partir de los centros de los apoyos.
182 = < 0.175∗17.5 ∗ 12 = .
Donde 18 in, es el ancho de la sección de la columna.
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La siguiente figura, muestra los momentos positivos y negativos factorizados, aplicados al sistema de losa en su dirección transversal.
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7. Momento Total Factorizado por Tramo. Primeramente, se realiza la verificación de la rigidez relativa para los paneles de losa:
Para Paneles Interiores: α1= 3.16 α2= 3.98
l2= 22 ft= 264 in. l1= 17.5 ft= 210 in
= 1.255 ; . < . < ∗∗ = 3.3.196∗264 8∗210
Para Paneles Exteriores: α1= 3.16 α2= 16.45
l2= 22 ft= 264 in. l1= 17.5 ft= 210 in
= 0.304 ; . < . < ∗∗ = 3.16.146∗264 5∗210
El Código establece que los sistemas comprendidos dentro de las limitaciones antes comprobadas, los momentos resultantes se pueden reducir en una proporción tal que la sumatoria numérica de los momentos positivos y el promedio del momento negativo, siempre y cuando no sea mayor que el momento estático total Mo.
0 . 2 61∗22∗16 = 8 = 8 = . 89.4 .+. = 183.7 71.3 .+. = 188.9 Tramo Final:
Tramo Interior:
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Procedimiento para reducir los momentos factorizados de los tramos interiores: Reducción Admisible:
. − . − = 0.9725
Momento de Diseño Negativo Reducido= 117.6*0.9725= 114.37
k-ft.
Momento de diseño positivo reducido= 71.3*0.9725= 69.34 k-ft.
8. Distribuc ión de los Momentos d e Diseño en las Franjas de Viga Placa. Los Momentos Negativos y Positivos Factorizados en las secciones críticas, se pueden distribuir a la franja de columna, la viga y las dos semi-franjas intermedias de la viga placa.
Las rigideces relativas de las vigas, se encuentran en el rango de 0.2 a 5.0; por lo tanto, los momentos se pueden distribuir de la siguiente forma. Distribución de los momentos factorizados en la sección crítica.
= 17.225 = 1.257 = 3.117.6∗225 = 3.97 2 2∗12∗6 = 12 = 4,752 = 2 = 17,2∗4,876952 = 1.88
El valor de C, se obtuvo en el paso 3 inciso c de este problema.
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En la siguiente tabla, se muestran los momentos factorizados en las secciones críticas. Momento Factorizado(k-ft)
Exterior Negativo Positivo Negativo Interior Negativo Positivo
60.2 89.4 128.4
117.6 71.3
Franja de Columna %* Momento Tramo Final 75 45.2 67 67
Momento(k-ft) en las dos semi-franjas intermedias. ** 15.0
59.9 86.0
29.5 42.4
Tramo Interior 67 78.8 67 47.8
38.8 23.5
* Debido a que α1*l2/l1>1, las vigas se deben dimensionar para resistir el 85%
del momento de la columna. ** La porción del momento factorizado que no es resistido por la franja de la columna, se asigna a las dos franjas semi-intermedias.
9. Resistencia al Corte. a) Vigas.
Debido a que α1*l2/l1>1, estas deben resistir la totalidad del corte.
(bw= 14 in, d= 17in). Solo se verificarán, las vigas interiores, debido a que estas son las que soportan esfuerzos de corte más elevados.
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Vigas Norte-Sur.
∗ 0 . 2 61∗17. 5 = 4 = 4 = 19.98 ′ ∗ ∗ ∅ = ∅∗2∗ ∅ = 0.75∗2∗ √ 10004000∗14∗17 = . >
Por lo tanto, se debe proveer la armadura mínima de corte.
Vigas Este-Oeste.
5 = ∗ ∗42 = 0.261∗17.5∗2∗2217. = 30.3 4 = . > ∅ 3 0. 3 22. 5 8 = ∅ = ∅ 0.75 = . 5 = 2∗ = 0.261∗17. 2 = 2.2 ′ ∗ ∗ ∅ = ∅∗2∗ √ 4 000∗12∗5 = . > ∅ = 0.75∗2∗ 1000
Por lo tanto, se debe proveer la siguiente resistencia al corte.
b) Losas.
Para las losas (bw=12 in, d= 5in).
Por lo tanto, la resistencia al corte de la losa es adecuada
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